Применение разрывного метода Галёркина высокого порядка точности для решения прямых пространственных задач сейсморазведки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ворощук Денис Николаевич

• Ворощук Денис Николаевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Ворощук Денис Николаевич

Введение

Глава 1. Определяющие уравнения. Численный метод расчета

1.1 Определяющие уравления теории упругости

1.2 Численный метод для решения системы уравнений упругости

1.3 Расчет параметров на контактных границах

1.4 Использование метода ADER для решения задач теории упругости

Глава 2. Гибридные расчетные сетки

2.1 Введение

2.2 Задание системы координат для элементов расчетной сетки различной геометрии

2.3 Выбор системы базисных функций

2.4 Параметризация базисных функций на гранях ячеек для

расчета поверхностных интегралов

2.5 Параметризация базисных функций на гранях соседнего

элемента для расчета поверхностных интегралов

2.6 Тестовые расчеты

Глава 3. Математическое моделирование распространения пространственного сейсмического отклика от

вертикального геологического разлома

3.1 Введение

3.2 Постановка задачи

3.3 Результаты численных экспериментов

3.4 Заключение

Глава 4. Исследование 2D сейсмического отклика от

субвертикального кластера

4.1 Введение

4.2 Постановка численных экспериментов

4.3 Результаты

4.4 Анализ синтетических сейсмограмм

4.5 Выводы

Глава 5. Пространственный расчет волнового отклика от

криволинейной границы раздела сред

5.1 Постановка задачи

5.2 Результаты

Глава 6. Алгоритмы и структура программного кода

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Изображения волновых картин и сейсмограмм

Приложение Б. Численные данные для построения методов

Рунге-Кутты 8 и 12 порядка точности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение разрывного метода Галёркина высокого порядка точности для решения прямых пространственных задач сейсморазведки»

Введение

Актуальность темы исследования и степень её разработанности

Актуальность темы обосновывается важностью и высокой стоимостью проведения полевых сейсморазведочных работ. Несмотря на то, что сейсмическая разведка является самым востребованным методом поиска полезных ископаемых, она по-прежнему является самым дорогим геофизическим методом. Удешевление проведения работ возможно в результате более точной интерпретации получаемых первичных данных, что в свою очередь невозможно без разработки высокоточных алгоритмов, определения новых и формализации ранее выявленных закономерностей. Указанные факты стимулируют использование таких дополнительных методов, как математическое и численное моделирование. Численное моделирование распространения волновых процессов в гетерогенных средах успешно применяется для улучшения качества интерпретации данных, получаемых в результате полевых сейсморазведочных работ. К настоягциему моменту математиками проделана большая работа в этом направлении. Для решения подобных проблем специальным образом доработаны ряд численных методов, способных выдавать приемлемые результаты на определенном классе постановок задач. Однако следует отметить, что требования к результатам моделирования и сложность начальных условий при постановке задач постоянно возрастают. Современные алгоритмы и их реализации, используемые в этой области, должны, с одной стороны, быть досточно высокопроизводительными для проведения расчетов для пространственных задач больших размерностей, с другой стороны, иметь возможность проводить вычисления с достаточно высоким порядком точности в критически важных областях. Столь противоречивые требования могут быть обоснованы при формулировке задачи по восстановлению волнового фронта, рассеяного на трегцинноватых породах. В данной задаче, описанной в одной из глав работы, сочетается требование к детализации геометрии в малой области расчетной сетки и высокому порядку точности решения, без которого невозможно определить наличие трегциннова-той области.

Интерпретация данных геофизических исследований сложных пород требует

решения систем дифференциальных уравнений, основанных на физических законах. В геофизике в целом и в сейсмической разведке, в частности, с разной степенью успешности применяются различные численные методы для моделирования волновых процессов, происходящих в реальной среде. Классификация численных методов, используемых в этой области, приведена в [1]. Не останавливаясь на деталях, укажем только, что в данной работе используется численный метод, основанный на аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных. Однако, как указано в [1], имеют место и другие подходы. В работе [2] при численном моделировании задач сейсмической разведки используется модель линейно-упругой среды, а применение неструктурированных расчетных сеток, состоящих из тетраэдров (треугольников в 2Б), позволяет проводить численные расчеты контакстных границ сложной геометрической формы. Классификация трещин по размерам приведена в [3]. Так же авторы сделали обзор методов моделирования отклика от мегатрегцины. В работе [4] проводится анализ устойчивости волнового отклика от параметров области трегцинноватой породы. В частности, исследуется зависимость формы и энергии волнового фронта от геометрических параметров трещин. Показывается, что изменение геометрии от идеальной периодической системы макротрещин к близкой к реальной с различными углами наклона и шириной трещин при сохранении средних величин, не существенно изменяют фиксируемые параметры волнового отклика. Этот факт свидетельствует о состоятельности модели, описанной в главе 4, где одна из моделей трещиноватого кластера представлена в качестве периодической системы макротрещин. Моделирование пространственного отклика от трещиноватого кластера приведено в [5]. В работах [6;7] делается вывод о важности Х-компоненты скорости, фиксируемой сейсмодетекторами, при исследовании отклика от трегцинноватых сред. Показывается возможность при помощи Х-компонен-ты локализовать и детектировать метоположение и геометрические параметры трещин попитой области, что используется в главах 3,4. При анализе волнового отклика от субвертикальной макротрещины показывается наличие дефраги-рованной от концов волны, что также подтверждается в главе 3. В работе [8] подробно рассмотрен процесс формирования обменных рассеянных волн на тре-гцинноватом кластере. Показаны типы волн, и на примере волновой картины показан процесс их порождения. Большое собрание работ по теме можно найти в [9]. Во всех вышеперечисленных работах для исследования использовался се-точно-характеристический метод, имеющий свои положительные особенности.

В отличие от других методов, обладающих, преимущественно, порядком точности, не превышающим второй, при предлагаемой реализации метода Галеркина возможно проводить расчеты с высоким порядком точности. Разрывный метод Галеркина относится к классу конечно-элементных методов. Метод обладает рядом положительных свойств, выделяющих его среди других при решении гиперболических систем уравнений. К ним относятся консервативность схемы, гибкость в выборе базиса. Метод реализован на неструктурированной тетраэдральной сетке, что позволяет неравномерно проводить измельчение расчетной области и решать задачи со сложной геометрией.

Цели и задачи

Целями данной работы являются:

1. Адаптация разрывного метода Галеркина для проведения пространственных численных расчетов прямых задач сейсмической разведки.

2. Разработка алгоритмов расчета контактных границ.

Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи:

1. Выбрать и адаптировать существующие математические модели с учетом специфики рассматриваемой задачи.

2. Адаптировать численную схему для решения поставленных задач, а именно, реализовать корректный расчет граничных и контактных условий и выбрать способ задания численного потока между элементами расчетной сетки.

3. Создать программный комплекс для численного решения рассматриваемых задач. Провести верификацию этого комплекса программ.

4. Провести пространственные расчеты волновых процессов в гетерогенной геологической среде с криволинейными контактными границами и зонами трещиноватости, рассчитать волновые отклики от трещиноватых коллекторов.

Научная новизна

1. Адаптирована разностная схема на тетраэдральной сетке с высоким порядком аппроксимации; для нее реализованы граничные, контактные и начальные условия.

2. Реализована и апробирована пространственная модель бесконечно тонкой флюидонасыгценной трещины и кластера из трещин в упругой неоднородной среде.

3. Разработан коп леке программ для моделирования пространственных и двумерных задач сейсмической разведки для исследования волновых процессов в гетерогенных средах, содержащих трещины, разломы и прочие неоднородные включения.

4. Проведено численное исследование волновых процессов в гетерогенных средах на примерах, характерных для задач сейсмической разведки, с помощью разработанного программного комплекса.

5. Разработана численная схема для расчета на гибридной сетке, сочетающей в себе неструктурированные тетраэдральные и пирамидальные элементы со структурированными прямоугольными гексаэдрами.

6. Провередены пространственные расчеты волновых процессов в неоднородных геологических средах с криволинейными границами.

Теоретическая и практическая значимость работы

Разработка и реализация численного алгоритма позволяют проводить пространственные расчеты распространения волновых процессов в гетерогенных средах, что является важным инструментом решения прямых задач сейсмической разведки. Это позволяет добиваться существенного улучшения интерпретации полученных первичных данных.

Методология и методы исследования

При проведении работы использовались теория и методы математического моделирования, вычислительной математики, механики сплошных сред.

