Интегрируемые эволюционные цепочки и дискретные уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Постников, Валерий Витальевич

• Постников, Валерий Витальевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Постников, Валерий Витальевич

Оглавление

Введение

1 Векторные аналоги модифицированной цепочки Вольтер-ра

1.1 Преобразование Бэклунда для скалярной цепочки

1.1.1 Представление нулевой кривизны

1.1.2 Принцип нелинейной суперпозиции

1.2 Первое векторное обобщение

1.3 Второе векторное обобщение

1.4 Высшие симметрии и ассоциированные системы

1.5 Дальнейшие векторные аналоги

2 Линейные задачи для иерархии Хироты-Охты

2.1 Иерархия НУШ

2.2 Иерархия Хироты-Охты

2.3 Векторная иерархия Кулиша-Склянина

3 Цепочки, ассоциированные с рациональными операторами Лакса

3.1 Простейший пример

3.2 Предварительные построения

3.2.1 Определения и обозначения

3.2.2 Цепочки Богоявленского

3.3 Дискретизация уравнения Савады-Котеры

3.3.1 Представление Лакса

3.3.2 Модифицированные цепочки

3.3.3 г-матричная формулировка

3.3.4 Непрерывный предел

3.3.5 Билинейные уравнения

3.4 Дискретный аналог уравнения Каупа-Куиерншидта

3.5 Примеры, связанные с операторами общего вида

4 Дискретные двумерные интегрируемые уравнения выс-

шего порядка

4.1 Общая схема

4.2 Многомерная совместность

4.3 Преобразование Бэклунда для цепочки Богоявленского

4.4 Преобразование Бэклунда для дискретизации уравнения Савады-Котеры

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемые эволюционные цепочки и дискретные уравнения»

Введение

Современное понимание интегрируемости нелинейных уравнений основано на методе обратной задачи рассеяния. Этот метод применим в том случае, когда исследуемое уравнение допускает представление в виде условий совместности для вспомогательных линейных систем. Исторически, первый пример связан с изоспектральными деформациями для задачи Штурма-Лиувилля фхх — (и — X)ф, которые приводят к уравнению Кортевега-де Фриза

Щ = иххх - 6иих (1)

и бесконечной серии его высших симметрий (иерархии КдФ). К настоящему времени установлена интегрируемость для огромного числа уравнений различных типов. Простейший класс, содержащий КдФ и множество других важных примеров, составляют скалярные эволюционные уравнения

щ = ¡(и,их,...,д^(и)). (2)

Параллельная теория разработана для эволюционных дифференциально-разностных уравнений (цепочек)

= /к, • • • ,г1_т), (3)

где обозначено и^ = <Эг(и(п, <)), и3 = и(п + £). Такие уравнения можно интерпретировать как дискретизацию, по пространственной переменной, уравнений вида (3). Первым примером применения метода обратной задачи к уравнениям этого типа служит цепочка Вольтерра

= и(щ - «_!), (4)

проинтегрированная в работах Кейза, Каца [27] и Манакова [65], и связанная с дискретной задачей Штурма-Лиувилля ф\ + иф-\ = Хф.

Цепочка (4) переходит в уравнение КдФ для переменной 11(х,т) в непрерывном пределе и(п, £) = 1 — е2и(х + 2е£, ^е3^), х = еп, е —> 0. Однако, это соответствие не взаимно-однозначно: одно непрерывное уравнение может допускать неэквивалентные дискретизации разного порядка. Например, уравнение КдФ возникает в непрерывном пределе не только

из цепочки Вольтерра, но и из цепочек Богоявленского В^"1) [74, 47, 23, 24]

u,t = и(ит Н----+ «х - U-1-----u_m) (5)

при произвольном т. Таким образом, интегрируемых цепочек, в некотором смысле, больше, чем непрерывных уравнений и, во многих отношениях, их теория оказывается более сложной и богатой.

Отметим в этой связи, что задача классификации интегрируемых уравнений (2) рассматривалась в работах Шабата, Свинолупова, Соколова, Михайлова и др., в которых был получен ряд важных результатов для порядков к = 2,4 (линеаризуемые уравнения типа Бюргерса) и к = 3,5 (уравнения типа КдФ). Обзор и ссылки на оригинальные статьи можно найти в [69, 67]. Возможно, что эти классификационные результаты дают полное решение задачи: имеется гипотеза, что все интегрируемые уравнения нечетного порядка больше 5 являются симметриями уравнений порядков 3 и 5. Если это так, то число непрерывных интегрируемых иерархий конечно. В дискретном случае это заведомо неверно, поскольку цепочки Богоявленского при различных т принадлежат разным иерархиям (не являются симметриями друг для друга). Можно сказать, что в данном случае мы имеем семейство иерархий.

Цепочки вида (3) хорошо изучены лишь при т = 1. Для этого случая, исчерпывающая классификация цепочек, обладающих высшими симметриями, получена Ямиловым [108], см. также [61, 111]. При т > 1, литература ограничена, в основном, цепочками Богоявленского и их модификациями [94, 95]. В этом случае, нет не только классификации, но даже какого-либо предварительного описания или списка цепочек, которые давали бы примерное представление о том, как устроен (или, насколько может быть сложен) ответ в этом классе уравнений.

Обобщения другого типа возникают при замене скалярной переменной и на векторную или матричную. Векторными называются уравнения, которые можно записать в безкомпонентной форме при помощи скалярного произведения, иначе говоря — допускающие группу SO(d) в качестве классических симметрий. В непрерывном случае, такие уравнения являются важным и довольно хорошо изученным классом интегрируемых систем. Из работ в этой области, упомянем статьи [31, 66, 92, 101, 100], содержащие примеры и классификационные результаты для векторных систем типа нелинейного уравнения Шредингера с производной. Имеются результаты и для векторных цепочек, см. напр. [1, 98, 7], но, в целом, эта область малоисследована.

