Моделирование взаимодействий ударных волн с использованием неструктурированных расчётных сеток тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Эпштейн, Дмитрий Борисович

• Эпштейн, Дмитрий Борисович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Эпштейн, Дмитрий Борисович

Содержание

Введение

Глава 1. Численный алгоритм решения уравнений газовой динамики на

неструктурированных расчетных сетках

1.1. Основные уравнения

1.2. Метод сквозного счёта для решения уравнений газовой динамики

1.3. Реконструкция решения на гранях ячеек

1.4. Нахождение потоков через грани

1.5. Интегрирование по времени

Глава 2. Программная реализация алгоритма для многопроцессорных ЭВМ, верификация разработанного расчетного кода

2.1. Построение неструктурированной сетки

2.2. Структуры данных

2.3. Граничные условия

2.4. Параллелизация

2.5. Тестовые расчёты

Глава 3. Взаимодействие ударных волн при обтекании системы цилиндрических тел сверхзвуковым потоком

3.1. Постановка задачи

3.2. Гистерезис при изменении числа Маха набегающего потока

3.3. Гистерезис при изменении относительного расстояния между цилиндрами

3.4. Образование коллективной головной ударной волны

Глава 4. Численное моделирование прохождения ударных и взрывных волн через системы цилиндров и сфер

4.1. Взаимодействие ударной волны с системой цилиндров

4.2. Численное моделирование эксперимента в ударной трубе

4.3. Взаимодействие ударной волны с системой сфер

4.4. Взаимодействие взрывной волны с системой цилиндров

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование взаимодействий ударных волн с использованием неструктурированных расчётных сеток»

Введение

Численное решение уравнений газовой динамики является в настоящее время одним из наиболее разработанных разделов вычислительной механики сплошных сред. Различные подходы к численному моделированию газодинамических течений описаны в целом ряде известных монографий [1-9]. Быстрый прогресс в области вычислительной техники привел к тому, что в наши дни стал возможным расчёт весьма сложных трехмерных нестационарных течений. Это в полной мере относится и к задачам, связанным с распространением и взаимодействиям ударных волн. Современные схемы сквозного счета позволяют с высокой точностью рассчитывать сверхзвуковые течения газа, избегая при этом возникновения нефизических осцилляций вблизи газодинамических разрывов. Это открывает широкие возможности для применения численного моделирования как при решении научных задач, так и в различных практических приложениях.

Традиционные приложения, в которых возникают задачи о распространении и взаимодействии ударных волн (между собой и с твердыми телами), включают военные и гражданские применения взрывов, обеспечение взрывобезопасности промышленных производств и предотвращение террористической деятельности. К этому можно добавить проблемы, связанные с аэродинамической интерференцией тел, обтекаемых сверхзвуковым потоком, в частности с взаимодействием ударных волн от дисперсных частиц в высокоскоростных двухфазных течениях, разрушением космических тел при входе в атмосферы Земли и пр.

В большинстве таких приложений приходится иметь дело с течениями, происходящими в областях весьма сложной геометрической формы. Это ставит задачу о подходящей дискретизации области, в которой нужно проводить расчеты. Построение обычных одноблочных структурированных сеток в таких случаях, как правило, оказывается невозможным. Приходится прибегать к многоблочным сеткам, что существенно усложняет структуру расчетного кода, решающего уравнения газовой динамики. Более того, построение многоблочной структурированной

сетки (особенно качественной) в таких областях также оказывается непростой задачей. Обычно требуется применение коммерческих пакетов генераторов сеток, и затраты машинного времени на построение сетки могут превышать затраты на решение самой задачи.

Очевидной альтернативой является использование неструктурированных сеток, представляющих собой произвольное объединение треугольных (в двумерном случае) или тетраэдральных (в трехмерном случае) ячеек. Как правило, такие сетки удается легко построить в области почти любой формы. Для решения этой задачи имеется ряд свободно распространяемых высокоэффективных программных продуктов. Неструктурированные сетки легко сгустить в некоторых областях, где требуется более высокое разрешение, причем это может быть сделано без изменения топологии сетки.

Разумеется, за данные преимущества приходится и платить. Необходимы специальные алгоритмы, позволяющие решать уравнения газовой динамики на таких сетках. Вообще говоря, при этом обычно приходится ограничиться численными схемами второго порядка точности, поскольку разработка методов более высокого порядка на неструктурированных сетках оказывается намного более сложной задачей, чем на структурированных (отметим, однако, что в последние годы в этом направлении были достигнуты важные успехи, связанные с развитием т. н. разрывных методов Галеркина — см. [10]). Далее, структуры данных, необходимых для программной реализации алгоритмов решения уравнений с частными производными на неструктурированных сетках, оказываются заметно более громоздкими и требуют для своего хранения большего объема машинной памяти.

Тем не менее, при решении задач в областях сложной формы, методы, основанные на применении неструктурированных сеток обладают несомненными преимуществами, а часто и оказываются единственно возможными. Они также являются естественным выбором при создании универсальных вычислительных пакетов, которые могут быть использованы для решения как можно более широкого круга научных и прикладных задач.

Неудивительно поэтому, что разработка таких подходов для решения уравнений газовой динамики началась достаточно давно. Детальный обзор зарубежных работ в этом направлении содержится в [11, 12]. На русском языке следует назвать обзорную статью [13], содержащую подробную библиографию как российских, так и зарубежных публикаций. Отметим, что несмотря на наличие целого ряда важных работ по применению неструктурированных сеток в вычислительной газовой динамики, выполненных отечественными авторами (см. [14]-[20]), в целом методы, основанные на таких сетках, используются у нас недостаточно широко. Это особенно относится к схемам для решения трехмерных уравнений Эйлера. Возможно, это является одной из причин, затрудняющих развитие отечественных универсальных вычислительных пакетов.

Расчет достаточно сложных трехмерных течений требует использования многопроцессорных ЭВМ. Это означает, что расчетный код должен быть распараллелен. Параллелизация расчетных программ, использующих неструктурированные сетки, заметно сложнее, чем кодов, основанных на применении структурированных сеток. Из отечественных работ, посвященных этой теме, можно указать разве что работу [20].

