Математические модели и методы нелинейной волновой динамики непрерывных и дискретных одномерных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Бочкарев Андрей Владимирович

• Бочкарев Андрей Владимирович
• доктор наук
• 2022

Оглавление диссертации доктор наук Бочкарев Андрей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА

1.1. Метод возмущений и точные решения интегрируемых уравнений

1.2. Общая схема метода геометрического ряда

1.3. Критерии геометричности степенного ряда

1.4. Решение интегрируемых уравнений методом геометрического ряда

1.5. Решение неинтегрируемых уравнений методом геометрического ряда

1.6. Метод Ньютона

1.7. Обобщение схемы метода геометрического ряда. Рациональные и периодические решения

1.8. Нелинейное суммирование степенных рядов

1.9. Особые случаи. Уравнение Кавахары

1.10. Метод геометрического ряда для дифференциально-разностных уравнений

1.11. Достоинства и ограничения метода

1.12. Выводы по Главе

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ КИРХГОФА-ЛЯВА

2.1. Модуляционная неустойчивость периодических волн в однородных оболочках

2.2. Солитоны огибающей стационарной формы в однородных оболочках

2.3. Уточнение области модуляционной неустойчивости периодических волн в однородных оболочках

2.4. Неоднородная оболочка с физической нелинейностью дробного порядка

2.5. Точные решения обобщенных уравнений Шамеля и Шамеля - Кавахары

2.6. Неоднородная оболочка с физической нелинейностью дробного порядка, окруженная упругой средой

2.7. Приближенные решения уравнения Шамеля - Островского

2.8. Точные решения редуцированного уравнения Шамеля - Островского

2.9. Обобщенная модель внешней среды

2.10. Выводы по Главе

ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧКАХ ТИПА

ТИМОШЕНКО

3.1. Геометрически линейная постановка

3.2. Геометрически нелинейная постановка и уединенно-волновые решения

3.3. Физически реализуемые периодические решения в геометрически нелинейной постановке

3.4. Модуляционная неустойчивость периодических решений в геометрически нелинейной постановке

3.5. Выводы по Главе

ГЛАВА 4. ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПОЧЕК

4.1. Дискретное интегрируемое уравнение Савады - Котеры

4.2. Уединенные и периодические волны в неинтегрируемой цепочке

4.3. Точные решения 4-компонентной цепочки Мерола-Рагниско-Ту

4.4. Выводы по Главе

ГЛАВА 5. ВОЛНОВАЯ ДИНАМИКА ЦЕПОЧКИ АКТИВНЫХ ЧАСТИЦ МОРЗЕ -ВАН ДЕР ПОЛЯ

5.1. Модель цепочки Морзе - ван дер Поля

5.2. Моделирование распространения кинков

5.3. Моделирование распространения солитонов

5.4. Разнообразие динамических структур в цепочке

5.5. Многовершинные солитонные комплексы

5.6. Обсуждение результатов

5.7. Выводы по Главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели и методы нелинейной волновой динамики непрерывных и дискретных одномерных систем»

Актуальность исследуемой проблемы

Нелинейная волновая динамика, как научное направление, сформировалась в последней четверти 20 века на стыке нелинейной теории волн, нелинейной акустики и теории солитонов. Интенсивное развитие этого направления объясняется возможностью использования его результатов в задачах акустической диагностики материалов, а также выявлением новых эффектов в системах реакции-диффузии, возбудимых, биологических и нейро-связанных динамических системах.

К настоящему времени в волновой динамике непрерывных деформируемых систем накоплен большой объем теоретических и экспериментальных результатов. Исследованы волновые процессы в нестационарных упругих системах (Л.А. Островский, А.И. Весницкий), в диспергирующих средах (Ю.К. Энгельбрехт, А.И. Потапов, А.Т. Ильичев, И.Б. Бахолдин), в средах с микроструктурой (В.И. Ерофеев). Разработана теория нелинейных упругих волн в твердотельных волноводах (А.М. Самсонов), изучены вопросы генерации, усиления и селекции уединенных волн деформации в нелинейных твердых телах (А.В. Порубов), проанализированы нелинейные многоволновые взаимодействия в тонкостенных элементах конструкций (Д.А. Ковригин). Развиты основы нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек (А.И. Землянухин, Л.И. Могилевич), разработан метод структурного моделирования в механике обобщенных континуумов (И.С. Павлов).

Динамика дискретных деформируемых систем исследуется в работах М. Тоды, А.В. Порубова, И.В. Андрианова, Л.И. Маневича, О.В. Гендельмана и других. Большие перспективы в проблеме выявления новых состояний вещества связаны с ансамблями активных частиц, способных к обмену энергией с окружающей средой. Серьезные результаты по выявлению и анализу стационарных и метастабильных структур в нелинейных системах активных частиц получены А.П. Четвериковым, М.Г. Веларде, В. Эбелингом, С.В. Дмитриевым.

Перейдем к более детальному рассмотрению состояния рассматриваемого научного направления.

В одной из первых русскоязычных обзорных работ по нелинейным упругим волнам [1] отмечалось, что типичные макроскопические нелинейные эффекты в твердых телах,

такие как генерация акустических гармоник, комбинационное рассеяние звука на звуке и другие, наблюдаются при амплитудах механических напряжений на 2-3 порядка меньших, чем те, что способны вызвать необратимые деформации. Микроскопические нелинейные эффекты, в частности, фонон-фононное взаимодействие, объясняются в первую очередь ангармоничностью потенциала взаимодействий атомов в кристаллах.

Учет нелинейных эффектов усложняет как аналитическое решение задачи, так и численное, поэтому многие ранние работы были посвящены нелинейной волновой динамике стержней как простейших из деформируемых объектов. Авторы [2], выявили в своем исследовании четыре малых параметра, характеризующих процессы распространения продольных волн деформации в вязкоупругих стержнях и пластинах, и установили, что при одинаковых порядках малости этих параметров математическая модель сводится к уравнению Кортевега - де Вриза - Бюргерса. Деформируемые тела с вязкоупругими свойствами анализируются в известной монографии [3], где на базе общих уравнений механики сплошной среды были сконструированы нелинейные математические модели, учитывающие эффекты вязкости и температурного расширения при распространении деформационных возмущений в упругих твердых телах. Для решения волновых задач применяется последовательное интегрирование упрощенных квазилинейных уравнений. Подчеркивается, что в отличие от традиционных для акустики импульсов синусоидальной формы, предложенный подход способен оперировать с конечными импульсами произвольной формы.

При моделировании распространения нелинейных упругих волн в стержнях в работе [4] использовалось уравнение Кортевега - де Вриза, записанное для скорости элемента стержня. Авторы уделили внимание процессу эволюции формы волны, приводящему к образованию и последующему затуханию солитонов. Эксперимент по выявлению солитонов в тонкой стальной проволоке показал, что наименьшая ширина солитонов составляет около семи диаметров проволоки и достигается при таком предельном ее растяжении, при котором материал еще сохраняет линейно-упругие свойства.

Более сложные одномерные упругие системы рассматривались в статье [5], посвященной продольным волнам в стержнях с медленно меняющимися по длине плотностью и модулем упругости. Показано, что солитоноподобная волна в таких системах включает основное "тело" солитона, скорость и амплитуда которого

определяются из метода возмущений, и следующий за телом "хвост" солитона, имеющий приблизительно постоянный размер.

Широкий спектр вопросов нелинейной динамики одномерных и трехмерных деформируемых сред с микроструктурой рассмотрен в работах В.И. Ерофеева [6-9]. В отличии от однородных сред, в средах с микроструктурой могут проявляться резонансные взаимодействия трех типов волн - продольных, вращательных и сдвиговых, а также возможно формирование нелинейных стационарных уединенных волн. Эти нелинейные эффекты могут использоваться при проведении акустического зондирования состояния нагруженных конструкций, поскольку основные параметры нелинейных волн, распространяющихся по конструкции, существенно зависят от степени поврежденности ее материала.

В серии работ А.М. Самсонова с соавторами [10-13] исследуются влияние зависимости упругих параметров и толщины стержня от его продольной координаты на процесс распространения нелинейных волн. Показано, что при переходе в область стержня с большим поперечным сечением уединенный импульс теряет свою энергию и преобразуется в волновой пакет; при попадании в область меньшего сечения наблюдается рост амплитуды импульса, способный привести к возникновению пластических деформаций материала. При переходе в область стержня, образованную материалом с бОльшим модулем упругости, движущийся уединенный импульс теряет амплитуду и энергию.

К настоящему времени получены убедительные экспериментальные доказательства возможности генерации и устойчивого распространения солитонов продольной деформации в стержнях из полимерных материалов [14]. Впервые экспериментальное подтверждение возникновения и последующего распространения излучающего объемного солитона деформации в твердотельном волноводе было описано в [15]. Отметим, что деформационные солитоны огибающих были впервые экспериментально обнаружены в тонкой короткой металлической цилиндрической оболочке [16].

