Асимптотические свойства решений линейных автономных дифференциальных уравнений нейтрального типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Баландин Антон Сергеевич

• Баландин Антон Сергеевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Баландин Антон Сергеевич

4.2.1 Энергетическое равенство

4.2.2 Свойства фундаментального решения и функции Коши

4.2.3 Асимптотическая устойчивость

§ 4.3 Сверхкритический случай

4.3.1 Асимптотические свойства уравнения (4.24)

4.3.2 Асимптотические свойства уравнения (4.25)

4.3.3 Асимптотические свойства уравнения (4.26)

4.3.4 Асимптотические свойства уравнения (4.27)

4.3.5 Асимптотическое поведение уравнения (4.1) в «вершинах»

Заключение

Литература

Обозначения

N = {1, 2,3,...}, No = {0,1, 2,3,...}, Z = {0, ±1, ±2, ±3,...}, R = (-œ, + œ), R+ = [0, +œ), R- = (-œ, 0], R+ = R+ x R+,

C — пространство комплексных чисел, Rn — вещественное n-мерное пространство, Д = {(t,s) G R+ : t ^ s},

Dioc — пространство локально абсолютно непрерывных функций,

Lp(E), 1 ^ p < œ, — пространство суммируемых со степенью p функций,

1

заданных на множестве E, с нормой ||x||p = (fE |x(t)|p dt)p,

Lœ(E ) — пространство ограниченных на E функций с нормой

||x||œ = vraisuptGE |x(t)|,

Lp = Lp(R+), 1 ^ p ^ œ,

W2(E ) — пространство Соболева с нормой

|M|w2(£) = (JE (x2(t) + x2(t)) dt)1/2, X — характеристическая функция множества R+, I — тождественный оператор, оператор сдвига

y (t - h), t - h ^ 0,

(Shy)(t)= y( ), , ; 0, t - h <

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические свойства решений линейных автономных дифференциальных уравнений нейтрального типа»

Введение

Актуальность темы исследования. К середине XX в. в различных областях знаний (механике, биологии, экономике, технике, иммунологии и пр.) накопилось достаточное число математических моделей, для построения которых эффективно использовались дифференциальные уравнения с последействием (см., напр., [97,100,106,109,110], а тж. библиографию в [105]). Большое количество моделей потребовало систематизации постановок задач и построения теоретической базы для таких уравнений.

Теории дифференциальных уравнений с последействием посвящены монографии А.Д. Мышкиса [74], Н.Н. Красовского [64], Ю.И. Ней-марка [76], Э. Пинни [78], Р. Беллмана и К.Кука [39], Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина [91], В.Б. Колмановского и В.Р. Носова [62], Дж. Хейла [84], Н.В. Азбелева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной [1], Ю.С. Колесова [61], В. Резвана [80], В.Г. Курбатова [65], а также циклы статей и обзорные статьи С.Н.Шиманова [86-90], В.И.Зубова [57,58], В.Хана [98,99], А.М. Зверкина [46,49-56].

Последействие может проявляться в дифференциальных уравнениях по-разному. Уравнения, в которых последействие входит только в само решение или младшие производные, принято называть уравнениями запаздывающего типа. За уравнениями, в которых последействие входит также в старшую производную решения, закрепилось название уравнения нейтрального типа.

Задача устойчивости со времён А.М. Ляпунова остаётся одной из важнейших при исследовании динамических систем. Если уравнение задано на конечном отрезке, то в вопросах определения решения, а также существования и единственности решения нет существенной разницы между уравнениями запаздывающего и нейтрального типа. Качественные различия начинают проявляться, когда уравнение исследуется на положительной полуоси, причём отличия видны даже на простейших классах уравне-

ний нейтрального типа.

По аналогии с обыкновенными дифференциальными уравнениями исследование устойчивости линейных автономных уравнений с последействием сводится к изучению расположения нулей их характеристических функций на комплексной плоскости (см., напр., [39]). Для уравнений запаздывающего типа экспоненциальная устойчивость эквивалентна попаданию всех нулей характеристической функции в левую полуплоскость; равномерная устойчивость имеет место, если у характеристической функции нет нулей в правой полуплоскости, а корни, лежащие на мнимой оси, простые. Эти утверждения для уравнений нейтрального типа неверны, что связано со следующей их особенностью: на комплексной плоскости существует вертикальная полоса конечной ширины, в которой находится бесконечное число нулей характеристической функции (см., напр., [39,46,84,91]).

В настоящей диссертации исследуется устойчивость линейных автономных дифференциальных уравнений нейтрального типа. Исследование опирается на результаты научной школы проф. Н.В. Азбелева [1]. К изучению уравнения привлекаются операторы, действующие в функциональных пространствах, при этом уравнение записывается в операторном виде, а начальная функция с помощью замены переменных становится частью внешнего воздействия. Отсюда естественным образом вытекает определение решения и максимальное расширение пространства начальных функций. Ключевую роль в исследовании устойчивости уравнения играет интегральное представление решения — формула Коши, которая ставит во главу угла фундаментальное решение (решение однородного уравнения с единичным начальным условием) и функцию Коши (ядро интегрального оператора, применяемого к правой части уравнения). Эти функции заключают в себе всю информацию о решении уравнения, в том числе и о его асимптотическом поведении. Важно отметить, что определение решения в смысле Н.В. Азбелева не противоречит другим известным подходам и, более того, включает их в себя, позволяя при этом явно указывать ограничения, которые накладываются на начальную функцию и начальные условия при использовании того или иного понимания решения.

