Метод исследования пространственных волновых явлений в средах со сложной структурой с помощью вычислительных экспериментов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Фаворская Алена Владимировна

• Фаворская Алена Владимировна
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Фаворская Алена Владимировна

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ

1.1. Введение

1.2. Линейно-упругие среды с анизотропией

1.2.1. Общий случай

1.2.2. Орторомбическая анизотропия

1.2.3. Вертикально-трансверсальная анизотропия

1.2.4. Горизонтально-трансверсальная анизотропия

1.3. Изотропные линейно-упругие среды

1.4. Акустические среды

1.4.1. Вывод системы уравнений, описывающей распространение акустических волн

1.4.2. О применимости пренебрежения изменением плотности

1.5. Выводы

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

2.1. Введение

2.2. Сеточно-характеристический численный метод

2.3. Линейно-упругие среды с анизотропией

2.3.1. Общий случай

2.3.2. Орторомбическая анизотропия

2.4. Изотропные линейно-упругие среды

2.5. Акустические среды

2.6. Исследование сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках

2.6.1. Аппроксимация

2.6.2. Устойчивость

2.7. Выводы

3.1. Введение

3.2. Граничные и контактные условия

71

3.2.1. Линейно-упругие среды с анизотропией

3.2.2. Изотропные линейно-упругие среды

3.2.3. Акустические среды

3.3. Контактное условие с динамической силой трения

3.3.1. Введение

3.3.2. Контактное условие

3.3.3. Результаты численного моделирования

3.3.4. Выводы

3.4. Контактное условие между линейно-упругой и акустической средами

3.5. Граничное условие с использованием мнимых точек

3.6. Контактное условие для иерархических сеток

3.7. Выводы

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМБИНИРОВАННЫМ МЕТОДОМ GCM-SPH

4.1. Введение

4.2. Контактное условие для комбинированного метода

4.2.1. Особенности подхода

4.2.2. Обозначения

4.2.3. Описание расчета контакта

4.2.4. Доказательство сохранения порядка аппроксимациии

4.3. Результаты численного моделирования

4.3.1. Задача о распаде разрыва, сравнение с аналитическим решением

4.3.2. Пробой тонкой пластины ударником

4.3.3. Столкновение ударника с массивной мишенью

4.4. Выводы

ГЛАВА 5. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

5.1. Введение

5.2. Реконструкция полиномами

5.3. Кусочно-линейная интерполяция

5.4. Гибридная интерполяция

5.5. Формулы для пересчета индексов и тетраэдргуляризация расчетной области

5.6. Сравнение разработанных методов

5.7. Оценка снижения количества затрат вычислительных ресурсов

5.8. Выводы

ГЛАВА 6. ИНТЕГРАЛЫ РЭЛЕЯ И МИГРАЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН

6.1. Введение

6.2. Постановка задачи

6.3. Решение прямой задачи упругости с помощью интегралов Релея

6.4. Дискретизация

6.5. Сравнения для плоской волны

6.6. Сравнения с точечными источниками

6.7. Расчет миграционного поля, основанная на интегральной формуле Рэлея

6.8. Особенности расчета миграционных изображений

6.9. Примеры миграционных изображений

6.10. Выводы

ГЛАВА 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЕЙСМОСТОЙКОСТИ

7.1. Введение

7.2. Применение сеточно-характеристического метода для численного моделирования процесса сейсмической изоляции

7.2.1. Подходы к расчету сейсмостойкости

7.2.2. Расчетные параметры

7.2.3. Расчет эластомерной системы

7.2.4. Учет влияния соседних объектов с контрастными акустическими свойствами

7.2.5. Расчет здания с бассейном

7.2.6. Выводы

7.3. Применение метода анализа закономерностей волновой динамики для объяснения различий в поврежденных зонах, вычисленных с помощью различных критериев разрушения

7.3.1. Введение

7.3.2. Уравнения, описывающие распространение упругих волн

7.3.3. Уравнения статической упругости

7.3.4. Метод расчета разрушений с разделением статических и динамических нагрузок

7.3.5. Критерии и модели разрушения

7.3.6. Постановка задачи

7.3.7. Вклад волновых явлений в разрушение объекта

7.3.8. Выводы

7.4. Два подхода к моделированию воздушных подобластей: теоретическая оценка и практические результаты

7.4.1. Введение

7.4.2. Два подхода к моделированию воздушных подобластей

7.4.3. Постановка задачи

7.4.4. Теоретические оценки, основанные на анализе геометрии области интегрирования

7.4.5. Результаты расчетов

7.4.6. Выводы

7.5. Расчет сейсмических волн в геологических средах с использованием тетраэдральных сеток

7.5.1. Введение

7.5.2. Результаты численного моделирования

7.5.3. Выводы

7.6. Выводы

ГЛАВА 8. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ СОВМЕСТНО В ЛИНЕЙНО-УПРУГИХ И АКУСТИЧЕСКИХ СРЕДАХ

8.1. Введение

8.2. Использование кратных волн для получения информации о подземной геологической структуре

8.2.1. Введение

8.2.2. Геологические модели

8.2.3. Анализ волновых картин

8.2.4. Объяснение эффекта и аналитические выражения

8.2.5. Синтетические сейсмограммы

8.2.6. Выводы

8.3. Способ регистрации сейсмических сигналов с целью поиска и разведки углеводородов в структурах подводных геологических массивов

8.3.1. Пример осуществления изобретения

8.4. Объяснение выявленного волнового явления

8.4.1. Общая схема применения метода Wave Logia

8.4.2. Упрощенные механико-математические постановки

8.4.3. Волновые картины

8.4.4. Чертеж и определение углов рассеяния

8.4.5. Аналитические свойства амплитуд прдоольных и поперечных волн

8.4.6. Амплитуды компонент частных решений волнового уравнения с учетом поворота

8.4.7. Упрощенное контактное условие

8.4.8. Подстановка свойств частных решений в контактное условие для случая большого угла падения

8.4.9. Подстановка свойств частных решений в контактное условие для случая малого угла падения

8.4.10. Финальные выражения для амплитуды рассеянной волны

8.4.11. Вопрос единственности и разрешимости

8.5. Определние типа волны на волновой картине

8.5.1. Постановки задач

8.5.2. Итоговые таблицы для определения типа волны

8.6. Сравнение упругих и акустических волновых процессов

8.7. Выводы

ГЛАВА 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ В ТРЕЩИНОВАТЫХ СРЕДАХ

9.1. Введение

9.2 Подходы к численному моделированию трещиноватости

9.3. Сравнение результатов численного и физического моделирования

9.4. Изучение волновых явлений, рассчитанных с помощью полноволнового моделирования

9.4.1. Постановка задачи

9.4.2. Построение срезов пространственных динамических волновых картин

9.4.3. Подбор конечной выборки моментов времени для проведения детального сравнительного анализа

9.4.4. Зависимость от частоты источника траектории и скорости движения точки отрыва головной волны от поперечной волны

9.4.5. Результаты исследования неотражающих граничных условий путем анализа пространственных динамических волновых картин

9.4.6. Результаты исследования зависимости угла рассеяния сейсмических волн от различных факторов

9.5. Расчет волновых процессов внутри трещин

9.6. Выводы

ГЛАВА 10. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ С ЦЕЛЬЮ ПОВЫШЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТИ ЭКСПЛУАТАЦИИ Ж/Д ПУТЕЙ

10.1. Введение

10.2. Контактное условие для расчета воздействия поврежденного колеса на ж/д полотно

10.2.1. Введение

10.2.2. Полноволновое моделирование

10.2.3. Аналитические выражения для моделирования динамической нагрузки железнодорожного состава на рельсы

10.2.4. Аналитические выражения для расчета влияния поврежденного колеса на рельсы

10.2.5. Особенности расчета давления колес подвижного состава на рельс

10.2.6. Расчет процесса удара колеса с ползуном о рельс

10.2.7. Расчет волновых явлений в рельсе и ж/д пути

10.2.8. Моделирование появления трещин

10.2.9 Сравнение результатов моделирования разрушения с результатами физических

экспериментов

10.2.10. Выводы

10.3. Волновые явления и ультрозвуковая дефектоскопия ж/д путей

10.3.1. Введение

10.3.2. Постановка задачи

10.3.3. Результаты численного моделирования

10.3.4. Отклик от трещины, расположенной вдоль направления движения падающей плоской волны

10.3.5. Выводы

10.4. Изучение отклика вертикально падающей P-волны от вертикальной газонасыщенной трещины

10.4.1. Серия расчетов в упрощенных механико-математических постановках

10.4.2. Амплитуды компонент частных решений с учетом поворота

10.4.3. Определение амплитуды рассеяния

10.5. Выводы

ГЛАВА 11. ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ С ЦЕЛЬЮ ОПТИМИЗАЦИИ ИЗМЕРЕНИЯ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ ЛАЗЕРНЫМ УЛЬТРАЗВУКОМ

11.1. Введение

11.2. Основные особенности исследования свойств материала пластины лазерным ультразвуком

11.2.1. Аналитический обзор

11.2.2. Ключевые характеристики процесса исследования свойств материала лазерным ультразвуком

11.2.3. Формулы для пересчета параметров исследуемых материалов

11.3. Основные особенности численного полноволнового моделирования процесса исследования свойств материала пластины лазерным ультразвуком

11.3.1. Постановки задач

11.3.2. Исследование влияния типа источника упругих волн на рассматриваемые волновые процессы

11.3.3. Особенности работы с ПО ЯЕСТ

11.4. Основные особенности волновых процессов, возникающих при исследовании свойств материала пластины лазерным ультразвуком

11.4.1. Типы упругих волн в пластине

11.4.2. Расчет времени наблюдения различных типов волн в пластине

11.4.3. Критерии разделения материалов пластины на три класса

11.4.4. План дальнейших исследований

11.5. Методика исследования свойств материала пластины лазерным ультразвуком

11.6. Результаты апробации методики исследования свойств материала пластины лазерным ультразвуком путем полноволнового моделирования

11.6.1. Преимущества полноволнового численного моделирования при тестировании различных экспериментальных методик

11.6.2. Пример 1. Алюминиевая пластина, материал первого класса

11.6.3. Пример 2. Пластина из материала второго класса

11.6.4. Выводы о влиянии различных факторов на погрешность измерений

11.7. Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

351

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод исследования пространственных волновых явлений в средах со сложной структурой с помощью вычислительных экспериментов»

Введение

Актуальность темы исследования

Исследование волновых явлений в средах со сложной структурой необходимо для решения многих практических задач в областях сейсмической разведки углеводородов, ультразвуковой дефектоскопии, в интересах железнодорожной и строительной промышленности.

Актуальность исследований сейсмостойкости обусловлена тем, что в наши дни многие объекты подвержены рискам сейсмической активности либо естественной, в ходе землетрясений, природы, либо техногенной. Так, например, в зону повышенной сейсмической активности входят восточные регионы России, находящиеся в зоне так называемого Огненного Кольца, береговой зоны материков Евразия, Северная Америка, Южная Америка и Австралия, а также островов, опоясывающей Тихий Океан. В данной зоне расположена сеть вулканов и часто происходят землетрясения с разрушительными последствиями. Численное моделирование динамического процесса разрушений многоэтажных зданий может быть использовано в качестве технологической платформы инженера-разработчика и быть визуальной опорой для разработки сейсмостойких технологий строительства всех типов сооружений от наземных жилых домов до подземных конструкций. Также представляет интерес разработка методов моделирования сейсмической изоляции. Особенно активно сейсмическая изоляция применяется в Японии. По данным Японского общества сейсмической изоляции, с декабря 2015 года было построено более четырех тысяч коммерческих и административных зданий с изолированным фундаментом. Также сейсмическая изоляция применяется в Турции, США, Китае, Новой Зеландии, Чили, Перу, Колумбии и Эквадоре.

Кратные волны возникают в процессе шельфовых и наземных сейсмических поисковых работ вследствие кратных отражений волн в слоях водных масс и в осадочном покрове. На текущий момент кратные волны не используются для получения информации о подземной геологической структуре. Наоборот, ведется активная разработка методов их подавления на сейсмограммах [Foster и др. 1992; Shi и др. 2015; Ravasi и др. 2015]. Анализ кратных волн, основанный на геометрических приближениях, применяется исключительно для исследований мантии Земли [Tian и др. 2005; Frost и др. 2018]. Поэтому исследование вопроса численного моделирования кратных волн и последующей разработки методов получения с их помощью

полезной информации в сейсмической разведке углеводородов является актуальным и малоразработанным направлением.

По оценкам, приведенным в работе [Goodway и др. 2013], 25 % запасов углеводородов на Земле сосредоточены в Арктике. На Арктическом шельфе России располагаются 8 месторождений, запасы в которых оцениваются, приблизительно, в 2.7 трлн. м3. К объектам федерального значения относятся 5 месторождений: Ленинградское и Русановское в Карском море, Ледовое, Лудловское и Мурманское в Баренцевом море, Поморское и Северо-Гуляевское в Печерском море. В целях нефтедобычи установлена ледостойкая платформа Приразломная в Печерском море, в целях добычи газа разрабатывается проект Штокмановского месторождения в Баренцевом море. Для данных месторождений необходимо уточнение выполненных ранее оценок запасов нефти и газа [Новиков и др. 2008]. Фактором, который осложняет нефтедобычу в Северных морях, являются ледовые образования, в частности, айсберги [Lee и др. 2008; Bekker и др. 2009; Гольдштейн и др. 1989; Гольдштейн и др. 2013]. Нефтеразведка в условиях Арктики обладает своей спецификой. Например, одним из слоев, через которые распространяются сигналы от источников, является море [Левченко и др. 2010; Петров и др. 2015], другим — ледяной покров, вносящий свой вклад в измеряемые или вычисляемые отклики при сейсмической разведке.

Для месторождений углеводородов в мощных толщах карбонатных пород и глубоко залегающих песчаников характерно развитие разномасштабных трещин. В большинстве случаев они образуют системы субвертикальных однородно-ориентированных трещин. Прогноз их положения в массиве продуктивного резервуара, а также диагностика их характеристик имеют большое значение для построения качественной фильтрационной модели месторождения и выбора оптимальных режимов его разработки.

Сеточно-характеристический метод имеет и другие применения. Так, например, рельсы подвергаются большим механическим нагрузкам и жестким условиям окружающей среды. Несмотря на значительные технологические успехи, достигнутые в отношении безопасности железнодорожных путей, разрывы рельсов, которым предшествуют имеющиеся дефекты, по -прежнему часто происходят во всем мире, что приводит к крупным крушениям поездов. Следовательно, необходимы новые технологии для обнаружения и предупреждения дефектов рельсов в целях повышения безопасности и эффективности железнодорожного транспорта за счет снижения рисков поломки рельсов и пагубных последствий. В связи с необходимостью отслеживать тысячи километров железнодорожного пути на регулярной основе, самой важной задачей для исследователей является разработка методологий, подходящих для обнаружения дефектов железнодорожными транспортными средствами на более высоких скоростях, а также

разработка методов расчета системы «рельс-колесо» с учетом дефектов и расчета влияния поврежденных колесных пар.

степень разработанности темы исследования

Численное моделирование распространения сейсмических волн часто основано на приближении акустических волн [Aki и др. 2002; Bording и др. 1997; Chapman 2004]. Три наиболее распространенных типа методов моделирования, используемых в геофизике, - это прямые методы, методы интегральных уравнений и асимптотические методы [ Carcione и др. 2002]. За последнее десятилетие был достигнут значительный прогресс во всех этих методах [Wang и др. 2007; Etgen и др. 2007; Hestholm 2009; Tong и др. 2011; Di Bartolo и др. 2012; Hobro и др. 2014; Sanyi и др. 2014]. Однако реальные процессы распространения волн в геологических средах могут быть более точно представлены уравнениями упругих волн. Решение этой проблемы обсуждалось в многочисленных публикациях. Например, в работах Levander [Levander 19BB], Seriani [Seriani и др. 1992] и Van Vossen, Robertsson и Chapman [Van Vossen и др. 2002], авторы представили решения, основанные на методе конечных элементов, тогда как Jianfeng [Jianfeng 1997], Zhang, Zhang и Chen [Zhang и др. 2012] и многие другие использовали метод с конечных разностей, Käser и Igel [Käser и др. 2001] моделировали двумерное распространение волн на неструктурированных сетках с использованием явных дифференциальных операторов, а Käser и Dumbser [Käser и др. 2006, 1, 2; Käser и др. 2008] применяли разрывный метод Галеркина. Zeng и Liu [Zeng и др. 2004] предложили метод многодоменной псевдоспектральной временной области на основе оператора спектральной производной, аппроксимированного полиномами Чебышева или Лагранжа. Peter, Komatitsch, Luo, Martin, Le Goff, Casarotti, Le Loher, Magnoni, Liu, Blitz, Nissen-Meyer, Basini и Tromp [Peter и др. 2011] использовали метод спектральных элементов для неструктурированных гексаэдральных сетках для численного моделирования как в упругой, так и в акустической средах. Всесторонний обзор современных методов моделирования распространения сейсмических волн можно найти в [Virieux и др. 2012]. Метод совместного упругоакустического моделирования, основанный на адаптивной сетчатой разностной схеме, был предложен Jiang и Jin [Jiang и др. 2013]. Di Bartolo, Vieira, Dors, и Mansur [Di Bartolo и др. 2015] в своей работе обсуждают оптимизированный по памяти метод конечно-разностный метод для совместного моделирования, в то время как Матушик и Демкович [ Matuszyk и др. 2014] получили решение волнового уравнения совместно в пористой, акустической и упругой средах с использованием метода автоматической hp-адаптации. Справедливость акустического

приближения для упругих волн в гетерогенных средах в последние годы исследовалась Solano, Stopin и Plessix [Solano и др. 2013] и Cance и Capdeville [Cance и др. 2015].

К схемам повышенного и высокого порядков точности относят схемы ENO, WENO, компактные схемы и схемы для решения продолженных систем уравнений. В схемах ENO (essentially nonoscillatory) TVD-ограничение [Куликовский и др. 2001] заменяется требованием, уменьшающим количество возникающих экстремумов, допуская их появление при наличии ограничения на их величину. Технически это обеспечивается выбором шаблона полиномиальной интерполяции высокого порядка, обеспечивающим наименьшие осцилляции из всех возможных. В то время как схемы ENO используют наиболее гладкий из нескольких шаблонов, схемы WENO (weighted essentially nonoscillatory) [Shu 1997; Balsara и др. 2000; Титарев 2010; Dumbser и др.2007; Tsoutsanis и др. 2011] выбирают усредненный с весами шаблон, использующий все возможные шаблоны. Веса подбираются на основе локальной гладкости решения таким образом, чтобы они были близки к нулю для негладких шаблонов, но были оптимальны в областях гладкости решения. WENO-схемы действуют по аналогии с ENO-схемам возле разрывов. Но в областях гладкости WENO-схемы ближе к центрированным противопоточным схемам. Применение схем WENO с высоким порядком аппроксимации, как по времени, так и по пространству для решения нелинейных гиперболических систем на неструктурированных сетках в двумерном и трехмерном случаях можно найти в [Dumbser и др.2007; Tsoutsanis и др. 2011]. Описание WENO-схем до одиннадцатого порядка аппроксимации можно найти в [Tsoutsanis и др. 2011]. К недостаткам WENO схем можно отнести их неэкономичность и необходимость специальных видоизменений в окрестности границ. Компактные схемы используют уравнения, которые связывают значения результата в нескольких соседних точках со значениями данных в нескольких соседних точках. Это позволяет повысить порядок аппроксимации, не увеличивая шаблон. Класс неявных компактных разностных схем, обладающих порядком аппроксимации выше второго, устойчивостью, экономичной разрешимостью разностных уравнений, когда число арифметических операций, приходящихся на вычислительный цикл, пропорционально числу узлов сетки, представлен в [Толстых 1990; Толстых 2000]. К недостатку неявных схем можно отнести сложность их распараллеливания. Класс консервативных абсолютно устойчивых компактных схем, монотонных в широком диапазоне значений локального числа Куранта для решения квазилинейных уравнений гиперболического типа представлен в [Рогов и др. 2010; Рогов и др. 2012]. Схемы данного класса имеют четвертый порядок аппроксимации по пространственной координате на компактном шаблоне и нечетный (первый или третий) порядок аппроксимации по времени. Схемы данного класса экономичны и решаются методом бегущего счета. К их недостаткам можно отнести ограничение на число Куранта снизу.

Характеристические свойства гиперболических систем уравнений сохраняются и в следствиях исходных уравнений, получаемых дифференцированием исходных уравнений (продолженных или расширенных системах уравнений). Такие продолженные системы используются для построения схем высокого порядка аппроксимации на нерасширяющемся шаблоне, в том числе монотонных схем подобного типа [Холодов 1980; Холодов и др. 2006]. Для многослойных разностных схем возникает проблема выполнения первого шага интегрирования по времени, для расчета которого нужно использовать двухслойные схемы. Использование продолженных систем уравнений позволяет избежать данной проблемы. Для решения задач, в которых фигурируют гиперболические системы уравнений, к которым относятся математическая модель состояния сплошной линейно-упругой среды [Новацкий 1975] (в том числе, в анизотропном случае [Thomsen 1995; Hsu и др. 1993; Thomsen 1986; Winterstein 1990]) и система, описывающая акустическое поле [Ландау и др. 1987], требующих при этом высокоточного расчета волновых процессов (в том числе, в прямых задачах сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа, численном моделировании сейсмостойкости наземных и подземных сооружений и дефектоскопии железнодорожного пути), применение метода, позволяющего детально и физически корректно описывать проистекающие волновые процессы, является оптимальным. Таким методом является сеточно-характеристический метод. Использование неструктурированных треугольных и тетраэдральных сеток позволяет проводить численное моделирование контактных границ сложной формы. Для сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках необходима разработка интерполяции на тетраэдральных сетках и написание библиотеки по интерполяции на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках.

При моделировании упругих и упругопластических взаимодействий на протяжении значительного времени широкое распространение имеют сеточные методы, в частности: метод конечных объемов [Куликовский и др. 2001] и сеточно -характеристический [Магомедов и др. 1988]. Задачи ударного взаимодействия деформируемых твердых тел рассматриваются в работах [Петров и др. 1990; Петров и др. 1990; Фомин и др. 1999; Уилкинс 1967; Кукуджанов и др. 1985; Канель и др. 1987; Одинцов 1980; Сагомонян 1974; Белов и др. 1985; Баженов и др. 2006; Бабкин и др. 2002]. В последнем десятилетии XX века с ростом вычислительных мощностей стали приобретать распространение адаптации метода сглаженных частиц (SPH) к моделированию упругопластических тел [Libersky и др. 1991; Randles и др. 1996; Liu и др. 2003; Медин и др. 2010], который был предложен первоначально для моделирования звезд и претерпел затем ряд усовершенствований [Monaghan 1988; Monaghan 2000]. Также для решения задач в системе «ударник-мишень» используются адаптивные сетки [Гильманов и др. 1995]. Использование различных критериев разрушений, например, критерия по главному

напряжению [Новацкий 1978], позволяет моделировать процессы разрушения сеточно-характеристическим методом, что, однако, для ряда задач является технически сложным и снижает точность из-за необходимости регулярного перестроения расчетной сетки. Для моделирования процессов, сопровождающихся значительными разрушениями и деформациями, лучше подходит метод сглаженных частиц [Потапов и др. 2009], являющийся бессеточным методом. Тем не менее, этот метод не лишен недостатков: для метода характерны характерны осцилляции, не соответствующие физике процесса, а детальное моделирование волновых процессов требует увеличения количества частиц. Таким образом, имеется два семейства методов, являющихся оптимальными для двух разных групп задач. Однако задачи, встречающиеся на практике, часто требуют единовременного расчета значительных разрушений и деформаций единовременно с описанием волновых процессов, что потребует идти на существенный компромисс при выборе численного метода. С целью решения таких задач целесообразна разработка комбинированного численного метода GCM-SPH, представляющего собой метод расчета контактного условия на поверхности раздела между областями, в которых используется сеточно-характеристический метод и метод сглаженных частиц (SPH) [Потапов и др. 2009].

