Характеристики роста решений динамических систем и их применение в математическом моделировании тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Ласунский, Александр Васильевич

• Ласунский, Александр Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Ласунский, Александр Васильевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I К МЕТОДУ ЗАМОРАЖИВАНИЯ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Об асимптотической устойчивости линейной системы разностных уравнений.

§ 2. Об экспоненциальной устойчивости нулевого решения почти линейной системы разностных уравнений.

ГЛАВА II ХАРАКТЕРИСТИКИ РОСТА РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Достаточные условия прочности вверх старшего характеристического показателя линейной диагональной системы разностных уравнений.

§ 2. Показатель Даламбера и его свойства.

§ 3. Аналоги оценок Ляпунова, Богданова и Важевского для линейных систем разностных уравнений.

§ 4. О приведении линейной системы разностных уравнений к линейной системе с единичной матрицей коэффициентов, линейной системе с эрмитовой матрицей.

§ 5. Об аналогии в теории возмущения линейных систем дифференциальных и разностных уравнений при линейном возмущении.

§ 6. Аналог понятия интегральной разделенности в теории линейных систем разностных уравнений.

ГЛАВА III

§3. §4.

§5. §6.

ГЛАВА IV

Аналог обобщенной формулы Абеля для линейного однородного разностного уравнения п - го порядка

О МАЛОМ ИЗМЕНЕН™ РАЗЛИЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ О приведении линейной системы второго порядка к треугольной системе с совпадающими диагональными коэффициентами.

О приведении линейной системы дифференциальных уравнений к треугольной системе с интегрально близкими диагональными коэффициентами.

Об устойчивости характеристических векторов одного класса линейных систем произвольного порядка.

О малом изменении характеристических показателей линейной системы второго порядка.

О диагонализуемости линейной системы дифференциальных уравнений.

О малом изменении характеристических показателей правильной линейной системы.

НЕКОТОРЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ И ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ДИНАМИКУ ЧИСЛЕННОСТИ БИОЛОГИЧЕСКИХ ПОПУЛЯЦИЙ Устойчивость стационарных состояний некоторых популяционных моделей с переменными коэффициентами.

Точки равновесия неавтономной модели Лотки

Вольтерра при наличии убежища для жертвы.

§ 3. О положениях равновесия некоторых неавтономных разностных уравнений.

§4. О циклах дискретного периодического логистического уравнения.

§ 5. Методы исследования устойчивости положений равновесия неавтономных систем и примеры их применения.

ГЛАВА V АЛГОРИТМЫ И КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ПО ИССЛЕДОВАНИЮ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННОСТИ БИОЛОГИЧЕСКИХ

ПОПУЛЯЦИЙ

§ 1. Циклы дискретного периодического уравнения.

§ 2. Исследование устойчивости нетривиального положения равновесия неавтономной дискретной экспоненциальной модели "хищник-жертва".

§ 3. Исследование устойчивости точек покоя неавтономной модели "Consensus".

§ 4. О численном интегрировании системы обыкновенных дифференциальных уравнений с сохранением положения равновесия и его асимптотической устойчивости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеристики роста решений динамических систем и их применение в математическом моделировании»

Будем придерживаться следующих обозначений и терминов: Я" - п - мерное евклидово пространство, Z+ - множество целых неотрицательных чисел,

- множество вещественных неотрицательных чисел, п

8рА^) = ^£*,, (/) - след матрицы ;=1 diag[ax,.,an\ - диагональная матрица, (\eXAit) - определитель матрицы Л({), Е - единичная матрица, .2 ноРмавектоРа Х = sup||^|| - норма матрицы,

ИИ V X

Хп У j » f{t)= lim - \f{u)du - верхнее интегральное среднее функции fit), /-»+00 t 1 О

2' fif)- Иш - Jf(u)du - нижнее интегральное среднее функции fit),

-»+00 t Q v i V fit)= lim - \fiu)du - точное интегральное среднее функции fit), i>+00 t Q

X = lim -ln||x(/| - характеристический показатель или показатель i-H-oo I

Ляпунова функции x(t) е Rn, 1 x\xifn~ lim-ln||x(^| - нижний показатель,

00 t

Ж [*(/)]= Нш-1п||х(/)(| - строгий (точный) показатель,

-М-со/

1К»1 - целая часть числа teR.

V = 1ип . ^ * - показатель Даламбера {п е.

В понятие динамической системы ранее вкладывали чисто механическое содержание. Под динамической системой понимали совокупность тел, взаимодействие которых описывается системой дифференциальных уравнений, вытекающих из законов Ньютона. В результате длительной эволюции научных представлений понятие динамической системы становилось шире, охватывая объекты разной природы. О динамической системе в современном понимании говорят в том случае, если можно указать набор величин (динамических переменных), характеризующих состояние системы, а значения этих переменных в любой последующий момент времени можно получить из исходного набора с помощью оператора эволюции системы. В такой постановке вопроса планетная система, биологические популяции, химические реакции, электрические цепи, модели конкуренции в экономике - это динамические системы. В связи с увеличением сложности современных задач из различных областей теории динамических систем их чисто аналитическое исследование становится затруднительным и невозможным. Решения дифференциальных и разностных уравнений лишь в редких случаях можно получить в виде аналитической формулы. И даже если это возможно, то далеко не всегда такое решение можно проанализировать с качественной точки зрения. Актуальным становится совмещение численного эксперимента с различными аналитическими методами исследования. Использование компьютера позволило получить новые интересные результаты в области качественной теории дифференциальных и разностных уравнений. Отметим, что применение компьютерных методов не должно ограничиваться простым моделированием. Оно должно базироваться на глубоком предварительном теоретическом исследовании.

Диссертация посвящена разработке фундаментальных основ математического моделирования, обоснованию математических методов при исследовании устойчивости решений динамических систем. Разрабатываются численные методы и комплексы программ для решения задач в этой области. В качестве объектов приложения теоретических исследований изучаются модели динамики численности биологических популяций.

Для решения задачи об устойчивости по первому приближению A.M. Ляпуновым [136] был предложен метод характеристических показателей (первый метод Ляпунова). Характеристический показатель функции f(t), заданной на промежутке [/0,+ оо), есть число (или символы ±оо), определяемое равенством =

->+00 f

Сам A.M. Ляпунов ввел понятие характеристического числа, от которого характеристический показатель отличается только знаком. Характеристический показатель оценивает изменение модуля функции на плюс бесконечности по сравнению с функциями exp{Xt). Для уточнения поведения функции на бесконечности в качестве шкалы роста Б.П. Демидович [44] предложил рассматривать двухпараметрическое семейство функций tm ехр(Я/). Он ввел понятие характеристической степени. Если х [/tO] » то характеристическая степень функции f{t) определяется равенством //[/(/)]= lim-1п(|/(/)|ехр(-Я/)). Ясно, что ¡л т. С целью дальнейшего уточнения поведения функции /(/) на бесконечности Хоанг Хыу Дыонг [184] ввел понятие характеристического вектора (а0,а{,.,ак), первыми двумя компонентами которого являются характеристический показатель а0 и характеристическая степень ах соответственно. В качестве шкалы роста Хоанг Хыу Дыонг предложил рассматривать семейство функций ln^îj t • ln^11— ' ln23 tin"2 t -t"1 ■ ехр(ог0/), где 1пш t = ln(lnOTj/), ln, t-\nt. Дальнейшее развитие этой теории нашло в работах

4, 179,185-187].

Рассмотрим вещественную линейную систему = A{t)X> (0.1) dt где xeRn,A(t) - кусочно-непрерывная, ограниченная матрица. Из неравенства sup||^(i)|| < M следует, что характеристические показатели решений систеteR+ мы (0.1) лежат на отрезке [- М; М\. Так как вектор - функции xk{t), обладающие различными характеристическими показателями, линейно независимы и линейная дифференциальная система порядка п имеет п линейно независимых решений, то множество характеристических показателей решений системы (0.1) состоит из не более п различных элементов. Если наибольший характеристический показатель системы (0.1) меньше нуля, то система асимптотически устойчива. Действительно, отрицательность спектра системы [45. С. 148] влечет стремление к нулю при t -» +оо всех решений системы, что равносильно асимптотической устойчивости системы (0.1).

Если спектр системы содержит хотя бы одно положительное число, то у такой системы есть неограниченные решения, следовательно, линейная однородная система неустойчива по Ляпунову.

Заметим, что характеристические показатели нетривиальных решений линейной системы — = Ах с постоянной матрицей А совпадают с вещестdt венными частями собственных чисел матрицы А.

Одной из основных задач первого метода Ляпунова является оценка изменения характеристических показателей (и других показателей) линейной системы при различного рода возмущениях.

Пусть Х{^)= (/),.,*„(/)} " некоторый базис в пространстве решений системы (0.1), упорядоченный по возрастанию характеристических показателей ст(х) = ^[хк)\ Базис Х0 1 называется нормальным [45, 136], если сг (Х0) = т£ сг (х). X

А.М. Ляпунов показал [136], что нормальные базисы существуют и обладают одинаковыми наборами характеристических показателей. Обозначим показатели решений нормального базиса Л 1<.< Лп. Множество {Л 15.,Л п} называется спектром системы (0.1). Показатели Л= Л ь Л = Л п будем называть соответственно младшим и старшим характеристическими показателями системы (0.1).

Рассмотрим возмущенную линейную систему = (А({)+<2(г))у, (0.2) ш где <2(1) - кусочно - непрерывна на Я+ и зир||£)(/)|| < 5.

Под действием возмущений коэффициентов системы любой показатель может смещаться как вверх, так и вниз. С точки зрения теории устойчивости в первую очередь важна оценка подвижности вверх старшего показателя Л и оценка подвижности вниз младшего показателя Л.

Показатель Л системы (0.1) называется прочным вверх [25], если для любого £>0 существует ¿>> 0 такое, что при зир||£)(^)|| < 8 старший показатель возмущенной системы (0.2) не больше Л + е.

Показатель Л системы (0.1) называется прочным вниз, если для любого е> 0 существует > 0 такое, что при зир|]£)(/)| < 3 младший показатель возмущенной системы (0.2) не меньше Л - е.

Рассмотрим линейное пространство точками которого являются линейные системы (0.1) с ограниченными кусочно-непрерывными при t<=R+ матрицами Ait) (для краткости будем систему (0.1) отождествлять с ее матрицей коэффициентов A(t)). Введем в пространстве М* метрику bR+

Характеристические показатели Л1<.<Лп системы (0.1) называются устойчивыми в пространстве , если для всякого £>0 существует S> 0 такое, что для любого возмущения Q{t) : sup|ig(i| < S характеристические teR+ показатели щ <. < jun системы (0.2) отличаются от показателей системы (0.1) не более чем на е, т.е. |Я,- - /л{\<е, i = 1

О. Перрон впервые установил [227], что показатели системы (0.1) могут быть неустойчивы в пространстве .

К получению коэффициентных признаков устойчивости линейной системы, устойчивости ее характеристических показателей неоднократно обращались многие авторы. Отметим некоторые из них. К.П. Персидский ввел понятие функции со слабой вариацией.

Непрерывная при t>t0 функция fit) называется функцией со слабой вариацией, если для любой пары чисел s> 0 и Т> 0 найдется число N(T, б) > 0 такое, что \f(t2 ) - f{tx )| < s при всех tx> N,t2> N, если только 112-tx\<T.

Например, если при t ->+оо функция fit) стремится к некоторому конечному пределу, то f(t) функция слабой вариации.

Если существует fit) и если lim f'(t) = 0, то fit) функция слабой

->+00 вариации.

Для устойчивости показателей линейной системы с коэффициентами -функциями слабой вариации по Персидскому [161] достаточна лишь интегральная разделенность характеристических чисел.

H.A. Изобов для двумерной линейной системы [58] получил следующий коэффициентный признак устойчивости показателей: показатели двумерной линейной системы устойчивы, если интегрально разделены наибольшее и наименьшее собственные числа матрицы коэффициентов и полностью отделены соответствующие им характеристические векторы. Простейший пример такой системы - система с отделенными от нуля положительными (отрицательными) внедиагональными коэффициентами.

Ф. Накаяма [223] получил следующий критерий устойчивости линейных систем с доминирующей диагональю:

Линейная система x = A{t)x с непрерывной и ограниченной матрицей коэффициентов равномерно асимптотически устойчива, если |det A(t} > а> О, аjj{t)< 0, j = \,.,п, и существует такое 8> О, что i=i

В своей монографии Н.И. Гаврилов [34. С. 54] приводит критерий устойла и позволяющий обнаружить устойчивость в некоторых случаях, когда система фактически имеет несколько характеристических чисел, равных нулю. Этот результат либо обобщает, либо дополняет некоторые результаты А. Винт-нера, Вейля, В. Якубовича, В. Хорошилова, И. Рапопорта, К. Персидского, Л. Чезари, Б. Демидовича, В. Басова.

А.В. Липницкий в своей работе [134] для специального класса линейных дифференциальных систем получил признаки положительности старшего характеристического показателя. чивости системы х = P{t)x, не связанный с понятием характеристического чис

Работа [82] посвящена управлению показателями Ляпунова линейных систем в невырожденном случае.

В теории линейных систем большую роль играют введенные и изученные A.M. Ляпуновым [136] правильные системы дифференциальных уравнений.

Система (0.1) называется правильной, если у нее существует базис ре

Значение этих систем состоит в том, что решение задачи об устойчивости по первому приближению проще, если линейная часть правильная. Правильные системы включают в себя приводимые и почти приводимые системы и играют ведущую роль в теории устойчивости по линейному приближению. В работе [13] рассмотрен класс правильных линейных дифференциальных систем с неограниченными коэффициентами.

Введем еще некоторые определения теории линейных систем, которыми будем пользоваться.

Определение 0.1. Матрица С'(/?+) называется матрицей Ляпунова, если выполнены следующие условия: п шений X(i)={xx(t),.,xn{i)\ такой, что ^Л ¡= SpA(t).

Определение 0.2. Линейное преобразование x = L(t)y, где L(t) - матрица Ляпунова, x,y,eRn, называется преобразованием Ляпунова.

Подвергая систему (0.1) преобразованию Ляпунова х = L(t)y,получим систему

0.3) где B{t) = L-lAL-I7l L.

В этом случае говорят, что система (0.1) приводима к системе (0.3) или что матрицы A(t) и B(t) кинематически подобны.

Для решения задачи о смещении старшего показателя вверх и младшего вниз линейной системы (0.1) под действием возмущений Р.Э. Виноград ввел понятия центральных функций и центральных показателей. Остановимся коротко на этих понятиях и свойствах, следуя монографиям [3, 25] и статьям [26, 50, 74, 90, 150, 151, 157, 173, 175].

Рассмотрим семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций: Р = {рх (/)}, I рх (tJ<K, зависящее от параметра х непрерывно в том смысле, что из хх0 следует px(t)—> р (t) равномерно по крайней мере на каждом конечном отрезке [0; t]. Параметр х может пробегать некоторое компактное (в частности, конечное) множество.

Определение 0.3. Ограниченная измеримая функция R(t) называется верхней или С - функцией для семейства Р, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функцию R(t): t t \px{r)dr<DR£ + \{R{T) + s)dr s s или коротко px(t)<R(t), где DRe - константа, общая для всех рх и t>s, но, вообще говоря, зависящая от выбора R и s> 0.

Совокупность R всех верхних функций называется верхним классом или С - классом семейства Р. Вычисляя для каждой верхней функции ее верхнее среднее R и беря затем нижнюю грань по всему классу R, находим число

Q= inf R, (0.4)

R(t)eR которое называется верхним центральным или С - числом семейства Р.

Ввиду условия ограниченности R(t) С - число всегда существует и заключено в границах - К < Q < К.

Если нижняя грань (0.4) достигается, т.е. существует такая С - функция RQ(t), что R0<R для всех R(t)eR, то эта функция одна образует верхний класс и С - число совпадает с R0 .

Аналогично вводится понятие нижней или с — функции семейства Р = {рм [25. С. 109].

Определение 0.4. Ограниченная измеримая функция r{t) называется нижней или с - функцией для семейства Р, если равномерно для любой f) ' t функции этого семейства px{t)>r{t), т.е. )dT>dre + \{г(т )-c)dz с s константой dr£, вообще зависящей от выбора r{t) и s> 0, но общей для всех рх g Р и t>s. Совокупность г всех с - функций называется нижним или с -классом семейства Р, а число со — sup г (0.5) г нижним центральным или с - числом данного семейства.

