Интегрируемые многомерные граничные задачи тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Гудкова, Елена Владимировна

• Гудкова, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гудкова, Елена Владимировна

Введение

1 Обрывы двумеризованной цепочки Тоды

1.1 Алгоритм нахождения интегрируемых обрывов двумеризованной цепочки Тоды

1.2 Новый пример

1.3 Как построить пару Лакса для цепочки с краевым условием?.

1.4 Преобразование Мутара и краевые условия.

2 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили на полуплоскости

2.1 Краевые условия для уравнения КП.

2.2 Мастер-симметрия и граничные условия.

2.3 Обрывы цепочки Тоды и уравнение КП.

2.4 Преобразование Беклунда и граничные условия.

2.5 Модифицированное уравнение КП.

2.6 Уравнение Веселова-Новикова.

3 Алгоритм построения частных решений краевой задачи для уравнения КП

3.1 Краевое условие, совместимое с парой Лакса

3.2 Краткое изложение метода одевания для уравнения

3.3 Редукции уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко и граничная задача.

3.4 Явные частные решения граничной задачи для уравнения КП2.

3.5 Краевая задача в полосе 0 < ?/ < 1.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемые многомерные граничные задачи»

Метод обратной задачи рассеяния, открытый в 1967 в работе [1], положил начало нового этапа в развитии теории нелинейных уравнений математической физики. Важную роль в становлении и развитии метода сыграли работа Лакса [2], в которой предложена удобная для обобщений альтернативная алгебраическая формулировка МОЗР, и работа Захарова и Шабата [3], где была найдена новая спектральная задача, позволившая авторам "проинтегрировать "нелинейное уравнение Шредингера и выявившая перспективы метода.

Первые успехи метода обратной задачи связаны в основном с построением и исследованием точных явных решений нелинейных уравнений. Одним из наиболее ярких результатов здесь явилось создание теории конечнозонного интегрирования в работах Новикова, Дубровина, Итса, Матвеева, Лакса, Марченко, Маккина и др. [4], [5], [6], [7], [8].

Заметной вехой в развитии солитонной теории стала работа Захарова и Манакова [9], где МОЗР был успешно применен для исследования асимптотики на больших временах решения задачи Коши с произвольным начальным условием для ряда нелинейных уравнений математической физики, таких, как уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, sine-Gordon и др. Позже идеи этой работы нашли приложение в классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений -уравнений Пенлеве, где с помощью метода изомонодромных деформаций, некоторой модификации МОЗР, в работах известных математиков, таких как Г.Флашка, А.Ньюелл, А.Итс, В.Новокшенов и др. был решен круг проблем об асимптотиках, вынесенных на повестку дня еще в начале прошлого века (см. монографию [10]).

Усилия математиков Санкт-Петербургской школы (Фаддеева, Тахтаджяна, Корепина, Склянина, Кулиша, Реймана, Семенова-Тян-Шанского, Изергина и др.) по переосмыслению МОЗР с точки зрения гамильтоновой механики привели к открытию квантового варианта метода обратной задачи рассеяния (см. [11], [12], [13]).

Схема метода обратной задачи в дальнейшем была распространена на дифференциально-разностные уравнения (нелинейные цепочки) и уравнения в частных разностях (дважды дискретные модели). Манаков [17] и, независимо, Флашка [18] погрузили в схему МОЗР известное уравнение, описывающее цепочку с экспоненциальным взаимодействием между ближайшими соседями (цепочку Тоды [14]), взяв в качестве L-оператора классическое трехчленное рекуррентное соотношение (дискретный аналог стационарного одномерного уравнения Шредингера). Абловитц, Jla-дик [19] и Шабат [20] предложили дискретную версию спектральной задачи Захарова-Шабата и выписали цепочки, связанные в контексте МОЗР с этой спектральной задачей. В работах, перечисленных выше, а также во многих других работах (см. монографии [21], [22] и обзор [23]) рассматривались предельные переходы от дискретных уравнений к непрерывным при сгущающейся пространственной и пространственно-временной сетке. Например, в [24] уравнения в частных разностях пропагандируются в качестве разностных схем для численного расчета задачи Коши для нелинейных интегрируемых уравнений в частных производных. Как известно, уравнения, интегрируемые методом обратной задачи рассеяния, имеют бесконечные серии законов сохранения. При предельном переходе законы сохранения дискретных уравнений, как правило, переходят в законы сохранения непрерывных аналогов. Иначе говоря, эти разностные схемы являются в известном смысле "сверх-консервативными".

