Конструктивные методы анализа экспоненциальной устойчивости линейных систем запаздывающего типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Медведева, Ирина Васильевна

• Медведева, Ирина Васильевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Медведева, Ирина Васильевна

Оглавление

Обозначения и сокращения

Введение

1 Устойчивость линейных систем с запаздыванием

1.1 Общие сведения

1.2 Метод функционалов Ляпунова - Красовского

1.2.1 Функционал -и0

1.2.2 Матрица Ляпунова

1.2.3 Функционал полного типа

1.3 Метод Разумихина

2 Синтез подходов Ляпунова — Красовского и Разумихина

2.1 Вспомогательные утверждения

2.2 Теоремы об экспоненциальной устойчивости

2.3 Теоремы о неустойчивости

2.4 Модификация множества 5

2.5 Теоремы с функционалом полного типа

3 Конструктивные методы анализа устойчивости. Скалярное уравнение с одним запаздыванием

3.1 Кусочно-линейнос приближение

3.2 Кусочно-кубическое приближение

3.3 Анализ неустойчивости

3.4 Применение функционала полного типа

3.4.1 Кусочно-линейное приближение

3.4.2 Кусочно-кубичсское приближение

3.5 Примеры

4 Конструктивные методы анализа устойчивости. Общий случай

4.1 Описание методов

4.1.1 Кусочно-линейное приближение

4.1.2 Кусочно-кубическое приближение

4.1.3 Анализ неустойчивости

4.1.4 Применение функционала полного типа

4.2 Сходимость методов

4.3 Примеры

4.4 Метод нахождения запаса устойчивости

5 Анализ устойчивости систем с несоизмеримыми запаздываниями

5.1 Модификация функционала

5.2 Модификация методов анализа устойчивости

Заключение

Литература

Приложение А. Формулы методов для систем с кратными запаздываниями. 141 Приложение Б. Вычисление матрицы Ляпунова и программная реализация

алгоритмов в МАТЬАВ

Приложение В. Доказательство леммы 5.2

Обозначения и сокращения

N, Z, К, С — множества натуральных, целых, вещественных и комплексных чисел соответственно;

Nn, Zn, Rn, Сп — множества векторов размерности п с натуральными, целыми, вещественными и комплексными компонентами соответственно;

ЩпХп — множество матриц размерности п х п с вещественными компонентами;

г — мнимая единица, г2 = —1;

Rc Л — вещественная часть комплексного числа Л;

Оkxi — нулевая матрица размерности к х Z;

Е — единичная матрица;

QT — матрица, транспонированная к матрице Q\

det(Q) — определитель матрицы Q]

Amjn(Q) — наименьшее собственное число матрицы Q;

||ж|| — евклидова норма вектора х € Rn, ||д;|| = * Y2 xi-> ГДС х = (^'ь • • ■ > xn)T'i

У г=1

HQII — индуцированная норма матрицы Q, ||Q|| = max ||Q:r||;

llxll=i

С([—h, 0], Rn) — пространство непрерывных функций (р: [— /г, 0]—>Rn;

РС[[—/г, 0],Rn) — пространство кусочно-непрерывных функций <р: [—/г, 0] —>Rn;

Ск{\—/г, 0],Rn) — пространство к раз непрерывно дифференцируемых функций <р: [—h, 0] Rn;

H^IU — равномерная норма, заданная в пространстве кусочно-непрерывных

функций, |М|Л= sup ||<р(0)||;

0е[-л, о]

Oh — нулевая вектор-функция, 0^(0) = 0„xi, 0 6 [—/¿,0]; xt — сегмент функции r(t), xt: 0—>x(t-\-0), 0 G [—/?,0];

<p'(9), (р"(в), <¿>'"(0), ф1У{0), — первая, вторая, третья, четвертая и ¿-я

производные функции <р(9)]

x(t), x(t) — первая и вторая производные функции x(t);

1 = к, I — то же, что 1 — к, к + 1,..., I, здесь к, 1 е Z, к I; i

— 0, если £ < fc; Q = ~ матрица размерности к x к]

L = {Ьч}г3=Yk ~ блочная матрица размерности пк х пк, состоящая из блоков Ьг] размерности п х щ

lim hдг, lim hjv — нижний и верхний пределы последовательности {/?jv}; N-t+oo N->+00

для векторов N = (iVi,..., Nk)T и L = (Li,..., применяются обозначения:

N +оо — то же, что N3 —> +оо, j — 1, к\ N ^ L — то же, что Nj ^ L3, j — 1, к.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Конструктивные методы анализа экспоненциальной устойчивости линейных систем запаздывающего типа»

Введение

Системы с запаздыванием естественно возникают при построении математических моделей в технике, биологии, химии, медицине, экономике, экологии и других областях знания: для получения адекватной модели часто необходимо учитывать тот факт, что скорость процесса зависит не только от текущего, но и от прошлых состояний системы. Запаздыванием может быть время протекания химической реакции или время, необходимое для обработки информации, в частности, время вычислений. Оно появляется всегда, когда различные части системы взаимодействуют между собой не мгновенно.

В системах автоматического регулирования запаздывание неизбежно возникает в канале обратной связи. Иногда его намеренно вводят в управление с целью стабилизировать систему или создать более простой с точки зрения конструирования регулятор. Так или иначе, появляется задача анализа устойчивости замкнутой системы — системы с запаздыванием.

Множество интересных моделей, описываемых уравнениями с запаздыванием, может быть найдено в монографиях [12,62,64,68,72,79] и в обзоре [78]. В них рассматриваются самые разные приложения — от задач синхронизации движений, дистанционного управления или управления перегрузками сетей передачи данных до задач описания функционирования дыхательной системы человека или динамики популяций раковых и антираковых клеток в организме больного в период после трансплантации клеток. Моделям в экономике посвящена монография [30]. Среди практических работ, в том числе связанных с решением задачи стабилизации и построением программных управлений, отметим [2,3,9,13-16,36,37,39,41,59,73,76,80]. При этом во многих интересных приложениях адекватными моделями являются линейные системы с постоянными запаздываниями, либо системы, допускающие линеаризацию.

Анализу устойчивости линейных стационарных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа и посвящена настоящая работа. При этом под

устойчивостью понимается экспоненциальная устойчивость — убывание всех решений системы по экспоненциальному закону с возрастанием времени.

Интенсивное развитие теории систем с запаздыванием началось в середине XX века и продолжается до сих пор. Общим вопросам, связанным с такими системами, и, в частности, теории устойчивости посвящены классические монографии Н. Н. Красовского [18] (главы 6,7), Э. Пинни [29], А. Д. Мышкиса [27], Р. Беллмана и К. Л. Кука [1], Л. Э. Эльсгольца и С. Б. Норкина [35], Дж. Хейла [33], В. И. Зубова [10,12]. Интересны также книги [8,48,62,64,68,72,79] — в них наряду с разработкой теоретических методов рассматривается широкий круг практических задач. Стоит отметить обзоры [34,46,54,55,77,78]. Среди огромного количества статей, опубликованных за последние годы, назовем [42-44,47,50,52,63,69,70,74,75,81].

Еще А. М. Ляпуновым в его докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» [21], впервые изданной в 1892 году, были разработаны два основных подхода к анализу устойчивости — применительно к системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти подходы являются основными до сих пор и известны как первый и второй (прямой) методы Ляпунова. Обобщения этих подходов применяются к анализу устойчивости систем с запаздыванием.