В случае уравнения акустических волновых полей классическая формула Кирхгоффа и выражение для интегралов Рэлея могут быть использованы для получения алгоритма миграции в обратном времени [Zhdanov 2002]. В работе [Trorey 1970] описаны несколько подходов к процессу сейсмической миграции с использованием формул Кирхгоффа для акустического поля, где рассматривается случай нулевого расстояния между приёмниками и передатчиками. Алгоритмы миграции для разных оффсетов между источниками и приёмниками обсуждались в серии публикаций [Duzhirin 2003; Xue и др. 2000; Kuo и др. 1984]. Работа [Zhang 2008 ] посвящена случаю миграции в анизотропической среде. Статьи [ Wang 2004; ] рассматривают случай миграции в векторном поле вместо миграции в скалярном. Формулы интегрирования для рассеяния упругих волн рассмотрены в [Pao и др. 1976; Zhdanov 1988; Zhdanov и др. 1988]. В монографии [Zhdanov 2002] вводедены формулы Кирхгоффа в случае основного уравнения упругих волн. Интегральная формула Кирхгоффа требует знания упругого поля и его нормальной производной на плоскости интегрирования S. Однако, можно показать, что значения волнового поля на границе и его нормальной производной на плоскости S не являются зависимыми [Zhdanov 1988]. На самом деле они связаны соответствующим интегральным уравнением. Используя данное соотношение, в случае плоской области наблюдения S, можно преобразовать интегральную формулу Кирхгоффа в формулу Рэлея, которая оперирует с компонентами поля. Процесс миграции включает в себя два элемента: (1) обратную экстраполяцию рассеянного волнового поля (например, продление волн в направлении,

противоположном их направлению распространения и в обратном времени) и (2) создание изображения среды как срез в момент времени t = 0 пространственной структуры волнового поля, полученного путём обратной экстраполяции. Данные элементы формируют основу большинства алгоритмов миграции временных разрезов. (Например, Беркхаут [Berkhout 1980; Berkhout 1984], Claerbout [Claerbout 1985] и Жданов [Zhdanov 2002]).

Рассмотрим методы моделирования волновых процессов в трещиноватых средах. Schoenberg описал теорию линейного скольжения раскрытой трещины, используя модель эффективной среды внутри нее [Schoenberg 1980]. Использование бесконечно тонких газонасыщенной и флюидонасыщенной трещин являются частными предельными случаями данного семейства моделей, также новизна предложенного автором подхода заключается в том, что для расчета применялся сеточно-характеристический метод с явным выделением контактных границ. Экспериментальное подтверждение теории Schoenberg было дано в работах [Pyrak-Nolte и др. 1990; Hsu и др. 1993]. Предложенный матричный формализм [Schoenberg и др. 1989] позволил легко вычислять жёсткость трещиноватой среды. Таким образом, трещиноватая среда формировалась в модели из фоновой среды и отдельных трещин-включений. При этом в длинноволновом приближении среда может быть заменена эквивалентной анизотропной моделью [Backus 1962], однако при этом часть волновых эффектов перестают учитываться. Конечно-разностные методы приобрели широкую популярность в виду простоты реализации [Kelly и др. 1976; Virieux 1986; Lines и др. 1999; Zhang 2005]. Kelly, Ward, Treitel и Alford использовали так называемый однородный подход к конечно-разностному моделированию динамических процессов в упругом теле. В нём граничные условия на неоднородности задаются явно, что позволяет моделировать открытую трещину с разрывным (при переходе через её плоскость) смещением и непрерывным напряжением. На основе модели линейного скольжения в рамках подхода эффективных сред Coates и Schoenberg моделировали динамику трещиноватой среды с использованием эффективных анизотропных параметров [Coates 1995]. Slawinski и Krebes добавили в расчётную сетку фиктивные узлы, что позволило рассчитать распространение SH и P-SV волн в среде с горизонтальными и вертикальными раскрытыми трещинами [Slawinski и др. 2002, 1, 2]. Saenger и Shapiro использовали повернутую разнесенную расчетную сетку для моделирования распространения волн в среде с произвольной ориентацией трещин [ Saenger и др. 2002]. Vlastos, Liu, Main и Li исследовали влияние размера и плотности трещин на прохождение сейсмической волны [Vlastos и др. 2003], при этом анализу срезов волновых полей не значительно представлен в работе, сделан ряд качественных, но недетализированных, по сравнению с предложенным соискателем походом, выводов. Также в работе нет информации об анализе волнового фронта в динамике, проведено сравнение срезов только в фиксированный момент

времени. Kruger, Oliver, Saenger, Oates и Shapiro численно продемонстрировано влияние отношения длины волны к протяжённости трещины на амплитуду отражения [Kruger и др. 2007]. Zhang и Gao провели трёхмерные расчёты в среде, содержащей двумерные трещины, с явной постановкой граничных условий [Zhang и др. 2009]. Popovici, Sturzu и Moser, а также Silvestrov, Reda и Poststack исследовали зависимости амплитуды отражения и дифракции от характеристик трещин [Popovici и др. 2015; Silvestrov и др. 2016]. Cui, Lines и Krebes провели расчёты в модели с горизонтальными и вертикальными раскрытыми трещинами с применением фиктивных узлов в сетке [Cui и др. 2013] и предложили новую конечно-разностную схему, основанную на работах [Slawinski и др. 2002; Slawinski и др. 2002]. Сеточно-характеристический метод применялся для моделирования сейсмической разведки трещиноватых сред, см., например, [Квасов и др. 2016; Голубев и др. 2018].

Можно выделить три модели разрушений Объекта (жилого дома, ГЭС, АЭС и др.) при землетрясении природного или техногенного характера. 1. Разрушения, возникающие из -за проникновения упругих волн в здание. 2. Разрушения, возникающие из-за раскачивания здания. 3. Разрушения, возникающие из-за падения одних фрагментов здания на другие. Если модель №1 не верна, а верна модель №2, то должны быть симметрич-ными все разрушения кроме, быть может, разрушений по модели №3. Однако, эта гипотеза опровергнута заснятыми в Мексике 19 сентября 2017 года видеозаписями и, наоборот, у видеозаписей разрушений есть хорошая согласованность с моделью №1, предложенной автором. На видеозаписях наблюдаются характерная асимметрия (связанная с тем, что эпицентр находился на глубине 51 км в 55 км к югу от города Пуэбла-де-Сарагоса и в 120 км от города Мехико) и характерное для модели №1 распределение разрушений внутри здания. По крайней мере, можно утверждать, что реализуются все три модели разрушений, а не только вторая и третья модели разрушения. Поэтому анализ Объекта на собственные частоты и тесты на виброплатформе нельзя счесть достаточными методами исследования сейсмостойкости, так как при данных методиках тестирования не учитываются разрушения по модели №1.

Выделяют три способа расчета сейсмостойкости, возникшие в ходе развития данного направления с конца XIX века. 1. Статическая теория сейсмостойкости, статическая теория японского учёного Ф. Омори [Davison 1927]. 2. Динамическая теория сейсмостойкости. Предложена Н. Мононобе, С. Окабе, Т. Сано в 1920 году. Развитие теории велось в том числе российскими учёными ( К.С. Завриевым и А.Г. Назаровым) путём введения приближенных выражений для движения грунта. 3. Спектральная теория сейсмостойкости (определение собственных частот колебаний здания в соответствии с моделью разрушения №2). Предложена М. Био [Biot 1941]. Здание рассматривается как колебательная система с одной или несколькими степенями свободы. Также, используются приближенные выражения для задания

движения грунта. Численное моделирование сейсмостойкости современными программными комплексами (Abaqus, ANSYS) проводят в рамках третьего подхода. Используют метод конечных элементов и специально разработанный XFEM (Extended finite element method), расширенный метод конечных элементов, позволяющий моделировать разрушения материалов [Nikolic и др. 2017]. Также при численном решении задач сейсмики используют конечно -разностные схемы на треугольных и тетраэдральных сетках [Madariaga 1976; Virieux 1984; Levander 1988; Mora 1989; Moczo и др. 2002; Tessmer и др. 1994; Kazer и др. 2011]. Также для решения данного класса задач применяют псевдоспектральный метод [ Carcione 1994; Tessmer 1995; Igel 1999] и метод спектральных элементов [Priolo и др. 1994; Komatitsch и др. 1998; Seriani 1998].

Новизна подходов, предложенных автором, обусловлена, во-первых, применением класса сеточно-характеристических методов, во-вторых, другим подходом к изучению процесса разрушения во время землетрясения и сейсмических воздействий. Подход был предложен чл. -корр. РАН Петровым совместно с к.ф.-м.н. В.И. Голубевым в 2012 году [Golubev и др. 2012]. Интерес к предложенному подходу проявили МЧС России и специалисты из Индии, научная группа под руководством профессора Rakesh Khare [Bhasin и др. 2015]. В 2013 году к развитию данного направления подключилась автор. Подход предполагает расчёт волновых процессов и динамических разрушений в рассматриваемом Объекте (жилой дом, здание, ГЭС, АЭС), решаются уравнения динамической теории упругости с целью определения начальных зон разрушения. Неупругие свойства материалов заложены в процесс расчёта разрушения. Ключевые особенности подхода изложены в работе [Favorskaya и др. 2018, 14].

Сеточно-характеристический метод был предложен А.С. Холодовым и К.М. Магомедовым, см. [Magomedov и др. 1969; Магомедов и др. 1988]. Дальнейшее развитие данного метода представлено в работах [Kholodov 1978; Kholodov 1980]. Начиная с середины 80-х годов к работам по этой тематике подключился И.Б. Петров [ Petrov и др. 1984; Petrov и др. 1984; Kondaurov и др. 1984], и в дальнейшем под его руководством было разработано семейство численных методов для моделирования процесса ультразвуковых исследований тела человека, ультразвуковых операций, неразрушающего контроля железнодорожных путей, композитных материалов, расчёта разрушений композитных материалов, моделирования процесса сейсмической разведки, моделирования воздействия сейсмических волн на сооружения в целях повышения их сейсмостойкости и т.д. [Favorskaya и др. 2018, 6; Biryukov и др. 2016; Фаворская и др. 2014, 5; Favorskaya и др. 2016, 1, 2]. В работах [Favorskaya и др. 2016, 1; Favorskaya и др. 2018, 7; Фаворская и др. 2016, 1; Favorskaya и др. 2018, 5] А.В. Фаворской был предложен подход для изучения пространственных динамических волновых картин (Wave Logica), возникающих в вышеперечисленных областях и рассчитанных с помощью сеточно -

характеристического метода. Отметим, что для расчёта динамических волновых полей могут быть использованы и другие численные методы для решения системы уравнений, описывающей рассматриваемые процессы, во временной области ( in time domain), то есть без перехода к гармонической задаче, например, разрывный метод Галеркина [ Biryukov и др. 2016; Фаворская и др. 2014, 5; Dumbser и др. 2006], метод спектральных элементов [Komatitsch и др. 1999], псевдоспектральный метод [Faccioli и др. 1997], различные вариации конечно-разностных методов во временной области (FDTD, finite-difference method in the time domain) [Moczo и др. 2007; Wang и др. 2003] и конечно-разностный метод на сдвинутых сетках (SDFD, staggered-grid finite differences) [Graves 1996].

В вычислительной геофизике выделяют два типа постановок рассматриваемых задач: прямые, например, [Favorskaya и др. 2018, 7], и обратные, например, [Zhdanov 2002]. В обратных задачах сейсмологии исходными данными являются сейсмограммы, а результатом -данные о геологическом массиве. Численные методы для решения обратных задач напрямую применимы для интерпретации сейсмограмм. При решении прямых задач исходными данными являются параметры геологического массива, а результатом - синтетические сейсмограммы.

В предложенном соискателем подходе исходными данными является специальным образом выбранная серия моделей геологических сред, а результатом - рассчитанные пространственные динамические волновые поля, на основе анализа которых можно изучить динамику волн и выявить закономерности, которые могут быть использованы в сейсмической разведке.

Точные аналитические решения волнового уравнения, которые принято называть волнами различного типа (продольными, поперечными, Релея, Ляве, Стоунли, Крауклиса, обменными и т.д.), лишь приближенно описывают наблюдаемые в реальных существенно гетерогенных средах волновые процессы, так как в них происходит взаимодействие волн (многократные переотражения, интерференция и т.д.). Получение соответствующего аналитического решения, например, для волн Крауклиса, можно найти в работе [Крауклис 1968; Крауклис и др. 1988; Крауклис и др. 2001]. Известен также строгий аналитический поход, направленный на изучение решений гиперболических систем уравнений, наиболее полно представленный в работе [Хермандер, 1986].

Отметим, что предложенный соискателем подход к анализу пространственных динамических волновых полей, рассчитанных путем полноволнового компьютерного моделирования, описывает динамику распространения волн и структуру волновых фронтов более детально, чем классический подход, подразумевающий явное выделение частных аналитических решений волнового уравнения и более точно, чем геометрическое приближение

и лучевой метод. Соответственно, предложенный подход позволяет более точно выявлять закономерности, которые впоследствии могут использоваться в сейсморазведке.

Однако, так как исходные данные о геологическом массиве всегда известны приближенно, требуется также разработка такой серии постановок задач с варьируемыми параметрами, чтобы полученные результаты были применимы к конкретному месторождению. Необходимо таким образом построить серию численных экспериментов, чтобы неточности данных о геологическом массиве и погрешности численного метода не препятствовали бы получению адекватной картины волновой динамики, которая будет соответствовать результатам сейсмических исследований реальных месторождений. То есть важной составляющей исследования является разработка подходящей методологии для построения этой серии численных экспериментов. Некоторые важные аспекты этой методологии приведены в Главе 9 диссертации на примере моделирования распространения сейсмических волн в трещиноватых зонах. Аналогичные исследования можно провести для случаев геологических разломов [Favorskaya и др. 2018, 7], шельфовой зоны [Favorskaya и др. 2016, 1; Фаворская и др. 2016, 1] и других встречающихся на практике ситуаций, в которых исследуемая среда является существенно гетерогенной.

В геофизике принято изучать информативные особенности волновых полей на основе анализа сейсмограмм и использовать преимущества полноволнового моделирования только с целью построения более точных синтетических сейсмограмм (см, например, [Dumbser и др. 2006; Komatitsch и др. 1999; Левянт и др. 2015; Zhang 2005]), тем самым отбрасывается значительная часть информации и усложняется процесс исследования динамики распространения и типа возникающих сейсмических волн. Рассмотренный в настоящей работе подход по изучению волновых полей не обладает данным недостатком.

Для численного моделирования ультразвуковой дефектоскопии применяют метод конечных элементов [Джавади и др. 2012], масс-пружинную модель [Сыч и др. 2012], метод конечных разностей [Бархатов 2009] и квазианалитический метод конечных элементов (semi-analytical finite element method, SAFE) [Bartoli и др. 2006]. При численном решении задач сейсмической разведки используют, в основном, лучевые методы [Julian и др. 1977]. В работах [Bermudez и др. 1999; Kazer и др. 2008; Van Vossen и др.2002; De la Puente и др. 2007; Seriani и др. 1992] для решения данных задач применялись методы конечных элементов и спектральных элементов в том числе, с точностью высокого порядка. В работах [Van Vossen и др.2002; Levander 1988; Vlastos и др. 2003] приведены конечно-разностные схемы, адаптированные для моделирования задач сейсмики.

Проблемами выявления дефектов элементов системы «рельс-колесо», в том числе, с применением компьютерного моделирования, занимаются многие научные группы в разных

странах мира. Существуют разные подходы к моделированию воздействия ползунов на железнодорожные пути. Рассмотрим историю развития данного направления научных исследований в последние годы. Ползуны возникают из -за скольжения колёс во время торможения в условиях плохого сцепления, в частности осенью, когда листья могут загрязнять направляющие рельс. В работе [Newton и др. 1979] использованы пространственно -временные модели взаимодействия колесо-вагон для предсказания ударных сил, обусловленных ползунами, предоставлены результаты экспериментов с неисправным основанием внутри направляющей рельс, показана обратная зависимость размера ползуна и заданного диаметра колеса. Аналогичный подход к моделированию был использован в работе [Nielsen и др. 1995]. В работе [Dong и др. 1994] проведено сравнение результатов измерений с результатами расчетов при помощи метода конечных элементов системы «колесо-рельса», которое выявило достаточно хорошее соответствие для скоростей до 120 км/ч. Известны численные методы для контактной механики, такие как транспонирование матриц и вариационные методы, могут быть использованы для негерцианских задач [Johnson 1987]. Эти методы были адаптированы в работах [Remington и др. 1996] для приложения к реальным системам «рельс-колесо». Однако, все они базируются на предположении, что упругое поведение контактирующих тел может быть аппроксимировано упругим полупространством [Johnson 1987]. В то время как в методе, автором, рассматривается гетерогенная линейно-упругая среда, состоящая из рельсов, шпал, воздушного пространства между шпалами, насыпи и геологической среды под насыпью, в которой проводится полноволновое моделирование. В работе [Nielsen и др. 2000] рассмотрен эффект изменения окружности колеса, в том числе и ползунов, показано, что необходим более точный критерий замены дефектных колёс, основанный на ударных нагрузках. В работе [Yan и др. 2000] контакт «колесо-рельс» был изучен с помощью метода конечных элементов (FEM) и теории Герца. В работе [Wu и др. 2002] был предложен гибридный метод, в котором контактная сила определялась в интегральной области с помощью простой модели системы «рельс-колесо». Для того, чтобы учесть значительные поверхностные дефекты, такие как ползуны, требуется более детализированная модель контакта. В работе [Baeza и др. 2006] была использована численная негерцианская модель контакта с помощью табличного метода, с целью изучения ударов от ползунов. Трудность применения предложенного подхода связана с тем, что требуемый диапазон варьирования огромен, а таблица нужна высокой степени точности. В работах [Steenbergen 2007; Steenbergen 2008] проанализировано влияние геометрии ползуна на ударную силу, предложено использовать минимум кривизны колёса как более подходящий параметр для классификации ползунов, чем длина и глубина плоского участка. В работе [Steenbergen 2008] рассмотрены разные этапы роста ползуна на колесе, и в том числе соответствующие траектории центра колеса и изменение их частот. В работе [Alonso и др. 2008]

показано, что неровность имеет незначительное влияние на очевидное распределение контактного давления для железнодорожного транспорта при типичных нагрузках. В работе [Wiest и др. 2008] было обнаружено, что несмотря на то, что минимум радиуса кривизны двух контактирующих поверхностей был очень близок к большей полуоси контактного участка, модель контакта, основанная на полупространстве, находится в хорошем соответствии с конечно-элементной моделью. В работе [Zhao и др. 2011] задача динамического контакта между колесом и рельсами была промоделирована с помощью 3D конечно-элементной модели. Данная модель сравнивалась с моделью Герца и моделью контакта [Kalker 1990] для квази -статичных случаев. В большинстве работ колесо чаще всего упрощается до негибкого жёсткого тела, улучшенные модели колёсных пар предполагались для расчёта ударной силы плоского участка колеса [Martínez-Casas и др. 2013]. Влияние модели гибкой колёсной пары было обнаружено в основном на временные силы после удара по причине наличия ползуна. Гибкость колёсной пары, как было обнаружено в [Kaiser 2012], также влияет на поведение транспортного средства при движении. В работе [Pieringer и др. 2014] предложена эффективная пространственно-временная модель взаимодействия колесо-вагон. В работе [Yang и др. 2014] пространственно-временная модель взаимодействия системы «колесо-рельс» вместе с численной негерцианской моделью контакта используются для предсказания вибраций и шумов от ударов ползунов. В работе [Loktev 2014] с использованием уравнений Уфлянда -Миндлина для ортотропной пластинки, имеющей цилиндрическую анизотропию, произведён расчёт поведения рельса под динамической нагрузкой, вызванной движением колеса (без дефектов). В работе [Коган 2014] проведён аналитический расчёт процесса воздействия колеса со множественными ползунами на путь на основе оценки частотной характеристики динамической системы и с учётом случайной природы процесса. В работе [Мазов 2015] исследованы динамические воздействия, которые испытывает конструкция верхнего строения железнодорожного пути при наличии дефектов в колесных парах. На основе модели контакта колесо — рельс определены наибольшие напряжения, возникающие в рельсе при наличии дефектов колеса (ползун, навар), а также величины критических трещин, в зависимости от размеров дефекта колеса. Использовались аналитические соотношения, выведенные на основе теории Герца — Беляева. Колесо и рельс находятся в контакте на площади по причине локальных изгибов под нормальной нагрузкой. Для плоскостей контакта, которые могут быть определены в соответствии с гиперболической формой, может быть применена теория Герца для задач нормального контакта с нелинейной жёсткостью, которая зависит от радиусов кривизны двух плоскостей [Johnson 1987; Thompson 2008]. Ползуны слишком крупные, чтобы рассматривать их как незначительные неровности, и это делает контакт негерцианским, что учтено в аналитических выражения, полученных автором, и в предложенном гибридном

подходе к моделированию дальнейшего распространения волновых процессов в ж/д пути. В работе [Kouroussis и др. 2015] рассмотрены различные типы дефектов, вызывающие вибрации, а железнодорожный путь моделируется приближенная модель с сосредоточенной массой, lumped mass model (CLM), а для моделирования волновых процессов в грунте используется метод конечных элементов. В то время как автором предложено рассматривать всю гетерогенную структуру железнодорожного пути как упругое тело и рассчитывать все сопутствующие волновые процессы. В последние годы исследования также ведутся в следующих направлениях. В работе [Nejad 2014] проводилась оценка остаточных напряжений в рельсовом колесе, вызванных полем напряжений от процесса термообработки железнодорожного колеса методом конечных элементов. В работе [Zhu и др. 2015] был проведен набор тестов на основе контактных дисков, измеряющих коэффициент трения, который фокусируется на влиянии условий окружающей среды (относительной влажности и температуры). Кроме того, изучалось влияние оксидов железа, листьев и смесей гликоля / воды на коэффициент трения. Когда можно предсказать распространение трещин и скорость износа, оптимизация обслуживания может быть оптимизирована, и могут быть разработаны экономически эффективные меры. В работе [Dirks и др. 2015] предложено развитие модели распространения трещины, которая может применяться как для железнодорожных колес, так и для рельсов. Два неизвестных параметров материала в модели были откалиброваны по измерениям трещины на голландских железных дорогах в течение 5 лет. Метод расчета системы «рельс-колесо», предложенный автором, предполагает возможность реализации различных моделей распространения трещин, и от резких нагрузок, и усталостных. В работе [Буйносов, Денисов, 2016] исследование изменения напряженного состояния железнодорожного колеса в процессе эксплуатации было проведено при помощи метода конечных-элементов в ПО NX NASTRAN. В последние годы исследования ведутся по разным направлениям. В первую очередь, это физическое моделирование [Huang и др. 2018], моделирование качения колеса [Yang и др. 2018], а также разнообразные аналитические подходы [Bogdevicius и др. 2016; Loktev и др. 2016; Loktev и др. 2014]. В работе [Zunsong 2018] предложена трехмерная модель колеса с учетом длины, ширины и глубины ползуна, разработана динамическая модель высокоскоростного рельсового соединения для исследования влияния колеса на динамику системы «рельс-колесо». Предложенный подход представлен и для 2D и для 3D моделей ползунов и позволяет провести аналогичные исследования. В работе [Воробьев и др. 2018] исследования повреждений колес проводились на модельных роликах и предложена методика пересчёта повреждений модельных роликов на железнодорожные колесные пары.

Автором были предложены аналитические выражения для расчёта пространственно -временного распределения давления неповрежденных колес на рельс, и колес с повреждениями различной степени. А железнодорожный путь рассматривается как гетерогенная линейно -упругая среда, что позволяет более детально учитывать контактное взаимодействие ж/д пути с поврежденными и не поврежденными колесами поезда. Для расчета волновых процессов в ж/д пути используется сеточно-характеристический метод, позволяет проводить высокоточное полноволновое моделирование полного динамического процесса движения подвижного состава с дефектами колёс (ползун, навар). Кроме того, специально разработанная технология позволяет также учесть микротрещины, образующиеся в рельсах. Также было разработано специальное граничное условие, учитывающее три стадии взаимодействия поврежденного колеса с ж/д путями. Для решения данного типа задач сеточно-характеристический метод используется впервые. Следует отметить, что для решения данного класса задач с применением разработанного соискателем граничного условия могут быть использованы также другие методы, позволяющие моделировать волновые процессы во временной области. Например, разрывный метод Галеркина [Dumbser и др. 2006], метод спектральных элементов [Komatitsch и др. 1999], псевдоспектральный метод [Faccioli и др. 1997], различные вариации конечно-разностных методов во временной области (FDTD, finite-difference method in the time domain) [Moczo и др. 2007; Wang и др. 2003] и конечно-разностный метод на сдвинутых сетках (SDFD, staggered-grid finite differences) [Graves 1996].

