Ветвление периодических решений и законы сохранения нелинейных уравнений теории волн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Макридин Захар Владимирович

• Макридин Захар Владимирович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Макридин Захар Владимирович

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Система зацепленных уравнений КдФ

1.2 Необходимые факты теории ветвления

1.3 Ветвление решений системы слабосвязанных осцилляторов

1.4 Интегрируемые системы гидродинамического типа

1.5 Трехмерные интегрируемые уравнения и системы

Глава 2. Ветвление периодических решений типа бегущих волн слабосвязанных уравнений Кортевега — де

Фриза

2.1 Постановка задачи

2.2 Ветвление решений типа кноидальных волн

2.3 Гармонические волны малой амплитуды

2.3.1 Асимптотика невозмущенного решения

2.3.2 Схема ветвления для возмущенной системы

Глава 3. Законы сохранения интегрируемых систем уравнений

3.1 Иерархия цепочки Бенни

3.1.1 Трехмерные законы сохранения

3.1.2 Уравнение Хохлова - Заболоцкой

3.1.3 Гидродинамические редукции

3.2 Иерархия цепочки Михалева

3.2.1 Трехмерные законы сохранения

3.2.2 Уравнение Михалева

3.2.3 Гидродинамические редукции

3.2.4 Конечномерные (ОДУ) редукции

3.2.5 Дисперсионные редукции

Приложение А

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Ветвление периодических решений и законы сохранения нелинейных уравнений теории волн»

Введение

Актуальность темы исследования. В настоящей диссертации рассматриваются два типа задач математической теории нелинейных волн. Первый тип связан с построением семейств асимптотических периодических решений системы слабосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая получается при переходе к бегущей переменной в модельной системе зацепленных уравнений Кортевега - де Фриза. В задачах второго типа исследуются способы построения трехмерных законов сохранения коммутирующих интегрируемых гидродинамических цепочек и их редукций. Актуальность темы исследования обусловлена необходимостью развития математических методов для получения точных и асимптотических решений консервативных систем уравнений, возникающих при моделировании различных физических процессов.

Степень разработанности темы исследования. Известно, что описание длинных волн малой амплитуды в невязкой стратифицированной жидкости сводится к линейному уравнению в частных производных с разделяющимися переменными четвертого порядка. Задача Штурма-Лиувилля, возникающая при нахождении спектра волновых мод, имеет счетный набор простых собственных значений и соответствующих им собственных функций, удовлетворяющих условиям ортогональности. Собственные значения определяют дисперсионные кривые в пространстве частот и волновых чисел. Частота Брента - Вяйсяля N(z) (частота плавучести), которая характеризует профиль стратификации, играет ключевую роль в поведении дисперсионных кривых. А именно, если стратификация является однородной, т.е. N(z) = N0 = const, то все кривые отделены друг от друга. Аналогичный вывод можно сделать в случае, когда функция N(z) имеет только один максимум. Однако, при наличии нескольких локальных максимумов появляются точки, в малой окрестности которых лежат две и более дисперсионных кривых. Этот феномен называется резонансом Эккарта [1]. Натурные наблюдения [2]

показывают, что профили стратификации действительно могут иметь множество локальных максимумов. Данное обстоятельство определяет не только слоистую структуру океана, но и возможность перекачки энергии по вертикали между различными слоями.

Для описания слабонелинейных эффектов при наличии резонанса Эккарта между двумя модами в работе [3] (см. также [4]) была выведена модель зацепленных уравнений Кортевега - де Фриза (система Гира -Гримшоу)

где коэффициенты с^, 7^, Sij и зависят от параметров фонового течения, а Д2 - отвечает за разность собственных значений в следующем порядке по амплитуде.

При отсутствии резонанса Эккарта слабонелинейные эффекты описываются уравнением Кортевега - де Фриза, которое допускает специальный вид решений — уединенные волны. Поэтому вполне естественно посмотреть, как себя ведет подобный класс решений в рамках системы Гира - Гримшоу. Численные расчеты [3], [5] показывают, что существует два принципиально разных вида совместного движения солитонов в соседных слоях: синхронизованное движение, т.е. решения для обеих компонент А1 и А2 движутся с постоянной одинаковой скоростью (бегущие волны), и перескакивающие солитоны ("leapfrogging solitary waves"), когда решения каждой из компонент Ах,2 обмениваются энергией друг с другом периодическим образом. Последний тип движения был впервые обнаружен в работе [6] также при изучении резонанса Эккарта, однако полученная в ходе исследования система зацепленных уравнений типа "Intermediate Long Wave" оказалась менее информативной, чем система Гира - Гримшоу. Отметим здесь также работу [7], в которой перескакивающие солитоны наблюдались экспериментально.

Аналитическое построение решений системы Гира - Гримшоу с

aiAiT + 711 AiAu + 5iiAisss + 7211 { А1А2} s + 721 ^2 + 721^2SSS = 0,

s

+ 712 + 712^1SSS + = 0,

произвольными коэффициентами оц, , и весьма затруднительно. Поэтому имеющиеся работы сводятся к рассмотрению частных случаев как модельных систем, так и уравнений возникающих в приложениях. Наиболее популярной является редуцированная система

А1т + ух Л^ь + 51 + А!а1з + Рца2з = 0, а2т + 52 А2А23 + Л2А2з*в + /А2^2, + «2^1* = 0,

поскольку она получена в рамках изучения конкретных геофизических течений [8-10], а также в задаче о генерации внутренней волны второй моды за счет взаимодействия волны первой моды с топографией [11] в трехслойной жидкости.

При поиске решений типа бегущих волн редуцированная система Гира - Гримшоу сводится к четырехмерной динамической системе, спектр линейного оператора которой довольно разнообразен и существенно зависит от параметров, входящих в уравнения. Это значит, что имеется множество различных типов таких волн. В работах [12-14] при помощи метода нормальных форм изучались решения, ответвляющиеся от точек спектра следующих типов:

(а) двойное нулевое собственное значение и пара вещественных разного знака;

(б) двойное нулевое собственное значение и пара чисто мнимых;

(в) пара чисто мнимых двойных собственных значений;

(г) пара вещественных собственных значений разного знака и пара чисто мнимых.

