Разработка численных методов для моделирования распространения упругих волн в неоднородных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Фаворская, Алена Владимировна

• Фаворская, Алена Владимировна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Фаворская, Алена Владимировна

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ

1.1. Введение

1.2. Линейно-упругие среды с анизотропией

1.2.1. Общий случай

1.2.2. Орторомбическая анизотропия

1.2.3. Вертикально-трансверсальная анизотропия

1.2.4. Горизонтально-трансверсальная анизотропия

1.3. Линейно-упругие среды

1.4. Акустические среды

1.5. Заключение

ГЛАВА 2. СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

2.1. Введение

2.2. Сеточно-характеристический численный метод

2.3. Линейно-упругие среды с анизотропией

2.3.1. Общий случай

2.3.2. Орторомбическая анизотропия

2.4. Линейно-упругие среды

2.5. Акустические среды

2.6. Исследование сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках

2.6.1. Аппроксимация

2.6.2. Устойчивость

2.7. Заключение

ГЛАВА 3. ГРАНИЧНЫЕ И КОНТАКТНЫЕ УСЛОВИЯ

3.1. Введение

3.2. Граничные и контактные условия

3.2.1. Линейно-упругие среды с анизотропией

3.2.2. Линейно-упругие среды

3.2.3. Акустические среды

3.3. Контактное условие с динамической силой трения

3.4. Контактное условие между линейно-упругой и акустической средами

3.5. Граничное условие с использованием мнимых точек

3.6. Контактное условие для иерархических сеток

3.7. Контактное условие для комбинированного метода

3.7.1. Особенности подхода

3.7.2. Обозначения

3.7.3. Описание расчета контакта

3.7.4. Доказательство сохранения порядка аппроксимациии

3.8. Заключение

ГЛАВА 4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

4.1. Введение

4.2. Реконструкция полиномами

4.3. Кусочно-линейная интерполяция

4.4. Гибридная интерполяция

4.5. Сравнение разработанных методов

4.6. Заключение

ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЫ РЕЛЕЯ

5.1. Введение

5.2. Постановка задачи

5.3. Решение прямой задачи упругости с помощью интегралов Релея

5.4. Дискретизация

5.5. Сравнения для плоской волны

5.6. Сравнения с точечными источниками

5.7. Заключение

ГЛАВА 6. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

6.1. Введение

6.2. Сейсморазведка в условиях арктического шельфа

6.2.1. Введение

6.2.2. Постановка задачи

6.2.3. Результаты численного моделирования

6.2.4. Заключение

6.3. Взрывное воздействие на айсберга

6.3.1. Введение

6.3.2. Постановка задачи

6.3.3. Результаты численного моделирования

6.3.4. Заключение

6.4. Ультразвуковая дефектоскопия железнодорожного пути

6.4.1. Введение

6.4.2. Постановка задачи

6.4.3. Результаты численного моделирования

6.4.4. Заключение

6.5. Сейсмостойкость наземных сооружений

6.5.1. Введение

6.5.2. Постановка задачи

6.5.3. Результаты численного моделирования

6.5.4. Заключение

6.6. Сейсмостойкость подземных сооружений

6.6.1. Введение

6.6.2. Постановка задачи

6.6.3. Результаты численного моделирования

6.6.4. Заключение

6.7. Сейсмостойкость нефтехранилищ

6.7.1. Введение

6.7.2. Воздействие продольных и поперечных сейсмических волн на нефтехранилище

6.7.3. Воздействие сейсмических волн от гипоцентра землетрясения на нефтехранилище

6.7.4. Заключение

6.8. Сейсмические волны в геологических средах

6.8.1. Введение

6.8.2. Результаты численного моделирования

6.8.3. Заключение

6.9. Численное моделирование комбинированным методом ОСМ-БРН

6.9.1. Введение

6.9.2. Задача о распаде разрыва, сравнение с аналитическим решением

6.9.3. Пробой тонкой пластины ударником

6.9.4. Столкновение ударника с массивной мишенью

6.9.5. Заключение

6.10. Моделирование волновых процессов при наличии контактов с динамической силой трения

6.10.1. Введение

6.10.2. Результаты численного моделирования

6.10.3. Заключение

6.11. Моделирование низкоскоростного удара по трехстрингерной панели из композитного материала

6.11.1. Введение

6.11.2. Сравнение результатов численного и физического моделирования

6.11.3. Заключение

6.12. Моделирование отклика от системы трещин в геологической среде

6.12.1. Введение

6.12.2. Численное моделирование отклика от системы трещин

6.12.3. Сравнение результатов численного и физического моделирования

6.12.4. Заключение

6.13. Заключение

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка численных методов для моделирования распространения упругих волн в неоднородных средах»

Введение

Актуальность темы исследования

Современные задачи по моделированию пространственных динамических процессов в сложных гетерогенных средах требуют вводить все более усложняющиеся механико-математические модели. К данному классу задач относятся и численные эксперименты в областях сейсморазведки и сейсмологии.

Вопрос освоения Арктического шельфа Российской Федерации является актуальным в силу необходимости разработки и разведки месторождений углеводородов. На Арктическом шельфе России располагаются 8 месторождений, запасы в которых оцениваются, приблизительно, в 2.7 трлн. м3. К объектам федерального значения относятся 5 месторождений: Ленинградское, Русановское в Карском море, Ледовое. Лудловское, Мурманское в Баренцевом море, Поморское, Северо-Гуляевское в Печерском. В целях нефтедобычи установлена ледостойкая платформа Приразломная в Печерском море, в целях добычи газа разрабатывается проект Штокмановского месторождения в Баренцевом море. Для данных месторождений необходимо уточнение выполненных ранее оценок запасов нефти и газа [1]. Фактором, который осложняет нефтедобычу в Северных морях, являются ледовые образования, в частности, айсберги [2-5].

Нефтеразведка в условиях Арктики обладает своей спецификой. Например, одним из слоев, через которые распространяются сигналы от источников, является море [6,7], другим — ледяной покров, вносящий свой вклад в измеряемые или вычисляемые отклики при сейсмической разведке. Помимо сейсмической [8,9], эффективный для разведки углеводородов представляется электромагнитная разведка; обзор работ по этой тематике приведен в [10].

Актуальными также являются и задачи моделирования землетрясений. Полученная волновая картина, как в толще земли, так и на ее поверхности и в расположенных на ней объектах, позволяет определять области возможных разрушений жилых и промышленных сооружений, что даст возможность повысить сейсмостойкость зданий.

В течение последних 160 лет стальные рельсы являются одним из основных элементов верхнего строения пути во всем мире [11]. Они служат для направления колес при их движении и непосредственно воспринимают и передают давление на нижележащие элементы. Несмотря на все усилия инженеров-разработчиков из-за тяжелых эксплуатационных условий в них могут образовываться дефекты. Поскольку любая халатность на железной дороге может привести к человеческим жертвам и существенным финансовым потерям, примеров которым в мире на-

считывается много, одной из приоритетных задач является мониторинг состояния рельсов (дефектоскопия) и железнодорожного полотна в целом [12-21].

При решении гиперболических систем уравнений в задачах, требующих высокоточного расчета волновых процессов (в том числе, в прямых задачах сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа, численном моделировании сейсмостойкости наземных и подземных сооружений и дефектоскопии железнодорожного пути), оптимальным является применение именно сеточно-характеристического метода [22-50]. Использование неструктурированных сеток и интерполяции высоких порядков [51-53] позволяет описывать контактные границы и неоднородности сложной формы [23-35,46-50]. Использование иерархических сеток [46-50] как структурированных, так и неструктурированных, позволяет расширять область интегрирования путем сгущения сетки вокруг имеющихся неоднородностей [54]. Использование комбинированного метода на основе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц позволяет сохранить преимущества обоих базовых методов [55-61]. Использование граничного условия с помощью мнимых точек [54] позволяет проводить расчет сквозным счетом, что для ряда задач увеличивает скорость вычислений. Использование условия на поверхности с динамическим трением [62-67] позволяет проводить численное моделирование значительной группы нестационарных процессов, в том числе о качении колеса, быть может, деформированного по железнодорожному полотну, в рамках проведения дефектоскопии железнодорожного пути [12-21], задачи о торможении и разгоне поршня в трубе [62-67].

Также в настоящее время появляется практический интерес к исследованию влияния анизотропии геологических сред на прохождение в них сейсмических волн. Также задачи о распространении упругих волн в анизотропной среде возникают, например, при исследовании композитных материалов [68-70].

