Устойчивость систем линейных автономных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Мулюков Михаил Вадимович

• Мулюков Михаил Вадимович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Мулюков Михаил Вадимович

2.3.1 Кривые D-разбиения

2.3.2 Прямые D-разбиения

§ 2.4 Классификация двупараметрических характеристических уравнений

2.4.1 Характеристическое уравнение первого рода

2.4.2 Характеристическое уравнение второго рода

2.4.3 Характеристическое уравнение третьего рода

2.4.4 Характеристическое уравнение четвёртого рода

§ 2.5 Наборы D-разбиения

2.5.1 Индексируемые наборы

2.5.2 Элементарные наборы

III Система двух линейных автономных дифференциальных уравнений с одним сосредоточенным запаздыванием и слагаемым без запаздывания

§ 3.1 Факторизация характеристического квазиполинома

§ 3.2 Устойчивость однопараметрических систем

§ 3.3 Устойчивость двупараметрических систем

§ 3.4 Устойчивость трёхпараметрических систем

IV Приложения

§ 4.1 Модель Лотки-Вольтерры с запаздыванием

§ 4.2 Модель динамики популяции с тремя стадиями развития

§ 4.3 Модель эпидемического процесса

Заключение

Литература

Обозначения

N = {1, 2, 3,...}; N0 = {0,1, 2, 3,...}. Z — пространство целых чисел.

К = (-то, +то); К+ = [0, +то); = (-то, 0).

С — пространство комплексных чисел.

г = {г1, т2,.. . тм} — точка Ж-мерного вещественного пространства ;

0 — нулевой элемент

хм — алгебра вещественных N х Ж-матриц; нормы в и хМ согласованы;

1 и в —единичная и нулевая матрицы из хМ.

Е — алгебра целых функций;

Ек — алгебра целых функций с вещественными коэффициентами ряда Маклорена.

Ьр М, 1 < р < то — пространство N-мерных суммируемых со степенью р на множестве

ши I х(Щм)Р^ ^ — 11 —

М вектор-функций с нормой ||х|| = (||х(£)||мУ СЬ^ Р, где || ■ ||м —норма в Км.

ЬмсМ — пространство Ж-мерных вектор-функций, суммируемых на каждом конечном отрезке, принадлежащем множеству М.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Устойчивость систем линейных автономных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием»

Введение

Актуальность и степень разработанности темы исследования. Изобретение дифференциального и интегрального исчисления во второй половине XVII века совершило революцию в науке: стало возможным прогнозировать физические процессы на основании математического описания. Первые же примеры дифференциальных уравнений показали эффективность нового математического аппарата, теория дифференциальных уравнений начала активно развиваться и во многом определила научно-технический рывок XVIII-XIX веков.

В XX веке, в связи с появлением всё более совершенной вычислительной техники, проблема интегрирования дифференциальных уравнений в квадратурах отошла на второй план. Фокус внимания исследователей сместился в сторону качественной теории дифференциальных уравнений, основы которой заложили А. Пуанкаре и А. М. Ляпунов.

Уравнение, связывающие производные и значение этой функции в одной и той же точке, мы называем обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ). Принятие идеи о том, что производная может зависеть от значения функции в другой точке, приводит к изучению дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Возникновение уравнений такого типа — закономерный процесс развития математики, однако научные школы, накапливающие, систематизирующие и углубляющие знания об уравнениях с отклоняющимся аргументом появляются только к середине XX века. Это связано с тем, что в XVII-XIX веках основной областью приложения математики являлась классическая физика, в рамках которой предполагалось, что реакция системы на изменение её состояния происходит мгновенно.

Возникший в XX веке интерес к дифференциальным уравнениям с запаздыванием обусловлен рядом причин. С одной стороны, по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) эти уравнения обладают более богатым набором свойств. С другой стороны, интерес к такого вида уравнениям обусловлен интенсивным развитием теории автоматического регулирования и использованием аппарата дифференциальных уравнений в биологии, химии и экономике, где учёт запаздывания даёт более корректную картину.

В монографиях Э. Пинни [92], Р. Беллмана и К. Кука [14] под названием дифференциально-разностных уравнений были исследованы линейные дифференциаль-

ные уравнения с постоянными коэффициентами и постоянными сосредоточенными отклонениями. Впоследствии были рассмотрены более общие уравнения, за которыми закрепился термин функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ). Основы теории ФДУ были заложены в монографиях А. Д. Мышкиса [82], Н. Н. Красовского [42], Дж. Хейла [102], Л. Э. Эльсгольца и С. Б. Норкина [112], Н.В. Азбелева, В. П. Максимова и Л. Ф. Рахматул-линой [5], в трудах С. Н. Шиманова [106-110], В. И. Зубова [37,38] и А. М. Зверкина [34-36].

Одним из наиболее важных асимптотических свойств системы дифференциальных уравнений является устойчивость. Основные понятия и определения классической теории устойчивости ОДУ были перенесены на ФДУ, однако исследование устойчивости потребовало привлечения совершенно иных идей и методов. Исследованием устойчивости ФДУ занимались А. А. Андронов и А. Г. Майер [11], Л. М. Березанский, Е. Я. Браверман [115,116], П.М. Симонов, А. В. Чистяков [1-4,8,9], П. С. Громова [18,19], С. А. Гусаренко [23], Ю. Ф. Долгий [31,32], Г. В. Демиденко [25-29], М. М. Кипнис [16,136-138], А. И. Кирьянен [39], В. В. Малыгина [6,47-52,55,56,58-60], Н.В. Перцев [89-91], Ю. М. Репин [95], З. И. Рехлиц-кий [96], T. Amemiya [113], S.J. Bhatt, C. S. Hsu [133], T. A. Burton, L. Hatvani [117,118], Z. Grossman [123], I. Gyori, F. Hartung [130], N. D. Hayes [131], T. Krisztin [139], G. Ladas, Y. G. Sficas, I. P. Stavroulakis [140], E. Liz, V. Tkachenko, S. Trofimchuk, [142], E. Malakhovski, L. Mirkin [146,147], H. Matsunaga [149-151], S. Sakata [156,157], G. Stepan [135], J. Sugie, T. Yoneyama [165], X. H. Tang [160], J. A. Yorke [166] и другие [119-121,141]. Обширную библиографию можно найти в монографии [7].