Если в множествах верхних и нижних функций выделить подмножества констант и взять в (0.4) и (0.5) inf и sup по этим подмножествам, то мы получим определение верхнего особого Q0 и нижнего особого со0 показателей. Оказывается изучение нижних классов и чисел целиком сводится к изучению верхних. Всякая верхняя функция семейства P = {px(tf$, взятая с обратным знаком, служит нижней для семейства {- px(t)} и обратно, отсюда следует, что QP = -Юр, 0Р = -Q.p.

Рассмотрим теперь линейную систему х = A{t)x с ограниченной и кусочно-непрерывной матрицей A{t), пусть x{t) - решение системы. Можно рассмотреть семейство функций Р = {рх(/)}, pxif) = — ln|bc(/)||, |Ы| = -J(x,x). Для dt этого семейства выполняются все ранее рассмотренные условия при определении центральных функций и центральных чисел. Только теперь центральные числа удобно называть центральными показателями системы.

Определение 0.5. Функции r(t) и R{t) называются соответственно нижней и верхней для системы (0.1), если они ограничены, измеримы и осуществляют оценки t t t -dr,£ + ¡(r{r)-s)dT< jpx(t)dT<DRe + ¡{R(r) + s)dr s s s для всех t > s и x es или (с заменой e~d, eD на d и D)

IUP е*Р ¡(г(т )- е)4т<<ехр Дд (г ) +

Иногда последнее неравенство удобно иметь в терминах матрицы Коши \ и / М1 1М')1 1 •

X(/,5) системы. Так как = шах , ^ и ———-ц = тш ' . " xi

4 ' Ml

25.С.148], то верхние функции R(t) осуществляют оценку t x(î,î)|| < DR s ехр J(i?(r ) + s )dr, a нижние функции r{t) осуществляют оценку s t

X 1 ^)|| < ВГ £ ехр г{т) + £ )dт. Число 0.л = тГR называется верхним центральным показателем системы, а число соА=ъщ>г называется нижним центральным показателем системы.

Существуют и другие равносильные определения центральных показателей [25. С. 116; 145]:

Здесь через Х^,т ) обозначена матрица Коши системы (0.1).

Центральный нижний показатель со системы (0.1) равен центральному верхнему показателю сопряженной системы у = -А*^)у, взятому с обратным знаком, и наоборот. Это позволяет полностью свести изучение нижних показателей к изучению верхних.

Отметим, что для треугольной системы х = A(t)x центральные показатели полностью определяются диагональными элементами матрицы A(t). Более точно, справедлива следующая теорема [25. С. 120-121]. Верхние (нижние) классы системы (0.1) и ее диагонали, т.е. конечного множества {яп (/),., аии(/)}, совпадают. Поэтому верхний (нижний) показатель системы

0.1) равен верхнему (нижнему) числу семейства функций {ап(/),.,ann{t)}.

Отметим, что центральные показатели инвариантны относительно ляпу-новских преобразований. Возмущения линейной системы, стремящиеся к нулю при t—>оо, сохраняют множества верхних и нижних функций и не меняют центральных показателей [3. С. 153-154]. Центральные показатели Q и со оценивают границы подвижности показателей Ляпунова при линейном возмущении матрицы коэффициентов.

Теорема (Р.Э. Виноград). Для любого s > 0 найдется такое 8> 0, что старший показатель системы у = (A(t) + Q{t))y, || Q{t)\ < S не превосходит величины Q + s.

Переходом к сопряженным системам можно показать, что нижнюю границу подвижности младшего показателя системы осуществляет нижний центральный показатель. Эти оценки не завышены. В.М. Миллионщиков доказал достижимость центральных показателей [151].

Центральные показатели линейных систем достижимы, т.е. для любого е~> 0 существуют кусочно-непрерывные матрицы Be(t) и C£(t),

C£(t\<s при teR+ такие, что старший показатель системы у = (A(t) + Ве(t))y не менее О.-s, а младший показатель системы y = {A(t)+ Ce{t))y не более o + s.

Одновременную достижимость центральных показателей сначала для двумерных, а затем для п - мерных линейных диагональных систем доказала Т.Е. Нуждова [157]. Одновременную достижимость центральных показателей для произвольных линейных систем (0.1) доказал К.А. Диб [50].

Понятие центральных показателей тесно связано с устойчивостью характеристических показателей линейной системы (0.1). Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей были получены тремя авторами: Б.Ф. Быловым, H.A. Изобовым (в соавторстве) [26] и В.М. Миллионщиковым [150]. Эти статьи вышли одновременно в одном номере журнала "Дифференциальные уравнения" в 1969 году.

Для устойчивости характеристических показателей системы (0.1) необходимо и достаточно, чтобы существовало ляпуновское преобразование х = b{t)z, приводящие систему (0.1) к блочно-диагональному виду треугольной порядка пк, причем для систем-блоков ш выполнены следующие условия:

1) все решения блока имеют один и тот же характеристический показатель Ак и ак=Ак=Пк, к = 1,2,

2) для любых /?,•(/) из диагонали блока Рк^) и р](V) диагонали блока

Рк+1(7) выполнено условие интегральной разделенности, т.е. существуют константы а> 0, й> 0 такие, что при всех t >б >0

И.Н. Сергеев [173] доказал достижимость верхнего и нижнего центральных показателей во множестве бесконечно малых возмущений, эквиваленткаждая из матриц Pk(t) является верхнеs ность устойчивости спектра и его инвариантности относительно бесконечно малых возмущений. В работе [175] И.Н. Сергеевым найдены точные границы подвижности показателей Ляпунова и центральных показателей линейных систем дифференциальных уравнений при сколь угодно малых в среднем линейных возмущениях. Получены критерии устойчивости этих показателей относительно указанных возмущений, а также критерии стабилизуемости и дестаби-лизуемости нулевого решения.

Следует отметить работу О.Г. Илларионовой [74], в которой введен класс линейных систем с неограниченными коэффициентами, на которых определен верхний центральный показатель с сохранением основных его свойств. Известно, что верхний центральный показатель П на пространстве Мп линейных систем (0.1) с равномерной нормой обладает следующими двумя важными свойствами:

1) полунепрерывен сверху на Мп [25. С. 164];

2) достижим в Мп старшим ляпуновским показателем [151].

В работе [74] определяется центральный показатель на некоторых классах систем с неограниченными коэффициентами с сохранением свойств 1), 2). На примере автор показывает, что определение верхнего центрального показателя

П(А)= Km (/ —l)r)||, (0.6) где X(t,r) - оператор Коши системы (0.1), некорректно, если матрица A{t) неограниченна. Точный предел при Г—»+ оо может не существовать. Автор вводит пространство Кр линейных систем (0.1) с кусочно-непрерывными ко1 эффициентами таких, что U = lim р f-H-00

V. V

7„И

Т )\\PdT +оо. Отождествляя сис

V о тему (0.1) с ее матрицей коэффициентов, можно показать, что для всякой системы АеК (р> 1):

1) выполнены условия теорем Каратеодори существования и единственности решения задачи Коши; 2) всякое решение л:(/) системы А неограниченно продолжаемо вправо; 3) всякое решение х({) системы А абсолютно непрерывно на . В работе [74] показано, что верхний центральный показатель на пространстве Кр при р> 1 можно определить формулой (0.6), при этом свойства 1) и 2) будут сохраняться. На Кх формула (0.6) некорректна.

Отметим работу А.Н. Ветохина [28], в которой доказано, что центральные показатели являются наименьшими функциями первого класса Бэра, оценивающими показатели Ляпунова сверху. Сами показатели Ляпунова, рассматриваемые как функции на пространстве линейных дифференциальных систем, наделенном топологий равномерной сходимости коэффициентов на положительной полуоси, не принадлежат первому классу Бэра.

В работе [90] автор исследует линейную систему второго порядка, приводимую к треугольному виду г = , причем для диагональных элементов матрицы выполнено условие

Рп(*)-Р2г(?)*0 или />п(0-/>22(0*0, (0.7)

Центральные показатели в этом случае совпадают с интегральными средними диагональных элементов. Если, например, то

С1 = ри (/), й)= р22 (0 • Условие (0.7) равносильно монотонности функции ( 1 ' 1

Цл^/Ц-ехр —18рА(и)с1и , где - некоторое нетривиальное решение ис

V 2 о ) ходной системы. С помощью теоремы Винограда получены оценки характеристических показателей возмущенной системы. Отдельно рассмотрен случай правильной исходной системы.

Может возникнуть вопрос, не являются ли центральные или особые показатели непрерывными функционалами. Отрицательный ответ на этот вопрос дает теорема 1 из работы [148]. Как отмечает И.Н. Сергеев [174], в этой теореме речь идет, правда, только об особых показателях, но построенный в доказательстве теоремы пример точки разрыва показателей О0 и со 0 представляет собой одновременно пример точки разрыва и центральных показателей.

Все известные определения центральных показателей неконструктивны, поэтому исследование изменения характеристических показателей различных классов линейных систем (0.1) при различных типах возмущений продолжает оставаться актуальным. Большой интерес при этом представляют результаты, которые удается сформулировать в терминах коэффициентов системы.

Определение 0.6. Система (0.1) называется диагонализуемой, если существует ляпуновское преобразование, приводящее ее к диагональному виду

Отметим, что относительно ляпуновских преобразований инвариантны, например, следующие характеристики системы (0.1):

1) принадлежность системы (0.1) пространству М*,

2) характеристические показатели,

3) центральные показатели,

4) устойчивость характеристических показателей,

5) правильность системы,

6) диагонализуемость системы.

Остановимся коротко на истории понятия интегральной разделенности [59].

Первой работой по системам с интегральной разделенностью решений была работа О. Перрона [228], в которой доказано совпадение показателей при 0(/)->О и условии разделенности ам (V) — а1 (/) > сс > 0, / > 0 диагонали. diag[bx (V),-А (/1Ь • Л возмущенной (0.2) и исходной диагональной систем

Б.Ф. Былов [21] условие разделенности ослабил до требования интеt гральной разделенности Д ам(т)~ а{(т))с1т>а^ - s)- /3, а,/3>0, t>s, и s доказал устойчивость показателей диагональной системы в предположении ее правильности. От последнего требования освободился Р.Э. Виноград [32].

Дж. Лилло [213] для произвольной линейной системы определил понятие отделенности каких-то ее решений х1 (/),.,xn{t) как выполнение при всех s и t совокупности неравенств

-Цхр[Л ¡{t - s)- ju\t - 5|)<< Сехр(А ¡{t - s)+ß\t - 4 i = 1,., С iRvMI п 1 • с некоторыми вещественными числами Л , и //=—min

4 i*j

XrXj

Наконец, Б.Ф. Былов в работе [23] дал следующее определение.

Определение 0.7. Линейная система (0.1) называется системой с интегральной разделенностью, если она имеет решения xx($\.,xn{t), для которых при всех t > s выполняются неравенства iR+iWI F/WI с некоторыми постоянными a,d> 0.

Он доказал приводимость таких систем к разделенно - диагональным системам Перрона, установив тем самым устойчивость показателей линейных систем с интегральной разделенностью. Среди систем (0.1) с различными характеристическими показателями интегрально разделенные и только они имеют устойчивые характеристические показатели [26, 150]. Характеристику интегрально разделенных линейных систем как систем с малым изменением направлений решений при малом возмущении коэффициентов дал В.М. Миллионщиков [147]. Среди систем x = A{t)x системы с интегральной разделенностью, и только они, обладают следующим свойством: при малом sup|ß(i) - I каждому решению y(t) системы у = B(t)y можно сопоста-t вить решение x{t) системы x = A{t)x такое, что угол между векторами x(t), y{t) мал при всех t. Эта теорема получила свое развитие в работах

И.У. Бронштейна и В.Ф. Черния [20] в части достаточности, A.A. Ахрема [8, 9] в части необходимости. Среди результатов автора, касающихся этого вопроса, отметим работы [91, 93]. В этих работах изучается связь свойств близости характеристических показателей, интегральной разделенности и близости по углу решений исходной и возмущенной линейных систем.

Понятие интегральной разделенности тесно связано с понятием экспоненциальной дихотомии. Теория систем с экспоненциальной дихотомией изложена в книгах [42], [144], [197].

Нельзя не отметить работу И.Н. Сергеева [174], в которой систематизируются сведения по теории показателей Ляпунова. В этой работе доказана инвариантность относительно бесконечно малых возмущений некоторых свойств линейных систем. В частности, свойство приводимости системы к диагональному виду не является инвариантным относительно бесконечно малых возмущений, хотя существуют и приводимые и неприводимые к диагональному виду системы, для которых эти свойства под действием бесконечно малых возмущений не меняются ([174], теоремы 10.3, 10.4).

Множество Jn систем с интегральной разделенностью обладает рядом любопытных свойств. Известно, что это множество является открытым, всюду плотным в пространстве Мп и совпадает с множеством систем, у которых все показатели Ляпунова грубо устойчивы (т.е. функционалы Л ¡(А) непрерывны в некоторой окрестности А е Мп ).

Как мы знаем, любую систему (0.1) перроновским преобразованием можно привести к треугольному виду, к диагональному же виду ляпуновским преобразованием может быть приведена уже не любая линейная система.

Б.Ф. Былов [23] в терминах определителей Грама получил критерий такой приводимости и показал, кроме того, что любая интегрально разделенная линейная система диагонализуема. Дальнейшее изучение этих вопросов, в частности, получение признаков интегральной разделенности и диагонализуемости линейных систем продолжает представлять интерес.

Вопросам различного вида приводимости систем дифференциальных уравнений посвящены многочисленные работы. Отметим несколько последних работ. В работе Н.В. Ретюнских [166] исследуется существование для данной матрицы A(t) постоянной неособенной матрицы В, приводящей ее к диагональной или треугольной матрице C(t). Получены необходимые и достаточные условия существования для данной матрицы A{t) матриц В и C(t).

JI.A. Мазаник и С.А. Мазаник [138] приводят два критерия приводимости линейной системы (0.1) к системе Лаппо - Данилевского.

Е.А. Барабанов в своей статье [12] получил необходимое и достаточное условие приводимости линейной дифференциальной системы с ограниченными коэффициентами обобщенным преобразованием Ляпунова к блочно-треугольной системе с ограниченными коэффициентами.

Вопросу о приводимости нелинейных дифференциальных уравнений к блочно - треугольному виду посвящена статья Д.В. Пашуткина [160].

Свойства показателя приводимости линейных дифференциальных систем изучаются в работе [72].

Остановимся на результатах Палмера (K.J. Palmer) [225]. Внутренностью (относительно топологии, определяемой супремумом нормы матрицы коэффициентов) множества диагонализуемых систем на полупрямой является множество систем с интегральной разделенностью (часть 6, теорема 4, с. 199).

Системы на (- оо; + сю) обсуждаются в 7 части статьи. Былов Б.Ф. доказал, что системы с интегральной разделенностью диагонализуемы. Автор отмечает, что система, заданная на (- оо; + оо), будучи интегрально разделенной на

О; + оо) и (- со; о] может не быть интегрально разделенной на (- оо; + оо), несмотря на диагонализуемость на (- оо; + оо).

Теорема. [225. С. 201]. Пусть A(t) ограниченная, непрерывная матрица - функция, определенная на (-оо; + оо). Если система x = A{t)x интегрально разделена на (-оо;0] и на [0;+ со), то она диагонализуема на (—оо; + оо).

Теорема. [225. С. 202]. Внутренностью множества диагонализуемых систем на R1 является множество систем с интегральной разделейностью как на [О; + оо), так и на (- оо; о].

Палмер отмечает, что функция /(/) = tanh/ интегрально отделена от нуля на R+, на R~, но не отделена на всей прямой R1. Действительно, c/zi

R+ : |tanhw<i« = In-> {t - r)- ln2, t>r> 0, так как

J cht

J , J~T I t-T e +e e +e e + e~2T 2 '

R~ : 'ftanh= In——— = In———— = In——————— < lni2f?~^~T^l= —{t — r) + ln2, l ehr eT+e~T e2T+\ V / V / если v<t<0; t

Rx: Jtanhwi/м = 0 > 2at - d при фиксированных а > 0 и d> 0 для любого -t t> 0 не выполняется.