Степень разработанности темы исследования

При численном решении задач сейсмики используют конечно-разностные схемы на треугольных и тетраэдральных сетках [71-77]. Также для решения данного класса задач применяют псевдоспектральный метод [78-80] и метод спектральных элементов [81-83]. Использование сеточно-характеристического метода для решения задач сейсмики можно найти в [84,45]. Для численного моделирования ультразвуковой дефектоскопии применяют метод конечных элементов [86], масс-пружинную модель [87], метод конечных разностей [88] и квазианалитический метод конечных элементов (semi-analytical finite element method, SAFE) [89]. При численном решении задач сейсмической разведки используют, в основном, лучевые методы [90]. В работах [91-95] для решения данных задач применялись методы конечных элементов и спек-

тральных элементов в том числе, с точностью высокого порядка. В работах [93,96,97] приведены конечно-разностные схемы, адаптированные для моделирования задач сейсмики.

К схемам повышенного и высокого порядков точности относят схемы ENO, WENO, компактные схемы и схемы для решения продолженных систем уравнений. В схемах ENO (essentially nonoscillatory) TVD-ограничение [98] заменяется требованием, уменьшающим количество возникающих экстремумов, допуская их появление при наличии ограничения на их величину. Технически это обеспечивается выбором шаблона полиномиальной интерполяции высокого порядка, обеспечивающим наименьшие осцилляции из всех возможных. В то время как схемы ENO используют наиболее гладкий из нескольких шаблонов, схемы WENO (weighted essentially nonoscillatory) [99-103] выбирают усредненный с весами шаблон, использующий все возможные шаблоны. Веса подбираются на основе локальной гладкости решения таким образом, чтобы они были близки к нулю для негладких шаблонов, но были оптимальны в областях гладкости решения. WENO-схемы действуют по аналогии с ENO-схемам возле разрывов. Но в областях гладкости WENO-схемы ближе к центрированным противопоточным схемам.

Применение схем WENO с высоким порядком аппроксимации, как по времени, так и по пространству для решения нелинейных гиперболических систем на неструктурированных сетках в двумерном и трехмерном случаях можно найти в [102,103]. Описание WENO-схем до одиннадцатого порядка аппроксимации можно найти в [103]. К недостаткам WENO схем можно отнести их неэкономичность и необходимость специальных видоизменений в окрестности границ.

Компактные схемы используют уравнения, которые связывают значения результата в нескольких соседних точках со значениями данных в нескольких соседних точках. Это позволяет повысить порядок аппроксимации, не увеличивая шаблон. Класс неявных компактных разностных схем, обладающих порядком аппроксимации выше второго, устойчивостью, экономичной разрешимостью разностных уравнений, когда число арифметических операций, приходящихся на вычислительный цикл, пропорционально числу узлов сетки, представлен в [104,105]. К недостатку неявных схем можно отнести сложность их распараллеливания.

Класс консервативных абсолютно устойчивых компактных схем, монотонных в широком диапазоне значений локального числа Куранта для решения квазилинейных уравнений гиперболического типа представлен в [106,107]. Схемы данного класса имеют четвертый порядок аппроксимации по пространственной координате на компактном шаблоне и нечетный (первый или третий) порядок аппроксимации по времени. Схемы данного класса экономичны и решаются методом бегущего счета. К их недостаткам можно отнести ограничение на число Куранта снизу.

Характеристические свойства гиперболических систем уравнений сохраняются и в след-

ствиях исходных уравнений, получаемых дифференцированием исходных уравнений (продолженных или расширенных системах уравнений). Такие продолженные системы используются для построения схем высокого порядка аппроксимации на нерасширяющемся шаблоне, в том числе монотонных схем подобного типа [108,109]. Для многослойных разностных схем возникает проблема выполнения первого шага интегрирования по времени, для расчета которого нужно использовать двухслойные схемы. Использование продолженных систем уравнений позволяет избежать данной проблемы.

Для решения задач, в которых фигурируют гиперболические системы уравнений, к которым относятся математическая модель состояния сплошной линейно-упругой среды [110] (в том числе, в анизотропном случае [111-114]) и система, описывающая акустическое поле [115], требующих при этом высокоточного расчета волновых процессов (в том числе, в прямых задачах сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа [8,9], численном моделировании сейсмостойкости наземных и подземных сооружений [54] и дефектоскопии железнодорожного пути [12-21]), применение метода, позволяющего детально и физически корректно описывать проистекающие волновые процессы, является оптимальным. Таким методом является сеточно-характеристический метод [23-35,46-50,116].

Использование неструктурированных треугольных и тетраэдральных сеток позволяет проводить численное моделирование контактных границ сложной формы. Для сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках [23-35,46-50,117] необходима разработка интерполяции на тетраэдральных сетках [51-53] и написание библиотеки по интерполяции на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках [51].

При решении ряда задач, в том числе, численного моделирования дефектоскопии железнодорожного пути [12-21], сейсмостойкости наземных и подземных сооружений [54], а также, сейсмической разведки [8,9], необходим точный и физически корректный учет границ и контактных границ области интегрирования, что требует разработки и математического обоснования соответствующих граничных и контактных условий.

Также при численном моделировании задач, включающих как акустическую, так и линейно-упругую среды, к которым относятся, в частности, задачи сейсмической разведи в условиях Арктического шельфа, требуется разработка также контактного условия между соответствующими средами: линейно-упругой и акустической [8,9].

При численном моделировании ряда задач, например, задач сейсмостойкости наземных и подземных сооружений [54], неоднородности занимают небольшую часть области интегрирования. Для решения таких задач целесообразна разработка сеточно-характеристического метода на иерархических структурированных и неструктурированных сетках [46-50], заключающаяся в

и

разработке и математическом обосновании контактного условия на поверхности раздела между сетами с разной мелкостью.

При моделировании упругих и упругопластических взаимодействий на протяжении значительного времени широкое распространение имеют сеточные методы, в частности: метод конечных объемов [98] и сеточно-характеристический [116,118]. Задачи ударного взаимодействия деформируемых твердых тел рассматриваются в работах [118-127].

В последнем десятилетии XX века с ростом вычислительных мощностей стали приобретать распространение адаптации метода сглаженных частиц (БРН) к моделированию упруго-пластических тел [128-131], который был предложен первоначально для моделирования звезд и претерпел затем ряд усовершенствований [132,133]. Также для решения задач в системе «ударник-мишень» используются адаптивные сетки [134].

Использование различных критериев разрушений, например, критерия по главному напряжению [135], позволяет моделировать процессы разрушения сеточно-характеристическим методом, что, однако, для ряда задач является технически сложным и снижает точность из-за необходимости регулярного перестроения расчетной сетки. Для моделирования процессов, сопровождающихся значительными разрушениями и деформациями, лучше подходит метод сглаженных частиц [136], являющийся бессеточным методом. Тем не менее, этот метод не лишен недостатков: для метода характерны нефизичные осцилляции, а детальное моделирование волновых процессов требует увеличения количества частиц. Таким образом, имеется два семейства методов, являющихся оптимальными для двух разных групп задач. Однако задачи, встречающиеся на практике, часто требуют единовременного расчета значительных разрушений и деформаций единовременно с описанием волновых процессов, что потребует идти на существенный компромисс при выборе численного метода. С целью решения таких задач целесообразна разработка комбинированного численного метода ССМ-БРН [55-61] представляющего собой метод расчета контактного условия на поверхности раздела между областями, в которых используется сеточно-характеристический метод [23-35,46-50] и метод сглаженных частиц (БРН) [136].

Классические интегралы Кирхгофа широко используются при решении краевых задач для волнового уравнения. В работах [137,138] получены обобщённые интегралы Кирхгофа, описывающие решение краевой задачи теории упругости в замкнутой форме [110]. Эти интегралы позволяют обобщить на случай волн в упругой среде классические методы, развитые для решения скалярного волнового уравнения [139]. В связи с этим представляет интерес получение интегралов Релея [140,141] для решения краевой задачи теории упругости на основе соответствующих интегралов Кирхгофа, а также проведение сравнения решений, полученных с их помощью, и сеточно-характеристическим методом.

Цели и задачи

Целями и задачами работы являются:

1. Разработка методов интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках. Написание библиотеки включающей разработанные методы, а также методы интерполяции на неструктурированных треугольных сетках.

2. Разработка комбинированного метода ОСМ-ЭРН на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц (БРИ) для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах.

3. Разработка методов нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек.

4. Разработка сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках и с использованием интерполяции высоких порядков.

5. Адаптация сеточно-характеристического метода к моделированию волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах.

6. Получение интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды. Проведение сравнения решений, полученных с помощью интегралов Релея и сеточно-характеристическим методом.