Среди уравнений запаздывающего типа наиболее широко используемыми являются автономные уравнения, то есть такие, решение которых инвариантно относительно сдвига начальной точки. Именно для этих уравнений удаётся получить необходимые и достаточные условия устойчивости. Согласно определению [82, с. 95] системой линейных автономных дифференциальных уравнений c ограниченным запаздыванием называется система

+ /* dR(s)x(t - s) = f (t), t e R+, (0.1)

J 0

где x: R+ ^ RN, h > 0, R : [0,h] ^ RN —матричная функция ограниченной вариации такая, что R(0) = в. Интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса. При отрицательных значениях аргумента решение доопределено заданной начальной функцией.

Функция R может зависеть от некоторого количества комплексных или вещественных параметров. В таком случае особую ценность имеют так называемые эффективные признаки устойчивости, то есть представленные в явном виде в терминах параметров исходной задачи. Задача получения эффективных критериев устойчивости для различных автономных уравнений и систем с запаздыванием ставилась и решалась в рабо-

тах [11,12,57,96-98,123,133,134,137,146,147,157,159].

Известно [82, с. 101], что исследование асимптотической устойчивости системы (0.1) сводится к задаче расположения в комплексной плоскости корней характеристической функции

Г н

Ф (г) = аеЦ +/ е-ЧК(5)), (0.2)

ио

а именно, система (0.1) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все нули характеристического уравнения Ф(г) = 0 лежат слева от мнимой оси.

Определить, лежат ли все нули функции (0.2) слева от мнимой оси, можно различными методами. Для полиномов такими методами являются критерий Рауса-Гурвица и теорема Эрмита-Билера [94, с. 46]; для квазиполиномов — теорема Л. С. Понтрягина [93] и метод, разработанный Н. Г. Чеботарёвым и Н. Н. Мейманом [62]; для произвольных целых функций подходят методы, основанные на принципе аргумента (например, метод годографа, предложенный Г. Найквистом и усовершенствованный А. В. Михайловым [63]).

Более важной является задача построения области устойчивости, то есть определения всех значений параметров, при которых система асимптотически устойчива. Сделать это перечисленными выше методами затруднительно, поскольку каждый из них приводит к изучению некоторой сторонней задачи: построению годографа, решению системы неравенств (в случае критерия Рауса-Гурвица и Чеботарёва-Меймана) или анализа взаимного расположения корней тригонометрических многочленов (теорема Эрмита-Билера и Понтрягина). Если параметры функции Я переменные, то приходится решать сложную параметрическую задачу, эффективный алгоритм решения которой удаётся найти только в простейших случаях.

Иной подход к построению областей устойчивости предложил Ю. И. Неймарк [83-85], развив приём, использованный И. А. Вышнеградским [46]. Предложенная им идея разбиения пространства параметров на области, внутри которых количество корней характеристической функции постоянно, получила название метод Б-разбиения. В 40-60-е годы XX века был найден ряд плоских и трёхмерных областей устойчивости для уравнений с сосредоточенным запаздыванием и систем ОДУ, что подтверждало эффективность метода В-раз-биения. Казалось, схема дальнейшего исследования ясна: построив любое плоское сечение области устойчивости, можно построить трёхмерную, а затем и любую п-мерную область устойчивости. В действительности же получение новых областей устойчивости замедлилось и впоследствии почти прекратилось. И это не было результатом отсутствия мотивации исследователей. Напротив, за прошедшие десятилетия накопилось множество новых моделей, использующих дифференциальные уравнения с запаздыванием, вопрос об асимптотическом

поведении решения которых открыт.

Можно выделить три трудности, возникающие при использовании метода В-разбиения для исследования устойчивости ФДУ.

Во-первых, характеристическая функция системы ФДУ, в отличие от полинома, в общем случае не представима в виде произведения конечного множества функций того же класса. Это лишает нас хотя бы теоретической возможности свести задачу к задаче меньшей размерности, поэтому увеличение количества параметров приводит к качественному росту сложности задачи. Количество известных трёхмерных областей устойчивости невелико, четырёхмерные случаи изучаются редко, а области устойчивости в пространстве пяти и более параметров автору диссертации неизвестны.

Во-вторых, применение метода В-разбиения к системам ФДУ приводит к перебору бесконечного множества областей, причём универсального способа указать среди них область устойчивости не существует. Она может иметь любое конечное или даже бесконечное множество компонент связности, которые могут быть сколь угодно малыми и удаленными друг от друга.

В-третьих, сама область устойчивости может быть весьма сложно устроена. Рассмотрим уравнение

х(г) + ах(г - 1) + Ьх(г - т) = о, (0.3)

где а,Ь € К, т € При т = 0 область устойчивости уравнения (0.3) давно известна [11]: это бесконечный криволинейный угол, обе границы которого имеют простое аналитическое описание. При т > 0 уравнение (0.3) изучалось в работах [45,136,145]. Оказалось, что при каждом фиксированном т метод В-разбиения позволяет найти область устойчивости в плоскости вещественных параметров а и Ь, однако точная область устойчивости уравнения в пространстве трёх параметров (а, Ь, т) до сих пор неизвестна. Причина этого заключается в том, что с ростом т растёт количество точек самопересечения кривой, которая образует границы областей В-разбиения, поэтому увеличивается количество звеньев границ областей В-разбиения. Зависимость количества и структуры этих звеньев от т не выяснена и, по-видимому, очень сложна.

Осознавая серьезность перечисленных трудностей, мы не считаем их непреодолимыми, а возможности метода В-разбиения в исследовании устойчивости ФДУ исчерпанными. Характеристическая функция уравнения с запаздыванием — объект более общий по сравнению с полиномом, но она является весьма специальным случаем аналитической функции и обладает рядом полезных свойств, которые упрощают ее изучение. Таким образом, метод В-разбиения — применительно к ФДУ — требует дальнейшего развития и совершенствова-

ния. Продвижение в этом направлении предоставит аппарат для изучения множества моделей физики, механики, химии, биологии и других задач.

Отметим, что задача развития метода D-разбиения не считается закрытой даже уравнений, характеристические функции которых — полиномы (ОДУ, разностные уравнения). Этой проблеме посвящены работы Б. Т. Поляка, Е. Н. Грязиной [20-22,129] и Ю.П. Николаева [86-88].

Цели и задачи исследования. Основная цель диссертации — развитие метода D-разбиения применительно к исследованию устойчивости ФДУ. В работе ставились и решались три задачи.

Первая задача — развитие метода D-разбиения для системы с запаздыванием, характеристическая функция которой линейно зависит от двух вещественных переменных.

Вторая задача — исследование устойчивости системы двух автономных линейных дифференциальных уравнений с одним сосредоточенным запаздыванием и слагаемым без запаздывания. Цель заключается в полной классификации всех одно-, дву- и трёхпараметриче-ских систем и построении области устойчивости для каждой из них.

