Разностные операторы: допустимость пар пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Афанасьева, Татьяна Николаевна

• Афанасьева, Татьяна Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Афанасьева, Татьяна Николаевна

Оглавление

Список обозначений

Введение

ГЛАВА 1. Допустимость пар пространств относительно линейных разностных операторов и уравнений

§ 1.1 Резольвента и решение линейного разностного уравнения

§ 1.3 Устойчивость линейных разностных уравнений

§ 1.4 Устойчивость линейных разностных уравнений с неотрицательными ядрами

§ 1.5 Допустимость пар пространств относительно линейных разностных уравнений

ГЛАВА 2. Допустимость пар пространств относительно нелинейных разностных операторов и уравнений

§ 2.1 Об устойчивости по первому приближению

§ 2.2 Допустимость пары (X , X) относительно нелинейных разностных уравнений

§ 2.3 Допустимость пары (X , X) относительно нелинейного

разностного уравнения типа Вольтерра-Гаммерштейна

§ 2.5 Допустимость некоторых пар пространств относительно нелинейного разностного уравнения типа Вольтерра-Гаммерштейна

Литература

108

Список обозначений

N - множество натуральных чисел; Z+ - множество неотрицательных целых чисел; В. — множество действительных чисел; С — множество комплексных чисел;

Ят — пространство т-мерных действительных векторов х —

||а:||дт = тах 1 <т

Ст — пространство т-мерных комплексных векторов х — (х\,х2,---, хт),

||ж||ст = тах

I™ — пространство т-мерных комплексных векторов х = (хх, Х2, •••, хт),

т

7=1

№ — пространство т-мерных комплексных векторов х = (х\,х2,хт),

\х\№

\

£

з=i

Лтхт — пространство действительных т х m-матриц А = },

ЦЛЦдтхт = SUP ||АС||. ||®11<1

Стхт — пространство комплексных т х m-матриц А = {а^},

ЦЛЦстхт = SUP ||Аг||.

Nl<i

loo ~ пространство ограниченных последовательностей m-мерных комплексных векторов с нормой

||ж|| = sup ||xn||c"n-п> о

ао — подпространство I^ последовательностей, имеющих конечный предел при п —> оо.

со — подпространство последовательностей, имеющих нулевой предел при п —> оо.

¿1 — подпространство I^ последовательностей с нормой

00

N1 = ^2\\хп\\с™-

к=О

¿2 — подпространство последовательностей с нормой

\

оо

£

к=0

\х.

п\\ст'

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разностные операторы: допустимость пар пространств»

Введение

I. Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию допустимости различных пар пространств относительно линейных и нелинейных разностных уравнений. Такие уравнения являются дискретным аналогом интегральных уравнений Вольтерра.

Теория интегральных уравнений Вольтерра за последние десятилетия превратилась в хорошо развитую и далеко продвинутую теорию. В противоположность этому их дискретные аналоги изучены достаточно слабо, хотя, особенно с развитием численных методов, такие аналоги приобретают все большее значение, например, в работах А. Д. Эпплби, И. Гуори и Д. Рейнолдса, К. Кьюеваса и Пинто, С. Илайди, С. Мукарами, Е. Ками-ямы и других [1, б, 8, 12-15, 17-21].

Изучение разностных уравнений берет начало от рубежа XVII -XVIII столетий и связано с работами Эйлера и Лагранжа, посвященными исследованию так называемых рекуррентных рядов и решению некоторых задач теории вероятностей. В дальнейшем разностные уравнения встречались при численном решении алгебраических и трансцендентных уравнений, при решении некоторых задач комбинаторного анализа, теории чисел и т. д. Что касается качественной теории таких систем, упомянем результаты Пуанкаре и Перрона, полученные в конце XIX и начале XX века. Кроме того, теория конечных разностей имеет большое значение и для конструктивной теории функций действительного и комплексного переменного. Исторически основные линии развития теории конечных разностей в действительной области были определены работами Л. Эйлера, П. Л. Чебышева, А. А. Маркова [58], Д. Селиванова [86], Н. Е. Нерлунда, С. Н. Берштейна [28]. Изложение некоторых вопросов, относящихся к проблематике конечных разностей для комплексного переменного с приложениями как в самой теории функций, так и в теории чисел дано в книге А. О. Гельфонда [37], а затем несколько позднее в книге Л. Бранда [2]. Однако систематическое изучение разностных уравнений началось лишь в последние десятилетия прошлого века, в связи с новыми запросами технических

наук.