Цели и задачи

Целью диссертационного исследования является разработка нового метода исследования упругих и акустических волновых явлений в гетерогенных средах для решения прикладных задач в областях сейсмической разведки углеводородов, ультразвуковой дефектоскопии, в интересах железнодорожной и строительной промышленности. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать семейство методов интерполяции высоких порядков на

неструктурированных тетраэдральных сетках и вычислительные алгоритмы по интерполяции на треугольных и тетраэдральных сетках. Разработать семейство сеточно-характеристических методов на неструктурированных тетраэдральных сетках, исследовать на аппроксимацию; исследовать на устойчивость одномерных разностных схем, соответствующих разработанному семейству численных методов. Адаптировать семейство сеточно -характеристических методов для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах.

2. Математически обосновать нахождение решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек. Разработать контактное условие воздействия подвижного состава на железнодорожные рельсы. Математически обосновать и разработать алгоритм для расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках. Математически обосновать комбинированный метод GCM-SPH (Grid-Characteristic method - Smooth Particle Hydrodynamics) на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах, доказать сохранение комбинированным методом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов.

3. Получить выражения для интегралов Рэлея для случая однородной линейно-упругой среды, выполнить сравнение решений, получаемых с помощью интегралов Рэлея и сеточно-характеристического метода, разработать метод миграции упругих волн на основе формул Рэлея и Кирхгофа для изотропного случая. Объяснить особенности ложных границ с помощью метода исследования волновых явлений.

4. Изучить взаимовлияние волновых процессов на процесс разрушения различных гетерогенных объектов в результате сейсмических воздействий различной природы и интенсивности. Исследовать отклики от поперечных волн в толще воды, разработать способ геофизических исследований на их основе. Исследовать волны, рассеянные от вертикальной газонасыщенной трещины при падении на нее плоской волны, получить аналитические выражения, исследовать, есть ли возможность использовать кратные волны для получения информации о подлежащем геологическом массиве и изучения геометрических параметров и упругих характеристик материалов, в том числе, с использованием лазерного ультразвука, исследовать волновые процессы в трещиноватых геологических средах.

Научная новизна

1. Предложен новый метод исследования волновых явлений, отли-чающийся от

имеющихся подбором подмножества краевых задач упру-гого и акустического волновых уравнений с параметрами, характерными для рассматриваемой практической задачи, методикой исследования ви-зуализированных волновых полей, рассчитанных с помощью численного метода для решения краевой задачи упругого и (или) акустического вол-новых уравнений во

временной области, сопоставлением фрагментам полученных изображений точных частных аналитических решений упругого и акустического волновых уравнений в рассматриваемой крае-вой постановке, поиском параметров рассеяния (углов и амплитуд), ко-гда на этапе вывода аналитических выражений производится их сравне-ние с результатами численного моделирования и поиском тех законо-мерностей волновой динамики, которые ранее не использовались для решения рассматриваемой практической задачи, например, потому, что требуют модификации системы наблюдения.

2. Впервые выявлены и исследованы отклики от поперечных волн в толще воды, получены соответствующие аналитические выражения. Впервые выявлены и исследованы волны, рассеянные от вертикальной газонасыщенной трещины при падении на нее плоской волны, получены аналитические выражения.

3. Впервые показана возможность использовать кратные волны для получения информации о подлежащем геологическом массиве, получены аналитические выражения, объясняющие эффект, а также предложена методика использования кратных волн для изучения геометрических параметров и упругих характеристик материалов, в том числе, с исполь -зованием лазерного ультразвука.

4. Впервые выявлена и исследована зависимость траектории и ско-рости движения точки отрыва головной волны от поперечной в зависи-мости от частоты источника сейсмических волн в прямых задачах сей-смической разведки. Обнаружено отличие частоты рассеянного на тре-щиноватом кластере отклика от частоты источника.

5. Разработано семейство методов интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках, отличающееся от име-ющихся явными аналитическими выражениями. Разработаны вычисли-тельные алгоритмы, отличающиеся от имеющихся минимизированным количеством затрат вычислительных ресурсов, например, затраты опе-ративной памяти на хранение неструктурированной тетраэдральной сет-ки могут быть снижены в 9 раз.

6. Разработано семейство сеточно-характеристических методов на неструктурированных тетраэдральных сетках, отличающееся от имею-щихся сеточно-характеристических методов использованием тетраэд-ральных сеток, а также контактных и граничных условий с учетом не-коллинеарности нормали к направлению расщепления.

7. Предложено исследовать на сходимость разработанное семейство сеточно -характеристических методов на неструктурированых сетках пу-тем исследования на аппроксимацию 2D и 3D разностные схемы, чере-дование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках и исследования на устойчивость одномерные разностные схемы, в кото-рые переходят

данные двумерные и трехмерные разностные схемы в од-номерном случае.

8. Впервые выполнена адаптация семейства сеточно-характеристических методов для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах для общего вида тензора упругих постоянных, а также случаев орторомбической, горизонтально -трансверсальной и вертикально-трансверсальной анизотропии.

9. Выполнено математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области инте-грирования с использованием мнимых точек, отличающиеся от анало-гичных разработок направленностью на использование сеточно-характеристических методов.

10. Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм для расчета волновых процессов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках, отличающиеся от аналогичных разработок направленностью на использование сеточно-характеристических методов.

11. Разработано контактное условие воздействия подвижного состава на железнодорожные рельсы, в том числе, при наличии дефектов колес типа «ползун», отличающееся от имеющихся физически корректной функцией распределения динамической нагрузки и учетом четырех этапов взаимодействия поврежденной колесной пары и рельса.

12. Выполнено математическое обоснование нового комбинирован-ного метода GCM-SPH на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах, доказано сохранение комбинированным методом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов.

13. Предложен метод расчета повреждения гетерогенных объектов с разделением статической и динамической нагрузки. С помощью метода изучения волновых явлений объяснена разница в результатах расчета с использованием разных критериев разрушения.

14. Впервые получены в явном виде выражения для интегралов Рэ-лея для случая однородной линейно-упругой среды. Выполнено сравне-ние решений, получаемых с помощью интегралов Рэлея и сеточно-характеристическим методом. Разработан метод миграции упругих волн на основе формул Рэлея и Кирхгофа для изотропного случая.

Методология и методы исследования

Целью является изучение визуализированных волновых полей во временной области

независимо от возможности регистрации моделируемых волновых явлений используемой системой наблюдений. Метод базируется на физической интерпретации выявляемых особенностей волновых полей.

Решения волнового уравнения в изотропной линейно-упругой среде широко известны: это плоские, сферические и цилиндрические продольные и поперечные волны. В случае появления границ и контактных границ, возможны две ситуации: либо суперпозиция известных ранее типов волн, либо некое новое решение волнового уравнения при наличии границы или контактной границы. Например, при наличии свободной границы возникают волны Рэлея и волны Лаве. Также известны волны Стоунли как частный случай уже волн Релея при наличии контактной границы. Волны Крауклиса возникают при наличии множественных границ между упругой и акустической средами.

Предлагаемый к защите метод исследования волновых явлений предполагает комбинированный подход. Находят численное решение волнового уравнения в рассматриваемой гетерогенной среде. И уже с опорой на это численное решение получают точные аналитические выражения или качественные закономерности. У метода есть ряд преимуществ. Вычислительные эксперименты показывают, для какого типа волн и в каких условиях возникающих необходимо получить точные выражения, является ли исследуемый тип волн суперпозицией известных ранее, или нужно искать новое частное решение или его асимптотическое приближение, если найти частное решение нельзя - могут ли быть получены точные аналитические выражения, характеризующие свойства моделируемого волнового явления и т.д. Проще разрабатывать методы практического использования выявленных волновых особенностей. Можно сравнивать выводимые аналитические выражения с численными решениями, что упрощает вывод этих аналитических выражений. Применение данного метода - это способ проверить точность используемых численных методов, так как в процессе применения метода анализа волновых явлений численные решения сравниваются с точными аналитическими выражениями.

Основной идеей метода исследования волновых явлений является сопоставление определенным фрагментам специальным образом визуализированных волновых полей (волновых картин, wave patterns) аналитических частных решений волнового уравнения. Такое сопоставление проводится по определенным правилам, формулируемым на основе свойств рассматриваемых частных решений волнового уравнения. Причем, не обязательно использовать универсальные правила. Для каждой конкретной механико-математической постановки система правил сопоставления фрагментам волновой картины частных аналитических решений может быть различной. Например, можно ввести следующее определение волнового фронта.

Определение (2Б, волновое уравнение, описывающее распространение упругих волн). Пусть решение упругого волнового уравнения скорость V (г, t) и тензор напряжений Коши

заданы в пространственно-временном континууме И, (гДля каждого фиксированного момента времени е К I) волновым фронтом условимся называть такую линию ,Р(г,^0) = 0 в К2, геК2П|1), для которой для выполняется условие

к(г0,toт(г0,^о), где к(г,t) - вектор-функция направления распространения возмущения рассматриваемой функции относительно решения статического уравнения, соответствующего волновому, а т (г0, ¿0 ) - вектор, направленный вдоль касательной к линии ¥ (г, ¿0 ) = 0 в точке

Г . Вектор-функция к (г, t) однозначно определяется для каждого частного решения волнового уравнения. Например, для продольной волны к (г, t) = V (г, t(г, t)|. А для поперечной волны

к (г, t) находят как единичный вектор, перпендикулярный к V (г, t) .

Для 3D случая и акустики можно ввести определения волновых фронтов аналогично.

Сами визуализируемые волновые поля рассчитываются с помощью численного метода. Таким образом, применение метода исследования волновых явлений к решению конкретных практических задач требует разработки численных методов для моделирования этих волновых явлений и программных комплексов, в которых эти численные методы реализованы.

Главным преимуществом метода исследования волновых явлений является то, что для получения с его помощью точных аналитических выражений нет необходимости явным образом выписывать сумму частных решений волнового уравнения, являющуюся точным решением. Так как при наличии множественных границ и контактных границ сложной формы получение данной аналитической записи точного решения является трудоемким процессом.

Для применения предложенного метода исследования волновых явлений с помощью вычислительных экспериментов к решению приклданых задач действуют в соответствии со следующим алгоритмом (Рис. 0.1). При этом применяется численный метод для моделирования волновых явлений во временной области, например, сеточно-характеристический, и используется детализированная расчетная сетка. Методы для расчета в частотной области также не подходят, так как затруднительно проведение дальнейшей физической интерпретации результатов моделирования. Также есть риск пренебречь волновым явлением, связанным, например, со сменой частоты рассеянной волны по сравнению с падающей. Затем строят срезы волновых полей внутри исследуемого объекта и анализируют их в динамике. После этого получают либо методики, которые могут быть использованы на практике для широкого класса механико-математических моделей, либо аналитические выражения, характеризующие

выявленное волновое явление. Также возможные методы применения выявленных закономерностей и аналитических выражений предварительно тестируются на синтетических данных, полученных с помощью полноволнового численного моделирования во временной области, с целью оптимизации процесса внедрения выявленных закономерностей волновых явлений в областях сейсмической разведки углеводородов, ультразвуковой дефектоскопии, в том числе, тела человека и композитных материалов, рельсов, для решения прикладных задач в интересах железнодорожной и строительной промышленности.

Разложение волнового явления в суперпозицию частных решений, получение точных аналитических выражений

Проверка полученных Разработка новой Проверка новой

выражении в —> технологии на основе — технологии на

вычислительных новой особенности синтетических

экспериментах волновых явлений данных

Рис. 0.1. Схема применения метода исследования волновых явлений.

Распишем приблизительный алгоритм действий, приведеный на Рис. 0.1, необходимый для разработки новой технологии с использованием метода исследования волновых явлений.

► Разработка механико-математической постановки краевой задачи упругого и (или) акустического волновых уравнений и начальных условий, которые характерны для рассматриваемой технологии (например, для технологии шельфовой сеймической разведки, или для ультразвуковой дефектоскопии железнодорожных рельсов, или для прохождения интенсивного сейсмического воздействия внутри рассматриваемой конструкции). Или, быть может, серии разработка таких постановок, с варьированием параметров.

► Проведение вычислительных экспериментов в этих механико-математических постановках, визуализация волновых полей, построение волновых картин.

► Изучение полученных волновых картин с целью поиска новой особенности волновых явленй. В случае ее выявления, продолжаем дальше.

► Разработка упрощенных механико-математических постановок, в которых эти волновые явления явно выделены.

► Проведение вычислительных экспериментов в этих упрощенных механико -математических постановках, визуализация волновых полей, построение волновых картин.

► Изучение волновых картин, сопоставление фрагментам волновых картин частных аналитических решений, получение искомой суммы частных аналитических решений и точных аналитических выражений, характеризующих волновое явление. Либо выявление качественных или приближенных закономерностей, характеризующих волновое явление, если получение точных аналитических выражений оказалось не возможным.

► Проверка выполнимости полученных аналитических выражений на результатах вычислительных экспериментов с варьированием параметров.

► Разработка новой технологии, основанной на выявленной особенности волновых явлений и полученных аналитических выражениях, характеризующих это волновое явление.

► Тестирование разработанной новой технологии на синтетических данных, полученных в ходе проведения вычислительных экспериментов.

Получение точных аналитических выражений с помощью вычислительных экспериментов проводится в соответствии со схемой, приведенной на Рис. 0.2.

► Вначале разрабатывается Серия упрощенных механико-математических постановок.

► Для данной серии упрощенных механико-математических постановок разрабатывают вычислительные скрипты препроцессинга, проводят вычислительные эксперименты, визуализируют волновые поля модуля скорости и (или) компонент скорости и тензора напряжений Коши и получают волновые картины.

► Затем проводят анализ волновых картин, определяют типы волн и углов., под которыми эти волны двигаются относительно рассматриваемых границ и контактных границ.

► Затем аналитически определяют компоненты скорости и тензора напряжений Коши каждой волны в исходной системе координат, пользуясь исходными соотношениями для амплитуд и правилами преобразования вектора и тензора при повороте.

► Полученные компоненты скорости и тензора напряжений Коши в каждой волны в исходной системе координат проверяют путем соотнесения с волновыми картинами.

► Полученные компоненты скорости и тензора напряжений Коши в каждой волны в исходной системе координат подставляют в граничные условия.

► И получают точные аналитические выражения, связывающие амплитуды.

► Если точные аналитические выражения, связывающие амплитуды, получить не удается, проводится заново анализ волновых картин, а в случае необходимости - модификация серии упрощенных механико-математических подстановок, и тогда весь алгоритм действий повторяется снова.

► Точные аналитические выражения, связывающие амплитуды проверяют путем соотнесения с волновыми картинами.

Рис. 0.2. Схема получения аналитических выражений методом исследования волновых явлений

с помощью вычислительных экспериментов. Для проведения расчетов был использован сеточно-характеристический метод на структурированных и неструктурированных сетках с интерполяцией высоких порядков, в том числе, на иерархических, и точная постановка граничных и контактных условий.

Теоретическая значимость работы

Важными теоретическими результатами являются:

1. Метод исследования волновых явлений путем изучения рассчи-танных с помощью полноволнового моделирования во временной области и специальным образом визуализированных срезов волновых полей (волновых картин), дальнейшего получения аналитических выражений или качественных закономерностей.

2. Выявленные и исследованные отклики от поперечных волн в толще воды, а также характеризующие их аналитические выражения.

3. Выявленные и исследованные волны от вертикальной газонасыщенной трещины при падении на нее плоской волны, а также полученные характеризующие их аналитические выражения.

4. Показанная возможность использования кратных волн для получения информации о подлежащем геологическом массиве, полученные аналитические выражения, объясняющие данный эффект.

5. Выявленная и исследованная зависимость траектории и скорости движения точки отрыва головной волны от поперечной в зависимости от частоты источника сейсмических волн.

6. Выявленное отличие частоты рассеянного на трещиноватом кластере отклика от частоты источника.

7. Методы интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках.

8. Семейство сеточно-характеристических методов на неструктурированных тетраэдральных сетках.

9. Результаты исследования на аппроксимацию 2D и 3D разностных схем, чередование которых соответствует семейству сеточно -характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках.

10. Результаты исследования на устойчивость одномерных разностных схем, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае.

11. Семейство сеточно-характеристических методов для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах.

12. Математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек.

13. Математическое обоснование расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках.

14. Контактное условие для расчета воздействия подвижного состава на железнодорожные рельсы, в том числе, при наличии дефектов колес типа «ползун».

15. Математическое обоснование комбинированного метода GCM-SPH на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц для численного моделирования волновых процессов в упругопластиче-ских телах.

16. Доказательство сохранения комбинированным методом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов.

17. Метод расчета повреждения гетерогенных объектов с разделением статической и динамической нагрузки.

18. Объяснение разницы в результатах расчета с использованием разных критериев разрушения, полученное с помощью изучения волновых явлений.

19. Выражения для интегралов Рэлея для случая однородной линейно-упругой среды,

полученные в явном виде.

20. Результат сравнения решений, получаемых с помощью интегралов Рэлея и сеточно-характеристическим методом.

21. Метод миграции упругих волн на основе формул Рэлея и Кирхгофа для изотропного случая.

Практическая значимость работы

Практическая значимость работы обуславливается тем, что все полученные научные результаты применимы для решения практических задач в областях сейсмической разведки углеводородов, ультразвуковой дефектоскопии, в том числе, железнодорожных рельсов, композитных материалов, тела человека, для решения прикладных задач в интересах железнодорожной и строительной промышленности.

На основе предложенных результатов разработано и зарегистрировано программное обеспечение «Программа для трехмерного морского сейсмического и электроразведочного моделирования и совместной инверсии (SEMJI)», свидетельство о регистрации №2016617024. 23.06.2016, и получен патент РФ № 217.015.D5B9 «Способ регистрации сейсмических сигналов с целью поиска и разведки углеводородов в структурах подводных геологических массивов».

Работа над диссертацией велась в ходе выполнения ряда государ-ственных и коммерческих грантов и договоров: государственный кон-тракт № 14.515.11.0069 «Разработка научных основ новых методов и алгоритмов поиска и разведки месторождений углеводородов, в том числе в условиях Арктики, с реализацией на высокопроизводительных комплексах», в рамках ФЦП, 2013, исполнитель; государственный контракт № 14.575.21.0084 «Разработка высокоточных вычислительных методов и комплексной программно-алгоритмической системы поиска и разведки месторождений полезных ископаемых сейсмическими и электромагнитными методами в шельфовой зоне Арктики», в рамках ФЦП, 2014-2015, исполнитель; стипендия Президента РФ молодым ученым и аспирантам, 2013-2015; стипендия Правительства РФ аспирантам, 2014-2015; стипендия IBM Fellowship, 2015; гранты РФФИ и РНФ в качестве руководителя и исполнителя, 2011-2018; договор на выполнение НИР для ООО «Газпромнефть НТЦ» «Построение численных моделей геологических объектов, расчет и анализ волновых полей, оценка технических возможностей программного обеспечения МФТИ по моделированию волновых полей», реестровый номер процедуры 14-25943-356-17, исполнитель, 2017-2018; выполнение работ для ООО «Арктический Научно -Проектный Центр Шельфовых

Разработок» НК Роснефть, исполни-тель, 2015-2016; руководитель гранта Президента Российской Федера-ции МК-1831.2017.9, 2017-2018.

Положения, выносимые на защиту

1. Предложен метод исследования волновых явлений путем изучения рассчитанных с помощью полноволнового моделирования во временной области на детализированных расчетных сетках и специальным образом визуализированных срезов волновых полей (волновых картин), дальнейшего получения аналитических выражений или качественных закономерностей. Метод базируется на физической интерпретации выявляемых особенностей волновых полей. С его помощью получены следующие результаты. Выявлены и исследованы отклики от поперечных волн в толще воды. Получены соответствующие аналитические выражения. Разработан и запатентован способ геофизических исследований на основе данных откликов. Выявлены и исследованы волны, рассеянные от вертикальной газонасыщенной трещины при падении на нее плоской волны, получены аналитические выражения. Показана возможность использовать кратные волны для получения информации о подлежащем геологическом массиве, получены аналитические выражения, объясняющие эффект, а также предложена методика использования кратных волн для изучения геометрических параметров и упругих характеристик материалов, в том числе, с использованием лазерного ультразвука. Выявлена и исследована зависимость траектории и скорости движения точки отрыва головной волны от поперечной в зависимости от частоты источника сейсмических волн. Обнаружено отличие частоты рассеянного на трещиноватом кластере отклика от частоты источника.

2. Разработано семейство методов интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках (интерполяции полиномами от первого до пятого порядка включительно, гибридной квадратично-линейной интерполяции, интерполяции с использованием ограничителя, а также кусочно-линейной интерполяции и интерполяции полиномами второго порядка с использованием опорных точек любого порядка интерполяции с минимизацией системных ресурсов, затрачиваемых на построение и хранение расчетной сетки). Разработаны вычислительные алгоритмы и библиотека по интерполяции на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках.

3. Разработано семейство сеточно-характеристических методов на неструктурированных тетраэдральных сетках. Исследованы на аппроксимацию 2D и 3D разностные схемы, чередование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Исследованы на

устойчивость одномерные разностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае.

4. Выполнена адаптация семейства сеточно -характеристических методов для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах для общего вида тензора упругих постоянных, а также случаев орторомбической, горизонтально -трансверсальной и вертикально-трансверсальной анизотропии.

5. Выполнено математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек.

6. Разработано контактное условие воздействия подвижного состава на железнодорожные рельсы, в том числе, при наличии дефектов колес типа «ползун». Проведен ряд численных экспериментов. Выявлено соответствие решений модельных задач нормам транспортировки вагонов с поврежденными колесными парами до ремонтных станций.

7. Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм для расчета волновых процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках.

8. Выполнено математическое обоснование комбинированного метода GCM-SPH на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах, доказано сохранение комбинированным методом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов.

9. Предложен метод расчета повреждения гетерогенных объектов с разделением статической и динамической нагрузки. С помощью изучения волновых явлений объяснена разница в результатах расчета с использованием разных критериев разрушения.

10. Получены выражения для интегралов Рэлея для случая однородной линейно-упругой среды, выполнено сравнение решений, получаемых с помощью интегралов Рэлея и сеточно-характеристическим методом. Разработан метод миграции упругих волн на основе формул Рэлея и Кирхгофа для изотропного случая. Предложено устранять шумы на миграционных изображения на основе выявленных волновых особенностей. Получены соответствующие аналитические выражения.

Степень достоверности и апробация результатов

Степень достоверности и обоснованности результатов подтверждена сравнением результатов моделирования с известными аналитическими решениями, с результатами использования других численных методов, с результатами физических экспериментов, феноменологической проверкой (соответствием результатов современным научным представлениям о предмете исследований), многочисленными положительными экспертными оценками специалистов.

Соискателем опубликовано 111 работ, из них 75 работ, опублико-ванных в рецензируемых научных изданиях; 36 работ опубликованы в материалах всероссийских и международных конференций и симпозиу-мов; 14 работ опубликованы в изданиях, входящих в систему цитирования Web of Science, 43 - в изданиях, входящих в систему цитирования Scopus, 56 в изданиях, входящих в систему цитирования РИНЦ, 53 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В том числе, наиболее полно тему диссертации отражают 44 работы, из них 41 работа, опубликованная в рецензируемых научных изданиях; 3 работы опубликованы в материалах конференций; 13 работ опубликованы в изданиях, входящих в систему цитирования Web of Science, 32 - в изданиях, входящих в систему цитирования Scopus, 36 в изданиях, входящих в систему цитирования РИНЦ, 35 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Результаты диссертации были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях: российско-индийский семинар «Новые достижения математического моделирования» (ИАП РАН, Москва, 2011); III Международная научно -практическая конференция «Интеллектуальные системы на транспорте» ИнтеллектТранс-2013 (11ГУПС, Санкт-Петербург, 2013); конференции "Численная геометрия, построение сеток и высокопроизводительные вычисления" NUMGRID2010 и NUMGRID2012 (Москва, 2010, 2012); X и XI Курчатовская молодежная научная школа, (Москва, 2012-2013); XX юбилейная конференция «Ломоносов», секция ВМК (МГУ, Москва, 2013); международная конференция, проводящаяся в рамках «G20 Youth Forum 2013» (Санкт-Петербург, 2013); научно-практическая конферен-ция «Суперкомпьютерные технологии в нефтегазовой отрасли. Математические методы, программное и аппаратное обеспечение» (Москва, 2013); the 6th International Conference «Distributed Computing and Grid-technologies in Science and Education», (Дубна, 2014); третья научно-техническая конференция с международным участием «Интеллектуальные системы управления на железнодорожном транспорте. Компьютерное и математическое моделирование», ИСУЖТ-2014, (Москва, 2014); научные конференции МФТИ - Всероссийские молодежные научные конференции с международным участием «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе»

(МФТИ, Долгопрудный, 2009 - 2016); международная конференция «The Third International Conference on Railway Technology», Railways 2016, (Италия, 2016); международные конференции «Quasilinear Equations, Inverse Problems and Their Applications», (2015 - 2017, Долгопрудный); международная конференция «International Conference on Computer Simulation in Physics and beyond», CSP-2017, (2017, Москва); международные конференции «International Conference on Knowledge-Based and Intelligent Information & Engineering S ystems», KES-2016 (Великобритания), KES-2017 (Франция), KES-2018 (Сербия); международная конференция «50 Years of the Development of Grid-Characteristic Method», (2018, Долгопрудный); международная конференция «17th International Interdisciplinary Seminar on Mathematical Models and Modeling in Laser-Plasma Processes and Advanced Science Technologies», (2018, Черногория); конференция Геомодель 2018, 20th Conference on Oil and Gas Geological Exploration and Development (2018, Геленджик, Russia); XVII Всероссийская научно-практическая конференция "Проблемы прогнозирования чрезвычайных ситуаций" МЧС России, Антистихия (Москва, 2018).