Целями настоящей диссертационной работы являются:

1. Разработка численного алгоритма и расчетного кода, основанного на использовании неструктурированных расчётных сеток и позволяющего проводить моделирование на многопроцессорных ЭВМ двумерных и трёхмерных течений сжимаемого газа;

2. Применение разработанного кода для исследования обтекания сверхзвуковым потоком решетки цилиндров и моделирования прохождения нестационарной ударной или взрывной волны через систему цилиндрических или сферических тел, моделирующих пористый барьер.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Она содержит 45 рисунков и одну таблицу. Объем работы 115 страниц.

Библиографический список включает 101 наименование.

Во Введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели работы, изложено краткое содержание по главам.

Первая глава посвящена изложению численного алгоритма решения уравнений газовой динамики на неструктурированных расчетных сетках. В ней формулируются решаемые уравнения и описываются основные составляющие части используемой нами TVD (Total Variation Diminishing) схемы сквозного счета: реконструкция со вторым порядком газодинамических переменных на гранях расчетных ячеек из известных величин, средних по объемам ячеек, нахождение потоков через грани путем приближенного решения задачи о распаде разрыва и интегрирование уравнений по времени.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с программной реализацией описанного алгоритма для расчетов на многопроцессорных ЭВМ и верификацией разработанного расчетного кода. Описывается построение неструктурированных сеток и структуры данных, используемые в программе для хранения газодинамических переменных и геометрических данных. Обсуждается постановка граничных условий. Рассказывается об алгоритме параллелизации неструктурированного расчетного кода с помощью геометрической декомпозиции расчетной области. Проводится исследование ускорения, достигаемого при увеличении числа используемых процессоров. Для верификации кода он применяется к решению ряда задач, как хорошо известных тестовых, так и более сложных, но в которых полученное решение можно сравнить с данными других работ.

Третья глава посвящена численному моделированию взаимодействия ударных волн при обтекании системы цилиндрических тел сверхзвуковым потоком. Рассматривается как бесконечная периодическая решетка цилиндров, так и два рядом расположенных цилиндрических тела. Исследуется смена ударно-волновых конфигураций при изменении одного из параметров задачи: либо безразмерного расстояния между телами, либо числа Маха набегающего потока.

В четвертой главе описываются результаты численного моделирования про-

хождения ударных и взрывных волн через системы твердых тел, моделирующих пористый барьер. Изучается двумерная задача о взаимодействии плоской ударной волны с системой цилиндров и трехмерная задача о взаимодействии ударной волны с системой сфер. Рассматривается также прохождение через модельный пористый барьер волны, образующейся при цилиндрическом взрыве, то есть инициируемой выделением большого количества энергии в цилиндрической зоне малого радиуса, расположенной на некотором расстоянии от барьера.

Заключение содержит основные результаты и выводы по работе.

Результаты, представленные в диссертации, докладывались на следующих семинарах и конференциях:

— Международный симпозиум по ударным волнам (ISSW), Гёттинген, Германия, 2007, Санкт-Петербург, 2009, Манчестер, Великобритания, 2011;

— Международная студенческая конференция: «Студент и научно-технический прогресс», НГУ, Новосибирск, 2007;

— Всероссийская конференция молодых учёных «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии», Новосибирск, 2007;

— Международная конференция по методам аэрофизических исследований (ICMAR), Новосибирск, 2007, 2008, 2010;

— Международный симпозиум по взаимодействию ударных волн (ISIS), Руан, Франция, 2008;

— Международная конференция по военным аспектам ударных и взрывных волн (MABS), Иерусалим, Израиль, 2010;

— Семинар «Математическое моделирование в механике» ИТПМ им. С.А. Христиановича СО РАН (Новосибирск) под руководством академика В.М. Фомина и проф. A.B. Федорова;

— Семинар «Информационно-вычислительные технологии» ИВТ СО РАН (Новосибирск) под руководством академика Ю.И. Шокина и проф. В.М. Кове-ни.

По теме диссертации опубликованы работы [21]-[32].

Глава 1

Численный алгоритм решения уравнений газовой динамики на неструктурированных расчетных

сетках

1.1. Основные уравнения

Настоящая работа посвящена численному моделированию взаимодействия ударных волн в областях сложной геометрической формы. Рассматриваемые явления описываются нестационарными уравнениями Эйлера. Полная система уравнений Эйлера для сжимаемого невязкого и нетеплопроводного газа записывается в безразмерном виде следующим образом [33].

Уравнение сохранения массы:

где г — время, х/ — компоненты вектора пространственных координат, р — плотность газа, и] — компоненты вектора скорости. Уравнение сохранения импульса:

Здесь Е — полная энергия на единицу объёма, которая равняется сумме внутренней и кинетической энергий, т.е.

(1.1)

(1.2)

где р — давление газа.

Уравнение сохранения энергии:

дЕ д ч ч

(1.3)

(1.4)

где у — показатель адиабаты, равный отношению удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме. Для двухатомных газов (в том числе воздуха) при не очень высоких температурах показатель адиабаты 7=1,4.

В выражениях (1.1) — (1.4) = 1,2,3, по повторяющимся индексам предполагается суммирование; — символ Кронекера,

О, хф)

Предполагается, что газ является совершенным, так что выполняется уравнение Клапейрона:

Р = РЯТ, (1.5)

где Т — температура, Я — удельная газовая постоянная, равная универсальной газовой постоянной, отнесенной к молярной массе газа.

При записи системы уравнений (1.1) — (1.5) предполагается, что координаты отнесены к некоторому характерному масштабу длины Ь, плотность и скорость — к их значениям в некотором состоянии, например, в набегающем потоке, р«,, время — к величине Ь/и.«,, давление — к р^и2.

В вычислительной аэродинамике система уравнений Эйлера часто записывается в следующем виде:

+ ^ + ^ + (16) <9? дх ду дг '

где О — вектор консервативных переменных:

Q = (p,pu,pv,pw,E)т, Г, О, Н — векторы потоков вдоль, соответственно, осейх,у иг:

¥ = (ри,ри2 + р,риу,рию,и(Е + р)) ,

т

(ру,риу,ру2 + р,руц>,у(Е+р)) ,

т

И= (рм?,рим?,рум',р\у2 + р,ы(Е + р)) .