Третья задача — применение полученных результатов к исследованию устойчивости некоторых биологических моделей.

Методология и методы исследования. В работе используются классические методы комплексного, вещественного и функционального анализа, теории дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений. Визуализация полученных результатов проводилась средствами программного пакета Wolfram Mathematica 9.0.

Структура и основные результаты работы

В главе I дано описание системы (0.1), её характеристической функции (0.2) и приведены некоторые вспомогательные утверждения.

Глава II посвящена развитию метода D-разбиения для системы (0.1) в случае, когда характеристическая функция линейно зависит от двух вещественных параметров, то есть имеет вид Ф(г) = zN + g0(z) + r1g1 (z) + r2g2(z), где r1, r2 e R.

В § 2.2 показано, что существуют два типа линий, образующих границы областей D-разбиения: кривые D-разбиения и прямые D-разбиения. Эти линии отличаются не только геометрическими свойствами, но и способом вычисления направления возрастания вещественной части корня при переходе через эти линии.

В § 2.4 показано, что существует всего четыре рода двупараметрических характеристических уравнений. Род определяется функциями g0, g1, g2 и инвариантен по отношению к линейному преобразованию параметров ri , r2 и переносу начала координат в плоскости

параметров. Области D-разбиения характеристического уравнения первого рода имеют криволинейные границы. Граница любой области D-разбиения характеристического уравнения второго и третьего рода состоит из не более чем счётного числа прямолинейных сегментов. Множество прямых D-разбиения характеристического уравнения четвёртого рода либо континуально, либо пусто. Изучение этого случая могло бы создать серьёзные трудности, но удалось доказать, что область устойчивости такого уравнения либо пуста, либо совпадает с R2.

§ 2.5 посвящён разработке нового технического приёма исследования областей D-разбиения, основная идея которого заключается в том, чтобы разбить все кривые и прямые D-разбиения на наборы, которые можно изучить по отдельности. Этот подход позволяет получить необходимые и достаточные условия устойчивости независимо от того, является ли область устойчивости выпуклой и связной.

Глава III посвящена исследованию устойчивости системы

¿(t) + Aa;(t) + Bx(t - h) = 0, t e R+, (0.4)

где A, B e R2x2, h = const > 0.

В § 3.1 найден критерий того, что уравнения системы (0.4) разделяются: это возможно тогда и только тогда, когда det(AB — BA) = 0 (теорема 3.1).

Если уравнения системы не разделяются, то получение области устойчивости становится сложной задачей. О системах вида (0.4) в случае, когда A и B — матрицы произвольного размера, Дж. Хейл высказал предположение, что ,,точная область асимптотической устойчивости этой системы как функция A, B и h неизвестна и, возможно, никогда не будет известна. Причину этого нетрудно понять, поскольку характеристическое уравнение очень сложно" [102, с. 137]. Однако для систем небольших размерностей, к которым принадлежит система (0.4), количество параметров обозримо и задача уже не выглядит безнадёжной.

Характеристическое уравнение системы (0.4) имеет вид

X ch z + в + Z sh z + ßzez + vz + z2ez = 0 (0.5)

и зависит от пяти параметров, определяемых матрицами A и B: х = h2(det A + det B), Z = h2(det A — det B), ß = h Sp A, v = h Sp B и в = h2(det(A + B) — det A — det B).

Систему (0.4) будем называть п-параметрической, если уравнение (0.5) зависит от п вещественных параметров, а остальные (5 — п) параметров равны нулю. Несмотря на то, что для некоторых дву- и трёхпараметрических систем найдены области устойчивости, полной

классификации областей устойчивости n-параметрических систем до сих пор не существовало ни для какого n > 2.

Опираясь на результаты главы II, удалось исследовать устойчивость всех одно-, дву-и трехпараметрических систем.

В § 3.2 доказано, что ни одна из однопараметрических системы не является асимптотически устойчивой.

В § 3.3 рассмотрены все десять двупараметрических систем, для каждой построены области устойчивости и даны их аналитические описания. Области устойчивости в трёх случаях оказались новыми и непустыми, в четырёх случаях — пустыми, в остальных трёх случаях— ранее известными [112, с. 129, 130], [134]; известные результаты подтвердились.

В § 3.4 исследованы все десять трёхпараметрических систем по следующей схеме. Фиксируя один из параметров системы, получаем двупараметрическое характеристическое уравнение, исследованию которого посвящена глава II. При этом параметры целесообразно выбирать так, чтобы получить характеристическое уравнение второго или третьего рода, для которого структура областей D-разбиения наиболее простая. Изучив структуру двумерных сечений при любом фиксированном третьем параметре, несложно построить трёхмерную область устойчивости и дать аналитическое описание ее границ.

Из десяти трёхпараметрических систем одна оказалась неустойчивой, для всех остальных найдены, аналитически описаны и построены трёхмерные области устойчивости.

При построении шести областей за счет удачной параметризации получились двумерные сечения с прямолинейными границами, что существенно упростило исследование. Наиболее интересны случаи, когда выполняются равенства Sp A = Sp B = 0 или Sp A = Sp AB = 0. В этих двух случаях область устойчивости бесконечна, несвязна и представляет собой объединение счётного числа попарно непересекающихся ограниченных областей (теоремы 3.22, 3.23).

Построение области устойчивости для оставшихся трех систем сводится к исследованию семейства характеристических уравнений первого рода при любом выборе параметра семейства. Исследование и построение областей устойчивости для этих систем является значительно более трудной задачей. С технической точки зрения наиболее сложным оказалось построение области устойчивости для случая det A = det B = det(A + B)/2.

Характеристическое уравнение для такой системы имеет вид X ch z + ^zez + vz + z2ez = 0. Область устойчивости строилась по сечениям ^ = const. Зависимость структуры сечения области устойчивости от ^ такова: при ^ Е (-1, U (0, (где ~ -0.28898) сечение области устойчивости — связное ограниченное множество; при

ß e (ß*, 0] —ограниченное множество, состоящее из двух компонент; при ß < — 1 —пустое множество. Критерий устойчивости представлен в теореме 3.27.

Одна из трехмерных областей была известна ранее (Sp AB = Sp B = 0). Впервые некоторые сечения этой области были найдены А. А. Андроновым и А. Г. Майером [11] в связи с изучением устойчивости уравнения второго порядка; полное описание области получили S.J. Bhatt и C. S. Hsu [134]. Найденная в настоящей работе область устойчивости (теорема 3.25) совпадает с известной, но ее построение удалось упростить, сведя задачу к исследованию характеристического уравнения второго рода. Области устойчивости для всех остальных трёхпараметрических систем получены впервые.

