Устойчивость решений дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Ыскак Тимур

• Ыскак Тимур
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Ыскак Тимур

Введение

Глава 1. Устойчивость нулевого решения систем линейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием

§ 1.1. Автономные линейные системы

§ 1.2. Линейные системы с периодическими коэффициентами

§ 1.3. Линейные системы с возмущениями в коэффициентах

Глава 2. Устойчивость нулевого решения систем линейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием нейтрального типа

§ 2.1. Автономные линейные системы нейтрального типа

§ 2.2. Линейные системы с периодическими коэффициентами нейтрального типа

§ 2.3. Линейные системы нейтрального типа с возмущениями в коэф-

Глава 3. Устойчивость нулевого решения систем нелинейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием

§ 3.1. Автономные нелинейные системы

§ 3.2. Нелинейные системы с периодическими коэффициентами

Глава 4. Устойчивость нулевого решения систем нелинейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием нейтрального типа

§ 4.1. Автономные нелинейные системы нейтрального типа

§ 4.2. Нелинейные системы с периодическими коэффициентами нейтрального типа

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость решений дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием»

Введение

Актуальность темы исследования. Теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом начала активно развиваться с середины 20 века. Уравнения с запаздывающим аргументом описывают процессы, в которых их состояние в настоящий момент времени зависит от прошлых состояний. Данные процессы возникают во многих задачах теории автоматического регулирования и управления, автоматики и телемеханики, радиофизики, при моделировании процессов иммунологии, распространения инфекционных заболеваний, при изучении генных сетей, моделировании нейронных сетей, экономики и т. д. (см., например, [6], [7], [8], [И], [12], [15], [16], [20], [28], [30], [31], [41], [42], [45], [47], [48], [56], [75], [76], [80], [81], [82], [87], [89], [90], [93], [94]). Существует несколько

L I I I I I I I I I I I I I I I I I I I / 1

классов дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом: уравнения с постоянным сосредоточенным запаздыванием

f (t,v(t),v(t - т),dtv(t),dtv(t - т}) =0, т > 0,

уравнения с переменным сосредоточенным запаздыванием

f (t, v(t},v(t - Тm > dty(t - T(t)}) = 0, т(t) > 0,

уравнения с постоянным распределенным запаздыванием

f [t,v(t), У v(s)ds,dtv(t},jtv(t -т) | =0, т>0,

В данной диссертации будут рассмотрены некоторые классы систем дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием следующего вида:

t

d

-(v(t} + D(t)v(t - т}} = A(t)v(t} + J B(t,t - s)v(s)ds

t-T

+F | t,v(t}, J v(s}ds | .

tT

В настоящее время существует огромное число работ, посвященных исследованию дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Одной из важных проблем в теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом является теория устойчивости. Иссле-довclhию деннои t(3lvlbi посвягцбн ряд монографий (см., например, книги

A.Д. Мышкиса [46], Л.Э. Эльсгольца [67], H.H. Красовского [38], Э. Пинии [49], Р. Беллмана и К. Кука [9], В.П. Рубаника [55], А. Халаная и Д. Векслера [59], Л.Э. Эльсгольца и С.Б. Норкина [69], Ю.А. Митро-польского и Д.И. Мартынюка [44], В.Б. Колмановского и В.Р. Носова [33], С.Н. Шиманова [66], Дж. Хейла [60], Д.Г. Кореневского [35], [36], Н.В. Аз-белева, В.П. Максимова и Л.Ф. Рахматуллиной [1], Ю.Ф. Долгого [26],

B.Б. Колмановского и А.Д. Мышкиса [86], Н.В. Азбелева и П.М. Симонова [4], К. Гу, В.Л. Харитонова и Дж. Чена [83] и др.).

К настоящему времени наиболее изученными являются задачи об асимптотической устойчивости стационарных решений автономных дифференциальных уравнений с постоянным сосредоточенным запаздыванием, при этом широкое распространение получили спектральные методы исследований. Основой для них служит спектральный критерий асимптотической устойчивости (см. [9]). В силу данного критерия асимптотическая устойчивость нулевого решения системы линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием

d

jtv(t) = Ay(t) + By(t _ т), t> 0, (0.1)

эквивалентна тому, что все корни характеристического квазиполинома

det (A + Вв_Хт _ XI)

лежат в левой полуплоскости C_ = {X Е C : ReX < 0}. Для линейных автономных систем дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием

t

d

-y(t) = Ay(t) + J В(t _ s)y(s)ds, t > 0, (0.2)

t-T

также имеет место спектральный критерий асимптотической устойчивости нулевого решения, который формулируется в терминах принадлеж-

ности корней характеристического уравнения

ае1 ^А + ^ в_ХаБ(в)йв _ XI^ =0 (0.3)

левой полуплоскости С_ = {X € С : ЯвХ < 0}.

Стоит отметить, что для системы линейных автономных дифференциальных уравнений с запаздыванием проверка принадлежности корней характеристической функции левой полуплоскости может представлять сложную задачу. С одной стороны, приближенное вычисление корней характеристической функции является весьма трудоемкой задачей (при этом их может быть счетное число), с другой стороны, это задача, вообще говоря, является плохо обусловленной. Это справедливо даже в случае, когда Б (в) = 0, (3« для системны обыкновенных дифференциальных уравнений

й

-у(г) = Ау(г), г > 0, (0.4)

поскольку задача о поиске спектра недиагонализируемых матриц является плохо обусловленной, и очень малые возмущения в матрице могут привести к большим ошибкам при вычислении собственных значений (см., например, [14], [57]). Поэтому при исследовании асимптотической устойчивости решений конкретных систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом большое значение приобретают различные признаки принадлежности корней характеристического уравнения (0.3) левой полуплоскости. Для уравнений с запаздывающим аргументом для этой цели зачастую используют метод Б-разбиений (см., например, [63]), амплитудно-фазовый метод (см., например, [68]), метод Меймана- Чеботарева (см., например, [64]), а также методы, основанные на использовании аналогов теорем Ляпунова [37], [50].

Наиболее распространенным из этих методов является метод функционалов Ляпунова - Красовского [38]. Приведем один из результатов Н.Н. Красовского для линейной системы дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием (0.1).

Теорема 0.1. Предположим, что существуют матрицы Н = Н* >

0 и К = К * > 0 такие, что выполнено матричное неравенство

( НА + А*Н + К НВ V В*Н -К

Тогда пулевое решение системы (0.1) асимптотически устойчиво.

Замечание. Здесь и далее для эрмитовой матрицы и неравенство и > 0 означает положительную определенноеть матрицы и.

При доказательстве данной теоремы использовался следующий функционал Ляпунова - Красовского:

Ь

у(г,у) = (Ну(г),у(г)) + / (Ку(з),у(з)№. (0.5)

Ь-т

Данный функционал ) является аналогом функции Ляпунова (Ну(1),у(Ь)) для систем линейных обыкновенных дифференциальных

Н

ции Ляпунова, является эрмитовым положительно определенным решением матричного уравнения Ляпунова

НА + А*Н = -С, С = С * > 0. (0.6)

Известно, что для систем вида (0.4) можно выписать оценку решений, характеризующую экспоненциальное убывание на бесконечности, используя решение данного матричного уравнения. Например, при С = I, где

1 — единичная матрица, оценка будет выглядеть следующим образом [17|:

||у(()|| < ^2\\А\\\\Н| ехр (-Ь(0)1, « > 0. (0.7)

Здесь и далее в качестве матричной нормы используется спектральная норма. Отметим, что, во-первых, нахождение решения матричного уравнения (0.6) является хорошо обусловленной задачей (см. [13]), во-вторых, используя решение матричного уравнения (0.6), можно указать оценки на множества притяжения стационарных решений нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Функционал Ляпунова - Красовского (0.5) можно использовать при исследовании асимптотической устойчивости решений систем нелиней-

уравнений с запаздывающим аргументом. Но

< 0.