7. Численное решение задач сейсморазведки в условиях Арктического шельфа, сейсмостойкости наземных и подземных сооружений и ультразвуковой дефектоскопии горизонтального расслоения головки железнодорожного рельса.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках (интерполяции полиномами от первого до пятого порядка включительно, кусочно-линейной интерполяции и интерполяции с использованием ограничителя, а также интерполяции полиномами второго порядка с использованием опорных точек четвертого порядка для минимизации системных ресурсов, затрачиваемых на построение и хранение сетки и гибридной квадратично-линейной интерполяции). Разработана библиотека по интерполяции на треугольных и тетраэдральных сетках.

3. Исследованы на аппроксимацию двумерные и трехмерные разностные схемы, че-

редование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Исследованы на устойчивость одномерные разностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае.

4. Выполнено математическое обоснование комбинированного метода ССМ-БРН на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц (БРН) для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах, доказано сохранение комбинированным методом вСМ-БРН порядка аппроксимации базовых методов.

5. Выполнено математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек.

6. Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм для расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках.

7. Разработан сеточно-характеристический метод моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах для общего вида тензора упругих постоянных, а также случаев орторомбической, горизонтально-трансверсалыюй и вертикально-трансверсалыюй анизотропии.

8. Разработан метод нахождения полного волнового поля в упругих средах с помощью интегралов Релея, проведено его сравнение с сеточно-характеристическими методами.

9. С помощью семейства сеточно-характеристических методов получено численное решение ряда задач, в том числе проведены:

- исследование влияния льда, взаиморасположений приемников и источников в задачах сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа путем детального анализа возникающих волновых картин и сейсмограмм;

- исследование волновых картин и динамики возникновения повреждений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на наземные и подземные сооружения;

- исследование пространственных волновых процессов, возникающих в процессе ультразвуковой дефектоскопии железнодорожного пути.

Теоретическая и практическая значимость работы

Первым важным теоретическим и практическим результатом работы является разработка

методов интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках [5153], а также написание библиотеки для интерполяции высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках [51].

Вторым важным теоретическим результатом является исследование на аппроксимацию сеточно-характеристических методов на неструктурированных сетках и исследование на устойчивость семейства разностных схем, в которые переходят двумерные и трехмерные разностные схемы, чередованию которых соответствует сеточно-характеристический метод на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках соответственно [142].

Третьим важным теоретическим и практическим результатом является полученное математическое обоснование комбинированного метода ССМ-БРН [55-61] на базе сеточно-характеристического [23-35,46-50] и метода сглаженных частиц (8РН) [136] для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах и доказательство сохранения комбинированным методом ОСМ-БРП порядка аппроксимации базовых методов [55-61].

Четвертым важным теоретическим и практическим результатом является выполненное математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред [8,9], условие динамического трения между контактирующими поверхностями [62-67]), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек [54].

Пятым важным теоретическим и практическим результатом является проведенное математическое обоснование расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках [4650].

Шестым важным теоретическим и практическим результатом является адаптация сеточно-характеристического метода для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах [68-70].

Седьмым важным теоретическим результатом является получение интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды и сравнение решений, полученных с помощью интегралов Релея, и сеточно-характеристическим методом.[140,141].

Восьмым важным практическим результатом являются результаты исследование влияния льда, взаиморасположений приемников и источников в задачах сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа путем детального анализа возникающих волновых картин и сейсмограмм [8,9]; исследования волновых картин и динамики возникновения повреждений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на наземные и подземные сооружения [54]; исследование пространственных волновых процессов, возникающих в процессе ультра-

звуковой дефектоскопии железнодорожного пути [12-21].

Работа поддержана рядом государственных и коммерческих грантов и договоров

1. Грант РФФИ 11-01-12011-офи_м_2011 «Разработка численных методов для решения задач геомеханики и сейсморазведки на многопроцессорных вычислительных системах», 2011-2012;

2. Грант РФФИ 13-07-00072 А «Разработка параллельных алгоритмов для решения систем уравнений гиперболического типа на многопроцессорных вычислительных системах», 2013-2015;

3. Грант РФФИ 13-01-12009 офи_м «Разработка высокопроизводительных программных средств и их применение для решения задач ЗО-сейсмики с помощью систем сверхвысокой производительности», 2013-2015;

4. Грант РФФИ 13-08-01066 А «Разработка методики оценки сейсмостойкости сооружений энергетического комплекса (АЭС) путём полноволнового моделирования», 20132015;

5. Грант РФФИ 13-07-13169 офи_м_РЖД «Численное моделирование процесса диагностики основных элементов железнодорожного пути и колесных пар ультразвуковым и акустическим методами с помощью современных вычислительных методов и высокопроизводительных вычислительных систем», 2013-2014;

6. Грант РФФИ 15-07-01931 А «Суперкомпьютерное моделирование волновых процессов в геологических средах в интересах разведки углеводородов», 2015;

7. Грант РФФИ 12-01-13100-офи_м_РЖД «Мониторинг состояния подвижного состава с помощью современных вычислительных методов и высокопроизводительных вычислительных систем», 2012-2013;

8. Проект РНФ №14-11-00263 на базе МФТИ;

9. Государственный контракт № 14.515.11.0069 «Разработка научных основ новых методов и алгоритмов поиска и разведки месторождений углеводородов, в том числе в условиях Арктики, с реализацией на высокопроизводительных комплексах», 2013;

10. Государственный контракт № 14.575.21.0084 «Разработка высокоточных вычислительных методов и комплексной программно-алгоритмической системы поиска и разведки месторождений полезных ископаемых сейсмическими и электромагнитными методами в шельфовой зоне Арктики», 2014-2015;

11. Стипендия Президента РФ молодым учёным и аспирантам, 2013-2015;

12. Стипендия Правительства РФ аспирантам, 2014-2015;

13. IBM Fellowship, 2015.

Методология и методы исследования

Используется сеточно-характеристический метод [23-35,46-50,116,118,147-153] на структурированных и неструктурированных сетках с интерполяцией высоких порядков, в том числе, на иерархических. Используется точная постановка граничных и контактных условий, в том числе контактного условия динамической силы трения [62-67], контактного условия между упругими и акустическими средами [8,9] и граничного условия с использованием мнимых точек [54].

В диссертации проводится численное моделирование сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа при помощи прямого моделирования динамических процессов, происходящих в многослойных упругих и акустических средах [8,9]. Также проводится численное моделирование ультразвуковой дефектоскопии железнодорожных рельсов [12-21] и влияния сейсмических волн, распространяющихся от гипоцентра землетрясения, на наземные и подземные сооружения [54] с помощью сеточно-характеристического метода на иерархических сетках [46-50].

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках (интерполяции полиномами от первого до пятого порядка включительно, кусочно-линейной интерполяции и интерполяции с использованием ограничителя, а также интерполяции полиномами второго порядка с использованием опорных точек четвертого порядка для минимизации системных ресурсов, затрачиваемых на построение и хранение сетки и гибридной квадратично-линейной интерполяции). Реализована библиотека по интерполяции на треугольных и тетраэдральных сетках.

2. Исследованы на аппроксимацию двумерные и трехмерные разностные схемы, чередование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Исследованы на устойчивость одномерные разностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Фаворская, Алена Владимировна, 2015 год

Список литературы

1. Новиков, Ю.Н., Гажула, C.B. Особенности оценки месторождений углеводородного сырья арктического шельфа России и их переоценки в соответствии с новой классификацией запасов / Ю.Н. Новиков, C.B. Гажула // Нефтегазовая геология Теория и практика. - 2008. — № 3 -С. 1-19.

2. Lee, S.G., Lun, S.H., Kong, G.Y. Modeling and simulation system for marine accident cause investigation / S.G. Lee, S.H. Lun, G.Y. Kong // Collision and Graunding of Ships and Offsore Structure. - 2008. - P. 39 - 47.

3. Bekker, A.T., Sabobash, O.A., Seliverstov, V.l., Koff, G.I., Pipko, E.N. Estimation of Lomit Loads on Engeneering Offshore Structures / A.T. Bekker, O.A. Sabobash, V.l. Seliverstov, G.I. Koff, E.N. Pipko // Proceeding of the Nineteenth International Offshore and Polar Engeneering Conference. - 2009. - P. 574 - 579.

4. Гольдштейн, P.B., Осипенко, H.M. Трещиностойкость и разрушения ледяного покрова ледоколами / Р.В. Гольдштейн, Н.М. Осипенко - Труды ААНИИ. - 1986. - Т. 391 - С. 137 - 156.

5. Гольдштейн, Р.В., Осипенко, Н.М. Вопросы механики разрушения льда и ледяного покрова при анализе ледяных нагрузок / Р.В. Гольдштейн, Н.М. Осипенко // В сб. Вести газовой науки. Современные подходы и перспективные технологии в проектах освоения нефтегазовых месторождений российского шельфа. - 2013 - №3 (4) — С. 104 - 112.

