Развитие сеточно-характеристических методов в задачах моделирования гетерогенных геологических сред с явным выделением неоднородностей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Стогний Полина Владимировна

• Стогний Полина Владимировна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Стогний Полина Владимировна

Цели и задачи работы

Научная новизна

Теоретическая и практическая значимость работы

Методология и методы исследования

Положения, выносимые на защиту

Степень достоверности и апробация результатов

Структура и объем диссертации

1 Математическая модель

2 Метод расчета

2.1 Сеточно-характеристический метод

2.2 Описание граничных условий

2.3 Описание контактных условий

3 Исследование сейсмических волновых полей в северных морях при наличии трещиноватых сред

3.1 Модель трещины Шонберга

3.1.1 Модель трещины Шонберга в сеточно-характеристическом методе

3.1.2 Тестовые расчеты распространения сейсмического импульса в геологической среде с трещиной с использованием модели Шонберга

3.1.3 Сравнение разработанного алгоритма на основе модели трещины ЬБМ с моделью двухбереговой бесконечно тонкой трещиной

3.2 Результаты моделирования с помощью модели двухбереговой трещины

3.2.1 Исследование волнового поля от одиночной трещины

3.2.2 Сравнение волновых полей от одиночной трещины в расчетах на структурированных и неструктурированных сетках

3.2.3 Исследование волнового поля от кластера параллельных трещин

3.3 Модель трещины ГРП

3.4 Сравнение численного решения с аналитическим решением задачи о распространении упругих волн в гетерогенной среде с кластером трещин

4 3Ю моделирование волновых процессов в северных морях

в присутствии различных ледовых образований

4.1 Сравнительный анализ моделей с неоднородным и однородным ледовым полем

4.2 Исследование сейсмических волновых полей в северных морях при наличии ледового покрова

4.3 Исследование сейсмических волновых полей в северных морях при наличии айсбергов

4.4 Исследование сейсмических волновых полей в северных морях при наличии торосов

5 Исследование влияния антиклинальных структур на сейсмические отклики в зоне Арктического шельфа

6 Исследование способов подавления кратных сейсмических

волн в ледовых полях

7 Исследование сейсмических волновых полей в северных

морях при наличии газовых включений

7.1 Исследование сейсмических волновых полей в северных морях при наличии газонасыщенных сред

7.2 Исследование сейсмических волновых полей в гетерогенных средах с метановыми бомбами

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Развитие сеточно-характеристических методов в задачах моделирования гетерогенных геологических сред с явным выделением неоднородностей»

Актуальность темы исследования

В настоящее время существуют различные численные методы, используемые для решения динамических задач механики сплошных сред, среди них разрывный метод Галеркина [1], [2], метод конечных элементов [3], сеточно-характеристический метод [4] , [5] метод спектральных элементов, FDTD(Finite Difference Time Domain, метод конечных разностей во временной области) и др.

Сеточно-характеристический метод был предложен в 1969 году в работе академика РАН А.С. Холодова, доктора физико-математических наук Магомедова К.М. [6]. Этот метод применялся для решения задач аэродинамики, физики плазмы, лазерного термоядерного синтеза, задач медицины, механики деформируемого твердого тела, геофизики, сейсморазведки [7], задач безопасности железных дорог [8], а также задач аэрокосмического комплекса [9], [10]. Далее рассматривается применение сеточно-характеристического метода для задач сейсморазведки.

Задача сейсморазведки является задачей о распространении волн в гетерогенных многомерных геологических средах. Сигнал от источника распространяется по всей геологической структуре, после чего отраженные волны регистрируются на приемниках в виде сейсмограмм, что есть зависимость скоростей на дневной поверхности геологической среды от времени прихода на приемник. Этот способ сейсморазведки в настоящее время распространен также в Арктической зоне, где получение информации о залежах нефти и газа имеет определенные особенности (наличие морской среды, ледяных полей и крупных ледовых образований) и др. В дополнение, различные неоднородности, такие как трещины, антиклинали, ледовые конструкции, газовые полости, вносят существенный вклад в сейсмограммы, что делает процесс их интерпретации еще более сложным. Математическое моделирование процессов сейсморазведки (с помощью сеточно-характеристического метода) позволяет более детально исследовать рассматриваемые геологические структуры, проводить расчеты с учетом различных неоднородностей с целью дальнейшей интерпретации полученных натурных данных.

Сеточно-характеристический метод разработан для проведения расчетов как на гексаэдральных [11] , [12], так и на тетраэдральных [13], [14], [15] сетках в 3D случае (прямоугольных и треугольных в 2D случае). В работе используется сеточно-характеристический метод третьего порядка точности на структурных гексаэдральных расчетных сетках для решения прямых задач сейсморазведки в условиях Арктики с явным

выделением контактных границ на поверхностях раздела сред. В результате, получались волновые поля, которые позволяли судить о характере неоднородностей в исследуемых геологических средах.

Цели и задачи работы

Целью данной работой является адаптация сеточно-характеристического метода к численному решению прямых пространственных задач сейсморазведки на гексаэдральных расчетных сетках, разработка подходов к расчету волновых процессов в гетерогенных геологических средах с решением задач контактного разрыва на поверхностях раздела сред, а также анализ и исследование пространственных расчетных волновых картин и сейсмограмм.

Задачами данной работы являлись:

1. Разработка модификации сеточно-характеристического метода для решения задачи контактного разрыва для трещиноватых сред с использованием модели Шонберга для моделирования распространения сейсмических волн при решении задач сейсморазведки.

2. Разработка механико-математических и расчетных моделей, описывающих волновые процессы для трещиноватых геологических сред с помощью модели двухбереговой бесконечно тонкой трещины, и исследование различных подходов к моделированию одиночных трещин, а также кластеров трещин.

3. Разработка механико-математических моделей геологических сред в условиях Арктичекого шельфа с учетом наличия крупных ледовых образований: ледовых полей, айсбергов, торосов; анализ их влияния на волновые процессы.

4. Постановка и численное решение задачи о распространении упругих волн в геологической среде с гидроразрывом пласта (ГРП). Адаптация сеточно-характеристического метода для решения задачи о распространении упругих волн в геологической среде с антиклинальными структурами. Проведено исследование влияния кратных волн на волновые поля и сейсмограммы, а также компенсация их влияния. Постановка, численное решение и адаптация сеточно-характеристического метода для решения задач безопасности буровых работ при наличии газовых полостей и обнаружение полостей с метаном ("метановые бомбы") в северных районах Российской Федерации.

5. Верификация расчетных данных, полученных с помощью разработанных подходов и алгоритмов, для решения задач о волновых процессах

в условиях трещиноватых сред, газовых полостей, гидроразрыва пласта, а также в условиях Арктического шельфа.

6. Реализация разработанных методов и алгоритмов в виде программного комплекса.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработан сеточно-характеристический метод расчета параметров геологической среды на границе трещины с помощью модели Шонберга (задача контактного разрыва) на структурированных расчетных сетках. Проведено тестирование и верификация.

