Интегрируемые иерархии эволюционных уравнений и их редукции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Свинин, Андрей Кириллович

• Свинин, Андрей Кириллович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Свинин, Андрей Кириллович

Введение

1 Интегрируемые иерархии и их представления

1.1 Гамильтоновы операторы.

1.2 Би-гамильтонова структура.

1.3 Рекурсионные операторы.

1.4 Представление Лакса для эволюционных уравнений интегрируемых иерархий

2 Интегрируемые иерархии, связанные со вспомогательным уравнением второго порядка, и однопараметрические группы классических симметрий

2.1 Интегрируемые иерархии и группы точечных симметрий.

2.1.1 Группы симметрии типа Галилея.

2.1.2 Группы симметрий растяжений.

2.1.3 Алгебра точечных симметрий.

2.2 Инвариантные решения.

3 Модификация рациональных редукций Кричевера иерархии Кадомцева-Петвиашвили

3.1 Предварительные сведения и постановка задачи.

3.2 Модифицированная М)-ая иерархия Гельфанда-Дикого

3.3 Дискретные симметрии эволюционных уравнений модифицированной (ТУ, М)-ой иерархии Гельфанда - Дикого.

3.4 Рациональные решения системы модифицированной (2,1)-ой иерархии Гельфанда - Дикого

3.5 Редукции двумеризованной цепочки Тоды. Системы типа Тоды

3.6 Редукции цепочки Вольтерра и одномерной цепочки Тоды.

3.7 Решения типа бегущей волны эволюционных уравнений модифицированной (1,1)-ой иерархии Гельфанда - Дикого.

3.8 Исследование прямой задачи для вспомогательного линейного уравнения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемые иерархии эволюционных уравнений и их редукции»

Предмет исследования данной работы — групповая структура множества решений эволюционных уравнений интегрируемых иерархий, а также применение групповых методов для построения редукций и точных решений интегрируемых эволюционных уравнений. К необходимости изучения подобных вопросов приводят задачи описания существенно нелинейных явлений в различных областях естествознания, таких как гидродинамика, аэродинамика, экология, физика твердого тела и плазмы, нелинейная оптика, физика элементарных частиц и т.д. Под интегрируемой иерархией понимается последовательность эволюционных уравнений (систем уравнений)

-^ = Кт[и], т Е N (0.0.1)

Оьт совместных друг с другом в следующем смысле. Для произвольной пары натуральных чисел п, т должно выполняться соотношение

АпКт[и] = Атк„[и], где обозначает производную по эволюционному параметру tm в силу системы (0.0.1).

Основным способом построения интегрируемой иерархии является бп-гамильтоново представление

9и

- = Кт = £1биНт1 = £()6иНт отт с помощью совместной пары гамильтоновых операторов 8о,Е\ и счетного инволютивного набора функционалов {Нт. т = 0,1,.} вида л

Нт = ja кт[и]с1х.

В отличие от теоремы Лиувилля [95], [3] би-гамильтонов формализм для заданной интегрируемой системы позволяет строить (благодаря известной теореме Ф. Магри) счетный набор обобщенных симметрии: и -законов сохранения. По всей видимости, статья Ф. Магри [99] (см. также [100]) была первой работой, в которой указывалось на конструктивный характер би-гамильтонова подхода к интегрируемым эволюционным уравнениям. Наиболее "экономным" способом представления интегрируемой иерархии является представление с помощью рекурсионного оператора А [и] — [43] = Ат-1[и]К1[и], (0.0.2) где Кх[и] = Еъ8Х1Н\ — некоторое "затравочное" векторное поле.

Интерес к интегрируемым уравнениям резко возрос в связи с открытием метода обратной задачи (МОЗ) в работе Дж. Грина, К. Гарднера, М. Крускала и Р. Миуры [82], в которой он был применен для интегрирования уравнения Кортевега—де Фриза (КдФ) qt = + \qqx- В дальнейшем появилось огромное количество работ, в которых была показана эффекивность МОЗ для других эволюционных уравнений, важных с физической точки зрения, среди которых: модифицированное уравнение КдФ щ — \иххх — ~и2их. нелинейное уравнение Шредингера г^ = —1рхх — 2\ф\уравнение Гарри Дима щ = (и~1/2)ххх. Появившиеся затем монографии [1], [22], [26], [40], [49], [52] достаточно полно отражают состояние дел в теории интегрируемых уравнений и содержат обширную библиографию. Актуальной проблемой в настоящее время является классификация уравнений, к которым может быть применен МОЗ.