Глава IV посвящена исследованию трёх математических моделей биологии, для каждой из которых найдены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости системы, линеаризованной в окрестности нетривиального положения равновесия.

В § 4.1 исследуется модель взаимодействия двух популяций, предложенная Ю. С. Колесовым [40]. Она описывает изменение численности популяций, вызванное взаимодействием с особями другого вида, и включает в себя как ситуацию „хищник-жертва", так и ситуацию конкуренции видов за ресурсы. Модель имеет вид системы двух нелинейных автономных ФДУ и представляет собой обобщение системы Лотки-Вольтерры и уравнения Хатчинсона-Райта. Линеаризация системы вблизи ненулевого положения равновесия является частным случаем одной из трёхпараметрических систем вида (0.4), исследованных в главе III. В теореме 4.3 представлены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости исходной системы.

В § 4.2 рассматривается модель динамики популяции одного вида, особи которого проходят через три стадии: ювенильную, репродуктивную и стадию старения. Модель была предложена Н. В. Перцевым и И. А. Тарасовым в работе [91] и имеет вид системы нелинейных автономных ФДУ, линеаризация которой относительно нетривиального положения равновесия приводит к уравнению

w w wv rt

¿(t) = — (v + w)z(t) + --— x(t — 1)--- ¿(t — 2) +-- ¿(s)ds. (0.6)

1 - e-w ew - 1 ew — 1

't-1

Исследование его характеристического уравнения удалось провести методами главы II. Очевидно, что асимптотическая устойчивость уравнения (0.6) определяется двумя параметрами: эд > 0 и V ^ 0. В теореме 4.5 показано, что уравнение (0.6) асимптотически устойчиво при любых V, ^ > 0 и не является асимптотически устойчивым только при V = 0.

В § 4.3 рассматривается модель эпидемического процесса, предложенная коллективом авторов во главе с Н.В. Перцевым [90]. Все индивидуумы разделены на три группы: восприимчивые, инфицированные и переболевшие. Процесс моделируется автономной системой

ФДУ трёх нелинейных уравнений с тремя неизвестными. Показано, что если период пребывания индивидуумов в стадии болезни равен временному интервалу, в течение которого сохраняется иммунитет, а интенсивность гибели заболевших и восприимчивых индивидуумов равны между собой, то линеаризованная система сводится к одному уравнению, характеристическое уравнение которого имеет вид

ге^ + а еЬ г + Ь + с вЬ г = 0, (0.7)

где а, Ь, с вещественны и выражаются через параметры модели. При любом фиксированном с уравнение (0.7) относится к третьему роду. Опираясь на результаты второй главы, для исходной системы удалось построить область устойчивости и дать ее аналитическое описание (теорема 4.7).

Научная новизна работы. Все результаты, полученные автором диссертации, являются новыми.

Основные результаты диссертации и положения, выносимые на защиту

1. Метод В-разбиения для характеристических функций системы с запаздыванием, зависящих от двух вещественных переменных, получил развитие в следующих аспектах:

• впервые проведена полная классификация линий В-разбиения;

• впервые проведена полная классификация характеристических уравнений по типу областей и линий В-разбиения;

• предложены новые эффективные приёмы выделения области устойчивости среди областей В-разбиения.

2. Найдены эффективные критерии устойчивости и построены области устойчивости для всех одно-, дву- и трёхпараметрических систем двух линейных автономных дифференциальных уравнений с одним сосредоточенным запаздыванием и слагаемым без запаздывания.

3. Для трёх моделей математической биологии впервые получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости соответствующих систем, линеаризованных вблизи нетривиальных положений равновесия.

Все признаки устойчивости приведены в двух видах: аналитической и геометрической, что упрощает их использование.

Теоретическая и практическая значимость работы. Проведенное в диссертационной работе исследование дополняет классические работы Ю.И. Неймарка, посвященные

методу D-разбиения, расширяя тем самым возможности его применения. Классификация линий D-разбиения позволила понять причину проблем, возникающих при индексации областей D-разбиения, и предложить приемы их преодоления, а классификация характеристических уравнений позволила разработать специальные методы построения области устойчивости для каждого типа характеристических уравнений.

Усовершенствованный метод D-разбиения дал возможность провести полное исследование устойчивости трёхпараметрических систем двух автономных линейных дифференциальных уравнений с одним сосредоточенным запаздыванием и слагаемым без запаздывания и получить новые эффективные признаки экспоненциальной устойчивости трёх моделей математической биологии, что также демонстрирует его эффективность и практическую значимость.

Степень достоверности и апробация работы. Достоверность результатов гарантируется строгостью доказательств.

Результаты исследований докладывались и обсуждались на Пермском городском семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям (октябрь 2012 г., октябрь и ноябрь 2013 г., апрель и октябрь 2014 г., март и октябрь 2015 г., март и декабрь 2016 г., октябрь 2017 г.), на семинаре д.ф.-м.н., профессора М. М. Кипниса (ЧелГПУ, ноябрь 2014 г.), на семинаре д.ф.-м.н., профессора Г. В. Демиденко (Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, декабрь 2016 г.) и на следующих конференциях:

• Всероссийской научной конференции с международным участием „Математическая теория управления и математическое моделирование", 2012 г., Ижевск;

• V Международной конференции „Современные методы прикладной математики, теории управления и математического моделирования" (ПМТУММ-2012), Воронеж;

• XVI Международной конференции „ Моделирование и исследование устойчивости динамических систем" (DSMSI-2013), Киев;

• Международной конференции „Колмогоровские чтения — VI. Общие проблемы управления и их приложения" (ОПУ-2013), Тамбов;

• VII Международной конференции Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий" (ПМТУКТ-2014), Воронеж;

• Всероссийской конференции с международным участием Теория управления и математическое моделирование", 2015 г., Ижевск;

• III Международной конференции „Устойчивость и процессы управления", 2015 г., Санкт-

Петербург;

• VII Конференции по математическим моделям и численным методам в биологии и медицине, 2015 г., Москва;

• Международной школе-конференции „Соболевские чтения", 2016 г., Новосибирск;

• Всероссийской конференции с международным участием „Дифференциальные уравнения и оптимальное управление", 2017 г., Пермь;

• Международной конференции „Математика в современном мире", 2017 г., Новосибирск.

Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в двадцати работах (см. [53,54,64-81]), из них семь статей в изданиях, включённых в перечень ВАК [53,54,64,66,67,71,75]. В работах [53,54] научному руководителю принадлежит постановка задачи и общее руководство. В работе [54] Н. В. Перцевым была предложена модель и исследованы некоторые её свойства, на основании которых автор диссертации проводил дальнейшее исследование. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из опубликованных в соавторстве работ в диссертацию включены только результаты автора.

I. Объект исследования и постановка задачи

§ 1.1. Система линейных автономных дифференциальных уравнений с ограниченным запаздыванием

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мулюков Михаил Вадимович, 2018 год

Литература

1. Азбелев Н. В., Березанский Л. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. I // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 5. С. 745-754.

2. Азбелев Н. В., Березанский Л. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. II // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27 № 4 С. 555-562.

3. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. III // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. К0 10. С. 1659-1668.

4. Азбелев Н. В., Березанский Л. М., Симонов П. М., Чистяков А. В. Устойчивость линейных систем с последействием. IV // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 2. С. 196-204.

5. Азбелев Н.В., Максимов В. П., Рахматуллина Н.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

6. Азбелев Н. В., Малыгина В. В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с последействием // Изв. вузов. Матем. 1994. № 6. С. 20-27.

7. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: изд-во Пермск. ун-та, 2001. 230 с.

8. Азбелев Н. В., Симонов П. М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Матем. 1997. № 6. С. 3-16.

9. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II // Изв. вузов. Матем. 2000. № 4. С. 3-13.

10. Альпин Ю. А., Корешков Н. А. Об одновременной триангулизуемости матриц // Математические заметки. 2000. Т. 68. № 5. С. 648-652.

11. Андронов А. А., Майер А. Г. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автомат. и телемех. 1946. Т. 7. К0 2-3. С. 95-106.

12. Баландин А. С., Сабатулина Т. Л. Локальная устойчивость одной модели динамики популяции в условиях воздействия вредных веществ // Сиб. электрон. матем. изв. 2015. К012. С.610-624.

13. Бахтурин Ю.А. Основные структуры современной алгебры. М.:Наука, 1990. 320с.

14. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.:Мир, 1963. 548 с.

15. Быкова А. Н. Исследование устойчивости систем двух нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом по первому приближению: дисс. ... канд. физ.-мат. наук: / Быкова А. Н. - Чебоксары, 2002. 117с.

16.

17.

18

19.

20.

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

Вагина М.Ю., Кипнис М.М. Устойчивость нулевого решения дифференциального уравнения с запаздываниями // Математические заметки. 2003. Т. 74. К0 5. С. 786-789.

Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

Громова П. С., Маркос Лисано Пенья. Метод векторных функций Ляпунова для систем с запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 1981. № 8. С. 21-26.

Громова П. С., Пелевина А. Ф. Абсолютная устойчивость систем автоматического регулирования с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 8. С. 1375-1383.

Грязина Е. Н. К теории Д-разбиения // Автомат. и телемех. 2004. № 12. С. 15-28.

Грязина Е. Н., Поляк Б. Т. Многомерная область устойчивости полиномиальных семейств специального вида // Автомат. и телемех. 2007. № 12. С. 38-52.

Грязина Е. Н., Поляк Б. Т., Тремба А. А. Современное состояние метода Д-разбиения // Автомат. и телемех. 2008. № 12. С. 3-40.

Гусаренко С. А., Домошницкий А. И. Об асимптотических и осцилляционных свойствах линейных скалярных функционально-дифференциальных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 12. С. 2090-2103.

Гусаренко С. А., Жуковский Е.С., Максимов В. П. К теории функционально-дифференциальных уравнений с локально вольтерровыми операторами // ДАН СССР. 1986. Т. 287. № 2. С. 268-272.

Демиденко Г. В., Котова Т. В., Скворцова М. А. Устойчивость решений дифференциальных уравнений нейтрального типа // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. 2010. Т. 10. № 3. С. 17-29.

Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. 2005. Т. 5. № 3. С. 20-28.

Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами в линейных членах // Сиб. матем. журн. 2007. Т. 48. № 5. С. 1025-1040.

Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Об экспоненциальной устойчивости решений одного класса систем дифференциальных уравнений нейтрального типа // Сиб. журн. индустр. матем. 2014. Т. 17. № 3. С. 59-70.

Демиденко Г. В., Уварова И. А. Класс систем обыкновенных дифференциальных уравнений высокой размерности // Сиб. журн. индустр. матем. 2016. Т. 19. № 2. С. 47-60.

Джонсон Ч., Хорн Р. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

Долгий Ю. Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: УрГУ, 1996. 84 с.

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

Долгий Ю.Ф. Использование самосопряженных краевых задач при исследовании устойчивости периодических систем с запаздыванием // Труды ИММ УрО РАН. 2006. Т. 12. К0 2. С. 78-87.

Зайцев В. В., Карлов-младший А В., Телегин С. С. ДВ-модель системы „хищник-жертва" // Вестн. СамГУ - Естественнонаучная серия. 2009. Т. 6. К0 72. С. 139-148.

Зверкин А. М. Исследование линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Научн. докл. высшей школы. Физ.-матем. науки. 1959. К0 1. С. 30-37.

Зверкин А.М. К теории дифференциально-разностных уравнений с запаздываниями, соизмеримыми с периодом коэффициентов // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 9. С.1481-1492.

Зверкин А. М. К теории линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и периодическими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1959. Т. 128. № 5. С. 882-885.

Зубов В. И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Матем. 1958. К0 6. С. 86-95.

Зубов В. И. Построение управлений по измерениям с запаздыванием Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. К0 6. С. 1101-1102.

Кирьянен А. И. Устойчивость систем с последействием и их приложения. СПб.: Издательство Санкт-Петербургск. ун-та, 1994. 240 с.

Колесов Ю. С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль: ЯрГУ, 1979. С. 3-40.

Колмановский В. Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959. 212 с.

Ланкастер П. Теория матриц М.: Наука, 1978. 280 с.

Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

Левицкая И. С. Область устойчивости линейного дифференциального уравнения с двумя запаздываниями // Изв. Челябинского научного центра, 2004. Т. 23. № 2. С. 7-12.

Максвелл Д. К., Вышнеградский И. А., Стодола А. Теория автоматического регулирования (Линеаризованные задачи)/ ред. и коммент. А. А. Андронова, И. Н. Вознесенского М.: Изд-во АН СССР, 1949. 430 с.

Малыгина В. В. Об экспоненциальной оценке функции Коши // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. К0 6. С. 1082-1084.

48. Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1992. T. 28. N0 10. С. 1716-1723.