использование такого функционала не позволяет получить аналоги оценки Крейна (0.7). Впервые аналоги оценки Крейна для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом удалось получить в работах [22], [61], [85], [88]. Результаты данных работ были получены с использованием различных модификаций функционала Ляпунова - Кра-совского.

В частности «I в работе [22] был предложен функционал Ляпунова -Красовского следующего вида.

Ь

у(г,у) = (Ну(г),у(г)) +1(К(г - в)у(8),у(8))йз. (0.8)

Ь-т

Заметим, что отличие данного функционала от функционала (0.5) за-

к

результат из работы [22] для системы (0.1).

Рассмотрим начальную задачу для системы (0.1): &

-у(г) = Ау(г) + Ву(г - т), г> о, < у (в) = ф(з), в е [-т, 0], (0.9)

^ у(+0) = ф(0),

где ф(з) е С([-т, 0]) заданная вектор функция.

Теорема 0.2. Предположим, что существуют матрицы Н = Н* > 0 и К (в) е С :([0,т]) такие, что

&

К(з) = К*(з) > 0, —К(в) < 0, в е [0,т],

&8

и составная матрица

с = _ ( НА + А*Н + К(0) НВ \ С = V В*Н -К(т) )

положительно определена. Тогда для решения у (г) начальной задачи (0.9) справедлива оценка

Цу(г)11 <\1 нт1гпу(0,ф)е-^2, (0.10)

где

{стт 1

Н \\ 5 к > , 0

у(0,ф) = (Нф(0),ф(0)) + ! (К (—в)ф(в),ф(в))йв,

— Т

Ьт{п > 0 стт > 0 — минимальные собственные значения матриц Н и С соответственно, к > 0 максимальное число такое, что

й

—К(в) + кК(в) < 0, в е [0,т]. йв

Оценка (0.10) является аналогом оценки Крейна (0.7). Отметим, что использование функционала вида (0.8) позволяет получить аналоги оценки Крейна (0.7) для решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, а также оценить множество притяжения нулевого решения.

Аналогичные результаты были получены для системы дифференциальных уравнений следующего вида:

й

- (у (г) + Бу (г — Т)) = Ау(г) + Бу(г — т), г> 0, (0.11)

здесь Б, А, Б — матрицы размера п х п. В литературе системы вида (0.11) называют системами нейтрального типа.

При исследовании экспоненциальной устойчивости решений (0.11) Г.В. Демиденко в [77] предложил использовать функционал Ляпунова -Красовского СЛбДуЮТЦбГО ВРГД^сЬ.

у(г, у) = (Н(у(г) + Бу(г — т)), (у(г) + Бу(г — т)))

Ь

+ 1 (К (г — в)у(в),у(в))йв. (0.12)

Ь—т

Приведем результат Г.В. Демиденко из [77].

Теорема 0.3. Пусть \\D\l < 1. Предположим, что существуют матрицы

Н = Н* > 0, К (в) е С :([0,т])

такие, что

d

K (s)_ K*(s) > 0, dfK (s) < s e [0,t],

ds

при этом

C _ _i HA + A*H + K (0) HB + A*HD \ 0

_ V B*H + D*HA D*HB + B*HD - K(t)) > '

Тогда нулевое решение системы (0.11) экспоненциально устойчиво.

В работе [77] также установлены оценки решений системы (0.11), которые являются аналогами оценки Крейна (0.7). Данные оценки характеризуют экспоненциальную скорость убывания решений на бесконеч-

D

Данные результаты были обобщены в работе [19] на случай, когда спектр матрицы D принадлежит единичном у кругу {X e C : \Х\ < 1}.

В отличие от автономных систем задача об устойчивости решений неавтономных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием менее изучена. Основные результаты получены для систем линейных периодических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. В литературе имеются также некоторые обобщения на случай почти периодических коэффициентов [5], [54]. Основы теории устойчивости решений линейных дифференциальных уравнении с запаздывающим аргументом с периодическими коэффициентами заложены в работах A.M. Зверкина [29], А. Стокса [91], А. Халаная [58], В. Хана [84], Дж. Хейла [60], С.Н. Шиманова [66], Ю.В. Комленко и E.J1. Тонкова [34]. Основным подходом в этих исследованиях является развитие теории Флоке и использование оператора монодромии, являющегося обобщением матрицы монодромии для обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Помимо указанного подхода к проблеме устойчивости решений линейных периодических систем с запаздывающим аргументом в литературе развиваются: метод производящих функций (см., например, [40], [53], [65]), метод монотонных операторов (см., например, [1], [2], [3], [10]), метод функционалов Ляпунова - Красовского (см., например, [27], [32], [33], [38], [39], [51], [52], [62]). Следует отметить, что существующие условия экспоненциальной устойчивости решений неавтономных систем дифференциальных уравнений с

запаздывающим аргументом проверить достаточно сложно. Трудности возникают также при описании областей притяжения при рассмотрении систем нелинейных уравнений, а также при получении асимптотических оценок решений при г ^ ж>.

Аналог оценки Крейна (0.7) для систем

й

-у(г) = А(г)у(г) + б (г)у (г — т) + г (г, у(г),у(г — т)),

(0.13)

А(г) = А(г + т), б (г) = б (г + т), т>т,

появился в работе [22]. Здесь А(г), Б (г) — матрицы раз мера п х п с непрерывными элементами, Г(г,и1,и2) — непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая локальному условию Липшица по П1 и оценке

\Г(г,и1,щ)\\ < Я1 КГ-1 + ЫЫ^2, Я1,Я2 > 0, > 0.

В работе [22] был предложен новый функционал Ляпунова - Красовского

у(г,у) = (Н(г)у(г),у(г)) + у (К(г — в)у(в),у(в))йв.

Ь—т

Сформулируем результат из [22].

Теорема 0.4. Предположим, что существуют матрицы

Н (г) = Н *(г) е С 1([0,т]), К (в) = К *(в) е С 1([0,т])

такие, что

й

Н (0) = Н (Т) > 0, К (в) > 0, —К (в) < 0, в е [0,т],

йв

и составная матрица

х ± н (г) + н (г)А(г) + А*(г)Н (г) + К (0) н (г) б (г)

(0.14)

С(г = I в*(г)н(г)

—к (т )

положительно определена на отрезке [0, Т]. Тогда нулевое решение (0.13) асимптотически устойчиво.

Помимо указанной теоремы в работах [22], [23] были получены оценки решений, которые характеризуют экспоненциальное убывание на бесконечности, и оценки на множество притяжения нулевого решения.

г

В работе [25] аналогичные результаты были получены для системы

й

-(у(г) + Бу(г-Т)) = Л(г)у(г) + в(г)у(г-т) + ^(г,у(г),у(г-т)), г > о,

Л(г) = Л(г + т), в (г) = в (г + т),

с использованием следующего функционала Ляпунова - Красовского:

у(г,у) = (и(г)(у(г) + Бу(г - т)), (у(г) + Бу(г - т)))

£

+ / (К(г - 8)у(8),у(з))й8. (0.15)

Ь-т

Данный функционал был В В (З^Л^СЗ н в работе [24].

