Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса и интегрируемые гамильтоновы системы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Головко, Валентина Александровна

• Головко, Валентина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Головко, Валентина Александровна

Введение

1 Основные понятия из геометрии дифференциальных ура- | внений

1.1 Геометрические структуры на пространстве бесконечных джетов.

1.2 Дифференциальные уравнения, симметрии и законы сохранения

2 Скобка Якоби для теней симметрий

2.1 Основные понятия.

2.1.1 Накрытия.

2.2 Основные конструкции и результаты.

2.2.1 ¿-накрытие.

2.2.2 Скобка Ли для теней.

3 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса

3.1 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса на </°°(7г)

3.1.1 Вариационные формы и мультивекторы.

3.1.2 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса

3.2 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса на эволюционных уравнениях.

3.2.1 Гамильтоновы эволюционные уравнения.

3.2.2 Инвариантные структуры Пуассона-Нийенхейса

3.2.3 Суперрасслоения.

3.2.4 Операторы в А-накрытии.

3.2.5 Обобщение скобки Схоутена для теней в ^*-накрытии

3.2.6 Обобщение скобки Нийенхейса для теней в ^-нак-рытии.

3.2.7 Условие совместности.

3.3 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса в общем случае.

3.4 Нелокальные структуры Пуассона-Нийенхейса.

3.4.1 Общая конструкция.

3.4.2 Случай эволюционных уравнений

3.4.3 Пример: бездисперсионное уравнение типа Бусси-неска.

4 Уравнение Камассы—Холма

4.1 Схема вычислений.

4.2 Часть I. Уравнение Камассы-Холма в форме системы

4.2.1 Нелокальные переменные.

4.2.2 Симметрии.

4.2.3 Косимметрии.

4.3 Операторы в ^-накрытии

4.3.1 Нелокальные формы.

4.3.2 Операторы рекурсии для симметрий.

4.3.3 Симплектические структуры.

4.4 Операторы в £*-накрытии.

4.4.1 Нелокальные векторы.

4.4.2 Гамильтоновы структуры.

4.4.3 Операторы рекурсии для косимметрий

4.5 Алгебраические соотношения.

4.5.1 Распределение симметрий и косимметрий по градуировкам

4.5.2 Упрощенная схема построения симметрий и косимметрий

4.5.3 Коммутаторы симметрий и теней симметрий

4.5.4 Действия операторов R и H.

4.5.5 Композиции операторов.

4.5.6 Доказательство локальности иерархий симметрий

4.6 Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса на уравнении Камассы-Холма.

4.6.1 Бигамильтоновость операторов з и Н-.

4.6.2 Нийенхейсовость оператора R3.

4.6.3 Условие совместности операторов Н-2 и R

4.7 Часть II. Уравнение Камассы-Холма в скалярной форме

4.7.1 Нелокальные переменные.

4.7.2 Симметрии.

4.7.3 Косимметрии.

4.8 Операторы в ^-накрытии

4.8.1 Нелокальные формы.

4.8.2 Операторы рекурсии для симметрий.

4.8.3 Симплектические операторы.

4.9 Операторы в ¿*-накрытии.

4.9.1 Нелокальные векторы.

4.9.2 Гамильтоновы структуры.

4.9.3 Операторы рекурсии для косимметрий

4.10 Сводная таблица соответствия результатов частей I и II

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса и интегрируемые гамильтоновы системы»

Актуальность темы исследования

Настоящая диссертационная работа посвящена изучению геометрических аспектов теории вполне интегрируемых систем.

Скобки Пуассона являются важнейшим инструментом исследования интегрируемых систем и занимают центральное место в геометрических (пуассонова геометрия) и алгебраических (пуассоновы гомологии и ко-гом ологии) теориях, возникших как обобщения этих систем.

Истоком пуассоновой геометрии является введение Пуассоном в начале 19 века кососимметрической скобки при изучении уравнений движения в небесной механике. Спустя тридцать лет Якоби открыл тождество, которому подчиняется скобка Пуассона, получившее название тождества Якоби. В 1834 году, используя скобку Пуассона, Гамильтон сформулировал уравнения движения в форме, сейчас известной как уравнения Гамильтона. С тех пор скобки Пуассона широко применяются в математике и ее приложениях; в конце 19 века Софус Ли начал изучать их геометрию. Он первым обратил внимание на вырожденные скобки Пуассона, в качестве простейшего примера рассмотрев линейные структуры Пуассона, которые впоследствии были названы структурами Ли-Пуассона и заново открыты Березиным в 1960 году.

В 20 веке пуассонова геометрия снова стала объектом исследования в контексте вполне интегрируемых систем, где скобки возникают естественным путем (часто в бесконечномерной ситуации). Примерно в одно и то же время сразу несколько авторов независимо ввели общее понятие многообразия Пуассона. Большой вклад в понимание локальной структуры многообразий Пуассона был сделан Вейнстейном (Weinstein) в 1983 году в его известной статье [129]. Лихнерович (ГлсЬпегошюг) рассмотрел глобальные структуры и в 1977 году ввел термин «пуассоновы когомологии» многообразия Пуассона [85]. Он обнаружил, что скобка Схоутена с пуассоновым бивектором (который отвечает за структуру пуассонова многообразия) определяет дифференциал на пространстве мультивекторов, и рассмотрел когомологии относительно такого дифференциала. В частности, им была найдена связь между пуассоновыми когомологиями и когомологиями де Рама.

После обнаружения Захаровым и Фаддеевым [11] в 1971 году того, что уравнение Кортевега-де Фриза является бесконечномерной вполпе интегрируемой системой, нелинейные солитонные уравнения стали вызывать большой интерес как вполне интегрируемые гамильтоновы уравнения с бесконечным числом степеней свободы. Однако само понятие гамильтоновости вводилось лишь для эволюционных уравнений, а исследование уравнений в частных производных (УрЧП) общего вида проводилось путем приведения исходной системы к эволюционному виду, что не всегда осуществимо корректными методами. К тому же возникает проблема инвариантного определения гамильтоновых структур, поскольку при наличии понятия гамильтоновости лишь для эволюционных уравнений встает вопрос о том, что произойдет с гамильтоновой структурой при преобразовании соответствующего гамильтонова эволюционного уравнения к неэволюционному виду.

Особый интерес представляют бигамильтоновы уравнения, т.е. уравнения, допускающие наличие пары совместных гамильтоновых структур. Если на уравнении имеется бигамилътонова структура, то, применяя схему Магри [72, 91], можно построить бесконечную серию законов сохранения, находящихся в инволюции относительно соответствующих скобок Пуассона, что равносильно полной интегрируемости такого уравнения.

Частным случаем бигамильтоновых структур являются структуры Пуассопа-Нийенхейса, которые задаются пуассоновым бивектором и тензором Нийенхейса типа (1,1) с нулевым кручением и удовлетворяют определенным условиям совместности [69].

Тензоры (операторы) Нийенхейса были введены в теории интегрируемых систем в работах Магри, Гельфанда и Дорфман (см. [37]). Структуры Пуассона-Нийеихейса впервые появились в работе [94] Магри и Морози в 1984 году и в дальнейшем изучались в [69]. Следует отметить, что структуры Пуассона-Нийеихейса [122] играют важную роль как в классической дифференциальной геометрии (см., например [20, 68]), так и в геометрии уравнений в частных производных, см. [69, 94]. В последнем случае существование структуры Пуассона-Нийенхейса фактически равнозначно полной интегрируемости рассматриваемого уравнения.

