Численное решение пространственных динамических задач механики неоднородных деформируемых сред тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Голубев, Василий Иванович

• Голубев, Василий Иванович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Голубев, Василий Иванович

Оглавление

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ УПРУГОГО ТЕЛА

1.1. Определяющие уравнения

1.2. Сеточно-характеристический численный метод на криволинейных структурных сетках

1.2.1. Параллелепипедные сетки

1.2.2. Метод расщепления по координатам

1.2.3. Криволинейные сетки

1.2.4. Разностные схемы

1.3. Сеточно-характеристический численный метод на треугольных сетках

1.3.1. Идея метода

1.3.2. Полиномиальная интерполяция в треугольнике

ГЛАВА 2. КОМПАКТНЫЕ СЕТОЧНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

2.1. Введение

2.2. Одномерный случай

2.2.1. Построение продолженной схемы

2.2.2. Построение интерполяционных полиномов

2.2.3. Монотонизация решения

2.3. Двумерный случай

3.2. Структура программы и её возможности

3.3. Полученные важные научно-прикладные результаты

ГЛАВА 4. СЕЙСМИЧЕСКАЯ АКТИВНОСТЬ

4.1. Введение

4.2. Вычислительная механико-математическая модель гипоцентра землетрясения

4.3. Инициация сейсмической активности - 2D

4.3.1. Распространение сейсмических волн из очага землетрясения

4.3.2. Воздействие сейсмических волн на наземные сооружения

4.4. Инициация сейсмической активности - 3D

4.4.1. Сферограммы (Beachball plot)

4.4.2. Верификация модели очага землетрясения

4.4.3. Влияние слоистости вмещающего массива

4.4.4. Воздействие динамических возмущений на борта карьера

4.4.5. Воздействие динамических возмущений на наземные сооружения85 ГЛАВА 5. СЛОИСТЫЕ СРЕДЫ

5.1. Постановка задачи

5.2. Результаты расчётов

5.2.1. Слоистая среда без неоднородности в случае Р-волны

5.2.2. Слоистая среда с неоднородностью в случае Р-волны

5.2.3. Сферический источник возмущения в слоистой среде

5.3. Выводы

ГЛАВА 6. ТРЕЩИНОВАТЫЕ СРЕДЫ

6.2. Постановка задачи

6.3. Особенности численного моделирования

6.4. Результаты численных экспериментов

6.4.1. Сейсмический отклик от одиночной макротрещины

6.4.2. Волновые картины отклика от кластера макротрещин

6.5. Выводы

ГЛАВА 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЫ

7.1. Влияние карстового включения на регистрируемый на поверхности сигнал

7.2. Определение мощностей геологических слоев

7.3. Идентификация геологической трещины

ГЛАВА 8. ЗАДАЧИ ГЛОБАЛЬНОЙ СЕЙСМИКИ

8.1. Земля

8.1.1. Введение

8.1.2. Постановка задачи

8.1.3. Сравнение с аналитическим решением

8.1.4. Сравнение с опубликованными данными

8.1.5. Выводы

8.2. Марс

8.2.1. Введение

8.2.2. Постановка задачи

8.2.3. Результаты численных расчётов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение пространственных динамических задач механики неоднородных деформируемых сред»

Введение

Актуальность темы исследования

Согласно сегодняшним прогнозам мировое потребление энергии будет продолжать расти в связи с развитием науки и техники. Несмотря на развитие альтернативных источников энергии (ветряные, геотермальные, солнечные, гидроэнергетические и биотопливные), а также рост значимости ядерной энергетики, традиционные источники энергии, такие как нефть и природный газ, остаются важнейшим ресурсом. В то время как запасы традиционной (легко извлекаемой) нефти существенно истощены, во всём мире активно начинается разработка нетрадиционной (тяжелой) нефти. Основной сложностью данного процесса является отсутствие эффективных подходов по извлечению значительного процента от объёма всего месторождения. Для решения данной проблемы существенным является наличие методов эффективного поиска трещиноватых кластеров, залегающих на большой глубине и содержащих нефте- и газопродукты. Одним из подходов к решению данных проблем является разработка новых компьютерных программ и комплексов по расчёту процесса сейсмического исследования недр Земли, которые позволят с высокой степенью точности провести моделирование полевых экспериментов. При этом появляется возможность задания определённой геометрии среды (количество и ориентация флюидосодержащих трещин, слоёв различных пород и т.д.) с последующим получением расчётного отклика.

В современном мире все больше внимания уделяется оценке и обеспечению безопасности населения. Активно развиваются методы имитационного моделирования, позволяющие провести всесторонний анализ рисков и выделить наиболее значимые из них, на снижении которых необходимо сконцентрироваться. Очевидно, что любое моделирование основывается на некотором приближении (модели) реальных физических процессов. Если ранее модели, в основном, были простыми, обеспечивающими решение определяющих уравнений аналитическими

методами, то с развитием высокопроизводительных вычислительных систем произошло их качественное изменение. Все больше усложняется постановка задач, включающая описание движения отдельных атомов и молекул, с целью моделирования таких макроскопических явлений, как течение жидкости в пористых средах [1], сход оползневых тел и т.д. Одним из феноменов, интересующих научное сообщество, является естественная сейсмичность. Только лишь за последние два года во всем мире произошло более десяти крупных землетрясений (Китай, Турция, Япония), причинивших огромные материальные убытки и приведших к гибели тысяч человек. Таким образом, актуальность исследования процесса сейсмической активности с целью ее прогноза и быстрой оценки возможных разрушений как жилых строений, так и специальных сооружений (атомные электростанции, гидроэлектростанции) не вызывает сомнений. Для этого по всей планете расположено множество специальных сооружений (сейсмостанций), в которых ведется непрерывная регистрация движений поверхности Земли. Наиболее плотные сети измерений расположены в Калифорнии и Японии. Как правило, измеряется зависимость вектора скорости или ускорения (или части их проекций) от времени в точке расположения сейсмического датчика (сейсмометра). При инициации землетрясения из его очага начинают распространяться объемные упругие волны, которые, достигая поверхности, и приводят к разрушению строений. Степень разработанности темы исследования

По-видимому, первыми методами приближенного решения задач сейсмики и сейсморазведки (распространения динамических возмущений в гетерогенных геологических средах) являются геометрические (лучевые) методы [2 - 3]. Хотя геометрические методы обладают низкой вычислительной сложностью, их применимость значительно ограничена, например, невозможно воспроизведение эффектов интерференции и дифракции волн. Также они не позволяют восстановить всю сложную волновую картину процессов, происходящих в средах с гетерогенной структурой (слоистых, трещиноватых), для чего необходимо применение более совершенных подходов к описанию данных сред.

В последние десятилетия появилось значительное количество работ, посвященных численному анализу волновых процессов, возникающих в гетерогенных геологических средах при слабых динамических сейсмических воздействиях. Эти процессы описываются в рамках механико-математических моделей механики сплошных сред (система уравнений динамики упругих сред или её акустическое приближение) с применением численных методов решения уравнений в частных производных гиперболического типа. Так, в работах [4 - 14] задачи сейсмики решаются конечно-разностными схемами на треугольных и тетраэдральных сетках. В работах [15 - 17] для их решения используется псевдоспектральный метод [18]. Метод спектральных элементов [19] применён в работах [20 - 22]. Для повышения порядка сходимости по времени [23, 17] предложен метод, объединяющий разрывный метод Галеркина с интегрированием по времени и использованием подхода Arbitrary high-order DERivatives (ADER) [24 - 28].

