Симметрийный подход к классификации с точки зрения интегрируемых дифференциально-разностных уравнений: Теория преобразований тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Ямилов, Равиль Исламович

• Ямилов, Равиль Исламович
• доктор физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ямилов, Равиль Исламович

Введение

Глава 1. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений в дискретно-дифференциальном случае.

§ 1. Принципы симметрийного подхода

1.1 Высшие симметрии

1.2 Локальные законы сохранения

§ 2. Условия интегрируемости. Полные списки интегрируемых цепочек.

2.1 Уравнение Вольтерра и его обобщения

2.2 Дискретные аналоги нелинейного уравнения Шредингера и.модели Ландау-Лифшица

2.3 Предельный переход

2.4 Класс цепочки Тоды

2.5 Классификационная теорема

Глава 2. Классификация интегрируемых систем уравнений в частных производных. Системы типа Шредингера.

§ 3. Условия интегрируемости.

3.1 Общая схема

3.2 Класс Шредингера.

§ 4. Описание симметрических систем

4.1 Теория преобразований

4.2 Классификационная теорема

Глава 3. Цепочечные представления интегрируемых систем уравнений в частных производных

§ 5. Ассоциированные системы

5.1 Постановка задачи.

5.2 Общая теория и примеры

5.2.1 Простейшие невырожденные цепочки

5.2.2 Условие регулярности

5.2.3 Примеры квазирегулярных цепочек

5.2.4 Многокомпонентный случай

§ 6. Редукции ассоциированных систем

Глава 4. Специальные преобразования Беклунда, порожденные сдвигами в интегрируемых цепочках

§ 7. Регулярные цепочки и обратимые дифференциальные подстановки

7.1 Общая теория. Симметрии и законы сохранения.

7.2 Йордановы обобщения цепочки Тоды.

7.3 Симплектическая структура и точные решения.

§ 8. Квазирегулярный случай: явные автопреобразования интегрируемых цепочек

8.1 Автопреобразования

8.2 Солитоны

8.3 Примеры

Глава 5. Преобразования Миуры

§ 9. Обратимые замены переменных, порожденные преобразованиями Беклунда,.

9.1 Неявные преобразования Беклунда и совместные тройки.

9.2 Примеры

9.3 "Наполовину" явные преобразования Беклунда

§ 10. Построение преобразований Миуры в случае эволюционных уравнений в частных производных

§ 11. Схема построения преобразований Миуры для дифференциально-разностных уравнений

11.1 Основная теорема.

11.2 Дифференциально-разностный аналог уравнения Калоджеро-Дегасиериса.

11.2.1 Пример уравнения Вольгерра,

11.2.2 Локальные законы сохранения.

11.2.3 Высшие симметрии

11.2.4 Многосолитонные решения и представление нулевой кривизны.

11.3 Другие примеры

11.3.1 Пример цепочки Тоды

11.3.2 Законы сохранения нулевого порядка. Системы типа Шредингера

§ 12. Локальные мастер-симметрии интегрируемых цепочек

12.1 Введение.

12.2 Мастер-симметрии цепочек Вольтерра и Тоды

12.3 Другие примеры локальных мастер-симметрий

12.4 Точные решения

Глава 6. Интегрируемые 1+2 мерные уравнения

§ 13. Новые примеры интегрируемых уравнений, явные автопреобразования Беклунда и преобразования Миуры

13.1 Введение.

13.2 Дискретные преобразования в двумерном случае

13.3 Набросок классификации интегрируемых систем, аналогичных уравнению Деви-Стюартсона.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Симметрийный подход к классификации с точки зрения интегрируемых дифференциально-разностных уравнений: Теория преобразований»

С самого начала развития солитонной теории и метода обратной задачи считалось общепринятым, что любое уравнение в частных производных с законами сохранения и симметриями высокого порядка является интегрируемым. Все классические уравнения, как например уравнения КдВ, НУШ Sine-Gordon и цепочка Тоды, имеют бесконечную серию высших сим-метрий и законов сохранения [14, 76, 89, 103]. Наличие высших симметрий и законов сохранения принимается в качестве основного определения интегрируемости симметрийным подходом к классификации интегрируемых уравнений.

В настоящее время симметрийный подход к классификации - это признанный и хорошо известный метод, весьма эффективный, дающий прекрасные результаты и имеющий широкую область применения. В рамках этого подхода опубликовано большое количество сильных работ, имеется ряд статей обзорного характера [27, 31, 35, 86, 96].

Симметрийный подход является, в основном, результатом совместных усилий уфимской математической школы А. Б. Шабата. Концепция сим-метрийного подхода была сформулирована Шабатом на первой киевской конференции (сентябрь 1979). Немного ранее, в том же году, эти идеи были использованы при классификации нелинейных уравнений Клейна-Гордона utx = F(u)

Жибер, Шабат [12]). Симметрийный подход также обсуждался Фокасом в работе [62] (1980), где, в частности, были найдены все уравнения вида

Щ = иххх + F(u, их), (1) обладающие одной неклассической симметрией фиксированного порядка.

Дальнейшая история развития симметрийного подхода к классификации интегрируемых уравнений вкратце такова. Первой публикацией о так называемых формальных симметриях и явных условиях интегрируемости для нелинейных эволюционных уравнений (авторы рассматривали уравнения с неклассическими симметриями достаточно большого порядка) стала работа Ибрагимова и Шабата [17] (1980). Двумя годами позже Свинолу-пов и Соколов [30] показали, что наличие двух высших локальных законов сохранения с необходимостью влечет за собой существование формальной симметрии, и получили полный список интегрируемых уравнений вида ut = uxxx+F{u, их, ихх). (2)

В 1983 году рамки применимости симметрийного подхода были раздвинуты: к уравнениям в частных производных добавились дифференциально-разностные уравнения (Ямилов [40]). Было дано полное описание уравнений вида un)t = F(un+1, ип, ип-1) (neZ), (3) 6 обладающих бесконечной серией локальных законов сохранения.

Обобщение общей схемы на случай систем двух уравнений вида

Ut = A(U)UXX + F(U, Ux), det А ф 0, ^ = (" ) ' (4) появилось в [24] (Михайлов, Шабат 1985). Классификация интегрируемых систем вида (4) была начата в [24] и завершилась работой Михайлова, Шабата и Ямилова [87] (1988). Первый результат, относящийся к многокомпонентным векторным эволюционным уравнениям, был получен Сви-нолуповым в работе [97] (1989), где он рассматривал обобщения уравнения Бюргерса. Далее последовала серия аналогичных публикаций, в которых условия интегрируемости формулировались в чисто алгебраических терминах. Следует отметить, что задолго до этого была известна выполненная в другом ключе работа Шабата и Ямилова [38] (1981), посвященная классификации систем вида а-гум7^ , i = 1, ., N.