Структуры Пуассона-Нийепхсйса возникают при попытке построить бигамильтонову пару как композицию пуассонова бивектора Р и тензора Нийенхейса N типа (1,1). При этом возникают условия совместности, одно из которых необходимо для того, чтобы композиция N о Р также являлась бивектором, а второе, чтобы этот бивектор был пуассоновым.

Отталкиваясь от структуры Пуассона-Нийенхейса, можно построить иерархию попарно совместных пуассоновых тензоров [90], что зачастую помогает проинтегрировать такую систему. Например, на многообразии Пуассона-Нийенхейса [69] могут быть естественным образом определены координаты Дарбу-Нийенхейса [93]. Они позволяют связать решение уравнений Гамильтона-Якоби с потоками гамильтониана при помощи аддитивного разделения переменных. В [40] показано, что такие координаты возникают из геометрии пуассонова карандаша (т.е. линейной комбинации двух совместных пуассоновых структур) в процессе гамильтоновой редукции на подходящем симплектическом листе. Также примеры разделения переменных в координатах Дарбу-Нийенхейса приведены в работе [57].

На протяжении последних 30-ти лет структуры Пуассона-Нийенхейса активно рассматривались различными авторами, и были получены разные интерпретации условия совместности на пуассонов бивектор и тензор Нийенхейса. Так в [122] автор определял структуры Пуассона-Нийеихейса в общем алгебраическом смысле Гельфанда-Дорфман, а в [68] эти структуры охарактеризованы в терминах алгеброидов Ли [88, 89]. А именно, было показано, что условие того, что пуассоно-ва структура и структура Нийенхейса образуют структуру Пуассона-Нийенхейса, эквивалентно тому, что кокасательное (со скобкой на 1-формах, определенной с помощью пуассоповой структуры) и касательное (со скобкой векторных полей, деформированной с помощью структуры Нийенхейса) расслоения являются биалгеброидом Ли. В [20] условие совместности записано в виде условия на скобку Виноградова [3, 21] пуассонова бивектора и тензора Нийенхейса, понимаемых как градуированные дифференциальные операторы на алгебре дифференциальных форм. В работах [96, 104, 103, 127] рассмотрены структуры Якоби-Нийенхейса как обобщение структур Пуассона-Нийенхейса.

В данной работе пуассонов бивектор и тензор Нийенхейса рассматриваются в бесконечномерном случае как ^-дифференциальные операторы (операторы в полных производных) на соответствующих пространствах бесконечных джетов (струй), а затем и на уравнениях в частных производных, понимаемых как подмногообразия в многообразии бесконечных джетов, то есть как гамилътонов оператор Н и оператор рекурсии Л, соответственно. Под гамильтоновым оператором мы понимаем кососопряженный оператор, ставящий в соответствие производящим функциям законов сохранения (косимметриям) уравнения $ его симметрии (вообще говоря, нелокальные) и удовлетворяющий условию равенства нулю его вариационной скобки Схоутена. Оператором рекурсии будет оператор, переводящий симметрии уравнения в его симметрии (также, вообще говоря, нелокальные).

Поскольку композиция Л о Я снова переводит косимметрии уравнения £ в симметрии, возникает вопрос, при каких условиях на Я и Н оператор КН (а также и все композиции вида Д' о Я, г ^ 1) снова задает гамильтонову структуру на 6°. Как уже упоминалось ранее, ответ на аналогичный вопрос в конечномерном случае был сформулирован в [69, 94] в виде условий совместности соответствующих тензоров. В данной работе приведено обобщение этих условий (условий совместности на структуру Пуассона-Нийенхейса) на бесконечномерный случай.

Структуры Пуассона-Нийенхейса хорошо описываются [8, 5] в случае пространств джетов, а также для эволюционных дифференциальных уравнений, рассматриваемых как потоки на пространстве джетов, в то время как для общих дифференциальных уравнений соответствующей теории не существовало в течение долгого времени.

Построение такой теории сопряжено с рядом проблем как вычислительного, так и концептуального характера. Во-первых, это относится к самому корректному определению таких понятий, как, например, гамильтоновость, бигамильтоновость, симплектичность соответствующих операторов для уравнений, не являющихся эволюционными, а, во-вторых, к разработке эффективных методов вычисления операторов рекурсии, гамильтоновых и симплектических структур (вообще говоря, нелокальных). Решению первой проблемы и посвящена данная диссертационная работа.

В сравнительно недавних работах [63, 62] изложен подход к решению второй проблемы применительно к эволюционным уравнениям, рассматриваемым с геометрической точки зрения. Этот подход основан на понятии А-накрытий и позволяет эффективно строить решения операторных уравнений вида (относительно оператора V)

V о V = V' о А (1) операторы V и А считаются заданными). А именно, решение уравнения (1) сводится к решению уравнения У(Ф) = 0 в А-накрытии, где Ф — вектор-функция, канонически ассоциированная с оператором V. Поскольку гамильтоновы структуры Н на £ удовлетворяют уравнению а операторы рекурсии Я — уравнению о Я - Я о = О, где £# и £*$ — оператор и сопряженный оператор линеаризации уравнения (о, в рамках данного подхода построение как операторов рекурсии, так и гамильтоновых структур сводится к решению линеаризованного уравнения

МФ) = 0 (2) на специальных расширениях исходного уравнения £. Эти расширения названы t- и t-накрытиями, они играют роль касательного и кокаса-тельного расслоений в категории дифференциальных уравнений. Упомянутый выше подход, применим и к уравнениям общего вида, и в данной работе описывается его обобщение.

Следует отметить, что инвариантное определение £*-накрытия возможно лишь для определенного, но достаточно широкого класса уравнений — для ¿-нормальных уравнений (определение ¿-нормальных уравнений см. на стр. 41). Примерами уравнений, не являющихся t-нормальными являются уравнения Максвелла, Янга-Миллса и Эйнштейна, однако, следует подчеркнуть, что ¿-нормальные уравнения — это наиболее важный класс непереопределенных уравнений, охватывающий подавляющее большинство уравнений, встречающихся во многих приложениях к математической физике. Везде далее в диссертационной работе мы имеем дело с ¿-нормальными уравнениями.

В терминологии теории накрытий (см. [77]), решения уравнения (2) являются тенями симметрий в соответствующем накрытии, а построенные с их помощью операторы могут быть как локальными ctf-дифференциальными операторами, так и нелокальными, т.е. содержать члены типа D~l.

Как оказалось, трактовка операторов рекурсии и гамильтоновых операторов как нелокальных аналогов симметрий является чрезвычайно продуктивной с вычислительной точки зрения (для решения уравнений вида (2) разработаны различные пакеты програмного обеспечения, см., например, [118, 117]), а также обеспечивает новый продуктивный взгляд на теорию гамильтоновых структур для уравнений в частных производных, что позволяет решить вторую проблему. Например, условия гамильтоновости и нийенхейсовости соответствующих операторов, а также условие совместности на структуру Пуассона-Нийенхейса для эволюционных уравнений удается записать как равенство нулю коммутаторов соответствующих теней симметрий — соответствующих решений уравнения (2), что позволяет обобщить понятие структур Пуассона-Нийенхейса как на случай уравнений в частных производных общего вида, так и на случай нелокальных операторов.