Отметим, что теорию устойчивости дискретных систем впервые систематически изложил В. Хан [17]. Изучению устойчивости разностных схем посвящено значительное количество работ, в которых предлагаются различные определения устойчивости, используются различные математические средства и получены многочисленные результаты, например, в книгах В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова [81], Р. Рихтмайера и К. Мор-тона [80], С. К. Годунова и В. С. Рябенького [38], А. А. Самарского [82-85], А. А. Самарского и А. В. Гулина [39], А. Халаная и Д. Векслера [97], Д. И. Мартынюка [61].

Разностные уравнения применяются при численном решении дифференциальных уравнений с помощью метода конечных разностей [81]. Исследованию многих задач математической физики конечноразностными методами были посвящены работы Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова, которые основное внимание уделяли установлению оценок погрешности решений при переходе от дифференциальных уравнений к разностным. Работы Л. А. Люстерника, И. Г. Петровского, М. В. Келдыша, С. Л. Соболева, Н. Н. Меймана, О. А. Олейник, О. А. Ладыженской, Л.В.Потаповой и др. [59, 72, 57, 74, 31, 32] посвящены изучению различных свойств решений эллиптических и параболических систем дифференциальных уравнений.

Вопросы оптимальных процессов в дискретных системах затрагиваются в [35, 36, 75, 114], применения неравенств при исследовании решений разностных уравнений [64, 88-90, 108], применения дискретного преобразования Лапласа [33, 41, 112, 66], исследования особых точек разностных уравнений [67-71] и т. д.

Разностные операторы являются объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях 3. Нитецки, П. Халмоша, Ю. Д. Латушкина и А. М. Степина и многих других. Спектральные свойства разностных операторов исследовались А. Б. Антоневичем, Э. М. Мухамадиевым и Б. Н. Садовским, И. С. Фроловым [95, 96], В. Г. Курбатовым [53-56], М. С. Бичегкуевым [30]. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривались в работах Ю. Ф. Коробейника, А. А. Миролюбова и М. А. Солдатова, Н. К.

Никольского, В. Д. Степанова и А. Л. Шилдса.

Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С. Коффман и X. Шеффер, делая упор на связь дихотомии и допустимости. В работах В. Е. Слюсарчука и Д. Хенри разностные операторы исследовались в пространстве ограниченных двусторонних последовательностей векторов из банахова пространства.

В последние годы разностные уравнения довольно широко используются в математике, так как они, с одной стороны могут являться естественной математической моделью для описания дискретных процессов (например, в комбинаторике), дискретных динамических систем, а также для математического моделирования импульсных систем, систем, в состав которых входят цифровые вычислительные устройства ( например, системы автоматического регулирования ) и т. д., а с другой стороны, они являются дискретным приближением непрерывных систем. Так, например, в работах Ф. Брауэра и К. Кастильо - Чавеса [3], Е. Бравермана [4], М. Л. Кастро, А. Л. Сильвы и Д. А. Р. Юсто [5], Ф. Чена, Ю. Е. Франке и А. А. Якубы [10] разностные уравнения используются в качестве моделей динамики популяций, а Р. Континьо, Б. Фернандес и Р. Лима [7] применяют их для моделирования в генетике. В статье В. А. А. Янсена и А. Л. Ллойда [18] динамика экологической системы также описывается системой разностных уравнений. Во многих предметных областях, особенно связанных с природой и человеком — геофизике, лесном деле, биологии, медицине, строительной механике, экономике, психологии, социологии и т. д. разностные уравнения также находят применения, например, в работах О. Н. Новоселова [65], П. В. Конюховского и А. С. Налетовой [51], А. Ю. Александрова и А. П. Жабко [24] и других.

Изучаемые в диссертации разностные уравнения являются естественным обобщением дискретных уравнений, ядра которых зависят от разности аргументов п — к . Глубокие результаты по теории таких уравнений были получены в работах Ф. Д. Гахова и Ю. И. Черского [34], Н. К. Кара-петянца, С. Г. Самко [47, 48], И. Б. Симоненко [87], В. Б. Дыбина и С. Б. Джиргаловой [42-44], Я. М. Ерусалимского [45], И. Л. Ойнас [66] и других.

В данной диссертации исследуются асимптотические свойства реше-

ний разностных уравнений в пространстве ограниченных последовательностей векторов. Основная задача — выяснить свойства решения в зависимости от свойств свободного члена, а именно, получить условия, при которых решение обладает определенным свойством, если свободный член принадлежит некоторому классу F . Другими словами, требуется указать условия, при которых решение уравнения принадлежит некоторому множеству X , если свободный член лежит в F , т. е. условия допустимости пар пространств (F, X) , ( F, X С loo ) относительно разностного уравнения Т(х) = / .

Подобные исследования ранее не проводились и потому представляются актуальной задачей.

Цели работы. Исследовать допустимость пар пространств относительно разностных уравнений.

Научная новизна. Все полученные в данной диссертационной работе результаты являются новыми.

