Новые условия экспоненциальной устойчивости линейных систем с запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Егоров, Алексей Валерьевич

• Егоров, Алексей Валерьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Егоров, Алексей Валерьевич

Оглавление

Обозначения и сокращения

Введение

1 Системы линейных уравнений с запаздыванием

1.1. Общие сведения

1.2. Методы исследования устойчивости

1.3. Постановка задачи

2 Квадратичные функционалы Ляпунова-Красовского,

матрица Ляпунова

2.1. Функционалы полного типа и .матрица Ляпунова

2.2. Некоторые преобразования функционалов полного типа

2.3. Новая форма функционала

2.4. Свойства матрицы Ляпунова

3 Исследование устойчивости систем с запаздыванием

при помощи матрицы Ляпунова

3.1. Скалярное уравнение с одним запаздыванием. Новый критерий устойчивости

3.2. Необходимые условия устойчивости. Первый подход

3.2.1. Система с одним запаздыванием

3.2.2. Система с несколькими запаздываниями

3.3. Необходимые условия устойчивости. Второй подход

3.3.1. Система с одним запаздыванием

3.3.2. Система с несколькими запаздываниями

3.4. Достаточные условия устойчивости. Критерий экспоненциальной устойчивости

3.5. Применение полученных условий устойчивости

Заключение

Литература

Приложение А. Исходный код программы, реализующей проверку представленных в диссертации условий устойчивости в Matlab

Обозначения и сокращения

» 1- множество вещественных чисел,

• М" — множество векторов, состоящих из п вещественных компонент,

• N — множество натуральных чисел,

• Ъ — множество целых чисел,

• С([а,6],Е/г) — пространство непрерывных вектор-функций, определённых на отрезке [а.Ь],

• С^ ([а, Ь]. К'г) — пространство непрерывных вектор-функций, определённых на [а, Ь] и имеющих на этом отрезке к непрерывных производных,

• РС ({а, Ь]. Кп) — пространство кусочно-непрерывных вектор-функций (т.е. вектор-фуикций, имеющих конечное число точек разрыва первого рода), заданных на отрезке [а.Ь],

• [г] — целая часть числа г, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее г,

• запись С~) > 0 означает положительную определённость, а ф ^ 0 — положительную полуопределённость симметричной матрицы С},

• запись ^ 0 означает, что матрица С} не является положительно полуопре-делёиной,

• через {^г/}'..7=1 обозначается блочная матрица размерности пг х пг, где блоки Ру! - квадратные матрицы размерности п х п,

• / — единичная матрица,

• с^ А — определитель матрицы А,

• \mniQ), Ашах((5) — наименьшее и наибольшее собственное число симметричной матрицы С},

• запись к = р, т означает, что параметр к последовательно принимает все целые значения от р до т (р ^ т),

en - e~°

• sha =----гиперболический синус.

еп + е~п

9 cha =----гиперболический косинус,

п

,2

г=1

• \\х\\ = \ ¡52 ~ евклидова норма вектора х G Шп.

н — sup ||у?(#)|| — равномерная норма кр G PC ([—Я, 0], Мп). ве[-п. о]

- у/1|(^(0)||2 + / У{9)\\40 - норма в пространстве С {[-Н. 0],К"),

(3)Л(7) — объединение условий (уравнений или неравенств) (3) и (7) в систему, запись (2)-(5) эквивалентна объединению (2)Л(3)Л(4)Л(5).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Новые условия экспоненциальной устойчивости линейных систем с запаздыванием»

Введение

Когда любые сколь угодно малые отклонения начального положения технической. биологической, экономической или какой-либо другой системы оказывают существенное влияние на её будущее состояние, долгосрочный прогноз её поведения невозможен. Поэтому задача выявления таких систем, названных неустойчивыми, играет важную роль как в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в теории уравнений с запаздывающим аргументом, когда скорость изменения состояния в данный момент зависит от поведения системы в прошлом.

Впервые возникнув более двухсот лет назад, теория уравнений с запаздыванием стала бурно развиваться во второй половине XX века, чему поспособствовал возросший интерес к теории автоматического регулирования. Описанию основных результатов, полученных в теории уравнений с запаздыванием, посвящены ставшие классическими монографии [1.3,4.10,22,36,52]. А также более современные книги [19,29.37,40,45]. Исследованию таких систем посвящено множество ела!ей, среди которых можно назвать [5,7,9,11,12,16,20,25.28,30-33,35,38,39,41.46-51,53].

Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, для исследования устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием применяются два основных подхода. Первый основан на том, что для любой линейной системы можно построить характеристическую функцию, но расположению нулей которой на комплексной плоскости может быть сделан вывод об устойчивости системы. Однако, если для обыкновенных дифференциальных уравнений характеристическая функция является полиномом, то для уравнений с запаздыванием характеристическая функция - квазиполипом, который имеет, вообще говоря, счётное число пулей.

Второй подход обобщает широко известный прямой метод Ляпунова. В конце 50-х годов появились две работы, посвящёпные применению этого метода к системам с запаздыванием (вообще говоря, нелинейным). В статье [49] Б. С. Разумихин

использует метод функций Ляпунова для исследования устойчивости систем. При этом, чтобы расширить область применимости результата, было введено дополнительное ограничение - производная функции Ляпунова вычисляется не вдоль всех решений системы, а только вдоль решений, удовлетворяющих специальному неравенству, названному позднее условием Разумихина. К сожалению, теорема Разумихина не допускает обращения даже для линейных систем, т.е. полученные достаточные условия устойчивости не являются необходимыми, а это значит, что данный подход не всегда позволяет решить вопрос об устойчивости той или ииой системы. А вот результат, полученный H.H. Красовским в работе [5j, такое обращение допускает. Идея заключается в том, чтобы для исследования устойчивости систем с запаздыванием применять не функции, а функционалы, которые принято теперь называть функционалами Ляпунова-Красовского. Естественность этой идеи становится очевидна, если мы обратим внимание на то, что состоянием для системы с запаздыванием является уже не точка, как это было в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, а некоторая дуга кривой.

