Анализ линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории линейных операторов и отношений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Марюшенков, Станислав Владимирович

• Марюшенков, Станислав Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Марюшенков, Станислав Владимирович

Оглавление

Список обозначений

Введение

1 Устойчивость и обратимости дифференциальных операторов

§1.1 Некоторые сведения из спектральной теории дифференциальных операторов

§1.2 Условия устойчивости и обратимости дифференциального

оператора

2 Оценки нормы оператора, обратного к дифференциальному в функциональных пространствах на полуоси

§2.1 Оценка нормы обратного к оператору —- + А{Ь) в проси

странстве Ь^ через норму в пространстве Ь2

§2.2 Оценка нормы обратного к оператору Се в пространстве

Ьр через норму в пространстве Ьд

3 Оценки нормы оператора, обратного дифференциальному в функциональных пространствах на К 62 §3.1 Условия обратимости оператора Ь = А — В, где А- антисимметричный, а В~ нормальный оператор

§3.2 Приложения к оценкам норм операторов, обратных дифференциальному

Литература

Список обозначений

К - множество всех действительных чисел; М+ - множество действительных чисел [0, оо); С - множество комплексных чисел;

Т = {Л £ С : |А| = 1} - множество точек, расположенных на единичной окружности;

Т(г) = {Л £ С : |А| = г} - окружность с центром в 0 с радиусом г; X - комплексное банахово пространство; Н - гильбертово пространство;

EndX - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Х\

р{А) - резольвентное множество линейного оператора А; (7(А) - спектр линейного оператора А; i?(A, А) ~ резольвента линейного оператора А\ J £ {М,М+};

Lp = Lp(JJ, X), р £ [1, оо) - банахово пространство измеримых по Бохне-ру суммируемых со степенью р функций, определенных на J со значениями в банаховом пространстве X, с нормой ||ж||р = (fj \\x(t)\\pdt)l/p\ Lqq = X) - банахово пространство измеримых по Бохнеру суще-

ственно ограниченных функций, определенных на! со значениями в банаховом пространстве X, с нормой ||#||оо = vr^supíeM+ ||#(¿)||; Сь = Сь{1,Х) - подпространство непрерывных функций из L^J, X); Т — X) - одно из пространств Lp(I, X), р £ [1, оо], Сь{J, X);

И^р (Л, Я) - пространство Соболева абсолютно непрерывных функций из 1/р(Л, Н), производные которых лежат в Ьр($, Н)\ Ъ - множество целых чисел; Z+ - множество положительных целых чисел;

X), р е [1, оо] - банахово пространство последовательностей х : Зл X с нормой ||ж||р = (]Г \\х{п)\\р)1!р ПРИ Р < оо и ЦяЦоо =

>

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории линейных операторов и отношений»

Введение

Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения

dx

— = A(t)x, t g j, (1)

dx

— = A(t)x + f(t), tel (2)

где J g {M,M+}, A(i) : D{A{t)) : X X, t g J, - семейство линейных замкнутых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X.

Многие свойства решений дифференциального уравнения, такие, как ограниченность, устойчивость, асимптотическое поведение, тесно связаны с соответствующими свойствами дифференциального оператора, определяющего дифференциальное уравнение и действующего в соответствующем функциональном пространстве. М.Г. Крейн, отправляясь от идей и результатов Ляпунова, в статье [33] заметил, что многие факты теории устойчивости решений можно получить, используя теорию операторов, действующих в банаховых пространствах.

Изучение этих проблем в терминах экспоненциальной дихотомии решений одним из первых осуществил О. Перрон. В своей работе [78] он

исследовал дифференциальный оператор L = — — + A(t) в пространстве

сы»

непрерывных функций Сь(Е.Х), где Х- конечномерное пространство.