В случае (а) редуцированная система имеет решение в виде классической уединенной волны (гомоклиническая траектория). От точек спектра типа (б) ответвляется решение, называемое обобщенной уединенной волной, т.е. солитон с осциллирующими на бесконечности хвостами. В случаях (в) и (г) возникают солитоны огибающей и вложенные солитоны (локализованные периодические структуры) соответственно. Кроме того, в работе [12] исследованы некоторые вырождения случая (в), которые приводят к решениям типа кинков (уступообразная волна с профилем типа

гиперболического тангенса) и более сложным структурам. Дальнейшее изучение [15] возможных решений привело к построению волн типа плато с рябью на концах и в центральном ядре. Такие решения явились результатом резонансного взаимодействия длинных волн с периодическими волнами малой амплитуды.

Нестационарные решения (перескакивающие солитоны) редуцированной системы Гира - Гримшоу изучались в работах [16-18] при помощи асимптотических разложений в предположении, что зацепляющие члены малы. В работе [19] исследовалась устойчивость решений типа классических уединенных волн в системе специального вида

щ + (Кщ + ^ (и) + е(К3у + Си(и,у)))х = 0, Уг + (К2у + Г2(у) + е(К4и + Су (и,у)))х = 0,

где функции ^, и С являются бесконечно гладкими, и все их первые и вторые производные в нуле равны нулю. Далее К\, К2 и К3 являются скалярными дифференциальными операторами с постоянными коэффициентами: К\ = д2х) К2 = с\ + с2К\ и К3 = с3 + С4К1, а параметр £ является малым. Для систем такого вида было доказано существование четырех типов классических солитонных решений: первый тип — это решение, в котором компонента и порядка 0(1), а V порядка 0(е); второй тип такой же, что и первый, только компоненты и и V меняются ролями; решения третьего типа имеют обе компоненты порядка 0(1) и четвертый тип представляет перескакивающие солитоны. Оказалось, что первые два типа решений орбитально устойчивы, а решения третьего и четвертого типов линейно неустойчивы. Отметим еще работы [20; 21], в которых исследуется система зацепленных уравнений Островского — обобщение системы Гира -Гримшоу на случай вращающейся жидкости.

Метод нормальных форм не является единственным способом построения решений бифуркационных задач. В настоящей работе будет использоваться альтернативный метод Ляпунова - Шмидта, который позволяет свести исходную задачу к эквивалентной конечномерной системе нелинейных неявных функций (уравнений разветвления). Данная система

с вырожденной линейной частью наиболее эффективно может быть исследована в одномерном случае благодаря методу диаграммы Ньютона, который позволяет представить решение исходной задачи в виде ряда по определенным целым или дробным степеням малого параметра. Многомерное обобщение этого метода (многогранники Ньютона) изложено в монографии [22].

Работа с многопараметрической системой уравнений разветвления значительно упрощается, если исходная задача обладает дополнительной структурой такой, как групповая симметрия. Данное обстоятельство было впервые замечено и использовано в работе [23] при исследовании свободной конвекции в жидкости, заполняющей ограниченную область. Оказывается, что если ядро линейного оператора и его дефектное подпространство инвариантны относительно допускаемой исходными уравнениями компактной группы, то система уравнений разветвления наследует групповую инвариантность [24]. Тогда, выбирая параметрические семейства инвариантных решений, можно понизить размерность системы уравнений разветвления. Редуцированная система во многих случаях перестает быть вырожденной, что позволяет применить теорему о неявной функции. Здесь стоит отметить, что свойство компактности допускаемой группы [25-28] является существенным, поскольку оно используется при построении инвариантного проектора на дефектное подпространство. Однако, в некоторых частных случаях удается работать и с некомпактными группами (см. Глава 2 параграф 3).

Свойство инвариантности ядра выполняется далеко не всегда. В этом случае полезным оказывается понятием косимметрии, если она допускается исходными уравнениями. Согласно оригинальной работе [29] косимметрия — это векторное поле, ортогональное данному. Условие ортогональности дает дополнительное линейное соотношение между уравнениями разветвления и позволяет выделить подсистему линейно независимых уравнений меньшей размерности, что также дает возможность воспользоваться теоремой о неявной функции. Таким образом, наличие косимметрии тоже обеспечивает существование параметрических семейств решений [30], но, в отличие от групп симметрий, не существует никакого алгоритма, позволяющего

отыскать косимметрию для данной системы уравнений. Исключение составляют потенциальные системы, для которых исходное операторное уравнение является градиентом функционала, инвариантного относительно действия непрерывной группы Ли. Тогда косимметриями являются инфинитезимальные операторы соответствующей алгебры Ли (см. [31]).

При детальном анализе уравнений разветвления возникают достаточные условия существования орбит ответвляющихся решений. Эти условия формулируются в терминах функции Пуанкаре - Понтрягина -Мельникова аналогично случаю динамических систем из теории нелинейных колебаний [32-34]. Корни этих функций, зависящих от нелинейных членов исходных уравнений, дают искомый сдвиг фазы в синхронизованных волновых пакетах или указывают пространственное местоположение захваченных волн над препятствиями [35]. В рамках задач теории волновых движений подобные условия можно трактовать как нелинейное дисперсионное соотношение, поскольку оно связывает волновые параметры с бифуркационными.

Другой класс задач, рассматриваемых в диссертации, связан с теорией интегрируемых п-компонентных систем гидродинамического типа, т.е. гиперболических систем уравнений вида

щ = V (и)их,

где и = (и1,...,ип) и V(и) — матрица размера п х п. Такие системы естественным образом возникают в приложениях к газовой динамике, механике жидкости, химической кинетике, дифференциальной геометрии и т.д. [36-39]. Существует множество примеров систем гидродинамического типа, которые записываются в диагональном виде (в инвариантах Римана). Для случая п = 2 переход к диагональным переменным возможен всегда, в противном случае существует критерий существования инвариантов Римана, который заключается в равенстве нулю тензора Хаантьеса [40], компоненты которого вычисляются из компонент матрицы V(и). Дальнейшее развитие теории сконцентрировалось вокруг диагонализируемых систем, поскольку для них было введено понятие следующее интегрируемости [41;42]. А именно,

п-компонентная диагональная система гидродинамического типа

Гц = Уг(г)ггх, г = 1,...,п

является интегрируемой, если и только если характеристические скорости удовлетворяют свойству полугамильтоновости:

Далее, если система интегрируема, то она допускает бесконечное число гидродинамических законов сохранения (т.е. плотности и токи зависят только от г г) и коммутирующих потоков, которые тоже являются диагональными системами гидродинамического типа. Более того, решение интегрируемой системы может быть найдено в неявном виде с помощью обобщенного метода годографа [42].