Вернёмся к линейным стационарным системам. Введённый в [5| метод функционалов Ляпунова-Красовского заключается в том, что для того, чтобы гарантировать экспоненциальную устойчивость системы, надо найти положительно определённый функционал, имеющий отрицательно определённую производную в силу этой системы. И если для линейных уравнений без запаздывания используются преимущественно квадратичные функции, то для систем с запаздыванием -квадратичные функционалы. Очевидно, возможны два пути применения метода. Можно выбрать некоторый положительно определённый функционал, продифференцировать его в силу системы, а затем проверить полученную производную па отрицательную определённость. Другой путь: строим функционал Ляпунова-Красовского по наперёд заданной отрицательно определённой производной и проверяем его на положительную определённость. С применением такого подхода

связана одна проблема. Как построить функционал но наперёд заданной производной? Впервые вопрос был исследован в работе Ю. М. Репина [7]. В построении функционала с известной производной участвуют несколько функциональных матриц, удовлетворяющих некоторому набору уравнений, среди которых есть как алгебраические, так и дифференциально-разностные уравнения и уравнения ^ в частных производных. Развитию подхода были посвящены работы R. Datko [11],

Е. F. Infante и W. В. Castelan [25], W. Huang [23|, J. Louisell [39].

В работе В. Л. Харитонова и А. П. Жабко [35] были получены так называемые функционалы полного типа, имеющие отрицательно определённую производную и допускающие квадратичную оценку снизу, когда соответствующая система экспоненциально устойчива. Такие функционалы можно считать аналогом квадратичной формы, используемой для исследования устойчивости линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Как и функции Ляпунова для линейных систем без запаздывания, функционалы полного типа строятся на основе матрицы Ляпунова, которая в случае систем с запаздыванием представляет собой функциональную матрицу, определённую на некотором отрезке. Проблема её построения была рассмотрена в статьях [17,24-26,40]. В частности, в случае систем с кратными запаздываниями задача определения матрицы Ляпунова сводится к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений со специальными граничными условиями.

Функционалы полного типа нашли применение в исследовании устойчивости возмущённых систем [35], в получении экспоненциальных оценок решений [30], в оценке нормы передаточной матрицы системы с запаздыванием [26], могут быть использованы для вычисления интегральных квадратичных критериев качества [7]. Однако вопрос применения функционалов непосредственно к исследованию устойчивости систем с запаздыванием практически рассмотрен не был. Это связано со сложностью проверки положительной определённости функ-

ционалов полного типа. Можно указать разве что две недавно опубликованные работы [2], [44], посвященные этому вопросу. В первой приведены достаточные условия положительной определённости, основанные на объединении функционалов полного типа с условиями Разумихина. В работе [44] получены необходимые условия положительной определённости функционалов (а значит, необходимые условия экспоненциальной устойчивости) для систем с одним запаздыванием.

Целыо настоящего исследования является поиск условий экспоненциальной устойчивости систем с запаздыванием (как необходимых, так и достаточных), выраженных исключительно через матрицу Ляпунова. Иными словами, работа посвящена обобщению известного критерия для уравнений без запаздывания: система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда матрица Ляпунова положительно определена. Полученное обобщение позволяет находить точные области экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров линейных систем с запаздыванием, возникающих, в частности, в задачах автоматического регулирования.

Работа состоит из трёх глав. Первая глава вводит основные понятия, используемые в диссертации. В этой главе рассмотрены существующие методы исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием, приводится тривиальное обобщение теоремы Красовского об экспоненциальной устойчивости. Вторая глава полностью посвящена методу функционалов Ляпуиова-Красовского полного типа. Здесь приводятся полученные нами вспомогательные результаты, которые касаются преобразований функционалов Ляпуиова-Красовского и свойств матриц Ляпунова. Третья глава, является основной. В первом параграфе этой главы доказывается новый критерий экспоненциальной устойчивости уравнения с одним запаздыванием, выраженный через матрицу Ляпунова. Второй параграф посвящён получению необходимых условий экспоненциальной устойчивости, выраженных также через матрицу Ляпунова, для систем с одним и несколькими запаздывани-

ями. Преимуществом представленного подхода является его относительная простота и наглядность. Подход, описанный в третьем параграфе, усиливает условия из второго параграфа и расширяет класс систем, для которых эти условия верны. Четвёртый параграф посвящён доказательству того, что полученные условия устойчивости являются не только необходимыми, но и достаточными. Пятый параграф иллюстрирует применение полученных результатов для определения точных областей устойчивости систем в пространстве параметров.

На основании результатов диссертации были представлены доклады и опубликованы статьи в сборниках трудов конференций: "8-th international conference on electrical engineering, computing science and automatic control", "10-th IFAC workshop on time delay systems" и "11-th IFAC workshop on time delay systems".

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13-15,42,43].

На защиту выносятся следующие основные положения:

• утверждения 2.15 и 2.31 - новые свойства матриц Ляпунова,

• теорема 3.2 - критерий экспоненциальной устойчивости уравнения с одним запаздыванием,

• теорема 3.20 - необходимые условия экспоненциальной устойчивости систем с несколькими запаздываниями,

• теорема 3.32 - критерий экспоненциальной устойчивости систем с несколькими запаздываниями.

Глава 1

Системы линейных уравнений с запаздыванием

1.1. Общие сведения

В работе рассматривается линейная дифференциально-разностная система с несколькими сосредоточенными запаздываниями

Здесь х £ Ма. а Ао, А\...., Ат - вещественные постоянные матрицы размерности п х г?. Считаем, что запаздывания упорядочены следующим образом:

Выделим частный случай, который неоднократно упоминается в работе. -система с кратными, запаздываниями, т.е. система, запаздывания которой имеют вид ¡13 = ]1г. ,7 = 1, т.

Как известно из [1], бесконечно продолжимое вправо решение системы (1.1) однозначно определяется начальным моментом ¿о и начальной вектор-функцией

т

(1.1)

.7=0

0 = Но < /¿1 < ... < Ъ,т = Я.

