Устойчивость линейных неавтономных разностных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Куликов, Андрей Юрьевич

• Куликов, Андрей Юрьевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Куликов, Андрей Юрьевич

Оглавление

Обозначения

Введение

Глава I. Связь устойчивости разностного уравнения с оценками его функции Коши

1.1. Линейное неавтономное разностное уравнение

1.2. Вспомогательное функционально-дифференциальное урав-

нение

1.3. Устойчивость по начальной функции

1.4. Устойчивость по правой части

1.5. Признак устойчивости для полуавтономной системы

Глава II. Признаки устойчивости неавтономного уравнения

2.1. «3/2 — теоремы»

2.1.1. Точность константы 3/2

п

2.2. Уравнение с одним запаздыванием и вариантой ^ а(г),

г=п—/г(п)

имеющей конечный предел

2.2.1. Точность константы 7г/2

2.3. Уравнение с ограниченными запаздываниями

2.3.1. Доказательство теорем 2.4 и 2.5

2.3.2. Точность константы 3/2+ 2я1+2

2.4. Сравнение с известными результатами

Глава III. Признаки устойчивости уравнения с постоянными

коэффициентами

3.1. Признаки устойчивости в терминах ограничений на вспомогательную функцию

3.2. Переформулировка результатов в терминах параметров ис-

ходного уравнения

3.3. Точность границ области устойчивости

3.4. Сравнение с известными результатами

3.5. Обобщение на случай полуавтономных систем

Литература

Обозначения

N — множество натуральных чисел М0 = N и {0}

= {п е N : п > га} Дм = {(та, т) е N0 : п > т} Ъ — множество целых чисел

= {п € Z : п < 0} Ъ-т — {п Е Ъ : п < га}

[ш1,777.2] — {п £ Ъ \ т\ < п < ГП2]: если т\ > гаг, то [га 1,гаг] = 0 М = (—00,00) — множество действительных чисел М+ = [0, оо)

Д® = {(¿, 5) £ М^ : £ > в} [5] — целая часть действительного числа 5 Мг — г-мерное вещественное пространство Сг — г-мерное комплексное пространство

Сгхг — пространство комплексных матриц, размерности г х г Е — единичная матрица Э — нулевая матрица

1р, 1 < Р < оо — пространство функций / : N0 —» Сг, удовлетворяющих

оо / оо \!/Р

условию X №)1Р < оо, с нормой ||/||р = X) 1/(П)|Р

п=0 \п=0 /

1оо — пространство ограниченных функций / : N0 —> С с нормой

1!/1!оо = зир |/(п)|

1 < р < оо — пространство функций д : М+ —» Сг, суммируемых со

/оо \ Ур

степенью р, с нормой ||д||р = I / \д{Ь)\р(й ]

Loo — пространство измеримых и ограниченных в существенном функций g : R+ —» Сг с нормой \\д\\оо — vrai sup \g(t)\

teR+

Норму матрицы А и вектора Ь будем обозначать |А| и |6| соответственно и считать их согласованными.

Знаками с и С будем обозначать соответственно строгое и нестрогое вложение множеств или линейных пространств.

Договоримся считать, что если m < п, то XX=n = О-

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость линейных неавтономных разностных уравнений»

Введение

Разностные уравнения. Рекурсивные вычисления применялись людьми издавна. Арифметическая и геометрическая прогрессии были известны уже в Древнем Вавилоне и Египте, а простейшие приемы интерполяции появились в Древней Греции. Первая задача, приводящая к разностному (возвратному) уравнению х(п + 1) = х{п) + х(п — 1), была сформулирована Фибоначчи в 1202 году. Разностные уравнения как самостоятельные объекты первыми начали изучать Муавр и Стирлинг более двух с половиной столетий назад. Они пришли к этим уравнениям, отправляясь от некоторых задач теории вероятности.

В самостоятельный раздел математики теория разностных уравнений оформилась во второй половине XVIII века трудами Эйлера, Лагранжа, Лапласа и других математиков того времени. Развитие всех направлений этой теории всегда происходило под сильным влиянием теории дифференциальных уравнений.

В XIX веке исследователи занимались, в первую очередь, поиском методов решения различных конкретных классов разностных уравнений. В самостоятельные объекты исследования были выделены линейные разностные уравнения. Для них была найдена структура общего решения, введены понятия линейной независимости решений и фундаментальной системы решений.

Первые работы по устойчивости разностных уравнений написаны в начале XX века и принадлежат А.Пуанкаре и О. Перрону. Это произошло через несколько лет после появления фундаментальной работы A.M. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения» [43], которой было положено начало теории устойчивости дифференциальных уравне-

ний.

Первая половина прошлого века — время интенсивного развития теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Проблемы устойчивости разностных уравнений в этот период заметного интереса исследователей не привлекали. Систематические исследования устойчивости разностных уравнений начались только в конце сороковых годов. В теории устойчивости ОДУ к этому времени уже хорошо зарекомендовали себя методы Ляпунова. Их дискретные аналоги и стали первыми методами исследования устойчивости разностных уравнений.

Первый метод Ляпунова — это по сути целый спектр приемов поиска или оценки характеристических показателей уравнения, которые определяют скорость роста решения.

Для автономных разностных уравнений исследование характеристических показателей сводится к алгебраической задаче — изучению расположения корней характеристического полинома относительно единичного круга. Начало исследования устойчивости автономных разностных уравнений положено в работах П.И. Коваля [24], Э.И.Джури [16], [87], С.А. Левина и Р.М.Мэя [94]. Заметим, что построение областей устойчивости автономного уравнения в пространстве его параметров оказалось нетривиальной задачей. В настоящее время исследования устойчивости автономных уравнений стали даже более интенсивными (см., например, работы [22], [23], [42], [52], [82], [89], [93], [100], [104], [105]).

Для уравнений с периодическими коэффициентами поиск характеристических показателей можно свести к задаче изучения спектра матрицы монодромии. Исследованию устойчивости таких уравнений уравнений посвящены работы С.Н.Шиманова и М.Г. Близорукова [8]-[11]

Еще в пятидесятые годы в работах П.И. Коваля [25], [26] были по аналогии с ОДУ введены понятия приводимой и почти приводимой систем разностных уравнений, исследование устойчивости которых можно свести к исследованию устойчивости автономных систем. Автор, в частности, перенес на разностные уравнения известную теорему о том, что система разностных уравнений с периодическими коэффициентами яв-

ляется приводимой.