Обширный обзор по теории линейных систем можно найти в работе [59]. На множестве линейных дифференциальных систем H.A. Изобовым [63-66, 69] полностью описано взаимное расположение следующих показателей: характеристических (Ляпунова), экспоненциальных (Изобова), центральных (Винограда) и генеральных (Боля). Изменению показателей Ляпунова линейной системы (0.1) при различного рода возмущениях коэффициентов посвящены исследования многих авторов: исследование линейных систем с экспоненциально убы вающими возмущениями [61, 62, 67, 68, 85, 11]; оценка снизу всех показателей Ляпунова возмущенной системы (0.2) с любыми перроновскими возмущениями получена в работе [71]; исследованию поведения показателей Ляпунова линейных систем при малых возмущениях, посвящена диссертация Ю.И. Дементьева [43].

Несовпадение характеристических показателей систем (0.1) и (0.2) при возмущении Q(t): ||б(/| -> 0 при t -> +оо было обнаружено еще О. Перроном.

Задача нахождения точных границ подвижности характеристических показателей системы (0.1) под действием возмущений Q(t) из некоторого класса возмущений является одной из основных задач современной теории характеристических показателей Ляпунова. Задача о вычислении нижней границы подвижности младшего и верхней границы подвижности старшего характеристическо

00 го показателя системы (0.1) для класса возмущений Q(t): j]|6(«)||du < +оо рео шена в работе [14]. Эти точные границы подвижности крайних показателей получены в терминах матрицы Коши исходной системы (0.1). В доказательстве используется метод поворотов В.М. Миллионщикова.

В работе Е.А. Бернштейн [17] устанавливается, что система x = A(t)x + f{t) имеет хотя бы одно решение с неположительным показателем Ляпунова для всякой неоднородности fit) с неположительным показателем Ляпунова тогда и только тогда, когда для любого е>0 существует такое S>0, что для всякой неоднородности hit), показатель Ляпунова которой меньше 5, система х = A(t)x + hit) имеет решение с показателем Ляпунова, меньшим б.

На начальных этапах развития теории характеристических показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем значительное внимание уделялось изучению зависимости показателей и других асимптотических характеристик решений от коэффициентов рассматриваемой системы. Как правило, эти зависимости можно установить только в некоторых простейших случаях. Позднее выяснилось, что многие задачи из этой области можно решить в терминах матрицы Коши. Ярким примером может служить теорема В.М. Миллионщико-ва о достижимости центральных показателей линейных систем. Дальнейшим продвижением на этом пути стала разработанная В.М. Миллионщиковым и его учениками теория характеристических показателей семейств морфизмов метризованных векторных расслоений. Сводку результатов и ссылки можно найти в завершающих работах [152, 153]. Обладая большой универсальностью, данный подход требует привлечения весьма серьезных технических средств теории расслоений, что при решении некоторых локальных задач явно излишне. В.Е. Макаров в своей работе [139] строит более простую модель — абстрактную линейную систему, которая обобщает понятие линейной дифференциальной системы. Основные понятия теории показателей Ляпунова для линейных дифференциальных систем переносятся на многомерные дифференциальные уравнения, многопараметрические дискретные и дискретно - непрерывные системы и т.д.

Линейные системы дифференциальных и разностных уравнений представляют интерес и как самостоятельный объект, и как вспомогательный, когда нелинейные системы мы пытаемся исследовать методом линеаризации.

Дискретным аналогом линейной системы дифференциальных уравнений (0.1) является линейная система разностных уравнений x(t + \) = A{t)x(t), xgR", det A{t)Ф 0, ieZ+. (0.8)

Уравнения в конечных разностях в их различных формах давно изучаются во многих разделах математики. Эти уравнения оказались весьма удобной моделью для описания дискретных динамических систем, для моделирования импульсных систем. Теорию устойчивости дискретных систем впервые изучал Вольфганг Хан [209].

При математическом моделировании многих технических объектов (см., например, [162]) широко используются дискретные уравнения. Роль таких уравнений существенно определяется применением вычислительных комплексов, требующих представления любой задачи в дискретном виде.

Одна из основных проблем теории дискретных систем - это устойчивость их решений. Вопросы устойчивости таких систем получили всестороннее развитие в многочисленных работах и к настоящему времени достигли уровня, сравнимого с теорией устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные теоремы второго метода Ляпунова (метода функций Ляпунова) детально изложены, например, в [19, 182]. Приводимые и правильные системы (а также использование их в задачах устойчивости по линейному приближению) исследованы в [46-49, 80, 81]. В приведенных работах матрица коэффициентов линейной системы обычно предполагалась невырожденной при всех значениях независимой переменной. Такое ограничение делает теорию линейных дискретных систем близкой к основным результатам, известным для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.

И.В. Гайшун исследовал [35] приводимые дискретные системы без предположения о невырожденности матрицы коэффициентов.

Одной из первых работ, посвященных исследованию устойчивости решений систем нелинейных разностных уравнений, является работа О. Перрона [226], в которой доказаны теоремы об устойчивости по первому приближению и об асимптотическом поведении решений при / -» +оо. Устойчивость линейных систем разностных уравнений с переменными коэффициентами изучалась в работах И.М. Рапопорта [165], П.И. Коваля [80, 81]. Связь между устойчивостью решений дифференциальных и разностных уравнений исследовалась в статьях М.А. Скалкиной [176, 177]. Схемы, ориентированные на компьютерный анализ устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотрены в работе [168]. Следует отметить цикл статей В.Б. Де-мидовича [46-49], в которых автор систематически переносит теорию первого метода Ляпунова систем дифференциальных уравнений на системы разностных уравнений. В последних работах изучаются свойства показателей Ляпунова решений системы разностных уравнений. Доказано, что любое нетривиальное решение линейной системы с вполне ограниченной матрицей коэффициентов имеет конечный характеристический показатель. Матрицу А{п) В.Б. Демидо-вич называет вполне ограниченной, если она неособенная и ограничена вместе с обратной матрицей. Вводится понятие нормальной фундаментальной матрицы, понятие правильной линейной системы разностных уравнений, вводится понятие присоединенной (сопряженной) системы разностных уравнений. На дискретные линейные системы перенесены критерии Перрона и Ляпунова правильности системы. Произвольную матрицу Q{n) В.Б. Демидович называет вполне обобщенно - ограниченной, если для нее выполнено равенство z{Q{n)]=x[Q-\n)}=Q.

В дальнейшем автор всегда считает, что матрица коэффициентов А{п) системы х{п + \)= А(п)х{п) вполне обобщенно - ограничена. Получено обобщение критерия Еругина - Коваля в теории обобщенной приводимости линейных систем. Сформулирован и доказан дискретный аналог теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Обзор результатов В.Б. Демидови-ча изложен в монографии Д.И. Мартынюка [142].

Для непрерывных систем A.M. Ляпунов доказал, что если система первого приближения правильна и все ее характеристические показатели отрицательны, но нулевое решение исходной системы асимптотически устойчиво. О. Перрон [227] показал, что требование правильности системы первого приближения является существенным. Он привел пример системы с неустойчивым по Ляпунову решением, линеаризация вдоль которого является неправильной и имеет отрицательные ляпуновские показатели.

Критерии устойчивости по первому приближению для систем дифференциальных уравнений A.M. Ляпунова [136], К.П. Персидского [161], И.Г. Малкина [140], Н.Г. Четаева [188], X.-JL Массера [143], Н.Н.Красовского [84] получили свое развитие для дискретных систем в монографиях и статьях П.В. Бромберга [19], И.В. Гайшуна [36], В.Б. Демидовича [46,49], J.P. La Salle [212], S. Elyadi [200], Л.Д. Замковой [55, 56], М.И. Гиля [204, 205, 220], Н.И. Желонкиной [54], Г.А. Леонова [86, 132, 133], Н.В. Кузнецова [87], G. Galescu, P. Talpalaru [201] и многих других авторов.

Отметим обзорную статью H.A. Изобова [70], содержащую достаточно полное изложение результатов по решению частной и общей задач Ляпунова об исследовании по линейному приближению экспоненциальной устойчивости нулевого решения дифференциальной системы с возмущениями высшего порядка малости, а также по решению линейных аналогов этих задач.

Применению первого метода Ляпунова к системам с неправильной линейной частью посвящена статья B.C. Ермолина [52].

В диссертации Н.В. Кузнецова [87] получены новые критерии неустойчивости дискретных систем в терминах характеристических показателей системы первого приближения. Для правильных дискретных систем обобщен критерий устойчивости по первому приближению В.Б. Демидовича [46]. Построены системы, обладающие эффектом Перрона инверсии знаков характеристических показателей решений исходной системы и системы первого приближения при одних и тех же начальных данных. Получен критерий устойчивости потоков решений. Доказаны критерии неустойчивости по Красовскому и Ляпунову для дискретных систем. Построен дискретный аналог контрпримера Перрона [227].

Разностные уравнения с малым параметром £>0 изучались в работе В. И. Кузнецовой [89]. Малость параметра б соответствует тому, что коэффициенты уравнения меняются медленно. В статье приводятся достаточные условия устойчивости уравнения в предположении, что некоторые из уравнений

00

00

T;ak(S)Xn-k ~ fn k=0 с коэффициентами ak{s), замороженными в момент времени s, устойчивы, а некоторые нет, но доля устойчивых уравнений больше, чем доля неустойчивых.

Для системы с переменной матрицей х{п + ])= А{п)х{п), вообще говоря, не существует столь прямой связи между собственными числами у{{п) матрицы А(п) и устойчивостью системы, что наблюдается для постоянной матрицы коэффициентов. Рост решений стараются связать с величиной у= supшах|/Но эта идея в чистом виде не проходит. Даже если /<1, nZO > система может иметь неограниченные решения. Нужно вносить дополнительные условия на скорость изменения элементов матрицы A{ri). В теории линейных систем дифференциальных уравнений хорошо известен "метод замораживания", разработанный В.М. Алексеевым [6, 7]. Идея этого метода состоит в том, что о решениях системы с переменной матрицей х = A{t)x пытаются судить так, как если бы матрица A(t) была постоянной, или "замороженной" в некоторой точке /0. Для применения метода замораживания оценивают рост матрицы е которую можно рассматривать как матрицу Коши "замороженной" системы у - A{t0)y. В восходящем к П.Болю методе замораживания H.A. Изобовым доказана [57] неулучшаемость основной его оценки - оценки В.М. Алексеева - Р.Э. Винограда старшего показателя линейной нестационарной системы, получены уточнения этой оценки и ее интегральный вариант как для двумерных, так и для и-мерных [60] линейных систем. Идея метода замораживания была перенесена на дискретные системы Замковой Л.Д. [55, 56]. Метод замораживания на нелинейные системы дифференциальных и разностных уравнений перенесен в работах М.И. Гиля и Р. Медина [40, 204, 205, 220]. Для динамической системы вида

0.9) хорошо известен результат Перрона ([224. С. 270], [211, теорема 9.14] или [207]): система (0.9) асимптотическим устойчива, если Ак=А = const устойчива (т.е. спектральный радиус rg(A) матрицы А меньше 1) и fk(x)= /(х) = o(j|x|). В работе [220] получены точные оценки норм решений, дающие условия устойчивости соответствующих систем, и определены области притяжения стационарных решений. В работе [204] показано, что если матрица Аь системы хк+х = Акхк удовлетворяет неравенству Чк-j {як = Я-к = const ^ 0, ft = 0; j,k = 0,1,2,.)

Ак - Aj

00 и Со-^Ук SUP Л* < 1, то любое решение {х^} рассматриваемой системы *=1 1=1,2,. удовлетворяет неравенству sup Цх^ || < ß0 ||x01 (l - где ßQ = sup Af . к=1,2,. к,1=0X2,.

Отметим, что условие ||Ак+1 - Ак || < q, к = 1,2,., q = const > 0, равносильно условию Ак - Aj^<q\k - j\, j,k = 0,1,2,. В этом случае имеем qm=qm, т = 0,1,2.

В работе [5] изучается возмущенная линейная система у(п +1) = (А(п) + В(п))у(п), п > 0, где {а(п)\ - т - периодическая матричная последовательность. В предположении, что нулевое решение системы х{п + \)= А{п)х(п) асимптотически устойчиво, получены условия на возмущение В(п), сохраняющее асимптотическую устойчивость нулевого решения.

Следует отметить работы P.A. Прохоровой [163, 164]. В работе [163] вводится понятие д - асимптотической эквивалентности линейных систем, по аналогии с асимптотической эквивалентностью, введенной Ю.С. Богдановым. В ö - преобразовании Ляпунова не требуется ограниченность производной матрицы преобразования. Тем не менее, Ö - преобразование Ляпунова сохраняет такие асимптотические характеристики системы, как различные виды устойчивости, показатели решений, интегральную разделенность решений, экспоненциальную дихотомию системы и т.д., т.к. при доказательстве инвариантности этих величин и свойств при преобразовании Ляпунова используется только лишь ограниченность матрицы преобразования и ей обратной. В работе [163] показано, что система (0.1) S - асимптотически эквивалентна системе с толчками v = 0 (0.10) с законом перехода с решения на решение v(k+) = B(k)v(k), (0.11) где В(к) - вполне ограниченные матрицы, т.е. к

Наоборот, любая система (0.10) - (0.11) 5 - асимптотически эквивалентна некоторой системе (0.1), причем

A(t) = LnB {к), к — 1 <t<k, к = 1,2,. с надлежащим выбором ветвей логарифма.

В целочисленных точках решение v(/) системы (0.10) - (0.11) удовлетворяет системе в конечных разностях v{n +1) = B(n)v{n).

Определение 0.8. Асимптотическая характеристика дифференциальной системы (0.1) называется дискретной, если ее вычисление можно проводить по последовательности моментов времени кТ (Т > 0 фиксировано), к = 1,2,., или если из выполнения условия ее определения в точках кТ, к = 1,2,., следует выполнение этого условия на всей полуоси t > 0.

Исследование асимптотических характеристик системы х(к +1) = А(к)х(к), являющихся дискретным вариантом соответствующих дискретных асимптотических характеристик системы (0.1), равносильно исследованию этих же характеристик системы (0.10), (0.11), а в силу теоремы 2 из работы [164] равносильно также исследованию системы (0.1) с кусочно-непрерывными и ограниченными коэффициентами.

Обратимся теперь к приложениям результатов диссертации в математическом описании динамики численности отдельных биологических популяций и сообществ, состоящих из многих взаимодействующих между собой популяций различных видов. Остановимся коротко на истории вопроса.

Математическое моделирование динамики численности биологических популяций имеет достаточно длинную историю и восходит к Леонарду Фибоначчи (задача о числе кроликов) и Томасу Мальтусу (1766-1834). В основе модели Мальтуса [218] лежит простое утверждение - скорость изменения численности населения с течением времени t пропорциональна ее текущей численности. Из этой модели сразу вытекает неограниченный рост численности населения, что послужило основанием для опасений Мальтуса о грядущем перенаселении Земли. Большинство реальных процессов и соответствующие им математические модели нелинейны. Линейные же модели отвечают весьма частным случаям и, как правило, служат лишь первым приближением к реальности. Безграничный экспоненциальный рост численности в природе не наблюдается, так как ресурсы, обеспечивающие рост, ограничены. Ясно, что должна существовать предельная численность популяции, которой можно достигнуть в условиях ограниченности ресурса. Как отмечает Ю.М. Свирежев [171] в своем историческом обзоре развития математической экологии, первой моделью, учитывающей этот факт, является модель Б. Гомпертца [206], предложенная им в 1825 году: емкость среды"). Эта модель описывает эффект "насыщения", но эксперимен

Здесь N{t) - численность популяции, К - предельная численность популяции ты с животными показали, что этот эффект наступает гораздо быстрее, чем это следует из модели Гомпертца.

В 1838 году Ферхюльст предложил [236] описывать динамику численности популяции уравнением — = гИ 1--, г > О, К> 0. dt К

Это хорошо известное в теории популяций логистическое уравнение (непрерывная модель Ферхюльста). Скорость изменения численности популяции пропорциональна самой численности, умноженной (в отличие от модели Мальтуса) на величину ее отклонения от равновесного значения. Член 1- ~ обеспечивает механизм "насыщения" численности - при N<К (N>К) скорость роста положительна (отрицательна) и стремится к нулю, если N —» К. Дифференциальное уравнение легко интегрируется. При любом N(0) численность N(t) стремится к равновесному значению К. Равновесие N(t) = К в этой модели устойчиво.