Положения, выносимые на защиту

Положения, выносимые на защиту, соответствуют основным результатам, приведённым в заключении.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных результатов обеспечивается высокой степенью верификации. Проверки проведенных расчетов проводились как с помощью работ других авторов, так и при помощи собственных редуцированных одномерных и двумерных схем. Специально для верификации были реализованы одно-и двумерные варианты численных схем и проведены серии расчетов для сравнения полученных данных.

Основные результаты работы докладывались и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

1. 57-я научная конференция МФТИ с международным участием, посвященная 120-летию со дня рождения П.Л. Капицы (Москва-Долгопруд-ный-Жуковский,2014);

2. 58-я научная конференция МФТИ (Долгопрудный, 2015);

3. X Международная научно-практическая конференция "Достижения и проблемы современной науки"(Санкт-Петербург, 2016);

4. VIII Международная научно-практическая конференция "Достижения и проблемы современной науки "(Санкт-Петербург, 2017).

Публикации

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в десяти [10-19] печатных изданиях, три из которых [10-12] изданы в журналах, рекомендованных ВАК, в том числе одна [12] входит в систему цитирования WoS (Web Of Science).

Личный вклад автора в публикации с соавторами заключался в адаптации разрывного метода Галеркина к условиям рассматриваемых задач, разработке алгоритмов расчета контактных границ, проведении численных расчетов, так же автор принимал активное участие в анализе полученных результатов и подготовке текстов публикаций.

Глава 1. Определяющие уравнения. Численный метод расчета

Для начала приведем определяющие уравнения и численный метод расчета, на основе которых будут проводится пространственные расчеты.

1.1 Определяющие уравления теории упругости

Распространение волновых процессов в главе рассматривается в рамках линейной теории упругости [20]. Для записи основных уравнений используется система уравнений теории упругости.

( дуг = дагз

Рд1 дх;

= С;зк16к1 •

1 ( диг

е13 = 2 V дх3 +

дщ

дхп

) •

(1.1)

где р - плотность среды, щ - смещение точки (вектор), С^ы - тензор упругих напряжений, е1з- - тензор деформаций, (г = 1,2,3) - независимые переменные. При рассмотрении линейно-упругой среды тензор упругих напряжений зависит от параметров Ляме. Учитывая факт симметричности тензора деформаций можно переписать систему уравнений в виде:

ду; да;

1з

^ дь дх; '

да;

;3

Ы

= \

дхк

\ г / дуг дуЛ

щ) ь++ д^) •

(1.2)

где параметры Лямэ в общем случае являются функциями координат, но в рамках текущей работы будут рассматриваться только среды, для которых эти параметры являются константами. Для двумерного случая, в декартовой системе координат, определяющая система уравнений теории упругости выглядит

следующим образом [21]:

д /л ^ ч д л д

д?" - (Л + 2ц) дХи - Хду"

д д д -Лд~хи - (Л + 2ц) дуУ

д

а?*»-ц( дХ' + -и)

ду'

д д д Р о <и т; (хх т; (ху

сЛ дх ду д д РЖ" - дХаху - дуауу

0 0 0 0 0

(1.3)

Приведенная система является гиперболической и записана в переменных скорость-напряжение. Приведем матричное представление:

дя%

д

Р + Д + Д = 0

+ Ард о + Дрд о °

д х

д

(1.4)

где ( = ((7хх,ауу,(гху,и,у)

А =

-^рд

Врд

0 0 0 -(Л + 2ц) 0

0 0 0 - Л 0

0 0 0 0

-1/р 0 0 0 0

0 0 -1/ 0 0

00 0 0 - Л

00 0 0 - ( Л + 2ц)

00 0 0

00 -1/ 0 0

\0 -1/р 0 0 0

/

(1.5)

(1.6)

/

Собственные значения равны:

51 = - Ср, в2 = - с8, вз = 0, Й4 = С8, в5 = Ср

(1.7)

Ср

/

Л + 2ц Р 1

с. = ., * р

(1.8)

Матрица, составленная из собственных векторов, соответствующих собствен-

ным значениям й! — й 5.

пА =

( А + 2рпх2 —2\тхпу

2 [1,пх пу

У

А + 2цп 2

У

2 ЦПхПу р(пх2 — Пу2) —ПхПу ц(пх2 — Пу2) 2цПхП.

пу

пх

\

пх р пу р

ПуСа Пх.С.Ч

Ох'Ъу 0 0

—2¡тхпу А + 2рпх2 \

2 цпхпу

А + 2цп 2

х пу

пу . пх .

пх р пу р

/

(1.9)

Для трехмерного случая, система уравнений теории упругости выглядит следующим образом [22]:

' д д д д т^хх — (А + 2ц)—и — — \—Ш

сЯ ох оу ох

д д д д

д д д д ^гг — Л—и — — (А + 2д)—Ш сЛ ох оу ох

д д д Ж'ху — м ^ +

д . д д , - 1А^V + щ')

д . д д , ^хг — М( + —Ш)

дх д_

д~хауг

д рти д

рту д

рдгШ

т

д

о &хх

ОХ д_ ОХ

и ху

д_

ду°ху д_

дуауу д

—

& х г

дх

ду

_д_ дх

Огг =

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Приведем матричное представление системы:

дЯр + . дОд + я дОд + Арч дх + ду

Ы

р

дО*

дх

= 0,

(1.10)

(1.11)

2

2

где О = (а

хх 5 ауу 1 агг 1 аху 1

/ 0 0 0 0 0 0 — (Л + 21 0 0

0 0 0 0 0 0 - Л 0 0

0 0 0 0 0 0 - Л 0 0

0 0 0 0 0 0 0 -1 0

А = -ГLpq 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 - 1

— 1/Р 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 — 1/р 0 0 0 0 0

V 0 0 0 0 0 — 1/Р 0 0 0

/0 0 0 0 0 0 0 - Л 0 ^

0 0 0 0 0 0 0 — (Л + 21) 0

0 0 0 0 0 0 0 - Л 0

0 0 0 0 0 0 —1 0 0

Врд 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 — 1/Р 0 0 0 0 0

0 —1/9 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 — 1/ 0 0 0 0)

0 0 0 00 0 0 0 - Л \

0 0 0 00 0 0 0 - Л

0 0 0 00 0 0 0 — (Л + 21)

0 0 0 00 0 0 0 0

г = ^ypq 0 0 0 00 0 0 - 1 0

0 0 0 00 0 - 1 0 0

0 0 0 00 — 1/Р 0 0 0

0 0 0 0 —1/р 0 0 0 0

0 0— -1/Р 00 0 0 0 0 /

Собственные значения равны:

-§1 в2 = —С 1 5 3 = ~С-а1 -§4 = 01 «Б = 01

56 = 0, йт = С-а1 5 8 = С-а1 59 Ср

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

Выражения для скоростей распространения р и s волн:

Ср

/

Л +

Р 1

М

С, = Л I -р

(1.16)

Запишем явным образом матрицу, составленную из собственных вектором, соответствующих собственным значениям й! — й д.

/ \ +9// 0 0000 0 0 \ +9//\

пА =

npq

\

+ 2м 0 0 0 0 0 0 0 Л + 2

Л 0 0 0 1 0 0 0 Л

Л 0 0 0 0 1 0 0 Л

0 М 0 0 0 0 0 М 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 М 0 0 0 М 0 0

Ср 0 0 0 0 0 0 0 С-р

0 cs 0 0 0 0 0 - Cs 0

0 0 cs 0 0 0 - Cs 0 0

/

(1.17)

1.2 Численный метод для решения системы уравнений упругости

Для построения численной схемы введем несколько ограничений, в рамках которых будут рассматриваться задачи. Представленные далее вычисления проводились на треугольной (в 3D случае - тетраэдральной) сетке. Все коэффициенты приведенных ранее матриц являются постоянными в рамках элемента расчетной сетки.