Моделирование процессов движения волн в деформируемых твердых телах приводит исследователей, как правило, к эволюционным или квазигиперболическим уравнениям градиентного типа, включающим как нелинейные и дисперсионные, так и диссипативные слагаемые, зависящие от пространственных производных вектора

перемещений. Инерция нормального перемещения элемента стержня, пластины, оболочки определяет слагаемые уравнения, отвечающие за низкочастотную дисперсию, а изгибающие моменты, соответственно - за высокочастотную [17]. Нелинейность может относиться к геометрическому и физическому типам; вязкостные свойства материала тела и условия его контакта с окружающей средой определяют форму диссипативных слагаемых уравнения. Методы построения точных и приближенных решений, в том числе уединенно-волновых, представляющих наибольший интерес, для рассматриваемого класса уравнений к настоящему времени достаточно разработаны [18]. Стремление к расширению области применимости моделей нелинейной волновой динамики, например, в плане учета взаимодействия тела с внешней деформируемой средой, может привести к тому, что уравнения модели будут содержать как градиентные, так и неградиентные слагаемые, зависящие от компонент вектора перемещений алгебраически [19-21]. При этом аналитическая структура уравнений, как и задача построения точных решений, значительно усложняются и развитие соответствующих методов приобретает особую актуальность.

Нелинейная динамика плоских двумерных деформируемых элементов рассматривается в [22] на примере продольных колебаний гибких тонких пластин. Показано, что в качестве основы для математической модели движущихся вдоль координатной оси пластины плоских бегущих волн может быть выбрано возмущенное уравнение синус-Гордона. В работе [23] для описания движения слаборасходящегося пучка нелинейных продольных волн в пластине использовано уравнение Кадомцева-Петвиашвили, имеющего решение в форме двумерной уединенной волны. При этом уравнения продольных колебаний были получены авторами из общих уравнений трехмерной теории упругости, физические соотношения которой содержали пять постоянных, отвечающих за геометрическую и физическую нелинейности. Для моделирования динамики огибающей сдвиговых солитонов в упругой пластине предложено использовать нелинейное уравнение Шредингера [24]. В зависимости от нелинейных свойств материала пластины, в ней возможно распространение как "светлых", так и "темных" солитонов огибающей. Эксперимент, в котором в анизотропной пластине наблюдались волны деформаций такого рода, описан в публикации [25].

Нелинейность и дисперсия являются основными определяющими факторами волновых процессов в упругих тонкостенных конструкциях. Продольные волны в прямолинейных стержнях и пластинах взаимодействуют с изгибными волнами только в нелинейном приближении. Таким образом, продольные волны параметрически воздействуют на изгибные волны, которые, в свою очередь, служат нелинейным источником продольных волн. Что касается оболочек, то продольная и нормальная составляющие перемещения связаны уже в линейном приближении и по этой причине динамические процессы в оболочках значительно сложнее, чем аналогичные процессы в стержнях и пластинах.

Интерес к задачам нелинейной динамики цилиндрических оболочек объясняется чрезвычайно широким спектром их использования - от ракетостроения и авиастроения и проектирования нефте- и газопроводов до моделирования наносистем. Большинство работ по данной теме имеют дело с колебаниями оболочек конечной длины, закрепленных каким-либо образом на торцах, либо затрагивают вопросы потери устойчивости [26, 27]. Если длина оболочки многократно превышает характерную длину волны колебаний, то на ограниченных временных интервалах, на которых возмущение в процессе своего движения не достигает торцов оболочки, возможен переход к упрощенной модели оболочки бесконечной длины. Указанный выше интервал времени можно расширить, если задействовать на границах системы оптимальные демпфирующие устройства, препятствующие отражению возмущений [28]. Даже для такой упрощенной модели разрешающее уравнение нелинейной волновой динамики имеет, как правило, сложную аналитическую структуру и является неинтегрируемым. Нахождение их точных решений вместе с условиями на коэффициенты уравнений, при которых возможно формирование и устойчивое распространение соответствующих волновых возмущений, является сложной актуальной задачей, имеющей большое значение для неразрушающего мониторинга внутреннего состояния материалов.

Многие задачи о распространении волн в упругих оболочках рассматривается в линейной постановке [29]. Аналитическое исследование системы связанных уравнений движения элементов оболочек, записанных в перемещениях, представляет собой трудную задачу, поэтому исследователям необходимо ее упростить. Довольно часто инерцией продольных перемещений пренебрегают, т. е. среднюю поверхность оболочки считают нерастяжимой. Для осесимметричного случая это позволяет проинтегрировать первое

уравнение системы и свести задачу к решению одного уравнения для нормального перемещения. Этот подход является традиционным для одномерных деформируемых систем и часто упоминается как гипотеза Кирхгофа [30]. В работе [31] объектами рассмотрения являются тонкие линейно-упругие круговые цилиндрические оболочки типа Кирхгофа-Лява, имеющие периодически микронеоднородную структуру в окружном и осевом направлениях (бипериодические оболочки). Цель работы -исследование одной проблемы распространения длинных волн, связанной с микрофлуктуациями поля смещений, вызванными периодической структурой оболочек. Показано, что рассматриваемая неоднородность оболочек приводит к экспоненциальным микроколебаниям и к экспоненциальным волнам, а также к дисперсионным эффектам, которые не могут быть проанализированы в рамках классических асимптотических моделей.

Нелинейная волновая динамика цилиндрических оболочек изучена в меньшей степени, чем динамика стержней и пластин [32]. При этом среди осесимметричных волн в оболочках продольные волны изучены с большими подробностями, чем изгибные и сдвиговые. В монографии А. В. Порубова [33] построены точные частные решения неинтегрируемых квазигиперболических уравнений, выведенных для компонент продольной деформации и перемещения, а также найдены ограничения на коэффициенты уравнений, при которых эти решения существуют. Проблемам нелинейных многоволновых взаимодействий в тонкостенных элементах конструкций посвящена диссертация [34], в которой, в частности, сделан важный вывод о том, что использование различных моделей оболочек способно привести к противоположным прогнозам о возможности развития модуляционной неустойчивости осесимметричных волн. Широкий круг вопросов, касающихся распространения нелинейных упругих волн в цилиндрических оболочках, разобран в работах А.И. Землянухина, Л.И. Могилевича, основные результаты которых сведены в монографию [35]. Среди рассмотренных ими вопросов следует отметить механическую интерпретацию инвариантных решений вместе с теоретико-групповым анализом нелинейных уравнений в частных производных; вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение продольных, сдвиговых и изгибных волн в однородных и неоднородных цилиндрических оболочках, изготовленных из нелинейно-упругих и нелинейно-вязко-упругих материалов;

построение точных решений солитонного и ударно-волнового типов; анализ условий, при которых полученные выведенные уравнения связаны с интегрируемыми уравнениями.

В последние годы возрастает интерес к неклассическим теориям оболочек, широко применяющимся в задачах нелинейной динамики углеродных нанотрубок [36-39]. Широкий спектр математических моделей и используемых для их построения различных вариантов теории оболочек приведен в обзоре [40]. В частности, в исследованиях [41, 42] для анализа свободных колебаний, глобальных бифуркаций и хаоса в оболочке используются уравнения Доннелла, а в [39] - модель оболочки Сандерса-Койтера. Поперечные и крутильные нелинейные волны в одностенных и двухстенных углеродных нанотрубках на основе нелокальной теории оболочек рассматривались в [43], причем основное внимание уделялось влиянию микроструктуры углеродных нанотрубок на дисперсию волн. Моделирование молекулярной динамики показало, что дисперсия волн, предсказанная нелокальной теорией, хорошо согласуется с экспериментом в широком диапазоне частот вплоть до терагерцовой области. Теория нелокальных упругих оболочек обеспечивает лучшее предсказание дисперсионных соотношений, чем классическая теория оболочек, когда волновое число достаточно велико, чтобы микроструктура углеродных нанотрубок оказывала значительное влияние на волновую дисперсию.

Структурно неоднородные цилиндрические оболочки, в частности, включающие слои из разных типов материалов или характеризуемые зависимостью свойств материала от осевой координаты, также не были обойдены вниманием исследователей. Так, в работе [44] исследованы уединенные волны объемной деформации в тонкостенных нелинейно-упругих цилиндрических оболочках с переменными геометрическими и физическими параметрами и получено двухдисперсионное уравнение с переменными коэффициентами для продольной составляющей деформации. Уравнение такого типа ранее было выведено для стержня [45]. Предложена консервативная конечно-разностная схема и представлены результаты численного моделирования эволюции солитона деформации в оболочке при резком изменении поперечного сечения и физических свойств материала. В недавнем исследовании [46] показано, что двухдисперсионное уравнение, выведенное в континуальном пределе из дискретной модели, пригодно для моделирования плоских продольных нелинейных волн деформации в двумерной гексагональной решетке графенового типа. Такая решетка описывается взаимодействием двух подрешеток, при

этом были учтены как поступательные, так и угловые взаимодействия между массами решетки.