В теории моделей взаимодействующих популяций у Вольтерра тоже были предшественники. В 1925 г. А. Лотка выпускает книгу "Элементы физической биологии" [217], в которой изучает систему dN, Nx{sx + yxN2\ dt dNj =N2{s2+y2Nx). dt

Здесь е1 - коэффициенты естественного прироста (или гибели), у1 - коэффициенты, описывающие межпопуляционные (или межвидовые) взаимодействия. В зависимости от выбора знаков этих коэффициентов модель описывает либо конкуренцию видов за один ресурс, либо взаимоотношения типа "хищник - жертва" или "паразит - хозяин".

Рассмотрим известную математическую модель [169. С. 170 - 173], описывающую численность жертв и хищников с течением времени t. Пусть у{$)число некоторых живых организмов в момент времени а х(/) - количество их врагов (хищников), питающихся ими. Будем предполагать, что

1) численность популяций жертв у{$) и хищников х(/) зависит только от времени;

2) в отсутствие взаимодействия численность видов изменяется по модели Мальтуса: у' = ау, х' = -/3х, а> О, /?>0;

3) естественная смертность жертв и естественная рождаемость хищников несущественны;

4) эффект насыщения численности обеих популяций не учитывается;

5) скорость роста численности жертв уменьшается пропорционально численности хищников, а скорость роста численности хищников увеличивается пропорционально численности жертв.

С учетом предположений 1) - 5) приходим к системе уравнений Лотки — Вольтерры

У = к1у-к2ху,

X -— ЭСу

А:г-> 0, / = 1,2,3,4, которая является математической моделью, описывающей численность жертв и хищников с течением времени. Отметим, что эта система имеет решение: х0 =—, Уо= — - Это так называемое положение равновесия к2 къ системы. Если в начальный момент времени имеем х(/0 ) = —, у^0 ) = —, то с^ к^ ни число жертв, ни число хищников не меняется с течением времени.

Вольтерра показал, что это положение равновесия устойчиво по Ляпунову и является центром. Для более точной математической модели, в которой учитывается эффект насыщения для популяции жертв у' = (кх - к2х - а у)у, х' = (-к4+ к3у)х, с помощью теоремы об устойчивости по первому приближению нетрудно показать, что нетривиальное положение равновесия к\ къ ос к л ^ к л х0 = —^--, у0 = — к2к3 к^ асимптотически устойчиво при естественном условии кхк3 > а кА.

В 1936 году вышла в свет статья А.Н. Колмогорова [210], а ее исправленный и дополненный вариант [83] в 1972 году. В этой статье для системы "хищник - жертва" предлагалось рассматривать более общую модель вида Л аи*=н2к2(мх,м2).

I ж

Функции Кх и К2 выбирались достаточно произвольно, удовлетворяя лишь некоторым ограничениям, вытекающим из общебиологических соображений.

Эта модель свободна от основного недостатка вольтерровской модели -отсутствие устойчивого предельного цикла, но излишняя общность затрудняет качественное описание.

В большинстве реальных популяций довольно значительным оказывается запаздывающее действие факторов регулирующих численности. В случае непрерывных моделей эти эффекты учитываются с помощью дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами.

Ясно, что реальности более соответствует представление о численности как о дискретной величине. Если условия среды остаются постоянными и численность одного поколения целиком определяется численностью предыдущего (модели популяций с неперекрывающимися поколениями), то хп+х = /(хп). Дискретное логистическое уравнение имеет вид хп+х = Яхп (1 - хп). Оно достаточно реалистически описывает динамику численности некоторых биологических популяций. Первоначально анализ дискретных моделей хп+х = /(хп) не выходил за рамки исследования на устойчивость неподвижных точек. В 1974 году при исследовании экспоненциальной модели хп+х = Лхпехр(- ахп), введенной Риккером [230] при изучении популяций некоторых лососевых рыб, А.П. Шапиро [189] и R.M. May [219] открыли такие явления, как первая серия ветвлений цикла и хаотический режим.

Динамику численности популяций часто исследуют с помощью математических моделей с постоянными коэффициентами. Поведение траекторий в окрестности стационарных точек популяционных моделей исследуется проще с помощью теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению для автономных систем. Для неавтономных систем применение аналогичных теорем вызывает затруднение в связи с отсутствием общих методов определения характеристических чисел решений системы первого приближения, а также установления правильности этой системы. В последнее время разработаны методы численной оценки ляпуновских показателей [88], [158].

Автором получены коэффициентные признаки устойчивости и неустойчивости стационарных состояний некоторых популяционных моделей с переменными коэффициентами. Рассмотрены случаи, когда эти коэффициенты имеют предел при t -» +оо или это периодические функции, удовлетворяющие условию Липшица с достаточно малой постоянной Липшица. Исследованы как непрерывные, так и дискретные модели.

При изучении динамики численности биологических популяций как изолированных, так и взаимодействующих часто приходится учитывать, так называемые, пассивные стадии (ПС) жизнедеятельности (В.Г. Ильичев). При наступлении неблагоприятных условий (смена времени года, резкое уменьшение рациона питания и т.д.) многие биологические особи как простейшие, так и высокоразвитые переходят из активного состояния в пассивное. Они прекращают полностью или частично воспроизводство себе подобных, падает внутривидовая конкуренция, жертвы практически не встречаются с хищниками. В работах [77, 76] рассмотрена линейная схема модельного описания механизма образования пассивных стадий (ПС-механизм). Проведено исследование устойчивости изолированной и взаимодействующих популяций (конкуренция, хищничество и т.д.) с учетом данного фактора. В этой работе исследуются автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Случай периодического изменения окружающей среды с учетом обмена "активное состояние - пассивное состояние" рассмотрен в работе [79]. В работе [238] рассматривается вопрос об устойчивости двухвидовой конкурентной системы, имеющей возрастную структуру, с каннибализмом и заповедниками. Доказаны локальные устойчивость и глобальная аттрактивность неотрицательных положений равновесия системы. Показано, что наличие заповедников существенно влияет на положение равновесия и устойчивость системы. Наследуемые свойства неавтономных динамических систем и их приложение в моделях конкуренции рассмотрены в работе [78].

В работе [198] рассматривается модель рыбных запасов в виде системы автономных дифференциальных уравнений альной точки равновесия и ее глобальной асимптотической устойчивости по отношению к решениям, начинающимся в положительном квадрате.

Отметим работу A.C. Сумбатова [180], в которой рассматриваются уравнения Вольтерра при условии, что часть популяции жертвы, пропорциональная плотности хищника, недосягаема для него. Отыскиваются равновесные решения и исследуется их локальная устойчивость. dx (л х^ гх 1--- ст,х + dt \ К)

0)>0, Я°)>°> описывающая динамику популяций рыб в зоне свободной ловли (х) и заповедной зоне (у). Устанавливаются условия существования у системы нетриви

Отметим, что уже после выхода в свет монографии В. Вольтерры биологи начали проверять степень адекватности вольтерровских моделей и динамики реальных сообществ. Одной из первых работ, посвященных этому вопросу, является книга Г.Ф. Гаузе "Борьба за существование" [202], в которой проанализированы как сильные, так и слабые стороны моделей Вольтерры на основе экспериментов с лабораторными сообществами простейших.

Можно отметить наблюдения в течение почти ста лет за колебаниями численностей рысей и зайцев в Канаде [181].

Исследованию закономерностей в поведении системы паразит - хозяин посвящены большие по объему эксперименты Утиды [235].

Из последних работ отметим одну модель (так называемую "Consensus"), введенную в 1998 году [232]. Математическая модель "Consensus", описывающая динамику коловраток, имеет вид N(t +1) = N(t)exр г ! у ^ -а ' v

N(t) N\t), где N(t) - плотность популяции коловраток в данный момент времени.

Эта модель корректно и с хорошей точностью воспроизводит локальные изменения во времени численности рачков — коловраток, популяции которых являются важной составляющей планктонных сообществ. Дальнейшее исследование этой модели нашло отражение в работах Ф.С. Березовской и других авторов [41].

Решение дифференциальных уравнений численными методами основано на сведении этих уравнений к уравнениям в конечных разностях. Важной проблемой, возникающей при такой замене, является проблема сохранения качественных характеристик исследуемых систем. Переход от непрерывных уравнений к разностным уравнениям может повлечь существенное изменение свойств решений системы, в частности, может нарушиться устойчивость. Вопросами согласованности между свойствами решений непрерывных и дискретных уравнений, а также вопросами коррекции разностных схем для обеспечения этой согласованности занимались В.И. Зубов, П.И. Коваль, К. Деккер, Я. Вервер, М.А. Скалкина, А.П. Жабко, А.Ю. Александров и многие другие авторы. С практической точки зрения актуальной является задача по выделению классов систем, для которых сохранение качественных характеристик при дискретизации имеет место и без дополнительной коррекции разностных схем. Для решения ряда задач кроме согласованности между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле устойчивости требуется также сохранение таких характеристик, как устойчивость по отношению к постоянно действующим возмущениям, границы бассейна аттрактора и др. Особый интерес представляют системы дифференциальных уравнений, нулевые решения которых асимптотически устойчивы в целом (глобально асимптотически устойчивы).

Перейдем теперь непосредственно к результатам диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, основной части, содержащей пять глав, заключения, списка литературы и приложения. Для удобства в ней принята система нумерации вида: а) для теорем, лемм и т.п.

Теорема 1.3.1 - глава 1, §3, теорема 1. б) для формул

0.2) - введение, формула 2.

3.4.3) - глава 3, §4, формула 3.

В первой главе с помощью метода замораживания получены результаты, касающиеся асимптотической устойчивости линейной системы разностных уравнений, а также достаточные условия экспоненциальной устойчивости тривиального решения почти линейной системы. Эти результаты опубликованы в статьях [100], [112].

В первом параграфе этой главы построен пример линейной системы разностных уравнений (0.8), для которой неравенство у- supmax|f,(/)(< 1, teR+ ' где у i{t), i = \,.,n - собственные числа матрицы A(t), не влечет за собой асимптотическую устойчивость системы (0.8). Метод построения таких систем аналогичен методу построения линейных систем дифференциальных уравнений [25. С. 124-126] с нужными свойствами. Приводится также пример линейной системы (0.8) с переменной матрицей коэффициентов, которая асимптотически устойчива, собственные числа матрицы A(t) действительны, не зависят от t, но среди них есть собственное число, модуль которого больше 1. В теореме 1.1.1 с помощью метода замораживания получена оценка решений линейной разностной системы x{t + l)= A{t)x{t), хеRn, t = 0,1,2,. с nxn матрицей

A(t), удовлетворяющей условию

А{к\<5{п-к)а, n>k, 8> 0, a> 0. Из этой оценки следует оценка старшего показателя Л исходной системы г 1 \ f 1 л

Л< у+ Lô п+а J ехр п + а-\)5п+а где y=supmax\y ¡(tj, у ¡(t), i = 1,собственные значения матрицы A(t), t>o '

L - постоянная из оценки

Ak(t\<L{\ + k)n~l-ук, t,keZ+.

Случай а-1 изучался в работах [55, 56]. Для 0<а<1 оценка старшего показателя Л является новой. Случай а> 1 сводится к случаю а= 1.

Во втором параграфе главы 1 приведены новые достаточные условия экспоненциальной устойчивости тривиального решения почти линейной системы y{t + l)=A(t)y(t) + f(t,y{t)), f(t, 0) = 0. (0.12)

Теорема 1.2.1. Пусть матрица A(t) системы (0.12) удовлетворяет условию \А(п)~ А{к^< S\n-k^, 5> 0, а>0 и для этой матрицы постоянная у = supmax|^(«)( меньше 1. Пусть вектор — функция f(t,y(t)) такова, что л>0 »' и ряд ^(//(я) сходится, тогда тривиальное решение почти линейной системы п=о

0.12) экспоненциально устойчиво при достаточно малом 8.

Рассматриваются более слабые ограничения на возмущение f(t,y{t)) с сохранением утверждения теоремы об экспоненциальной устойчивости тривиального решения.

Здесь удобно привести следующий результат из теории дифференциальных уравнений [208]. Если нулевое решение системы х = A(t)x + g(t, х), t е [0; + со), хеС", экспоненциально устойчиво и ||g(í, х)(| < у\\х\\ с достаточно малым у > 0, то нулевое решение системы х = A(t)x также экспоненциально устойчиво.

Результаты второй главы также касаются теории линейных систем разностных уравнений и опубликованы в работах [98], [99], [117]. В первом параграфе этой главы получены достаточные условия прочности вверх старшего характеристического показателя диагональной системы (0.8). Теорема 2.1.1. Пусть диагональная система х{п +1) = diag\a{ («),., ат (п)]х(п) = А(п)х{п) такова, что 0 < а < \a¡ (п\ < /?, / = 1,2,., т, n&Z+, и существует постоянная М > 1 такая, что для всех i,j = 1,2,., т

Л-»+00 Гп П1 1 к-0г=О тогда старший характеристический показатель возмущенной системы y{n + \) = {A(n) + Q(n))y{n) для любого достаточно малого возмущения Q(n), такого, что

Q{n}\<5, det(4«) + eW)^0, не превосходит А + та Мб, где Л- старший характеристический показатель невозмущенной системы.

Результат этого параграфа примыкает к работе [49]. Для исследования асимптотики решений конечно-разностной системы (0.8) на бесконечности введем показатель

V [*(?)] = Нш который назовем показателем Даламбера. Здесь || • || - евклидова норма вектора. Часть § 2 второй главы носит вспомогательный характер. Здесь приведены некоторые известные свойства верхних и нижних пределов числовых последовательностей, которые нужны для исследования свойств показателя Даламбера. Показано, что если вектор-функция х(/) имеет строгий положительный показатель Даламбера V [*(?)], то у существует строгий показатель Ляпунова и он равен 1п(у[х(Л]). Ясно, что если г[х(/)]<1, то Нт|л:(?| = 0.

Интерес представляют оценки показателей Даламбера решений системы (0.8), особенно коэффициентные. В третьем параграфе получены оценки: а) |у4"'(/|)Г1 в) здесь = шах У* а1 (?) + {п -1) • тах

1 м 1<к п = тт V а1 (?) - (п -1) • тах у м ]<к Я 1

1=1 здесь Я (?) и Л(?) - наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы А*А, причем А* - эрмитово-сопряженная матрица к А.

Эти оценки являются дискретными аналогами оценок Ляпунова, Богданова, Важевского [25. С. 126 - 129] из теории линейных систем дифференциальных уравнений. Оценки не инвариантны относительно ляпуновских преобразований системы. Теоретически их можно улучшить, переходя от матрицы A(t) к матрице B(t) = L~lAL-L~l L в непрерывном случае или к матрице B(t) = U~l(t+ i)A(t)U(t) в дискретном случае. С практической точки зрения заранее найти ляпуновское преобразование, улучшающее оценку, не представляется возможным.

С.М. Лозинский с помощью введенных им логарифмических норм [135] получил оценки решений линейных систем. Отметим, что для третьей матричной нормы оценка Лозинского совпадает с оценкой Важевского.

В работе Ю.А. Ильина [75] изучается вопрос о возможности применения логарифмических норм к нелинейным системам дифференциальных уравнений.

Как известно, линейная система дифференциальных уравнений (0.1) унитарным преобразованием приводима к линейной системе с эрмитовой матрицей коэффициентов [42. С. 229]. В § 4 показано, что аналогичный результат имеет место и для линейных систем разностных уравнений.

Аналогом линейной системы дифференциальных уравнений с кососим-метричной матрицей коэффициентов является линейная система разностных уравнений с ортогональной матрицей коэффициентов. Первая из этих систем приводима к системе с нулевой матрицей [45. С. 157]. Оказывается, что линейная система разностных уравнений с ортогональной матрицей коэффициентов приводима к системе с единичной матрицей. Этот факт вытекает из следующей теоремы § 4.

Теорема 2.4.2. Если все решения системы (0.8) ограничены и й-1 det^4(A:)|>x>0, то система (0.8) приводима к системе с единичной матрик=о цей коэффициентов.

Здесь уместно отметить работу [73] о построении интегралов кососим-метрических линейных дифференциальных систем.

В пятом параграфе автор переносит результаты теории линейных систем дифференциальных уравнений, касающиеся устойчивости и асимптотической устойчивости при линейном возмущении матрицы коэффициентов, на линейные системы разностных уравнений. Построен пример, являющийся дискретным аналогом примера Перрона из теории линейных систем дифференциальных уравнений. Этот пример показывает, что и в теории линейных систем разностных уравнений в случае переменной матрицы коэффициентов не сохраняется устойчивость при линейном возмущении, удовлетворяющем условию сходимости ряда от нормы этого возмущения.