Следует отметить, что это обобщение осуществлялось в несколько этапов. Вначале мы обобщаем определение структур Пуассона-Нийенхейса на случай пространств бесконечных джетов («пустое уравнение»). Поскольку эволюционные уравнения можно понимать как пространства джетов, оснащенные специальным векторным полем, полученное определение оказывается возможным естественным образом перенести и на случай эволюционных уравнений. При этом условия совместности на структуру Пуассона-Нийенхейса (условия равенства нулю скобок Схоутена и Нийенхейса, а также условие совместности операторов Я и Н) удается записать в единообразной форме — в виде равенства нулю некоторой специальной скобки, построенной в данной работе (см. также [2]) и названной скобкой Якоби (скобкой Ли) теней симметрий, определение которой по сути не зависит от конкретного вида уравнения, что позволяет дать обобщение структур Пуассона-Нийеихейса и на случай произвольных уравнений в частных производных (операторы Я и Н являются, вообще говоря, нелокальными).

Для обозначения этих структур мы выбрали термин «вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса», поскольку, как и во многих задачах геометрии дифференциальных уравнений, имеющих параллели в конечномерной дифференциальной геометрии, роль, которую в классической ситуации выполняют частные производные, в нашем случае играют вариационные производные.

В общем случае нелокальные аналоги симметрий возникают как естественное обобщение высших симметрий в геометрическом подходе к нелинейным уравнениям в частных производных. Например, оператор рекурсии Ленарта [79] для уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ), примененный к галилеевой симметрии, на первом шаге дает локальную масштабную) симметрию, но начиная со второго шага получаются объекты нелокальной природы. Это означает, что полученные выражения содержат новые нелокальные переменные и>, связанные с неизвестной функцией и соотношением гих = и (или, как часто говорят, т = И^и, или го = / ийх), и т.д.

Эти нелокальные объекты зачастую понимают и трактуют подобно симметриям, и не редкость, например, прочесть, что «первая нелокальная симметрия уравнения КдФ является наследственной», т.е. действием коммутатора порождает всю иерархию высших уравнений КдФ. Однако, трактовка их как истинных симметрий может привести к парадоксам, что часто происходит при работе на чисто координатном языке. Так, например, для преодоления возникших парадоксов автору работы [106] пришлось прибегнуть к искусственным построениям, так называемым «духам», что по сути никоим образом не добавило ясности в сложившуюся ситуацию.

Дело в том, что действие операторов рекурсии на симметриях не дает симметрий в общем случае, а лишь их обобщения, объекты, которые были названы в работе [77] тенями симметрий. В отличие от симметрий, которые являются векторными полями на рассматриваемом диф-) ференциальном уравнении & (или на накрывающем многообразии <§ в нелокальном случае), тени являются дифференцированиями вдоль проекции накрытия т: £ —> <§ (см. [77] и краткое описание в разделе 2.1 ниже). Таким образом, в силу своей природы они не могут быть про-коммутированы в таком виде, каком они заданы изначально.

Подход к коммутированию теней симметрий, разработанный в диссертации, проистекает из результата, впервые опубликованного в [14] (см. также [77] и [74]). А именно, в этой статье было доказано, что любая тень может быть поднята в какое-то другое накрытие. Точнее, если X — тень в накрытии т: <§ —> то существуют некоторые новое накрытие тх $ —» и такая тень X в этом накрытии, что ограничение X на алгебру функций на <§ совпадает с X.

Накрытие г, ассоциированное с тенью (р по конструкции из [14], определено единственным образом с точностью до эквивалентности, но тень X не единственна. В данной работе мы строим заново, чисто геометрическим способом, накрытие ?х и определяем каноническое поднятие X тени X в это накрытие. Коммутатор двух теней определяется как

X, У] = X о У - У о где «тильда» обозначает каноническое поднятие. Конструкция такого канонического поднятия базируется на понятии ^-накрытия, введенного Красильщиком И.С. и др., которое оказалось полезным для различных приложений (см., например, [62]).

Следует отмстить, что множество теней симметрий с построенным таким образом коммутатором — скобкой Ли — не образует алгебры Ли. Тем не менее полученная скобка Ли теней симметрий удовлетворяет тождеству Якоби.

Разработанные теоретические конструкции в диссертации примене-няются к исследованию уравнения Камассы-Холма (КХ).

Уравнение КХ представляет собой нелинейное дисперсионное уравнение

Щ - и1хх + 3иих + 2ких = 2ихихх + ииххх (3) и является в безразмерных переменных пространства-времени (х, ¿) моделью для однонаправленного распространения волн в мелкой воде над плоским дном; представляет горизонтальную компоненту скорости жидкости, т.е. описывает свободную поверхность, а параметр к > О является параметром, связанным с критической мелководной скоростью, ср. с [23]. В дайной работе рассматривается бездисперсионное уравнение КХ, т.е. случай к — 0.

Уравнение КХ впервые появилось в работе Фуксштейнера и Фокаса 1981 года [45] как абстрактное уравнение, допускающее бигамильтонову структуру. Позднее в 1993 году Камасса и Холм вывели это уравнение исходя из физических соображений, используя ассимптотическое разложение непосредственно в гамильтониане гидродинамических уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости, см. [22]. При этом уравнение

КХ является волновым уравнением второго порядка в асимптотическом разложении, в то время как уравнение КдФ возникает в первом порядке в этом разложении. В [22] была построена пара Лакса для уравнения КХ, а также было показано, что оно является бигамильтоновым и интегрируемо с помощью метода обратной задачи рассеяния. Однако следует отметить, что все эти результаты были получены не напрямую, а с помощью приведения уравнения КХ к «эволюционному» виду.

В последнее время уравнение КХ вызывает значительный интерес как пример интегрируемой системы, имеющей более общие по сравнению с КдФ волновые решения, такие как решения взрывного характера и класс кусочно-аналитических слабых решений, известных как пиконы (см. [22]). Анализ, проведенный в [23] (см. также [26, 29, 98]), показывает существование гладких уединенных волн для всех к > О [18, 32, 33, 61] и заостренных солитонов, пиконов, для к = 0 [22, 84].

Уравнение КХ входит в семейство интегрируемых уравнений а(уг + 3уух) - Р{ухх1 + 2ухухх + ууххх) - Ьуххх = 0. (4) где а, Р и Ь — произвольные постоянные параметры.

Это семейство появилось в работе [65] Хесина и Мисиолека как уравнения Эйлера на алгебре Вирасоро для естественного двупараметриче-ского семейства метрик. В случае не равных нулю параметров а и Р уравнение (4) эквивалентно уравнению КХ (3). В вырожденных случаях мы имеем уравнение Хантера-Сакстона (ХС) [55] ххХ 2УХУХХ ^^ХХХ — 0, когда а = 0, РФ 0, и уравнение КдФ 3 уух + Уххх = 0, когда р = 0, л ф 0, Ьф 0.

Все эти уравнения обладают одной и той же группой симметрий (см. [65]), а именно, группой Вирасоро, являющейся одномерным расширением группы диффеоморфизмов окружности. Точнее говоря, группа Вирасоро служит для них конфигугационным пространством, а все эти три уравнения можно рассматривать как уравнения геодезического потока, связанного с различными правоинвариантными метриками на этой группе (в случае КдФ и КХ) или на ассоциированном однородном пространстве (в случае уравнения ХС). Эти три уравнения описывают все бигамильтоновы системы общего положения, связанные с группой Вирасоро.