В статье [47] представлен аналитический метод описания распространения волн в пьезоэлектрических цилиндрических слоистых оболочках при больших деформациях. Нелинейное динамическое уравнение для рассматриваемого типа оболочек получено на основе вариационного метода минимальной потенциальной энергии (принципа Гамильтона). Отмечается, что полученные результаты могут быть использованы в методиках ультразвукового контроля и мониторинга состояния пьезоэлектрических слоистых конструкций. В [48] исследовалось распространение нелинейных акустических волн в бесконечном ортотропном тонком круглом цилиндрическом волноводе, который моделировался с использованием нелинейной теории Доннелла. Установлен диапазон частот, в пределах которого амплитудная модуляция бегущей волны определяется нелинейным уравнением Шредингера. Авторы изучали вопросы модуляционной неустойчивости и резонансные взаимодействия между первичной волной и высшими гармониками.

Нелинейные дискретные математические модели часто возникают в задачах динамики деформируемых систем, в физике и биологии. Они появляются либо в результате дискретизации физически значимых интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных, таких как уравнений Кортевега-де Вриза, синус-Гордона и нелинейного уравнения Шредингера, либо при моделировании систем, имеющих естественный дискретный характер, таких как упорядоченные атомные структуры. В первом случае возникают нелинейные решетки, которые интегрируются методом обратной задачи рассеяния [49]. Эти решетки, наиболее известными представителями которых являются решетки Абловица-Ладика, Тоды, Вольтерра и Ито-Нариты-Богоявленского [50], имеют многосолитонные решения и пары Лакса, допускают преобразования Беклунда и другие отличительные особенности. Во втором случае задача чаще всего сводится к исследованию неинтегрируемого нелинейного дифференциально-разностного уравнения. Широко распространенная техника решения дифференциально-разностных уравнений, моделирующих динамику дискретных систем, включает континуальный переход к уравнению в частных производных [46, 51]. В то же время, анализ эволюции коротковолновых возмущений в дискретных системах, характерная

длина волны которых захватывает небольшое число элементов решетки, вынуждает работать непосредственно с дифференциально-разностным уравнением.

Для многих неинтегрируемых эволюционных и квазигиперболических уравнений в частных производных за последние несколько десятилетий найдены точные уединенно-волновые и периодические решения [52]. Еще в 1990 году считалось, что «Нестационарное уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса (КдВБ) не имеет аналитических решений, и основным инструментом его исследования являются численные методы» [53]. С тех пор аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений вместе с методами построения соответствующих точных решений продвинулись далеко вперед [54]. В настоящее время для большинства интегрируемых и близких к ним уравнений, в том числе для уравнения КдВБ, построены широкие классы точных и даже квазиточных решений [18], предложено около десяти новых аналитических методов. Наибольшую популярность приобрели метод сингулярного многообразия [55] и его модификации, метод проективных уравнений Риккати [52], методы простейших уравнений, логистической функции, многоугольников (Н.А. Кудряшов и его научная школа), а также методы, изложенные в книгах А.Д. Полянина и В.Ф. Зайцева с соавторами [56]. Выбор метода решения в каждом конкретном случае определяется особенностями структуры анализируемого уравнения и классом интересующих исследователя решений. Солитоноподобные (уединенно - волновые) решения, традиционно, пользуются наибольшей популярностью.

Уравнения теории оболочек содержат несколько малых безразмерных параметров, в частности отношение толщины к радиусу кривизны. Поэтому приближенные решения этих уравнений естественным образом могут быть получены с помощью метода возмущений [57], основанного на разложении неизвестного решения по малому параметру. Метод возмущений широко применяется для решения различных задач статики и динамики деформируемых конструкций. Например, в [58] авторы исследуют влияние малых возмущений первого и второго порядка конструктивных параметров, таких как жесткость и масса, на собственные значения и собственные векторы колебаний конструкции. Попытки использовать метод возмущений для получения точных решений имеют давнюю историю. Полвека назад Р. Хирота опубликовал статью [59] с изложением прямого билинейного метода построения N - солитонных решений и преобразований Бэклунда для интегрируемых уравнений. Основная идея заключалась в том, чтобы при

помощи замены зависимой переменной привести исходное уравнение к билинейной форме, для которой ряд метода возмущений обрывается на солитонных решениях. При этом непосредственную работу с рядом метода возмущений Хирота считал бесперспективной по причине слишком медленной сходимости или даже расходимости такого ряда. В работах Ф. Ламберта и М. Мюзетт [60] было подмечено, что для нескольких известных интегрируемых уравнений ряд метода возмущений является геометрическим рядом и его сумма, которая может быть найдена при помощи аппроксимант Паде, дает точное солитонное решение уравнения. Развитая авторами концепция падеонов позволила предложить альтернативный метод нахождения N -солитонных решений.

т-ч и о

В отличие от уранений в частных производных, для неинтегрируемых нелинейных дифференциально-разностных уравнений точные решения могут быть найдены лишь в редких случаях. Так, в [61] с использованием метода обобщенных условных симметрий [62] построен дискретный аналог уравнения типа Бюргерса. Фактически из линеаризуемого (так называемого С-интегрируемого) уравнения получается линеаризуемое дифференциально-разностное уравнение с двухкинковым и двухсолитонным решениями. В [63] вводится дискретная версия линеаризуемого уравнения Экхауза, представляющая собой связанную систему двух разностных эволюционных уравнений. Эта система сводится к одному нелинейному разностному уравнению первого порядка, не имеющему точных решений и проявляющему хаотическую динамику, поэтому авторы назвали уравнение квази-интегрируемым. Анализ литературных источников показывает, что наличие точного решения нелинейного дифференциально-разностного уравнения если и не гарантирует интегрируемости, то, по крайней мере, является серьезным аргументом в пользу его наличия. Это очевидно, если точные решения получены с использованием методов обратной задачи рассеяния [49], Хироты [64], тэта-функций Римана [65], детерминанта Казорати [66] и методов представлений Пфаффа [67] или на основе преобразований Дарбу пар Лакса [68]. В то же время для интегрируемых дифференциально-разностных уравнений работают и частные методы построения точных решений: методы гиперболических касательных [69], усеченных разложений [70]. При решении неинтегрируемых дифференциально-разностных уравнений используют другие подходы, в частности, различные варианты квазинепрерывной аппроксимации [71], асимптотических методов многомасштабных

разложений [72] и аппроксимаций Паде [73]. В работе [74] формирование уединенных волн в двухатомной решетке ФПУ, предсказанное многомасштабным асимптотическим анализом, было подтверждено результатами численного моделирования. Прямое численное моделирование нелинейных дифференциально-разностных уравнений при поиске их решений используется редко. Так, в [75] на основе конечно-разностного подхода с использованием метода Ньютона-Рафсона исследованы бегущие периодические волны в решетке ФПУ.

В отсутствие точных решений возникает задача построения уединенно-волновых и периодических решений неинтегрируемых дифференциально-разностных уравнений. Решение этой задачи может быть основано на использовании методов численного моделирования или на исследовании непрерывного аналога. Во втором случае относительно благоприятна ситуация, когда непрерывным пределом дифференциально-разностного уравнения является интегрируемое уравнение в частных производных, как, например, уравнение КдВ для решеток ФПУ, Тоды или Вольтерра. Задача усложняется, если в результате континуализации возникает неинтегрируемое, но точно решаемое уравнение, например уравнение Кавахары или уравнение Кортевега-де Фриза-Бюргерса. Наиболее сложным представляется случай, когда неинтегрируемое дифференциально -разностное уравнение моделируется неинтегрируемым уравнением в частных производных, не имеющим точных решений.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Бочкарев Андрей Владимирович, 2022 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зарембо, Л. К. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах / Л. К. Зарембо, В. А. Красильников // УФН. - 1970. - Т. 102. -№4. - С. 549-586.

2. Nariboli G.A. Burgers's-Korteweg-de Vries equation for viscoelastic rods and plates / G.A. Nariboli, A. Sedov // J. Math. Analysis Appl. - 1970. - Vol. 32. - P. 661-677.

3. Энгельбрехт, Ю. К. Нелинейные волны деформации / Ю. К. Энгельбрехт, У. К. Нигул // М.: Наука. - 1981. - 256 с.

4. Островский, Л. А. Нелинейные упругие волны в стержнях / Л. А. Островский, А. М. Сутин // ПММ. - 1977. - Т.41. - Вып. 3. - С. 531-537.

5. Молотков, И. А. Нелинейные продольные волны в неоднородных стержнях / И. А. Молотков, С. А. Вакуленко // Интерференционные волны в слоистых средах.

- 1. Зап. науч. семн. ЛОМИ. - Л.: Наука. - 1980. - Т. 99. - С. 64-73.

6. Ерофеев, В. И. Волновые процессы в нелинейно-упругих средах с микроструктурой / В. И. Ерофеев // Волн. динамика машин. - М.: Наука. - 1991.

- С. 140-152.

7. Ерофеев, В. И. Солитоны огибающих при распространении изгибных волн в нелинейно-упругом стержне / В. И. Ерофеев // Акуст. журнал. - 1992. - Т. 38, Вып. 1. - С. 172-173.

8. Ерофеев, В. И. Распространение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой / В. И. Ерофеев // Прикл. механика. - 1993. - Т.29, №4. - С. 18-22.