В качестве основных можно выделить следующие:

— критерии допустимости различных пар пространств относительно линейных разностных операторов;

— связь допустимости и устойчивости ( асимптотической устойчивости );

— критерий допустимости пары (X, X) , ( X С loo ) относительно линейных разностных уравнений с устойчивыми положительными ядрами;

— в случае устойчивых ядер, не являющихся знакопостоянными, критерии допустимости пар (ао, ао) , ( cq , со) относительно линейных разностных уравнений;

— устойчивость и асимптотическая устойчивость тривиального решения нелинейного разностного уравнения с выделенной линейной частью;

— допустимость различных пар подпространств относительно нелинейного разностного уравнения общего вида и уравнения типа Вольтерра - Гаммерштейна.

Методы исследования. В диссертационной работе используются методы математического и функционального анализа, методы теории разностных уравнений, а также методы теории интегральных уравнений.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы позволяют построить более полную теорию разностных уравнений, а также теорию допустимости пар пространств. Полученные в работе результаты могут быть использованы для изучения различных математических моделей, описываемых такого рода уравнениями, а также других задачах прикладного характера. При этом с точки зрения приложений, интерес представляют ограниченные решения и решения, имеющие определенный рост ( например, экспоненциальный ).

Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на Воронежской весенней математической школе «Современные методы в теории краевых задач» ( Воронеж, 2001 г.); на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2001 г.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XIII» (Воронеж, 2002 г.); на VI и IX Казанских международных летних школах-конференциях «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2003 и 2009 г.г.); на II международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж, 2007 г.); на международной конференции «X Белорусская математическая конференция» (Минск, 2008 г.); на IV и V международных научных конференциях «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения» (Махачкала, 2009 и 2011 г.г.); на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные вопросы» (Воронеж, 2011 г.).

С докладами о результатах диссертации автор выступал на международных научных семинарах «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» в Южном федеральном университете (Ростов-на-Дону, 2011 и 2012 г.г.), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Кубанского госуниверситета (руководитель — доктор физ. - мат. наук, проф. 3. Б. Цалюк).

Публикации. Все основные результаты данной диссертации опуб-

ликованы в работах [115] — [130], из которых 3 работы [125, 128, 129] являются публикациями в журнале из официального перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК РФ для опубликования. В совместной с З.Б. Цалюком статье [125] З.Б. Цалюку принадлежит постановка задачи и указание методов исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов. Работа [115] выполнена в нераздельном соавторстве.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 10 параграфов, и библиографического списка, включающего список использованной литературы и список работ соискателя. Объем работы — 119 страниц. Список использованных источников и список работ соискателя содержат 114 и 16 наименований соответственно.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Цалюку З.Б. за постановку задач, поддержку и внимание к работе.

II. Предварительные сведения. Приведем ряд определений и понятий, необходимых нам в дальнейшем изложении.

Всюду далее, положим

п-1 к=п

Рассмотрим нелинейное разностное уравнение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Афанасьева, Татьяна Николаевна, 2012 год

Литература

1. Appleby, J AD. On exact convergence rates for solutions of linear systems of Volterra difference equations / J AD. Appleby, I. Gyori, D. Reynolds / / J. Diff. Equ. Appl. - 2006. - 12, 12. - P. 1257-1275.

2. Brand, L. Differential and difference equations / L. Brand // John Wiley&Sons Inc. - New York-London-Sidney, 1966. - P. 179-187.

3. Brauer, F. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology / F. Brauer, C. Castillo-Chavez. - New York: Springer, 2001. - P. 154.

4. Braverman, E. On a discrete model of population dynamics with impulsive harvesting or recruitment / E. Braverman // Nonlinear Analysis. - 2005. - 63, 5. - P. 751-759.

5. Castro, M. L. Stability in an age-structured metapopulation model / M.L. Castro, J.A.L. Silva, D.A.R. Justo // J. Math. Biol. 2006. -52, 2. - P. 183-208.

6. Chen, F. Permanence and global attractivity of a discrete multispecies Lotka-Volterra competitionpredador-prey systems / F. Chen // Applied Mathematics and Computatio6. - 2005. - 182, 1. - P. 3-12.

7. Choi, SK. Asymptotic property of linear Volterra systems / SK. Choi, Koo Nam Jip //J. Math. Anal. Appl. - 2006. - 321. - P. 260-272.

8. Continho, R. Discrete time piecewise affine models of genetic regulatory networks / R. Continho, B. Fernandez, R. Lima, A. Meyroneinc // J. Math. Biol. - 2006. - 52, 4. - P. 524-570.

9. Cuevas, C. Asymptotic behavior in Volterra difference systems with unbounded delay / C. Cuevas, M. Pinto //J. Comput. Appl. Math. - 2000. - 113. - P. 217-225.