Следует отметить, что такой интерпретации уравнения КХ уделялось значительное внимание в литературе, см. [100, 109, 70, 121, 30, 31], а в работе [110] это же семейство возникло при рассмотрении непрерывного предела достаточно широкого класса правоинвариантных дискретных лагранжевых систем на группе Вирасоро.

Еще одна геометрическая интерпретация уравнения КХ приведена в работе Рэйеса [114], где показано, что уравнение КХ описывает псевдосферические поверхности, а с помощью изучения геодезических, определенных этими поверхностями, построен аналог преобразования Ми-уры [101] и «модифицированное уравнение КХ». Также этим автором показано [114,115, 116], что уравнение КХ обладает нелокальными сим-метриями.

Уравнение КХ

Щ - uixx + 3иих = 2ихихх + ииххх (5) не является эволюционным, что в значительной степени усложняет его изучение как бигамильтоновой системы, поскольку, как отмечалось выше, для неэволюционных уравнений фактически отсутствуют корректные определения таких понятий как гамильтоновы операторы, гамильтониан, законы сохранения и т.д.

В подавляющем большинстве работ (см., например, [22, 24, 52, 82, 87] и др.) с этой проблемой пытались бороться с помощью введения дополнительной переменной т = и — ихх, называемой иногда моментом, в результате чего уравнению (5) удавалось придать «эволюционный» вид mt = —2тих — тхи, (6) а также записать его в бигамильтоновой форме относительно операторов В\ = дх — и 1?2 = тдх — дхт, а именно ть = -Вх-— или ГГЦ = -В2-—, от от где #1 = \ ${и2 + и1)с1х и Я2 = | /(и3 +

По-нашему мнению, такой подход, во-первых, не избавляет от имеющихся чисто технических сложостей в иссследовании уравнения в связи с необходимостью во многих случаях обращения оператора вида 1 — с^, что в принципе является возможным, но накладывает определенные ограничения на пространство функций, на котором рассматривается данное уравнение, и, во-вторых, не позволяет до конца понять и корректно определить основные конструкции и понятия бигамильтонова подхода в теории интегрируемых систем. Так, например, в большинстве работ, посвященных поиску законов сохранения уравспия КХ, т.е. фактически замкнутых 1-форм на уравнении, авторы старались избегать самого использования слова закон сохранения, заменяя его термином сохраняющаяся величина. Введение «момента» т не решает проблемы, поскольку уравнение (6) должно рассматриваться совместно с неэволюционной связью т = и — ихх.

Также следует отметить, что подавляющее большинство результатов, касающихся интегрируемости уравнения КХ, были получены не напрямую. При поиске законов сохранения были предложены различные схемы вычислений, см. [24, 83, 114]. Так, локальная и нелокальная серии сохраняющихся величин для уравнения КХ были получены в [114] с использованием аналога преобразования Миуры, в [24] с помощью решения подходящего уравнения Риккати; в [41] при работе с ассоциированным уравнением КХ, введенным в [120] и связанным с уравнением КХ преобразованием координат, показано, что уравнение КХ обладает бесконечным числом локальных сохраняющихся величин. Детальное обсуждение законов сохранения уравнения (5) также приведено в работе [82].

Высшие пуассоновы структуры для нелокальной иерархии КХ рассматривались в [108], где был получен их производящий ряд. При этом оказалось, что такие структуры уже не являются слабо-нелокальными, как в случае уравнения КдФ.

В [60] получена рекурентная формула для бесконечной последовательности независимых интегралов движения для цепочки уравнений типа КХ, т.е. было построено продолжение иерархии КХ и изучались сохраняющиеся величины для этой иерархии.

Многих авторов интересовал вопрос связи уравнения КХ с другими уравнениями математической физики. Так, в работах [44, 52] показано, что уравнение КХ и его бигамильтонова структура могут быть нолу-чены из бигамильтоновой структуры КдФ, используя так называемую конструкцию три-гамильпоновой дуальности [105]. В [38] показано, что уравнение КХ ассимптотически эквивалентно уравнению КдФ-5 — интегрируемому уравнению пятого порядка в иерархии КдФ. Различные аспекты связи уравнений КХ и и Гарри Дима [79] щ = (и~*)ххх, интересовали авторов работы [19] в контексте обратной задачи рассеяния, а авторов [87] при использовании гамильтопова подхода: было показано, что бигамильтоновы структуры этих уравнений могут быть получены с помощью процедуры редукции из соответствующего пуассо-нова карандаша, заданного на пространстве отображений из единичной окружности в алгебру Ли з1(2, М).

В работах [35, 99] показано, что уравнение КХ и уравнение Дегаспериса-Прочези [34] входят в семейство уравнений в частных производных

Щ - иххл + {Ь + 1 )иих = Ъихихх + ииххх, которое задает интегрируемые уравнения лишь в этих двух случаях [35]. Уравнение КХ получается при Ь = 2, а уравнение ДП при 6 = 3. Свойства интегрируемости этого семейства исследовались также в [54].

В последнее время большое внимание уделяется различным обобщениям уравнения КХ, см. [25, 39, 43, 60, 87, 97, 15, 119].

Многокомпонентные аналоги уравнения КХ изучались в работах [39, 25], а также в [52], при этом в основном рассматривались различные двухкомпонентные обобщения уравнения КХ, см. [86, 39, 81, 12]. Как одно из гамильтоновых расширений уравнения ДП до двухкомпонентных уравнений в работах [111, 112] была получена система взаимодействующих уравнений, которая содержит уравнения КХ и ДП.

Суперсимметричные обобщения уравнения КХ можно найти, например, в работах [113, 9].

В работе [102] проведена классификация интегрируемых (обладающих бесконечными иерархиями высших симметрий) обобщенных уравнений типа КХ, т.е. уравнений вида

1 - &1)щ = Р(и, их, ихх, иххх,.), где функция ^ в правой части является однородным дифференциальным полиномом над С, квадратичным или кубическим по и и ее х-производпым.

Цель и задачи работы

Основной целью диссертации является обобщение структур Пуассона-Нийенхейса на случай произвольных УрЧП, включая также и случай нелокальных операторов рекурсии и нелокальных гамильтоновых структур, и применение полученных теоретических конструкций к нелинейным УрЧП: уравнениям Камассы-Холма и бездисперсионному уравнению типа Буссинеска.

Перечислим основные задачи исследования:

1. Построить скобку Ли для теней симметрий, т.е. задать корректный способ коммутирования теней симметрий.

2. Обобщить структуры Пуассона-Нийенхейса, определенные для тензоров Пуассона и Нийенхейса, на случай операторов в полных производных на пространствах бесконечных джетов — гамильтоновых структур и операторов рекурсии.

3. Определить структуры Пуассоиа-Нийенхейса для эволюционных уравнений в терминах скобки Ли теней симметрий, трактуя операторы рекурсии и гамильтоновы операторы как тени симметрий в I- и ¿*-накрытиях.

4. На основе определения структур Пуассона-Нийенхейса в терминах скобки Ли теней симметрий построить их обобщение на случай произвольных УрЧП. В частности, дать определение гамильтоновости.