Если в первое время классификация проводилась по модулю точечных преобразований, то впоследствии возникла настоятельная необходимость в расширении модуля используемых обратимых замен. Классическая теория контактных преобразований была введена в симметрийный подход в работе Свинолупова [29] (1985), где были перечислены интегрируемые уравнения второго порядка: щ = F(x, и, их, ихх). При классификации систем специального вида

Щ = ихх + F(u + v, их, vx), -vt = vxx + F(u + v, -vx, -ux) (5) были введены в рассмотрение так называемые симметрические преобразования, обратимые на суженном наборе динамических переменных [27] (Михайлов, Шабат, Ямилов 1987).

Практика показала, что списки интегрируемых уравнений, полученные в результате классификации по модулю обратимых преобразований, можно существенно уменьшить, используя так называемые дифференциальные подстановки (преобразования Миуры в том числе). Первая классификация по модулю дифференциальных подстановок была проведена в [32] (Свинолупов, Соколов, Ямилов 1983), где речь шла об уравнениях вида (2). Дальнейшее развитие теории преобразований в рамках симметрийного подхода привело к двум основным методам построения уравнений, связанных с заданным уравнением дифференциальными подстановками. Первый Г и\х = exp I ^

Vi=i из них использует классические симметрии (Соколов [35]) и удобен, когда исходным является уравнение с достаточно богатой алгеброй Ли классических симметрий (уравнение теплопроводности, например). Во втором случае используются преобразования Беклунда или уже имеющиеся дифференциальные подстановки (Ямилов [42, 107]). Этот метод дает хорошие результаты, если мы стартуем с уравнения, аналогичного уравнению КдВ.

Какое-то время две ветви симметри йного подхода, относящиеся к уравнениям в частных производных и дифференциально-разностным уравнениям, развивались относительно независимо, но затем было обнаружено, что они связаны между собой самым тесным образом [94] (Шабат, Ямилов 1988; см. также [39]). Грубо говоря, исчерпывающий список интегрируемых систем вида (4) был переоткрыт при помощи имеющихся к тому времени списков интегрируемых цепочек.

Диссертация посвящена, в основном, той части симметрийного подхода, которая связана с дифференциально-разностными уравнениями. Немало места в ней уделяется теории преобразований. Диссертация состоит из шести глав, разбитых на пятнадцать параграфов и большое количество более мелких разделов.

В главе 1 (§ 1 и § 2) речь идет о классификации интегрируемых цепочек. В § 1 излагается общая теория симметрийного подхода в дифференциально-разностном случае, в § 2 говорится о классификации трех конкретных классов интегрируемых цепочек.

Рассматриваются цепочки вида (3), среди которых имеется уравнение Вольтерра ипг = ип(ип+1 - '«„-а), (6) класс цепочек вида ипи = Р(ипи ип+1, м„, ип-х), (7) содержащий цепочку Тоды ипи = ехр(«п+1 - ип) - ехр(«п - игах), (8) а также гамильтоновые цепочки вида ищ = Р(ип+1, ип), Ущ = <3(и„, ип, и„х). (9)

В последнем случае простейшим примером является система ипг = ип+1 + и2пуп, = + (10)

Хотя для цепочек (7) гамильтоновость заранее не предполагается, почти все интегрируемые уравнения такого вида оказываются гамильтоновыми. 8

В качестве определения интегрируемости принимается наличие высших симметрий и локальных законов сохранения. Локальными законами сохранения цепочек (3), (7) и (9) называются соотношения вида где д( - производная по времени в силу цепочки, И - оператор сдвига, а рп и qn - функции конечного числа динамических переменных. В конечном счете оказывается, что если цепочка имеет пару локальных законов сохранения достаточно большого порядка, то она обладает бесконечной серией высших симметрий и законов сохранения, при необходимости может быть найдена Ь — А пара, построены многосолитонные решения и т.д.

В каждом их трех перечисленных случаев выписывается несколько простейших явных условий интегрируемости. Интересно, что как в случае цепочек (3), так и в случае цепочек (7), самое простое явное условие интегрируемости имеет вид и означает, что функция рп — \о£{дГ/дип+\) должна быть плотностью локального закона сохранения. Выписанные в § 2 условия интегрируемости оказываются не только необходимыми, но и достаточными условиями того, что цепочка имеет бесконечную серию законов сохранения, и весьма удобны для проверки заданной цепочки на интегрируемость. Кроме того, эти условия позволяют провести классификацию интегрируемых случаев и получить полные списки интегрируемых цепочек.

Полученные в результате классификации полные списки интегрируемых цепочек приводятся в п. 2.1, п. 2.2 и п. 2.4. Среди уравнений вида (7) и (9) хочется выделить два разностных аналога системы Ландау-Лифшица

Р - произвольный полином четвертой степени с постоянными коэффициентами), связанной с классической моделью Ландау-Л ифшица, записанной в сферических координатах, при помощи стереографической проекции. Эти цепочки выглядят следующим образом: и)

12)

Р - произвольный полином четвертой степени); 9 г) = осу2 г2 + (Зуг(у ~ г) + ^уг + 6(у - г)2 + е(у - г) + ¡л.

В по-видимому наиболее интересном случае цепочек вида (7), обобщающих цепочку Тоды (8), приводится подробное доказательство классификационной теоремы (см. п. 2.5), и таким образом демонстрируется техника работы с явными условиями интегрируемости.

Наконец, в п. 2.3 обсуждается предельный переход от дифференциально-разностных уравнений к уравнениям в частных производных. Показано, что среди полученных ранее цепочек имеются разностные аппроксимации для многих известных уравнений: не только для уравнения КдВ и расщепленного нелинейного уравнения Шредингера. иг = ихх + 2 Л', -г>4 = ухх + 2 у2и, (14) но и для уравнений Калоджеро-Дегаспериса и Кричевера-Новикова, а также для системы Ландау-Лифшица. В частности, цепочка (13) аппроксимирует систему (11).

Во второй главе речь идет о проблеммах, связанных с классификацией интегрируемых случаев в важном классе систем уравнений вида щ = ихх + Е{и, V, их, ьх), -Уг = Ухх + С(и, V, «г, ох), (15) содержащем систему (14). Сначала излагается общая схема вывода явных условий интегрируемости для эволюционных систем уравнений в частных производных, обладающих высшими симметриями и законами сохранения. Затем схема используется для получения восьми простейших условий интегрируемости для систем вида (15), которые оказываются необходимыми и достаточными условиями того, что система имеет два локальных закона сохранения достаточно большого порядка.