В шестом параграфе вводится понятие мультипликативной разделенности числовых последовательностей, которое является аналогом понятия интегральной разделенности функций, введенного Б.Ф. Быловым. Вводится понятие разделенной системы (0.8), аналогичное понятию интегральной разделенности системы (0.1). Изучаются свойства таких систем. В частности, показано, что разделенная система (0.8) диагонализуема.

Результат § 7 касается линейных однородных разностных уравнений п-го порядка. Известно [145. С. 450-452], что порядок линейного однородного дифференциального уравнения можно понизить на к единиц с сохранением линейности и однородности уравнения, если известны к линейно независимых частных решений исходного уравнения. В частности, уравнение я-го порядка можно проинтегрировать в квадратурах, если мы знаем п — 1 линейно независимых частных решений этого уравнения. Аналогичный результат имеет место и для линейного однородного разностного уравнения [154. С. 60-61]. В теории дифференциальных уравнений известна формула Абеля и ее обобщение. Основным результатом § 7 является формула, которая является аналогом обобщенной формулы Абеля. Решение гп{{) уравнения я о которое дополняет набор решений z, (/),., z„, (?) до фундаментальной системы к-1 >П т=0

А-.МПИ)») решений, может быть найдено по формуле zn(t)=

Здесь Ax(t,r) = zx(t), ф+1) :,(г+2) r+l) w(k)w(k +1) z^r+w-2) z2(r+«-2) z,(f) z2(0 w(i) - определитель Казорати [154. С. 54] решений zx(t),.,znx(t).

Результаты третьей главы касаются теории линейных систем дифференциальных уравнений.

В первом параграфе этой главы, результаты которого опубликованы в [97], исследуется линейная система (0.1) второго порядка, приводимая к треугольной системе с совпадающими диагональными коэффициентами. В этом случае для центральных показателей системы (0.1) имеем Q = m=^SpA{t). По теореме Былова - Изобова - Миллионщикова характеристические показатели системы (0.1) также равные ^SpA{t) устойчивы. С этим связан интерес к такому виду приводимости линейной системы второго порядка. Приведем формулировки некоторых результатов этого параграфа.

Лемма 3.1.1. Для того чтобы система (0.1) второго порядка была приводима к треугольной системе с совпадающими диагональными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы у системы (0.1) существовало нетривиальное решение х(/) такое, что

1 о

Теорема. Если система (0.1) второго порядка такова, что функции р(0 = (а22 - «1 ОСОБ2а-(а12 + а21)зт2ог, д(/) = (д22 -ап)$т2а+{ап +а21)соБ2а, = — |(я21 (и) - ап (и))с1и, имеют нулевые интегральные средние, то характе-2 о ристические показатели системы (0.1) совпадают и устойчивы.

Теорема 3.1.3. Если я22(0^ Яц(0» то система (0.1) приводима к треугольной системе с совпадающими диагональными коэффициентами тогда и только тогда, когда хотя бы одна из функций где °12 + является решением уравнения Риккати а22 ~ап у/ = (а22 -ап)у/- апц/ 2+а1Х.

Теорема 3.1.4. Треугольная система у = В^)у второго порядка с совпадающими диагональными коэффициентами диагонализуема тогда и только то* гда, когда интеграл ^Ьп{и)с1и ограничен при teR+. о

Из этой теоремы следует, что существуют диагонализуемые линейные системы (0.1) такие, что в любой сколь угодно малой окрестности этих систем 8ир|£(/) - < б существуют как диагонализуемые, так и недиагонализуемые системы х-В{1:)х.

Приводимость двумерных треугольных систем к диагональному виду с постоянными коэффициентами изучал Н.П.Еругин ([53], с.36-38). Приведем его результаты.

Линейная система dx dt au(t) a^Wl

0 a22{tl с непрерывной и ограниченной матрицей A{t) на [0;+оо) приводима к системе с диагональной постоянной матрицей dy (ах О dt

О а у, ах Ф а2

2J тогда и только тогда, когда имеет место представление +<рМ к = 1,2 I с ограниченными интегралами (г)й?г .

Треугольная система приводима к системе dy (а 0) dt

О а у, a- const тогда и только тогда, когда имеет место представление акк{*) = а + (Рк(А к =1,2 и интегралы

I г рк (г У г, к = 1,2; |а12(г)ехр - (рх г о оо ограничены.

Н.П. Еругиным ([53], с.68) установлена связь между приводимостью двумерной системы к треугольному виду и существованием у уравнения Риккати и' = -апи2 +(а22 -ап)и + а2х ограниченного решения или решения, стремящегося к + оо при Г -» +оо. С ее помощью получен следующий коэффициентный признак ([53], с. 82-83): Линейная система, у которой ап>а>0, а21>0, а22-а11>а>0, акк=ак+(Рк{*\ к = 1,2, ахФа2, t>0 и ограничены интегралы t t J'<рк (r)dr, к = 1,2; fa¡2 (r)dr, о о приводима к системе dy (ах О") Уdt \ 0 а2 ,

Так как линейные системы с постоянной матрицей коэффициентов правильны, имеют устойчивые показатели Ляпунова и эти свойства инвариантны относительно ляпуновских преобразований, то признаки Н.П. Еругина дают коэффициентные признаки правильности и устойчивости показателей Ляпунова линейной системы второго порядка.

Во втором параграфе третьей главы усилены некоторые результаты предыдущего параграфа. Здесь изучаются линейные системы, приводимые к треугольной системе с интегрально близкими диагональными коэффициентами.

Теорема 3.2.1. Для того чтобы система (0.1) второго порядка была приводима к треугольной системе с интегрально близкими диагональными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы у системы (0.1) существовало нетривиальное решение такое, что для любого s> 0 существует постоянная De> 1 такая, что

-i-exp '(^SpAiu) - * jdu < MI < Ds exp jj^SpA{u) + t^u для всех t > s > 0.

Теорема 3.2.2. Для того чтобы система (0.1) второго порядка была приводима к треугольной системе с интегрально близкими диагональными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы уравнение

Ф = (а22 ~ а\i)sin^cos ф- al2 sin2 ф+ а1Х cos2 ф имело решение для которого а22 ~ «11 )соз 2ф0 - (а12 + а2, )зт 2ф0 = 0. Из этой теоремы вытекает следующий коэффициентный признак кратности и устойчивости характеристических показателей системы (0.1) второго порядка.

Следствие 3.2.1. Если система (3.2.1) второго порядка такова, что г) 00 а22 (?) - ах 1 (?)| = 0 и |ах2 (?) -а2, (?)| = 0, то показатели системы (3.2.1) равны

БрА^) = а{! (?) = а2г(0 и они устойчивы.

Здесь, следуя монографии [25], интегрально близкие функции р{() и (*)

7(?) обозначаются />(?)= #(?)•

В третьем параграфе получены достаточные условия устойчивости характеристических векторов одного класса линейных систем (0.1) произвольного порядка. Этот результат опубликован в [116] и усиливает результат, ранее полученный автором [94, теорема 5.1]. Приведем формулировки соответствующих утверждений.

Теорема 3.3.1. Если у системы (0.1) правильной т-то порядка существует базис решений X(?) = {х, (?),., х„ (?)}, для которого

МГ-.-1 т р>0, (0.13) <

X/ к, / > у, /,у = 1 то система (0.1) имеет «-кратный характеристический вектор Хоанг Хыу Ды-онга и он устойчив т- го порядка. Здесь через С/(х) обозначен определитель Грама решений из базиса Х(?).

Теорема 3.3.2. Если система (0.1) правильна т- го порядка и у нее существует базис решений, для которого выполнены неравенства (0.13) и dr<K, i> j,

P=о где t = ln(lnwj In, t = \nt, то система (0.1) имеет n - кратный характеристический вектор т - го порядка и он устойчив т - го порядка.

Результаты четвертого параграфа этой главы опубликованы в работе [90]. В этой статье получены достаточные условия малого изменения характеристических показателей линейной системы второго порядка. Приведем формулировку основного утверждения этой статьи.

Теорема 3.4.1. Если линейная система (0.1) второго порядка имеет решение хх (/) такое, что 1 ' 1 (pit)- ||х,(/)||ехр--^SpA{u)du 2 о )

- монотонная функция при t е R+, то для любого е> 0 существует 8 > 0 такое, что для любого возмущения Q{t): sup||£)(/)|| < 8 характеристические покаtzR+ затели возмущенной системы (0.2) принадлежат промежутку spA(t) - zh (0] - zh (')]+*) в случае возрастания функции (p(t) и промежутку

01 - SpA(t) - ¿[х, (0] + б) в случае убывания этой функции.

Результаты пятого параграфа третьей главы опубликованы в работе [92]. В этой статье получен ряд результатов о диагонализуемости и интегральной разделенности линейной системы (0.1). Основные результаты следующие:

Теорема 3.5.1. Если у линейной системы (0.1) существует фундаментальная система решений такая, что cos z(xi (t), х. (/)] < —!— - s, 1 n -1 гдеО<£<—-—, /,У = 1 и>2, то система(0.1) диагонализуема. п-1

Теорема 3.5.2. Линейная система (0.1) второго порядка диагонализуема на Я+ тогда и только тогда, когда у нее существует нетривиальное решение х(/) = (х; (/), х2 (?)) такое, что при некоторой постоянной С е Я л1 >2(я,, - а,, +(а„ + К*,-4 | , ^ ^ <+оо с+ j2(Q22 - 1 )Х\Х2 + (^12 + Д21 ~ *2

L о ||X(m|2V(M) для всех teR+, где t v(í) = ||x(í|2exp - jSpA(u)du V о

В последнем шестом параграфе третьей главы, результаты которого опубликованы в статье [91], получены достаточные условия малого изменения характеристических показателей правильной линейной системы (0.1). Этот результат развивает одну теорему В.М. Миллионщикова [147] о малом изменении направлений решений линейной системы (0.1) при малых возмущениях коэффициентов. Приведем результат статьи [91].

Теорема 3.6.1. Если линейная система (0.1) с непрерывной и ограниченной матрицей коэффициентов A(t) е C[t0, + оо),||^(/| < М правильна и существуют линейно независимые решения Xj(/),.,xnx{t) системы (0.1) и линейно независимые решения y\{t),—,yn-\(t) системы (0.2) такие, что l)cos2z(x,.(0>*y (ОМ2*2. i*J'>

2) sin2 Z(x¡(t),y¡(t))<S2b2, i = \,.,n-\, R> 0, S> 0, то характеристические показатели систем (0.1) и (0.2) отличается не более чем на N5, где N - постоянная, зависящая от R, S, п,д,М.

Четвертая глава посвящена приложениям теоретических результатов диссертации в математическом моделировании динамики численности изолированных и взаимодействующих биологических популяций. Исследуются как непрерывные, так и дискретные модели. Математическое моделирование в этой области имеет достаточно длинную историю и восходит к Леонарду Фибоначчи (задача о числе кроликов) и Томасу Мальтусу, автору нашумевшей концепции о том, что скорость изменения численности населения с течением времени t пропорциональна ее текущей численности. Классические модели Ферхюльста, Лотки-Вольтерры, Колмогорова, Риккера предполагают постоянство коэффициентов математических моделей. Поведение траекторий в окрестности стационарных точек популяционных моделей исследуется проще с помощью теорем об устойчивости и неустойчивости по первому приближению для автономных систем. В реальных биологических сообществах коэффициенты рождаемости и смертности не постоянны. Интерес представляет случай периодического изменения мальтузианских коэффициентов, что соответствует сезонным изменениям в природе. Актуальными являются исследования для неавтономных биологических моделей с учетом заповедников, пассивных стадий жизнедеятельности и т.д.

В первом параграфе этой главы исследуется устойчивость стационарных состояний некоторых популяционных моделей с переменными коэффициентами. Приведем формулировки результатов этого параграфа, которые опубликованы в работах [121], [119].

Теорема 4.1.3. Если ап и Д, положительные, ограниченные, периодические последовательности такие, что матрица А{п) системы

Un+1 = -сспх0 -Sanx^ ип=А(п)ип трпУо 1-Ал удовлетворяет условиям

8рА(п\-\ + е<&&А(п)<1-е, е>0,

А(п) - А(к% <б\п-к\а, а> О, то при достаточно малой постоянной 5 положение равновесия l-S

T +1 S e (О; l), T> 0

X° ST + Ï Уо ST +1 дискретной экспоненциальной модели системы "хищник - жертва'' *„ ехр(а„{l-xn- Syn))

Уп+1 = Л еХР(А (! + Тхп - Уп )\ асимптотически устойчиво.

Теорема 4.1.1. Если существуют пределы lim a(t) = а> 0, lim ß{t) = /?> О, t->+00 то положение равновесия оо х0 — L, у0

К(М - L) M

0.14) системы ff-«*>H dy dt х

К M,

0.15)

К> О, М> 0, ¿>0, teRн асимптотически устойчиво.

Теорема 4.1.2. Пусть функции a(t) и /?(/) ограничены, отделены от нуля и являются периодическими функциями с соизмеримыми периодами. Пусть также эти функции удовлетворяют условию Липшица с достаточно малой постоянной Липшица, тогда положение равновесия (0.14) системы (0.15) асимптотически устойчиво.

Утверждение. Если существует lim r(t) = г0 и r0 е (О; l) u (l; 2), то полоt->+oo жение равновесия N(t) = К неавтономного дискретного логистического уравнения

У V К асимптотически устойчиво.

Отметим, что в работе [239] китайских математиков получен более общии результат, чем предыдущее утверждение, а именно:

00

Если выполнены условия У/и=+°о и lim гп < 2, то все решения неав

П->+со п=О тономного дискретного уравнения Смита хп+1 = хп exp(rw(l-хп)), где {гп} - последовательность неотрицательных чисел, стремятся к положительному равновесию хп-\.

Отметим, что уравнение Смита, его модификации, распространение на случай взаимодействующих популяций в последнее время исследовали многие математики [10], [51], [215], [221], [241], [244].

Во втором параграфе четвертой главы для неавтономной модели Лотки-Вольтерры х = a{t)[x - М~хх2 - К~\х - (р{х,у))у\ y = ß(t)y{L-\x-<p(x,y))-1), в которой часть популяции жертвы <р(х,у) недосягаема для хищника, получены достаточные условия наличия положительного асимптотически устойчивого состояния равновесия в области допустимых значений переменных х, у. Рассмотрены случаи <р(х,у) = т, <р(х,у) = тх, <р{х,у) = ту. Соответствующие результаты опубликованы в работах [118], [122].

Результаты третьего параграфа, посвященные исследованию устойчивости положений равновесия некоторых неавтономных разностных уравнений, опубликованы в [123], [124]. Приведем формулировки этих результатов.

Теорема 4.3.1. Если существуют пределы lim ап = а, lim ßn=b и

-»+00 и—»+oo а{ 1 - S) е (О; 2), Ь(Т +1) е (0; 2), то положение равновесия

1-S Т+1

Хп. =-, vn =-, системы

0 ST +1 0 ST + 1

1 = хп exp{ап(l-x„-Syn)), / \\ где

Уп+1 = Уп ехР \ßn (! + Тхп - Уп )Ь

S > О, T > О, an,ßn- положительные ограниченные последовательности, асимптотически устойчиво.

Теорема 4.3.2. Если существует lim гп = г, то точка покоя -—^ ^а^

->+оо 2 а модели "Consensus" хп+х = хп ехр f ( 1 ^ 1 у гп -а +---2

V V хп Хп J J гп> 0, а>0, У>0,

1 1 11 неустойчива. Если дополнительно 0 < г < — + —, , г ^ — + a a^J 1 - 4о7 ' 2а - 4«^ '

1 + ^1-4а/ то точка покоя---этой модели асимптотически устойчива.

2 а

В четвертом параграфе этой главы получены достаточные условия существования у дискретного периодического логистического уравнения не менее двух положительных циклов, отличных от положения равновесия.

Теорема 4.4.1. Если для уравнения

1 = ч expfo 0 - хк ))> к е z+ > 17) в котором {гк} положительная п - периодическая последовательность, спрап-1 ведливо неравенство ]~J (l - rk ) > 1, то уравнение (0.17), кроме положительного к=о равновесия, имеет не менее двух положительных п — циклов.

В последнем пятом параграфе четвертой главы рассмотрена линейная схема введения пассивных переменных и влияние этих переменных на устойчивость положительного положения равновесия некоторых неавтономных систем дифференциальных уравнений. Полученные признаки устойчивости иллюстрируются на примере неавтономной модели изолированной популяции и модифицированной модели хищник-жертва. Приведем формулировки результатов этого параграфа.