2. Предложен подход к моделированию волновых процессов в геологических средах с наклонными трещинами на структурированных сетках.

3. Постановка и численное решение задачи о распространении сейми-ческих откликов, инициируемых микросейсмами, в однородной среде в присутствии трещины гидроразрыва пласта.

4. Проведена постановка задач, разработка моделей сред, адаптация сеточно-характеристического метода и получено численное решение задач сейморазведки в присутствии крупных ледовых образований: айсбергов, торосов, ледовых полей.

5. Исследовано влияние кратных волн в присутствии ледовых полей в задачах сейсморазведки в Арктическом регионе; проведено численное исследование явления кратных волн в слое льда в задачах сейсморазведки.

6. Проведена постановка задач и разработан алгоритм решения задач с помощью сеточно-характеристического метода для мониторинга территорий с газовыми полостями и метановыми бомбами на основе численного решения серии прямых динамических задач механики сплошных сред.

Теоретическая и практическая значимость работы

1. Предложенный метод расчета параметров геологической среды на границе трещины, описываемой моделью Шонберга (задача контактного разрыва) с использованием сеточно-характеристического метода на структурированных сетках позволяет решать широкий круг задач о распространении волн в гетерогенных геологических средах. Предложенная методика решения задач сейсморазведки при наличии различных неод-нородностей: трещин, ледовых образований (айсбергов, ледовых полей,

торосов), газовых полостей (газовых карманов, "метановых бомб") - может найти практическое применение в реальных задачах, возникающих при проведении геологоразведочных и буровых работ в северных условиях.

2. Сеточно-характеристический метод адаптирован для решения важной практической задачи идентификации трещины гидроразрыва пласта с использованием микросейсмов.

3. Сеточно-характеристический метод адаптирован для решения важной прикладной задачи о безопасности буровых работ (обнаружение газовых полостей при буровых работах).

4. Разработаны механико-математические модели, адаптирован сеточно-характеристический метод и проведена постановка прямых задач сейсморазведки в Арктических условиях (при наличии крупных ледовых образований: айсбергов, ледовых полей, торосов).

5. На основе сеточно-характеристического метода предложена постановка задач и предложен алгоритм решения прямой задачи для обнаружения антиклинальных структур.

Работа поддержана рядом государственных грантов:

1. Грант РНФ 14-11-00263. Разработка новых методов и алгоритмов для задач поиска и разведки углеводородов в условиях арктического шельфа с использованием высокопроизводительных вычислений. 20142016 г.

2. Грант РНФ 17-71-20088. Разработка суперкомпьютерных технологий динамического анализа разрушений индустриальных и гражданских объектов при интенсивных сейсмических воздействиях. 2017-2020 г.

3. Грант РНФ 20-71-10028. Развитие гибридных численных методов и разработка комплексов программ для моделирования волновых полей в гетерогенных твердых деформируемых средах с целью явного выделения неоднородностей и учета топографии поверхности. 2020-2023 г.

4. Грант РФФИ 16-07-00233 А. Численное моделирование сейсмической разведки и взаимодействия оффшорных объектов с ледяными структурами в условиях Арктического шельфа. 2016-2018 г.

5. Грант РФФИ 16-29-02018 офи_м. Разработка нового численного метода совместной инверсии сейсмических и электромагнитных данных, включая нелинейную инверсию, и программного комплекса на его основе". 2016-2018г.

6. Грант РФФИ 16-29-15097 офи_м.Разработка численных методов и технологий высокопроизводительных вычислений для получения информации о нетрадиционных коллекторах углеводородов. 2016-2018 г.

7. Грант РФФИ 16-37-80038 мол_эв_а. Разработка алгоритма совместного обращения акустического и электромагнитного полей на основе приближённого решения уравнения Липпмана-Швингера на высокопроизводительной вычислительной системе. 2016 г.

8. Грант РФФИ 17-20-01096 офи_м_РЖД. Разработка методов численного моделирования для оценки воздействия на инфраструктуру поездов. 2017-2018 г.

9. Грант РФФИ 18-01-00526 А Численное моделирование динамического процесса разрушения многоэтажных конструкций в результате сейсмических воздействий. 2018-2020 г.

10. Грант РФФИ 18-31-20063 мол_а_вед. Разработка суперкомпьютерных технологий для моделирования и изучения волновых процессов в гетерогенных средах. 2018-2020 г.

11. Грант РФФИ 19-01-00281 А. Разработка численных методов для решения прямых задач сейсмической разведки трещиноватых зон. 20192021 г.

12. Грант РФФИ 19-07-00366 А. Разработка численных методов и параллельных алгоритмов для решения задач сейсмической разведки газовых карманов в условиях Северных регионов Российской Федерации. 2019-2021 г.

13. Грант РФФИ 20-02-00261 А. Численное исследование анизотропии сейсмических сигналов-откликов от трещиноватых геологических структур. 2020-2022 г.

14. Грант РФФИ 20-31-90034 Аспиранты. Разработка методов для явного выделения контактных границ неоднородностей в моделях гетерогенных геологических сред. 2020-2022 г.

Методология и методы исследования

В работе используется методология математического моделирования с применением сеточно-характеристического метода на структурированных гексаэдральных (в 3В случае) и четырехугольных (в 2В случае) сетках, методы вычислительной математики, линейной алгебры, механики твердых деформируемых тел, для исследования волновых процессов в гетерогенных средах в присутствии различных неоднородностей.

Положения, выносимые на защиту

1. Предложен сеточно-характеристический метод расчета механических параметров на контактной границе для модели трещины Шонберга.

2. Разработан подход к моделированию геологических сред с наклонными трещинами на структурированных сетках.

3. Сформулирована постановка задачи и предложена адаптация се-точно-характеристического метода для численного решения задачи о распространении упругих волн, инициируемых микросейсмами, в геологической среде с гидроразрывом пласта.

4. Предложена постановка задач, механико-математическая модель и адаптация сеточно-характеристического метода для решения прямых задач сейсморазведки в условиях Арктичекого шельфа в присутствии крупных ледовых образований: айсбергов, торосов, ледовых полей; проведен сравнительный анализ их влияния на волновые поля и сейсмограммы.

5. Постановка и численное решение прямой задачи сейсморазведки в геологических среде с антиклинальными структурами.

6. Изучено влияние кратных волн в ледовом поле в Арктической шельфовой зоне на волновые поля и сейсмограммы (задачи сейсморазведки в условиях Арктики).

7. Разработан подход (проведена постановка задачи, адаптация сеточ-но-характеристического метода, разработан численный алгоритм) для численного решения проблемы мониторинга территорий с газовыми полостями и "метановыми бомбами"(проблема безопасности буровых работ) в условиях Севера Российской Федерации.

8. Проведена верификация расчетных данных, полученных с помощью разработанных подходов и алгоритмов, для решения задач о волновых процессах в условиях трещиноватых сред, газовых полостей, гидроразрыва пласта, а также в условиях Арктического шельфа.

9. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в виде программного комплекса.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается использованием численных методов, обладающих свойствами сходимости (аппроксимация устойчивости), прошедших широкую апробацию при решении многих научных и прикладных задач, а также сравнение результатов, полученных по разным моделям. Проведено сопоставление результатов на структурированных и неструктурированных расчетных сетках, а также с точным решением, полученным в Институте геофизики Национальной академии наук Украины.

Результаты по теме диссертационного исследования опубликованы в 28 научных работах , 4 из которых - в журналах, рекомендованных ВАК( [93] - [96] ), 13 - в изданиях, индексируемых системой Scopus ( [88] - [92], [97] - [102], [114] - [115] ), 5 - в изданиях, индексируемых системой Web of Science ( [89], [91],- [92], [101], [115] ) , 25 - в изданиях, индексируемых системой РИНЦ ( [91] - [113], [115]).

Основные результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на семинарах кафедры информатики и вычислительной математики МФТИ, а также на 15 конференциях, включая 10 международных и 4 всероссийских научных конференций:

1. 58-я, 59-я, 60-я, 61-я, 62-я научные конференции МФТИ. 2015-2019, г. Долгопрудный.

2. Quasilinear Equations, Inverse Problems and Their Applications (QIPA). Moscow Institute of Physics and Technology, Dolgoprudny. 2016, 2017, 2019.

3. XVII Всероссийская конференция молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям, г. Новосибирск, 2016 г.

4. XVII International Seminar Mathematical Models and Modeling in Laser Plasma Processes and Advanced Science Technologies. 28 May - 1 June, 2018 Budva, Montenegro.

5. The 3rd BRICS Mathematics Conference, 2019 г. Иннополис, г. Казань.

6. European Association of Geoscientists and Engineers. Conference Proceedings, Tyumen 2019, Mar 2019.

7. 81st EAGE Conference and Exhibition 2019, г.Лондон.

8. Международная конференция. Марчуковские научные чтения -2019. Новосибирск.

9. 50 лет развития сеточно-характеристического метода. 2018. Долгопрудный.

10. Геомодель. 2018, 2019. Геленджик.

11. Международная конференция «Дегазация Земли: геология и экология - 2018», Москва.

12. Морские исследования и образование. (MARESEDU-2017) VI Международная научно-практическая конференция. 2017.

13. Научно-практическая конференция. Суперкомпьютерные технологии в нефтегазовой отрасли. Математические методы, программное и аппаратное обеспечение. 2017.

14. Современные проблемы математического моделирования, обработки изображений и параллельных вычислений 2017 (СПММОИИПВ-

2017).Международная научная конференция. 2017. Дивноморск.

15. Международная конференция по Прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (АММА1'2020).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 110 страниц. Список литературы содержит 115 наименований.

1 Математическая модель

В данной главе представлено общее описание модели геологической среды, которое применялось во всех моделях данной работы.

Для описания процессов, происходящих внутри и вне Земной поверхности, применяются различные модели. В работе [16] описывается модель Мирового океана для описания процессов изменения климата Земли. В работе [17] авторы представляют модель климатической системы как результат совместного применения модели циркуляции атмосферы и океана. В [18] авторы применяют модель двухфазной реагирующей среды для моделирования распространения лесных пожаров.

В данной работе для описания динамических процессов в гетерогенных средах, использовалась модель линейно-упругой среды [19], [20] и акустической среды. Определяющие уравнения для линейно-упругой среды выглядят следующим образом:

Р^ = *)т (1.1)

= \(У ■ V)! + р(У 0 V + (V 0 у)т),

1.2)

В (1.1) , (1.2) V - скорость распространения сейсмических волн в среде, а - тензор напряжений Коши, р - плотность геологической среды, £ - время, Л и р - параметры Ляме, определяющие свойства упругого материала.

Определяющая система уравнений для акустической среды представлена в следующем виде:

ду

Р^ = -УР, (1.3)

^ = -рс2(У ■ у), (1.4)

В (1.3) , (1.4) р - плотность среды, р - давление, с - скорость звука в идеальной жидкости.

В данной работе проводилось исследование сейсмических откликов от геологических сред с различными характерными параметрами: плотностью, скоростью звука(продольной и поперечной). Все геологические

среды описывались с помощью системы уравнений (1.1) , (1.2) . Для описания водной среды использовалась акустическая система уравнений (1.3) , (1.4). Лед также описывался системой уравнений (1.1) , (1.2) с предположением неизменных характеристик (постоянной температуры, солености). Для представленных задач данный подход корректен в связи с тем, что сейсмические импульсы настолько слабые, что деформации внутри ледяного массива можно считать бесконечно малыми. При изучении же определенных характеристик льда, например, прочности, требуется более сложная модель.

Общая схема расчетной модели представлена на рис. 1.1. Модель обозначает некоторую геологическую среду, границы которой обозначены буквами А, В, С, В. Темным овалом в центре рисунка обозначена некоторая неоднородность, изучение которой в рамках построенной модели и предполагается. Неоднородность может располагаться в любом месте модели (в соответствии с постановкой задачи) и обозначать некоторое ледовое образование (айсберг, торос), трещиноватый слой, слой углеводородов, антиклиналь, газовую полость. Прямым треугольником сверху рисунка обозначен источник сейсмических волн, обратными серыми треугольниками - приемники сигнала, которые регистрируют отраженные волны от различных геологических сред, включая исследуемую неоднородность.

Рис. 1.1: Схематичное изображение базовой расчетной модели.

2 Метод расчета

В данной главе представлено описание сеточно-характеристичсекого метода, который применялся для численного решения всех задач, представленных в диссертации.

2.1 Сеточно-характеристический метод

В работе для численного решения систем уравнений (1.1) , (1.2) и (1.3) , (1.4), описывающих линейно-упругую среду и акустическую среду, соответственно, применялся сеточно-характеристический метод [4], [11]. Вывод сеточно-характеристического метода представлен для системы уравнений (1.1) , (1.2). Аналогичный подход можно применить к системе уравнений (1.3) , (1.4).