Отдельный класс систем гидродинамического типа представляет собой случай, когда матрица V(и) (и соответственно, вектор-функция и) имеет бесконечный размер. Такие системы называются гидродинамическими цепочками. Ярким примером служит цепочка Бенни, полученная в [43]. В этой же работе было показано, что цепочка Бенни может быть представлена в виде бесконечного числа законов сохранения, а в [44; 45] построены все коммутирующие цепочки. Позднее [46] выяснилось, что цепочка Бенни допускает бесконечное число гидродинамических редукций — п-компонентных систем гидродинамического типа. Причем все эти редукции являются диагонализируемыми и для них свойство полугамильтоновости выполняется автоматически.

Поскольку для гидродинамических цепочек вычисление инвариантов Римана (а значит и проверка свойства полугамильтоновости) весьма проблематично, то наличие бесконечного числа интегрируемых гидродинамических редукций выбирается в качестве определения интегрируемости. В последующих работах [47; 48] были исследованы и другие гидродинамические цепочки, редукции которых возникают в приложениях. Вопросы классификации интегрируемых гидродинамических

цепочек дивергентного вида

ии = (/(и1,щ))х , = (д(и1,П2,щ))х , = (Н(и1,и2,из,щ))х , ...

рассматривались в работе [49]. Было показано, что равенство нулю тензора Хаантьеса приводит к переопределенной системе уравнений на функцию д, выполнение которой является необходимым и достаточным условием интегрируемости (что в общем случае неверно). Стоит отметить, что критерий интегрируемости, использующий тензор Хаантьеса, является эффективным только в случае, если все строки матрицы V(и) содержат конечное число ненулевых элементов, каждый из которых зависит от конечного числа переменных щ.

Для трехмерных обобщений систем гидродинамического типа, т.е. гиперболических систем уравнений вида

иг + А(и)их + В (и)иу = 0

определение интегрируемости несколько меняется. Аналогично цепочкам, указанная система называется интегрируемой [50], если она допускает бесконечное число интегрируемых гидродинамических редукций. Только под редукциями здесь понимаются пары коммутирующих Ж-компонентных диагональных систем (число компонент N произвольно), решения которых описывают нелинейное взаимодействие N простых волн или Ж-кратные волны [36; 51-60]. Заметим, что такой тип решений можно рассматривать, как бездисперсионный аналог многофазных (или конечнозонных) решений.

Указанное определение интегрируемости трехмерных гиперболических систем оказалось весьма удачным с точки зрения их классификации [61-63] и др. Аналогично двумерному случаю, трехмерные интегрируемые уравнения вкладываются в пару коммутирующих гидродинамических цепочек. В качестве примера можно рассмотреть уравнение Хохлова - Заболоцкой (бездисперсионный предел уравнения Кадомцева - Петвиашвили), которое может быть получено из пары коммутирующих цепочек Бенни [47; 64]. В работе [65] была проведена классификация гидродинамических цепочек указанного выше вида с функцией / = и2, которые имеют бесконечное

число коммутирующих потоков. Выяснилось, что функция д должна удовлетворять системе уравнений, которая в точности совпадает с системой из работы [49]. Кроме того, проверка интегрируемости уравнения иц = д(ихх,ихь,иху) снова приводит к той же системе на функцию д (см. [66]).

В двумерном случае интегрируемые системы уравнений (простейший пример — уравнение Кортевега - де Фриза) имеют бесконечное число двумерных законов сохранения, которые порождают соответствующие многофазные (конечнозонные) решения [67]. В трёхмерном случае интегрируемые системы уравнений (простейший пример — уравнение Кадомцева - Петвиашвили) имеют как двумерные, так и трёхмерные законы сохранения. Однако, если процедура построения двумерных законов сохранения как для двумерных так и для трёхмерных интегрируемых систем хорошо изучена, то построение бесконечного набора трёхмерных законов сохранения для дисперсионных трёхмерных интегрируемых систем связано со значительными вычислительными трудностями из-за учёта высших производных.

В связи с этим внимание в диссертации было сосредоточено на бездисперсионных трёхмерных интегрируемых уравнениях Хохлова -Заболоцкой и Михалева, которые могут быть представлены в качестве квазилинейных систем уравнений в частных производных первого порядка. Для указанных уравнений объём вычислений значительно сокращается (по сравнению с дисперсионными уравнениями), что позволяет их довести до конца. Изучение связи построенных трёхмерных законов сохранения и частных решений трёхмерных интегрируемых систем будет продолжено в дальнейшем.

Отметим, что существуют законы сохранения, плотности и токи которых содержат не только зависимые функции и их высшие производные, но и независимые переменные. Способы построения таких законов сохранения хорошо изучены [68-71], однако их существование не является свойством интегрируемых уравнений.

Цели и задачи исследования. Целью настоящей работы является исследование семейств периодических решений типа бегущих волн модельной системы слабосвязанных уравнений Кортевега - де Фриза,

а также исследование трехмерных законов сохранения для пар коммутирующих двумерных интегрируемых цепочек Бенни и Михалева. В диссертации рассматривается следующий ряд задач:

— построение и обоснование асимптотики семейств периодических решений типа бегущих волн модельной системы слабосвязанных уравнений Кортевега - де Фриза, в частности, получение достаточных условий синхронизации мод;

— изучение асимптотического поведения полученных семейств решений в пределе малой амплитуды и вырождения достаточных условий синхронизации;

— построение трехмерных законов сохранения для трехмерного уравнения Хохлова - Заболоцкой;

— построение бесконечных наборов трехмерных законов сохранения для пар коммутирующих двумерных интегрируемых цепочек Бенни и Михалева;

— построение бесконечных наборов трехмерных законов сохранения для редукций пар коммутирующих двумерных интегрируемых цепочек Бенни и Михалева.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории бифуркаций, группового анализа и переопределенных систем уравнений в частных производных.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получены достаточные условия существования параметрических семейств периодических решений типа бегущих волн модельной системы слабосвязанных уравнений Кортевега - де Фриза и исследована их асимптотика.

2. Для указанных семейств решений изучен предельный случай малой амплитуды, в частности, проанализировано вырождение достаточных условий существования.

3. Построены трехмерные законы сохранения для трехмерного уравнения Хохлова - Заболоцкой.

4. Получены бесконечные наборы трехмерных законов сохранения

для пар коммутирующих гидродинамических цепочек Бенни и Михалева.

5. Получены бесконечные наборы трехмерных законов сохранения для редукций пар коммутирующих цепочек Бенни и Михалева.