Теорема 4.5.1. Пусть л;0 - положительное положение равновесия модели х = f(t,x), которая описывает численность изолированной популяции х(/) некоторого биологического вида, и df(t,x0)/dx = A(t). Если существует lim A(t) = Л0 и Л0 < 0, то положение равновесия (х0, s0) системы оо x = f(t,x)-qx + ps,s = qx-ps (0.18) асимптотически устойчиво при любых положительных р и q. Здесь qp~lx0.

Так как почти приводимые системы правильны (Б. Ф. Былов), а функция, стремящаяся к нулю, имеет нулевое интегральное среднее, то следующая теорема усиливает предыдущий результат.

Теорема 4.5.2. Пусть система первого приближения для (0.18) в окрестности положения равновесия (*о»5о) правильна и A{t) = Л 0 + s(t). Если

Л о < 0 и верхнее интегральное среднее функции | s{t) \ достаточно мало, то положение равновесия (x0,s0) системы (0.18) асимптотически устойчиво. Для модернизированной модели хищник-жертва = у = ß{t)y{xL~x -1), (0.19) которая отличается от классической модели В. Вольтерры тем, что мальтузианские коэффициенты a(t) и ß(t) зависят от времени, получен следующие результаты.

Теорема 4.5.3. Если существуют пределы Y\m a{t) = а>0 и оо lim ß{t) = ß > 0, то нетривиальное положение равновесия [L,K,qp~lLj систе

00 мы х = a(t)x( 1 - yK~l )-qx + ps, у = ß(t)y(xL~l -1), s = qx- ps (0.20) асимптотически устойчиво при любых положительных р и q, тривиальное же положение равновесия неустойчиво при любых положительных р и q.

Система (0.20) получается введением линейной схемы перехода к пассивным стадиям для популяции жертв в модели (0.19).

Теорема 4.5.4. Пусть система первого приближения для (0.20) в окрестности положения равновесия (L,K,qp~xL) правильна, коэффициенты a{t) и /?(/) таковы, что a{t), /3{t) е [s, M], s > 0, и удовлетворяют условию Липшица с достаточно малой постоянной Липшица, тогда нетривиальное положение равновесия системы (13) асимптотически устойчиво при любых положительных р и q.

Аналогичные теоремы получены для случая введения линейной схемы перехода к пассивным стадиям для популяции хищников в модели (0.19). Дана экологическая интерпретация полученных выше результатов. Выясняется, насколько реальны для жизнедеятельности популяций условия предыдущих теорем.

В пятой главе разрабатываются алгоритмы и комплекс программ, реализующих построение положительных решений динамических систем, проверку их устойчивости при математическом моделировании динамики численности биологических популяций.

Разработанный комплекс программ сформирован, апробирован и зарегистрирован. В результате его применения получены многочисленные результаты по исследованию устойчивости решений динамических систем при математическом моделировании биологических популяций.

По теме диссертации опубликовано 39 работ [90-93, 95-127, 130, 131]. Основные результаты опубликованы в журналах, которые включены в перечень ВАК для публикации научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук или на момент опубликования входили в этот перечень [90,91,92, 97, 98, 100, 108, 110, 112, 116, 121, 122, 123, 125, 130]. Получены два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ. При участии автора подготовлены 3 отчета по НИР.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ласунский, Александр Васильевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные теоретические результаты являются значимым вкладом в разработку фундаментальных основ, на которых базируется применение математического моделирования, численных методов и комплексов программ при решении прикладных задач, связанных с устойчивостью решений динамических систем. Достоверность теоретических результатов обеспечивается применением апробированного математического аппарата, корректностью математических выкладок, согласованностью с ранее полученными результатами других авторов, результатами расчетов на ПК. Практическое приложение теоретических результатов продемонстрировано на примере математических моделей, описывающих динамику численности биологических популяций. Создан комплекс проблемно-ориентированных программ для проведения численных расчетов. Разработанные алгоритмы и комплекс программ позволяют получить качественные характеристики решений динамических систем. Предлагаемые подходы и методы можно использовать для прогнозирования развития экологических систем, в частности, при исследовании динамики популяций с учетом заповедников, пассивных стадий жизнедеятельности и т.д. Проведенные исследования могут быть использованы в учебном процессе, в частности, при подготовке спецкурсов для студентов и аспирантов.

Все задачи в рамках поставленной цели решены. Соответствующие результаты опубликованы в рецензируемых научных журналах, включенных в реестр ВАК РФ. Получены свидетельства о регистрации программ для ЭВМ. Основные результаты работы:

1. Достаточные условия асимптотической устойчивости линейной системы разностных уравнений и достаточные условия экспоненциальной устойчивости нулевого решения почти линейной системы разностных уравнений. Приложение теоретического результата при исследовании на асимптотическую устойчивость положительного положения равновесия неавтономной дискретной экспоненциальной модели "хищник-жертва". Разработка программы и численных методов, иллюстрирующих этот теоретический результат.

2. При разработке фундаментальных основ математического моделирования в области теоретического обоснования качественного исследования решений систем дифференциальных и разностных уравнений получены достаточные признаки интегральной разделенности, диагонализуемости, малого изменения различных характеристик роста решений линейных систем дифференциальных уравнений. Найдены дискретные аналоги оценок Ляпунова, Богданова, Важевского для характеристических показателей.

3. Построение алгоритма нахождения циклов дискретного периодического логистического уравнения, проверка устойчивости циклов. Достаточные условия существования у этого уравнения не менее двух положительных циклов, отличных от положения равновесия. Разработка численных методов и программы по нахождению циклов с заданной точностью. Реализация проверки устойчивости (неустойчивости) циклов, а в случае устойчивости цикла уточнение границ его бассейна.

4. Условия согласованности между дифференциальными и разностными уравнениями в смысле сохранения положения равновесия и его асимптотической устойчивости при дискретизации для одного класса систем дифференциальных уравнений. Иллюстрация этого факта на примере модернизированной неавтономной модели Лотки-Вольтерры, в которой часть популяции жертвы недосягаема для хищника. Программа численного решения такой системы дифференциальных уравнений с учетом указанной согласованности.

5. Разработка некоторых неавтономных моделей динамики численности биологических с точки зрения влияния линейной схемы введения пассивных стадий жизнедеятельности на устойчивость положительного положения равновесия. Для неавтономной модели "Consensus" найдены достаточные условия существования положительного асимптотически устойчивого положения равновесия. Разработана программа, иллюстрирующая этот теоретический результат.

По теме диссертации опубликовано 39 работ [90-93, 95-127, 130, 131], из них следующие статьи [90, 91, 92, 97, 98, 100, 108, 110, 112, 116, 121, 122, 123, 125, 130] опубликованы в журналах, которые включены в перечень ВАК для публикации научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук. Получены два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ. При участии автора подготовлены 3 отчета по НИР.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Ласунский, Александр Васильевич, 2012 год

1. Адрианова, Л.Я. О равномерной устойчивости характеристических показателей последовательности правильных систем / Л.Я. Адрианова // Дифференциальные уравнения. - 1974. - Т. 10. - № 10. - С. 1739-1745.

2. Адрианова, Л.Я. О некоторых свойствах правильных систем / Л.Я. Адрианова // Вестник ЛГУ. 1977. - № 19. - С. 5-8.

3. Адрианова, Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений / Л.Я. Адрианова. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета, 1992. - 240 с.

4. Азамов, А. Применение характеристических показателей т — то порядка к изучению асимптотической устойчивости / А. Азамов // Дифференциальные уравнения. 1971. - Т. 7. - № 11. - С. 2056-2090.

5. Айдын, К. Асимптотическая устойчивость решений возмущенных линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами / К. Айдын, А.Я. Булгаков, Г.В. Демиденко // Сиб. мат. ж. 2002. - Т. 43. - № 3. - С. 493 - 507.

6. Алексеев, В.М. Об асимптотическом поведении решений слабо нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / В.М. Алексеев // ДАН СССР. 1960. - Т. 134. - № 2. - С. 247-250.

7. Алексеев, В.М. К методу "замораживания" / В.М. Алексеев, Р.Э. Виноград // Вестник МГУ. Математика. Механика. 1966. - № 5. - С. 30-35.

8. Ахрем, A.A. Некоторые свойства специального класса линейных систем / A.A. Ахрем // Дифференциальные уравнения. 1982. - Т. 18. - № 6. -С. 1098-1099.

9. Ахрем, A.A. Об одном свойстве специального класса линейных периодических систем / A.A. Ахрем // Дифференциальные уравнения. — 1985. -Т. 21.-№5.-С. 914.

10. Барабанов, Е.А. Обобщение теоремы Былова о приводимости и некоторые его применения / Е.А. Барабанов // Дифференциальные уравнения. -2007. Т. 43. - №12. - С. 1592 - 1596.

11. Барабанов, Е.А. О классе правильных линейных дифференциальных систем с неограниченными коэффициентами / Е.А. Барабанов, A.B. Конюх // Дифференциальные уравнения. 2010. - Т. 46. - № 12. - С. 1675 -1692.

12. Барабанов, Е.А. Точные границы показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы с интегрально ограниченными на полуоси возмущениями / Е.А. Барабанов, О.Г. Вишневская // Доклады АН Беларуси. -1997.-Т. 41.- №5. -С. 29-34.

13. Беллман, Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений /Р. Беллман. М.: ИЛ, 1954. - 216 с.

14. Беллман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. М.: Наука, 1976. -352 с.

15. Бернштейн, Е.А. О совпадении двух классов линейных систем /

16. Е.А. Бернштейн // Дифференциальные уравнения. — 2005. Т. 41. - № 8. -С. 1024-1028.

17. Близоруков, М.Г. О периодических решениях систем линейных разностных уравнений с непрерывным аргументом / М.Г. Близоруков, Ю.Ф. Долгий // Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37. - № 4. - С. 538-546.

18. Бромберг, П.В. Матричные методы в теории релейного импульсного регулирования / П.В. Бромберг. М.: Наука, 1967. - 321 с.

19. Бронштейн, И.У. Линейные расширения, удовлетворяющие условию Перрона / И.У. Бронштейн, В.Ф. Черний // Дифференциальные уравнения. 1978.-Т. 14.- № 10.-С. 1739-1751.

20. Былов, Б.Ф, Об устойчивости характеристических показателей систем линейных дифференциальных уравнений: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1954.

21. Былов, Б.Ф. Почти приводимые системы дифференциальных уравнений / Б.Ф. Былов // Сиб. мат. журн. 1962. - Т. 3. - № 3. - С. 333-359.

22. Былов, Б.Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному виду / Б.Ф. Былов // Мат. сб. 1965. - Т. 67. - № 3. - С. 338-344.

23. Былов, Б.Ф. Почти приводимые системы. Автореферат дис. д.ф.-м.н. Минск: АН БССР, 1966.

24. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Б.Ф. Былов и др. М.: Наука, 1966. - 576с.

25. Былов, Б.Ф. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы / Б.Ф. Былов, H.A. Изобов И Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5. - № 10. - С.1794-1803.

26. Былов, Б.Ф. О приведении линейной системы к блочно-треугольному виду / Б.Ф. Былов // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. -№ 12.-С. 2027-2031.

27. Ветохин, А.Н. Об одном свойстве центральных показателей / А.Н. Вето-хин // Вестник МГУ. Сер. 1. 2002. - № 1. - С. 52 - 53.

28. Виноград, Р.Э. Новое доказательство теоремы Перрона и некоторые свойства правильных систем / Р.Э. Виноград // Успехи мат. наук. 1954. -Т. 9.- №2.-С. 129-136.

29. Виноград, Р.Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений / Р.Э. Виноград // Мат. сб. 1957. -Т. 42. - № 2. - С. 207-222.

30. Виноград, Р.Э. Оценка скачка характеристического показателя при малых возмущениях / Р.Э. Виноград // ДАН СССР. 1957. - Т. 114. - № 3. -С. 459-461.

31. Виноград, Р.Э. Общий случай устойчивости характеристических показателей и существование ведущих координат / Р.Э. Виноград // ДАН СССР. 1958. - Т. 119. - № 4. - С. 633-635.

32. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование / Вито Вольтерра. -М.: Наука, 1976. 288 с.

33. Гаврилов, H.H. Методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.И. Гаврилов. М.: Высшая школа, 1962. - 315 с.

34. Гайшун, И.В. Каноническая форма приводимых дискретных систем с вырождающимися матрицами коэффициентов / И.В. Гайшун // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36. - № 7. - С. 939-945.

35. Гайшун, И.В. Системы с дискретным временем / И.В. Гайшун. Минск, Институт мат-ки HAH Беларуси, 2001. - 400 с.

36. Галиуллин, A.C. Аналитическая динамика / A.C. Галиуллин. М.: Высшая школа, 1989. - 264 с.

37. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, 1967. -576 с.

38. Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей /А.О. Гельфонд. — М.: Наука, 1967.-376 с.

39. Гиль, М.И. Метод "замораживания" для нелинейных уравнений / М.И. Гиль // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - №8. -С. 1291 - 1297.

40. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1970.-534 с.

41. Дементьев, Ю.И. Поведение показателей Ляпунова линейных систем при малых возмущениях. Автореф. дис. канд. физ. мат. наук. М.: МГУ, 2002. - 16 с.

42. Демидович, Б.П. Об одном обобщении критерия устойчивости Ляпунова правильных систем / Б.П. Демидович // Мат. сб. 1965. - Т. 66. - № 3. -С. 344-353.

43. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472с.

44. Демидович, В.Б. Об одном признаке устойчивости разностных уравнений / В.Б. Демидович // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5. -№ 7. - С. 1247-1255.

45. Демидович, В.Б. Правильные линейные разностные системы / В.Б. Демидович // Дифференциальные уравнения. 1971. - Т. 7. - № 5. - С. 902909.

46. Демидович, В.Б. Об асимптотическом поведении решений конечно-разностных уравнений. I. Общие положения / В.Б. Демидович // Дифференциальные уравнения. 1974. - Т. 10. - № 12. - С. 2267-2278.

47. Демидович, В.Б. Об асимптотическом поведении решений конечно-разностных уравнений. И. Правильные уравнения / В.Б. Демидович // Дифференциальные уравнения. 1975. - Т. 11. - № 6. - С.1091-1107.

48. Диб, К.А. Одновременная достижимость центральных показателей / К.А. Диб // Дифференциальные уравнения. 1974. - Т. 10. - № 12. - С. 2125-2136.

49. Думачев, В.Н. Эволюция антогонистически взаимодействующих популяций на базе двумерной модели Ферхюльста - Пирла / В.Н. Думачев,

50. B.А. Родин // Математическое моделирование. 2005. - Т. 17. - № 7.1. C. 11-22.

51. Ермолин, B.C. О применении первого метода Ляпунова к системам с неправильным линейным приближением / B.C. Ермолин // Вопр. мех. и процессов упр. 2003. - № 19. - С. 41 - 44.

52. Еругин, Н.П. Приводимые системы / Н.П. Еругин . Труды Матем. ин-та АН СССР XIII. - Л. - М., 1946. - 96 с.

53. Желонкина, Н.И. Метод замораживания для разностных уравнений / Н.И. Желонкина // Изв. УрГУ. Мат. и мех. 2003. - № 5. - С. 77 - 80.

54. Замковая, Л.Д. К методу замораживания для дискретных систем / Л.Д. Замковая // Дифференциальные уравнения. 1980. - Т. 16. - № 4. -С. 697-704.

55. Замковая, Л.Д. Оценки показателей экспоненциального роста решений некоторых систем / Л.Д. Замковая // Дифференциальные уравнения. -1988. Т. 24. - № 11. - С. 2008-2010.

56. Изобов, H.A. Случаи уточнения и достижимости оценки старшего показателя в методе замораживания / H.A. Изобов // Дифференциальные уравнения. 1971. - Т. 7. - №7.-С. 1179-1191.

57. Изобов, H.A. Коэффициентный признак устойчивости показателей Ляпунова двумерной линейной системы / H.A. Изобов // Укр. мат. ж. 1972. -Т. 24.- №3.-С. 306-315.

58. Изобов H.A. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Мат анализ. 1974. - Т. 12. - С. 71146.

59. Изобов, H.A. Об уточнении оценок крайних показателей в методе замораживания / H.A. Изобов // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19. - № 8. - С. 1454-1456.