И в настоящее время находятся новые классы уравнений, для которых удается применить идеи первого метода Ляпунова, однако это случается редко. В качестве примера, отметим новый метод «замораживания коэффициентов» [17], [76], [79], [102], позволяющий сводить исследование устойчивости некоторых неавтономных уравнений к изучению некоторой совокупности автономных уравнений.

Метод функций Ляпунова для разностных уравнений одними из первых использовали В.Хан [84], [85], С.Е.Бертрам и P.E. Калман [88], М.А. Скалкина [56]—[58], С.Н.Шиманов и Н.И.Казеева [18]—[21]. Он используется и в последние годы (см., например, [3], [4], [27], [53], [54], [55], [86]). Теория второго метода Ляпунова для разностных уравнений подробно изложена в известной монографии А. Халаиая и Д. Векслера [61].

Развитие численных методов и математического моделирования стимулировало исследования разностных уравнений. Появилось большое количество монографий, посвященных этой области математики. Широко известны работы Я.С. Безиковича [7], А.О. Гельфонда [13], Э.И.Джури [15], Д.И. Мартынюка [48], A.A. Миролюбова и М.А. Солдатова [49], [50], А. Халаная и Д. Векслера [61], R.P. Agarwal [64], S.N. Elaydi [77].

Разностные уравнения используются для аппроксимации дифференциальных уравнений. Однако во многих случаях исследуемый процесс более адекватно описывается разностными, а не дифференциальными уравнениями. Первыми моделями, в основу которых были положены разностные уравнения, стали модель динамики популяции рыб Бевертона-Холта (1957) [73] и ее обобщение - модель Пиелоу (1969) [107], [108]. В последние три десятилетия разностные уравнения все чаще используются для описания процессов экологии, биологии, экономики. Соответственно возросла и актуальность исследования свойств разностных уравнений, а одним из важнейших среди них является устойчивость. Методов исследования устойчивости, основанных на проведении параллели с ОДУ,

оказалось недостаточно, поэтому требовалась разработка новых подходов.

В пятидесятых годах прошлого века работами А.Д. Мышкиса [51] и H.H. Красовского [28] было положено начало теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ). Ее основы излагаются, например, в монографиях Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматулиной [1],

H.В.Азбелева и П.М.Симонова [2], Р. Беллмана и К.Кука [6], Л.Э.Эсгольца и С.Б.Норкина [63], А.Д. Мышкиса [51], Дж. Хейла [62] и др. В настоящее время теория ФДУ стала важным самостоятельным разделом теории дифференциальных уравнений.

Многие классы разностных уравнений по своей природе оказались ближе к ФДУ, чем к ОДУ. Для обозначения разностных уравнений, которые рассматриваются как аналоги ФДУ с запаздыванием, в зарубежной литературе появился специальный термин — 'Delay Difference Equations' (разностные уравнения с запаздываниями).

В последние два с половиной десятилетия разностные уравнения с запаздываниями изучали многие авторы: R.P. Agarwal, Y.H. Kim и S.K. Sen [65], [66], С.Т.Н. Baker [67], L.Berezansky и E. Braverrnan [70]-[72], L.H.Erbe, H.Xia и J.S.Yu [78], I. Györi и F. Härtung [81],

I. Koväcsvölgyi [90], E. Liz [96], [97], A. Ivanov и J.B. Ferreira [98], Pituk [99], K. Gopalsamy [103], M. V.Tkachenko и S. Trofimchuk [110] и др. На разностные уравнения были перенесены методы исследования устойчивости ФДУ, такие как метод неравенств типа Халаная и условия Йорке.

В середине восьмидесятых годов прошлого века K.L. Cooke и J.Wiener [74], изучая вопросы аппроксимации решений функционально-дифференциальных уравнений решениями разностных уравнений, выделили специальный класс ФДУ — уравнения с кусочно-постоянными аргументами. Оказалось, что решения уравнения с кусочно-постоянными аргументами совпадают в целочисленных точках с решениями некоторого разностного уравнения. Обратим внимание, что между разностными уравнениями и ОДУ подобной связи нет.

Несколько позже было замечено, что найденное соответствие с не

меньшей эффективностью можно использовать и для исследования разностных уравнений. В частности, J.S.Yu и X.H.Tang [109] применяли эту связь для исследования осцилляции разностных уравнений, а возможность ее использования при исследовании асимптотики разностных уравнений отмечалась в работе I. Györi и F. Härtung [81]. В теории ФДУ к настоящему времени получен ряд сильных результатов, а установленное соответствие открывает возможность прямого перенесения этих результатов на разностные уравнения.

Актуальность темы исследования. Итак, аналогия между разностными уравнениями и ФДУ является основой новых методов изучения разностных уравнений. В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования ФДУ является подход, разрабы-тываемый Пермской школой проф. Н.В. Азбелева с конца шестидесятых годов прошлого века. Результаты исследований Пермских математиков изложены в большом количестве работ (см. монографию [2] и библиографию к ней). Актуально использовать методы и результаты этих работ при изучении устойчивости разностных уравнений. Однако для этого необходимо рассмотреть разностные уравнения с позиций Пермской школы.

В рамках подхода Н.В. Азбелева ряд объектов, которые традиционно (в частности, в теории ОДУ) играли лишь вспомогательную роль, становятся центральными объектами исследования. При изучении уравнений с запаздывающим аргументом такими объектами являются функция Коши, оператор Коши и связанное с ними представление решения уравнения — формула Коши.

Устойчивость по начальным данным определяется как некоторое свойство функции Коши. Такое понимание устойчивости предоставляет удобную форму выражения результатов и во многих случаях упрощает их получение. Оно согласовано с общепринятым, однако акцентирует внимание на том, что именно от свойств функции Коши зависит асимптотическое поведение решения.