Личный вклад автора. Автор диссертации принимал активное участие в получении результатов, изложенных в совместных публикациях, на равноправной основе: постановке задач, доказательстве теорем, обсуждении полученных результатов и оформлении публикаций.

Научная новизна. В работе получены достаточные условия существования семейств периодических решений типа бегущих волн модельной системы слабосвязанных уравнений Кортевега - де Фриза. Выписана асимптотика указанных решений и исследован предел малой амплитуды. Построены трехмерные законы сохранения для трехмерного уравнения Хохлова -Заболоцкой. Получены бесконечные наборы трехмерных законов сохранения для пар двумерных коммутирующих цепочек Бенни и Михалева и их редукций. Указанные научные результаты являются новыми и подтверждены доказательствами.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты вносят вклад в развитие методов построения точных и асимптотических решений нелинейных уравнений, а также могут служить основой для дальнейших теоретических и численных исследований.

Обоснованность и достоверность результатов. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математических доказательств.

Апробация работы. Представленные результаты докладывались и обсуждались на конференциях:

- Всероссийская конференция "Нелинейные волны: теория и новые приложения", посвященная 70-летию со дня рождения чл.-корр. РАН В.М. Тешукова, 29 февраля - 2 марта, 2016, г. Новосибирск;

- Physics and mathematics of nonlinear phenomena: 50 years of Inverse Scattering Transform, June 17-24, 2017, Gallipoli, Italy;

- Dispersive hydrodynamics and oceanography: from experiments to theory, August 27 - September 1, 2017, Les Houches, France;

- Международная конференция "Динамика в Сибири", 26 февраля -4 марта, 2017, г. Новосибирск;

- Summer school on symmetry, similarity and conservation laws in solid an fluid mechanics, April 16-20, 2018, Cargese, France;

- Modern treatment of symmetries, differential equations and applications, January 14-18, 2019, Nakhon Ratchasima, Thailand;

- Всероссийская конференция и школа для молодых ученых "Математические проблемы механики сплошных сред", посвященные 100-летию академика РАН Л.В. Овсянникова, 13-17 мая, 2019, г. Новосибирск;

- IX-th International Conference "Solitons, collapses and turbulence: achievements, developments and perspectives" in honor of Vladimir Zakharov's 80th birthday & Scientific school for young scientists "Nonlinear days", August 5-9, 2019, Yaroslavl, Russia;

- 11-th International work-shop "Waves in inhomogeneous media and integrable system" September 27-29, 2021, Kaliningrad, Russia.

Кроме того, результаты диссертации сообщались и обсуждались на научных семинарах под руководством чл.-корр. РАН Плотникова П. И. и д.ф.-м.н. Старовойтова В. Н. (ИГиЛ СО РАН); чл.-корр. РАН Пухначёва В. В. и д.ф.-м.н. Ерманюка Е. В. (ИГиЛ СО РАН); акад. РАН Тайманова И. А. (ИМ СО РАН); д.ф.-м.н. Ткачева Д. Л. и д.ф.-м.н. Трахинина Ю. Л. (ИМ СО РАН).

Публикации. Результаты по теме диссертационной работы прошли процедуру рецензирования и опубликованы в международных и российских журналах из списка ВАК [72-77].

Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения, заключения и списка использованной литературы. Объем диссертации составляет 110 страниц, список литературы

содержит 122 наименования.

Во введении обоснована актуальность темы диссертационного исследования, приведен обзор литературы по теме, сформулированы цель и задачи диссертационного исследования, охарактеризованы новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, обоснована достоверность и приведена апробация результатов.

Первая глава содержит предварительные сведения из теории бифуркаций и теории интегрируемых систем уравнений в частных производных, которые необходимы для дальнейшего изложения результатов исследований.

Во второй главе представлены результаты по построению и обоснованию асимптотики решений типа периодических бегущих волн модельной системы слабосвязанных уравнений Кортевега - де Фриза. Получены достаточные условия синхронизации мод, а также изучено их асимптотическое поведение в пределе малой амплитуды.

В третьей главе получены бесконечные наборы трехмерных законов сохранения для пар коммутирующих двумерных цепочек Бенни и Михалева и их редукций. Кроме того, построены трехмерные законы сохранения для уравнения Хохлова - Заболоцкой.

Глава 3 и параграфы 4 и 5 главы 1 имеют свою независимую от остальных разделов диссертации систему обозначений.

В приложении дан подробный вывод системы Гира - Гримшоу, обобщенной на случай произвольного числа зацепленных мод.

Заключение содержит краткий обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе.

Благодарности. Автор выражает большую благодарность своим учителям: д.ф.-м.н. Николаю Ивановичу Макаренко и к.ф.-м.н. Максиму Валентиновичу Павлову за постановку задач и активное внимание к работе.

Глава 1. Предварительные сведения

1.1 Система зацепленных уравнений КдФ

Уравнение Кортевега - де Фриза является канонической моделью для описания слабонелинейных длинных внутренних волн малой амплитуды [78-80]. В системе отсчета, связанной с линейными волнами, распространяющимися со скоростью с, уравнение принимает форму

аАт + 7 АЛ + 6А333 = 0. (1.1)

где А(т,в) — амплитудная функция линейной моды ), соответствующей собственному значению с задачи Штурма - Лиувилля

Щ - с)2рЛ + роЫ2^ = 0, (-Ккг< 0), (1.2)

' г

р = 0, (г = -К), (щ - с)2рг = ду, (г = 0). (1.3)

Здесь Ы2 = -др0х/р0 — частота Брента - Вяйсяля, которая определяется плотностной стратификацией жидкости р0(х), и0(х) — фоновое сдвиговое течение, причем и0 = с (т. е. предполагается отсутствие критического слоя). Коэффициенты в уравнении (1.1) выражаются через модальную функцию (р и параметры фонового течения следующим образом

о о

а = 2р0(и0 - с)р2г <Лг, 5 = - р0(и0 - с)2(р2(1г,

-К -К

о

¿5 = - у 3ро(щ - с) р^г.

-К

В теории внутренних волн уравнение (1.2) часто называется уравнением Тейлора - Голдстейна. Вертикальное перемещение частиц жидкости дается

формулой

С(г,8,Т) = £2А(т,з)ф) + £АС,2(^,8,Т) + . . . ,

где е2 = а — амплитудный параметр, а нелинейная поправка £2 находится из неоднородной краевой задачи

<2* = 0, (х = -К), ро{щ - с)2(2аг - 9Ро(2а = ^2, (х = 0). (1.5)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Макридин Захар Владимирович, 2022 год

- - - -

которая может быть немедленно проинтегрирована

1 а„п = арч (!р--= арс,1 \п(р _ д).