Случай ограниченных операторов A(t), действующих в банаховых пространствах, исследовался в монографиях X. Л. Массера, X. X. Шеф-фера [49] и Ю.Л. Далецкого, М. Г. Крейна [23]. Экспоненциальная дихотомия решений характеризовались в терминах сюръективности опера-

тора Ь и условия замкнутости и дополняемости подпространства векторов из X, являющиеся начальными условиями для ограниченных наМ+ решений дифференциального уравнения. Важнейшим шагом в данных работах стал отказ от матричного анализа в конечномерном пространстве, что сделало более прозрачными и простыми многие доказательства и конструкции.

В связи с приложениями к параболическим дифференциальным уравнениям в частных производных очень остро стоял вопрос об исследовании качественных свойств решений с неограниченными операторными коэффицинетами. Ю.Л. Далецкий и М.Г. Крейн в монографии [23] писали: "Авторы отчетливо осознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых, невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы".

Существенный вклад в развитие теории рассматриваемых уравнений сделал В. В. Жиков. В монографии [28] он доказал эквивалентность условия обратимости оператора Ь в пространстве непрерывных и ограниченных функций Сь(Ш, X) условию экспоненциальной дихотомии решений соответствующего дифференциального уравнения.

Отметим монографию Д. Хенри [58], в которой строилась геометрическая теория параболических уравнений, использующая свойство обра-

(1

тимости оператора Ь = —- + А{{) в пространстве СЦМ, X), в предпо-

ш

ложении, что А(£), £ € К,- секториальные операторы.

Следует отметить, что исследования по корректной разрешимости задачи Коши для уравнения вида (1) существенно опережали соответствующие исследования по качественной теории уравнений (1),(2).

В монографии Э. Хилле, Р. Филлипса [59] получено необходимое и

достаточное условие корректной разрешимости задачи Коши в случае А(£) = А в терминах резольвенты оператора А. При этом существенно использовалась теория полугрупп. Также в данной монографии приведено большое число примеров уравнений в частных производных параболического типа, для которых соответствующий оператор является генератором сильно непрерывной полугруппы операторов.

Современное состояние рассматриваемых проблем тесно связано с использованием методов спектральной теории замкнутых операторов, линейных отношений, разностных операторов и отношений, полугрупп операторов.

Следует отметить важность работ Ю. Латушкина в развитии новых подходов. В монографии К. Чиконе и Ю. Латушкина [63] приведен подробный обзор состояния качественной теории дифференциальных операторов до 1999 года.

Также необходимо упомянуть о большом значении работ Р. Шнау-бельта и Р. Нагеля в развитии качественной теории дифференциальных уравнений.

Для изучения свойств дифференциальных операторов в работах А.Г. Баскакова стала существенно использоваться спектральная теория разностных операторов и линейных отношений. Свойства разностных операторов в весовых пространствах изучались в работах М.С. Бичегку-ева. Исследованию дифференциальных уравнений с помощью линейных отношений посвящены многие статьи В.М. Брука.

Отметим, что изучение линейных дифференциальных уравнений не только имеет самостоятельное значение, но и служит базой для изучения нелинейных уравнений. При этом очень важное место занимают оценки норм обратных операторов. Этому направлению исследования посвящен

цикл работ А.И. Перова для обыкновенных дифференциальных уравнений (операторов) [50],[51],[52] и статья А.Г. Баскакова и Ю.Н. Синтяева [9].

Таким образом, тема диссертации, посвященной изучению линейных дифференциальных уравнений с помощью разностных операторов и линейных отношений, является вполне актуальной.

Цель работы состоит в нахождении условий обратимости дифференциальных операторов и получении оценок норм решений дифференциальных уравнений (как с ограниченными, так и неограниченными операторными коэффициентами) в функциональных пространствах на бесконечных промежутках.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с использованием методов функционального анализа, методов спектральной теории замкнутых операторов, теории линейных отношений, разностных операторов и отношений, теории полугрупп операторов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Условия обратимости дифференциальных операторов, действующих в функциональных пространствах на полуоси.

2. Оценки нормы обратного к дифференциальному оператору с неограниченными операторными коэффициентами, действующему в функциональных пространствах на полуоси, через норму обратного в другом функциональном пространстве.