Устойчивость по правой части оказывается тесно связанной со свой-

ствами оператора Коши и определяется как действие оператора Коши в паре некоторых линейных пространств [2]. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений давно известны теоремы типа Воля-Перрона, устанавливающие эквивалентность устойчивости по правой части и экспоненциальной устойчивости [5], [14], [28]. В рамках описываемого подхода теоремы типа Боля—Перрона, связывая действие оператора Коши с оценками функции Коши, приобретают особое значение.

Следуя традиции Пермской школы, мы делаем функцию Коши и оператор Коши разностного уравнения основными объектами исследования. В свете сказанного выше, актуальным становится установление связи устойчивости уравнения по начальной функции с оценками функции Коши и получение разностных аналогов теорем типа Боля-Перрона.

Линейные уравнения обладают наиболее простыми свойствами и именно для них естественно ожидать наилучших результатов — получения эффективных, то есть выраженных в терминах параметров исходной задачи, и псулучшаемых признаков устойчивости.

Для линейного неавтономного ФДУ с одним запаздыванием первый такой признак получен еще в работе А.Д. Мышкиса [51] (известная теорема о 3/2). В работах Т.Yoneyama [111], J.A.Yorke [112] и B.B. Малыгиной [44] этот результат был обобщен на ФДУ с несколькими запаздываниями.

Для линейного неавтономного разностного уравнения с одним запаздыванием аналоги теоремы Мышкиса получены в конце 90 годов прошлого века в работах J.S.Yu [113] и B.G.Zhang, C.J.Tian, P.J.Y. Wong [115]. Логика развития теории делает актуальной задачу обобщения этих результатов на разностные уравнения с несколькими запаздываниями.

Цели работы — получение новых эффективных, то есть выраженных в терминах параметров исходной задачи, и неулучшаемых признаков устойчивости линейных неавтономных разностных уравнений и установление связи между различными видами устойчивости.

Методика исследования. В работе используются методы матема-

тического и функционального анализа, линейной алгебры, общей теории ФДУ и дискретные аналоги методов исследования устойчивости ФДУ.

Наиболее существенные результаты и их новизна.

1. Получены эффективные неулучшаемые достаточные признаки устойчивости линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами и несколькими переменными запаздываниями, обобщающие и уточняющие известные результаты.

2. Найдены эффективные неулучшаемые достаточные признаки устойчивости уравнений с постоянными коэффициентами и переменными запаздываниями.

3. Установлена эквивалентность важнейших видов устойчивости по начальной функции соответствующим оценкам функции Коши.

4. Для линейного разностного уравнения доказана теорема типа Боля-Перрона о связи устойчивости по правой части с экспоненциальной устойчивостью.

Теоретическая и практическая значимость. Проведенные исследования выявляют глубокую внутреннюю связь между функционально-дифференциальными и разностными уравнениями. Эта связь становится ядром методики исследования разностных уравнений, основанной на использовании известных результатов теории ФДУ. Поскольку теория ФДУ продолжает интенсивно развиваться, разработка указанной методики имеет важное значение для теории разностных уравнений и возможности ее использования не исчерпываются настоящей работой.

Неавтономные уравнения применяются в приложениях гораздо реже, чем автономные. По видимому, одной из причин этого является недостаточная изученность асимптотических свойств решений неавтономных уравнений. Полученные в работе признаки устойчивости неавтономных уравнений с несколькими запаздываниями стимулируют использование таких уравнений в математическом моделировании, в частности, при описании процессов экономики, экологии и биологии.

Структура и основные результаты работы. Диссертация состо-

ит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 125 страниц, включая 2 рисунка.. Библиографический список содержит 115 наименований.

В первой главе рассмотрено уравнение

N

х(п + 1) -х(п) + ^2ак(п)х(п- hk{n)) = /(n), п G N0, (0.1)

к=0

где ak : No —> Crxr — матрицы-функции, / : No —> Cr — вектор-функция целочисленного аргумента, hk : No —> No-

Матрица-функция К : Д^ —>• Сгхг, которая при каждом фиксированном m G No является решением задачи

N

К(п + 1, m) — К(п, га) = — ak(n)K(n — /ifc(n), m), n > га,

fc=о

< К (m, m) = E, K(n, m) = G, n < m,

называется функцией Коши уравнения (0.1). Функция Коши для разностного уравнения впервые введена в работах А.Л.Тептипа [59]. В зарубежной литературе функцию Коши называют иначе — фундаментальным решением, ссылаясь при этом на работы S.N. Elaydi [75], [77]. Пусть задана некоторая начальная функция £ : Z_ —> Сг. Положим

N

v(n) = /(n) - ^ ак(п)С(п - hk(n)), к—0

где £*(г) = £(г) при г < 0 и £*(г) = 0 при г > 0.

Лемма 1. Решение уравнения (0.1) с начальной функцией £ имеет представление

71— 1

х{п) = if(n, 0)£(0) + ^ к(п, г + 1 )v(i), n G N0. (0.2)

г=0

Представление (0.2) показывает, что асимптотическое поведение решений уравнения (0.1) определяется свойствами функции Коши. В част-

ности, признаки устойчивости удобно выражать в терминах асимптотических оценок функции Коши, которая в настоящей работе является основным объектом исследования.

Уравнение (0.1) является дискретным аналогом функционально-дифференциального уравнения

N

+ -$*(*)) * (о.з)

к=О

где Ьк : —Сгхг — матрицы-функции, и : —> Сг — вектор-функция с локально суммируемыми компонентами, дк : —» М+ — измеримые по Лебегу на М+ функции.

Матрица-функция С : Д^ —V Сгхг, которая при каждом фиксированном я £ М+ является решением задачи ( N

3) = - Е Ьк(Ь)С(Ь - дк(Ь), з), г>з,

к=о

< С(з,з) = Е,

называется функцией Коши [1] уравнения (0.3).

В § 1.2 показано, что при определенном выборе параметров уравнения (0.3) между функциями Коши уравнений (0.1) и (0.3) можно установить тесную связь.

Лемма 2. Пусть 6^(£) = а^([£]), £&(£) — /г^([£]) + ^ — [£]. Тогда при любых (п,т) € Д^ выполнено равенство

С(п, га) - К{п, га).

