Спектральный анализ разностных операторов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Дуплищева, Анастасия Юрьевна

• Дуплищева, Анастасия Юрьевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Дуплищева, Анастасия Юрьевна

Содержание

Обозначения

Введение

Глава 1. Некоторые сведения из теории операторов

1.1. Линейные замкнутые операторы

1.2. Основные понятия спектральной теории операторов

1.3. Разбиение спектра

Глава 2. Разностные операторы и операторные матрицы второго порядка

2.1. Постановка задачи

2.2. Понятие состояний обратимости операторов

2.3. Эволюционные семейства и свойство экспоненциальной дихотомии

2.4. Спектральный анализ абстрактных операторов, отвечающих разностным операторам второго порядка

2.5. К вопросу обратимости и фредгольмовости разностных операторов второго порядка

Глава 3. О дифференциальных операторах и матрицах второго

порядка

3.1. Постановка задачи

3.2. Условие обратимости абстрактных замкнутых линейных операторов, отвечающих дифференциальным операторам второго порядка

3.3. Условие обратимости дифференциального оператора второго

порядка

Глава 4. О периодических на бесконечности решениях разностных уравнений

4.1. Постановка задачи

4.2. Спектр Берлинга векторов и функций

4.3. Условие периодичности на бесконечности решений разностных уравнений

4.4. Достаточное условие сущест вованпя ограниченных решений разностных уравнений

Литература

Обозначения

N — множество натуральных чисел; Z — группа целых чисел:

Z+ = NU {0} — множество неотрицательных целых чисел; Ж — поле вещественных чисел;

Ж+ = [0, со) — множество неотрицательных вещественных чисел; С — поле комплексных чисел;

Т = {Л £ С : |А| = 1} — единичная окружность (абелева группа комплексных чисел, модуль которых равен единице); X, X, X — банаховы пространства;

X2 = X х X—декартово произведение комплексных банаховых пространств X с нормой ||(a:i,a:2)|| = max{||a:i||, ЦХ2Ц}, (24,2:2) £ X2;

EndX — банахова алгебра линейных операторов, действующих в X; Сь — а(М,Х)-банахово пространство непрерывных и ограниченных на промежутке Ж функций со значениями в банаховом пространстве X;

С%и = X) —банахово пространство равномерно непрерывных и

ограниченных функций, определенных на Ж со значениями в X;

Со = Со(Ж, X) - замкнутое подпространство функций х € Съ.и со свойством lim ||cc(i)|| =0 (исчезающих на бесконечности);

|i|->oo

Lp = Lp (Ж, X), р € [1, сю) — банахово пространство суммируемых со

степенью р Е [1,оо) на промежутке Ж классов функций со значениями в

банаховом пространстве X и нормой ||.т||р = (J ||;r(i)||pift)1/p;

к

= L°° (Ж, X) — банахово пространство существенно ограниченных на промежутке Ж классов функций со значениями в банаховом пространстве X

п нормой 11ж115о = wöisup ||a:(i)||;

ieR

С1 = С1(Ш, X) — банахово пространство I раз непрерывно дифференцируемых функций на Ж со значениями в банаховом пространстве X, у которых

ограничены все производные порядка I и ниже, с нормой ||ж||с' = ll^llo,;

\к\<1

Wlp = W^(R,X)~ пространство Соболева Wlp = {х € CZ_1(R) : xl~l-абсолютио непрерывна, х1 € Lp}. Норма функции / € W1 определяется при помощи равенства \\f\\Wj, = J2\k\<i ll/A'IU":

lp = lp (Z, X), 1 < p < oo, — банахово пространство двусторонних последовательностей векторов, суммируемых со степенью р с нормой

INI = IMIp = £>(п)||р)1/р, * е г', р е

neZ

INI = IN loo = SUP INn)ll> x e l°° :

nez

а {А) — спектр линейного оператора A:

p(A) — резольвентное множество оператора А:

i?(-, А) — резольвента оператора А;

г (А)— спектральный радиус оператора Л;

A'er А — ядро оператора А:

1т А — образ оператора А:

dim X — размерность пространства X:

codim X — коразмерность пространства X;

dist (х, £i) — расстояние от вектора х до подпространства £i;

indA = dim I\er А — codim 1mA— индекс фредгольмова оператора А:

suppх — носитель функции х:

I — тождественный оператор;

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральный анализ разностных операторов»

Введение

Диссертация посвящена спектральной теории разностных операторов с операторными коэффициентами, действующими в банаховом пространстве векторных последовательностей.

Необходимость развития спектральной теории разностных операторов диктуется различными обстоятельствами. Разностные операторы широко используются при создании методов дискретизации дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Теория разностных уравнений широко используется в численном анализе, теории управления, компьютерных пауках, а также применяется при изучении математических моделей. возникающих в механике сплошной среды, квантовой механике, при описании химических реакций и т. д.

Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетия. В работах О. Перрона и А. Пуанкаре изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов раз-постных операторов, связанных с операторами взвешенного сдвига. Внимание к разностным уравнениям прежде всего обусловлено их применением в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений (работы А. Б. Антоневича. А. Г. Баскакова, М. С. Бичегкуева, Р. Беллмана и К. Л. Кука. И. Ц. Гохберга и И. А. Фельдмана, В. Г. Курбатова. X. Л. Массера и X. X. Шеффера, Д. Хенри).

В монографиях 3. Нитецки, П. Халмоша. Ю. Д. Латушкпна и А. М. Сте-ппна отражено использование разностных операторов в спектральной теории динамических систем. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривались в работах Ю. Ф. Коробейника, А. А. Миролюбова и М. А. Солдатова. Н. К. Никольского. А. Л. Шилдса.

Особенно важное значение спектральной теории разностных операторов

приобрело в последнее время при изучении дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными операторными коэффициентами. Так в статьях А. Г. Баскакова [3] - [20] каждому линейному оператору, действующему в банаховом пространстве непрерывных ограниченных функций на всей оси (полуоси), ставится в соответствие разностный оператор, действующий в пространстве ограниченных векторных последовательностей. Установлено, что эти операторы одновременно обратимы, имеют одинаковой размерности ядра, имеют одинаковую коразмерность образов.

Многие свойства решений (01 ранпченность, почти периодичность, устойчивость) линейных разностных (дифференциальных) уравнений тесно связаны с соответствующими свойствами разностного (дифференциального) оператора, определяющего рассматриваемое уравнение и действующего в подходящем функциональном пространстве. Его свойства обратимости, корректности. фредгольмовости. а также структура спектра зависят от размерности ядра, коразмерности образа, их дополняемости.