</?(#); определённой на отрезке [¿о — Н, ¿0]- Функции </? будем брать из пространства кусочно-непрерывных вектор-функций РС ([¿о — Я, £о].М"'). При этом, начиная с момента ¿о, решение системы станет непрерывным. Рассматриваемая система стационарна, поэтому с точки зрения устойчивости начальный момент времени может быть выбран произвольно. Будем считать, что £о = 0.

Решение системы (1.1). соответствующее начальной функции (/?, обозначим через х{1, (р), £ ^ 0:

= <¿>(0). в е [-Я, 0].

А через х^ф) будем обозначать сегмент решения, соответствующий аргументу, изменяющемуся в пределах отрезка [£ — Я. £]. Иными словами, х^ф) ~ функция, заданная на отрезке [—Я, 0], для которой Х1(ф){0) = х(Ь + в,ф)\

хг{(р) : вх{г + е,(р), 0е[-я, о].

Очевидно, что хо(ср) = (р. Для краткости в приведённых обозначениях будем опускать аргумент (/?, когда его значение несущественно.

1.2. Методы исследования устойчивости

Начнём параграф со стандартного определения экспоненциальной устойчивости для линейных систем с запаздыванием.

Определение 1.1. Система (1.1) называется экспоненциально устойчивой, если существуют константы 7 ^ 1 и о > 0 такие, что

для любой начальной функции (р.

Из [1| известно, что экспоненциальная устойчивость линейной системы (1.1) эквивалентна её асимптотической устойчивости, а это значит, что верна следующая лемма.

Лемма 1.2. Система (1.1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда для любого s > 0 существует А = А (с) > О такое, что из неравенства \\(р\\и ^ А следует выполнение условий:

1) < е при t^O,

2) lim x(t.<p) = О.

t-¥ + ОС

Первая группа методов исследования устойчивости систем с запаздыванием основана на следующей теореме.

Теорема 1.3. Система (1.1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда все её характеристические числа, т.е. нули характеристического квазиполином,а

p(s) = det ( si - J2 e~hj"Aj j • (1-2)

лежат в левой открытой комплексной полуплоскости.

Этот критерий обобщает аналогичное утверждение для систем без запаздывания. Основная проблема его применения заключается в том, что характеристический квазиполином имеет, вообще говоря, счётное число нулей.

Вторая группа методов исследования устойчивости основана на обобщении известного из теории обыкновенных дифференциальных уравнений второго метода Ляпунова. Это обобщение, предложенное H. Н. Красовским [5], называется методом функционалов Лянунова-Красовского, развитию которого посвящена данная работа.

Определение 1.4. Функционал

g: РСЦ-Н, 0],Rn)-»Rp,

где р - некоторое натуральное число, будем называть непрерывным в нуле, если для любого £ > 0 существует Ô = <5(е) > 0 такое, что при < S выполнено

неравенство

\Ш -р(0)|| <£. 13

Теорема 1.5 (Красовский, 1956, [5]). Существование непрерывных в нуле скалярных функционалов uw(ip),ipe PC ([—Н, 0], Ш"), удовлетворяющих условию ■и(О) = w(0) = 0 и связанных на решениях системы (1.1) соотношением

^ = (1-3)

для которых найдутся чист, о- > 0 и ß > 0 такие, что

v(<p) > аУ(0)\\2,

гарантирует экспоненциальную устойчивость системы (1.1).

Сформулируем и докажем обобщение приведённого результата.

Теорема 1.6. Существование непрерывных в нуле скалярных функционалов v(<p) и w((p), с/? Е PC ([—Н, 0], Шп), удовлетворяюищх условию г>(0) = w(0) = 0 и связанных на решениях системы (1.1) соотношением

dv(xt) . , — = -w(xf),

для которых найдутся числа а > 0, ß > 0 и 0\, а о £ [0. Н} такие, что

v{(p) ^ q||(^(-(Ji)||2. wfr) >ßM-a2)\\2.

гарантирует экспоненциальную устойчивость системы (1.1).

Д о к а з а т с л ь с т в о. Зафиксируем произвольное число с > 0.

Так как v(p) непрерывен в нуле, по определению 1.4 можно найти число

А = min {¿(ае2), е} > 0.

для которого будет выполнено неравенство v(tp) < ае2 при ||</?||н < А. Показав, что число А удовлетворяет условиям леммы 1.2, мы покажем экспоненциальную устойчивость системы (1.1).

Докажем первый пункт леммы 1.2 от проливного. Предположим, чю существует t] ^ 0 такое, что \\x(ti. <р)|| ^ £, даже если ||у?||я < А. Очевидно,

а<£2 < o\\x(ti, (/?)||2 < v{xll+ai((p)).

Но нам известно, что

^ п

dt

Следовательно,

u(xh+<Tl{^)) < < а'£2. Полученное противоречие доказывает, что неравенство \\(f\\H < А влечёт

\\x(t,(p)\\ < £, t^O.

Покажем теперь, что при ||y?||w < А

lim х(t, Lp) = 0. l-¥ + 00

Снова предположим противное, т.е. lim x(t,ip) ф 0. Toi да

lim v(xt(ip)) > 0.

oo

так как в противном случае

lim a\\x(t — ai, (/?)||2 ^ lim v(xt{(p)) ^ 0,

/—>+ OC l—»+OC

что сразу вступает в противоречие с нашим предположением. А так как v(xt(<p)) - убывающая функция переменной t.

v(xt((f)) ^ lim v{xt{#)) >0, t^O.

t—>+oc

Следовательно, можно ввести число Л = lim v(xf(ip)) < +оо. Тогда vixAip)) ^ Л.

t—>+эо

и значит,

IMvOL >ö(X)t о. (1.4)

где 6 - функция из определения 1.4.

Введём ряд вспомогательных элементов. Зафиксированное выше £ позволяет построить число М = Л-/(с) > 0 такое, чю

^ Л/.

если У\\н ^ е. Определим число

т = mill < Я.

¿(АД

2 М J '

Теперь введём натуральное Д,т так. чтобы оно удовлетворяло условию

¿2(А) лг а 2 -^-тЫ > -е. 4 /3

Последний вспомогательный элемент - число

Т = 2HN.