60. Изобов, H.A. О свойствах коэффициента неправильности линейных систем / H.A. Изобов, О.П. Степанович // Дифференциальные уравнения. -1990.-Т. 26.- № 11.-С. 1899-1906.

61. Изобов, H.A. О совпадении характеристических совокупностей линейных систем / H.A. Изобов, О.П. Степанович // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26. - № 12. - С. 2182.

62. Изобов, H.A. О некоторых свойствах характеристических и иных показателей двумерных линейных систем / H.A. Изобов // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т. 27. - № 11. - С. 2013-2014.

63. Изобов, H.A. Взаимное расположение характеристических, экспоненциальных, центральных и особых показателей двумерных линейных систем / H.A. Изобов // Дифференциальные уравнения. 1992. - Т. 28. - № 6. -С. 1085.

64. Изобов, H.A. О распределении характеристических и иных показателей двумерных линейных систем / H.A. Изобов // Дифференциальные уравнения. 1992. - Т. 28. - № 10. - С. 1683-1698.

65. Изобов, H.A. Совместное распределение характеристических, экспоненциальных, центральных и особых показателей линейных систем / H.A. Изобов // Успехи мат. наук. 1994. - Т. 49. - № 4. - С. 96.

66. Изобов, H.A. Об инвариантности нижних показателей Перрона линейных систем относительно экспоненциально убывающих возмущений / H.A. Изобов, A.B. Филипцов // Дифференциальные уравнения. 1996. -Т. 32. - № 6. - С. 853.

67. Изобов, H.A. Об инвариантности нижних показателей Перрона линейных систем относительно экспоненциально убывающих возмущений / H.A. Изобов, A.B. Филипцов // Дифференциальные уравнения. 1997. -Т. 33.-№2.-С. 177-184.

68. Изобов, H.A. Описание взаимного расположения показателей двумерных линейных дифференциальных систем. I / H.A. Изобов // Дифференциальные уравнения. 1998. - Т. 34. - № 2. - С. 166-174.

69. Изобов, H.A. Экспоненциальная устойчивость по линейному приближению / H.A. Изобов // Дифференциальные уравнения. 2001. - Т. 37. -№8.-С. 1011 -1027.

70. Изобов, H.A. Оценка снизу характеристических показателей линейной дифференциальной системы с перроновскими возмущениями / H.A. Изобов // Дифференциальные уравнения. 2002. - Т. 38. - № 5. - С. 596 -602.

71. Изобов, H.A. Об одном свойстве показателя приводимости линейных дифференциальных систем / H.A. Изобов, С.А. Мазаник // Дифференциальные уравнения. 2008. - Т. 44. - № 3. - С. 323 - 328.

72. Изобов H.A. Построение интегралов кососимметрических линейных дифференциальных систем / H.A. Изобов, С.Е. Карпович // Дифференциальные уравнения. 2010. - Т. 46. - № 12. - С. 1693 - 1699.

73. Илларионова, О.Г. О верхнем центральном показателе линейных систем с неограниченными коэффициентами / О.Г. Илларионова // Дифференциальные уравнения. 1995. - Т. 31. - № 2. - С. 206 - 212.

74. Ильин, Ю.А. О применении логарифмических норм к нелинейным системам дифференциальных уравнений / Ю.А. Ильин // Нелинейные динамические системы. Вып. 2. СПб. 1999. - С. 103 - 121.

75. Ильичев, В.Г. Образование пассивных стадий и устойчивость биологических сообществ / В.Г. Ильичев, Р.П. Гецина // Математическое моделирование сложных биологических систем. Материалы X Всесоюзной школы. М.: Наука, 1988. - С. 109 - 115.

76. Ильичев, В. Г. Пассивные стадии стабилизирующий фактор в динамических системах (на примере экологических систем) / В.Г. Ильичев // Автоматика и телемеханика. - 1992. - № 12. - С. 88 - 95.

77. Ильичев, В.Г. Наследуемые свойства неавтономных динамических систем и их приложение в моделях конкуренции / В.Г. Ильичев // Известия вузов. Математика. 2002. - № 6. - С. 26 - 36.

78. Ильичев, В.Г. Стабилизация и живучесть в моделях экологии. Процесс образования пассивных стадий / В.Г. Ильичев // Математическое моделирование. 2009. - Т. 21. - № 8. - С. 3 - 20.

79. Коваль, П.И. Об устойчивости решений систем линейных разностных уравнений / П.И. Коваль // Украинский математический журнал. 1957. -Т. 9.- №2.-С. 141-153.

80. Коваль, П.И. Приводимые системы разностных уравнений и устойчивость их решений / П.И. Коваль // Успехи математических наук. 1957. -Т.12. - №6.-С. 143-146.

81. Козлов, A.A. Об управлении показателями Ляпунова линейных систем в невырожденном случае / A.A. Козлов, Е.К. Макаров // Дифференциальные уравнения. 2007. - Т. 43. - № 5. - С. 621 - 627.

82. Колмогоров, А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций / А.Н. Колмогоров // Сб. Проблемы кибернетики. Вып. 25. М.: Наука, 1972. - С. 100 - 106.

83. Красовский, H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н.Красовский. М.: Физматгиз, 1959. - 211 с.

84. Крыжевич, С.Г. Асимптотические свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малой нелинейностью. Автореф. дис. канд. физ. мат. наук. СПбГУ. - 2000. - 15 с.

85. Кузнецов, H.B. Устойчивость по первому приближению дискретных систем / Н.В. Кузнецов. Г.А. Леонов // Вестн. С. Петербургского ун-та. Сер. 1.-2003.- № 1.-С. 28-35.

86. Кузнецов, Н.В. Устойчивость дискретных систем. Автореф. дис. канд. физ. мат. наук. СПбГУ. - 2004, - 13 с.

87. Кузнецов, С.П. Динамический хаос / С.П. Кузнецов. М.: Физматлит, 2001.-296с.

88. Кузнецова, В.И. Об устойчивости одного класса разностных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами / В.И. Кузнецова // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39. - № 8. - С. 1108 - 1114.

89. Ласунский, A.B. О малом изменении характеристических показателей правильной линейной системы второго порядка / A.B. Ласунский // Дифференциальные уравнения. 1982. - Т. 18. - № 10. - С. 1824-1825.

90. Ласунский, A.B. О малом изменении характеристических показателей правильной линейной системы / A.B. Ласунский // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т. 21. - № 5. - С. 901-903.

91. Ласунский, A.B. О диагонализуемости линейной системы / A.B. Ласунский // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1987. - Вып. 2 (№ 8). - С. 105-106.

92. Ласунский, A.B. О малом изменении характеристических показателей линейной системы при линейном возмущении / A.B. Ласунский // Вестник ЛГУ. Серия 1. 1987. Вып. 2 (№8). - С. 122 - 123.

93. Ласунский, A.B. Характеристики роста решений линейных систем и их зависимость от параметров. Дис. канд. ф.-м. наук. ЛГУ, 1987. 101с.

94. Ласунский, A.B. Об устойчивости характеристических векторов одного класса линейных систем / A.B. Ласунский // Сб. Актуальные вопросы радиоэлектроники. Материалы 14 обл. конф. Часть 2. Новгород: НПИ, 1989.-С. 55.

95. Ласунский, A.B. Аналог неравенства Важевского для линейных систем разностных уравнений / A.B. Ласунский // Сб. Прикладная математика. Вып. 1. Новгород: НовГУ, 1994. - С. 41-45.

96. Ласунский, A.B. О приведении линейной системы второго порядка к треугольной системе с совпадающими диагональными коэффициентами / A.B. Ласунский // Дифференциальные уравнения. 1994. - Т. 30. - № 6. -С. 987-991.

97. Ласунский, A.B. Оценки роста решений линейных систем разностных уравнений через коэффициенты и их приложение к вопросам устойчивости / A.B. Ласунский // Дифференциальные уравнения . 1995. - Т. 31. -№ 11.-С. 1931-1932.

98. Ласунский, A.B. Оценки роста решений линейных систем разностных уравнений через коэффициенты и их приложение к вопросам устойчивости / A.B. Ласунский // Депон. в ВИНИТИ 27.9.95. Представлена ред. ж. Дифференциальные уравнения. № 2648 В95. - 12 с.

99. Ласунский, A.B. К теории устойчивости линейных систем разностных уравнений / A.B. Ласунский // Дифференциальные уравнения. -1998. Т. 34. - № 4. - С.567-569.

100. Ласунский, A.B. Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами / A.B. Ласунский // Труды международной научно-метод. конф. "Математика в вузе". — Тирасполь, 1999.

101. Ласунский, A.B. О существовании и единственности решения задачи Коши разностных уравнений / A.B. Ласунский // Материалы меж1.Ifc231дународной научно-метод. конф. "Математика в вузе". В. Новгород,2000. С. 146-147.

102. Лаеунский, A.B. К методу "замораживания" для линейных систем разностных уравнений / A.B. Ласунский // Материалы международной научно-метод. конф. "Математика в вузе". Псков - Санкт-Петербург,2001.-С. 196-198.

103. Ласунский, A.B. Аналог формулы Абеля для линейного однородного разностного уравнения / A.B. Ласунский // Вестник Новгородского университета. Серия "Естеств. и техн. науки". 2001. - № 17. - С. 97-98.

104. Ласунский, A.B. Формула Абеля для линейных однородных разностных уравнений / A.B. Ласунский // Материалы международной научно-метод. конф. "Математика в вузе". Петрозаводск - Санкт - Петербург, 2003.-С. 168.

105. Ласунский, A.B. Об аналогии в теории возмущения линейных систем дифференциальных и разностных уравнений при линейном возмущении / A.B. Ласунский // Вестник Новгородского университета. Серия "Технические науки". 2004. - № 26. - С.127-130.

106. Ласунский, A.B. Аналог понятия интегральной разделенности в теории линейных систем разностных уравнений / A.B. Ласунский // Труды международной научно-методической конференции "Математика в вузе". Санкт - Петербург, 2004. - С. 167.

107. Ласунский, A.B. Аналог понятия интегральной разделенности в теории линейных систем разностных уравнений / A.B. Ласунский // Вестник Новгородского университета. Серия "Технические науки". 2004. -№28. -С. 100-106.

108. Ласунский, A.B. Об экспоненциальной устойчивости нулевого решения почти линейной системы разностных уравнений / A.B. Ласунский // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т. 42. - № 4. - С. 553 - 555.

109. Ласунский, A.B. Об устойчивости характеристических векторов одного класса линейных систем дифференциальных уравнений / A.B. Ласунский // Известия вузов. Математика. 2007. - № 2(537). - С. 10-16.

110. Ласунский, A.B. Показатель Даламбера решений линейных систем разностных уравнений и его свойства / A.B. Ласунский // Известия РГПУим. А.И. Герцена. Сер. "Естественные и точные науки". 2007. - № 7(26). -С. 7-12.

111. Ласунский, A.B. Точки равновесия неавтономной модели Лотки-Вольтерра при наличии убежища для жертвы / A.B. Ласунский // Труды Средневолжского математического общества. 2007. - Т. 9. - № 2. -С. 125-126.

112. Ласунский, A.B. Устойчивость положения равновесия неавтономной модели Лотки-Вольтерра / A.B. Ласунский // XV Международная конференция "Математика. Образование". Материалы конференции. -Чебоксары, 28 мая 2 июня 2007 г. - С. 242.

113. Ласунский, A.B. Устойчивость стационарных состояний некоторых популяционных моделей с переменными коэффициентами / A.B. Ласунский // Математическое моделирование. 2008. - Т. 20. - №5. - С. 69-77.

114. Ласунский, A.B. Состояния равновесия неавтономной модели Лот-ки-Вольтерры при наличии убежища для жертвы / A.B. Ласунский // Дифференциальные уравнения. 2009. - Т. 45. - №3. - С. 445-448.

115. Ласунский, A.B. О положениях равновесия некоторых неавтономных разностных уравнений / A.B. Ласунский // Математическое моделирование. 2009. - Т. 21. - № 3. - С. 120-126.

116. Ласунский, A.B. О циклах дискретного периодического логистического уравнения / A.B. Ласунский // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2010. - Т. 16. - №2. - С. 154 - 157.

117. Ласунский, A.B. Устойчивость и собственные числа линейных неавтономных систем разностных и дифференциальных уравнений / А.В.Ласунский // Математика в высшем образовании. 2010. - № 8. -С. 37-40.

118. Ласунский, A.B. Методы исследования устойчивости положений равновесия неавтономных систем и некоторые примеры их применения / A.B. Ласунский // Труды Карельского научного центра РАН. 2011. -№5.-С. 38-44.

119. Леонов, Г.А. О неустойчивости по первому приближению для нестационарных линеаризаций / Г.А. Леонов // Прикл. мат. и мех. (Москва). 2002. - Т. 66. - № 2. - С. 330 - 333.

120. Леонов, Г.А. Об одной модификации контрпримера Перрона / Г.А. Леонов // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39. - № 11. -С. 1566- 1567.

121. Липницкий , A.B. О положительности старшего показателя Ляпунова в однопараметрических семействах линейных дифференциальных систем / A.B. Липницкий // Дифференциальные уравнения. 2009. -Т. 45. - № 8. - С. 1095- 1101.

122. Лозинский, С.М. Оценка погрешностей численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / С.М. Лозинский // Изв. вузов. 1958. - № 5. - С. 52 - 90.

123. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения / A.M. Ляпунов. М. - Л.: Гостехиздат, 1950. - 472 с.

124. Ляпунов, А. М. Собрание сочинений в 6 томах. Т.2. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1956.-473 с.

125. Макаров, Е.К. Об асимптотической классификации абстрактных линейных систем / Е.К. Макаров // Труды Института математики Национальной академии наук Беларуси. 1999. - Т. 3. - С. 79 - 88.

126. Малкин, И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. М.: Наука, 1966. - 525 с.

127. Маркус, М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств / М. Маркус, X. Минк. М.: Мир, 1972. - 232 с.

128. Мартынюк, Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений / Д.И. Мартынюк. Киев: Наук, думка, 1972. - 251с.

129. Массера, Х.-Л. К теории устойчивости / Х.-Л. Массера // Сб. переводов "Математика". -М.: ИЛ, 1957. С. 81 - 101.

130. Массера, Х.-Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.-Л. Массера, Х.-Х. Шеффер. М.: Мир, 1970.-456 с.

131. Матвеев, Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.М. Матвеев. Минск: Вышэйшая школа, 1974. -768 с.

132. Меркин, Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения / Д.Р. Меркин. М.: Наука, 1976. - 320 с.

133. Миллионщиков, В.М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы / В.М. Миллионщиков // Мат. заметки. 1968. - Т. 4. - № 2. - С. 173-180.

134. Миллионщиков, В.М. О неустойчивости особых показателей и о несимметричности отношения почти приводимости линейных систем дифференциальных уравнений / В.М. Миллионщиков // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5. - № 4. - С. 749 - 750.

135. Миллионщиков, В.М. Системы с интегральной разделенностью всюду плотны в множестве всех линейных систем дифференциальных уравнений / В.М. Миллионщиков // Дифференциальные уравнения. -1969.-Т. 5.- №7.-С. 1167-1170.

136. Миллионщиков, В.М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений / В.М. Миллионщиков // Дифференциальные уравнения.-1969.-Т. 5.- № 10.-С. 1775- 1784.

137. Миллионщиков, В.М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем / В.М. Миллионщиков // Сибирский математический журнал. 1969. - Т. 10. - № 1. - С. 99 - 104.

138. Миллионщиков, В.М. Бэровские классы функций и показатели Ляпунова. XII // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19. - № 2. -С. 215-220.

139. Миллионщиков, В.М. О типичных свойствах условной экспоненциальной устойчивости. XX / В.М. Миллионщиков // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т. 23. - № 5. - С. 806-813.

140. Миролюбов, A.A. Линейные однородные разностные уравнения / A.A. Миролюбов, М.А. Солдатов. М.: Наука, 1981. - 208 с.

141. Морозов, О.И. О линейных системах, приводимых к диагональному виду / О.И. Морозов // Дифференциальные уравнения. 1986. - Т. 22. -№ 12.-С. 2187.

142. Никольский, С.М. Курс математического анализа. В 2 т. Т. 1 / С.М. Никольский. М.: Наука, 1990. - 528 с.

143. Нуждова, Т.Е. Одновременная достижимость центральных показателей двумерных линейных систем / Т.Е. Нуждова // Дифференциальные уравнения. 1972. - Т. 8. - № 8. - С. 1416 - 1422.