Основанием для применения МОЗ является представление заданного уравнения (системы уравнений) в виде условия совместности вспомогательного линейного "спектрального" уравнения

Ь{ А)Ф = 0, Ф = (Ф1,.,ФГ)Т и уравнения

9Ф определяющего зависимость волновой функции Ф от эволюционного параметра t. Здесь Ь(Х),А(Х) — пара операторов, как правило, матрично-дифференциальных. Следует отметить, что схема построения гамильтоно-вых структур и рекурсионных операторов тесно связана со вспомогательными уравнениями МОЗ [35], в частности, со скалярными уравнениями вида ХУф^'"2) + . + Х)ф = 0 (0.0.3) с полиномиальной зависимостью от "спектрального" параметра А. Напрпизвестно, что иерархия уравнений КдФ ди /1 1 \т-1

-д2 + и + ~ихд-1) их, т = 1,2,3,. (0.0.4) ди и 2 изоспектральна по отношению к стационарному уравнению Шредингера

Фхх + (и(х)~ Х)ф = 0. (0.0.5)

Одним из достижений МОЗ является построение в явном виде некоторых классов точных решений (./У-солитонные, конечно зонные, рациональные решения, и т.д.). Параллельно с развитием МОЗ развивались прямые методы построения точных решений, из которых следует отметить: метод Хироты [89], преобразование Беклунда [108], преобразование Дарбу [103].

Эффективным методом классификации интегрируемых уравнений [36]. [37] и построения точных решений является групповой анализ дифференциальных уравнений. Одной из задач группового анализа, как известно, является исследование действия групп, допускаемых заданным уравнением или системой уравнений [42]. Знание групп симметрии (непрерывных или дискретных) позволяет: исследовать алгебраическую структуру множества решений данного уравнения (системы уравнений), описывать общее строение множества решений, редуцировать исходные уравнения к некоторым более простым уравнениям, выделять определенные классы решений, производить новые решения из уже известных и т.д. [42], [28], [43].

Применение групповых методов к интегрируемым иерархиям имеет свои особенности, так как вместо одного уравнения (системы уравнений) рассматривается бесконечный набор совместных уравнений. Исследование допускаемых групп для конечного набора систем (0.0.2) при т — 1.2,. Л" может быть сведено к исследованию трансформационных свойств рекурси-онного оператора относительно преобразований зависимых и независимых переменных.

Интегрируемые уравнения представляют значительный интерес с физической точки зрения. Подобные уравнения встречаются в различных областях физики и имеют универсальный характер [30]. В последнее время стало ясно, что применения интегрируемых уравнений (интегрируемых иерархий) гораздо шире, чем представлялось раньше. Интегрируемые структуры в настоящее время находят применение в различных областях современной теоретической физики, таких как теория струн, топологические теории поля, квантовая теория гравитации, суперсимметричные калибровочные теории, дискретные матричные модели и т.д. [38], [63], [64], [33], [34], [57], [58].

61], [67], [65], [66], [83], [77], [78], [79], [80]. С этой точки зрения, наиболее содержательными примерами являются уравнения иерархии Кадомцева Петвиашвили и ее рациональные редукции [31]. В частности, приложения иерархии уравнений КдФ были найдены в работах [69], [77], [78], [83], посвященных исследованию двумерной квантовой гравитации. В этих работах иерархия уравнений КдФ (0.0.4) появилась совместно с дополнительным ограничением которое было названо струнным уравнением. Это соотношение представляет собой условие инвариантности решения 2,.) относительно формального однопараметрического преобразования независимых переменных (.с = .) и зависимой переменной и

- + р — 1 \ = tp+Y,\ i] ,7 е%+ь Р = 1,2,.,оо, й = и - с, (0.0.6) к=1 где + & - 1

Г(а + 1)

Va/ Г(6+1)Г(а-6+1)'

Преобразование (0.0.6), приобретает неформальный характер, если считать. tito tp = 0 дляр > iY+1, где N — некоторое натуральное число. В частности, ее:ли положить N = 2, то получается хорошо известная однопараметриче-ская группа симметрии Галилея для уравнения КдФ.