Рассмотрим систему уравнений линейной упругости (1.1) , (1.2) и представим ее в виде уравнений для двумерного случая:

д даЛ го

= Ж (2.5)

= Х(£ )ТИ + + (2.6)

к к

Для трехмерного случая система уравнений будет выглядеть следующим образом:

Рш"» = ^ + даг1 + ^ (2.7)

дЬ дх ду дх

^ = даху + доуу + доух Р дЬ у дх ду дх

(2.8)

^ = дахх + доУх + дахх Рд- г дх ду дх

(2.9)

—а = Л( — + + ) + 2^( —)

дЬ хх дх ду дх дх '

(2.10)

д дух дуу дух дуу

^ = Л( 1уГ + ^ + ~дг ) + Ы

(2.11)

д дух дуу дух дух

= Л( аХ + 7* + аТ ) + 2М ^^

(2.12)

д дуу дух

тах" = +

(2.13)

—а = — + —)

дЪ хх дг дх '

(2.14)

д дуу дуг

(2.15)

Запишем систему уравнений (2.7) - (2.15) в матричном виде:

да А да л да „ да

+ + + А3ТГ~

дъ дх1 дх2 дх3

(2.16)

В (2.16) матрицы А^ выглядят следующим образом:

Л

/ 0 0 0 1 - \ р 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 _ 1 р 0 0

-Л - 2р 0 0 0 0 0 0 0

0 - Л 0 0 0 0 0 0 0

0 0 - Л 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

V 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(2.17)

0

А

2 —

0 0 0 0 0 0 _ 1 р 0 0 0

0 0 0 0 _! р 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 -Л 0 0 0 0 0 0 0

0 -Л - 2/1 0 0 0 0 0 0 0

0 -X 0 0 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 - / 0 0 0 0 0 0

А

з —

0 0 0 0 0 0 0 _ 1 р 0 0 \

0 0 0 0 0 0 0 _ 1 р 0

0 0 0 0 0 _ 1 р 0 0 0

0 0 -Л 0 0 0 0 0

0 0 -Л 0 0 0 0 0 0

0 0 -Л - 2/1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

- / 0 0 0 0 0 0 0 0

0 - / 0 0 0 0 0 0 0 )

(2.19)

В (2.16) вектор д состоит из трех компонент скорости и шести компонент симметричного тензора напряжений:

д {УХ , Уу , Vх , ОXX , Оуу, ОXX , Оху, Охх, Оух }

1Г

(2.20)

Далее, после применения к уравнению (2.16) метода расщепления по пространственным координатам, получим следующие системы одномерных уравнений:

дд .

1, 2, 3

(2.21)

Каждая из систем (2.21) - гиперболическая, следовательно, обладает полным набором собственных векторов с действительными собственными значениями. Далее, представим каждую из систем (2.21) в виде:

I = П-1Л п,,Ц (2.22)

В (2.22) П.,- - матрица, столбцы которой - собственные векторы матрицы А^, Л^ - диагональная матрица, элементы которой - собственные значения матрицы А^. Для всех координат матрица Л имеет вид:

Л = ¿гад{с1, — с1, с2, — с2, с2, — с2, 0, 0, 0}, (2.23)

В (2.23) с1 = \/(Л + 2ц)/р - продольная скорость звука, с2 = \fpfp -поперечная скорость звука в среде.

После замены переменных V = пq каждая из систем (2.22) распадается на девять независимых уравнений переноса:

ди Ви .

Ж + Л аХ = 0 (2'24)

Каждое из одномерных уравнений переноса (2.24) можно решить произвольной конечно-разностной схемой [61]. Затем, можно найти финальное решение:

Яп+1 = П-1ип+1 (2.25)

В данной работе для решения уравнений переноса (2.24) использовался сеточно-характеристический метод на основе схемы Русанова 3-го порядка точности [62]:

Vшп+1 = а-2 "ш-2п + а-1 "ш-1п + «0 Vтп + «1 ит+1п, (2.26)

В (2.26) коэффициенты а-2, а-1, а0, выражаются из условия третьего порядка аппроксимации схемы (если разложить ее в ряд Тейлора относительно, например, точки (итп) ). Условия для второго, третьего и выше порядков аппроксимаций опряделяются из следующего условия [62]:

-(-а)к + — "а)ка^ (а) = 0,к = 2, 3,...; ^ = 0, ±1,...;и = 1, 0,-1,...,

(2.27)

В (2.27) а = ^, Л - скорость переноса, т - шаг по времени, Ь - шаг по координате.

Если, например, рассматривать третий порядок аппроксимации, то получим четыре уравнения вида (2.27) для к = 0,1, 2, 3, из которых можно найти коэффициенты а—2, а—\, а0,

а—2 + а—\ + а0 + « = 1 (2.28)

— 2 а—2 — а—1 + аг = —а (2.29)

4 «—2 + а-1 + аг = а2 (2.30)

—8а-2 — а—1 + аг = —а3 (2.31)

2.2 Описание граничных условий

Для вычисления точек на границах области интегрирования применялись следующие уравнения:

Вдп+1 = Ь (2.32)

В (2.32) В - матрица из трех строк и девяти столбцов, Ь - трехмерный вектор, - вектор значений скорости и компонент тензора напряже-

ний в точке на границе области интегрирования на следующем шаге по времени п + 1.

Решение (2.25) на следующем шаге по времени п + 1 будет выглядеть так [63]:

(2.33)

В (2.33) П(*п)

и - матрицы, которые составлены из столбцов, соот-

ветствующих входящим или выходящим характеристикам матрицы О-1.

1/п+1(гп) можно вычислить аналогично ип+1 для внутренних точек. ь,п+1(оиЬ) выражается из граничных условий (2.32)

^п+1(ои±) = (В п(ои*))-1(Ь — Вдп+1(*п)) (2.34)

Далее, подставим (2.34) в (2.33). В результате, получаем общую формулу для расчета точек на границах области интегрирования:

дП+1 = дП+1(гП) + п(ои€)(В П(оиЬ))-1(Ъ — Вдп+1(1п)) (2.35)

В данной работе использовалось граничное условие свободной границы и граничное условие поглощения.

Для описания граничного условия свободной границы применялось уравнение:

ап = 0 (2.36)

В (2.36) а - тензор напряжений Коши, п - вектор нормали на внешней стороне границы. Правая часть первого уравнения системы (2.6) -плотность внешних сил на границе, которая равна нулю для случая свободной границы.

Для описания граничного условия поглощения применялось уравнение:

В = П(*), Ь = 0. (2.37)

В (2.37) п(*> - матрица, составленная из столбцов матрицы собственных значений Л, которые соответствуют выходящим характеристикам [64].

Общая схема постановки прямой задачи сейсморазведки представлена на рис. 1.1: на верхней границе АВ устанавливается граничное условие свободной границы, на боковых границах АС, В И и нижней границе СИ - условие поглощения.

2.3 Описание контактных условий

Рассмотрим условие на контактных границах между линейно-упругой средой и акустической средой. Обозначим данные контактирующие области за а и Ь, паь - внешняя нормаль к твердому телу (линейно-упругой

среде), которая является внутренней нормалью к жидкости (акустической среде) [65]. Контактное условие свободного скольжения на границе областей а и выражается следующими уравнениями:

паЬ • уа>п+1 = паЬ • vb>n+1 = Уп+1 (2.38)

Кь, аа,п+1 • паЬ] = [поЬ, аь,п+1 • паЬ] = 0 (2.39)

рЬ,П+1 = — (^+1. , Паь) , ^ (2.40)

Условие (2.38) означает равенство нормальных компонент скоростей в идеальной жидкости и твердом теле. Уравнение (2.39) представляет собой равенство нулю тангенциальной компоненты поверхностной плотности сил со стороны твердого тела. Условие (2.40) означает равенство нормальной компоненты поверхностной плотности сил со стороны твердого тела давлению в идеальной жидкости.