Условие (1.4) гарантирует существование последовательности {tj}j=0 . каждый элемент которой удовлетворяет условиям:

tj G [2jH. (2j + 1)Я], Цаг^.^Ц ^ <5(А).

Из (1.1) получаем, что

t

ill

x{t^)-x{tj.^)= / ^A,x(e-hntp)de.

i /=о

Но, как было доказано выше, \\x(t. </?)|| < е, t ^ —Я, поэтому при t € [tr t} + т

5(Х)

Отсюда

- \\x(t, (¿>)|| ^ Mr ^

\x(t,<p)|| ^ te [t,.t,+r].

А следовательно,

т дг—1

(у, 9

тЫ > -е2.

О ,у=о - - - - 1

Из неравенства

<1у(хь(1р))

-гу(ж<(^?)) < -В\\х(г - а2,(р)\

сИ

выводим

Т+(72

^ %>) -I \\х{9 - а2^)\\2 (1,9 ^ о

ОМ"/?J \\х(£:(р)\\2<%<ае2-13^е2 = 0. о

Получено очевидное противоречие неотрицательности функционала V, завершающее доказательство теоремы. □

Замечание. Стоит отметить, что выполнение условий приведённой теоремы гарантирует также асимптотическую устойчивость нулевого решения автономной н ел иней ной с истем ы

при условии, что она имеет пулевое решение, а функционал /((/?) непрерывен в нуле.

И действительно, при доказательстве асимптотической устойчивости линейность системы (1.1) фактически не использовалась. Необходимо лишь добавить, что для асимптотической устойчивости нулевого решения нелинейной системы достаточно, чтобы все условия теоремы выполнялись не для всех кусочно-непрерывных (р. а лишь для тех, что ограничены сверху по норме некоторой положительной константой:

1М1л ^ А-

17

И, соответственно, в доказательстве мы берём

А = min е. А} .

В завершение раздела необходимо упомянуть технику, предложенную в работе [6J Ю. И. Неймарком, упрощающую исследование систем с параметрами, которая называется методом, D-разбиения. Идея метода состоит в разбиении пространства параметров системы кривыми, соответствующими тем значениям параметров, при которых характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корпи (будем называть такие кривые критическими). При этом каждая из выделенных таким образом областей обладает следующим свойством: если одна из точек этой области соответствует экспоненциально устойчивой сислеме, то и все остальные точки области соответствуют экспоненциально устойчивым сислемам, и наоборот, если одна из точек области соответствует неустойчивой системе, то и все остальные точки соответствуют неустойчивым системам. Упомянутые выше кривые могут быть заданы параметрически:

piiuj) = 0. w€[0,+oo).

1де ? - мнимая единица, ap(.s) - характеристический квазиполином системы, определённый под номером (1.2).

1.3. Постановка задачи

В этом разделе для упрощения выражений ограничимся рассмотрением систем с одним запаздыванием

x(t) = A0x{t) + Aix(t - h). (1.5)

Существуют два пути применения теоремы Красовского для исследования устойчивости линейных систем Сразу заметим, чло как в первом, так и во втором подходе функционалы v и w квадратичные.

Опишем первый путь. Зададим функционал г> ((/?), например, в виде

о

v(<p) = фТ{0)Рф(0) + j фТ{9)Яф{в) (19.

-h

Если Р - положительно определенная, a Q - положительно полуопределённая матрица, то выполнено первое условие теоремы 1.5.

Найдём производную функционала вдоль решений системы (1.5):

^^ = жт(*) [А^Р + РА0] x(t) + 2xT(t)PA,x{t - h) +

+ xT(t)Qx(t) - xT{t - h)Qx(t - h).

Следовательно,

, , ( T.n. T. , Л l-Q-AlP~PAa -PAA ( Ф)

Если при каких-то значениях матриц Р и Q полученная квадратичная форма положительно определена, то функционал w(cp) будет удовлетворять второму условию теоремы 1.5. Таким образом, для доказательства экспоненциальной устойчивости системы достаточно найти Р > 0 и Q ^ 0, удовлетворяющие линейному матри чному неравенству

-Q - AIP - РА0 -PAÄ

> 0.

-А\Р Q )

В данном случае мы получили не зависящие от запаздывания достаточные условия экспоненциальной устойчивости. Для скалярного уравнения с одним запаздыванием

x(t) = ax(t) + bx{t - h)

указанные условия, например, гарантируют устойчивость при соотношении коэффициентов а + |Ь| < 0. Точная область устойчивости этого уравнения будет приведена в третьей главе.

Если считать функцию (р определённой на отрезке [—2/г, 0], можно взять функционал v вида

v(<p) = <pT(Q)Pip{0)+ о

+ J [ipT{0)Al + (рт{6 - h)Aj] h{ß + h)R [Mv(0) + A\<p{ß - h)} dB. -h

Как было показано в работе [16], такой функционал приводит к условиям устойчивости, зависящим уже от величины запаздывания:

f(AQ + Л0Г Qx + Q? (Л + Ai) Р - Q? + (Ао + Лх)т Q2 QfA^

< 0.

Р ~ Ql + Ql (Ао + Ai) h2R - (Q2 + Ql) Q\Ay

\ AlQ, A\Q2 -R j

где P и R - положительно определённые, a Qi и Q2 - произвольные матрицы. Отметим, что для уравнения с одним запаздыванием приведённое матричное неравенство позволяет лишь установить устойчивость системы на множестве { (а, 6) | а + Ь < 0, \b\h < l}.

Рассмотрим второй путь исследования устойчивости с использованием теоремы Красовского. Задаём теперь функционал w((p) таким, чтобы он удовлетворял второму условию теоремы Красовского, и ищем функционал v как решение уравнения (1.3). Если найденный функционал удовлетворяет первому условию теоремы 1.5, то исследуемая система экспоненциально устойчива. Возникают два вопроса. Как решить уравнение (1.3)? Как для полученного решения проверить выполнение первого условия теоремы Красовского?