Для линейных стационарных систем с запаздыванием первый метод Ляпунова основан на анализе расположения нулей специальной функции, называемой характеристическим квазиполиномом, на комплексной плоскости. Отрицательность вещественных частей всех ее нулей является необходимым и достаточным условием экспоненциальной устойчивости системы [1, И]. Обзор методов, позволяющих проверить этот критерий на практике, представлен в монографиях [1,48,68,72].

Более подробно остановимся на втором методе Ляпунова. Для системы вида х = Ах, где х £ К", А — постоянная матрица, известен следующий критерий: система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существует функция Ляпунова — положительно-определенная квадратичная форма, производная которой вдоль решений системы представляет собой отрицательно-определенную

квадратичную форму. Существует ли аналог такого критерия для систем с запаздыванием?

Практически одновременно, в 1956 году, появились работы Н. Н. Красов-ского [19] и B.C. Разумихина [31], посвященные двум различным эффективным обобщениям второго метода Ляпунова на системы с запаздыванием. В статье [19] в качестве аналога функций Ляпунова предложены функционалы, позже названные функционалами Ляпунова - Красовского. Их аргументом является состояние системы с запаздыванием — сегмент ее решения на отрезке, равном по длине наибольшему запаздыванию. В работе [31] модифицирован метод функций Ляпунова: оказывается, можно исследовать отрицательную определенность производной функции Ляпунова на множестве функций, удовлетворяющих специальному ограничению — условию Разумихина — вместо множества решений системы. Таким образом получаются эффективные достаточные условия устойчивости. Отметим, что оба подхода применимы не только к линейным системам.

А для линейных стационарных систем с запаздыванием метод функционалов Ляпунова - Красовского дает аналог классического критерия Ляпунова. Его достаточность доказана в работе [19] и известна как теорема Красовского: вывод об экспоненциальной устойчивости системы может быть сделан при наличии положительно-определенного (и допускающего соответствующую оценку сверху) функционала, производная которого вдоль решений системы представляет собой отрицательно-определенный функционал. Чтобы доказать необходимость критерия, т. е. обратить теорему Красовского, нужно найти функционал, удовлетворяющий, в случае экспоненциальной устойчивости системы, перечисленным условиям. При этом, если для линейных стационарных систем без запаздывания известна структура функции Ляпунова — квадратичная форма, то, когда ставится вопрос о поиске функционала, мы сталкиваемся с большим произволом в выборе структуры. Возможный вариант структуры — квадратичный — был предложен H.H. Красовским в работе [20].

Итак, как найти функционал, удовлетворяющий теореме Красовского?

Можно взять некоторый функционал достаточно общей структуры, заведомо положительно-определенный, затем продифференцировать его вдоль решений системы и исследовать отрицательную определенность полученной производной. Во многих случаях такой подход приводит к решению линейных матричных неравенств (LMI) [38]. Интересные результаты в этом направлении получены в работах [44,46,47], см. также книги [48,72]. Недостаток такого подхода состоит в том, что в нем используется функционал, изначально никак не связанный с системой. Как «угадать», какой функционал выбрать, чтобы его производная вдоль решений действительно оказалась отрицательно-определенной?

Другой подход к обращению теоремы Красовского заключается в построении функционала по заданной отрицательно-определенной производной вдоль решений системы. В этом случае главной проблемой является проверка положительной определенности функционала, а также построение для него квадратичной оценки снизу. Вместе с тем, поскольку функционал здесь связан с системой по построению, он может быть полезен при анализе многих свойств системы. В результате применения такого подхода сформировалась теория функционалов с заданной производной. Фундаментальный вклад в развитие этой теории внесли работы [20,32,40,49,51,61,63].

В первых статьях [20,32] разрабатывается структура функционалов с заданной производной. В работе Ю. М. Репина [32] искомый функционал и его производная выбираются в виде функционалов достаточно общего вида, зависящих от неопределенных матричных коэффициентов. Затем первый функционал дифференцируется вдоль решений системы и приравнивается ко второму — получается довольно сложная система уравнений, связывающих неизвестные матрицы функционалов. Существует ли решение полученной системы, является ли искомый функционал положительно-определенным — эти вопросы пока остаются открытыми. Тем не менее, идеология теории во многом сформирована в работе Ю. М. Репина. Подход также развивается в статье R. Datko [40].

В работе Е. F. Infante и W. В. Castellan [51] структура функционала, рас-

смотренного в статье [32], уточняется. Оказывается, что функционал с заданной производной определяется только одной функциональной матрицей, удовлетворяющей некоторой системе, состоящей из дифференциально-разностного уравнения, алгебраического соотношения и условия симметрии. Фактически, в этой работе речь идет о прототипе функционала полного типа, введенного позже в статье [61].

Следующим важным шагом в развитии теории является работа W. Huang [49]. В ней, в виде естественной аналогии со случаем без запаздывания, производная функционала выбирается как отрицательно-определенная квадратичная форма лишь текущего состояния системы. Функционал, имеющий такую производную, построен. Он определяется функциональной матрицей, названной позже матрицей Ляпунова. В работе указаны условия существования функционала. Более того, в случае экспоненциальной устойчивости системы для него получена положительно-определенная оценка снизу. Проблема состоит в том, что эта оценка оказалась лишь кубической и, кроме того, локальной, а эффективное применение в приложениях предполагает наличие квадратичной оценки снизу. Таким образом, статья [49] ставит следующие вопросы: как конструктивно проверить положительную определенность функционала? Как получить функционал, допускающий квадратичную оценку снизу?

Первый из этих вопросов пока остается открытым. Ответ на второй из них дает фундаментальная работа В. Л. Харитонова и А. П. Жабко [61]. В ней теория функционалов с заданной производной формируется в том виде, в котором она известна сегодня. Функциональная матрица, определяющая функционал, построенный в [49], названа матрицей Ляпунова. В производную функционала введены дополнительные слагаемые, близкие к тем, что уже рассматривались в статье [51]. В результате в явной форме получен функционал, допускающий квадратичную оценку снизу в случае экспоненциальной устойчивости системы. Этот функционал назван авторами функционалом полного типа. Он удовлетворяет теореме Красовского, а значит, обращает ее: теорема Красовского становится критери-

и

см экспоненциальной устойчивости. Кроме того, уже в работе [61] показано, что функционал полного типа может быть эффективно использован для анализа ро-бастной устойчивости, т. е. для анализа устойчивости систем, матрицы которых содержат неопределенные параметры.

С работы [61] начинается эффективное использование функционалов полного типа в приложениях. В статье [58] они применяются к анализу устойчивости при наличии возмущений в запаздываниях системы; при этом возмущения могут зависеть от времени. В работе [57] с помощью функционалов полного типа строятся экспоненциальные оценки решений. Интересно применение функционалов к нахождению критических запаздываний, т. е. таких запаздываний, при которых система теряет или приобретает свойство устойчивости [63,74], а также к вычислению "Нг-нормы передаточной матрицы управляемой системы [52]. Наиболее полный обзор современного состояния теории, а также приложений функционалов может быть найден в монографии [56]. Кроме того, могут быть полезными различные модификации функционалов полного типа, например, полученные введением в производную дополнительных перекрестных членов [70].