Таким образом, поиск интегрируемых цепочек и изучение их свойств является актуальной задачей, которой и посвящена эта диссертация. Основной пример связан с семейством иерархий dSK^,m), обобщающим семейство Богоявленского В^ и зависящим от двух целочисленных параметров. Рассматриваются также примеры векторных цепочек первого

порядка и двумерных цепочек. Помимо построения представлений нулевой кривизны, для всех этих примеров решается задача построения преобразований Бэклунда. Напомним, что они определяют дискретную часть интегрируемой иерархии. Если стартовать с непрерывных уравнений типа уравнения КдФ или нелинейного уравнения Шредингера, то полностью дискретные уравнения на квадратной решетке возникают из свойства перестановочности преобразований Бэклунда. Для полудискретных уравнений типа цепочки Вольтерра или Тоды, уже сами преобразования Бэклунда описываются полностью дискретными уравнениями, см. напр. [76, 15, 59]. Особенно интересными оказываются преобразования Бэклунда для цепочек высокого порядка (3), они имеют вид дискретных уравнений порядка 1 по одной и т по второй дискретной переменной:

Q(v(i -f 1 ,п + т),... ,v(i + 1 ,п),и(г,п + т),... ,г;(г,п)) = 0. (6)

При т — 1 это так называемые квад-уравнения [21, 77, 8]. В диссертации рассмотрен случай т > 1, ранее практически не изучавшийся, для которого предложен термин мультиквад-уравнения.

Научная новизна. Перечислим основные новые результаты, представленные в диссертации.

1) В теоремах 1.1, 1.2 приведены преобразования Дарбу-Бэклунда и формулы нелинейной суперпозиции для двух векторных обобщений модифицированной цепочки Вольтерра:

Vn,x = 2{Vn, K+1 - Vn_i>Vn - (Кг, КгХКг+1 ~ Кг-l), (7)

Кг,ж = (Кг; Кг)(Кг+1 Кг—1)> (8)

где Кг € Вычисления основаны на представлениях нулевой кривизны с матрицами размера (d + 2) х (d + 2). Для цепочки (7) используются матрицы из работы [16] Для цепочки (8) ранее было известно лишь представление в матрицах размера 2d х 2d [99]. Матрицы, определяющие преобразования Дарбу, получены впервые, в обоих случаях.

2) В разделе 2.2 построены согласованные представления нулевой кривизны для (2 + 1)-мерной системы Хироты-Охты [43] и ее дискретных аналогов из работ [2, 50, 57, 46, 39]. Тем самым, показано, что эти уравнения являются членами одной и той же иерархии, что ранее не было известно. В разделе 2.3 установлена Pix связь с векторной системой Кулиша-Склянина [55], обобщающей нелинейное уравнение Шредингера.

3) Изучены цепочки, связанные со спектральной задачей

U1pm+l + 1pl = Цфт + иф). (9)

Показано, что соответствующие иерархии цепочек образуют семейство с!8К^>т), являющееся нетривиальным обобщением модифицированных цепочек Богоявленского. В билинейной форме, это семейство было введено в работах [102, 45], однако, его свойства остались не исследоваными (в частности, не было известно представление Лакса). Простейший поток из имеет вид

и,г = и2{ит ■ ■ ■ Щ - и_1 • • ■ и-т) ~ и{ит-1 • ' ' Щ - И-1 ■ • • иХ_т), (10)

где правая часть равна сумме двух некоммутирующих друг с другом потоков, определяющих различные модификации цепочек и В теореме 3.4 приведена явная конструкция для потоков иерархии с!8К(г,т) и доказана их коммутативность. В теореме 3.5 доказано, что рассматриваемые цепочки переходят в непрерывном пределе в иерархию уравнения Савады-Котеры (аналог уравнения КдФ 5-го порядка).

4) В разделах 3.4, 3.5 получены новые примеры цепочек, определяющих дискретизации уравнения Каупа-Купершмидта, и цепочек с несколькими компонентами.

5) В разделе 4.2 сформулировано определение свойства многомерной совместности для двумерных дискретных уравнений вида (6). Оно обобщает известное определение для случая т = 1 (то есть, для квад-уравнений) [21, 77, 8].

6) В теоремах 4.2, 4.9 приведены многомерно совместные мультиквад-уравнения, задающие преобразования Бэклунда и формулы нелинейной суперпозиции для цепочки Богоявленского В1-"1) (5) и для цепочки

(ю). Преобразование Бэклунда для рассматривалось ранее в [103, 78, 93], для с^К^1'"1) является новым. Формулы суперпозиции новые в обоих примерах. Они служат многокомпонентными обобщениями квад-уравнений <35 и из списка [8].

Диссертация выполнена на основе работ [11, 12, 13, 14]. Результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Формулы, определения и теоремы нумеруются по главам. Список литературы содержит 114 наименований. Общий объем диссертации 88 стр.

Во введении приводится краткое обсуждение истории вопроса, описаны полученные результаты и структура диссертации.

В главе 1, «Векторные аналоги модифицированной цепочки Воль-терра», рассматриваются уравнения (7), (8), определяющие неэквивалентные интегрируемые обобщения хорошо известной скалярной цепочки. Цепочка (7) была введена в [16] среди других примеров многокомпонентных цепочек, связанных с алгебраическими йордановыми струк-

турами. Цепочка (8) была введена в [84] для случая двумерных векторов и в [44, 42] для векторов произвольной размерности. В разделе 1.1 приведены необходимые результаты, относящиеся к скалярному случаю. Основные результаты этой главы представлены в разделах 1.2, 1.3, в которых описан метод одевания для обоих векторных обобщений.

Приведены также простейшие точные решения типа солитонов и бри-зеров. Проводится сравнение с результатами, полученными в [99] для цепочки (8). В разделе 1.4 обсуждаются уравнения в частных производных, ассоциированные с цепочками (7), (8). Напомним, что в работах Леви [58] и Шабата, Ямилова [90] было замечено, что интегрируемые цепочки типа Вольтерра определяют специальную разновидность преобразований Бэклунда для уравнений типа нелинейного Шредингера. Это верно и для векторных аналогов: показано, что высшие симметрии рассматриваемых цепочек можно записать в виде векторных обобщений системы Каупа-Ньюэлла (или, нелинейного уравнения Шредингера с производной). Интересна также связь с двумерными цепочками, родственными цепочкам Вольтерра введенными Михайловым [68]. В разделе 1.5 приведены еще два любопытных примера (найденные методом неопределенных коэффициентов) векторных цепочек 2-го порядка, обладающих высшими симметриями 4-го порядка.