Для каждого элемента построим локальную систему координат (£,г][,£]) в которой оси координат совпадают с тремя ребрами тетраэдра, как отображено на рис 1.1. Здесь и далее в [квадратных скобках] в формулах будем обозначать часть, специфичную для трехмерного случая. Зададим формулы перехода из глобальной системы координат в локальную (так будем называть систему связанную с элементом) (£,г][,£]) следующими формулами:

£ = |J| [(хзШ - Ххуз) + х{уз - ш) + У(хЛ - x3)L (1.18)

V = Щ [(х1У2 - Х2У1) + х(Ух - У2) + У(Х2 - Х^ (1.19)

Рисунок 1.1 Переход из глобальной (слева) в локальную систему (справа

координат

1 31 = (Х2 — Х!)(у3 — У!) — (Хз — Х!)( У2 — У!) • X = X! + (Х2 — Х!)^ + (Хз — Х1)Г],

У = У! + (У2 — + (Уз — У!)гп

где х;,у; - координаты вершин ячеек в глобальной системе. В трехмерном случае:

£ = Щ М У 4 *з — УзгА) + Хз( У!ХА — уАХ! ) + ХА( Уз г! — У!Хз) +

(У!( г3 — + Уз( ¿4 — %!) + У4( — ^з))х+ (Х!( г4 — Хз) + Хз( г! — 24) + Х4( гз — г!))у+ (Х!( Уз — У 4) + Хз( У4 — У!) + ХЛ( У! — Уз))Z},

(1.20) (1.21)

(1.22)

1 = Щ \у!(%4%2 — Х2г4) + У2(Х!*4 — + У4(Х2%! — Х^2) +

(ш(^4 — ^2) + У2(?! — ч) + У 4 (%2 — гг) )х+ (х! (г2 — Х4) + Х'2 (^ — х{)+ Х4( г! — Х2))у+ (Х!( у 4 — У 2) + Х2( У! — У4) + Х4( У2 — Ш))4

(1.25)

С = Щ [^\{хзУ2 - Х2У3) + г2(Х1Уз - ХзУ\) + г3(Х2У1 - ХЛУ2) +

(ш(^2 - 2з) + У 2(2з - х{) + Уз(21 - Х2))х+ (1.24)

(хг{г3 - Х2) + Х2(- г3) + Хз(^ - ^))у+ (х1 (У2 - У з) + Х2 (Уз - У1) + Хз( У1 - У2))z}, I | = Хг(у2(24 - г3) + Уз(22 - 24) + у±(2з - 22)) + Х'2(Уг(- 24) + уз(24 - х{) + у±(- 23)) + Хз( Уг( 24 - 22) + У 2 (21 - 24) + У4( 22 - 2Х)) + Х4( Ш( ^2 - 2з) + У2 (¿3 - 2х) + уз( ^ - Х2)) , Х = Х1 + (Х2 - Х1+ (Хз - Х1)т] + (Х4 - Х1)(,

У = У1 + (У2 - У1 к + (Уз - У1)Г] + (У4 - У1)С, (1-26)

2 = г1 + (22 - 21+ (гз - 21)г] + (Х4 - Х1)С,, где хг,у1,- координаты вершин ячеек в глобальной системе.

Численное решение Qp в рамках одного элемента расчетной сетки будем искать в виде разложения по пространственно-зависимому базису полиномов ,г][,С}) степени не выше коэффициентов зависимых от времени С^Рр!1\ то есть:

( дгХа ,ч[,а«) = ( ^ Ьтм м,<; ]) (1.27)

В качестве базиса Ф^^,т][,£]) выбиралась ортогональная система функций. В результате подстановки решения и интегрирования по объему каждой ячейки получим следующую запись для матричного представления системы:

/гм Ф ^ + /гм Ф + ^^Ъ) " = 0 ^

На границах ячеек численное решение может претерпевать разрыв. Для описания процессов взаимодействия между ячейками вводится функция потока Расчет потока удобнее производить в системе координат, связанной с плоскостью грани и нормали к ней, как показано на рис 1.2.

Для построения указанной системы в трехмерном случае понадобится:

— Ввести вектор внешней нормали к грани ячейки п = (пх,пу ,пг)т

— Ввести два вектора лежащих в плоскости грани, сонаправленных с ребрами грани и исходящих из одной вершины. Обозначим их как

5 ( 8х1 $у 1 $ г ) И £ (%хч ^у ^ г ) •

Рисунок 1.2 Система координат связанная с гранью ячейки.

На основе этих векторов и будем строить оси координат. Матрица переводаТря вектора Qp из глобальной в систему координат связанную с гранью (обозначим вектор в этой системе как Q™) будет выглядеть для двумерного случая так:

Т =

/ 2 Пх 2 п;2 2пхпу 0 0 \

2 п; 2 пх 2пхпу 0 0

ПхПу пх Пу 22 пх — пу 0 0

0 0 0 пх -Пу

V 0 0 0 Пу Пх /

(1.29)

и для трехмерного:

Т =

/ 2 Пх х х ^ х 2 х^ х 2%х ^ х 0 0 0 \

2 Пу у у ^2ТПу 8 у 2 9 / уу у 0 0 0

2 щ й г 1 г 2Пг8 % 2 & г^ г 2пгЪ 2 0 0 0

ПуПх у х у х Пу^х + Пх^у 3 у^ х + Пу^х + Пх^у 0 0 0

ПхПу 8 г8 у у Пг$у + Пу$г $ у + Зу^ г Пг^у + 0 0 0

ПЬ & х х Пг$х + Пх$г & х + г Пг^х + Пх^г 0 0 0

0 0 0 0 0 0 Пх х х

0 0 0 0 0 0 Пу у у

V 0 0 0 0 0 0 пг яг и /

Переход между системами координат записывается так:

(1.30)

(1.31)

°р Тря°д •

С учетом последних двух формул можно записать выражение (1.28) следующим образом.

1г (т) (

дф

дх

г фщ,

,)г (т) дЪ д Фг

(IV + д Фг

'дг (т)

ФкРьр(Ш -

})dV = 0.

д

д

)

(1.32)

Обозначим через 0^аппроксимацию решения элемента т на плоскость

А (т,- ^(т,')

грани, а через ((^ Ф^ аппроксимацию решения соседнего элемента т по грани Обозначим абсолютное значение якобиана матрицы С учетом

приведенных ранее значений собственных чисел и векторов можно получить следующее выражение:

I = < |л,ж< )-1 (1.зз)

, где |Лр8| - диагональная матрица с ненулевыми элементами

(| 1, 15 21, 15 з|,| 5 41, 15 51) ДЛЯ ДВумерНОГО Случая, И (| 5 2|,| 5 31,| 5 41, 15 б|,|«б|,|«71, 15 в|,| 5 9|) для трехмерного.

Численный поток через одну грань будем задавать следующим образом:

р ь = 1 т 1 р = 2ТР1

+1г

А[т) + Ат(тГ8 )-10 4т) - Ат )|) (Тг&)-1о у:тз )фГ

-1А (т)Ф(т) +

в1 Ф1 + -1А (т3 )ъ(т3 )

(1.34)

Останавливаться на выводе этого соотношения не будем 1.34, заметим только, что приведенная формула строго верна только для случая равенства парамеров среды по обе стороны от грани ячейки. В остальных рассматриваемых случаях ее можно считать приближенной.

Подставим значение численного потока в (1.32) получим следующее уравнение для двумерного:

^ I,,Ф Ф "+

+Е1 ^ > + Арч) т,)-1^ / ф^Ф^+

. 2 4 7 МдГ(т)),

+

О'РЧ V Чг 1 Чг \ I У г в) в I / к I

=1 2 У ] ЦдГ(т) )3

Е 1 (Ар) -\А^\) Т^я,Г) / фкт)ф(Г^-

24 ; Адг(т)),

- АР^^ ) I (т) ^ ^ ^ -

- Вр^ I дфкФ^У _ 0

41 7г(т) ду

и для трехмерного случая:

д А(т)

д Р

'Г(т)

-МГ I ФкФ16У+

4 1 г

+ Е1 (Ар) + 1АГН) (т-1яЧ Фкгщ

2 4 ; Ад г(т))

4

+ Е Н №1 - \А1}Г^ (Т^р> / Ф^Ф^^М-

. 2 К 7 ЬдГ (т)),

^5' /г(т) дфгФ- -Вр^?(т) ^

- °р* ?Чг Л Ф " _0

Последнее записано в глобальной системе координат. Для оптимизации вычислений имеет смысл переписать уравнение в систему координат (£,?],(), в которой три ребра тетраэдров, которым представлены элементы ячейки, совпадают с осями координат.

<1х (1у [(Iг} _ \J\dlI ¿г] [(!(}, (1.37)

1\ [ §1 ди\ [ А.