3. Оценки нормы обратного к дифференциальному оператору с ограниченными операторными коэффициентами, действующему в пространстве Ьоо(Ш+, X), через норму обратного оператора, действу-

ющего в пространстве 1,2(®ч-,Х).

4. Условия обратимости и оценка нормы обратного к одному классу несамосопряженных операторов, действующих из подпространсва гильбертова пространства в данное гильбертово пространство.

5. Приложения оценок норм обратного к исследуемому классу несамосопряженных операторов к оценкам норм обратных к дифференциальным операторам, действующим в функциональных пространствах на всей оси вещественных чисел.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографии, включающей 84 наименования. Общий объем диссертации 88 страниц.

Содержание диссертации. В главе 1 определены исследуемые дифференциальные операторы, дана сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов качественной теории дифференциальных операторов, рассмотрены вопросы обратимости и устойчивости дифференциальных операторов.

Пусть Х- комплексное банахово пространство, Е- замкнутое подпространство из X, ЕпйХ- банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X, К+ = е Ж : £ > 0}, 1 е {М, М+}. Через Ьр = Ьр(3, X), р е [1, оо], обозначим банахово пространство измеримых по Бохнеру и суммируемых со степенью р (существенно ограниченных при р = оо) функций с нормой ||аг||р = (/ Ца^рсЙ)^ р < оо,

л

\\х\\оо = утвир^л ||я(£)||. Через Съ — Съ{$,Х) обозначим банахово пространство непрерывных и ограниченных на 1 функций со значениями в X. Через Т — X) обозначим одно из пространств —

{Ьр(1,Х),1<р<оо-СьЦ,Х)}.

Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения (1), (2),

гдеДоопределение 1.3. Отображение Ы : Дд = {(¿,й) £ 1 х ] : в < —> Епд,Х называется семейством эволюционных операторов на I, если выполнены следующие условия

1) ¿) = / для любого Ь Е I;

2) ОД, з)ОД, г) = ОД, г), 5, г 6 Л, Ь > в > г;

3) отображение (¿,5) : Ад —» X непрерывно для любого х еХ;

4) существуют постоянные М > 0, а Е М такие, что < Меа&-8\ в,^!, Й <

Семейство эволюционных операторов естественным образом появляется в связи с представлением решений абстрактной задачи Коши

ф) =Хое X, в > 0 (3)

для дифференциального уравнения (1). Будем говорить, что семейство эволюционных операторов Ы : —ЕпйХ решает абстрактную задачу Коши (1), (3), если для любого в Е М+ существует плотное в X подпространство Х8 такое, что для каждого хо Е Х8 функция х(Ь) = и(Ь,8)х о, ^ Е М+, дифференцируема при всех £ >5и выполнены равенства (1), (3).

Слабым решением уравнения (2) при условии, что корректно определено семейство эволюционных операторов Ы : Д+ —> Епс1Х, разрешающее задачу Коши (1), (3), называется любая непрерывная функция

х : Ж+ —» X, удовлетворяющая при всех 0 < в < £ равенствам

= в)ж(в) - Ju{t, т)/(т)с2т.

в

Построим линейный оператор Се '■ Е)(Се) С —>

который определяется следующим образом. Непрерывная функция х Е X), для которой вектор ж(0) Е Е относится к обла-

сти определения И {Се) оператора Се, если существует такая функция / € что верны равенства

г

х(р) = Щ, 0)аг(0) - ^ Ы(г,т)/(т)с1т, £ > 0.

о

Тогда полагается, что Сех = /.

Отметим, что важными случаями являются £ = {0} и Е — X.