Отметим, что для решения гиперболических систем уравнений наиболее корректно применение тех численных методов, которые учитывают их внутренние особенности — распространение возмущений вдоль характеристик. К данным методам относится сеточно-характеристический численный метод. Среди первых работ, посвящённых его применению для численного решения многомерных уравнений динамики упругих (а также упруго-пластических и вязко-упругих) сред можно отметить следующие статьи [29 - 34]. Отметим, что поскольку численное исследование волновых процессов в гетерогенных структурах может привести к появлению осцилляций нефизичного происхождения, что в свою очередь приводит к заметным искажениям реальных волновых процессов, то используемые методы должны обладать свойством монотонности. В работе [35] с использованием сеточно-характеристического метода решались трехмерные волновые задачи теории упругости, а [36], по-видимому, являет одной из первых отечественных работ, в которой в трёхмерной постановке рассматривались волновые задачи геофизики. В работе [33] сеточно-характеристический метод был обобщён на случай численного решения вязко-упругих волновых задач, в [34] — для исследования сложных волновых процессов в средах многослойной структуры. В дальнейшем

сеточно-характеристический метод претерпел значительные улучшения. В частности, были разработаны методы до пятого порядка точности как на гексаэдраль-ных, так и на тетраэдральных расчётных сетках для трёхмерных задач [37, 38]. В работах [39 - 42] сеточно-характеристический метод на треугольных сетках был расширен на случай измельчения расчётной сетки в различных областях интегрирования (например, вблизи трещин) для повышения точности расчёта.

Многочисленные исследования последних двух десятилетий были посвящены изучению трещиноватости продуктивных осадочных пород. Важность и сложность этой проблемы показана в работах [43 - 45]. В [41, 42, 46] показано, как с помощью численного моделирования можно определить и отделить рассеянные волны, инициированные трещиноватыми резервуарами. Отметим, что в отличие от подхода с использованием анизотропных осреднённых моделей [47 — 49], использование сеточно-характеристического метода позволяет учесть внутрирезер-вуарные межтрещинные волновые взаимодействия, которые вносят значительный вклад в интегральный волновой отклик [39 - 42, 46]. Цели и задачи

Целями и задачами работы являются:

1. Численное решение задач оценки сейсмостойкости наземных строений се-точно-характеристическим методом;

2. Численное исследование свойств сейсмического отклика от трещиноватых пластов в трёхмерной постановке;

3. Моделирование процесса распространения сейсмических волн в слоистых неоднородных средах в трёхмерной постановке;

4. Численное решение задач сейсморазведки по определению структуры геологических сред на основе прямого моделирования;

5. Моделирование процессов глобальной сейсмики сеточно-характеристическим методом;

6. Адаптация компактных сеточно-характеристических схем повышенного порядка точности для численного решения линейного уравнения переноса на двумерный случай.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Проведено численное исследование влияния внутренней структуры геологической среды на распространение сейсмического сигнала из гипоцентра землетрясения, а также его воздействия на наземные сооружения (жилые строения, купольные сооружения, железобетонные каркасные конструкции, плотины, борта карьеров) как в двумерной (на треугольных сетках), так и в трёхмерной (на гексаэдральных сетках) постановках;

2. Предложена вычислительная механико-математическая модель «очаг землетрясения - гетерогенный вмещающий массив», проведена её верификация для случая однородной среды, и предложена процедура определения её параметров по данным наземных измерений;

3. Проведено численное решение задачи о распространении упругих возмущений (Р-волна и приповерхностный взрыв) в трёхмерных слоистых средах, показана возможность определения характеристик пространственных включений при трёхкомпонентной записи сейсмотрасс на дневной поверхности. На основании решения серии прямых задач предложен подход к решению обратных задач сейсморазведки: определение мощностей горизонтальных слоёв и ориентации одиночной макротрещины. Численно рассчитан сейсмический отклик от глубоко залегающего трёхмерного кластера вертикальных газонасыщенных и флюидонасыщенных макротрещин, проведён его детальный анализ и выявлены его особенности;

4. Предложен подход к решению задач глобальной сейсмики планеты на структурных криволинейных и гексаэдральных расчётных сетках. На примере упругих моделей Земли и Марса продемонстрировано его применение, проведена серия тестовых расчётов, выполнено сравнение их результатов с аналитическим решением, с опубликованными результатами компьютерного моделирования на треугольных сетках и экспериментальными

данными;

5. Реализована программа Seismograph для построения расчётных сейсмограмм как по результатам двумерных (на треугольных сетках), так и трёхмерных (на тетраэдральных и гексаэдральных сетках) расчётов, и их последующей интерпретации;

6. Выполнена адаптация компактных сеточно-характеристических схем повышенного порядка точности для численного решения линейного уравнения переноса на прямоугольные сетки с сохранением порядка аппроксимации и свойства монотонизированности. Проведено распараллеливание численных алгоритмов с использованием технологии MPI, что позволило выполнить расчёты по оценке порядка сходимости схем за приемлемое время.

Теоретическая и практическая значимость работы

Важным практическим результатом является возможность проведения компьютерной оценки сейсмостойкости наземных сооружений с использованием предложенной численной механико-математической модели «очаг землетрясения - гетерогенный вмещающий массив». Она позволяет провести прямое моделирование распространения упругого возмущения из гипоцентра землетрясения с учётом разномасштабных пространственных неоднородностей к дневной поверхности и в дальнейшем идентифицировать места инициации разрушений в строении с заданной геометрией.

Вторым важным теоретическим и практическим результатом является возможность проведения компьютерного моделирования глобальной сейсмики планеты с использованием предложенного вычислительного подхода на структурных расчётных сетках. Он может быть использован как для уточнения моделей внутренней структуры Земли (упругих параметров среды, положения границ раздела), так и для выработки оптимальной расстановки сейсмодатчиков с учётом реальных ограничений эксперимента (например, при планируемом исследовании Марса аппаратом InSight).

Третьим важным результатов является созданная программа Seismograph для визуализации данных численных расчётов процесса сейсмической разведки в ге-

терогенной среде как в двумерной, так и в трёхмерной постановке. Она позволяет существенно расширить применимость компьютерного моделирования для реальных экспериментальных задач. С использованием Seismograph становится возможным построение произвольных расчётных сейсмограмм, их качественный и количественный анализ, а также сравнение с результатами полевых экспериментов. Так, например, автором продемонстрирована возможность получения расчётной сейсмограммы, содержащей сейсмический отклик от кластера газо- и флюи-донасыщенных макротрещин в полной трёхмерной постановке. В настоящее время традиционные источники энергии (нефть и природный газ) остаются важнейшим ресурсом. Активно проводятся исследования по разработке месторождений в осложнённых условиях (глубоко залегающие продуктивные пласты, шельфовые месторождения). В данной области именно компьютерное моделирование может позволить добиться существенных практических и ценных результатов. Оно ускоряет проведение сейсморазведочных работ, снижает их стоимость за счёт уменьшения числа необходимых для проведения полевых работ, повышает точность результатов.

Работа поддержана рядом государственных и коммерческих грантов и договоров

1. Грант РФФИ 11-01-12011-офи_м_2011 «Разработка численных методов для решения задач геомеханики и сейсморазведки на многопроцессорных вычислительных системах», 2011-2012;

2. IBM Ph.D. Fellowship, 2012-2013;

3. Проект «Разработка программного модуля для задач оценки сейсмостойкости наземных сооружений» в рамках программы «УМНИК», 2012-2013;

4. Грант РФФИ 12-07-31235-мол_а «Разработка численных методов и комплекса программ для исследования динамических процессов в геологических средах на многопроцессорных вычислительных системах», 2012-2013;

5. Грант РФФИ 12-07-31028-мол_а «Разработка численных методов для решения задач распространения сейсмических возмущений из гипоцентра землетрясения на многопроцессорных вычислительных системах», 2012-2013;

6. Государственный контракт № 14.515.11.0069 «Разработка научных основ новых методов и алгоритмов поиска и разведки месторождений углеводородов, в том числе в условиях Арктики, с реализацией на высокопроизводительных комплексах», 2013;

7. SPE Henry DeWitt Smith Fellowship, 2013;

8. Стипендия Президента РФ молодым учёным и аспирантам «СП-2548.2013.5», 2013-2015;

9. Стипендия Правительства РФ аспирантам, 2013. Методология и методы исследования

В диссертации численно решаются задачи сейсморазведки путём прямого моделирования динамических процессов, происходящих в многослойных и трещиноватых средах. На основе численных расчётов показана возможность распознавания внутренней структуры геологического массива по данным наземных измерений. Решаются задачи распространения упругих возмущений, зарождающихся в очаге землетрясения, к дневной поверхности и их последующего воздействия на наземные сооружения. Особое внимание уделено моделированию глобальной сейсмики планеты, результаты которого могут быть использованы как для уточнения уже существующих моделей, так и для построения новых методов прогнозирования землетрясений и их последствий.