9. Ерофеев, В. И. Плоские стационарные волны в поврежденной среде с микроструктурой / В. И. Ерофеев //Акуст. журнал. - 1994. - Т. 40, Вып. 1. - С. 67-70.

10. Самсонов, А. М. Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменного сечения / А.М. Самсонов // ДАН СССР. - 1984. - Т. 277, №2. - С. 332-335.

11. Самсонов, А. М. Уединенные продольные волны в неоднородном нелинейно-упругом стержне / А. М. Самсонов, Е. В. Сокуринская // ПММ. - 1987. - Т.51, Вып. 3. - С. 483-488.

12. Самсонов, А. М. О существовании солитонов продольной деформации в бесконечном нелинейно-упругом стержне / А. М. Самсонов // ДАН СССР. -1988. - Т. 299. - С. 1083-1086.

13. Самсонов, А. М. О возможности возбуждения солитона продольной деформации в нелинейно-упругом стержне / А. М. Самсонов, Е. В. Сокуринская // ЖТФ. - 1988. - Т. 58, Вып. 8. - С. 1632-1634.

14. Дрейден, Г.В. Наблюдение объемных солитонов деформации в слоистых стержнях из различных материалов / Г.В. Дрейден, А. М. Самсонов, И.В. Семенова // Письма в ЖТФ. - 2014. - Т. 40, № 24. - С. 107-111.

15. Дрейден, Г.В. Наблюдение излучающего объемного солитона деформации в твердотельном волноводе / Г. В. Дрейден, А. М. Самсонов, И. В.Семенова, К.Р. Хуснутдинова // ЖТФ. - 2011. - Т. 81. - № 6. - С. 145-149.

16. Wu J. Observation of envelope solitons in solids / J. Wu, J. Wheatly, S. Putterman, I. Rudnick // Phys. Rev. Lett. - 1987. - Vol. 59, № 24. - P. 2744-2747.

17. Ерофеев, В. И. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках (обзор) / В. И. Ерофеев, Н. В. Клюева // Акуст. журн. - 2002. - Т. 48, № 6. - С. 725-740.

18. Кудряшов, Н. А. Методы нелинейной математической физики / Н. А. Кудряшов // Долгопрудный: Изд. дом "Интеллект", 2010. - 368 c.

19. Бобровницкий, Ю. И. Акустический метаматериал с необычными волновыми свойствами / Ю. И. Бобровницкий // Акуст. журн. - 2014. - Т. 60, № 4. - С. 347355.

20. Гендельман, О. В. Точные солитоноподобные решения в обобщенных динамических моделях квазиодномерного кристалла / О.В. Гендельман, Л. И. Маневр // ЖЭТФ. - 1997. - Т. 112, № 4(10). - С. 1510-1515.

21. Khusnutdinova K. R. Initial-value problem for coupled Boussinesq equations and a hierarchy of Ostrovsky equations / K. R. Khusnutdinova, K. R. Moore // Wave Motion. - 2011. - V. 48. - P. 738-752.

22. Мартынов, А. В. Качественный анализ продольных вибрационных колебаний в тонкой пластине / А. В. Мартынов // Избр. вопр. алгебры, геометрии и дискр. математики / МГУ. - Мех.-мат. фак. - М., 1992.

23. Потапов, А. И. Квазиплоский пучок нелинейных продольных волн в пластине /

A. И. Потапов, И. Н. Солдатов // Акуст. журн. - 1984. - Т. 30, вып. 6. - С. 819822.

24. Кившарь, Ю. С. Сдвиговые солитоны в упругой пластине / Ю. С. Кившарь, Е. С. Сыркин // Акуст. журн. - 1991. - Т. 37, Вып. 1. - С. 104-109.

25. Planat M. Observation of soliton-like envelope modulations generated in an anisotropic quartz plate by metallic interdigital transducers / M. Planat, M. Hoummady // Appl. Phys. Lett. - 1989. - V. 55, N.2. - P. 103.

26. Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates / M. Amabili. -Cambridge: Cambridge University Press, 2008.

27. Thompson J. M. T. Advances in shell buckling: theory and experiments / J. M. T. Thompson // Int. J. Bifurc. Chaos. - 2015. - Vol. 25(1). - 1530001.

28. Erofeev V. I. General relations for waves in one-dimensional elastic systems. / V. I. Erofeev, E. E. Lisenkova // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 2013.-Vol. 77, Iss. 2.- P. 230-234.

29. Kaplunov J. D. Dynamics of Thin Walled Elastic Bodies / J. D. Kaplunov, L.Yu. Kossovich, E.V. Nolde. - San Diego: Academic Press, 1998.

30. Andrianov I. Methods of Asymptotic Analysis and Synthesis in Nonlinear Dynamics and Mechanics of Solids / I. Andrianov, J. Awrejcewicz. - Moscow-Izhevsk: Institute of Computer Researches, 2013.

31. Tomczyk B. Micro-vibrations and wave propagation in biperiodic cylindrical shells /

B. Tomczyk, A. Litawska // Mech. Mech. Eng. - 2018. - Vol. 22(3). - 789-807.

32. Ерофеев, В. И. Волны в стержнях: дисперсия, диссипация, нелинейность / В. И. Ерофеев, В. В. Кажаев, Н. П. Семерикова. - М.: Физматлит, 2002. - 208 с.

33. Порубов, А. В. Локализация нелинейных волн деформации. Асимптотические и численные методы исследования / А. В. Порубов. - М.: Физматлит, 2009. - 208 с.

34. Ковригин Д.А. Нелинейные многоволновые взаимодействия в тонкостенных элементах конструкций: Дис. ... д-ра техн. наук: 01.02.06: М., 2004. - 215 с.

35. Землянухин, А. И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках: солитоны, симметрии, эволюция / А.И. Землянухин, Л.И. Могилевич. - Саратов,1999. -132 с.

36. Lim C.W. Wave propagation in carbon nanotubes: Nonlocal elasticity induced stiffness and velocity enhancement effects / Lim C.W., Yang Y. // J. Mech. Mater. Struct. - 2010. - Vol. 5, №. 3 - P. 459-476.

37. Muc A. Free vibrations of carbon nanotubes with defects / A. Muc, A. Banas, M. Chwal // Mech. and Mechan. Eng. - 2013. - Vol. 17 - P. 157-166.

38. Taj M., Zhang J. Analysis of wave propagation in orthotropic microtubules embedded within elastic medium by Pasternak model / M. Taj, J. Zhang. // J. Mech. Behav. Biomed. Mater. - 2014. - Vol. 30. - P. 300-305.

39. Smirnov V. Nonlinear optical vibrations of single-walled carbon nanotubes. 1. Energy exchange and localization of low-frequency oscillations / V. Smirnov, L. Manevitch, M. Strozzi, F. Pellicano // Phys. D. Nonlinear Phenom. - 2016. - Vol. 325. - P. 113125.

40. Alijani F. Non-linear vibrations of shells: A literature review from 2003 to 2013 / F. Alijani, M. Amabili // M. Int. J. Non-Lin. Mech. - 2014. - Vol. 58. - P. 233-257.

41. Avramov K. V. Asymptotic analysis of nonlinear dynamics of simply supported cylindrical shells / K. V. Avramov, Yu. Mikhlin, V. Kurilov // E. Nonlinear Dyn. -2007.- Vol. 47. - P. 331-352.

42. Xiaoxia Bian Global bifurcations and chaos of a composite laminated cylindrical shell in supersonic air flow / Bian Xiaoxia, Chen Fangqi, An. Fengxian // Nonlinear Dyn. - 2019. - Vol. 96. - P. 1095-1114.

43. Yan-Gao Hu. Nonlocal shell model for elastic wave propagation in single- and doublewalled carbon nanotubes / Hu Yan-Gao, K. M. Liew, Q. Wang, X. Q. He., B. I. Yakobson // J. Mech. Phys. Solids. - 2008. - Vol.56. - P. 3475-3485.

44. Shvartz A. Evolution of bulk strain solitons in cylindrical inhomogeneous shells / A. Shvartz, A. Samsonov, G. Dreiden, I. Semenova // AIP Conf. Proc. - 2015. - Vol. 1685. - 070014.

45. Samsonov A. M. Longitudinal-strain soliton focusing in a narrowing nonlinearly elastic rod / A. M. Samsonov, G. V. Dreiden, A. V. Porubov, I. V. Semenova. Phys. Rev. B. - 1998. - Vol.57(10). - P. 5778.

46. Porubov A.V. Double dispersion equation for nonlinear waves in a graphene-type hexagonal lattice / A.V. Porubov, A.E. Osokina // Wave Motion. - 2019. - Vol. 89. -P. 185-192.

47. Dong K. Wave propagation characteristics in piezoelectric cylindrical laminated shells under large deformation / K. Dong, X.Wang // Compos. Struct. - 2007. - Vol.77. - P. 171-181.

48. Vijay Prakash S.Weakly nonlinear acoustic wave propagation in a nonlinear orthotropic circular cylindrical waveguide / Prakash S.Vijay, Sonti R.Venkata // J. Acoust. Soc. Am. - 2015. - Vol.138. - P. 3231.

