Численное моделирование волновых процессов в гетерогенных твердых деформируемых средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Квасов, Игорь Евгеньевич

• Квасов, Игорь Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Квасов, Игорь Евгеньевич

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ.

1.1. Математическая модель.

1.2. Выбор системы координат.

1.3. Обобщение записи дифференциальных уравнений.

1.4. Спектральное исследование системы.

1.4.1. Прямая задача.

1.4.2. Сопряженная задача.

1.4.3. Важные обозначения и соотношения.

1.4.4. Нормировка собственных векторов.

1.4.5. Нулевые собственные значения.

1.4.6. Матрицы А, £1, П

1.5. Покоординатное расщепление.

1.6. Сеточно-характеристические схемы.

1.7. Расчет на границе области интегрирования.

1.7.1. Заданная внешняя сила.

1.7.2. Заданная скорость границы.

1.7.3. Смешанные условия.

1.7.4. Условия поглощения и симметрии.

1.7.5. Решение на границе при наличии правой части.

1.8. Контакт между двумя телами.

1.8.1. Полное слипание.

1.8.2. Свободное скольжение.

1.9. Случай трансляционной симметрии по одной оси.

1.9.1. Выбор системы координат.

1.9.2. Обобщение записи дифференциальных уравнений.

1.9.3. Спектральное исследование системы.

1.9.4. Прямая задача.

1.9.5. Сопряженная задача.

1.9.6. Нормировка собственных векторов.

1.9.7. Нулевое собственное значение.

1.9.8. Матрицы.

1.9.9. Покоординатное расщепление.

1.9.10. Заданная внешняя сила.

1.9.11. Заданная скорость границы.

ГЛАВА 2. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ.

2.1. Сеточно-характеристический метод на неструктурированных сетках.

2.2. Диаграмма работы параллельной вычислительной программы.

2.3. Неструктурированные сетки.

2.3.1. Структура сетки.

2.3.2. Ограничения на используемые сетки.

2.4. Разбиение сетки на домены.

2.4.1. Метод разбиения.

2.4.2. Вычисление значений в точках на границе домена.

2.4.3. Метод взаимодействия вычислителей.

2.5. Дополнительные элементы домена.

2.5.1. Подробная структура элементов сетки.

2.5.2. Нахождение дополнительных треугольников.

2.5.3. Нахождение дополнительных рёбер.

2.5.4. Нахождение дополнительных полу-ребер.

2.5.5. Нахождение дополнительных вершин.

2.6. Проблема переиндексации элементов в доменах.

2.7. Примеры разбиений.

ГЛАВА 3. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ УСЛОВИЯ ШОНБЕРГА НА ТРЕЩИНЕ.

3.1. Введение.

3.2. Математическая модель.

3.3. Аналитическое обоснование условия линейного скольжения.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ОТКЛИКА ОТ СУБВЕРТИКАЛЬНОЙ МАКРОТРЕЩИНЫ.

4.1. Введение.

4.2. Общая характеристика изменения сейсмического отклика от макротрещины в зависимости от ее длины, наклона и заполнения.

4.3. Характеристика моделей с субвертикальными макротрещинами.

4.4. Характеристика волн отклика, обусловленного субвертикальной макротрещиной.

4.4.1. Волновой отклик от субвертикальной макротрещины в полупространстве.

4.4.2. Особенности волнового отклика от макротрещины, вызванные отраженной волной от нижележащей границы.

4.5. Влияние параметров макротрещины на динамические характеристики волнового отклика, ею вызванного.

4.5.1. Сопоставление сейсмограмм, полученных при заполнении макротрещины газом или жидкостью.

4.5.2. Влияние высоты субвертикальной макротрещины на сейсмический отклик от нее.

4.5.3. Влияние отклонения макротрещины от вертикали.

4.5.4. Влияние характера вмещающих пород.

4.6. Некоторые аспекты использования полученных сведений о сейсмическом отклике от субвертикальных макротрещин.

4.7. Выводы.

ГЛАВА 5. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ТРЕЩИНОВАТОГО ПЛАСТА.

5.1. Приповерхностный взрыв.

5.1.1. Учет пластичности грунта.

5.1.2. Учет зависимости скорости звука от глубины.

5.1.3. Отражение от земной поверхности.

5.2. Анизотропия отклика.