Результаты диссертации были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных семинарах в следующих организациях: МФТИ (Долгопрудный, 2010 - 2018); ОАО НК «Роснефть» (Москва, 2011 - 2013,2017,2018); Институт системного программирования им. В.П. Иванникова РАН (Москва, 2012); НИЦ «Курчатовский институт» (Москва, 2015); Арктический научно-проектный центр ОАО НК «Роснефть» (Москва, 2014 - 2016); Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (Саров, 2011 - 2017); ОАО «РЖД» Филиал «Центр Инновационного Развития» (Москва, 2013, 2018); объединенный ученый совет ОАО РЖД (Москва, 2018); ООО «Лукойл-Инжиниринг» (Москва, 2018); ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (Москва, 2018). Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных семинарах в следующих организациях: МФТИ (Долгопрудный, 2010 - 2018); ОАО НК «Роснефть» (Москва, 2011 - 2013,2017,2018); Институт системного программирования им. В.П. Иванникова РАН (Москва, 2012); НИЦ «Курчатовский институт» (Москва, 2015, 2018); Арктический научно-проектный центр ОАО НК «Роснефть» (Москва, 2014 - 2016); Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (Саров, 2011 - 2017); ОАО «РЖД» Филиал «Центр Инновационного Развития» (Москва, 2013, 2018); объединенный ученый совет ОАО РЖД (Москва, 2018); ООО «Лукойл-Инжиниринг» (Москва, 2018); Институт Автоматизации и Проектирования РАН (Москва, 2018); ВНИИА им. Н.Л. Духова (Москва, 2018); ВЦ РАН им. А.А. Дородницына (Москва, 2018); ИВМ РАН им. Г.И. Марчука (Москва, 2018); ФИЦ ИУ РАН (Москва, 2018); ИПМ им. М.В. Келдыша РАН (Москва, 2018).

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Фаворская Алена Владимировна

Заключение

Автором были получены следующие основные результаты:

1.1. Предложен метод исследования волновых явлений путем изучения рассчитанных с помощью полноволнового моделирования во временной области на детализированных расчетных сетках и специальным образом визуализированных срезов волновых полей (волновых картин), дальнейшего получения аналитических выражений или качественных закономерностей. Метод базируется на физической интерпретации выявляемых особенностей волновых полей. С его помощью получены следующие результаты. Этому посвящены Главы 7 -11 настоящей диссератции. В общих чертах, схему применения данного метода можно изложить следующим образом. Используется численный метод для моделирования волновых явлений во временной области, например, сеточно-характеристический, который и был использован автором. При этом используется избыточно подробная по пространственным и временной координате расчетная сетка. Это необходимо потому, что порядок аппроксимации численного метода характеризует собою только степень уменьшения интегральной ошибки с измельчением шага, и никак не характеризует фактическую величину локальной ошибки расчета. Методы для расчета в частотной области также не подходят, так как затруднительно проведение дальнейшего качественного физического анализа получаемых результатов. А также есть риск пренебречь волновым явлением, связанным, например, со сменой частоты рассеянной волны по сравнению с падающей, и т.д. Затем строят срезы волновых полей внутри исследуемого объекта и анализируют их в динамике. Затем получают либо методики, которые могут быть использованы на практике для широкого класса механико-математических моделей. Либо получают аналитические выражения, характеризующие выявленное волновое явление. Полученные методики и аналитические выражения тестируют с помощью проведения численных экспериментов.

1.2. Выявлены и исследованы отклики от поперечных волн в толще воды. Получены соответствующие аналитические выражения. Разработан и запатентован способ геофизических исследований на основе данных откликов. Этому посвящен раздел 8.3 Главы 8 настоящей диссертации, ключевые работы [Бауогекауа и др. 2017, 2; Фаворская и др. 2016, 1; Фаворская и

др. 2016, 2].

1.3. Выявлены и исследованы волны, рассеянные от вертикальной газонасыщенной трещины при падении на нее плоской волны, получены аналитические выражения. Этому

посвящен раздел 6.3 Главы 6. Ключевая работа [Фаворская и др. 2018, 1].

1.4. Показана возможность использовать кратные волны для получения информации о подлежащем геологическом массиве, получены аналитические выражения, объясняющие эффект. Этому посвящен раздел 8.2 Главы 8 настоящей диссертации, ключевая работа [Бауогекауа 2018, 10].

1.5. Предложена методика использования кратных волн для изучения геометрических параметров и упругих характеристик материалов, в том числе, с использованием лазерного ультразвука. Этому посвящена Глава 11 настоящей диссертации, ключевая работа [Фаворская 2018, 6].

1.6. Выявлена и исследована зависимость траектории и скорости движения точки отрыва головной волны от поперечной в зависимости от частоты источника сейсмических волн. Обнаружено отличие частоты рассеянного на трещиноватом кластере отклика от частоты источника. Этому посвящена Глава 9 настоящей диссертации, ключевые работы [Фаворская и др. 2018, 4].

2. Разработано семейство методов интерполяции высоких порядков на

неструктурированных тетраэдральных сетках (интерполяции полиномами от первого до пятого порядка включительно, кусочно-линейной интерполяции и интерполяции с использованием ограничителя, а также интерполяции полиномами второго порядка с использованием опорных точек четвертого порядка для минимизации системных ресурсов, затрачиваемых на построение и хранение сетки и гибридной квадратично-линейной интерполяции). Разработаны вычислительные алгоритмы и библиотека по интерполяции на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Этому посвящена Глава 5 настоящей диссертации, ключевые работы [Фаворская и др. 2011; Favorskaya 2018 2,3,4].

3.1. Разработано семейство сеточно-характеристических методов на неструктурированных тетраэдральных сетках. Исследованы на аппроксимацию 2D и 3D разностные схемы, чередование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Этому посвящены разделы 2.2 - 2.5 Главы 2 настоящей диссертации, ключевая работа [Favorskaya и др. 2018, 6].

3.2. Исследованы на устойчивость одномерные разностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае. Этому посвящен раздел 2.6 Главы 2 настоящей диссертации, ключевая работа [Фаворская и др. 2016, 3].

4. Выполнена адаптация семейства сеточно-характеристических методов для

моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах для общего вида тензора упругих постоянных, а также случаев орторомбической, горизонтально-трансверсальной и вертикально-трансверсальной анизотропии. Этому посвящены раздел 2.3

Главы 2 и раздел 3.2.1 Главы 3 настоящей диссертации, ключевые работы [Фаворская и др. 2014, 2; Favorskaya и др. 2018, 6].

5. Выполнено математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (ключевая работа [Favorskaya и др. 2018, 6]); условие на поверхности раздела упругих и акустических сред (ключевые работы [Фаворская и др. 2016, 1; Фаворская и др. 2016, 2]), условие динамического трения между контактирующими поверхностями (ключевая работа [Фаворская и др. 2013, 1]), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек (ключевая работа ([Фаворская и др. 2015, 6; Favorskaya и др. 2017, 1]). Этому посвящены разделы 3.2 - 3.5 Главы 3 настоящей диссертации.

6. Разработано контактное условие воздействия подвижного состава на железнодорожные рельсы, в том числе, при наличии дефектов колес типа «ползун». Проведен ряд численных экспериментов. Выявлено соответствие решений модельных задач нормам транспортировки вагонов с поврежденными колесными парами до ремонтных станций. Этому посвящен раздел 10.2 Главы 10 настоящей диссертации, ключевая работа [Favorskaya и др. 2018, 11].

7. Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм для расчета волновых процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках. Этому посвящен раздел 3.6 Главы 3 настоящей диссертации, ключевые работы [Фаворская и др. 2013, 2; Фаворская и др. 2017, 2].

8. Выполнено математическое обоснование комбинированного метода ОСМ-БРИ на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах, доказано сохранение комбинированным методом ОСМ-БРИ порядка аппроксимации базовых методов. Этому посвящена Глава 4 настоящей диссертаии, ключевые работы [Фаворская и др. 2014, 4; Фаворская и др. 2015, 1].

9. Предложен метод расчета повреждения гетерогенных объектов с разделением статической и динамической нагрузки. С помощью изучения волновых явлений объяснена разница в результатах расчета с использованием разных критериев разрушения. Этому посвящена Глава 7 настоящей диссертации, ключевая работа [Favorskaya и др. 2018, 14].

10. Получены выражения для интегралов Рэлея для случая однородной линейно-упругой среды, выполнено сравнение решений, получаемых с помощью интегралов Рэлея и сеточно-характеристическим методом. Разработан метод миграции упругих волн на основе формул Рэлея и Кирхгофа для изотропного случая. Предложено устранять шумы на миграционных изображения на основе выявленных волновых особенностей. Получены соответствующие аналитические выражения. Этому посвящена Глава 6 настоящей диссертации.

Ключевая работа [Бауогекауа и др. 2018, 8].

Непосредственно автором в рамках специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» была проведена следующая научно-исследовательская деятельность. В работах [Фаворская 2010, 1, 3; Фаворская и др. 2011, 1; Бауогекауа 2018, 2, 3, 4] автором разработаны методы интерполяции на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках, реализована библиотека, которая в дальнейшем была использована при разработке программного обеспечения, выполнены тестовые расчеты. В работах [Фаворская и др. 2010, 5; Фаворская и др. 2011, 2, 4, 8; Favorskaya и др. 2011; Фаворская и др. 2013, 12; Фаворская и др. 2014, 1, 3; Фаворская 2014, 10; Favorskaya и др. 2018, 6] автором разработано семейство сеточно-характеристических методов на неструктурированных тетраэдральных сетках, с учетом различных граничных условий, выполнена программная реализация (интерполяция на неструктурированных сетках), проанализированы результаты тестовых расчетов. В работах [Фаворская и др. 2010, 4; Фаворская и др. 2011, 3, 7; Фаворская и др. 2013, 1, 3] автором разработано контактное условие с динамической силой трения. В работах [Фаворская 2011, 6; Фаворская и др. 2012, 2; Фаворская и др. 2013, 2] автором предложена модификация сеточно-характеристического метода на иерархических неструктурированных сетках с кратным шагом по времени, получены соответствующие математические выражения и вычислительные алгоритмы. В следующих работах представлены результаты использования сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках соавторами для моделирования волновых откликов от кластеров трещиноватости [Фаворская и др. 2012, 1; Фаворская и др. 2013, 10, 11; Фаворская и др. 2013, 14; Фаворская и др. 2014, 11; Бауогекауа и др. 2014; Фаворская и др. 2015, 2], для решения задач сейсмологии и сейсморазведки [Фаворская и др. 2012, 3; Фаворская и др. 2013, 6; Фаворская и др. 2014, 8, 13; Фаворская и др. 2015, 4], сейсмостойкости [Favorskaya и др. 2013; Бауогекауа и др. 2018, 13], динамической диагностики элементов ж/д пути [Фаворская и др. 2013, 4; Фаворская и др. 2014, 9; Фаворская и др. 2015, 5; Фаворская и др. 2016, 4], в том числе, выполнено сравнение с использованием разрывного метода Галеркина [Фаворская и др. 2013, 5], автор принимала участие в анализе результатов.

В работах [Фаворская 2015, 9; Фаворская и др. 2016, 3] автором исследован вопрос аппроксимации и устойчивости предложенного семейства численных методов теоретически, с учетом ряда упрощений, а именно, исследованы на аппроксимацию двумерные и трехмерные разностные схемы, чередование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Исследованы на устойчивость одномерные разностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае. В работах [Фаворская и др. 2009;

Фаворская и др. 2010, 2, 6] сеточно-характеристический метод адаптирован автором для решения гиперболической системы уравнений Прайда в одномерном случае, описывающей взаимозависимое распространение акустических и электромагнитных волн в пористой среде, написаны скрипты для решения и выполнен ряд тестовых расчетов.

В работах [Фаворская и др. 2013, 7, 9, 13, 15; Фаворская и др. 2014, 5] автором выполнена визуализация, обработка и анализ результатов численного решения задач ультразвуковой дефектоскопии рельсов различными методами. В работах [Фаворская и др. 2014, 14; Фаворская и др. 2017, 5] автором выполнена серия численных экспериментов по анализу рассчитанных сеточно-характеристическим методом волновых откликов от горизонтального расслоения головки рельса.

В работах [Фаворская и др. 2018, 5, 7; Favorskaya и др. 2018, 11] автором разработано контактное условие воздействия подвижного состава на железнодорожные рельсы, в том числе, при наличии дефектов колес типа «ползун», разработан вычислительный алгоритм, выполнена его программная реализация, разработаны многофункциональные скрипты для генерации расчетных сеток с учетом сложной гетерогенной структуры расчетной области и рассматриваемых механико-математических моделей, позволяющие исследовать влияние различных факторов на состояние железнодорожных путей, выполнена серия численных экспериментов и проведен анализ полученных результатов.

В работах [Фаворская 2011, 5; Фаворская и др. 2014, 2] автором разработан сеточно-характеристический метод для моделирования волновых процессов в анизотропных средах, выполнены обработка и анализ полученных результатов тестовых расчетов. В следующих работах представлены результаты использования этого метода соавторами для моделирования волновых процессов в композитных материалах [Favorskaya и др. 2013; Favorskaya и др. 2016, 2; Favorskaya и др. 2017, 4], автор принимала участие в анализе результатов.

В работах [Фаворская и др. 2014, 7, 13; Фаворская и др. 2015, 7, 8, 16; Favorskaya и др. 2017, 3; Favorskaya и др. 2018, 1] автором разработаны математические выражения и вычислительные алгоритмы для моделирования волновых процессов совместно в линейно-упругих и акустических средах, выполнен ряд тестовых расчетов с помощью сеточно-характеристического метода в двумерном и трехмерном случае. В работе [Фаворская и др. 2015, 3] автором выполнено исследование влияния льда, взаиморасположений приемников и источников в задачах сейсмической разведки в условиях шельфовой зоны путем детального анализа возникающих волновых картин и сейсмограмм. В работах [Фаворская и др. 2017, 1; Фаворская и др. 2018, 3] автором выполнено исследование волновых эффектов в скальных массивах, разработана серия многофункциональных скриптов для генерации расчетных сеток с учетом сложной гетерогенной структуры расчетной области и рассматриваемых механико-

математических моделей, позволяющая варьировать параметры задачи, выполнена серия численных экспериментов и проведен их анализ. В работах [Фаворская и др. 2015, 12, 13, 14; Фаворская и др. 2016, 6; Favorskaya и др. 2016, 3; Фаворская и др. 2017, 4; Фаворская и др. 2018, 1, 7, 8, 9, 10] под научным руководством автора выполнен ряд исследований с использованием разработанного автором семейства сеточно-характеристических методов.

В работах [Фаворская и др. 2016, 1, 2; Favorskaya и др. 2016, 1] автором выявлены и исследованы отклики от поперечных волн в толще воды, разработан и запатентован Способ геофизических исследований на их основе. В работах [Favorskaya и др. 2016, 1; Favorskaya и др. 2018, 1] автором выполнено сравнение волновых процессов при использовании для решения прямых задач сейсмической разведки приближения акустической среды и изотропной упругой среды. Также в работе [Favorskaya и др. 2018, 1] автором предложена модификация сеточно-характеристического метода с резко меняющимися шагом расчетной сетки, в работах [Favorskaya и др. 2018, 1, 7] автором выполнена программная реализация этой модификации сеточно-характеристического метода путем написания серии многофункциональных скриптов для генерации расчетных сеток с учетом сложной гетерогенной структуры расчетной области и рассматриваемых механико-математических моделей и особенностей новой модификации сеточно-характеристического метода, выполнены тестовые расчеты и проведен анализ полученных результатов.

В работах [Фаворская и др. 2013, 8, 16; Фаворская и др. 2014, 4, 6; Фаворская и др. 2015, 1] автором выполнено математическое обоснование комбинированного метода ОСМ-БРИ на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах, доказано сохранение комбинированным методом ОСМ-БРИ порядка аппроксимации базовых методов.

В работах [Фаворская и др. 2015, 6, 10; Favorskaya и др. 2017, 1] автором получены математические выражения для расчета граничных условий с использованием мнимых точек сеточно-характеристическим методом, выполнены тестовые расчеты, проведен их анализ. В работах [Фаворская и др. 2017, 2; Фаворская и др. 2018, 9] автором разработан ряд многофункциональных скриптов для генерации систем вложенных иерархических расчетных сеток и расчетных сеток внутри рассматриваемого на предмет сейсмостойкости объекта с учетом сложной гетерогенной структуры расчетной области и рассматриваемых механико-математических моделей для исследования сейсмостойкости наземных сооружений различного назначения с варьируемыми физическими и геометрическими параметрами механико-математической постановки, выполнены тестовые расчеты, проведен их анализ. В работе [Favorskaya и др. 2018, 12] автором проведено сравнение двух способов учета газонасыщенных областей - с учетом мнимых точек и явным образом, получены теоретические оценки скорости

работы алгоритма и выполнено их сравнение с расчетными результатами на основе проведенных автором вычислительных экспериментов.

В работах [Favorskaya и др. 2018, 9] автором выявлен и исследован вклад акустической контрастности в сеймоизолирующий эффект систем сейсмической изоляции на основе эластомеров, для чего была разработана серия механико-математических постановок, реализованы многофункциональные многофункциональные скрипты для генерации расчетных сеток с учетом сложной гетерогенной структуры расчетной области и рассматриваемых механико-математических моделей, позволяющие исследовать влияние различных факторов на процесс сеймической изоляции рассматриваемых объектов, выполнена серия численных экспериментов и проведен анализ полученных результатов. В работе [Favorskaya и др. 2018, 14] автором предложена модель разрушения с разделением статической и динамической нагрузки, показана зависимость разрушений от типа волны, пробегающей в рассматриваемом гетерогенном объекте.

В работах [Favorskaya и др. 2017, 2; Фаворская и др. 2018, 4] автором выявлена и исследована зависимость траектории и скорости движения точки отрыва головной волны от поперечной в зависимости от частоты источника сейсмических волн. Также автором были разработаны многофункциональные многофункциональные скрипты для генерации расчетных сеток с учетом сложной гетерогенной структуры расчетной области и рассматриваемых механико-математических моделей, позволяющие исследовать зоны трещиноватости с различными параметрами, проведена, визуализирована и проанализирована серия численных экспериментов.

В работах [Фаворская и др. 2018, 2, 4; Favorskaya и др. 2018, 5, 7] автором предложен метод исследования волновых явлений, т.н. Wave Logica. Предложенный метод исследования волновых явлений был использован автором в работах [Фаворская и др. 2014, 14; Фаворская и др. 2015, 3, 6; Фаворская и др. 2016, 1; Фаворская и др. 2017, 1, 2, 5; Favorskaya и др. 2017, 1, 2; Фаворская и др. 2018, 1, 2, 4, 3, 6; Favorskaya и др. 2018, 1, 7, 8, 9, 10, 11, 14]. В работе [Фаворская и др. 2018, 1] автором выявлены и исследованы волны, рассеянные от вертикальной газонасыщенной трещины при падении на нее плоской волны, предложен ряд аналитических выражений, описывающий данный тип волн.

В работах [Фаворская и др. 2014, 12; Фаворская и др. 2015, 11; Фаворская и др. 2017, 3] автором получены выражения для интегралов Рэлея для случая однородной линейно-упругой среды, выполнено сравнение решений, получаемых с помощью интегралов Рэлея и сеточно-характеристическим методом. В работах [Фаворская и др. 2015, 15; Фаворская и др. 2016, 5; Фаворская и др. 2017, 6; Favorskaya и др. 2017, 5; Favorskaya и др. 2018, 8] автором разработан метод миграции упругих волн на основе формул Рэлея и Кирхгофа для изотропного случая,

разработан вычислительный алгоритм, проанализированы полученные результаты тестовых расчетов. В работах [Favorskaya и др. 2017, 5; Favorskaya и др. 2018, 8] автором предложено устранять шумы на миграционных изображения на основе выявленных волновых особенностей. Получены соответствующие аналитические выражения.

В работах [Фаворская 2018, 6; Фаворская и др. 10] автором предложена классификация кратных волн в целях их использования для изучения геометрических параметров и упругих характеристик материалов, в том числе, с использованием лазерного ультразвука, разработана серия механико-математических постановок, разработаны многофункциональные скрипты для генерации расчетных сеток с учетом сложной гетерогенной структуры расчетной области и рассматриваемых механико-математических моделей, выполнена серия численных экспериментов, проведен их анализ.

В работе [Favorskaya 2018, 10] автором показана возможность использовать кратные волны для получения информации о нижележащем геологическом массиве, выявлен вклад головных волн в данный эффект, разработана серия механико-математических постановок для изучения данного эффекта, разработаны многофункциональные скрипты для генерации расчетных сеток с учетом сложной гетерогенной структуры расчетной области и рассматриваемых механико-математических моделей, выполнена серия численных экспериментов, проведен их анализ, получены математические выражения, описывающие данный волновой эффект.

Приближенные количественные оценки вклада автора, а также рейтинговые характеристики публикаций, приведены на рис. 12.2-12.4. Использованные обозначения приведены на рис. 12. 1. На рис. 12.2-12.4 вклад автора количественно оценен по следующим направлениям:

1 - Вывод математических выражений, разработка вычислительных алгоритмов.

2 - Разработка программного обеспечения, скриптов для проведения серий численных экспериментов.

3 - Разработка механико-математических моделей, разработка методики исследования, запуск расчетов.

4 - Разработка методики визуализации расчетных данных, визуализация расчетных данных.

5 - Обработка и анализ полученных результатов, выводы по результатам исследования.

6 - Написание текста, в том числе, проведение литературного обзора по направлению исследований и обоснование выбранного направления исследований и методов.

7 - Оформление и другая редакторская деятельность, в том числе, переписка с редакцией, ответы рецензентам и т.д.

Количественная оценка вклада автора выполнена с учетом новизны исследований, приведенных в каждой работе, минимизирован многократный учет в изданиях одного и того же рейтинга единожды разработанных математических выражений, вычислительных алгоритмов и программного обеспечения. Также отметим, что в каждой статье у каждого из 7 направлений свой весовой коэффициент. Поэтому для оценки вклада каждого автора в работу недопустимо складывать количественные оценки и делить на 7, суммирование по разным направлениям необходимо проводить с учетом индивидуального весового коэффицииента каждого из направлений для каждой работы. Возможно также ввести другую классификацию направлений работы над публикацией, поэтому использованные здесь количественные оценки не корректно использовать для строгой количественной оценки вклада каждого соавтора в работу.

Рис. 12.1. Условные обозначения. * - сборник трудов МФТИ, рецензируемый, признается ВАК научным изданием, допустимым для опубликования результатов диссертаций, но не

входит в «Перечень изданий ВАК»

Рис. 12.2. Вклад автора в работы, вышедшие в 2009 - 2014 годах

Рис. 12.3. Вклад автора в работы, вышедшие в 2014 - 2016 годах

Рис. 12.4. Вклад автора в работы, вышедшие в 2016 - 2018 годах На рис. 12.2-12.4 работы пронумерованы в порядке, приведенном в таблице 12.1.