В данной работе задача исследования устойчивости функционально-

дифференциальных уравнений нейтрального типа сводится к получению различных оценок на фундаментальное решение и функцию Коши. Сравнение полученных результатов с известными затруднялось тем, что авторы, принадлежащие к разным школам, использовали определения устойчивости, которые отличались не только формой, но и смыслом. Возникла необходимость привести различные определения в систему и установить взаимосвязь между ними.

Следует также отметить, что признаков устойчивости, выраженных в терминах исходной задачи, для уравнений нейтрального типа, в отличие от уравнений запаздывающего типа, известно совсем немного (см. [26,77,83], [62, с. 169]) и разработка методологии получения таких признаков также является актуальной задачей.

Цели и задачи исследования. Цель исследования — изучение асимптотических свойств решений линейного автономного дифференциального уравнения нейтрального типа.

Задачи исследования:

- установить связь между различными типами устойчивости (по Ляпунову, асимптотической, экспоненциальной) уравнений нейтрального типа и свойствами их характеристических функций;

- разработать методы получения новых признаков устойчивости, сформулированных в терминах параметров исходной задачи;

- продемонстрировать работу полученных результатов на примере уравнения

X(t) - aX(t - 1) = -bx(t) + cx(t - 1), (0.1)

дать максимально полное описание возможных способов асимптотического поведения решений уравнения (0.1) при всех значениях параметров (a, b, c) е R3.

Методология и методы исследования. Исследование опирается на базовые положения вещественного и комплексного анализа и ведётся методами теорий обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений. Привлекаются интегральные преобразования Лапласа и Фурье. Используются элементы теории линейных ограниченных операторов, действующих в функциональных пространствах.

Научная новизна. Все результаты, полученные автором диссертации, являются новыми. Достоверность результатов гарантируется строгостью доказательств, а также совпадением полученных результатов во всех исследованных ранее частных случаях с известными результатами.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости линейного автономного дифференциального уравнения нейтрального типа в терминах нулей характеристической функции уравнения и обратимости оператора при производной в пространствах р ^ 1.

2. Критерии обратимости оператора при производной в пространствах выраженные через параметры уравнения, в случае соизмеримых запаздываний и в случае запаздываний, линейно независимых относительно целых чисел.

3. Новые эффективные условия (как необходимые и достаточные, так и неулучшаемые достаточные) экспоненциальной устойчивости нескольких классов уравнений нейтрального типа.

4. Полное исследование асимптотического поведения решений уравнения (0.1) при всех возможных действительных значениях параметров а, Ь, с.

Теоретическая и практическая значимость результатов. Работа носит теоретический характер. В процессе целенаправленного изучения уравнений нейтрального типа удалось прояснить структуру области устойчивости этих уравнений и разработать новые методы получения эффективных признаков устойчивости. Полученные в работе результаты могут быть использованы в механике, экономике, биологии, технике, иммунологии и других областях знаний, при исследовании математических моделей, для описания которых требуются дифференциальные уравнения нейтрального типа.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на Пермском городском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (руководитель д.ф.-м.н., проф. В.П. Максимов, 2008-2019 гг.), на семинарах «Избранные вопросы математического

анализа» (руководитель д.ф.-м.н., проф. Г.В. Демиденко; декабрь 2016 г., декабрь 2018 г., октябрь 2019 г.) и «Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики» (руководитель д.ф.-м.н., проф. А.М. Блохин; октябрь 2019 г.) в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН, на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифференциальных уравнений Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители д.ф.-м.н., проф. И.В. Асташова, д.ф.-м.н., проф. А. В. Боровских, д.ф.-м.н., проф. Н.Х. Розов, д.ф.-м.н., проф. И.Н. Сергеев; октябрь 2019 г.), на Всероссийской конференции с международным участием «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2008, 2015 гг.), на Международной конференции «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения (ОПУ)» (Тамбов, 2011, 2013, 2015, 2018 гг.), на Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2012 г.), на V Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и математического моделирования (ПМТУММ)» (Воронеж, 2012 г.), на XVI Международной конференции «Моделирование и исследование устойчивости динамических систем (DSMSI)» (Киев, 2013 г.), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2013 г.), на Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ)» (Воронеж, 2014, 2016-2019 гг.), на III Международной конференции «Устойчивость и процессы управления» (Санкт-Петербург, 2015 г.), на VII Конференции по математическим моделям и численным методам в биологии и медицине (Москва, 2015 г.), на Международной школе-конференции «Соболевские чтения» (Новосибирск, 2016 и 2018 гг.), на Всероссийской конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и оптимальное управление» (Пермь, 2017 г.), на Международной конференции «Математика в современном мире» (Новосибирск, 2017 г.).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 37 работах, из которых 10 — статьи в изданиях, включённых в пере-

чень журналов, рекомендуемых ВАК, в т.ч. 4 статьи в журналах, входящих в базы цитирования Web of Science и Scopus. Во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит постановка задачи и общее руководство. Из работ, выполненных в соавторстве с Т.Л. Сабатулиной и К.М. Чудиновым, в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору диссертации.

Структура и основные результаты работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Общий объём диссертации составляет 141 страницу, включая 13 рисунков. Библиографический список содержит 110 наименований.

Во введении даётся краткий обзор литературы по вопросам, связанным с темой диссертации, показана актуальность темы исследования, излагается краткое содержание основных результатов работы.

В главе I даётся описание объекта исследования и ставится задача устойчивости. Получены интегральные представления решения исследуемого уравнения и его производной. Введены понятия фундаментального решения и функции Коши.