Установленное соответствие между функциями Коши уравнений (0.1) и (0.3) позволяет применять известные теоремы о свойствах функции Коши уравнения (0.3) для получения аналогичных результатов о свойствах функции Коши уравнения (0.1).

Исследование связи устойчивости уравнения (0.1) по начальной функции с оценками функции Коши проведено в § 1.3.

Определение 1. Функция Коши уравнения (0.1) ограничена, если при некотором М > 0 для любых (п, т) € Д^ выполнено неравенство

\К(п,т)\ < М.

Определение 2. Функция Коши уравнения (0.1) имеет экспоненциальную оценку, если при некоторых М, 7 > 0 для любых (п,т) е Д^ выполнено неравенство

|К(п: т)| < Мехр(—7(72 — т)).

N

Положим а(п) = X lafc(n)l ПРИ п £ ^о, а(п) = 0 при п No,

k=0

h(n) = max hk{n).

kt[0,N]

Определение 3. Будем говорить, что выполнено V-условие, если

п

sup ^^ а(г) < оо.

neN0. ,, ч г=п—п(п)

Этому условию удовлетворяет очень широкий класс уравнений. В частности, V-условие выполнено для любых автономных уравнений, а также для неавтономных уравнений с ограниченными коэффициентами и запаздываниями. Ему удовлетворяют и некоторые уравнения, в которых запаздывания неограниченно возрастают. Однако в последнем случае V-условие ограничивает влияние «истории» решения на дальнейшее его поведение. Особенно важно то, что оно исключает прямое влияние начальной функции на асимптотическое поведение решения. Не выполнено V-условие для уравнений с неограниченными коэффициентами, но решения таких уравнений обычно неустойчивы и условие ограниченности коэффициентов всегда (так или иначе) заложено в формулировках признаков устойчивости.

Теорема 1. Пусть выполнено V-условие. Тогда уравнение (0.1)

• равномерно устойчиво, если и только если функция Коши этого уравнения ограничена;

• асимптотически устойчиво, если и только если при каэюдом фиксированном т £ No имеем lim \К(п,т)\ = 0;

п—> оо

• экспоненциалыю устойчиво, если и только если функция Коши этого уравнения имеет экспоненциальную оценку.

Приведенная теорема позволяет формулировать все признаки устойчивости, полученные в настоящей работе, в терминах оценок функции Коши. Поскольку У-условие явно или неявно входит в их формулировки, при необходимости нетрудно переформулировать любой признак в терминах устойчивости по начальной функции. Это удобно, поскольку функция Коши не зависит от начальной функции, что упрощает доказательства. Кроме того, результаты теории устойчивости ФДУ, которые использованы нами при получения некоторых признаков устойчивости разностных уравнений, сформулированы именно в терминах оценок функции Коши.

Равномерная асимптотическая устойчивость, вообще говоря, слабее экспоненциальной. Однако имеет место следующий результат.

Теорема 2. Пусть выполнено V-условие. Тогда равномерная асимптотическая устойчивость уравнения (0.1) эквивалентна экспоненциальной устойчивости.

В теории дифференциальных уравнений хорошо известны теоремы типа Боля-Перрона, связывающие устойчивость по правой части со свойством экспоненциальной устойчивости уравнения [2], [5], [14], [28]. Получению аналогичных результатов для уравнения (0.1) посвящен § 1.4.

Пусть § — линейное нормированное пространство функций целочисленного аргумента, определенных на Nq. Введем оператор К : § —> §,

71—1

положив (К/)(п) = J2 + 1 )/00- При исследовании устойчивости

г=0

по правой части достаточно изучить уравнение (0.1) с нулевой начальной функцией. Представление решения (0.2) в этом случае принимает вид х — К/.

Определение 4. Уравнение (0.1) устойчиво по правой части из §,

если для любого е > 0 существует ö > 0, такое, что из неравенства ||/||§ < ö следует неравенство sup |я(п)| < е.

пе No

Устойчивость по правой части означает, что оператор К действует из пространства § в пространство и непрерывен, а следовательно, в силу линейности, ограничен. Если же правая часть уравнения (0.1) принадлежит пространству 1р, то имеет место более сильное утверждение.

Лемма 3. Пусть 1 < р < оо. Уравнение (0.1) устойчиво по правой части из \р тогда и только тогда, когда оператор К действует из пространства \р в пространство loo-

Теорема 3. Оператор К действует из пространства Ii в пространство loo тогда и только тогда, когда функция Коши уравнения (0.1) ограничена.

Теорема 4. Пусть выполнено V-условие. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

• при некотором р, 1 < р < оо, оператор К действует из пространства \р в пространство Iqo/

• при любом р, 1 < р < оо, оператор К действует из пространства 1р в пространство Iqo/

• функция Коши уравнения (0.1) имеет экспоненциальную оценку.

В § 1.5 теорема 4 использована для получения признака экспоненциальной устойчивости системы уравнений с постоянной матрицей A G СГХГ. Рассмотрим уравнение

х{п+ 1) - х{п) + Ах(п - h(n)) = f(n), п е N0. (0.4)

Теорема 5. Пусть Н = sup h(n) < оо и для любого собственного

пе No

числа X матрицы А справедливо неравенство |А|2Н < 1 — |1 — А|. Тогда функция Коши уравнения (0.4) имеет экспоненциальную оценку.

Область экспоненциальной устойчивости, гарантируемая этим признаком, является аналогом известного «круга Гроссмана» [80] для системы функционально-дифференциальных уравнений с постоянной матрицей. При H = 1 она совпадает с областью устойчивости, которую задает необходимое и достаточное условие экспоненциальной устойчивости автономной системы уравнений я(п + 1) — х(п) + Ах(п — 1) = /(п), найденное М.М.Кипнисом и И.С.Левицкой [95].

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости скалярного неавтономного разностного уравнения

N

х(п + 1) — х(п) = — ^ ак{п)х{п — hk{ri)), ne N0, (0.5)

fc=о

где ак : N0 R+, hk : N0 ->> N0.

В § 2.1 с помощью леммы 2 на основе известных [45] результатов для ФДУ получены аналогичные признаки устойчивости для уравнения (0.5).