Таблица 1 2.1 . Таблица соответствия работ автора номерам на рисунках

1 Фаворская и др. 2009 38 Фаворская и др. 2014, 2 75 Favorskaya и др. 2016, 2

2 Фаворская 2010, 1 39 Фаворская и др. 2014, 3 76 Favorskaya и др. 2016, 3

3 Фаворская и др. 2010, 2 40 Фаворская и др. 2014, 4 77 Фаворская и др. 2017, 1

4 Фаворская 2010, 3 41 Фаворская и др. 2014, 5 78 Фаворская и др. 2017, 2

5 Фаворская и др. 2010, 4 42 Фаворская и др. 2014, 6 79 Фаворская и др. 2017, 3

6 Фаворская и др. 2010, 5 43 Фаворская и др. 2014, 7 80 Фаворская и др. 2017, 4

7 Фаворская и др. 2010, 6 44 Фаворская и др. 2014, 8 81 Фаворская и др. 2017, 5

8 Фаворская и др. 2011, 1 45 Фаворская и др. 2014, 9 82 Фаворская и др. 2017, 6

9 Фаворская и др. 2011, 2 46 Фаворская 2014, 10 83 Favorskaya и др. 2017, 1

10 Фаворская и др. 2011, 3 47 Фаворская и др. 2014, 11 84 Favorskaya и др. 2017, 2

11 Фаворская и др. 2011, 4 48 Фаворская и др. 2014, 12 85 Favorskaya и др. 2017, 3

12 Фаворская 2011, 5 49 Фаворская и др. 2014, 13 86 Favorskaya и др. 2017, 4

13 Фаворская 2011, 6 50 Фаворская и др. 2014, 14 87 Favorskaya и др. 2017, 5

14 Фаворская и др. 2011, 7 51 Favorskaya и др. 2014 88 Фаворская и др. 2018, 1

15 Фаворская и др. 2011, 8 52 Фаворская и др. 2015, 1 89 Фаворская и др. 2018, 2

16 Favorskaya и др. 2011 53 Фаворская и др. 2015, 2 90 Фаворская и др. 2018, 3

17 Фаворская и др. 2012, 1 54 Фаворская и др. 2015, 3 91 Фаворская и др. 2018, 4

18 Фаворская и др. 2012, 2 55 Фаворская и др. 2015, 4 92 Фаворская и др. 2018, 5

19 Фаворская и др. 2012, 3 56 Фаворская и др. 2015, 5 93 Фаворская 2018, 6

20 Фаворская и др. 2013, 1 57 Фаворская и др. 2015, 6 94 Фаворская и др. 2018, 7

21 Фаворская и др. 2013, 2 58 Фаворская и др. 2015, 7 95 Фаворская и др. 2018, 8

22 Фаворская и др. 2013, 3 59 Фаворская и др. 2015, 8 96 Фаворская и др. 2018, 9

23 Фаворская и др. 2013, 4 60 Фаворская 2015, 9 97 Фаворская и др. 2018, 10

24 Фаворская и др. 2013, 5 61 Фаворская и др. 2015, 10 98 Favorskaya и др. 2018, 1

25 Фаворская и др. 2013, 6 62 Фаворская и др. 2015, 11 99 Favorskaya 2018, 2

26 Фаворская и др. 2013, 7 63 Фаворская и др. 2015, 12 100 Favorskaya 2018, 3

27 Фаворская и др. 2013, 8 64 Фаворская и др. 2015, 13 101 Favorskaya 2018, 4

28 Фаворская и др. 2013, 9 65 Фаворская и др. 2015, 14 102 Favorskaya и др. 2018, 5

29 Фаворская и др. 2013, 10 66 Фаворская и др. 2015, 15 103 Favorskaya и др. 2018, 6

30 Фаворская и др. 2013, 11 67 Фаворская и др. 2015, 16 104 Favorskaya и др. 2018, 7

31 Фаворская и др. 2013, 12 68 Фаворская и др. 2016, 1 105 Favorskaya и др. 2018, 8

32 Фаворская и др. 2013, 13 69 Фаворская и др. 2016, 2 106 Favorskaya и др. 2018, 9

33 Фаворская и др. 2013, 14 70 Фаворская и др. 2016, 3 107 Favorskaya 2018, 10

34 Фаворская и др. 2013, 15 71 Фаворская и др. 2016, 4 108 Favorskaya и др. 2018, 11

35 Фаворская и др. 2013, 16 72 Фаворская и др. 2016, 5 109 Favorskaya и др. 2018, 12

36 Favorskaya и др. 2013 73 Фаворская и др. 2016, 6 110 Favorskaya и др. 2018, 13

37 Фаворская и др. 2014, 1 74 Favorskaya и др. 2016, 1 111 Favorskaya и др. 2018, 14

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Фаворская Алена Владимировна, 2019 год

Список литературы

Бабич, В.М. (1988) Многомерный метод ВКБ или лучевой метод. Его аналоги и обобщения // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». - 1988. - Т. 34. - С. 93 - 134.

Бабкин, А.В., Селиванов, В.В. и др. (2002) Физика взрыва. Т. 1. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. -832 с.

Баженов, В.Г., Ломунов, В.К., Чекмарев, Д.Т. (2006) Численное моделирование нелинейных задач динамики упругопластических конструкций // Матем. моделирование. - 2006. - Т. 18, № 1. - С. 10 - 16.

Бархатов, В.А. (2009) Моделирование ультразвуковых волн методом конечных разностей во временной области. Двумерная задача. Оптимальные алгоритмы. Анализ погрешностей. Поглощающие области вблизи границ сеток // Дефектоскопия. - 2009. - № 6. -С. 76 - 82.

Беклемышева, К.А., Васюков, А.В., Голован, В.И., Дзюба, А.С., Ермаков, А.С., Петров, И.Б. (2015) Численное моделирование низкоскоростного удара по трехстрингерной панели из полимерного композиционного материала // В сборник трудов ЦАГИ «Прочность конструкций летательных аппаратов». - 2015.

Белов, Н.Н., Корнеев, А.И., Николаев, А.П. (1985) Численный анализ разрушения в плитах под действием импульсных нагрузок // ПМТФ. - 1985. - № 3. - С. 132 - 136.

Болотских, П.А., Травин, Г.А. (1997) Лазерное возбуждение ультразвуковых колебаний // Научные ведомости БГУ. - 1997. - № 2. - С. 52 - 53.

Буйносов, А.П., Денисов, Д.С. (2016) Исследование изменения напряженного состояния железнодорожного колеса в процессе эксплуатации // В сборнике: Приоритетные научные исследования и разработки. Сборник статей Международной научно-практической конференции. - 2016. - С. 20 - 26.

Василевский, Ю.В., Данилов А.А., Липников К.Н., Чугунов В.Н. (2016) Автоматизированные технологии построения неструктурированных расчетных сеток. - Нелинейная вычислительная механика прочности, Т.ГУ. - М.: Физматлит, 2016. - 216 с.

Воробьев, А.А., Федоров, И.В., Иванов, И.А., Конограй, О. А. (2018). Методика расчета размера контактно-усталостных повреждений железнодорожного колеса по результатам, полученным на модельных роликах // Бюллетень результатов научных исследований. - 2018. - № 1.

Гильманов, А.Н., Кулачкова, Н.А. (1995) Численное исследование двумерных течений газа со скачками методом TVD на физически адаптивных сетках // Матем. моделирование. -1995. - Т. 7, № 3. - С. 97 - 106.

Годунов, С.К., Рябенький, В.С. (1977) Разностные схемы. Введение в теорию. - М.: Наука, 1977. - 440 с.

Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Петров, И.Б. (2011) Воздействие природных катастроф на наземные сооружения // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23, № 8. -С. 46 - 54.

Голубев, В.И., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. (2013) Численное моделирование сейсмической активности сеточно-характеристическим методом // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53, № 10. - С. 1709 - 1720.

Голубев, В.И., Хохлов, Н.И. (2018) Оценка анизотропии сейсмического отклика от трещиноватых геологических объектов // Компьютерные исследования и моделирование. - 2018. - Т. 10, № 2. - С. 231 - 240.

Гольдштейн, Р.В., Осипенко, Н.М. (1989) Трещиностойкость и разрушения ледяного покрова ледоколами // Труды ААНИИ. - 1989. - Т. 391. - C. 137 - 156.

Гольдштейн, Р.В., Осипенко, Н.М. (2013) Вопросы механики разрушения льда и ледяного покрова при анализе ледяных нагрузок // В сб. Вести газовой науки. Современные подходы и перспективные технологии в проектах освоения нефтегазовых месторождений российского шельфа. - 2013. - Т. 4, № 3. - С. 104 - 112.

Грицык, В.И. (2005) Дефекты рельсов железнодорожного пути. - М.: Маршрут, 2005. - 80 с.

Джавади, Я., Наджафабади М.А., Ахлаги М. (2012) Оценка остаточных напряжений в сварных соединениях из разнородных компонент с использованием моделирования методом конечных элементов и измерения головной ультразвуковой волны // Дефектоскопия. -2012. - № 9. - С. 48 - 61.

Ермолов, И.Н., Вопилкин, А.Х., Бадалян, В.Г. (2000) Расчеты в ультразвуковой дефектоскопии (краткий справочник). - М.: Эхо, 2000.

Жаркий, С.М., Карабутов, А.А., Пеливанов, И.М., Подымова, Н.Б., Тимошенко, В.Ю. (2003) Исследование слоев пористого кремния лазерным ультразвуковым методом // Физика и техника полупроводников. - 2003. - Т. 37, № 4. - С. 485 - 489.

Жданов, М.С. (2007) Теория обратных задач и регуляризация геофизики. - М.: Научный мир, 2007. - 710 с.

Заппаров, К.И., Кукуджанов, В.Н. (1984) Решение нестационарных задач динамики упругопластической среды методом подвижных сеток // Сб. Численные методы в механике твердого деформируемого тела. М.: ВЦ АН СССР. - 1984. - С. 65 - 86.

Заппаров, К.И., Кукуджанов, В.Н. (1986) Математическое моделирование задач импульсного деформирования, взаимодействия и разрушения упругопластических тел. - М. ИПММех. АН СССР, 1986. - № 280. - 67 с.

Зацепин, А. Ф. (2005) Акустический контроль. - Екатеринбург: УГТУ, 2005.

Иванов, В.Д., Петров, И.Б., Суворова, Ю.В. (1990) Расчет волновых процессов в наследственных вязкоупругих средах // Механика композитных материалов. - 1990. - № 3. - С. 447 - 450.

Иванов, В.Д., Холодов, А.С. (1978) Об использовании сеточно-характеристических схем с положительной аппроксимацией для решения линейных задач теории упругости // М.: Деп. ВИНИТИ. - 1978. - № 282. - С. 6 - 78.

Ильгамов, М.А., Гильманов, А.Н. (2003) Неотражающие условия на границах расчётной области. - Москва: Физматлит, 2003.

Канель, Г.И., Фортов, В.Е. (1987) Механические свойства конденсированных сред при интенсивных импульсных воздействиях // Успехи механики. - 1987. - Т. 10, № 3. -С. 3 - 82.

Караев, Н.А., Левянт, В.Б., Петров, И.Б., Караев, Г.Н., Муратов, М.В. (2015) Оценка методами математического и физического моделирования возможности использования обменных рассеянных волн для прямого обнаружения и характеристики систем макротрещин // Технологии сейсморазведки. - № 1. - С. 22 - 36.

Квасов, И.Е., Левянт, В.Б., Петров, И.Б. (2016) Решение прямых задач сейсморазведки в трещиноватых средах методом сеточно-характеристического моделирования // EAGE. - 2016.

Коваленко, А.А., Грязнов, А.С. (2012) К методике измерения продольной и поперечной скоростей ультразвука в листовых материалах // Вестник Бурятского государственного университета. - 2012. - № 3.

Коган, А.Я. (2014) Воздействие на путь поездов, имеющих в своем составе вагоны с ползунами на колесных парах // Вестник ВНИИЖТ. - 2014. - № 3. - С. 3 - 8.

Кондауров, В.И., Кукуджанов, В.Н. (1974) Численное решение неодномерных задач динамики упруго-пластических сред // Сб. Избранные проблемы прикладной механики. - М.: Наука. - 1974. - С. 421 - 430.

Конадуров, В.И., Кукуджанов, В.Н. (1978) Об определяющих уравнениях и численном решении некоторых задач динамики упруго-пластических сред с конечными деформациями // Сб. Численные методы в механике твердого деформируемого тела. - М.: ВЦ АН СССР. -1978. - С. 84 - 122.

Кукуджанов, В.Н. (1985) Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред // Успехи механики. - 1985. - Т. 8, № 4. -С. 21 - 64.

Крауклис, П.В. (1968) Головные волны в среде с высокоскоростным слоем, Асимптотические методы и стохастические модели в задачах распространения волн // Сборник работ, Тр. МИАН СССР. - Наука. Ленинградское отделение, Ленинград - Т. 95. - С. 98 - 105

Крауклис, П.В., Крауклис, Л.А. (1988) Об одном типе волн в средах, содержащих поверхности ослабленного механического контакта // Записки научных семинаров ПОМИ. - 1988. -Т. 173. - С. 113 - 122.

Крауклис, П.В., Крауклис, Л.А. (2001) Медленная волна в анизотропном слое жидкости, моделирующем коллектор // Математические вопросы теории распространения волн. 30, Зап. научн. сем. ПОМИ. - ПОМИ, СПб. - Т. 275. - С. 132-139

Куликовский, А.Г., Погорелов, Н.В., Семенов, А.Ю. (2001) Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 608 с.

Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. (1987) Теоретическая физика, т. 7. - М.: Наука, 1987. - 248 с.

Левченко, Д.Г., Закиров, А.В., Левченко, В.Д. (2010) Динамическое моделирование распространения низкочастотных сейсмоакустических полей в океанической среде // Доклады Академии Наук. - 2010. - Т. 435, №4. - С. 544 - 547.

Левянт, В.Б., Миряха, В.А., Муратов, М.В., Петров, И.Б. (2015) Оценка влияния на сейсмический отклик степени раскрытости трещины и доли площади локальных контактов к ее поверхности // Технологии сейсморазведки. - 2015. - № 3. - С. 16 - 30.

Лямшев, Л.М. (1988) Лазерное термооптическое возбуждение звука. - Отв. ред. ВИ Ильичев; АН СССР, Акустический институт им. НН Андреева, 1989.

Магомедов, К.М., Холодов, А.С. (1988) Сеточно-характеристические численные методы. - М.: Наука, 1988. - 288 с.

Мазов, Ю.Н., Локтев, А.А., Сычев, В.П. (2015) Оценка влияния дефектов колес подвижного состава на состояние железнодорожного пути // Инженерные изыскания и обследование зданий. Специальное строительство. - 2015. - С. 61 - 72.

Медин, С.А., Паршиков, А.Н. (2010) Развитие метода SPH и его применение в задачах гидродинамики конденсированных сред // Теплофизика высоких температур. - 2010. - Т. 48, № 6. - С. 973 - 980.

Новацкий, В. (1975) Теория упругости. - М.: Изд. "Мир", 1975. - 872 с.

Новацкий, В. (1978) Волновые задачи теории пластичности. - М.: Изд. "Мир", 1978. - 307 с.

Новиков, Ю.Н., Гажула, С.В. (2008). Особенности оценки месторождений углеводородного сырья арктического шельфа России и их переоценки в соответствии с новой классификацией запасов // Нефтегазовая геология Теория и практика. - 2008. - № 3. -С. 1 - 19.

Одинцов, В.А. (1980) Механизм разрушения цилиндров // Вопросы физики взрыва и удара. -1980. - № 1. - С. 22 - 70.

Петров, И.Б., Холодов, А.С. (1984) Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом // Журн. выч. матем. и матем. физ. - 1984. - Т. 24. - № 5. - С. 722 - 739.

Петров, И.Б., Тормасов, А.Г. (1990) О численном исследовании трехмерных задач обтекания волнами сжатия препятствия или полости в упругоплатическом полупространстве // Доклады АН СССР. - 1990. - Т. 314, № 4. - С. 817 - 820.

Петров, И.Б., Тормасов, А.Г., Холодов, А.С. (1990) Об использовании гибридизированных сеточно-характеристических схем для численного решения трехмерных задач динамики деформируемого твердого тела // Журн. выч. мат. и мат. физ. - 1990. - Т. 30, № 8. -С.1237 - 1244.

Петров, И.Б., Челноков, Ф.Б. (2003) Численное исследование волновых процессов и процессов разрушения в многослойных преградах // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2003. - Т. 43, № 10. - С. 1562 - 1579.

Потапов, А.П., Ройз, С.И., Петров, И.Б. (2009) Моделирование волновых процессов методом сглаженных частиц ^РН) // Математическое моделирование. - 2009. - Т. 21, № 7. -С. 20 - 28.

Рогов, Б.В., Михайловская, М.Н. (2010) Бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации для гиперболических уравнений // Доклады Академии Наук. - 2010. - Т. 430, № 4. - С. 1 - 5.

Рогов, Б.В., Михайловская, М.Н. (2012) Монотонные компактные схемы бегущего счета для систем уравнений гиперболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 32, № 4. - С. 672 - 695.

Петров, И.Б., Васюков, А.В., Беклемышева, К.А., Ермаков, А.С., Дзюба, А.С., Голован, В.И. (2014) Численное моделирование динамических процессов при низкоскоростном ударе по композитной стрингерной панели // Математическое моделирование. - 2014. - Т. 26, № 9. - С. 96 - 110.

Петров, И.Б., Миряха, В.А., Санников, А.В. (2015) Численное моделирование динамических процессов в твердых деформируемых телах разрывным методом Галёркина // Математическое моделирование. - 2015. - Т. 27. - С. 17 - 23.

Сагомонян, А.Я. (1974) Аналитическое решение задач проникания. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1974. - 299 с.

Самарский, А.А. (1971) Введение в теорию разностных схем. - М., Наука, 1971. - 552 с.

Сыч, Т.В., Герасимов, С.И., Кулешов, В.К. (2012) Моделирование распространения акустических волн методом конечных элементов // Дефектоскопия. - № 3. - С. 3 - 9.

Танарро, А. Лазерный ультразвук [Электронный ресурс]. -

http://www.locus.spb.ru/files/UZK/podrobnee_laser_ultrasonics.pdf, дата обращения 02.02.2018.

Титарев, В.А. (2010) Неявный численный метод расчета пространственных течений разреженного газа на неструктурированных сетках // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50, № 10. - С. 1811 - 1826.

Тищенко, В.Н., Пономаренко, А.Г., Посух, В.Г., Павлов, А.А., Запрягаев, В.И., Гулидов, А.И., Бояринцев, Э.Л., Кавун, И.Н., Мелехов, А.В., Голубев, М.П., Павлов, А.А., Голобокова, Л.С., Мирошниченко, И.Б., Шмаков, А.С. (2011) Лазерный источник звука, создаваемый при облучении мишени широкоапертурным излучением // XXIV сессия Российского акустического общества, сессия Научного совета по акустике РАН. Ультразвук и ультразвуковые технологии. - 2011.

Толстых, А.И. (1990) Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики. - М.: Наука, 1990. - 230 с.

Толстых, А.И. (2000) О построении схем заданного порядка с линейными комбинациями операторов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - Т. 40, № 8. - С. 1206 - 1220.

Уилкинс, М. (1967) Расчет упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. - 1967. - С. 212 - 263.

Фаворская, А.В., Субботина, А.Ю. (2009) Постановка задачи численного решения системы уравнений Прайда для геологической среды // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Управление и прикладная математика. Том 3: Труды 52-й научн. конф. МФТИ (27-30 ноября 2009 г., М. - Долгопрудный -Жуковский). - М.: МФТИ, 2009. - Т. 3. - С. 28 - 29.

Фаворская, А.В. (2010, 1) Интерполяция высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках // Информационные технологии: модели и методы: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2010. - С. 35 - 44.

Фаворская, А.В., Субботина, А.Ю. (2010, 2) Метод численного решения системы уравнений Прайда для геологической среды // Информационные технологии: модели и методы: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2010. - С. 27 - 34.

Фаворская, А.В. (2010, 3) Интерполяция высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 53 -й научн. конф. МФТИ (24-29 ноября 2010 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - М.: МФТИ,. -2010. - С. 36 - 44.

Фаворская, А.В., Беклемышева, К.А. (2010, 4) Численное моделирование контактных динамических задач механики деформируемого твердого тела с помощью треугольных сеток // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 53-й научн. конф. МФТИ (24-29 ноября 2010 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - М.: МФТИ,. - 2010. - С. 100 - 101.

Фаворская, А.В., Санников, А.В., Квасов, И.Е. (2010, 5) Моделирование пространственных динамических процессов сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 53-й научн. конф. МФТИ (24-29 ноября 2010 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - М.: МФТИ,. - 2010. - С. 32 - 36.

Фаворская, А.В., Субботина, А.Ю. (2010, 6) Численное решение одномерной системы уравнений Прайда для пористой геологической среды // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 53-й научн. конф. МФТИ (24-29 ноября 2010 г., М. - Долгопрудный -Жуковский). - М.: МФТИ,. - 2010. - С. 27 - 32.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б. (2011, 1) Библиотека по интерполяции высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках // Информационные технологии. - 2011. - № 9. - С. 30 - 32.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Санников, А.В., Квасов, И.Е. (2011, 2) Компьютерное моделирование пространственных динамических процессов сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках // Информационные технологии. - 2011. - № 9. - С. 28 - 30.

Фаворская, А.В., Беклемышева, К.А. (2011, 3) Численное моделирование контактных динамических задач механики деформируемого твердого тела с помощью треугольных сеток // Математические модели и задачи управления: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2011. - С. 100 - 104.

Фаворская, А.В., Санников, А.В., Квасов, И.Е. (2011, 4) Сеточно-характеристический метод на неструктурированных тетраэдральных сетках для решения задач сейсморазведки и сейсмологии // Математические модели и задачи управления: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. инт. - М.: МФТИ, 2011. - С. 80 - 87.

Фаворская, А.В. (2011, 5) Постановка задачи численного моделирования динамических процессов в сплошной линейно-упругой среде с анизотропией сеточно-характеристическим методом // Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 54-й научн. конф. МФТИ (10-30 ноября 2011 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - М.: МФТИ, 2011. - Т. 2. - С. 55 - 56.

Фаворская, А.В. (2011, 6) Сеточно-характеристический метод на иерархических сетках // Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 54-й научн. конф. МФТИ (10-30 ноября 2011 г., М. - Долгопрудный -Жуковский). - М.: МФТИ, 2011. - Т. 2. - С. 54 - 55.

Фаворская, А.В., Беклемышева, К.А. (2011, 7) Численное моделирование контактных динамических задач механики деформируемого твердого тела с помощью треугольных сеток // Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 54-й научн. конф. МФТИ (10-30 ноября 2011 г., М. - Долгопрудный -Жуковский). - М.: МФТИ, 2011.

Фаворская, А.В., Санников, А.В., Квасов, И.Е. (2011, 8) Численное моделирование пространственных динамических процессов в гетерогенных средах сеточно-характеристическим методом на высокопроизводительных вычислительных системах // Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 54-й научн. конф. МФТИ (10-30 ноября 2011 г., М. - Долгопрудный -Жуковский). - М.: МФТИ, 2011. - Т. 2. - С. 56 - 57.

Фаворская, А.В., Муратов, М.В., Санников, А.В. (2012, 1) Моделирование волновых откликов от систем субвертикальных макротрещин в задачах сейсморазведки // Сборник аннотаций работ X Курчатовской молодежной научной школы. - 2012. - С. 134 - 135.

Фаворская, А.В., Санников, А.В. (2012, 2) Сеточно-характеристический метод на неструктурированных иерархических тетраэдральных сетках с кратным шагом по времени // Современные проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 55-й научн. конф. МФТИ (19-25 ноября 2012 г., М. -Долгопрудный - Жуковский). - М.: МФТИ, 2012. - Т. 2. - С. 120 - 121.

Фаворская, А.В., Муратов, М.В., Санников, А.В. (2012, 3) Решение пространственных динамических задач сейсмологии и сейсморазведки с помощью сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках // Современные проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 55-й научн. конф. МФТИ (19-25 ноября 2012 г., М. - Долгопрудный -Жуковский). - М.: МФТИ, 2012. - Т. 2. - С. 119 - 120.

