Интегрируемые системы с расширенной суперсимметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Кривонос, Сергей Олегович

• Кривонос, Сергей Олегович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кривонос, Сергей Олегович

Введение

1 Метод ковариантной редукции. Конечномерный случай.

1.1 Метод ковариантной редукции в нелинейных реализациях. N=0 конформная механика.

1.2 N=2,4 суперконформные механики.

1.2.1 N=2 суперконформная механика.

1.2.2 N=4 суперконформная механика.

2 Метод ковариантной редукции для бесконечномерных и нелинейных алгебр.

2.1 Метод ковариантной редукции в бесконечномерном случае. N=0 уравнение Лиувилля.

2.2 N=2 и N=4 уравнения Лиувилля.

2.3 И^з-алгебра и цепочка Тода.

2.3.1 От W3 к

2.3.2 Нелинейные реализации W300.

2.3.3 sl3 цепочка Тода из

2.4 Уравнение Буссинеска и нелинейная реализация И^-алгебры.

2.4.1 Нелинейные реализации W™.

2.4.2 Уравнение Буссинеска и преобразования Миуры

2.4.3 W3 симметрии уравнения Буссинеска.

2.5 х-уравнение Буссинеска и нелинейная реализация '-алгебры.

2.5.1 Нелинейные реализации W^ и ^-уравнение Буссинеска.

2.5.2 SL(3, R) цепочка Тода.

3 N=2 супер-W3 алгебра.

3.1 Суперполевая реализация N=2 супер-W3 алгебры.

3.1.1 N = 2 супер-W3 алгебра в терминах N = 2 суперполей.

3.1.2 Реализации супер-W3 в терминах свободных суперполей.

3.1.3 N=2 суперсимметричное уравнение Буссинеска.

3.2 Интегрируемость N=2 суперсимметричного уравнения Буссинеска

3.2.1 Законы сохранения

3.2.2 Пара Лакса.

3.2.3 Первая гамильтонова структура.

N=3 суперсимметричное уравнение КдФ.

4.1 N=3 суперсимметричное уравнение КдФ из N=3 суперконформной алгебры

4.1.1 (Супер)уравнение КдФ и (супер)алгебра Вирасоро.

4.1.2 N = 3 супер КдФ и N — 3 суперконформная алгебра.

4.2 Законы сохранения и гамильтоновы структуры для N=3 суперсимметричного уравнения КдФ.

4.2.1 N=3 суперсимметричное уравнение КдФ и законы сохранения.

4.2.2 Гамильтонова структура нового N=3 суперсимметричного уравнения КдФ.

N=2,4 суперсимметричные расширения Нелинейного Уравнения Шредингера и N=4 уравнение КдФ.

5.1 N=2 суперсимметричное НУШ

5.1.1 Минимальное N=2 супер НУШ

5.2 N=2 НУШ и его связь с N=2 уравнением КдФ.

5.2.1 N = 2 U(2) супералгебра.

5.2.2 Иерархия супер-НУШ как N = 2 фактор-пространство.

5.2.3 Преобразование Бэклунда между супер-НУШ и супер-КдФ.

5.2.4 Пары Лакса.

5.3 N=4 суперсимметричное расширение НУШ.

5.3.1 Скрытая N = 4 суперсимметрия N = 2 sl(2) фи(1) алгебры

5.3.2 N = 4 инвариантные Гамильтонианы и потоки.

5.3.3 Обобщенная конструкция Сугавары и связь с N = 4 КдФ.

5.3.4 Оператор Лакса.

5.3.5 N = 2 редукции и бозонные подсистемы.

5.3.6 Еще одна N = 2 иерархия с sl(2) © и(1) структурой.

5.4 N=4 уравнение КдФ и его интегрируемость.

5.4.1 N=4 КдФ в 1D гармоническом суперпространстве.

5.4.2 N=4 КдФ в N=2 суперпространстве.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемые системы с расширенной суперсимметрией»

Диссертация посвящена анализу и построению интегрируемых систем с расширенной (N > 1) суперсимметрией, выяснению их связи с бесконечномерными и нелинейными (супер)алгебрами и изучению последних. Введение начинается с краткого обзора состояния проблемы на момент написания диссертации. Затем изложены мотивировки проведенного в диссертации исследования и очерчен круг лежащих в его основе идей. В конце дано описание расположения материала по главам.

Вплоть до начала семидесятых годов число известных точно решаемых и интегрируемых, физически важных задач было невелико. Это связано с тем, что подавляющая часть уравнений движения систем по своей природе существенно нелинейна, а математический аппарат для изучения таких систем, по сути дела, включал в себя только теорию возмущений. Ситуация изменилась, когда в 1967 году Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой было показано [1], что для уравнения Кортевега - де Фриза существует аналитический метод решения задачи Коши. Дальнейшее развитие этого метода, названного методом обратной задачи рассеяния, началось с работы Лакса [2], в которой был выявлен алгебраический механизм, лежащий в основе процедуры, а затем в работах Гарднера [3], Фаддеева и Захарова [4] была построена теория уравнения Кортевега - де Фриза, как гамильтоновой системы. В дальнейшем был обнаружен целый ряд важных нелинейных интегрируемых уравнений и развит соответствующий математический аппарат для их решения (см., например [5]). Существенный прогресс в понимании теоретико-групповых аспектов интегрируемости был достигнут в работах Лезнова и Савельева [6], показавших, что вложения погруппы SU(2) в произвольную группу G тесно связаны с интегрируемыми нелинейными системами - обобщенными цепочками Тода.