10. Elaydi, S. Asymptotic equivalence for difference equations with infinite delay / S. Elaydi, S. Murakami, E. Kamiyama //J. Diff. Equ. Appl. -1999. - 5. - P. 1-23.

11. Franke, J. E. Globally attracting attenuant versus resonant cycles in periodic compensatory Leslie models / J.E. Franke, A.A. Yakubu // Mathematical Biosciences. - 2006. - 204, 1. - P. 1-20.

12. Goldberg Introduction to difference equations with illustrative examples from economics, psychology and sociology / Goldberg //' New York, 1960.

- P. 161-177.

13. Gyori, I. Asymptotic representation of the solutions of linear Volterra difference equations / I. Gyori, L. Horvath // Adv. Diff. Equ. - 2008. -2008, Art. ID 932831. - P. 22.

14. Gyori, I. Sharp conditions for boundedness in linear discrete Volterra equations / I. Gyori, DW. Reynolds // J. Diff. Equ. Appl. - 2009. - 15.

- P. 1151-1164.

15. Gyori, I. On admissibility of the resolvent of discrete Volterra equations / I. Gyori, DW. Reynolds// J. Diff. Equ. Appl. - 2010. - 16, 12. - P. 13931412.

16. Gyori, I. On the boundedness of the solutions in nonlinear discrete Volterra difference equations / I. Gyori, E. Awwad // Advances in Difference Equations. - 2012. - 2012, 2. - P. 51-74.

17. Hahn, W. Theorie und Anwendung der direkten Methode von Ljapunov / W. Hahn // Springer Verlag. - Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1959. -S. 83-108.

18. Jansen, V.A.A. Local stability analysis of spatially homogeneous solutions of multi-patch systems / V.A.A. Jansen, A.L. Lloyd //J. Math. Biol. - 2000. - 41, 3. - P. 232-252.

19. Kolmanovskii, VB. A survey: stability and boundedness of Volterra difference equations / VB. Kolmanovskii, E. Castellanos- Velasco, JA. Torres-Munoz // Nonlinear Anal. - 2003. - 53. - P. 861-928.

20. Kolmanovskii, V. Some conditions for boundedness of solutions of difference Volterra equations / V. Kolmanovskii, L. Shaikhet // Appl. Math. Lett. - 2003. - 16. - P. 857-862.

21. Pachpatte , BG. Qualitative properties of solutions of certain Volterra type difference equations / BG. Pachpatte // Tamsui Oxf. J. Math. Sci.

- 2010. - 26, 3. - P. 273-285.

22. Song Yihong. Admissibility for discrete Volterra equations / Song Yihong, CTH. Baker //J. Diff. Equ. Appl. - 2006. - 12, 5. - P. 433457.

23. Song Yihong. Linearized stability analysis of discrete Volterra equations / Song Yihong, CTH. Baker // J. Math. Anal. Appl. - 2004. - 294. -P. 310-333.

24. Александров, А. Ю. Устойчивость движений дискретных динамических систем / А. Ю. Александров, А. П. Жабко. - СПб.: СПбГУ, 2007.

- 133 с.

25. Азбелев, Н. В. Об интегральных неравенствах / Н. В. Азбелев, 3. Б. Цалюк // Матем. сб. - 1962. - Т. 56, № 3. - С. 325-342.

26. Валакришнан, А. В. Прикладной функциональный анализ / А. В. Ба-лакришнан. - М.: Наука, 1980. - 383 с.

27. Беллман, Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Веллман, К. Л. Кук. - М.: Мир, 1967. - 548 с.

28. Верштейн, С. Н. Конструктивная теория функций как развитие идей Чебышева / С. Н. Верштейн // Известия АН СССР. Математика. -1945. - № 9. - С. 145-158.

29. Влейх, Ф. Уравнения в конечных разностях статики сооружений / Ф. Влейх, Е. Мелан. - Харьков, 1936. - 343 с.

30. Бичегкуев, М. С. Спектральная теория разностных и дифференциальных операторов и вырожденные бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов: автореф. дисс. ... докт. физ.-мат. наук. -Воронеж, 2011. - 32 с.

31. Боголюбов, Н. Н. Избранные труды / Н. Н. Боголюбов. К., 1929. 207 с.

32. Боголюбов, Н. Н. Приближенное решение задачи Дирихле / Н. Н. Боголюбов, Н. М. Крылов // ДАН СССР. - 1929. - №2. - С. 170-188.

33. Валеев, К. Г. Линейные разностные уравнения с экспоненциальными коэффициентами / К. Г. Валеев // Диф. уравнения. - 1969. - Т. 5, № 6. - С. 215-230.