49. Ablowitz M.J. Nonlinear differential-difference equations / M.J. Ablowitz, J.F. Ladik // J. Math. Phys. - 1975.- Vol. 16. - P. 598.

50. Shabat A.B. (Ed.) Encyclopedia of Integrable Systems / A.B. Shabat. - M.: L.D. Landau Institute for Theoretical Physics, 2010.

51. Porubov A.V. On nonlinear modeling of an acoustic metamaterial / A.V. Porubov, E. Grekova // Mechanics Research Communications. - 2020. - Vol. 103. - P. 103464.

52. Conte R. The Painlevé Handbook / R. Conte, M. Musette. - New York: Springer, 2008.

53. Накоряков, В. Е. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред / В. Е. Накоряков, Б. Г. Покусаев, И. Р. Шрейбер. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 77с.

54. Кудряшов, Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений / Н.А. Кудряшов. - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. -360 с.

55. Weiss J. G. The Painleve property for partial differential equations / J. Weiss, M. Tabor, G. Carnevalle // J. Math. Phys. -1983. - Vol. 24. - P. 522 - 526.

56. Зайцев, В. Ф. Справочник. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. - М.: Физматлит, 2003. - 416 с.

57. Nayfeh A. H. Perturbation Methods / A. H. Nayfeh. - New-York: Wiley-Interscience, 1973.

58. Qiu Z. A direct-variance-analysis method for generalized stochastic eigenvalue problem based on matrix perturbation theory / Z. Qiu, H. Qiu // Sci. China Technol. Sci. - 2014. - Vol. 57. - P. 238-1248.

59. Hirota R. Exact solution of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitons / R. Hirota // Phys. Rev. Lett. - 1971. - Vol. 27. - P. 1192-1194.

60. Lambert F. Solitary waves, padeons and solitons / F. Lambert, M. Musette // In: Werner H., Bunger H.J. (eds) Padé Approximation and its Applications Bad Honnef 1983. Lecture Notes in Mathematics, Berlin: Springer. - 1984. - Vol. 1071. - P. 197-212.

61. Common A. K. Exact solutions of nonintegrable lattice equations / A. K. Common, M. Musette // J. Phys. A Math. Gen. - 2001. - Vol. 34. - P.10401-10410.

62. Fokas A. S. Generalized conditional symmetries and exact solutions of nonintegrable equations / A. S. Fokas, Q. M. Liu // Math. Theor. Phys. - 1994. - Vol. 99. - P. 263277.

63. Ablowitz M. J. On a "quasi" integrable discrete Eckhaus equation / M. J. Ablowitz, C. D. Ahrens, S. De Lillo // J. Nonlinear Math. Phys. - 2005. - Vol.12 (Suppl. 1). - P. 1 - 12.

64. Silindir B. Soliton solutions of q-Toda lattice by Hirota direct method / B. Silindir // Adv. Differ. Equ. - 2012. - P.121.

65. Krichever I. Elliptic solutions to difference non-linear equations and related many-body problems / I. Krichever, P. Wiegmann, A. Zabrodin // Commun. Math. Phys. -1998. - Vol. 193. - P. 373-396.

66. Ohta Y. A discrete KdV equation and its Casorati determinant solution / Y. Ohta, R. Hirota // J. Phys. Soc. Jpn. - 1991. - Vol. 60. - P.2095.

67. Tsujimoto S. Pfaffian representation of solutions to the discrete BKP hierarchy in bilinear form / S. Tsujimoto, R. Hirota // J. Phys. Soc. Jpn. - 1996. - Vol.65. - P. 2797 - 2806.

68. Levi D. The inhomogeneous Toda lattice: Its hierarchy and Darboux-Backlund transformations / D. Levi, O. Ragnisco // J. Phys. A. - 1991. - Vol. 24. - P.1729-1739.

69. Baldwin D. Symbolic computation of hyperbolic tangent solutions for nonlinear differential-difference equations / D. Baldwin, U. Goktas, W. Hereman // Comput. Phys. Commun. - 2004. - Vol.162. - P. 203-217.

70. Ryabov P.N. Exact solutions of the Kudryashov-Sinelshchikov equation / P.N. Ryabov // Appl. Math. Comput. - 2010. - Vol. 217. - P. 3585-3590.

71. Wattis J.A.D. Solitary waves in a diatomic lattice: Analytic approximations for a wide range of speeds by quasi-continuum methods / J.A.D. Wattis // Phys. Lett. A. - 2001. - Vol. 284. - P. 16-22.

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

Awrejcewicz J. Asymptotic approaches in nonlinear dynamics: new trends and applications / J. Awrejcewicz, I.V. Andrianov, L.I. Manevitch.- Berlin: Springer, 1998.

Katz S. Solitary waves in a nonintegrable chain with double-well potentials / S. Katz, S. Givli // Phys. Rev. E. - 2019. - Vol. 100. - 032209.

Starosvetsky Y. Solitary waves in FPU lattices with alternating bond potentials / Y. Starosvetsky, A. Vainchtein // Mech. Res. Commun. - 2018. - V. 93. - P. 148-153. Rodriguez-Achach M. Periodic traveling waves in nonlinear chains / M. Rodriguez-Achach, G. Perez // Rev. Mex. Fis. - 1996. - Vol. 42. - P. 878-896. Fermi E. Studies of nonlinear problems / E. Fermi, J.R. Pasta, S.M. Ulam // Los Alamos Natl. Lab. Report LA-1940, 1955; Reprinted in Collected Papers of Enrico Fermi, Chicago: Univ. Chicago Press, 1965. - P. 978-988.

Zabusky N.J. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states / N.J. Zabusky, M.D. Kruskal // Phys. Rev. Lett. - 1965. - Vol. 15. - P.57-62.

Pereira N.R. Soliton in the damped nonlinear Schrodinger equation / N.R. Pereira, L. Stenflo // Phys. Fluids. - 1976. - Vol. 20. - P. 1735- 1740.

Christov C.I. Dissipative solitons / C.I. Christov, M.G. Velarde // Physica D. - 1995. - Vol. 86. - P. 323.

Toda M. Theory of nonlinear lattices / M. Toda. - Berlin: Springer, 1989.

Morse P.M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational

levels / P.M. Morse // Phys. Rev. - 1929. - Vol. 34. - P.57-64.

Jones J.E. On the determination of molecular fields. I. From the variation of the

viscosity of a gas with temperature / J.E. Jones // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1924. - Vol.

106. - P. 441-462.

Ablowitz M.J. Nonlinear differential-difference equations and Fourier analysis / M.J. Ablowitz, J.F. Ladik // J. Math. Phys. - 1976. - Vol. 17. - P.1011-1018. Nekorkin V.I. Synergetic phenomena in active lattices. Patterns, waves, solitons, chaos / V.I. Nekorkin, M.G. Velarde. - Berlin: Springer, 2002.

Schweitzer F. Brownian agents and active particles: collective dynamics in the natural and social sciences / F. Schweitzer. - Berlin: Springer, 2003.

86. Chetverikov A.P. Dissipative solitons and metastable states in a chain of active particles / A.P. Chetverikov, K.S. Sergeev, E. del Rio // Int. J Bifurcation Chaos. -2018. - Vol. 28. - 1830027.

87. Argentina M. Head-on collisions of waves in an excitable FitzHugh-Nagumo system: a transition from wave annihilation to classical wave behavior / M. Argentina, P. Coullet, V. Krinsky // J. Theor. Biol. - 2000. - Vol. 205. - P. 47.

88. Fodor E. The statistical physics of active matter: From self-catalytic colloids to living cells / E. Fodor, M.C. Marchetti // Physica A. - 2018. - Vol. 504. - P. 106.

89. Kaiser A. How does a flexible chain of active particles swell? / A. Kaiser, S. Babel, B. ten Hagen, et al. // J. Chem. Phys. - 2015. - Vol. 142. - P. 124905.

90. Thomson S.J. Collective vibrations of a hydrodynamic active lattice / S.J. Thomson, M. Durey, R.R. Rosales // Proc. R. Soc. A. - 2020. - Vol. 476. - 20200155.

91. Klamser P.P. Impact of variable speed on collective movement of animal groups / P.P. Klamser, L. Gomez-Nava, T. Landgraf, et al. // arXiv:2106.00959v1 [physics.bio-ph] 2021.

92. Safaei S. Asymmetric assembly of Lennard-Jones Janus dimers / S. Safaei, C. Todd, J. Yarndley, et al. // arXiv:2102.11424v1 [cond-mat.soft] 2021.

93. Strutt J.W. The theory of sound / J.W. Strutt, Lord Rayleygh // Original 1894, Vol. I, Sec. 68a, New York: Dover reprint, 1941.

94. Sergeev K.S. Dissipative discrete breathers in a chain of Rayleigh oscillators / K.S. Sergeev, A.P. Chetverikov, E. del Rio // Nonlinear Dyn. - 2020. - Vol. 102. - P. 18131823.