С момента открытия суперсимметрии в пионерских работах Гольфанда и Лихт-мана [7], Волкова и Акулова [8], Весса и Зумино [9] начались многочисленные попытки построения суперсимметричных интегрируемых систем, включающих как бозонные, так и фермионные поля. Подавляющее количество известных интегрируемых систем -двухмерные, т.е. все поля зависят, помимо времени t, только от одной дополнительной координаты х. Поэтому, при рассмотрении суперсимметричных рассширений таких систем приходится иметь дело с двухмерной алгеброй суперсимметрии: где Q± - генераторы суперсдвигов, Р± - обычные генераторы двухмерных трансляций, индексы (±) обозначают световые координаты в D = 2, а индекс г = 1 ,.,N нумерует число суперсимметрий (спинорные генераторы преобразуются по некоторому, обычно фундаментальному, представлению группы автоморфизмов, а сама такая суперсимметрия называется iV-расширенной). Более того, при рассмотрении ряда уравнений (уравнения КдФ, Буссинеска и т.п.), суперсимметризации подвергается только пространственная координата, т.е. реально приходится иметь дело с одномерной суперсимметрией

Естественным языком для описания суперсимметричных теорий является язык суперпространства [10], которое получается добавлением к обычным четным бозевским координатам нечетных антикоммутируюгцих грассмановых координат. Функции на таком суперпространстве называются суперполями. При построении суперсимметричных интегрируемых систем с N > 2, основными оъектами являются iV-расширенные суперполя, т.е. функции, зависящие, кроме бозевских координат, от N грассмановых. Таким образом, уже для N = 2 суперсимметрии скалярное бозонное суперполе 4>(x,t, 61,62) содержит две бозонные компоненты в разложении по грассмановым координатам 0lj2 - ^-независящую, и компоненту при 6\ • б-i- Следовательно, бозонный сектор N = 2 суперсимметричного уравнения будет содержать систему уравнений на два бозонных поля. Поэтому, если мы хотим построить N = 2 суперсимметричное расширение некоторого уравнения, мы с самого начала должны добавить к нему еще одно уравнение, поскольку только система двух бозонных уравнений может допускать N = 2 суперсимметризацию. Основная проблема поиска новых интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией состоит в том, что априори совершенно не ясно, какие же дополнительные уравнения должны возникать в бозонном секторе. Более того, оказывается что, например, известные N = 2 суперсимметричные расширения уравнения Буссинеска [65] содержат само бозонное уравнение Буссинеска только в очень специальном случае редукции, а N = 4 суперсимметричное уравнение Лиувилля [34, 35] содержит в бозонном секторе, наряду с уравнением Лиувилля, Весс-Зумино-Новиков-Виттеновскую а-модель на группе SU(2) и может быть равноправно названо N = 4 ВЗНВ а-моделью. Необходимо также отметить, что для систем с N >2 суперсимметрией возникает еще

В.1)

В.2) одна, весьма непростая для решения, проблема. Дело в том, что для таких суперсим-метрий простейшие суперполя являются приводимыми и на них необходимо накладывать подходящие дополнительные условия, ограничивающие зависимость суперполей от грассмановых координат.

Все вышеизложенное с неизбежностью приводит к выводу о небходимости поиска неких новых методов построения интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией, базирующихся на принципиально новых идеях, которые позволили бы найти ответы хотя бы на часть, сформулированных выше, проблем. На сегодняшний день известно три основных метода, к краткому обсуждению которых мы сейчас перейдем.

Идею исторически первого подхода [41, 42] проще всего понять на примере простейшей, точно решаемой системы - конформной механики [21]. Как было показано в нашей работе [24] (см. Главу 1), уравнения конформной механики совпадают с уравнениями геодезических в фактор-пространстве одномерной конформной группы 50(1,2). Геометрические свойства фактор-пространства произвольной (супер)группы G по её подгруппе Н описываются дифференциальными формами Картана [22] где (/-элемент фактор-пространства, а формы в правой части разделены на принадлежащие фактор-пространству и подгруппе стабильности. На языке форм Картана выделение геодезических гипер-поверхностей означает зануление подходящего набора форм Картана на фактор-пространстве

Так как формы Картана на фактор-пространстве преобразуются однородно относительно всей группы G [22], то их зануление по построению инвариантная процедура. В случае конформной механики необходимо занулить все формы на фактор-пространстве группы 50(1,2), кроме форм на подалгебре с одним генератором Rq = Li m2Li. Результирующая система уравнений, с точностью до переопределений, совпадает с уравнениями конформной механики (Глава 1). Поскольку все построение чисто геометрическое, обобщение на случай суперсимметрии практически очевидно: необходимо вместо группы 50(1,2) рассмотреть подходящие супергруппы, включающие 50(1, 2) в качестве подгруппы (чтобы иметь соответствующий бозонный предел), а вместо подалгебры с одним генератором Rq также рассмотреть некоторую супералгебру. Именно таким образом в работе [25], были построены уравнения iV-расширенной конформной механики.

Следует подчеркнуть три принципиально важных момента. д ldg = Q,g/h + toH

В.З)

G/H = 0.

В.4)

Во-первых, как правило, число параметров параметризующих фактор-пространство G/H достаточно велико. Часть уравнений (В.4) является чисто кинематическими и сводит число полей к нескольким существенным. Это явление было впервые обнаружено в работе Е. Иванова и В. Огиевецкого [11] и названо там обратным эффектом Хиггса.

Во-вторых, совершенно неожиданно оказалось, что среди уравнений (В.4), при рассмотрении фактор-пространств супергрупп, содержатся и условия неприводимости суперполей! Таким образом, мы одновременно получаем и уравнения движения и необходимые связи на суперполя.

И наконец, заметим, что в таком подходе построение общего решения полученных систем является чисто алгебраической процедурой (см. Главу 1).

Все это послужило основанием назвать данный подход методом ковариантной редукции [41, 42], основная идея которого состоит в занулении подходящего набора форм Картана на фактор-пространстве, что геометрически означает выделение геодезических гипер-поверхностей. В результате ковариантной редукции мы получаем явно ковариат-ные уравнения на голдстоуновские поля, параметризующие фактор-пространство, которые с одной стороны позволяют существенно уменьшить число независимых полей (обратный эффект Хиггса [11]), а с другой приводят к динамическим уравнениям на существенные голдстоуновские поля.