Одной из задач, поставленных и решаемых в данной работе, является построение однопараметрических групп линейных точечных преобразований типа Галилея для интегрируемых иерархий эволюционных уравнений, изоспектральных по отношению к вспомогательному линейному уравнению [54]

Vxx +

Ф = 0, (0.0/

Епг(х)(-лг1 + (-лу

Ь=1 которое обобщает стационарное уравнение Шредингера (0.0.5). В литературе эти иерархии носят название высших иерархий КдФ.

Идея построения преобразований симметрии типа Галилея основана на том факте, что обычное преобразование Галилея порождается преобразованием трансляции "спектрального" параметра Л. При этом, несложно исследовать трансформационные свойства соответствующего рекурсионного оператора относительно преобразования зависимой переменной. Для высших иерархий КдФ рекурсионный оператор имеет достаточно простую структуру, что позволяет подробно исследовать его трансформационные свойства относительно преобразований зависимых переменных и7. порождаемых сдвигом спектрального параметра Л.

В третьей главе данной работы ставится и решается задача построения интегрируемых иерархий эволюционных уравнений, модифицированных по отношению к рациональным редукциям Кричевера иерархии Кадомцева Петвиашвили. Необходимость построения этих уравнений связана с тем. что они имеют, в определенном смысле, более простой вид по сравнению с исходными уравнениями. Кроме того множество решений этих уравнений допускает более богатую групповую структуру. Известно, что преобразование Дарбу для иерархий Гельфанда—Дикого связано с модификацией уравнений этих иерархий [53]. В свою очередь, преобразование Дарбу является одним из эффективных методов построения точных решений для нелинейных интегрируемых уравнений. Таким образом построение модифицированных уравнений по отношению к рациональным редукциям Кричевера дает метод построения точных решений.

Данная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе работы на основе аппарата формального вариационного исчисления, развитого в работах И.М. Гельфанда с соавторами [8]-[20], излагаются понятия, связанные с интегрируемыми иерархиями: гамильтоновы операторы, гамильтоновы пары, би-гамильтоново представление систем эволюционных уравнений, рекурсионные операторы, представление Лакса.

Во второй главе рассматриваются интегрируемые эволюционные уравнения высших иерархий КдФ, связанные со вспомогательным линейным уравнением второго порядка (0.0.7). Каждая интегрируемая иерархия, соответствующая числу п £ N5 определяются достаточно простым рекурсионным оператором. Это обстоятельство позволяет достаточно подробно исследовать трансформационные свойства этих операторов относительно однопараметрических преобразований, порожденных сдвигом спектрального параметра Л. В результате получаются точные формулы для преобразований симметрии, для конечного совместного набора систем

9и дЦ

К>], р = 2,., ТУ, в каждой иерархии. Соответствующие одиопараметрические группы обозначаются символом где п — номер иерархии, а N — количество независимых переменных вовлеченных в преобразование. При этом, в качестве частного случая, имеем хорошо известную однопараметрическую группу симметрий Галилея С/2,1 Для уравнения КдФ.

Затем строится анзац для „-инвариантных решений. Подробно рассматривается случай N = 3, т.е. решается задача построения инвариантных совместных решений пары систем

9и ди = К2[и], ^ = К3[и], которые представляют первые два нетривиальных представителя в каждой иерархии. В этом случае отыскание инвариантных решений сводится к некоторым системам обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, для случаев п = 1 и п = 2 эти системы, фактически, сводятся к уравнениям Пенлеве-1 и Пенлеве-П. В частности воспроизводится хорошо известный результат о редукции уравнения КдФ к Пенлеве-1 [43].