В диссертации используется сеточно-характеристический численный метод повышенного порядка точности на треугольных и структурных криволинейных (гексаэдральных) сетках. Решение определяющей гиперболической системы уравнений методом расщепления по координатам сводится к решению набора уравнений переноса вдоль характеристик. Таким образом, для повышения точности расчётов значительный интерес представляет построение компактных численных схем повышенного порядка точности для решения линейного уравнения переноса в многомерном случае. В диссертации проводится обобщение компактных сеточно-характеристических схем на двумерный случай с использованием подхода продолженных систем уравнений.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся следующие положения:

1. Установлено, что основными элементами объёмного отклика от кластера вертикальных макротрещин являются фронты рассеянных волн с продольным и поперечным характером колебаний, совпадающие по площади с контуром системы макротрещин. При этом первые интенсивные фазы фронтов сопровождаются шлейфами периодических колебаний, вызванных межтрещинным взаимодействием.

2. Доказана возможность определения параметров структуры геологического массива (ориентации трещин и мощности геологических слоёв) на основе решения серии прямых задач.

3. Предложена вычислительная механико-математическая модель «очаг землетрясения — гетерогенный вмещающий массив», позволяющая провести высокоточное моделирование процесса сейсмической активности в геологическом массиве и оценить её воздействие на наземные сооружения.

4. Показана возможность численного расчёта задач глобальной сейсмики планеты на структурных гексаэдральных сетках, которая может быть использована как для уточнения существующих моделей Земли, так и для построения новых моделей других планет в условиях объёма экспериментальных данных.

5. Разработана программа Seismograph для визуализации результатов компьютерного моделирования процесса сейсмической разведки в гетерогенных средах как в двумерном, так и в трёхмерном случаях;

6. Выполнена адаптация компактных схем повышенного порядка точности для численного решения линейного уравнения переноса на двумерный случай (прямоугольные сетки) с сохранением порядка сходимости и свойства монотонизированности.

Степень достоверности и апробация результатов

Научные результаты диссертации опубликованы в 22 работах, из которых 8 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

1. Научные конференции Московского физико-технического института -Всероссийские молодёжные научные конференции с международным участием «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе» (МФТИ, Долгопрудный, 2010-2013);

2. Российско-индийский семинар «Новые достижения математического моделирования» (ИАП РАН, Москва, 2011);

3. XVI международная научно-практическая конференция «Комплексная безопасность 2011 г.» (МЧС, Москва, 2011);

4. XI Международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров» (ИАТЭ, Обнинск, 2011);

5. Третья международная научно-практическая конференция «Нефтегазовые • горизонты» (РГГУ им. И.М. Губкина, Москва, 2011);

6. International Conference "Numerical Geometry, Grid Generation and Scientific Computing" (NUMGRID2012) (A.A. Dorodnicyn Computing Center RAS, Moscow, 2012);

7. Суперкомпьютерный форум «Суперкомпьютерные технологии в образовании, науке и промышленности - 2012» (ННГУ им. Н.И. Лобачевского, Нижний Новгород, 2012);

8. Балтийская школа-семинар «Петрофизическое моделирование осадочных пород» (BalticPetroModel-2012) (ЗАО «Звезда Петергофа», Санкт-Петербург, Петергоф, 2012);

9. XII, XIII и XIV международные семинары «Супервычисления и математическое моделирование» (РФЯЦ - ВНИИЭФ, Саров, 2010-2012);

10.111 Международная научно-практическая конференция «Интеллектуальные системы на транспорте» (ИнтеллектТранс-2013) (ПГУПС, Санкт-Петербург, 2013);

11.International Conference in Computational Science (ICCS 2013) (CCIB, Barcelona, Spain, 2013);

12.Конференция и выставка SPE по разработке месторождений в осложнённых условиях и Арктике 2013 (ВВЦ, Москва, 2013);

13.XI Всероссийская научно-практическая и учебно-методическая конференция «Фундаментальные науки в современном строительстве» (МГСУ, Москва, 2014).

Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных семинарах в следующих организациях:

1. ОАО «Нефтяная компания "Роснефть"» (Москва, 2011, 2012, 2013);

2. Российский федеральный ядерный центр — Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (Саров, 2011, 2012);

3. Научно-технический (НТЦ) ИБМ, День Студента (Москва, 2012);

4. Санкт-Петербургский государственный университет (Санкт-Петербург, 2012);

5. ОАО «Лукойл» (Москва, 2013);

6. ОАО «Росгеология» (Москва, 2013);

7. ОАО «ЦГЭ» (Москва, 2013);

8. ОАО «РЖД» Филиал «Центр Инновационного Развития» (Москва, 2013);

9. ОАО «Зарубежнефть» (Москва, 2013);

10.Научно-исследовательский институт системных исследований РАН (Москва, 2014).

Глава 1. Численное решение динамических задач упругого

тела

Поскольку многие динамические процессы, происходящие в геологических и гетерогенных средах (например, распространение сейсмических волн из очага землетрясения, формирование сейсмического отклика в процессе сейсморазведки, распределение нагрузки в материале наземных строений) могут быть описаны в рамках механики деформируемого твердого тела, численное решение её определяющих уравнений представляет высокий научный и практический интерес.

В настоящей главе рассматриваются основные уравнения, связывающие напряжения и деформации в случае линейно-упругой среды. Описывается подход к их численному решению на основе сеточно-характеристического метода с использованием треугольных и структурных гексаэдральных (криволинейных) расчётных сеток. Рассмотрен метод расщепления по координатам, а также подход к повышению порядка численных схем с использованием полиномиальной интерполяции на расширенном шаблоне.

1.1. Определяющие уравнения

Сформулируем основные уравнения динамической теории упругости, которым подчиняется состояние бесконечно малого объёма линейно-упругой среды. Они состоят из локального уравнения движения и реологического соотношения, описывающего связь между напряжениями и деформациями в среде. Первое из них представимо в виде:

Э

сматриваемои точке, — - частная производная по соответствующему простран-

гаг;

ственному направлению, 7]. - тензор напряжений Коши.

Второе из них следует из закона Гука, связывающего напряжения с деформациями в случае их малости:

Ту — ^ Су1,!ек1 >

'3и, (1-2)

-'- +-1

Эх,.

где Ст - тензор упругих постоянных, а ек1 - линейный тензор деформаций Коши-

Грина. Для изотропной среды тензор упругих постоянных содержит только два независимых коэффициента (Ли ¡1 - постоянные Ламе), и связь (1.2) может быть переписана в виде:

Г = Д(<?:1)+2/л?, (1.3)

где I - единичный тензор.

Используя симметричность тензора напряжений (в силу закона парности касательных напряжений) и продифференцировав соотношение (1.3) по времени получим окончательно определяющую систему уравнений [50]:

Р^^-Т, (14)

Отметим, что система (1.4) также может быть записана в координатном представлении. В трёхмерном случае она запишется в следующей форме:

Эг

Э/ Эх ду ЭК,. дТ д Т дТ

д( Эх ду дг дК дТ дТ„ Э Т

Э/ Эх

ду

о ЭК..