Определение 1.9. Будем говорить, что семейство эволюционных операторов Ы допускает экспоненциальную дихотомию на множестве О, Е М, если существует ограниченная сильно непрерывная проектор-нозначная функция Р : О —> Еп(1Х и постоянные Мо,7 > 0 такие, что выполнены следующие свойства

1) и{г, в)Р(в) = Р{г)и{ъ, в), г > в, ¿,« е П;

2) 5)Р(5)|| < М0е-^~8\ э < в, г Е Г2;

3) для 5 < Е Г2 сужение : ^"'(в) —>• оператора

на область значений Х'(5) = 1т(3(8) дополнительного проекта

= I — Р(в) есть изоморфизм подпространств и

(определяем оператор ¿¿(й, £) Е ЕпйХ, равный ЦТ,,1 на и равный нулю на = 1тР{€))\

4) ||гф,г)11 < > 5, 5, Л Е П.

Пара проекторозначных функций Р, ф называется расщепляющей парой для семейства Ы.

В начале будем считать, что А € Сь(М+, Еп<1Х). Условие 1.1. Пусть выполнено следующее неравенство:

и (А) = т£ сйв£(сг(А(г)),гК) > 0.

Условие 1.2. Существуют постоянные М+,М_,7+,7_ > 0 такие, что

¡М+ехр(-1+т),т>0, I М^ехр(у-т), т < 0.

Теорема 1.11. Пусть существует такая непрерывная функция (р : Ж -» Ж+, что выполнены условия 1.1-1.2, неравенства

оо и

J р{и)е-^и<1и + М_ J ч>{~и)е1-и(1и < 1,

\\А(1)-А(з)\\<^-з\),

оо 0

М+

0 -оо

и Е = 1тС2{0). Тогда оператор Се обратим.

Теорема 1.13. Пусть условия теоремы 1.11 выполнены приЬ > а. Тогда оператор Се, где 1т(2(а) = К(а,0)Е, обратим.

В главе 2 диссертации получены оценки нормы для обратного к дифференциальному оператору, действующему в функциональных пространствах на полуоси.

Рассматривается случай неограниченных операторных коэффициентов > 0.

Теорема 2.4. Пусть оператор Се обратим в одном из из пространств LP(M+,X), р Е [1,оо] ,C¿(1R+,X). Тогда он обратим в остальных пространствах. При этом

1. Если оператор Се обратим в одном из пространств L00(

то норма Ц/З^Ц оператора С^1 в любом из пространств ЬР(Ш.+ , X), р Е [1,оо); допускает оценку

\\С-Е% < 2^(К + К\ 1 + 8(1 + К + КЦСЁЧОО)2)).

2. Если оператор Се обратим в одном из пространств Lp(R+, X), р Е [1, оо), то

Halloo < к + К\ 1 + 8(1 + 21~^(К + К2\\С-Е%))2),

\\Се% < + К2{ 1 + 8(1 + 21~1/*{К + КЦС^Х))2)),

где К = sup0<¿_s<1 \\U(t, s)||, q E [l,oo) и H-C^Hp обозначает норму оператора в одном из пространств ЬР(Ж+, X), р Е [1, оо].

Пусть A(t) = А Е EndH, где Н- гильбертово пространство. Рас-

d

смотрим оператор Се — + А : D(Ce) С Lp Lp, где А Е EndH

ÍIL

инфинитезимальный оператор полугруппы операторов {T(t); t > 0}. В данном случае эволюционное семейство имеет виp,U{t, s) = T{t — s), s < t, s,t E M+, и оператор Ce задаётся с помощью этого семейства.

Теорема 2.5. Пусть Н- гильбертово пространство и оператор Се обратим в 1/г(М+,Я). Тогда он обратим в остальных пространствах Lp(R+, Я), р Е [1,оо] , Сь{Ш+, Я). При этом

Halloo < К + К2( 1 + 8(1 + 21-1'*{К + К2 sup ||Ä(iA, А)||))2),

АбК

llallí < + K2(l + 8(1 + 2l~l^{K + К2 sup ||Ä(iA, Л)||))2)),

AeM

q < оо.