34. Гахов, Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский.

- М.: Наука, 1978. - 397 с.

35. Габасов, Р. К вопросу о распространениии принципа максимума JI. С. Понтрягина на дискретные системы / Р. Габасов, Ф. М. Кириллова // Автоматика и телемеханика. - 1968. - Т. 27, № 11. - С. 231-248.

36. Габасов, Р. К теории оптимальных процессов в дискретных системах / Р. Габасов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1971. - Т. 8, К0- 4. - С. 284-295.

37. Гельфонд, А. О. Исчисление конечных разностей / А. О. Гельфонд. -М.: Наука, 1967. - 400 с.

38. Годунов, С. К. Введение в теорию разностных схем / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. - М.: Наука, 1962. - 400 с.

39. Гулин, А. В. Об устойчивости разностных схем в комплексном гильбертовом пространстве / A.B. Гулин, A.A. Самарский // ДАН СССР. - 1968. - №5. - С. 1042-1045.

40. Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. - М.: Наука, 1967. - 472 с.

41. Диткин, В. А. Об операторном исчислении функций целочисленного аргумента и некоторых его приложениях в дискретном анализе / В. А. Диткин, А. П. Прудников // Инженерный физический журнал.

- 1964. - Т. 7, № 7. - С. 888-900.

42. Дыбин, В. Б. Дискретный оператор типа свертки в пространстве {а, ß}p , 1 < р < оо / В. Б. Дыбин, С. Б. Джиргалова, А. Б. Мельник 11 РГУ. - Ростов-на-Дону, 2002. - 49 с. - Деп. в ВИНИТИ 11.02.2002, №46-В2002.

43. Дыбин, В. Б. Составные дискретные свертки в пространстве {а, ß}p , 1 < р < оо . (4.1) / В. Б. Дыбин, С. Б. Джиргалова //

РГУ. - Ростов-на-Дону, 2003. - 32 с. - Деп. в ВИНИТИ 14.01.2003, № 90-В2003.

44. Дыбин, В. Б. Составные дискретные свертки в пространстве {а, Р}р , 1 < р < оо . (4.II) / В. Б. Дыбин, С. Б. Джиргалова // РГУ. - Ростов-на-Дону, 2003. - 45 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.11.2003, № 1946-В2003.

45. Ерусалимский, Я. М. Необходимые и достаточные условия нетерово-сти операторов мультипликативной дискретной свертки / Я. М. Ерусалимский // Известия Сев.-Кавк. научн. центра высшей школы. Серия естеств. наук. - 1973. - № 4. - С. 105-107.

46. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М.: Наука, 1977. - 742 с.

47. Карапетянц, Н. К. Дискретные уравнения типа свертки в одном исключительном случае / Н. К. Карапетянц // Сибирский матем. журнал. - 1970. - Т. 11, № 1. - С. 80-90.

48. Карапетянц, Н. К. О дискретных уравнениях Винера-Хопфа с осциллирующими коэффициентами / Н. К. Карапетянц, С. Г. Самко // Докл. АН СССР. - 1971. - Т. 200, № 1. - С. 17-20.

49. Кемени, Дж. Введение в конечную математику / Дж. Кемени, Дж. Снелл, Дж. Томпсон. - М.: Мир, 1965. - 486 с.

50. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. - М.: Мир, 1989. - 624 с.

51. Конюховский, П. В. Построение моделей динамики выпуска продукции фирмы на основе линейных разностных уравнений второго порядка / П. В. Конюховский, А. С. Налетова // Вестник СПбГУ. -2005. - Сер. 5, вып. 4. - С. 71-142.

52. Курант, Р. О разностных уравнениях математической физики / Р. Курант, К. Фриедрихс, Г. Леей // УМН. - 1940. - Т. 8. - 104 с.

53. Курбатов, В. Г. Об ограниченных решениях дифференциально-разностных уравнений / В. Г. Курбатов // Сибирский матем. журнал. - 1986. - Т. 27, № 1. - С. 86-99.

54. Курбатов, В. Г. Дифференциально-разностные уравнения в пространствах с различными нормами / В. Г. Курбатов // Воронежский университет. - Воронеж, 1987. - Деп. в ВИНИТИ 24.02.1987, №1307-В.

55. Курбатов, В. Г. Об устойчивости дифференциально-разностных уравнений с производной и без производной / В. Г. Курбатов // Дифферент уравнения. - 1988. - Т. 24, № 9. - С. 1503-1509.

56. Курбатов, В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения / В. Г. Курбатов. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. - 167 с.

57. Ладыженская, О. А. Решение задачи Коши для гиперболических систем методом конечных разностей ¡O.A. Ладыженская // Ученые записки ЛГУ, серия матем. наук. - 1952. - Т. 23, № 144. - С. 285-293.