Таким образом, тема диссертации является вполне актуальной.

Диссертация посвящена изучению разностных и дифференциальных операторов второго порядка, вопросам обратимости, описанию ядер, образов, проекторов на ядра и образы. Большое внимание уделяется описанию ограниченных решений разностных уравнений первого порядка, описана структура решений, получено достаточное условие существования решений.

Цель работы.

1. Изучение спектральных свойств разностных операторов второго порядка.

2. Изучение спектральных свойств дифференциальных операторов второго порядка.

3. Изучение качественной структуры решений разностных операторов пер-

вого порядка.

Методы исследования. Для исследования спектральных свойств рассматриваемых операторов используется спектральная теория дифференциальных и разностных операторов, теория полугрупп, теория гармонического анализа, прием сопоставление исследуемому оператору операторной матрицы второго порядка и последующее использование теории разностных операторов первого порядка, определяемых этой операторной матрицей.

Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы являются новыми. Из них выделим следующие:

1. Спектральный анализ разностных операторов (уравнений) второго порядка:

• исследование свойства инъективиости операторов, описание их ядер, проекторов на ядра операторов;

• исследование свойства сюръективности. описание образов, проекторов на образы операторов;

• получение условий обратимости, явного вида обратного оператора;

• исследование условий фредгольмовостп:

• получение асимптотического представления решений однородного раз! I остного уравнен11 я.

2. Спектральный анализ дифференциальных операторов (уравнений) второго порядка:

• исследование свойства инъективиости операторов;

• исследование свойства сюръектнвностп операторов;

• получение условий обратимости, явного вида обратного оператора.

3. Изучение качественной структуры разностных уравнений первого порядка:

• получение формул асимптотического представления решений разностных уравнений первого порядка:

• исследование вопросов существования ограниченных решений.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и может быть использована при дальнейшем развитии спектральной теории разностных и дифференциальных операторов второго порядка, а также дифференциальных уравнений с неограниченными опера-лорными коэффициентами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейиа 2014 [51], на весенней математической школе «Понтрягинские чтения XXV» 2014 [48], на Крымской осенней математической школе 2012 [46]. на Крымской международной математической конференции 2013 [47]. на математическом интернет-семи-паре ISEM-2013 [91], ISEM-2014 (Германия, Блаубойрен), на международной конференции «Spectral Theory and Differential Equations», посвященной 100-летию Б. М. Левитана [93]. на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях В ГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20], [43] - [52], [91]-[93]. Работы |20[, [44], |49], [50], [52] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместной публикации [20] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и библиографии, содержащей 110 наименований. Общий объем диссертации - 99 страниц.

Содержание диссертации

Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий, замечаний, определений и формул. Причем первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, а третья - порядковый номер теоремы, леммы и т.д. в данном параграфе.

В первой главе диссертации приводятся основные понятия спектральной теории операторов, необходимые для изложения результатов диссертации.

Во второй главе в банаховом пространстве 1Р = 1р 1 < р < оо,

двусторонних последовательностей векторов из комплексного банахова пространства X с нормой

N1 = 1М1р = (Е 1ЖНР)1/Р> ре [1,оо),

пеЪ

N1 = Мое = вир||а;(7г)||, х Е ,

пеЪ

рассматривается разностное уравнение второго порядка вида:

х(п + 2) + Вг(п)х(п + 1) + В2(п)х(п) = /(п), п Е Z, (1)

где / € 1Р, Вь : Ъ —> ЕпйХ, к = 1,2, - ограниченные онераторнозначные функции, т. е. Вк Е I00 (Ъ,Епс1Х), к = 1,2. Символом 5 обозначим оператор сдвига последовательностей из 1Р : 5 Е ЕпсИр, (Эх){к) — х(к +1), к Е х Е 1р.

Любой последовательности х Е 1Р поставим в соответствие последовательность у : Z —» X2 = X х X вида (в декартовом произведении X2 рассматривается норма ||(а;1,£2)|| = тах{||ж1||) |1Ж?||}> ^2) £ X2): у{п) = (х1(п), Х2(п)), п Е Z, Х\ = х, Хо = Бх. Непосредственно из определения последовательности у следует, что последовательность х Е 1Р есть решение

уравнения (1) тогда и только тогда, когда последовательность у £ /P(Z, X2) удовлетворяет уравнению (рассматриваемому в lp (Z, X2)):

z{n + 1) + U{n)z{n) = /(/г), п £ Z, (2)

где / £ (Z, X2), f(n) = (0,/(?г)), п £ Z, и операторнозначная функция U : Z —> EndX2 имеет вид: каждый оператор U(n) £ EndX2 задается (определяется) в X х X матрицей

О -/ \

(3)

В2(п) Bi(n) J

Уравнения (1) и (2) запишем в операторном виде:

m = f,felp = lp (Z, х),

Щ = д, 9 elp (Z, X х X), (4)

де разностный оператор V £ Endlp (Z, X) определяется формулой:

Т> = S2 + BiS + В<2- (5)

В злой формуле В\, Во £ Endlp (Z, X) - операторы умножения в lp (Z, X) на операторные функции B\,Bo ■ Z —> EndX соответственно, т. е.

(Вкх)(п) = Вк(п)х(п), п £ Z, х £ /р (Z,X), к = 1,2.

Оператор Ю> £ Endlp (Z, X2) в (4) имеет вид:

Ю> = § + В, (6)

где операторы §, В £ Endlp (Z, X2) определяются равенствами:

О -/ \ / xi (?г)

Sz = (Sari, to), (Вж)(?г) =

В2(п) Bi(n) ж2(/г)

п е Z, X = (хих?) (Е (Z, X2) ~ /р (Z х X) х /р (Z х X). Таким образом, оператор В определяется в /р х /р матрицей вида:

5 -7 S + f?i

Для соответствующих операторов приводятся условия их обратимости, фредгольмовостп. получено асимптотическое представление решений однородного разностного уравнения. Основные результаты данной главы получены на основе сопоставления исследуемому оператору операторной матрицы второго порядка и последующего использования теории разностных операторов первого порядка, определяемых этой операторной матрицей.