Однако, наиболее интересные результаты метод ковариантной редукции дает в случае бесконечномерных (супер)алгебр и, соответственно, бесконечномерных фактор-пространств. Конечно, в этом случае приходится иметь дело с бесконечным набором голдстоуновских (супер)полей, параметризующих фактор-пространство G/H. Как было показано в [41, 42] на примере бесконечномерной конформной группы двумерия, те же связи (В.4), что и в конечномерном случае (которых теперь бесконечно много) позволяют выразить весь бесконечный набор голдстоуновских (супер)полей через конечное число существенных, удовлетворяющих, в силу (В.4), уравнениям движения. В случае конформной группы двумерия, на единственное существенное поле, дилатон, возникает уравнение Лиувилля, а в случае N = 1,2,3,4 суперконформных групп - N-суперсимметричные уравнения Лиувилля [29, 30, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40]. Более того, такое описание позволяет чисто алгебраически находить общие решения соответствующих уравнений, строить преобразования Бэклунда между решениями одного и того же уравнения и, например, между решениями уравнения Лиувилля и свободного уравнения, и многое другое.

В дальнейшем, метод ковариантной редукции был обобщен на случай нелинейных алгебр [50, 51, 52] (Глава 2), для которых не только фактор-пространство, но и подалгебра стабильности бесконечномерные. Таким образом можно построить SL(N) цепочки Тода и уравнение Буссинеска (для Wn алгебр), х-уравнение Буссинеска (для I4,'i2'1 алгебры), их суперсимметричные расширения и т.д. Итак, метод ковариантной редукции позволяет свести проблему построения новых интегрируемых (а зачастую и точно решаемых) уравнений, к, по сути дела, классификационной задаче изучения всевозможных фактор-пространств подходящих (супер)групп.

Последние результаты в этом направлении связяны с применениями метода ковариантной редукции к описанию протяженных объектов - струн и р-бран [129, 130].

Второй подход к построению интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией, основан на удивительной связи между уравнением КдФ и алгеброй Вирасоро, установленной Жерве и Неве [76]. А именно, если определить следующие скобки Пуассона для бозонного поля и(х) и(х),и(у)} = -8"'(х -у)+ 4и(х)5'(х - у) + 2и'{х)6(х - у) которые для Фурье компонент Ln п=+оо и[х)

6/с Е cLn - 1/4

В.5)

В.6) приводят к алгебре Вирасоро г [Ln, Lm} = (п - m)Ln+m + —п{п2 - l)<Sn+m,o , то уравнение КдФ ut = -и1" + 6 ии' (' = дх может быть записано в виде [75] щ = {и, Н} , со скобками (В.5) и Гамильтонианом

Н=1 2 dxu

В.7)

В.8) (В.9) в.ю) везде неявно подразумевается зависимость от времени). Это свойство называется второй Гамильтоновой структурой уравнения КдФ. Таким способом можно построить бесконечную иерархию нелинейных уравнений, заменяя Гамильтониан Н любым нетривиальным полиномиальным сохраняющимся током уравнения КдФ. Отметим, что уравнение КдФ может быть представлено в виде (В.9) со скобкой и(х),и(у)} = 6'

В.11) и Гамильтонианом

HW = ^jdx[(uf + 2u3].

В.12)

Эта Гамильтонова структура была найдена в [3] и теперь называется первой Гамильто-вой для уравнения КдФ. Таким образом, иерархия уравнений КдФ (т.е. все уравнения, которые могут быть построены из сохраняющихся токов уравнения КдФ, рассматриваемых в качестве Гамильтонинов) тесно связана с алгеброй Вирасоро, которая является для неё второй Гамильтоновой структурой.

После установления этого факта, появилось много работ, в которых были рассмотрены различные суперсимметризации и обобщения этого подхода на (супер) алгебры И^-типа. Соответствующие иерархии эволюционных уравнений, допускающие такие (супер) алгебры в качестве вторых Гамильтоновых структур были построены и проанализированы. В частности, были построены N = 1 [77, 78, 79], N = 2 [72], N = 3 [113, 83] и N = 4 [85] суперсимметричные уравнения КдФ. После того, как в работах [48, 49] было показано, что классическая W3 алгебра (с ненулевым центральным зарядом) является второй Гамильтоновой структурой для уравнения Буссинеска и суперполевое N = 2 суперсимметричное расширение Wy алгебры было сформулировано в суперполях [65] (N = 1 суперсимметричное расширение W3 не существует, если ограничиваться конечными мультиплетами), N — 2 суперсимметричное уравнение Буссинеска было построено в рамках этого подхода [65]. Однако, и для N > 2 суперуравнений КдФ, и для N = 2 суперсимметричного уравнения Буссинеска соответствующие Гамильтонианы содержат, в отличие от чисто бозонного случая, произвольный параметр. Детальный анализ показал, что найденные уравнения допускают бесконечные наборы сохраняющихся токов только для трех, фиксированных значений этих параметров как для КдФ [72, 103], так и для уравнения Буссинеска [114]. Подобным же образом были построены N = 2 и N = 4 суперсимметричные нелинейные уравнения Шредингера [92, 101, 102]. Тем не менее, для всех этих систем необходимо было доказать интегрируемость, что можно было сделать только явно построив соответствующие операторы Лакса.

Совокупность чисто алгебраических методов и подходов, позволяющих явно найти операторы Лакса, и тем самым доказать интегрируемость, составляет основу третьего подхода к построению суперсимметричных интегрируемых систем. Ключевым моментом этого подхода является наблюдение, что в бозонном случае Wn алгебры связаны (на самом деле, совпадают) со второй Гамильтоновой структурой иерархий КдФ типа [12]. А именно, с аффинной алгеброй можно ассоциировать скалярный оператор Лакса n-го порядка

LB = дп + un-2(z)dn~2 + . + щ(г)д + щ{£) ,

В.13) где д — d/dz. Иерархия эволюционных уравнений dLB dtk

В.14) называется обобщенной КдФ иерархией Ani типа. Здесь индекс + означает чисто дифференциальную часть псевдо-дифференциального оператора LkJn. Иерархия (В.14) может быть также получена как n-редукция иерархии Кадомцева-Петвиашвили [13]. Напомним, что являются сохраняющимися токами спина (п — г) и генерируют Wn алгебру посредством скобок Гельфанда-Дикого [14]. Бесконечный набор сохраняющихся токов, коммутирующих между собой относительно скобок Гельфанда-Дикого, может быть получен следующим образом J dzRes (^LkJn>) ,

В.15) где вычет псевдо-дифференциального оператора Res определен как коэффициент при д~г.