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор

СЕ = -j + A(t) : {х £ Я) : ж(0) g Е} с Lp Lp,

действующий в одном из банаховых пространств Lp = ЬР(Ж+,Н), р £ [1,оо], где H- комплексное гильбертово пространство. Его областью определения являются функции из пространства Соболева Жр(М+, H) — {х £ Lp абсолютно непрерывная : х £ Lp}, такие, что а;(0) £ Е, где Е- замкнутое подпространство из Я. Операторнозначная функция Л : —У EndH считается существенно ограниченной, т.е. принадлежащей пространству L00(М+, EndH).

Теорема 2.1. Пусть оператор Се = —d/dt + A{t) : {х £ W21(M+,iî') : ж(0) £ Е} С L2 ^ L2 обратим. Тогда он обратим в подпространстве L^ и верна оценка

\\съЧоо < + \\А\и\с-%у

Теорема 2.2. Пусть оператор Се = + А : {х £ •'

(ль

а;(0) £ Е} С £2 ¿2 обратим. Тогда оператор Се обратим в Loo и имеет место оценка:

ЦСёЧоо < 8sup ||Я(гА, А)\\(1 + ||Л|| sup ||Я(гЛ, Л)||).

Лем Лек

В главе 3 найдены оценки обратного к одному классу несамосопряженных операторов, являющихся разностью антисимметричного и нормального операторов, и получены приложения для дифференциальных операторов, действующих в функциональных пространствах на всей оси вещественных чисел.

Пусть Н- комплексное гильбертово пространство. Будем считать, что оператор А : D(A) с Я —> Я - антисимметричный, а оператор В б EndH- нормальный.

Рассмотрим оператор вида L — А — В : D(A) с Я —Я. Введем обозначения а+ = <J+(B) — сг{В) П С+, сг_ = а-{В) = а{В) П С_, где С+ = {z е С : Rez > 0}, С_ = {z е С : Rez < 0}, а(В)- спектр оператора В. Обозначим х{В) — Х+(Я) + Х-(Я), Хо(Я) =

min{x+(B),x-(B)}> гДе Х+(в) = min Re\ Х-(В) = |тахЯеА|.

Л€<г+ Л€(т_

Наряду с оператором А рассмотрим трансформатор ad а '■ D{adA) с

EndH —» EndH с областью определения D(adA), состоящей из таких операторов X Е EndH, для которых X(Z?(A)) с D(A). При этом оператор АХ — ХА допускает расширение с .D(A) до некоторого оператора из EndH, обозначаемого через АХ — ХА или [А,Х]. Будем полагать adAX= [А,Х].

.Теорема 3.1. Пусть обратимый оператор В принадлежит области определения D(adA) трансформатора ad а и выполнено одно из следующих условий:

1. \\АВ - ВА\\ < хо(В)х(В),

2. \\{В,АВ — ВА]\\ < хо(Я)х(Я)2,

3. || adnB{AB - В А) || < Хо(Я)х(Я)п+1, п > 2, где adnB-п-ая степень трансформатора adß EndX —> EndX, определенного формулой adBX = ВХ - ХВ.

Тогда оператор L = А — В обратим и норма обратного оператора имеет соответствующую (каждому случаю теоремы) оценку:

L хъ{В)х{В)-\\AB-ВА\У

15

xW

2' 11 "xo(В)х(ВУ-\\[В,АВ-ВА}\\'

q llr-111 <r _X{B)_ Г7 > 9

11 " " xo(B)x(B)^ - ||ad%(AB - BA)\\'

Пусть A = i : D(A) = W%(R,H)'C L2 Ь2 оператор

(ль

дифференцирования, действующий в гильбертовом пространстве Ь2 = Ь2(Ж, Н) суммируемых с квадратом нормы функций х : К —> Н со

оо

скалярным произведением < х:у >= J (x(t), у(t))dt. Его областью

— 00

опеределения является пространство Соболева И^21(Ж+,Я) = {ж G Ь2 абсолютно непрерывна : х € Ь2}. Оператор А антисопряженный и является генератором однопараметрической группы операторов S : L2{R, Н) Ь2{Ш, Н), (S(r)x)(t) = x{t + г).