Во втором параграфе вводится понятие, играющее важную роль в классификации спектров операторов (более разнообразной, чем общепринятой), а именно, понятие состояний обратимости операторов, а также, понятие фредгольмовостп операторов (в терминах вводимого определения состояний обратимости операторов).

Определение 2.2.1 Пусть X - банахово пространство и А £ End PC. Рассмотрим следующие условия:

1) Ker A = {х Е X : Ах = 0} = {0} (i. е. А - ппъектпвпый оператор);

2) 1 <п = dim KerA < оо;

3) Ker А - бесконечномерное подпространство в X (dim Кег А = оо);

4) Ker А - дополняемое подпространство в X:

5) 1т А = 1т А (образ оператора А замкнут в X), что эквивалентно положительности величины (минимального модуля оператора А)

7 (А) = тГ ,. ." '—Гг,

хеХ\Кег.4 dгst{x, А ег А)

где Кег А) = т/ ||а; — жо|| - расстояние от вектора х до иодпро-

хо^Кег Л

странства Кег А:

6) оператор А корректен (равномерно пнъективен), т. е. Ker А — {0} и 7(А) > 0;

7) Im А - замкнутое подпространство из X конечной коразмерности, т. е.

codim Im А = т > 1;

8) Im А - замкнутое подпространство в X бесконечной коразмерности, т. е.

codim Im А = оо;

9) 1тА ф X, ТтА = X:

10) ТтАфХ:

11) Im А = X (А - сюръективный оператор);

12) оператор А обратим (т. е. Ker А = {0} и Im А = X).

Если для оператора А выполнены все условия из совокупности условий а = {¿1, г?, • • • ik}, 'До 1 < Ч < io < ■ ■ ■ < ik < 12, то будем говорить, что оператор А находится в состоянии обратимости а. Множество всех состояний обратимости оператора А обозначим сим во лом StmvA.

Определение 2.2.2([1], [18], |85|) Если оператор А б EndX имеет конечномерное ядро (т. е. выполнено одно из условий 1), 2) определения 2.2.1), замкнутый образ конечной коразмерности (т. е. выполнено одно из условий 7). 11)). то оператор называется фредгольмовым. Если оператор А имеет замкнулый образ и конечномерно одно из чисел dimA'erA, codim ImA — dim(X/hnA), то оператор А называется полуфредголъмовым. Число ind А = dim Ker А — codim ImA называется индексом фредгольмова (полуфредголь-мова) оператора А.

В третьем параграфе вводится понятие эволюционного семейства и экспоненциальной дихотомии.

В четвертом параграфе в банаховом пространстве X рассматривается оператор А £ ЕпйХ вида

А = А2 + СгА + С2 £ ЕпйХ.

Наряду с оператором А рассматривается оператор А £ Епс! X2, заданный матрицей

(л - )•

^ С2 А + <?1 )

т. е. Ах = (Ах\ — хо, СоХ\ + (А + С^хо), х = {х\,хо) £ X2.

Теорема 2.4.1 Множество состояний обратимости операторов А и А

совпадает: 8ипьА = 5ЧгП1,А.

Для доказательства теоремы 2.4.1 далее приводится ряд вспомогательных утверждений.

При рассмотрении свойств, касающихся ядер операторов, получены следующие утверждения.

Лемма 2.4.1 Ядра операторов А и А 'изоморфны, причем изоморфизм осуществляет оператор

7 : КегА —> Кег А, Зх = (х, Ах), х £ Кег А.

Теорема 2.4.2 Пусть РкегА, Рке, а - множество непрерывных проекторов на ядра операторов А и А соответственно. Тогда верны следующие утверждения:

1) Если Р £ ГкегА, то проектор Р, заданный матрицей надлеэ/сит Ркегк;

( Ри Ри ,

2) Если проектор Р £ РкегК задан матрицей ) , то Р = Рц +

V Р?1

Р\оА - проектор из РкегА■

При рассмотрении свойств, касающихся образов операторов, получены следующие утверждения.

Лемма 2.4.2 Вектор г £ X принадлеоюит образу оператора А тогда и только тогда, когда пара (0, г) £ X х X принадлежит образу оператора А. Лемма 2.4.3 Пара (у1,у2) Е X х X принадлежит образу оператора А тогда и только тогда, когда вектор у = у2 + (А + С\)у\ принадлежит образу оператора, А.

Лемма 2.4.4 Образ оператора А замкнут тогда и только тогда, когда замкнут образ оператора А.

Лемма 2.4.5 Если Р £ ТьпА-, то проектор Р, заданный матрицей,

/ , л

\-(1-Р)В Р )

принадлежит Р/ т А-

Следующая теорема отражает условие одновременной обратимости рас-сматрп ваемых операторов.

Теорема 2.4.3 Операторы Л, А обратимы одновременно и обратный к А оператор задается матрицей вида

А~1(А + С\) А-1 АА~1(А + С{)-1 АА~1

Доказательство свойств, касающихся образов рассматриваемых операторов, возможно с использованием иного подхода, основанного па использовании сопряженных к А и А операторов.

Лемма 2.4.7 Ядра Кег А*, Кег А* операторов Л*, А* изоморфны. Изоморфизм осуществляет оператор:

Л : Кег А* Кег А*, = ((А* + £ £ Кег А*.

В пятом параграфе рассматриваются вопросы фредгольмовости и обратимости операторов. Соответственно получены следующие утверждения.

Для операторов, определяемых равенствами (5) и (6) справедлива следующая теорема.

Теорема 2.5.1 Множество состояний обратимости разностных операторов Т> е Endlp{Z,X), Р € Endlp (Z, X х X) совпадают, т.е.

Stinv{V) = Stinv(jS).

Теорема 2.5.3 Разностный оператор V Е Endlр вида

(Т>х)(п) = х(п + 2) + Bi(n)x(n + 1) + В2(п)х(п), п е Z, х е 1Р ,

обратим тогда и только тогда, когда семейство эволюционных операторов U : Z —> End{X х X), построенных по опера,торнозна.чной функции U : Z —> End(X х X), где оператор U(n), п € Z задается матрицей вида (3). допускает экспоненциальную дихотомию на Z.