6. Левченко, Д.Г., Закиров, A.B., Левченко, В.Д. Динамическое моделирование распространения низкочастотных сейсмоакустических полей в океанической среде / Д.Г. Левченко,

A.B. Закиров, В.Д. Левченко // Доклады Академии Наук. - 2010. - Т. 435, №4. - С. 544 - 547.

7. Петров, И.Б., Миряха, В.А., Санников, A.B. Численное моделирование динамических процессов в твердых деформируемых телах разрывным методом Галёркина / И.Б. Петров,

B.А. Миряха, A.B. Санников // Математическое моделирование. - 2015. - Т.27. - С. 17-23.

8. Фаворская, A.B., Петров, Д.И., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Численное решение арктических задач с помощью сеточно-характеристического метода. / A.B. Фаворская, Д.И. Петров, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2014.

9. Фаворская, A.B., Петров, Д.И., Хохлов, Н.И., Голубев, В.И. Численное моделирование задач арктической георазведки сеточно-характеристическим методом / A.B. Фаворская, Д.И. Петров, Н.И. Хохлов, В.И. Голубев // Труды 57-й научной конференции МФТИ. - 2014. -Т. 2.-С. 146-147.

10. Жданов, М.С. Теория обратных задач и регуляризация геофизики / М.С. Жданов - М.: Научный мир. - 2007. - 710 с.

11. Cannon, D.F., Edel, К.-О., Grassie, S.L., Sawley, К. Rail defects: an overview / D.F. Cannon, K.-O. Edel, S.L. Grassie, K. Sawley // Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures -2003 - V. 26, No. 10 - P. 865 - 886.

12. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Голубев, В.И., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Санников, A.B., Беклемышева, К.А. Динамическая диагностика элементов пути / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, В.И. Голубев, В.А. Миряха, Н.И. Хохлов, A.B. Санников, К.А. Беклемышева // Вестник Института проблем естественных монополий: Техника железных дорог. — 2013. — Т. 24, № 4. -С. 82-95.

13. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Голубев, В.И., Санников, A.B. Мониторинг состояния подвижного состава с помощью высокопроизводительных вычислительных систем и высокоточных вычислительных методов / A.B. Фаворская, И.Б. Петров,

B.А. Миряха, Н.И. Хохлов, В.И. Голубев, A.B. Санников // Математическое моделирование. — 2014-Т. 26,№7.-С. 19-32.

14. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I., Miryakha, V.A., Sannikov, A.V., Golubev, V.l. Monitoring the State of the Moving Train by Use of High Performance Systems and Modern Computation Methods / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, N.I. Khokhlov, V.A. Miryakha, A.V. Sannikov, V.l. Golubev // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2015. - Vol. 7, No. 1. - P. 50 - 60.

15. Фаворская, A.B., Миряха, В.А., Санников, A.B. Мониторинг состояния подвижного состава разрывным методом Галеркина на неструктурированных сетках / A.B. Фаворская, В.А. Миряха, A.B. Санников // Сборник научных трудов МФТИ: Математические и информационные модели управления. - 2013. - С. 26 - 28.

16. Фаворская, A.B., Хохлов, Н.И., Шульц, К.И. Мониторинг состояния подвижного состава сеточно-характеристическим методом / A.B. Фаворская, Н.И. Хохлов, К.И. Шульц // Сборник научных трудов МФТИ: Математические и информационные модели управления. — 2013. -

C. 24 - 26.

17. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Голубев, В.И., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Санников, A.B., Беклемышева, К.А. Мониторинг состояния подвижного состава с помощью современных вычислительных методов и высокопроизводительных вычислительных систем / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, В.И. Голубев, В.А. Миряха, Н.И. Хохлов, A.B. Санников, К.А. Беклемышева // Интеллектуальные системы на транспорте: материалы Третьей международной научно-практической конференции «ИнтеллектТранс-2013». — 2013. - С. 46 - 53.

18. Фаворская, A.B., Голубев, В.И., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Санников, A.B., Беклемышева, К.А. Динамическая диагностика элементов железнодорожного пути / A.B. Фаворская,

В.И. Голубев, В.А. Миряха, Н.И. Хохлов, A.B. Санников, К.А. Беклемышева // Труды 56-й научной конференции МФТИ.-2013.-Т. 2.-С. 127- 128.

19. Фаворская, A.B., Голубев, В.И., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Санников, A.B., Беклемышева, К.А. Дефектоскопия железнодорожных рельсов / A.B. Фаворская, В.И. Голубев, В.А. Миряха, Н.И. Хохлов, A.B. Санников, К.А. Беклемышева // Труды 56-й научной конференции МФТИ. - 2013. - Т. 2. - С. 125 - 127.

20. Фаворская, A.B., Хохлов, Н.И. Ультразвуковая дефектоскопия горизонтального расслоения в головке рельса / A.B. Фаворская, Н.И. Хохлов // Труды 57-й научной конференции МФТИ. - 2014. - Т. 2. - С. 121 - 122.

21. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И., Миряха, В.А., Санников, A.B. Численное моделирование волновых и деформационных процессов в элементах железнодорожного пути / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов, В.А. Миряха, A.B. Санников // Труды третьей научно-технической конференции с международным участием "Интеллектуальные системы управления на железнодорожном транспорте. Компьютерное и математическое моделирование". ИСУЖТ-2014. - Т. 1.-С. 102- 104.

22. Фаворская, A.B. Разработка численных методов моделирования волновых процессов в гетерогенных средах / A.B. Фаворская // Труды 57-й научной конференции МФТИ. — 2014. — Т. 2.-С. 120-121.

23. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Санников, A.B., Квасов, И.Е. Компьютерное моделирование пространственных динамических процессов сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Санников, И.Е. Квасов // Информационные технологии. -2011. - №9. - С. 28-30.

24. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Муратов, М.В., Санников, A.B. Суперкомпьютерные технологии улучшают экономику России, спасают жизни и предотвращают техногенные катастрофы / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, М.В. Муратов, A.B. Санников // Суперкомпьютерные технологии в науке, образовании и промышленности. -2013. — С. 5-11.

25. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Муратов, М.В., Санников, A.B. Сеточно-характеристический метод на неструктурированных тетраэдральных сетках / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, М.В. Муратов, A.B. Санников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 5. - С. 821 - 832.

26. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Муратов, М.В., Бирюков, В.А., Санников, A.B. О сеточно-характеристическом методе на неструктурированных тетраэдральных сетках / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, М.В. Муратов, В.А. Бирюков, A.B. Санников // Доклады РАН. - 2014. - Т. 459, № 4.-С. 406-408.

27. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Muratov, M.V., Sannikov, A.V. Grid Characteristic Method on Unstructured Tetrahedral Meshes / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, M.V. Muratov, A.V. Sannikov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2014. - Vol. 54, No. 5 - P. 837 - 847.

28. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Muratov, M.V., Biryukov, V.A., Sannikov, A.V. Grid-Characteristic Method on Unstructured Tetrahedral Grids / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, M.V. Muratov, V.A. Biryukov, A.V. Sannikov // Doklady Mathematics. - 2014. - V. 90, No. 3. - P. 781 - 783.

29. Фаворская, А.В., Санников, A.B., Квасов, И.Е. Моделирование пространственных динамических процессов сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках / А.В. Фаворская, А.В. Санников, И.Е. Квасов // Труды 53-й научной конференции МФТИ. - 2010. - С. 32 - 36.

30. Фаворская, А.В., Муратов, М.В., Санников, А.В. Решение пространственных динамических задач сейсмологии и сейсморазведки с помощью сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках / А.В. Фаворская, М.В. Муратов, А.В. Санников // Труды 55-й научной конференции МФТИ. - 2012. - Т. 2. - С. 119 - 120.

31. Фаворская, А.В., Санников, А.В., Квасов, И.Е. Сеточно-характеристический метод на неструктурированных тетраэдральных сетках для решения задач сейсморазведки и сейсмологии / А.В. Фаворская, А.В. Санников, И.Е. Квасов // М.:МФТИ, Сб. трудов МФТИ: Математические модели и задачи управления. - 2011. — С. 80 - 87.

32. Favorskaya, A., Petrov, I., Sannikov, A. Modeling of Wave Responses Using Tetrahedral Meshes / A. Favorskaya, I. Petrov, A. Sannikov // Book of Abstracts, Russian-Indian Workshop on «Advanced Computational Modeling and Simulations». - 2011. - P. 11.

33. Фаворская, A.B., Санников, A.B., Квасов, И.Е. Численное моделирование пространственных динамических процессов в гетерогенных средах сеточно-характеристическим методом на высокопроизводительных вычислительных системах / А.В. Фаворская, А.В. Санников, И.Е. Квасов // Труды 54-й научной конференции МФТИ: Проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. - 2011. - Т. 2. — С. 56 - 57.