Вектор скорости Vп+1 вычисляется в соответствии с условиями (2.38) -(2.40):

Уп+1 =-1----(2.41)

РаСа2 + РЬ СЬ2

[раса1Уап+1('п) + РЬСЬ1 Vьn+1(in) — (аап+1('п) - аьп+1('п) • п)] ■ п (2.42)

В (2.42) уап+1(гп) выражается аналогично Уап+1 для внутренних точек. уап+1(ои*) можно найти из граничного условия Вдп = Ь:

уП+1(ои±) = (вП(оЫ))-1(Ь - Вдп+1(*п)) (2.43)

В (2.43) П(*п) и - прямоугольные матрицы, составленные из столб-

цов матрицы П-1, соответствующих входящим или выходящим из области интегрирования характеристикам, соответственно.

Для описания поведения жидкости применяется смешанное граничное условие с заданной нормальной компонентой скорости Vn и тангенциальной составляющей fт [71]:

f = Д + п(рС1Уп + п • (тп+1(*п) • п — рС1и"+1(<п))), ^ = 0. (2.44)

В (2.44) f - полная плотность поверхностных сил (т • п = f). Также, применяются уравнения для заданной плотности поверхностных сил на границе f:

^+1 = — — (С1 — С2)(гп+1 • п)п

р С1С2

(2.45)

Тп+1 = _

гп+1 ®п -п ® —

• п)

Л + 2^

( Л/—2( Л+/1)п ® п) (2.46)

В (2.45), (2.46) = тп+1(*п) •п - f, / = (Над(1,1,1).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Стогний Полина Владимировна, 2021 год

Список литературы

[1] В. А. Миряха, А. В. Санников, И. Б. Петров Численное моделирование динамических процессов в твердых деформируемых телах разрывным методом Галеркина. Матем. моделирование, 27:3 (2015), 96-108.

[2] В. А. Миряха, И. Б. Петров Моделирование разрывным методом Га-лёркина воздействия ледяного поля на вертикальную цилиндрическую опору. Матем. моделирование, 30:9 (2018), 111-134.

[3] А.С. Филиппов Численные методы в механике деформируемого твердого тела. Москва, 2016.

[4] К.М.Магомедов, А.С.Холодов Сеточно-характеристические численные методы. М.:Наука, 1988.

[5] Иванов В.Д., Кондауров В.И., Петров И.Б., Холодов А.С. Расчет динамического деформирования и разрушения упругопластических тел сеточно-характеристическими методами. Математическое модели-рование.—1990.—Т. 2, № 1.—С. 11-29.

[6] Магомедов К.М., Холодов А.С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т.9, № 2, с.373-386.

[7] Козлов Е.А. Модели среды в разведочной сейсмологии. Тверь: Изд. "Герс 2006. - 478 с.

[8] Петров И.Б., Фаворская А.В., Хохлов Н.И., Миряха В.А., Санников А.В., Беклемышева К.А., Голубев В.И. Сеточно-характеристический метод численного моделирвоания волновых процессов в трехмерных заадчах динамического нагружения сложных конструкций . РЭНСИТ. Т.7, №1, 34-47, 2015.

[9] Лопато А.И., Уткин П.С. Детальное математическое моделирование пульсирующей детонационной волны в системе координат, связанной с лидирующим скачком. Журнал выч.мат-ки и мат.физики, 2016, т. 56, №5, с. 856-868.

[10] Беклемышева К.А., Васюков А.В., Ермаков А.С., Петров И.Б. Численное моделирование при помощи сеточно-характеристического метода разрушения композиционных материалов.. Матем.моделирование, 2016, т.28, №2, с. 97-110.

[11] V.I.Golubev, I.B.Petrov, N.I.Khokhlov, Numerical simulation of seismic activity by the grid-characteristic method. Computational Mathematics and Mathematical Physics, V. 53, No10, p.1523 - 1533, 2013.

[12] Petrov I.B., Khokhlov N.I. Modeling 3D seismic problems using highperformance computing systems. Mathematical Models and Computer Simulations. 2014. V. 6. No 4. P. 342-350.

[13] И. Е. Квасов, С. А. Панкратов, И. Б. Петров Численное моделирование сейсмических откликов в многослойных геологических средах сеточно-характеристическим методом. Матем. моделирование, 22:9 (2010), 13-22; Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1969, т.9, № 2, с.373-386.

[14] М. В. Муратов, И. Б. Петров, А. В. Санников, А. В. Фаворская Сеточно-характеристический метод на неструктурированных тетраэдральных сетках. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 54:5 (2014), 821-832.

[15] Бирюков В.А., Миряха В.А., Петров И.Б., Хохлов Н.И. Моделирование распространения упругих волн в геологической среде: сравнение результатов трех численных методов. Ж-л вычисл. матем. и матем. физ., 2016, Т. 56, № 6, С. 1104-1114.

[16] Володин Е.М., Галин В.Я., Грицун А.С. и др. Математическое моделирование Земной системы. Под ред. Яковлева Н.Г. М.:МАКС Пресс, 2016.

[17] В. П. Дымников, Е. М. Володин, В. Я. Галин, А. В. Глазунов, А. С. Грицун, Н. А. Дианский, В. Н. Лыкосов. Климат и его изменения: математическая теория и численное моделирование. Сиб. журн. вычисл. матем., 6:4 (2003), 347-379.

[18] Kuleshov, A.A., Myshetskaya, E.E., Yakush, S.E. Numerical simulation of forest fire propagation based on modified two-dimensional model. Math Models Comput Simul, 9, 437-447, 2017.

[19] Новацкий В. Теория упругости, Пер. с польск. Б. Е. Победри. М.: Мир, 1975.

[20] Лурье А. И. Теория упругости, М.: Наука, 1970.

[21] А.Т. Беккер. Вероятностные характеристики ледовых нагрузок на сооружения континентального шельфа. Владивосток: Дальнаука, 2005.

[22] Епифанов В.П. Особенности контактного разрушения льда. Лёд и Снег. 2020;60(2): 274-284.

[23] И.И. Гурвич, Г.Н. Боганик. Сейсмическая разведка. Москва, Недра, 1980.

[24] Нефедкина Т.В., Шилов Н.Н. Влияние структуры покрывающей среды и кривизны границ на AVO-инверсию продольных волн. Геофизические технологии. 2019;(3):31-46.

[25] С.Г.Миронюк. Морские инженерные изыскания и оценка опасности субаквальных геологических процессов. Инженерные изыскания на акваториях, 4: 60-64, 2014.

[26] Б.Л.Александров. Аномально высокие пластовые давления в нефтегазоносных бассейнах. М.:Недра, 1987.

[27] M.Hovland, A.G.Judd. Seabed Pockmarks and Seepages. Impact of Geology, Biology and the Marine Environment. London,Graham and Trotman Ltd, 1988.