Отметим, что подход, который развивается в работах [22]-[25], [77], позволяет сводить задачу об экспоненциальной устойчивости решений систем дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием к решению хорошо обусловленных задач. В диссертации данный подход будет применяться при исследовании экспоненциальной устойчивости решений некоторых классов систем дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием. Цель работы.

1. Исследование экспоненциальной устойчивости нулевого решения некоторых классов систем дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием.

2. Получение конструктивных оценок решений систем дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием, характеризующих экспоненциальное убывание на бесконечности, и конструктивных оценок на множества притяжения нулевого решения.

3. Нахождение конструктивных условий на возмущения, при которых сохраняется экспоненциальная устойчивость нулевого решения.

Обзор основных результатов диссертации.

В первой главе исследована экспоненциальная устойчивость нулевого решения систем линейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием. В частности, в первом параграфе рассмат-

ривается следующая система:

(

-у(г) = Ау(г) + в (г — в)у(в)(в,

(0.16)

Ь—т

где А — матрица размера пхп, Б (в) — матрица раз мера пхпс непрерывными элементами при в е [0,т]. Для данной системы ставится начальная

3 сЬД^сЬЧ^ сЬ •

(

-у(г) = Ау(г) ^ в (г — в)у(в)(в, г > 0,

Ь—т

у(в) = Ф(в), в е [—Т, 0],

(0.17)

[ у(+0) = ф(0),

где ф(в) е С([—т, 0]) — заданная вектор-функция. Экспоненциальная устойчивость нулевого решения системы (0.16) исследуется с помощью функционала Ляпунова - Красовского СЛвДуЮЩвГО ВГГД^сЬ.

т Ь

у(г,у) = (Ну (г), у (г)) + ^ ^ (К (г — в)у(в),у(в)) (в(п.

0 Ь—п

Данный функционал является аналогом функционала (0.8).

Теорема 0.5. Пусть существуют матрица Н = Н* > 0 и матрица

К (в) = К *(в) е С 1([0,т ]) такая, что

(

К (в) > 0, —К (в) < 0, в е [0,т], (в

при этом матрица

Р = —НА — А*Н — тК (0)—Н

Б (в) К—1(в)Б *(в)(в

Н

положительно определена. Выберем число к > 0 такое, что

(

—К(в) + кК(в) < 0, в е [0,т]. (в

(0.18)

Ь

Ь

Тогда для решения начальной задачи (0.17) справедлива следующая оценка:

||у(г)|| < \\Н-1\\2е-2(0,ф),

где

7 = тт{р^к} , Ртт > 0 — минимальное собственное число матрицы Рн = Н-2 РН-2;

тт

т 0

V (0, ф) = {Нф(0),ф(0)> + у у {К (-в)ф(в),ф(в)> (в(г).

0 -п

Отметим, что из теоремы 0.5 вытекает экспоненциальная устойчивость нулевого решения системы (0.16).

Во втором параграфе рассматривается система линейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием с периодическими коэффициентами

Ь

( С

-у(г) = А(г)у (г) + у в (г,г - в)у(в)(в, (0.19)

Ь-т

где А(г) — матрица раз мера п х п с непрерывными Т-периодическими элементами, В (г, в) — матрица размера п х п с непрерывными элеменТ

А(г + т ) = А(г), в (г + Т,в) = в (г, в).

При получении результатов использовался функционал Ляпунова -Красовского, который является аналогом (0.14):

т Ь

v(г,y) = {Н(г)у(г),у(г)> ^{К(г - в)у(в),у(в)>(в(п.

0 Ь-п

Рассмотрим для системы (0.19) следующую начальную задачу:

Ь

(

-у(г) = А(г)у(г) + у в (г,г - в)у(в)(в, г> 0,

ь-т (0.20)

у(в) = ф(в) в е [-Т

[ у(+0) = ф(0),

где ф(в) е С([—т, 0]) заданная вектор функция.

т

ца Н (г) = Н * (г) и матрица К (в) = К * (в) е С 1([0,т]) такие, что

(

Н (г) > 0, г е [0,Т], К (в) > 0, —К (в) < 0, в е [0,т].

(в

к>0

справедливо неравенство

т

! 7н(в)((в > 0, (0.21)

0

где

Ч.н(г) = тт{ртт(г),к} ,

Ртт(г) ~ минимальное собственное число матрицы

Рн (г) = н—1 (г)Р (г)Н—1 (г),

Р (г) = — (Н (0 — Н (г)А(г) — А* (г)Н (г) — тК (0)

—Н (г)

Н (г).

Т

J Б *(г,в)К—1(в)в (г,в)(в 0

Тогда для решения начальной задачи (0.20) справедлива следующая оценка:

\\у(г)\\ < \\н—1 (г)\\1 ехр I2(0,ф),

где

Т 0

у(0,ф) = (Н(0)ф(0),ф(0)) + | ¡(К(—в)ф(в),ф(в)) (в(п.

о —п

Заметим, что из теоремы 0.6 следует экспоненциальная устойчивость нулевого решения системы (0.19).

В третьем параграфе исследовалась задача о робастной устойчивости систем (0.16), (0.19). Для системы (0.16) рассматривался случай

наличия постоянных возмущений коэффициентов, ДЛЯ С И С 'X' (3 M ьт (0.19) -случай наличия периодических возмущений. Для примера, приведем результат для системы (0.19). Рассмотрим систему следующего вида:

t

d Î

-y(t) = (A(t) + Ai(t))y(t) + J (B(t,t - s) + Bi(t, t - s))y(s)ds, (0.22)

t-T

где A(t), Ai (t) — матрицы с непрерывными Т-периодическими элементами, B (t, s)7 Bi(t, s) — матрицы с непрерывными элементами, Т-периодическими по первой переменной. Выпишем начальную задачу для системы (0.22):

d

dy(t) = (A(t) + Ai(t))y(t)

t

< +J(B(t,t - s) + Bi(t,t - s))y(s)ds, t> 0, (0 23)

t-T

y(s) = V(s), s e [-т,0],

^ y(+0) = ф(0),

где ф(.в) e C([-т, 0]) заданная вектор функция.

Теорема 0.7. Пусть выполнены условия теоремы 0.6. Тогда существуете > 0 такое, что для любых матриц возмущений Ai(s), Bi(t, s), удовлетворяющих неравенствам

WAi(t)W <£, WBi(t,s)W <£, t > 0, s e [0,т],

нулевое решение системы (0.22) экспоненциально устойчиво.

Величина £ указана в явном виде (случай обыкновенных дифферен-

циальных уравнений см. в [18], [21]).

Вторая глава посвящена исследованию устойчивости решений линейных систем нейтрального типа с распределенным запаздыванием. В первом параграфе рассматриваются автономные системы вида

г

И г

- (у(г) + Бу(г - Т)) = Ау(г) + у в (г - 8)у(з)й8, (0.24)

г-т

где D, A — матрицы размера n х щ B (s) — матрица размера n х ne непрерывными элементами. Начальная л .я деннои сист6мы будет

выгл-Я-^л^сз'х' следующим образом:

t

d f

- (y(t) + Dy(t - t )) = Ay(t) + J B (t - s)y (s)ds, t > 0,

— (0.25)

y(s) = ¥(s), s e [-t,0],

[ y(+0) = ф(0),

где ^(s) e C:([—t, 0]) заданная вектор функция.