- -

Отсюда видно, что арч = р - д с точностью до постоянного множителя. Тогда система (3.15) приводится к

аррр аррд 1, ардд 1,

решение которой имеет вид а = -(р - д)3/6. Постоянной -1/6 можно пренебречь. В итоге получаем ответ а = (р - д)3. Функции Ь и с восстанавливаются тривиальным образом. □

Описанная конструкция является оптимальной с точки зрения вычислений, поскольку необходимо лишь вычислять коэффициенты разложения. В предыдущем же случае проверка условий совместности требовалась при построении каждого к-го закона сохранения.

3.1.2 Уравнение Хохлова — Заболоцкой

Уравнение Хохлова - Заболоцкой так же известное, как бездисперсионный предел уравнения Кадомцева - Петвиашвили или уравнение Линя -Рейсснера - Цяня [100], имеет вид

ии = (иу -иих)х. (3.16)

В гидродинамических переменных уравнение (3.16) переписывается в виде квазилинейной системы первого порядка

иг = ух, Уг = иу - иих (3.17)

и допускает три локальных закона сохранения [61]

(и2 \ (V2 и3 \ (и2 \

и=- и!, (ш,)<=и- и+К2)У■

Помимо этого уравнение Хохлова - Заболоцкой является уравнением Эйлера - Лагранжа с лагранжианом Б = ф2 - фхфу + фх/3, где и = фх и V = ф. В

этом случае законов сохранения становится четыре и они имеют вид [101]

(-ф? - фхфу + 3^

- Фхфу + оф1) + (ффУ - Фх+ {фхфг)у =0,

1

3

(ФуФь\ + (-2фу + 1Ф1Ф^ + (-1 фг - 1Ф1) =0,

фф\ +(-2Фь+3ф*) + (-2ф*) =о,

(фь)ь + (§ -Фу) =0.

Следует отметить, что данные законы сохранения не могут быть выражены только через полевые переменные и и V. Вводя новую функцию О такую, что ф = Ох, последний закон сохранения интегрируется и мы получаем исходное уравнение (3.16) в терминах функции О

°ху = °Ы +--. (3.18)

Оставшиеся три закона сохранения переписываются в соответствии со введенными обозначениями.

Ранее локальные законы сохранения (плотности и токи которых зависят от вторых производных функции О) не изучались ни для уравнения (3.18), ни для уравнений более общего типа Г(ОххОхъОху,Оуь,Оуу,Ои) = 0. Поэтому будем искать законы сохранения уравнения (3.18) прямым способом, т.е. в виде ау + ^ + сх = 0, где а, Ь, и с являются функциями от ОххОхъОху,Оуь,Оуу. Зависимость от Ои исключена, поскольку Ои выражается из (3.18). Тогда получаем

да да да да

О/-) °хху +•>,.. ОхЛу + °хуу +

О ц^^ О идд О ху дд О иу-^

д д д д + °УУУ + О/") ОХХЛ + ОхЫ + ОхЛу + °уИ

О иуу су О и^^ су О идд О Ху дд О у^

д д д д д д + УУ$ + ^ \ °ХХХ + ОХХЛ + °хху + ОХу1 + ОХуу 0.

д °уу д °хх д °хЪ д °ху д °уЪ д °уу

Учитывая дифференциальные следствия уравнения (3.18)

^^ vt~t - ^^ rpV) I ^^ V rp QQ rp rp rp , t~f--f- - ^^ rpqiq t ^^ rprp QQ rp rpq / ,

<Ay V V <Ay <Ay U <Ay <Ay <Ay <Ay <Ay J KJ V V <Ay KJ KJ <Ay <Ay <Ay <Ay KJ J

расщепляем по производным функции Q:

са — а Ьр - 0, ср + Ьа — 0, с,1 + Ьр — a bs + аа - 0, cs + b, + ар — 0, ст + bs + а, — 0, bT + as — 0, ат — 0.

(3.19)

Здесь использованы обозначения а = Охх,[3 = Охг,гу = Оху,6 = ,т = Оуу. Последнее уравнение в (3.19) влечет независимость функции а от т. Теперь необходимо проверить условия совместности

{Са) р

(cp)a, (с«Х

(<*i

(С7)а,

(°a)s (ср )s (^)s

(cs L

(cs )p,

(cs),,

(с„)т

(ср )т (C-t )т

{cs )т

(^т)а,

(Ст )р, ),,,

(Ст)s,

которые приводят к системе уравнений на вторые производные функции Ь. Принимая во внимание следствия уравнения Ьт + as — 0 из (3.19), получаем

Ьаа — 2аа

а.р 1

Ьа/З — Ьт - ааа + , Ь/З/З — -2(1аР,

Ьа.7 — аа/, — аар + a aa.s,

Ьр, — —арр — а а, + aaps,

— 2а a,s — 2а

р ,

bas

р

b,s

aaps — аа1, р, 4a.s,

+ aass, — —2a,s,

— /

Ьат — —da.s, bsт — —^s s, Ь р т — —(1р s, Ьтт — 0. fy,s,

Вновь проверяя условия совместности ( baa)р — (Ьар)а и т.д., получаем

линеиную систему в инволюции на третьи производные :

(1а.а.а. 0 0-55

+ 0-1313 - ^а-у,

аа-135 о-аа/з = -2аа^з + + аа§

о-а/з/з = -ок1§§ + а11 + 2а ,

(1131313 = 2а1§,

О'аа.'у = -Оаззз + &05,

— 2а1§,

Оааб ° Оа{35 = (^55,

Оа55 = 0, 55 = 0,

=

Оа77

(155, 0-55, 0, 0,

&13135 О-а.^5 15

0, 0, 0, 0.

а^55 = 0, 0-555 = 0,

Интегрирование указанной системы приводит к законам сохранения:

а\ а2

аз а4

а5

а6 а7

а8

00 ^^ ^^^ х^ ^ 1

6' хх ' 2

= О

2

1

О О — —О3

0 хх ху 6ОХХ,

12

~ОХ1 Охх + Охг Оху,

-О О2 + -О2 2ОххОхг +

21

1

_!