49. Малыгина В. В. Некоторые признаки устойчивости функционально-дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной // Изв. вузов. Матем. 1992. N0 7. С.46-53.

50. Малыгина В. В. Об асимптотическом поведении решения одного класса скалярных уравнений с последействием // Изв. вузов. Матем. 1992. N0 12. С. 80-82.

51. Малыгина В. В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Матем. 1993. N0 5. С. 72-85.

52. Малыгина В. В. Об устойчивости асимптотических свойств решений уравнения с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1993. T. 29. N0 8. С. 1324-1329.

53. Малыгина В. В., Мулюков М. В. О локальной устойчивости одной модели динамики популяции с тремя стадиями развития // Изв. вузов. Матем. 2017. N0 4 С. 35-42.

54. Малыгина В. В., Мулюков М. В., Перцев Н. В. О локальной устойчивости одной модели динамики популяции с последействием // Сиб. электрон. матем. изв. 2014. Т. 11 С. 951-957.

55. Малыгина В. В, Сабатулина Т. Л. Об устойчивости линейного дифференциального уравнения с ограниченным последействием // Изв. вузов. Матем. 2014. N0 4. С. 25-41.

56. Малыгина В. В., Сабатулина Т. Л. Знакоопределенность решений и устойчивость линейных дифференциальных уравнений с переменным распределенным запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2008. N0 8. С. 73-77.

57. Малыгина В. В., Сабатулина Т. Л. Некоторые признаки устойчивости линейных автономных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2007. N0 6. С. 55-63.

58. Малыгина В. В., Чудинов К. М. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с несколькими переменными запаздываниями. I // Изв. вузов. Матем. 2013. N0 6. С. 25-36.

59. Малыгина В. В., Чудинов К. М. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с несколькими переменными запаздываниями. II // Изв. вузов. Матем. 2013. N0 7. С.3-15.

60. Малыгина В. В., Чудинов К. М. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с несколькими переменными запаздываниями. III // Изв. вузов. Матем. 2013. N0 8. С. 44-56.

61. Маркушевич Л.И. Целые функции. Элементарный очерк. М.: Наука, 1975. 120 с.

62. Мейман Н. Н., Чеботарев Н. Г. Проблема Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций // Тр. МИАН СССР, N0 26, Изд-во АН СССР, М.-Л., 1949. C. 3-331.

63. Михайлов А. В. Метод гармонического анализа в теории регулирования // Автомат. и телемех. 1938. N0 3 C. 27-81.

64. Мулюков М. В. Об устойчивости некоторых дифференциальных систем с запаздыванием // Изв. ИМИ УдГУ 2012. N0 1(39). C. 97-98.

65. Мулюков М. В. Об асимптотической устойчивости одной модели осцилятора с запаздывающей силой // Сборник трудов V международной конференции ,, Современные методы прикладной математики, теории управления и математического моделирования". Воронеж, 2012. C. 202.

66. Мулюков М. В. О факторизации характеристического квазиполинома системы линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2013. N0 9. C.38-44.

67. Мулюков М. В. О разделении уравнений некоторых систем // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия: Естественные и технические науки. 2013. C. 2617-2619.

68. Мулюков М. В. Stability of three-parameter systems of differential equations with delay // Тезисы докладов шестнадцатой международной конференции „Моделирование и исследование устойчивости динамических систем". Киев, 2013. C. 42.

69. Мулюков М. В. Stability of linear delay differential systems // Тезисы докладов международной конференции, посвящённой 105-летию со дня рождения С. Л. Соболева „Диффе-ренц. уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений". Новосибирск, 2013. C.338.

70. Мулюков М. В. Устойчивость одной линейной модели осциллятора с запаздывающей обратной связью // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2014. N0 4(27). C. 62-67.

71. Мулюков М. В. Об асимптотической устойчивости двупараметрических систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Матем. 2014. N0 6. C. 48-55.

72. Мулюков М. В. Асимптотическая устойчивость одной системы автономных дифференциальных уравнений запаздывающего типа с вырожденными матрицами // Сборник трудов V// международной конференции „Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий". Воронеж, 2014. C. 268-270.

73. Мулюков М. В. Устойчивость линейного дифференциального уравнения с двукратным запаздыванием // Сборник трудов V/// международной конференции Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий" . Воронеж, 2015. C. 258-260.

74. Мулюков М. В. Устойчивость линейного автономного осциллятора с запаздывающей обратной связью // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2015. N0 3(30). C.5-11.

75. Мулюков М. В. Устойчивость одного линейного автономного дифференциального уравнения с сосредоточенным и распределённым запаздыванием // Вестник Тамбовского государственного университета. Серия: Естественные и технические науки. 2015. C. 1325-1331.

76. Мулюков М. В. Устойчивость одной трёхпараметрической системы двух линейных автономных дифференциальных уравнений с последействием // Материалы III международной конференции, посвященной 85-летию со дня рождения профессора, чл.-корр. РАН В. И. Зубова „Устойчивость и процессы управления". СПб, 2015. C. 43-44.

77. Мулюков М. В. Локальная устойчивость одной модели популяционной динамики вида с тремя стадиями развития // Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием, посвященной памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова „Теория управления и математическое моделирование". Ижевск, 2015. C.100-102.

78. Мулюков М. В. О структуре областей D-разбиения систем линейных автономных дифференциальных уравнений запаздывающего типа // Тезисы докладов международной школы конференции „Соболевские чтения". Новосибирск, 2016. C. 122.

79. Мулюков М. В. Геометрические аспекты метода D-разбиения для линейных автономных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Сборник трудов IX международной конференции „Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий". Воронеж, 2016. C. 243-245.

80. Мулюков М. В. Классификация двупараметрических автономных линейных систем с запаздыванием // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 132. С. 74-76.

81. Мулюков М. В. Области D-разбиения с прямолинейными границами // Тезисы докладов международной конференции Математика в современном мире" , посвящённой 60-летию Института математики им. С. Л. Соболева. Новосибирск, 2017. C. 233.

82. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 351c.

83. Неймарк Ю. И. Об определении значений параметров, при которых система автоматического регулирования устойчива // Автомат. и телемех. 1948. Т. 9. N0 3. С. 190-203.

84. Неймарк Ю. И. Устойчивость линеаризованных систем (дискретных и распределённых). Л.: ЛКВВИА, 1949. 140с.

85. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Наука, 1978. 336 с.

86. Николаев Ю. П. О симметрии и других свойствах многомерной области асимптотической устойчивости линейных дискретных систем // Автомат. и телемех. 2001. N0 11. C.109-120.