5. Построить обобщение структур Пуассона-Нийенхейса в случае нелокальных операторов.

6. Исследовать интегрируемость уравнения Камассы-Холма:

Найти его симметрии, законы сохранения, гамильтоновы и симплектические структуры, операторы рекурсии.

Доказать наличие структур Пуассона-Нийенхейса.

Научная новизна работы

Все результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Основные результаты, выносимые на защиту На защиту выносятся следующие результаты.

1. Построена скобка Ли для теней симметрий — нелокальных аналогов симметрий, являющаяся аналогом скобки Якоби для (высших) симметрий.

2. Получено обобщение структур Пуассона-Нийенхейса на случай операторов в полных производных на пространствах бесконечных джетов.

3. Получено обобщение структур Пуассона-Нийенхейса для эволюционных УрЧП в терминах скобки Ли соответствующих теней симметрий.

4. Получено обобщение структур Пуассона-Нийенхейса на случай произвольных уравнений в частных производных, а также на случай нелокальных операторов. В частности, построена скобка Схо-утена для операторов на произвольных уравнениях в частных производных.

5. Доказано существование структур Пуассона-Нийенхейса для бездисперсионного уравнения типа Буссинеска.

6. Исследовано уравнение Камассы-Холма:

Получены локальные и нелокальные серии симметрий и косимметрий уравнения Камассы-Холма, а также соответствующие им законы сохранения. Доказана локальность так называемой положительной серии симметрий.

Найдены операторы рекурсии и гамильтоновы структуры, первые две из которых являются локальными.

Доказано существование структур Пуассона-Нийенхейса на уравнении Камассы-Холма, что в свою очередь влечет существование бесконечной серии попарно совместных гамильтоно-вых структур.

Найдены симплектические структуры и операторы рекурсии для косимметрий.

Теоретическая и практическая значимость работы

Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический и прикладной характер. Они могут быть использованы для исследования интегрируемости нелинейных УрЧП. В диссертационной работе приведены примеры применения полученных результатов к уравнениям математической физики: бездисперсионному уравнению типа Буссинеска и уравнению Камассы-Холма. Результаты работы позволяют по-новому взглянуть на проблему гамильтоновости неэволюционных уравнений.

Работа выполнена при частичной поддержке грантов МШО-РФФИ 047.017.015 и РФФИ-Консорциум Е.1.Ы.8.Т.Е.1^ 06-01-92060, РФФИ-СЖБ 08-07-92496-НЦНИЛа.

Личный вклад автора

Все выносимые на защиту результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы. Диссертация содержит 10 таблиц, 16 диаграмм. Библиографический список включает 130 наименований. Полный объем диссертации составляет 190 страниц машинописного текста.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Головко, Валентина Александровна

Заключение

В заключение приведем основные результаты работы.

• Построена скобка Ли для теней симметрии, являющихся нелокальными аналогами симметрий. Построенная скобка находит широкое применение, поскольку операторы рекурсии и гамильтоновы структуры можно понимать как тени симметрий в специальных накрытиях. Если Л, В! — операторы рекурсии, а Хд, Хц> — соответствующие им тени в ¿'-накрытии, то

Хр, ХЯ>] = где [Д, В!} обозначает скобку Нийенхейса. Аналогично, если Н, Н' — гамильтоновы структуры, а Хн, Хн> — соответствующие им тени в ¿*-накрытии, то

Хн, Хн>] = Х[н,н'\, где |Н, Н'] обозначает скобку Схоутена. В случае нелокальных операторов, а также в случае неэволюционных уравнений, приведенные равенства могут быть приняты за определение скобок Схоутена и Нийенхейса. Таким образом, получен критерий для интегрируемости нелокальных структур в случае произвольных уравнений в частных производных.

• Используя скобку Ли для теней симметрий построено обобщение структур Пуассона-Нийенхейса на случай произвольных уравнений в частных производных, существование которых обеспечивает интегрируемость рассматриваемого уравнения в силу существования бесконечной серии попарно совместных гамильтоновых структур.

• Исследовано уравнение Камассы-Холма. Получены локальные и нелокальные серии симметрий и косимметрий уравнения Камассы-Холма, а также соответствующие им законы сохранения. Найдены операторы рекурсии и гамильтоновы структуры, первые две из которых являются локальными, и доказано существование бесконечной серии попарно совместных гамильтоновых структур. Найдены симплектические структуры и операторы рекурсии для косимметрий.

Благодарность. Автор выражает искреннюю благодарность проф. И.С. Красильщику за постановку задачи и неоднократные полезные обсуждения, A.M. Вербовецкому и Д.Д. Соколову за ценные замечания по результатам работы, а также П. Керстену за помощь и ценные консультации при освоении пакета REDUCE.

Работа выполнена при частичной поддержке грантов NWO-РФФИ 047.017.015 и РФФИ-Консорциум E.I.N.S.T.E.I.N 06-01-92060, РФФИ-CNRS 08-07-92496-НЦНИЛа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Головко, Валентина Александровна, 2010 год

1. Бочаров A.B., Вербовецкий A.M., Виноградов A.M. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики // Под ред. Виноградова A.M. и Красильщика И.С. — М.:Факториал, 1997. - 464 с.

2. Вербовецкий A.M., Головко ВКрасильщик И.С. Скобка Ли для нелокальных теней // Научн. вестник МГТУ ГА, серия "Математика и физика". — 2007. — Т. 91. — С. 13-21.

3. Виноградов А. М. Объединение скобок Схоутена и Нийенхейса, ко-гомологии и супердифференциальные операторы // Мат. заметки. 1990. - Т. 47, вып. 6. — 160 с.

4. Воробьёв Ю.М., Карасёв М.В. О пуассоновых многообразиях и скобке Схоутена // Функц. анализ и его прил. — 1988. — Т. 22, №1. — С. 1-11.

5. В. А. Головко Вариационные скобки Схоутена и Нийенхейса // УМН. 2008. - Т. 63:2 (380). - С. 165-166.

6. Головко В. Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса для нелокальных операторов // Тезисы Международной Конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, 21-26 мая 2007г.). — 2007. — С. 104-105.

7. Головко В. О вариационных структурах Пуассона-Нийенхейса // Тезисы Международного Семинара «Геометрия в 0дессе-2005.

8. Дифференциальная геометрия и ее приложения» (Одесса, 23-29 мая 2005 г.). 2005. - С. 27-29.

9. Головко В. А., Красильщик И. С., Вербовецкий А. М. Вариационные структуры Пуассона-Нийенхейса на дифференциальных уравнениях в частных производных // ТМФ. — 2008. — Т. 154:2. — С. 268-282.

10. Девчанд Ч., Шифф Д. Суперсимметричные интегрируемые системы из геодезических потоков на суперконформных группах // ТМФ. 2000. - Т. 123, №2. - С. 182-188.

11. Джет Неструев Гладкие многообразия и наблюдаемые // М.: МЦ-НМО, 2000. (Пер. на англ. язык: Jet Nestruev. Smooth Manifolds and Observables. (Gradúate Texts in Mathematics, Vol. 220.) — New York: Springer, 2003).

12. Захаров В.E., Фаддеев Л.Д. Уравнение Кортевега-де Фриса — вполне интегрируемая гамильтонова система // Функц. анализ и его прил. 1971. - Т. 5:4. - С. 18-27.