2

ху1

2

2ОхгОхх + 0у10хх,

—О о2 + о2 о + о о

2 у Охх + 0* Охх + Ох'Оу',

и _ — о3 _ О О — о2

и1 = з 0 хх Оху Охх Охг, 0хЪ 0ху 1

Ьз 20ХХ0Х1,

Ь4 0хЪ0ху 0хх0уг,

Ь = —О4- О2 О — 02

и5 б0хх охЛ охх 0ху 0хг 0yt,

1

_!

з1

Ьб ~0хЛ 0хх 0хЛ 0ху 0хх

1

_О О + — -О3

0 ху оуь з охг

13

42 = х - 0хг0ХХ - 0уу0хх

0хЬ 0yt,

■>2

1

_I

31

3

77Охt + 20хх0ху 0хЛ + 0ху 0yt,

2

&1о = 2°ххОхЬ + ъ°ху °хЛ, + ^хх Оу1Ох1 I п°хх^ыху

1

+ Охх 0ь10х1 + ~2°ххОх I + 12

2

С1 0х1 0ху 0хх0хЛ,

1

1

С2=2Оху 2ПххПху,

2

3 Охх 1

31

_I

2

со = О2, - ,

3 х х х

С4 = °хЪ °уЪ сл°хх°ху,

2 _<

3'

1

31

с5 = _ Охх _ 2°у*°хх+

+ — о3 + о о

+ п°хг + Оху ОуЬ,

3

2

15 х х

2

п __^о5 _ —О о3 — о0 о0 —

°8 =-, г Ох.х 3 Оху Охх Охг Охх

— 1О О0 + О0 О + О О

2ОУУ Охх + ОхЛ Оху + Оху Оу у,

2 _<

3'

С9 = _ ъ0уЪ0\х _ 2ОхгОхуОхх +

+ Охг Оху + Охл + Оуу,

х

2 _<

3'

3

^8 7TОхt Охх 20хЛ Оху Охх

23

Оху Оу1 ОхЪ Оуу 3>О ^, 2

и _ _о О3 — 2О О О — О0

уд 30 ху Охх 2ОхЛ ОуЪ Охх 0у1 - т,п хх 2Ох Оху ^^хи п

х

х

1

3'

Ью = ^Ох+ I0*_ ОхО

ху

2

3

_ Ох Оуу Охх _ 3Ох Охх

Ох1 Оyt Оу1Оуу Оху Оу1Охх,

С6 = —o2 - -о^,ох -

^6 ^ ^ хх 2 иху^ ихх

1

О 15 х х

1

1

_ Ох +-О2+ + О™,,

2 х х х 2 2 х х

2 3 1 0

с7 = _7>ОхгОхх _ 7^ОУ^хх +

+__о3 + о о

+ 3ОхЛ + ОхЛ Оу у,

с = — О6 - 2О0 О3

° 18°хх 3°х Охх

1

1

1

_ Ю О3__О0 О0 + —О4

3 ОУУ Охх 2°ху Охх + 6°х'Ь

+ 1ох + -О2 + 0^ О^Ол

1 6 ху 2 УУ ^ихг^иху^иуг

+ 100 о — о о 00

+ 20хt оУУ 0х 0у10хх.

Данные формулы естественно переписать в терминах пары коммутирующих цепочек (3.11), вводя функцию О так, чтобы 0хх = Но, Ох = Н1, 0ху = Н2. Оставшиеся вторые производные также можно выразить через плотности

Нк:

^уЪ = Н _ ЛоЛ1,

0,„± = Н3 _ НоН1, Оуу = -Но _ НоН _ Н + Н4.

1

3

В конечном итоге становится видно, что выписанные 10 законов сохранения совпадают с первыми десятью законами сохранения для пары коммутирующих цепочек (3.11).

Этот факт не случаен поскольку, как было сказано во введении,

уравнение Хохлова - Заболоцкой тесно связано с цепочкой Бенни.

3.1.3 Гидродинамические редукции

В работе [46] было доказано, что цепочка Бенни допускает бесконечное число решений вида Ак(г), где компоненты вектор-функции г = (г 1,... ,гN) удовлетворяют диагональной системе уравнений

Гц = Хг(г) Ггх, г = 1,...,Ы. (3.20)

Такие решения, которые называются гидродинамическими редукциями, должны быть совместны с самой цепочкой Бенни. Как оказалось, все моменты Ак(г) могут быть найдены подстановкой в систему (3.1), кроме А (т). Функция А должна удовлетворять так называемой системе Гиббонса - Царева:

( Л2д2А дАдА ( лдХг дА .и1

(Хг -Хк) о о , (Хк -Хг)- = 7^, г = к. (3.21)

дггдгк дгк дгг гк дгк

В дальнейшем было показано [90], что существуют и консервативные редукции вида

ин = (±и2 + А(и)) , г = (3.22)

В этом случае аналог системы Гиббонса - Царева записывается следующим образом:

Л^ дА\ - дА_^ (А

( \ д2А дА д т^дАЛ дА д ,

(и -и*)д^ = д^^ — i- ——' > — i (3.23)

для всех % = к. Рассмотрим цепочку Бенни (3.1) и первый коммутирующий с ней поток из (3.9):

(Ао)у = (А0)х + Ао(Ао )х + Ао(Ао)х, (3.24)

(Ак)у = (Ак+0)х + Ао(Ак)х + (к + 1)Ак(Ао)х + кАк- 1(Аг)х, к = 1,2,...

и подставим в нее Ао(и), которая удовлетворяет (3.23), и Аi(u), вычисленные с помощью цепочки Бенни. Тогда прямым вычислением получаем, что система (3.24) примет вид

^ и3 + Ао(и)и + Аг(и)^

игу = ои3 + Ао(и)иг + А1(и)) 1 = 1,...,М. (3.25)

Кроме того, пара коммутирующих систем (3.22) и (3.25) являются также и редукциями уравнения Хохлова - Заболоцкой (3.16), поскольку оно получается исключением моментов А1 и А0 из первых уравнений

(Ао)г = А)х, (А1)1 = (А0)х + Ао(Ао)х, (Ао)у = А)х + 2Ао(Ао)х

цепочек (3.1) и (3.24).

В качестве примера будем работать с редукцией [46],

которая возникает при численных расчетах кинетических уравнений [102; 103]. В этом случае выражения для Ак имеют вид

1 N N

Ак (и) = т— V ет(ит)к+1, V = 0, (3.26)

к + 1

т=1 т=1

где £ к произвольные постоянные. Подстановка указанных выражений в ряд (3.2) приводит к уравнению Римановой поверхности, ассоциированной с парой коммутирующих систем (3.22), (3.25) при выполнении равенств (3.26):

N

X =р - £т 1п(р - ит) . (3.27)

т=1

Таким образом, пара коммутирующих двумерных систем гидродинамического типа (3.22), (3.25) допускает бесконечное

х

число трехмерных законов сохранения (3.14), где зависимость р(Х) устанавливается из (3.27).