Теорема 2.5.4 Операторы Т> и Ю) одновременно обратимы и обратный к D имеет вид:

V~\S + B1) V~l SV~l{S + Bi)-I SV~l

Теперь рассмотрим разностный оператор

Т> : 1Р lp = F (Z, X), {Vx){n) = x{n+2)+Blx{n+\)+B2x{n), п <Е Z, х <Е 1р ,

с постоянными операторными коэффициентами В\,В2 € EndX. Далее ис-п ол ьзу ется фу и к ц и я

Я = Яр : Т End X, Я(7) - 72/ + 7Б1 + Въ 7 € Т = {A G С : |А| = 1},

которую назовем характеристической функцией оператора V. Дополнение s(H) = Т\ р(Н) к (открытому) множеству

р(Н) = {70 € Т : Н{7о) - обратимый оператор из EndX}.

назовем сингулярным множеством функции.

Теорема 2.5.5 Разностный опера,тор V (с постоянными операторными коэффициентами Bi,Bo) обратим тогда и только тогда, когда множество s(H) = 0. Еслиз(Н) = 0, то обратный оператор Т>~1 G Endlp представим в виде

{V~lx){n) = {G* x){7i) = Y^ G(n - m)x(m), 11 G Z, x G lp (Z, X).

meZ

Функция, G принадлежит банаховой алгебре l1(Z, EndX) (со сверткой функций в качестве умножения) и допускает представление вида

ОД = ^|(Я(7))"17^7, n€Z. т

В условиях следующей теоремы будем полагать, что существуют (в равномерной операторной топологии) пределы

lim Biin) = Bf G EndX, lim B2(n) = Bt G EndX.

n—>±oc n—>±00

Спектры a(®±) операторов В1®1 G EndX2, определяемых операторными мат-

( о -Л

рицами I , совпадают со спектром сг(Ь ) соответствующего one-

\Bt Bf )

раторного пучка Ь±(А) = \2I — Bf\ + Bt, Л G С. Отметим, что по определению

cr(L±) = {Л G С : L±(A) - необратимый оператор в алгебре EndX}.

Имеет место

Теорема 2.5.8 Разностный оператор V £ Endlp обратим, если спектральные радиусы r(L±) = max{|A|, А £ a(L±)} операторных пучков L^ меньше единицы.

В условиях следующей теоремы будем полагать выполненным условие. Предположение 2.5.1 Существуют числа а,Ъ £ Z, а < Ь, такие, что семейство эволюционных операторов U допускает экспоненциальную дихотомию на множествах

Z_.n = {?г € Z | п < a}, Z= {n £ Z | ?г > 6} с расщепляющими парами про-екторнозиачных функций P-,Q- : Z_)0 —» End. Y, P+,<5+ : Zti+ —End Y. Теорема 2.5.10 Пусть X - конечномерное пространство. Оператор Т> £ End lp (Z, X) является. фредгольмовы,н тогда и только тогда, когда семейство эволюционных операторов U : А —>■ End(XxX), построенных по функции U : Z —» End(X х X), определяемой матрицей вида (3), удовлетворяет условиям предполоо!сения 2.5.1.

Теорема 2.5.11 Пусть выполнены, условия, теорелш 2.5.8, операторы Bi(n), В?(п),п £ Z. компактны и ст(®±) f] Т = 0. Тогда оператор V £ Endlp (Z, X) фредгольмов.

Далее рассматривается однородное уравнение

x(n + 2)+Bi(n)x(n + l)-t-Bo(n)x(n)=0, пе Z+, (7)

на Z+ и делается

Предположение 2.5.2 Пусть функции B\,Bo : Z+ —» EndX являются постоянными (В^(п) = Вk £ EndX,n £ Z +,к = 1,2) и все решения однородного разностного уравнения, рассматриваемого на Z+, ограничены. Теорема 2.5.12 Пусть выполнены предполоэюения 2.5.2 и условие.

<г(В)ПТ = {7ь...,7т}.

Тогда существуют опсраториозначные функции Ak G l°°(Z+, End X"), 1 < k < m, такие, что для любого решения х : Z+ —» X уравнения (7) имеют место следующие представления,

т

(х(п),х(п+ 1)) = (Y,JkMn))(x(0),x(l)),n G Z+.

k=1

Функции Ah-, 1 < k < m, обладают следующим/и свойствами: 1) операторы Ak(n) G EndX2,n G Z+, принадлежат наименьшей замкнутой подалгебре Аш из EridX2, содержащей оператор В; lim ||Дь(п+1)-Дк(п)|| =0;

п—>оо

5; lim ||ВА.(7г)-^Л-(п)||=0;

n—¥OQ

4) lim \\Ak(n)Aj(n)\ \ = 0 для к Ф j, 1 < к, j < т.

В третьей главе в пространстве Ьр рассматривается дифференциальное уравнение вида:

x+B1(t)x+B2(t)x = f(t), t € R, x € W*,p € [1, oo], / € L°° (R, X), (8)

где Bt G L00 (R, EndX), i = 1, 2, X - комплексное банахово пространство. Далее путем замены

yi(t)=x(t), y2(t)=x(t), te R, (9)

дифференциальное уравнение вида (8) сводится к уравнению вида:

2/+ В(*)з/= /(*), te R, ^И^,ХхХ),рЕ[1,оо], / G L°° (R, X х X),

(10)

где функция В Е Lx (R, (X х X)) имеет вид:

0 -/ \ [ yi(t)

(%)(*) = .

B2(t) Bi(t) / \ y2(t)

Из способа задания уравнения (10) по уравнению (8) следует Теорема 3.1.1 Функция х € Ьр является решеииш уравнения (8) тогда и только тогда, когда у € Lp (R, ЭСхХ). построенная по правилу (9), является решением уравнения (10).

Во втором параграфе настоящей главы в банаховом пространстве X рассматриваются операторы

А = А2 + СгА + С2 : D{A) С X —>■ X,

где D(A) = D(A2) = {х G D(A) : Ах € D{A)} и оператор А : D(А) с X х X —> X х X, заданный в X х X матрицей

(Л -' У

у С2 А + Сг J

т.е. Ах = (Ахi — хо, C?xi + Ахо + С\Хо), где х = (х\,х2) G D(А) — D(A) х D(Á) с X х X.

Для доказательства одновременной обратимости рассматриваемых операторов получены следующие утверждения.

Лемма 3.2.1 Ядра операторов А и А изоморфны, причем изоморфизм осуществляет оператор

J : KerA КегА, .Jx = (х, Ах), х Е КегА.

Пусть операторы А* и А* - сопряженные к операторам А и А соответственно.

Лемма 3.2.2 Ядра КегА*, КегА* операторов Л*, А* изоморфны. Изоморфизм осуществляет оператор:

Ji : КегА* -» КегА*, J^ = ((А + £ € IíerA*.