п

Теорема 6. Пусть sup аС0 — 3/2. Тогда функция Коши

n€N0 i=n-h{n)

уравнения (0.5) ограничена. Теорема 7. Пусть

п

ШК V а(г) < 3/2. (0.6)

?г—> оо ' '

i=n—h(n)

Тогда существуют такие М, 7 > 0, что при любых (п,т) 6 Д^ для функции Коши уравнения (0.5) справедлива оценка

\К(п,т)\ < Мехр Н^аШ . (0.7)

\ г=т /

Заметим, что авторы более ранних работ ограничивались получением признаков асимптотической устойчивости, тогда как теорема 7 сформулирована в терминах оценки функции Коши, что дает дополнительную информацию об асимптотическом поведении решения. Признак же асимптотической устойчивости получается как ее простое следствие.

оо

Следствие 1. Пусть выполнено неравенство (1.6) и X а(п) — 00 •

п=0

Тогда уравнение (0.5) асимптотически устойчиво.

При N = 1 следствие 1 совпадает с признаком устойчивости, полученным ранее для уравнения с одним запаздыванием

х(п +1) - х(п) = -а{п)х{п - h(n)), п е No, (0.8)

в работе B.G. Zhang, C.J.Tian и P.J.Y.Wong [115]. Ее авторы накладывали на запаздывание уравнения дополнительное условие lim (n — h(n)) = оо,

71—> ОО

которое является избыточным.

Признак асимптотической устойчивости для уравнения (0.8) получен также в работе I. Györi и F. Härtung [81]. Он уступает следствию 1 в выборе константы в неравенстве (1.6) (она равна 1 + 1/е < 3/2).

В § 2.2. рассмотрен частный случай уравнения (0.5) — уравнение (0.8). С использованием известного результата для ФДУ и леммы 1.2 получен следующий результат.

00

Теорема 8. Пусть lim а(п) = О, X a(n) = 00 и существует

п-» оо п=0

п

lim J2 а(г) < 7г/2. Тогда уравнение (0.8) асимптотически устой-

i=n-h(n)

чиво.

Построены примеры, показывающие точность постоянных 3/2 и 7г/2, входящих в формулировки теоремы 6, теоремы 8 и следствия 1. А именно, показано, что:

• в теореме 6 константу 3/2 нельзя увеличить ни на какую сколь угод-

п

но малую величину, более того, в неравенстве sup X ^ 3/2

neNo i=n-h{n)

нельзя заменить точную верхнюю грань на верхний предел;

• строгое неравенство в следствии 1 и в теореме 8 нельзя заменить нестрогим.

Для построения примеров существенна возможность неограниченного увеличения запаздываний.

Накладывая ограничения на величину запаздываний (то есть сужая класс уравнений), удается расширить границы области устойчивости. Признаки устойчивости для уравнения (0.8) с одним ограниченным запаздыванием были впервые получены в работе J.S. Yu [113]. В § 2.3 они обобщены на уравнение (0.5) и выражены в терминах оценок функции Коши.

Теорема 9. Пусть Н = sup h(n) < оо и выполнено неравенство

пе n0

п

sup ai0 — | + 2Н+2 • Тогда функция Коши уравнения (0.5) огра-

weN0 i=n-h{n)

ничена.

Теорема 10. Пусть Н = sup h(n) < оо и выполнено неравенство

пе No

_ п

lim a{i) < f + 2Я+2 • Тогда существуют такие М, 7 > 07 что

71—ЮО

при любых (п,т) £ А^ для функции Коши уравнения (0.5) справедлива оценка (0.7).

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 10 и

оо

J2 а(п) = оо. Тогда уравнение (0.5) асимптотически устойчиво.

п=О

Заметим, что для функционально-дифференциального уравнения с ограниченными запаздываниями увеличения области устойчивости не происходит. Таким образом, ограниченность запаздываний дает возможность уравнению (0.5) проявить свои «дискретные» свойства.

Построены примеры, показывающие, что постоянная | + 2Я1+2 в теореме 9 и следствии 2 является точной.

Признаки асимптотической устойчивости уравнения (0.5) с несколькими ограниченными запаздываниями были ранее получены в работе L. Berezansky и Е. Braverman [69], а признаки асимптотической устойчивости уравнения (0.8) с одним ограниченным запаздыванием — в работах I.Koväcsvölgyi [90], J.S.Yu и S.S.Cheng [114]. В § 2.4 построены примеры, показывающие, что следствие 2 имеет с этими признаками разные области применимости, однако, если коэффициенты уравнения близки к постоянным, предпочтительнее использовать следствие 2.

Сужения класса неавтономных уравнений с ограниченными запаздываниями составляют полуавтономные уравнения, то есть уравнения, в которых либо коэффициенты, либо запаздывания постоянны. Однако в § 2.3 построены примеры, которые показывают, что постоянство запаздываний не увеличивает области устойчивости, обеспечиваемые теоремой 9 и следствием 2.

Случай постоянных коэффициентов и переменных запаздываний, который до настоящей работы отдельно не рассматривался, оказывается более содержательным. Ему посвящена третья глава. Рассмотрим уравнение

N

х{п + 1) — х{п) = — — hk(n)), п £ No (0.9)

к=о

N

где ак £ R+, Н = sup h(n) < оо. Обозначим а = X ак- Положим

neNo к=0

и(Н)

5я+3+2^ячбя+9 при Я = 0(mod3), 1(1+2^+т) ПРИ #=l(mod3), к^штШшт1 ПРИ ^-2(mod3).

Теорема 11. Пусть 0 < (Н + 1)а < ш(Н). Тогда функция Коши уравнения (0.9) ограничена.

Теорема 12. Пусть 0 < [Н + 1)а < и(Н). Тогда функция Коши уравнения (0.9) имеет экспоненциальную оценку.

Показано, что все ветви функции ои асимптотически эквивалентны функции +

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куликов, Андрей Юрьевич, 2015 год

Литература

[1] Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1991. - 280 с.

[2] Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. — Пермь: Изд-во Пермск. унта, 2001. - 229 с.

[3] Александров А.Ю., Жабко А.П. Об устойчивости решений нелинейных разностных систем //Известия вузов. Математика. —■ 2005. — №2. - С. 3-12.