34. Фаворская, А.В., Муратов, М.В., Петров, И.Б., Санников, А.В. Сеточно-характеристический метод на неструктурированных тетраэдральных сетках в 3D моделировании задач сейсморазведки / А.В. Фаворская, М.В. Муратов, И.Б. Петров, А.В. Санников // Сборник научных трудов МФТИ: Математические и информационные модели управления. — 2013.-С. 8-13.

35. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Golubev, V.I., Khokhlov, N.I., Vasyukov, A.V. Numerical Modeling of Seismology and Aircraft Industry Problems / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, V.I. Golubev, N.I. Khokhlov, A.V. Vasyukov // Conference Journal "G20 Youth Forum 2013". - 2013. - N. 1. - P. 498-501.

36. Фаворская, A.B. , Субботина, АЛО. Постановка задачи численного решения системы уравнений Прайда для геологической среды / A.B. Фаворская, А.Ю. Субботина // Труды 52-й научной конференции МФТИ: Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. — 2009. - Т. 3.-С. 28-29.

37. Фаворская, A.B., Субботина, А.Ю. Метод численного решения системы уравнений Прайда для геологической среды / A.B. Фаворская, А.Ю. Субботина // Сборник научных трудов МФТИ: Информационные технологии: модели и методы. - 2010. - С. 27 - 34.

38. Фаворская, A.B., Субботина, А.Ю. Численное решение одномерной системы уравнений Прайда для пористой геологической среды / Фаворская А. В., Субботина А. Ю. // Труды 53-й научной конференции МФТИ. - 2010. — С. 27 - 32.

39. Фаворская, A.B., Муратов, М.В., Санников, A.B. Моделирование волновых откликов от систем субвертикальных макротрещин в задачах сейсморазведки / A.B. Фаворская, М.В. Муратов, A.B. Санников // Сборник аннотаций работ X Курчатовской молодежной научной школы. — 2012.-С. 135

40. Фаворская, A.B., Муратов, М.В., Санников, A.B. Моделирование волновых процессов в трещиноватых геологических средах / A.B. Фаворская, М.В. Муратов, A.B. Санников // Сборник тезисов XX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2013», секция ВМК. - 2013. - С. 71 - 72

41. Фаворская, A.B., Бирюков, В.А., Муратов, М.В. Моделирование откликов от трещиноватых структур в задачах сейсморазведки с использованием сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках / A.B. Фаворская, В.А. Бирюков, М.В. Муратов // Труды 56-й научной конференции МФТИ. - 2013. - Т. 2. - С. 128 - 129.

42. Фаворская, A.B., Муратов, М.В., Бирюков, В.А. Моделирование с использованием сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках в задачах сейсморазведки трещиноватых структур / A.B. Фаворская, М.В. Муратов, В.А. Бирюков // Сборник аннотаций работ XI Курчатовской молодежной научной школы. 2013. - С. 157.

43. Фаворская, A.B., Муратов, М.В., Петров, И.Б. Моделирование с использованием сеточно-характеристического метода в задачах сейсморазведки трещиноватых структур / A.B. Фаворская, М.В. Муратов, И.Б. Петров // Сборник тезисов IV научно-практической конференции "Суперкомпьютерные технологии в нефтегазовой отрасли. Математические методы, программное и аппаратное обеспечение". -2013. — С. 126 - 135.

44. Фаворская, A.B., Муратов, М.В., Петров, И.Б., Бирюков, В.А. Решение прямых пространственных задач сейсморазведки с применением численного моделирования сеточно-характеристическим методом / A.B. Фаворская, М.В. Муратов, И.Б. Петров, В.А. Бирюков // Сб. научных трудов МФТИ: Моделирование процессов обработки информации. - 2014. - С. 4 - 7.

45. Фаворская, A.B., Бирюков, В.А., Муратов, М.В. Моделирование откликов от сложных трещиноватых структур с использованием сеточно-характеристического метода / A.B. Фаворская, В.А. Бирюков, М.В. Муратов // Труды 57-й научной конференции МФТИ. - 2014. - Т. 2. -С. 146-147.

46. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Санников, A.B., Квасов, И.Е. Сеточно-характеристический метод высокой точности на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Санников, И.Е. Квасов // Компьютерные исследования и моделирование. - 2012. - Т. 3, № 1. — С. 161-171.

47. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Санников, A.B., Квасов, И.Е. Сеточно-характеристический метод с интерполяцией высоких порядков на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Санников, И.Е. Квасов // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25, № 2. — С. 42 - 52.

48. Favorskaya, A.V., Petrov, I.В., Sannikov, A.V., Kvasov, I.E. Grid-Characteristic Method Using High Order Interpolation on Tetrahedral Hierarchical Meshes with a Multiple Time Step / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, A.V. Sannikov, I.E. Kvasov // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2013. - Vol. 5, No. 5. - P. 409 - 415.

49. Фаворская, A.B. Сеточно-характеристический метод на иерархических сетках / A.B. Фаворская // Труды 54-й научной конференции МФТИ: Проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. — 2011. — Т. 2. - С. 54 — 55.

50. Фаворская, A.B., Санников, A.B. Сеточно-характеристический метод на неструктурированных иерархических тетраэдральных сетках с кратным шагом по времени / A.B. Фаворская, A.B. Санников // Труды 55-й научной конференции МФТИ. - 2012. - Т. 2. - С. 120 - 121.

51. Фаворская, A.B., Петров, И.Б. Библиотека по интерполяции высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках / A.B. Фаворская, И.Б. Петров // Информационные технологии. — 2011. — №9. - С. 30 - 32

52. Фаворская, A.B. Интерполяция высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках / A.B. Фаворская // Сборник научных трудов МФТИ: Информационные технологии: модели и методы. - 2010.-С.35-44.

53. Фаворская, A.B. Интерполяция высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках / A.B. Фаворская // Труды 53-й научной конференции МФТИ. — 2010. — С. 36-44.

54. Фаворская, A.B., Голубев, В.И. Расчет воздействий землетрясений на сооружения сеточ-но-характеристическим методом с использованием мнимых точек / A.B. Фаворская, В.И. Голубев // Сборник научных трудов МФТИ «Математические моделирование информационных систем».-2015.-С. 11-14.

55. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Шевцов, A.B., Васюков, A.B., Потапов, А.П., Ермаков, A.C. Сеточно-характеристический комбинированный метод для численного решения динамических пространственных упругопластических задач / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Шевцов, A.B. Васюков, А.П. Потапов, A.C. Ермаков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. — Т. 54, № 7. — С. 1203 — 1217.

56. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Шевцов, A.B., Потапов, А.П., Васюков, A.B., Ермаков, A.C. Компьютерное моделирование упругопластических тел комбинированным методом / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Шевцов, А.П. Потапов, A.B. Васюков, A.C. Ермаков // Информационные технологии. - 2014. - № 3. - С. 19 - 24.

57. Фаворская, A.B., Петров, И.Б., Шевцов, A.B., Васюков, A.B., Потапов, А.П., Ермаков, A.C. О комбинированном методе для численного решения динамических пространственных упругопластических задач / A.B. Фаворская, И.Б. Петров, A.B. Шевцов, A.B. Васюков, А.П. Потапов, A.C. Ермаков // Доклады РАН. - 2015. - Т. 460, №. 4. - С. 389 - 391.

58. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Shevtsov, A.V., Vasyukov, A.V., Potapov, A.P., Ermakov, A.S. Combined Grid Characteristic Method for the Numerical Solution of ThreeDimensional Dynamical Elastoplastic Problems / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, A.V. Shevtsov, A.V. Vasyukov, A.P. Potapov, A.S. Ermakov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2014. — Vol. 54, No. 7 -P. 1176- 1189.

59. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Shevtsov, A.V., Vasyukov, A.V., Potapov, A.P., Ermakov, A.S. Combined Method for the Numerical Solution of Dynamic Three-Dimensional Elastoplastic Problems / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, A.V. Shevtsov, A.V. Vasyukov, A.P. Potapov, A.S. Ermakov // Dokla-dy Mathematics.-2015.-V. 91,No. 1.-P. Ill - 113.

60. Фаворская, A.B., Шевцов, A.B., Потапов, А.П., Васюков, A.B. Трехмерный комбинированный метод численного моделирования упругопластических тел / A.B. Фаворская, A.B. Шевцов, А.П. Потапов, A.B. Васюков // Сборник научных трудов МФТИ: Математические и информационные модели управления. - 2013. - С. 39 - 44.