87. Николаев Ю. П. Анализ геометрии Д-разбиения двумерной плоскости произвольных коэффициентов характеристического полинома дискретной системы // Автомат. и те-лемех. 2004. К0 12. С. 49-61.

88. Николаев Ю. П. К исследованию геометрии множества устойчивых полиномов линейных дискретных систем // Автомат. и телемех. 2002. К0 7. С. 44-54.

89. Перцев Н. В. Применение М-матриц для построения экспоненциальных оценок решений задачи Коши для некоторых систем линейных разностных и дифференциальных уравнений // Матем. тр. 2013. Т. 16. К0 2. С. 111-141.

90. Перцев Н.В., Пичугин Б.Ю., Пичугина А. Н. Исследование асимптотического поведения решений некоторых моделей эпидемических процессов // Матем. биология и био-информ. 2013. Т. 8. К0 1. С. 21-48.

91. Перцев Н. В., Тарасов И. А. Анализ решений интегродифференциального уравнения, возникающего в динамике популяций // Вестник Омск. ун-та. 2003. Т. 2. С. 13-15.

92. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961. 248 с.

93. Понтрягин Л. С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1942. Т. 6. К0 3. С. 115-134.

94. Постников М.М. Устойчивые многочлены. М.: Едиториал УРСС, 1981. 176 с.

95. Репин Ю. М. Об условиях устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений при любых запаздываниях // Учён. зап. Урал. ун-та. Свердловск. 1960. Вып. 23. С. 34-42.

96. Рехлицкий З. И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // ДАН СССР. 1956. Т. 111. К0 1. С. 29-32.

97. Сабатулина Т. Л. Об автономном дифференциальном уравнении с сосредоточенным и распределённым запаздываниями. Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием (1-4 июня 2009 г.). Часть 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Матем. моделирование и краев. задачи. Самара: СамГТУ, 2009. С.192-194.

98. Сабатулина Т. Л. Об устойчивости линейного автономного дифференциального уравнения с последействием // Изв. ИМИ УдГУ. 2012. К0 1(39). С. 117-118.

99. Скворцова М. А. Устойчивость решений в модели хищник-жертва с запаздыванием // Мат. заметки СВФУ. 2016. К0 2. С. 108-120.

100. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2007. 488 с.

101. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х т. Том 2. 8-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 680 с.

102. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 424 с.

103. Хохлова Т. Н. Устойчивость полносвязной и звёздной структур нейронных сетей // Вестн. Южно-Ур. ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ. 2012. N0 7. C. 195-198.

104. Чудинов К. М. Об устойчивости по части переменных линейных автономных систем с последействием // Изв. вузов. Математика. 2004. N0 6. C. 72-80.

105. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Ч. 1. Функция одного переменного: Учебник для университетов. 3-е изд. М.: Наука, 1985. 336 с.

106. Шиманов С. Н. К теории колебаний квазилинейных систем с запаздыванием // При-кладн. математика и механика. 1959. Т. 23. N0 5. С. 836-844.

107. Шиманов С. Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикладн. математика и механика. 1963. Т. 27. N0 3. С. 450-458.

108. Шиманов С. Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. N0 1. C. 102-116.

109. Шиманов С. Н. О неустойчивости движения системы с запаздыванием по времени // Прикладн. математика и механика. 1960. Т. 24. N0 1. C. 55-63.

110. Шиманов С. Н. Об устойчивости в критическом случае одного нулевого корня для систем с последействием // Прикладн. математика и механика. 1960. Т. 24. N0 3. C. 447-457.

111. Щеглов В. А. Устойчивость линейного дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. N0 12. C. 1665-1669.

112. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

113. Amemiya T. On the Delay-Independent Stability of Delayed Differential Equations of the 1st Order //J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 142. N0 1. P. 13-25.

114. Batzel J. J., Tran H. T. Stability of the human respiratory control system //J. Math. Biol. V. 41. P. 45-79. 2000.

115. Berezansky l., Braverman E. On stability of some linear and nonlinear delay differential equations // J. Math. Anal. Appl. 2006. V.314. N0 2. P. 391-411.

116. Berezansky l., Braverman E. On exponential stability of linear differential equations with several delays // J. Math. Anal. Appl. 2006. V. 324. P. 1336-1355.

117. Burton T. A. Liapunov's direct method for delay equations // Proc. 11th Internat. conf. nonlinear oscillations. Budapest, 1987. P. 26-33.

118. Burton T. A., Hatvani L. On nonuniform asymptotic stability for non-autonomous functional differential equations // Differential and Integral Equations. 1990. V. 3. P. 285-293.

119. Cahlon B., Schmidt D. Stability criteria for certain second-order delay differential equations // Dynamics of continuous discrete and impulsive systems. Series. A: Mathematical Analysis. 2003. 10. P. 593-621.

120. Cahlon B., Schmidt D. Stability criteria for certain second-order delay differential equations with mixed coefficients // J. of Computational and Applied Mathematics. 2004. 170. P. 79-102.

121. Campbell S.A. Stability and bifurcation in the harmonic oscillator with multiple, delayed feedback loops // Dynamics of continuous discrete and impulsive systems. 1999. 5. P. 225-235.

122. Cooke K. L., Turi J. Stability, instability in delay equations modeling human respiration // J. of Mathematical Biology. 1994. N0 6. P. 535-543.

123. Cooke K. L., Grossman Z. Discrete delay, distributed delay and stability switches //J. Math. Anal. Appl., 1982. V. 86. P. 592-627.

124. Zhao H., Lin Y., Dai Y. Stability and global Hopf bifurcation analysis on a ratio-dependent predator-prey model with two time delays // Abstract and Applied Analysis. 2013. ID. 321930. V. 2013. 15 p.

125. Fan Y.H., Li W.T. Permanence in delayed ratio-dependent predator-prey models with monotonic functional responses // Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2007. V. 8. N0 2. P. 424-434.

126. Fan Y.H., Wang L.L. Periodic solutions in a delayed predator-prey model with nonmonotonic functional response // Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2009. V. 10. N0 5. P. 3275-3284.

127. Faria T. Sharp conditions for global stability of Lotka-Volterra systems with distributed delays // J. of Differential Equations. 2009. N0 246. P. 4391-4404.

128. Gakkhar S., Singh A. Complex dynamics in a prey predator system with multiple delays // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2012. V. 17. №2. P. 914-929.

129. Gryazina E., Polyak B. Stability regions in the parameter space: D-decomposition revisited // Automatica. 2006. V. 42. №1. P. 13-26.