Глава 2, «Линейные задачи и преобразования Бэклунда для иерархии Хироты-Охты», посвящена, по сравнению с остальными главами, более сложному объекту: иерархии 3-мерной, 3-компонентной системы, обобщающей уравнение Кадомцева-Петвиашвили. Согласно общему методу Захарова-Шабата [114], эта иерархия определяется как условия совместности вспомогательных линейных задач, которые заменяют в 3-мерном случае представление нулевой кривизны. Цель главы — продемонстрировать, что несмотря на определенные усложнения по сравнению с 2-мерным случаем, этот метод дает единообразный способ вывода полудискретных и дискретных уравнений иерархии (как и раньше, они определяют преобразования Бэклунда и формулы их суперпозиции).

Рассматриваемые уравнения открывались и псреоткрывались разными авторами в рамках различных подходов. В диссертации, термин «система Хироты-Охты» используется для базового непрерывного уравнения иерархии, которое в явном виде было введено в работе [43] при пфаффианизации уравнения Кадомцева-Петвиашвили (пфаффианиза-ция представляет собой определенную процедуру, при которорой много-солитониые решения, выраженные через детерминанты, заменяются на решения, выраженные через пфаффианы. В дальнейшем, эта процедура применялась и к другим уравнениям, см. напр. [37]). Еще раньше, система Хироты-Охты была обнаружена при прямом поиске билинейных уравнений, допускающих 3-солитонные решения [40]. Дифференциально-разностный представитель иерархии Хироты-Охты, известный как це-

почка Пфаффа [2, 3, 4, 50], был введен в рамках теории случайных матричных моделей. Вся иерархия может быть выведена также в рамках подхода, основанного на представлениях алгебры Клиффорда и бозонно-фермионном соответствии [48, 49]. В частности, эта техника применялась при выводе преобразования Бэклунда [57]. В [46], преобразование Бэклунда было получено при пфаффианизации преобразования Миуры для модифицированного уравнения КР. Полностью дискретная версия системы Хироты-Охты введена в работе [39].

В диссертации, иерархия Хироты-Охты выводится, как уже было сказано, в рамках метода Захарова-Шабата из условий совместности вспомогательных линейных задач. Этот способ проще вышеперечисленных, если не с вычислительной, то с идейной точки зрения. В частности, он позволяет показать, что дискретизация из [39] не просто служит разностным аналогом системы Хироты-Охты, но и определяет принцип нелинейной суперпозиции для ее преобразований Бэклунда. Линейные задачи для непрерывной части иерархии появились в статье [51]. Эмпирическое наблюдение, позволяющее дополнить их линейными задачами для всех уровней дискретизации (то есть, для систем с одной, двумя и тремя независимыми дискретными переменными), заключается в том, что структура этих линейных задач совпадает со структурой 2-мерной иерархии нелинейного уравнения Шредингера. Более точное соответствие с теорией 2-мерных систем указано в разделе 2.3, посвященном векторной системе Кулиша-Склянина [55].

В главе 3, «Цепочки, ассоциированные с рациональными операторами Лакса», изучаются некоторые интегрируемые иерархии, ассоциированные с линейными уравнениями вида Ргр — \Qijj, где Р, Q разностные операторы (основным примером служат линейные уравнения вида (9)). В частности, эти иерархии содержат уравнения, найденные ранее в работах [102, 45] в рамках билинейного подхода Хироты. Соответствующие нелинейные дифференциально-разностные уравнения можно рассматривать как неоднородные обобщения цепочек типа Богоявленского. В отличие от последних, переходящих в непрерывном пределе в уравнение КдФ, рассматриваемые цепочки служат дискретными аналогами уравнений Савады-Котеры и Каупа-Купершмидта.

В разделе 3.2 содержится некоторая необходимая информация о цепочках типа Богоявленского, см. также книги [25, 94]. Раздел 3.3 посвящен дискретизациям уравнения Савады-Котеры и содержит основные результаты главы. Общая конструкция лаксовой пары L,t = [A L] с оператором L = Q~lP приведена в разделе 3.3 1. В разделе 3.3.3, используется r-матричный подход в разностной формулировке [83, 19, 94], с его помощью строятся явные формулы для оператора А и доказывается коммутативность иерархии Непрерывный предел, билинейное представление, простейшие решения типа бризера представлены

в разделах 3.3.4, 3.3.5. Раздел 3.4 посвящен дискретизации уравнения Каупа-Купершмидта, родственного уравнению Савады-Котеры. Раздел 3.5 содержит примеры цепочек с несколькими переменными, которые ассоциированы с более общими дробными операторами Лакса.

В главе 4, «Дискретные двумерные интегрируемые уравнения высшего порядка», дано определение свойства многомерной совместности для двумерных дискретных уравнений вида (6). Ранее это свойство рассматривалось только для квад-уравнений, отвечающих случаю т = 1 [21, 77, 8]. Уравнения с произвольным т возникают, как преобразования Бэклунда для эволюционных цепочек вида (3), при этом, свойство многомерной совместности отражает перестановочность преобразований Бэклунда.

Рассмотрены два конкретных и достаточно содержательных примера, отвечающих цепочке Богоявленского и дискретизации уравнения Савады-Котеры с^К^1'") из предыдущей главы. Нет сомнений, что набор примеров можно расширить, для чего годятся оба определения интегрируемости, рассмотренные в этой главе, то есть, наличие эволюционной дифференциально-разностной симметрии или, в чисто дискретной постановке, свойство ЗБ-совместности. Однако, оба подхода содержат множество нерешенных технических вопросов и на данном этапе не приходится рассчитывать на простые классификационные результаты, аналогичные известным спискам для случая первого порядка [108, 8].

Глава 1

Векторные аналоги модифицированной цепочки Вольтерра

В этой главе рассматриваются уравнения

Кг,х = 2<Т/П, Уп+1 - Кг-1 )Уп - {Уп, Уп)(Уп+1 - УП_Х),

где Уп € М^, определяющие неэквивалентные интегрируемые обобщения хорошо известной скалярной цепочки

Уп,х = п+1 - г>„_ 1).