При численном решении уравнения Эйлера обычно используются в интегральной форме. Интегрируя (1.6) по некоторой области (контрольному объему) £2, ограниченному замкнутой поверхностью Г = дО., получаем

где при переходе к поверхностному интегралу использована теорема Гаусса—Остроградского. В (1.7) через пх, пу и пг обозначены составляющие вектора внешней нормали к поверхности Г, ёБ — элемент площади поверхности.

При такой записи особенно очевиден физический смысл уравнений Эйлера, представляющих собой законы сохранения массы, импульса и энергии.

1.2. Метод сквозного счёта для решения уравнений газовой динамики

Численное решение системы уравнений Эйлера при высоких скоростях потока сопряжено со значительными трудностями, связанными с наличием в течении сильных ударных волн и других газодинамических разрывов. Причём, разрывные течения могут возникать из гладких начальных данных. Такие особенности течения предъявляют к используемым численным алгоритмам до некоторой степени противоречивые требования. С одной стороны, численный метод должен сохранять монотонность в тех областях, где решения имеют сильные разрывы. С другой стороны, желательно, чтобы метод был возможно более высокого (как минимум второго) порядка точности там, где решение является гладким. Теорема Годунова [34] показывает, что в рамках линейных разностных схем эти два требования невозможно удовлетворить одновременно.

Одним из решений этой проблемы может быть использование разностных методов с выделением газодинамических разрывов. В таких методах выделение

йхйу(1г —

(1-7)

г

обеспечивается построением дискретной сетки, согласованной с формой разрывов. Для многих задач, например для внешнего обтекания тел с одиночной головной ударной волной, применение таких методов является очень эффективным и оправданным. К сожалению, применение такого подхода оказывается очень трудным при расчёте течений, включающих сложные ударно-волновые конфигурации.

Другим решением этой проблемы является использование схем сквозного счёта, в которых происходит размазывание разрыва на отрезке, величина которого определяется численной диссипацией. Первые схемы сквозного счёта, появившиеся в начале 50-х годах прошлого века [35], основывались на явном введении в правую часть уравнения Эйлера искусственной вязкости. В дальнейшем существенно большее распространение получил иной подход, при котором численная диссипация появляется как результат используемой разностной аппроксимации решаемых уравнений. В таких случаях обычно говорят о «схемной» диссипации.

Для того, чтобы схема сквозного счета позволяла получить достаточное точное решение газодинамических уравнений, необходимо, чтобы схемная диссипация была достаточна мала в тех частях расчетной области, где решение гладкое. Напротив, вблизи газодинамических разрывов она должна иметь достаточную величину, чтобы «размазать» их на несколько ячеек расчетной сетки и предотвратить появление численных осцилляций. Это может быть достигнуто применением гибридных схем, т. е. разностных схем переменного порядка точности. Основная идея в таком подходе состоит в использовании аппроксимации высокого порядка в областях гладкости решения с переключением на монотонную схему первого порядка на разрыве. Эти методы по сути являются модификациями классического метода Годунова [34] с целью достижения более высокого порядка точности в области гладкости решения. Впервые такой подход, видимо, был предложен в работе [36]. Отличительной чертой современных алгоритмов сквозного счета высокого порядка точности является использование направленных противопоточных разностей (upwinding). Монотонизация схемы при аппроксимации решений с разрывами достигается за счет применения ограничителей наклона функции в TVD

схемах (т.е. схемах с уменьшением полной вариации решения) [37] или динамического выбора неосцилляторного шаблона дифференцирования в ENO (Essentially Non-Oscillatory, существенно неосцилляторных) схемах [38].

В данной работе используется численный алгоритм, основанный на т. н. MUSCL TVD схеме второго порядка точности для дискретизации уравнений Эйлера на неструктурированной расчётной сетке. Для этого вычислительная область разбивается на ячейки Q, которые выбираются в качестве контрольных объемов и для каждой из них можно записать уравнение, аналогичное (1.7). Использовались неструктурированные расчетные сетки, в двумерном случае состоящие из треугольных ячеек, в трёхмерном — из тетраэдральных. Выбор таких сеток обусловлен тем, что неструктурированные сетки отличаются гибкостью — их можно построить в области со сколь угодно сложной геометрией, можно производить достаточно сильное сгущение (на несколько порядков) без использования вложенных сеток. Для построения таких сеток существует множество свободно распространяемых программ. Вопрос построения сетки подробнее будет рассмотрен в Главе 2.

Искомые газодинамические переменные ассоциируются либо с вершинами ячейки, либо с их центрами тяжести (барицентрами), т. е. с точками, чей радиус-вектор равен среднему арифметическому радиус-векторов вершин ячеек: г/ = 5(rVj + rV2 + rV3) в двумерном случае, и г,- = \(rvn + rV2 + rV3 + rvi4) — в трёхмерном. Здесь нижний индекс i относится к номеру расчетной ячейки, верхним индексом v помечены координаты ее вершин.

В первом случае (cell-vertex schemes) контрольным объемом служит многогранник, окружающий вершину и составленный из отрезков, соединяющих центры соседних треугольников с серединами разделяющих их граней. Во втором (cell-centered schemes), контрольными объемами являются сами ячейки неструктурированной сетки. Мы будем рассматривать только второй класс методов.

В этом случае, при использовании двумерной сетки, ячейка представляет собой треугольник, тогда граница ячейки состоит из трех прямолинейных отрезков

к = 1,2,3, так что

5Н5Г = " Е + Gny) d£. (1.8)

dt k=ln

Здесь Si — площадь ячейки Q¿, a Qi = £ fQ dxdy — осредненное по ячейке значение Q.

Если же решаются трехмерные уравнения, то ячейками сетки являются тетраэдры, тогда Г состоит из четырёх треугольников r¿, к = 1,2,3,4, так что

yrjT = ~ Е + Gny + Knz) dS. (1.9)

к=1тк

где V¡ — объём ячейки a Q,- = y. J Q dxdydz — осредненное по ячейке значение

' si¡

Q-

Естественно эти средние Q,- и выбрать в качестве искомых значений, т.е. использовать метод конечных объемов. Впрочем, как легко убедиться с помощью разложения в ряд Тейлора, с точностью до членов второго порядка эти средние совпадают с точечными значениями Q в центре ячейки.