В § 1.1 описывается объект исследования — автономное функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа

(I - S)X(t) = (Tx)(t) + f (t), t e R+. (0.2)

Здесь и далее I — тождественный оператор, S = ajShj, fy(t - h), t - h ^ 0, Г

(Shy)(t)= y( ^ h , (Ty)(t)=/ (%)(t) dr(^), {0, t - h < 0, Jo

J e N, aj e R, hj, w e R+, функция r: [0,w] ^ R имеет ограниченную вариацию, r(0) = 0, интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса, функция f: R+ ^ R суммируема на каждом конечном отрезке.

В этих предположениях уравнение (0.2) с заданным начальным условием однозначно разрешимо в классе локально абсолютно непрерывных функций и его решение представимо в виде:

x(t) = X(t)x(0)+ i Y(t - s)f (s) ds. (0.3)

o

Функции X: ^ К и У: ^ К называются соответственно фундаментальным решением и функцией Коши уравнения (0.2).

Среди исследователей функционально-дифференциальных уравнений нет полного единства в постановке начальной задачи и в вопросе определения решения. Во многих работах начальная задача для уравнения (0.2) ставится в виде:

] 1> ш

х(г) -У^ а3х (г - Н3)= / х(г - в) ¿т(в) + /(г), г е

7=1 ^ (0.4)

^ х(£) = <Ж), х(£) = ф(£), £ е [-Т, 0),

где т = шах{^1,..., К,, ш}, а <р, ф — начальные функции, которыми решение и его производная доопределяются при отрицательных значениях аргументов. При такой постановке задачи начальные функции естественным образом включаются в определения устойчивости (см. определения 1.11.3).

Задачу (0.4) можно переписать в виде (0.2), при этом функции ^ и ф становятся частью внешнего возмущения /. Таким образом, уравнение (0.2) остаётся основным объектом исследования.

В последующих главах получены утверждения об оценках на функции X и У, а также об асимптотических свойствах решения уравнения (0.4) и его производной с учётом норм начальных функций.

В § 1.2 найдены формулы, связывающие функции X и У. Из формулы (0.3) видно, что функция X есть решение однородного уравнения (0.2), дополненного начальным условием х(0) = 1. Функция У однозначно определяется как решение любого из уравнений:

X (г) = (I - ^ )У (г), X(г) = 1 - (яу)(г),

где (яУ)(г) = /о У(г - в)г(в)

В § 1.2 также установлена формула для производной уравнения (0.2),

аналогичная формуле (0.3):

то ^

х(г) = X(г)х(0) + ^ [Бк/) (г) + / я(г - в)/(в) dв; (0.5)

к=о ^

здесь функция Z определена уравнением

(I - 5(£) = Х(£), £ е К+. (0.6)

Глава II посвящена условиям, при которых функции X, У, X и 2 имеют экспоненциальные оценки.

Следующее утверждение, установленное в § 2.1, показывает, что из экспоненциальных оценок на функции X, У, X и 2 определяющей является оценка на функцию Коши.

Теорема 0.1. Пусть функция Коши уравнения (0.2) имеет экспоненциальную оценку:

|У(£)| ^ N0е-70^ N0,7с > 0. (0.7)

Тогда существуют N, к = 1, 3, такие, что при всех £ е справедливы оценки:

a) |Х(£)| < ^е-^;

b) |Х(£)| ^ ^е-70*;

c) (£)| < ^е-^.

Следующая теорема связывает экспоненциальную устойчивость уравнения (0.4) с экспоненциальной оценкой на функцию Коши.

Обозначим п(£) = Е/=1 « (Яф) (£) + Г р) (£) ^), ( о (£) = | * - Л), £ - Л<о,

^ ; [0, £ - Н ^ 0.

Теорема 0.2. Уравнение (0.4) экспоненциально устойчиво при п е Ь1[0,г] тогда и только тогда, когда выполняется оценка (0.7).

Теорема 0.3. Пусть функция У имеет оценку (0.7), а п е £р[0,т]. Тогда найдутся такие N, 7 > 0, что для производной любого решения уравнения (0.4) справедливы оценки:

1. Если 1 < р < то, то |хх(^)|р1/Р < (|ж(0)| + ||п||Р), £ е К+.

2. Если р = то, то |±(£)| < (|ж(0)| + ||п||то), £ е К+.

Из пункта а) теоремы 0.1 не вытекает оценка (0.7) (см. пример 2.1). Эти утверждения становятся эквивалентными [82] при дополнительном предположении обратимости оператора I — Б в каком-нибудь из пространств Ър, р ^ 1. Результат работы [82] удалось уточнить, заменив требование обратимости оператора I — Б менее ограничительным (§ 2.2). Наиболее просто формулируется результат для уравнения, содержащего только кратные запаздывания:

' \ /м \

I — а3Б? ) Х(£) = ( ЬтБт I

3=1 ) \ш=0 )

_ , I / ,-т-т , ж(^), г е К+, (0.8)

3=1

где а?, Ьт е К.

Обозначим Рз(г) = ^^=1 а?г3, Рт(г) = ^М=0 Ьт%т, г е С.

Теорема 0.4. Пусть 5 (г) — наибольший общий делитель многочленов 1 — Рз(г) и Рт(г). Функция Коши и фундаментальное решение уравнения (0.8) одновременно имеют экспоненциальные оценки, если и только если все корни 5(г) лежат вне единичного круга {г е С: |г| ^ 1}.

В § 2.1 получена теорема, которая показывает, что задачу об экспоненциальной оценке на функцию Коши можно разбить на две: обратимость оператора I — Б и расположение на комплексной плоскости нулей характеристической функции.