58. Лебедев, В. И. О конечноразностном аналоге задачи Неймана / В. И. Лебедев // ДАН СССР. - 1959. - Т. 126, № 3. - С. 18-29.

59. Люстерник, Л. А. О разностном аналоге функции Грина для оператора Лапласа / Л. А. Люстерник // Труды семинара по функциональному анализу. - 1956. - Т. 1. - С. 331-340.

60. Марков, A.A. Исчисление конечных разностей / A.A. Марков. -Одесса, 1910. - 240 с.

61. Мартынюк, Д. И. Лекции по качественной теории разностных уравнений / Д. И. Мартынюк. - Киев: Наукова думка, 1972. - 251 с.

62. Миролюбов, A.A. Линейные однородные разностные уравнения / A.A. Миролюбов. - М.: Наука, 1981. - 208 с.

63. Миролюбов, A.A. Линейные неоднородные разностные уравнения / A.A. Миролюбов. - М.: Наука, 1986. - 127 с.

64. Мышкис, А. Д. Перенесение теоремы С. А. Чаплыгина о дифференциальных неравенствах на разностные неравенства / А. Д. Мышкис, А. Г. Гринфелъд // Ученые записки Белорусского госуниверситета. -1957. - В. 32. - С. 21-30.

65. Новоселов, О. Н. Идентификация и анализ динамических систем / О. Н. Новоселов. - М.: ГОУ ВПО МГУЛ, 2010. - 424 с.

66. Ойнас, И. Л. Асимптотика решений дискретных уравнений восстановления: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Краснодар, 2000. - 121 с.

67. Панов, A.M. Поведение траекторий системы конечноразностных уравнений в окрестности особой точки /A.M. Панов // Ученые записки Уральского госуниверситета. - 1956. - В. 19. - С. 31-39.

68. Панов, А. М. Классификация особых точек разностных уравнений в п-мерном пространстве ¡A.M. Панов // Ученые записки Уральского госуниверситета. - 1959. - В. 23. 4.2. - С. 113-119.

69. Панов, A.M. О поведении решений системы разностных уравнений вблизи неподвижной точки ¡A.M. Панов // Известия ВУЗов. Математика. - 1959. - № 5. - С. 43-65.

70. Панов, A.M. О связи между особыми точками дифференциальных и конечноразностных уравнений ¡A.M. Панов // Труды Уральского электромеханического ин-та инженеров ж.-д. транспорта. Свердловск, 1959. - В. 2. - С. 72-87.

71. Панов, А. М. Качественное исследование траектории разностных уравнений в окрестности неподвижной точки ¡A.M. Панов // Известия ВУЗов. Математика. - 1960. - № 1. - С. 275-279.

72. Петровский, И. Г. Новое доказательство существования решения задачи Дирихле методом конечных разностей / И. Г. Петровский // УМН. - 1940. - Т. 8. - С. 102-113.

73. Попов, Е. П. Динамика систем автоматического регулирования / Е. П. Попов. - М.: Гостехиздат, 1964. - 318 с.

74. Потапова, Л. В. Об эллиптическом дифференциально-разностном уравнении / Л. В. Потапова // Краевые задачи. Сб. научн. трудов. - Пермь, 1985. - С. 76-79.

75. Пропой, А. И. О принципе максимума для дискретных систем управления / А. И. Пропой // Автоматика и телемеханика. - 1965. - Т. 26, № 7. - С. 31-39.

76. Пуляев, В. Ф. О допустимости некоторых пар пространств относительно линейных интегральных уравнений Вольтерра / В. Ф. Пуляев // Дифференц. уравнения. - 1984. - Т. 20, № 10. - С. 1800-1805.

77. Пуляев, В. Ф. О спектре линейных непрерывных операторов /

B. Ф. Пуляев // Известия СКНЦ. ВШ. Естеств. науки. - 1985. - № 4.

- С. 25-28.

78. Пуляев, В. Ф. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных операторов и уравнений Вольтерра / В. Ф. Пуляев, 3. Б. Цалюк // Дифференц. уравнения. - 1983. - Т. 19, № 4. - С. 684692.

79. Пуляев, В. Ф. Об асимптотическом поведении решений интегральных уравнений Вольтерра в банаховых пространствах / В. Ф. Пуляев, З.Б. Цалюк II Известия ВУЗов. Математика. - 1991. - № 12. -

C. 47-55.

80. Рихтмайер, Р. Разностные методы решения краевых задач / Р. Рих-тмайер, К. Мортон. - М.: Мир, 1972. - 298 с.

81. Рябенький, В. С. Об устойчивости разностных уравнений / В. С. Рябенький, А. Ф. Филиппов. - М.: Гостехиздат, 1956. - 315 с.