Для вычисления интегралов по сторонам ячейки должна быть использована одна из численных квадратурных формул. Простейшая формула, обеспечивающая второй порядок точности — это правило средней точки, что приводит в двумерном случае к следующему выражению:

¿О 3 3

= - Е +G 1пку) 4 = - Е 4, (1.10)

01 к= 1 *=1

где 4 — длина грани ячейки, а индексом е обозначены потоки, вычисленные в точках гек — центрах граней, = Щпкх + Gekny.

В трёхмерном случае формула (1.10) принимает вид:

(90- 4 4

vi-ъг = ~ Е (П4+Щпку+щ4) 4 = - Е ъ sk. (1.11) ai к= 1 к= 1

Здесь ^ — площадь грани ячейки, а индексом е обозначены потоки, вычисленные в точках гек — центрах граней, = + ОекПу + Щп^.

Процедура численного решения состоит из трех последовательных этапов:

1. Реконструкция решения на гранях ячеек. Используя значения ¡, а также средние по некоторому числу лежащих поблизости ячеек (обычно по соседним ячейкам, , к = 1,2,3 в двумерном случае и £=1,2,3,4 — в трёхмерном) строится непрерывное представление решения в ячейке £2/. С его помощью вычисляются , значения в точках г|.

2. Нахождение потоков через грани ячеек. В центре каждой грани ячейки £2г имеются теперь два набора переменных: 1) 0_е1к, вычисленный в результате реконструкции по самой этой ячейке, и 2) полученный, когда проводилась реконструкция решения в соседней ячейке О.^. В области, где решение гладкое, разница в значениях соответствующих переменных из этих двух наборов составляет 0(Ахг), где Ах — характерный размер ячейки, а г — порядок точности метода. Эта разница может быть сделана сколь угодно малой путем измельчения расчетной сетки. Однако, вблизи разрывов она остается порядка 0(1) на сколь угодно мелкой сетке. Стандартный способ вычисления потока состоит в решении задачи о распаде разрыва между состояниями 0_е1к и 0_ек1, либо точно, с помощью итерационного метода, как это было предложено в оригинальной работе С.К. Годунова [34], либо, что более экономично, с помощью одного из приближенных подходов.

3. Интегрирование по времени и нахождение значения переменных на новом временном слое. После того, как потоки определены, правые части в уравнении (1.10) или (1.11) известны, и оно, следовательно, может быть проинтегрировано на один шаг по времени. Если были известны значения О/ в момент времени г", после интегрирования они будут определены на новом временном слое в момент = + Аг.

Далее, рассмотрим более подробно алгоритм каждого этапа. 1.3. Реконструкция решения на гранях ячеек

Переменные на двух сторонах грани между ячейками можно реконструировать из средних по ячейкам, считая, что внутри каждой ячейки решение представляется некоторой непрерывной функцией. В случае схемы первого порядка газодинамические величины просто считаются постоянными в каждой расчетной ячейке (рис. 1). Для повышения порядка схемы необходимо использовать при реконструкции значения переменных в соседних ячейках. В МиБСЬ ТУБ схеме второго порядка сначала выполняется кусочно-линейная реконструкция (рис. 2), а затем полученные значения на гранях ограничиваются так, чтобы избежать появления новых минимумов и максимумов решения и предотвратить возникновение численных осцилляций. Для этого используются ТУБ-лимитеры (нелинейные ограничители наклонов).

Рис. 1: Кусочно-постоянная реконструкция газодинамических переменных в расчётных ячейках.

Опишем процедуру МиБСЬ реконструкции некоторой переменной <2 для од-

Рис. 2: Линейная реконструкция газодинамических переменных в расчётных ячейках.

ной из граней треугольника 0.1 (в данном случае с номером к = 1 — см. рис. 3). Предполагая распределение <2 внутри ячейки линейным, находим его градиент по значениям переменных <22» 2з:

^ = (<2х,йу)т

■у> '

<2,=

02- <2/ Уг-Уг

- Л'/ У2 - У1 ХЗ-Х1 УЗ-У1

<2у =

хг-х1 <22-<2г хз-х1 0з - <2/

•*2 У2~У1 ХЪ-Х1 УЗ-У1

(1.12)

Значения переменных в точке М{г|) — центре грани Г/., могут быть тогда найдены как

Использование величин и <2^-, вычисленных с помощью линейной реконструкции, для вычисления потоков путём решения задачи о распаде разрыва при-

Рис. 3: МШСЬ-интерполяция

водит к схеме второго порядка в областях, где решение гладкое. Однако, на газодинамических разрывах при этом возникают численные осцилляции, поскольку построенная таким образом схема не является монотонной. Для того, чтобы избежать возникновения таких осцилляций, используются ограничители наклона («лимитеры») [9]. Применение ограничителей гарантирует выполнение ТУБ свойства, т.е. невозрастание полной вариации решения, из чего, в свою очередь, следует сохранение монотонности: если решение было монотонным в момент времени то оно остаётся монотонным и в момент времени [37]. Следует оговориться, что все эти свойства строго доказаны только для одномерных скалярных законов сохранения. Однако вычислительная практика показывает, что ТУБ схемы позволяют избежать численных осцилляций и будучи примененными к многомерным системам законов сохранения, таким как уравнения Эйлера.

Ограничители наклонов могут быть применены как к консервативным переменным (р,ри,Е), так и к примитивным (р,и,р), или так называемым характеристическим. Последние определяются с помощью проекции решения на собственные векторы матрицы Ап = (пк + пк ) , где (пкх,п,у)т — вектор единичной нормали к стороне Опыт применения ТУБ схем к газодинамическим задачам показывает, что наилучшие результаты получаются именно при использовании характеристических переменных. Поэтому в настоящей работе используются именно они, а для ограничения реконструированных значений примененяется хо-

рошо известный ограничитель МШМСЮ [9]:

(Ък = О/ + т. шптой (т-Ч<Й: - О«). Р • Т"1 (О* " О/)) •

Здесь /3 — некоторая положительная константа такая, что /3 > 0,5 [39], Т — матрица, составленная из собственных векторов: АЛТ = ТА, где Л = diag{Xa}, а = 1,... ,4 — диагональная матрица из соответствующих собственных значений. Функция МП^МСЮ определяется как

minmod{x\,... ,хп) = <

хк, если sgn(x\) = sgn(x2) = ... = sgn(xn),

где \хи\ =min(\xi\,...,\xn\) 0, в противном случае

Аналогичная процедура реконструкции применяется для вычисления величин Q/ь к = 1,2,3 в центрах всех трёх граней ячейки £2,-.