В четвертом параграфе рассматриваются так называемые симметрические системы уравнений, т.е. системы уравнений, которые могут быть записаны в виде (5). Среди интегрируемых систем вида (15) подавляющее большинство систем оказываются симметрическими. Трудно обозримый список интегрируемых симметрических систем удается существенно уменьшить при помощи так называемых симметрических преобразований, обратимых на суженном наборе динамических переменных и -(- 47, иХ: Их, иХХ1 . .

По модулю этих преобразований системы вида (5) разбиваются на классы эквивалентности и в окончательном списке указываются только представители классов эквивалентности. В § 4 излагается соответствующая теория преобразований и дается полное описание интегрируемых симметрических систем. Приводится подробное доказательство классификационной теоремы, из которого видно, что симметрические преобразования дают возможность существенно уменьшить число рассматриваемых случаев еще до

10 получения списка интегрируемых систем. Заметим, что симметрическое преобразование имеет вид й + V = р(и + г>), йх = р(и + у)их + д(и + V), р' ^ 0, и допускается системой (5), если та обладает локальным законом сохранения дг(г) — Ох(з) (Ох - оператор полного дифференцирования по х) с плотностью г = р'их + д.

В главе 3 обсуждается замечательная связь между цепочками вида (3), (7), (9) и системами уравнений вида (15). Обнаружилось, что имеется полное соответствие между ключевыми интегрируемыми цепочками указанного вида и системами из класса Шредингера, хотя списки интегрируемых уравнений в этих двух случаях были получены совершенно независимо.

Цепочки (3) и (7) относятся к регулярным: имея дело с такими цепочками, мы способны выразить все динамические переменные ип через две неременные и = и о и ь = и-\ и их производные по времени. По регулярной цепочке и ее высшей симметрии всегда можно построить систему уравнений в частных призводных (ассоциированную с этой цепочкой систему). Если иметь дело с простейшими высшими симметриями, то из цепочки Тоды (8) можно получить систему (14), а из уравнения Вольтерра (б) - другую известную интегрируемую систему

Щ = ихх + (и2 + 2 иу)х, VI = -ухх + (у2 + 2иь)х (16) см. [77]). Формулы и = ехр(ип), V = ехр(—гг„1) позволяют построить решение системы (14) по любому решению цепочки Тоды. В случае уравнения Вольтерра формулы перехода выглядят еще проще: и = ип, '>' = ип-Л-Периодическим по п решениям цепочки соответствуют конечнозонные решения ассоциированной системы. Регулярная цепочка содержит в себе полную информацию о симметриях и законах сохранения ассоциированной системы: из симметрий и законов сохранения цепочки легко получить симметрии и законы сохранения соответствующей системы уравнений в частных производных. Поэтому интегрируемым цепочкам соответствуют интегрируемые системы.

Регулярные цепочки рассматриваются в п. 5.2.2. В конце главы 3 содержится таблица, в которой приведены основные интегрируемые регулярные цепочки вида (3) и (7) вместе с ассоциированными системами из класса Шредингера и формулами перехода. К регулярным относятся и так называемые невырожденные системы дифференциально-разностных уравнений (см. п. 5.2.1), для которых удается в общем случае уточнить вид простейших высших симметрий, а значит и вид соответствующих ассоциированных систем. Невырожденной является, например, известная интегрируемая система

Ип* = У'П+1 - 2ип + ип-\ + ипУп(ип+1 + х), и уп+1 - + + и„г;га(у„+1 + «„-х) см. [47]), аппроксимирующая (14).

Цепочки вида (9) к регулярным не относятся. Однако в случае основных интегрируемых цепочек из этого класса их высшие симметрии удается записать как эволюционные системы уравнений в частных производных (это - экспериментальный факт). В диссертации такие цепочки называются квазирегулярными. Простейший пример квазирегулярной цепочки дает (10). Система уравнений (14) оказывается системой, ассоциированной не только с цепочкой Тоды (8), но и с цепочкой (10). Много других интересных примеров квазирегулярных цепочек приводится в п. 5.2.3. В п. 5.2.4 можно найти многокомпонентные интегрируемые примеры такого сорта. Выпишем здесь только один из них. Следующая векторная система обобщает (10): ип1 = ип+1+ < ип,'0п > ип, -ппг = г»п!+ < ип,ип > Уп.

Здесь ип, оп - многокомпонентные векторы, а < ип. ип > - их скалярное произведение.

В конечном счете как регулярные, так и квазирегулярные цепочки мо-гуть быть интерпретированы как преобразования Беклунда соответствующих ассоциированных систем. Когда это необходимо, удается построить согласованные представления нулевой кривизны для ассоциированной системы и преобразования Беклунда: иг = 14 + [V, и], Шх = и V? -\¥ и (17) в § 8 можно найти серию таких примеров). Так, например, цепочки (12) и (13) задают преобразования Беклунда разных типов для системы Ландау-Лифшица (11). Однако пытаться найти эти преобразования Беклунда, отталкиваясь от самой системы (11) и используя Ь — А пару этой системы, -трудновыполнимая задача.

В § б говорится о том, как в терминах цепочек обеспечить редукции ассоциированных систем, комплексные и скалярные. Хорошо известно, что комплексная редукция в системе (14) приводит к нелинейному уравнению Шредингера. ихх + 2\и\2и, (18) а из простейшей высшей симметрии системы (14) при помощи скалярной редукции легко получить модифицированное уравнение Кортевега-де Ври-за

Щ ~ иххх + 6и2их. (19)

Можно указать редукции цепочек (8) и (10) такие, что формулы перехода будут давать непосредственно решения уравнений (18) и (19).