Любопытно, что цепочка Тоды, появившаяся в работе [14] как модель системы частиц на прямой с экспоненциальным взаимодействием ближайших соседей, оказалась одномерной редукцией некоторой бесконечномерной системы уравнений в частных производных гиперболического типа, исследованием которой занимались еще великие французские математики, такие как Лаплас, Лиувилль, Дарбу, Гурса, Мутар и др. Для этой системы, носящей в современной литературе название двумеризованной цепочки Тоды, классиками уже в 19-ом веке была создана соответствующая теория (см. [15], [16]), содержащая, в частности, методы построения решений системы. Следует отметить, что двумеризованная цепочка Тоды имеет массу приложений в геометрии, в теории поля, а также в самой теории интегрируемости. Так в недавних работах А.Жибера, В.Соколова, а также Н.Камрана и И.Андерсона было доказано, что гиперболическое уравнение является интегрируемым (в смысле А.Шабата) тогда и только тогда, когда ряд инвариантов Лапласа линеаризованного уравнения является конечным.

Помимо задачи Коши в математической физике часто встречается другая важная постановка - начально-краевая задача. Для нелинейных уравнений учет влияния границы сильно усложняет задачу. К середине 90-ых годов прошлого века стало ясно, что начально-краевая задача с произольными начальными условиями и краевыми условиями общего вида не согласуется со свойством интегрируемости уравнения. Для каждого интегрируемого уравнения типа Кортевега-де Фриза существует некий специальный класс краевых условий, полностью согласующихся с интегрируемостью.

За последние полтора десятилетия для моделей размерности 1+1, т.е. для уравнений с одной пространственной и одной временной переменной, были найдены эффективные алгоритмы поиска таких граничных условий, использующие законы сохранения и гамильтонову структуру [45], высшие симметрии уравнения [82], а также непосредственно пару Лакса [59], [124].

Для большинства известных уравнений размерности 1+1 интегрируемые краевые условия были перечислены в работах Е.К.Склянина [45], А.Б.Замолодчикова, Р.Ф.Бикбаева, В.О.Тарасова, В.Э.Адлера, М.Гурсеса, И.Т.Хабибуллина, Т.Г.Казаковой и др. Отметим, что хотя интегрируемые краевые условия охватывают сравнительно узкий класс краевых условий, тем не менее они представляют интерес для физики. Приложения граничных задач такого сорта обсуждаются, например, в работах G.Costabile, А.Б.Замолодчикова, Е.Корригана, С.Скорика и др. (см. [64], [65], [66], [67]).

Другая точка зрения к начально-краевым задачам, развиваемая в работах А.Фокаса, А.Дегаспериса, С.Манакова, П.Сантини, А.Буте де Мунвел и др., состоит в поиске новых, возможно менее эффективных обобщений метода обратной задачи рассеяния, которые были бы применимы к начально-краевым задачам с произвольными краевыми условиями и произвольными начальными условиями.

Краевые задачи для интегрируемых эллиптических уравнений с произвольным краевым условием также плохо поддаются исследованию при помощи метода обратной задачи рассеяния, но и здесь наблюдается тот же эффект: существуют специальные типы граничных условий, совместимых с МОЗР. Так в серии работ А.Б.Борисова, В.В.Киселева и Г.Г.Талуца (см., например, [61], [62]) показано, что математическая модель вихря в двумерном магнетике представляет собой ни что иное, как эллиптическую краевую задачу, подпадающую под действие МОЗР. Близкие результаты получены также в [63].

Отметим, что для уравнений с двумя и более пространственными переменными проблема граничных условий, согласующихся со свойством интегрируемости, остается мало исследованной. В качестве примеров можно упомянуть лишь несколько типов краевых условий для уравнения Ишимори, найденных в [58], и так называемые обобщенные цепочки Тоды - редукции бесконечной двумеризованной цепочки Тоды, связанные с классическими сериями алгебр Ли конечного роста (см., например, монографию [43]). Они получаются из бесконечной цепочки при наложении условий обрыва (краевых условий по дискретной переменной), согласованных с интегрируемостью. Алгоритм поиска интегрируемых граничных условий, использующий высшие симметрии уравнения, разработанный в статьях [81], [82], [83], [104], [115], [116], в случае уравнений размерности 2+1 является чрезмерно сложным. Причина этого кроется в том, что симметрии многомерных уравнений содержат нелокальности.