61. Фаворская, A.B., Шевцов, A.B., Васюков, A.B., Потапов, А.П. Трехмерный комбинированный метод моделирования упругопластических тел / A.B. Фаворская, A.B. Шевцов, A.B. Васюков, А.П. Потапов // Труды 56-й научной конференции МФТИ. — 2013. — Т. 2. -С. 122- 123.

62. Фаворская, A.B., Беклемышева, К.А., Петров, И.Б. Численное моделирование процессов в твердых деформируемых средах при наличии динамических контактов с помощью сеточно-характеристического метода / A.B. Фаворская, К.А. Беклемышева, И.Б. Петров // Труды МФТИ. - 2013. - Т. 5, № 3 (19). - С. 3 - 10.

63. Фаворская, А.В., Беклемышева, К.А., Петров, И.Б. Численное моделирование процессов в твердых деформируемых средах при наличии динамических контактов с помощью сеточно-характеристического метода / А.В. Фаворская, К.А. Беклемышева, И.Б. Петров // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25, № 11. - С. 3 - 16.

64. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Beklemysheva, К. A. Numerical Simulation of Processes in Solid Deformable Media in the Presence of Dynamic Contacts Using the Grid-Characteristic Method / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, K.A. Beklemysheva // Mathematical Models and Computer Simulations.

- 2014. - Vol. 6, No. 3. - P. 294 - 304.

65. Фаворская, A.B., Беклемышева, K.A. Численное моделирование контактных динамических задач механики деформируемого твердого тела с помощью треугольных сеток / А.В. Фаворская, К.А. Беклемышева // Труды 53-й научной конференции МФТИ. - 2010. — С. 100-101.

66. Фаворская, А.В., Беклемышева, К.А. Численное моделирование контактных динамических задач механики деформируемого твердого тела с помощью треугольных сеток / А.В. Фаворская, К.А. Беклемышева // М.:МФТИ, Сб. трудов МФТИ: Математические модели и задачи управления. - 2011. - С. 100 - 104.

67. Фаворская, А.В., Беклемышева, К.А. Численное моделирование контактных динамических задач механики деформируемого твердого тела с помощью треугольных сеток / А.В. Фаворская, К.А. Беклемышева // Труды 54-й научной конференции МФТИ. - 2011.

68. Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Васюков, А.В., Ермаков, А.С., Беклемышева, К.А., Казаков, А.О., Новиков, А.В. О численном моделировании волновых процессов в анизотропных средах / А.В. Фаворская, И.Б. Петров, А.В. Васюков, А.С. Ермаков, К.А. Беклемышева, А.О. Казаков, А.В. Новиков // Доклады РАН. - 2014. - Т. 495, № 3. - С. 285 - 287.

69. Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Vasyukov, A.V., Ermakov, A.S., Beklemysheva, K.A., Kazakov, A.O., Novikov, A.V. Numerical Simulation of Wave Propagation in Anisotropic Media / A.V. Favorskaya, I.B. Petrov, A.V. Vasyukov, A.S. Ermakov, K.A. Beklemysheva, A.O. Kazakov, A.V. Novikov // Doklady Mathematics. - 2014. - V. 90, No. 3. - P. 778 - 780.

70. Фаворская, А.В. Постановка задачи численного моделирования динамических процессов в сплошной линейно-упругой среде с анизотропией сеточно-характеристическим методом / А.В. Фаворская // Труды 54-й научной конференции МФТИ: Проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. - 2011. — Т. 2. — С. 55 — 56.

71. Madariaga, R. Dynamics of an expanding circular fault / R. Madariaga // Bull. Seism. Soc. Am.

- 1976. - Vol. 65. - P. 163 - 182.

72. Virieux, J. SH-wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method / J. Virieux // Geophysics. - 1984. - Vol. 49. - P. 1933 - 1942.

73. Levander, A.R. Fourth-order finite difference P-SV seismograms / A.R. Levander // Geophysics. - 1988. - Vol. 53. - P. 1425 - 1436.

74. Mora, P. Modeling anisotropic seismic waves in 3-D / P. Mora // 59th Ann. Int. Mtg. Exploration Geophysicist, Expanded Articles. - 1989. - P. 1039 - 1043.

75. Moczo, P., Kristek, J., Vavrycuk, V., Archuleta, R.J., Halada, L. 3D heterogeneous staggered-grid finite-difference modeling of seismic motion with volume harmonic and arithmetic averaging of elastic moduli and densities / P. Moczo, J. Kristek, V. Vavrycuk, R.J. Archuleta, L. Halada // Bull. Seism. Soc. Am. - 2002. - Vol. 92. - P. 3042 - 3066.

76. Tessmer, E. 3-D Seismic modeling of general material anisotropy in the presence of the free surface by Chebyshev spectral method / E. Tessmer // Geophysical Journal International. - 1995. -Vol. 59.-P. 464-473.

77. Kaser, M., Igel, H. A comparative study of explicit differential operators on arbitrary grids / M. Kaser, H. Igel // J. Comput. Acoustics. - 2011. - Vol. 9. - P. 1111 - 1125.

78. Carcione, J.M. The wave equation in generalised coordinates / J.M. Carcione // Geophysics. -1994. - Vol. 59. - P. 1911 - 1919.

79. Tessmer, E., Kosloff, D. 3-D Elastic modeling with surface topography by a Chebyshev spectral method / E. Tessmer, D. Kosloff// Geophysics. - 1994. - Vol. 59. - P. 464 - 473.

80. Igel, H. Wave propagation in three-dimensional spherical sections by Chebyshev spectral method / H. Igel // Geophys. J. Int. - 1999. - Vol. 136. - P. 559 - 566.

81. Priolo, E., Carcione, J.M., Seriani, G. Numerical simulation of interface waves by high-order spectral modeling techniques / E. Priolo, J.M. Carcione, G. Seriane // J. acoust. Soc. Am. - 1994. -Vol. 95.-P. 681 -693.

82. Komatitsch, D., Vilotte, J.P. The spectral-element method: an efficient tool to simulate the seismic response of 2D and 3D geological structures / D. Komatitsch, J.P. Vilotte // Bull. Seism. Soc. Am. - 1998. - Vol. 88. - P. 368 - 392.

83. Seriani, G. 3-D large-scale wave propagation modeling by a spectral-element method on a Cray T3E multiprocessor / G. Seriani // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 1998. - Vol. 164. - P. 235 -247.

84. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Петров, И.Б. Воздействие природных катастроф на наземные сооружения / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, И.Б. Петров // Математическое моделирование. -2011.-Т. 23, №8.-С. 46-54.

85. Голубев, В.И., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Численное моделирование сейсмической активности сеточно-характеристическим методом / В.И. Голубев, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2013. - Т. 53, № 10. - С. 1709 - 1720.

86. Джавади, Я., Наджафабади М.А., Ахлаги М. Оценка остаточных напряжений в сварных соединениях из разнородных компонент с использованием моделирования методом конечных элементов и измерения головной ультразвуковой волны / Я. Джавади, М.А. Наджафабади, М. Ахлаги // Дефектоскопия. - 2012. - № 9. - С. 48 - 61.

87. Сыч, Т.В., Герасимов, С.И., Кулешов, В.К. Моделирование распространения акустических волн методом конечных элементов / Т.В. Сыч, С.И. Герасимов, В.К. Кулешов // Дефектоскопия. - 2012 - № 3. - С. 3 - 9.

88. Бархатов, В.А. Моделирование ультразвуковых волн методом конечных разностей во временной области. Двумерная задача. Оптимальные алгоритмы. Анализ погрешностей. Поглощающие области вблизи границ сеток / В.А. Бархатов // Дефектоскопия. — 2009 — № 6. — С. 76 - 82.

89. Bartoli, I., Marzani, A., Lanza di Scalea, F., Viola, E. Modeling wave propagation in damped waveguides of arbitrary cross-section / I. Bartoli, A. Marzani, F. Lanza di Scalea, E. Viola // NDT&E International. - 2006. - Vol. 295, No. 3(5) - P. 685 - 707.

90. Julian, B.R., Gubbins, D. Three-dimensional seismic ray-traing / B.R. Julian, D. Gubbins // J. Geophys. - 1977. - V. 43. - P. 95-113.

91. Bermudez, A., Hervella-Nieto, L., Rodriguez, R. Finite element computation of three-dimensional elastoacoustic vibrations / A. Bermudez, L. Hervella-Nieto, R. Rodriguez // Journal of Sound and Vibration - 1999 - V. 219, No. 2 - P. 279 - 306.

92. Kazer, M., Dumbser, M. A highly accurate method for complex interfaces between solids and moving fluids / M. Kazer, M. Dumbser // Geophysics - 2008 - V. 73, no. 3 - P. 723 - 725.