12

В четвертой главе рассматриваются специальные преобразования Бе-клунда, порожденью сдвигами в интегрируемых регулярных и квазирегулярных цепочках. Используя стандартную Ь — А пару системы (14), нетрудно выписать следующие преобразования Беклунда для этой системы: й = ихх — и2х/ии2у, V = 1/м; (20) йх = и + й2и7 — их = V + у2й] (21) й + и)х = (й - и)(а - (й + и) (и + г;))1/2,

Й + и)х = (5 - и)(а - (й + и)(и + у))1/2 (22) для краткости здесь опущены некоторые постоянные). Преобразование сдвига в регулярной цепочке порождает для ассоциированной системы явное преобразование Беклунда, аналогичое (20) и представляющее собой обратимую дифференциальную подстановку, относительно которой ассоциированная система инвариантна (см. § 7). Подстановка (20) получается из цепочки Тоды (8). Даже в случае 2+1 мерных уравнений, подобных уравнению Деви-Стюартсона, регулярные цепочки позволяют строить обратимые дифференциальные автоподстановки. Если уравнение Деви-Стюартсона записать в виде щ = аихх + ¡Зиуу + 2 и(аЪт + /ЗУ), -гц = аьхх + ¡Зууу + 2у(а11 + /ЗУ), и у — Ух = (23) то из соответствующей ему двумеризованной цепочки Тоды ипху = ехр(ип+1 - ип) - ехр(ип - ип-х) можно получить обратимую дифференциальную подстановку в терминах и, V, и, V (см. конец п. 7.3).

Используя преобразования, порожденные регулярными цепочками, можно получить простой способ доказательства коммутативности высших симметрий ассоциированных систем и показать, что локальные законы сохранения и высшие симметрии можно переносить не только с регулярной цепочки на ассоциированную систему, но и обратно. Такие преобразования дают дополнительную возможность для классификации интегрируемых систем уравнений, если они сохраняют не только систему, но и ее симплек-тическую структуру. Кроме того, они позволяют строить точные много-солитонные решения ассоциированных систем. Наконец, используя понятие обратимой дифференциальной автоподстановки, можно, имея в своем распоряжении систему уравнений в частных производных, находить соответствующую регулярную цепочку. В п. 7.2 таким способом построены интегрируемые йордановы обобщения цепочки Тоды (в качестве исходного материала взяты многокомпонентные системы Шредингера,, найденные Свинолуповым в [98]).

13

Квазирегулярным цепочкам вида (9) соответствуют "наполовину" явные преобразования Беклунда, аналогичные (21) (само преобразование (21) получается из (10)). На первый взгляд, квазирегулярные цепочки не так удобны для построения точных решений ассоциированных систем, как регулярные, однако, это не так. Явные автопреобразования возникают и в этом случае, но на следующем уровне дискретизации.

Если взять правильное обобщение цепочки (10)

-иц = и 1 + Руи2 + и2м+1, = + + v2jUj-.1 (24) $7 - произвольные постоянные; если не считать этих постоянных, то (10) и (24) совпадают с точностью до очевидного переобозначения), то обнаруживается, что это обобщение допускает явное автопреобразование, которое задается формулами йк = ик + {¡Зк-\ - Рк)~——"-, Ък = ук + (Рк ~ Рк-г): 0к+1

1 - ик-1^+1

1 - ик-1Ук+1'

Рк-1 = Рк, Рк = Рк

25) в фиксированной точке ] = к и тождественно во всех остальных точках. Преобразование (25) позволяет строить точные решения цепочки (24) и в тоже время системы (14), стартуя с подходящего затравочного решения. Не возникает никаких проблем с построением решений для высших сим-метрий системы (14), так же как и решений, допускающих скалярную или комплексную редукции.

Цепочки, подобные (24), обсуждаются в § 8. Общая схема построения автопреобразований для таких цепочек излагается и обосновывается в п. 8.1. В и. 8.2 дана схема построения многосолитонных решений. Дополнительные примеры приводятся в п. 8.3. Там содержатся правильные обобщения ряда интегрируемых цепочек вида (9) вместе с автопреобразованиями и согласованными представлениями нулевой кривизны (17) для цепочек и соответствующих ассоциированных систем.

В пятой главе речь так или иначе идет о дифференциальных подстановках, связывающих разные интегрируемые уравнения (о необратимых подстановках, среди которых встречаются, в частности, преобразования Миуры). В § 9 рассматриваются неявные преобразования Беклунда, аналогичные (22). Такие преобразования Беклунда интерпретируются как псевдогиперболические дифференциально-разностные векторные уравнения ип+\)х = /(К)х, ип, Пп+х).

26)

Среди симметрий таких цепочек можно найти как чисто "непрерывные" симметрии щ = д{и, их, ихх, .) (27)

14 здесь используется обозначение и = ип), так и чисто "дискретные" иП1 = Цип, ип± 1, ип±2, .). (28)

Иногда цепочки (26) порождают специального вида обратимые замены переменных, которые приводят к новым цепочкам вида (26) с новыми непрерывными и дискретными симметриями. Для непрерывных симметрий эти замены переменных могут быть записаны как дифференциальные подстановки й = (р(и, их), (29) а для дискретных симметрий - как дискретные подстановки йп = ф(ип, !<„+]).

30)

В квазирегулярном случае цепочку также можно изменять при помощи весьма простых обратимых замен переменных. Эти замены переменных легко записать в виде дифференциальных подстановок, которые связывают ассоциированные системы, соответствующие старой и новой цепочке (см. п. 9.3).

Таким образом, в § 9 для построения уравнений, связанных с заданным уравнением дифференциальными или дискретными подстановками, используются преобразования Беклунда. В следующем параграфе такой способ построения трансформируется в схему, которая использует уже имеющиеся подстановки. Рассматриваются эволюционные векторные уравнения в частных производных (27) и дифференциальные подстановки первого порядка (29). Обсуждается ситуация, когда два уравнения (Р) и (С) сводятся к третьему уравнению (Т) подстановками Ф и Ф: Л ф

Н) ф ф

Т) ф

С)

Указаны условия на Ф и Ф, при которых существует уравнение (Н), сводящееся дифференциальными подстановками к уравнениям (Р) и ((?), и показано, как построить новое уравнение (Н) и соответствующие подстановки. Уравнения (Р), (&') и (Т) могут совпадать (попарно или все сразу), могут совпадать и дифференциальные подстановки Ф и Ф. Поэтому Ф и Ф могут быть автопреобразованиями. С другой стороны, если имеется только одно преобразование, схему построения удается использовать тоже.

В одиннадцатом параграфе подход из § 10 обобщается на случай эволюционных векторных дифференциально-разностных уравнений (28) и дискретных подстановок первого порядка (30). На примере цепочки ипг = (аи% + Ьи2п + с) 1 ип+1 + ип ип + 1 это - разностный аналог хорошо известного уравнения Калоджеро-Дегас-периса) объясняется, почему уравнение, построенное по заданным интегрируемым уравнениям, тоже оказывается интегрируемым. Демонстрируется, как для нового уравнения получить высшие симметрии, локальные законы сохранения и точные решения. Как в непрерывном, так и в дискретном случае имеется много примеров применимости обсуждаемого подхода. Он позволяет весьма просто и единообразно объяснять наличие уже имеющихся связей между известными интегрируемыми уравнениями, обнаруживать новые связи и строить новые интегрируемые уравнения.