13. Кузьмин П. А. О двухкомпонентных обобщениях уравнения Ка-массы-Холма // Матем. заметки. — 2007. — Т. 81:1. — С. 149-152. Mathematical Notes, 2007, 81:1, 130-134]

14. Ферапонтов Е.В. Дифференциальная геометрия нелокальных га-мильтоновых операторов гидродинамического типа // Функцион. анализ и его прил. — 1991. — Т. 25, № 3. — С. 37-49.

15. Хорькова Н.Г. Законы сохранения и нелокальные симметрии // Мат. заметки. 1988. - Т. 44, № 1. — С. 134-144.

16. Мартинес Алонсо Л., Шабат А. Б. Гидродинамические редукции и решения универсальной иерархии // ТМФ. — 2004. — Т. 140:2. — С. 216-229. English transí.: Theoret. and Math. Phys. — 2004. — Vol. 140:2. p. 1073-1085]

17. Тахтаджян Л. А., Фаддеев JI. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов // М.: Наука. — 1986. — 534 с.

18. Эстевес П. Г., Прада X. Решения иерархии Камассы-Холма в (2 + 1)-мерном пространстве // ТМФ. 2005. - Т. 144:2. - С. 295-301. Theoretical and Mathematical Physics, 2005, 144:2, 1132-1137]

19. Beals R., Sattinger D., Szmigielski J. Multi-peakons and a theorem of Stieltjes // Inv. Problems — 1999. — Vol. 15. — P. L1-L4.

20. Beals R., Sattinger D., Szmigielski J. Acoustic scattering and the extended Kortreweg de Vries hierarchy // Adv. in Math. — 1998. — Vol. 140. P. 190-206.

21. Beltrán J. V. and Monterde J. Poisson-Nijenjuis structures and the Vinigradov bracket // Ann. Global Anal. Geom. — 1994. — Vol. 12, no. 1. — P. 65-78.

22. Cabras A. and Vinogradov A. M. Extensions of the Poisson bracket to differential forms and multi-vector fields // J. of Geometry and Physics, 1992. - Vol. 9. - P. 75-100.

23. Camassa R. and Holm D. An integrable shallow whater equation with peacked solitons // Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 71. — P. 1661-1664.

24. Camassa R., Holm D., Hyman J. A new integrable shallow water equation // Adv. Appl. Mech. 1994. - Vol. 31. — P. 1-33.

25. Casati P., Lorenzoni P., Ortenzi G., Pedroni M. On the local and nonlocal Camassa-Holm hierarchies //J. Math. Phys. — 2005. — Vol. 46. 042704, 8 pages.

26. Chen M., Liu S., Zhang Y. A two-component generalization of the Camassa-Holm equation and its solutions // Lett. Math. Phys. — 2006. Vol. 75. — P. 1-15, URL: arXiv:nlin.SI/0501028.

27. Constantin A. Existence of permanent and breaking waves for a shallow water equation: a geometric approach // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 2000. — Vol. 50. - P. 321-362.

28. Constantin A. On the scattering problem for the Camassa-Holm equation // Proc. R. Soc. Lond. — 2001. — Vol. 457. — P. 953-970.

29. Constantin A., Escher J. Global existence and blow-up for a shallow water equation // Annali Sc. Norm. Sup. Pisa. — 1998. — Vol. 26. — P. 303-328.

30. Constantin A., Escher J. Wave breaking for nonlinear nonlocal shallow water equation // Acta. Math. — 1998. — Vol. 181. P. 229-243.

31. Constantin A., Kolev D. Geodesic flow on the diffeomorphism group of the circle // Comment. Math. Helv. 2003. — Vol. 78, no. 4. — P. 787-804.

32. Constantin A., Strauss W. Stability of peakons // Commun. Pure Appl. Math. 2000. - Vol. 53. - P. 603-610.

33. Constantin A., Strauss W. Stability of the Camassa-Holm solitons // J. Nonlin. Sci. 2002. - Vol. 12. - P. 415-422.

34. Degasperis A., Holm D.D. and Hone A.N.W. A new equation with peakon solutions // Theor. Math. Phys. — 2002. — Vol. 133. — P. 146172.

35. Degasperis A., Procesi M. Asymptotic integrability // Symmetry and Perturbation Theory (ed. Degasperis A. and Gaeta G.), Singapore: World Scientific. P. 23-37.

36. Devchand C., Schiff J. The supersymmetric Camassa-Holm equation and geodesic flow on the super conformal group //J. Math. Phys. — 2001. Vol. 42. - P. 260-273.

37. Dorfman I. Ya. Dirac Structures and Integrability of Nonlinear Evolution Equations // John Wiley, Chichester. — 1993.

38. Dullin Y. R., Gottwald G. A., Holm D. D. Camassa-Holm, Korteveg-de Vries-5 and other asymptotically equivalent equations for shallow water waves // Fluid Dynam. Res. — 2003. — Vol. 33. — P. 73-95.

39. Falqui G. On a Camassa-Holm equation with two dependent variables //J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - Vol. 39. - P. 327-342, URL: arXiv:nlin.SI/0505059.

40. Falqui G., Magri F. and Perdoni M. Bihamiltonian geometry and separation of variables for Toda lattices //J. Nonlinear Math. Phys. — 2001. Vol. 8, suppl. - P. 118-127.

41. Fisher M. and Schiff J. The Camassa-Holm equation: conserved quantities and the initial value problem // Phys. Lett. A. — 1999. — Vol. 259. P. 371-376.

42. Fokas A»?. On a class of physically important integrable equations // Physica D. 1995. — Vol. 87. - P. 145-150.

43. Fontanelli L., Lorenzoni P., Pedroni M. A 3-component extension of the Camassa-Holm hierarchy // Lett. Math. Phys. — 2006. — Vol. 78. — P. 125-137.

44. Fuchssteiner B. Some tricks from the symmetry toolbox for nonlinear equations: Generalizations of the Camassa-Holm equation // Physica D. 1996. - Vol. 95. - P. 229-243.

45. Fuchssteiner B., Fokas A.S. Symplectic Structures, Their Backlund Transformations and Hereditary Symmetries // Physica D. — 1981. — Vol. 4. P. 47-66.

46. Ginzburg V. L. Equivariant Poisson cohomology and a spectral sequence associated with a moment map // Int. J. Math. — 1999. — Vol. 10. P. 977-1010.

47. Ginzburg V. L. and Weinstein A. Lie-Poisson structure on some Poisson Lie groups // Journal A. M. S. — 1992. Vol. 5. - P. 445-453.

48. Golovko V. The Jacobi bracket for shadows of symmetries and nonlocal Hamiltonian operators // Abstr. of Int. Conf. "Geometry in Odessa-2006" (Odessa, 2006, May 22-27). — 2006. — P. 54.

49. Golovko V. Variational Poisson-Nijenhuis structures for evolution PDEs // Proc. Int. Conf. "Symmetries and Perturbation Theory 2007"(Otranto, 2007, June 2-9). — P. 249-250.

50. Golovko V., Kersten P., KrasiVshchik I., Verbovetsky A. On integra-bility of the Camassa-Holm equation and its invariants. A geometrical approach // Acta Appl. Math. — 2008. Vol. 101:1-3. - P. 59, URL: arXiv:nlin.SI/0812.4681.