Ключевым элементом, определяющим функционалы с заданной производной, является матрица Ляпунова. Условие ее существования получено еще в работе [49], а вопрос единственности исследован в статьях [60] и [53]. В первой из них единственность доказана в случае экспоненциальной устойчивости системы, а во второй получено необходимое и достаточное условие единственности, совпавшее с известным ранее условием существования.

Остановимся на вычислении матрицы Ляпунова. По определению эта матрица является решением специальной системы уравнений, в которую входят дифференциально-разностное уравнение, некоторое условие симметрии и граничное условие; это решение существует и единственно. Однако алгоритм построения матрицы Ляпунова известен только в частном случае — для систем с кратными запаздываниями [45]. В нем задача сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Для общего случая —

когда запаздывания в системе несоизмеримы — в работах [45] и [56] даны методы построения приближений матрицы Ляпунова. Проблема состоит в том, что эти методы располагают лишь качественной мерой оценки близости приближений к истинной матрице и не дают возможность точно оценить погрешность построенных приближений. Вопросы, связанные с вычислением матрицы Ляпунова, обсуждаются также в статьях [50,52]. Отметим, что эта матрица позволяет исследовать устойчивость напрямую: в недавних работах [4,42,43,69] исключительно в терминах матрицы Ляпунова получены необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости систем рассматриваемого класса.

Суммируем вышеизложенное. Известны способы построения положительно-определенных функционалов с заданной отрицательно-определенной производной, которые, согласно теореме Красовского, пригодны для анализа устойчивости. Один из таких функционалов — функционал полного типа — допускает квадратичную оценку снизу в случае экспоненциальной устойчивости системы, благодаря чему он эффективен в приложениях. Проблема состоит в отсутствии конструктивных способов проверки положительной определенности функционалов с заданной производной (причем даже функционалов полного типа) и, как следствие, в отсутствии конструктивных условий устойчивости, основанных на таких функционалах. Этой проблемой и мотивировано настоящее исследование.

Таким образом, целыо диссертационного исследования является разработка конструктивных методов анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа. Предлагаемый системный подход основан на комбинации метода функционалов Ляпунова - Красовского с идеей метода Разумихина: квадратичные оценки для функционалов с заданной производной строятся на множестве функций, удовлетворяющих специальному условию, аналогичному условию Разумихина. В терминах существования таких оценок получены критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости. Разработанные методы реализованы в программной среде МАТЬАВ и применяются к оценке областей

экспоненциальной устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров, а также к оценке критических параметров систем.

Диссертационная работа состоит из пяти глав и трех приложений. Первая глава носит вспомогательный характер — в ней описаны известные методы анализа экспоненциальной устойчивости линейных стационарных систем с запаздыванием. В параграфе 1.1 вводятся основные понятия для таких систем, параграфы 1.2 и 1.3 посвящены двум известным обобщениям второго метода Ляпунова на системы с запаздыванием — методам Ляпунова - Красовского и Разумихина.

Вторая глава содержит основные теоретические результаты диссертации. В ней, после доказательства вспомогательных утверждений в параграфе 2.1, получены новые необходимые и достаточные условия экспоненциальной устойчивости (в параграфе 2.2) и неустойчивости (в параграфе 2.3) систем рассматриваемого класса, выраженные в терминах существования для функционалов Ляпунова- Красовского квадратичных оценок на множестве функций, удовлетворяющих аналогу условия Разумихина. В параграфе 2.4 введена модификация указанного множества функций, необходимая для дальнейшего применения полученных условий на практике. Наконец, в параграфе 2.5 доказанные условия экспоненциальной устойчивости и неустойчивости обобщаются на случай использования функционалов полного типа.

В третьей главе, применительно к скалярному уравнению с одним запаздыванием, описана группа конструктивных методов анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости, основанных на доказанных в главе 2 утверждениях. В параграфах 3.1 и 3.2 предложены различные модификации методов, которые опираются соответственно на кусочно-линейную и кусочно-кубическую аппроксимацию функций из множеств, введенных в параграфе 2.4, доказаны конструктивные достаточные условия экспоненциальной устойчивости. В параграфе 3.3 оба метода применяются к анализу неустойчивости, а в параграфе 3.4 показано, что они могут быть использованы с функционалами полного типа. В параграфе 3.5 все алгоритмы применяются к оценке областей экспоненциальной

устойчивости или неустойчивости уравнения в пространстве параметров.

Далее, в параграфе 4.1 четвертой главы методы анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости, описанные в главе 3, обобщаются на случай линейной стационарной системы с несколькими запаздываниями. Параграф 4.2 посвящен вопросу сходимости методов, при этом под сходимостью понимается стремление границ областей устойчивости (в пространстве параметров), получаемых каждым из методов, к границам точных областей устойчивости при стремлении к бесконечности параметров метода. Сходимость строго сформулирована в терминах критических запаздываний системы и доказана. В параграфе 4.3 на примерах, в том числе в задаче управления, иллюстрируется применение методов к оценке областей экспоненциальной устойчивости в пространстве параметров. Наконец, параграф 4.4 предлагает метод оценки запаса устойчивости экспоненциально устойчивых систем, использующий идеи главы 2 и не опирающийся на применение функционалов полного типа. Этот метод основан на построении интегральной оценки для производной используемого функционала.

Пятая глава посвящена анализу устойчивости систем с несоизмеримыми запаздываниями. В этом случае попытка непосредственно применить результаты глав 3 и 4 сталкивается с проблемой вычисления матрицы Ляпунова. Чтобы обойти возникающую проблему, в параграфе 5.1 вводится модификация функционала, основанная на замене в нем матрицы Ляпунова соответствующей матрицей, построенной по вспомогательной системе с соизмеримыми запаздываниями. В параграфе 5.2 доказано, что при определенных предположениях в терминах нового функционала могут быть сформулированы основные теоремы главы 2, а значит, и методы главы 4; рассмотрен иллюстративный пример.

В приложении А приведены формулы методов, описанных в главе 4, для важного частного случая, в котором алгоритмы существенно упрощаются, — для систем с кратными запаздываниями. Далее, в приложении Б описан используемый алгоритм вычисления матрицы Ляпунова [45], а также программная реализация методов главы 4. Наконец, в приложение В вынесено доказательство

одной из лемм параграфа 5.1.

Результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теории управления факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ, а также на девяти научных конференциях: XLI, XLII, XLIII, XLV международные научные конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета ПМ-ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург, 2010-2012, 2014), Всероссийская конференция «Устойчивость и процессы управления», посвященная 80-летию со дня рождения В. И. Зубова (Санкт-Петербург, 2010), "11th IFAC Workshop on Time-Delay Systems" (Grenoble, France, 2013), «Всероссийское совещание по проблемам управления (ВСПУ-2014)» (Москва, ИПУ РАН, 2014), "2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (1ССТРЕА)" (Санкт-Петербург, 2014), VII международная конференция «Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2014)» (Воронеж, 2014).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [5-7,22-26,6567]. На защиту выносятся следующие основные положения:

• системный подход к анализу динамических систем, описываемых линейными стационарными дифференциально-разностными уравнениями;

• критерии экспоненциальной устойчивости и неустойчивости линейных стационарных систем с несколькими запаздываниями (теоремы 2.3-2.6, 5.5-5.6);

• конструктивные методы анализа экспоненциальной устойчивости и неустойчивости систем рассматриваемого класса, основанные на конструктивных достаточных условиях — теоремах 3.1, 3.5 и 3.8 для скалярного уравнения с одним запаздыванием и теоремах 4.1, 4.4-4.6 в общем случае;

• конструктивные алгоритмы оценки критических параметров линейных стационарных дифференциально-разностных систем с неопределенными параметрами, основанные на теоремах 4.10 и 4.20.