В последнем параграфе схема построения, изложенная в § 10 и § 11, используется для получения новых примеров локальных мастер-симметрий. Схема применима, когда не только интегрируемые уравнения, но и соответствующие им локальные мастер-симметрии связаны одними и теми же преобразованиями. Новые мастер-симметрии можно строить и в случае, когда уравнение и его локальная мастер-симметрия обладают общим локальным законом сохранения нулевого порядка. Действовать таким способом можно как в непрерывном, так и в дискретном случае. В § 12 рассматривается класс скалярных интегрируемых цепочек вида (3). Показано, что локальными мастер-симметриями обладают все основные уравнения списка (3)-(14) п. 2.1 (имеются в виду цепочки (3)-(6)) и многие из остальных уравнений.

Кроме того показано, что локальные мастер-симметрии (в отличие от мастер-симметрий уравнений КдВ и НУШ) генерируют не только высшие симметрии, что им положено по определению, но и позволяют легко строить высшие законы сохранения и дополнительные локальные гамильтоновы операторы. Локальные мастер-симметрии дают новые примеры интегрируемых в специальном смысле уравнений, явно зависящих от пространственной переменной и, вообще говоря, от времени. Мастер-симметрия уравнения Вольтерра (б), например, выглядит следующим образом: иПт = ип[(п + 2)ип+1 + ип - (п - 1)и„-1] (31) она появилась в [79] в качестве примера интегрируемого уравнения). Эта цепочка интегрируема хотя бы по той причине, что допускает операторное представление вида

Ьт = [А, Ц + £3/2, (32) где Ь - главный оператор из классического представления Лакса для уравнения Вольтерра. В частности, представление (32) позволяет построить для (31) точные солитоноподобные решения (см. п. 12.4).

В последней главе обсуждаются интегрируемые 1+2 мерные уравнения и применимая к ним модификация симметрийного подхода. Предыдущие главы диссертации посвящены, в основном, интегрируемым 1+1 мерным уравнениям. Симметрийный подход дает прекрасные результаты в этом

16 случае, но кажется, на первый взгляд, методом сугубо "локальным" и совершенно непременимым к интегрируемым уравнениям с большим числом пространственных переменных, высшие симметрии и законы сохранения которых имеют существенно нелокальную структуру.

Результаты, полученные в последнее время, позволяют тем не менее утверждать, что идеи и принципы симметрийного подхода работают не только в одномерном случае [111, 112]. Используя тесную связь между непрерывными и цепочечными уравнениями и теорию преобразований, удалось накопить большое количество "экспериментального" материала: построить новые примеры интегрируемых 1+2 мерных уравнений (как в частных производных, так и дифференциально-разностных), соответствующие им автопреобразования Беклунда и связывающие их преобразования Ми-уры § 13, 14. Накопленный опыт позволил автору совместно с A.B. Михайловым заметить, что все известные 1+2 мерные интегрируемые уравнения и связанные с ними объекты (высшие симметрии, законы сохранения, преобразования Миуры и т.д.) могут быть записаны в терминах так называемых "квазилокальных" функций § 15. Новое определение дает возможность выписывать условия интегрируемости, тестировать и классифицировать интегрируемые уравнения, и это делает симметрийный подход одним из наиболее удобных методов исследования интегрируемых 1+2 мерных уравнений.

В § 13 построены двумерные обобщения для всех интегрируемых цепочек вида

4ntt = F(qnt, qn+1 — <Zn, In — Я.п-1)

В качестве ассоциированных систем получаются 1+2 мерные интегрируемые системы уравнений, аналогичные уравнению Деви-Стюартсона (23), вместе с явными автопреобразованиями Беклунда и преобразованиями Миуры. Одна из новых интегрируемых цепочек, например, имеет вид

Япху Я.пхЯ.пу ( ~ — ) О

Яп+1 — In Чп — Чп-1 /

В одномерном случае это уравнение тесно связано с изотропной моделью Гайзенберга. Следующие системы уравнений обобщают одно из нелинейных уравнений Шредингера с производной [55]: ut = uxx + 2Rux, vt = -vxx + 2Rvx, Ry = (uv)x, (33)

Ut = uyy + u[(uv)y-\- 5], vr =-vyy-\-v[(uv)y - S], Sx = (vux — uvx)y. (34)

Любая линейная комбинация систем (33), (34) интегрируема и допускает явное автопреобразование Беклунда:

U*V* — UV + (log(ux/u))y,

R* = R + (logfas/u))*, = 5 + [2 uv + (log(«ztt))s]r

17

В следующем параграфе строятся неявные автопреобразования Бе-клунда для ряда 1+2 мерных систем из § 13. Следуя теории из п. 9.3, из этих автопреобразований извлекаются модифицированные системы уравнений вместе с преобразованиями Миуры. Эти автопреобразования Беклунда, если их интерпретировать как цепочечные уравнения, и модифицированные системы дают несколько новых примеров интегрируемых систем уравнений (как в частных производных, так и дифференциально-разностных). К новым примерам относятся следующие обобщения еще одного нелинейного уравнения Шредингера с производной [121]:

Щ = ихх + и(Р + и>х), -VI = ухх + ь(Р - тх),

Ру = (иух — юих — 2 ити)х, и)у — (иу)х, (35) ит — иуу + и(<5 + —«г = иуу + - (иу)у),

Ях = - VUX - 2ити)у, и)у = (иь)х. (36)

Системы уравнений (35) и (36), также как (33) и (34), коммутируют и любая их линейная комбинация является интегрируемой.

Наконец, в § 15 обсуждается модификация симметрийного подхода, позволяющая исследовать 1+2 мерные нелинейные эволюционные уравнения. Основные идеи иллюстрируются на примере скалярных уравнений, более точно на примере 1+2 мерных аналогов уравнений вида (1), к которым относится уравнение Кадомцева-Петвиашвилли

Щ = иххх + 6 иих + 3 д"1 (%?/)•

Сначала формулируется понятие квазилокальной функции и дается определение интегрируемости. Квазилокальные функции образуются, когда мы применяем конечное число раз к переменным и, и^, Ь-ххч 'ЧХу, и.уу, иххх., иХХу, . функции конечного числа переменных и степени оператора Д (как положительные, так и отрицательные):

А = д;1ду, А'1 =д~1дх.

Интегрируемыми называются эволюционные уравнения с квазилокальной правой частью, которые обладают квазилокальными высшими симметрия-ми и законами сохранения.