51. Grabowski J. and Urbanski P. Lie algebroids and Poisson-Nijenhuis structures / Quantizations, deformations and coherent states (Bialowieza, 1996) // Rep. Math. Phys. — 1997. — Vol. 40, no. 2. — P. 195-208.

52. Guha P., Olver P. J. Geodesic flow and two (super) component analog of the Camassa-Holm equation // SIGMA. — 2006. — Vol. 2. — 054, 9 pp.

53. Giimral H., Nutku Y. Bi-Hamiltonian structures of D-Boussinesq and Benney-Lax equations //J. Phys. A: Math. Gen. — 1994. — Vol. 27. — P. 193-200.

54. Hone A. N. W., Wang J. P. Prolongation algebras and Hamiltonian operators for peakon equations // Inverse problems. — 2003. — Vol. 19(1). P. 129-145.

55. Hunter J.K., Saxton R. Dynamics of director filds // SIAM Journal on Appl. Math. 1991. - Vol. 51, no. 6. - P. 1498-1521.

56. Hunter J., Zheng Y. On a completely integrable nonlinear variational equation // Phys. D. 1994. - Vol. 79. - P. 361-386.

57. Ibort A., Magri F. and Marmo G. Bihamiltonian structures and Stackel separability //J. Geom. Phys. — 2000. — Vol. 33, no. 3-4. — P. 210-228.

58. Ibragimov N.H. A new conservation theorem //J. Math. Anal. Appl. — 2006. Vol. 333. - P. 311-328.

59. Ivanov R. Extended Camassa-Holm hierchy and conserved quantities // Z. Naturforschung A. — 2006. Vol. 61. - P. 133-138, URL: arXiv:nlin.SI/0601066.

60. Johnson R. S. On solutions of the Camassa-Holm equation // Proc. Roy. Soc. Lond. A — 2003. — Vol. 459. — P. 1687-1708.

61. Kersten P. H. M., Krasil'shchik I. S., Verbovetsky A. M. A geometric study of the dispersionless Boussinesq type equation // Acta Appl. Math. 2006. - Vol. 90, no. 1. - P. 143-178, URL: arxiv:nlin.SI/ 0511012.

62. Kersten P.H.M., Krasil'shchik I.S., Verbovetsky A.M. Hamiltonian operators and £*-coverings //J. Geom. and Phys. — 2004. — Vol. 50. — P. 273-302, URL: arXiv:math.DG/0304245.

63. Kersten P.H.M., Krasil'shchik I.S., Verbovetsky A.M. On the integra-bility conditions for some structures related to evolution differential equations // Acta Appl. Math. — 2004. Vol. 83, no. 1-2. — P. 167173, URL: arXiv: math. DG/0310451.

64. Khesin B. and Misiolek G. Euler equations on homogeneous spaces and Virasoro orbits // Adv. Math. — 2003. — Vol. 176. — P. 116-144.

65. Korteveg D. J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel, and a new type of long stationary waves // Phil. Mag. 1895. — Vol. 39 (5). - P. 422-443.

66. Kosmann-Schwarzbach Y. Exact Gerstenhaber algebras and Lie bi-algebroids // Acta Appl. Math. — 1990. Vol. 41. - P. 153-165.

67. Kosmann-Schwarzbach Y. The Lie bialgebroid of a Poisson-Nijenhuis manifold // Lett. Math. Phys. — 1996. — Vol. 38, no. 4. — P. 421-428.

68. Kosmann-Schwarzbach Y., Magri F. Poisson-Nijenhuis structures // Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor. 1990. — Vol. 53, no. 1. — P. 3581.

69. Kouranbaeva S. The Camassa-Holm equation as a geodesic flow on the diffeomorrhism group // J. Math. Phys. 1999. — Vol. 40. — P. 857868.

70. Krasil'shchik I. S. A simple method to prove locality of symmetry hierchies, 4 pp. // The Diffiety Inst. Preprint Series, DIPS 9/2002.

71. Krasil'shchik I. S. Schouten brackets and canonical algebras // Lect. Notes Math. — Springer-Verlag, 1988. — Vol. 1334. P. 79-110.

72. Krasil'shchik I. S. Some new cohomological invariants of nonlinear differential equations // Differential Geometry and Its Appl. — 1992. — Vol. 2, no. 4. P. 307-350.

73. Krasil'shchik I. S. The long exact sequence of a covering: three applications // The Diffiety Inst. Preprint Series, DIPS 6/2003.

74. Krasil'shchik I. S., Kersten P. H. M. Symmetries and recursion operators for classical and sypersymmetric differential equations // Kluwer Acad. Publ., Dodrecht etc. — 2000. — 380 pp.

75. Krasil'shchik I. S. and Verbovetsky A. M. Homological metods in equations of mathematical physics // Opava: Open education and scinces. — 1998. — 150 p., URL: arXiv:math.DG/9808130.

76. Krasil'shchik I. S., Vinogradov A.M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Baecklund transformations // Acta Appl. Math. — 1989. — Vol. 15, no. 1-2. — P. 161-209.

77. Kruskal M. Nonlinear wave equations // Dynamical Systems, Theory and Applications (J. Moser ed.), Lecture Notes in Phys. — 1975. — Vol. 38, Springer, Heidelberg. — P. 310-354.

78. Kruskal M. D., Miura R. M., Gardner C. S. Korteveg-de Vries equation and generalizations. V. Uniqueness and nonexistence of polynomial conservation laws //J. Math. Phys. — 1970. — Vol. 11. — P. 952-960.

79. Kupershmidt B. A. Geometry of jet bundles and the structure of Lagrangian and Hamiltonian formalism / Geometric Methods in Mathematical Physics (G. Kaiser and J. E. Marsden, eds.) // Lect. Notes in Math. — Springer-Verlag, 1980. — P. 162-218.

80. Kuzmin P. A. Integrable invariant Sobolev metrics on the Abelian extension of the diffeomorphism group of the circle and two-component generalizations of the Camassa-Holm equation // J. Nonlin. Sci. — 2006. Vol. 16. - P. 109-122.

81. Lenells J. Conservation laws of the Camassa-Holm equation // J. Differential Equations. 2005. - Vol. 217. - P. 393-430.

82. Lenells J. Conservation laws of the Camassa-Holm equation //J. Phys. A: Math. Gen. 2005. - Vol. 38. - P. 869-880.

83. Li Y. A., Olver P. JRosnau P. Non-analytic solutions of nonlinear wave models// in Nonlinear Theory of Generalised Functions: Vienna 1997, Chapman k Hall/CRC Res. Notes Math. 401, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL 1999, p. 129-145.

84. Lichnerovicz A. Les variétés de Poisson et leurs algèbres de Lie associées // J. Diff. Geom. — 1977. Vol. 12. - P. 253-300.

85. Liu S-Q., Zhang Y. Deformations of semisimple bihamiltonian structures of hydrodynamic type // J. Geom. Phys. — 2005. — Vol. 54. — P. 427-453.

86. Lorenzoni P., Pedroni M. On the bi-Hamiltonian structures of the Camassa-Holm and Harry Dym equations // Int. Math. Res. Not. — 2004. Vol. 75. - P. 4019-4029.

87. Mackenzie K. Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry // London Math. Soc. Lecture Notes — Vol. 124. — Cambridge Univ. Press 1987.