В двух следующих леммах отражены вспомогательные утверждения для доказательства одновременной замкнутости образа рассматриваемых операторов.

Лемма 3.2.3 Произвольный элемент г € X принадлежит образу оператора Л тогда и только тогда, когда пара (0, г) е X х X принадлежит образу оператора А.

Лемма 3.2.4 Пара (2/1,1/2) Е X х X принадлежит образу оператора А тогда и только тогда, когда вектор уо + (Л + С\)у\ принадлежит образу оператора Л.

Одновременная замкнутость рассматриваемых операторов Л и А установлена в следующей лемме

Лемма 3.2.5 Образ оператора Л зам,кнут тогда, и только тогда, когда замкнут образ оператора А. Одновременная сюръективность рассматриваемых операторов установлена в лемме

Лемма 3.2.6 Операторы Л и А сюръективпы одповрельенио. В заключении настоящего параграфа получена теорема

Теорема 3.2.1 Оператор Л обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор А.

В третьем параграфе настоящей главы рассмотрены приложения полученных результатов.

В четвертой главе в конечномерном линейном нормированном пространстве X рассматривается разностное уравнение первого порядка вида:

+ 1) = Вх{г) + /(¿), г е м, (11)

где В е Епс1 X и / е Со.

Основным результатом данной главы является теорема о качественной структуре решения данного уравнения.

Теорема 4.1.1 Если существует равномерно непрерывное ограниченное ре-

шепие х : Ж —X уравнения (11). то оно представимо в виде

т

х(г) = ¿ем,

3 = 1

где х3 Е С1>ооэ 1 < j < т. а числа <р^ прииадлеэ/сат промежутку [0,2-7г); причем

а{В) ПТ = {е1^,..., Т = {Л Е С : |А| = 1}.

Во втором параграфе вводится понятие спектра Берлннга векторов и функций. Также приводятся результаты, содержащие сведения о структуре и свойствах спектра Берлннга векторов из комплексного банахова пространства X. Доказано необходимое и достаточное условие периодичности вектора х из банахова Ь1 - модуля X.

В третьем параграфе получена теорема о поведении решений разностного уравнения (11) в случае, когда число 1 является единственной точкой спектра оператора В на единичной окружности.

Теорема 4.3.1 Пусть В Е ЕпдХ - линейный оператор, спектр которого а (В) обладает свойством: число 1 является единственной 'точкой спектра оператора. В на единичной окружности Т = {АеС:|А| = 1}. Если существует ограниченное равномерно непрерывное решение Хо уравнения (11). то оно является периодической на, бесконечности периода 1 функцией, т.е. Хо Е С\,оо-

Для доказательства данного факта используется ряд вспомогательных утверждений. В них рассматриваются уравнения специального вида:

x(t + 1) = Ax{t) + fit), teRJeCo, где оператор А Е EndX удовлетворяет одному из условий

1) г (А) <1,

; у ; (13)

2) г (А-1) <1.

Лемма 4.3.1 Любое равномерно непрерывное и ограниченное на М решение хо уравнения (12). где А удовлетворяет условию 1) из (13). принадлежит пространству Со, единственно и представим,о в виде:

Яо = - 1)/, /€С„.

п=0

Лемма 4.3.2 Равномерно непрерывное ограниченное решение уравнения (12). где А обратим и г (А~1) < 1. единственно, принадлежит пространству Со и представимо в виде:

п=О

Лемма 4.3.3 Пусть А £ ЕпА X - линейный оператор, спектр которого (т(А) содерэ/сится в единичной, окружности Т. причем,

где фз £ [0, 2-7г), 1 <]< к. Тогда каждое решение х £ Сь,и уравнения

х{Ь + 1) = Ах(г) + ¡(1), г £ М, / € Со, представимо в виде

к

х(г) =

7=1

где х-о^ £ С\ ^, ] = 1, к (т. е. являются периодическими на бесконечности функциями периода 1).

В четвертом параграфе приводится достаточное условие существования 01 раничепных решений уравнения (11)

Теорема 4.4.1 Пусть спектр оператора В обладает свойством, а (В) — {Ль ,Ат} С Т где Аь , Ат - по непростые собственные значения фупкиия / принадлежит к пассу Тогда уравнение (11) имеет ограниченное непрерывное решение

Глава 1

Некоторые сведения из теории операторов

Приводимые в дайной главе понятия и результаты используются в работе. Найти их можно в монографиях [1]-|3], [21], [31]-[34], [36]-[38], [54]-[64], [66], [67], [69], [73], [76], |78], [79], [83]-[85], [94]-[101], [106], [108|.

1.1. Линейные замкнутые операторы

Определение 1.1.1. Пусть D — линейное подпространство из банахова пространства X. Линейный оператор А : D с X —> X — это отображение из D в X такое, что А(х + у) = Ах + Ау и А(ах) = аАх для любых х, у Е D(A) и а Е С. Подпространство D называют областью определения оператора А и обозначают символом D(A).

Символом I будем обозначать тождественный оператор, то есть оператор I : X —» X такой, что Ix = х, х Е X.

Определение 1.1.2. Оператор В : D(B) с X X называется расширением оператора А : D(A) с X X, если D(B) с D(A) и Ах = Вх, Vx Е D(A).

Определение 1.1.3. Оператор А : D(A) С X —>• X называется ограниченным. если конечна величина \\А\\ = sup ||Ла:[|, принимаемая за норму

||а-||<1,а;е£>(Л)

оператора А.

Теорема 1.1.1. Если линейный оператор А : D(A) с X —X ограничен на D(A) и D(A) плотно в X. то существует, единственный оператор А Е EndX. являюш;ийся расширением А. причем ||А|| = ||А||.

Отметим также, что линейная комбинация aiAi+aoAo двух операторов Аг : 0(Аг) С X 4 X, i = 1,2, определяется формулой (aiAi + а2А2)х =

а\А\х + а2А2х, но область определения этого оператора есть пересечение областей определения Аг п А2, то есть D(aiA1 + а2А2) = D(A\) П D(A2).

Произведение А\А2 операторов А\ и А2 определяется формулой (А\А2)х = Ai(A2x); его область определения D(AiA2) состоит из всех векторов х Е D(A2), таких, что А2х Е D(Ai).