Первый вопрос, т.е. построение функционала по наперёд заданной производной, был впервые исследован в работе Ю. М. Репина [7]. Развитию подхода посвящены статьи R. Datko [11], Е. F. Infante и W. В. Castelan [25], W. Huang [23], J. Louisell [39]. В работе В. JI. Харитонова и А. П. Жабко [35] были получены функционалы, удовлетворяющие условиям теоремы Красовского в случае, когда

соответствующая система экспоненциально устойчива. Фактически, был найден аналог квадратичной формы v(x) = xTVx, используемой для исследования устойчивости обыкновенных дифференциальных линейных уравнений в рамках применения второго метода Ляпунова. Функционалы имеют вид:

о

v(ip) = <у9Т(0)£/(0)</?(0) + 2(рт(0) J U(-6-h)Axip{e) d9+

-h

no о

+1J ipT{ol)ATlu{el - е2)А1ф{в2) de2 de, + J vT{0) щ + (/?, + o)w2\ de, -h -h -h

где W2 - произвольные положительно определённые матрицы, a U(r) ~ функциональная матрица, по аналогии с V названная матрицей Ляпунова. Подробно об этих функционалах, матрице U(г) и их свойствах - во второй главе этой работы.

Очевидно, что положительная определённость квадратичной формы и(х) = xTVx равносильна положительной определённости матрицы V. Таким образом, имеется прямая связь между матрицей Ляпунова и экспоненциальной устойчивостью системы без запаздывания. Естественно желание установить подобную связь между матрицей U(t) и экспоненциальной устойчивостью системы с запаздыванием. Поиску этой связи посвящена третья плава.

Глава 2

Квадратичные функционалы Ляпунова-Красовского, матрица Ляпунова

2.1. Функционалы полного типа и матрица Ляпунова

Прежде чем подробно изложить содержание работы [35], - именно эта статья является фундаментом для настоящего исследования - скажем несколько слов о решениях системы (1.1).

Как было упомянуто выше, задав произвольную кусочно-непрерывную вектор-функцию ц>{6), определённую на интервале [—Н, 0], можно однозначно восстановить решение системы (1.1) на интервале [0,+оо). Более того, для этого решения можно записать формулу Коши

х

(*,</?) = к(г)(р(о) + ' г ^ о, (2.1)

где ключевым элементом является матрица K(t), называемая фундаментальной матрицей системы, которая может быть получена как решение уравнения с запаздыванием

т

K(t) = - hj). t > 0, (2.2)

3=0

со следующими начальными данными:

К(0) = /, K{t) - О, t < 0.

В работе [1] было показано, что матрица K(t) удовлетворяет также уравнению

'/ГС

3=0

Ясно, что с учетом начальных условий для этой матрицы, последнее равенство можно записать в следующей форме:

г р

Р-, hp+i),

j=o

K(t) = {

p = 0. m — 1.

(2.3)

ZK(t-h,)Aj, t>H. U=0

Фундаментальная матрица может быть вычислена методом шагов. На нервом шаге, t € [0, h]]. возникает обыкновенная задача Коши:

K(t) = K(t)A0. К{ 0) = I.

Её решение

K(t) = eA°', £G[0,/ii]. Сделаем ещё один шаг - на отрезке [h\. min{2/ii; h-i})

(2.4)

K(t) = I I + e~A°hi J eA",4Aie~A{)S ds eA°'.

in 23

Таким образом, шаг за шагом фундаментальная матрица может быть определена на любом конечном интервале.

Мы столь подробно остановились на описании свойств матрицы так

как она является одним из ключевых элементов нашего изложения. Напоследок ещё одно простое следствие равенства (2.4), которое понадобится нам в третьей главе:

сМ К{£) Ф 0, г <Е [0,/и].

Переходим непосредственно к рассмотрению результатов работы [35]. Был предложен следующий подход к применению теоремы Красовского для исследования устойчивости систем с несколькими запаздываниями (1.1). Функционал 'ш задаём в довольно общей форме

т т У,

+ + ^ / <рТ(вЩ„+М0)М, (2.5)

где И'о, И7],..., \¥2т - положительно определённые матрицы. Пытаемся подобрать функционал V так, чтобы было выполнено равенство

— =

В случае, когда система (1.1) экспоненциально устойчива, можно использовать формулу

ос

у(Ф) = У ю(х^ф)) ¿Й,

О

которая после несложных преобразований приобретает вид

ш «

= <*>(*>) +£ / </(0) (И7 + (в + ф{9) М,

где

оо

„Г/

= I х1 (¿, 1р)\¥х{г, ф) <и, (2.6)

о

т

а IV = Ж0 + Е № + М^-ьЛ

Используя формулу Коши (2.1), приходим к тому, что

ио(^) = рг(0)*7(0)у?( и{-в - Ь,;)А3ч>(е) <Ш+

+ ' \)А-[и(в-1 + кк -в2- Ь3)А.^(е2) йв2 йвъ

где

оо

и(т)= Кт{1)\¥К(1 + т)(И. (2.7)

о

Полезно отметить, что

Матрица II(т) является ключевым элементом при построении функционала у((р), но построить её но формуле (2.7) достаточно сложно. К тому же в случае, когда система (1.1) не является экспоненциально устойчивой, несобственный интеграл в формуле вообще не сходится. Можно ли обойти эти препятствия? Можно. Попытаемся отвлечься от конкретной формы (2.7) для матрицы II(т) и посмотрим на у((р) как на функционал, построенный по функциональной матрице, являющейся параметром для него. Непосредственным дифференцированием можно показать, что производная у{ф) вдоль решений системы (1.1) равна — 'ш(а^) тогда и только тогда, когда введённый параметр II(т) удовлетворяет трём уравнениям:

т

(2.8)

и{т) = ит(—т),

(2.9)

тп

(2.10)

Замечание. Под производной функции С/(т) в точке т = 0 понимается правая производная.

В работе [34] показано, что II(т), заданная формулой (2.7), является единственным решением набора уравнений (2.8)-(2.10), когда система (1.1) экспоненциально устойчива.