При получении результатов будет использоваться функционал Ляпунова - Красовского следующего видО).

v(t, y) = (H(y(t) + Dy(t - t)), (y(t) + Dy(t - t)))

t t t

+ J J (K(t - s)y(s),y(s)) dsdn + J (M(t - s)y(s),y(s)) ds.

0 t-n t-T

Данный функционал является аналогом функционала (0.12). Далее сформулируем теорему в которой получим предварительные оценки решений.

Теорема 0.8. Пусть существуют матрица H = H * > 0 и матрицы K (s) = K * (s) e C 1([0,t ]), M (s) = M * (s) e C1 ([0, t ]) такие, что

dd K (s) > 0, —K (s) < 0, M (s) > 0, —M (s) < 0, s e [0,t], (0.26) ds ds

и предположим, что выполнены условия

R = -(M(t) - D*M(0)D) - D*K(0)D > 0, (0.27)

t

t

P = tQii - TQnQ-iQ*-J Qi3(s)Q-31(s)Q*3(s)ds > 0, (0.28)

0

где

Qii = -1 (HA + A*H + M(0)) - K(0), t

Q12 = -(HA + M (0))D + K (0)D, Q22 = R, (0.29)

t

Qia(s) = -HB(s), Q33(s) = K(s), s G [0,т]. Выберем число k > 0 такое, что d d

—K(s) + kK(s) < 0, —M(s) + kM(s) < 0, s G [0,т]. ds ds

Тогда для решения задачи (0.25) справедлива следующая оценка:

v(t,y) < e-YHtv(0,ф),

где

Yh = min {p^n Щ , Р^пт > 0 — минимальное собственное значение матрицы PH = H—2PH—2,

v(0, ф) = (H(ф(0) + Бф(-т)), (ф(0) + Бф(-т)))

т 0 0

+ J J{K(—s^(s)^(s)) dsdn + J(M(-s)ф(s),ф(s)) ds.

0 —n —т

Заметим, что из условия положительной определенности матрицы R из (0.27) следует, что спектр матрицы D лежит в единичном круге {X G C : |X| < 1}. Следовательно, \\D't\\ ^ 0 при i ^ ж.

Перед формулировкой теоремы с оценками решений начальной задачи (0.25) введем обозначения:

Ф = max ||ф(ЛII,

tG [—т,0]

/ т n т

© = \\H—1\\l/2 | 2\\H\\(1 + \\D\\2) + J J \\K(s)\\dsdn + J \\M(s)\\ds

0 0 0

Теорема 0.9. Пусть

а) выполнены условия теоремы 0.8,

б) l — такое минимальное чиело, что \\Dl\\ < 1. 1. Если \\Dl\\2ellHт < 1, mo для решения начальной задачи (0.25) справедлива оценка

\\y(t)\\ < Фе 2

х (© (1 - \\Б1\\е ^ )-1 £ \\Б3 ||е ^ + твхЦтв ^, • • •, Б ||е ^}

\ 3=0

2. Если \\Б1 \\2в11нТ = 1, то для решения начальной задачи (0.25) справедлива оценка

7Н А.

\\у(г)\\ < Фе-~Ь

/„ Ь \ ,, „3,, 01НТ г , ,, „ ,, 2НТ ,, 1 ,, (-1)7нТ . \

х^6^1 + —^ ^ \\е 2 + тах{1, \\Б\\е 2 \\Б1 1\\е 2 .

3. Если ЦБ1 \\2е11нТ > 1, то для решения начальной задачи (0.25) справедлива оценка

\\у(г)\\ < Ф\\Б1 \\ -1

/ _ 1 1-1 \ х ( в{1 - ЦБ1 \-1е- £ ЦБ\\е^ + тах{1, ЦБЦ ..., ЦБ-1!}).

^ 3=0 '

Заметим, что из теоремы 0.9 следует экспоненциальная устойчивость нулевого решения системы (0.24).

Во втором параграфе рассматривается случай периодических коэффициентов:

Ь

( С

- (у (г) + Б(г)у(г - т )) = А(г)у(г) + у в (г,г - в)у(в)(в, (0.30)

Ь-т

где Б (г) — матрица раз мера п х п с непрерывно дифференцируемыми Т-периодическими элементами, А(г) — матрица раз мера п х п с непрерывными Т-периодическими элементами, В (г, в) — матрица размера п х п

Т

первой переменной элементами, т. е.

Б(г) = Б(г + т), А(г) = А(г + т), в (г, в) = в (г + т, в).

При исследовании экспоненциальной устойчивости нулевого решения будем использовать следующий функционал Ляпунова - Красовского:

у(г,у) = (И(г)(у(г) + Б(г)у(г - т)), (у(г) + Б(г)у(г - т)))

+ У ]{К(I - 8)у(з),у(8)) —8—П + у (М(г - 8,8)у(з),у(8)) —8.

о — ь-т

Данный функционал является аналогом функционала Ляпунова - Кра-совского (0.15).

Рассмотрим начальную задачу для системы (0.30):

Г —

-(у(г) + й(г)у(г - т)) = А(г)у(г)

ь

(0.31)

+ у в (г,г - в)у(в)-8, г > о,

Ь-т

у(8) = Ф(8), 8 е [-т,0],

[ у(+0) = ф(0),

где ф(8) е С 1([-т, 0]) заданная вектор функция.

Теорема 0.10. Пусть существуют гладкая Т-периодическая матрица Н(г) = Н*(г) > 0, матрица К(8) = К*(8) е С 1([0,т]) и матрица М(8,^) = М*(8,$)), 8 е [0,т], ^ е К, непрерывная по совокупности

Т

периодическая по второй переменной, при этом

—

К(8) > 0, —К(8) < 0, 8 е [0,т], —8

д

М(.8,() > 0, —М(8,^) < 0, 8 е [0,т], £ е К. д8

Предположим также, что выполнено следующее условие:

я(г) = 1(м(т,г - т) - б*(г)м(0,г)Б(г))

т

-Б*(г)К(0)Б(г) > 0, г е [0,Т]. (0.32)

Обозначим через р^п(г) минимальное собственное значение матрицы

рн (г) = н-2 (г)р (г)н-2 (г), (0.33)

т

р(г) = тЯп(г) - тд12(г)д2-21(г)д!2(г) -1 яи(г, 8)д3-з1(8)д1з(г, 8)—8,

о

ь

ь

Яи(ь) = -- ((г) + н(г)л(г) + л*(г)н(г) + м(0, г)^ - к(0),

Яп(г) = -(н(г)л(г) + м(0,г))Б(г) + к(0)Б(г), д^г) = я(г), (0.34)

т

Яи(г, в) = -н (г) в (г, в), д^з) = к (з).

Выберем число к > 0 такое, что

й

—К(з) + кК(в) < 0, в е [0,т], (0.35)

йВ

д

—М(з,^)+ кМ(в) < 0, в е [0,т], £ е К. (0.36)

дз

Тогда для решения начальной задачи (0.31) верна следующая оценка:

у(г,у) < ехр 17н(з)йз^(0,ф), (0.37)

где

Ч.н(г) = тт{ртт(г),к} , у(0, ф) = {н(0)(ф(0) + Б(0)ф(-г)). (ф(0) + Б(0)ф(-г)))

т 0 0

+ ^ !{К( з)ф(з), ф(з)) йзйп + !{М( в, з)ф(з), ф(з)) йз.