Теорема 0.5. Функция Коши уравнения (0.2) имеет оценку (0.7) тогда и только тогда, когда оператор I — Б имеет в пространстве Ър обратный и все нули характеристической функции

д(р) = р ^ 1 — ^ азв—рН^ — ^ е—к ¿т(£), р е С,

лежат слева от мнимой оси.

В § 2.2 и § 2.3 рассматриваются два вида операторов Б, для которых удалось найти критерии обратимости операторов I — Б в терминах параметров уравнения (0.2).

В § 2.2 изучается случай рационально соизмеримых запаздываний.

Теорема 0.6. Пусть Н = ]Н, ] = 1, J, где Н > 0 — фиксированное вещественное число. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. Оператор / - Б имеет в пространстве Ьр обратный.

2. Для любого корня Л е С многочлена 1 - Р^ (г) оператор Л/ - имеет в пространстве Ьр обратный.

3. Все корни многочлена 1 - Р^(г) расположены вне единичного круга {г е С : |г| < 1}.

4. Разностное уравнение х(п) = «ж(п - ^), п е М, экспоненциально устойчиво.

В § 2.3 рассматривается случай, когда запаздывания {Н} =и линейно независимы относительно целых чисел (см. [68, с. 44]).

Теорема 0.7. Пусть числа {Н}=Г7 линейно независимы относительно множества целых чисел. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. Оператор / - Б имеет в пространстве Ьр обратный.

2. Все нули квазимногочлена 1 - Е/=1 е-рН, р е С, лежат слева от мнимой оси и отделены от неё.

3. Выполняется неравенство Е/=1 |а^ | < 1.

В главе III на основе результатов главы II получен ряд признаков экспоненциальной устойчивости, выраженных в терминах исходной задачи. Проверка условий теоремы 0.5 задаёт схему исследования, которая оказалась удобной для получения эффективных признаков устойчивости. Первое свойство (обратимость оператора / - Б) обсуждалось в § 2.2 и § 2.3. В § 3.1—§ 3.3 рассматривается расположение нулей характеристической функции на комплексной плоскости. Для решения этой задачи предложены три подхода: применение метода Р-разбиения, прямое обращение оператора при производной, сопоставление с уравнением запаздывающего типа.

В § 3.1 исследованы возможности метода Р-разбиения применительно к уравнению нейтрального типа. На основе этого метода получены необходимые и достаточные условия наличия экспоненциальной оценки функции Коши для двух уравнений относительно простого вида.

Сначала рассматривается уравнение (0.1), где a,b,c € R. В пространстве Ouvw зададим поверхность Г формулами u = cos 0 + v^np, w = — 0 sin 0 + v cos 0, причём 0 € (01,п) при v ^ 0, где 01 — наименьший положительный корень уравнения cos y + v= —1, и 0 € (0,02) при v € (—2,0), где 02 — наименьший положительный корень уравнения cos y + v^^ = 1. Вместе с плоскостями

P1 = {(u, v, w): w = v} , P2,3 = {(u, v, w): u = ±1} .

поверхность Г ограничивает в пространстве Ouvw область D (границы не принадлежат D). Область D изображена на рис. 3.2.

Теорема 0.8. Функция Коши уравнения (0.1) имеет оценку (0.7) тогда и только тогда, когда (a,b,c) € D.

Далее рассматривается уравнение

X(t) — a1x(t — 1) — a2x(t — 2) = bx(t — 1), t € R, (0.9)

где a1,a2,b € R.

Поверхности D-разбиения для уравнения (0.9) — это плоскость w = 0 и поверхность

{(u, v, w): u = (1 — v) cos 0, w = —(1 + v)0 sin0,0 € R; v € (—1,1)} ,

которая разбивает пространство Ouvw на бесконечное множество областей. Область, содержащую точки (0,0,w) при w € (0, |), обозначим через H (см.рис. 3.7).

Теорема 0.9. Функция Коши уравнения (0.9) имеет оценку (0.7) тогда и только тогда, когда (a1, a2, b) € H.

В § 3.2 получен легко проверяемый достаточный признак устойчивости, обобщающий признак М.Ю. Вагиной и М.М. Кипниса [42]. Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение

(i — ]Г ajS;A X(t)+( ]T bmSr„ \ x(t) = 0, t € R+, (0.10)

V j=1 ) \m=0 1

где J € N, M € N0, aj,h,bm,rm € R+.

Если оператор I — Б не только существует, но и допускает конструктивное описание, то, подействовав им на обе части уравнения (0.10), мы преобразуем его в уравнение запаздывающего типа, содержащее бесконечное множество запаздываний. Для преобразованного уравнения удалось найти условия, при которых нули характеристической функции лежат слева от мнимой оси.

Обозначим Р(г) = (1 — Р^(г))—11.

Теорема 0.10. Пусть выполнено любое утверждение теоремы 0.6 и

Тогда функция Коши уравнения (0.10) имеет оценку (0.7).

Отметим, что константа п/2 неулучшаема: при Б = 0 и М =1 теорема 0.10 становится критерием экспоненциальной устойчивости.

В § 3.3 предлагается способ получения эффективных признаков устойчивости уравнения нейтрального типа за счёт сопоставления его с уравнением запаздывающего типа.

Рассмотрим уравнение

где |а| < 1, Ьт € К. Поставим уравнению (0.11) в соответствие уравнение запаздывающего типа:

Теорема 0.11. Пусть Нт € [0,1]. Функция Коши уравнения (0.11) имеет экспоненциальную оценку тогда и только тогда, когда | а| < 1 и функция Коши уравнения (0.12) также имеет экспоненциальную оценку.

Используя теорему 0.11 и любой известный признак устойчивости уравнения (0.12), можно получать необходимые и достаточные условия устойчивости уравнения (0.11). Отметим некоторые из них.