Глава 1

Устойчивость линейных систем с запаздыванием

В этой главе вводится объект исследования — линейная стационарная система с несколькими запаздываниями — и обсуждаются классические методы анализа ее экспоненциальной устойчивости, которые являются основой всего дальнейшего изложения. Параграф 1.1 служит введением, в нем даны основные понятия (начальная задача, устойчивость, характеристический квазиполином, условие Ляпунова и т. д.), а также некоторые элементарные свойства систем с запаздыванием — все эти сведения могут быть найдены в классических монографиях, упомянутых во введении, например, в [1,33,35,62]. Параграфы 1.2 и 1.3 посвящены двум известным обобщениям второго метода Ляпунова на системы с запаздыванием — методам Ляпунова - Красовского и Разумихина. Содержание параграфа 1.2 основано на главах 2 и 3 монографии [56]. В нем вводятся функционалы с заданной отрицательно-определенной производной вдоль решений системы, которые будут далее использоваться в работе. Основная проблема, возникающая при применении этих функционалов, — построение для них положительно-определенных квадратичных оценок снизу, что мотивировано классической теоремой Красовского (теорема 1.6). Мы подробно останавливаемся на этой проблеме, поскольку далее, в главе 2, предлагаем новые конструктивные способы построения таких оценок. В отличие от метода функционалов Ляпунова - Красовского, метод Разумихина использует функции Ляпунова в комбинации с некоторым дополнительным ограничением. В диссертации существенно используется идея метода Разумихина.

1.1 Общие сведения

В работе исследуется линейная стационарная дифференциально-разностная система уравнений вида

т

±(£) = Азх(1 - кз)- (1Л)

з=о

Здесь х е Мп, € Мпхп, '] = 0,1,...,тп, — заданные постоянные матрицы, О = Л,о < Л<1 < ... < Ь,т — К — постоянные запаздывания, упорядоченные по возрастанию; К — наибольшее запаздывание.

Введем стандартные обозначения. Начальная задача для системы (1.1) ставится следующим образом: для заданных начального момента времени £о ^ О и начальной вектор-функции <р: [—к, 0] —» М" найти решение системы, удовлетворяющее условию

ж(£о + 0) = ч>(в), в е [-/г,0].

Ясно, что пара (¿о,<р) образует минимальный набор начальных данных, необходимых для построения решения при £ ^ ¿о- Кроме того, если ж(£) — решение начальной задачи с начальным моментом £ = £о, то х(С + ¿о) — решение той же задачи с начальным моментом £ = 0. Поэтому начальный момент времени будем считать нулевым. Начальную функцию же будем полагать кусочно-непрерывной:

£о = 0, V? € РС([—/г,0],Мп).

Обозначим решение такой начальной задачи через х(£, (р). Известно, что это решение существует и единственно, при этом оно определено на промежутке [—к. +оо), а под производной в момент £ = 0 в равенстве (1.1) понимается правая производная. Состояние системы (1.1), как и се начальное условие, представляет собой функцию — сегмент решения на отрезке [£ — /г,,£]. Обозначим его через

Если начальная функция не существенна, мы будем опускать символ <р в этих обозначениях и считать, что х(£) — решение системы, а — ее состояние. Нако-

нсц, введем равномерную норму в пространстве кусочно-непрерывных функций:

M\h = sup \\<р{9)\\.

0e[-h,0]

Векторная норма в правой части этого равенства — евклидова.

Отметим важное свойство сглаживания решений с возрастанием времени. Поскольку начальная функция р кусочно-непрерывна, решение x(t,ip) будет непрерывным уже при t € [0,/г] (при t = 0 — непрерывным справа). Значит, при t 6 [h, 2h] оно будет непрерывно-дифференцируемым и т. д. Таким образом, при t ^ kh, к Е N, решение x(t, <р) начальной задачи с кусочно-непрерывной начальной функцией ip представляет собой к раз непрерывно-дифференцируемую функцию.

Перейдем к понятию устойчивости. Диссертация посвящена анализу экспоненциальной устойчивости системы (1.1):

Определение 1.1. [1] Система (1.1) называется экспоненциально устойчивой, если существуют такие постоянные 7 ^ 1 и а > 0, что

для любого решения системы (1.1).

Известно, что для линейных стационарных систем экспоненциальная устойчивость эквивалентна асимптотической [1]. Напомним, что система (1.1) называется асимптотически устойчивой по Ляпунову, если для любого е > 0 существует Д > 0 такое, что из условия \\tp\\h < Д следует ||ж(£, </?)|| < £ для любого t ^ О, при этом

IMU < А-

£—Ц-оо

Если выполнено первое условие этого определения, но существуют решения, которые не стремятся к нулю с возрастанием времени, то говорят, что система (1.1) устойчива по Ляпунову. Наконец, если найдется £ > 0 такое, что для любого Д > 0 существует функция tp и момент времени t ^ О, для которых \\<р\\н < А)

но ||ж(£, <£>)|| ^ е, то систему (1.1) называют неустойчивой. Для системы (1.1) го-

ворят об асимптотической устойчивости или неустойчивости всей системы, а не отдельных ее решений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Медведева, Ирина Васильевна, 2014 год

Литература

[1] Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения / Пер. с англ. Под ред. Л. Э. Эльсгольца. М., 1967. 548 с.

[2] Бобцов А. А., Пыркин А. А. Компенсация гармонического возмущения в условиях запаздывания по управлению // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. 2008. № 4. С. 19-23.

[3] Галахова М. Е., Кириллов А. Н. Управление линейной системой со структурными изменениями // Труды КарНЦ РАН. Сер. Математическое моделирование и информационные технологии. 2012. Вып. 3. № 5. С. 18-21.

[4] Егоров А. В. Новые условия экспоненциальной устойчивости линейных систем с запаздыванием: дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2013. 135 с.

[5] Жабко А. П., Медведева И. В. Алгебраический подход к анализу устойчивости дифференциально-разностных систем // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2011. Вып. 1. С. 9-20.

[6] Жабко А. П., Медведева И. В. Конструктивный подход к анализу положительной определенности квадратичных функционалов Ляпунова - Красов-ского // Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры: Материалы VII международной конференции. Актобе, 2012. С. 52-56.

[7] Жабко А.П., Медведева И. В. Модификация функционала Ляпунова -Краеовекого для линейных систем с несоизмеримыми запаздываниями // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий: сборник трудов VII международной конференции «ПМТУКТ-2014» / под ред. И. Л. Батаронова, А. П. Жабко, В. В. Прово-торова. Воронеж: Изд. «Научная книга», 2014. С. 141-143.

[8] Заика Ю. В. Интегральные операторы прогнозирования и идентификация моделей водородопроницаемости. Петрозаводск: КарНЦ РАН, 2013. 505 с.