—^ = (Л + 2//)—■+ Л(—^ + —

с)/1 да Эу «2

ЭГ ЭК ЭК ЭК

от ау ах дг

о/ ог ох о)>

Э*

Эу Эх

эг„ эк эк

Э*

Эг Эх

д{ дг ду

(1.5)

1.2. Сеточно-характеристический численный метод на криволинейных структурных сетках

Для описания динамических процессов в телах с формой, максимально приближенной к реальной, могут быть использованы структурные криволинейные (гексаэдральные) сетки. К их преимуществам можно отнести: простоту обхода всех узлов сетки и поиска ближайших соседей для заданного узла, возможность точного описания областей с криволинейными границами.

1.2.1. Параллелепипедные сетки

Рассмотрим систему уравнений, описывающую динамическое состояние линейно-упругого тела (1.4). Введём вектор искомых значений, который в трёхмерном случае в произвольной ортонормированной системе координат представим в виде:

" = (1.6) Тогда система (1.4) может быть записана в матричной форме:

Эй ^ . Э« _

(1.7)

где пробегает значения х,у,г.

Отметим, что для матрицы А} справедливо соотношение:

1(7■•„-)

(1.8)

x(nJ ■ УУ + //(«7 ® V + V ® я,)

Система (1.7) является гиперболической и каждая из матриц А] имеет девять

вещественных собственных значений и базис из собственных векторов. Выражения для матриц А] могут быть выписаны аналитически:

А =

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 ~Ур 0 0 0 0

0 0 0 0 0 Ур 0 0 0

-Х-2 ¡1 0 0 0 0 ' г 0 0 0 0

0 -м 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -м 0 0 0 0 0 0

-X 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

-х 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 - У? 0 0 0 0

0 0 0 0 0 - % 0 0 0

0 0 0 0 0 0 Ур 0 0

0 -я 0 0 0 0 ' г 0 0 0

-и 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 -я -2ц 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -м 0 0 0 0 0 0

0 -X 0 0 0 0 0 0 0

(1.9)

(1.10)

А =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 -я

0 0 0

-м 0 0

0 0 -л

0 -м 0

0 0 -л-:

о о

о о

о о

о о

о о

о о

о о

о о

2fi 0 О

о о о о о о о о

0 0 0

-1/ 0 0

/р

0 -1/ 0

/р

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

(1.11)

1.2.2. Метод расщепления по координатам

Для численного решения системы (1.7) применяется метод расщепления по координатам. При этом она распадается на три одномерные системы уравнений:

(1.12)

дй Ъй .

Каждая из этих систем является гиперболической и обладает полным набором собственных векторов с действительными собственными значениями. Каждую из этих систем можно переписать в виде:

(1.13)

|+0?лА£=«и=.Дз,

где О, - матрица, составленная из собственных векторов, Лу- диагональная

матрица, элементами которой являются собственные значения. Для всех координат матрица Л имеет вид:

Л = с1'шАср -ср, с, -с,, с, ,-сл ,0,0,011, (1-14)

где сг

Л + 2 /и /г -— - продольная скорость звука в среде, cs = — - поперечная

' Р \Р

скорость звука в среде.

После замены переменных v = Qz7 каждая из систем (1.13) распадается на девять независимых скалярных уравнений переноса:

^ + (1.15)

dt ;

Одномерные уравнения переноса решаются методом характеристик на заданном пространственном шаблоне.

В работе [51] предложен способ, позволяющий получать решение системы (1.7) на основании последовательного решения одномерных систем уравнений, не понижающий порядок численной схемы. При этом связь между оператором перехода с текущего на следующий временной слой для системы (1.7) и для каждой из одномерных систем представляется в виде:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Голубев, Василий Иванович, 2014 год

Список литературы

1. Голубев, В.И., Михайлов, Д.Н. Моделирование динамики фильтрации двухчастичной суспензии через пористую среду / В.И. Голубев, Д.Н. Михайлов // Труды МФТИ. - 2011. - Т. 3, № 2( 10). - С. 143- 147.

2. Шевченко, А.А. Сейсмические исследования в скважинах / А.А. Шевченко. -Москва: МГУ, геологический факультет, кафедра сейсмометрии и геоакустики, 2007.- 136 с.

3. Алексеев, А.С., Гольчинский, Б .Я. О лучевом методе вычисления полей волн в случае неоднородных сред с криволинейными границами раздела / А.С. Алексеев, Б.Я. Гольчинский // Вопросы динамической теории построения сейсмических волн. - 1959. - В. 3. - С. 107 - 116.

4. Madariaga, R. Dynamics of an expanding circular fault / R. Madariaga // Bull. Seism. Soc. Am. - 1976. - Vol. 65. - P. 163 - 182.

5. Virieux, J. SH-wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method / J. Virieux // Geophysics. - 1984. - Vol. 49. - P. 1933 - 1942.

6. Virieux, J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method / J. Virieux // Geophysics. - 1986. - Vol. 51. - P. 889 - 901.

7. Levander, A.R. Fourth-order finite difference P-SV seismograms / A.R. Levander // Geophysics. - 1988. - Vol. 53. - P. 1425 - 1436.

8. Mora, P. Modeling anisotropic seismic waves in 3-D / P. Mora // 59th Ann. Int. Mtg. Exploration Geophysicist, Expanded Articles. - 1989. - P. 1039 - 1043.

9. Moczo, P., Kristek, J., Vavrycuk, V., Archuleta, R.J., Halada, L. 3D heterogeneous staggered-grid finite-difference modeling of seismic motion with volume harmonic and arithmetic averaging of elastic moduli and densities / P. Moczo, J. Kristek, V. Vavrycuk, R.J. Archuleta, L. Halada // Bull. Seism. Soc. Am. - 2002. - Vol. 92. -P. 3042 - 3066.

10. Igel, II., Mora, P., Riollet, B. Anisotropic wave propagation through finite-difference grids / H. Igel, P. Mora, B. Riollet // Geophysics. - 1995. - Vol. 60. - P. 1203- 1216.

11. Tessmer, E. 3-D Seismic modeling of general material anisotropy in the presence of the free surface by Chebyshev spectral method / E. Tessmer // Geophysical Journal International. - 1995. - Vol. 59. - P. 464-473.

12. Magnier, S.A., Mora, P., Tarantola, A. Finite Differences on minimal Grids / S.A. Magnier, P. Mora, A. Tarantola // Geophysics. - 1994. - Vol. 59. - P. 1435 -1443.

13. Kaser, M., Igel, H. Numerical simulation of 2D wave propagation on unstructured grids using explicit differential operators / M. Kaser, H. Igel // Geophys. Prosp. -2001.-Vol. 49.-P. 607-619.

14. Kaser, M., Igel, H. A comparative study of explicit differential operators on arbitrary grids / M. Kaser, H. Igel // J. Comput. Acoustics. - 2011. - Vol. 9. - P. 1111 - 1125.

15. Carcione, J.M. The wave equation in generalised coordinates / J.M. Carcione // Geophysics. - 1994.-Vol. 59. - P. 1911 - 1919.

16. Tessmer, E., Kosloff, D. 3-D Elastic modeling with surface topography by a Chebyshev spectral method / E. Tessmer, D. Kosloff // Geophysics. - 1994. - Vol. 59. _P. 464-473.

17. Igel, H. Wave propagation in three-dimensional spherical sections by Chebyshev spectral method / Igel H. // Geophys. J. Int. - 1999. - Vol. 136. - P. 559 - 566.

18. Fomberg, B. A Practical Guide to Pseudospectral Mehtods / B. Fornberg. - Cambridge: Cambridge University Press, 1996. - 231 p.