(0.11)

г € к. (0.12)

Пусть D0 _ множество таких (u,v), что u > —1 и — v < u < ^n0^, где

_ 00 s

00 — наименьший положительный корень уравнения v = — в ctg в. Признак 0.1. Функция Коши уравнения (0.1) имеет оценку (0.7) тогда

ab—c ac—b . 1—a2 ' 1—a2

Рассмотрим уравнение

и только тогда, когда (fz—r, fz-¡2) G D0.

xX(t) -a±(t-1) = aH -s) ds+b (1-s)ax(t-s) ds, t G R, (0.13)

Jo Jo

где a > -1.

Признак 0.2. Пусть |a| < 1. Функция Коши уравнения (0.13) имеет оценку (0.7), если и только если |a| < 1 и 0 < < к'!, = --s ,ь -, где Z0 — наименьший положи-

l+a a (l+a) /„(l-C)-sin fádt' S0

тельный корень уравнения f0 (1 - £)a cos d£ = 0. Для уравнения

xX(t) - a±(t - 1) = bí x(t - s) ds, t G R, (0.14)

Jo

справедлив следующий

Признак 0.3. Функция Коши уравнения (0.14) имеет оценку (0.7), если и только если lal < 1 и — < < 0.

i i 2 l+а

Глава IV посвящена уравнению (0.1). Это уравнение возникает в прикладных задачах: в работе [95] с его помощью описывается динамика популяции клеток, в работе [107] — движение плоских упругих плит с учётом трения, в работе [102] — исследование дефектов с помощью ультразвука. Но не менее интересно оно с теоретической точки зрения, что подтверждается значительным количеством чисто теоретических исследований (см., например, [28,33,34,45,46,77,99,101,105]). Уравнение (0.1) являет собой удачный пример объекта, который достаточно прост для того, чтобы удалось получить эффективные признаки устойчивости, и в то же время достаточно сложен, чтобы в нём проявилось всё разнообразие асимптотических свойств решений.

i

i

В главе IV проведено полное исследование границ области экспоненциальной устойчивости О, заданной в координатном пространстве ОаЬс. Оказалось, что асимптотическое поведение решений уравнения (0.1) значительно сложнее и разнообразнее, чем решений уравнения запаздывающего типа. При переходе точки (а,Ь,с) через границы О уравнение (0.1) может терять экспоненциальную устойчивость всеми способами, свойственными уравнениям запаздывающего типа, а именно:

• за счёт появления стационарных решений (в этом случае характеристическая функция приобретает простой нулевой корень);

• за счёт появления пары периодических решений (характеристическая функция приобретает пару чисто мнимых сопряжённых корней);

• за счёт появления решений степенного роста, минуя стадию устойчивости по Ляпунову (характеристическая функция приобретает кратный нулевой корень).

Однако для уравнения (0.1) потеря экспоненциальной устойчивости может происходить иными способами, не имеющими аналогов для уравнений за-падывающего типа:

• за счёт появления асимптотической устойчивости, не совпадающей с экспоненциальной (у характеристической функции появляется последовательность нулей, приближающаяся к мнимой оси слева);

• за счёт появления бесконечного множества линейно независимых периодических решений (у характеристической функции появляется счётный набор простых чисто мнимых сопряжённых корней).

В заключении подводятся итоги исследования, перечисляются основные результаты диссертации и намечаются перспективы дальнейших исследований.

Глава I. Основные сведения об уравнениях нейтрального типа

§ 1.1. Задача устойчивости для линейных дифференциальных уравнений нейтрального типа

Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение нейтрального

типа

(I - 5)х(г) = (Тх)(г) + /(г), г е К+, (1.1)

в следующих предположениях и обозначениях:

у (г - н), г - н ^ о,

Л {у 0

Б = Е аз Я, (йу )(г) = <

7 = 1 I 0,

3 - 1 о, г - н< о,

(Ту)(г) = I (%)(г)<1т(0,

J о

J е М, а3- е К, Н3,ш е К+, функция г: [0,ш] ^ К имеет ограниченную вариацию, г(0) = 0, интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса, функция /: ^ К суммируема на каждом конечном отрезке. Оператор будем называть оператором сдвига, а 5 — оператором внутренней суперпозиции [1, с. 20].

Заметим, что при г < ш выполняется (Б^у) (г) = 0, если £ > г, и (Бу) (г) = у(0), если £ = г, то есть в точке £ = г функция (5у) (г) имеет «скачок» при у(0) = 0. У функции г возможен «скачок» в этой же точке, поэтому интеграл ^ (5^у) (г) ^(£) может не существовать. Кроме того, в последующих параграфах нам потребуется, чтобы оператор Т действовал в пространствах кусочно-непрерывных функций. Поэтому определим оператор Т на данном классе функций.

Как известно [75, с. 206, теорема 7], функцию г можно представить в виде функции «скачков» и непрерывной функции ограниченной вариации (обозначим её к). Тогда для любой кусочно-непрерывной функции у

справедливо представление

00

(Ту)(г) = ^ ст(яту)(г)+/ у(г - 5) ад, (1.2)

-го

т=1

где ст — некоторые вещественные числа, тт ^ 0, а ряд Ет=1 |ст | сходится.

Под решением уравнения (1.1) будем понимать абсолютно непрерывную на каждом конечном отрезке функцию х: ^ К, удовлетворяющую (1.1) почти всюду на К+. Как известно [1, с. 84, теорема 1.1], уравнение (1.1) с заданными начальными условиями однозначно разрешимо и его решение представимо в виде формулы Коши:

г

х(г) = X(г)х(0) + У С(г, в)/(5) ¿в, (1.3)

0

где X: ^ К называется фундаментальным решением, а С: А ^ К — функцией Коши уравнения (1.1). Удобно доопределить нулём фундаментальное решение на отрицательной полуоси, а функцию Коши вне множества А.