Важно отметить, что в отличие от пары коммутирующих цепочек (3.11) любая пара N компонентных двумерных редукций допускает не просто бесконечное число трехмерных законов сохранения, а N2 бесконечных серий. В самом деле, разлагая в (3.27) функцию р в ряд Бурмана - Лагранжа [104] в окрестности каждой точки ит, получаем N ветвей:

Р(т\\) = ит + ХтР(т) +Х2тР(т) + . .,

где Хт = е-Х/£т является локальным параметром разложения для всех т = 1,...,N. При этом все коэффициенты ряда, которые являются плотностями двумерных законов сохранения Р(т\ могут быть найдены прямо из (3.27). Например,

р(т) = еит/£т П (ит - щ)-£з/£т.

3 =т

Тогда подстановка р(() = Р(т\0 = ит + СтР^ + ^тР^ +

... в производящее уравнение (3.14) дает N бесконечных серий однопараметрических производящих уравнений:

(О* а) ит) ^ ( (р(Х) + ит) (р(Х) ит) ^ + ( (Р(Х) - ит)Ъ (^2(Х) + 3итР(Х) + 5и1г + Е£ЗиЗ^\ = 0,

\ 3 1 / ^

(3{р(Х) - ит)2р[т))у - (2{р(Х) + 2ит){р(Х) - ит)2р[т))г

+ ( (^2итР(Х) +и2т + 3]Т(р(Х) - ит)2 Р^Л = 0,

\ 3 1 ' г

Наконец подстановка р( х) = р (1)(х) = щ + хр(1) + х2р2,1) + ... в указанные N бесконечных серий однопараметрических производящих уравнений приводит к N бесконечных серий трехмерных законов сохранения.

Например, первые N(М + 1)/2 трехмерных законов сохранения имеют вид

((„<->)- (й'"')3^ + ((Р<т>)8 (ит + £е3и3_ 0,

( (Щ - ит) ^ - ( (и/ + ит)(и/ - ит) 3) ^

N

+ ^ (и/ - ит)^5и0 + 3ити1 + 1 и" + ^

£^иП\ =0,

где I = т.

3.2 Иерархия цепочки Михалева

Цепочка Михалева впервые была получена в работе [105], однако, полное ее исследование было проведено в [47] в рамках изучения систем гидродинамического типа следующего вида

[Тг -£ ^2Тт)

т=1

ГЦ = Гг - £} Гт \ Ггх, I =1,2,.. . М,

(3.28)

где £ — некоторая константа, а число уравнений п является произвольным. Для всей иерархии было найдено производящее уравнение

«_ А (5X9 х-

(3.29)

Здесь р(() определяется так же как р(Л), но с формальной заменой X на (, р(Х) — формальный ряд

КЛ)_1 + ^ + ^ +

(3.30)

х

а дт(^ имеет вид

дт{ о = дьо + + ^д^ + ...

Подставляя разложение по ( в уравнение (3.29), получаем производящие уравнения коммутирующих цепочек:

[р]ТатЛк-т) ,

т=о х

рго = Рх, р* =\рУатЛк-т) , к = 1,2,..., (3.31)

где х = ¿о, а«г зависят от а^ следующим образом:

1

«1 = -ох, аI = -а/ а,т(У1-.т, 1 = 2,3,... (3.32)

т=1

Важно отметить, что все цепочки в иерархии Михалева являются линейно вырожденными (т. е. имеет хотя бы одну линейно вырожденную гидродинамическую редукцию [106]), а токи законов сохранения (3.31) зависят от производящей функции линейно.

3.2.1 Трехмерные законы сохранения

Зная теперь, как получается производящее уравнение трехмерных законов сохранения для пары коммутирующих цепочек иерархии Бенни (3.11), можно попытаться найти аналогично уравнение для первых двух коммутирующих цепочек из иерархии Михалева (3.31):

Ш = [(Л -и)р) , ру = ((Л0 -Ли - у)р) , (3.33)

х х

где у = Ь0. После подстановки ряда (3.30) в (3.33) получаем и = а1, V = а0 - а'0 и бесконечный набор двумерных законов сохранения:

(ок= (ок+1 - 010к) , (ак)у = (ак+0 - а1ак+1 + (а0 -00)0^ . (3.34)

Теорема 3.2: Пара коммутирующих цепочек Михалева (3.34) допускает бесконечное число трехмерных законов сохранения

{&к&т)у + - (акат+1 + атак+1)) (3.35)

+ (ак+1&т+1 - +&т&к+1) =0, к ,ГП = 1,2,...

Доказательство. По аналогии с теоремой 3.1 будем искать производящую формулу трехмерных законов сохранения в виде

{А(Р ,(1 Йу + (В (Р ,(1(1))1 + (С (Р ,(1,(71,(72 ^ = °

где р = р(Х) ид = р((). Далее, учитывая (3.33), выражаем первые производные дС/др = Ср, дС/дд = С,, дС/да1 = С1 и дС/да2 = С2 через производные функций А и В:

Ср = (а1 -Х)Вр - (X2 - (цХ + (2 - (2)Ар, С2 = -В1 + рАр + дА,, С1 = рВр + дВ, + 2(1В1 - (2(1р - Хр)Ар - (2а^ - Хд)А,, С, = (а1 - ()В, - ((2 - (1С + (2 - (2)А,.

Равенства смешанных производных

(О, = (С, (О1 = (Ср)2 = (С2)„, (О,)1 = (С0,. (О2 = (О,,

( О 2 = (С2)1,

приводят к уравнениям на вторые производные функции В:

Врр = ((1 - 2X)Арр, ВрЧ = ((1 - Х - ()Арч, Вр1 = ЯАря + РАрр,

В,, = (а1 - 2()Ат, В,1 = дАт + рАр,, Вп = 0,

Из проверки условий совместности получаем систему

А = А = А = А = 0,

которая, очевидно, находится в инволюции. Таким образом, мы получили, что производящее уравнение трехмерных законов сохранения для пары коммутирующих цепочек (3.34) имеет вид

{р(Л)р(С))у + ((а1 -Л - С)р(Л)р(С))г

+ ((а0 - (Л + С)а1 + Л Ор(л)р(())х = 0, (3.36)

а также зависит от двух произвольных параметров Л, . Принимая во внимание разложение (3.30) и раскладывая производящее уравнение сначала по Л, получаем бесконечное число однопараметрических производящих уравнений трехмерных законов сохранения ( к = 1,2,...):

{акР (0)у + ((ак (а1-С )-О2+1)р(0)^( (ак (а0-С,а1)+ак+1 (С,-а1))р(()^ ^ = 0.