Цель настоящей диссертации состоит в разработке удобных и эффективных способов отыскания (а также классификации) интегрируемых граничных условий для многомерных интегрируемых уравнений типа двумеризованной цепочки Тоды и уравнения Кадомцева-Петвиашвили.

В работе используются основные методы теории интегрируемости: принцип L-A пары, классические и высшие симметрии, метод дифференциальных связей, метод одевания Захарова-Шабата и ДР

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гудкова, Елена Владимировна, 2005 год

1. C.S.Gardner, J.M.Greene, M.D.Kruskal, R.M.Miura, Method for solving the Korteweg-de Vries equation. Phys.Rev.Lett., 1967, v.19, p.1095-1097.

2. P.D.Lax, Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves. Comm. Pure Appl.Math., 1968, v.21, N5, p.467-490.

3. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, ЖЭТФ, 1971, т.61, N1, с.118-134.

4. С.П.Новиков, Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза, Функц. анализ и его прилож.1974, т.8, вып. 3, с.54-66.

5. Б.А.Дубровин, В.Б.Матвеев, С.П.Новиков, Нелинейные уравнения типа Кортевега-де Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия. УМН, 1976, т.31, вып. 1, с.55-136.

6. P.D.Lax, Periodic solutions of Korteweg-de Vries equation, Comm. Pure Appl. Math., 1975, V.28, p.141-188.

7. H.P.McKean, P. van Moerbeke, The spectrum of Hill's equation, Invent. Math., 1975, V.30, p.217-274.

8. В.А.Марченко, Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения, Киев: Наукова думка, 1977.

9. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, Асимптотическое поведение нелинейных волновых систем, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния, ЖЭТФ, 1976, т.71, N1, с.203-215.

10. A.R.Its and V.Yu.Novokshenov, The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painleve Equations, Lect. Notes in Math., A.Dodd and Eckmann ed., Springer Verlag, 1191, (1986).

11. В.Е.Корепин, Л.Д.Фаддеев, Квантование солитонов, в кн. Физика элементарных частиц. (Материалыы XII Зимней школы Ленингр. ин-та ядерной физики.)-Л. 1977, с. 130-146.

12. L.D.Faddeev, V.E.Korepin, Quantum Theory of Solitons, Physics Reports, 1978, v.42C, N.l.

13. P.P.Kulish, E.K.Sklyanin, Quantum spectral transform metod. Recent developments, Lecture Notes in Physics, Berlin New-York: Springer, 1982, v.151, p.61-119.

14. М.Тода, Теория нелинейных решеток. М. Мир. 1984.

15. Moutard Т, Sur la construction des equations de la formeadmittent une integrate gen£rale explicite,J.Ecole Polytechnique 45 (1878), 1-11.

16. G. Darboux, Legons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometrique du calcul infinitesimal, T.2. Paris: Goutier-Villars, 1915

17. С.В.Манаков, О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах, ЖЭТФ, 1974, т.67, N2, с.543-555.

18. H. Flashka, On the Toda lattice. Inverse scattering solution, Progr. Theor. Phys., 1974, v.51, N3, p.703

19. M.J.Ablovitz, J.F.Ladik, Nonlinear differential-difference equations. J.Math.Phys.,1975, v.16, p.598-603.

20. А.Б.Шабат, Задача Римана и нелинейные уравнения. Труды Всесоюзной конференции, посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 1976), Издат. Москов. Гос. Унив., М.,1978, с.242-248.

21. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачию М. Наука, 1980.

22. Л.А.Тахтаджян, Л.Д.Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, М. Наука, 1986.

23. А.П.Веселов, Интегрируемые отображения, УМН, 46, 1995, 5(281), с.3-45.

24. T.R.Taha, M.J.Ablovitz, Analytical and numerical aspects of certain evolution equations. J.Сотр.Phys., 1984, v.55, p.192-230.

25. И.М.Кричевер, Аналог формулы Даламбера для уравнений главного кирального поля и уравнения sine-Gordon., ДАН СССР, т.253, 1980, Т2, с.288-292.

26. И.Р.Габитов, В.Е.Захаров, А.В.Михайлов, Уравнение Максвелла-Блоха и метод обратной задачи, ТМФ, 1985, т.63, Nlc.11-31.