дх | _ I дх дх | I д£

д _ д^ дп д

(д1 _ I I ! . (1-38)

V ду ) \ ду ду ) \ дг] )

/ д \

д х

д ду

/ д1 да К\

дх дх дх

да К

ду ду ду

/д-л

д

д дц

\ж)

(1.39)

\ А К дл ос

\ дх ' \ дх дх дх '

Далее будем обозначать через Г^ элемент расчетной сетки (треугольник,тетраэдр) в указанной системе (в отличие от Г(т) в глобальной системе). С учетом приведенных соотношений для локальной и глобальной систем координат можно переписать 1.36 в следующем виде: 2Б:

д^орт V Фг ф^+

3 1

+Етр,1 (А^т) + ^^ (т^о^^р-и

ЗБ:

3=1

=1 2

ц

ы

? V |

дФ

Ф -

- в$V |

'Ге

1гЕ дС

дфы Ф^г] = 0, д

дортVФкФ&^к+

4 1

=1 2

=1 2

1

ы

-вио ?)^ | /

дФ ы

Ф^^фС, -

дФ

/Ге дг1 дФ ы

-Ср^И / ^Ф^<мс = 0,

Те

д

д

= Лр9дх + Врчду [+Срядг},

д д

д

В™ = Арчдх +Врчду [+Срядг}'

(1.40)

(1.41)

(1.42)

(1.43)

Сп = § + В„ ^ [+С„ §}. (1.44)

Приведем значения величин, которые возможно рассчитать аналитически единожды, и тем самым существенно увеличить производительность метода:

Мы = ( ФкФ^фС], (1.45)

¿гЕ

Кк = 1г ^Ф^[^], (1'46)

Ч = 1Е ^т, (1.47)

л ( дФк

К = ¡г д^Ф^^С]. (1.48)

Рассмотрим вычисление потоков , упомянутых в 1.41. В трехмерном

случае для вычисления значения потока через грань элемента производится па-раметразиция грани. Вводится система координат (х,т) связанная с плоскостью грани, и аналогичная система координат для смежного элемента (х,т).

= [ Фк '(Х,т)) Ф1 \х,т)) йхйт, V! <з< 4,

Ге ); 4 7 4 7

= [ Фк (х,т)) Ф1 (ёЧх{к)(х,т)Мн)(х,т))) <1х<1т, (1-49)

ге )г

VI <i< 4, VI <?:< з,

где ^- вектор пространственных координат, индексы используются для

обозначения порядковой нумерации граней и взаимной ориентации со смежными элементами.

Далее уравнение (1.41) численно интегрируется методом Рунге-Кутты. В рассматриваемой задаче для ячеек, находящихся на границе расчетной области задавались следующие потоки: граничное условие поглощения:

РрМтЬ = 2 Т„ (А™ + \А<™ '\)(ТГ. Г^ФТ' (1-50)

условие задания свободной границы:

РрАЬаогЬ = \ Тр(1 (А™ + \Аы\)(Тга)-1фщр !

2

+2Тр<(АР - \Ар'\)тга(т1Л)-1№Щт\

(1.51)

где ГГ5 = (1 г ад (-1,1,1, — 1,1, — 1,1,1,1). - диагональная матрица с указанными ненулевыми элементами.

Приведем одну из одномерных схемы использовавшиеся на ряду с двумерной для верификации пространственной реализации. Для задания потока использовалась консервативная монотонная схема Куринти Изиксони Риси. Для одномерного случая система выглядит следующим образом:

д Л д

^хх - Л—и = 0

dt дх

д д 0 Р^~и — —ахх = 0

(1.52)

д д х

В матричном представлении:

дип . ди,

где U = (ахх,и).

дГ + А" ^ = (L53)

0 —Л

—1/р 0

Собственные значения равны:

( 0 —Л)

V—1/р 0 )

АРЧ = , , , , (i-54)

Si = — ср, s 2 = Ср, (1.55)

Выражения для скорости распространения волны:

ср = ^ (1.56)

Матрица, составленная из собственных векторов, соответствующих собствен-i — 2

< = i л i (l5?)

{х л)

у ТЬхС-р ПхСр I

Разобьем расчетную область на равномерную сетку {Xj}, с расстоянием между центрами ячеек сетки h. Обозначим поток па границе ячеек j и j+1 через F(Ujl,Uj+i). Значение на следующем временном шаге п+1:

Для задания потока введем величину и* (ип ,ип+1)

и^ЩР^) = Щ оргр = - ^ (159)

Хр <0 Хр<0

где г р есть р-тый собственный вектор матрицы А и а = (ЯрАч)-1(и™+х — и™), а КАЧ - матрица составленная из собственных векторов матрицы А. Поток на правой границе ячейки:

Р (ипзиз+1) = аи*(ипзиз+1) =

Аип3 + Е <р\гр = АЩ+1 — <рХрГр =

\р<0 Хр>0

(1.60)

= Аип + А—(ип+1 — ип) = Аип+1 — А+ (ип+1 — ип)

На левой границе ячейки:

Р (ип3—1,ип3) = Аип3 — А+(ип3 — ип3—\), (1.61)

Значение на следующем временном шаге:

к

иг1 = ип, — - (р (ип3,ип3+1) — р (ип3—1,ип3)) =

к

= ип3 — - (А—(ип3+1 — ип3) + А+(ип3 — ип—))

(1.62)

к

Введя обозначение

\А\ = А+ — А— = П\А\Я—1, (1.63)

где \Л\ = ¿гад(\А1\,...,\Ат\). Преобразуем выражения для потока

Р (ип3,ип3+1) = \а(Цп3 + ип+1) + 2(А— — А+)(ип3+1 — ип3) (1.64)

Получим окончательное выражение, по которому будем производить численные расчеты:

им1 = и*, — 2кА(ип)+1 — Ц*,—1) + ^\А (ипН1 — 2ип! + и*,—1) (1.65)

Альтернативной верификационной реализацией послужила одномерная версия уравнения акустики [23]. Приведем используемые в расчетах формулы и выражения.

д д —р + К—и = 0

—д (1.66)

р—и + —р = 0 сЯ дх

В матричном представлении:

dt дх

где U = (р,и).

dUP + = о, (1.67)

Индекс 1 в матрице А подчеркивает корректность выражений при различных параметрах среды в соседних ячейках. Собственные значения равны:

51 = — Сг, 5 2 = сг, (1.69)

Выражение для скорости распространения волны:

v7t

Рг

Матрица составленная из собственных векторов Аг:

Q =W — (1.70)

* = ( г2 ) = (i^ уЪ) ■ (L71)

Запишем условие непрерывности для задачи Римана на границе ячеек j-1

и j:

и— + С г)—1 = Щ — с?г?, (1.72)

отсюда получим выражение для коэффициентов:

а) = (-АР/Рз + сзАи)/( сз-1/Рз + сз/ Рз а) = (-Ар/Рз-i + Cj-iAu)/( Cj-i/р3 + Cj / р3-i),

где Ар = pj — pj-i, Аи = Uj — Uj-\.

Запишем выражения для потоков через грани ячейки слева (F~) и справа(^+):

F— = Л1а1г1_1, ' + ' 2 2 2 (1-74)

F + = \¿a2r2.

Выражение для вычисления значения на следующем временном шаге будет выглядеть так:

UTi = u1 - £(F+ + F+) (L75)

Окончательно:

ип+1 = ип — — (Рз — Рз—1)/Рз—1 + сз—1 (из — из—1) ( сз | +

* 3 3 сз—1/Рз + сз/Рз—1 \!/Рз) , ч

(1.76)

+(—с) —(Рз+1 — Рз)/Рз+1 + сз+1(из+1 — изН — С3 \) 3 сз/Рз+1 + сз+1 /Рз I !/Рз .

1.3 Расчет параметров на контактных границах

Получим определяющие соотношения для контактного условия скольжения, лежащего в основе модели бесконечно тонкой флюидонасыщенной трещины для 2D постановки. Соотношения для любых контактных условий (полное слипание, скольжение, кулоновское сухое трение) для разрывного метода Га-лёркина сводятся в конечном итоге к решению одномерной задачи Римана при учёте дополнительных ограничений. В частности, для скольжения - это непрерывность нормальной составляющей скорости и отсутствие сдвиговых напряжений на контакте. Опуская подробности, приведём краткое описание численного метода и получим выражение для численного потока для условия скольжения в двумерном случае, чего ранее не встречалось.

Система уравнений упругости в матричном виде в двумерном случае для

изотропного пространства в переменных напряжения и скорости имеет вид:

—ир + —ич + В —ич {

Ж + Ар«~дхс +Вр* Щ = 0, (т)

и

где и— вектор из 5 неизвестных переменных и = (ахх,ауу,аху,ух,уу)1. Здесь далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Собственные значения матриц Арч и Врч таковы:

51 = — Ср, в2 = — с3, вз = 0, = с3, в5 = Ср.