Подобным же образом производится реконструкция переменных в центрах 4 граней тетраэдра в трехмерном случае. Если обозначить среднее значение величины Q в ячейке £2,- через Qu а средние по объему 4 соседних тетраэдров через ßl> Ö2> бз> бз> т0 ПРИ вычислении значения в центре грани Г] используется градиент решения VQ — (Qx, Qy, Qz), рассчитанный как

йх =

02-6/ У 2 — Уг ¿2 ~ II £>з ~ <2; Уз~У1 23-2/

04-6/ У4~Уг ТА

Х2~Х1 У2~У1 22 ~ 2/

хз~х1 Уз-У1 гз -г,-

Х4-Х1 у4 - Уг 24 - 2/

*2 - 02-2/ 22 ~ 2/ *з -*/ <2з - (2; 23-2/ Я*-*/ 04 - <2/ 24-2,'

•^2 - XI У2-У1 22 ~2г ^3 -У( 23-2/ Х4-*/ 24-2/

(1.13)

Ог

Х2-Х{ У2-У1 б2~б/ У3-У1 бз-б| ^4 У( 04 - б/

(1.14)

У2 - У/ 22-2/ ХЗ-Х1 уз~У1 23-2/ Л4-Л/ — У( 24-2/

1.4. Нахождение потоков через грани

В результате реконструкции на границе между соседними ячейками расчетной сетки £2/ и СЬ/с мы получаем два набора газодинамических переменных — и Потоки через границу вычисляются, исходя их двух этих наборов переменных. Со времен знаменитой статьи С.К. Годунова [34] для этой цели широко используется решение задачи о распаде разрыва (или, как ее еще называют, задачи Римана).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Эпштейн, Дмитрий Борисович, 2013 год

Литература

1. Годунов, C.K. Численное решение многомерных задач газовой динамики. / С.К. Годунов, A.B. Забродин, М.Я. Иванов, А.Н. Крайко, Г.П. Прокопов — М.: Наука, 1976. — 400 с.

2. Ковеня, В.М. Метод расщепления в задачах газовой динамики. / В.М. Ковеня, H.H. Яненко. — Новосибирск: Наука, 1981. — 304 с.

3. Белоцерковский, С.К. Метод крупных частиц в газовой динамике. / С.К. Бе-лоцерковский, Ю.М. Давыдов. — М.: Наука, 1982. — 392 с.

4. Магомедов, K.M. Сеточно-характеристические численные методы. / K.M. Магомедов, A.C. Холодов. — М: Наука, 1988. — 290 с.

5. Ковеня, В.М. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. / В.М. Ковеня, Г.А. Тарнавский, С.Г. Черный. — Новосибирск: Наука, 1990.

— 245 с.

6. Самарский, A.A. Разностные методы решения задач задач газовой динамики. / A.A. Самарский, Ю.П. Попов. — М: Наука, 1992. — 424 с.

7. Четверушкин, Б.Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. / Б.Н. Четверушкин. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 240 с.

8. Пинчуков, В.И. Численные методы высоких порядков для задач аэрогидродинамики. / В.И. Пинчуков, Ч.В. Шу. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000.

— 232 с.

9. Куликовский, А.Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. / А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов. — М: Физматлит, 2001. — 608 с.

10. Cockburn, В. Discontinuous Galerkin methods. / B. Cockburn, G.E. Karniadakis, C.-W. Shu (Eds.) — Berlin, Heidelberg: Springer, 2000. — 470 p.

11. Venkatakrishnan, V. Perspective on unstructured grid flow solvers / V. Venkatakrishnan // AIAA Journal. — 1996. — V. 34, № 3. — P. 533-547.

12. Mavriplis, D.J. Unstructured grid techniques / D.J. Mavriplis // Annual Review of Fluid Mechanics. — 1997. — V. 29. — P. 473-514.

13. Круглякова, JI.B. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики / Л.В. Круглякова, А.В. Неледова, В.Ф. Тишкин, А.Ю. Филатов // Математическое моделирование. — 1998. — Т. 10, № 3. — С. 93-116.

14. Fursenko, А.А. High resolution schemes and unstructured grids in transient shocked flow simulation / A.A. Fursenko, D.M. Sharov, E.V. Timofeev, P.A. Voinovich // Lecture Notes in Physics. — 1993. — V. 414. — P. 250-254.

15. Войнович, Л.В. Моделирование разрывных течений газа на неструктурированных сетках. 1. Построение квазимонотонной схемы повышенного порядка аппроксимации / Л.В. Войнович, Д.М. Шаров // Математическое моделирование. — 1993. — Т. 5. — № 7. — С. 86-100.

16. Войнович, Л.В. Моделирование разрывных течений газа на неструктурированных сетках. 2. Нестационарная локальная адаптация сетки / Л.В. Войнович, Д.М. Шаров // Математическое моделирование. — 1993 — Т. 5. — № 7. — С. 101-112.

17. Fursenko, A. Efficient algorithms for non-stationary Euler equations / A. Fursenko, D. Sharov // Computational Fluid Dynamics' 94 (Eds. Wagner S., Periaux J., Hirshel E.H.). Wiley: Chichester, 1994. — P.24-32.

18. Сакович, B.C. Решение уравнений Эйлера на неструктурированных сетках

при помощи многосеточного метода / B.C. Сакович // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1994. — Т. 34, № 12. — С. 1867-1883.

19. Сакович, B.C. Применение неструктурированных сеток для расчета вязкого обтекания многоэлементных профилей / B.C. Сакович, A.M. Сорокин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1997. — Т. 37, № 10. — С. 1269-1280.