5.2.1. Постановка задачи.

5.2.2. Анизотропия отклика.

5.2.3. Зависимость отклика от расстояния между трещинами. 5.2.4. Зависимость отклика от плотности расположения трещин.

5.2.5. Зависимость отклика от частоты импульса.

5.3. Осредненная модель трещиноватого пласта.

5.3.1. Постановка задачи.

5.3.2. Построение изотропной модели коридора трещин.

5.3.3. Введение нормы.

5.3.4. Построение поверхностей по норме.

5.3.5. Вычисление эффективных параметров среды.

5.3.6. Изучение зависимости параметров модели от плотности заполнения коридора.

5.3.7. Изучение зависимости параметров модели от высоты коридора

5.3.8. Изучение зависимости параметров модели от угла падения возмущения.

5.4. Сравнение 2Т) и ЗО расчетов.

5.4.1. Постановка задачи.

5.4.2. Результаты сравнения.

ГЛАВА 6. МНОГОСЛОЙНЫЕ ГЕОЛОГИЧЕСКИЕ СРЕДЫ.

6.1. Постановка задачи.

6.2. Распространение сейсмосигнала в однородной упругой среде.

6.3. Двухслойная порода.

6.4. Двухпериодический композит.

6.5. Моделирование многослойной неоднородной среды.

6.6. Распространение сейсмического импульса в геологической среде с криволинейными контактными границами.

ГЛАВА 7. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ СЕЙСМОРАЗВЕДКИ.

7.1. Постановка задачи.

7.2. Характерный вид функционала.

ГЛАВА 8. БЕЗОПАСНОСТЬ ЖИЛИЩНЫХ И ПРОМЫШЛЕННЫХ СООРУЖЕНИЙ.

8.1. Воздействие ударов и взрывов на здания.

8.2. Постановка задачи.

8.3. Результаты расчетов.

8.4. Сейсмостойкость.

8.4.1. Введение.

8.4.2. Механизмы очага землетрясения.

8.4.3. Модель начального возмущения.

8.4.4. Постановка задачи.

8.4.5. Влияние поперечной волны на купольную конструкцию.

8.4.6. Влияние сейсмических волн на здание.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование волновых процессов в гетерогенных твердых деформируемых средах»

В современном мире с высокоразвитой энергоемкой индустрией задачи добычи энергоносителей (углеводородов) из земных недр имеют особый приоритет. Разумеется, эти проблемы являются многоотраслевыми, включающими такие аспекты, как:

- экспериментальное изучение распространения волн в существенно неоднородных (слоистых, градиентных, пористых, трещиноватых, флюдонасыщенных) породах;

- разработка технологий получения сейсмограмм как в твердых породах, так и шельфовых зонах;

- разработка технологий эксплуатации скважин; математическое моделирование;

- разработка математических методов решения обратных задач для выявления неоднородностей в породах;

- создание механико-математических моделей поведения углеводородсодержащих пород, описывающих их поведение в условиях различных динамических воздействий;

- реализация механико-математических моделей работы скважины, находящейся в породе;

- создание вычислительных методов для численного решения динамических многомерных систем уравнений механики сплошных сред (в первую очередь, систем уравнений упругости и гидродинамики); как известно, это уравнения в частных производных гиперболического типа;

- разработка вычислительных алгоритмов и расчетных программ для компьютеров;

- распараллеливание вычислительных алгоритмов для численного решения задач на высокопроизводительных многопроцессорных вычислительных системах; к ним относятся задачи моделирования взрывных процессов в породах для инициирования сейсмических волн; распространения, отражения, переотражения, рассеивания, дифракции упругих волн, получения расчетных сейсмограмм; решение обратных задач;

- визуализация и интерпретация полученных результатов.

Мы остановимся на решении задач сейсморазведки, которая представляет собой объединенный набор методов исследования геологического строения земной коры, базирующихся на исследовании распространения в ней упругих волн, возбуждаемых тем или иным, в первую очередь, искусственным путем.

Как хорошо известно, из динамической теории упругости и многочисленных лабораторных и натурных экспериментов, упругие волны' распространяются во всех направлениях от точки сейсмического возмущения, проникая на большие глубины земной коры. Там они отражаются и* преломляются на границах раздела различных сред, трещинах, порах, рассеиваются на множественных неоднородностях, дифрагируют и проходят вглубь Земли. Отраженные или рассеянные волны распространяются к поверхности Земли, где их регистрируют сейсмические датчики. Изучая и расшифровывая полученные сейсмотрассы, можно определять координаты и формы неоднородностей в глубине коры, а в ряде случаев делать заключения о составе пород.