[4] Александров А.Ю., Жабко А.П. О сохранении устойчивости при дискретизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений //Сиб. матем. журн., - 2010. - №2.51:3. - С. 481-497.

[5] Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. - 224 с.

[6] Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. - 548 с.

[7] Безикович Я. С. Исчисление конечных разностей. — Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1939. — 370 с.

[8] Близорукое М.Г. О построении характеристических показателей систем разностных уравнений //Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск. - 1982. С. - 11—21.

[9] Близорукое М.Г., Шиманов С.Н. Об отыскании характеристических показателей линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами, близкими к постоянным в аналитическом случае //Устойчивость и нелинейые колебания. Свердловск. — 1984. — С. 310.

[10] Близорукое М.Г., Шиманов С.Н. К вопросу об устойчивости тривиального решения линейных разностных систем с периодическими коэффициентами // Дифферент, уравнения. 1986. — Т. 22. — №6. — С. 977-986.

[11] Близорукое М.Г., Шиманов С.Н. Устойчивость квазигармонических систем дискретных уравнений //АиТ. — 1992. — №2. — С. 30—36.

[12] Гусаренко С.А. Признаки разрешимости задач о накоплении возмущений для функционально-дифференциальных уравнений //Функционально-дифференциальные уравнения. — Пермь. — 1987. - С. 30-40.

[13]- Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей — М.: Наука, 1959. — 400 с.

[14] Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1970. — 535 с.

[15] Джури Э.И. Инноры и устойчивость динамических систем — М.: Наука, 1979. - 304 с.

[16] Джури Э.И. О корнях полинома с действительными коэффициентами, лежащих внутри единичной окружности и о критерии устойчивости линейных дискретных систем. Доклад на Втором Международном конгрессе ИФАК, Базель, Швейцария. — М.: ВИНИТИ. — 1963.

[17] Желонкина Н.И. Метод «замораживания» для разностных уравнений //Известия УрГу. - Екатеринбург. - 2003. - №26. - С. 77-80.

[18]' Казеева Н.И. Исследование устойчивости систем разностных уравнений с постоянными коэффициентами в критическом случае одного корня, равного единице //Известия вузов. Математика — 1970. — № 10. - С. 31-36.

[19] Казеева Н.И., Шиманов С.Н. Основная теорема о критических случаях разностных систем //Дифференц. уравнения. — 1971. — Т. 7. — №,5. - С. 910-918.

[20] Казеева Н.И., Шиманов С.Н. Устойчивость решения систем разностных уравнений порядка п + 2 для критического случая пары комплексных корней, по модулю равных единице //Известия вузов. Математика - 1973. - №5. - С. 20-27.

[21] Казеева Н.И. Исследование устойчивости систем разностных уравнений в критическом случае двойного единичного корня //Известия вузов. Математика — 1977. - № 12. - С. 23-28.

[22] Кипнис М.М., Нигматулин P.M. Устойчивость некоторых разностных уравнений с двумя запаздываниями //АиТ. — 2003. — №5. --С.122-130.

[23] Кипнис М.М., Нигматулин P.M. Устойчивость трехчленных разностных уравнений с двумя запаздываниями //АиТ. — 2004. — №11. — С. 25-39.

[24] Коваль П.И. Об устойчивости решений систем разностных уравнений. //ДАН СССР. - 1955. - Т. 103. - №4. - С. 549-551.

[25] Коваль П.И. Об устойчивости решений систем линейных разностных уравнений. //УМЖ. - 1957. - Т. 9. - №2. - С. 141-154.

[26] Коваль П. И. Приводимые системы разностных уравнений и устойчивость их решений. //УМН. - 1957. - Т. 12. - №6. - С. 143-146.

[27] Колмановский В. Б. О применении второго метода Ляпунова к разностным уравнениям Вольтерра //АиТ. — 1995. — № 11 — С. 50-64.

[28] Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959. — 212 с.

[29] Куликов А.Ю. Устойчивость полуавтономных разностных уравнений с несколькими запаздываниями //Вычислительная механика: сб. научн. тр. - Пермь. - 2008. - №7. - С. 97-105.

[30] Куликов А.Ю. Устойчивость линейного разностного уравнения и оценки его фундаментального решения //Вестн. Пермск. гос. техн. ун-та. Механика. - 2009. - № 1. - С. 57-68.

[31] Куликов А.Ю. О некоторых признаках устойчивости неавтономного разностного уравнения //Матем. моделирование и краев, задачи: Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 3, Дифференциальные уравнения и краевые задачи. — СамГТУ, Самара. - 2009. - С. 144-147.

[32] Куликов А.Ю. Устойчивость линейного неавтономного разностного уравнения с ограниченными запаздываниями //Известия вузов. Математика. - 2010. - №11. - С. 22-30.

[33] Куликов А.Ю. Теоремы типа Воля-Перрона для разностного уравнения //Вести. Тамб. Гос. Техн. ун-та. Серия: естеств. и техн. науки - 2011. - Т. 16. - №4. - С. 1111-1113.

[34] Куликов А.Ю. Области устойчивости разностного уравнения //Изв. ИМИ УдГУ. - 2012. - № 1(39). - С. 74-75.

[35] Куликов А.Ю. Признаки устойчивости системы линейных неавтономных разностных уравнений с несколькими запаздываниями // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ-2012): материалы V Международной конференции, Воронеж, 11-16 сентября 2012г. — Воронеж: ИПЦ ВГУ. 2012.-С. 169-172.

[36] Куликов А.Ю. Некоторые признаки устойчивости системы неавтономных разностных уравнений с запаздыванием // Вестн. Тамб. гос.

ун-та. Серия: естеств. и техн. науки — 2013. — Т. 18. — № 5. — С. 25632565.

[37] Куликов А.Ю. Признаки устойчивости неавтономного разностного уравнения с несколькими запаздываниями // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сб. тр. VII междунар. конф. «ПМТУКТ-2014», Воронеж, 14-21 сентября 2014 г.— Воронеж: «Научная книга», 2014. — С. 212-214.

[38] Куликов А.Ю., Малыгина В. В. Об одном признаке устойчивости скалярных разностных уравнений //Вычислительная механика: сб. научн. тр. - Пермь. - 2007. - №6. - С. 66-71.