Для обоих уравнений, основным новым результатом является вывод преобразований Бэклунда-Дарбу и дискретных уравнений, определяющих композицию преобразований Бэклунда. Показано, что дискретные уравнения обладают свойством ЗБ-совместности. С помощью преобразований Бэклунда построены простейшие явные решения солитонного и бри-зерного типа. Установлена связь с ассоциированными системами: векторными уравнениями типа нелинейного уравнения Шредингера и двумерными цепочками типа Вольтерра.

Исследование основано на представлении уравнений в виде условия совместности для вспомогательных линейных задач (1.1) с матрицами Ь, А, М размера {д. + 2) х (с2 + 2). Для первой из рассматриваемых цепочек используются матрицы Ь, А из работы [16]. Для второй ранее было известно лишь представление в матрицах Ь, А размера 2^ х [99]. Матрицы М, определяющие преобразования Дарбу, получены впервые, в обоих случаях

1.1 Преобразование Бэклунда для скалярной цепочки

1.1.1 Представление нулевой кривизны

Напомним некоторые общие определения. В этой главе, для вспомогательных линейных уравнений используются обозначения

где Ь, Л, М матрицы, зависящие от динамических переменных ьп и спектрального параметра А. Условие совместности этих уравнений имеет вид

Говорят, что цепочка допускает представление нулевой кривизны, если она эквивалентна уравнению (1.2) при подходящем выборе матриц Ь, А. Уравнение (1.3), при подходящем выборе матрицы М, эквивалентно некоторому (неявному, в наших примерах) преобразованию ига —» которое можно интерпретировать, как разностное уравнение, если положить уп = 1>п,т, Ъп = г>П)т+1, где т новая дискретная переменная. При этом, говорят, что уравнения (1.3), (1.4) определяют, соответственно п- и ж-части преобразования Бэклунда, а само линейное уравнение Ф„ = МПФП называется преобразованием Дарбу.

В скалярном случае, модифицированная цепочка Вольтерра

Фп+1 = ¿ПФ,

П)

Фп,Х = ¿А, Фп = М„Ф.

П!

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

Уп,х = («п + й)(г'п+1 - Уп-1)

эквивалентна условиям совместности (1.2) с матрицами

(1.5)

\

/

(1.6)

(1.7)

где обозначено

а = ¡¿(а2 - ¿¿2А2), р = ац{А2 - ц2).

При этом, условия совместности (1.3) эквивалентны паре дискретных уравнений Риккати1 для переменных /„:

<и _ м/п+1 ~ а/п/и- ~ _ У/п ~ а/п-ц/м ^ ^

1 + /п/п+1 1 + /п/п+1

и условие (1.4) дополняет эту систему непрерывным уравнением Риккати

2

}п,х = + + (^2 _ /"2)/п + (¿Уп-1 + (1.9)

Переменные /п удовлетворяют, в силу уравнений (1.8), (1.9), цепочке

Г - (М2 + а/п)(а + М2/п)(/п+Х ~ /п-0 1п'х~ /х2(1 + /п+1/„)(1 + /п/п_х) •

Для заданного решения уп цепочки (1.5), совместное решение /„ уравнений (1.8) и (1.9) строится по формуле /п = фп/ <рти где Ф = (ф, частное решение первого и второго уравнений (1.1) при Л — (х. При этом, второе уравнение (1.8) определяет новое решение ьп.

Например, для построения решения солитонного типа в качестве затравочного решения берется уп = 1 (очевидно, выбор другой константы эквивалентен масштабированию параметра а; некоторое обобщение достигается при одевании решения г>2га = ск, г^п-н = /3). Собственные значения матрицы Ьп|и„=х,л=^ находятся из уравнений

71 + 72 = М + 7172 = 1 + а

и соответствующее решение линейных уравнений имеет вид

<Рп = 7Ге(7?+2)1 + фп = ц<рп - <рп+1

(если не рассматривать случай кратных корней 71 =72, ведущий к решениям, рациональным по п,х). Отношение /п = фп/^>п определяет решение цепочки (1.10) типа кинка (при условии 71/72 > 0, к > 0) и подстановка во второе уравнение (1.8) дает решение цепочки (1.5). При построении ^-солитонного решения используется набор частных решений (фп\фтР) отвечающих значениям параметров к^3\ 3 — 1,..., ./V. Если а > 0, то цепочка (1.5) допускает решения в виде бризеров, отвечающих парам комплексно сопряженных точек дискретного спектра у^1) = д(2), к^ = к^ (эта терминология не общепринята, часто бризе-ром называют только решения, локализованные по п и периодические по х).

1 Дискретным уравнением Риккати называется дробно-линейное отображение с пе-

ременными коэффициентами, то есть, /п+1 = —' .

-15 -10 -5

5 10 15

-20 -10

10 20

Рис. 1.1. Бризер цепочки (1 5); а = 1, = = 0.5 + 1.5г, к™ = = 1.

1.1.2 Принцип нелинейной суперпозиции

Итерации преобразования Дарбу строятся при последовательном применении матриц М и пересчете волновых функций. Пересчет можно осуществлять и непосредственно в переменных /, что даже удобнее для вычислений. Это приводит к принципу нелинейной суперпозиции преобразований Дарбу в форме некоторого отображения Янга-Бакстера [10-5, 9]. Пусть переменные /„ строятся по частным решениям линейных уравнений при ц — и пусть /п'п' ''Зз> обозначает переменные, полученные из /А последовательным применением преобразований Дарбу с параметрами \ ..., ¡л^'1^. Преобразования Дарбу обладают свойством перестановочности, то есть, порядок всех верхних индексов, кроме первого, не имеет значения. Это равносильно следующему тождеству для матриц вида (1 7):

где <т обозначает любую последовательность различных индексов. Это уравнение однозначно разрешимо относительно /п'к'а\ и опреде-

ляет отображение

П/f „ гЛ _ - М/) - - у2)/92 - а2{м - у/) п „V — -з7-7ч—;-7~2-т\-27-7ч • I1-11)

Прямой проверкой

можно убедиться, что значение ^1 ■ ^ ^' рекуррент-но построенное по /п\ /п'\ • ■ •, /п*\ действительно не зависит от порядка ,..., Зп (это свойство эквивалентно уравнению Янга-Бакстера). Имеется также другая форма принципа нелинейной суперпозиции, в

виде дискретного уравнения, связывающего некоторые новые перемен-(ч к)

ные Хп на элементарной ячейке квадратной решетки. Для этих переменных нижний индекс немой, от отвечает дискретной переменной в цепочке Вольтерра, а верхние индексы нумеруют преобразования Дарбу. Это уравнение не слишком удобно для дальнейших векторных обобщений, но оно интересно само по себе и мы его вкратце опишем. Вид уравнения зависит от знака а.