Таким образом, как и в предыдущих подходах, проблема построения N суперсимметричных интегрируемых систем сводится к чисто алгебраическим задачам обобщения на Д^-расширенные суперпространства понятия псевдо-дифференнциального оператора, вычетов и уравнения Лакса (В.14). Первые результаты в этом направлении были получены в [72], где было показано, что для N = 2 суперсимметричного уравнения КдФ а — 1 t = -ф'" + 3(Ф£>1£>2Ф)' + -—-(DyD^2)' - ЗаФ2Ф'

В.16) здесь Д = did + дог - спинорные ковариантные производные, Ф - скалярное бозонное N = 2 суперполе и а-произвольный параметр) существуют два оператора Лакса

L = д2+ k^D1D2 + [k2(D^)+k3(D^))Di

- [&3(АФ) + к2(02Ф)} D2 + к^Б^Ф) + къФ7

В.17) со следующими значениями параметров:

Решение 1 ki = 2, к3 = —1, к2 = /с4 = к$ = 0, а = — 2

В.18)

• Решение 2 к\ = —2, к2 =0, к3 = —к^ = = 1, а = 4

В.19)

Уравнения потоков имеют тот же вид, что и в бозонном случае (В. 14). N = 2 супер вычет для суперсимметричных псевдо-дифференциальных операторов вида

П>0

А= Е + + + (в.20) г=—оо определяется следующим образом

Res(A) = U , а сохраняющиеся токи задаются как

Ik = J dzdhd92R.es (Ак'п) . (В.22)

Сразу же отметим два важных момента.

Во-первых, несмотря на то, что в работе [72] рассматривался наиболее общий N = 2 супер-псевдо-дифференциальный оператор в качестве анзаца для оператора Лакса, удалось описать только два случая (из трех известных) интегрируемости N = 2 уравнения КдФ (В. 16) с параметрами а = 4 и а = —2. Ето значает, что третья иерархия интегрируемых N = 2 уравнений КдФ с а = 1 должна описываться совершенно иначе, с модификацией либо определения уравнения Лакса (В. 14), либо самого оператора Лакса.

Во-вторых, оператор Лакса (В.17), для случая а = 4 (В.19), воспроизводит только половину известных законов сохранения, откуда следует, что должен существовать другой оператор Лакса, все степени которого (включая сам оператор Лакса) являются псевдодифференциальными операторами (поскольку оператор Лакса (В. 17) является дифференциальным, то вычеты (В.21) всех его целых степеней равны нулю и, следовательно, законов сохранения (В.22) с к = т • п, где m-целое число, не существует).

Еще один загадочный результат был получен в нашей работе [114], где было показано, что для одного из интегрируемых N = 2 уравнений Буссинеска существуют вырожденные операторы Лакса. Эти операторы приводят к правильным уравнениям движения, но с их помощью невозможно построить законы сохранения, т.к. вычеты этих операторов и всех их степеней равны нулю!

Ясно, что такое положение вещей было крайне неудовлетворительным и на все эти вопросы требовалось найти ответы. С начала 90-х в этом направлении работало несколько групп. Две группы из Америки - А. Дас и Ж. Брунелли и группа Генрика Ара-тина работали преимущественно в терминах N =1 суперполей, в то время как группы из Европы ( Л. Бонора, С. Беллучи и Ф. Топпан (Италия), 3. Попович (Польша), Ф. Дельдук и Л. Галло (Франция), Е. Иванов, А. Сорин, А. Пашнев и автор этой диссертации (Дубна)) предпочитали N = 2 суперполевую технику и, в большинстве случаев

В.21) работая в соавторстве, нашли ответы на все эти вопросы. Поскольку детальное рассмотрение этих проблем составляет часть содержания диссертации (Главы 3-5), здесь ма ограничимся только историей предмета.

В 1993 году 3. Попович показал [15], что для N = 2 супер уравнения КдФ с параметром а = 1 также существует оператор Лакса в N = 2 суперполях, но с другим определением уравнения Лакса. В дальнейшем оказалось [16], что этот оператор допускает обобщение, являющееся оператором Лакса для N = 3 суперсимметричного уравнения КдФ. Однако, как было установлено в [17], этот случай является исключительным и выпадает из трех семейств интегрируемых иерархий с N = 2 Wn супералгебрами в качестве вторых Гамильтоновых структур.

Псевдо-дифференциальный оператор Лакса для N = 2 уравнения КдФ с а = 4, воспроизводящий все законы сохранения, был найден в работе [101]. После построения операторов Лакса для для обобщенной иерархии нелинейных уравнений Шредингера

18], оказалось, что объединение этих двух операторов дает оператор Лакса для N = 4 уравнения КдФ [107] и его обобщений.

В работах [101, 18] было показано, что в случае вырожденных N = 2 суперсимметричных псевдо-дифференциальных операторов Лакса существуют новые определения вычетов, позволяющие и в этих случаях находить законы сохранения.

Оператор Лакса для N = 2 уравнения Буссинеска был построен в работе [20], а его обобщения, включающие оператор Лакса для квази-iV = 4 иерархии КдФ [104], в [18]. Наконец, общие операторы Лакса для двух семейств иерархий с N = 2 Wn супералгебрами в качестве вторых Гамильтоновых структур, были построены в [106] и (включая матричные расширения) в [18]. Операторы Лакса для третьего семейства интегрируемых иерархий, совершенно отличные от первых двух семейств, найдены в

19]. Таким образом, к концу 90 годов в рамках этого подхода удалось описать три семейства интегрируемых N = 2 суперсимметричных иерархий. Среди них оказались практически все известные интегрируемые системы, как с N = 2 суперсимметрией, так и с N > 2. Более того, были найдены новые системы, включая матричные, анализ которых еще далеко не закончен.

Следует подчеркнуть, что большинство из вышеупомянутых результатов, удалось получить только с интенсивным использованием вычислительной техники и соответствующих программ [115, 116].