Определение 2.1. Для систем с запаздыванием (1.1) матрицей Ляпунова, ассоциированной с млтрицей IV, будем называть непрерывную функциональную матрицу, удовлетворяющую уравнениям (2.8)-(2.10).

Дифферепциалыю-разпостпое уравнение (2.8) принято называть динамическим свойством, уравнение (2.9) - свойством симметрии, а уравнение (2.10) -алгебраическим свойством.

Ясно, что для построения функционала и{ф>) достаточно определить решение набора уравнений (2.8)-(2.10) лишь па отрезке [-Н.Н]. В работе |23] были найдены условия, при которых такое решение существует. В работе [8] было доказано, что эти условия являются критерием существования и единственности матрицы Ляпунова в случае систем с кратными запаздываниями. А общий случай (1.1) был рассмотрен в [27].

Определение 2.2. Если среди пулей характеристического квазиполинома (1.2) нет расположенных симметрично относительно начала координат, то говорим, что система (1.1) удовлетворяет условию Ляпунова, или что условие Ляпунова выполнено.

Теорема 2.3 (КЬаг^опоу, 2012, [27]). Матрица Ляпунова системы (1.1). ассоциированная с произвольной симметричной матрицей IV, существует и единственна тогда и только тогда, когда система (1.1) удовлетворяет условию Ляпунова. Если же условие Ляпунова нарушается, то найдётся матрица IV, с которой нельзя ассоциировать никакую матрицу Ляпунова.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Егоров, Алексей Валерьевич, 2013 год

Литература

[lj Беллман Р.. Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения / Пер. с англ. М., 1967. 548 с.

[2] Жабко А. П., Медведева И. В. Алгебраический подход к анализу устойчивости дифференциально-разностных систем / ' Вестник Санкт-Петербургско! о университета. Сер. 1Ü: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 1. С. 9-20.

[3] Колмановский В. В., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М., Наука. 1981. 448 с.

|4] Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. К!.. Государственное изд. физ.-мат. литературы, 1959. 211 с.

[5] Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315-327.

[6] Неймарк Ю. И. D-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости линеаризованных распределенных систем) // Прикладная математика и механика. 1949. Т. 4. С. 349-380.

[7] Репин М. Ю. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. С. 564-566.

[8] Чашников М. В. Анализ устойчивости линейных систем с запаздывающим аргументом: дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. СПб., 2010. 94 с.

[9] Элъсгольц Л. Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений /7 Успехи математических наук. 1954. Т. 9. Вып. 4(62), С. 95-112.

[10] Элъсгольц Л. Э., Норкип С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М., 1971. 296 с.

[11] Datko R. An algorithm for computing Liapunov fimctionals for some differential difference equations // Ordinary Differential Equations / Ed. by L.Weiss. New York. 1972. P. 387-398.

[12] Delice I. /.. Sipahi R. Controller Design for Delay-Independent Stability of Multiple Time-Delay Systems via De scart.es's Rule of Signs // 9th IFAC Workshop on Time Delay Systems. Prague, Czech Republic. 2010. P. 144-149.

[13] Egorov A., Mondie S. A stability criterion for the single delay equation in terms of the Lyapunov matrix /7 Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 1. С. 106-115.

[14] Egorov A.. Mondie S. Necessary conditions for the exponential stability of time-delay systems via the Lyapunov delay matrix // Int. Journal of Robust and Nonlinear Control. 2013. DOI: 10.1002/rnc.2962.

[15] Egorov A., Mondie S. Necessary conditions for the stability of multiple time-delay systems via the delay Lyapunov matrix // 11th IFAC Workshop on Time Delay Systems. Grenoble, France. 2013. P. 12-17.

[16] Fridrnan E. New Lyapunov-Krasovskii functionals for stability of linear retarded and neutral type systems // Systems & Control Letters. 2001. Vol. 43(4). P. 309319.

[17] Garcia-Lozano II, Kharitonov V. L. Lyapunov matrices for time delay systems with commensurate delays // 2nd Symposium on System, Structure and Control. Oaxaca, Mexico. 2004. P. 102-106.

[18] Garcia-Lozano H., Kharitonov V. L. Numerical computation of time delay Lyapunov matrices / / 6th IFAC Workshop on Time Delay Systems. L'Aquila, Italy. 2009. P. 60-65.

[19] Gu K., Kharitonov V.L., Chen 7. Stability of time delay systems. Birkhauser, Boston, 2003. 353 p.

[20] Gil K., Nicidescu S.-I.. Chen J. On stability crossing curves for general systems with two delays // Journal of Math. Analysis and Applications. 2005. Vol. 311(1). P. 231-253.

[21] Hayes N. D. Roots of the transcendental equation associated with a certain difference-differential equation // J. London Matliem. Society. 1950. Vol. 25(3). P. 226-232.

[22] Hale J. K. Theory of functional differential equations. Springer, New York, 1977. 365 p.

[23] Huang W. Generalization of Liapunov's theorem in a linear delay system //' Journal of Math. Analysis and Applications. 1989. Vol. 142. P. 83-94.

[24] Huesca E.. Mondie S., Santos J. Polynomial approximations of the Lyapunov matrix of a class of time delay systems /7 8th IFAC Workshop on Time Delay Systems. Sinaia, Romania. 2009. P. 261-266.

[25] Infante E.F., Castelan W.D. A Liapunov functional for a matrix difference-differential equation // Journal of Differential Equations. 1978. Vol. 29. P. 439-451.

[26] Jarlebring E., Vanbiervliet J.. Michiels W. Characterizing and computing the //2 norm of time-delay systems by solving the delay Lyapunov equation // IEEE Transactions on Automatic Control. 2011. Vol. 56(4). P. 814-825.

[27] Kharitonov V. L. On the uniqueness of Lyapunov matrices for a time-delay system // Systems k Control Letters. 2012. Vol. 61. P. 397-402.

[28] Kharitonov V. L. Robust stability analysis of time delay systems: a survey // Annual Reviews in Control. 1999. Vol. 23. P. 185-196.