[9] Заика Ю. В., Борматова Е. П. Параметрическая идентификация модели водородопроницаемости по временам запаздывания // Журнал технической физики. 2010. Т. 80. Вып. 3. С. 31-39.

[10] Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.

[11] Зубов В. И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Известия вузов. Математика. 1958. № 6. С. 86-95.

[12] Зубов В. И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 416 с.

[13] Кабанов С. А., Никулин E.H., Якушев Б.Э., Якушева Д. Б. Управление перемещением груза мостовым краном по методу обратных задач динамики // Известия вузов. Приборостроение. 2011. № 12. С. 30-33.

[14] Квитко А. Н., Якушева Д. Б. Алгоритм построения кусочно-постоянного синтезирующего управления при решении граничной задачи для нелинейной стационарной системы // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2012. № 1. С. 138-145.

[15] Квитко А. Н., Якушева Д. Б. Решение граничной задачи для нелинейной стационарной управляемой системы на бесконечном промежутке времени с

учетом дискретности управления // Информационно-управляющие системы. 2011. № 6. С. 25-29.

[16] Кириллов А. Н. Стабилизация управляемых динамических систем за конечное время // Труды КарНЦ РАН. Серия: Математическое моделирование и информационные технологии. 2013. Вып. 4. № 1. С. 68-72.

[17] Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2004. 572 с.

[18] Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959. 211 с.

[19] Красовский H. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. № 3. С. 315-327.

[20] Красовский H.H. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1962. Т. 26. Вып. 1. С. 39-51.

[21] Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 472 с.

[22] Медведева И. В. Анализ устойчивости линейного дифференциального уравнения с двумя несоизмеримыми запаздываниями // Процессы управления и устойчивость. 2014. Т. 1 (17). С. 21-25.

[23] Медведева И. В. Интегральный метод анализа устойчивости линейных систем с запаздыванием // Труды XII Всероссийского совещания по проблемам управления «ВСПУ-2014» / М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. С. 1317-1325.

[24] Медведева И. В. Модификация алгебраического метода исследования устойчивости дифференциально-разностных уравнений // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 35-40.

[25] Медведева И. В. О сходимости одного метода анализа устойчивости систем с запаздыванием // Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2012. С. 26-31.

[26] Медведева И. В. Обращение прямого метода Ляпунова при анализе устойчивости систем с запаздыванием // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / под ред. Н.В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 33-38.

[27] Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1972. 352 с.

[28] Неймарк Ю. И. £?-разбиение пространства квазиполиномов (к устойчивости линеаризованных распределенных систем) // Прикладная математика и механика. 1949. Т. 4. С. 349-380.

[29] Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения / под ред. Л.Э. Эльсгольца. М.: Издательство иностранной литературы, 1961. 248 с.

[30] Прасолов А. В. Математические модели динамики в экономике. СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов, 2000. 247 с.

[31] Разумихин Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. Вып. 4. С. 500-512.

[32] Репин Ю. М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. № 3. С. 564-566.

[33] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Пер. с англ. М.: Мир, 1984. 421 с.

[34] Эльсгольц Л. Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений // Успехи математических наук. 1954. Т. 9. Выи. 4 (62). С. 95—112.

[35] Эльсгольц Л.Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

[36] Belyakov V., Kavin A., Kharitonov V., Misenov В., Mitrishkin Y., Ovsyannikov A., Ovsyannikov D., Rumyantscv E., Vereinei E., Zhabko A. Linear quadratic Gaussian controller design for plasma current, position and shape control system in ITER // Fusion Engineering and Design. 1999. Vol. 45. P. 55-64.

[37] Bobtsov A., Pyrkin A. Adaptive output stabilization of time-delay nonlinear system // 9th IFAC Workshop on Time Delay Systems. Prague, Czech Republic. 2010. P. 307-312.

[38] Boyd S., Ghaoni L., Feron E., Balakrishnan V. Linear matrix inequalities in system and control theory. SIAM, Philadelphia, 1994. 193 p.

[39] Cicco L.D., Mascolo S., Niculescu S.-I. Robust stability analysis of Smith predictor-based congestion control algorithms for computer networks // Automatica. 2011. Vol. 47 (8). P. 1685-1692.

[40] Datko R. An algorithm for computing Liapunov functionals for some differential-difference equations // Ordinary Differential Equations / Ed. by L.Weiss. New York. 1972. P. 387-398.

[41] Delicc 1.1., Sipahi R. Controller Design for Delay-Independent Stability of Multiple Time-Delay Systems via Descartes's Rule of Signs // 9th IFAC Workshop on Time Delay Systems. Prague, Czech Republic. 2010. P. 144-149.

[42] Egorov A. V., Mondie S. A stability criterion for the single delay equation in terms of the Lyapunov matrix // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 1. С. 106-115.

[43] Egorov A., Mondie S. Necessary conditions for the stability of multiple time-delay systems via the delay Lyapunov matrix // 11th IFAC Workshop on Time-Delay Systems. Grenoble, France. 2013. P. 12-17.

[44] Fridman E. New Lyapunov-Krasovskii functionals for stability of linear retarded and neutral type systems // Systems к Control Letters. 2001. Vol. 43 (4). P. 309319.

[45] Garcia-Lozano H., Kharitonov V. L. Lyapunov matrices for time delay systems with commensurate delays // 2nd Symposium on System, Structure and Control. Oaxaca, Mexico. 2004. P. 102-106.

[46] Gu K. Discretization schemes for Lyapunov-Krasovskii functionals in time-delay systems // Kybernetika. 2001. Vol. 37. № 4. P. 479-504.

[47] Gu K. Discrctized LMI set in the stability problem of linear uncertain time-delay systems // International Journal of Control. 1997. Vol. 68. № 4. P. 923-934.

[48] Gu K., Kharitonov V. L., Chen J. Stability of time delay systems. Birkhauser, Boston, 2003. 353 p.

[49] Huang W. Generalization of Liapunov's theorem in a linear delay systems // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1989. Vol. 142. P. 83-94.

[50] Huesca E., Mondie S., Santos J. Polynomial approximations of the Lyapunov matrix of a class of time delay systems // 8th IFAC Workshop on Time-Delay Systems. Sinaia, Romania. 2009. P. 261-266.

[51] Infante E. F., Castelan W. B. A Liapunov functional for a matrix difference-differential equation // Journal of Differential Equations. 1978. Vol. 29. P. 439451.

[52] Jarlebring E., Vanbiervliet J., Michiels W. Characterizing and computing the H2 norm of time-delay systems by solving the delay Lyapunov equation // IEEE Transactions on Automatic Control. 2011. Vol. 56 (4). P. 814-825.

[53] Kharitonov V. L. On the uniqueness of Lyapunov matrices for a time-delay system // Systems & Control Letters. 2012. Vol. 61 (3). P. 397-402.

[54] Kharitonov V. L. Lyapunov functionals and matrices // Annual Reviews in Control. 2010. Vol. 34. P. 13-20.

[55] Kharitonov V. L. Robust stability analysis of time-delay systems: a survey // Annual Reviews in Control. 1999. Vol. 23. P. 185-196.

[56] Kharitonov V. L. Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and Matrices. Birkhauser, Basel, 2013. 311 p.

[57] Kharitonov V. L., Hinrichsen D. Exponential estimates for time delay systems // Systems k Control Letters. 2004. Vol. 53 (5). P. 395-405.