Итак, все три рассмотренных подхода позволяют строить новые интегрируемые системы с расширенной суперсимметрией исходя из связей между свойством интегрируемости и симметрией относительно бесконечномерных (супер)алгебр.

Выше мы попытались довольно подробно проследить логику направлений, развиваемых в диссертации. Перейдем теперь к обзору содержания диссертации. Основные результаты по теме диссертации содержатся в работах [16, 24, 25, 29, 30], [34]-[45], [50, 51, 52, 57, 65, 83, 84, 92, 101, 102, 103, 107, 114, 115], [120]-[123], [129, 130]. Диссертация включает, кроме введения, семь глав, заключение, два приложения и список литературы. Все главы разбиты на разделы и начинаются с аннотаций, поэтому описание включенного в них материала здесь будет достаточно кратким.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Кривонос, Сергей Олегович

Заключение

Подведем итоги. Основное новое направление, открытое этой диссертацией, может быть определено следующим образом: построение и изучение интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией в рамках нелинейных реализаций бесконечномерных и нелинейных групп и супергрупп.

Оно базируется, во-первых, на методе ковариантной редукции, развитом в наших работах [34, 35, 36, 41, 42, 50]. Во-вторых, на идее построения интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией, допускающих, в качестве второй Гамильтоновой структуры, бесконечномерные и нелинейные группы и супергруппы [92, 101, 103, 107, 114]. И метод ковариантной редукции, и идея суперсимметризации второй Гамильтоновой структуры позволяют ответить на два принципиально важных вопроса, возникающих при построении суперсимметричных расширений известных бозонных интегрируемых систем:

• Какие бозонные системы лежат в основе интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией?

• Какие условия неприводимости должны быть наложены на суперполя?

Следует отметить, что метод ковариантной редукции развивается сейчас во многих направлениях. Так, например, условия, следующие из зануления дифференциальных форм Картана, совпадают с условиями "супер-вложений" [127, 128] - основному методу изучения протяженных объектов (мембран и D-бран) в современной квантовой теории. Более того, в случаях, когда условия "супер-вложений" приводят к системам вне массовой оболочки, именно уравнения, следующие из метода ковариантной редукции, позволяют построить суперполевые уравнения движения протяженных объектов в статической калибровке, в терминах суперполей на мировом объеме[129, 130]. Следует также отметить, что именно метод ковариантной редукции, в основе которого лежит реализация групп в своих фактор-пространствах (нелинейные реализации [22]), оказывается наиболее продуктивным при рассмотрении систем с частичным спонтанным нарушением глобальной суперсимметрии.

Другое направление диссертации - разработка компьютерных методов для вычислений в теориях с расширенной суперсимметрией. Хотелось бы подчеркнуть, что большинство результатов, представленных в данной диссертации, было бы исключительно сложно, или даже невозможно, получить без использования нашего пакета [115].

Диссертацию завершим списком её основных результатов.

1. Разработан метод ковариантной редукции. Показана конструктивность данного метода для построения интегрируемых систем с расширенной суперсимметрией.

2. Методы нелинейных реализаций распространены на бесконечномерные и нелинейные группы и супергруппы.

3. Впервые построены суперполевые уравнения N = 4 суперконформной механики и найдены уравнения её TV-расширенной версии.

4. Исходя из нелинейных реализаций суперконформных симметрий и с использованием развитого метода ковариантной редукции построены новые точно решаемые системы с расширенной суперсимметрией: N = 2 и N = 4 суперсимметричные уравнения Лиувилля. Обнаружено, что вторая система является также N = 4 суперсимметризацией Весс-Зумино-Новиков-Виттеновской а- моде ли. Изучена ВЗНВ сг-модель с N = 3 суперсимметрией. Построены общие решения N = 2, 4 уравнений Лиувилля.

5. В рамках метода нелинейных реализаций, обобщенного на случай нелинейных алгебр, установлена связь уравнений Буссинеска и ж-уравнения Буссинеска с геометрией групп W3 и соответственно.

6. Найдена суперполевая формулировка N = 2 суперсимметричной W3 алгебры. Впервые построены её суперполевые реализации.

7. Впервые предложено N — 2 суперсимметричное уравнение Буссинеска. Доказано, что N = 2 уравнение Буссинеска интегрируемо только при трех значениях параметра а = —2, -1/2, 5/2, появляющегося в Лагранжиане.

8. Построены суперполевые операторы Лакса для N — 2 уравнения Буссинеска с а — —1/2, как с обычным, так и с модифицированным определением вычетов супер-псевдодифференциальных операторов и уравнений Лакса. Доказана би-Га-мильтоновость N — 2 уравнения Буссинеска с а = — 2.

9. Впервые построено N — 3 суперсимметричное уравнение Кортевега-де-Фриза. Выявлена его вторая Гамильтонова структура и изучены свойства интегрируемости.

10. Доказано, что N = 1 нелинейное уравнение Шредингера обладает скрытой N = 2 суперсимметрией. Построена явно N = 2 суперполевая формулировка НУШ. Изучена связь N — 2 НУШ и JV = 2 уравнения КдФ, найдены преобразования Бэклунда, связывающие эти уравнения. Найдены суперполевые операторы Лакса, как для N = 2 НУШ, так и для соответствующего уравнения КдФ, воспроизводящие все токи соответствующих иерархий. Выявлена глубокая связь N = 2 НУШ и фактор-пространств N = 2U{2) супергруппы.

11. Выявлена скрытая N = 4 суперсимметрия N = 2 расширения аффинной алгебры sl(2) фи(1). Показано, что эта супералгебра обеспечивает вторую Гамильтонову структуру для новой N = 4 суперсимметричной интегрируемой иерархии, определенной на N = 2 аффинных супертоках. Эта система является N = 4 расширением сразу двух иерархий, N = 2 НУШ и N = 2 мКдФ. Найдена аффинная иерархия для другой интегрируемой системы с N — 4 СКА в качестве второй Гамильтоновой структуры - "квази" N = 4 иерархии КдФ, обладающей только N = 2 суперсимметрией. Для обеих новых иерархий построены скалярные операторы Лакса.