144. Оленчиков, Д.М. Вычисление старшего показателя линейной системы / Д.М. Оленчиков // Изв. ин-та мат. и информатики. Удм. гос. ун-т, 2000. -№ 2.- С. 54-58.

145. Остапов, Ю.Г. Об устойчивости движений дискретных динамических систем / Ю.Г. Остапов // Математическая физика. Республиканский межведомственный сборник. Выпуск 6. Киев, 1969. - С. 149-157.

146. Пашуткин, Д.В. О приводимости нелинейных дифференциальных уравнений к блочно треугольному виду / Д.В. Пашуткин // Изв. вузов. Математика. - 2001. - № 6. - С. 50 - 57.

147. Персидский, К. П. О характеристических числах дифференциальных уравнений / К.П, Персидский // Изв. АН КазССР. Сер. мат. и мех. -1947.-№ 1.-С. 5-47.

148. Попов, Е.П. Динамика систем автоматического регулирования / Е.П. Попов. -М.: Гостехиздат, 1954. 798 с.

149. Прохорова, P.A. Линейные системы с сосредоточенными возмущениями / P.A. Прохорова // Вестник Белорусского государственного университета. Сер. 1. Математика, физика, механика. 1979. - № 1. -С. 37-42.

150. Прохорова, P.A. О сведении линейных конечноразностных уравнений к дифференциальным / P.A. Прохорова // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т.25. - № 5. - С. 780-785.

151. Рапопорт, И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений / И.М. Рапопорт. — Киев: Изд-во АН УССР, 1954.-290 с.

152. Ретюнских, Н.В. Критерии приведения матрицы A{t) к диагональному или треугольному виду с помощью постоянной матрицы / Н.В. Ретюнских // Изв. РАЕН. Диф. уравн. 2002. - № 6. - С. 72 - 76.

153. Романовский, Ю.М. Что такое математическая биофизика / Ю.М. Романовский, Н.В. Степанова, Д.С. Чернавский. М.: Просвещение, 1971.-136 с.

154. Ромм, Я.Е. Моделирование устойчивости по Ляпунову на основе преобразований разностных решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Я.Е. Ромм // Математическое моделирование. 2008. - Т. 20. - № 12.-С. 105-118.

155. Самарский, A.A. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / A.A. Самарский, А.П. Михайлов. 2-е изд., испр. - М.: Физ-матлит, 2001.-320с.

156. Самойленко, A.M. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи / A.M. Самойленко, С.А. Кривошея, H.A. Перестюк. М.: Высш. шк., 1989.-383с.

157. Свирежев, Ю.М. Вито Вольтерра и современная математическая экология / Ю.М. Свирежев // Послесловие к книге В. Вольтерра "Математическая теория борьбы за существование". М.: Наука, 1976. -С. 245-286.

158. Свирежев, Ю.М. Устойчивость биологических сообществ / Ю.М. Свирежев, Д.О. Логофет. М.: Наука, 1978. - 352 с.

159. Сергеев, И.Н. К теории показателей Ляпунова / И.Н. Сергеев // Труды семинара имени И.Г. Петровского. МГУ, 1983. - Вып. 9. - С. 111 -166.

160. Сергеев, И. Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях / И.Н. Сергеев // Труды семинара имени И.Г. Петровского. МГУ, 1986. - № 11. — С. 32 — 73.

161. Скалкина, М.А. О сохранении асимптотической устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным / М.А. Скалкина // ДАН СССР. 1955. - Т. 104. - № 4. - С. 505-508.

162. Скалкина, М.А О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечноразностных уравнений / М.А. Скалкина // ПММ. -1955. Т. 19. - № 3. - С. 287 - 294.

163. Смит, Дж. Модели в экологии / Дж. Смит. М.: Мир, 1976. - 184 с.

164. Степанович, О.П. О влиянии степенно убывающих возмущений на характеристические степени Демидовича диагональных систем / О.П. Степанович // Дифференциальные уравнения. 1997. - Т. 33. - № 2. -С. 246-248.

165. Сумбатов, A.C. Точки равновесия уравнений Вольтерра при наличии убежища для жертвы / A.C. Сумбатов // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Сб. статей. ВЦ РАН. М.: Изд-во ВЦ РАН, 2002. - С. 33 - 42.

166. Уатт, К. Экология и управление природными ресурсами/ К. Уатт. -М.: Мир, 1971.-464 с.

167. Халанай А. Качественная теория импульсных систем / А. Халанай, Д. Векслер. М.: Мир, 1971.-309 с.

168. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.: Мир, 1970. - 720 с.

169. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических векторов и ее приложения к изучению асимптотического поведения решений дифференциальных систем. I / Хоанг Хыу Дыонг // Дифференциальные уравнения. -1967. Т. 3. - № 3. - С. 446 - 467.

170. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических векторов и ее приложения к изучению асимптотического поведения решений дифференциальных систем. II / Хоанг Хыу Дыонг // Дифференциальные уравнения. -1967. Т. 3. - № 10. - С. 1656 - 1672.

171. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических векторов и приводимые т-то порядка системы / Хоанг Хыу Дыонг //Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5. - № 6. - С. 1055 - 1067.

172. Хоанг Хыу Дыонг. Теория характеристических элементов и ее применение к изучению устойчивости решений дифференциальных систем / Хоанг Хыу Дыонг // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19. -№6.-С. 1093-1094.

173. Четаев, Н.Г. Устойчивость движения / Н.Г. Четаев. М. - Д.: Гос-техиздат, 1946. - 204 с.

174. Шапиро, А.П. Математические модели конкуренции / А.П. Шапиро // Управление и информация. Владивосток: ДВНЦ АН СССР, 1974. -Вып. 10,- С. 5-75.

175. Шапиро, А.П. Рекуррентные уравнения в теории популяционной биологии / А.П. Шапиро, С.П. Луппов. М.: Наука, 1983. - 134 с.

176. Шарковский, А.Н. Разностные уравнения и их приложения / А.Н. Шарковский, Ю.Л. Майстренко, Е.Ю. Романенко. Киев: Наук, думка, 1986.-280 с.

177. Ahmad Shair. Almost necessary and sufficient conditions for survival of species / Ahmad Shair, I.M. Stamova // Nonlinear Anal.: Real World Appl. -2004. V. 5. - № 1. - P. 219 - 229.

178. Chen Лап, Li Biwen. Periodic solution for N species Lotka Volterra competitive systems with time delay / Chen Лап, Li Biwen // Shuxue zazhi = J. Math. - 2004. - V. 24. - № 4. - P. 421 - 426.

179. Chen Xiao xing. Global stability of periodic solutions for a discrete time nonautonomous ratiodependent predator - prey system / Chen Xiao -xing // J. Fuzhou Univ. Natur. Sci. Ed. - 2004. - V. 32. - № 4. - P. 417 - 419.

180. Coleman, B.D. Nonautonomous logistic equations as models of the adjustment of populations to environmental changes / B.D. Coleman // Mathematical Biosciences. 1979. - № 45. - P. 159-173.

181. Coleman, B.D. On the optimal choice of r for a population in a periodic environment / B.D. Coleman, Y.H. Hsieh, G.P. Knowles // Mathematical Biosciences. 1979. - № 46. - P. 71-85.

182. Coppel, W. A. Stability and asymptotic behavior of differential equations / W.A. Coppel. Boston.: Heath, 1965. - 166 p.

183. Dubey, B. A model for fishery resource with recerve area / B. Dubey, Chandra Peeyush, Sinha Prawal // Nonlinear Anal.; Real World Appl. 2003. -V. 4. - № 4. - P. 625 - 637.

184. Elyadi, S. An introduction to difference equations / Saber N. Elaydi. -Berlin: Springer, 1996. 389 p.

185. Galescu, G. Asymptotic behavior of difference equations of Volterra type / Galescu Gabriela, Talpalaru Pavel // Dyn. Syst. and Appl. 2002. -V. 11.- № 3. - P. 421 -435.

186. Gause, G.F. The Struggle for Existence / G.F. Gause. Williams and Wilkins. Baltimore, 1934. - 163 p.

187. Gui Zhanji. Asymptotic behavior of the nonautonomous Volterra -Lotka competition equations / Gui Zhanji, Chen Lansun. Shuxue wule xu-ebao. Ser. A = Acta Math. Sci. 2002. - V. 22. - № 4. - P. 465 - 470.

188. Gil', M.I. The freezing method for linear difference equations / M.I. Gil', R. Medina // J. Difference Equations Appl. 2002. - V. 8. - № 5. - P. 485 -494.

189. Gil', M.I. Norm Estimations for Operator Valued Functions and Applications / M.I. Gil'// Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. V. 192. Marcel Dekker, New York, 1995. - 357 p.

190. Gompertz, B. On the Nature of the Function Expressive of the Law of Human Mortality / B. Gompertz // Phil. Trans. 1825. - V. 115. - P. 513 -585.

191. Gordon, S.P. A stability theory for perturbed difference equations / S.P. Gordon // SIAM J. Control. 1972. - № 10. - P. 671 - 678.

192. Györi, I. A note on exponential stability of quasi linear ordinary differential equations / I. Györi , M. Pituk // Appl. Math. Lett. - 2000. - V.13. -№6.-P. 67-71.

193. Hahn, W. Theorie und Anwendung der direkten Methode von Ljapunov / W. Hahn. Berlin - Göttingen - Heidelberg: Springer Verlag, 1959. - 270 p.

194. Kolmogoroff, A.N. Sulla Theoria di Volterra della Lotka per l'Esisttenza / A.N. Kolmogoroff// Giorn. Ist. Ital. Attuari. 1936. - № 7. - P. 74 - 80.

195. La Salle, J.P. The Stability of Dynamical Systems / J.P. La Salle // Regional Conference Series in Applied Mathematics. SIAM, Pennsylvania, 1976.

196. La Salle, J.P. The Stability and Control of discrete Processes / J.P. La Salle. Springer-Verlag, 1980. - 150 p.

197. Lillo, J. C. Perturbations of nonlinear systems / J.C. Lillo // Acta math. -1960. V. 103. - № 1 - 2. - P. 123 - 128.

198. Lisena Benedetta. Global stability in periodic competitive systems / Li-sena Benedetta // Nonlinear Anal.: Real World Appl. 2004. - V. 5. - № 4. -P. 613-627.

199. Liu Yue-hua. Global attractivity of a kind of difference equations / Liu Yue-hua, Xie Mao sen // Changsha dianli xueyuan xuebao. Ziran kexue ban = J. Changsha Univ. Elec. Power. 2001. - V. 16. - № 2. - P. 9 - 11.

200. Lotka, A.J. Contribution to Quantitative Parasitology / A.J. Lotka // J. Wash. Acad. Sei.- 1923.-№ 13.-P. 152- 158.

201. Lotka, A.J. Elements of Physical Biology / A.J. Lotka. Williams and Wilkins. Baltimore, 1925 (переиздание в 1956, Dover, New York).

202. Malthus, T.R. An Essay on the Principle of Population / T.R. Malthus. -Johnson, London, 1798. (Русский перевод: Т.Мальтус. Опыт закона о народонаселении. СПб., 1908).

203. May, R.M. Biological populations obeying difference equations: stable points, stable cycles and chaos / R.M. May // J. Theor. Biol. 1975. - V. 51. -P. 511-524.

204. Medina, R. Accurate solution estimates for nonlinear nonautonomous vector difference equations / Rigoberto Medina, M.I. Gil' // Abstr. and Appl. Anal. 2004. - № 7. - P. 603 - 611.

205. Mohamad Sannay. Extreme stability and almost periodicity in a discrete logistic equation / Mohamad Sannay, Gopalsamy Kondalsamy // Tohoku Math. J.-2000.-V. 52. № l.-P. 107-125.

206. Muroya Yoshiaki. Contractivity and global stability for discrete models of Lotka Volterra type / Muroya Yoshiaki // Hokkaido Math. J. - 2005. -V. 34. - № 2. - P. 277 - 297.

207. Nakajima, F. A stability criterion of diagonal dominance type / F. Naka-jima // SIAM J. Math. Anal. 1978. - V. 9. - № 5. - P. 815 - 824.

208. Ortega, J.M. Stability of difference equations and convergence of iterative processes / J.M. Ortega // SIAM J. Numer. Anal. 1973. - V. 10. - № 2. -P. 268-282.

209. Palmer, K. J. Exponential dichotomy, integral separation and diagonali-zability of linear systems of ordinary differential equations / K.J. Palmer // Journal of differential equations. 1982. - V. 43. - № 2. - P. 184 - 203.

210. Perron, O. Über Stabilität und asymptotisches Verhalten der Lösungen endicher Differenzengleichungen / O. Perron // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1929. - Bd. 161. - P. 41-64.

211. Perron, O. Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen / O. Perron // Mathematische Zeitschrift 1930. - Bd. 32. - P. 703 - 728.

212. Perron, O. Über lineare Differentialgleichungen, bei denen die unabhängige Variable reel ist / O. Perron // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1913. - Bd. 142. - P. 254 - 270.

213. Perron, O. Über lineare Differenzengleichungen und eine Anwendung auf lineare Differentialgleichungen mit Polynomkoeffizienten / O. Perron // Mathematische Zeitschrift 1959. - V. 72. - № 1. - P. 16 - 24.

214. Ricker, W.E. Stock and recruitment / W.E. Ricker // Journal of Fisheries Research Board of Canada. 1954. - V. 11. - № 5. - P. 559 - 623.

215. Smith, R. A. Sufficient conditions for stability of a solution of difference equations / R.A. Smith // Duke Mathematical Journal 1966. - V. 33. - № 4. -P. 725 - 734.

216. Snell, T.W. Dynamics of natural rotifer populations / T.W. Snell, M. Serra // Hydrobiologia. 1998. - V. 368. - P. 29 - 35.

217. Ta Li. Die Ordnungszahlen Linearer Differenzen-Gleichungssysteme / Ta Li // Acta Math. 1933. - V. 61. - № 1. - P. 81-104.

218. Ta Li. Die Stabilitätsfrage bei Differenzengleichungen / Ta Li // Acta Math.- 1934.-V. 63.-№ l.-P. 99-141 .

219. Utida, S. Cyclic fluctuations of population density intrinsic to the host -parasite system / S. Utida // Ecology. 1957. - V. 38. - № 3. - P. 442 - 449.

220. Verhulst, P.F. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement / P.F. Verhulst // Corresp. Math, et Phys. 1838. - V. 10. - P. 113 -121.

221. Volterra, V. Variations and Fluctuations of the Number of Individuals in Animal Species Living Together / Vito Volterra // J. Conserv. Intern. Explor. -1928.- № 3.-P. 3-51.

222. Wei Zhao-ying. The stability of a stage structured two - species competitive system with refuges / Wei Zhao-ying, Chen Si-yang // J. Nortwest Univ. Natur. Sei. Ed. - 2005. - V. 35. - № 2. - P. 133 - 136.

223. Xiang Hong-jun. Global attractivity of a nonautonomous discrete Smith equation / Xiang Hong-jun, Liao Lu-sheng, Wang Jin-hua // Changle shifan xueyuan xuebao. Ziran kexue ban = J. Changde Teach. Univ. Natur. Sei. Ed. -2001.-V. 13.-№ l.-P. 13-15.

224. Xiang Zhong yi. Stability of a predator - prey system with delay time and stage structure / Xiang Zhong - yi // J. Hubei Inst. Nat. Natur. Sci. - 2005. - V. 23. - № 2. - P. 162- 168.

225. Zhang Qinqian. Global attractivity of a nonautonomous discrete logistic model / Zhang Qinqian, Zhon Zhan // Hokkaido Math. J. 2000. - V. 29. -№ 1. - P. 37-44.

226. Zhao Jiandong. Average conditions for permanence and extinction in nonautonomous Lotka Volterra system / Zhao Jiandong, Jiang Jifa // J. Math. Anal, and Appl. - 2004. - V. 299. - № 2. - P. 663 - 675.

227. Zhao Jiandong. Permanence in nonautonomous Lotka Volterra system with predator - prey / Zhao Jiandong, Jiang Jifa // Appl. Math, and Comput. -2004. - V. 152. - № 1. - P. 99 - 109.

228. Zhou Zhan. Stable periodic solutions in a discrete periodic logistic equation / Zhou Zhan, Zou Xingfu // Appl. Math. Lett. 2003. - V. 16. - № 2. -P. 165-171.1. Ж ЖЖЖЖЖж