0 —п —т

Отметим, что выполнение условий теоремы 0.10 нсз .влсз^кз'х1 экспонен циальную устойчивость нулевого решения системы (0.30), поскольку в оценке (0.37) 7н(г) может быть отрицательна при всех г е [0,Т]. Заметим, что из условия (0.32) и условий на матрицы К(з)7 М(в,£) следует, что Ь(г) = М(0, г) > 0 явлется Т-периодическим решением следующего матричного уравнения:

ь(г - т) - в*(г)ь(г)о(г) = с (г), с (г) = с* (г) > 0, (0.38)

где элементы матрицы С (г) непрерывн ы и Т-перподнчны. Следовательно, нулевое решение системы разностных уравнений с запаздывающим аргументом

^(г) = Б(г)х(г - т), Б(г) = Б(г + т), (0.39)

экспоненциально устойчиво. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема 0.11. Следующие утверждения эквивалентны:

1. Нулевое решение системы (0.39) экспоненциально устойчиво.

2. Существует единственное непрерывное T-периодическое решение L(t) = L*(t) > 0 t Е [0,T], матричного уравнения (0.38).

Введем обозначения:

Ф= max \\шШ\, (0.40)

tG [—т,0]

© = max \\h—[(s)\\i/2( 2\\h (o)\\(i + \\d(o)\\2)

sE[0,T ] t n

+ J J \\K(s)\\dsdn + J \\M(s, — s)\\ds | , (0.41)

0 0 0

C = exP ЫI/ ^ds — •

вм = /max \\M (0, s)\\ max \\M—1 (0,s)\\, (0.43)

у sE[0,T] se[0,T]

ам = mma^1 — M~2 (0,s — r)(M(0,s — t) — D*(s)M(0,s)D(s))— 1

i —1\ xM2(0, s — t) j. (0.44)

При этом ам Е [0,1). В следующей теореме приведем оценки решения начальной задачи (0.31).

Теорема 0.12. Пусть

а) выполнены условия теоремы 0.10,

б) Д = ¡T ^ds > 0.

1. Если а]/2еАт < 1, то для решения начальной задачи (0.31) справедлива оценка

|y(t)\\ < Фвма~м1/2е—м©с (l — а]/2еАт

-1

2. Если а]/2вАт = 1, то для решения начальной задачи (0.31) справедлива оценка

\\у(г)\\ < Фвма~м1/2е-М(в-г + вс + 1^ .

3. Если а]/2вАт > 1, то для решения начальной задачи (0.31) справедлива оценка

\\у(г)\\ < Фвмам/2а& (вс (1 - ам1/2в-Ат)- + а1^ .

Условия а) и б) являются достаточными условиями экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы (0.30).

Третий параграф посвящен исследованию робастной устойчивости систем (0.24) и (0.30). Для системы (0.24) рассмотрен случай постоянных возмущений коэффициентов, для системы (0.30) — случай Т-периодических возмущений коэффициентов. Рассмотрим случай наличия возмущений для системы (0.30):

г

( - - Г ^

- (у(г) + б (г)у(г - т )) = А(г)у(г) + в (г,г - в)у(в)(в, (0.45)

г-т

где

б (г) = б (г) + б (г), А(г) = А(г) + Аг(г), В(г,в) = в(г,в) + вг(г,в), г е к, 5 е [0,т],

Б(г) А(г), В (г, в) — матрицы го системы (0.30), Б\(г) — матрица воз-

Т

тами, А\(г) — матрица возмущений с непрерывными Т-периодическими элементами, В\(г,в) — матрица возмущений с непрерывными элемента-Т

(0.46)

Рассмотрим начальную задачу для системы (0.45):

Г d - -

-(y(t) + D(t)y(t - т)) = A(t)y(t)

t

+ J B(t,t - s)y(s)ds, t > 0,

t-т

y(s) = ¥(s), s e [-т,0],

[ y(+0) = ф(0),

где ^(s) e C:([-т, 0]) заданная вектор функция.

Теорема 0.13. Пусть выполнены пункты а) и б) теоремы 0.12, тогда существует е > 0 такое, что для любых матриц возмущении Di(t), Ai(t), Bi(t,s), удовлетворяющих неравенствам

||Di(t)|| < е, ||Ai(t)П < е, ||Bi(t,s)|| < е, t e [0,T], s e [0,т],

нулевое решение системы (0.45) экспоненциально устойчиво, и для решения начальной задачи (0.4-6) имеют место аналогичные оценки из теоремы 0.12.

В третьей главе исследуется устойчивость нулевого решения классов систем нелинейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием . Первый параграф посвящен автономному случаю. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием следующего вида:

dty(t) = Ay(t) + j B(t - s)y(s)ds + F (y(t),j y(s)ds J , (0.47)

t-т \ t-т )

где размера nxn,B (s^^^^^a раз мера nxnc непрерыв-

ными элементами при s e [0,т], F(ui,u2) — вещественнозначная непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая локальному условию Липшица по (ui,u2) и следующей оценке:

HF(ui,u2)|| < qiHuiHi+^1 + q2Hu2Hi+-2, (0.48)

где

qi, q2 > 0, ui, u2 > 0 - const.

Рассмотрим начальную задачу для (0.47):

(

-у(г) = Ау(г) + у в (г - в)у(в)(в

г—т

+р \у(г), у(в)(в| , г> о,

г—т

(0.49)

у(в) = Ф(в), в е [-т,0],

^ у(+0) = ф(0),

где ф(в) е С([-т, 0]) заданная вектор функция.

При исследовании устойчивости нулевого решения будет использоваться следующий функционал Ляпунова - Красовского, аналогичный функционалу (0.8):

т г

у(г,у) = (Ну (г), у (г)) + ^ ^ (К (г - в)у (в),у (в))(в(п

о г-п

+ (м(г - в)у(в),у(в))(в.

гт

Сформулируем теорему, которая является аналогом теорем из [22

[231 Ш) г10!-

Теорема 0.14. Пусть существуют матрица Н = Н* > 0 и матрицы К (в) = К *(в) е С ЧМ), М (в) = М *(в) е С :([0,т]) такие, что выполнены неравенства (0.26). Выберем к > 0 так, что

((

—К(в) + кК(в) < 0, —М(в) + 2кМ(в) < 0. (в (в

Предположим также, что матрица

(0.50)

Р = -НА - А*Н - М(0) - тК(0) - Н

В (в) К-1 (в)В *(в(

Н

г

г

г

является положительно определенной. Выберем число а > 0 так, что

ая2Г1+"2\\И|| <1ННтги, (0.51)

где

1н = тт^т^к},

Нтп > 0 — минимальное собственное значение матрицы И, р^т > 0 минимальное собственное значение матрицы РН = И-2РИ-2. Тогда для решения (0.49) с начальными данными из множества

Е =\ ф е С([-т, 0]) : у(0ф) < г-2/ш1,

о

к (И (-З)ф(8),ф(8)) - 92 Т ^ ^11 \\ф(5)\\2+2"Л (18 > 0, 2 а /

Н-1

шги

ш /к ,Л-2/ш1 , X2 ак\\И-1(т)

1 - туш1/2(0,ф) ^(0,ф) <—0-^

- ) 92т ш2\\И\\

-1/Ш1

справедлива следующая оценка:

1 б Г

\\у(г)\\ <-^=в--2г 1 - ТУШ1/2(0,ф) у1/2(0,ф),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ыскак Тимур, 2021 год

Г - - -

-(»(() + з(г)у(г - Т)) = лш*)

t

+ В (*,* - в)у(в)йв, * > 0,

(2.3.10)

г-т

У(в) = ^(5), 5 е [-Т, 0], ^ у(+0) = ф(0),

где ф(в) е С 1([-т, 0]) заданная вектор функция.