Фаворская, А.В., Беклемышева, К.А., Петров, И.Б. (2013, 1) Численное моделирование процессов в твердых деформируемых средах при наличии динамических контактов с помощью сеточно-характеристического метода // Математическое моделирование. -2013. - Т. 25, № 11. - С. 3 - 16.

In English: Favorskaya, A.V., Beklemysheva, K.A., Petrov, I.B. Numerical simulation of processes in solid deformable media in the presence of dynamic contacts using the grid-characteristic method // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2014. - V. 6, № 3. - P.294 - 304.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Санников, А.В., Квасов, И.Е. (2013, 2) Сеточно-характеристический метод с интерполяцией высоких порядков на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени // Математическое моделирование. -2013. - Т. 25, № 2. - С. 42 - 52.

In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Sannikov, A.V., Kvasov, I.E. Grid-characteristic method using high-order interpolation on tetrahedral hierarchical meshes with a multiple time step // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2013. - V. 5, № 5. - P. 409 - 415.

Фаворская, А.В., Беклемышева, К.А., Петров, И.Б. (2013, 3) Численное моделирование процессов в твердых деформируемых средах при наличии динамических контактов с помощью сеточно-характеристического метода // Математические и информационные модели управления: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2013. - Т. 5, № 3 (19). -С. 3 - 10.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Голубев, В.И., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Санников, А.В., Беклемышева, К.А. (2013, 4) Динамическая диагностика элементов пути // Вестник Института проблем естественных монополий: Техника железных дорог. - 2013. - Т. 24, № 4. - С. 82 - 95.

Фаворская, А.В., Миряха, В.А., Санников, А.В. (2013, 5) Мониторинг состояния подвижного состава разрывным методом Галеркина на неструктурированных сетках // Математические и информационные модели управления: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. -М.: МФТИ, 2013. - С. 26 - 28.

Фаворская, А.В., Муратов, М.В., Петров, И.Б., Санников, А.В. (2013, 6) Сеточно-характеристический метод на неструктурированных тетраэдральных сетках в 3D моделировании задач сейсморазведки // Математические и информационные модели управления: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2013. - С. 8 - 13.

Фаворская, А.В., Хохлов, Н.И., Шульц, К.И. (2013, 7) Мониторинг состояния подвижного состава сеточно-характеристическим методом // Математические и информационные модели управления: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2013. - С. 24 - 26.

Фаворская, А.В., Шевцов, А.В., Потапов, А.П., Васюков, А.В. (2013, 8) Трехмерный комбинированный метод численного моделирования упругопластических тел // Математические и информационные модели управления: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. -М.: МФТИ, 2013. - С. 39 - 44.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Голубев, В.И., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Санников, А.В., Беклемышева, К.А. (2013, 9) Мониторинг состояния подвижного состава с помощью современных вычислительных методов и высокопроизводительных вычислительных систем // Интеллектуальные системы на транспорте: материалы Третьей международной научно-практической конференции «ИнтеллектТранс-2013». - 2013. - С. 46 - 53.

Фаворская, А.В., Муратов, М.В., Петров, И.Б. (2013, 10) Моделирование с использованием сеточно-характеристического метода в задачах сейсморазведки трещиноватых структур

// Сборник тезисов IV научно-практической конференции "Суперкомпьютерные технологии в нефтегазовой отрасли. Математические методы, программное и аппаратное обеспечение". - 2013. - С. 126 - 135.

Фаворская, А.В., Муратов, М.В., Бирюков, В.А. (2013, 11) Моделирование с использованием сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках в задачах сейсморазведки трещиноватых структур // Сборник аннотаций работ XI Курчатовской молодежной научной школы. - 2013. - С. 157.

Фаворская, А.В., Муратов, М.В., Санников, А.В. (2013, 12) Моделирование волновых процессов в трещиноватых геологических средах // Сборник тезисов XX Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2013», секция ВМК. - 2013. - С. 71 - 72.

Фаворская, А.В., Голубев, В.И., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Санников, А.В., Беклемышева, К.А. (2013, 13) Дефектоскопия железнодорожных рельсов // Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 56-й научн. конф. МФТИ (25-30 ноября 2013 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - М.: МФТИ, 2013. - Т. 2. -С. 125 - 127.

Фаворская, А.В., Бирюков, В.А., Муратов, М.В. (2013, 14) Моделирование откликов от трещиноватых структур в задачах сейсморазведки с использованием сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках // Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 56-й научн. конф. МФТИ (25-30 ноября 2013 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - М.: МФТИ, 2013. - Т. 2. - С. 128 - 129.

Фаворская, А.В., Голубев, В.И., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Санников, А.В., Беклемышева, К.А. (2013, 15) Динамическая диагностика элементов железнодорожного пути // Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 56-й научн. конф. МФТИ (25-30 ноября 2013 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - М.: МФТИ, 2013. - Т. 2. - С. 127 - 128.

Фаворская, А.В., Шевцов, А.В., Васюков, А.В., Потапов, А.П. (2013, 16) Трехмерный комбинированный метод моделирования упругопластических тел // Актуальные

проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 56-й научн. конф. МФТИ (25-30 ноября 2013 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - М.: МФТИ, 2013. - Т. 2. - С. 122 - 123.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Муратов, М.В., Бирюков, В.А., Санников, А.В. (2014, 1) О сеточно-характеристическом методе на неструктурированных тетраэдральных сетках // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 459, № 4. - C. 406 - 408.

In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Muratov, M.V., Biryukov, V.A., Sannikov, A.V. Grid-characteristic method on unstructured tetrahedral grids // Doklady Mathematics. - 2014. -V. 90, № 3. - P. 781 - 783.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Васюков, А.В., Ермаков, А.С., Беклемышева, К.А., Казаков, А.О., Новиков, А.В. (2014, 2) О численном моделировании волновых процессов в анизотропных средах // Доклады Академии наук. - 2014. - Т. 495, № 3. - С. 285 - 287. In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Vasyukov, A.V., Ermakov, A.S., Beklemysheva, K.A., Kazakov, A.O., Novikov, A.V. (2014) Numerical simulation of wave propagation in anisotropic media // Doklady Mathematics. - 2014. - V. 90, № 3. - P. 778 - 780.

Фаворская, А.В., Муратов, М.В., Петров, И.Б., Санников, А.В. (2014, 3) Сеточно-характеристический метод на неструктурированных тетраэдральных сетках // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 5. -С. 821 - 832.

In English: Favorskaya, A.V., Muratov, M.V., Petrov, I.B., Sannikov, A.V. Grid-characteristic method on unstructured tetrahedral meshes // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2014. - V. 54, № 5. - P. 837 - 847.

Фаворская, А.В., Васюков, А.В., Ермаков, А.С., Потапов, А.П., Петров, И.Б., Шевцов, А.В. (2014, 4) Сеточно-характеристический комбинированный метод для численного решения динамических пространственных упругопластических задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 7. - С. 1203 - 1217. In English: Favorskaya, A.V., Vasyukov, A.V., Ermakov, A.S., Potapov, A.P., Petrov, I.B., Shevtsov, A.V. Combined grid-characteristic method for the numerical solution of three-dimensional dynamical elastoplastic problems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2014. - V. 54, № 7. - P. 1176 - 1189.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И., Миряха, В.А., Санников, А.В., Голубев, В.И. (2014, 5) Мониторинг состояния подвижного состава с помощью высокопроизводительных вычислительных систем и высокоточных вычислительных методов // Математическое моделирование. - 2014 - Т. 26, № 7. - С. 19 - 32. In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I., Miryakha, V.A., Sannikov, A.V., Golubev, V.I. Monitoring the state of the moving train by use of high performance systems and modern computation methods // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2015 - V. 7, № 1. - P. 51 - 61.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Шевцов, А.В., Потапов, А.П., Васюков, А.В., Ермаков, А.С. (2014, 6) Компьютерное моделирование упругопластических тел комбинированным методом // Информационные технологии. - 2014. - № 3. - С. 19 - 24.

Фаворская, А.В., Петров, Д.И., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. (2014, 7) Численное решение арктических задач с помощью сеточно-характеристического метода // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2014. - Т. 12, № 161. - С. 192 - 198.

Фаворская, А.В., Муратов, М.В., Петров, И.Б., Бирюков, В.А. (2014, 8) Решение прямых пространственных задач сейсморазведки с применением численного моделирования сеточно-характеристическим методом // Моделирование процессов обработки информации: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2014. - С. 4 - 7.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И., Миряха, В.А., Санников, А.В. (2014, 9) Численное моделирование волновых и деформационных процессов в элементах железнодорожного пути // Труды третьей научно-технической конференции с международным участием "Интеллектуальные системы управления на железнодорожном транспорте. Компьютерное и математическое моделирование". ИСУЖТ-2014. - 2014. - Т. 1. -С. 102 - 104.

Фаворская, А.В. (2014, 10) Разработка численных методов моделирования волновых процессов в гетерогенных средах // Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 57-й научн. конф. МФТИ (24-29 ноября 2014 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). -М.: МФТИ, 2014. - Т. 2. - С. 120 - 121.

Фаворская, А.В., Бирюков, В.А., Муратов, М.В. (2014, 11) Моделирование откликов от сложных трещиноватых структур с использованием сеточно-характеристического метода // Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном

информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 57-й научн. конф. МФТИ (24-29 ноября 2014 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - М.: МФТИ, 2014. - Т. 2. - С. 146 - 147.

Фаворская, А.В., Голубев, В.И. (2014, 12) Решение прямых и обратных задач с помощью интегралов Кирхгофа // Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 57-й научн. конф. МФТИ (24-29 ноября 2014 г., М. - Долгопрудный -Жуковский). - М.: МФТИ, 2014. - Т. 2. - С. 134 - 135.

Фаворская, А.В., Петров, Д.И., Хохлов, Н.И., Голубев, В.И. (2014, 13) Численное моделирование задач арктической георазведки сеточно-характеристическим методом // Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 57-й научн. конф. МФТИ (24-29 ноября 2014 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - М.: МФТИ, 2014. - Т. 2. - С. 146 - 147.

Фаворская, А.В., Хохлов, Н.И. (2014, 14) Ультразвуковая дефектоскопия горизонтального расслоения в головке рельса // Актуальные проблемы фундаментальных и прикладных наук в современном информационном обществе. Управление и прикладная математика. Том 2: Труды 57-й научн. конф. МФТИ (24-29 ноября 2014 г., М. - Долгопрудный -Жуковский). - М.: МФТИ, 2014. - Т. 2. - С. 121 - 122.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Шевцов, А.В., Васюков, А.В., Потапов, А.П., Ермаков, А.С. (2015, 1) О комбинированном методе для численного решения динамических пространственных упругопластических задач // Доклады РАН. - 2015. - Т. 460, № 4. -С. 389 - 391.

In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Shevtsov, A.V., Vasyukov, A.V., Potapov, A.P., Ermakov, A.S. Combined method for the numerical solution of dynamic three-dimensional elastoplastic problems // Doklady Mathematics. - 2015. - V. 91, № 1. - P. 111 - 113.

Фаворская, А.В., Бирюков, В.А., Муратов, М.В., Петров, И.Б., Санников, А.В. (2015, 2) Применение сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках в решении прямых задач сейсморазведки трещиноватых пластов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2015. - Т. 55, № 10. С.1762 - 1772.

In English: Favorskaya, A.V., Biryukov, V.A., Muratov, M.V., Petrov, I.B., Sannikov, A.V. Application of the grid-characteristic method on unstructured tetrahedral meshes to the solution of direct problems in seismic exploration of fractured layers // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2015. - V. 55, № 10. - P. 1733 - 1742.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Петров, Д.И., Хохлов, Н.И. (2015, 3) Численное моделирование волновых процессов в слоистых средах в условиях Арктики // Математическое моделирование. - 2015. - Т. 27, № 11. - С. 63 - 75.

In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Petrov, D.I., Khokhlov, N.I. Numerical modeling of wave processes in layered media in the Arctic region // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2016. - V. 8, № 4. - P. 348 - 357.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Муратов, М.В., Бирюков, В.А., Санников, А.В. (2015, 4) Численное моделирование прямых трехмерных задач сейсморазведки с применением сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках // Компьютерные исследования и моделирование. - 2015. - Т. 7, № 4. - С. 875 - 887. In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Muratov, M.V., Biryukov, A.V., Sannikov, A.V. Numerical modeling of straight 3D exploration seismology problems with use of grid-characteristic method on unstructured tetrahedral meshes // Computer Research and Modeling. - 2015 - V. 7, № 4. - P. 875 - 887. (in Russian).

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И., Миряха, В.А., Санников, А.В., Беклемышева, К.А., Голубев, В.И. (2015, 5) Сеточно-характеристический метод численного моделирования волновых процессов в трехмерных задачах динамического нагружения сложных конструкций // Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии. - 2015. -Т. 7, № 1. - С. 34 - 47.

In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I., Miryakha, V.A., Sannikov, A.V., Beklemysheva, K.A., Golubev, V.I. Grid-characteristic method for numerical modeling of wave processes in three-dimensional problems of dynamic loading of complex structures // Radioelektronika, Nanosistemy, Informacionnye Tehnologii. - 2015. - V. 7, № 1. - С. 34 - 47. (in Russian).

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Голубев, В.И., Хохлов, Н.И. (2015, 6) Численное моделирование сеточно-характеристическим методом воздействия землетрясений на сооружения // Математическое моделирование. - 2015. - Т. 27, № 12. - С. 109 - 120.

Фаворская, А. В., Петров, Д. И., Хохлов, Н. И., Петров, И. Б. (2015, 7) Численное решение упругоакустических задач с помощью сеточно-характеристического метода // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. - 2015. - № 10. - С. 7 - 12.

Фаворская, А. В., Петров, Д. И., Хохлов, Н. И., Петров, И. Б. (2015, 8) Совместное моделирование упругих и акустических волн в условиях Арктики // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. - 2015. - № 10. - С. 24 - 31.

Фаворская, А.В. (2015, 9) Об аппроксимации и устойчивости сеточно-характеристических методов на неструктурированных сетках // Математические моделирование информационных систем: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2015. - С. 8 - 11.

Фаворская, А.В., Голубев, В.И. (2015, 10) Расчет воздействий землетрясений на сооружения сеточно-характеристическим методом с использованием мнимых точек // Математические моделирование информационных систем: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2015. - С. 11 - 14.

Фаворская, А.В., Жданов, М.С. (2015, 11) Обобщенные интегралы Кирхгофа для описания волновых процессов в линейно-упругих средах // Математические моделирование информационных систем: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2015. - С. 4 - 8.

Фаворская, А.В., Котельников, С.А., Хохлов, Н.И. (2015, 12) Численное моделирование волновой картины в поврежденном рельсе // Управление и прикладная математика. Труды 58-й научн. конф. МФТИ (23-28 ноября 2015 г., М. - Долгопрудный -Жуковский). - 2015. - С. 4 - 7.

Фаворская, А.В., Котельников, С.А., Скоморохов, Ф.А. (2015, 13) Исследование одномерных аналогов семейства сеточно-характеристических методов на неструктурированных сетках // Управление и прикладная математика. Труды 58-й научн. конф. МФТИ (23-28 ноября 2015 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - 2015. - С. 8 - 12.

Фаворская, А.В., Лийко, В.В., Хохлов, Н.И. (2015, 14) Численное решение прямых задач наземной сейсмической разведки гетерогенных геологических сред // Управление и прикладная математика. Труды 58-й научн. конф. МФТИ (23-28 ноября 2015 г., М. -Долгопрудный - Жуковский). - 2015. - С. 13 - 15.

Фаворская, А.В., Мареичев, П.А. (2015, 15) Разработка параллельных алгоритмов для вычисления интегралов Релея и Кирхгофа в случае линейно-упругих сред // Управление

и прикладная математика. Труды 58-й научн. конф. МФТИ (23-28 ноября 2015 г., М. -Долгопрудный - Жуковский). - 2015. - С. 16 - 19.

Фаворская, А.В., Петров, Д.И., Хохлов, Н.И., Голубев, В.И. (2015, 16) Трёхмерное численное моделирование воздействия ледовых структур на сейсмический отклик при геологической разведке в условиях арктического шельфа // Управление и прикладная математика. Труды 58-й научн. конф. МФТИ (23-28 ноября 2015 г., М. - Долгопрудный - Жуковский). - 2015. - С. 20 - 23.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б. (2016, 1) О волновых откликах от нефтесодержащих резервуаров в шельфовой зоне Арктики // Доклады Академии наук. - 2016. - Т. 466, № 6. -С. 722 - 725.

In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B. Wave responses from oil reservoirs in the Arctic shelf zone // Doklady Earth Sciences. - 2016. - V. 466, № 2. - P. 214 - 217.

Фаворская, А.В., Петров, Д.И., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. (2016, 2) Численное решение задач сейсморазведки в условиях Арктики сеточно-характеристическим методом // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2016. - Т. 56, № 6. -С. 1149 - 1163.

In English: Favorskaya, A.V., Petrov, D.I., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I. Numerical solution of seismic exploration problems in the Arctic region by applying the grid-characteristic method // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2016. - V. 56, № 6. -P.1128 - 1141.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б. (2016, 3) Исследование сеточно-характеристических методов повышенных порядков точности на неструктурированных сетках // Сибирский журнал вычислительной математики. - 2016. - Т. 19, № 2. - С. 223 - 233.

In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B. A study of high-order grid-characteristic methods on unstructured grids // Numerical Analysis and Applications. - 2016. - V. 9, № 2. - P. 171 - 178.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И. (2016, 4) Численное моделирование в интересах безопасности железнодорожных путей // Современные проблемы безопасности жизнедеятельности: интеллектуальные транспортные системы. Материалы IV международной научно-практической конференции. - 2016. - С. 413 - 429.

Фаворская, А.В., Мареичев, П.А., Жданов, М.С. (2016, 5) Использование пакетов MPI и OpenMP для вычисления интегралов Кирхгофа в случае линейно-упругих сред // Модели

и методы обработки информации: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2016. -С. 35 - 44.

Фаворская, А.В., Лийко, В.В., Хохлов, Н.И., Петров, И.Б. (2016, 6) Численное моделирование сейсмических процессов в гетерогенных многофазовых средах // Управление и прикладная математика. Труды 59-й научн. конф. МФТИ (21-26 ноября 2016 г., М. -Долгопрудный - Жуковский). - 2016. - С. 20 - 23.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б. (2017, 1) О численном моделировании пространственных динамических волновых эффектов в скальных массивах // Доклады Академии наук. -2017. - Т. 474, № 4. - С. 418 - 422.

In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B. Numerical modeling of dynamic wave effects in rock masses // Doklady Mathematics. - 2017. - V. 95, № 3. - P. 287 - 290.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. (2017, 2) Сеточно-характеристический метод на системах вложенных иерархических сеток и его применение для исследования сейсмических волн // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2017. - Т. 57, № 11. - С. 1804 - 1811.

In English: Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I. Grid-characteristic method on embedded hierarchical grids and its application in the study of seismic waves // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2017. - V. 57, № 11. - P. 1771 - 1777.

Фаворская, А.В., Голубев, В.И. (2017, 3) О применении формулы Рэлея на основе интегральных выражений Кирхгофа к задачам георазведки // Компьютерные исследования и моделирование. - 2017. - Т. 9, № 5. - С. 761 - 771.

In English: Favorskaya, A.V., Golubev, V.I. About applying Rayleigh formula based on the Kirchhoff integral equations for the seismic exploration problems // Computer Research and Modeling. - 2017. - V. 9, № 5. - P. 761 - 771. (in Russian).

Фаворская, А.В., Егиян, В.С., Мкртчян, А.А., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И., Голубев, В.И. (2017, 4) Численное моделирование процесса обнаружения карстовых полостей в железнодорожных насыпях сеточно-характеристическим методом // Радиоэлектроника. Наносистемы. Информационные технологии. - 2017. - Т. 9, № 2. - С. 215 - 220. In English: Favorskaya, A.V., Egiyan, V.S., Mkrtchyan, A.A., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I., Golubev, V.I. Numerical modeling of the process of detection of Karst cavities in railway embankments by a gridcharacteristic method // Radioelektronika, Nanosistemy, Informacionnye Tehnologii. - 2017. - V. 9, № 2. - P. 215 - 220 (in Russian)..

Фаворская, А.В., Хохлов, Н.И., Иванов, А.М. (2017, 5) Моделирование распространения динамических волновых возмущений в рельсовом полотне с использованием ускорителей GPGPU // Наука и технологии железных дорог. - 2017. - № 4. - С. 72 - 79.

Фаворская, А.В., Голубев, В.И. (2017, 6) Алгоритмы миграции Борна и Кирхгофа для упругих сред // Информационное обеспечение математических моделей: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2017. - С. 38 - 41.

Фаворская, А.В., Кабисов, С.В., Петров, И.Б. (2018, 1) Моделирование ультразвуковых волн в железнодорожных рельсах с явным выделением дефектов // Доклады Академии наук. -2018. - T. 481, №. 1. - P. 22 - 26.

In English: Favorskaya, A.V., Kabisov, S.V., Petrov, I.B. Modeling of ultrasonic waves in fractured rails with an explicit approach // Doklady Mathematics. - 2018. - V. 481, № 1. -P. 401 - 404.

Фаворская, А.В., Кабанова, А.С., Петров, И.Б. (2018, 2) Применение метода Wave Logica в сейсморазведке // Геомодель 2018 - 20-ая юбилейная научно-практическая конференция по вопросам геологоразведки и разработки месторождений нефти и газа, сентябрь 2018. [Электронный ресурс]. -

http://www.earthdoc.org/publication/publicationdetails/?publication=94132, дата обращения 2018/09/11.

In English: Favorskaya, A., Kabanova, A., Petrov, I. Applying Wave Logica Method for Geophysical Prospecting // Geomodel 2018 - 20th conference on oil and gas geological exploration and development (in Russian), 2018-September. [Электронный ресурс]. -http://www.earthdoc.org/publication/publicationdetails/?publication=94132, дата обращения 2018/09/11.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б. (2018, 3) Численное моделирование волновых процессов в скальных массивах сеточно-характеристическим методом // Математическое моделирование. - 2018. - Т. 30, № 3. - С. 37 - 51.

In English: Favorskaya A.V., Petrov I.B. Numerical modeling of wave processes in the rocks by grid-characteristic method // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2018. - V. 10, №. 5. - P. 639-647.

Фаворская, А.В., Петров, И.Б. (2018, 4) Исследование особенностей трещиноватых зон путем полноволнового численного моделирования // Математическое моделирование. - 2018. -Т. 30, № 11. - С. 105 - 126.

Фаворская, А.В., Хохлов, Н.И., Миряха, В.А. (2018, 5) Разработка математических моделей, численных методов и расчетных программ для выявления дефектов элементов системы «колесо-рельс» // Бюллетень Объединенного ученого совета ОАО «РЖД». - 2018. - № 1. - С. 49 - 63.

Фаворская, А.В. (2018, 6) Классификация кратных волн // Актуальные вопросы моделирования: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2018. - С. 4 - 7.

Фаворская, А.В., Кабанова, А.С. (2018, 7) Численное моделирование воздействия подвижного состава на инфраструктуру железнодорожного пути // Актуальные вопросы моделирования: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2018. - С. 29 - 32.

Фаворская, А.В., Кожемяченко, А.А. (2018, 8) Покрытие профиля рельса гексаэдральными сетками // Актуальные вопросы моделирования: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2018. - С. 26 - 29.

Фаворская, А.В., Бреус, А.В. (2018, 9) Численное решение задач сейсмики и сейсмостойкости сеточно-характеристическим методом // Актуальные вопросы моделирования: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2018. - С. 12 - 15.

Фаворская, А.В., Перегуд, Ю.И., Стогний, П.В. (2018, 10) Измерение толщины льда при помощи регистрации кратных волн // Актуальные вопросы моделирования: Сб. ст./ Моск. физ.-тех. ин-т. - М.: МФТИ, 2018. - С. 7 - 9.

Фомин, В.М., Гулидов, А.И., Сапожников, Г.А. и др. (1999) Высокоскоростное взаимодействие тел. - Новосибирск: Изд. СО РАН, 1999. - 600 с.

Хермандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. В четырёх томах. т. 1: Теория распределений и анализ Фурье: Перев. с англ. - М.: Мир, 1986. - 462 с.

Холодов, А.С. (1978) О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа // Журн. выч. матем. и матем. физ. - 1978. - Т. 18. - № 6. - С. 1476 - 1492.

Холодов, А.С. (1980) О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1980. - Т. 20, № 6. - С. 1601 - 1620.