[28] A.Judd, M.Hovland. Seabed Fluid Flow - The Impact on Geology, Biology, and the Marine Environment. Cambridge, 2007.

[29] В.Л.Сывороткин. Глубинная дегазация Земли и геоэкологические проблемы приграничных территории России. Альманах Пространство и Время. Спец. выпуск Пространство и время границ, 3(1): 1 -19, 2013.

[30] В.И.Богоявленский, В.Ю.Керимов, О.О.Ольховская, Р.Н.Мустаев. Повышение эффективности и безопасности поисков, разведки и разработки месторождений нефти и газа на акватории Охотского моря. Территория «НЕФТЕГАЗ», 10: 24-32, 2016.

[31] M.Boogaard, G.Hoetz. Seismic characterisation of shallow gas in the Netherlands. Abstract FORCE Seminar Stavanger 8-9 April, 2015.

[32] С.И.Рокос. Газонасыщенные отложения верхней части разреза Баренцево-Карского шельфа. Автореф. дисс. к.г.н. Мурманск, 2009.

[33] А.С.Холодов, Я.А.Холодов. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа. Ж. вычисл. матем. и матем. Физ., 46(9): 1638-1667, 2006.

[34] В.И.Богоявленский. Угроза катастрофических выбросов газа из криолитозоны Арктики. Воронки Ямала и Таймыра. Бурение и нефть, 9: 13-18, 2014.

[35] A.Favorskaya, V.Golubev., N.Khokhlov. Two approaches to the calculation of air subdomains: Theoretical estimation and practical results. Procedia Computer Science, 126: 1082 - 1090, 2018. DOI: 10.1016/j.procs.2018.08.045

[36] Grigorievih D.P., Khokhlov N.I., Petrov I.B. Mathematical modeling of cracks in solid deformable bodies using hexahedral grids. Proceedings of Moscow Institute of Physics and Technology (Staste University). Journal of Science and Technology, 7(4): 28-37, 2015.

[37] A.Breus, A.Favorskaya, V.Golubev, A.Kozhemyachenko, I.Petrov. Investigation of seismic stability of high-rising buildings using grid-characteristic method. Procedia Computer Science, 154, p. 305-310, 2019.

[38] Golubev V.I., Petrov I.B., Khokhlov N.I., Shul'ts K.I. Numerical computation of wave propagation in fractured media by applying the grid-characteristic method on hexahedral meshes. Computational Math. and Math. Physics, 55(3): 509-518, 2015.

[39] Фролов С. В., Федяков В. Е., Третьяков В. Ю., Клейн А. Э., Алексеев Г. В. Новые данные об изменении толщины льда в Арктическом бассейне. Доклады Академии Наук , Т.425, №1, с.104 - 108, 2009.

[40] Goldstein R.V., Osipenko N.M. Crack resistance and destructions of ice cover by ice-breakers. AANII transactions. V.391, p.137 - 156, 1986.

[41] Petrov I.B.,Favorskaya A.V.,Kvasov I.E.,Sannikov A.V. The methodology of representation and interpretations of the results of fullwave seismic calculations. MIPT transactions, V.6, No1, p.154 - 161, 2014.

[42] Bekker A.T.,Sabotash O.A.,Seliverstov V.I., Koff G.I., Pipko E.N. Estimation of Lomit Loads on Engineering Offshore Structures Proceeding of the Nineteenth International Offshore and Polar Engineering Conference. Osaka, Japan, June 21 - 26, 2009, p.574 - 579.

[43] Гольдштейн Р.В., Осипенко Н.М. Механика разрушения льда и некоторые ее приложения. Вестник Новосиб.Гос.Университета. Сер.матем.,мех.,информ, Т.12, №4, с.41 - 47, 2012.

[44] Lee S.G.,Lun S.H.,Kong G.Y. Modeling and simulation system for marine accident cause investigation. Collision and Graunding of Ships and Offshore Structure-Amdahl,Ehlers and Leira(Eds), Taylor and Francis Group,London, p. 39 - 47, 2013.

[45] Kucheiko A. A. , Ivanov A. Yu., Davydov A. A., Antonyuk A. Yu. Iceberg drifting and distribution in the Vilkitsky Strait studied by detailed satellite radar and optical images. Studying seas and oceans from space, No. 5, p.73 - 83, 2015.

[46] Strub-Klein L., Sudom D. A comprehensive analysis of the morphology of first-year sea ice ridges. Cold Regions Science and Technology, No. 82, p.94 - 109, 2012.

[47] Marchenko A. Thermodynamic consolidation and melting of sea ice ridges. Cold Regions Science and Technology, No. 52(3), p.278 - 301, 2008.

[48] Betterly S.J., Speece M.A., Levy R.H., Harwood D.M., Henrys S.A. A novel over-sea-ice seismic reflection survey in McMurdo Sound, Africa. Terra Antartica, No. 14(2), p.97 - 106, 2007.

[49] Короновский Н.В., Якушева А.Ф. Основы геологии.. М.: Высш. шк., 1991. 416 с.

[50] Конторович В.А., Конторович Д.В., Сурикова Е.С. История формирования крупных антиклинальных структур - ловушек для уникальных газовых залежей на севере Западной Сибири (на примере Медвежьего месторождения) . Геология и геофизика, 2014, Т. 55, № 5-6, С. 862-873.

[51] Русанов В.В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного расчета разрывных решений . Докл. АН СССР, 1968, Т. 180, № 6, С. 1303-1305.

[52] Hesthaven J.S., Warburton T. Nodal discontinuous Galerkin methods: algorithms, analysis, and applications. . Texts in Applied Mathematics, 2008, Vol. 54, 502 с.

[53] Муравьев В.В., Кондратов Л.С. Информационная эффективность комплекса тектодинамических и геохимических критериев минеральной перспективности геосреды. Системы и средства информатики, 2008, Спецвыпуск «Геоинформационные технологии», С. 250-264.

[54] Хаттон Л. Обработка сейсмических данных. Теория и практика.. Перевод с англ. А.Л. Малкина, М.: Мир, 1989, 214 с.

[55] Гайнанов В.Г. Программный комплекс для обработки данных сей-смоакустического профилирования.. Океанология, 2010, Т. 50, № 1, С. 142-150.

[56] Степанов А.В. Полевой этап получения сейсмических данных: Уч.-метод. пособие к курсам повышения квалификации «Петрофизика и геофизика в нефтяной геологии».. Казань: Казанский ун-т, 2013, 35 с.

[57] Favorskaya A.V., Petrov I.B., Sannikov A.V., Kvasov I.E. Grid Characteristic Method Using High Order Interpolation on Tetrahedral Hierarchical Meshes with a Multiple Time Step.. Mathematical Models and Computer Simulations, 2013, Vol. 5, No. 5, P. 409-415.