В простейшем случае а = 0 из уравнений (1.8) следует соотношение

- = /п+1 ~ /п—Ъ

1>гг ип-1

что позволяет ввести переменную гп, удовлетворяющую уравнениям

/п = /¿(¿гг ~ гп-1), 1/г'п = гп+1 ~ ¿71-1-

При этой замене соотношения (1.8) превращаются в одно уравнение

(¿п+1 — 2п)(2п+1 — гп) = ¡х 2,

которое и определяет преобразование Дарбу в переменных г. Далее, рассмотрим второе преобразование Дарбу, отвечающее значению А = и:

(¿п+1 — 2п)(гп+1 — ¿п) = V 2.

Несложное вычисление показывает, что двукратные преобразования Дарбу совпадают: ¿п = гп, причем их общее значение задается следующей формулой суперпозиции:

(¿п - 2п)(гп - 2п) = \Г2 - V

Иначе говоря, два преобразования Дарбу и формула суперпозиции образуют ЗБ-совместную (или совместную вокруг куба) тройку уравнений

[8]. Итерации преобразования Дарбу приводят к дискретному уравнению на квадратной решетке (при фиксированном нижнем индексе)

{гЬ+1М1) _ _ 4?+^)) = (м0))-а _ („<*))-*. (1.12)

Это ЗБ-совместное уравнение хорошо известно — оно описывает также нелинейную суперпозицию преобразований Дарбу для оператора Шре-дингера. Это совпадение не удивительно, если вспомнить, что цепочки типа Вольтерры служат симметриями для одевающих цепочек, определяющих преобразования Бэклунда для уравнений типа Кортевега-де Фриза (КдФ); эта связь обсуждалась, с разных точек зрения, в работах [90, 76, 15, 59] и др..

Аналогично, в случае а = —с2 переменная гп вводится согласно формулам

_ ц(гп + 2П_1) _ гп+1 +

/п --\! - С ^

При этом, соотношения (1.8) превращаются в уравнение

а(гп+1 - гп)(гп+\ - гп) = -/л2(5„+1 + гп)(гп+\ + ¿п), а (1.12) заменяется уравнением

= + г0.*+1>г£+1-А;+1>)> (1.13)

где г (А) = (А2 — а)/{ А2 + а), эквивалентным принципу нелинейной суперпозиции для уравнения этЬ-Гордон. Наконец, если а = с2, то замена

_ 1 + гп-хгп) _ 1 + гп+1гп-1

1п — , ~ \ 1 ~ с

приводит уравнения (1.8) к виду

^(¿„+1 - гп)(гп+1 - гп) = ¿¿2(1 + гп+1гп)(1 + гп+1гп), а перестановочность преобразований Дарбу приводит к уравнению (г(/4Ы) + г(1/0))) (^+1) _ 1Л)) _ г0+1,*+1))

= - г(^))) (1 + ^+1)^+1.*)) (1 + 4^)^+1^+1)) (1.14)

эквивалентному принципу нелинейной суперпозиции для уравнения вте-Гордон. Уравнение (1.13) превращается в (1 14) при комплексной замене г (г — г)/(г + г), то есть, эти уравнения являются двумя разными вещественными формами одного и того же уравнения.

В завершение этого раздела, отметим, что аналогичная схема построения решений существует и для решений цепочки Вольтерра

ип,х = ип(ип+1 - ип-\).

(1.15)

Соответствующие формулы даже проще, например, вместо уравнений (1.8) имеем уравнения

а роль цепочки (1.10) играет цепочка (1 5) при а = — ц2. Таким образом, цепочка (1.10) является, фактически, второй модификацией цепочки Вольтерра. Последовательность модификаций (1.15) (1.5) —> (1.10) сходна с последовательностью уравнений КдФ —> мКдФ —> ехр-КД (экспоненциальное уравнение Калоджеро-Дегаспериса) в непрерывном случае [109, 110]. Эту связь можно проследить на уровне непрерывного предела.

В главе 4 будут рассмотрены дискретные уравнения, обобщающие (1.16) для случая цепочки Богоявленского. Цепочка Вольтерра (1.15) и уравнения (1.16) допускают также некоторые многокомпонентные обобщения [84, 94], но векторных обобщений для них не известно. Зато, модифицированная цепочка (1.5) обладает сразу двумя векторными обобщениями, к изучению которых мы и переходим.

1.2 Первое векторное обобщение

Ясно, что матрицы представления нулевой кривизны для векторного уравнения должны иметь блочную структуру. Непосредственных блочных аналогов для матриц (1.6) и (1 7) найти не удается, но, оказывается, что блочное обобщение легко получить для линейных уравнений на трехмерный вектор, компоненты которого равны произведениям компонент вектора Ф. При этом удобно зафиксировать калибровку, в которой определители матриц Ь, М постоянны, а матрица А бесследовая. Опуская несложные вычисления, приведем ответ: представление нулевой кривизны для цепочки (1.5) при а = 0 и ее преобразования Бэклунда определяется матрицами

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Постников, Валерий Витальевич, 2014 год

Литература

[1] M.J. Ablowitz, Y. Ohta, A.D. Trubatch. On discretizations of the vector Nonlinear Schrodinger Equation. Phys. Lett. A 253 (1999) 287304.

[2] M. Adler, E. Horozov, P. van Moerbeke. The Pfaff lattice and skew-orthogonal polynomials. Int. Math. Res. Notes 1999:11 (1999) 569588.

[3] M. Adler, P. van Moerbeke. Toda versus Pfaff lattice and related polynomials. Duke Math. J. 112:1 (2002) 1-58.