Затем для класса 1+2 мерных уравнений, обобщающих (1), выводятся условия интегрируемости. Эти условия имеют вид р = дх (ц), где р - известная квазилокальная функция, ад- квазилокальная функция, которая должна с необходимостью существовать. Наконец, вводится в рассмотрение некий аналог формальной вариационной производной и объясняется,

18 как пользоваться условиями интегрируемости при тестировании и классификации. В качестве примера рассматривается известное уравнение

Щ - иххх + ЛА~1(и)их + иЛ'г(их), (37) где Л - произвольная постоянная. Это уравнение выдерживает тест Пенлеве при Л = 1 [124] и проинтегрировано в этом случае в работе [125]. Показано, что обсуждаемый подход дает такой же результат, как и тест Пенлеве, т.е. условия интегрируемости выполняются для уравнения (37) в том и только в том случае, когда А = 1.

По теме диссертации опубликовано 24 работы, в подавляющем большинстве в центральных и международных периодических изданиях: [26, 27, 32, 33, 39-42, 50, 57, 58, 82, 87, 94, 99, 107-112, 126-128]. Главы 1 и 5 полностью основаны на самостоятельных работах автора [40-42], [107-109]. Главы 3, 4, 6 основаны на совместных работах [32, 33, 39, 50, 57, 58, 82, 94, 99, 110-112, 126-128]. Из результатов этих работ в диссертацию соискателем включены только те результаты, которые получены им лично. Глава 2 носит вспомогательный характер.

Результаты работ докладывались на следующих международных конференциях: КЕЕБЗ-92 (8-я Конференция по нелинейным эволюционным уравнениям и динамическим системам, Дубна, Россия, 6-17 июля 1992); МЕЕБЭ-93 (9-я Конференция по нелинейным эволюционным уравнениям и динамическим системам, Галлиполи, Италия, 3-12 сентября 1993); 8ГОЕ-1 (1-я Конференция по симметриям и интегрируемости разностных уравнений, Монреаль, Канада, 22-29 мая 1994); ]\ГЬ8-94 (Конференция по нелинейному уравнению Шредингера, Черноголовка, Россия, 25 июля - 3 августа 1994); Конференция "Нелинейная физика: теория и эксперимент" (Галлиполи, Италия, 29 июня - 7 июля 1995); Конференция по симметриям и теории возмущений (Турин, Италия, 15-21 декабря 1996); Конференция по интегрируемым системам (Лидс, Великобритания, 11-12 марта 1997) и ЫЕЕБ8-97 (11-я Конференция по нелинейным эволюционным уравнениям и динамическим системам, Кания, о-в Крит, Греция, 18-28 июня 1997).

19

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ямилов, Равиль Исламович, 2000 год

1. Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.

2. Адлер В.Е. Перекройка многоугольников. Функц. анализ и его прил. 27:2 (1993) 79-82.

3. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука, 1991.

4. Боровик А.Е., Робук В.Н. Линейные псевдопотенциалы и законы сохранения для уравнения Ландау-Лифшица, описывающего нелинейную динамику ферромагнетика с одноосной анизотропией. ТМФ 46:3 (1981) 371— 381.

5. Бурцев С.П., Захаров В.Е., Михайлов A.B. Метод обратной задачи с переменным спектральным параметром. ТМФ 70:3 (1987) 323-341.

6. Веселов А.П., Шабат А.Б. Одевающая динамическая система и спектральная теория оператора Шредингера. Функц. анализ и его прил. 27:2 (1993) 1-15.

7. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Уравнения типа КдВ и простые алгебры Ли. ДАН СССР 258:1 (1981) 11-16.

8. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Новые эволюционные уравнения, обладающие L — А парами. Труды семинара C.JI. Соболева 2 (1981) 5-9.

9. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Об уравнениях, связанных с уравнением Кортевега-де Вриза. ДАН СССР 284:1 (1985) 29-33.

10. Жевлаков К.А., Слинько А.М., Шестаков И.П., Ширшов А.И. Кольца, близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

11. Жибер A.B. Уравнения п-волн и система нелинейных уравнений Шредингера с групповой точки зрения. ТМФ 52:3 (1982) 405-413.

12. Жибер A.B., Шабат А.Б. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой. ДАН СССР 247:5 (1979) 1103-1107.

13. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука, 1980.

14. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ 61:1 (1971) 118-134.

15. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. Функц. анализ и его прил. 13:3 (1979) 13-22.

16. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Веклунда. Функц. анализ и его прил. 14:1 (1980) 25-36.

17. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. О бесконечных алгебрах Ли-Веклунда. Функц. анализ и его прил. 14:4 (1980) 79-80.

18. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. М.: Мир, 1985.197

19. Кричевер И.M., Новиков С.П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения. УМН 35:6 (1980) 47-68.

20. Лезнов А.Н. О полной интегрируемости одной нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных в двумерном пространстве. ТМФ 42:3 (1980) 343-349.

21. Магадеев Б.А. О нелокальных эволюционных уравнениях, ассоциированных со спектральной проблеммой Захарова-Шабата. ТМФ 72:21987) 313-317.

22. Манаков C.B. О нелинейной дифракции Фраунгофера. ЖЭТФ 65:1 (1973) 1392-1412.

23. Манаков C.B. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах. ЖЭТФ 67:2 (1974) 543-555.

24. Михайлов A.B., Шабат А.Б. Условия интегрируемости систем двух уравнении типа ut = А(и)ихх + В(и, их). I. ТМФ 62:2 (1985) 163-185.

25. Михайлов A.B., Шабат A.B. Условия интегрируемости систем двух уравнений типа щ — А(и)ихх + В(и, их). И. ТМФ 66:1 (1986) 47-65.

26. Михайлов A.B., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. О расширении модуля обратимых преобразований. ДАН СССР 295:2 (1987) 288-291.

27. Михайлов A.B., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем. УМН 42:4 (1987) 3-53.

28. Рейман А.Г. Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. Зап. научн. сем. ЛОМИ 95 (1980) 3-54.

29. Свинолупов С.И. Эволюционные уравнения второго порядка с сим-метриями. УМН 40:5 (1985) 263-264.

30. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Об эволюционных уравнениях с нетривиальными законами сохранения. Функц. анализ и его прил. 16:61982) 86-87.

31. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Факторизация эволюционных уравнений. УМН 47:3 (1992) 115-147.

32. Свинолупов С.И., Соколов В.В., Ямилов Р.И. О преобразованиях Беклунда для интегрируемых эволюционных уравнений. ДАН СССР 271:41983) 802-805.