Теорема 2.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.3, тогда существует е > 0 такое, что для любых матриц возмущений В1(Ь), Л1(Ь), В1(Ь,в), удовлетворяющих неравенствам

||А(*)|| <е, ||Л1(*)У < е, \\В1(г,в)\\ < е, * е [0,Т], в е [0,т],

нулевое решение системы (2.3.9) экспоненциально устойчиво.

Так как выполнены условия теоремы 2.2.3, то определены матрицы Н(*), К(в), М(в,^). Введем аналог обозначений (2.2.4), (2.2.6):

§11* = -- (—Н(*) + н(г)А(г) + А*(*)Н(*) + м(0, ^ - к(0), с?12(*) = -(н(1)А(г) + м(0, *))3(*) - к(0)3(*), (2.3.11)

Т

<Ы*) = %) = - (м (т, * - Т) - в * (*)м (0, г)в (*)) - в * (*)к (0)6 (*), <§1з(*, в) = -Н (г)В(г, в), (§33(5) = (зз(в) = к (в).

Отметим, что при выполнении условий теоремы 2.2.3 и при достаточно малой по норме 31(*) матрица (22(*) = Я(*) будет положительно определенной и обратимой. Условие на то, насколько малой должна быть матрица 31(*), будет сформулировано в следующей лемме. Также введем аналог матрицы Рн(*) из (2.2.5):

Рн (*) = н -1 (г)Р(г)н -2 (*),

т

р(г) = тЯп(г) - тЯпЮЯ^(г)Я\2(г) -1 Яи(г, з)^1(з)Я\3(г, з)аз.

0

Теорема 2.3.3 будет следовать из следующей леммы и того, что

\\Ры(г) - Рн(г)У ^ 0, г е [0,т],

Шах \\Л>1 (г)У + тах \\Л1(г)\ + тах \\^1 (г,з)\ —^ 0.

ге[0,т]

«е[0,т ]

¿е[0,т] ге[0,т] ^[0,т]

Лемма 2.3.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.3, и матрицы возмущении Б1(г), А1(г), В1(г,з) удовлетворяют следующим неравенствам:

|А(г)\\ < ( \\Б(г)\\2 + т

я-1(г)\\(т\\к (0)\\ + \\м (о, г) \))

-\\£>(г)\\, г е [0,т], (2.3.12)

т т

I \\Рн(з) - Рн(з)\\аз <1 ¿з, (2.3.13)

00 где матрица Я(г) определена в (2.2.4), ^н(г) из (2.2.8). Тогда для решения начальной задачи (2.3.10) справедлива оценка

у(г,у) < ехр

/ т \

[ 7н(з) , тах -аз

ее[0,т и 2

V * )

t

ехр \-[ ¿з\у(0,ф), (2.3.14)

у(0,ф) определено в (2.2.9).

Доказательство леммы. Из условия (2.3.12) следует положительная определенность Т-периодической матрицы Л (г), г е К. Доказательство этого факта аналогично доказательству в лемме 2.3.1 утверждения, что из (2.3.5) следует положительная определенность матрицы/?. Далее по аналогии с доказательством леммы 1.3.2 получаем оценку (2.3.14).

Лемма доказана.

Также имеет место аналог теоремы 2.2.3. Сначала напомним обозначения, введенные перед теоремой 2.2.3:

Ф = max II,

te[-r, 0]

0 = max \\H-1(s)\\1/2

s£[0,T]"

i

т n т \ 2

x I 2\\H(0)\\(1 + \\D(0)\\2)+ / I \\K(s)\\dsdn + I \\M(s, -s)\\ds

0 0 0

t e

c = exp I max I ^ f Yh(s) ds — [ YH(s) ds 1 1 еФТ] \ T} 2 J 2 00

вм = /max \\M(0, s)\\ max \\M-1 (0,s)\\.

ySe[0,T] sG[0,T]

Обозначим

ам = rrLa^^ 1 - M1 (0, s - т) (и(0,s - т) - D*(s)M(0,s)D(s)

i -i\ xM2(0, s - т) j.

1

Теорема 2.3.4. Пусть

а) выполнены условия теоремы 2.2.3,

б) матрицы возмущений 31(Ь), А1(Ь), В1(*,в) удовлетворяют неравенствам (2.3.12), (2.3.13).

1. Если амеЛт < - то для решения начальной задачи (2.3.10) справедлива оценка

||у(*)|| < Фвмам1/2в-Тг0с (1 - аМ2е'.

2. ЕслиамвАт = 1, то для решения задачи (2.3.10) справедлива оценка

||у(*)|| < Фвмам1/2в-ТЧ + 0с + 1 ) .

т

3. Если амвАт > 1, то для решения начальной задачи (2.3.10) справедлива оценка

\у(г)\\ < фРмам2ам\ вс (1 - ам1/2е ^ + ам2

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.2.3.

Пример 2.3.1. Рассмотрим возмущенную систему для уравнения из примера 2.1.1:

г

а

- (у(г) + (* + А)у(г - т)) = Ау (г) + в (г - з)у(з)аз,

г-1

где

*=(0 0) ■ *=( 0101), А Ч-10010 ■ В« = ( 01(з) 02(.)) . з е [0,1].

— матрица возмущений. Будем предполагать, что элементы матрицы В(з) непрерывны при з е [0,1] и удовлетворяют следующим неравенствам:

165 Г 15

&2(з)аз < — = 10,3125, ь2(з)аз < — ^ 1,36.

16 I 11

Цель данного примера состоит в том, чтобы, используя лемму 2.3.1, показать, при каких е1 нулевое решение данной системы будет экспоненциально устойчивым. В примере 2.1.1 были указаны матрицы функционала Ляпунова - Красовского, которые удовлетворяют условиям теоремы

Н = ( 0'8 2, 2 ) ■ м(з)= ( 0^ ) ■

к(з) = в~кз/, з е [0,1].

1

1

Положим к = 1п33. Матрицы для невозмущенной системы из (2.1.4), (2.1.6) имеют вид:

§11 = 81, §12 = 0, §22 = Я =(ф 6 ?) ,

п ( . ( -0,861(5) 0 \ /33

(1з(в) П 0 -2,262(5) у , (зз(в)^35

Р

/

в

Р=

8 - 0,64 / (35) Ь2(в)—в 0

'3^ в '2/

0 8 - 4,84 у Ь2(в)—в

\ о /

У читi >1в неравенство

1 1

/ (!)' &2<в)—в < §/ б2(в)-в, г = 1,2, оо

и условия на 61(в) 62(в), получим

Р > I.

Следовательно, ртт > 1. Поскольку ртт > 0, то для невозмущенной системы выполнены условия теоремы 2.1.1. Так как

Ц3Ц =2, ||Я-1|| = 1, ЦК (0)|| = 1, ЦМ (0)|| =35,

то неравенство (2.3.5) будет выглядеть следующим образом:

Ы < ^4 + 36 - 2 - 0, 0067.

Посчитаем матрицы из (2.3.3):

(§11 = (11, §1з(в) = §1з(в), (§зз(в) = Язз(в)..

1

/0 0 \ Р _ (6,6 - 8е? -16е1 §12 = (,0 14е 1 , §22 = I -16е1 1 - 36е2

РР

Р = Р - (р12(p221(pÍ2,

т. е.