95. Chetverikov A.P. Nonlinear excitations and electric transport in dissipative Morse-Toda lattices / A.P. Chetverikov, W. Ebeling, M.G. Velarde // Eur. Phys. J. B. - 2006. - Vol. 51. - P. 87-99.

96. Sergeev K.S. Metastable states in the Morse-Rayleigh chain / K.S. Sergeev, A.P. Chetverikov // Russ. J. Nonlinear Dyn. - 2016. - Vol. 12(3). - P. 341-353.

97. Gardner C.S. Method for solving the Korteweg-deVries equation / C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura // Physical review letters. -1967. - Vol. 19. - P. 1095-1097.

98. Бочкарев, А.В. Метод геометрического ряда построения точных решений нелинейных эволюционных уравнений / А.В. Бочкарев, А.И. Землянухин //

Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2017. - Т. 57, № 7. - С. 1113-1125.

99. Бейкер Дж. Аппроксимации Паде. Пер. с англ. / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис.

- М.: Мир, 1986. - 502 с.

100. Землянухин А.И. Непрерывные дроби, метод возмущений и точные решения нелинейных эволюционных уравнений / А.И. Землянухин, А.В. Бочкарев // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. -2016.

- Т. 24, № 4. - С. 71-85.

101. Bender C.M. Continued fraction as a discrete nonlinear transform / C.M. Bender, K.A. Milton // J. Math. Phys. - 1994. - Vol. 35, № 1. - P. 364-367.

102. Cohen H. Numerical Approximation Methods / H. Cohen. - New York: SpringerVerlag, 2011.

103. Khovansky A.N. Applications of continued fractions and their generalization to problems in approximation theory / A.N. Khovansky. - Groningen: P. Noordhoff N.V., 1963.

104. Meshkov A.G. Integrable evolution equations with the constant separant / A.G. Meshkov, V.V. Sokolov // Ufa Math. J. - 2012. - Vol. 4, № 3. - P. 104-153.

105. Землянухин, А.И. Метод Ньютона построения точных решений нелинейных дифференциальных и неинтегрируемых эволюционных уравнений / А.И. Землянухин, А.В. Бочкарев // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. - 2017. - Т. 25, № 1. - С. 64-83.

106. Сазонов, С.В. Оптические солитоны в средах из двухуровневых атомов / С.В. Сазонов // Науч.-техн. вестник инф. технологий, механики и оптики. - 2013. -Вып. 5(87). - С. 1-22.

107. Conte R. Link between solitary waves and projective Riccati equations / R. Conte, M. Musette // J. Phys. A: Math. Gen. - 1992. - Vol. 25. - P. 5609-5623.

108. Baikov V.A. Formal linearization and exact solutions of some nonlinear partial differential equations / V.A. Baikov, K.R. Khusnutdinova // Nonlinear Mathematical Physics. - 1996. - Vol. 3, № 1-2. - P. 139-146.

109. Ибрагимов, Н.Х. Группы преобразований в математической физике / Н.Х. Ибрагимов. - М.: Наука, 1983. - 280 с.

110. Banerjee P. P. A straightforward method for finding implicit solitary wave solutions of nonlinear evolution and wave equations / P. P. Banerjee, F. Daoud, W. Hereman // J. Phys. A: Math. Gen. - 1990. - Vol. 23. - P. 521-536.

111. Kazeminia M. Solitary and periodic solutions of BBMB equation via exp-function method / M. Kazeminia, P. Tolou, J. Mahmoudi, I. Khatami // Adv. Studies Theor. Phys. - 2009. - Vol. 3(12). - P. 461-471.

112. Гандариас, М.Л. Симметрийный анализ и точные решения для некоторых уравнений Островского / М.Л. Гандариас, М.С. Брузон // ТМФ. - 2011. - Т. 168, №1. - С. 49-64.

113. Kudryashov N.A. Exact solutions of the generalized Bretherton equation / N.A. Kudryashov, D.I. Sinelshchikov, M.V. Demina. // Phys. Lett. A. - 2011. - Vol. 375.-P.1074-1079.

114. Арнольд, В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук - первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. Серия "Современная математика для студентов" / В.И. Арнольд. - Москва: Наука, 1989. - 96 с.

115. Демина, М.В. Метод многоугольников для построения точных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений для описания волн на воде / М.В. Демина, Н.А. Кудряшов, Д.И. Синельщиков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2008. - Т. 48, № 12. - C. 2151-2162.

116. Khovanskii A.G. The Geometry of formulas. Singularities of functions, wave fronts, caustics and multidimensional integrals / A.G. Khovanskii // Math. Phys. Rev., vol. 4 / ed. V.I. Arnold at al. - New York: Harwood, 1984. - P. 67-92.

117. Беркович, Л.М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений. Методы и приложения / Л.М. Беркович. - Москва: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. - 464 с.

118. Землянухин, А.И. Уединенные волны квазигиперболического уравнения 4-го порядка с нелинейностью 5-й степени / А.И. Землянухин, А.В. Бочкарев, Ю.А. Блинков, И.А. Ковалева, А.Ю. Блинкова // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. - 2016. - № 3.

119. Zemlyanukhin A.I. Axisymmetric longitudinal-bending waves in a cylindrical shell interacting with a nonlinear elastic medium / A.I. Zemlyanukhin, A.V. Bochkarev, L.I.

Mogilevich, E.G.Tindova // Modelling and Simulation in Engineering. - 2016. - Vol. 2016. - Article ID 6596231.

120. Бочкарев, А.В. Точные уединенные, периодические и рациональные решения нелинейного дифференциального уравнения второго порядка / А.В. Бочкарев, А.И. Землянухин, А.В. Ратушный // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. - 2020. - №4.

121. Ватсон, Дж.Н. Курс современного анализа. Часть 2. Трансцендентные функции / Дж.Н. Ватсон, Э.Т. Уиттекер. - М.: Мир, 1963.

122. Астапова, Е.С. Несколько примеров квадратичного суммирования степенных рядов / Е.С. Астапова, Н.С. Астапов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2003. - №6. - C. 23-27.

123. Землянухин, А.И. Нелинейное суммирование степенных рядов и точные решения эволюционных уравнений / А.И. Землянухин, А.В. Бочкарев // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2018. - № 1. - С. 34-41.

124. Haragus M. Stability of wave trains in the Kawahara equation / M. Haragus, E. Lombardi, A. Scheel // J. Math. Fluid Mech. - 2006. - № 8. - P. 482-509.

125. Berloff N.G. Solitary and periodic solutions of nonlinear nonintegrable equations / N.G. Berloff, L.N. Howard // Studies in Applied Mathematics. - 1997. - Vol. 99(1). -P. 1-24.

126. Garifullin R.N. Classification of five-point differential-difference equations II. / R.N. Garifullin, R.I. Yamilov, D. Levi // J. Phys. A: Math. Theor. - 2018. - Vol. 51. -065204.

127. Gubbiotti G. Algebraic entropy of a class of five-point differential-difference equations / G. Gubbiotti // Symmetry. - 2019. - Vol. 11(3). - P. 432.

128. Yamilov R. Symmetries as integrability criteria for differential-difference equations / R. Yamilov // J. Phys. A: Math. Gen. - 2006. - Vol. 39. - R541-R623.

129. Adler V.E. Integrable Möbius invariant evolutionary lattices of second order / V.E. Adler // arXiv: 1605.00018 (2016).

130. Ablowitz M.J. Discrete and continuous nonlinear Schrödinger systems / M.J. Ablowitz, B. Prinari, A.D. Trubatch. - Cambridge: Cambridge U.P., 2004.

131. Ньютон, И. Математические работы. Пер. с лат. Д.Д. Мордухай-Болтовского / И. Ньютон. - Москва-Ленинград: ОНТИ, 1937. - 478 с.

132. Буллаф, Р.К. Солитоны.: Пер. с англ. / Р.К. Буллаф, П.Дж. Кодри. - М.: Мир, 1981. - 408 с.

133. Конт, Р.М. Метод Пенлеве и его приложения / Р.М. Конт, М. Мюзетт. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. - 340 с.

134. Lambert F. Pade approximants and closed form solutions of the KdV and MKdV equations / F. Lambert // Z. Phys. C - Particles and Fields. - 1980. - № 5. - P. 147150.

135. Lambert F. Solitons and poles in the nonlinearity parameter / F. Lambert, M. Musette // Z. Phys. C - Particles and Fields. - 1981. - № 10. - P. 357-362.

136. Lambert F. Solitons from a direct point of view: padeons / F. Lambert, M. Musette // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 1986. - № 15. - P. 235-249.

137. Hereman W. Exact solitary wave solutions of non-linear evolution and wave equations using a direct algebraic method / W.Hereman, P. P. Banerjee, A. Korpel, G. Assanto, A. van Immerzeele, A. Meerpoel // J. Phys. A: Math. Gen. - 1986. - Vol. 19. - P. 607628.

138. Ерофеев, В.И. Волны в стержнях: дисперсия, диссипация, нелинейность / В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, Н.П. Семерикова - М.: Физматлит, 2002. - 208 с.