Определение 1.1.4. Оператор А : D(A) С X —>■ X коммутирует с оператором Т Е EndX, если AT Э ТА. Это означает, что всякий раз. когда и Е D(A). вектор Tu также принадлежит D(A) и АТи = ТАи.

Определение 1.1.5. Графиком., линейного оператора А : D(A) С X —> X называется подмножество векторов из X х X вида: (х, Ах), х Е D(A).

Определение 1.1.6. Оператор А называется замкнутым, если его график (А) является замкнутым подмножеством из ХхХ (если, например, положить ||(я, у)|| = ||х|| + 112/Ц). Это эквивалентно выполнению следующего свойства: из условий (хп) С D(A), lim хп = Xq, lim Ахп = г/о следует, что хо Е D(A)

п—Яс ' п—5-ЭС

и Ах о = уо-

Замечание 1.1.1. Отметим замкнутость операторов из EndX, а также операторов вида: А + В, где А - замкнутый оператор. В Е EndX.

Определение 1.1.7. Множество векторов у Е X, для которых найдется х Е D(A) такой, что у = Ах, называется образом оператора А и обозначается через Im А. Символом К er А обозначается ядро оператора А, то есть множество {х Е D(A) : Ах = 0}.

Замечание 1.1.2. Если А - замкнутый оператор, то К er А - замкнутое подпространство из X.

Теорема 1.1.2. (Б а,пах) Каждый замкнутый оператор с областью определения. совпадающей со всем, пространством, ограничен.

Определение 1.1.8. Линейный оператор А : D(Á) С X —> X называется обратимым, если КегА = {0} и Im А = X. Через А-1 : X —> X будем обозначать обратный к А оператор.

Если оператор А обратим, то существует оператор В : X —> X, обладающий свойством В А с АВ = I. Оператор В называется обратным к А и обозначается символом А-1.

Теорема 1.1.3. Если А : D(A) С X —> X - замкнутый обратимый линейный оператор, то обратный А~1 принадлеоюит EndX.

Определение 1.1.9. Подпространство М из банахова пространства X называется инвариантным относительно линейного оператора А : D(A) С X —> X, если Ах G М, Ух е М П D(A).

Определение 1.1.10. Оператор Ам : D(Am) С М —» М, определяемый формулой х н-» Амх = Ах : D(Am) = D(A) П М С М М, называется ■частью оператора А или сужением оператора А на М.

\

1.2. Основные понятия спектральной теории операторов

Определение 1.2.1. Резольвентным множеством р(А) замкнутого оператора А : D(Á) С X —>■ X называется множество точек А € С таких, что оператор А — XI имеет ограниченный обратный, то есть (А — А/)-1 Е EndX. При этом функция R(-, А) : р(А) EndX, R(X, А) = (А - A/)"1, A G р(А), называется резольвентой оператора А.

Определение 1.2.2. Спектром о (А) замкнутого оператора А : D(A) с X —> X называется дополнение к резольвентному множеству р(А), то есть а(А)=С\р(А).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дуплищева, Анастасия Юрьевна, 2015 год

Литература

1. Антоневнч А.Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход / А.Б. Антоневнч — Минек: Университетское, 1988. — 233 с.

2. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткин-сон - М.: Мир. 1968. - 750 с.

3. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А. Г. Баскаков - Воронеж: ВГУ, 1987. - 165 с.

4. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов /А.Г. Баскаков // Матем. заметки. - 1996. - Т. 59. - № 6. - С. 811-820.

5. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Функц. анализ и его прпл. - 1996. - Т. 30. - № 3. - С. 1-11.

6. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов п полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения. - 1997. - Т.ЗЗ. - № 10. - С. 1299—1306.

7. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сб. - 1999. - Т.190. - № 3. - С. 3-28.

8. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А.Г. Баскаков // Мат. заметки. - 2000. - Т.67. - № 6. - С. 816-827.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов /У Сиб. матем. журн. - 2001. - Т. 42, - № 6. - С. 1231-1243.

10. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгоггьмовости параболических дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН. — 2002. — Т.383. - № 5. - С. 583-585.

11. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков. К.И. Чернышов // Матем. сборник. - 2002. - Т. 193, - № И. - С. 3-42.

12. Баскаков А.Г. Оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений / А.Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения. — 2003. - Т.39. - С. 413-415.

13. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и no/ivrpvnii в спектральном анализе линейных операторов / А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления. — М.: МАИ. - Т. 9. - 2004. - С. 3-151.

14. Баскаков А.Г. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства / А.Г. Баскаков, И.А. Крпштал //Изв. РАН. Серия матем. - 2005. - Т. 69. - № 3. - С. 3-54.

15. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков /'/ Изв. РАН. Сер. матем. - 2009. - Т. 73. - № 2. - С. 3-68.

16. Баскаков А.Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений /' А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т.46. — № 2. — С. 1-10.

17. Баскаков А.Г. Оценки оператора вложения пространства Соболева периодических функций и оценки решений дифференциальных уравнений с

периодическими коэффициентами / А.Г. Баскаков, К.С. Кобычев // Дифферент уравнения - 2011. - Т. 47, - №5. - С. 611-620.

18. Баскаков А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отно-шенпй/А.Г. Баскаков // УМН. - 2013. - Т. 68. - № 1. - С. 77-128.

19. Баскаков А. Г. Гармонический и спектральный анализ операторов с ограниченными степенями и ограниченных полугрупп операторов на банаховом пространстве /А.Г. Баскаков '/ Магем. заметки. — 2015. — Т. 97. — № 2. - С. 174-190.

20. Баскаков А.Г. Разностные операторы и операторные матрицы второго порядка /' А.Г. Баскаков, А.Ю. Дуплнщева // Изв. РАН. Сер. матем. — 2015. - Т. 79. - № 2. - С. 3-20.

21. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К.Л. Кук - М.:Мпр, 1967. - 548 с.

22. Бичегкуев М.С. Об ослабленной задаче Коши для линейного дифференциального включения / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки. — 2006. — Т. 79. - № 4. - С. 483-487.

23. Бичегкуев М.С. Условия разрешимости разностных включений / М.С. Бичегкуев // Изв. РАН. Сер. матем. - 2008. - Т. 72, - № 4. - С. 25-36.

24. Бичегкуев М.С. Линейные разностные и дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки. - 2009. - Т. 86. - № 5. -С. 673-680.