[29] Kharitonov V. L. Time-delay systems. Lyapunov functional and matrices. Birkhàuser, Basel, 2013. 311 p.

[30] Kharitonov V. L., Hmrichsen D. Exponential estimates for time delay systems ' j Systems & Control Letters. 2004. Vol. 53. P. 395-405.

[31] Kharitonov V. L., Nieuleseu S.-I., Moreno J.. Michiels W. Static output feedback stabilization: necessary conditions for multiple delay controllers / / IEEE Transactions on Automatic Control. 2005. Vol. 50(1). P. 82-86.

[32] Kharitonov V. L., Melchor-Aguilar D. On delay-dependent stability conditions 1 ' Systems & Control Letters. 2000. Vol. 40. P. 71-76.

[33] Kharitonov V.L., Mondié S., Santos J. Matrix convex directions for time delay systems /7 Int. Journal of Robust and Nonlinear Control. 2003. Vol. 13(14). P. 1259-1335.

[34] Kharitonov V. L.. Plischke E. Lyapunov matrices for time-delay systems // Systems & Control Letters. 2006. Vol. 55(9). P. 697-706.

[35] Kharitonov V.L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay systems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 15-20.

[36] Kolmanovskii V., Myshhs A. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Kluwer Academic Publishers, 1999. 648 p.

[37] Krstic M. Delay Compensation for Nonlinear, Adaptive, and PDE Systems. Birkhauser, 2009. 466 p.

[38] Li H., Gu K. Discretized Lyapunov-Krasovskii functional for coupled differential-difference equations with multiple delay channels / / Automatica. 2010. Vol. 46(5). P. 902-909.

[39] Louisell J. A matrix method for determining the imaginary axis eigenvalues of a delay system // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. Vol. 46. P. 2008-2012.

[40] Marshall J.E., Gorecki H.. Korytowski A., Walton K. Time-delay systems: stability and performance criteria with applications. Ellis Horwood, New York, 1992. 244 p.

[41] Mendez-Barrios G., Niculescu S.-I., Morarescu C.-I., Gu K. On the fragility of PI controllers for time delay SISO systems if 16th Mediterraneen Conference on Control and Automation. Aja.ccio-Corsica, France. 2008. P. 529-534.

[42] Mondie S.. Cuvas C., Ramirez A., Eyorov A. Necessary conditions for the stability of one delay systems: a Lyapunov matrix approach // 10th IFAC Workshop on Time Delay Systems. Boston, USA. 2012. P. 13-18.

[43] Mondie S., Eyorov A. Some necessary conditions for the exponential stability of one delay systems //' 8t.h International Conference on Electrical Engineering, Computing Science and Automatic Control. Merida City, Mexico. 2011. P. 1-6.

[44] Mondié S., Ochoa G., Ochoa B. Instability conditions for linear time delay systems: a Lyapunov matrix function approach // Int. Journal of Control. 2011. Vol. 84(10). P. 1601-1611.

[45] Niculescu, S.-I. Delay effects on stability: a robust control approach. Springer, Heidelberg, 2001. 383 p.

[46] Olgac N., Sipahi R. An exact method for the stability analysis of time-delayed linear time-invariant (LTI) systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. Vol. 47(5). P. 793-797.

[47] Peet M.M., Bliman On the conservatism of the sum-of-squa,res method for analysis of time-delayed systems // Automatica. 2011. Vol. 47(11). P. 2406-2411.

[48] Peet M.M., Papachristodoulou A., Lall S. Positive forms and stability of linear time-delay systems // SIAM J. Control and Optimization. 2009. Vol. 47(6). P. 3237-3258.

[49] Razumikhin B. S. An application of Liapunov's method to a problem on the stability of systems with lag // Automation and Remote Control. 1960. Vol. 21. P. 740-748.

[50] Sipahi R., Delice I.I. Extraction of 3D stability switching hypersurfaces of a time delay system with multiple fixed delays // Automatica. 2009. Vol. 45(6). P. 14491454.

[51] Sipahi R.; Niculescu S.-I., Abdallah C. T., Michiels W., Gu K. Stability and stabilization of systems with time delay: limitations and opportunities // IEEE Control Systems Magazine. 2011. Vol. 31(1). P. 38-65.

[52] Stépán G. Retarded dynamical systems: stability and characteristic functions. Wiley, New York, 1989. 151 p.

[53] Vernest E. I., Ivanov A. F. Robust stability of systems with delayed feedback // Circuits, Systems and Signal Processing. 1994, Vol. 13(2-3). P. 213-222.

[54] Villafuerte R., Mondie S.. Garrido R. Tuning of proportional retarded controllers: theory and experiments // IEEE Transactions on Control System Technology. 2013. Vol. 21(3). P. 983 - 990.

Приложение А. Исходный код программы, реализующей проверку представленных в диссертации условий устойчивости в Matlab

function [answ] = Uexact__Stability(al, a2, bl, b2, cond) % а и b - параметры системы, значения которых

% изменяются в пределах отрезков [al,a2], [Ь1,Ь2] соответственно % переменная cond принимает значения 1 или 2

пп=120; % число рассматриваемых дискретных значений а и b (nn=ql=q2)

m=l; % число запаздываний в системе

п=3; % размерность системы

A=zeros(n,n,m+l); W=eye(n);

nF=nn; mF=nn;

dSa=(a2-al)/nF; dSb=(b2-bl)/mF; if al==a2 nF=0; end if bl==b2 mF=0; end LL=zeros((nF+1)*(mF+1),2); for iF=0:nF

for jF=0:mF

LL((mF+1)*iF+jF+l,l)=al+iF*dSa; LLC(mF+1)*iF+jF+l,2)=bl+jF*dSb;

end

end

for iF=0:nF

for jF=0:mF

a=al+iF*dSa; b=bl+jF*dSb; % Задание системы:

A(l:n,l:n,l)=[-b,135/10,-1;-3,-1,-2;-2,-1,-4]; % матрица A_0 A(1:n,1:n,2)=[-59/10,71/10,-703/10;2,-1,5;2,0,6];% матрица A_1 h=a; % величина запаздывания

ExA=zeros(n~2,n~2,m+l); ATxE=zeros(n~2,n~2,m+l); for j=0:m

ExA(:,:,j+l)=kron(A(:,:,j+l)\eye(n)); ATxE(:,:,j+l)=kron(eye(n),A(:,:,j+l)>);

end

P=zeros(2*m*n~2,2*m*n~2); for k=l:m

for s=0:m

P(((k-l)*n~2+l):(k*n~2),((k+s-l)*n~2+l):...