[58] Kharitonov V. L., Niculescu S.-I. On the stability of linear systems with uncertain delay // IEEE TVansactions on Automatic Control. 2003. Vol. 48 (1). P. 127-132.

[59] Kharitonov V. L., Niculescu S.-I., Moreno J., Michiels W. Static output feedback stabilization: necessary conditions for multiple delay controllers // IEEE Transactions on Automatic Control. 2005. Vol. 50 (1). P. 82-86.

[60] Kharitonov V. L., Plischke E. Lyapunov matrices for time-delay systems // Systems k Control Letters. 2006. Vol. 55 (9). P. 697-706.

[61] Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay systems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 15-20.

[62] Kolmanovskii V., Myshkis A. Introduction to the theory and applications of functional differential equations. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. 648 p.

[63] Louiscll J. A matrix method for determining the imaginary axis eigenvalues of a delay system // IEEE Transactions on Automatic Control. 2001. Vol. 46 (12). P. 2008-2012.

[64] Malck-Zavarei M., Jamshidi M. Time-delay systems: analysis, optimization and applications. Systems and Control Series. Vol. 9. North-Holland, Amsterdam, 1987. 504 p.

[65] Medvedcva I. V. Robust stability analysis of time-delay systems in MATLAB // Proceedings of 2014 International Conference on Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA) / Ed. by E. I. Veremey. Saint-Petersburg, 2014. P. 114-115.

[66] Medvedeva I. V., Zhabko A. P. Constructive method of linear systems with delay stability analysis // 11th IFAC Workshop on Time-Delay Systems. Grenoble, France. 2013. P. 1-6.

[67] Medvedeva I.V., Zhabko A. P. Synthesis of Razumikhin and Lyapunov -Krasovskii approaches to stability analysis of time-delay systems // Automatica. 2014. http://dx.doi.Org/10.1016/j.automatica.2014.10.074

[68] Michiels W., Niculescu S.-I. Stability and stabilization of time-delay systems. An eigenvalue-based approach. SIAM, Philadelphia, 2007. 378 p.

[69] Mondie S. Assessing the exact stability region of the single-delay scalar equation via its Lyapunov function // IMA Journal of Mathematical Control and Information. 2012. P. 459-470.

[70] Mondie S., Kharitonov V. L., Santos O. Complete type Lyapunov - Krasovskii functionals with a given cross term in the time derivative // Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control and the European Control Conference. Seville, Spain. 2005. P. 5060-5064.

[71] Neimark Yu. I. Mathematical models in natural science and engineering. Springer, Berlin, Heidelberg, 2003. 575 p.

[72] Niculescu S.-I. Delay effects on stability: a robust control approach. Springer, Heidelberg, 2001. 383 p.

[73] Niculescu S.-I., Michiels W. Stabilizing a chain of integrators using multiple delays // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. Vol. 49 (5). P. 802-807.

[74] Oehoa G., Kharitonov V. L., Mondie S. Critical frequences and parameters for linear delay systems: A Lyapunov matrix approach // Systems h Control Letters. 2013. Vol. 62. P. 781-790.

[75] Olgac N., Sipahi R. A comparative survey in determining the imaginary characteristic roots of LTI time delayed systems // 16th IFAC World Congress. Prague, Czech Republic. 2005. P. 390-399.

[76] Pyrkin A., Bobtsov A., Kolyubin S., Vedyakov A., Borisov O., Gromov V. Stabilization of nonlinear system with input delay and biased sinusoidal disturbance // 19th IFAC World Congress. Cape Town, South Africa. 2014. P. 12104-12109.

[77] Richard J.-P. Time-delay systems: an overview of some recent advances and open problems // Automatica. 2003. Vol. 39. P. 1667-1694.

[78] Sipahi R., Niculescu S.-I., Abdallah C.T., Michicls W., Gu K. Stability and stabilization of systems with time delay: limitations and opportunities // IEEE Control Systems Magazine. 2011. Vol. 31 (1). R 38-65.

[79] Stepan G. Retarded dynamical systems: stability and characteristic functions. Wiley, New York, 1989. 151 p.

[80] Villafuerte R., Mondie S., Garrido R. Tuning of proportional retarded controllers: theory and experiments // IEEE Transactions on Control System Technology. 2013. Vol. 21 (3). P. 983-990.

[81] Zaika Yu.V. Interval estimates of functional in time-delay systems with uncertainty // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2003. № 56. P. 3573-3590.

Приложение А. Формулы методов для систем с кратными запаздываниями

Рассмотрим частный случай системы (1.1) — систему с кратными запаздываниями

т 7=0

где I) — базовое запаздывание. Разобьем отрезок [—{), 0] на N равных частей длины А = — и обозначим точки дробления отрезка 0], соответствующие

такому разбиению, через

0,- = з = 0, тЫ.

Здесь разбиение имеет только один параметр — N — в отличие от рассмотренного в параграфе 4.1.

Приведем окончательные формулы методов для систем с кратными запаздываниями. Во-первых, они более просты и удобны в применении, чем соответствующие формулы, полученные в параграфе 4.1. Во-вторых, эффективный способ вычисления матрицы Ляпунова, от которой зависят окончательные формулы каждого из методов, известен только для систем с кратными запаздываниями (см. приложение Б). Заметим, что любая система с попарно соизмеримыми запаздываниями может быть сведена к рассматриваемой системе с кратными.

Кусочно-линейное приближение. Кусочно-линейное приближение функции р £ Б2 зададим формулой (3.4), как и в параграфе 3.1, с той оговоркой, что <р — векторная функция и з = 0,тЫ — 1. Введем векторы

р = р(0), р= [рг(в1),...,рт(втЫ)) .

Составляющие вектора р обозначим через <р^ — с,£>(#?), з — l,mN, а его компоненты — через рг, г = 1,тп7У". Размерность вектора р равна т-пИ.

Функционал (1.5) на множестве функций р £ допускает оценку снизу

У0(р) ^ РТ(А\ - ¿1Е)р + 2ртА12(р + ртА13<р = л,(р, р) - ¿,|И2.

Здесь Л', Л2 и Ад — матрицы размерностей п х п, п х тпИ и тпИ х гпгШ соответственно, элементы которых могут быть найдены из представления

М'РтФ) =Р2

т

,ЛГА;,ЛГ]

т т

3=1 к=1 3=1

т N3 / т

р + 2 р

Т

т N3-1 ,

Е Е

LJ=l г=1 4

+ Е \ <Р

к=1 ' 7

т т ЛГА-1 Л0-1

7=1 г=1 ^ к=1

,3,Ык,г ¥

(N3-1+1)

+

КЛГА-Г!)

+ЕЕЕ Е^

/с=1 7=1 гг = 1 Г2=1 т ш ЛГ/с—1 ЛО

+2ЕЕ Е

к= 1 7 = 1 Г1 = 1 7"2 = 1 т т Ик N3

Ркзг\Г2^Р

(N3-72)

+

кзг1Г2^Р

^з-г2 +1)

+

+ЕЕЕЕ^

£=1 7 = 1 Г! = 1 Г2 = 1

(лга-м+1)

Пкзг\Т2(Р

(N3-72 + 1)

где

и и

= J - гА)^1 + А3, М}Т = - У и(-8 -r&)■^dsAJ,

-А

о о

= А1 У У ^1Г2(5Ь 52) (1 + (1 +

-А-А

О О

Якзпт2 = -Ак У У ^Г!Г2(5ь 52) (1 + А3,

Икзг\г2 — А у

-А-А

О О

Т

-А-А

иг1г2{з 1,52) = [/(5х - 6'2 + (гх - г2)д).