[4] M. Adler, T. Shiota, P. van Moerbeke. Pfaff r-functions. Math. Ann. 322 (2002) 423-476.

[5] V.E. Adler. Nonlinear superposition formula for Jordan NLS equations. Phys. Lett. A 190 (1994) 53-58.

[6] V.E. Adler. Integrable deformations of a polygon. Physica D 87:1-4 (1995) 52-57.

[7] V.E. Adler. Classification of integrable Volterra-type lattices on the sphere: isotropic case. J. Phys. A 41:14 (2008) 145201.

[8] V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Classification of integrable equations on quad-graphs. The consistency approach. Comm. Math. Phys. 233 (2003) 513-543.

[9] V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Geometry of Yang-Baxter maps: pencils of conics and quadrirational mappings. Comm. Anal, and Geom. 12:5 (2004) 967-1007.

[10] V.E. Adler, A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Classification of integrable discrete equations of octahedron type. Int. Math. Res. Notices 2012:8 (2012)1822-1889.

[11] V.E. Adler, V.V. Postnikov. On vector analogs of the modified Volterra lattice. J. Phys. A: Math. Theor. 41 (2008) 455203.

[12] V.E. Adler, V.V. Postnikov. Linear problems and Bácklund transformations for the Hirota-Ohta system. Physics Letters A 375 (2011) 468-473.

[13] V.E. Adler, V.V. Postnikov. Differential-difference equations associated with the fractional Lax operators. J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011) 415203.

[14] V.E. Adler, V.V. Postnikov. On discrete 2D integrable equations of higher order J. Phys. A: Math. Theor. 47 (2014) 045206.

[15] V.E. Adler, Yu.B. Suris. Q4: Integrable master equation related to an elliptic curve. Intl. Math. Res. Notices (2004) 2523-2553.

[16] V.E. Adler, S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov. Multi-component Volterra and Toda type integrable equations. Phys. Lett. A 254 (1999) 24-36.

[17] V.E. Adler, R.I. Yamilov. Auto-transformations of integrable chains. J. Phys. A 27 (1994) 477-492.

[18] J. Atkinson, M. Nieszporski. Multi-quadratic quad equations: integrable cases from a factorised-discriminant hypothesis, http:// arxiv.org/abs/1204.0638v2 3 Apr 2012.

[19] M. Blaszak, K. Marciniak. /¿-matrix approach to lattice integrable systems. J. Math. Phys. 35:9 (1994) 4661-4682.

[20] A.I. Bobenko, Ch. Mercat, Yu.B. Suris. Linear and nonlinear theories of discrete analytic functions. Integrable structure and isomonodromic Green's function. J. Reine Angew. Math. 2005:583 (2005) 117-161.

[21] A.I. Bobenko, Yu.B. Suris. Integrable non-commutative equations on quad-graphs. The consistency approach. Lett. Math. Phys. 61 (2002) 241-254.

[22] L.V. Bogdanov, B.G. Konopelchenko. Lattice and ^-difference Darboux-Zakharov-Manakov systems via 5-dressing method. J. Phys. A 28:5 (1995) L173-178.

[23] O.I. Bogoyavlensky. Integrable discretizations of the KdV equation. Phys. Lett. A 134:1 (1988) 34-38.

[24] O.I. Bogoyavlensky. Algebraic constructions of integrable dynamical systems — extensions of the Volterra system. Russ. Math. Surveys 46:3 (1991) 1-64.

[25] O.I. Bogoyavlensky. Breaking solitons. Nonlinear integrable equations. Moscow: Nauka, 1991.

[26] P.J. Caudrey, R.K. Dodd, J.D. Gibbon. A new hierarchy of Korteweg-de Vries equations. Proc. Roy. Soc. London A 351 (1976) 407-422.

[27] K.M. Case, M. Kac. A discrete version of the inverse scattering problem. J. Math. Phys. 14:5 (1973) 594-603.

[28] E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa. KP hierarchies of orthogonal and symplectic type. Transformation groups for soliton equations. VI. J. Phys. Soc. Japan 50 (1981) 3813-3818.

[29] A. Doliwa, M. Nieszporski, P.M. Santini. Integrable lattices and their sublattices. II. From the B-quadrilateral lattice to the self-adjoint schemes on the triangular and the honeycomb lattices. J. Math. Phys. 48 (2007) 113506.

[30] V. G. Drinfel'd, V. V. Sokolov. Lie algebras and equations of Korteweg-de Vries type. J. of Math. Sciences 30:2 (1985) 1975- 2036.

[31] A.P. Fordy. Derivative nonlinear Schrodinger equations and Hermitian symmetric spaces. J. Phys. A 17:6 (1984) 1235-1245.

[32] A.P. Fordy, J.D. Gibbons. Some remarkable nonlinear transformations. Phys. Lett. A 75:5 (1980) 325.

[33] A.P. Fordy, P.P. Kulish. Nonlinear Schrodinger equations and simple Lie algebras. Comm. Math. Phys. 89:3 (1983) 427-443.

[34] A. Fukuda, Y. Yamamoto, M. Iwasaki, E. Ishiwata, Y. Nakamura. A Backlund transformation between two integrable discrete hungry systems. Phys. Lett. A 375 (2011) 303-308.

[35] R.N. Garifullin, E.V. Gudkova, I.T. Habibullin. Method for searching higher symmetries for quad-graph equations. J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011) 325202.

[36] R.N. Garifullin, R.I. Yamilov. Generalized symmetry classification of discrete equations of a class depending on twelve parameters. J. Phys. A: Math. Theor. 45 (2012) 345205.

[37] C.R. Gilson. Generalizing the KP hierarchies: Pfaffian hierarchies. Theor. Math. Phys. 133:3 (2002) 1663-1674.

[38] C.R. Gilson, J.J.C. Nimmo. The relation between a 2D Lotka-Volterra equation and a 2D Toda lattice. J. Nonl. Math. Phys. 12, Suppl. 2 (2005) 169-179.

[39] C.R. Gilson, J.J.C. Nimmo, S. Tsujimoto. PfafRanization of the discrete KP equation. J. Phys. A 34:48 (2001) 10569-10575.