((k+s)*n~2))=ExA(:,:,s+l); P(((2*m-k)*n~2+l):((2*m-k+l)*n~2),((2*m-k-s)*n~2 ... +1):((2*m-k-s+l)*n"2))=-ATxE(:,:,s+l);

end

end

P2=zeros(2*m*n"2,2*m*n~2) ; Vspom=expm(P*h);

P2(l:((2*m-l)*n~2),:)=Vspom((n~2+l):(2*m*n~2),:); for i=l:((2*m-l)*n~2) P2(i,i)=P2(i,i)-l;

end

YYl=zeros(n~2,n~2,2*m); for k=l:(2*m)

YY1(:,:,k)=Vspom(l:n~2,((k-l)*n~2+l):(k*n~2)) ;

for k=l:m

Vspoml=ATxE(l:n~2,1:n"2,m-k+l)+ATxE(l:n~2,1:rT2,m+l)...

*YYl(l:iT2,l:ir2,k); Vspom2=ExA(l:n~2,1:n~2,k+l)+ATxE(l:n~2,1:n~2,m+l)...

*YYl(l:n~2,l:ir2,m+k); P2(((2*m-l)*n~2+l):(2*m*n~2),((k-1)*n~2+l):(k*n~2))...

=Vspoml(:,:); P2(((2*m-l)*n~2+l):(2*m*n~2),((m+k-1)*n~2+l): . . . ((m+k) *Г2)) =Vspom2 (:,:);

end

P2(((2*m-l)*n~2+l):(2*m*n~2),((m-1)*n~2+l):(m*n~2))=P2(((2 ...

*m-l)*n~2+l):(2*m*n~2),((m-1)*n~2+l):(m*n~2))+ExA(:,:Д); bb=zeros(2*m*n~2,1); k=l;

for i=l:n

for j=l:n

bb((2*m-l)*n~2+k,l)=-W(j,i); k=k+l;

end

end

if rcond(P2)>10"(-15) asd=P2\bb;

if cond==l % проверка условий теоремы 3.32 r=3; % число г из теоремы 3.32 for ir=l:r

Uh=zeros(n,n,ir);

Uh(:,:,l)=U(0,h,n,m,asd,P);

for j=2:ir

Uh(:,:,j)=U(m*h*(j-l)/(ir-l),h,n,m,asd,P);

end

Krit=zeros(ir*n,ir*n); for i=l:ir

Krit(((i-l)*n+l):(i*n),((i-l)*n+l):(i*n))... =Uh(:,:,1);

end

for i=l:ir

for j=(i+l):ir

Krit(((i-l)*n+l):(i*n),((j-l)*n+l): . . .

(j *n) )=Uh( : , : , j - i+1) ; Krit(((j-1)*n+l):(j*n),((i-l)*n+l):... (i*n))=Uh(:,:,j-i+1)';

end

end

if posneg(Krit)==0

LL((mF+l)*iF+jF+l,l)=a2+l; LL((mF+l)*iF+jF+l,2)=b2+l; break

end

end

elseif cond==2 % проверка условий теоремы 3.35 kTh=2; % число k из теоремы 3.35

% Количество дискретных значений параметра tau: ndt=floor(200*m*h); Krit=zeros(2*kTh*n,2*kTh*n); ind=l;

if posneg(U(0,h,n)m,asd,P))==0 LLC(mF+1)*iF+jF+l,l)=a2+l; LL((mF+1)*iF+jF+l,2)=b2+l; ind=0;

end

if ind==l

parInterval=m*h/kTh; dt=parInterval/ndt; for k=l:(ndt-1)

tau=zeros(2*kTh); for s=l:kTh

tau(2*s-l)=(s-l)*h/kTh; tau(2*s)=k*dt+(s-l)*h/kTh;

end

for i=l:(2*kTh)

for j=l:(2*kTh)

Krit((i-l)*n+l:i*n,(j-l)*n+l:j*n)... =U(-tau(i)+tau(j),h,n,m,asd,P);

end

end

if posneg(Krit)==0

LL((mF+1)*iF+jF+l,l)=a2+l; LLC(mF+1)*iF+jF+l,2)=b2+l; break

end

end

else

LL((mF+1)*iF+jF+1,1)=a2+l; LL((mF+1)* i F+j F+1,2)=Ь2+1;

end

end

end

if al==a2 && bl==b2 answ=Krit

else

setCgcf,'defaultAxesFontSize',16)

plot(LLC:,1),LL(:,2), 'k . ' ,'MarkerSize',4);

hold on;

xlabelC'a','FontSize',24,'Fontangle','italic') ylabe1С'b','Rotation',0,'FontSize',24,'Fontangle','italic') hold off;

axis С[al a2 bl b2]);

grid on

end

end

% Вычисление матрицы Ляпунова: funct ion[UU]=UCt,h,n,m,asd,P) s=l;

for i=l:m

if absCt)>=h*(i-1) && abs(t)<=h*i s=i; break

if abs(abs(t)-(s-l)*h)<lCT (-10) Kl=eye(2*m*n*n,2*m*n*n);

else

Kl=expm( (abs(t) - (s-l)*h)*P);

end

K2=Kl*asd; UU=zeros(n,n); for pl=l:n

for p2=l:n

UU(pl,p2)=K2((m-s)*n~2+(p2-l)*n+pl);

end

end if t<0

UU=UU';

end end

% Проверка матрица А на положительную определённость: function [PN] = posneg(A) PN=1;

dim=length(A); for i=l:dim

if det(A(l:i,1:i))<=0 PN=0; break

end

end end