93. Van Vossen, R., Robertsson, J.O.A., Chapman, C.H. Finite-difference modeling of wave propagation in a fluid-solid configuration / R. van Vossen, J.O.A. Robertsson, C.H. Chapman // Geophysics - 2002 - V. 67, No. 2 - P. 618 - 624.

94. De la Puente, J., Kaser, M., Dumbser, M., Igel, H. An arbitrary high-order discontinuous Ga-lerkin method for elastic waves on unstructured meshes IV: Anisotropy / J. De la Puente, M. Kaser, M. Dumbser, H. Igel // Geophysical Journal International - 2007 - V. 169 - P. 1210 - 1228.

95. Seriani, G., Priolo, E., Carcione, J.M., Padovani, E. High-order spectral element method for elastic wave modeling / G. Seriani, E. Priolo, J.M. Carcione, E. Padovani // 62nd Annual International Meeting and Exposition, SEG, Extended Abstracts. - 1992. - P. 1285 - 1288.

96. Levander, A. Fourth-order finite-difference P-SV seismograms / A. Levander // Geophysics — 1988 - Vol. 53, No. 11 - P. 1425 - 1436.

97. Vlastos, S., Liu, E., Main, I.G., Li, X.-Y. Numerical simulation of wave propagation in media with discrete distributions of fractures: effect of fracture size and spatial distributions / S. Vlastos, E. Liu, I.G. Main, X.-Y. Li // Geophysical Journal International - 2003. - Vol. 152, No. 3 - P. 649 - 668.

98. Куликовский, А.Г., Погорелов, Н.В., Семенов, АЛО. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 608 с.

99. Shu, C.W. Essentially Non-Oscillatory and Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for Hyperbolic Conservation Laws / C.W. Shu ICASE Report. - 1997. - No. 97(65). -P. 1 - 79.

100. Balsara, D.S., Shu, C.W. Monotonicity Preserving Weighted Essentially Non-oscillatory Schemes with Increasingly High Order of Accuracy / D.S. Balsara, C.W. Shu // Journal of Computational Physics. - 2000. - No. 160. - P. 405 - 452.

101. Титарев, В.А. Неявный численный метод расчета пространственных течений разреженного газа на неструктурированных сетках / В.А. Титарев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50, № 10. - С. 1811 - 1826.

102. Dumbser, М., Kaser, М., Titarev, V.A., Того, E.F. Quadrature-free non-oscillatory finite volume schemes on unstructured meshes for nonlinear hyperbolic system / M. Dumbser, M. Kaser, V.A. Titarev, E.F. Того // Journal of Computational Physics. - 2007. - No. 226 - P. 204 - 243.

103. Tsoutsanis, P., Titarev, V.A., Drikakis, D. WENO schemes on arbitrary mixed-element unstructured meshes in three space dimensions / P. Tsoutsanis, V.A. Titarev, D. Drikakis // Journal of Computational Physics.-2011.-No. 230-P. 1585- 1601.

104. Толстых, А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики / А.И. Толстых - М.: Наука, 1990. - 230 с.

105. Толстых, А.И. О построении схем заданного порядка с линейными комбинациями операторов / А.И. Толстых // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2000. -т. 40,№8.-С. 1206-1220.

106. Рогов, Б.В., Михайловская, М.Н. Бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений / Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская // Доклады Академии Наук.-2010.-Т. 430, №4.-С. 1-5.

107. Рогов, Б.В., Михайловская, М.Н. Монотонные компактные схемы бегущего счета для систем уравнений гиперболического типа / Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2012. — Т. 32, № 4. — С. 672 — 695.

108. Холодов, А.С. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа / А.С. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1980. - т. 20, № 6. - С. 1601 - 1620.

109. Холодов, А.С., Холодов, Я.А. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа / А.С. Холодов, Я.А. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 9. — С. 1638 — 1667.

110. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий - М.: Изд. "Мир", 1975. - 872 с.

111. Thomsen, L. Elastic anisotropy due to aligned cracks in porous rock / L. Thomsen // Geophysical Prospecting. - 1995. - No. 43 - P. 805 - 829.

112. Hsu, C.-J., Schoenberg, M. Elastic waves through a simulated fractured medium / C.-J. Hsu, M. Schoenberg // Geophysics. - 1993. - Vol. 58, No. 7 - P. 964 - 977.

113. Thomsen, L. Weak elastic anisotropy / L. Thomsen // Geophysics. - 1986. - Vol. 51, No. 10 -P. 1954- 1966.

114. Winterstein, D.F. Velocity anisotropy terminology for geothysicists / D.F. Winterstein // Geophysics. - 1990. Vol. 55.-P. 1070- 1088.

115. Ландау, JI.Д., Лифшиц, Е.М. Теоретическая физика, т. 7 / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц -Москва: "Наука", 1987.

116. Магомедов, К.М., Холодов, А.С. Сеточно-характеристические численные методы / К.М. Магомедов, А.С. Холодов - М.: Наука, 1988. - 288 с.

117. Челноков, Ф.Б. Численное моделирование деформационных динамических процессов в средах со сложной структурой: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Челноков Федор Борисович. -М., 2005.-251 с.

118. Петров, И.Б., Тормасов, А.Г., Холодов, А.С. Об использовании гибридизированных се-точно-характеристических схем для численного решения трехмерных задач динамики деформируемого твердого тела / И.Б. Петров, А.Г. Тормасов, А.С. Холодов // Журн. выч. мат. и мат. физ. - 1990. - Т. 30, № 8. - С. 1237 - 1244.

119. Фомин, В.М., Гулидов, А.И., Сапожников, Г.А. и др. Высокоскоростное взаимодействие тел / В.М. Фомин, А.И. Гулидов, Г.А. Сапожников и др. - Новосибирск: Изд. СО РАН, 1999. -600 с.

120. Уилкинс, М. Расчет упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / М. Уилкинс // 1967. - С. 212 - 263.

121. Кукуджанов, В.Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред / В.Н. Кукуджанов // Успехи механики. 1985. —Т. 8., Вып. 4.-С. 21-64.

122. Канель, Г.И., Фортов, В.Е. Механические свойства конденсированных сред при интенсивных импульсных воздействиях / Г.И. Канель, В.Е. Фортов // Успехи механики. - 1987. - Т. 10, №3.-С. 3- 82.

123. Одинцов, В.А. Механизм разрушения цилиндров / В.А. Одинцов // Вопросы физики взрыва и удара. - 1980. - Вып. 1. - С. 22 - 70.

124. Сагомонян, А.Я. Аналитическое решение задач проникания / А.Я. Сагомонян - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. - 299 с.

125. Белов, Н.Н., Корнеев, А.И., Николаев, А.П. Численный анализ разрушения в плитах под действием импульсных нагрузок / Н.Н. Белов, А.И. Корнеев, А.П.Николаев // ПМТФ. - 1985. -№ 3. — С. 132-136.

126. Баженов, В.Г., Ломунов, В.К., Чекмарев, Д.Т. Численное моделирование нелинейных задач динамики упругопластических конструкций / В.Г. Баженов, В.К. Ломунов, Д.Т. Чекмарев // Матем. моделирование. - 2006. - Т. 18,№ 1.-С. 10-16.

127. Бабкин, А.В., Селиванов, В.В. и др. Физика взрыва. Т. 1. / А.В. Бабкин, В.В. Селиванов и др. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 832 с.

128. Libersky, L.D., Petschek, A.G. Smoothed particles hydrodynamics with strength of materials / L.D. Libersky, A.G. Petschek // Proceedings of The Next Free Language Conference. - 1991. -P. 248 - 257.

129. Randies, P.W., Libersky, L.D., Carney, T.C., Sandstrom, F.W. SPH simulation of fragmentation in the MK82 bomb / P.W. Randies, L.D. Libersky, T.C. Carney, F.W.Sandstrom // AIP Conference Proceedings. - 1996. - V. 370. - P. 331 - 334

130. Liu, G.R., Liu, M.B. Smoothed Particles Hydrodynamics / G.R. Liu, M.B. Liu - Singapore, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. - 2003.

131. Медин, С.А., Паршиков, A.H. Развитие метода SPH и его применение в задачах гидродинамики конденсированных сред / С.А. Медин, А.Н. Паршиков // Теплофизика высоких температур. - 2010. - Т. 48, № 6. - С. 973 - 980.

132. Monaghan, J.J. An introduction to SPH / J.J. Monaghan // Computer Physics Communications. - 1988. -V. 48.-P. 89-96.

133. Monaghan J.J. SPH without a tensile instability / J.J. Monaghan // Journal of Computational Physics. - 2000. - P. 290 - 311.