Разложение по параметру ( данных уравнений приводит к законам сохранения (3.35), где первые несколько из них имеют вид

(а0)у + (а3 - 2а1а0)г + (а0 - а^^ = 0, {0100)у + (а^ - а1а3 - а0^ + (а0а3 - а0а^х = 0,

(а0)у + (а1а0 - 2а0а^4 + (а3 - 2а1а0а3 + а0)х = 0, (3.37)

{а1а^у + (а0а3 - а1а4 - аоа^t + (а0а4 - а0а4)х = 0, (а0а3)у + (а1а0а3 - а0а4 - а0) + (азд - а1а0а4 - а1а0 + а0а3^ (а0)у + (а1а0 - 2а3а^ + (а0 - 2а1а3а4 + а0а^ = 0,

□

3.2.2 Уравнение Михалева

Для того чтобы получить уравнение Михалева, необходимо сначала вывести иерархию коммутирующих уравнений в частных производных, эквивалентную иерархии цепочки Михалева. Рассмотрим высшие коммутирующие потоки и выберем только первое уравнение в каждом из них:

( а1 \к = -(&к )х, где ак определены в (3.32). Введем потенциал — так, что

а1 = -х, ак = -тгк. Тогда все выражаются через первые производные потенциала

2 3

а2 = тх + —г, а3 = —х + + —у,

4 2 2

а4 = —х + 3тх—г ++ 2тхту + , ...

А значит весь бесконечный набор цепочек (3.31) преобразуется в бесконечный набор коммутирующих уравнений в частных производных второго порядка на функцию В частности, из первой цепочки в (3.34) получаем уравнение Михалева:

—ху = —и + —х —хЛ - Щ—хх. (3.38)

Соответственно, трехмерные законы сохранения также переписываются в терминах функции —, в частности, формулы (3.37) принимают вид:

{—2х)у - ^х^х + 2ин))г + ^^х + ■ич))х = 0, (—хХ—х + —г))у - (—х + + —х—у + + (—г — + + —у))х = 0,

((щ2с + щ)2)у - ((ых + щ)^ + 3,Шх'Ш1 + 2щ%

/ 4 0 0 3 0 \

+ {щх щ + 3щхщ^ + 2щхЩ1Щу + щ + г 1^)х = 0,

(щх(щ° + 2щхщ2 + щу- (щ5 + + 2щ2хщу + (3щ2 + щ2)щх +

+ (и)г(и!х + 3щ2хщ2 + + 2щхщу + щ2 ))х = 0,

{(щх + Щ)(щх + 2щхщг + щу

- (Щ! + + 3щ?хщу + Щ (бщ0 + Щг) + 5и)хи)ги)у + щ2 + щ3 +

+ + 3щхщ2щу + тх( + щ2 + + 2щ2 щу + щу щ2)х = 0,

+ 2щхщг + щу )2)у

- ((щ3 + 2щхщ2 + щу )(щАх + 4щ2хщ2 + 3и)хи)у + 2Щ2 + 2щ2 ))2 + + 4щх + гш2х(6щ1 + щ 2у + 2щ2щ2) + щх(6щ2 щу + 2щу щ2)), + (щ4 + 2щ2 Щ2 + -ин-и^ + щ2)х = 0,

Нетрудно видеть, что первые три закона сохранения являются законами сохранения уравнения Михалева, которое само может быть записано в консервативной форме

(щх)у - (щ2х + щ)г + (щхщг)х = 0.

Таким образом, уравнение Михалева, записанное в потенциальной форме, допускает четыре закона сохранения, так же как и уравнение Хохлова -Заболоцкой [101].

3.2.3 Гидродинамические редукции

Рассмотрим в качестве редукций класс систем, который в литературе называется ^-системы:

Гц = (гъ -и)ггх, ггу = (г2 -игг -V)ггх, г = !,...,Ы (3.39)

где (£ ъ — произвольные постоянные)

N 1 N 1 / N \ 2

и ^ ^^тХт' V 2 ^ у£т1"т 2 I ^т^'т | .

т=1 т=1 \т=1 /

Производящая функция плотностей двумерных законов сохранения р(Х) = р(Х;г) находится в квадратурах напрямую из (3.33) (см. [47]):

N

£ ш

Р(Х)^(Х - Гт)

т

т=1

Допустим теперь, что все константы £ ъ = 1. Соответствующая пара линейно вырожденных коммутирующих систем гидродинамического типа (3.39) допускает производящее уравнение трехмерных законов сохранения (3.36). А так как выражение для р(Х) конечное, то мы можем проинтегрировать производящее уравнение Ау + В1 + Сх = 0, предварительно домноженное на произвольные аналитические функции Я(Х) и Ь((), по параметрам X и ( (которые являются комплексными) вокруг каждого простого полюса Х = Т'к, С = гт, то есть:

А = £ £ Щ^ЩМХМС^С,

в = § у ЩХЩС) (и -Х - ОрШФх^,

С =11ЩХЩО (V + и2 - (Х + Ои + ХС,)р(Х)р(0йХ^.

Указанные интегралы вычисляются в явном виде:

А = ^ Дк (Гк) ^ Ьт(Гт)

= к= П (П - Гр) ' т=П (Гт - и) ,

= к = т

в __^ гД(П.) Л Ьт('Гт) _ " Д(Гк) . Л гт1„(гт)

ГТ (г, — г ) ГТ (г —г ) ГТ (г, — г )

^ П (гк - Гр) т=1 П (Гт - Гд) П (Гк - Гр) т^П (Гт - Гд)

= = т = = т

N ^ / Л N

и

п (п- гр) ■ т^тг^т-^),

к=1 т=1

р= к = т

с =

ж Дк (Гк) \ Л Г>тЬт(Гт) 1 ГкДк (Гк) \ Л ГтLт(Гт)

— и

Дк к) ' т^ту т) + / к Дк С к)

£1 П (^к - ^ ' ¿П (^т - Г,) П (^к - Гр) ' ¿П (^т - ГЧ)