130. Gyori I., Hartung F. Stability in delay perturbed differential and difference equations // Fields Istitute Communications. 2001. V. 29. P. 181-194.

131. Hayes N. D. Roots of the transcendental equation associated with acertial differential-difference equation //J. London Math. Soc. 1950. Vol. 25. P. 221-246.

132. Huang G., Takeuchi Y. Global analysis on delay epidemiological dynamic models with nonlinear incidence // J. Math. Biol. 2011. V. 63. N0 1. P. 125-139.

133. Hsu C. S., Bhatt S. J. Stability charts for second-order dynamical systems with time lag // J. Appl. Mech. 1966. V.33, №1. P. 113-118.

134. Hsu C. S., Bhatt S. J. Stability charts for second-order dynamical systems with time lag // J. Appl. Mech. 1966. V.33, №1. P. 119-124.

135. Insperger T., Stepan G. Semi-discretization for time-delay systems. Springer, 2011.

136. Kipnis M.M., Levitskaya I. S. Stability of delay difference and differential equations: similarities and distinctions // Proc. Internat. Conf. Difference Equations, Special Functions and Orthogonal Polinomials, Munich, Germany, 2005. New Jersey: World Scientific, 2007. P. 315-324.

137. Khokhlova T., Kipnis M., Malygina V. The stability cone for a delay differential matrix equation // Applied Mathematics Letters. N0 24. P. 742-745.

138. Kipnis M., Nigmatulin R. D-decomposition method for stability checking for trinomial linear difference equation with two delay // International Journal of Pure and Applied Mathematics. V. 111. N0 3. P. 479-489.

139. Krisztin T. On stability properties for one-dimensional functional-differential equations // Funkcial. Ekvac. 1991. V. 34. N0 2. P. 241-256.

140. Ladas G, Sficas Y. G., Stavroulakis I. P. Asymptotic behavior of solutions of retarded differential equations // Proc. of AMS. 1983. N0 88. P. 247-253.

141. Lee T.N., Dianat S. Stability of time-delay system // IEEE Trans. Automat. Contr. 1981. N0 4. P. 951-953.

142. Liz E., Tkachenko V., Trofimchuk S. A global stability criterion for scalar functional differential equations // SIAM J. Math. Anal. 2003. N0 35. P. 596-622.

143. Lv Y., Yuan R., Pei Y., Li T. Global Stability of a Competitive Model with State-Dependent Delay // J. of Dynamics and Differential Equations. 2017. V. 29. N0 2. P. 501-521.

144. Mahaffy J. M. Cellular control models with linked positive and negative feedback and delays. II. Linear analysis and local stability // J. of Theoretical Biology. 1984. V. 106. N0 2. P. 103-118.

145. Mahaffy J. M., Busken T. C. Regions of stability for a linear differential equation with two rationally dependent delays // Discrete and continous dynamical systems. 2015. V. 35. N0 10.

146. Malakhovski E. On stability of quasi-polynomials with a single delay. Technical Report ETR-2005-01. Technion, Haifa, Israel, 2005.

147. Malakhovski E., Mirkin L. On stability of second-order quasi-polynomials with a single delay // Automatica. 2006. V. 42. P. 1041-1047.

148. Martin A., Ruan S. Predator-prey models with delay and prey harvesting //J. Math Biol. 2001. V. 43. N0 3. P. 247-267.

149. Matsunaga H. Stability switches in a system of linear differential equations with diagonal delay // Applied Mathematics and Computation. 2009. V. 212, N0 1, P. 145-152.

150. Matsunaga H. Exact stability criteria for delay differential and difference equations // Applied Mathematics Letters. 2007. V. 20. N0 2. P. 183-188.

151. Matsunaga H. Stability regions for linear delay differential equations with four parameters // International J. of Qualitative Theory of Differential Equations and Applications 2009. V. 3. P. 99-107.

152. Muroya Y., Kuniya T., Wang J. Stability analysis of a delayed multi-group SIS epidemic model with nonlinear incidence rates and patch structure //J. Math.Anal.Appl. 2015. V. 425. №1. P. 415-439.

153. Okuonghae D. A note on some qualitative properties of a tuberculosis differential equation model with a time delay // Differ. Equ. Dyn. Syst. 2015. V. 23. №2. P. 181-194.

154. Pitchaimani M., Monica C. Global stability analysis of HIV-1 infection model with three time delays // J. Appl. Math. Comput. 2015. V. 48. №1-2. P. 293-319.

155. Plant R. E. A FitzHugh differential-difference equation modeling recurrent neural feedback // SIAM J. on Applied Mathematics. 1981. V. 40. N0 1. P. 150-162.

156. Sakata S. Asymptotic stability for a linear system of differential-difference equations // Funkcialaj Ekvacioj. Serio Internacia. 1998. N0 41. P 435-449.

157. Sakata S., Hara T. Stability regions for linear differential equations with two kinds of time lags // Funkcialaj Ekvacioj. 2004. N0 47. P 129-144.

158. Skvortsova M. A. Asymptotic properties of solutions to a system describing the spread of avian influenza // Сиб. электрон. матем. изв. 2016. V. 13. P. 782-798.

159. Stepan G. Retarded dynamical systems: stability and characteristic functions. Longman Scientific & Technical, 1989.

160. Tang X. H. Asymptotic behavior of delay differential equations with instantaneously terms // J. Math. Anal. Appl. 2005. V. 302, N0 2. P. 342-359.

161. Taylor L. M., Carr T. W. An SIR epidemic model with partial temporary immunity modeled with delay. // J. Math. Biol. 2009. N0 59(6). P. 841-880.

162. Wang L., Xu R., Feng G. Modelling and analysis of an eco-epidemiological model with time delay and stage structure // J. Appl. Math. Comput. 2016. V. 50. N0 1-2. P. 175-197.

163. Wangersky P., Cunningham. W. Time lag in prey-predator population models // Ecology. V. 38. N0 1. P. 136-139. 1957.

164. Xiao Y., Chen L. An SIS epidemic model with stage structure and a delay // Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series. 2002. V. 18. N0 4. P. 607-618.

165. Yoneyama T., Sugie J. On the stability region of scalar delay-differential equations //J. Math. Anal. Appl. 1988. V. 134. N0 2. P. 408-425.

166. Yorke J. A. Asymptotic stability for one dimensional differential-delay equations // J. Different. Equat. 1970. V. 7. N0 1. P. 189-202.

167. Yuan Y., Belair J. Threshold dynamics in an SEIRS model with latency and temporary immunity // J. Math. Biol. 2014. V. 69. N0 4. P. 875-904.