134. Гильманов, A.H., Кулачкова, H.A. Численное исследование двумерных течений газа со скачками методом TVD на физически адаптивных сетках / А.Н. Гильманов, Н.А. Кулачкова // Матем. моделирование. - 1995. - Т. 7, № 3. - С. 97 - 106.

135. Новацкий, В. Волновые задачи теории пластичности / В. Новацкий - М.: Изд. "Мир", 1978.-307 с.

136. Потапов, А.П., Ройз, С.И., Петров, И.Б. Моделирование волновых процессов методом сглаженных частиц (SPH) / А.П. Потапов, С.И. Ройз, И.Б. Петров // Математическое моделирование. - 2009. - Т. 21. № 7. - С. 20 - 28.

137. Pao, Y.H., Varatharajulu, V. Huygens' principle, radiation conditions and integral formulas for t -he scattering of elastic waves / Y.H. Pao , V. Varatharajulu // J.Acoust.Soc.Am. — 1976. - Vol. 59. -P. 1361 - 1371.

138. Zhdanov M.S. Integral Transforms in Geophysic / M.S. Zhdanov - New York, Berlin, London. Tokyo: Springer-Verlag, 1988. - 367 p.

139. Zhdanov, M.S. Geophysical Inverse Theory and Regularization Problems / M.S. Zhdanov -Elsevier, 2002. - P. 609.

140. Фаворская, A.B., Голубев, В.И. Решение прямых и обратных задач с помощью интегралов Кирхгофа / A.B. Фаворская, В.И. Голубев // Труды 57-й научной конференции МФТИ. — 2014.— Т. 2.-С. 134-135.

141. Фаворская, A.B., Жданов, М.С. Обобщенные интегралы Кирхгофа для описания волновых процессов в линейно-упругих средах / A.B. Фаворская, М.С. Жданов // Сборник научных трудов МФТИ «Математические моделирование информационных систем». - 2015. - С. 4 - 8.

142. Фаворская, A.B. Об аппроксимации и устойчивости сеточно-характеристических методов на неструктурированных сетках / A.B. Фаворская // Сборник научных трудов МФТИ «Математические моделирование информационных систем». - 2015. — С. 8 - 11.

143. Кондауров, В.И., Кукуджанов, В.Н. Численное решение неодномерных задач динамики упруго-пластических сред / В.И. Кондауров, В.Н. Кукуджанов // Сб. Избранные проблемы прикладной механики. - М.: Наука. - 1974. - С. 421 - 430.

144. Конадуров, В.И., Кукуджанов, В.Н. Об определяющих уравнениях и численном решении некоторых задач динамики упруго-пластических сред с конечными деформациями / В.И. Кондауров, В.Н. Кукуджанов // Сб. Численные методы в механике твердого деформируемого тела. - М.: ВЦ АН СССР. - 1978. - С. 84 - 122.

145. Заппаров, К.И., Кукуджанов, В.Н. Решение нестационарных задач динамики упругопла-стической среды методом подвижных сеток / К.И. Заппаров, В.Н. Кукуджанов // Сб. Численные методы в механике твердого деформируемого тела. — М.: ВЦ АН СССР. - 1984. - С. 65-86.

146. Заппаров, К.И., Кукуджанов, В.Н. Математическое моделирование задач импульсного деформирования, взаимодействия и разрушения упругопластических тел / К.И. Заппаров, В.Н. Кукуджанов - М. ИПММех. АН СССР. - Препринт - 1986. - № 280. - 67 с.

147. Холодов, A.C. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа / A.C. Холодов // Журн. выч. матем. и матем. физ. — 1978. — Т. 18,-№6.-С. 1476-1492.

148. Иванов, В.Д., Холодов, A.C. Об использовании сеточно-характеристических схем с положительной аппроксимацией для решения линейных задач теории упругости / В.Д. Иванов, A.C. Холодов - М.: Деп. ВИНИТИ. - 1978. - № 282. С. 6-78.

149. Петров, И.Б., Холодов, A.C. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом / И.Б. Петров, A.C. Холодов // Журн. выч. матем. и матем. физ. - 1984. - Т. 24. - № 5. - С. 722-739.

150. Петров, И.Б., Тормасов, А.Г. О численном исследовании трехмерных задач обтекания волнами сжатия препятствия или полости в упругоплатическом полупространстве / И.Б. Петрова, А.Г. Тормасов // Доклады АН СССР. - 1990. Т. 314, № 4. - С.817 - 820.

151. Иванов, В.Д., Петров, И.Б., Суворова, Ю.В. Расчет волновых процессов в наследственных вязкоупругих средах / В.Д. Иванов, И.Б. Петров, Ю.В. Суворова // Механика композитных материалов. — 1990. - № 3. — С. 447 - 450.

153. Холодов, А.С. Численные методы решения уравнений и систем гиперболического типа /

A.С. Холодов // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. - 2008. - С.141 - 174.

154. Шокин, Ю.И., Яненко, Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике / Ю.И. Шокин, Н.Н. Яненко - Новосибирск: Наука, 1985. - 368 с.

155. Годунов, С.К., Рябенький, B.C. Разностные схемы. Введение в теорию / С.К. Годунов,

B.C. Рябенький - М.: Наука, 1977. - 440 с.

156. Leveque, R.J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems / R.J. Leveque - United Kingdom: Cambridge University Press, 2004. - 558 p.

157. Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский - М., Наука, 1971.-552 с.

158. Trorey, A.W. A simple theory for seismic diffractions / A.W. Trorey // Geophysics. - 1970. -Vol. 35.-P. 762-784.

159. Trorey, A.W. Diffraction for arbitrary source/receiver locations / A.W. Trorey // Geophysics. — 1977.-Vol. 42. - P. 1177-1182.

160. Duzhirin, A. Decoupled elastic prestack depth migration / A. Duzhirin // Journal of Applied Geophysics. - 2003. - Vol. 54. - P. 369 - 389.

161. Xue, A., McMechan, G.A. Prestack elastic Kirchhoff migration for multicomponent seismic data in variable velocity media / A. Xue, G.A. McMechan // 70th Ann. Internat. Mtg., Soc. - 2000.

162. Kuo J.T., Dai T. Kirchhoff elastic wave migration for the case of noncoincident source and receiver / J.T. Kuo, T. Dai // Geophysics. - 1984. - Vol. 49(8). - 1223 - 1238.

163. Zhang, L.Y., Liu, Y. Anisotropic converted wave amplitude-preserving prestack time migration by the pseudooffset method / L.Y. Zhang, Y. Liu, // Applied Geophysics. - 2008. - Vol. 5(3). -P. 204-211.

164. Wang, D.P. Vector 3C3D VSP Kirchhoff migration / D.P. Wang // 74th Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts. - 2004. - P. 2458 - 2461.

165. Qizhen Du, Bo Hou Elastic Kirchhoff migration of vectorial wave-fields / Du Qizhen, Hou Bo // Applied Geophysics. - 2008. - Vol. 5, No. 4. - P. 284 - 293.

166. Keho, Т.Н., Wu, R.S. Elastic Kirchhoff migration for vertical seismic profiles / Т.Н. Keho, R.S. Wu // 57th Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts. - 1987. - P. 774 - 776.

167. Kennett, В. Seismic wave propagation in stratified media / B. Kennett // ANU E Press, 2009.

168. Грицык, В.И. Дефекты рельсов железнодорожного пути / В.И. Грицык - М.: Маршрут, 2005. - 80 с.

169. Беклемышева, К.А., Васюков, A.B., Голован, В.И., Дзюба, A.C., Ермаков, A.C., Петров, И.Б. Численное моделирование низкоскоростного удара по трехстрингерной панели из полимерного композиционного материала / К.А. Беклемышева, A.B. Васюков, В.И. Голован, A.C. Дзюба, A.C. Ермаков, И.Б. Петров // В сборник трудов ЦАГИ «Прочность конструкций летательных аппаратов». - 2015.

170. Петров, И.Б., Васюков, A.B., Беклемышева, К.А., Ермаков, A.C., Дзюба, A.C., Голован, В.И. численное моделирование динамических процессов при низкоскоростном ударе по композитной стрингерной панели / И.Б. Петров, A.B. Васюков, К.А. Беклемышева, A.C. Ермаков, A.C. Дзюба, В.И. Голован // Математическое моделирование. - 2014. - Т. 26, № 9. — С. 96 - 110.

171. Караев, H.A., Левянт, В.Б., Петров, И.Б., Караев, Г.Н., Муратов, М.В. Оценка методами математического и физического моделирования возможности использования обменных рассеянных волн для прямого обнаружения и характеристики систем макротрещин / H.A. Караев, В.Б. Левянт, И.Б. Петров, Г.Н. Караев, М.В. Муратов // Технологии сейсморазведки. - 2015. -№ 1.-С. 22-36.