' 0 0

Р - Р = - I 0 196е1(6,6-8£2)

6,6-501,6^ +288е1

Тем самым, для того, чтобы условие (2.3.6) выполнялось, должно быть справедливо неравенство

196е2(6, 6 - 8е2)

^ 1 ^ ртт < 2 < ~2~'

6,6 - 501,6е2 + 288е Это неравенство будет верным, если

|е 11 < 0,046.

Суммируя результаты, получим, что нулевое решение рассматриваемой системы будет экспоненциально устойчивым, если

Ы < а/4 + 36 - 2 - 0, 0067.

Глава 3. Устойчивость нулевого решения систем нелинейных дифференциальных уравнений с распределенным

запаздыванием

§ 3.1. Автономные нелинейные системы

В данной главе исследуется устойчивость нулевого решения классов систем нелинейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием. Данный параграф посвящен автономному случаю. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием следующего вида:

dty(t) = Ay(t) + У B(t — s)y(s)ds + F I y(t), J y(s)ds I , (3.1.1)

t—т \ t-T )

где A — матрица размера nxn, B (s) — матрица раз мера nxn с непрерывными элементами при s Е [0,т], F(u1,u2) — вещественнозначная непрерывная вектор-функция, удовлетворяющая локальному условию Липшица по (u^u2) и следующей оценке:

\\F(ui,u2)|| < qi\\ui\\l+LJ1 + ЫЫ^2, (3.1.2)

где

q1, q2 > 0, и1, u2 > 0 — const.

Отметим, что при исследовании устойчивости нулевого решения систем нелинейных уравнений важной задачей является нахождение оценок на множество притяжения. Использование функционалов Ляпунова - Красовского позволяет найти не только оценки решений, которые характеризуют скорость убывания npnt ^ то, но и оценки на множество притяжения.

Рассмотрим начальную задачу для (3.1.1):

г

й [

-у(г) = Ау(г) + у В (г - в)у(в)йв

г—т

I у(г), у(в)йв | , г> 0,

г—т

(3.1.3)

у(в) = Ф(в), 5 е [-т, 0],

^ у(+0) = ф(0),

где ф(в) е С([-т, 0]) заданная вектор функция.

При исследовании устойчивости нулевого решения будет использоваться следующий функционал Ляпунова - Красовского, аналогичный функционалу (1.1.3):

т г

у(г,у) = {Ну (г), у(г)) + ^ ^ (к (г - в)у (в),у (в))йвйп

о г-п

г

+ (м(г - в)у(в),у(в))йв.

(3.1.4)

гт

Сформулируем теорему, которая является аналогом теорем из [22

[231 [431 г10!-

Теорема 3.1.1. Пусть существуют матрица Н = Н* > 0 и матрицы к (в) = к *(в) е С 2([0,т]), м (в) = м *(в) е С 2([0, т ]) такие, что

к (в) > 0, —к (в) < 0, м (в) > 0, —м (в) < 0, в е [0, т]. к>0

—к(в) + кк(в) - 0, —м(в) + 2км(в) - 0.

Предположим также, что матрица

Р = -НА-А*Н-м (0)-тк (0)-Н

В (в) к-1(в)В *(в)йв

Н (3.1.5)

г

является положительно определенной. Выберем число а > 0 так, что

Щ2т1+Ш2 \\Н\\ <1Нктгп, (3.1.6)

!п = min{pImгn,k}, (3.^7)

ктгп > 0 — минимальное собственное значение матрицы Н, ртгп > 0

1

минимальное собственное значение матрицы РН = Н 2 РН 2. Тогда для решения (3.1.3) с начальными данными из множества

Е =\ ф е С([-т, 0]) : у(0, ф) < г-2^1,

2(М(-з)ф(з),ф(з)) - 92т2\Н" \\ф(з)\2+2^) ¿з > 0,

к'1

тгп

-2М

^2

1 — ГУ

11

ак\\М (т) д2тШ2 \\Н\

справедлива следующая оценка:

\у(г)\\ <

1

л/Кг

в 2 г

1 - ГУ^1/2(0,ф) У1/2(0,ф)

-1/^1

где

г=

291\Н|

6к

1+^/2'

6 =

шт < рН ■

1 .У тгп

Щ2т

1+^2 || Н\

ктгп

,к

(3.1.8)

(3.1.9) (3.1.10)

о

у( г)

задачи (3.1.3), определенное на интервале (0,г'), при этом начальные

ф(з) Е

Красовского (3.1.4) вдоль решения начальной задачи (3.1.3):

г

-I - < Ф)) *

г—т

-(м (т )у(г - т ),у (г - т)) + 2Яе ( Ну (г), г 1у(г), у(в)йв

о г-п

где

гт

т г г

+ // (жк(г - в)у(в)Мв)) йвйп + ( м(г - в)у(в),у(в)\йв,

гт

§(в) =

1

(11 (12(5) (*2 (в) §22(в)

§11 = — (НА + А*Н + м(0)) - к(0), т

§12 (в) = -НВ (в), (22(5) = к (в), в е [0, т ]. В силу леммы 1.1.1 имеет место следующее представление

гт

Кч у й) «)} -

гт

( §12(г - в)(-21(г - в)(*2(г - в) адг - в) V (*2(г - в) §22(г - в)

х( у м) «)>'в+(Ря Н1 у(г),Н 1 у(г)).

"•У^"'Iи т I > I15с 1'Я то, что слтбдл^^у^тош^а^т к^вадл^ратичн^-Я форма неотрицательно опре-

д 6 л 6н н 9)я •

[( (^(-/(в^в) §12(в) \( Щ \ ( П1 \\

\\(22(в) (22(в) ) \П2 Г \П2)/

= (QM21(в)(QÍ2(в)Щl + (22(в)Щ2), ((22(в)Щ1 + Я22(в)П2)) > 0, и для эрмитовой матрицы Б = Б * справедливо неравенство

втгпЦиЦ2 — (Би,и), (3.1.11)

где втп — минимальное собственное значение матрицы Б, имеем

г

—»(г,у) — -ртгп(Ну(г),у(г)) + | м(г - в)у(в),у(в)^ йв

гт

г

г

г

г \ \ т г

+2Яе(Ну(г),Г ( у(г)^у(з)Лз |\ ^Лк(г - з)у(з),у(з)^ йзйп.

г-т / ' о г-п

В силу (3.1.2) и неравенства Гёльдера получаем

г

¿у(г,у) <-ртгп(Ну(г),у(г)) + у м(г - з)у(з),у(з)^ Лз

гт

+2\\Н\\\\у(«)\\ 1«1\у(г)\1+"' + \\у(в)\1+и»Лз

т г

+ УУ ^к(г - з)у(з),у(з)^ ЛзЛп. о г-п

Используя неравенство 2аЬ < аа2 + Ь2/а, а > 0, имеем

г

Л-гу(г,у) <-ртгп(Ну(г),у(г)) + у (Лм(г - з)у(з),у(з)^ Лз

г-т

+291 \\Н\\\\у(г)\\2+"1 + Ч2Г"2\\Н\\ (ат\\у(г)\\2 + а / \у(з)Г2"гЛз

т г

+ // {Лгк(г - з)у(з),у(з)^ ЛзЛп.