27. С.В.Манаков, В.Ю.Новокшенов, Полное асимптотическое представление электромагнитного импульса в длинном двухуровневом усилителе, ТМФ, т.69, N1, с.40-53.

28. A.S.Fokas, An initial-boundary value problem for the nonlinear Schrodinger equation, Physica D 35, 1989, 167-185.

29. A.S.Fokas, A.R.Its, An initial-boundary value problem for the sine-Gordon equation in laboratory coordinates, TMF, v.92, 1992, N3, p386-403.

30. E.D.Belokolos, General formulae for solutions of initial and boundary value problems for the sine-Gordon equation, TMF v.103, 1995, N.3, c.358-367.

31. А.Л.Сахнович, Нелинейное уравнение Шредингера на полуоси и связанная с ним обратная задача, Укр. мат. журнал, 1990, т.42, N.3.

32. А.Л.Сахнович, Задача N-волн на полуоси, УМН т.46, 1991, N.4, с.171-172.

33. M.J.Ablovitz, H.Segur, The inverse scattering problem: semi-infinite interval, J.M.Phys. v.16, 1975, p.1054.

34. J. Moser (1985) Finitely many mass points on the line under the influence of an exponential potential integrable system, Lecture Notes in Physics, 38, 467-498.

35. M. Kac, P.van Moerbeke, On an explicitly soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices, Adv. in Math., 1975, v.16, p.160-169.

36. М.А.Олыианецкий, A.M.Переломов, Функцион. анализ и его прилож. т. 10, 1976, в.З, с.86.

37. M.A.Olshanetsky, A.M.Perelomov, Classical integrable finite dimensional systems related to Lie algebras, Phys. Reps.,v.71, 1981, N.5, p.313-400.

38. Ю.М.Березанский, Интегрирование нелинейных разностных уравнений методом обратной спектральной задачи, Докл. АН СССР, т.281, 1985, N.1, с.16-19.

39. Ю.М.Березанский, М.И.Гехтман, М.Е.Шмойш, Интегрирование методом обратной спектральной задачи некоторых цепочек нелинейных разностных уравнений, Укр. мат. журн., т.38, 1986, N.1, с.84-89.

40. А.К.Common, S.T.Hafez, Linearization of the relativistic and discrete-time Toda lattice for particular boundary conditions, Inverse Problems, v.8, 1992, p.59-69.

41. A.K.Common, A solution of the initial value problem for half infinite integrable lattice system, Inverse Problems, v.8, 1992, p.393-408.

42. А.М.Переломов, Интегрируемые системы классической механики, М.:Наука. 1990.

43. А.Н.Лезнов, М.В.Савельев, Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем, М., Наука, 1985.

44. А.Н.Лезнов, М.В.Савельев, В.Г.Смирнов, Теория представлений групп и интегрирование нелинейных динамических систем, ТМФ, т.48, 1981, N.1, с.3-12.

45. Е.К.Склянин, Граничные условия для интегрируемых систем, Функц. анализ и его прилож., т.21, 1987, N.2, с86-87.

46. E.K.Sklyanin, Boundary conditions for integrable quantum systems, J.Phys.A: Math. Gen., v.21, 1988, p.2375-2389.

47. В.О.Тарасов, Начально-краевая задача для нелинейного уравнения Шредингера, Зап. науч. семинаров ЛОМИ, т. 169, 1988, с.151-165.

48. V.O.Tarasov, The integrable initial-value problem on a semiline: nonlinear Schrodinger and sine-Gordon equations, Inverse Problems, 1991, N.7, p.435-449.

49. Р.Парментье, Флюксоны в распределенных джозефсонов-ских контактах, Солитоны в действии, М.:Мир, 1981. с.185-208.

50. Р.Ф.Бикбаев, С.Б.Куксин, Периодическая краевая задача для уравнения синус-Гордон, ее малые возмущения и КАМ-деформации конечнозонных торов, Алгебра и анализ, 1992, т.4, в.З, с.70-111.

51. В.А.Козел, В.П.Котляров, Почти-периодические решения уравнения иц — ихх = sinw, ДАН УССР, т.10, А, с.878-881.

52. Р.Ф.Бикбаев, А.Р.Итс, Алгебро-геометрические решения нелинейной краевой задачи для уравнения синус-Гордон, Матем. заметки, т.52, 1992, в.4, с.19-28. •

53. Р.Ф.Бикбаев, А.Р.Итс, Алгебро-геометрические решения краевой задачи для нелинейного уравнения Шредингера, Мат. заметки, т.45, 1989, N.3, с.3-10.