Т( т'

полагаем, что матрицы Аря и Вря постоянны внутри Т(т). Решение в треугольнике Т (т)

аппроксимируется линейной комбинацией из 1 ( N + + 2) не зависящих от времени полиномиальных функций Ф к(х,у) степени не выше N образующих базис с носителем

Т( т)

и зависящих от времени коэффициентов:

4т' ®: (иг°)р (ху,1)=ирт 'т^у) (т

После умножения 1.77 на базисную функцию Ф&, проинтегрировав по треугольнику Т(т) получаем:

/ ф ^у + / Ф, (Ап+ ^Ъу = 0. (1.79)

Утм дЪ ]Т(ш) \ ах ау )

Далее, применив формулу интегрирования по частям, получаем:

Ф , ^ <1У + £ / Ф^йв—

(

д (ин)1

Мт) П д ' и](дТ(т)I (1.80)

/т„ (дфХ,А-+ 6У = 0

Второе слагаемое появилось ввиду разрывности решения и^ и матриц Арф Врч на границе треугольника Т(т) в общем случае. Здесь - численный поток через j-e ребро треугольника в глобальной системе координат, а через [дТ(т)). обозначены стороны треугольника Т (т) , 3 = 1,2,3 (см. рис. 1.3).

5/

Рисунок 1.3 Элемент расчётной сетки

Пусть Тщ - матрица перехода в систему координат X'У (преобразование

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ворощук Денис Николаевич, 2017 год

Список литературы

1. Virieux Jean, Calandra Henri, Plessix Rene-Edouard. A review of the spectral, pseudo-spectral, Finite-difference and Finite-element modelling techniques for geophysical imaging // Geophysical Prospecting. — 2011. — Vol. 59, no. 5. — Pp. 794—813.

2. В. Фаворская А. Разработка численных методов для моделирования распространения упругих волн в неоднородных средах // Разработка численных методов для моделирования распространения упругих волн в неоднородных средах: дне. канд. ф.-м. наук: 05.13.18 защищена 22.10.2015: утв. 22.10.2015. - М.: МФТИ, 2015. - С. 171.

3. Левянт В. В., Пет,ров И. В., Квасов И. Е. Численное моделирование волнового отклика от субвертикальных макротрещин, вероятных флюидопро-водягцих каналов. // Технологии сейсморазведки. — М., 2011. — Т. 4. — С. 39-59.

4. Исследование устойчивости образования фронта рассеянных обменных волн от зоны макротрещин / В. Б. Левянт, И. Б. Петров, М. В. Муратов, Бы ко С. А. // Технологии сейсморазведки. — М., 2013. — Т. 1. — С. 32-45.

5. Численное ЗБ-моделирование объемного волнового отклика от систем вертикальных макротрещин. / В. Б. Левянт, И. Б. Петров, В.И. Голубев, М. В. Муратов // Технологии сейсморазведки. — М., 2014. — Т. 2.

С. 5-23.

6. Оценка методами математического и физического моделирования возможности использования обменных рассеянных волн для прямого обнаружения и характеристики систем макротрещин. / Н. А. Караев, В. Б. Левянт, И. Б. Петров и др. // Технологии сейсморазведки. — М., 2015. — Т. 1. — С. 22-30.

7. Левянт В. В., Квасов И. Е., Петров И. Б. Оценка возможности обнаружения и картирования зон развития мезотрещин в пластах при использовании обменных рассеянных волн. // Технологии сейсморазведки. — М., 2016. — Т. 1. — С. 14-30.

8. Левянт В. Б., Пет,ров И. Б., Панкратов С. А. Исследование характеристик продольных и обменных волн отклика обратного рассеяния от зон трегцинноватого коллектора. // Технологии сейсморазведки. — М., 2009. _ т. 2. - С. 4-11.

9. Квасов И.Е. Левянт В.Б. Петров И.Б. Решение прямых задач сейсморазведки в трещинноватых средах методом сеточно-характеристического моделирования. — ООО "ЕАГЕ Геомодель Москва, 2016.

10. Исследование сейсмического отклика от кластера субвертикальных макро-трегцин разрывным методом Галеркина / Д. И. Ворощук и др. // Труды МФТИ - Научно-технический журнал. — Т. 7. — 2015. — С. 49-58.

11. Ворощук, Д.Н. Исследование 3D сейсмического отклика от вертикального геологического разлома разрывным методом Галёркина / Д.Н. Ворощук, В.А. Миряха, И.Б. Петров // Труды МФТИ - Научно-технический журнал. _ т. 8. - 2016. - С. 54-64.

12. Discontinuous Galerkin method for wave propagation in elastic media with in-homogeneous inclusions / D. N. Voroshchuk, V. A. Miryaha, I. B. Petrov, San-nikov A. V. // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - Vol. 31. - 2016. - Pp. 41-50.

13. Ворощук, Д.Н. Об использовании разрывного метода Галеркина для решения задач сейсморазведки / Д.Н. Ворощук, В.А. Миряха, А.В. Санников // Сборник научных трудов «Моделирование процессов обработки информации», _ М_. МФТИ, 2014. - С. 11-17.

14. Ворощук, Д.Н. Применение разрывного метода Галёркина высокого порядка точности / Д.Н. Ворощук, В.А. Миряха, А.В. Санников // Сборник научных трудов «Математическое моделирование информационных систем». - М.: МФТИ, 2015. - С. 13-15.

16. Ворощук, Д.Н. Трехмерная реализация разрывного метода Галеркина на примере задачи распространения волн в гетерогенных средах / Д.Н. Ворощук // Сборник научных трудов «Модели и методы обработки информации», _ М_: МФТИ, 2016. - С. 8-11.

17. Ворощук, Д. Н. Модификации трехмерной реализации разрывного метода Галёркина при моделировании волновых процессов // Тезисы 58-й научной конференции МФТИ. — М.: МФТИ, 2015. -Зс,- URL: http: //conf 58. mipt.ru/static/reports_pdf/224.pdf.

18. Ворощук, Д. H. Примерение 3D реализации Разрывного метода Галеркина в прямых задачах сейсмической разведки/Д.Н. Ворощук // Сборник научных публикаций X международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки». — Санкт-Петербург: Научный журнал «Глобус», 2016. — С. 10-13.

19. Ворощук, Д. Н. Численное моделирование волновых процессов разрывным методом Галёркина на гибридной сетке /Д.Н. Ворощук // Сборник научных публикаций VIII международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки». — Санкт-Петербург: Научный журнал «Глобус», 2017. — С. 46-52.

20. В. Новацкий. Теория Упругости. — Издательство "МИР Москва, 1975.

21. Käser Martin, Dumbs er Michael. An arbitrary high-order discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes - I. The two-dimensional isotropic case with external source terms // Geophysical Journal International. - 2006. - Vol. 166, no. 2. - Pp. 855-877. - URL: http://dx.doi.org/10.1111/j.1365-246X.2006.03051.x

22. Dumbser M. Käser M. An Arbitrary High Order Discontinuous Galerkin Method for Elastic Waves on Unstructured Meshes II: The ThreeDimension-al Isotropic Case // Geophysical Journal International. — 2007. — Vol. 171, no. 3. - P. 1324.

24. Miry aha V. ASannikov A. VPet/rov I. B. Discontinuous Galerkin method for numerical simulation of dynamic processes in solids // Matem. Mod. — 2015.

- T. 27, № 3. - C. 96-108.

25. Рурвич И.И. Сейсмическая разведка. — Гос. научно-тех. изд-во нефтяной и горнотопливной лит-ры, 1960. — URL: https://books.google.ru/books? i d=9 apN АА АА YA A J.

26. Е. Backus G. Long-wave elastic anisotropy producted by horizontal layering // J. Geophys. Res. - 1962. - Vol. 67. - Pp. 4427-4440.

27. Thomsen Leon. Elastic anisotropy due to aligned cracks in porous rock // Geophysical Prospecting. — 1995. — Vol. 43. — Pp. 805-829.

28. Schoenberg Michael, Sayers Colin M. Seismic anisotropy of fractured rock // Geophysics. - 1995. - Vol. 60, no. 1. - Pp. 204-211.

29. Hudson J. A., Pointer Т., E. Liu. Effective-medium theories for fluid-saturated materials with aligned cracks // Geophysical Prospecting. — 2001. — Vol. 49.

- Pp. 509-522.

30. Hsu C. J. Schoenberg M. Elastic waves through a simulated fractured medium // Geophysics. - 1993. - Vol. 58. - Pp. 964-977.

31. Numerical simulation of 3D elastic wave scattering off a layer containing parallel periodic fractures. — 72nd Ann. Int. Ntg. SEG. Expanded Abstracts, 2002.