20. Горобец А.В. Технология распараллеливания явных высокоточных алгоритмов вычислительной газовой динамики и аэроакустики на неструктурированных сетках / А.В. Горобец, Т.К. Козубская // Математическое моделирование. — 2007. — Т. 19, № 2. — С. 68-86.

21. Kudryavtsev, A.N. Hysteresis phenomenon at interaction of shock waves generated by a cylinder array / A.N. Kudryavtsev, D.B. Epstein // Shock Waves.

— 2012. — V. 22. — № 4. — P. 341-349.

22. Кудрявцев, A.H. Явление гистерезиса при обтекании системы цилиндров сверхзвуковым потоком / А.Н. Кудрявцев, Д.Б. Эпштейн // Изв. РАН. МЖГ.

— 2012. — № 3. — С. 122-131.

23. Kudryavtsev, A.N. Investigation of interaction between shock waves and flow disturbances with different shock-capturing schemes / A.N. Kudryavtsev, D.V. Khotyanovsky, D.B. Epstein // Proceedings of 26th International Symposium on Shock Waves. — Springer: Berlin, Heidelberg, 2009. — V. 2 — P. 1023-1028.

24. Эпштейн, Д.Б. Моделирование взаимодействий ударных волн с использованием неструктурированных расчётных сеток / Д.Б. Эпштейн // Труды XLV международной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» — 2007. — С. 26-31

25. Эпштейн, Д.Б. Моделирование взаимодействий ударных волн с использованием неструктурированных расчётных сеток / Д.Б. Эпштейн, А.Н. Кудряв-

цев // IV Всероссийская конференция молодых учёных «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии». — 2007. — С. 67-68.

26. Kudryavtsev, A.N. Numerical simulations of interaction of shock waves with small disturbances / A.N. Kudryavtsev, D.V. Khotyanovsky, D.B. Epstein, A.Yu. Ovsyannikov // Proceedings of 18th International Shock Interaction Symposium. — 2008. — P. 87-90

27. Kudryavtsev, A.N. Interaction of steady and unsteady shock waves generated by a cylinder array / A.N. Kudryavtsev, D.B. Epstein // Proceedings of 18th International Shock Interaction Symposium. — 2008. — P. 135-137.

28. Epstein, D.B. Numerical simulation of shock-wave interaction with a system of cylinders / D.B. Epstein // XIV International Conference on the Method of Aerophysical Research. — 2008. — P. 11-12

29. Epstein, D.B. Hysteresis phenomenon at the interaction of bow shock waves from cylinder bodies / D.B. Epstein, A.N. Kudryavtsev // Proceedings of 27th International Symposium on Shock Waves. — 2009.— Paper № 30576, — P. 371.

30. Kudryavtsev, A.N. Numerical simulation of shock and blast wave propagation over a porous barrier / A.N. Kudryavtsev, D.B. Epstein // XXI International Symposium on Military Aspects of Blast and Shock — 2010. — P. 25

31. Epstein, D.B. Hysteresis phenomenon at aerodynamic interaction of cylinder bodies in supersonic flow / D.B. Epstein, A.N. Kudryavtsev // XV International Conference on the Method of Aerophysical Research. — 2010. — P. 57-58

32. Epstein, D. Shock and blast propagating throw a porous barrier / D. Epstein // 28th International Symposium on Shock Waves — 2011. — Paper№ 2551, 6 p.

33. Овсянников, Л.В. Лекции по основам газовой динамики. / Л.В. Овсянни-

ков. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. — 2003. — 336 с.

34. Годунов, С.К. Разностный методы численного расчёта разрывных решений уравнений гидродинамики / С.К. Годунов // Мат. сборник — 1959. — Т. 47, вып. 3. — С. 271-306.

35. von Neumann, J. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks / J. von Neumann, R.D. Richtmyer // J. Applied Physics. — 1950. — V. 21. — P. 232-237.

36. Колган, В.П. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики / В.П. Колган // Ученые зап. ЦАГИ. — 1972. — Т. 3, №6. — С. 68-77.

37. Harten, A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws / A. Harten // J. Comput. Phys. — 1983. — V. 49, № 3. — P. 357-393.

38. Shu, C.-W. Efficient implementaton of essentially non-oscillatory schock-capturing schemes, II / C.-W. Shu, S. Osher // J. Comput. Phys. — 1989. — V. 83, № 1. — P. 32-78.

39. Lin, S.-Y. Upwind Finite-Volume Method with a Triangular Mesh for Conservating Laws / S.-Y. Lin, T.-M. Wu, Y.S. Chin // Journal of Computational Physics — 1993 — V. 107. — P. 324-337.

40. Черный, Г.Г. Газовая динамика. / Г.Г. Черный. — М.: Наука, 1988. — 424 с.

41. Того, Е. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. / Того, E. — 3rd ed. — Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2009. — 724 p.

42. Roe, PL. Approximate riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes / PL. Roe // J. Сотр. Physics. — 1981. — V. 43. — P. 357-372.

43. Harten, A. On a class of high resolution total-variation-stable finite difference schemes / A. Harten // SI AM Journal of Numerical Analysis. — 1984. — V. 21.

— P. 1-23.

44. Harten, A. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws / A. Harten, P.D. Lax, B. van Leer // SIAM Review. — 1983.

— V.25,№1. —P. 35-61.

45. Русанов, B.B. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями / В.В. Русанов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1961. — Т. 1, №2. — С. 267-279.

46. Einfeldt, В. On Godunov-type methods for gas dynamics / B. Einfeldt // SIAM J. Numer. Anal. — 1988. — V. 25, № 2. — P. 294-318.

47. Einfeldt, B. On Godunov-type methods near low densities / B. Einfeldt, C.D. Munz, P.L. Roe, B. Sjogreen // J. Comput. Phys. — 1991. — V. 92, № 2.

— P. 273-295.

48. Того, E.F. Restoration of the contact surface in the HLL-Riemann solver / E.F. Того, M. Spruce, W. Speares // Shock Waves — 1994. — V. 4, № 1. — P. 25-34.

49. Batten, P. On the choice of wavespeeds for the HLLC Riemann solver / P. Batten, N. Clarke, C. Lambert, D.M. Causon // Shock Waves — 1994. — V. 4, № 1. — P. 25-34.