88. Mackenzie K. and Ping Xu Lie bialgebroids and Poisson groupoids // Ducke Math. J. 1994. - Vol. 73. - P. 415-452.

89. Magnano G. and Magri F. Poisson-Nijenhuis structures and Sato hierarchy // Rev. Math. Phys. — 1991. — Vol. 3, no. 4. — P. 403-466.

90. Magri F. J. Math. Phys. 1978. - Vol. 19. - P. 1156-1162.

91. Magri F. Eight lectures on integrable systems // Integrability of nonlinear systems (Pondicherry, 1996), Lecture Notes in Phys. — Vol. 495. P. 256-296. - Springer, Berlin, 1997.

92. Magri F. Geometry and Soliton Equations // in La Mécanique Analytique de Lagrange et son héritage, Atti Acc. Sci. Torino Suppl. — 1990. Vol. 124. - P. 181-209.

93. Magri F. and Morosi C. A geometrical characterization of integrable Hamiltonian systems through the theory of Poisson-Nijenhuis manifolds// University of Milan, Quaderno. — 1984. — Vol. S 19. — 20 p.

94. Maltsev A. Ya., Novikov S. P. On the local systems Hamiltonian in the weakly non-local Poisson brackets // Physica D. — 2001. — Vol. 152/153. P. 104-109.

95. Marrero J.C., Monterde J. and Padron E. Jacobi-Nijenhuis manifolds and compatible Jacobi structures // C.R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. — 1999. Vol. 329. — P. 797-802.

96. Martinez Alonso L., Shabat A.B. On the prolongation of the hierarchy of hydrodynamic chains. New trends in integrability and partial solvability // NATO Sci. Ser. II Math. Phys. Chem. 2004. - Vol. 132, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. — P. 263-280.

97. McKean H.P. Breakdown of a shallow water equation // Asian J. Math. 1998. - Vol. 2. - P. 867-879.

98. Mikhailov A. V., Novikov V. S. Perturbative symmetry approach //J. Phys. A: Math. Gen. — 2002. — Vol. 35. — P. 4775-90.

99. Misiolek G. A shallow water equation as a geodesic flow on the Bott-Virasoro group //J. Geom. Phys. — 1998. Vol. 24. — P. 203-208.

100. Miura R. M., Gardner C. S., Kruskal M. D. Korteveg-de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion //J. Math. Phys. — 1968. — Vol. 9. — P. 12041209.

101. Novikov V. S. Generalizations of the Camassa-Holm equation // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. - Vol. 42. - 342002, 14 pp.

102. Nunes da Costa J. M. and Petalidou F. Reduction of Jacobi-Nijenhuis manifolds //J. Geom. Phys. 2002. - Vol. 41, no. 3. — P. 181-195.

103. Nunes da Costa J. M. Some remarks on the Poisson-Nijenhuis and Jacobi structures // Summer School on Differential Geometry (Coim-bra, 1999). P. 109-117. — Univ. Coimbra, Coimbra, 1999.

104. Olver P. J., Rosenau P. Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary-wave solutions having compact support // Phys. Rev. E. — 1996. Vol. 53. - P. 1900-1906.

105. Olver P. J., Sanders J., and Wang J. P. Ghost symmetries // J. Nonlinear Math. Phys.-- 2002. — Vol. 9, Suppl. 1. P. 164-172.

106. Ortenzi G. Some remarks on the KP system of the Camassa-Holm hierarchy // SIGMA. 2007. - Vol. 3. - 047, 10 pp.

107. Ortenzi G., Pedroni M., Rubtsov V. On the higher Poisson structures of the Camassa-Holm hierarchy // Acta. Appl. Math. — 2008. — Vol. 101. P. 243-254.

108. Ovsienko V., Khesin B. The (super) KdV equation as an Euler equation // Funct. Anal. Appl. — 1987. — Vol. 21:4. — P. 81-82.

109. Penskoi A. V., Veselov A.P. Discrete Lagrangian systems on the Virasoro group and Camassa-Holm family // Nonlinearity. — 2003. — Vol. 16, no. 2. P. 683-688.

110. Popowicz Z. A Camassa-Holm equation interacted with the Degaspe-ris-Procesi equation // Czech. J. Phys. — 2006. — Vol. 36. — P. 12631268.

111. Popowicz Z. A 2-component generalization of the Degasperiis-Procesi equation //J. Phys. A: Math. Gen. 2006. - Vol. 39. — P. 1371713726.

112. Popowicz Z. A 2-component or N = 2 supersymmetric Camassa-Holm equation // Phys. Lett. A. — 2006. — Vol. 354. — P. 110-114.

113. Reyes E. G. Geometric integrability of the Camassa-Holm equation // Lett. Math. Phys. — 2002. — Vol. 59. — P. 117-131.

114. Reyes E. G. On nonlocal symmetries of some shallow water equations //J. Phys. A: Math. Theor. 2007. — Vol. 40. — P. 4467-4476.

115. Reyes E. G. The soliton content of the Camassa-Holm and Hunter-Saxton equations // Proc. Inst. Math. NAS Ukraine. — 2002. — Vol. 43(1). P. 201-208.

116. Roelofs G.H.M. The INTEGRATOR-package for REDUCE. Version 1.0 // Memorandum 110, University of Twente, The Netherlands. — 1992.

117. Roelofs G.H.M. The TOOLS-package for REDUCE // Memorandum 942, University of Twente, The Netherlands. — 1991.

118. Shabat A. Universal solitonic hierarchy //J. Nonlinear Math. Phys. — 2005. — Vol. 12, suppl. 1. — P. 614-624.

119. Schiff J. The Camassa-Holm equation: a loop group approach // Physica D. 1998. — Vol. 121. - P. 24-43.

120. Shkoller S. Geometry and curvature of diffeomorphism groups with H1 metric and mean hydrodynamics //J. Funct. Anal. — 1998. — Vol. 160. P. 337-365.

121. Vaisman I. A lecture on Poisson-Nijenhuis structures, Integrable systems and foliations, Feuilletages et systèmes intégrables (Montpellier, 1995) // Progr. Math., Birkhàuser Boston, Boston, MA. — 1997. — Vol. 145. P. 169-185.

122. Vaisman I. Lectures on the Geometry of Poisson manifolds // Birk-háser, Basel. — 1994.

123. Vaisman I. Poisson-Nijenhuis manifolds revisited // Rendiconti Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. — 1994. — Vol. 52, no. 4. P. 377-394.

124. Vinogradov A.M. Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus // AMS Translation of Mathematical Monographs series. — 2001. — Vol. 204. — 247 pp.

125. Vinogradov A.M. The ^-spectral sequence, Lagrangian formalism, and conservation laws. I. The linear theory. II. The nonlinear theory // J. Math. Anal. Appl. 1984. - Vol. 100, n. 1. — P. 1-129.

126. Wade A. A generalization of Poisson-Nijenhuis structures //J. Geom. Phys. 2001. - Vol. 39, no. 3. - P. 217-232.

127. Weinstein A. Poisson geometry // Differential Geom. Appl. — 1998. — Vol. 9, no. 1-2. P. 213-238.

128. Weinstein A. The local structure of Poisson manifolds // J. Diff. Geom. 1983. - Vol. 18. - P. 523-557.

129. Xu P. Poisson cohomology of regular Poisson manifolds // Ann. Inst. Fourier Grenoble. 1992. - Vol. 42. - P. 967-988.