32. Vlastos E., Main I. G., Li X. Y. Numerical simulation of wave propagation in media with discrete distribution of fractures: effects of fracture size and spatial distributions // Geophysics J. Int. - 2003. - Vol. 152. - Pp. 649-668.

33. Spatial orientation and distribution of reservoir fractures from scattering energy / M. E. Willis, D. Burns, R. Rao et al. // Geophysics. - 2006. - Vol. 71. -Pp. 043-051.

35. Левянт В.Б. Петров П.Б. Квасов П.Е. Численное моделирование волнового отклика от субвертикальных макротрещин, вероятных флюидонасыщенных каналов // Технологии сейсморазведки. — 2011. _ по. 4. _ Pp. 41 01.

36. Фролова Е.Н. Караев П.А. Анисимов А.А. Модельные исследования дифракции продольной волны на трещине // Мет,оды, разведочной геофизики. — 1986. — Pp. 83-92.

37. Караев Н.А. Козлов Е.А. Караев Г.Н. и др. Физическое моделирование порово-трещинных объектов // Технологии, сейсморазведки. — 2008. — по. 3. - Pp. 81-88.

38. Дорофеева Е.В. Тектоническая трещеноватость горных пород и условия формирования трещинных колекторов нефти и газа. — М.:Недра, 1986.

39. Козлов Е.А. Модели среды в разведочной сейсмологии. — Тверь: ГЕРС, 2006.

40. Поздняков В.А. Сафонов Д.В. Шиликов В.В. Прогноз распространения зон трещеноватости по данным 3D сейсморазведки в пределах Юрубчено-Тохомской зоны // Технологии, сейсморазведки. — 2009. — no. 1. - Pp. 85-90.

41. Левянт В.Б. Хромова И.Ю. Козлов Е.А. и др. Методические рекомендации по использованию данных сейсморазведки для подсчета запасов углеводородов в условиях карбонатных пород с пористостью трещинно-кавернозного типа. — М., 2010.

42. Караев Н.А. Левянт В.Б. Петров И.Б. и др. Оценка методами математического и физического моделирования возможности использования обменных рассеянных волн для прямого обнаружения и характеристики систем макротрещин // Технологии, сейсморазведки. — 2015. - no. 1. - Pp. 22-36.

43. Kvasov I.E., Petrov I.В. Numerical study of the anisotropy of wave responses from a fractured reservoir using the grid-characteristic method // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2012. — Vol. 4, no. 3. — Pp. 336-343. — URL: http://dx.doi.org/10.1134/S2070048212030064.

44. Leviant V.B. Petrov I.E., M.V. Muratov. Numerical simulation of wave responses from subvertical macrofractures system // Seismic Technologies. —

2012. A" 1. 0. 5-21.

45. M. V. Muratov I. B. Petrov. Simulation of wave responses from subvertical macrofracture systems using grid-characteristic method // Matem. Mod. —

2013. - T. 25, № 3. - C. 89-104.

46. Leviant V.B. Petrov I.B. Golubev V.I., M.V. Muratov. 3D modelling of seismic responses from large vertical fractures // Seismic Technologies. — 2012. — № 1. _ c. 5-21.

47. Shewchuk Jonathan R. A Two-Dimensional Quality Mesh Generator and Delau-nay Triangulator. — https://www.cs.cmu.edu/~quake/triangle.html.

48. Karypis George. METIS, Serial graph partitioninge. — http://www.cs.umn. edu/~karypis/metis. — 1998.

49. Monitoring the state of the moving train by use of high performance systems and modern computation methods / I.B. Petrov, A.V. Favorskaya, N.I. Khokhlov et al. // Mathematical Models and Computer Simulations. — 2015. - Vol. 7, no. 1. - Pp. 51-61. - URL: http://dx.doi.org/10.1134/ S2070048215010081.

50. Hesthaven J.S., Warburton T. Nodal Discontinuous Galerkin Methods: Algorithms, Analysis, and Applications. Texts in Applied Mathematics. — Springer, 2008.

51. M. E. Ladonkina O. A. Neklyudova, Tishkin V. F. Application of the RKDG method for gas dynamics problems // Matem. Mod. — 2014. — T. 26, A" 1. C. 17-32.

52. LeVeque R.J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge Texts in Applied Mathematics. — Cambridge University Press, 2002.

53. Hastings Frank D, Schneider John B, Broschat Shira L. Application of the perfectly matched layer (PML) absorbing boundary conditions to elastic wave propagation // Journal of Acoustical Society of America. — 1996. — Vol. 100, no. November. — Pp. 3061-3069.

54. A high-order discontinuous Galerkin method for wave propagation through coupled elastic-acoustic media / Lucas C. Wilcox, Georg Stadler, Carsten Bursted-de, Omar Ghattas // Journal of Computational Physics. — 2010. — Vol. 229, no. 24. - Pp. 9373-9396. - URL: http://dx.doi .org/10.1016/j .jcp.2010. 09.008.

55. Saenger Erik H., Shapiro Serge a. Effective velocities in fractured media: A numerical study using the rotated staggered finite-difference grid // Geophysical Prospecting. - 2002. - Vol. 50, no. 2. - Pp. 183-194.

56. Saenger Erik H., Kriiger Oliver S., Shapiro Serge a. Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments // Geophysical Prospecting. - 2004. - Vol. 52, no. 3. - Pp. 183-195.

57. Левянт В.Б. Хромова И.Ю. Козлов Е.А. и др. Методологические рекомендации по использованию данных сейсмо-разведки для подсчета запасов углеводородов в условиях карбонатных пород с пористостью трегцинно-кавернового типа. — ОАО ЦГЭ, 2010.

58. Е.А Козлов. Модели среды в разведочной сейсмологии. — Тверь: ГЕРС, 2006.

59. Левянт В. В., Пет,ров П. В., Муратов М. В. Численное моделирование волновых откликов от системы (кластера) субвертикальных макротрещин. // Технологии сейсморазведки. — М., 2012. — Т. 1. — С. 5-21.

Список рисунков

1.1 Переход из глобальной (слева) в локальную систему (справа) координат....................................................................15

1.2 Система координат связанная с гранью ячейки..........................17

1.3 Элемент расчётной сетки..................................................26

1.4 Элемент расчётной сетки..................................................27

1.5 Решение одномерной задачи Римана......................................27

2.1 Переход из глобальной (слева) в локальную систему (справа) координат для гексаэдрального элемента сетки ........................34

2.2 Переход из глобальной (слева) в локальную систему (справа) координат для пирамидального элемента сетки ........................35

2.3 Структурированная тетраэдральная сетки..............................37

2.4 Структурированная гексаэдральная сетка ..............................38

2.5 Структурированная пирамидальная сетка ..............................38

2.6 Распространение р-волны Т=0............................................39

2.7 Распространение р-волны Т=8.333 ........................................40

2.8 Распространение р-волны т=16.666 ......................................40

2.9 Распространение р-волны Т 25..........................................41

2.10 Распространение р-волны Т=33.333 ......................................41

2.11 Распространение р-волны Т=41.ббб......................................42

2.12 Распространение р-волны Т 50..........................................42

2.13 Распространение р-волны Т=58.333 ......................................43

2.14 Распространение р-волны Т=66.666 ......................................43

3.1 Геометрические параметры модели ......................................45

3.2 Пример среза расчетной сетки в плоскости перпендикулярной разлому......................................................................46

3.3 Пример расчетной сетки ..................................................47

3.4 Распространение отклика от вертикального разлома (Т = 33) .... 47

3.5 Распространение отклика от вертикального разлома (Т = 63) .... 48

3.6 Распространение отклика от вертикального разлома (Т = 93) .... 48

3.7 Распространение отклика от вертикального разлома (Т = 123) .... 49

3.8 Распространение отклика от вертикального разлома (Т = 153) .... 49

3.9 Распространение отклика от вертикального разлома (Т = 183) .... 50

3.10 Распространение отклика от вертикального разлома (Т = 213) .... 50

3.11 Распространение отклика от вертикального разлома (Т = 243) .... 51

3.12 Распространение отклика от вертикального разлома (Т = 273) .... 51

3.13 Распространение отклика от вертикального разлома (Т = 303) .... 52

3.14 Распространение отклика от вертикального разлома (Т = 330) .... 52

3.15 Векторное поле скоростей..................................................53

3.16 Векторное поле скоростей на плоскости..................................53

4.1 Модель без границы раздела сред..........................................55

4.2 Модель с границей раздела сред ниже залегания коллектора..........55

4.3 Модель с границей раздела сред выше залегания коллектора..........56

4.4 Расположение трещин в кластере ........................................57

4.5 Пример построения расчётной неструктурированной сетки............57

4.6 Сейсмограммы для модели однородной изотропной среды (х составляющая)................................................................59