Функция X определяется как решение однородного уравнения вида (1.1)

(I - Б)х(г) = (Тх)(г), г е К+, (1.4)

дополненного начальным условием х(0) = 1.

Как показано в [1, с. 61], функция С при почти всех в ^ г однозначно определяется как решение следующего уравнения:

С (г,5) = 1 + ^ а с (г, в + н,) - с (г,^ - в) с (1.5) ¿=1 Л

причём С (г, в) = 0 при г < в.

Известно [2, с. 116], что для автономного дифференциального уравнения, разрешённого относительно производной, между его фундаментальным решением и функцией Коши существует простая зависимость:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Баландин Антон Сергеевич, 2020 год

Литература

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Пермск. ун-та, 2001. 230 с.

3. Андронов А.А., Майер А.Т. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 7. N0 2, 3. С. 95-106.

4. Баландин А.С. О достаточном признаке экспоненциальной устойчивости автономного уравнения нейтрального типа // Dynamical system modelling and stability investigation: XVI International Conference. Abstracts of conf. reports, Kiev, Ukraine, 2013. P. 68.

5. Баландин А.С. О достаточных признаках экспоненциальной устойчивости автономного уравнения с последействием // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2012. N0 1. С. 8-9.

6. Баландин А.С. О локальной устойчивости модели динамики популяции в условиях воздействия вредных веществ // Теория управления и математическое моделирование. Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова, Ижевск, Удм. гос. ун-т, 2015. С. 28-29.

7. Баландин А.С. О положительности фундаментального решения линейных автономных дифференциально-разностных уравнений с коэффициентами разных знаков // Сборник трудов VII Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории

управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014)», Воронеж, 2014. С. 22-25.

8. Баландин А.С. О разрешимости на оси некоторых классов дифференциально-разностных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. N0 5-2. С. 2449-2451.

9. Баландин А.С. О разрешимости на оси автономных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2015. Т. 20. N0 5. С. 1044-1050.

10. Баландин А.С. О разрешимости на отрицательной полуоси дифференциально-разностного уравнения второго порядка // Сборник трудов IX Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2016)», Воронеж, 2016. С.39-42.

11. Баландин А.С. О разрешимости на отрицательной полуоси одного автономного дифференциального уравнения с запаздыванием // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 132. С. 12-15. Англоязычная версия: Balandin A.S. On the solvability on the negative semi-axis of an autonomous differential equation with delay // Journal of Mathematical Sciences. Vol.230. N0 5, May, 2018. P. 656-659.

12. Баландин А.С. О разрешимости некоторых функциональных уравнений // Сборник трудов XI Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2018)», Воронеж, 2018. С. 60-63.

13. Баландин А.С. О разрешимости одного функционального уравнения // Тезисы докладов международной конференции «Динамические системы в науке и технологиях» (DSST-2018), Алушта, 2018. С. 13-15.

14. Баландин А.С. О сверхкритическом случае для одного уравнения нейтрального типа // Сборник трудов V Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2012)», Воронеж, 2012. С. 2224.

15. Баландин А.С. О связи между фундаментальным решением и функцией Коши для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа // Прикладная математика и вопросы управления. 2018. № 1. С. 13-25.

16. Баландин А.С. О связи фундаментального решения и функции Ко-ши линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. N0 2. С. 12-13.

17. Баландин А.С. О структуре решений одного класса функционально-дифференциальных уравнений // Сборник трудов VIII Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2015)». Воронеж, 2015. С. 45-47.

18. Баландин А.С. On solvability of linear differential-difference equations on the real axis // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений. Международная конференция, Новосибирск. 2013. C.315.

19. Баландин А.С. Об абсолютной устойчивости автономного линейного дифференциального уравнения с запаздыванием // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2011. Т. 16. N0 4. С. 1027-1029.

20. Баландин А.С. Об асимптотической устойчивости одного класса дифференциально-разностных уравнений // Вестник ПГТУ, 2009. N0 1. С. 122-129.

21. Баландин А.С. Об асимптотическом поведении фундаментального решения и функции Коши дифференциальных уравнений нейтрального типа // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2018. Т. 23. N0 122. С. 187-199.

22. Баландин А.С. Об однозначной разрешимости задачи Коши для одного сингулярного функционально-дифференциального уравнения // Устойчивость и процессы управления. Материалы III международной конференции, Санкт-Петербург, СПбГУ, 2015. С. 23-24.

23. Баландин А.С. Об ограниченной обратимости одного разностного оператора // Вычислительная механика, 2007. N0 6. С. 3-7.

24. Баландин А.С. Об устойчивости автономных дифференциальных уравнений с последействием // Материалы международной конференции «Математика в современном мире», Новосибирск, 2017. С. 192.

25. Баландин А.С. Об устойчивости автономных дифференциальных уравнений с последействием нейтрального типа // Соболевские чтения, ИПЦ НГУ, Новосибирск, 2018. С. 59.

26. Баландин А.С. Об устойчивости дифференциальных уравнений нейтрального типа // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2005. Вып.2(2). С. 11-17.

27. Баландин А.С. Об устойчивости некоторых автономных дифференциаль-ных уравнений нейтрального типа // Сборник трудов XII Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2019)», Воронеж, 2019. С. 59-63.