19. Patera, A.T. A spectral-element method for fluid dynamics: laminar flow in a channel expansion / A.T. Patera // J. Comp. Phys. - 1984. - Vol. 144. - P. 45 - 58.

20. Priolo, E., Carcione, J.M., Seriani, G. Numerical simulation of interface waves by high-order spectral modeling techniques / E. Priolo, J.M. Carcione, G. Seriane // J. acoust. Soc. Am. - 1994. - Vol. 95. - P. 681 - 693.

21. Komatitsch, D., Vilotte, J.P. The spectral-element method: an efficient tool to simulate the seismic response of 2D and 3D geological structures / D. Komatitsch, J.P. Vilotte // Bull. Seism. Soc. Am. - 1998. - Vol. 88. - P. 368 - 392.

22. Seriani, G. 3-D large-scale wave propagation modeling by a spectral-element method on a Cray T3E multiprocessor / G. Seriani // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 1998. - Vol. 164. - P. 235 - 247.

23. Hughes, T.J.R. The Finite Element Method- Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis / T.J.R. Hughes // Dover Publications, 2006. - 672 p.

24. Dumbser, M. On the Improvement of Efficiency and Storage Reqirements to the Discontinuous Galerkin Method for Aeroacoustics / M. Dumbser // PAMM. -2003.-Vol. 3.-P. 426-427.

25. Dumbser, M., Munz, C.D. Arbitraiy High Order Discontinuous Galerkin Schemes // Numerical Methods for Hyperbolic and Kinetic Problems // eds. Cordier S., Goudon, Т., Gutnic, M., Sonnendmcker, E. IRMA series in mathematics and theoretical physics, EMS Publishing House. - 2005. - P. 295 - 333.

26. Dumbser, M., Munz, C.D. ADER Discontinuous Galerkin Schemes for Aeroacoustics / M. Dumbser, C.D. Munz // Comptes Rendus Mecanique. - 2005. - Vol. 333. - P. 683 - 687.

27. Kaser, M., Dumbser, M. An Arbitrary High Order Discontinuous Galerkin Method for Elastic Waves on Unstructured Meshes I: The Two-Dimensional Isotropic Case with External Source Terms / M. Kaser, M. Dumbser // Geophys. J. Int. - 2000. -Vol. 166.-P. 855-877.

28. Kaser, M., Dumbser, M. An Arbitrary High Order Discontinuous Galerkin Method for Elastic Waves on Unstructured Meshes II: The Three-Dimensional Isotropic Case / M. Kaser, M. Dumbser // Geophys. J. Int. - 2000. - Vol. 167.-1. 1. - P. 319-336.

29. Петров, И.Б., Холодов, А.С. Численные исследования некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом / И.Б. Петров, А.С. Холодов // Журнал вычис-

лительной математики и математической физики. - 1984. - Т. 24, № 5. - С. 722 - 739.

30. Кондауров, В.И., Кукуджаиов, В.II. Об определяющих уравнениях и численном решении некоторых задач динамики упруго-пластических сред с конечными деформациями / В.И. Кондауров, В.Н. Кукуджанов // Сб. по численным методам в механике деформируемого твердого тела. — 1978. — С. 84 — 122.

31. Раменский, E.H. Разностная схема Годунова для одномерных релаксационных уравнений термоупругопластичности / E.H. Раменский // Сб. Вычислительные проблемы в задачах математической физики. — 1988. — С. 101 - 115.

32. Петров, И.Б., Холодов, A.C. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа / И.Б. Петров, A.C. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1984. — Т. 24, № 8. — С. 1172- 1188.

33. Иванов, В.Д., Петров, И.Б., Суворова, Ю.В. Расчет волновых процессов в наследственных вязкоупругих средах / В.Д. Иванов, И.Б. Петров, Ю.В. Суворова // Механика композитных материалов. - 1990. - № 3. - С. 447 - 450.

34. Петров, И.Б., Тормасов, А.Г., Холодов, A.C. О численном изучении нестационарных процессов в деформируемых средах многослойной структуры / И.Б. Петров, А.Г. Тормасов, A.C. Холодов // Известия АНСССР, сер. МТТ. -

1989.-№4.-С. 89-95.

35. Петров, И.Б., Тормасов, А.Г., Холодов, A.C. Об использовании гибридизиро-ванных сеточно-характеристических схем для численного решения трёхмерных задач динамики деформируемого твердого тела / И.Б. Петров, А.Г. Тормасов, A.C. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1990. - Т. 30, № 8. - С. 1237 - 1244.

36. Петров, И.Б., Тормасов, А.Г. О численном исследовании трехмерных задач обтекания волнами сжатия препятствия или полости в упругоплатическом полупространстве / И.Б. Петрова, А.Г. Тормасов // Доклады АН СССР. -

1990. Т. 314, № 4. - С.817 - 820.

37. Петров, И.Б., Фаворская, A.B., Санников, A.B., Квасов, И.Е. Сеточно-характеристический метод с использованием интерполяции высоких порядков на тетраэдральных иерархический сетках с кратным шагом по времени / И.Б. Петров, A.B. Фаворская, A.B. Санников, И.Е. Квасов // Математическое моделирование. - 2013. - Т. 25, № 2. - С. 42 - 52.

38. Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Моделирование задач 3D сейсмики на высокопроизводительных вычислительных системах / И.Б. Петров, н.И. Хохлов // Математическое моделирование. - 2014. - Т. 26, № 1. - С. 83 - 95.

39. Левянт, В.Б., Петров, И.Б., Челноков, В.Б. О природе отклика рассеянной сейсмической энергии от зоны диффузной кавернозности и трещиноватости в массивных породах / В.Б. Левянт, И.Б. Петров, В.Б. Челноков // Геофизика. -2005.-№6.-С. 5-19.

40. Левянт, В.Б., Петров, И.Б., Панкратов, С.А. Исследование характеристик продольных и обменных волн отклика обратного рассеяния от зон трещиноватого коллектора , В.Б. Левянт, И.Б. Петров, С.А. Панкратов // Технологии сейсморазведки. - 2009. - № 2. - С. 3 - 11.

41. Левянт, В.Б., Петров, И.Б., Муратов, М.В. Численное моделирование волновых откликов от системы (кластера) субвертикальных макротрещин / В.Б. Левянт, И.Б. Петров, М.В. Муратов // Технологии сейсморазведки. - 2012. -№ 1.-С. 5 -21.

42. Левянт, В.Б., Петров, И.Б., Муратов, М.В., Быко, С.А. Исследование устойчивости образования фронта рассеянных обменных волн от зоны макротрещин / В.Б. Левянт, И.Б. Петров, М.В. Муратов, С.А. Быко // Технологии сейсморазведки. - 2003. - № 1. - С. 32 - 45.

43. Хромова, И.Ю. Миграция дуплексных волн - метод картирования трещиноватых зон тектонического генезиса / И.Ю. Хромова // Геология нефти и газа. - 2008.-№3,-С. 37-47.

44. Козлов, Е.В. Модели среды в разведочной сейсмогеологии / Е.В. Козлов. -Тверь: ГЕРС, 2006. - 480 с.

45. Левянт, В.Б., Хромова, И.Ю., Козлов, Е.А., Керусов, И.Н., Кащеев, Д.Е., Ко-лесов, В.В., Мармалевский, Н.Я. Методические рекомендации по использованию данных сейсморазведки для подсчёта запасов углеводородов в условиях карбонатных пород с пористостью трещинно-кавернозного типа / В.Б. Левянт, И.Ю. Хромова, Е.А. Козлов, И.Н. Керусов, Д.Е. Кащеев, В.В. Коле-сов, Н.Я. Мармалевский. - Москва: ОАО «ЦГЭ», 2010. - 250 с.

46. Левянт, В.Б., Петров, И.Б., Квасов, И.Е. Численное моделирование волнового отклика от субвертикальных макротрещин, вероятных флюидопроводящих каналов / В.Б. Левянт, И.Б. Петров, И.Е. Квасов // Технологии сейсморазведки. - 2011. -№ 4. - С. 41-61.