Известно, что методы сейсморазведки базируются на исследовании распространения упругих волн, отраженных от поверхностей раздела геологических сред. Однако ситуация усложняется тем, что скорость распространения упругих волн в таких средах может меняться в весьма широком диапазоне в зависимости от их состава и глубины залегания. Но если мы будем определять время пробега упругой волны из нескольких точек расположения сейсмодатчиков, то появляется возможность вычислить скорость упругих волн и локализовать положения границы раздела двух сред. Т.е. сейсморазведка решает задачи структурной геологии и используется при разведке нефти, газа, твердых энергоресурсов (каменный уголь) и др.

Опишем качественно типы волн, которые различают в сейсморазведке, и наличие которых также следует из динамической теории упругости.

1. Продольные волны.

2. Поперечные (сдвиговые) волны.

3. Поверхностные волны Рэлея.

4. Поверхностные волны Лява.

5. Обменные волны.

6. Волны Рэлея-Лэмба, распространяющие вдоль контактных границ.

7. Волны Стоунли, распространяющиеся вдоль раздела поверхности твердое тело-жидкость (иногда их называют скважинными волнами).

8. Головные волны (аналог волн Маха в газодинамике), появляющиеся в акустически менее жесткой среде в результате распространения упругой волны вдоль контактной границы двух сред с различными скоростями звука.

9. Кратные волны — упругие волны, многократно переотражающиеся от поверхности раздела сред.

10.Дифракционные волны, т.е. волны, огибающие препятствие, например, полость.

11.Проходящие волны — упругие волны, распространяющиеся через некое препятствие, например, флюидонасыщенный резервуар.

12.Рефрагированные упругие волны, появление которых связано с увеличением с глубиной скорости распространения звука в породе.

13.Рассеянные волны — упругие волны, отраженные от многочисленных неоднородностей.

14.Нерегулярные волны; дело в том, что в реальной геологической породе имеется большое количество границ, инициирующих множество волн, которые, имея примерно одинаковую интенсивность, взаимодействуют между собой и образуют некий фон помех.

Понятно, что из большого числа различных видов упругих волн, приходящих к дневной поверхности, только некоторые используются для изучения структуры тех или иных геологических пород. По этой причине в сейсморазведке те волны, которые используются для изучения геологического строения определенного участка коры, называют полезными, те же, которые препятствуют исследованию распространения полезных волн, относят к помехам (шумам).

Отметим, что описанию волновых процессов в упругих средах посвящены такие работы как

Не останавливаясь подробно на описании лабораторных и натурных экспериментов, посвященных изучению распространения упругих волн в неоднородных (слоистых, пористых, трещиноватых) средах, поскольку нашей задачей является механико-математическое и численное моделирование поведения геологических сред в условиях динамических нагрузок, приведем некоторые, на наш взгляд, успешные примеры проведения подобных исследований.

В [15] были предложены и реализованы модельные конструкции трещиноватых и поротрещинных, в том числе флюидонасыщенных, упругих сред, в которых возбуждались акустические возмущения и исследовались получаемые сейсмограммы. Эксперимент позволяет получать сейсмотрассы и исследовать структуру образцов.

Изучению особенностей динамических процессов в тонкослоистых образцах посвящена работа [16], в которой используется обратное преобразование Фурье для получения фазовых спектральных характеристик сейсмических сигналов. В [17] предлагается, для моделирования прохождения импульса через слоисто-пористую среду, сконструировать слоистую систему из прозрачных тонких шероховатых плат, толщиной 0,7 мм каждая, в которой шероховатость реализовывалась при помощи песка, помещенного между ними.

Экспериментальное изучение4 распространения волн сжатия и сдвига во флюидонасыщенных средах проводится в работе [18].

Волновые поля, образующиеся в результате взаимодействия упругой волны, инициируемой лазерным импульсом, с изолированной трещиной, зарегистрированы и изучены в Институте общей физики РАН [19].