28. Баландин А.С. Об устойчивости одного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной // Сборник трудов X Международной конференции «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2017)», Воронеж, 2017. С. 68-71.

29. Баландин А.С. Об устойчивости по правой части одного дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа // Вычислительная механика, 2008. N0 7. С. 11-23.

30. Баландин А.С. Об экспоненциальной устойчивости нейтральных дифференциально-разностных уравнений // Соболевские чтения, ИПЦ НГУ, Новосибирск, 2016. С. 70.

31. Баландин А.С., Малыгина В.В. О разрешимости одного класса разностных уравнений // Вестник ПГТУ. 2006. N0 4. С. 67-72.

32. Баландин А.С., Малыгина В.В. Об оценке решения одного класса разностных уравнений // Вестник ПГТУ. 2006. N0 2. С. 3-8.

33. Баландин А.С, Малыгина В.В. Об устойчивости вместе с производной одного класса дифференциальных уравнений нейтрального типа // Прикладная математика и вопросы управления, 2019. N0 1. С. 22-50.

34. Баландин А.С., Малыгина В.В. Об экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа // Известия высших учебных заведений. Математика. 2007. N0 7. С. 17-27.

35. Баландин А.С., Сабатулина Т.Л. Локальная устойчивость одной модели динамики популяции в условиях воздействия вредных веществ // Сибирские электронные математические известия. 2015. V. 12. С. 610624.

36. Баландин А.С., Сабатулина Т.Л. О линейной связности областей устойчивости дифференциальных уравнений с последействием // Функционально-дифференциальные уравнения: теория и приложения. Материалы конференции, посвященной 95-летию со дня рождения профессора Н.В. Азбелева (Пермь, 17-19 мая 2017 г.), 2018. C. 29-38.

37. Баландин А.С., Сабатулина Т.Л. Разрешимость автономного дифференциального уравнения с ограниченным последействием на отрицательной полуоси // Известия вузов. Математика. 2017. N0 10. С. 26-37.

38. Баландин А.С., Сабатулина Т.Л. Разрешимость неоднородного автономного дифференциального уравнения с последействием на отрицательной полуоси // Известия вузов. Математика. 2019. N0 3. С. 3-18.

39. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

40. Вагина М.Ю. Логистическая модель с запаздывающим усреднением // Автоматика и телемеханика. 2003. N0 4. С. 167-173.

41. Вагина М.Ю. Локальная устойчивость некоторых видов логистического уравнения динамики популяции с запаздываниями: Дис. ... канд. физ.-мат. наук, Челябинск, 2004. 97 с.

42. Вагина М.Ю., Кипнис М.М. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями // Мат. заметки. 2003. Т. 74. N0 5. С. 786-789.

43. Власов В.В. Об оценках решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Матем. 2004. N0 6. С. 21-29.

44. Власов В.В. Спектральные задачи, возникающие в теории дифференциальных уравнений с запаздыванием // Совр. Математика. Фунд-е напр. 2003. Т. 1. С. 69-83.

45. Громова П.С. Устойчивость решений нелинейных уравнений нейтрального типа в асимптотически критическом случае // Мат.заметки. 1967. Т.1. Вып. 6. С. 715-726.

46. Громова П.С., Зверкин A.M. О тригонометрических рядах, суммой которых является непрерывная и неограниченная на числовой оси функция-решение уравнения с отклоняюпщмся аргументом // Диф-ференц. уравнения. 1968. Т. 4. N0 10. С. 1774-1784.

47. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М: Наука, 1967. 472 с.

48. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем / перевод З.Н. Кравец, под ред. Я.З. Цыпкина. М.: Наука, 1979. 300 с.

49. Зверкин А.М. Исследование линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Научн. докл. высшей школы. Физ.-матем. науки. 1959. № 1. С. 30-37.

50. Зверкин А.М. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями, соизмеримыми с периодом коэффициентов // Диф-ференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 9. С. 1481-1492.

51. Зверкин А.М. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1959. Т. 128. № 5. С. 882-885.

52. Зверкин А.М. О полноте системы решений типа Флоке для уравнения с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1968. Т.4. №3. С. 474-478.

53. Зверкин А.М. Об определении понятия решения для уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1967. Т. 4. С. 278-283.

54. Зверкин А.М. Об эквивалентности различных классов начальных условий для уравнений с отклоняющимся аргументом // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 1. С. 63-68.

55. Зверкин А.М. Теоремы существования и единственности для уравнения с отклоняющимся аргументом в критическом случае // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 1. С. 37-46.

56. Зверкин А.М., Каменский Г.А., Норкин С.Б., Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1963. Т. 2. С. 3-49.

57. Зубов В.И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Матем. 1958. № 6. С. 86-95.

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

Зубов В.И. Построение управлений по измерениям с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1972. T.8. N0 6. С. 1101-1102.

Кандаков А.А., Чудинов К.М. Эффективные критерии экспоненциальной устойчивости автономных разностных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2018. Т. 23. N0 123. С. 402-414.

Кипнис М.М., Нигматулин Р.М. Устойчивость трёхчленных линейных разностных уравнений с двумя запаздываниями // Автоматика и телемеханика. 2004. N0 11. С. 25-39.

Колесов Ю.С., Швитра Д.И. Автоколебания в системах с запаздыванием. Вильнюс: Мокслас, 1979. 148 с.

Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. 168 с.

Курош А.Г. Курс высшей алгебры. СПб.: Издательство «Лань», 2003. 432 с.

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 205 с.

Малыгина В.В. Признаки абсолютной устойчивости дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием // Прикладная математика и вопросы управления. 2018. N0 4. С. 53-69.