139. Землянухин, А.И. Нелинейные волны в неоднородных цилиндрических оболочках: новое эволюционное уравнение / А.И. Землянухин, Л.И. Могилевич // Акустический журнал. - 2001. - Т. 47, № 3. - С. 359-363.

140. Землянухин, А.И. Осесимметричные нелинейные модулированные волны в цилиндрической оболочке / А.И. Землянухин, А.В. Бочкарев // Акустический журнал. - 2018. - Т. 64, № 4. - С. 417-423.

141. Вольмир, А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир. -М.: Наука, 1972. - 432 с.

142. Филин, А.П. Элементы теории оболочек / А.П. Филин. - Л.: Стройиздат, 1984. -384 с.

143. Островский, Л.А. Введение в теорию модулированных волн / Л.А. Островский, А.И. Потапов. - М.: Физматлит, 2003. - 400 с.

144. Smirnov V.V. The radial breathing mode in CNT - the nonlinear theory of the resonant energy exchange / V.V. Smirnov, L.I. Manevitch, M. Strozzi, F. Pellicano // arXiv preprint, 2015. - arXiv:1502.07081.

145. Grimshaw R. Solitary waves with damped oscillatory tails: an analysis of the fifth-order Korteweg-de Vries equation / R. Grimshaw, B. Malomed, E. Benilov // Physica D. - 1994. - Vol. 77. - P. 473-485.

146. Рыскин, Н.М. Нелинейные волны / Н.М. Рыскин, Д.И. Трубецков. - М.: Наука, Физматлит, 2000. - 272 с.

147. Grimshaw R. Formation of wave packets in the Ostrovsky equation for both normal and anomalous dispersion / R. Grimshaw, Yu. Stepanyants, A. Alias // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Science. - 2016. - Vol. 472. - 20150416.

148. Parkes E.J. The modulation of weakly non-linear dispersive waves near the marginal state of instability / E.J. Parkes // J. Phys. Math. Gen. - 1987. - № 20. - P. 2025-2036.

149. Modulation instability of flexural waves in cylindrical shells: modified criterion / A.V. Bochkarev, V.I. Erofeev, A.I. Zemlyanukhin // Dynamical Processes in Generalized Continua and Structures. Advanced Structured Materials / Eds. H. Altenbach et al. -Cham: Springer, 2019, Vol. 103 - P. 119-132.

150. Shvartz A. Evolution of bulk strain solitons in cylindrical inhomogeneous shells / A. Shvartz, A. Samsonov, G. Dreiden, I. Semenova. // AIP Conference Proceedings. -2015. - Vol. 1685. - 070014.

151. Dong K. Wave propagation characteristics in piezoelectric cylindrical laminated shells under large deformation / K. Dong, X. Wang. // Composite Structures. - 2007. - Vol. 77. - P. 171-181.

152. Hu Yan-Gao. Nonlocal shell model for elastic wave propagation in single- and doublewalled carbon nanotubes / Yan-Gao Hu, K.M. Liew, Q. Wang, X.Q. He, B.I. Yakobson // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. - 2008. - Vol. 56. - P. 3475-3485.

153. Zemlyanukhin A.I. The generalized Schamel equation in nonlinear wave dynamics of cylindrical shells / A.I. Zemlyanukhin, A.V. Bochkarev, L.I. Mogilevich, I.V. Andrianov // Nonlinear Dynamics. - 2019. - Vol. 98, № 1. - P. 185-194.

154. Andrianov I.V. Homogenization of a 1D nonlinear dynamical problem for periodic composites / I.V. Andrianov, V.V. Danishevs'kyy, H. Topol, D. Weichert // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. - 2011. - Vol. 91(6). - P. 523-534.

155. Craster R.V. Bloch dispersion and high frequency homogenization for separable doubly-periodic structures / R.V.Craster, J. Kaplunov, E. Nolde, S. Guenneau // Wave Motion. - 2012. - Vol. 49(2). - P. 333-346.

156. Лукаш, П.А. Основы нелинейной строительной механики / П.А. Лукаш. - М.: Стройиздат, 1978. - 204 с.

157. Jones R.M. Deformation theory of plasticity / R.M. Jones. - Blacksburg: Bull Ridge Publishing, 2009.

158. Van Dyke M. Perturbation methods in fluid mechanics / M. Van Dyke. - Stanford: The Parabolic Press, 1975.

159. Ablowitz M. J. Solitons and the inverse scattering transform / M.J. Ablowitz, H. Segur.

- SIAM Studies in Applied Mathematics (Vol. 4). - Philadelphia: SIAM, 1981.

160. Singh V.K. Experimental determination of mechanical and physical properties of almond shell particles filled biocomposite in modified epoxy resin / V.K. Singh, G. Bansal, M. Agarwal, P. Negi // J. Material. Sci. Eng. - 2016. - Vol. 5(3). - P. 246.

161. Schamel H. A modified Korteweg-de Vries equation for ion acoustic waves due to resonant electrons / H. Schamel // J. Plasma Phys. - 1973. - № 9. - P. 377-387.

162. Erofeev V. Inelastic interaction and splitting of strain solitons propagating in a rod / V. Erofeev, V. Kazhaev, I. Pavlov // J. Sound Vib. - 2018. - Vol. 419. - P. 173-182.

163. Gendelman O. Exact soliton-like solutions in generalized dynamic models of quasi-one dimensional crystal / O. Gendelman, L. Manevitch // J. Exp. Theor. Phys. - 1997.

- Vol. 85. - P. 824-826.

164. Alias A. Coupled Ostrovsky equations for internal waves in a shear flow / A. Alias, R. Grimshaw, K. Khusnutdinova // Phys. Fluids - 2014. - Vol. 26. - 126603.

165. Nikitina N. An ultrasonic method for measuring stresses in engineering materials / N. Nikitina, L. Ostrovsky // Ultrasonics. - 1998. - Vol. 35(8). - P. 605-610.

166. Motova Y. Experimental investigation by ultrasound of engineering materials behavior under the cyclic loading / Y. Motova, N. Nikitina // Mater. Phys. Mech. - 2016. - Vol. 28. - P. 43-47.

167. Nazarov V. Nonlinear wave processes in an acoustic marble resonator / V. Nazarov, A. Kolpakov, A. Radostin // Fiz. Mezomekh. - 2010. - Vol. 13(2). - P. 41-53.

168. Zemlyanukhin A.I. The Schamel-Ostrovsky equation in nonlinear wave dynamics of cylindrical shells / A.I. Zemlyanukhin, A.V. Bochkarev, I.V. Andrianov, V.I. Erofeev // Journal of Sound and Vibration. - 2021. - Vol. 491. - P. 115752.

169. Starink M. Shear lag models for discontinuous composites: Fibre end stresses and weak interface layers / M. Starink, S. Syngellakis // Mater. Sci. Eng. A. - 1999. - Vol. 270(2). - P. 270-277.

170. Dillard D. A review of Winkler's foundation and its profound influence on adhesion and soft matter applications / D. Dillard, B. Mukherjee, P. Karnal, J. Frechette // Soft Matter. - 2018. - Vol. 14(19). - P. 3669-3683.

171. Ostrovsky L. Nonlinear internal waves in a rotating ocean / L. Ostrovsky // Oceanology. - 1978. - Vol. 18. - P. 119-125.

172. Stepanyants Y. Nonlinear waves in a rotating ocean (the Ostrovsky equation and its generalizations and applications) / Y. Stepanyants // Izv. Atmos. Ocean Phys. - 2020. - Vol. 56. - P. 16-32.

173. Ostrovsky L. Asymptotic perturbation theory of waves / L. Ostrovsky. - London: Imperial College Press, 2014.

174. Galkin V. On the existence of stationary solitary waves in a rotating fluid / V. Galkin, Y. Stepanyants // J. Appl. Math. Mech. - 1991. - Vol. 55. - P. 939-943.

175. Grimshaw R. The reduced Ostrovsky equation: integrability and breaking / R. Grimshaw, K. Helfrich, E. Johnson // Stud. Appl. Math. - 2012. - Vol. 129(4). - P. 414-436.

176. Stepanyants Y. On stationary solutions of the reduced Ostrovsky equation: periodic waves, compactons and compound solitons / Y. Stepanyants // Chaos Soliton Fract. -2006. - Vol. 28. - P. 193-204.

177. Obregon M. On numerical solution of the Gardner-Ostrovsky equation / M. Obregon, Y. Stepanyants // Math. Model. Nat. Phenom. - 2012. - Vol. 7(2). - P. 113-130.

178. Alvarez J. Petviashvili type methods for traveling wave computations: I. analysis of convergence / J. Alvarez, A. Duran // J. Comput. Appl. Math. - 2014. - Vol. 266. - P. 39-51.

179. Berezin Y. Modelling nonlinear wave processes / Y. Berezin. - Utrecht: VNU Science Press, 1987.

180. Пастернак, П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели / П.Л. Пастернак. - М.: Госстройиздат, 1954.

181. Hetenyi M. Beams on elastic foundation: theory with applications in the fields of civil and mechanical engineering / M. Hetenyi. - Ann Arbor: University of Michigan Press, 1946.