Многочисленные сейсмоакустические эксперименты на мелководных акваториях, их обработка, интерпретация, а также сопоставления с приближенными методами моделирования представлены в [20]. В работах [21, 22] рассматриваются многие примеры исследования структуры пород по данным сейсморазведки. Описание шельфовых сейсмологических исследований приведено в [23].

Изучение структуры углеводородсодержащих пород с помощью сейсмограмм часто приходится решать обратные задачи сейсморазведки. Этой теме посвящено значительной количество работ, обзор которых представляет отдельный интерес. Не вдаваясь в эту интересную и важную для сейсмики тематику, приведем здесь лишь некоторые работы в этой области: [24, 25, 26, 27, 28, 29].

Для приближенного решения задач сейсморазведки широко используются геометрические (лучевые) методы, область применимости которых, понятно, ограничена (см., например, [30, 31, 32]).

В частности, они не позволяют восстановить всю сложную волновую картину процессов, происходящих в> породах сложной структуры (слоистых, трещиноватых, кавернозных), для чего необходимо применять более точные подходы к их математическому моделированию.

К таким подходам относится методы механики сплошных сред, в частности, теории упругости и гидродинамики.

Этот подход позволяет получать полные волновые картины, инициированные сейсмическими возмущениями, в самых сложных по структуре геологических средах, а также наиболее корректно выделить все особенности (неоднородности) исследуемых пород.

Для решения задач сейсмики, разумеется, в течении последних десятилетий интенсивно развивались аналитические методы решения динамических уравнений, описывающих волновые процессэ, происходящие в исследуемых породах, хорошо известны классические монографии, посвященные решению этих задач, [0], [2], [33] и др. Активность в этих исследованиях представляется очень полезной, поскольку позволяет не только получить точные решения относительно простых (с точки зрения вычислительных методов) задач, но и позволяет получить все типы волн, распространяющихся в упругих средах, описанных ранее. Кроме того, аналитические решения важны для верификации результатов численного моделирования.

В последние десятилетия в геомеханике интенсивно развивались подходы к моделированию поведения сплошных неоднородных сред, основанные на получении:

- осредненных механических характеристик геологических сред;

- осредненных уравнений, описывающих их поведение;

- эмпирических соотношений, приближенно выполняющихся в окрестности неоднородностей.

Их основной недостаток — существенно ограниченная область применимости. Существенный интерес представляет метод постановки прозрачных граничных условий, позволяющий "соединить" численное и аналитическое решение сейсмической задачи на границах области интегрирования. Известно, что при численном решении динамических задач, речь о котором пойдет далее, на границах появляются нефизичные возмущения, обусловленные постановкой тех или иных граничных условий. Упомянутый подход позволяет в ряде случаев разрешить эту проблему. Его разработке посвящены работы [35, 36, 37, 38, 39].

В ряде случаев получение эффективных (осредненных) упругих характеристик оказывается вполне эффективным подходом при решении задач сейсморазведки (например, мелкозернистые флюидонасыщенные среды, породы с многочисленными кавернами, хаотически ориентированными мелкими трещинами). Хотя стоит отметить, что последние случаи могут рассматриваться и в рамках выделения всех неоднородностей породы, если использовать высокопроизводительные вычислительные системы для численного решения подобных задач. Получению таких механических характеристик посвящены, например, работы [40, 41, 42, 43, и мн. др.], аналитический обзор которых приведен в [21]. В упомянутых работах геологическая среда полагались изотропной.

Особую нишу в работах, посвященных этой проблеме, занимают задачи, в которых рассматриваются флюидонасыщенные породы с вертикальными или субвертикальными трещинами, поскольку в этом случае приходится учитывать анизотропию среды. Для этих целей вводится условие линейного скольжения, являющееся базовой гипотезой в работах [44, 45, 46]. Отметим также ч монографию [47], посвященную упомянутым проблемам и статью, в которой' делается краткий обзор трех моделей (Шоенберга, Хадсона, Фехлера) [134].

К недостаткам этих моделей следует отнести недостаточно адекватно передаваемую волновую картину процессов в сейсмике, хотя они играют существенную роль в^решении сейсмических задач. Для получения адекватной картины процесса распространения упругих волн в средах с субвертикальными трещинами необходимо выделять все трещины в породе с корректной постановкой условий на контактных границах, что, по-видимому, впервые было реализовано в работе [48].