25. Бичегкуев М.С. О спектре разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев //' Фуикц. анализ и его прил. — 2010. — Т. 44. — № 1. — С. 80-83.

26. Бичегкуев М.С. Об условиях разрешимости разностных уравнений с начальным условием из подпространства / М.С. Бичегкуев // Сиб. матем. журн. - 2010. — Т. 51. — № 4. — С. 751-768.

27. Бичегкуев М.С. К спектральному анализу разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // Матем. сб. — 2013 - Т. 204. - № 1. - С. 3-20

28. Брук В.М. Об обратимых сужениях замкнутых операторов в банаховых пространствах / В.М. Брук // Функциональный анализ. Ульяновск. — 1988. - № 28. - С. 17-22.

29. Брук В.М. О спектре дифференциальных операторов в пространстве век-гор-функцпй / В.М. Бр\ж // Изв. вузов. Матем. - 1989. - № 8. - С. 15-21.

30. Брук В.М. О спектре операторов, порожденных абстрактными граничными задачами в банаховом пространстве / В.М. Брук // Функциональный анализ. Ульяновск. - 1990. - № 31. - С. 35-41.

31. Бурбакп Н. Спектральная теория / Н. Бурбаки. — М.: Мир, 1972. — 317 с.

32. Бурбакп Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах /' Н. Б\<рбаки. — М.: Мир, 1977. — 600 с.

33. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. / Н.Впнер. — М..Фпзмат1 из, 1963. - 256 с.

34. Гельфанд И.M. Коммутативные нормированные кольца. / И.М. Гель-фан д, Д.А. Райков, Г.Е. Шилов. - М.:Фнзматгиз, 1960. - 315 с.

35. Градштейи Pl. С. Таблицы пнте! ралов. сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик,- М.: Физматгиз, 1963. — 100 с.

36. Далецкпй Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкпй, М.Г. Крейн — М: Наука, 1970. - 536 с.

37. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц - М: ИЛ. 1962. - Т1. - 895 с.

38. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве /' Н. Данфорд. Дж. Шварц. — М.: Мир, 1966. - 1064 с.

39. Демидеико Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демидеико. C.B. Успенский. — Новосибирск: Научная книга. — 1998. — 438 с.

40. Дпденко В.Б. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, определяемых линейным отношением / В.Б. Дпденко // Матем. заметки. — 2011. — Т. 89. — № 2. - С. 226-240.

41. Дпденко В.Б. О непрерывной обратимости и фредгольмовости дифференциальных операторов с многозначными импульсными воздействиями / В.Б. Диденко // Изв. РАН. Сер. матем. - 2013.. -Т. 77. - № 1. - С. 5-22.

42. Диденко В.Б. О состояниях обрашмост и линейных дифференциальных операторов с неограниченными периодическими коэффициентами / В.Б.

Диденко // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика, Информатика. - 2014. - Т. 14. - № 2. - С. 5-22.

43. Дуплпщева А.Ю. О периодических на бесконечности решениях разностных уравнений / А.Ю. Дуплпщева // Вестник ПММ. — 2010. — № 8. — С. 203-209.

44. Дуплпщева А.Ю. О периодических на бесконечности решениях разностных уравнений / А.Ю. Дуплищева // Вестник ВГУ. Физика. Математика. - 2012. - № 1. - С. 110-117.

45. Дуплпщева А.Ю. О решении разностных уравнений / А.Ю. Дуплищева // Международный научный журнал. Спектральные и эволюционные задачи. - 2012. -Т. 22. С. 62-05.

46. Дуплпщева А.Ю. Спектральный анализ разностных операторов / А.Ю. Дуплпщева // Международная конференция КРОМШ. Сборник тезисов. - 2012. - С. 23-24.

47. Дуплпщева А.Ю. Разностные операторы и матрицы второго порядка / А.Ю. Дуплищева // Сборник тезисов КММК-2013. - 2013. - С. 56-57.

48. Дуплпщева А.Ю. К вопросу обрат имости разностных операторов второго порядка / А.Ю. Дуплищева // Современные методы краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXV» - Воронеж, 2014. - 2014. - С. 58.

49. Дуплищева А. Ю. Матрицы второго порядка в исследовании операторных уравнений / А.Ю. Дуплищева // Научные ведомости БГУ. Математика, физика. - 2014. - В. 34. - № 5(176). - С. 12-16.

50. Дуплшцева А. Ю. Об условиях обратимости разностных операторов второго порядка / А.Ю. Дуплшцева //' Вести. НГУ. Сер. матем., мех., ин-форм.. - 2014. - Т. 14,. - № 4. - С. 44-49.

51. Дуплшцева А.Ю. Разностные операторы и матрицы второго порядка / А.Ю. Дуплшцева // Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна-2014». — 2014. — С. 122.

52. Дуплшцева А. Ю. О дифференциальных операторах и матрицах второго порядка / А.Ю. Дуплищева // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2015. — Т. 15,. — № 1. — С. 31-37.

53. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1976. — Т. 40. - № 6. - С. 1380-1408.

54. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд,- М.: Мир, 1965. — Т.1. - 264 с.

55. Иоспда К. Функциональный анализ / К. Иосида.- М.: Мир, 1967. — 624 с.

56. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.- М.: Мир, 1972. - 740 С.

57. Кахан Ж.-П. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье / Ж.-П. Кахан,- М.: Мир, 1985. - 264 С.

58. Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А.Н. Колмогоров. C.B. Фомин,- М.: Наука, 1968. — 543 с.

59. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыль-нпк, П.Е. Соболевский - М.: Наука, 1966. — 499 с.

60. Красносельский М. А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд. Ю.С. Колесов,- М.: Наука, 1970,- 351 с.

61. Крейп С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн — М.: Наука. 1967. — 464 с.

62. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн,- М.: Наука, 1972.

63. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные операторы / В.Г. Курбатов — Воронеж: пзд-во ВГУ. 1990. — 168 с.

64. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателад-зе — Новосибирск: изд-во ин-та математики. 2000. — 336 с.

65. Лат.ушкин Ю.Д. Операторы взвешенного сдвига и линейные расширения динамических систем / Ю.Д. Латхчикин, А.М. Степип // УМН. — 1991. — Т.46. - № 2. - С.85—143.

66. Левитан Б.М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / Б.М. Левитан. В.В. Жпков - М: Изд-во МГУ, 1978. — 205 с.

67. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстерник, В.И. Соболев,- М.: Наука, 1965. - 520 с.