33. Свинолупов С.И., Ямилов Р.И. Обратимые автопреобразования для многополевых уравнений Шредингера и йордановы обобщения цепочки Тоды. ТМФ 98:2 (1994) 207-219.

34. Склянин Е.К. Граничные условия для интегрируемых уравнений. Функц. анализ и его прил. 21:2 (1987) 86-87.

35. Соколов В.В. О симмет.риях эволюционных уравнений. УМН 43:51988) 133-163.

36. Соколов В.В., Шабат А.Б. L — А пары и подстановки типа Ри-катти. Функц. анализ и его прил. 14:2 (1980) 79-80.

37. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.198

38. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана. Препринт ОФМ БФАН СССР, Уфа, 1981.

39. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрии нелинейных цепочек. Алгебра и анализ 2:2 (1990) 183-208.

40. Ямилов Р.И. О классификации дискретных эволюционных уравнений. УМН 38:6 (1983) 155-156.

41. Ямилов Р.И. Обобщения цепочки Тоды и законы сохранения. Препринт ИМ БНЦ УрО АН СССР, Уфа, 1989.

42. Ямилов Р.И. Обратимые замены переменных, порожденные преобразованиями Беклунда. ТМФ 85:3 (1990) 368-375.

43. Abellanas L., Galindo A.J. Conserved densities for nonlinear evolution equations. I. Even order case. J. Math. Phys. 20:6 (1979) 1239-1243.

44. Abellanas L., Galindo A.J. Evolution equations with high order conservation laws. J. Math. Phys. 24:3 (1983) 504-509.

45. Ablowitz M.J. Lectures on the inverse scattering transform. Stud. Appl. Math. 58 (1978) 17-94.

46. Ablowitz M.J., Ladik J.F. Nonlinear differential-difference equations. J. Math. Phys. 16 (1975) 598-603.

47. Ablowitz M.J., Ladik J.F. Nonlinear differential-difference equations and Fourier analysis. J. Math. Phys. 17:6 (1976) 1011-1018.

48. Adler V.E. Nonlinear chains and Painleve equations. Physica D 73 (1994) 335-351.

49. Adler V.E. Nonlinear superposition principle for the Jordan NLS equation. Phys. Lett. A 190 (1994) 53-58.

50. Adler V.E., Yamilov R.I. Explicit auto-transformations of integrable chains. J. Phys. A: Math. Gen. 27 (1994) 477-492.

51. Antonowicz M., Fordy A.P. Factorisation of energy dependent Schr-odinger operators: Miura maps and modified systems. Commun. Math. Phys. 124 (1989) 465-475.

52. Bruschi M., Levi D., Ragnisco O. Discrete version of the modified Korteweg-de Vries equation with x-dependent coefficients. Nuovo Cim. A 48 (1978) 213-226.

53. Calogero F., Degasperis A. Reduction technique for matrix nonlinear evolution equations solvable by the spectral transform. Preprint 151, Istituto di Fisica G. Marconi, Univ. di Roma "La Sapienza", 1979.

54. Calogero F., Degasperis A. Spectral transform and solitons: tools to solve and investigate nonlinear evolution equations. I. North-Holland Publishing Company (Amsterdam, New York, Oxford), 1982.

55. Chen H.H., Lee Y.C., Liu C.S. Integrability of nonlinear Hamiltonian systems by inverse scattering method. Physica Scripta 20:3-4 (1979) 490-492.

56. Chen H.H., Liu C.S. Backlund transformation solutions of the Toda lattice equation. J. Math. Phys. 16:7 (1975) 1428-1430.

57. Cherdantsev I.Yu., Yamilov R.I. Master symmetries for differential-difference equations of the Volterra type. Physica D 87 (1995) 140-144.199

58. Degasperis A., Santini P.M., Ablowitz M.J. Nonlinear evolution equations associated with a Riemann-Hilbert scattering problem. J. Math. Phys. 26:10 (1985) 2469-2472.

59. Flaschka H. The Toda lattice. II. Existence of integrals. Phys. Rev. B 9:4 (1974) 1924-1925.

60. Flaschka H. On the Toda lattice. II. Inverse transform solution. Progr. Theor. Phys. 51:3 (1974) 703-716.

61. Fokas A.S. A symmetry approach to exactly solvable evolution equations. J. Math. Phys. 21:6 (1980) 1318-1325.

62. Fokas A.S. Symmetries and integrability. Stud. Appl. Math. 77 (1987) 253-299.

63. Fokas A.S., Fuchssteiner B. The hierarchy of the Benjamin-Ono equation. Phys. Lett. A 86 (1981) 341-345.

64. Fordy A.P., Kulish P. Nonlinear Schrôdinger equations and simple Lie algebras. Commun. Math. Phys. 89 (1983) 427-443.

65. Hirota R. Exact N-soliton solution of a nonlinear lumped network equation. J. Phys. Soc. Japan 35 (1973) 289-294.

66. Hirota R., Satsuma J. // Progr. Theor. Phys. 55 (1978) 2037-2044.

67. Hirota R., Satsuma J. // Progr. Theor. Phys. Suppl. 59 (1978) 64-78.

68. Hirota R., Satsuma J. // Phys. Lett. A 85 (1981) 407-411.

69. Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebras. Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., v. 39, Providence, R.I., 1968.

70. Kaup D.J. Finding eigenvalue problems for solving nonlinear evolution equations. Progr. Theor. Phys. 54:1 (1975) 72-78.

71. Kaup D.J., Newell A.C. An exact solution for a derivative nonlinear Schrôdinger equation. J. Math. Phys. 19 (1978) 798-801.

72. Koecher M. Jordan algebras and their applications. Lecture Notes, Univ. of Minnesota, Minneapolis, 1962.

73. Kundu A. Landau-Lifshitz and higher order nonlinear systems gauge generated from nonlinear Schrôdinger type equations. J. Math. Phys. 25 (1984) 3433-3440.

74. Kupershmidt B.A. Discrete Lax equations and differential-difference calculus. Revue Asterisque, v. 123, Paris, 1985.

75. Lamb G.L. Higher conservation laws in ultrashort optical pulse propagation. Phys. Lett. A 32 (1970) 251-252.

76. Levi D. Nonlinear differential-difference equations as Bâcklund transformations. J. Phys. A: Math. Gen. 14 (1981) 1083-1098.

77. Levi D., Benguria R. Bâcklund transformations and nolinear differential-difference equations. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, Applied Mathematical200Sciences 77:9 (1980) 5025-5027.