В третьей главе построены новые иерархии, параметризуемые парой натуральных чисел М). Показано, что преобразованиями типа Мп-уры эволюционные уравнения этих иерархий связаны с соответствующими уравнениями рациональных редукций Кричевера иерархии Кадомцева Петвиашвили. Построение этих иерархий, в определенной степени, использует идеи Л.А. Дикого, построившего модифицированные иерархии Г'ельфанда—Дикого [74], а также работы Аратина с соавторами [57], [58]. [59], [61].

В данном подходе новым является то, что при построении эволюционных уравнений иерархий определяется счетное семейство операторов Лакса Сг. связанных друг с другом совместной парой калибровочных преобразований. Совместность этих преобразований обеспечивается некоторыми соотношениями, имеющими форму цепочек обыкновенных дифференциальных уравнений. Частный случай N = 1,М — 1 соответствует цепочке Вольтер-ра. При этом подходе естественно определяется группа дискретных симметрии, порождаемая парой образующих и «2, связанных соотношениями у+М ]\4 51.92 = 525'} И §1 = «2 •

В пятом параграфе строится счетный класс редукций двумеризованной цепочки Тоды, напрямую связанных с иерархиями модифицированных уравнений при М — 1. Для полученных гиперболических систем типа Тоды строятся: преобразование дискретной симметрии, представление нулевой кривизны и лагранжево представление.

В шестом параграфе определяется класс редукций цепочки Вольтерра и связанной с ней одномерной цепочки Тоды. Для некоторых из систем находятся первые интегралы.

В седьмом параграфе эти результаты используются для построения некоторого класса совместных решений типа бегущей волны для первых двух представителей модифицированной (1,1)-ой иерархии Гельфанда-Дикого.

В восьмом параграфе рассматриваются вопросы, связанные с исследованием прямой задачи для вспомогательного "спектрального" уравнения для эволюционных уравнений рациональных редукций Кричевера при Аг = 2.М = г - 2.

Основная часть результатов диссертации содержится в работах [44], [45]. , [47], [48], [113], [114], [115], [116], [117].

Автор благодарит В.Л. Верещагина, С.П. Царева и О.В. Капцова за полезные замечания, высказанные на семинарах.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Свинин, Андрей Кириллович

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1) Построены однопараметрические группы точечных линейных преобразований симметрии для произвольного упорядоченного набора представителей (систем эволюционных уравнений) в каждой высшей иерархии Кортевега—де Фриза. Найденные преобразования симметрии обобщают известное преобразования Галилея для уравнения Кортевега- де Фриза.

2) Для каждой из построенных групп найден базис функционально независимых инвариатов. С помощью стандартных групповых методов, построен анзац для инвариантных решений. Подробно исследован случай ТУ = 3. В этом случае, построение инвариантных решений сводится к некоторым системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

3) Построен новый класс иерархий, параметризуемых парой натуральных чисел (ТУ, М). Показано, что с помощью преобразований типа Миуры уравнения этих иерархий связаны с известными рациональными редукциями Кричевера иерархии Кадомцева—Петвиашвили.

4) В рамках предложенного подхода построена дискретная группа симме-трий, действующая на пространстве решений эволюционных уравнений для каждой (ТУ, М)-ой иерархии. В качестве примера эти преобразования симметрии применяются для построения счетного класса рациональных решений эволюционной системы (2,1)-ой иерархии.

5) Построен счетный класс редукций двумеризованной цепочки Тоды, связанных с (ТУ, 1)-ой иерархией для произвольного N. Для построенных систем гиперболического типа определены формулы преобразований дискретной симметрии, представление нулевой кривизны и лагранжево представление.

6) Построен счетный класс редукций цепочки Вольтерра и связанной с ней одномерной цепочки Тоды. Для некоторых из конечномерных систем найдены первые интегралы.

7) Построен класс совместных решений типа бегущей волны для первых двух систем (1,1)-ой иерархии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Свинин, Андрей Кириллович, 2000 год

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир. 1987.

2. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: ДН-ТВУ, 1939.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

4. Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука, 1991.

5. Верещагин В.Л. Гамильтонова структура усредненных разностных систем/ / Матем. заметки 1988. Т. 44. С. 584.

6. Верещагин В.Л. Асимптотическое разложение решения задачи Кошп для цепочки Вольтерра со ступенеобразным начальным условием// ТМФ. 1997. Т. 111. С. 335-344.