50. van Leer, B. Flux-vector splitting for the Euler equations / B. van Leer // Proceedings of 8th International Conference on Numerical Methods in Fluid Dynamics — Berlin: Springer-Verlag, 1982. — P. 507-512.

51. Shu, C.-W. Efficient implementaton of essentially non-oscillatory schock-

capturing schemes / C.W. Shu, S. Osher // J. Comput. Phys. — 1988 — V. 77, № 2. — P. 439-471.

52. Курант, P. О разностных уравнениях математической физики / Р. Курант, К. Фридрихе, Г. Леви // Усп. мат. наук. — 1941. — № 8. — С. 125-160.

53. Меткалф, М. Описание языка программирования Фортран 90. / М. Меткалф, Дж. Рид. — Пер. с англ. — М.: Мир, 1995. — 302 с.

54. MPI: A message passing interface standard. — University of Tennessee, Knoxville, Tennessee, 1994. — 228 p.

55. Ho-Le, K. Finite element mesh generation methods: a review and classification / K. Ho-Le // Computer Aided Design. — 1988. — V. 20. — P. 27-38.

56. George, PL. Delaunay Triangulation and Meshing. / P.L. George, H. Borouchaki.

— Editions Hermes: Paris, 1992. — 412 p.

57. Baker, TJ. Prospects and expectations for unstructured methods. / TJ. Baker // Proceedings of the Surface Modeling, Grid Generation and Related Issues in Computational Fluid Dynamics Workshop. NASA conference publication 3291.

— NASA Lewis Research Center, Cleveland, OH, 1995. — P. 273-287.

58. Baker, T.J. Mesh adaptation strategies for problems in fluid dynamics. / T.J. Baker // Finite Elements Anal. Design. — 1995. — V. 25. — P. 243-273.

59. Delaunay, B. Sur la sphère vide. A la mémoire de Georges Voronoz/B. Delaunay // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук. — 1934. — №6. — С. 793-800.

60. Скворцов, А.В. Триангуляция Делоне и её применение. / А.В. Скворцов — Томск: Изд-во Томского университета, 2002. — 128 с.

61. Shewchuk, J.R. Triangle. A Two-Dimensional Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator [Электронный ресурс] / J.R. Shewchuk // Режим доступа: http://www.cs.cmu.edu/ quake/triangle.html

62. Hang, Si. A Quality Tetrahedral Mesh Generator and a 3D Delaunay Triangulator [Электронный ресурс] / Si. Hang // Режим доступа: http://tetgen.berlios.de

63. NETGEN — Automatic Mesh Generator [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://www.hpfem.jku.at/netgen/

64. Ivanov, M.S. SMILE System for 2D/3D DSMC computations. / Ivanov M.S., Kashkovsky A.V., Gimelshein S.F., Markelov G.N., Alexeenko A.A., Bondar Ye.A., Zhukova G.A., Nikiforov S.B., Vashchenkov P.V. // Proceedings of 25 International Symposium on RGD. — Novosibirsk: Publ. House of the SB RAS, 2007. — P. 539-544.

65. METIS. Serial Graph Partitioning and Fill-reducing Matrix Ordering [Электронный ресурс] — Режим доступа: http://glaros.dtc.umn.edu/gkhome/metis/metis/overview

66. Sod, G.A. A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws / G.A. Sod // J. Comput. Phys. — 1978. — V. 27. — P.l-31.

67. Shu, C.-W. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws. / C.-W. Shu // ICASE Report № 97-65 NASA. — 1997. — 79 p.

68. Ivanov, M.S. Transition between regular and Mach reflection of shock waves: new numerical and experimental results / M.S. Ivanov, D. Vandromme, V.M. Fomin, A.N. Kudryavtsev, A. Hadjadj, D.V. Khotyanovsky // Shock Waves. — 2001 — V. 11. — P. 199-207.

69. Ben-Dor, G. Shock Wave Reflection Phenomena. 2nd ed. / G. Ben-Dor — Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg, 2007. — 353 p.

70. Hornung, H.G. Transition to Mach reflexion of shock waves in steady and pseudosteady flow with and without relaxation / H.G. Hornung, H. Oertel, R.J. Sandeman // J. Fluid Mech. — 1979. — V. 90. — P. 541-560.

71. Ivanov, M.S. Flow-Mach-number-variation-induced hysteresis in steady shock wave reflections / M.S. Ivanov, G. Ben-Dor, T. Elperin, A.N. Kudryavtsev, D.V. Khotyanovsky // AIAA J. — 2001. — V. 39. — P. 972-974.

72. Onofri, M. Theoretical considerations on shock reflections and their implications on the evaluation of air intake performance / M. Onofri, F. Nasuti // Shock Waves. — 2001. — V. 11. — P. 151-156.

73. Бойко, B.M. Коллективный головной скачок перед поперечной системой сфер в сверхзвуковом потоке за проходящей ударной волной / В.М. Бойко, К.В. Клинков, С.В. Поплавский // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2004. — № 2. — С. 183-192.

74. Ivanov, M.S. Statistical simulation of space debris cloud aerodynamics in the free-molecular and transitional regimes. / M.S. Ivanov, A.V. Kashkovsky // Proceedings of XIX Int. Symp. on Rarefied Gas Dynamics Harvey, J. and Lord, G. (eds.) — 1994 — P. 1401-1407

75. Naiman, H. The effect of porosity on shock interaction with a rigid, porous barrier / H. Naiman, D.D. Knight // Shock Waves — 2007 — № 16 — P.321-337

76. Дмитриев, A.JI. Аэродинамическое взаимодействие тел в стационарном сверхзвуковом потоке. / A.JI. Дмитриев, И.А. Дубровина, И.А. Ждан, О.М. Кузнецов, В.П. Стулов // В сб. XVIII Гагаринские научные чтения, под редакцией Авдуевского B.C. — М.: Наука, 1989. — С. 45-56.

77. Дубровина. И.А. Определение наибольшего расстояния аэродинамического взаимодействия пары сфер и цилиндров в сверхзвуковом потоке / И.А. Дубровина, В.П. Стулов // Вестник МГУ. Математика и механика. — 1989. — № 5. — С. 46-49.