54. I.T. Habibullin, in: Proc.IV Int. Workshop on nonlinear and turbulent processes in physics, Vol.1, Kiev, 1989, (Singapore, 1990), p.259

55. И.Т.Хабибуллин, Преобразование Беклунда и интегрируемые начально-краевые задачи, Матем. Заметки, т.49, 1991, N4, с.130-138.

56. И.Т.Хабибуллин, Об интегрируемыех начально-краевых задачах, ТМФ, т.86, 1991, N1, с.43-51.

57. И.Т.Хабибуллин, Граничные задачи на полуплоскости для уравнения Ишимори, совместимые с методом обратной задачи рассеяния, ТМФ, т.91, 1992, N3, с.363-376.

58. И.Т.Хабибуллин, Начально-краевая задача на полуплоскости для уравнений Ишимори и Деви-Стюартсона, в сб. Задачи математической физики и асимптотика их решений, под ред. Л.А.Калякина, Уфа, 1991, с.50-59.

59. R.F.Bikbaev, V.O.Tarasov, Initial-boundary value problem for the nonlinear Schrodinger equation, J. Phys. A, v.24, 1991, p.2507-2518.

60. A.B.Borisov, Vortices in the sine -Gordon system and solution of the boundary value problem by the inverse scattering problem, Physics Lett. A, v.143, 1990, N.l, p.52-56.

61. А.Б.Борисов, Г.Г.Талуц, Теоретическое описание вихрей в квазидвумерном магнетике, Физика металлов и металловедение, N.1, 1991, с.34-43.

62. M.Jaworski, D.Kaup, Direct and inverse scattering problem associated with the elliptic sinh-Gordon equation, Inverse Problem, v.6, 1990, N.4, p.543-556.

63. G.Costabile, R.D.Parmantier, B.Savo, D.W.McLaughlin, A.C.Scott, Exact solutions of the sine-Gordon equation, describing oscillations in a long (but finite) Josephson junction. Appl. Phys. Lett., v.32, 1978, p.587-589.

64. S.Ghoshal, Alexander.B.Zamolodchikov, Boundary state and boundary S matrix two-dimentional integrable field theory; RU-93-20, hep-th/9306002.

65. E.Corrigan, P.E.Dorey, R.H.Rietdijk, R.Sasaki, AffineToda field theory on a half-line, hep-th/9404108.

66. H.Saleur, S.Skorik, N.P.Warner, The boundary sine-Gordon theory, USC-94-013, hep-th/9408004.

67. J.Ishimori, Multi Vortex Solutions of a Two-Dimentional Nonlinear Wave Equation, Progress of Theoretical Physics, v.72, 1984, p.33-37.

68. Л.В.Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, М.:Наука, 1978.

69. У.Миллер, Симметрия и разделение переменных, М.:Мир, 1981.

70. Н.Х.Ибрагимов, Группы преобразований в математической физике, М.:Наука, 1983, 280 с.

71. П.Олвер, Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям, М.:Мир, 1989, 635 с.

72. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н., Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск, Наука. Сибирское отделение. 1984, 272 с.

73. А.В.Жибер, А.Б.Шабат, Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой, Докл. АН СССР, т.247, 1979, N.5, с.1103-1107.

74. G.Tzitzeica, Sur une nouvelle classe de surfaces, C.R.Acad. Sci. Paris, v.150, 1910, p. 955-956.

75. S.I. Svinolupov (1989) On the analogues of the Burgers equation, Phys. Lett. A, 135(1), 32-36.

76. S.I. Svinolupov (1992) Generalized Schrodinger equations and Jordan pairs, Commun. Math. Phys., v.143, 559-575.

77. I.T.Habibullin, S.I. Svinolupov, Integrable boundary value problem for the multicomponent Schrodinger equations, Physica D, v.87, 1995, p.101-106.

78. А.В.Михайлов, А.Б.Шабат, Р.И.Ямилов, Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем, УМН, 1987, т.42, В.4(256), с.З-53.

79. I.T.Habibullin Boundary problems for integrable equations, Proceedings of VIII International Workshop NEED'S92, Dubna near Moscow 1992, World Scientific, Singapore, 1993.