4.7 Сейсмограммы для модели однородной изотропной среды (у составляющая)................................................................60

4.8 Расчётные сейсмограммы для схемы без границы раздела сред (х составляющая)................................................................61

4.9 Расчётные сейсмограммы для схемы без границы раздела сред (у составляющая)................................................................62

4.10 Сейсмограммы расчетов при задании кластера второй моделью (х составляющая)................................................................63

4.11 Сейсмограммы расчетов при задании кластера второй моделью (у составляющая)................................................................64

4.12 Пример волновой картины для схемы без границы раздела сред для модели однородной изотропной среды....................................65

4.13 Пример волновой картины при задании кластера вторым методом с границей раздела сред ниже кластера....................................65

5.1 Пример схемы границы раздела сред....................................66

5.2 Пример схемы границы раздела сред в плоскости ху ..................67

5.3 Пример расчетной сетки ..................................................68

5.4 Срез волновой картины (Т = 13.4)........................................68

5.5 Срез волновой картины (Т = 15.07).......... ......... 69

5.6 Срез волновой картины (Т = 18.42).......... ......... 69

5.7 Срез волновой картины (Т = 21.77).......... ......... 70

5.8 Срез волновой картины (Т = 25.11).......... ......... 70

5.9 Срез волновой картины (Т = 28.47).......... ......... 71

5.10 Срез волновой картины (Т = 31.81).......... ......... 71

5.11 Срез волновой картины (Т = 35.16).......... ......... 72

5.12 Срез волновой картины (Т = 36.83).......... ......... 72

5.13 Срез волновой картины (Т = 38.51).......... ......... 73

5.14 Срез волновой картины (Т = 41.86).......... ......... 73

5.15 Срез волновой картины (Т = 45.21).......... ......... 74

5.16 Срез волновой картины (Т = 48.56).......... ......... 74

5.17 Срез волновой картины (Т = 51.91).......... ......... 75

5.18 Срез волновой картины (Т = 55.26).......... ......... 75

5.19 Срез волновой картины (Т = 56.93).......... ......... 76

5.20 Срез волновой картины (Т = 60.28).......... ......... 76

5.21 Срез волновой картины (Т = 61.95).......... ......... 77

5.22 Срез волновой картины (Т = 65.3)........... ......... 77

5.23 Срез волновой картины (Т = 68.65).......... ......... 78

5.24 Срез волновой картины (Т = 72)............ ......... 78

6.1 Упрощенная диаграмма классов реализации численного метода ... 80

6.2 Упрощенная диаграмма классов модуля интегрирования по времени 80

6.3 Упрощенная диаграмма классов реализации расчетной сетки .... 81

6.4 Упрощенная диаграмма классов модуля интерпретации начального условия......................................................................82

6.5 Упрощенная диаграмма классов модуля базисных функций..........83

6.6 Упрощенная диаграмма классов модуля настройки сетки..............84

6.7 Упрощенная диаграмма классов модуля экспорта данных ............85

А.1 Расчётные сейсмограммы для схемы без границы раздела сред, при

задании трещинноватого кластера методом эффективной среды. . . 101

А.2 Расчётные сейсмограммы для схемы без границы раздела сред, при задании трещинноватого кластера последовательностью субвертикальных макротрещин......................102

А.З Расчётные сейсмограммы для схемы без границы раздела сред, при задании трещинноватого кластера суперпозицией эффективной

среды и последовательности субвертикальных макротрещин......102

А.4 Пример волновой картины для схемы без границы раздела сред,

при задании трешиноватого кластера методом эффективной среды. . 103 А.5 Пример волновой картины для схемы без границы раздела сред, при задании трешиноватого кластера последовательностью

субвертикальных макротрещин......................103

А.6 Пример волновой картины для схемы без границы раздела сред, при задании трешиноватого кластера суперпозицией эффективной

среды и последовательности субвертикальных макротрещин......104

А.7 Расчётные сейсмограммы расчетов для схемы соответствующей Рис. 4.2, при задании трешиноватого кластера методом

эффективной среды.............................104

А.8 Расчётные сейсмограммы расчетов для схемы соответствующей Рис. 4.2, при задании трешиноватого кластера

последовательностью субвертикальных макротрещин..........105

А.9 Расчётные сейсмограммы расчетов для схемы соответствующей Рис. 4.2, при задании трешиноватого кластера суперпозицией эффективной среды и последовательности субвертикальных

макротрещин................................105

А. 10 Пример волновой картины для схемы соответствующей Рис. 4.2,

при задании трешиноватого кластера методом эффективной среды. . 106 А. 11 Пример волновой картины для схемы соответствующей Рис. 4.2, при задании трешиноватого кластера последовательностью

субвертикальных макротрещин......................106

А.12 Пример волновой картины для схемы соответствующей Рис. 4.2, при задании трешиноватого кластера суперпозицией эффективной

среды и последовательности субвертикальных макротрещин......107

А. 13 Пример расчётной сейсмограммы горизонтальной (слева) и вертикальной (справа) составляющей скорости для схемы с геометрическими параметрами соответствующими Рис. 4.3 и

способом задания кластера методом эффективной среды.......107

А. 14 Пример волновой картины для схемы соответствующей Рис. 4.3,

при задании трещинноватого кластера методом эффективной среды. 108

А. 15 Пример волновой картины для схемы соответствующей Рис. 4.3, при задании трешиноватого кластера последовательностью

субвертикальных макротрещин......................108

А. 16 Пример волновой картины для схемы соответствующей Рис. 4.3,

при задании трещинноватого кластера суперпозицией эффективной среды и последовательности субвертикальных макротрещин......109

Список таблиц

1 Распределение точек тетраэдра по граням ..............................35

2 Распределение точек гексаэдра по граням................................35

3 Распределение точек пирамиды по граням..............................35

4 Преобразование координат на гранях тетраэдра........................35

5 Преобразование координат на гранях гексаэдра........................36

6 Преобразование координат на гранях пирамиды........................36

7 Преобразование координат на треугольной грани соседнего

элемента в зависимости от взаимной ориентации граней ..............36

8 Преобразование координат на прямоугольной грани соседнего элемента в зависимости от взаимной ориентации граней ..............37

9 Результаты теста на сходимость по сетке................................38

10 Значения массива Ь для метода Рунге-Кутты 12 порядка.......120

11 Значения массива с для метода Рунге-Кутты 12 порядка.......120

12 Значения массива Ь для метода Рунге-Кутты 8 порядка .......123

13 Значения массива с для метода Рунге-Кутты 8 порядка........123

Приложение А Изображения волновых картин и сейсмограмм

Рисунок А.1 Расчётные сейсмограммы для схемы без границы раздела сред при задании трещинноватого кластера методом эффективной среды.

Рисунок А.2 Расчётные сейсмограммы для схемы без границы раздела сред, при задании трещинноватого кластера последовательностью субвертикальных

макротрещин.

Рисунок А.З Расчётные сейсмограммы для схемы без границы раздела сред при задании трещинноватого кластера суперпозицией эффективной среды и последовательности субвертикальных макротрещин.

Рисунок А.4 Пример волновой картины для схемы без границы раздела сред, при задании трешиноватого кластера методом эффективной среды.

I I I } I I I Г I I I Г I I ( М I М I

Рисунок А.6 Пример волновой картины для схемы без границы раздела сред, при задании трешиноватого кластера суперпозицией эффективной среды и последовательности субвертикальных макротрещин.

Рисунок А.7 - Расчётные сейсмограммы расчетов для схемы соответствующей Рис. 4.2, при задании трешиноватого кластера методом эффективной среды.

Рисунок А.8 Расчётные сейсмограммы расчетов для схемы соответствующей Рис. 4.2, при задании трешиноватого кластера последовательностью субвертикальных макротрещин.

Рисунок А.9 Расчётные сейсмограммы расчетов для схемы соответствующей Рис. 4.2, при задании трешиноватого кластера суперпозицией эффективной среды и последовательности субвертикальных макротрещин.

Рисунок А. 10 Пример волновой картины для схемы соответствующей Рис. 4.2, при задании трешиноватого кластера методом эффективной среды.

Рисунок А. 12 Пример волновой картины для схемы соответствующей Рис. 4.2. при задании трешиноватого кластера суперпозицией эффективной среды и последовательности субвертикальных макротрещин.