Далее, ¿1 — скалярная величина, определяемая формулой

т .N7

т. + * J л

й = / ||[/(-5-ГД)||(52-5Д)Й5+

7 = 1 г=1 Л

т т Nk N3

О О

к-1 3=1 Г1=1 г2=1 I- Л Л

-д -д

о о

nil ||t/rir2(si, S2)||(Sl - Si A) (sl - s2A)dsit/52 |, здесь -Д-Д

Кусочно-кубическое приближение. Будем использовать кусочно-кубическое приближение функции р 6 ¿>4, заданное формулой (3.14), вновь с оговор-

с = \(±т)

кой о том, что р> — вектор-функция и ] = 0,тЫ — 1. Выражения для функций ^(5), от которых зависит приближение, и функции /(в), определяющей оценку погрешности, приведены на с. 64 и 65 соответственно. Зададим векторы

р = р(0), £ = (</№), ■ • •, у>т(6Ы, Ио)]т, И^)Г,■ • •, г

Вектор р состоит из 2тЛГ + 1 векторов, для которых введем обозначения

W _

j = l,mN, =р'(в3), j = 0, miV,

и имеет размерность п(2тИ + 1).

На множестве функций р е 5*4 функционал (1.5) допускает оценку

иоМ > РТ(Л? - + 2рТ А\р + ртА\р = Ад(р, р) - (У|р||2,

где А\, А\ и Л3 — матрицы размерностей п х п, п х п(2тЫ + 1) и п(2т,И + 1) х хп(2шАг + 1) соответственно,

Л9(р, £) = р

Т

m mm

,Nk,Nj

j=l fc=i J=i m Nj

p +2 p1

m Nj-1 ,

E E (4+

Lj=i r=i 4

fc=1

m

"f JVV г / m \

+EE +E

J=1 r=l L ^ k = l '

+ (ь)г + £ яй,+ + Д" „ J

^ fc=l ' ^ fe=l '

(Nj-r+1)

+

(ЛГ(т+7)-г+2)

+

m m Nk-lNj-l

+EEE Eiv

Ь=1 J = 1 г1 = 1 r2 = l m ?7i Nk—l Nj

+2EEEE IV

fc=l J = 1 Г1 = 1 Г2=1

(Nk—ri)

(Nk-ri)

+

T

+

t

+

Ч>

(ЛГк-Г!)

13 -(дг(т+;)-Г2+1)

В-кзг-ьг-зФ

+

^к-ц)

14

К-кзг^Ф

+

\<Р

+2

т тп Ык N3

+ЕЕЕЕ

А=1 7=1 п=1г2=1

(ЛГ/с-^-Н)

Т

+

+

+2 +

¥

Ч>

(М(т+к)-п+1)

Т

(Ы{т+к)-п+1)

(Ы (т+к) —г 1+2)

1 Т

+

Ь)Т = J и (-в- гА)дг{8)(1зА3, I = 1~4,

здесь

-д

о о

Наконец,

К1кзг1Г2=Лк I I иг1г2(з1,з2)дг1(з1)дг2(з2)с1зф2Ал ¿1 = 1,4, г2 = гь4.

-д-д

^ т N3 и

7=1 г=1

О О

I I ||5Т1,а(в1,Я2)||х

-д-д

Ш 771 N7

+ЕЕЕЕ№

/с=1 7=1 Г1=1 г2=1

X (1 - К%{а1 + Д))/(52)^52 +

О О

+ С2п

Г\Т2

(5ь52)||/(51)/(52)^1 ¿521 ^ = С =

¿=0

24 '

-д-д

Поскольку система с кратными запаздываниями — частный случай системы (1.1), к приведенным оценкам применимы все утверждения пунктов 4.1.1 и 4.1.2. Вместе с тем, когда тп не очень велико, применение формул, представленных в этом приложении, позволяет уменьшить объем вычислений за счет меньшего количества суммирований и более удобного аргумента матрицы Ляпунова.

Приложение Б. Вычисление матрицы Ляпунова и программная реализация алгоритмов в МАТЬАВ

Вычисление матрицы Ляпунова. Проверка конструктивных условий экспоненциальной устойчивости и неустойчивости, полученных в диссертации, предполагает вычисление матрицы Ляпунова. Кратко опишем используемый нами для этой цели «полуаналитический» метод, предложенный в работе [45].

Введем обозначения. Пусть уес(ф) — вектор размерности п2, образованный последовательным соединением столбцов матрицы ф = {дгЛ- _т—I другими ело-вами, элемент Цц матрицы находится на позиции (з — 1 )п + г вектора уес(ф). Далее, через А® В будем обозначать прямое (кронекеровское) произведение матриц А — и В — Оно представляет собой блочную матрицу А® В — {ЯгЛ ■ ._-т— размерности п2 х п2, где = Ъ^А, г, з — 1, п. Напомним, что, по свойствам прямого произведения, усс(АС^В) — (А® В) усс(<3).

Итак, требуется найти решение системы матричных уравнений (1.7). Пред-

положим, что система (1.1) имеет кратные запаздывания, т. е. — з\), j = 1 ,т, где — базовое запаздывание, и введем вспомогательные матрицы

ХАт) = и{эЪ + г), т е [0, ()], ; = -т, т - 1.

Перепишем совокупность уравнений (1.7) в терминах этих матриц — получим систему (матричных) обыкновенных дифференциальных уравнений

771

Х'АТ) = Е Ъ-кШк, 3 = 0,т-1,

£=0

т,

Х-з(Т) = - Е А1Х-з+к{т), 3 = к=О

с граничными условиями

гп—1

]Г + АрСДО)] + Х-т(0)Ат + А^Хт-М) = -IV.

3=0

Задача вычисления матрицы Ляпунова сводится к решению этой системы.

Пусть х3(т) = усср^(т)), з — —тп,т — 1. Применив к каждому из имеющихся матричных соотношений операцию векторизации, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями:

г'(т) = Ьг(т), 2(0) = г0.

Здесь г(т) = (ж^т(т),..., (т))Т, вектор г имеет размерность 2тп2. Блочная матрица Ь = {Ьгз}г3=рш, формируется по правилу

Ьг] — —М3-и Ьт+^3 — Кт+1-3, г — 1, т, з — г, т + г,

где К3 — Е(2) А]у М3 = А^®Е, ] = 0, т, и Ьгз = 0п2Хпа при остальных г и 3. Далее, вектор г0 является решением системы линейных алгебраических уравнений 6?2:о = Со, где со — (О, • • • 5 0, —усс(И/)т)Т — вектор размерности 2тп2, а матрица С = {^г^ задана следующим образом. Запишем матрицу Н = е1'1' в виде блочной матрицы: пусть Я = |Яг:г} Тогда

Нгз, г = 1,2т — 1, 3 = 1,2т, 7 ф г + 1, Нгз — Еп2, г = 1, 2т — 1, 3 = г + 1,

— <

+ МтН 2т,] 1 г = 2т, ^ = 1, т, АГо + М0 + М„,Я2т1т+1, г = 2т, ;=2т + 1,

М,_т_1 + МтН2т,л ь = 2т, .у' = гп + 2, 2т, здесь Еп2 — единичная матрица размерности п2 х п2. Таким образом,

г(т) = еЬтг0,

откуда искомая матрица Ляпунова может быть получена выполнением операции, обратной операции векторизации. Отметим, что описанный метод формально позволяет вычислить матрицу Ляпунова для любой системы с соизмеримыми запаздываниями, для которой она существует, но не является эффективным при больших т.