[39] Куликов А.Ю., Малыгина В.В. Об устойчивости неавтономных разностных уравнений с несколькими запаздываниями //Известия вузов. Математика. — 2008. - №3. — С. 18-26.

[40] Куликов А.Ю., Малыгина В.В. Об устойчивости полуавтономных разностных уравнений //Известия вузов. Математика. — 2011. — №5. - С. 25-34 .

[41] Куликов А.Ю., Малыгина В.В. Устойчивость линейного разностного уравнения и оценки его фундаментального решения //Известия вузов. Математика. — 2011. — № 12. — С. 30-41.

[42] Левицкая И. С. Область устойчивости линейного разностного уравнения с двумя запаздываниями //Изв. Челябинского научного центра УрО РАН. - 2004. - №3(24). - С. 12-16. -http://csc.ac.ru/news/2004-3/

[43] Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М.: Го-стехиздат, 1950. — 472 с.

[44] Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом //Дифференц. уравнения. — 1992. — Т. 28. - № 10. - С. 1716-1723.

[45] Малыгина B.B. Некоторые признаки устойчивости функционально-дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной //Известия вузов. Математика. — 1992. — №7. — С. 46-53.

[46] Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием //Известия вузов. Математика. - 1993. - №5. - С. 72-85.

[47] Малыгина В.В., Куликов А.Ю. Некоторые признаки устойчивости разностных уравнений //Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. — 2008. — №2(39). — С. 91-92.

[48] Мартынюк Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений. — Киев: Наукова думка, 1972. — 177 с.

[49] Миролюбов A.A., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. — М.: Наука, 1981. — 203 с.

[50] Миролюбов A.A., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. — М.: Наука, 1986. — 130 с.

[51] Мышкис АД. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. — М.: Наука, 1972. — 352 с.

[52] Николаев Ю.П. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем //АиТ. — 2002. — №7. — С.44-54.

[53] Персидский С. К. Об устойчивости взаимосвязанных конечно-разностных систем //Динамические системы. — Киев. — 1989. — №8. - С. 68-71.

[54] Родионов A.M. Некоторые модификации теорем второго метода Ляпунова для дискретных уравнений //АиТ. — 1992. — №9. — С. 86-93.

[55] Родионов A.M. О достаточных условиях абсолютной устойчивости дискретных уравнений //АиТ. - 1998. - №12. - С. 127-131.

[56] Скалкина М.А. О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным //Докл. АН СССР. - 1955. - Т. 104. - №4. - С. 505-508.

[57] Скалкина М.А. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений //ПММ. — 1955. — Т. 19. -№3.

[58] Скалкина М.А. Об устойчивости по первому приближению систем уравнений в конечных разностях //Труды Уральского политехнического института. — 1958. — №74. — С. 63-71.

[59] Тептии А. Л. Теоремы о разностных неравенствах для п-точечных разностных краевых задач// Матем. сб., — (1963) — 62(104):3 — С.345-370.

[60] Трепогин В.А. Функциональный анализ. — М.: Физматлит, 1980. — 495 с.

[61] Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. -М.: Мир, 1971. -310 с.

[62] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1984. - 424 с.

[63] Эсголъц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1971. — 296 с.

[64] Agarwal R.P. Difference equations and inequalities: Theory, methods and applications. — New York: Marcel Dekker Inc., 1992.

[65] Agarwal R.P., Kim Y.H., Sen S.K. New discrete Halanay inequalities: stability of difference equations //Commun. Appl. Anal. — 2008. — №12. - P. 83-90.

[66] Agarwal R.P., Kim Y.H., Sen S.K. Advanced discrete Halanay type inequalities: stability of difference equations //J. Inequal. Appl. — 2009. — Article ID 535849.

[67] Baker C.T.H. Development and application of Halanay-type theory: evolutionary differential and difference equations with time lag //J. Comput. Appl. Math. - 2010. - №234. - P. 2663-2682.

[68] Berezansky L., Braverman E. On existence of positive solutions for linear difference equations wits several delays //Adv. Dynam. Systems Appl. — 2006. - V. 1. - № 1. - P. 29-47.

[69] Berezansky L., Braverman E. On Bohl-Perron type theorems for difference equations //Func. Diff. Equ. - 2004. - №11. - P. 19-29.

[70] Berezansky L., Braverman E. Exponential stability of difference equations with several delays: recursive approach //Adv. Diff. Equat. — 2009. - Article ID 104310.

[71] Berezansky L., Braverman E. On exponential dichotomy, Bohl-Perron type theorems and stability of difference equations //J. Math. Anal. Appl. - 2005. - №304. - P. 511-530.

[72] Berezansky L., Braverman E., Liz E. Sufficient conditions for the global stability of nonautonomous higher order difference equations //J. Diff. Equat. Appl. - 2005. - V. 11. - №9. - P. 785-798.

[73] Beverton R.J.H., Holt S.J. On the dynamics of exploited fish population //Fishery invest. - 1957. - Ser. 2, - № 19. - P. 1-533.

[74] Cooke K.L., Wiener J. Retarded differential equations with plecewise constant delays //J. Math. Anal. Appl. - 1984. - V.99. - P. 265-297.

[75] Elaydi S.N. Periodicity and stability of linear Volterra difference systems //J. Math. Anal. Appl. - 1994. - №181. - P. 483-492.

[76] Elaydi S.N., Zhang S. Stability and periodicity of difference equations with finite delay //Funkcialaj Ekvac. - 1994. - V.37. - P. 401-413.

[77] Elaydi S.N. An introduction to difference equations. — New York: Springer-Verlag, Inc., 1999. - 381 p.

[78] Erbe L.H., Xia H., Yu J.S. Global stability of a linear nonautonomous delay difference equation //J. DifF. Equat. Appl. — 1995. — № 1. — P. 151— 161.

[79] Gil M.I, Medina R. The freezing method for linear difference equations //J. DifF. Equat. Appl. - 2002. - №8(5). - P. 485-494.

[80] Grossman S.E. Stability in n-dimensional differential-delay equations //J. Math. Anal. Appl. - 1972. - V. 40 - P. 541-546.

[81] Györi I., Härtung F. Stability in delay perturbed differential and difference equation //Fields Inst. Commun. — 2001. — №29. — P. 181— 194.