70. Малыгина В.В. Структура областей устойчивости дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Динамические системы в науке и технологиях (DSST-2018). Тез. докл. Симферополь: ИП Корниенко А.А., 2018. С. 17-18.

71. Малыгина В.В., Баландин А.С. О разрешимости на оси автономных дифференциальных уравнений с последействием // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2016. Вып.2(33). С. 7-13.

72. Мулюков М.В. Структура областей D-разбиения для двупараметри-ческих характеристических уравнений систем с запаздыванием // Функционально-дифференциальные уравнения: теория и приложения. Материалы конференции, посвященной 95-летию со дня рождения профессора Н.В. Азбелева (Пермь, 17-19 мая 2017 г.), 2018. C.180-200.

73. Мулюков М.В. Устойчивость систем линейных автономных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием: Дис. ... канд. физ.-мат. наук, Пермь, 2017. 150 с.

74. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. 256 с.

75. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. 480 с.

76. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем (дискретных и распределённых). Л.: ЛКВВИА, 1949. 140 с.

77. Ожиганова И.А. Определение области асимптотической устойчивости для дифференциального уравнения первого порядка с отклоняющимся аргументом // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. 1. С. 52-62.

78. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961. 248 с.

79. Постников. М.М. Устойчивые многочлены. М.: Эдиториал УРСС, 1981. 176 с.

80. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. М.: Наука, 1983. 360 с.

81. Сабатулина Т.Л., Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости линейного автономного дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2007. № 6. С. 55-63.

82. Симонов П.М., Чистяков А.В. Об экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных систем // Изв. вузов. Математика. 1997. № 6. С. 37-49.

83. Соколов В.А. Матрица Коши и устойчивость линейных функционально-дифференциальных уравнений: Дис. ... канд. физ.-мат. наук, Пермь, 1986. 127 с.

84. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 424 с.

85. Чистяков А.В. К вопросу о множестве корней квазиполинома с несоизмеримыми показателями // Краевые задачи: межвуз. сб. науч. тр. Перм. политехн. ин-т., Пермь. 1986. С. 32-35.

86. Шиманов С.Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием // Прикладн. математика и механика. 1959. Т. 23. Вып. 5. С. 836-844.

87. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // При-кладн. математика и механика. 1963. Т. 27. Вып. 3. С. 450-458.

88. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. № 1. С. 102-116.

89. Шиманов С.Н. О неустойчивости движения системы с запаздыванием по времени // Прикладн. математика и механика. 1960. Т. 24. Вып. 1. С.55-63.

90. Шиманов С.Н. Об устойчивости в критическом случае одного нулевого корня для систем с последействием // Прикладн. математика и механика. 1960. Т. 24. Вып.3. C. 447-457.

91. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

92. Agarwal R. P., Berezansky L., Braverman E., Domoshnitsky A. Nonoscillation theory of functional differential equations with applications. New York: Springer-Verlag, 2012. 520 p.

93. Balandin A.S., Chudinov K.M. On the asymptotic behavior of linear autonomous functional differential equations of neutral type // Functional differential equations. 2008. V. 15. N0 1-2. P. 5-15.

94. Cohn A. Über die Anzahl der Wurzein einer algebraischen Gleichung in einem Kreise // Math. Zeit. 1922. Bd. 14. S. 111-148.

95. Diekmann O., Getto P., Nakata Y. On the characteristic equation Л = a\ + (a2 + X)e-x and its use in the context of a cell population model // J. Math. Biol. 2016. V. 72. P. 877-908.

96. Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. New York: Springer, 2005. 539 p.

97. Frisch R., Holme H. The characteristic solutions of a mixed difference and differential equation occuring in economic dynamics // Econometrica. 1935. V.3. P. 225-239.

98. Hahn W. Bericht über Differential-Differenzengleichungen mit festen und veränderlichen Spannen // Jahresbericht der Deutschen MathematikerVereinigung. 1954. Bd. 57. N0 2. S. 55-84.

99. Hahn W. Zur Stabilitat der Losungen von linearen DifferentialDifferenzengleichungen mit konstanten Koeflizienten // Math. Annalen. 1956. Bd. 131. S. 151-166.

100. Hutchinson G.E. Circular causal in ecology // Ann. N. Y. Acad. Sci. 1948. V. 50. P. 221-246.

101. Junca S., Lombard B. Stability of a critical nonlinear neutral delay differential equation //J. Differential Equations. 2014. V. 256. Issue 7. P. 2368-2391.

102. Junca S., Lombard B. Interaction between periodic elastic waves and two contact nonlinearities // Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, World Scientific Publishing, 2012, 22 (4), pp.1.

103. Jury E.Y. Theory and Application of z-Transform Method. New York: Krieger Pub. Co., 1973. 330 p.

104. Kipnis M.M., Malygina V. V. The stability cone for a matrix delay difference equation // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2011. Article ID 860326. 15 p.

105. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of functional differential equations. Academic Press, inc., 1986. 232 p.

106. Nicholson A. An outline of the dynamics of animal populations // Austral. J. Zool. 1954. N0 2. P. 9-65.

107. Putelat T., Willis J.R., Dawes J.H.P. Wave-modulated orbits in rate-and-state friction // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2012. V. 47. P. 258-267.

108. Schur I. Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitkreises beschrankt sind // J. Reine Angew. Math. 1918. Bd. 148. S. 122-145.

109. Volterra V. Sur la theorie Mathematique des phenomenes hereditaires // J. Math. Pures Appl. 1928. N0 7. P. 249-298.

110. Wrigth E.M. A nonlinear difference-differential equation // J. Reine und angew. Math. 1955. Bd. 194. S. 66-87.