68. Майзель А. Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений / А.Д. Майзель// Тр. Уральск, политехи, ин-та. Сер. мат. — 1954. - № 51. - С.820—50.

69. Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера. Х.Х. Шеффер — М.: Мир, 1970. — 456 с.

70. Миролюбов A.A. Линейные однородные разностные уравнения / A.A. Ми-рол юбов. М.А. Солдатов — М.: Наука, 1981. — 208 с.

71. Мирошобов A.A. Линейные неоднородные разностные уравнения / A.A. Миролюбов. М.А. Солдатов - М.: Наука, 1986. - 130 с.

72. Мухамадиев Э.М. Исследование по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений / Э.М. Мухамадиев— Автореферат днсс. на соискагин ученой степени докт. физ.-мат. наук, Ленинград

1979.

73. Наймарк М.А. Нормированные кольца./ М.А. Наймарк //М.:Наука, — 1968. - 664 с.

74. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк.- М.: Наука, — 1969. — 527 с.

75. Псров А.И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А.И. Псров // Дифференциальные уравнения. — 2007. — Т.43. — № 7. — С.896-904.

76. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин.- М.:Мир, 1975. — 449 с.

77. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции / Е. Сенета.- М.:Наука, 1985. - 144 с.

78. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев,- М.: Наука. 1988. — 336 С.

79. Трепогин В.А. Функциональный анализ / В.А. Треногпн,- М.: Наука,-

1980. - 306 С.

80. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Сиб. матем. жури. - 1991. - Т.32. - № 3. - С. 160-165.

81. Хенрп Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М.: Мир, 1985. - 376 с.

82. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-лнпс - М.: ИЛ. 1962. - 829 с.

83. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении / Р. Эдварде,- М.:Мир, 1969,- 1070 с.

84. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдвардс.-М.:Мнр, 1985,- Т.1. - 264 с.

85. Antonevich A., Lebedev A. Functional-differential equations. I. С* - theory / A. Antonevich, A. Lebedev — Pitman Monogr. Surveys Pure Appl. Math., Longman, Harlow. 1994. —70 p.

86. Arens R. Operational calculus of linear relations / R. Arens // Pacific J. Math - 1961. - Vol. 11. - P. 9-23.

87. Aubin -J.-P. Optimal impulse control problems and quasi-variational inequalities thirty years later: a viability approach / J.-P. Aubin // Optimal control and partial differential equations - IOS Press. - 2001. - P. 311-324.

88. Baskakov A. Spectral analysis of operators with the two-point Bohr spectrum /' A. Baskakov, I. Krishtal /7 .J. Math. Anal. Appl. - 2005. - V38. -P. 420-439.

89. Chicone C.C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential

equations / С.С. Chicone. Y. Latuslikin — American Mathematical Soc., 1999. - 361 p.

90. Coffman S. V. Dichotomies for linear difference equations / S.V. Coffman, J. J. Schaffer - Math. Ann., 1967. - V.172. - P. 139-166.

91. Duplishcheva A.Yu. Approximation theorems for operator semigroups / A.Yu. Duplishcheva // Operatoi Semigroups and Dispersive Equations. Workshop of the 16th Internet Seminar on Evaluation Equations, Blaubeuren, Germany. — 2013. - P. 11-12.

92. Duplishcheva A.Yu. Difference equations and matrix of the second order / A.Yu. Duplishcheva // International Scientific Journal. Spectral and Evaluation problems: Proceedings of the Twenty Second Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol. - 2013. - Vol. 23 - P. 168-170.

93. Duplishcheva A.Yu. About difference equations and matrix of the second Order/ A.Yu. Duplishcheva // Спектральная теория и дифференциальные уравнения - Москва. 2014. - 2014. - С. 8-10.

94. Engel К..J. One-paranietei semigroups for linear evolution equations / K.-J. Engel, R. Nagel - New York: Spiinger-Verlag, 2000. - 586 p.

95. Engel K.J. A short course of operator semigroups / K.-.J. Engel, R. Nagel — Universitext. Springei, New York, 2006. — 590 p.

96. Gil' M. I. Difference Equations in Normed Spaces: Stability and Oscillations / M. I. Gil' - North Holland, Mathematics Studies. 2007. - 206 p.

97. Gohberg I. Classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M. Kaashoek / / Birhauser, vol. I, Opei. Theory Adv. Appl., 49, Basel, Boston, Berlin. 1990.

98. Gohberg I. Basic classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek - Birkhauser, 2003 - 423 p.

99. Goldberg S. Unbounded linear operators. Theory and applications / S. Goldberg //McGraw-Hill, New York-Toronto, 1966.

100. Hille E. Functional analysis and semi-groups / E. Hille, R.S. Phillips, // American Mathematical Society Colloquium Publications.- 1975.- V.31.- №1.

101. Kurbatov V.G. Functional Differential Operators ancl Equations / V.G. Kur-batov — Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers. — 1999. — 454 p.

102. Megan M. Discrete admissibility and exponential dichotomy for evolution families / M. Megan. A. L. Sasu. B. Sasu // Discrete Contin. Dyn. Syst.-2003,- V.9.- №2,- P.383-397.

103. Rabiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Rabiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum. — 1996. - Vol. 52. -M. - P. 225-239.

104. Van Minh N. Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, F. Rabiger. R. Schnaubelt // Integral Equations and Operator Theory.- 1998.-V.32.- №3,- P.332-353.

105. Van Minh N. Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, N. Th. Huy // J. Math. Anal. Appl.- 2001.- V.261.-№1,- P.28-44.

106. Nagel R. Semigroup methods for nonautonomous Cauchy problems /

R. Nagel //Lecture Notes in Pure and Appl. Math.- V.168.- Dekker.- New York.- 1995,- P.301-316.

107. Pruss .J. On the spectrum of Co - semigioups / J. Pruss // Trans. Amer. Math. Soc.- 1984,- V.284.- P.847-857

108. Tayloi A.E. Introduction to functional analysis / A.E. Tayloi // John Wiley andSons.- New Yoik.- 1958.

109. Pen on 0. Die Stabilitatsfiage bei Differentialgleichungen / 0. Peiron // Mathematische Zeitschrift.- 1930,- V.32.- №5,- P.703-728.

110. Perion O. Ubei eine Matrixtiansforniation / O. Peiron // Mathematische Zeitschrift.- 1930,- V.32.- №1,- P.465-473.