47. Schoenberg, М. Elastic wave behavior across linear slip interfaces / M. Schoen-berg // J. Acoust. Loc. Am. - 1980. - Vol. 68. - P. 1516 - 1521.

48. Schoenberg, M., Sayers, C.M. Seismic anisotropy of fractured rock / M. Schoenberg, C.M. Sayers // Geophysics. - 1995. - Vol. 60(1). - P. 204 - 211.

49. Liu, E., Hadson, J.A., Granpin, S., Rizer, W.D. Queen Seismic properties of general fracture / E. Liu, J.A. Hadson, S. Granpin, W.D. Rizer // Mechanics of Jointed and Faulted Rock, Rossmanith (ed.), 1195. - P. 673 - 678.

50. Седов, Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. - М.: Наука, 1970. - 492 с.

51. Челноков, Ф.Б. Численное моделирование деформационных динамических процессов в средах со сложной структурой: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / Челноков Федор Борисович. - М., 2005. - 251 с.

52. Хохлов, Н.И. Численное моделирование сейсмических процессов на высокопроизводительных вычислительных системах: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18/Хохлов Николай Игоревич. -М., 2011.- 110 с.

53. Courant, R., Isaacson, Е., Rees, М. On the solutions of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences / R. Courant, E. Isaacson, M. Rees // Comm. Pure and Appl. Math. - 1952. - Vol. 5, No. 5. - P. 243 - 254.

54. Lax, P.D., Wendroff, B. System of conservation laws / P.D. Lax, B. Wendroff // Comm. Pure and Appl. Math. - 1960. - Vol. 13, No. 2. - P. 217 - 237.

55. Rusanov, V.V. Calculation of intersection of non-steady shock waves with obstacles / V.V. Rusanov // J. Comput. Math. Phys. USSR. - 1961. - Vol. 1. - P. 267 -279.

56. Холодов, A.C., Холодов, Я.А. О критериях монотонности разностных схем для уравнений гиперболического типа / А.С. Холодов, Я.А. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, №9.-С. 1638- 1667.

57. Магомедов, К.М., Холодов, А.С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений / К.М. Магомедов, А.С. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1969. - Т. 9, № 2. - С. 373 - 386.

58. Roe, P.L. Characteristic-based schemes for the Euler equations / P.L. Roe // Annual review of fluid mechanics, 1986. - Vol. 18, No. 1. - P. 337 - 365.

59. Van Leer, B. Towards the ultimate conservative difference scheme. Ill - Upstream-centered finite-difference schemes for ideal compressible flow / B. Van Leer // Journal of Computational Physics. - 1977. - Vol. 23. - P. 263-275.

60. Van Leer, B. Towards the ultimate conservative difference scheme. II - Mono-tonicity and Conservation Combined in a Second-Order Scheme / B. Van Leer // Journal of Computational Physics. - 1974. - Vol. 18., 1. 4. - P. 361 - 370.

61. Петров, И.Б., Квасов, И.Е. Численное исследование пространственных волновых процессов с использованием неструктурированных сеток / И.Б. Петров, И.Е. Квасов // Моделирование и обработка информации. - 2008. - С. 15 -18.

62. Петров, И.Б., Квасов, И.Е., Челноков, Ф.Б. Расчёт волновых процессов в неоднородных пространственных конструкциях / И.Б. Петров, И.Е. Квасов, Ф.Б. Челноков // Математическое моделирование. - 2009. - Т. 21, № 5. - С. 3 -9.

63. Петров, И.Б., Фаворская, А.В. Библиотека по интерполяции высоких порядков на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках / И.Б.

Петров, А.В. Фаворская // Информационные технологии. - 2011. - № 9. - С. 30-32.

64. Courant, R., Lax, P. On nonlinear partial differential equations with two independent variables / R. Courant, P. Lax // Communications on Pure and Applied Mathematics. - 1949. - Vol. 2. - P. 255 - 273.

65. Холодов, A.C. Численные методы решения уравнений и систем гиперболического типа / А.С. Холодов // Энциклопедия низкотемпературной плазмы, 2008. —С. 1638- 1667.

66. Грудницкий, В.Г., Прохорчук, Ю.А. Один приём построения разностных схем с произвольным порядком аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных / В.Г. Грудницкий, Ю.А. Прохорчук // Докл. АН СССР. - 1977. - Т. 234, № 6. - С. 1249 - 1252.

67. Рождественский, Б., Яненко, Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б. Рождественский, Н. Яненко. - Москва: Наука, 1978.-689 с.

68. Толстых, А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики / А.И. Толстых. - Москва: Наука, 1990. — 230 с.

69. Рогов, Б.В., Михайловская, М.Н. Монотонные бикомпактные схемы для линейного уравнения переноса / Б.В. Рогов, М.Н. Михайловская // Математическое моделирование. - 2011. - Т. 23, № 6. - С. 98 - 110.

70. Van Leer, В. Towards the ultimate conservative difference scheme v a second-order sequel to godunov's method / B. Van Leer // Journal of Computational Physics. - 1979. - Vol. 32, No. 1. - P. 101 - 136.

71. Yabe, Т., Aoki, Т., Sakaguchi, G., Wang, P., Ishikawa, T. The compact cip (cubic-interpolated pseudo-particle) method as a general hyperbolic solver / T. Yabe, T. Aoki, G. Sakaguchi, P. Wang, T. Ishikawa // Computers and Fluids. - 1991. - Vol. 19. - P. 421 -431.

72. Yabe, Т., Ishikawa, Т., Wang, P.Y. A universal solver for hyperbolic equations by cubic-polynomial interpolation 11. Two- and three-dimensional solvers / T. Yabe,

T. Ishikawa, P.Y. Wang // Computer Physics Communications. - 1991. - Vol. 66. -P. 233-242.

73. Yabe, T., Mizoe, H., Takizawa, K., Moriki, H., Im, H.-N., Ogata, Y. Higher-order schemes with CIP method and adaptive soroban grid towards mesh-free scheme / T. Yabe, H. Mizoe, K. Takizawa, H. Moriki, H.-N. Im, Y. Ogata // Journal of Computational Physics. - 2004. - Vol. 194. - P. 57 - 77.

74. Голубев, В.И. Методика отображения и интерпретации результатов полноволновых сейсмических расчётов / В.И. Голубев // Труды МФТИ. — 2014. — Т. 6, № 1. - С. 154- 161.

75. Муратов, М.В., Петров, И.Б. Расчёт волновых откликов от систем субвертикальных макротрещин с использованием сеточно-характеристического метода / М.В. Муратов, И.Б. Петров // Математическое моделирование. - 2013. -Т. 25, №3.-С. 89- 104.

76. Голубев, В.И., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Численное моделирование сейсмической активности сеточно-характеристическим методом / В.И. Голубев, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53, № 10. - С. 1709 - 1720.

77. Golubev, V.I., Petrov, I.B., Khokhlov, N.I. Numerical Simulation of Seismic Activity by the Grid-Characteristic Method / V.I. Golubev, I.B. Petrov, N.I. Khokhlov // Computational Mathematics and Mathematical Physics. - 2013. - Vol. 53, No. 10.-P. 1709- 1720.

78. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Петров, И.Б. Воздействие природных катастроф на наземные сооружения / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, И.Б. Петров // Математическое моделирование. -2011. Т. 23, № 8. - С. 46 - 54.

79. Golubev, V.I., Kvasov, I.E., Petrov, I.B. Influence of Natural Disasters on Ground Facilities / V.I. Golubev, I.E. Kvasov, I.B. Petrov // Mathematical Models and Computer Simulations. -2012. - Vol. 4, No. 2. - P. 129 - 134.

80. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Петров, И.Б. Численное моделирование волновых процессов в гетерогенных средах / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, И.Б. Петров // Супервычисления и математическое моделирование. Труды XII меж-

дународного семинара / Под ред. Р. М. Шагалиева. - Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ». - 2011. - С. 110-115.

81. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Распространение сейсмических волн в гетерогенных геологических средах и задачи сейсмостойкости зданий и сооружений / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // XIII международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Тезисы. - Саров: ФГУП «ВНЯЦ-ВНИИЭФ», 2011. С. 59-60.

82. Назарова, З.А. Тестирование программ расчёта координат гипоцентров землетрясений (DIMAS, ARC) на точность и устойчивость в условиях камчатской сети радиотелеметрических станций / З.А. Назарова // Сб. тез. Научно-техн. конференции "Проблемы комплексного геофизического мониторинга Дальнего Востока России". - 2007. - С. 191 - 195.

83. Голубев, В.И., Хохлов, Н.И. Математическое моделирование упругих возмущений, распространяющихся из очага землетрясения / В.И. Голубев, Хохлов Н.И. // Вестник ЮУрГУ. Серия "Вычислительная математика и информатика". - 2013. - Т. 2, № 2. - С. 56 - 64.

84. Балакина, JIM., Введенская, A.B., Голубева, Н.В., Мишарина, Л.А., Широкова Е.И. Поле упругих напряжений Земли и механизм очагов землетрясений / Л.М. Балакина, A.B. Введенская, Н.В. Голубева, Л.А. Мишарина, Е.И. Широкова. - М.: Наука, 1972. - 191 с.

85. Пузырев, H.H. Методы и объекты сейсмических исследований. Введение в общую сейсмологию / H.H. Пузырев. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1997. -301 с.

86. Санина, И.А., Шаумян, A.B., Габсатарова, И.Л. Трехмерная скоростная модель коры Северного Кавказа по данным региональных наблюдений / И.А. Санина, A.B. Шаумян, И.Л. Габсатарова // Проблемы Взаимодействующих Геосфер. Сборник научных трудов ИДГ РАН. - 2009. - С. 130 - 141.

87. Голубев, В.И., Григорьевых, Д.П., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Оценка сейсмостойкости купольных конструкций на основе результатов полноволнового

моделирования / В.И. Голубев, Д.П. Григорьевых, И.Б. Петров, Н.И. Хохлов // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. -2014.-T. 10, Вып. l.-C. 65-71.

88. Richard von Mises Mechanik der festen Korper im plastisch-deformable Zustand / Richard von Mises // Gottin. Nachr. Math. Phys. - 1913. - Vol. 1. - P. 582 - 592.

89. Shahzad, F. Software development for fault plane solution and isoseismal map / F. Shahzad // M. Sc. Thesis Quaid-i-Azam Univ. Islamabad, 2006.

90. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Хохлов, Н.И., Петров, И.Б. Численное моделирование волн Рэлея и Лява сеточно-характеристическим методом / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, Н.И. Хохлов, И.Б. Петров // Сборник материалов XVI международной научно-практической конференции «Комплексная безопасность 2011 г.». ФГУ ВНИИ МЧС. - 2011. - С. 62 - 68.

91. Голубев, В.И., Петров, И.Б. Численное исследование волновых процессов в трещиноватых средах в трёхмерной постановке / В.И. Голубев, И.Б. Петров // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. - 2014. -Вып. 4.-С. 139- 146.

92. Голубев, В.И., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Программа для расчёта сейсмических процессов в гетерогенных геологических средах (SEISMICJV10DELING). // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013619847 от 17 октября 2013 г.

93. Петров И.Б., Голубев, В.И., Миряха, В.А., Хохлов, Н.И., Фаворская, A.B., Санников, A.B., Беклемышева, К.А. Динамическая диагностика элементов пути / И.Б. Петров, В.И. Голубев, В.А. Миряха, Н.И. Хохлов, A.B. Фаворская, A.B. Санников, К.А. Беклемышева // Вестник Института проблем естественных монополий: Техника железных дорог. — 2013. - Т. 24, № 4. - С. 82 — 95.

94. Петров, И.Б., Фаворская, A.B., Хохлов, Н.И., Миряха, В.А., Санников, A.B., Голубев, В.И. Мониторинг состояния подвижного состава с помощью высокопроизводительных вычислительных систем и высокоточных вычислительных методов / И.Б. Петров, A.B. Фаворская, Н.И. Хохлов, В.А. Миряха, A.B.

Санников, В.И. Голубев // Математическое моделирование. - 2014. - Т. 26, № 7.-С. 19-32.

95. Голубев, В.И., Квасов, И.Е. Определение геометрических характеристик геологических пластов на основе методов быстрой оптимизации / В.И. Голубев, И.Е. Квасов // Труды 54-й научной конференции МФТИ «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе». Управление и прикладная математика. Том 2. М.: МФТИ, 2011.С. 58-59.

96. Голубев, В.И., Квасов, Д.Е., Квасов, И.Е. Определение положения сейсмо-геологических трещин при помощи численных методов глобальной оптимизации / В.И. Голубев, Д.Е. Квасов, И.Е. Квасов // Труды 53-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук»: Часть VII. Управление и прикладная математика. Том 2. М.: МФТИ, 2010. С. 20-22.

97. Jeffreys, Н. and Bullen, К.Е. Seismological Tables / Н. Jeffreys, К.Е. Bullen. -London: British Association for the Advancement of Science. Burlington House, 1940.

98. Dziewonski, A.M., Anderson, D.L. Preliminary reference Earth model / A.M. Dziewonski, D.L. Anderson // Phys. Earth Planet. Inter. - 1981. - Vol. 25. - P. 297-356.

99. Kennett, B.L. N., Engdahl, E.R. Traveltimes for global earthquake location and phase identification / B.L.N. Kennett, E.R. Engdahl // Geophysical Journal International. - 1991. - 105(2). - P. 429-465.

100. Morelli, A., Dziewonski, A.M. Body-wave traveltimes and a spherically symmetric P- and S-wave velocity model / A. Morelli, A.M. Dziewonski // Geophysical Journal International. -1993.- 112(2). - P. 178-184.

101. Kennett, B.L. N., Engdahl, E.R., Buland, R. Constraints on seismic velocities in the Earth from traveltimes / B.L.N. Kennett, E.R. Engdahl, R. Buland // Geophysical Journal International. - 1995. - 122(1). - P. 108-124.

102. Kustowski, B., Ekstrom, G., Dziewonski, A.M. Anisotropic shear-wave velocity structure of the Earth's mantle: A global model / B. Kustowski, G. Ekstrom, A.M. Dziewonski // Journal of Geophysical Research. - 2008. - Vol. 113. - B06306.

103. Stacy, F.D., Davis, P.M. Physics of the Earth / F.D. Stacy, P.M. Davis. -Cambridge, 2008. - P. 239-261.

104. Heldin, M.A.H., Shearer, P.M., Earle, P.S. Seismic evidence for small-scale heterogeneity throughout the Earth's mantle / M.A.H. Heldin, P.M. Shearer, P.S. Earle // Nature. - 1997. - Vol. 387. - P. 145-150.

105. Lay, T., Williams, Q., Garnero, E.J. The core-mantle boundary layer and deep Earth dynamics / T. Lay, Q. Williams, E.J. Garnero //Nature. - 1998. - Vol. 392. -P. 461-468.

106. Song, X.D. Anisotropy of the Earth's inner core / X.D. Song // Rev. Geophys.. -1997. - Vol. 35(3). - P. 297-313.

107. Altennan, Z.S., Aboudi, J., Karal, F.C. Pulse propagation in a laterally heterogeneous solid elastic sphere / Z.S. Altennan, J. Aboudi, F.C. Karal // Geophys. J. R. astr. Soc. - 1970. - Vol. 21(3). - P. 243-260.