[58] Фаворская А.В., Петров Д.И., Хохлов Н.И., Петров И.Б. Численное решение упругоакустических задач с помощью сеточно-характеристического метода. Вестник Балтийского федерального ун-та им. И. Канта, Серия: Физ.-матем. и технич. науки, 2015, № 10, С. 7-12.

[59] Landa E.I., Neklyudov D.A., Protasov M.I., Reshetova G.V., Khaidukov V.G., Tcheverda V.A. Seismic shooting on floating ice: peculiarities of waves' propagation and noise suppression. Russian Journal of geophysical technologies, 2016, 1, 15-24.

[60] Русанов В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений. ДАН СССР, 1968, 180(6): 13031305.

[61] N.I.Khokhlov, I.B.Petrov, Modeling of seismic events by grid-characteristic method. MIPT transactions, V. 3, 2011.

[62] A.S.Kholodov, Ya.A.Kholodov, Monotonicity criteria for difference schemes designed for hyperbolic equations, Computational Mathematics and Mathematical Physics, V. 46, No9, p.1560 - 1588, 2006.

[63] Григорьевых Д.П. Дипломная работа на степень магистра. Математическое моделирование разрушений в твердых деформируемых телах сеточно-характеристическим методом.

[64] Муратов М.В. Диссертация на соискание ученой степени кандидата ф.-м.наук. Компьютерное моделирование пространственных волновых откликов в сложных геологических средах.

[65] A.V.Favorskaya, D.I.Petrov, N.I.Khokhlov, I.B.Petrov, Numerical solution of elastic-acoustic problems with the help of grid-characteristic method, Vestnik IKBFU, No 10, p.7 - 12, 2015.

[66] Петров И.Б.,Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математи-ке:Учебное пособие М:Интернет Университет Информационных Тех-нологий;БИНОМ.Лаборатория знаний,2006.

[67] Zhan Q., Sun Q., Ren Q. et al. A discontinuous galerkin method for simulating the effects of arbitrary discrete fractures on elastic wavepropagation, Geophysical J. Int. 2017 . V. 210. № 2. P. 1219-1230.

[68] Carcione J. Scattering of elastic waves by a plane crack of finite width in a transversely isotropic medium, Int. J. Numer. Anal. Methods Geomech. 1998. V. 22. № 4 . P. 263-275.

[69] Zhang J., Gao H. Elastic wave modelling in 3-D fractured media: an explicit approach, Geophys. J Int. 2009. V. 177. № 3. P. 1233-1241.

[70] Schoenberg M. Elastic wave behavior across linear slip interfaces, J. Acoust. Soc. Amer. 1980. V. 68. № 5. P. 1516-1521.

[71] D.P.Grigorievykh, N.I.Khokhlov, I.B.Petrov, Mathematical modeling of cracks in solid deformable bodies using hexahedral grids, MIPT transactions, V. 7, No4, 2015.

[72] Rokhlin S., Wang Y. Analysis of boundary conditions for elastic wave interaction with an interface between two solids, J. Acoust. Soc. Amer., 1991, vol. 89, no. 2, pp. 503-515.

[73] Santos J.E., Picotti S., Carcione J. Evaluation of the stiffness tensor of a fractured medium with harmonic experiments, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 2012, vol. 247-248, pp. 130-145.

[74] Golubev V., Khokhlov N., Grigorievyh D. Numerical simulation of destruction processes by the grid-characteristic method, Procedia Computer Science, 2018, vol. 126, pp. 1281-1288.

[75] LeVeque R.J. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge Texts in Applied Mathematics. Cambridge University Press. 2002. P. 129-138.

[76] Grechka V., Yaskevich S. Azimuthal anisotropy in microseismic monitoring: A Bakken case study, Geophysics, Vol. 79, No. 1 2014. pp. KS1-KS12.

[77] A.Bakulin, V.Grechka, and I.Tsvankin. Estimation of fracture parameters from reflection seismic data—Part I: HTI model due to a single fracture set. Geophysics 65(6): 1788-1802, 2000.

[78] A.Bakulin, V.Grechka, and I.Tsvankin. Estimation of fracture parameters from reflection seismic data—Part II: Fractured models with orthorhombic symmetry. Geophysics 65(6): 1803-1817, 2000.

[79] A.Bakulin, V.Grechka, and I.Tsvankin. Estimation of fracture parameters from reflection seismic data—Part III: Fractured models with monoclinic symmetry. Geophysics 65(6): 1818-1830, 2000.

[80] Howarth R. textitMethane emissions and climatic warming risk from hydraulic fracturing and shale gas development: implications for policy. Energy and Emission Control Technologies, 3:45-54, 2015.

[81] Oz Yilmaz. Seismic data analysis. Publisher: Society of Exploration Geophysicists, 2001.

[82] Esipov D.V., Kuranakov D.S., Lapin V.N., Cherny S.G. Mathematical models of hydraulic fracturing. Comput. Technologies. 2014. Vol. 19, No. 2. P. 33-61.

[83] Carl W.Ebeling. Advances in Geophysics. Volume 53, 2012, Pages 1-33

[84] Baan, Mirko van der, David Eaton, and Maurice Dusseault. Microseismic Monitoring Developments in Hydraulic Fracture Stimulation. In "ISRM International Conference for Effective and Sustainable Hydraulic Fracturing 2013 439-66. International Society for Rock Mechanics.

[85] Montgomery, Carl T. Fracturing Fluid Components. 2013.

[86] Mercerat E.D., Glinsky N. A Nodal High-Order Discontinuous Galerkin Method for Elastic Wave Propagation in Arbitrary Heterogeneous Media, Geophys. J. Int. 2015, 201, 1101-1118.

[87] Stemland, H.M.; Johansen, T.A.; Ruud, B.O. Potential Use of Time-Lapse Surface Seismics for Monitoring Thawing of the Terrestrial Arctic. Appl. Sci. 2020, 10, 1875.

[88] Стогний П.В., Петров И.Б. Численное моделирование распространения сейсмических волн в моделях с ледовым полем в зоне арктического шельфа, Компьютерные исследования и моделирование, 2020, т. 12, № 1, с. 73-82

[89] Стогний П.В., Хохлов Н.И., Петров И.Б. Численное моделирование волновых процессов в слоистых средах с газонасыщенными включениями: сравнение двумерных и трёхмерных моделей , Доклады Академии наук. - 2019. - Т. 489. - №4. - C. 351-354.

[90] Стогний П.В., Хохлов Н.И., Петров И.Б. Моделирование вертикальных трещин с помощью модели Шонберга на структурированных сетках сеточно-характеристическим методом, РЭНСИТ, 2019, 11(3)351-356.

[91] Polina V. Stognii, Dmitriy I. Petrov, Nikolai I. Khokhlov and Igor B. Petrov. Simulation of seismic processes in geological exploration of Arctic shelf., Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, Volume 32, Issue 6, Pages 381-392.

[92] Khokhlov N., Stognii P. Novel approach to modeling the seismic waves in the areas with complex fractured geological structures., Minerals. Volume 10, Issue 2(122), 2020.