о г-п

Следовательно, в силу (3.1.11)

и* ,у) <-(т - а'2тГ;т") (Нуы))

Лг \ ктгп /

г

+2/ {ЛцМ(г - з)у(з),у(з)) Лз + 2?1\\Н\\\у(г)

г—т

г

t

+ / (К ÍM (í"s)v {s)'v {s)) + 42T"'llH 111У(*>112+2"2)ds

t-T

T t

+ // (dtK(t - s)v(s),v(s^ dsdn. (3.1.12)

0 t-n

В силу второго неравенства в определении множества E и непрерывности решения (3.1.3) либо ^(s) = 0, из чего следует, что решение (3.1.3) y(t) = 0 и оценка (3.1.8) выполнена, либо существует t0 > 0 такое, что при всех t е (0,to)

t

I dM(t - s)v(s),v(s)} + ||v(s)||2+2^ ds< 0. (3.1.13)

t-T

Из (3.1.12) при t е (0,t0) вытекает следующее неравенство:

dtv(t,v) < - (pHm - Щ2ТТ.2H^ Hv(t),v(t))

dt \ hHÍn J

t

W Id

+ 2 J \dt

tT

¡M(t - s)v(s),v(s)^ ds + 2qi||H||||v(t) ||2+W1

T t

d........A

+ JJ \dK(t - s)v(s),v(s)j dsdn.

0 t-n

Используя (3.1.11), определение 5 из (3.1.10), функционал Ляпунова -Красовского (3.1.4), получим

dv(t, v) <-5v(t,v) + «v1+"'/2(í,v).

1 Hin

Если v(t1, v) = 0 при некотором t1; то v(t) = 0 при t е (t1 - т, t1]. Поставив начальную задачу типа (3.1.3) с нулевыми начальными данными на интервале (t1 - т, t1], в силу существования и единственности решения

начальной задачи получим, что у (г) = 0 при всех г > г1. Поэтому можно считать, что *(г,у) > 0. Имеем

, — 1— и

(

* - "и1/2(г,у)^,у) < -5*-Ш1/2(г,у) +

2^1 У Я||

, 1+и/ • 1 шт

Это эквивалентно

|(* -и1/2(г,у)еХ^ - ^

Проинтегрировав от 0 до получим

>

д1и1уИ I "~71+иТ2~

' шт

ехр

*-и1 /2(г,у) ехр

Л > *-и1/2(о, ф)

(3.1.14)

Следовательно,

д1и1уИ I

' .1+^1/2

' шт

*-и1 /2(г,у) ехр

ехр

в (в.

Л > *-и1/2(0,ф)

оо

д1Ш1уИу / / \ _и1 /2, ,

ехр [ —— в (в = V 1 (0, ф) — г,

,1+^/2 ' шт

2

(3.1.15)

г (3.1.9). Отметим, что сходимость интеграла следует

из того факта, что ш1 > 0 5 > 0 Параметр 5 из (3.1.10) положителен в силу (3.1.6). Из (3.1.15) имеем

*(г,у) < е-5г *_и1/2(0,ф) - г

-2/и1

При этом в силу определения Е выражение в квадратных скобках положительно. В силу (3.1.11) и определения функционала Ляпунова -Красовского получаем оценку (3.1.8) при г £ (0,г0]. Покажем, что эта оценка справедлива при всех г < г'. Для этого достаточно показать, что неравенство (3.1.13) выполнено при всех г < г', тогда, повторяя рассуж-двния после (3.1.13), получим оценку (3.1.8). Докажем от противного.

2

г

2

2

Знаем, что при £ € (0,£0) выполнено (3.1.13). Предположим, что^ — это первая точка, где интеграл из левой части (3.1.13) равен 0, а при £ < ¿1 выполнено (3.1.13):

и

К Iм (£ — в)

и- т

У(8),У(8)) + уу = 0.

1=1 ' а

Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям после (3.1.13), получим, что оценка (3.1.8) справедлива при £ < ¿ь Из третьего неравенства в определении Е и оценки (3.1.8) при £ € (0,£1] имеем

,, /Ч||2() акЦМ—1(т)Ц—1

1|У(£)11 < -У-итт ,

ЦИ || '

следовательно, либо у (£) = 0 при всех £ € [£1 — т, £1], тогда в силу существования и единственности решения начальной задачи получим, что у(£) = 0 при £ > £1 и оценка (3.1.8) выполнена, либо на ненулевой мере отрезка [£1 — т, £1] будет выполнено строгое неравенство

Ч2Т^ЦИЦ Цу(£)Ц2+2^2 < кЦМ—1(т)Ц—1Цу(£)Ц2.

а

м(8)

¿1 ¿1

/„ т| и 11 Г

— Цу(^)Ц2+2"2 ¿П< к(М (£1 — п)у(п),у(п)Мп

¿1 — т ¿1 — т

^ /

<4 КIм(£ — п)

11—т ^

у(п),у(п)) ¿п.

г=и

Противоречие. Следовательно, (3.1.13) выполнено при всех£ < £'. Повторяя рассуждения после (3.1.13), получаем, что оценка (3.1.8) выполнена при всех £ < £'. По непрерывности можно определить значение у(£) в

точке г'. Рассмотрим начальную задачу типа (3.1.3):

& Г

—г(г) = Лг(г) + в (г - 8)г(8)&8

Ь-т

(г), у г (8)&8^ , г>г

г(8) = у(8), 8 е [г' - г,г% г (г' + 0) = у (г').

Данная начальная задача однозначно разрешима, поэтому решение на-

у( г)

начальнои задачи г > 0 в ышес к^

занные рассуждения, получим справедливость оценки (3.1.8) при всех

г>0

Теорема доказ ан а.

Отметим, что в теореме 3.1.1 оценка (3.1.8) характеризует экспоненциальное убывание рбШбНИИ НО) бесконечности, у которых начальные данные лежат в множестве Е. Тем самым при выполнении условий теоремы 3.1.1 получаем, что нулевое решение системы (3.1.1) экспоненциально

Е

шения системы (3.1.1).

Теорема 3.1.2. Пусть существуют матрица Н = Н* > 0 и матрицы К(8) = К*(8) е СН[0,т]), М(8) = М*(8) е С!([0,т]) такие, что & &

К(8) > 0, —К(8) < 0, М(8) > 0, —М(8) < 0, 8 е [0, т].

Предположим также, что матрица Р из (3.1.5) является положительно определенной. Тогда нулевое решение системы (3.1.1) экспоненциально устойчиво.

Заметим, что при исследовании устойчивости нулевого решения линейных систем в параграфе 1.1 использовался функционал Ляпунова -Красовского (1.1.3), отличный от (3.1.4). Тем не менее, если для линеаризованной системы (1.1.1) выполняются условия теоремы 1.1.2, то и для

г

г

системы (3.1.1) выполняются условия теоремы 3.1.2. Продемонстрируем это на следующем примере.

Пример 3.1.1. Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:

t

( [

-у (£) = —ау(£) + Ь(£ — 8)у(8)(8 + у2(£),

г—1

где а > 0 Ь(8) непрерывная на [0,1] функция. Проводя соответствие с (3.1.2), получим д1 = 1, ш1 = 1, д2 = 0. Линеаризованное уравнение совпадает с уравнением из примера 1.1.1. В данном примере было показано, что если

1

J Ь2(8)й8 < а2, (3.1.16)

о

то нулевое решение линеаризованного уравнения экспоненциально устойчиво. Докажем, что при этих же самых условиях нулевое решение исходного нелинейного уравнения также будет экспоненциально устойчиво. Выберем И и К(8) как и в примере 1.1.1:

И =-, К(8)= в—кз, 8 € [0, 1],

а

где

к=— 1-(/ ¥

Матрицу М(8) укажем позже. Получим

1 2 1 2 Р = 1 — М(0) — [ ^вкайз > 1 — М(0) — ек [ ^(1з

а2 а2

оо

1 1 = 1 — м(0) — | / Ш(8

Укажем М(в):