108. Li, X., Tanimoto, T. Waveforms of long-period body waves in a slightly aspherical Earth model / X. Li, T. Tanimoto // Geophys. J. Int. - 1993. - Vol. 112(1). - P. 92102.

109. Wysession, M.E., Shore, P.J. Visualization of whole mantle propagation of seismic shear energy using normal mode summation / M.E. Wysession, P.J. Shore // Pure Appl. Geophys. - 1994. - Vol. 142(2). - P. 295-310.

110. Friederich, W., Dalkolmo, J. Complete synthetic seismogram for a spherically symmetric earth by a numerical computation of the Green's function in the frequency domain / W. Friederich, J. Dalkolmo // Geophys. J. Int. - 1995. - Vol. 122(2).-P. 537-550.

111. Yoon, K.-H., McMechan, G.A. Simulation of long-period 3-D elastic responses for whole earth models / K.-H. Yoon, G.A. McMechan // Geophys. J. Int. - 1995. -Vol. 120(3).-P. 721-730.

112. Igel, II., Weber, M. Sl-I-wave propagation in the whole mantle using high-order finite differences / H. Igel, M. Weber // Geophys. Res. Lett. - 1995. Vol. 22(6). -P. 731-734.

113. Igel, H., Weber, M. P-SV wave propagation in the Earth's mantle using finite differences: application to heterogeneous lowermost mantle structure / Ii. Igel, M. Weber//Geophys. Res. Lett. - 1996. - Vol. 23(5). - P. 415-418.

114. Igel, H., Gudmundsson, O. Frequency-dependent effects on travel times and waveforms of long-period S and SS waves / H. Igel, O. Gudmundsson // Phys. Earth planet. Inter. - 1997. - 104(1-3). - P. 229-246.

115. Chaljub, E., Tarantola, A. Sensitivity of SS precursors to topography of the upper-mantle 660-km discontinuity / E. Chaljub, A. Tarantola // Geophys. Res. Lett. -

1997. - Vol. 24(21). - P. 2613-2616.

116. Cummins, P.R., Takeuchi, N., Geller, R.J. Computation of complete synthetic seismograms for laterally heterogeneous models using the Direct Solution Method /P.R. Cummins, N. Takeuchi, R.J. Geller// Geophys. J. Int. - 1997. Vol. 130(1). -P. 1-16.

117. Geller, R.J., Ohminato, T. Computation of synthetic seismograms and their partial derivatives for heterogeneous media with arbitrary natural boundary conditions using the Direct Solution Method / R.J. Geller, T. Ohminato // Geophys. J. Int. -1994. - Vol. 116 (2). - P. 421-446.

118. Chaljub, E., Vilotte, J.P. 3D wave propagation in a spherical Earth model using the spectral element method / E. Chaljub, J.P. Vilotte // EOS, Trans. Am. Geophys. -

1998.-Vol. 79.-P. 625-626.

119. Capdeville, Y., Chaljub, E., Vilotte, J.P., Montagner, J. A hybrid numerical method of the spectral element method and the normal modes for realistic 3D wave propagation in the Earth / Y. Capdeville, E. Chaljub, J.P. Vilotte, J. Montagner // EOS, Trans. Am. Geophys. Un. - 1999. - Vol. 80. - P. 698-708.

120. Furumura T., Kennett, B.L.N., Furumura, M. Seismic wavefield calculation for laterally heterogeneous whole earth models using the pseudospectral method / T. Fu-

rumura, B.L.N. Kennett, M. Furumura // Geophys. J. Int. - 1998. - Vol. 135(3). -P. 845-860.

121. Furumura, M., Kennett, B.L.N., Furumura, T. Seismic wavefield calculation for laterally heterogeneous earth models—II. The influence of upper mantle heterogeneity / T. Furumura, B.L.N. Kennett, M. Furumura // Geophys. J. Int. - 1999. -Vol. 139(3).-P. 623-644.

122. Thomas, Ch., Igel, H., Weber, M., Scherbaum, F. Acoustic simulation of P-wave propagation in a heterogeneous spherical earth: numerical method and application to precursor waves to PKPdf / Ch. Thomas, H. Igel, M. Weber, F. Scherbaum // Geophys. J. Int. - 2000. - Vol. 141(2). - P. 307-320.

123. Wang, Y., Takenaka, II., Furumura, T. Modelling seismic wave propagation in a two-dimensional cylindrical whole-earth model using the pseudospectral method / Y. Wang, II. Takenaka, T. Furumura // Geophys. J. Int. - 2001. - Vol. 145(3). - P. 689-708.

124. Kosloff, D., Baysal, E. Forward modeling by a Fourier method / D. Kosloff, E. Baysal // Geophysics. - 1982. - Vol. 47(10). - P. 1402-1412.

125. Того, E.F., Kaeser, M., Dumbser, M., Castro, C.C. ADER shock-capturing methods and geophysical applications / E.F. Того, M. Kaser, M. Dumser, C.C. Castro // Proceedings of the 25th International Symposium on Shock Waves, ISSW25, Bangalore India, 17-22 July, 2005.

126. Дорошенко, A.B., Голубев, В.И., Хохлов, Н.И. Численное моделирование динамических процессов сеточно-характеристическим методом для нужд сейсмической томографии Марса / А.В. Дорошенко, В.И. Голубев, Н.И. Хохлов // Труды 55-й научной конференции МФТИ: Всероссийской научной конференции «Проблемы фундаментальных и прикладных естественных и технических наук в современном информационном обществе», Научной конференции «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук в области физики и астрономии», Всероссийской молодёжной научной конференции «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». Управление и прикладная математика. Том 1. М.: МФТИ, 2012. С. 113 - 114.

127. Голубев, В.И., Квасов, И. Е., Петров, И.Б. Численное моделирование упругих волн, распространяющихся из гипоцентра землетрясения, и их воздействие на промышленные и жилые сооружения / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, И.Б. Петров // М.:МФТИ, Сб. трудов МФТИ: Математические модели и задачи управления. - 2011. - С. 87 - 93.

128. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Хохлов, Н.И., Петров, И.Б. Численное моделирование сейсмостойкости жилых и промышленных наземных сооружений / В.И. Голубев, И.Е. Квасов, Н.И. Хохлов, И.Б. Петров // Сборник материалов XVI международной научно-практической конференции «Комплексная безопасность 2011 г.». ФГУ ВНИИ МЧС. - 2011. - С. 55 - 61.

129. Голубев, В.И. Разработка методики оценки сейсмостойкости наземных сооружений путём прямого численного моделирования / В.И. Голубев // Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области информатики и информационных технологий: сб. науч. работ: в 3 т., Том 1. Белгород: ИД «Белгород». - 2012. - С. 72 - 76.

130. Голубев, В.И., Квасов, И.Е., Петров, И.Б., Хохлов, Н.И. Расчёт динамических процессов в геологических средах на высокопроизводительных вычислительных системах / В.И. Голубев, Квасов И.Е., Петров И.Б., Хохлов Н.И. // XIV международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Тезисы. - Саров: ФГУП «ВНЯЦ-ВНИИЭФ». - 2012. - С. 58 - 60.

131. Romanowicz, В., Mitchell, B.J. Deep Earth Structure - Q of the Earth from Crust to Core / B. Romanowicz, B.J. Mitchell // Elsevier, Treatise on Geophysics. -2014.-Vol. l.-P. 731 -774.

132. Zharkov, V.N., Gudkova, T.V., Molodensky, S.M. On models of Mars' interior and amplitudes of forced nutations 1. The effects of deviation of Mars from its equilibrium state on the flattening of the core-mantle boundary / V.N. Zharkov, Т. V. Gudkova, S.M. Molodensky // Physics of the Earth and Planetary Interiors. -2009.-V. 172.-p. 324-334.