7. Веселов А.П. Интегрирование стационарной задачи для классической спиновой цепочки// ТМФ. 1987. Т. 71. С. 154.

8. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Асимптотика резольвенты штурм-лиувиллевских уравнений и алгебра уравнений Кортевега-де Фриза// УМН. 1975. Т. 30. С. 67.

9. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Структура алгебры Ли в формальном вариационном исчислении// Функц. анализ и его прил. 1976. Т. 10. С. 18.

10. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Дробные степени операторов и гамильто-новы системы// Функц. анализ и его прил. 1976 Т. 10. С. 13.

11. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Резольвента и гамильтоновы системы// Функц. анализ и его прил. 1977. Т. 11. С. 11.

12. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Семейство гамильтоновых структур, связанное с интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями. М., ИПМ АН СССР, препринт, 1978, № 136.

13. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Исчисление струй и нелинейные гамильтоновы системы// Функц. анализ и его прил. 1978. Т. 12. С. 8.

14. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. Интегрируемые нелинейные уравнения и теорема Лиувилля// Функц. анализ и его прил. 1979. Т. 13. С. 8.

15. Гельфанд И.М., Дорфман И.Я. Гамильтоновы операторы и связанные с ними алгебраические структуры// Функц. анализ и его прил. 1979. Т. 13. С. 13.

16. Гельфанд И.М., Дорфман И.Я. Скобка Схоутена и гамильтоновы операторы// Функц. анализ и его прил. 1979. Т. 13. С. 8.

17. Гельфанд И.М., Дорфман И.Я. Гамильтоновы операторы и бесконечномерные алгебры Ли.// Функц. анализ и его прил. 1981. Т. 15. С. 23.

18. Гельфанд И.М., Дорфман И.Я. Гамильтоновы операторы и классическое уравнение Янга — Бакстера// Функц. анализ и его прил. 1982. Т. 16. С. 1.

19. Гельфанд И.M., Манин Ю.И., Шубин М.А. Скобки Пуассона и ядро вариационной производной в формальном вариационном исчислении// Функц. анализ и его прил. 1976. Т. 10. С. 30.

20. Гельфанд И.М., Чередник И.В. Абстрактный гамильтонов формализм для классических пучков Янга—Бакстера// УМН. 1983. Т. 38. С. 3.

21. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1950.

22. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные уравнения. М.: Мир, 1988.

23. Дрюма B.C. Об аналитическом решении двумерного уравнения Корте-вега — де Фриза// Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 19. С. 219.

24. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука. 1970.

25. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Интегрирование уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I.// Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8. С. 43.

26. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.:Наука, 1980.

27. Захаров В.Е., Мушер С.Л., Рубенчик A.M. О нелинейной стадии параметрического возбуждения волн в плазме// Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 19. С. 249.

28. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

29. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости волн в слабо диспергирующих средах// ДАН СССР. 1970. Т. 192. С. 753.

30. Калоджеро Ф. Почему некоторые системы уравнений с частными производными одновременно широко применимы и интегрируемы? //Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наук, думка, 1990. С. 117.

31. Кричевер И.М. Общие рациональные редукции иерархии КП и их симметрии // Функц. анализ и его прил. 1995. Т. 29. С. 1.-32. Манаков C.B. О полной интегрируемости и стохастизации в дискретных динамических системах// ЖЭТФ. 1974. Т. 67. С. 543.

32. Маршаков A.B. Об интегрируемых системах и суперсимметричных калибровочных теориях // ТМФ. 1997. Т. 112. С. 3.

33. Михайлов A.B., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем// УМН. 1987. Т. 42. С. 3.

34. Михайлов A.B., Шабат А.Б., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений// Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наук, думка, 1987.

35. Морозов А.Ю. Теория струн что это такое ?// УФН. 1994. Т. 164. С. 3.

36. Неттер Э. Инвариантные вариационные задачи. М.: Физматгиз, 1959.

37. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.: Мир, 1989.

38. Ньюэлл А., Табор М. Интегрируемость// Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наук, думка, 1990. С. 117.

39. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М: Наука, 1978.

40. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

41. Свинин А.К. О некоторой задаче на собственные значения// Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений. Иркутск: Иркут. ун-т, 1993. С. 54.

42. Свинин А.К. Новые иерархии би-гамильтоновых систем. Деп. в ВИНИТИ, 30.03.94, № 777-Б94.

43. Свинин А.К. Преобразование типа Миуры. препринт № 2 ИрВЦ СО РАН, 1994.

44. Свинин А.К. О связи решений линейного дифференциального уравнения с решениями сопряженного уравнения// Дифф. уравнения. 1996. Т. 32. С. 138.

45. Свинин А.К. Редукции цепочек Вольтерра и Тоды// ТМФ. (в печати).

46. Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986.

47. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur Н. Nonlinear evolution equations of Painlevé type// Lett. Nuovo Cirn. 1978. V. 23. P. 333.

48. Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of p-type, I, II// J. Math. Phys. 1980. V. 21. P. 715, P. 1006.

49. Ablowitz M.J., Clarkson P.A. Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.

50. Adler M. On the Backhand transformation for the Gelfand—Dickii equations// Commun. Math. Phys. 1981. V. 80. P. 517.

51. Alonso L.M.// J. Math. Phys. 1980. V. 21. P. 2342.

52. Ant.onowicz M., Fordy A.P. Hamiltonian structure of nonlinear evolution equations// Soliton theory: a survey of results (ed. A.P. Fordy). Manchester: Univ. Press, 1990, P. 273-312.

53. Aratyn H., Ferreira L.A., Zimerman A.H. On discrete symmetries of the multi-boson KP hierarchies// Phys. Lett. 1994. V. 327B. P. 266.

54. Aratyn H., Nissimov E., Pacheva S. Two-matrix string model as constrained (2 + l)-dimensional integrable system, preprint BGU-94/15/June-PH, hep-th/9407017.

55. Aratyn H., Nissimov E., Pacheva S., Zimerman A.H. Reduction of To da lattice hierarchy to generalized KdV hierarchies and two-matrix model, preprint BGU-94/19/June-PH, hep-th/9407112.

56. Aratyn H., Nissimov E., Pacheva S. Construction of KP hierarchies in terms of finite number of fields and their abelianization, preprint, hep-th/9306035. 1993.

57. Aratyn H., Nissimov E., Pacheva S. Darboux—Backlund solutions of SL(p, q) KP-KdV hierarchies, constrained generalized Toda lattice, and two-dimensional string model //Phys. Lett. 1995. V. A201. P. 293.

58. Aratyn H., Nissimov E., Pacheva S. Constrained KP hierarchies: additional symmetries, Darboux—Backlund solutions and relations to multi-matrix models, preprint BGU-96/19/July-PH, 1996.

59. Aratyn H. Constrained KP hierarchy as a ratio of differential operators// Supersymmetry and integrable models (Lecture Notes in Physics). Springer. Y. 502. 1998.

60. Awada M.A. The supersymmetric modified KdV hierarchy and iion-perturbative spinning string theory in less than one dimension// Class. Quantum Grav. 1992. V. 9. P. 801.

61. Bakas I., Depireux A. A fractional KdV hierarchy// Mod. Phys. Lett. 1991. V. A6. P. 1561.

62. Bonora L., Xiong C.S. An alternative approach to KP hierarchy, preprint SISSA-ISAS 48/92/EP, 1992.

63. Bonora L., Xiong C.S. Multi-matrix models without cotinuum limit// Nucl. Phys. 1993. V. B405. P. 191.

64. Bonora L., Xiong C.S. Correlation functions of the two-matrix models, preprint, SISSA 172/93/EP, BONN-HE/45/93, 1993.

65. Bonora L., Xiong C.S. The (TV, M)-th KdV hierarchy and associated W algebra, preprint SISSA, 1993.

66. Brezin E., Kazakov V.A. Exactly solvable field theories of closed strings// Phys. Lett. 1990. V. 236B. P. 144.

67. Cheng Y. Constraints of the Kadomtsev—Petviashvili hierarchy// J. Math. Phys. 1992. V. 33. P. 3747.72 7374