80. I.T.Habibullin Symmetries of boundary problems, Phys. Letts A, 178, 1993, p.369-375.

81. B. Giirel, M. Giirses, I.T.Habibullin Boundary value problems, compatible with symmetries, Phys. Lett. A, 190, 1994, 231-237.

82. B. Giirel, M. Giirses, I.T.Habibullin Boundary value problems, compatible with symmetry algebra, Journal of Mathematical Physics 1995, v.36, №12, p.6809-6821.

83. V.E.Adler and I.T.Habibullin, Integrable boundary conditions for the Toda lattice, Journal of Physics A, Mathematical and General, 1995, v.28, p.6717-6729.

84. M.Leo, R.A.Leo, G.Soliani and L.Solombrino, Letter A1 Nuovo Cimento, v.38, 1983, N.45.

85. M.Boiti, B.G.Konopelchenko, F.Pempinelli, Inverse Problems, 1985, N.1, p.33-56.

86. V.A.Arkadjev, A.K.Pogrebkov, M.K.Polivanov, Physica D, v.36, 1989, p.189-197.

87. B.G.Konopelchenko, B.T.Matkarimov, J. Math. Phys., v.31, N.ll, p.2737-2746.

88. В.Д.Липовский, А.В.Широков, Функциональный анализ и его прилож. т.23, 1989, в.З, с.63-65.

89. С.В.Манаков, О теории двумерной самофокусировки электромагнитных волн, ЖЭТФ, т.5, 1973, с.505-516.

90. К. Meyberg Jordan-Tripelsysteme und die Koecher-Konstruktion von Lie-Algebren, Math. Zeitschrift, v.H5(l), 1970, p.58-78.

91. Е.Б.Винберг, Труды Московского математического общества, т. 12, 1989, с.340-403.

92. A.Medina, Sur quelques algebres symetriques a gauche l'algebre de Lie sous-jacente est resoluble, C.R.Acad.Sci., Paris, Ser.A 286, 1978, N.3, p.173-176.

93. О.В.Мельников, В.H.Ремесленников, В.А.Романьков, Л.А.Скорняков, И.А.Шестаков, Общая алгебра, М.:Наука, 1990.

94. В.В.Соколов, С.И.Свинолупов, Векторное и матричное обобщения классических интегрируемых уравнений, ТМФ, т.100, 1994, N2, с.214-218.

95. S.I. Svinolupov, R.I. Yamilov (1991) The multi-field Schrodinger lattices, Phys. Lett. A, 160, 548-552.

96. O.I.Bogoyavlenskii, Comm. Math. Phys. 51 (1976) 201-209.

97. О.И.Богоявленский, Интегрируемые уравнения на алгебрах Ли, возникающие в задачах математической физики, Известия АН СССР (сер. мат.) т.48, 1984, N.5, с.883-938.

98. А.Б.Шабат, Р.И.Ямилов, Симметрии нелинейных цепочек, Алгебра и анализ, т.2, 1990, в.2.

99. A.B.Shabat, Higher symmetries of two-dimensional lattices, Phys. Letters A, v.200, 1995, p.121-133.

100. F.Calogero, A.Degasperis, Reduction technique for matrix nonlinear equations solvable by the spectral transform, preprint Instituto di Fizica G.Markoni Univ. di Roma, 151, 1979, p.l-37.

101. С.И.Свинолупов, В.В.Соколов, Р.И.Ямилов, О преобразованиях Беклунда для интегрируемых эволюционных уравнений, ДАН СССР, 271, 1983, N.4, с.802-805.

102. M.Bruschi, O.Ragnisco, P.M.Santini, Tu Gui Zhang, Integrable symplectic maps, Physica D 49, 1991, 273-294.

103. V.E.Adler, I.T.Habibullin (1995) Integrable boundary conditions for the Toda lattice, solv-int/9505003.

104. Р.И.Ямилов, Классификация дискретных эволюционных уравнений, УМН, 38:6, 1983, с.155-156.

105. V.G.Papageorgeou, F.W.Nijhoff, Capel H.W. (1990) Phys. Lett.A 147(2,3) 106.

106. G.R.W.Quispel, J.A.G.Roberts, C.J.Thompson (1988) Phys. Lett. A. 126, 419.

107. Ю.Мозер, Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоно-вых систем, УМН, т.36, 1981, в.5, с.109-151.

108. И.Т.Хабибуллин, Граничные условия для нелинейных уравнений, совместимые с интегрируемостью, Теор. Мат. Физ., 96, 1993, N1, с.109-122.