78. Лягушин, Е.Е. Экспериментальное исследование взаимодействия ударных волн при обтекании двух цилиндров / Е.Е. Лягушин, В.П. Стулов, А.Ю. Юшков // В сб. Исследование газодинамики и теплообмена сложных течений однородных и многофазных сред, под ред. Стулова В.П. — М.: МГУ, 1990. —

C. 26-29.

79. Ждан, И.А. Аэродинамическое взаимодействие двух тел в сверхзвуковом потоке / И.А. Ждан, В.П. Стулов, П.В. Стулов // Докл. РАН. — 2004. — Т. 396.

— № 2. — С. 191-193.

80. Ivanov, M.S. Hysteresis effect in stationary reflection of shock waves / M.S. Ivanov, S.F. Gimelshein, A.E. Beylich // Phys. Fluids. — 1995. — V. 7.

— P. 685-687.

81. Chpoun, A. Reconsideration of oblique shock wave reflections in steady flows. Part 1. Experimental investigation / A. Chpoun, D. Passerel, H. Li, G. Ben-Dor // J. Fluid Mech. — 1995. — V. 301. — P. 19-35.

82. Kudryavtsev, A.N. Numerical investigation of transition between regular and Mach reflections caused by free-stream disturbances / A.N. Kudryavtsev,

D.V. Khotyanovsky, M.S. Ivanov, A. Hadjadj, D. Vandromme // Shock Waves.

— 2002. — V. 11. — P. 157-165.

83. Ivanov, M.S. Experiments on shock wave reflection transition and hysteresis in low-noise wind tunnel /M.S. Ivanov, A.N. Kudryavtsev, S.B. Nikiforov, D.V. Khotyanovsky, A.A. Pavlov // Phys. Fluids. — 2003. — V. 15. — P. 1807-1810.

84. Тугазаков, Р.Я. Теория нестационарного отрыва сверхзвукового потока газа при обтекании выпуклого угла / Р.Я. Тугазаков // Изв. РАН. МЖГ. — 2007.

— №3. — С. 169-179.

85. Хотяновский, Д.В. Численный анализ сверхзвуковых течений со сложными ударно-волновыми структурами: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / Хотяновский Дмитрий Владимирович — Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 2007. — 148 с.

86. Khotyanovsky, D.V. Analytical, numerical, and experimental investigation of shock wave reflection transition induced by variation of distance between wedges. / D.V. Khotyanovsky, A.N. Kudryavtsev, M.S. Ivanov, B. Chanetz, A. Durand, M.V. Chernyshev, A.V. Omelchenko, V.N. Uskov // Zeitoun D.E., Periaux J., Desideri J.A., Marini M. (ed.) West East High Speed Flow Fields. Aerospace applications from high subsonic to hypersonic regime. — CIMNE, Barcelona, 2003. — P. 274-281.

87. Крайко, A.H. Течения идеального газа с отрывными зонами и нестационарными контактными разрывами сложной формы / А.Н. Крайко, К.С. Пьянков // Изв. РАН. МЖГ. — 2006. — №5. — С. 41-54.

88. Гринь, В.Т. К распаду произвольного разрыва на перфорированной перегородке / В.Т. Гринь, А.Н. Крайко, Л.Г. Миллер // ПМТФ. — 1981. — №3. — С. 372-378.

89. Крайко, А.Н. О течении газа в пористой среде с поверхностями разрыва пористости / А.Н. Крайко, А.Н. Миллер, И.А. Ширковский // ПМТФ. — 1982.

— №1. —С. 111-118.

90. Gubaidullin, А.А. Air Shock Interactions with an Obstacle Covered by Porous Material / A.A. Gubaidullin, A. Britan, D.N. Dudko // Shock Waves. — 2003. — V. 13, № 1. — P. 41-48.

91. Britan, A. Experimental and Numerical Study of Shock Wave Interaction With Perforated Plates / A. Britan, A.V. Karpov, E.I. Vasilev, O. Igra, G. Ben-Dor, E. Shapiro // J. Fluids Eng. — 2004. — V. 126, № 3 — P. 399-409.

92. Skews, B. Shock Wave Interaction with Porous Plates / B. Skews // Exp Fluids. — 2005. — V. 39, № 5. — P. 875-884.

93. Skews, B. Experimental Studies of Shock Wave Interactions with Porous Media / B. Skews // Shock Wave Science and Technology Reference Library. — 2007. — Part III — P. 271-295.

94. Sadot, O. Experimental and Numerical Investigations of Shock Wave Attenuation over Obstacles / O. Sadot, G. Ben-Dor, A. Hadjadj // Proceedings of 27th International Symposium on Shock Waves. — 2009. — P. 327.

95. Suzuki, K. Experimental Studies on Characteristics of Shock Wave Propagation through Cylinder Array / K. Suzuki, H. Himeki, T. Watanuki, T. Abe // The Institute of Space and Astronautical Science. — № 676, March 2000.

96. Гильберт, Д. Наглядная геометрия, 3-е изд. / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен — М.:Наука, 1981. — 344 с.

97. Седов, Л.И. Распространение сильных взрывных волн / Л.И. Седов // Прикладная математика и механика. — 1946. — Т. 10. — С. 241- 250.

98. Neumann J. The point source solution. / J. Neumann // John von Neumann. Collected Works (ed. by A. J. Taub). — Elmsford, N.Y.: Permagon Press, 1963. — V. 6. — P. 219- 237.

99. Taylor, G.I. The Formation of a Blast Wave by a Very Intense Explosion. I. Theoretical Discussion / G.I. Taylor // Proceedings of the Royal Society A — 1950. — V. 201 (1065). — P. 159-174.

100. Taylor, G.I. The Formation of a Blast Wave by a Very Intense Explosion. II. The Atomic Explosion of 1945 / G.I. Taylor // Proceedings of the Royal Society A — 1950. — V. 201 (1065). — P. 175-186.

101. Коробейников, В.П. / В.П. Коробейников, H.C. Мельникова, Е.В. Рязанов — Теория точечного взрыва. М: Физматгиз, 1961. — 400 с.