[82] Dannau F.M. The asymptotic stability of x(n+k)+ax(n)+bx(n-l) = 0 //J. Diff. Equations Appl. - 2004. - № 10. - P. 589-599.

[83] Dannau F.M., Elaydi S.N. Asymptotic stability of linear difference equations of advanced type //J. Comp. Anal. Appl. — 2004. — V.6. — №2. - P. 423-428.

[84] Hahn W. Ober die Anwendung der Methode von Ljapunov auf Differenzengleichungen //Math. Ann., — 1958. — Bd. 136, — №1. — S. 430-441.

[85] Hahn W. Theorie und Anwendung der direkten Methode von Ljapunov. — Springer Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg. — 1959.

[86] Ignatyev A.,Ignatyev O. Quadratic forms as Ljapunov functions in the study of stability of solutions to difference equations //Electronic Journal of Differential Equations. — 2011. - №. 19, - P. 1—21.

[87] Jury E.I. A simplified stability criterion for linear discrete systems //ERL Report. Series. - 1961. - №60. - P. 373.

[88] Kaiman R.E. Bertram S.E. Control system analysis and design via the Second method of Ljapunov. II. Discrete-time systems //Trans. ASME. Series D. J. of basic engineering. — 1960. — №2 — P. 394-400.

[89] Kipnis M.M., Komissarova D.A. A note on explicit stability conditions for autonomous higher order difference equations //J. Difference Equ. Appl. - 2007. - V. 13, - №5. - P. 457-461.

[90] Kovacsvolgyi I. The asymptotic stability of difference equations //Appl. Math. Lett. - 2000. - № 13. - P. 1-6.

[91] Kulikov A. Y.. Transferring known FDE stability conditions to difference equations // Dynamical System Modelling and Stability Investigations: XVI International Conference: Abstracts of conf. reports, Kiev, Ukraine, May 29-31, 2013-Kiev, 2013.-P. 100.

[92] Kulikov A.Y.. Right-part stability of a delay difference equation // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: Международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения C.JI. Соболева (Новосибирск, 18-24 августа 2013 г.): Тез. докладов — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2013. — Р. 332.

[93] Kuruklis S.A. The asymptotic stability of x(n+l) —ax{n)-\-bx{n—k) = 0 //J. Math. Anal. Appl. - 1994. - V. 188. - №3. - P. 719-731.

[94] Levin S.A., May R.M. A note on delay-differential equations //Theoret. Popul. Biol. - 1976. - №9. - P. 178-187.

[95] Levitskaya I.S. A note on the stability oval for xn+i = xn + Ахп-к //J. Difference Equ. Appl. - 2005. - V. 11. - №8. - P. 701-705.

[96] Liz E. On explicit conditions for the asymptotic stability of linear higher order difference equations //J. Math. Anal. Appl. — 2005. — №303. — P. 492-498.

[97] Liz E. Stability of nonautonomous difference equations: simple ideas leading to useful results //J. Difference Equ. Appl. — 2011. — V. 17. — №2. - P. 203-220.

[98] Liz E., Ivanov A., Ferreiro J.B. Discrete Halanay-type inequalities and applications //Nonlinear Anal. - 2003. - №55. - P. 669-678.

[99] Liz E., Pituk M. Asymptotic estimates and exponential stability for higherorder monotone difference equations //Advances in Differernce Equ. - 2005. - № 1. - P. 41-55.

[100] Liz E., Ferreiro J.B. A note on the global stability of generalized difference equations //Appl. Math. Lett. - 2002. - №15. — P. 655-659.

[101] Malygina V.V., Kulikov A.Y. On precision of constants in some theorems on stability of difference equations //Funct. Diff. Equat. — 2008. - V. 15. - №3-4. - P. 239-248.

[102] Medina R. Stability analysis of nonautonomous difference systems with delaying arguments //J. Math. Anal. Appl. — 2007. — №335/1. — P. 615-625.

[103] Mohamad S., Gopalsamy K. Continuous and discrete Halanay-type inequalities //Bull. Aus. Math. Sot. - 2000. - №61. - P. 371-385.

[104] Ogita R.; Matsunaga H., Hara.T. Asymptotic Stability Condition for a Class of Linear Delay Difference Equations of Higher Order //J. Math. Anal. Appl. - 2000. - №248. - P. 83-96.

[105] Papanicolaou V.G. On the asymptotic stability of a class of linear difference equations //Mathematics Magazine. — 1996. — V. 69. — № 1. — P. 34-43.

[106] Perron O. Uber Stabiiitat und asymptotisches Verhalten der Losungen eines Systems endlicher Diiferenzengleichungen //J. fur reine und angew. Math. - 1929. - №161. - S. 41-64.

[107] Pielou E.C. An introduction to mathematical ecology. — New York: Wiley Interscience, 1969.

[108] Pielou E. C. Population and community ecology. — New York: Gordon and Breach, 1974.

[109] Tang X.H., Yu J.S. A further result on the oscillation of delay difference equations //Comp. Math. Appl. - 1999. - №38. - P. 229-237.

[110] Tkachenko V., Trofimchuk S. Global stability in difference equations satisfying the generalized Yorke condition //J. Math. Anal. Appl. — 2005. - №303. - P. 173-187.

[Ill] Yoneyama T. On the 3/2 stability theorem for one dimensional delay-differential equations //J. Math. Anal. Appl. — 1987. — № 125. - P. 161-

[112] Yorke J.A. Asymptotic stability for one dimensional differential-delay equations //Diff. Equ. - 1970. - V. 7. - № 1. - P. 189-202.

[113] Yu J.S. Asymptotic stability for a linear difference equation with variable delay //Comp. Math. Appl. — 1998. - V.36. - №10-12. -P. 203-210.

[114] Yu J.S., Cheng S.S. A stability criterion for a neutral difference equation with delay //Appl. Math. Lett. — 1994. — №6. - P. 75-80.

[115] Zhang B.G., Tian C.J., Wong P.J.Y. Global attractivity of difference equation with variable delay //Dynam. Contin. Discrete Impuls. Systems. - 1999. — №6. - P. 307-317.

173.