109. Б.Б.Кадомцев, В.И.Петвиашвили, Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах, ДАН СССР, 192, 4, 753-756, (1970).

110. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния, Функц. анализ и его прилож. 8, 3, 43-53, (1974).

111. S.V.Manakov, Physica D, 3D, 420, (1981).

112. M.J.Ablowitz, D. Bar Yaacov, A.S.Fokas, Stud. Appl. Math. 69(1983) 135

113. A.K.Pogrebkov, KPII: new results and open problems, Proceedings of the Workshop Nonlinear Physics: Theory and Experiment, 2002, ed. M.J.Ablowitz et al., 2003, World Scientific, Singapore, p. 108-117.

114. С.И.Свинолупов, И.Т.Хабибуллин, Интегрируемые граничные условия для многокомпонентного уравнения Бюргерса, Матем. Заметки, 1995.

115. I.T.Habibullin, Boundary conditions for integrable chains, Phys. Letts. A, v.207, 1995, N.5, p.263-268.

116. В.Э.Адлер, А.Б.Шабат, Р.И.Ямилов, Симметрийный подход к.проблеме интегрируемости, ТМФ, т.125, N3, с. 355-424, 2000.

117. B.G.Konopelchenko, Phys. Lett. А, 92 (1982), 323.

118. M.Jimbo and T.Miwa, Publ. Res. Inst. Math. Sci., 19(3), 943 (1983).

119. А.П. Веселов, С.П. Новиков. Операторы Шредингера с ко-нечнозонными двумерными потенциалами. Явные формулы и эволюционные уравнения. // ДАН СССР 1984. Т. 279. С. 20.

120. P.G.Grinevich, P.M.Santini, The initial boundary value problems on the segment for the nonlinear Schrodinger equation; the algebro-geometric approach, arXiv:nlin.SI/0307026, V2, 25 Jul. 2003.

121. А.Дегасперис, С.В.Манаков, П.М.Сантини. Смешанные задачи для линейных и солитонных уравнений в частных производных. Теор. и матем. физика, 2002, т.133. №2. с. 184-201.

122. A.B.Shabat Phys. Lett. 200А 121, (1995)

123. I.T.Habibullin and A.N.Vil'danov, Boundary conditions, consistent with L-A -pairs, Proceedings of the International conference Modern Group Analysis 2000, ed. V.A.Baikov, Ufa, 2001, p.80-81.

124. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский, Теория солитонов. Метод обратной задачи, М.: Наука, 1980.

125. П.Г.Гриневич, Преобразование рассеяния для двумерного оператора Шредингера при одной энергии и связанные с ним интегрируемые уравнения математической физики, Докторская диссертация, 1999, ИТФ, Черноголовка.

126. В.С.Дрюма, Об аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега де Вриза (КДВ), Письма в ЖЭТФ, 19, 12, 753-755, (1974) .

127. В.Е.Захаров, А.Б.Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи теории рассеяния, Функц. анализ и его прилож. 8, 3, 43-53, (1974).

128. I.T.Habibullin and T.G.Kazakova, Boundary conditions for integrable chains. J. Phys. A: Math, and Gen. 34, 2001, P. 1036910376.

129. I.T.Habibullin, Multidimensional integrable boundary problems, nlin.SI/0401028.

130. И.Т.Хабибуллин, Начально-краевая задача для уравнения КдФ на полуоси с однородными краевыми условиями, Теоретическая и математическая физика, М., 2002, т. 130, №1, с. 31-53.

131. Е.В.Гудкова, Краевые условия для уравнения Кадомцева-Петвиашвили, Материалы региональной школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа, 2002, стр.40-45.

132. И.Т.Хабибуллин, Е.В.Гудкова, Краевые условия для многомерных интегрируемых уравнений, Функциональный анализ и его приложения. 2004, том. 38, вып. 2, стр.71-83.

133. Е.В.Гудкова, И.Т.Хабибуллин, Уравнение Кадомцева-Петвиашвили на полуплоскости, Теоретическая и математическая физика, том 140, № 2, август 2004, стр.230-240.

134. Е.В.Гудкова, Об обрывах цепочки Тоды. Труды региональной школы-конференци для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа, 2003, стр.37-43.

135. Е.В.Гудкова, Частные решения краевой задачи. Тезисы региональной школы-конференци для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Уфа, 2003, стр.8.