[40] J. Hietarinta. Hirota's bilinear method and partial integrability, in: R. Conte, N. Boccara (Eds.), Partially integrable evolution equations in physics', NATO ASI Series C310, Kluwer, 1990, pp. 459-478.

[41] K. Hikami. Generalized lattice KdV type equation reduction of the lattice W3 algebra. J. Phys. Soc. Japan 68 (1999) 46-50.

[42] R. Hirota. "Molecule Solutions" of coupled modified KdV equations. J. Phys. Soc. Jpn. 66 (1997) 2530-2532.

[43] R. Hirota, Y. Ohta. Hierarchies of coupled soliton equations. I. J. Phys. Soc. Jpn. 60 (1991) 798-809.

[44] M. Hisakado. Coupled nonlinear Schi ¿dinger equation and Toda equation. J. Phys. Soc. Jpn. 66 (1997) 1939.

[45] X.B. Hu, P.A. Clarkson, R. Bullough. New integrable differential-difference systems. J. Phys. A 30:20 (1997) L669-676.

[46] X.B. Hu, J.X. Zhao. Commutativity of Pfaffianization and Backlund transformations: the KP equation. Inverse Problems 21 (2005) 14611472.

[47] Y. Itoh. Integrals of a Lotka-Volterra system of odd number of variables. Progr. Theor. Phys. 78 (1987) 507-510.

[48] M. Jimbo, T. Miwa. Solitons and infinite dimensional Lie algebras. Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto University 19 (1983) 943-1001.

[49] V.G. Kac, J.W. van de Leur. The geometry of spinors and the multicomponent BKP and DKP hierarchies. In "The bispectral problem", eds J. Hamad, A. Kasman, CRM Proc. Lecture notes 14, AMS, Providence (1998) 159-202.

[50] S. Kakei. Orthogonal and symplectic matrix integrals and coupled KP hierarchy. J. Phys. Soc. Japan 68 (1999) 2875-2877.

[51] S. Kakei. Dressing method and the coupled KP hierarchy. Phys. Lett. A 264:6 (2000) 449-458.

[52] D.J. Kaup. On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class ipxxx -I- 6Qipx -f 6Rifj = Xip. Stud. Appl. Math. 62 (1980) 189-216.

[53] B.G. Konopelchenko, J. Sidorenko, W. Strampp. (1 + l)-dimensional integrable systems as symmetry constraints of (2 + l)-dimensional systems. Phys. Lett. A 157:1 (1991) 17-21.

[54] I. Krichever. Linear operators with self-consistent coefficients and rational reductions of KP hierarchy. Phys. D 87:1-4 (1995) 14-19.

[55] P.P. Kulish, E.K. Sklyanin. 0(iV)-invariant nonlinear Schrodinger equation — a new completely integrable system. Phys. Lett. A 84:7 (1981) 349-352.

[56] B.A. Kupershmidt. A super KdV equation: an integrable system. Phys. Lett. A 102:5-6 (1984) 213-215.

[57] J. van de Leur. Bácklund-Darboux transformations for the coupled KP hierarchy. J. Phys A 37 (2004) 4395-4405.

[58] D. Levi. Nonlinear differential difference equations as Bácklund transformations. J. Phys. A 14:5 (1981) 1083-1098.

[59] D. Levi, M. Petrera, C. Scimiterna. The lattice Schwarzian KdV equation and its symmetries. J. Phys. A 40 (2007) 12753-12761.

[60] D. Levi, M. Petrera, C. Scimiterna, R. Yamilov. On Miura transformations and Volterra-type equations associated with the Adler-Bobenko-Suris equations. SIGMA 4 (2008) 077.

[61] D. Levi, R.I. Yamilov. Conditions for the existence of higher symmetries of evolutionary equations on the lattice. J. Math. Phys. 38 (1997) 6648-6674.

[62] D. Levi, R.I. Yamilov. The generalized symmetry method for discrete equations. J. Phys. A 42 (2009) 454012.

[63] D. Levi, R.I. Yamilov. Generalized symmetry integrability test for discrete equations on the square lattice. J. Phys. A 44 (2011) 145207.

[64] S.V. Manakov. On the theory of two-dimensional stationary self-focusing of electromagnetic waves. JETP 38:2 (1974) 248-253.

[65] S.V. Manakov. Complete integrability and stochastization of discrete dynamical systems. Soviet Physics JETP 40:2 (1975) 269-274.

[66] A.G. Meshkov, V.V. Sokolov. Classification of integrable divergent N-component evolution systems. Theor. Math. Phys. 139:2 (2004) 609622.

[67] A.G. Mehskov, V.V. Sokolov. Integrable evolution equations with constant separant. http://arxiv.org/abs/1302.6010vl.

[68] A.V. Mikhailov. Integrability of a two-dimensional generalization of the Toda chain. Sov. Phys. JETP Lett 30 (1979) 414-418.

[69] A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, V.V. Sokolov. The symmetry approach to classification of integrable equations, in: V.E. Zakharov (ed). What is Integrability? Springer-Verlag, 1991, pp. 115-184.

[70] A.V. Mikhailov, A.B. Shabat, R.I. Yamilov. The symmetry approach to classification of nonlinear equations. Complete lists of integrable systems. Russ. Math. Surveys 42:4 (1987) 1-63.

[71] A.V. Mikhailov, J.P. Wang, P. Xenitidis. Cosymmetries and Nijenhuis recursion operators for difference equations. Nonlinearity 24 20792097.

[72] R.M. Miura, C.S. Gardner, M.D. Kruskal. Korteveg-de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion. J. Math. Phys. 9:8 (1968) 1204-1209.

[73] M. Musette, C. Verhoeven. Nonlinear superposition formula for the Kaup-Kupershmidt partial differential equation. Physica D 144:1,2 (2000) 211-220.

[74] K. Narita. Soliton solution to extended Volterra equation. J. Phys. Soc. Japan 51:5 (1982) 1682-1685.

[75] F.W. Nijhoff, H.W. Capel. The direct linearisation approach to hierarchies of integrable PDEs in 2 +1 dimensions: I. Lattice equations and the differential-difference hierarchies. Inverse Problems 6:4 (1990) 567-590.

[76] F. Nijhoff, A. Hone, N. Joshi. On a Schwarzian PDE associated with the KdV hierarchy. Phys. Lett. A 267 (2000) 147-156.