Холодов, А.С., Холодов, Я.А. (2006) О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 9. - С. 1638 - 1667.

Холодов, А.С. (2008) Численные методы решения уравнений и систем гиперболического типа // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. - 2008. - C.141 - 174.

Челноков, Ф.Б. (2005) Численное моделирование деформационных динамических процессов в средах со сложной структурой: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. - М, 2005. - 251 с.

Шокин, Ю.И., Яненко, Н.Н. (1985) Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. - Новосибирск: Наука, 1985. - 368 с.

Aki, K., Richards, P.G. (2002) Quantitative seismology, theory and methods. Second edition. -Sausalito, California: University Science Books, 2002.

Alonso, A., Gimenez, J.G. (2008) Wheel-rail contact: roughness, heat generation and conforming contact influence // Tribology International. - 2008. - V. 41, № 8. - P. 755 - 768.

Anastasopoulos, I., Gazetas, G., Loli, M., Apostolou, M., Gerolymos, N. (2010) Soil failure can be used for seismic protection of structures // Bulletin of Earthquake Engineering. - 2010. - V. 8, № 2. - P. 309 - 326.

Backus, G.E. (1962) Long-wave elastic anisotropy produced by horizontal layering // Journal of Geophysical Research. - 1962. - V. 67. - P. 4427 - 4440.

Baeza, L., Roda, A., Carballeira, J., Giner E. (2006) Railway train-track dynamics for wheelflats with improved contact models // Non-linear Dynamics. - 2006. - V. 45, № 3. - P. 385 - 397.

Baggeroer, A.B., Duckworth, G.L. (1983) Seismic Exploration in the Arctic Ocean. // Seismic Exploration in the Arctic Ocean. - 1983. - V. 2, № 10. - P. 22-27.

Balsara, D.S., Shu, C.W. (2000) Monotonicity preserving weighted essentially non-oscillatory schemes with increasingly high order of accuracy // Journal of Computational Physics. - 2000. - V. 160. - P. 405 - 452.

Bartoli, I., Marzani, A., Lanza di Scalea, F., Viola, E. (2006) Modeling wave propagation in damped waveguides of arbitrary cross-section // NDT&E International. - 2006. - V. 295, № 3(5) - P. 685 - 707.

Bekker, A.T., Sabobash, O.A., Seliverstov, V.I., Koff, G.I., Pipko, E.N. (2009) Estimation of Lomit loads on engeneering offshore structures // Proceeding of the Nineteenth International Offshore and Polar Engeneering Conference. - 2009. - P. 574 - 579.

Berkhout, A.J. (1980) Seismic migration-imaging of acoustic energy by wave field extrapolation. -Oxford, New York: Elsevier, Amsterdam, 1980.

Berkhout, A.J. (1984) Seismic migration-imaging of acoustic energy by wave field extrapolation B: Practical Aspects. - Oxford, New York: Elsevier, Amsterdam, Oxford, 1984.

Bermudez, A., Hervella-Nieto, L., Rodriguez, R. (1999) Finite element computation of three-dimensional elastoacoustic vibrations // Journal of Sound and Vibration. - 1999. - V. 219, № 2. - P. 279 - 306.

Bhasin, J., Golubev, V., Khare, R., Petrov, I. (2015) Seismic Responses from Heterogeneous Geological Media with Horizontal and Vertical Fractures // BITC0N-2015: Innovations For National Development National Conference on INNOVATIONS IN CIVIL ENGINEERING. -2015. - P. 649 - 654.

Biot, M.A. (1941) A mechanical analysis for the Prediction on Earthquake Stresses // Bull. of Soc. Seism. of Ame. - 1941. - V. 31, № 2.

Biryukov, V.A., Miryakha, V.A., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I. (2016) Simulation of elastic wave propagation in geological media: Intercomparison of three numerical methods // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2016. - V. 56, № 6. - P. 1086 - 1095.

Bogdevicius, M., Zygiene, R., Bureika, G., Dailydka, S. (2016) An analytical mathematical method for calculation of the dynamic wheel-rail impact force caused by wheel flat // Vehicle System Dynamics. - 2016. - V. 54, № 5. - P. 689 - 705.

Bording, R.P., Lines, L.R. (1997) Seismic Modeling and Imaging with the Complete Wave Equation. // SEG. - 1997.

Brougois, A., Bourget, M., Lailly, P., Poulet, M., Ricarte, P., Versteeg, R. (1990) Marmousi, model and data // In EAEG workshop-practical aspects of seismic data inversion - 1990.

Buckle, I.G., Mayes, R.L. (1990) Seismic isolation: history, application, and performance - a world view. Earthquake spectra. - 1990. - V. 6, № 2. - P. 161 - 201.

Cance, P., Capdeville, Y. (2015) Validity of the acoustic approximation for elastic waves in heterogeneous media // Geophysics. - 2015. - V. 80, № 4. - P. T161 - T173.

Cannon, D.F., Edel, K.-O., Grassie, S.L., Sawley, K. (2003) Rail defects: an overview // Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures. - 2003. - V. 26, № 10. - P. 865 - 886.

Capdeville, Y., Chaljub, E., Montagner, J.P. (2003) Coupling the spectral element method with a modal solution for elastic wave propagation in global earth models // Geophysical Journal International. - 2003. - V. 152, № 1. - P. 34 - 67.

Carcione, J.M. (1994) The wave equation in generalised coordinates // Geophysics. - 1994. - V. 59. -P.1911 - 1919.

Carcione, J.M., Herman, G.C., Kroode, A P E. (2002) Seismic modeling // Geophysics. - 2002. - V. 67, № 4. - P. 1304 - 1325.

Chapman, C. (2004) Fundamentals of Seismic Wave Propagation. - Cambridge University Press, 2004.

Claerbout, J.F. (1985) Imaging the Earth's interior. - Oxford, London, Edinburgh: Blackwell Scientific Publications, 1985.

Clorennec, D., Royer, D., Walaszek, H. (2002) Nondestructive evaluation of cylindrical parts using laser ultrasonics // Ultrasonics. - 2002. - V. 40, № (1-8). - P. 783 - 789.

Coates, R.T., Schoenberg M. (1995) Finite-difference modeling of faults and Fractures // Geophysics. - 1995. - V. 60. - P. 1514 - 1526.

Construction of seismically-resistant private houses [Электронный ресурс]. - http://labirint-

stroy.ru/articles/stroitelstvo_seysmoustoychivykh_chastnykh_domov/, дата обращения 2018/04/21.

Cui, X., Lines, L.R., Krebes, E.S. (2013) Numerical modeling for different types of fractures // GeoConvention 2013: integration. - 2013.

Cui, X., Lines, L.R., Krebes, E.S. (2018) Seismic modelling for geological fractures // Geophysical Prospecting. - 2018. - V. 66. - P. 157 - 168.

Davison, C. (1927) The Founders of seismology. - Cambridge at the university press, 1927. - p. 245.

De Basabe, J., Mrinal, S., Wheeler, M. (2008) The interior penalty discontinuous Galerkin method for elastic wave propagation: grid dispersion // Geophysical Journal International. - 2008. - V. 175, № 1. - P. 83 - 93.

De la Puente, J., Kaser, M., Dumbser, M., Igel, H. (2007) An arbitrary high-order discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes IV: Anisotropy // Geophysical Journal International. - 2007. - V. 169. - P. 1210 - 1228.

Deuschle, H.M., Puck, A. (2013) Application of the Puck failure theory for fibre-reinforced composites under three-dimensional stress: Comparison with experimental results // Journal of Composite Materials. - 2013. - V. 47, № (6 - 7). - P. 827 - 846.

Di Bartolo, L., Dors, C., Mansur, W.J. (2012) A new family of finite-difference schemes to solve the heterogeneous acoustic wave equation // Geophysics. - 2012. - V. 77, № 5. - P. T187 - T199.

Di Bartolo L., Vieira A.P.G., Dors C., Mansur, W.J. (2015) Memory optimized acoustic-elastic FD coupling for offshore seismic simulations // 2015 SEG Annual Meeting. - Society of Exploration Geophysicists. - 2015.

Dirks, B., Enblom, R., Ekberg, A., Berg, M. (2015) The development of a crack propagation model for railway wheels and rails // Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures. - 2015. V. 38, № 12. - P. 1478 - 1491.

Dong, R.G., Sankar, S., Dukkipati, R.V. (1994) A finite element model of railway track and its application to the wheel flat problem Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part F // Journal of Rail and Rapid Transit. - 1994. - V. 208, № 16. - P. 61 - 72.

Drossaert, F.H., Giannopoulos, A. (2007) A nonsplit complex frequency-shifted PML based on recursive integration for FDTD modeling of elastic waves // Geophysics. - 2007. - V. 72, № 2. - P. T9 - T17.

Du, Q., Hou, B. (2008) Elastic Kirchhoff migration of vectorial wave-fields // Applied Geophysics. -2008. - V. 5, № 4. - P. 284 - 293.

Dumbser M., Kaser, M. (2006) An arbitrary high-order discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes - II. The three-dimensional isotropic case // Geophysical Journal International. - 2006. - V. 167, № 6. - P. 319 - 336.

Dumbser, M., Kaser, M., Titarev, V.A., Toro, E.F. (2007) Quadrature-free non-oscillatory finite volume schemes on unstructured meshes for nonlinear hyperbolic system // Journal of Computational Physics. - 2007. - № 226. - P. 204 - 243.

Duzhirin, A. (2003) Decoupled elastic prestack depth migration // Journal of Applied Geophysics. -2003. - V. 54. - P. 369 - 389.

Dyke, S.J., Spencer, Jr B.F., Sain, M.K., Carlson, J.D. (1998) An experimental study of MR dampers for seismic protection // Smart materials and structures. - 1998. - V. 7, № 5. - P. 693 - 704.

Dzhinchvelashvili, G., Dzerzhinsky, R., Denisenkova, N. (2018) Quantitative assessment of seismic risk and energy concepts of earthquake engineering // Computer Research and Modeling. -2018. - V. 10, № 1. - P. 61 - 76.

Eem, S.H., Jung, H.J., Koo, J.H. (2011) Application of MR elastomers for improving seismic protection of base-isolated structures // IEEE Transactions on Magnetics. - 2011. - V. 47, № 10. - P. 2901 - 2904.

Etgen, J.T., O'Brien M.J. (2007) Computational methods for large-scale 3D acoustic finite-difference modeling: A tutorial // Geophysics. - 2007. - V. 72, № 5. - P. SM223 - SM230.

Faccioli, E., Maggio, F., Paolucci, R, Quarteroni, A. (1997) 2D and 3D elastic wave propagation by a pseudo-spectral domain decomposition method // Journal of Seismology. - 1997. - V. 1, № 3. - P. 237 - 251.

Favorskaya, A., Petrov, I., Sannikov, A. (2011) Modeling of wave responses using tetrahedral meshes // Book of Abstracts, Russian-Indian Workshop on «Advanced Computational Modeling and Simulations». - 2011. - P. 11.

Favorskaya, A.V., Petrov, I.B., Golubev, V.I., Khokhlov, N.I., Vasyukov, A.V. (2013) Numerical modeling of seismology and aircraft industry problems // Conference Journal «G20 Youth Forum 2013». - 2013. - № 1. - P. 498 - 501.

Favorskaya, A.V., Golubev, V.I., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I., Babichev, D. (2014) Numerical simulation of complex seismic problems in heterogeneous media using high-performance computing systems // Proceedings of the 6th International Conference "Distributed Computing and Grid-technologies in Science and Education.". - 2014. - P. 28.

Favorskaya, A., Petrov, I., Khokhlov, N. (2016, 1) Numerical modeling of wave processes during shelf seismic exploration // Procedia Computer Science. - V. 96. - P. 920 - 929.

Favorskaya, A., Petrov, I., Vasyukov, A., Beklemysheva, K., Ermakov, A. (2016, 2) Numerical modeling of non-destructive testing of composites // Procedia Computer Science. - V. 96. - P. 930 - 938.

Favorskaya, A.V., Kotelnikov, S.A., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I., Miryakha, V.A. (2016, 3) Numerical simulation of non-destructive ultrasonic railway control // Civil-Comp Proceedings. - 2016. -V. 110.

Favorskaya, A., Petrov, I., Golubev, V., Khokhlov, N. (2017, 1) Numerical simulation of earthquakes impact on facilities by grid-characteristic method // Procedia Computer Science. - 2017. - V. 112. - P. 1206 - 1215.

Favorskaya, A., Petrov, I., Grinevskiy, A. (2017, 2) Numerical simulation of fracturing in geological medium // Procedia Computer Science. - 2017. - V. 112. - P. 1216 - 1224.

Favorskaya, A., Stognii, P., Petrov, D., Khokhlov, N. (2017, 3) Numerical modeling of influence of ice formations under seismic impacts based on grid-characteristic method // Procedia Computer Science. - 2017. - V. 112. - P. 1497 - 1505.

Favorskaya, A., Beklemysheva, K., Vasyukov, A., Ermakov, A. (2017, 4) Numerical modeling of ultrasound beam forming in elastic medium // Procedia Computer Science. - V. 112. - P. 1488 - 1496.

Favorskaya, A.V., Golubev, V.I., Voynov, O.Ya. (2017, 5) Elastic migration based on the Born approximation // Proceedings of International Conference on Computer Simulation in Physics and beyond. - 2017.

Favorskaya, A.V., Zhdanov, M.S., Khokhlov, N.I., Petrov, IB. (2018, 1) Modeling the wave phenomena in acoustic and elastic media with sharp variations of physical properties using the grid-characteristic method // Geophysical Prospecting. - 2018. - V. 66, I. 8. - P. 1485 - 1502.

Favorskaya, A.V. (2018, 2) Interpolation on unstructured triangular grids // Innovations in Wave Modelling and Decision Making, SIST Series, Volume 90. - 2018. - Chapter 2. - P. 7 - 44.

Favorskaya, A.V. (2018, 3) Interpolation on unstructured tetrahedral grids // Innovations in Wave Modelling and Decision Making, SIST Series, Volume 90. - 2018. - Chapter 3. - P. 45 - 73.

Favorskaya, A.V. (2018, 4) Piecewise linear interpolation on unstructured tetrahedral grids // Innovations in Wave Modelling and Decision Making, SIST Series, Volume 90. - 2018. -Chapter 4. - P. 75 - 115.

Favorskaya, A.V., Petrov, I.B. (2018, 5) Theory and practice of wave processes modelling // Innovations in Wave Modelling and Decision Making, SIST Series, Volume 90. - 2018. -Chapter 1. - P. 1 - 6.

Favorskaya, A.V., Petrov, I.B. (2018, 6) Grid-characteristic method // Innovations in Wave Modelling and Decision Making, SIST Series, Volume 90. - 2018. - Chapter 5. - P. 117 - 160.

Favorskaya, A.V., Khokhlov N.I., Golubev V.I., Ekimenko A.V., Pavlovskiy Yu.V., Khromova I.Yu., Petrov I.B. (2018, 7) Wave processes modelling in geophysics // Innovations in Wave Modelling and Decision Making, SIST Series, Volume 90. - 2018. - Chapter 7. - P. 187 - 218.

Favorskaya, A.V., Zhdanov M.S. (2018, 8) Migration of elastic fields based on Kirchhoff and Rayleigh integrals // Innovations in Wave Modelling and Decision Making, SIST Series, Volume 90. - 2018. - Chapter 9. - P. 241 - 265.

Favorskaya, A.V., Petrov, I.B. (2018, 9) Study of seismic isolation by full-wave numerical modeling // Doklady Earth Sciences. - 2018. - V. 481, № 5. - P. 1070 - 1072.

Favorskaya, A. (2018, 10) The use of multiple waves to obtain information on an underlying geological structure // Procedia Computer Science. - 2018. - V. 126 - P. 1110 - 1119.

Favorskaya, A., Khokhlov, N. (2018, 11) Modeling the impact of wheelsets with flat spots on a railway track // Procedia Computer Science. - 2018 - V. 126 - P. 1100 - 1109.

Favorskaya, A., Golubev, V., Khokhlov, N. (2018, 12) Two approaches to the calculation of air subdomains: theoretical estimation and practical results // Procedia Computer Science. - 2018

- V. 126 - P. 1082 - 1090.

Favorskaya, A., Golubev, V., Khokhlov, N., Grigorievyh, D. (2018, 13) Numerical simulation of destruction processes by the grid-characteristic method // Procedia Computer Science. - 2018.

- V. 126 - P. 1281 - 1288.

Favorskaya, A., Golubev, V., Grigorievyh, D. (2018, 14) Explanation the difference in destructed areas simulated using various failure criteria by the wave dynamics analysis // Procedia Computer Science. - 2018. - V. 126 - P. 1091 - 1099.

Festa, G., Nielsen, S. (2003) PML absorbing boundaries // Bulletin of the Seismological Society of America. - 2003. - V. 93, № 2. - P. 891 - 903.

Foster, D., Mosher, C. (1992) Suppression of multiple reflections using the Radon transform // Geophysics. - 1992. - V. 57, № 3. - P. 386 - 395.

Frost, D., Garnero, E., Rost, S. (2018) Dynamical links between small-and large-scale mantle heterogeneity: Seismological evidence // Earth and Planetary Science Letters. - 2018. - V. 482.

- P. 135 - 146.

Glassner, A.S. (ed.). (1989) An introduction to ray tracing. - Elsevier, 1989.

Golubev, V.I., Kvasov, I.E., Petrov, I.B. (2012) Influence of natural disasters on ground facilities // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2012. - V. 4, № 2. - P. 129 - 134.

Golubev, V., Petrov, I., Khokhlov, N. (2013) Numerical simulation of seismic activity by the grid-characteristic method // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2013. - V. 53, № 10. - P. 1523 - 1533.

Golubev, V., Petrov, I., Khokhlov, N., Shul'ts, K. (2015) Numerical computation of wave propagation in fractured media by applying the grid-characteristic method on hexahedral meshes // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2015. - V. 55, № 3. - P. 509 - 518.

Golubev, V.I., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I., Shul'ts, K.I. (2015) Numerical computation of wave propagation in fractured media by applying the grid-characteristic method on hexahedral meshes // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2015. - V. 55, № 3. - P. 509 - 518.

Goodway, W., Enachescu, M. (2013) Introduction to this special section: Arctic/ATC // The Leading Edge. - 2013. - V. 32, № 5. - P. 522 - 523.

Graves, R.W. (1996) Simulating seismic wave propagation in 3D elastic media using staggered-grid finite differences // Bulletin of the Seismological Society of America. - 1996. - V. 86, № 4. -P.1091 - 1106.

Groos, L., Schafer, M., Forbriger, T., Bohlen, T. (2017) Application of a complete workflow for 2D elastic full-waveform inversion to recorded shallow-seismic Rayleigh waves // Geophysics. -2017. - V. 82, № 2. - P. R109 - R117.

Hamdan, N., Laghrouche, O., Woodward, P.K., El-Kacimi, A. (2015) Combined paraxial-consistent boundary conditions finite element model for simulating wave propagation in elastic half-space media // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. - 2015. - V. 70. - P. 80 - 92.

Hanyga, A., Helle, H.B. (1995) Synthetic seismograms from generalized ray tracing // Geophysical Prospecting. - 1995. - V. 43, № 1. - P. 51 - 75.

Hestholm, S. (2009) Acoustic VTI modeling using high-order finite differences // Geophysics. - 2009. - V. 74, № 5. - P. T67 - T73.

Hobro, J.W.D., Chapman, C.H., Robertsson, J.O.A. (2014) A method for correcting acoustic finite-difference amplitudes for elastic effects // Geophysics. - 2014. - V. 79, № 4. - P. T243 - T255.

Hsu, C.-J., Schoenberg, M. (1993) Elastic waves through a simulated fractured medium // Geophysics.

- 1993. - V. 58, № 7 - P. 964 - 977.

Huang, Y.B., Shi, L.B., Zhao, X.J., Cai, Z.B., Liu, Q.Y., Wang, W.J. (2018) On the formation and damage mechanism of rolling contact fatigue surface cracks of wheel/rail under the dry condition // Wear. - 2018. - V. 400 - 401, P. 62 - 73.

Iemura, H., Taghikhany, T., Jain, S.K. (2007) Optimum design of resilient sliding isolation system for seismic protection of equipments // Bulletin of Earthquake Engineering. - 2007. - V. 5, № 1. -85 - 103.

Igel, H. (1999) Wave propagation in three-dimensional spherical sections by Chebyshev spectral method // Geophys. J. Int. - 1999. - V. 136. - P. 559 - 566.

Jacob, K. (1970) Three-dimensional seismic ray tracing in a laterally heterogeneous spherical Earth // Journal of Geophysical Research. - 1970. - V. 75, № 32. - P. 6675 - 6689.

Ji, H., Luo, J., Qiu, J., Cheng, L. (2018) Investigations on flexural wave propagation and attenuation in a modified one-dimensional acoustic black hole using a laser excitation technique // Mechanical Systems and Signal Processing. - 2018. - V. 104. - P. 19-35.

Jianfeng, Z. (1997) Quadrangle-grid velocity-stress finite-difference method for elastic-wave-propagation simulation // Geophys. J. Int. - 1997. - V. 131, № 1. - P. 127 - 134.

Jiang, F., Jin, S. (2013) Hybrid Acoustic-elastic modeling method using adaptive grid finite difference scheme in marine environment // 75th EAGE Conference & Exhibition incorporating SPE EUROPEC. - 2013.

Johnson, K.L. (1987) Contact Mechanics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1987.

Julian, B.R., Gubbins, D. (1977) Three-dimensional seismic ray-traing // J. Geophys. - 1997. - V. 43.

- P. 95 - 113.

Kaddour, A.-S., Hinton, M.J. (2013) Maturity of 3D failure criteria for fibre-reinforced composites: Comparison between theories and experiments: Part B of WWFE-II // Journal of Composite Materials. - 2013. - V. 47, № 6 - 7. - P. 925 - 966.

Kaiser, I. (2012) Refining the modelling of vehicle-track interaction // Vehicle System Dynamics. -2012. - V. 50, Suppl. 1. - P. S229 - S243.

Kalker, J.J. (1990) Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact. - Kluwer Academic Publishers, 1990.

Kaser, M., Dumbser, M. (2006, 1) An arbitrary high-order discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes. I. The two-dimensional isotropic case with external source terms // Geophys. J. Int. - 2006. - V. 166, № 2. - P. 855 - 877.

Kaser, M., Dumbser M. (2006, 2) An arbitrary high-order discontinuous Galerkin method for elastic waves on unstructured meshes - II. The three-dimensional isotropic case // Geophys. J. Int. -2006. - V. 167, № 1. - P. 319 - 336.

Kaser, M., Igel, H. (2001) Numerical simulation of 2D wave propagation on unstructured grids using explicit differential operators // Geophysical Prospecting. - 2001. - V. 49, № 5. - P. 607 V 619.

Kazer, M., Dumbser, M. (2008) A highly accurate method for complex interfaces between solids and moving fluids // Geophysics. - 2008. - V. 73, № 3. - P. 723 - 725.

Keho, T.H., Wu, R.S. (1987) Elastic Kirchhoff migration for vertical seismic profiles // 57th Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts. - 1987. - P. 774 - 776.

Kelly, K.R., Ward, R.W., Treitel, S., Alford, R.M. (1976) Synthetic seismograms finite-difference approach // Geophysics. - 1976. - V. 41, I. 1. - P. 2 - 27.

Kennett, B. (2009) Seismic wave propagation in stratified media. - ANU E Press, 2009.

Kholodov, A.S. (1978) Construction of difference schemes with positive approximation for hyperbolic equations // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1978. - V. 18, № 6. - P. 116 - 132.

Kholodov, A.S. (1980) The construction of difference schemes of increased order of accuracy for equations of hyperbolic type // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. -1980. - V. 20, № 6. - P. 234 - 253.

Komatitsch, D., Vilotte, J.P., Vai, R., Castillo-Covarrubias, J.M., Sanchez-Sesma, F.J. (1999) The spectral element method for elastic wave equations-application to 2-D and 3-D seismic problems // International Journal for numerical methods in engineering. - 1999. - V. 45, № 9. -P. 1139 - 1164.

Komatitsch, D., Vilotte, J.P. (1998) The spectral-element method: an efficient tool to simulate the seismic response of 2D and 3D geological structures // Bull. Seism. Soc. Am. - 1998. - V. 88.

- P. 368 - 392.

Komatitsch, D., Tromp, J. (1999) Introduction to the spectral element method for three-dimensional seismic wave propagation // Geophysical Journal International. - 1999. - V. 139, № 3. - P. 806

- 822.