В этих работах используются наиболее адекватные для решения сейсмики, определяющие уравнения механики сплошных сред [57], представляющие из себя систему динамических дифференциальных уравнений в частных производных (системы уравнений теории упругости и, в случае учета наличия флюида в трещинах, гидродинамики). Разумеется, решение этой системы возможно только с использованием численных методов.

В качестве сплошной среды в геомеханике нередко рассматриваются пористые, флюидонасыщенные, слоистые, трещиноватые и кавернозные ч V породы. Отметим, что в настоящее время динамическое поведение многих из этих существенно неоднородных сред можно промоделировать при помощи современных численных методов и высокопроизводительной вычислительной техники.

Но в ряде случаев можно использовать осредненные дифференциальные уравнения в частных производных (уравнения механики сплошных сред). Наиболее используемой в сейсморазведке для моделирования поведения флюидонасыщенных сред является двухфазная модель Био [49, 50].

Отметим, что любые осредненные модели, к которым исследователи давно и прочно привыкли, являются неким упрощением полной физической картины процессов, а, следовательно, необходимо изучать те погрешности и нефизические явления, которые появляются при их использовании. Таких исследований, к сожалению, практически не проводится, хотя понятно, что предположение о наличии в некоей точке среды, флюида и породы, не совсем физично, например, для сплошной среды с флюидонасыщенными кавернами. Эти уравнения получаются с помощью соответствующих обобщений уравнений теории упругости и гидроакустики, а между членами, определяющими смещения и напряжения в общих фазах, полагается линейная^ связь. Система Био имеет гиперболические тип, описывает распространение волн с конечными скоростями. Ее особенностью, по сравнению с уравнениями теории упругости является наличие не двух, а трех характеристик, что обусловлено наличием как упругого скелета- среды, так и флюида.

В случае рассмотрения многослойных геологических сред, последние полагаются периодическими, состоящими из двух чередующихся слоев, которые могут быть как упругими, так и жидкими.

В= работе [49] проводится подробное описание подобных осредненных уравнений, в т.ч. и для слоистых сред. Понятно, что модель Био наиболее адекватно описывает динамические процессы в том случае, когда длина доминирующей волны существенно превышает интервалы между кавернами или трещинами, а также их размеры. Полагается, что смещения и напряжения получаются в результате осреднений, упругих и жидких смещений и напряжений по малой окрестности рассматриваемой точки, а осредненные величины зависят от размеров малой окрестности. Для определения этих величин в обеих фазах записываются, как и в случае упругих сред, уравнения Гука и механики сплошных сред.

На контактных границах этих сред ставятся условия скольжения или слипания. В сплошной среде, совершается предельный переход, при котором длина периода устремляется к нулю, число периодов становится бесконечным, а общая толщина среды полагается ограниченной. Этот предельный переход производится методом матричного осреднения, являющимся обобщением [52]. Среда, состоящая из однородных и изотропных упругих слоев, при условии жесткого контакта, между ними, является трансверсально-изотропной. Осредненные системы, описывающие поведение более сложных сред или контактов между слоями, как правило, содержат не более двух фаз. Отметим и другие работы этого направления [53, 54, 55, 56].

Несмотря на то, что осредненные модели имеют широкое распространение в сейсмологической практике, связано это обстоятельство не только с их полезностью, но и с необходимостью ранее, еще в 50-70 гг. прошлого века решать сложные задачи сейсмики приближенными и аналитическими методами вследствие отсутствия высокопроизводительной вычислительной техники и численных методов для решения соответствующих многомерных г нестационарных систем уравнений гиперболического типа (динамических уравнений механики сплошных сред).

В настоящее время, вследствие быстрого развития вычислительных методов и многопроцессорной вычислительной техники, появляется возможность решать существенно более сложные задачи сейсморазведки, без каких-либо дополнительных предположений, а во многих случаях и осреднений, учитывать структуру исследуемой породы, в частности, наличие в ней трещин, каверн, флюидонасыщенности, карстовых образований, слоистости.

Появление этих новых возможностей важно и для скважинной сейсморазведки, где необходимо учитывать влияние неоднородностей вблизи скважин в породе. В частности, такой подход предложен и реализован для численного исследования структуры реальных геологических пород с использованием плоской замкнутой системы уравнений механики сплошных сред и математически корректным описанием неоднородностей' (решением задач контактного разрыва на границах поверхностей раздела двух сред) в работах [10, 11, 12, 13].