82. Самарский, A.A. К теории разностных схем / A.A. Самарский // ДАН СССР. - 1965. - Т. 165, № 5.- С. 1007-1010.

83. Самарский, Л. Л. Устойчивость разностных схем / A.A. Самарский, А. В. Гулин. - М.: Наука, 1973. - 405 с.

84. Самарский, A.A. Разностные уравнения / A.A. Самарский, Ю. Н. Карамзин. - М.: Наука, 1978. - 405 с.

85. Самарский, A.A. Теория разностных схем / A.A. Самарский. - М.: Наука, 1983. - 660 с.

86. Селиванов, Д. Курс исчисления конечных разностей / Д. Селиванов.

- Санкт-Петербург, 1908. - 104 с.

87. Симоненко, И. Б. О многомерных дискретных свертках / И. Б. Симо-ненко 11 Матем. исслед. - Кишинев, 1968. - Т. 3, № 1(7). - С. 108-122.

88. Тептин, А. Л. К вопросу об условиях разрешимости задачи Чаплыгина для разностных уравнений / А. Л. Тептин // Известия ВУЗов. Математика. - 1960. - № 5. - С. 48-60.

89. Тептин, А. Л. Об условиях справедливости теоремы Чаплыгина для эллиптического разностного уравнения / А. Л. Тептин // Диф. уравнения. - 1967. - Т. 3, № 6. - С. 824-837.

90. Тептин, А. Л. Перенесение теоремы о разностных неравенствах на краевые задачи с условием на бесконечности / А. Л. Тептин // Известия ВУЗов. Математика. - 1969. - № 4. - С. 52-58.

91. Треногин, В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин. - М.: Наука, 1980. - 495 с.

92. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения /

B. Феллер. - М.: Мир, 1967. - 498 с.

93. Филиппов, А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений / А. Ф. Филиппов // ДАН СССР. - Кишинев, 1955. - Т. 100, № 6. - С. 1045-1048.

94. Фихтенголъц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенголъц. - М.: Наука, 1997. - Т. 2. - 800 с.

95. Фролов, И. С. Обратимость некоторых разностных и дифференциально-разностных операторов: дисс. ... канд. физ.-мат. наук. - Воронеж, 1982. - 120 с.

96. Фролов, И. С. О вольтерровом спектре одного разностного оператора / И. С. Фролов // Дифференц. уравнения. - 1985. - Т. 21, № 2. -

C. 340-343.

97. Халанай, А. Качественная теория импульсных систем / А. Халанай, Д. Векслер. - М.: Мир, 1971. - 309 с.

98. Цалюк, 3. Б. Об устойчивости интегральных уравнений типа Воль-терра / 3. Б. Цалюк // Доклады и сообщения научн. конф. физ.-матем. и естеств.фак. УГПИ. - Ижевск, 1965. - С. 8-9.

99. Цалюк, 3. Б. Об устойчивости уравнений Вольтерра / 3. Б. Цалюк // Дифференц. уравнения. - 1968. - Т. 4, № 4. - С. 1967-1979.

100. Цалюк, 3. Б. О единственности решений уравнений Вольтерра / 3. Б. Цалюк // Дифференц. уравнения. - 1969. - Т. 5, № 2. - С. 228239.

101. Цалюк, 3. Б. Функциональные неравенства Вольтерра / 3. Б. Цалюк // Известия ВУЗов. Математика. - 1969. - № 3. - С. 86-95.

102. Цалюк, 3. Б. Об асимптотике решений уравнения восстановления / 3. Б. Цалюк 11 Дифференц. уравнения. - 1970. - Т. 6, № 6. - С. 1112— 1114.

103. Цалюк, 3. Б. К вопросу об асимптотике решений линейных интегральных уравнений Вольтерра / 3. Б. Цалюк, М. М. Шамсутди-нов 11 Дифференц. уравнения. - 1970. - Т. 6, № 9. - С. 1567-1573.

104. Цалюк, 3. Б. О существовании предела при £ —> оо решения нелинейного уравнения Вольтерра / 3. Б. Цалюк // Дифференц. уравнения. - 1971. - Т. 7, № 12. - С. 2253-2258.

105. Цалюк, 3. Б. Об ограниченности решений одного класса нелинейных уравнений Вольтерра / 3. Б. Цалюк // Матем. анализ. - Краснодар, 1971. - С. 63-71.

106. Цалюк, 3. Б. Интегральные уравнения Вольтерра / 3. Б. Цалюк // Итоги науки и техники. Сер. матем. анализ / ВИНИТИ-М. - 1977. -Т. 15,- С. 131-198.