О программной реализации алгоритмов главы 4. Приведем краткое описание программной реализации на примере алгоритма, основанного на кусочно-линейной аппроксимации и применимого к системам с кратными запаздываниями (см. пункт 4.1.1 и приложение А). На вход программе подаются массив, состоящий из (m + 1) матрицы размерности п х п, базовое запаздывание f) и параметр метода N. Программа выполняет следующие действия:

1. Вычисляются матрицы L, Си вектор G$ из алгоритма вычисления матрицы Ляпунова, а также матрица U(0). Если U(0) не является положительно-определенной, программа заканчивает работу, система не может быть экспоненциально устойчивой (см. утверждение 4.3);

2. Вычисляются матрицы Ljr, Mjr, Р/уГ1Г2, Qkjnr2i Rkjrxr2i 3 — 1) mi г, rbr2 = 1 ,mN, и величина 6i (см. с. 142), при этом интегралы считаются встроенными функциями системы MATLAB, а матрица Ляпунова U(r) — в тех точках т G [0, raf)], в которых это необходимо для вычисления соответствующего интеграла. Обратим внимание на аргумент матрицы Ляпунова: при фиксированных к и j для нахождения, например, матриц Pkjrir2 достаточно вычислить интегралы со следующими матрицами:

U(s1 - s2 +гД), г = — (mN - 1), (mN - 1),

т. е. нужно вычислить 2mN — 1, а не (mN)2 интегралов. В общем случае, например, когда запаздывания несоизмеримы, аргумент матрицы Ляпунова не поддается такому упрощению (см. с. 85);

3. Согласно формуле для А/(р, ф), формируются матрицы Л'15 Л2 и Л3. Проверяются второе и третье необходимые условия утверждения 4.3;

4. Встроенными средствами MATLAB решается задача квадратичной минимизации (4.6) (в ней индекс «lin» заменяется на «I»). Если минимум (4.6) положителен, то система экспоненциально устойчива. Если нет, то при данном значении N нельзя сделать вывод об экспоненциальной устойчивости системы.

Приложение В. Доказательство леммы 5.2

Процесс дифференцирования функционала у(<р, 1/^) дословно повторяет тот же процесс, описанный для функционалов (1.5) и (1.9) в монографии [56], и приводится здесь для полноты изложения. Отличие в доказательстве возникает в тот момент, когда применяются свойства матрицы Ляпунова (1.7). Итак, продифференцируем вдоль решений системы (5.1) последовательно каждое из слагаемых функционала у(<р, 17^). Для первого слагаемого /о(£) = хт (1)и^(0)х(1) имеем

^^ = 2хт(Щ1(0) [Лох(0 + А1Х(г - 1) + А2х{1 - 1г)}.

Для следующих двух слагаемых

о е

13(Ь) = 2хт{Ь) ! ик{-в-Н])А1х{Ь + в)й9 = 2хг{г) J - в+

3 = 1,2, здесь = 1, /?2 = Ь, получим

г

^^ = 2[Аъх(Ь) + Л2ж(£ - 1) + А2х{г - /г)]Г J и*н(-к3 - 5 + г)А3х{з)йз+

í

+ 2хт{г) ^и^-к3)А3х(Ь) - Щ(Ъ)А3х(Ь - к3) + J - 5 + .

Далее, слагаемые, представляющие собой двойные интегралы, запишем в виде

/ \

1кз{1)= У хт{1 + в1)АтА У Щ{в1 + кк-62-к3)А3х{1 + е2)авЛ(1в1 =

= У ^(й^АЦ У з2-Н3)А3х(з2)<1зЛйз1, к,з = 1,2.

Для производной каждого из них справедливо выражение

(Пкз(1)

(И

t-h

г

£—/г,

+ хт{г)Ат3 J ик(-з - кк + г + 1ь])Акх{з)в.з

т

хт{± - к3)Ат3 J ик(-з - Нк + к,э = 1, 2.

Ь-кк

Наконец, для последних двух слагаемых о

Ь3(Ь) = ! {в+ к3)хт(1 + в)У/3х(1 + в)(1в = ! (з-1 + Н])хт{з)\¥]х(з)йз

—л,

t-h,

имеем

dL.it)

сИ

I

= к3хт(1)\\'3х{Ь)- J хт(з)\¥3х(з)йз, 3 = 1,2.

Искомая производная представляет собой сумму й , dIQ{t) ^

7 = 1

¿=1 7=1

Запишем ее в виде «51 (¿) + б^), где сумма 5<1(£) включает все слагаемые полученных производных, не содержащие интегралов, а сумма 5г(£) включает все остальные — содержащие интегралы — слагаемые. Для первой суммы, с учетом свойства симметрии матрицы Ляпунова, получим следующее выражение:

ЗД) = хт{1) [2Щ{0)А0 + 2/7л(-1)Л! + 2иК{-К)А2 + + =

= [и-нто + + ик{-1)Ах + А{Щ{ 1)+

+ ик{-Н)А2 + Л£г7я(/1) + + /гЖ2]а:(£).

Вспомним алгебраическое свойство матрицы Ляпунова — для матрицы ик(т) оно имеет вид (см. свойства (1.7) в определении 1.8)

Теперь ясно, что

= хт{1)[-1Уо + [Щ{-К) - ик(-н)) л2 + (ик(Н) - иь(к))\х(г).

Перейдем к преобразованию суммы 32(Ь). После сокращения некоторых слагаемых она примет вид

2 1

7=1

¿—/г,

X

д

ик{-к3 -з + 1 + к) + — ик{-к3 -в + г) А^гф)^-^ \ хТ{8)УУ3х(з)(1з.

Рассмотрим отдельно первую сумму в выражении для 52(£). Применяя к ней свойство симметрии матрицы Ляпунова, получим, что она равна г

2^«) £

1—11,

иК(т)Ао + ик(т - \)АХ + Щ(т - К)А2 -

*Щ{тУт

¿т

А3х{з)(1з.

Пользуясь теперь динамическим свойством матрицы ик(т), которое имеет вид

= ик(т)Ао + Щ{т - 1)Лх + ик{т - !ь)А2,

<Шк{т)

с1т

и возвращаясь к переменной в под знаком интеграла, заключим, что

2 0

52(£) = 2 хт{{)А1 [ \ик{К3 +в-К)-ик{1г3 + в- Л)1 А3х(Ь + 9)йв-2

- ¿) У Х'Г(1 + 0)¥/3х{г + в)йв.

Остается сложить выражения для 5*1 (£) и ¿>2(0 и еще раз воспользоваться свойством симметрии, откуда получим утверждение леммы. Заметим, что при К = Н (другими словами, для функционала ?;(<£>, и)) имеем 5х(£) + £>2(£) = как

и должно быть. Лемма 5.2 доказана.