Численное моделирование в механике сплошных сред — наука относительно молодая (первые работы появились в 40-50 гг. прошлого столетия). Приведем лишь .некоторые из пионерских работ, на которых базируются: современные вычислительные решения уравнений' в частных производных: [58-76]. Авторы эти работ предложили первые разностные схемы для численного решения уравнений переноса, теплопроводности, Лапласа, а также одномерных систем уравнений аэродинамики^ которые в дальнейшем были использованы для решения задач в- других предметных областях (гидродинамика, теория упругости и пластичности, физика,плазмы, медицина, климатология и мн. др.). В этих же, работах впервые были5 введены понятия* сходимости: решения разностного уравнения к решению дифференциального, аппроксимации решения дифференциального уравнения разностным, устойчивости решения5 разностного уравнения [61, 64].

Численное решение задач сейсморазведки на основе; решения полной системы уравнений механики сплошных сред (в-, первую очередь, системы уравнений теории упругости с учетом наличия в трещине, каверне, резервуаров и гидродинамики) используется относительно недавно:

Следует заметить, что эти работы являются логическим продолжением: исследования по разработке вычислительных методов решения динамических систем уравнений механики деформируемого твердого тела. К первым из них можно отнести работы [75, 76].

В основном в этих работах использовались разностные аппроксимации производных по времени и пространству (см., например, [80, 81], в [85]) применялся метод конечных элементов. Как хорошо известно в математике, наиболее эффективным для решения динамических задач механики сплошных сред являются методы, учитывающие характеристические свойства систем уравнений в частных производных гиперболического типа. В динамике деформируемого твердого тела такие методы использовались в работах [81, 83, 84].

В дальнейшем с их помощью были численно решены многие сложные динамические задачи механики деформируемых сред [87-99].

В сейсморазведке к настоящему времени использовались, в основном, обычные конечно-разностные аппроксимации производных, зачастую без исследования свойств численного метода, проведение тестовых сравнительных расчетов. В работах [101, 102, 103, 104, 105] для- решения этих задач использовались^ методы конечных и спектральных элементов в том числе, повышенном порядка точности. В то же время от поведения' численного решения вблизи контактных границ и границ области интегрирования зависят не только от количественных, но и качественные характеристики волновых картин и сейсмограмм. При решении весьма специфических задач геодинамики (большое количество неоднородных, контактных границ, отражений и преломлений упругих волн) необходимо тщательно исследовать свойства используемых разностных методов на их способность получать адекватные численные решения, моделирующие сложные динамические процессы, происходящие в геологических средах при прохождении сейсмических сигналов. В частности, важным свойством численных методов, применяемым для решения динамических задач, является монотонность, не менее важным является корректное решение задачи контактного разрыва и корректная аппроксимация искомых функций в граничных точках.

В работах [103, 106, 108, 110, 117, 120, 123] описаны конечно-разностные схемы, которые адаптировались авторами для численного решения задач сейсмики. Следует отметить, что к этому времени был уже накоплен значительный опыт для решения задач с ярко выраженными волновыми процессами в газодинамике, динамике твердого тела, динамики плазмы. Обзоры этих работ можно найти, например, в [126, 127, 128], а методы, с помощью которых решались эти задачи, реально было использовать в сейсморазведке, чего фактически не произошло и сказалось на уровне численных методов, используемых в этой области.

В работах [103, 109, 112] изучались волновые поля во флюидонасыщенных породах, в [107] были использованы модели геологических пород с осредненными коэффициентами, в [108, 114, 116] неоднородности вводились явным образом, без использованных методов осреднения. Популярность при изучении волновых процессов в гетерогенных средах получил метод, используемый в работе [110, 125] (Staggered grid metho-SGM); с его помощью исследовались процессы отражения упругих волн от контактных границ [109; 115] , моделировались волны Рэлея [113]. Численному моделированию рассеянных волн посвящены работы [И4, 116, 119, 122, 123], сейсмические волновые' поля в двумерных средах с карстовыми включениями моделировались в [121]. Возможность численного решения ЗБ-сейсмики рассматривались в работах [130, 124, 125, 120; 135]'.