[93] Стогний П. В. , Петров Д. И. , Хохлов Н. И. , Петров И. Б. Численное моделирование сеточно-характеристическим методом влияния ледовых образований на сейсмические отклики ., Математическое моделирование 2018. Том 30. номер 8 C. 107-115 [Электронный ресурс].

[94] Стогний П. В. , Хохлов Н. И. Численное моделирование распространения сейсмических волн в присутствии газовых карманов в зоне Арктического шельфа , Neftegaz.ru. - 2018. - № 11. - С. 70 - 71.

[95] Петров И.Б., Стогний П.В., Хохлов Н.И., Петров Д.И. Исследование влияния антиклинальных структур в шельфовой зоне Арктики на сейсмические отклики сеточно-характеристическим методом , Актуальные проблемы нефти и газа. Вып. 3(22) 2018

[96] Петров И.Б., Стогний П.В., Хохлов Н.И. Численное моделирование влияния ледовых образований на сейсмические отклики сеточно-характеристическим методом., Труды МФТИ. Т.7, №4(28). 2015 С. 38-48.

[97] P. Stognii, N. Khokhlov and D. Grigorievih. The Comparison of Two Approaches to Modelling the Seismic Reflection From the Fractured Media with the Help of Grid-Characteristic Method, Publisher: European Association of Geoscientists and Engineers. Conference Proceedings, Tyumen 2019, Mar 2019, Volume 2019, p.1 - 4.

[98] Stognii P., Khokhlov N, Zhdanov M. Novel approach to modelling the elastic waves in a cluster of subvertical fractures, 81st EAGE Conference and Exhibition 2019. Conference Paper.

[99] Stognii P.V., Khokhlov N.I. 2D Seismic Prospecting of Gas Pockets, In: Petrov I., Favorskaya A., Favorskaya M., Simakov S., Jain L. (eds) Smart Modeling for Engineering Systems. GCM50 2018. Smart Innovation, Systems and Technologies, vol 133. Springer, Cham.2019.

[100] P. Stognii, A. Breus and N. Khokhlov. Numerical Modelling of Seismic Waves Spread With the Presence of Gas Layers in the Arctic Region., Publisher: European Association of Geoscientists and Engineers. Source: Conference Proceedings, Geomodel 2018, Sep 2018, Volume 2018, p.1 - 5.

[101] Stognii, P., Petrov, D., Khokhlov, N., Favorskaya, A. Numerical modeling of influence of ice formations under seismic impacts based on grid-characteristic method, Procedia Comput. Sci. 112, 1497-1505 (2017). DOI: 10.1016/j.procs.2017.08.040

[102] Stognii, P., Petrov, I., Favorskaya, A. The influence of the ice field on the seismic exploration in the Arctic region., Conference Paper. Procedia Computer Science Volume 159, 2019, pp. 870-877. 23rd International Conference on Knowledge-Based and Intelligent Information and Engineering Systems, KES 2019; Budapest; Hungary.

[103] Стогний П.В., Хохлов Н.И., Петров И.Б. Численное моделирование волновых процессов в геологических средах с газовыми карманами в зоне Арктического шельфа с помощью сеточно-характеристического метода., Труды Международной конференции. Марчуковские научные чтения - 2019. 2019

[104] Голубев В.И., Петров И.Б., Маловичко М.С., Явич Н.Б., Стогний П.В. Численное решение задач разведочной геофизики., Сборник статей первой международной научно-практической конференции молодых ученых и специалистов, состоявшейся в рамках мероприятий Первого международного молодежного научно-практического форума "Нефтяная столица". 2018. С.: 64-69.

[105] Голубев В.И., Фаворская А.В., Хохлов Н.И., Петров Д.И., Стогний П.В. Влияние полярного климата на решение прямых и обратных задач сейсмической разведки., Полярная механика. Статья в журнале - материалы конференции. №4, 2018. С. 41-48 .

[106] Стогний П.В., Хохлов Н.И., Петров И.Б. Применение сеточно-характеристического метода для решения задачи сейсмического мониторинга., Труды Международной конференции «Дегазация Земли: геология и экология - 2018». Актуальные проблемы нефти и газа. Вып. 4(23) 2018.

[107] Петров Д.И., Стогний П.В. Математические методы и прикладное программное обеспечение для решения ресурсоемких вычислительных задач в технологических и бизнес процессах нефтегазовой отрасли., Материалы научно-практической конференции. 2017. Суперкомпьютерные технологии в нефтегазовой отрасли. Математические методы, программное и аппаратное обеспечение. С.122-126. Статья в сборнике трудов конференции.

[108] Стогний П.В., Петров Д.И., Хохлов Н.И., Петров И.Б. Применение сеточно-характеристического метода к исследованию влияния антиклинальных структур и ледовых образований в шельфовой зоне Арктики на сейсмические отклики., Морские исследования и образование. (MARESEDU-2017) Труды VI Международной научно-практической конференции. 2017. С.352-355.

[109] Стогний П.В., Петров Д.И. Моделирование волновых процессов в Арктике в присутствии различных ледовых образований., Материалы научно-практической конференции. 2017. Суперкомпьютерные технологии в нефтегазовой отрасли. Математические методы, программное и аппаратное обеспечение. С.54-57. Статья в сборнике трудов конференции.

[110] Стогний П.В., Петров Д.И. Моделирование волновых процессов в зоне Арктического шельфа в присутствии торосов., Современные проблемы математического моделирования, обработки изображений и параллельных вычислений 2017 (СПММ0ИИПВ-2017).Труды Международной научной конференции. 2017. Статья в сборнике трудов конференции. С.261-263.

[111] Petrov D., Khokhlov N., Petrov I., Stognii P. Computer modeling of influence of ice structures on seismic replies in the Arctic., Supercomputingin scientific and industrial problems. Moscow, 2016.

German-Russian Conference: abstracts. KIAM RAS. 2016. P.19-20. Тезисы доклада на конференции.

[112] Stognii P. The investigation of the ice field influence on the seismic prospecting works in the Arctic region., Computational mathematics and information technologies. V.1(1), 2020. P.31-36.

[113] P. Stognii, I. Petrov, V. Golubev, and A. Shevchenko. The investigation of multiple waves in models with an ice field in the Arctic region with the help of the grid-characteristic method., Publisher: European Association of Geoscientists and Engineers. Source: Conference Proceedings, Geomodel 2019, Sep 2019, Volume 2019, p.1 - 5.

[114] Стогний П.В., Хохлов Н.И., Петров И.Б. Моделирование волновых процессов в геологических трещиноватых средах с использованием модели Шонберга Прикладная математика и механика, 84(3), с.375-386, 2020.

[115] Stognii P.V., Khokhlov N.I., Petrov I.B. Numerical modeling with a grid-characteristic method of elastic wave propagation in geological media with gas cavities. Numerical Analysis and Applications, 13(3), p.271-281, 2020.