78. Levi D., Ragnisco O. Extension of the spectral transform, method for solving nonlinear differential-difference equations. Letters Nuovo Cim. 22(1978) 691-696.

79. Levi D., Ragnisco O. Nonlinear differential-difference equations with N-dependent coefficients. I. J. Phys. A: Math. Gen. 12 (1979) 157-162.

80. Levi D., Ragnisco O. Nonlinear differential-difference equations with N-dependent coefficients. II. J. Phys. A: Math. Gen. 12 (1979) 163-167.

81. Leznov A.N., Shabat A.B., Yamilov R.I. Canonical transformations generated by shifts in nonlinear lattices. Phys. Lett. A 174 (1993) 397-402.

82. Loos O. Jordan pairs. Lect. Notes Math., v.460, Springer-Verlag (New York, Heidelberg, Berlin), 1975.

83. Lund F., Regge T. Unified approach to strings and vortices with soliton solutions. Phys. Rev. D 14 (1976) 1524-1538.

84. Mikhailov A.V., Shabat A.B. Integrable deformations of the Heisenberg model Phys. Lett. A 116:4 (1986) 191-194.

85. Mikhailov A.V., Shabat A.B., Sokolov V.V. The symmetry approach to classification of integrable equations. In "What is Integrability?", SpringerVerlag (Springer Series in Nonlinear Dynamics), 1991, 115-184.

86. Mikhailov A.V., Shabat A.B., Yamilov R.I. Extension of the module of invertible transformations. Classification of integrable systems. Commun. Math. Phys. 115 (1988) 1-19.

87. Miura R.M. Korteweg-de Vries equation and generalizations. I. A remarkable explicit nonlinear transformation. J. Math. Phys. 9 (1968) 12021204.

88. Miura R.M., Gardner C.S., Kruskal M.D. Korteweg-de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion. J. Math. Phys. 9:8 (1968) 1204-1209.

89. Newell A.C. Solitons in mathematics and physics. SIAM, Philadelphia, 1985.

90. OI ver P. J. Applications of Lie groups to differential equations. SpringerVerlag (Berlin), 1986.

91. Pohlmeyer K. Integrable Hamiltonian systems and interaction through quadratic costraints. Commun. Math. Phys. 46 (1976) 207-218.

92. Rogers C., Shadwick W.F. Bäcklund transformations and their applications. Academic (New York), 1982.

93. Shabat A.B., Yamilov R.I. Lattice representations of integrable systems. Phys. Lett. A 130:4-5 (1988) 271-275.

94. SklyaninE.K. On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation. Preprint LOMI, E-3, Leningrad, 1979.

95. Sokolov V.V., Shabat A.B. Classification of integrable evolution equations. N.Y.: Harwood Academic Publishers. Soviet Scientific Reviews, Section C, 4 (1984) 221-280.201

96. Svinolupov S.I. On the analogues of the Burgers equation. Phys. Lett. A 135:1 (1989) 32-36.

97. Svinolupov S.I. Generalized Schrodinger equations and Jordan pairs. Commun. Math. Phys. 143 (1992) 559-575.

98. Svinolupov S.I., Yamilov R.I. The multi-field Schrodinger lattices. Phys. Lett. A 160 (1991) 548-552.

99. Takhtajan L.A. Integration of the continuous Heisenberg spin chain through the inverse scattering method. Phys. Lett. A 64:2 (1977) 235-237.

100. Toda M. Waves in nonlinear lattice. Progr. Theor. Phys. Suppl. 45 (1970) 174-200.

101. Toda M. Exact treatment of nonlinear lattice waves. Progr. Theor. Phys. Suppl. 59 (1976) 1-35.

102. TodaM. Theory of nonlinear lattices. Solid-State Sci., v. 20, SpringerVerlag (Berlin, Heidelberg), 1981.

103. Volterra V. Lecons sur la theorie mathematique de la lutte pour la vie. Paris: Gauthier-Villars, 1931.

104. Wadati M., Toda M. // J. Phys. Soc. Japan 39 (1975) 1196-1200.

105. Weis J. Periodic fixed points of Backlund transformations. J. Math. Phys. 28:9 (1987) 2025-2039.

106. Yamilov R.I. On the construction of Miura type transformations by others of this kind. Phys. Lett. A 173 (1993) 53-57.

107. Yamilov R.I. Construction scheme for discrete Miura transformations. J. Phys. A: Math. Gen. 27 (1994) 6839-6851.

108. Shabat А.В., Yamilov R.I. To a transformation theory of two-dimensional integrable systems. Phys. Lett. A 227 (1997) 15-23.

109. Mikhailov A.V., Yamilov R.I. On integrable two-dimensional generalizations of nonlinear Schrodinger type equations. Phys. Lett. A 230 (1997) 295-300.

110. Ферапонтов E.B. Преобразования Лапласа систем гидродинамического типа в инвариантах Римана. ТМФ 110:1 (1997) 86-97.

111. Михайлов А.В. Письма в ЖЭТФ 30 (1979) 443-447.

112. Konopelchenko B.G. Phys. Lett. А 92 (1982) 323.

113. Benney D.J., Roskes G.J. Stud. Appl. Math. 48 (1969) 337.

114. Davey A., Stewartson K. Proc. R.S. Lond. A 338 (1974) 101.202

115. Zakharov V.E. Integrable systems in multi-dimensional spaces. In: Lect. Notes Phys. (Springer Verlag), 1983, Vol. 153, pp. 190-216.

116. Benguria R., Levi D. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 77 (1980) 5025.

117. Boiti M., Konopelchenko B.G., Pempinelli F. Inverse Problems 1 (1985)33.

118. Ablowitz M.J., Segur H. Solitons and the inverse scattering transform. Phyladelphia: SIAM, 1981.

119. Konopelchenko B.G. Phys. Lett. A 156 (1991) 221.

120. Boiti M., Leon J.J.P., Pempinelli F. Inverse Problems 3 (1980) 371.

121. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. J. Math. Phys. 24 (1983) 522-526.

122. Boiti M., Leon J.J.P., Manna M., Pempinelli F. Inverse Problems 2 (1986) 271-279.

123. Levi D., Yamilov R. Conditions for the existence of higher symmetries of evolutionary equations on the lattice. J. Math. Phys. 38:12 (1997) 6648-6674.

124. Mikhailov A.V., Yamilov R.I. Towards classification of (2+l)-dimen-sional integrable equations. Integrability conditions I. J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1998) 6707-6715.

125. Adler V.E., Svinolupov S.I., Yamilov R.I. Multi-component Volterra and Toda type integrable equations. Phys. Lett. A 254 (1999) 24-36.