Как уже было сказано, наиболее эффективными для численного решения задач сейсморазведки являются методы, учитывающие характеристические свойства систем уравнений в частных производных гиперболического типа, к которым относится система-динамических уравнений механики сплошных сред (без диссипативных членов) и, в частности, теории упругости [130, 126, 129]. В [83] для численного решения двухмерных динамических задач механики деформируемого твердого- тела был разработан сеточно-характеристический метод [83], ранее разработанный и успешно используемый для численного решения задач аэродинамики [133]. Подробное описание сеточно-характеристических методов можно найти в [129]. В работе [92] были предложены, в том числе для решения теории упругости, гибридные сеточно-характеристические методы.

Для проведения расчетов в сложных областях интегрирования в задачах механики деформируемого твердого тела методы были перенесены на нерегулярные расчетные сетки [93, 12, 10]. Волновые процессы в упругих телах слоистой структуры исследовались в работах [85, 89, 97, 98], в перфорированных средах с многочисленными внутренними свободными границами в [95, 96].

Тепловые динамические эффекты в твердых деформируемых телах рассматривались в работах [86, 94]. Для численного решения трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности, по-видимому, впервые, разностный метод, использующий характеристические соотношения- системы уравнений гиперболического типа, предложен в [99].

К задачам сейсморазведки гибридный, сеточно-характеристический метод на треугольных неравномерных сетках впервые был применен в работах [11, 10]. В [12] с помощью этого метода были- исследованы характеристики продольных и обменных волн обратного отклика от трещиноватого коллектора с по-разному ориентированными^ трещинами, исследовались энергетические соотношения между продольными и- сдвиговыми волнами-. Работа [13] посвящена исследованию сейсмических откликов от геологических сред многослойной структуры.

Эти задачи представляют значительные трудности из-за необходимости адекватного описания сложнейших волновых процессов, происходящих в слоистых средах. Их численное решение возможно лишь при использовании монотонных вычислительных методов и корректного решения задачи контактного разрыва, что могут обеспечить лишь методы, учитывающие характеристические свойства определяющих уравнений теории упругости. Этими свойствами обладают, как уже отмечалось, гибридные сеточно-характеристические методы, используемые в данной работе для решения задач сейсморазведки. Важно отметить, что такие методы позволяют не просто считать задачи" (этот термин, к сожалению, часто используется в инженерной практике), а решать, т.е. подробно исследовать сложнейшие динамические процессы, происходящие в существенно гетерогенных геологических средах, т.е. получать численные решения, позволяющие адекватно, с высокой степенью достоверности, описывать сейсмологический явления, не инициируя нефизичных эффектов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Квасов, Игорь Евгеньевич, 2011 год

1. Новацкий В-К. Теория упругости. М., Мир, 1975г., 620 с.

2. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М., 1957 г., 502 с;3; Ляховицкий Ф.М. Сейсмические волны в гетерогенных средах. М., 1988г., 156 с.

3. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. М., 1980г., 280 с.

4. Уайт Д.Э. Возбуждение ифаспространение упругих волн. Ml, 1986г., 262 с. 6- ТурвичИ.И:,Сейсморазведка- М;, "Недра", 1975г., 407 с.

5. Левянт В.Б., Петров И.Б., Челноков ¡Ф.Б.Кластерная природа сейсмической энергии, рассеянной от; зоны диффузной каверзности И! трещиноватости в массивных породах. Геофизика №6, 2005г., с. 5-19.

6. В.Б. Левянт, Петров И.Б., С.А. Панкратов. Исследование характеристик продольных и обменных волн обратного отклика от зон трещиноватого коллектора. Технологии сейсморазведки, №2, 2009г., с. 3-11.

7. Квасов И.Е., Петров И.Б., Панкратов' С.А. Численное моделирование сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом. Математическое моделирование, 2010г., №9, т. 22. с .13-21.

8. Аки К., Ричард П. Количественная сейсмология. М.; Мир, 1984г.

9. Караев Н.А., Лукашин Ю.П., Прокатор О.М., Семенов В.П. Физическое-моделирование трещиноватых сред. Технология сейсморазведки, 2008г. ,№2.

10. Chaur-Jian Hsu and Michael Shoenberg. Elastic waves through a simulated'fractured medium. Geoghysics, vol. 58, №7, 1993, pp. 964-977.