Komatitsch, D., Jean-Pierre, V., Rossana, V., Castillo-Covarrubias, J.M., Sanchez-Sesma, F.J. (1999) The spectral element method for elastic wave equations-application to 2-D and 3-D seismic problems // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1999. - V. 45, № 9.

- P.1139 - 1164.

Kondaurov, V.I., Petrov, I.B., Kholodov, A.S. (1984) Numerical modeling of the process of penetration of a rigid body of revolution into an elastoplastic barrier // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. - 1984. - V. 25, № 4. - P. 625 - 632.

Kouroussis, G., Alexandrou, G., Connolly, D. P., Vogiatzis, K., Verlinden, O. (2015) Railway-induced ground vibrations in the presence of local track irregularities and wheel flats // In Proceedings of the 5th International Conference on Computational Methods in Structural Dynamics and Earthquake Engineering. National Technical University of Athens. - 2015. - P. 26 - 37.

Krauklis, P., Krauklis, V. (1991) One type of waves in media with loosely bonded interface // Journal of Mathematical Sciences. - 1991. - V. 55, № 3. - P. 1725 - 1732.

Kruger, L., Oliver, S., Saenger, E.H., Oates, S.J., Shapiro, S.A. (2007) A numerical study on reflection coefficients of fractured media // Geophysics. - 2007. - V. 72, I. 4. - P. D61 - D67.

Kuo, J.T., Dai, T. (1984) Kirchhoff elastic wave migration for the case of noncoincident source and receiver // Geophysics. - 1984. - V. 49, № 8. - P. 1223 - 1238.

Landau, L.D., Lifshitz, E.M. (1959) Fluid Mechanics. Volume 6 of a Course of Theoretical Physics. -Pergamon Press, 1959.

Lee, D.T., Schachter, B.J. (1980) Two algorithms for constructing a Delaunay triangulation // International Journal of Computer & Information Sciences. - 1980. - V. 9, № 3.

- P.219 - 242.

Lee, S.G., Lun, S.H., Kong, G.Y. (2008) Modeling and simulation system for marine accident cause investigation // Collision and Graunding of Ships and Offsore Structure. - 2008. - P. 39 - 47.

Levander, A. (1988) Fourth-order finite-difference P-SV seismograms // Geophysics. - 1988. - V. 53, № 11. - P. 1425 - 1436.

Leveque, R.J. (2004) Finite volume methods for hyperbolic problems. - United Kingdom: Cambridge University Press, 2004. - 558 p.

Libersky, L.D., Petschek, A.G. (1991) Smoothed particles hydrodynamics with strength of materials // Proceedings of The Next Free Language Conference. - 1991. - P. 248 - 257.

Lines, L.R., Slawinski, R., Bording, R.P. (1999) Short note — A recipe for stability of finite-difference wave-equation computations // Geophysics. - 1999. - V. 64, I. 3 - P. 967-969.

Liu, Q.H., Sinha, B.K. (2003) A 3D cylindrical PML/FDTD method for elastic waves in fluid-filled pressurized boreholes in triaxially stressed formations // Geophysics. - 2003. - V. 68, № 5. - P. 1731 - 1743.

Liu, G.R., Liu, M.B. (2003) Smoothed particles hydrodynamics. - Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2003.

Loktev, A.A., Sycheva, A.V., Vershinin, V.V. (2003) Modeling of Work of a Railway Track at the Dynamic Effects of a Wheel Pair // Proceeding of the 2014 International Conference on Theoretical Mechanics and Applied Mechanics, Venice, Italy, March 15 - 17. - 2014. -P. 16 - 19.

Loktev, A.A., Sychev, V.P., Buchkin, V.A., Bykov, Y.A., Andreichicov, A.V., Stepanov, R.N. (2017) Determination of the pressure between the wheel of the moving railcar and rails subject to the defects // Proceedings of the 2017 International Conference "Quality Management, Transport and Information Security, Information Technologies", IT and QM and IS. - 2017. - № 8085934. - P. 748 - 751.

Madariaga, R. (1976) Dynamics of an expanding circular fault // Bull. Seism. Soc. Am. - 1976. - V. 65. - P. 163 - 182.

Madden, G.J., Wongprasert, N., Symans, M.D. (2003) Analytical and numerical study of a smart sliding base isolation system for seismic protection of buildings // Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering. - 2003. - V. 18, № 1. - P. 19 - 30.

Magomedov, K.M., Kholodov, A.S. (1969) The construction of difference schemes for hyperbolic equations based on characteristic relations // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1969. - V. 9, № 2. - P. 158 - 176.

Magomedov, K., Kholodov. (1988) Grid characteristic methods. - Moscow: Nauka, 1988.

Martinez-Casas, L. Mazzola, L. Baeza, S. Bruni (2013) Numerical estimation of stresses in railway axles using a train-track interaction model // International Journal of Fatigue. - 2013. - V. 47.

- P.18 - 30

Matuszyk, P.J., Demkowicz, L.F. (2014) Solution of coupled poroelastic/acoustic/elastic wave propagation problems using automatic hp-adaptivity // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2014. - V. 281. - P. 54 - 80.

McMechan, G.A., Mooney, W.D. (1980) Asymptotic ray theory and synthetic seismograms for laterally varying structures: theory and application to the Imperial Valley, California // Bulletin of the Seismological Society of America. - 1980. - V. 70, № 6. - P. 2021 - 2035.

Moczo, P., Kristek, J., Vavrycuk, V., Archuleta, R.J., Halada, L. (2002) 3D heterogeneous staggered-grid finite-difference modeling of seismic motion with volume harmonic and arithmetic averaging of elastic moduli and densities // Bull. Seism. Soc. Am. - 2003. - V. 92. - P. 3042 -3066.

Moczo, P., Robertsson, J.O, Eisner, L. (2007) The finite-difference time-domain method for modeling of seismic wave propagation // Advances in Geophysics. - 2007. - V. 48. - P. 421 - 516.

Monaghan, J.J. (1988) An introduction to SPH // Computer Physics Communications. - 1988. - V. 48.

- P. 89 - 96.

Monaghan, J.J. (2000) SPH without a tensile instability // Journal of Computational Physics. - 2000. -P. 290 - 311.

Mora, P. (1989) Modeling anisotropic seismic waves in 3-D // 59th Ann. Int. Mtg. Exploration Geophysicist, Expanded Articles. - 1989. - P. 1039 - 1043.

Nejad, R. M. (2014) Using three-dimensional finite element analysis for simulation of residual stresses in railway wheels // Engineering Failure Analysis. - 2014. - V. 45. - P. 449 - 455.

Newton, S.G., Clark, R.A. (1979) An investigation into the dynamic effects on the track of wheel flats on railway vehicles Journal of Mechanical Engineering Science. - 1979. - V. 21, № 4. -P. 287 - 297.

Nielsen, J.C.O., Igeland, A. (1995) Vertical dynamic interaction between train and track influence of wheel and track imperfections // Journal of Sound and Vibration. - 1995. - V. 187, № 5. -P. 825 - 839.

Nielsen, J.C.O., Johansson, A. (2000) Out-of-round railway wheels - a literature survey // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part F: Journal of Rail and Rapid Transit. - 2000. -V. 214, № 2. - P. 79 - 91.

Nikolic, Z., Zivaljic, N., Smoljanovic, H., Balic, I. (2017) Numerical modelling of reinforced concrete structures under seismic loading based on the finite element method with discrete inter element cracks // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. - 2017. - V. 46, № 1. - P. 159 - 178.

Ohno, T., Nishioka, T. (1984) An experimental study on energy absorption capacity of columns in reinforced concrete structures // Doboku Gakkai Ronbunshu. - 1984. - № 350. - P. 23 - 33.

Pao, Y.H., Varatharajulu, V. (1976) Huygens' principle, radiation conditions and integral formulas for the scattering of elastic waves // J. Acoust. Soc. Am. - 1976. - V. 59. - P. 1361 - 1371 .

Park, Y.-J., Alfredo, H.-S. Ang. (1985) Mechanistic seismic damage model for reinforced concrete // Journal of Structural Engineering. - 1985. - V. 111, № 4. - P. 722 - 739.

Pereyra, V., William H.K.L., Keller, H.B. (1980) Solving two-point seismic-ray tracing problems in a heterogeneous medium: Part 1. A general adaptive finite difference method // Bulletin of the Seismological Society of America. - 1980. - V. 70, № 1. - P. 79 - 99.

Peter, D., Komatitsch, D., Luo,Y., Martin, R., Le Goff, N., Casarotti, E., Le Loher, P., Magnoni, F., Liu, Q., Blitz, C., Nissen-Meyer, T., Basini, P., Tromp J. (2011) Forward and adjoint simulations of seismic wave propagation on fully unstructured hexahedral meshes // Geophys. J. Int. - 2011. - V. 186, № 2. - P. 721 - 739.

Petrov, I.B., Kholodov, A.S. (1984) Numerical study of some dynamic problems of the mechanics of a deformable rigid body by the mesh-characteristic method // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1984. - V. 24, № 3. - P. 61 - 73.

Petrov, I.B., Kholodov, A.S. (1984) Regularization of discontinuous numerical solutions of equations of hyperbolic type // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 1984. -V. 24, № 4. - P. 128 - 138.

Pieringer, A., Kropp, W., Nielsen, J.C. (2014) The influence of contact modelling on simulated wheel/rail interaction due to wheel flats // Wear. - 2014. - V. 314, № (1-2). - 273 - 281.

Popovici, A.M., Sturzu I., Moser, T.J. (2015) High resolution diffraction imaging of small scale fractures in shale and carbonate reservoirs // 14th international congress of the Brazilian Geophysical Society. - 2015. - P. 782 - 787.

Priolo, E., Carcione, J.M., Seriani, G. (1994) Numerical simulation of interface waves by high-order spectral modeling techniques // J. acoust. Soc. Am. - 1994. - V. 95. - P. 681 - 693.

Pyrak-Nolte, L.J., Myer, L.R., Cook, N.G.W. (1990) Anisotropy in seismic velocities and amplitudes from multiple parallel fractures // Journal of Geophysical Research. - 1990. - V. 95. -P.11345 - 11358.

Quarteroni, A., Tagliani, A., Zampieri, E. (1998) Generalized Galerkin approximations of elastic waves with absorbing boundary conditions // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - V. 163, № (1-4). - P. 323 - 341.

Randles, P.W., Libersky, L.D., Carney, T.C., Sandstrom, F.W. (1996) SPH simulation of fragmentation in the MK82 bomb // AIP Conference Proceedings. - 1996. - V. 370. - P. 331 - 334.

Ravasi, M., Vasconcelos, I., Curtis, A., Giovanni, M. (2015) Elastic extended images and velocity-sensitive objective functions using multiple reflections and transmissions // Geophysical Journal International. - V. 202, № 2. - P. 943 - 960.

Reinoso, J., Catalanotti, G., Blazquez, A., Areias P., Camanho, P., Paris, F. (2017) A consistent anisotropic damage model for laminated fiber-reinforced composites using the 3D-version of the Puck failure criterion // International Journal of Solids and Structures. - 2017. - V. 126. -P. 37 - 53.

Remington P., Webb, J. (1996) Estimation of wheel/rail interaction forces in the contact area due to roughness // Journal of Sound and Vibration. - 1996. - V. 193, № 1. - P. 83 - 102 .

Saenger, E.H., Shapiro, S.A. (2002) Effective velocities in fractured media: a numerical study using the rotated staggered finite-difference grid // Geophysical Prospecting. - 2002. - P. 183 - 194.

Sanchez, J., Masroor, A., Mosqueda, G., Ryan, K. (2012) Static and dynamic stability of elastomeric bearings for seismic protection of structures // Journal of structural engineering. - 2012. - V. 139, № 7. - P. 1149 - 1159.

Sanyi, Y., Shangxu, W, Wenju, S., Lina, M., Zhenhua, L. (2014) Perfectly matched layer on curvilinear grid for the second-order seismic acoustic wave equation // Exploration Geophysics. 2014. - V. 45, № 2. - P. 94 - 104.

Sause, M.G.R. (2016) Failure of Fiber-Reinforced Composites // In: In Situ Monitoring of Fiber-Reinforced Composites. Springer Series in Materials Science, Springer, Cham. - 2016. -V. 242.

Schoenberg M. (1980) Elastic wave behaviour across linear slip interfaces // Journal of the Acoustical Society of America. - 1980. - V. 68. - P. 1516 - 1521.

Schoenberg, M., Muir, F. (1989) A calculus for finely layered anisotropic media // Geophysics. -1989. - V. 54. - P. 581 - 589.

Scruby, C.B., Drain, L.E. (1990) Laser ultrasonics techniques and applications. - CRC Press, 1990.

Seriani, G., Priolo, E., Carcione, J.M., Padovani, E. (1992) High-order spectral element method for elastic wave modeling // 62nd Annual International Meeting and Exposition, SEG, Extended Abstracts. - 1992. - P. 1285 - 1288.

Seriani, G. (1998) 3-D large-scale wave propagation modeling by a spectral-element method on a Cray T3E multiprocessor // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 1998. - V. 164. - P. 235 - 247.

Shi, J., Luan, X., Yang, C. (2015) "Multiple Suppression and Imaging of Marine Seismic Data from The Shallow Water Area in Southern East China Sea Shelf Basin // In AGU Fall Meeting Abstracts. - 2015.

Shu, C.W. (1997) Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws // ICASE Report. - 1997. - V. 97, № 65. - P. 1 - 79.

Sigalas, M., Garcia, N. (2000) Theoretical study of three dimensional elastic band gaps with the finite-difference time-domain method // Journal of Applied Physics. - 2000. - V. 87, № 6. -P.3122 - 3125.

Silvestrov, I., Reda, B., Evgeny, L. (2016) Poststack diffraction imaging using reverse-time migration // Geophysical Prospecting. - 2016. - V. 64. - P. 129 - 142.

Slaughter, W.S. (2002) The linearized theory of elasticity. - Birkhauser, 2002.

Slawinski, R.A., Krebes, E.S. (2002) Finite-difference modeling of SH-wave propagation in nonwelded contact media // Geophysics. - 2002. - V.67. - P. 1656 - 1663.

Slawinski, R.A., Krebes, E.S. (2002) The homogeneous finite difference formulation of the P-SV wave equation of motion // Studia Geophysica et Geodaetica. - 2002. - V. 46. - P. 731 - 751.

Solano, C.A.P., Stopin, A., Plessix, R.E. (2013) Synthetic study of elastic effects on acoustic full waveform inversion // 75th EAGE Conference & Exhibition incorporating SPE EUROPEC 2013. - 2013.

Spence, G.D., Whittall, K.P., Clowes, R.M. (1984) Practical synthetic seismograms for laterally varying media calculated by asymptotic ray theory // Bulletin of the Seismological Society of America. - 1984. - V. 74, № 4. - P. 1209 - 1223.

Steenbergen, M.J.M.M. (2007) The role of the contact geometry in wheel-rail impact due to wheel flats // Vehicle System Dynamics. - 2007. - V. 45, № 12. - P. 1097 - 1116.

Steenbergen, M.J.M.M. (2008) The role of the contact geometry in wheel-rail impact due to wheel flats: part II // Vehicle System Dynamics. - 2008. - V. 46, № 8. - P. 713 - 737.

Tessmer, E., Kosloff, D. (1994) 3-D Elastic modeling with surface topography by a Chebyshev spectral method // Geophysics. - 1994. - V. 59. - P. 464 - 473.

Tessmer, E. (1995) 3-D Seismic modeling of general material anisotropy in the presence of the free surface by Chebyshev spectral method // Geophysical Journal International. - 1995. - V. 59. -P. 464 - 473.

Thompson, D.J. (2008) Railway Noise and Vibration: Mechanisms, Modelling and Means of Control. - Oxford: Elsevier Science, 2008.

Thomsen, L. (1995) Elastic anisotropy due to aligned cracks in porous rock // Geophysical Prospecting. - 1995. - № 43. - P. 805 - 829.

Thomsen, L. (1986) Weak elastic anisotropy // Geophysics. - 1986. - V. 51, № 10. - P. 1954 - 196.

Tian, X., Wu, Q., Zhang, Z., Teng, J., Zeng, R. (2005) Joint imaging by teleseismic converted and multiple waves and its application in the INDEPTH-III passive seismic array // Geophysical Research Letters. - 2005. - V. 32, № 21.

Tishhenko, V.N., Ponomarenko, A.G., Posux, V.G., Pavlov, A.A., Zapryagaev, V.I., Gulidov, A.I., Boyarincev, E'.L., Kavun, I.N., Melexov, A.V., Golubev, M.P., Pavlov, A.A., Golobokova, L.S., Miroshnichenko, I.B., Shmakov, A.S. ( 2011) Lazerny'j istochnik zvuka, sozdavaemy'j pri obluchenii misheni shirokoaperturny'm izlucheniem [A laser source of sound created by irradiating a target with wide-aperture radiation] // XXIV session of the Russian Acoustical Society, session of the Scientific Council on Acoustics of the Russian Academy of Sciences. Ultrasound and ultrasound technology. - 2011.

Tong, P., Yang, D., Hua, B. (2011) High accuracy wave simulation revised derivation, numerical analysis and testing of a nearly analytic integration discrete method for solving acoustic wave equation // International Journal of Solids and Structures. - 2011. - V. 48. - P. 56 - 70.

Trorey, A.W. (1970) A simple theory for seismic diffractions // Geophysics. - 1970. - V. 35. -P. 762 - 784.

Trorey, A.W. (1977) Diffraction for arbitrary source/receiver locations // Geophysics. - 19970 -V. 42. - P. 1177 - l182.

Tsoutsanis, P., Titarev, V.A., Drikakis, D. (2011) WENO schemes on arbitrary mixed-element unstructured meshes in three space dimensions // Journal of Computational Physics. - 2011. -№ 230. - P. 1585 - 1601.

Van Vossen, R., Robertsson, J.O.A., Chapman, C.H. (2002) Finite-difference modeling of wave propagation in a fluid-solid configuration // Geophysics. - 2002. - V. 67, № 2. - P. 618 - 624.

Vassilevski, Y.V., Beklemysheva, K.A., Grigoriev, G.K., Kazakov, A.O., Kulberg, N.S., Petrov, I.B., Salamatova, V.Y., Vasyukov, A.V. (2016) Transcranial ultrasound of cerebral vessels in silico: Proof of concept // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. -2016. - 31, № 5. - P. 317 - 328.

Virieux, J. (1984) SH-wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method // Geophysics. - 1984. - V. 49. - P. 1933 - 1942.

Virieux, J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: velocity-stress finite-difference method // Geophysics. - 1986. - V. 51, I. 4. - P. 889- 901.

Virieux, J., Etienne, V., Cruz-Atienza, V., Brossier, R., Chaljubm, E., Coutant, O., Garambois, S., Mercerat, D., Prieux, V., Operto, S., Ribodetti, A., Tago, J. (2012) Modelling Seismic Wave Propagation for Geophysical Imaging, Seismic Waves - Research and Analysis. Dr. Masaki Kanao (Ed.), ISBN: 978-953-307-944-8. - InTech, 2012.

Vlastos, S., Liu, E., Main, I.G., Li, X.-Y. (2003) Numerical simulation of wave propagation in media with discrete distributions of fractures: effect of fracture size and spatial distributions // Geophysical Journal International. - V. 152, № 3. - P. 649 - 668.

Voynov, O.Ya., Golubev, V.I., Zhdanov, M.S., Petrov, I.B. (2018) Migration of elastic wavefield using adjoint operator and Born approximation // Innovations in Wave Modelling and Decision Making, SIST Series, Volume 90. - 2018. - Chapter 8. - P. 219 - 240.

Wang, T., Tang, X. (2003) Finite-difference modeling of elastic wave propagation: A nonsplitting perfectly matched layer approach // Geophysics. - 2003. - V. 68, № 5. - P. 1749 - 1755.

Wang, X., Liu, X. (2007) 3-D acoustic wave equation forward modeling with topography // Appl. Geophys. - 2007. - V. 4. - P. 8 - 15.

Wang, D P. (2004) Vector 3C3D VSP Kirchhoff migration // 74th Ann. Internat. Mtg., Soc. Expl. Geophys., Expanded Abstracts. - 2004. - P. 2458 - 2461.

Wiest, E. Kassa, W. Daves, J.C.O. Nielsen, H. Ossberger (2008) Assessment of methods for calculating contact pressure in wheel-rail/switch contact // Wear. - 2008. - V. 265, № (9-10). - P.1439 - 1445.

Wilcox, L.C., Stadler, G., Burstedde, C., Ghattas, O. (2010) A high-order discontinuous Galerkin method for wave propagation through coupled elastic-acoustic media // Journal of Computational Physics. - 2010. - V. 229, № 24. - P. 9373 - 9396.

Winterstein, D.F. (1990) Velocity anisotropy terminology for geothysicists // Geophysics. - 1990. - V. 55. - P. 1070 - 1088.

Wu, T.X., Thompson, D.J. (2002) A hybrid model for the noise generation due to railway wheel flats // Journal of Sound and Vibration. - 2002. - V. 251, № 1. - P. 115 - 139.

Xue, A., McMechan, G.A. (2000) Prestack elastic Kirchhoff migration for multicomponent seismic data in variable velocity media // 70th Ann. Internat. Mtg., Soc. - 2000.

Yan, W., Fischer F.D. (2000) Applicability of the Hertz contact theory to rail-wheel contact problems // Archive of Applied Mechanics. - 2000. - V. 70, № 4. - P. 255 - 268.

Yang, J., Thompson, D. J. (2014) Time-domain prediction of impact noise from wheel flats based on measured profiles // Journal of Sound and Vibration. - 2014. - V. 333, №17. - P. 3981 - 3995.

Yang, Z., Boogaard, A., Chen, R., Dollevoet, R., Li, Z. (2018) Numerical and experimental study of wheel-rail impact vibration and noise generated at an insulated rail joint // International Journal of Impact Engineering. - 2018. - V. 113. - P. 29 - 39.

Zeng, Y.Q., Liu, Q.H. (2004) A multidomain PSTD method for 3D elastic wave equations // Bull. seism. Soc. Am. - 2004. - V. 94. - P. 1002 - 1015.

Zhang, J., Gao, H. (2009) Elastic wave modelling in 3-D fractured media: an explicit approach // Geophysical Journal International. - 2009. - V.177. - P. 1233 - 1241.

Zhang, J. Elastic wave modeling in fractured media with an explicit approach // Geophysics. - 2005. -V. 70, № 5. - P. T75 - T85.

Zhang, L.Y., Liu, Y. (2008) Anisotropic converted wave amplitude-preserving prestack time migration by the pseudooffset method // Applied Geophysics. - 2008. - V. 5, № 3. - P. 204 - 211.

Zhang, W., Zhang, Z., Chen, X. (2012) Three-dimensional elastic wave numerical modelling in the presence of surface topography by a collocated-grid finite-difference method on curvilinear grids // Geophys. J. Int. - 2012. - V. 190, № 1. - P. 358 - 378.

Zhang, L.Y., Liu, Y. (2008) Anisotropic converted wave amplitude-preserving prestack time migration by the pseudooffset method // Applied Geophysics. - 2008. - V. 5, № 3. - P. 204 - 211.

Zhao X., Z. Li (2011) The solution of frictional wheel-rail rolling contact with a 3D transient finite element model: validation and error analysis // Wear. - 2011. - V. 271. - P. 444 - 452.

Zhdanov, M.S. (1988) Integral Transforms in Geophysics. - New York, Berlin, London. Tokyo: Springer-Verlag, 1988. - 367 p.

Zhdanov, M.S., Matusevich, V.Yu., Frenkel, M.A. (1988) Seismic and electromagnetic migration. -Moscow: Nauka, 1988. (in Russian)

Zhdanov, M.S. (2002) Geophysical Inverse Theory and Regularization Problems. - Elsevier, 2002. -p. 609.

Zhou, K., Wei, R. (2014) Modeling cracks and inclusions near surfaces under contact loading // International Journal of Mechanical Sciences. - 2014. - V. 83. - P. 163 - 171.

Zhu, Y., Lyu, Y., Olofsson, U. (2015) Mapping the friction between railway wheels and rails focusing on environmental conditions // Wear. - 2015. - V. 324. - P. 122 - 128.

Zunsong, R. (2018) An investigation on wheel/rail impact dynamics with a three-dimensional flat model // Vehicle System Dynamics. - 2018. - P. 1 - 21.