107. Цалюк, 3. Б. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений Вольтерра / 3. Б. Цалюк // Дифференц. уравнения. - 1977. - Т. 13, № И. - С. 2096-2098.

108. Цалюк, 3. Б. О некоторых методах получения оценок решений неравенств / 3. Б. Цалюк // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24, № 2. - С. 250-259.

109. Цыпкин, Я. 3. Оптимальные процессы в импульсных автоматических системах / Я. 3. Цыпкин // Известия АН СССР. Энергетика и автоматика. - 1960. - № 4. - С. 24-34.

110. Цыпкин, Я. 3. Дискретные автоматические системы, их теория и перспективы развития / Я. 3. Цыпкин. - М.: Изд-во АН СССР, 1960. -С. 449-458.

111. Цыпкин, Я. 3. Об устойчивости в целом нелинейных импульсных автоматических систем / Я. 3. Цыпкин // ДАН СССР. - 1962. - Т. 145, № 1. - С. 75-82.

112. Цыпкин, Я. 3. Теория линейных импульсных систем / Я. 3. Цыпкин.

- М.: ГИЗФМЛ, 1963. - 297 с.

113. Черский, Ю. И. Дискретно-непрерывная система уравнений свертки / Ю. И. Черский // Известия ВУЗов. Математика. - 1999. - № 10.

- С. 81-82.

114. Шарковский, А.Н. Разностные уравнения и их приложения / А. Н. Шарковский, Ю. Л. Майстренко, Е. Ю. Романенко. - Киев: На-укова думка, 1986. - 279 с.

115. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для разностного уравнения Вольтерра и об устойчивости его решений / Т. Н. Афанасьева, И. Л. Ойнас // КубГУ. - Краснодар, 2000. - 18 с.

- Деп. в ВИНИТИ 19.01.00, №94-В00.

116. Афанасьева, Т.Н. Об устойчивости и допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных уравнений с неотрицательными ядрами / Т. Н. Афанасьева // Материалы Воронежской весен, матем. шк. «Современные методы в теории краевых задач». - Воронеж, 2001. - С. 11-12.

117. Афанасьева, Т.Н. Об устойчивости и допустимости пары (со, со) для линейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики». - Казань, 2001. - С. 25-26.

118. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы Воронежской весен, матем. шк. «Понтрягинские чтения - XIII». -Воронеж, 2002. - С. 8.

119. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости по первому приближению / Т. Н. Афанасьева // Материалы VI Казанской международной летн. шк.-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - Казань, 2003. - С. 9.

120. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости линейных разностных уравнений с неотрицательными ядрами / Т. Н. Афанасьева // Материалы II международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования». - Воронеж, 2007. - С. 21-22.

121. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств относительно линейных разностных уравнений /' Т. Н. Афанасьева // Материалы международной конференции «X Белорусская математическая конференция». - Минск, 2008. - С. 49.

122. Афанасьева, Т. Н. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных операторов / Т. Н. Афанасьева // Материалы IX Казанской международной летн. шк.-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - Казань, 2009. - С. 21-23.

123. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных операторов. / Т.Н. Афанасьева // КубГУ. -Краснодар, 2009. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 31.08.09, №555-В09.

124. Афанасьева, Т. Н. Об устойчивости и допустимости пар (со, со) и (сио, а о) для линейных разностных уравнений / Т.Н. Афанасьева // Материалы IV международной научной конференции «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения». - Махачкала, 2009. - С. 69-71.

125. Афанасьева, Т. Н. Допустимость пар пространств относительно линейных разностных операторов и уравнений / Т. Н. Афанасьева, 3. В. Цалюк // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2010. - № 2. - С. 12-20.

126. Афанасьева, Т. Н. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для нелинейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасье-

ва // Материалы Воронежской зимн. матем. шк. «Современные методы теории функций и смежные вопросы». - Воронеж, 2011. - С. 2728.

127. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для линейных разностных операторов и уравнений / Т. Н. Афанасьева // Материалы международного научного семинара «Современные методы и проблемы теории операторов и. гармонического анализа и их приложения». - Ростов-на-Дону, 2011. - С. 4-5.

128. Афанасьева, Т. Н. Допустимость пар пространств относительно нелинейных разностных операторов и уравнений / Т.Н. Афанасьева // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. — 2011. — № 1. - С. 8-12.

129. Афанасьева, Т. Н. Допустимость пар пространств относительно нелинейных разностных уравнений / Т. Н. Афанасьева // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - 2011. - № 2. - С. 5-9.

130. Афанасьева, Т. Н. О допустимости некоторых пар пространств для нелинейных разностных уравнений / Т.Н. Афанасьева // Материалы V международной научной конференции «Функционально - дифференциальные уравнения и их приложения». - Махачкала, 2011. -С. 57-58.