182. Кирхгоф, Г. Механика. Лекции по математической физике. 2-е изд. / Г. Кирхгоф Г. - М.: Эдиториал УРСС, 2006. - 392 с.

183. Кубенко, В. Д. Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек / В. Д. Кубенко, П. С. Ковальчук, Т. С. Краснопольская. - Киев: Наук, думка, 1984. - 220 с.

184. Timoshenko S.P. Theory of plates and shells / S.P. Timoshenko, S. Woinowsky-Krieger. - New York: McGraw-Hill, 1959.

185. Zemlyanukhin A.I. Axisymmetric longitudinal-bending waves in a cylindrical shell interacting with a nonlinear elastic medium / A.I. Zemlyanukhin, A.V. Bochkarev, L.I. Mogilevich, E.G. Tindova // Modelling and Simulation in Engineering. - 2016. - Vol. 2016. - P. 6596231.

186. Землянухин, А.И. Уединенные продольно-изгибные волны в цилиндрической оболочке, взаимодействующей с нелинейно-упругой средой / А.И. Землянухин, А.В. Бочкарев, Л.И. Могилевич // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия Естественные науки. - 2018. - № 1 (76). - С. 47-60.

187. Ostrovsky L. Beyond the KdV: Post-explosion development / L. Ostrovsky, E. Pelinovsky, V. Shrira, Y. Stepanyants // Chaos. - 2015. - Vol. 25. - 097620.

188. Grimshaw R.H.J. Emergence of envelope solitary waves from initial localized pulses within the Ostrovsky equation / R.H.J. Grimshaw, Y.A. Stepanyants // Radiophys. Quantum Electron. - 2020. - Vol. 63(1). - P. 21-28.

189. Ерофеев, В.И. Несинусоидальные изгибные волны в балке Тимошенко, лежащей на нелинейноупругом основании / В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, Е.Е. Лисенкова,

Н.П. Семерикова // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2008. -№ 3. - C. 30-36.

190. Xu X.-X. Solving an integrable coupling system of Merola-Ragnisco-Tu lattice equation by Darboux transformation of Lax pair / X.-X. Xu // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simul. - 2015. - Vol. 23. - P. 192-201.

191. Zemlyanukhin A.I. Geometric series method and exact solutions of differential-difference equations / A.I. Zemlyanukhin, A.V. Bochkarev, A.A. Orlova, A.V. Ratushny // In: Abramian AK, Andrianov IV, Gaiko VA (eds) Nonlinear Dynamics of Discrete and Continuous Systems. Advanced Structured Materials. - 2021. - Vol. 139.

- P.239-253.

192. Yamilov R.I. On classification of discrete evolution equations / R.I. Yamilov // Uspekhi Mat. Nauk. - 1983. - Vol. 38. - P. 155-156.

193. Adler V.E. On a discrete analog of the Tzitzeica equation / V.E. Adler // arXiv 2011, arXiv:1103.5139v1.

194. Sawada K. A method for finding n-soliton solutions of the KdV equation and KdV-like equations / K. Sawada, T. Kotera // Progr. Theor. Phys. - 1974. - Vol. 51. - P. 1355-1367.

195. Adler V.E. Volterra chain and Catalan numbers / V.E. Adler, A.B. Shabat // JETP Lett.

- 2018. - Vol. 108. - P. 825-828.

196. Shabat A.B. Some exact solutions of the Volterra lattice / A.B. Shabat // Theor. Math. Phys. - 2019. - Vol. 201. - P. 1442-1456.

197. Sloane N.J.A. The On-line encyclopedia of integer sequences / N.J.A. Sloane // Available online: https://oeis.org/

198. Kudryashov N.A. Be careful with the Exp-function method / N.A. Kudryashov, N.B. Loguinova // arXiv 2010, arXiv:1011.4265v1.

199. He J.H. Exp-function method for nonlinear wave equations /J.H. He, X.H. Wu // Chaos Solitons Fractals. - 2006. - Vol. 30. - P. 700-708.

200. Zhang S. Exp-function method for constructing explicit and exact solutions of a lattice equation / S. Zhang // Appl. Math.Comput. - 2008. - Vol. 199. - P. 242-249.

201. Parkes E.J. An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to non-linear evolution equations / E.J. Parkes, B.R. Duffy // Comput. Phys. Commun. -1996. - Vol. 98. - P. 288-300.

202. Vainchtein A. Solitary waves in diatomic chains / A. Vainchtein, Y. Starosvetsky, J.D. Wright, R. Perline // Phys. Rev. E. - 2016. - Vol. 93. - 042210.

203. Andrianov I. Steady solitary and periodic waves in a nonlinear nonintegrable lattice / I. Andrianov, A. Zemlyanukhin, A. Bochkarev, V. Erofeev // Symmetry. - 2020. -Vol. 12, № 10. - P. 1680.

204. Hunt G.W. Structural localisation phenomena and the dynamical phase-space analogy / G.W. Hunt, H.M. Bolt, J.M.T. Thompson // Proc. R. Soc. Lond. - 1989. - Vol. 425.

- P. 245-267.

205. Olver P. Applications of Lie groups to differential equations / P. Olver. - New York: Springer, 1993.

206. Kurkina O.E. Dynamics of solitons in a nonintegrable version of the modified Korteweg-de Vries equation / O.E. Kurkina, A.A. Kurkin, E.A. Ruvinskaya, E.N. Pelinovsky, T. Soomere // JETP Lett. - 2012. - Vol. 95. - P. 91-95.

207. Merola I. A novel hierarchy of integrable lattices / I. Merola, O. Ragnisco, G.-Z. Tu // Inverse Probl. -1994. - Vol. 10(6). - P. 1315-1334.

208. Liu Y. The exact solutions to a Ragnisco-Tu hierarchy with self-consistent sources / Y. Liu, D. Chen // Nonlin. Anal. - 2011. - Vol. 74. - P. 5223-5237.

209. Khanizadeh F. Darboux transformations and recursion operators for differential-difference equations / F. Khanizadeh, A.V. Mikhailov, J.P. Wang // Theor. Math. Phys.

- 2013. - Vol. 177(3). - P. 387-440.

210. Adler V.E. Explicit auto-transformations of integrable chains / V.E. Adler, R.I. Yamilov // Phys A: Math Gen. - 1994. - Vol. 27. - P. 477-492.

211. Wang L.L. Two-component generalized Ragnisco-Tu equation and the RiemannHilbert problem / L.L. Wang, C. Song, J. Zhu // Theor. Math. Phys. - 2020. - Vol. 205(1). - P. 1303-1317.

212. Xu X.-X. An integrable coupling family of Merola-Ragnisco-Tu lattice systems, its Hamiltonian structure and related nonisospectral integrable lattice family / X.-X. Xu // Phys. Lett. A. - 2010. - Vol. 374. - P. 401-410.

213. Butcher J.C. Numerical methods for ordinary differential equations / J.C. Butcher. -New York: John Wiley & Sons, 2008.

214. Romanczuk P. Active brownian particles. From individual to collective stochastic dynamics / P. Romanczuk, M. Bar, W. Ebeling, B. Lindner, L. Schimansky-Geier // Eur. Phys. J. Special Topics. - 2012. - Vol. 202(1). - P. 1-162.

215. Ebeling W. Active Brownian particles with energy depots modeling animal mobility / W. Ebeling, F. Schweitzer, B. Tilch // BioSystems. - 1999. - Vol. 49. - P. 17-29.

216. Schweitzer F. Complex motion of Brownian particles with energy deports / F. Schweitzer, W. Ebeling, B. Tilch // Phys. Rev. Lett. - 1998. - Vol. 80. - P. 5044-5047.

217. Scheweitzer F. Brownian agents and active particles. Collective dynamics in the natural and social sciences / F. Scheweitzer. - Berlin: Springer, 2003.

218. Van der Pol B. The nonlinear theory of electric oscillations / B. van der Pol // Proc. Institute Radio Eng. - 1934. - Vol. 22(9). - P. 1051-1086.

219. Warminski J. Nonlinear dynamics of self-, parametric, and externally excited oscillator with time delay: van der Pol versus Rayleigh models / J. Warminski // Nonlinear Dyn. - 2020. - Vol. 99. - P. 35-56.

220. Sergeev K.S. Dissipative discrete breathers in a chain of Rayleigh oscillators / K.S. Sergeev, A.P. Chetverikov, E. del Rio // Nonlinear Dyn. - 2020. - Vol. 102. - P. 18131823.

221. Bochkarev A.V. Regular dynamics of active particles in the Van der Pol - Morse chain / A.V. Bochkarev, A.I. Zemlyanukhin // Nonlinear Dynamics. - 2021. - Vol. 104. - P. 4163-4180.

222. Polyanin A.D. Handbook of ordinary differential equations: exact solutions, methods, and problems / A.D. Polyanin, V.F. Zaitsev. - London: CRC Press, Boca Raton, 2018.

223. Drazin P.G. Solitons: an introduction (2nd ed.) / P.G. Drazin, R.S. Johnson. -Cambridge: Cambridge University Press, 1989.