12. Проанализированы свойства интегрируемости N = 4 суперсимметрического уравнения КдФ и построен оператор Лакса в N = 2 суперполях.

13. С помощью объединения псевдо-дифференциальных операторов Лакса для а = 4, N = 2 КдФ и многомерной N = 2 иерархии НУШ, построены новые N — 2 суперсимметричные интегрируемые системы. Рассмотрено подобное расширение одной из N — 2 супер иерархий Буссинеска и доказана его интегрируемость. Предложена новая система с N = 4 суперсимметрией, допускающая несколько первых интегралов движения.

14. Построено N = 2 суперрасширение W^ алгебры Полякова-Бершадского с произвольным центральным зарядом, в компонентах и суперполях. Найдена полная квантовая версия этой нелинейной алгебры. Представлена гибридная, включающая токи и поля, реализация N = 2 cyriep-W^ алгебры как в классическом, так и в квантовом случаях. Предложено соответствующее расширение уравне

2) ния Буссинеска с JV = 2 cynep-W3 алгеброй в качестве второй Гамильтоновой структуры.

15. Разработан Mathematicalм пакет для вычисления Суперполевых Операторных Разложений (СОР) в мероморфных N = 2 суперконформных теориях поля.

Я глубоко признателен Евгению Алексеевичу Иванову, тесное общение и сотрудничество с которым на протяжении многих лет оказало решающее влияние на становление и развитие идей, составивших основу этой диссертации.

Я хочу также вспомнить Виктора Исааковича Огиевецкого, чье постоянное внимание, заботу и поддержку я ощущал на протяжении всего, столь недолгого времени, что мне посчастливилось с ним общаться.

Я благодарен моим друзьям и коллегам С. Ану, С. Беллуччи, JI. Боноре, В. Грибанову, Ф. Дельдуку, В. Левианту, Р.П. Малику, А. Пашневу, А. Пичугину, 3. Поповичу, А. Сорину, Ф. Топпану и К. Тилемансу, в сотрудничестве с которыми выполнен ряд работ, вошедших в диссертацию.

Большое значение имели для меня встречи и обсуждения с В. Акуловым, И. Бандо-сом, И. Баталиным, И. Бухбиндером, М. Васильевым, Д.В. Волковым, А. Желтухиным, Б. Зупником, А. Исаевым, А. Капустниковым, Э. Капусчиком, Г. Корчемским, П.П. Кулишом, А. Лезновым, Д. Лейтесом, Е. Лукерским, Д. Люстом, К. Прейтшопфом, А. Рестуччиа, М. Савельевым, Э. Сокачевым, Д. Сорокиным, К.С. Стеллом, В. Ткачем, М. Тонином и другими, которым я сердечно благодарен.

Эта работа не могла бы быть успешной без поддержки и заботливого отношения со стороны руководства Лаборатории теоретической физики имени Н.Н. Боголюбова в лице Д.В. Ширкова, В.В. Бурова, А.Т. Филиппова и Д.И. Казакова, которым я искренне признателен.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кривонос, Сергей Олегович, 2000 год

1. C.S. Gardner, J.M. Green, M.D. Kruskal, R.M. Miura, Phys. Rev. Lett., 19 (1967) 1095.

2. P.D. Lax, Comm. Pure Appl. Math., 21 (1968) 467.

3. C.S. Gardner, J. Math. Phys., 12 (1971) 1548.

4. B.E. Захаров, Л.Д. Фаддеев, Функциональный анализ, 5 (1971) 18.

5. В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский, "Теория солитонов: Метод обратной задачи", Москва, Наука, 1980.

6. А.Н. Лезнов, М.В. Савельев, ЭЧАЯ, 11 (1980) 40; ЭЧАЯ, 12 (1981) 125.

7. Ю.А. Гольфанд, Е.П. Лихтман, в сб. "Проблемы теоретической физики", Москва, Наука, 1972, с. 37; Письма в ЖЭТФ, 18 (1971) 452.

8. Д.В. Волков, А.П. Акулов, Письма в ЖЭТФ, 16 (1972) 621; Phys. Lett., В46 (1973) 109; ТМФ 13 (1979) 39.

9. J. Wess, В. Zumino, Nucl. Phys., B70 (1974) 39; Phys. Lett., 49 (1974) 52.

10. A. Salarn, J. Strathdee, Nucl. Phys., 76 (1974) 477

11. E. Иванов, В. Огиевецкий, ТМФ, 25 (1975) 167.

12. V.G. Drinfel'd, V.V. Sokolov, Sov. J. Math., 30 (1975) 1.

13. E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa, 1983 "RIMS Symp. Nonlinear Integrable System", ed. M. Jimbo and T. Miwa, Singapore: World Scientific.

14. I.M. Gel'fand, L.A. Dikii, Funct. Anal. Appl., 10 (1976) 13; Funct. Anal. Appl., 11 (1977) 11.

15. Z. Popowicz, Phys. Lett., B319 (1993) 478.

16. S. Krivonos, A. Pashnev, Z. Popowicz, Mod. Phys. Lett., 13A (1998) 1435.

17. L. Bonora, S. Krivonos and A. Sorin, Nucl. Phys., В 477 (1996) 835.

18. L. Bonora, S. Krivonos and A. Sorin, Lett. Math. Phys., 45 (1998) 63.

19. S. Krivonos, A. Sorin, Phys. Lett., A251 (1999) 109.

20. S. Krivonos, A. Sorin, "Third family of N = 2 Supersymmetric KdV Hierarchies", In Proceedings of the International Seminar Dedicated to the Memory of V.I. Ogievetsky, Russia, 22-26 July 1997, Lecture Notes in Physics, 524, Springer, 1999.

21. Z. Popowicz, Phys. Lett., A236 (1997) 455.

22. V. de Alfaro, S. Fubini and G. Furlan, Nuovo Cim., 34A (1976) 569.

23. S.Coleman, J.Wess and B.Zumino, Phys. Rev., 177B (1969) 2239;

24. C.Callan, S.Coleman, J.Wess and B.Zumino, Phys. Rev., 177B (1969) 2247;

25. D.V.Volkov, ЭЧАЯ, 4 (1973) 3;

26. V.I.Ogievetsky, in Proceeding of X-th Winter School of Theoretical Physics in Karpach, 1 p. 117, Wroclaw 1974.

27. В. Акулов, А. Пашнев, ТМФ, 65 (1985) 84.

28. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, J.Phys., A22 (1989) 345.

29. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, J.Phys., A22 (1989) 4201.

30. S. Fubini, E. Rabinovici, Nucl. Phys., B245 (1984) 14.

31. P. Ramond, Physica, 15D (1984) 25.

32. В. Кац, Известия АН СССР, 32 (1968) 1323; V. Кас, Comm. Math. Phys., 53 (1977) 31.

33. E. Ivanov, S. Krivonos, Lett. Math. Phys., 7 (1983) 523.

34. E. Иванов, С. Кривонос, Суперполевые расширения уравнения Лиувилля, в Трудах VII Международного совещания по проблемам квантовой теории поля, Алушта, 1984, Д2-84-366, Дубна, 1984.

35. М. Ademollo, et al., Phys. Lett., 62B (1976) 105.

36. M. Ademollo, et al., Nucl. Phys., 114B (1976) 297.

37. M. Ademollo, et al., Nucl. Phys., 111B (1976) 77;

38. А. Гальперин, E. Иванов, В. Огиевецкий, Письма в ЖЭТФ, 33 (1981) 176.

39. Е. Иванов, С. Кривонос, ТМФ, 63 (1985) 230.

40. Е. Ivanov, S. Krivonos, J. Phys., A17 (1984) L671.

41. E. Ivanov, S. Krivonos, Theor. Math. Phys., 66 (1986) 60.

42. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, Nucl. Phys., B304 (1988) 601.

43. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, Phys. Lett., B215 (1988) 689, Erratum-ibid B221 (1989) 432.

44. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, Int. J. Mod. Phys., A6 (1991) 2147.

45. E. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, Int. J. Mod. Phys., A7 (1992) 287.

46. E. Иванов, С. Кривонос, ТМФ, 58 (1984) 200.

47. Е. Ivanov, S. Krivonos, Lett. Math. Phys., 8 (1984) 39.

48. L. Bonora, S. Krivonos, "The Hamiltonian Structure of the 'Bosonic' and 'Fermionic' Extensions of N=2 KdV Hierarchy", в "Supersymmetry and Quantum Field theory", Springer 1998, 173.

49. L. Bonora, S. Krivonos, Mod. Phys. Lett., A12 (1997) 3037.

50. S.J. Gates, C.M. Hull, M. Rocek, Nucl. Phys, 248B (1984) 157.

51. A.B. Zamolodchikov, Teor. Mat. Fiz, 65 (1985) 347.

52. P. Mathieu, Phys. Lett., B208 (1988) 101.

53. S.U. Park, B.H. Cho, Y.S. Myung, J. Phys., A21 (1988) 1167; I. Bakas, Phys. Lett., B213 (1988) 313;

54. A. Bilal, J.L. Gervais, Phys. Lett., B206 (1988) 412;

55. T.G. Khovanova, Teor. Mat. Phys., 72 (1987) 899;

56. V.A. Fateev and S.L. Lukyanov, Intern. J. Mod. Phys., A3 (1988) 507.

57. E. Ivanov, S. Krivonos, A. Pichugin, Phys. Lett., B284 (1992) 260.

58. E. Ivanov, S. Krivonos, R.P. Malik, Int. J. Mod. Phys., A8 (1993) 3199.

59. E. Ivanov, S. Krivonos, R.P. Malik, Int. J. Mod. Phys., A10 (1995) 253.

60. A. Bilal, J.-L. Gervais, Phys. Lett., 206B (1988) 412; Nucl. Phys., B314 (1989) 646; B318 (1989) 579.

61. V. Drinfel'd, V. Sokolov, J. Sov. Math., 30 (1985) 1975; Sov. Math. Dokl., 23 (1981) 457.

62. B. Spence, Phys. Let. B276 (1992) 311.

63. S. Bellucci, E. Ivanov, Mod. Phys. Lett., A6 (1991) 4959.

64. S. Bellucci, V. Gribanov, S. Krivonos, A. Pashnev, Phys. Lett., A191 (1994) 216.

65. A. Polyakov, Int. J. Mod. Phys., A5 (1990) 833;

66. M. Bershadsky, Comm. Math. Phys., 139 (1991) 71.

67. C. Ahn, K. Schoutens, A. Sevrin, J. Mod. Phys., A7 (1991) 3467.

68. H. Lu, C.N. Pope, L.J. Romans, X. Shen , X.-J. Wang, Phys. Lett., B264 (1991) 91.

69. L.J. Romans, Nucl. Phys., B369 (1992) 403.

70. J.M. Figueroa-0'Farrill, S.Schrans, Intern. J. Mod. Phys., A7 (1992) 591.

71. K. Mohri and H. Nohara, Nucl. Phys., B349 (1991) 253.

72. H. Nohara, Ann. Phys., 214 (1992) 1.

73. E. Ivanov, S. Krivonos, Phys. Lett., B291 (1992) 63, Erratum-ibid.B301 (1993) 454.

74. P. Di Vecchia, J. Peterson, H. Zheng, Phys. Lett., B162 (1986) 327.

75. M. Yu, H. Zheng, Nucl.Phys., B288 (1987) 275.

76. К. Schoutens, Nucl.Phys., B295 FS21. (1988) 634.

77. E.H. Saidi, M. Zakkari, Intern. J. Mod. Phys., A6 (1991) 3151.

78. TO. K. Schoutens, A. Sevrin, P. van Nieuwenhuizen, Nucl. Phys., B349 (1991) 791; C.M. Hull, Nucl. Phys., B353 (1991) 707.