11. С.Ji de Pater, J. Groenenboom, D.B. van Dam, R. Romijn. Active seismic monitoring of hydraulic fracture in laboratory experiments. Internationational Jornal of Rock Mechanics and Mining Science 38; 2001 y., pp. 777-785.

12. Alexey M. Lomonosov, Peter V. Grigoriev and Peter Ness. Sizing of partially closed slosed-breaking microcracks with broadband Rayleigh-waves. Journal of Applied Physics, 105, 084906 (2009y.), pp. 084906-084906-7.

13. Шалаев H.B., Старовойтов A.B. Основы сейсмоакустики на, мелководных акваториях. Изд. МГУ, 2010г., 253с.

14. Козлов Е.А. Модели среды в разведочной сейсмологии. Тверь. Изд. ГЕРС, 2006г., 480 с.

15. Левченко Д.Г. регистрация1 широкополосных сейсмических сигналов и возможных предвестников сильных землетрясений на морском дне. М'., Научный мир; 2005г., 240с.

16. Белищев М.И., Балговещенский A.C. Динамические обратные задачи теории волн. СПб.: Изд. Санкт-Петербургского-университета, 1999г., 265 с.

17. Lasieska I., Lions J—L. Triggiant R. Non homogeneus boundary value problems for second order hyperbolic operators. S. Math: Pure Appl. — 1986 y., pp. 149-192/

18. Бейлькин Г .Я. Единственность и устойчивость решения обратной задачи сейсмики. Краевые* задачи, математической физики и смежные вопросы теории'функций. Л:: Наука, Ленинградский.отд. 1979г., т. 11, с. 3-6.

19. Бернштейн И.М. Гервер М:Л. О задаче интегральной геометрии, для семейства геодезических и об обратной кинематической- задаче- сейсмики. Докл. АН СССР 1978г., т. 243, №2, с. 302-305.

20. Пестов Л.Н. Первые интегралы геодезической* конформной метрики и кинематическая обратная задача сейсмики. Вопросы корректности обратных задач математической физики. Новосибирск: ВЦ: СО АН СССР 1982г., с. 109-119!

21. Гольдин C.B. Введение в геометрическую сейсмику. Новосибирский Гос. Университет, 2005г., 260с.

22. Шевченко A.A. Сейсмические исследования в скважинах. МГУ. Геологический факультет. Кафедра сейсмометрии и геоакустики. 2007г., 136с.

23. Алексеев А.С., Гольчинский Б.Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами разделаю В кн. Вопросы динамической теории построения сейсмических волн. Выпуск III, Л;, изд. ЛГУ, 1959г. с. 107-116.

24. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. Гостехиздат, м., 1955г.

25. Hirose S. and Achenbach J.D. BEM method to analyse interaction of on acoustic pulse with a rigid,circular disk. Wave motion, 10 (1988y.), pp. 267-275, North-Holland.

26. Рябенький^ B.C. Метод, разностных потенциалов и его приложениий. М., Физматлит 2002г. 420с.

27. Сафронов И.Л. Условия* полной» прозрачности-на сфере для трехмерного волнового уравнения. Доклады РАН, 1992г., т. 326, №6.

28. Lyrintzis A.S. Review the use of Kirchhoffs method in computational of fluids Engeneering, 1994 y., v. 116, №12, pp. 665-676.

29. Рябенький B.C., Тручанинов В.И;, Цынков C.B: Использование лакун, решений 3D волнового4 уравнения для вычисления решения задачи Коши на больших временах. Математическое моделирование, 1999г., т. 11, №12, с. 1113-1126.

30. Grote М., Keller S. Exact nonreflecting boundary conditions for the time dependent wave equation. SIAN. J. Appl. Math. 1995 y., v. 55, №2.40: Gassman F. Elastic waves through a packing of spheres: Geophysics, 16, pp. 673-685.

31. Raymer- L.L., Hunt E.R. and gardner J.S. An improved1 sonic transit time to porosity transform: 21st Annual Gogging Symposium, Trans. Soc. Prof. Well Gogg Analysics, Paper P, 1980y.

32. Gardner. G.H., Canning A. AVA analysic after velosity-independet DMO and imaging. Geophysics, 63, pp. 686-695.th

33. Ursenbach C.P. Generalized Gardner relation. SEC 72 Extended Abstracts, 2002 y.44.47,48,49:50