Рисунок А. 13 Пример расчётной сейсмограммы горизонтальной(слева) и вертикальной (справа) составляющей скорости для схемы с геометрическими параметрами соответствующими Рис. 4.3 и способом задания кластера

методом эффективной среды

Рисунок А. 14 Пример волновой картины для схемы соответствующей Рис. 4.3, при задании трещинноватого кластера методом эффективной среды.

/ н I; н [ I ; м I / /1 11 /1 I

I) 11 ми I п п 111*) ггт

I V -ЖЗ V

Рисунок А. 16 Пример волновой картины для схемы соответствующей Рис. 4.3, при задании трещинноватого кластера суперпозицией эффективной среды и последовательности субвертикальных макротрещин.

Приложение Б

Численные данные для построения методов Рунге-Кутты 8 и 12

порядка точности

При численном решение дифференциального уравнения (или системы уравнений) вида и' = /(Ъ,и) значение на следующем временном шаге представляется в виде ип+1 = ип + А^Х^¿= 1 ^кг- Формула для вычисления значения на очередной ],] € [0,^ стадии метода Рунге-Кутты:

кз = / (^-1,из-1)

3+1

и3 = ип + Аг Ьз(г+1)к(г+1) (Б-1)

%=0

— ^^ + АА ,

где и0 = ип,Ьо = То значения соответствующих массивов будут равны представленным в таблицах 10 и 11, 12 и 13

] \ значение

1 0 0.111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

2 0 -0.833333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

2 1 1.38888888888888888888888888888888888888888888888888888888889

3 0 0.208333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

3 1 0

3 2 0.625000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

4 0 0.193333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

4 1 0

4 2 0.220000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

4 3 -0.0800000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

5 0 0.100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

5 1 0

5 2 0

5 3 0.400000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

5 4 0.500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

6 0 0.103484561636679776672993546511910344499744798201971316606663

6 1 0

6 2 0

6 3 0.122068887306407222589644082868962077139592714834162134741275

6 4 0.482574490331246622475134780125688112865919023850168049679402

6 5 -0.0381409600015606999730886240005620205664113072478411477421970

7 0 0.124380526654094412881516420868799316268491466359671423163289

7 1 0

7 2 0

7 3 0

7 4 0.226120282197584301422238662979202901196752320742633143965145

7 5 0.0137885887618080880607695837016477814530969417491493385363543

7 6 -0.0672210133996684449749399507414305856950086341525382182856200

8 0 0.0936919065659673815530885456083005933866349695217750085655603

8 1 0

8 2 0

8 3 0

8 4 0

8 5 -0.00613406843450510987229498995641664735620914507128858871007099

8 6 0.216019825625503063708860097659866573490979433278117320188668

8 7 0.423695063515761937337619073960976753205867469544123532683116

9 0 0.0838479812409052664616968791372814085980533139224911131069335

9 1 0

9 2 0

9 3 0

9 4 0

9 5 -0.0117949367100973814319755056031295775367961960590736150777613

9 6 -0.247299020568812652339473838743194598325992840353340132697498

9 7 0.0978080858367729012259313014081291665503740655476733940756599

9 8 0.217590689243420631360008651767860318344168120024782176879989

10 0 0.0615255359769428227954562389614314714333423969064821107453940

10 1 0

10 2 0

10 3 0

10 4 0

10 5 0.00592232780324503308042990005798046524738389560444257136834990

10 6 0.470326159963841112217224303205894113455362530746108825010848

10 7 0.299688863848679000853981837096192399136831121671781279184194

10 8 -0.247656877593994914689992276329810825853958069263947095548189

10 9 0.110895029771437682893999851839061714522445173600678718208625

11 0 0.0419700073362782579861792864787277787213483656543104611245994

11 1 0

11 2 0

11 3 0

11 4 0

11 5 -0.00317987696266205093901912847692712407988609169703103952205634

11 6 0.806397714906192077260821711520379506393543111567419750119748

11 7 0.0975983126412388979093522850684288851314672048003054550357187

11 8 0.778575578158398909027512446452927238999763460594181964958853

11 9 0.204890423831599428189499202098105603312029235081420653574829

11 10 -1.56261579627468188307070943950527825211462892236424360892806

12 0 0.0437726782233730163574465242495339811688214967071614123256973

12 1 0

12 2 0

12 3 0

12 4 0

12 5 0

12 6 0

12 7 0

12 8 0.00624365027520195208794358628580933625281631216903095917201250

12 9 0.200043097109577314994435165469647856829066232218264969608768

12 10 -0.00805328367804983036823857162048902911923392887337029314844206

12 11 0.0211517528067396521915711903523399601316877825157550573051221

13 0 0.0283499250363514563095023591920717312247137654896477097768495

13 1 0

13 2 0

13 3 0

13 4 0

13 5 0

13 6 0

13 7 0

13 8 0.00249163204855817407538949148805995149459884653585417680098222

13 9 0.0230138787854593149638399846373742768772087122638142234223658

13 10 -0.00322155956692977098724476092467120878189463604760620461043308

13 11 0.00988442549447664668946335414487885256040819982786014648129297

13 12 -0.0213010771328887351384307642875927384886634565429572466632092

14 0 0.343511894290243001049432234735147943083353174980701426268122

14 1 0

14 2 0

14 3 0

14 4 0

14 5 0

14 6 0

14 7 0

14 8 0.210451912023627385609097011999010655788807405225626700040882

14 9 1.03427452057230411936482926828825709938667999698324740166559

14 10 0.00600303645864422487051240448206640574939078092406156945568306

14 11 0.855938125099619537578012106002407728915062652616416005816477

14 12 -0.977235005036766810872264852372525633013107656892839677696022

14 13 -0.660026980479294694616225013856327693720573981219974874776419

15 0 -0.0143574001672168069538206399935076366657755954378399880691949

15 1 0

15 2 0

15 3 0

15 4 0

15 5 0

15 6 0

15 7 0

15 8 -0.0366253270049039970293685796848974791733119081733552207318285

15 9 0.0350254975636213681976849406979846524346789082471103574920148

15 10 0.0360946016362113508931786658758335239823689929864237671348749

15 11 -0.0265219967553681106351595946834601923649627012457464284442911

15 12 0.0445699011305698119638911537508839908104336323082226770910408

15 13 0.124343093331358243286225595741786448038973408895106741855721

15 14 0.00413829693239480694403512496204335960426192908674476033832967

16 0 0.356032404425120290975609116398089176264106222379748802654822

16 1 0

16 2 0

16 3 0

16 4 0

16 5 0

16 6 0

16 7 0

16 8 -0.450192758947562595966821779075956175110645100214763601190349

16 9 0.430527907083710898626656292808782917793030154094709462877146

16 10 0.511973029011022237668556960394071692077125787030651386389972

16 11 0.908303638886404260390159124638110213997496214819904630546596

16 12 -1.23921093371933931757372469151534028854413889248605726186520

16 13 -0.649048661671761465141672348879062553905402831967191097656668

16 14 0.251708904586819292210480529948970541404887852931447491219418

16 15 0.779906470345586398810756795282334476023540593411550187024263

17 0 0.0130935687406513066406881206418834980127470438213192487844956

17 1 0

17 2 0

17 3 0

17 4 0

17 5 0

17 6 0

17 7 0

17 8 0

17 9 0

17 10 0

17 11 0

17 12 -0.0000932053067985113945908461962767108237858631509684667142124826

17 13 0.0505374334262299359640090443138590726770942344716122381702746

17 14 8.04470341944487979109579109610197797641311868930865361048975Е-7

17 15 0.000591726029494171190528755742777717259844340971924321528178248

17 16 -4.01614722154557337064691684906375587732264247950093804676867Е-7

18 0 0.0207926484466053012541944544000765652167255206144373407979758

18 1 0

18 2 0

18 3 0

18 4 0

18 5 0

18 6 0

18 7 0

18 8 0

18 9 0

18 10 0

18 11 0

18 12 0.000582695918800085915101902697837284108951406103029871570103075

18 13 -0.00801700732358815939083342186525852746640558465919633524655451

18 14 4.03847643847136940375170821743560570484117290330895506618968Е-6

18 15 0.0854609998055506144225056114567535602510114622033622491802597

18 16 -2.04486480935804242706707569691004307904442837552677456232848Е-6

18 17 0.105328578824431893399799402979093997354240904235172843146582

19 0 1.40153449795736021415446247355771306718486452917597731683689

19 1 0

19 2 0

19 3 0

19 4 0

19 5 0

19 6 0

19 7 0

19 8 0

19 9 0

19 10 0