79. A. Das, S. Roy, J. Math. Phys., 32 (1991) 869.

80. C.-A. Laberge, P. Mathieu, Phys. Lett., B215 (1988) 718; P. Labelle, P. Mathieu, J. Math. Phys., 32 (1991) 923.

81. S. Wolfram, Mathematica, (Addison-Wesley, Reading, MA, 1988, 1991).

82. T. Inami, H. Kanno, Nucl. Phys., B359 (1991) 201.

83. F. Magri, J. Math. Phys., 19 (1978) 1156.

84. J.L. Gervais, A. Neveu, Nucl. Phys., B209 (1982) 125; J.L. Gervais, Phys. Lett., B160 (1985) 277.

85. B.A. Kupershmidt, Phys. Lett., A102 (1984) 213.

86. Yu.I. Manin, A.O. Radul, Commun. Math. Phys., 98 (1985) 65.

87. P. Mathieu, J. Math. Phys., 29 (1988) 2499.

88. M. Chaichian, P. Kulish, Phys. Lett., B183 (1987) 169.

89. M. Chaichian, J. Lukierski, Phys. Lett., B212 (1988) 461.

90. F. Khalilov, E. Khruslov, Inverse Problems, 6 (1990) 193.

91. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, Phys. Lett. A173 (1993) 143.

92. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, J. Math. Phys., 34 (1993) 3087.

93. F. Delduc, E. Ivanov, Phys. Lett., B309 (1993) 312.

94. F. Toppan, Int. J. Mod. Phys., AlO (1995) 895.

95. Z. Popowicz, Phys. Lett., A194 (1994) 375.

96. L. Bonora, C.S. Xiong, Phys. Lett., B285 (1992) 191; Phys. Lett., B317 (1993) 329

97. L. Bonora, C.S. Xiong, Int. J. Mod. Phys, A8 (1993) 2973.

98. J.C. Brunelli, A. Das, J. Math. Phys, 36 (1995) 268.

99. M. Jimbo, T. Miwa, Physica, D2 (1981) 407ff; Physica D4 (1981) 26ff.

100. S. Krivonos, A. Sorin, Phys. Lett, В 357 (1995) 94.

101. F. Delduc, L. Frappat, P. Sorba, F. Toppan, E. Ragoucy, Phys. Lett, B318 (1993), 457.

102. F. Toppan, Phys. Lett, B327 (1994), 249.

103. F. Toppan, Int. J. Mod. Phys, A10 (1995), 895.

104. C.M. Hull, B. Spence, Phys. Lett, B241 (1990), 357.

105. C. Ahn, E. Ivanov, A. Sorin, Comm. Math. Phys, 183 (1997) 205.

106. J.C. Brunelli, A. Das, Phys. Lett, B337 (1994), 303.

107. Z. Popowicz, Phys. Lett, A174 (1993) 411.

108. Ph. Spindel, A. Sevrin, W. Troost and A. Van Proeyen, Phys. Lett, В 206 (1988) 71

109. S. Krivonos, A. Sorin, F. Toppan, Phys. Lett, A 206 (1995) 146.

110. E. Ivanov, S. Krivonos, F. Toppan, Phys. Lett, B405 (1997) 85.

111. F. Delduc, E. Ivanov, S. Krivonos, J. Math. Phys, 37 (1996) 1356.

112. F. Delduc, L. Gallot, E. Ivanov, Phys. Lett, B396 (1997) 122.

113. M. Rocek, C. Ahn, K. Schoutens, A. Sevrin, "Superspace WZW Models and Black Holes", in Workshop on Superstrings and Related Topics, Trieste, Aug. 1991, IASSNS-HEP-91/69, ITP-SB-91-49, LBL-31325, UCB-PTH-91/50.

114. F. Delduc, L. Gallot, Commun. Math. Phys, 190 (1997) 395.

115. E. Ivanov, S. Krivonos, Phys. Lett, A231 (1997) 75.

116. F. Delduc, E. Sokatchev, Class. Quant. Grav, 9 (1992) 361.

117. E. Ivanov, A. Sutulin, Nucl. Phys, B432 (1994) 246.

118. A. Sevrin, W. Troost, A. Van Proeyen, Phys. Lett., B208 (1988) 447.

119. A. Galperin, E. Ivanov, S. Kalitzin, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, Class. Quant. Grav. 1 (1984) 469.

120. E. Witten, Commun. Math. Phys., 92 (1984) 455.

121. C.M. Yung, Mod. Phys. Lett., B309 (1993) 1161.

122. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, A. Pichugin, Phys. Lett. B 312 (1993) 463.

123. S. Krivonos, K. Thielemans, Class. Quant. Grav., 13 (1996) 2899.

124. Z. Popowicz, Сотр. Phys. Commun., 100 (1997) 277.

125. L.J. Romans, Nucl. Phys., B357 (1991) 549.

126. F.A. Bais, T. Tjin, P. van Driel, Nucl. Phys., B357 (1991) 632.

127. J. Fuchs, Phys. Lett., B262 (1991) 249.

128. S. Krivonos, A. Sorin, "The N=2 super-VF3(2) algebra", Preprint LNF-94/014 (P), Fras cati, 1994.

129. C. Aim, S. Krivonos, A. Sorin, Mod. Phys. Lett., A10 (1995) 1299.

130. E. Ivanov, S. Krivonos, A. Sorin, Mod. Phys. Lett., A10 (1995) 2439.

131. C. Aim, E. Ivanov, S. Krivonos, A. Sorin, Mod. Phys. Lett., All (1996) 1705.

132. A.A. Belavin, A.M. Polyakov, A.B. Zamolodchikov, Nucl. Phys., B241 (1984) 333.

133. K. Thielemans, Int. J. Mod. Phys., 2C (1991) 787 .

134. K. Thielemans, "An Algorithmic Approach to Operator Product Expansions, W-algebras and W-strings", PhD thesis KU Leuven, June 1994, hep-th/9506159.

135. I. Bandos, P. Pasti, D. Sorokin, M. Tonin, D. Volkov, Nucl. Phys., B446 (1995) 79; I. Bandos, D. Sorokin, D. Volkov, Phys. Lett., B352 (1995) 269.

136. P.S. Howe, E. Sezgin, Phys. Lett., В 390 (1997) 133.

137. E. Ivanov, S. Krivonos, Phys. Lett., B453 (1999) 237.