[77] F.W. Nijhoff, A.J. Walker. The discrete and continuous Painlevé hierarchy and the Gamier system. Glasgow Math. J. 43A (2001) 109123.

[78] V.G. Papageorgiou, F.W. Nijhoff. On some integrable discrete-time systems associated with the Bogoyavlensky lattices. Phys. A 228 (1996) 172-188.

[79] V. Papageorgiou, A. Tongas, A. Veselov. Yang-Baxter maps and symmetries of integrable equations on quad-graphs. J. Math. Phys. 47:8 (2006) 083502.

[80] V.G. Papageorgiou, A.G. Tongas. Yang-Baxter maps and multi-field integrable lattice equations. J. Phys. A 40:42 (2007) 12677-12690.

[81] A. Parker. A reformulation of the 'dressing method' for the Sawada-Kotera equation. Inverse Problems 17:4 (2001) 885-895.

[82] Ya.P. Pugay. Lattice W algebras and quantum groups. Theor. Math. Phys. 100 (1994) 900-911.

[83] А.Г. Рейман, M.A. Семенов-Тянь-Шаньский. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход. Ижевск, 2003.

[84] M.A. Salle. Darboux transformations for nonabelian and nonlocal equations of the Toda lattice type. Theor. Math. Phys. 53:2 (1982) 227-237.

[85] P.M. Santini, A. Doliwa, M. Nieszporski. Integrable dynamics of Toda-type on the square and triangular lattices. Phys. Rev. E 77:5 (2008) 056601.

[86] P.M. Santini, M. Nieszporski, A. Doliwa. An integrable generalization of the Toda law to the square lattice. Phys. Rev. E 70:5 (2004) 056615.

[87] J. Satsuma, D.J. Каир. A Backlund transformation for a higher order Korteweg-de Vries equation. J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 692-697.

[88] K. Sawada, T. Kotera. A method for finding n-soliton solutions of the KdV equation and KdV-like equations. Progr. Theor. Phys. 51:5 (1974) 1355-1367.

• [89] W.K. Schief. Isothermic surfaces in spaces of arbitrary dimension: integrability, discretization and Backlund transformations. A discrete Calapso equation. Stud. Appl. Math. 106:1 (2001) 85-137.

[90] A.B. Shabat, R.I. Yamilov. Symmetries of nonlinear chains. Len. Math. J. 2:2 (1991) 377-399.

[91] V.V. Sokolov, A.B. Shabat. (L, ^4)-pairs and a Ricatti type substitution. Funct. Anal. Appl. 14:2 (1980) 148-150.

[92] V.V. Sokolov, T. Wolf. A symmetry test for quasilinear coupled systems. Inverse Problems 15:2 (1999) L5-L11.

[93] Yu.B. Suris. Integrable discretizations of the Bogoyavlensky lattices. J. Math. Phys. 37 (1996) 3982-3996.

[94] Yu.B. Suris. The problem of integrable discretization: Hamiltonian approach. Basel: Birkhauser, 2003.

[95] A.K. Svinin. On some class of homogeneous polynomials and explicit form of integrable hierarchies of differential-difference equations. J. Phys. A 44 (2011) 165206.

[96] S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov. Explicit Backlund transformations for multifield Schrodinger equations. Jordan generalizations of the Toda chain. Theor. Math. Phys. 98:2 (1994) 139-146.

[97] Jl.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. Гамильтонов подход в теории со-литонов. М.-.Наука, 1986.

[98] Т. Tsuchida. Integrable discretizations of derivative nonlinear Schródinger equations. J. Phys. A 35:36 (2002) 7827-7847.

[99] T. Tsuchida, H. Ujino, M. Wadati. Integrable semi-discretization of the coupled modified KdV equations. J. Math. Phys. 39:9 (1998) 47854813.

[100] T. Tsuchida, M. Wadati. Complete integrability of derivative nonlinear Schrodinger-type equations. Inverse Problems 15:5 (1999) 1363-1373.

[101] T. Tsuchida, T. Wolf. Classification of polynomial integrable systems of mixed scalar and vector evolution equations. I. J. Phys. A 38:35 (2005) 7691-7733.

[102] S. Tsujimoto, R. Hirota. Pfaffian representation of solutions to the discrete BKP hierarchy in bilinear form. J. Phys. Soc. Japan 65 (1996) 2797-2806.

[103] S. Tsujimoto, R. Hirota, S. Oishi. An extension and discretization of Volterra equation I. Technical Report of IEICE, NLP92-90 (1993) 3pp.

[104] A.P. Veselov, A.B. Shabat. Dressing chains and the spectral theory of the Schrodinger operators. Funct. Anal. Appl. 27:2 (1993) 81-96.

[105] A.P. Veselov. Yang-Baxter maps and integrable dynamics. Phys. Lett. A 314:3 (2003) 214-221.

[106] A.Yu. Volkov. Hamiltonian interpretation of the Volterra model. J. Sov. Math. 46 (1986) 1576-1581.

[107] J.P. Wang. Recursion operator of the Narita-Itoh-Bogoyavlensky lattice, http: //arxiv. org/abs/1111.6874vl

[108] R.I. Yamilov. Classification of discrete evolution equations. Usp. Mat. Nauk 38:6 (1983) 155-156. (in Russian)

[109] R.I. Yamilov. On the construction of Miura type transformations by others of this kind. Phys. Lett. A 173:1 (1993) 53-57.

[110] R.I. Yamilov. Construction scheme for discrete Miura transformations. J. Phys. A 27:20 (1994) 6839-6851.

[111] R.I. Yamilov. Symmetries as integrability criteria for differential difference equations. J. Phys. A 39:45 (2006) R541 623.

[112] V.E. Zakharov (ed). What is Integrability? Springer-Verlag, 1991.

[113] V.E. Zakharov, S.L. Musher, A.M. Rubenchik. Nonlinear stage of parametric wave excitation in a plasma. JETP Lett. 19:5 (1974) 151— 152.

[114] V.E. Zakharov, A.B. Shabat. The scheme of integration of nonlinear equations of mathematical physics by inverse scattering method. I. Funct. An. Appl. 8:3 (1974) 226-235.