Пусть В Е EndL2- оператор умножения на ограниченную непрерывную функцию Q : R EndH, т.е. (Bx)(t) = Q(t)x(t), х е Ь2, t е М. Из теоремы 3.1 следует

Теорема 3.2. Пусть Q : Е —>• EndH- непрерывно дифференцируемая ограниченная функция, значения которой являются нормальными обратимыми операторами, и выполнено одно из следующих условий

1. sup II^(i)II <xo(Q)x(<2),

2. supllQ(*Ät) - ^Q(t)II < xo(QMQ)2, tg к at ai

гдех(В)=х+(В) + Х-(В)> Xo(B) = тгп{Х+(В),Х-Ш, X+{B) =

inf min ЯеА, x_(ß) = inf max |ЯеЛ|.

t<=R A6<7(Q(i))nC+ ieK Aecr(<3(i))nC_

Тогда дифференциальный оператор С = — — Q(t) : W^®^-^) С _). обратим и норма обратного оператора имеет соответствующую (каждому случаю теоремы) оценку:

r „/.-iiK_^91_

1- \\£ II - dQ

xo(Q)xW)-sup 11-^(011

te R ai

„„ ln ^_mi_

2- К ^--dÖ-dQ

xo(Q)x(Q)2-sup||Q(t)f(t)-^Q(t)ll

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Марюшенков, Станислав Владимирович, 2013 год

Литература

[1] Азизов Т. Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов, И.С. Иохвидов. — М.: Наука, 1986. - 352 с.

[2] Баскаков А. Г. Гармонический анализ линейных операторов / А.Г. Баскаков. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 1987. — 164 с.

[3] Баскаков А. Г. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова / А.Г. Баскаков, A.A. Воробьев, М. Ю. Романова // Матем. заметки. - 2011. - Т. 89. - № 2. - С. 190-203.

[4] Баскаков А. Г. Дихотомия спектра несамосопряженных операторов / А.Г. Баскаков // Сиб. матем. журн. - 1991. - Т. 32. - № 3. -С. 24-30.

[5] Баскаков А. Г. Исследование линейных дифференциальных уравнений методами спектральной теории разностных операторов и линейных отношений / А.Г. Баскаков // Успехи математических наук. — 2013. - Т. 68. - № 1. - С. 77-128.

[6] Баскаков А. Г. Круговая дихотомия спектра одного класса несамосопряженных операторов / А.Г. Баскаков, В.В. Юргелас // Изв. вузов. Матем. - 1994. - № 3. - С. 12-18.

[7] Баскаков А. Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных

операторов / А.Г. Баскаков // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59. — № 6. - С. 811-820.

[8] Баскаков А. Г. Некоторые условия обратимости линейных дифференциальных и разностных операторов / А.Г. Баскаков // Доклады Академии наук. - 1993. - Т. 333. - № 3. - С. 282-284.

[9] Баскаков А. Г. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А.Г. Баскаков, Ю.Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения. — 2010. — Т. 46. — № 2. — С. 210— 219.

[10] Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианали-тических и спектральных операторов / А.Г. Баскаков // Известия РАН. Серия математическая. - 1994. - Т. 58. - № 4. - С. 3-32.

[11] Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Известия РАН. Серия математическая. — 2009. — Т. 73. — № 2. - С. 3-68.

[12] Баскаков А. Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Черны-шов // Матем. сб. - 2002. - Т. 193. - № И. - С. 3-42.

[13] Баскаков А. Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сиб. матем. журн. — 2001. — Т. 42. - № 6. -С. 1231-1243.

[14] Бичегкуев М. С. Линейные разностные и дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки. — 2009. — Т. 86. - № 5. - С. 673-680.

[15] Бичегкуев М. С. Об ограниченных решениях разностных включений / М.С. Бичегкуев // Изв. вузов. Матем. - 2008. - № 11. - С. 16-24.

[16] Бичегкуев М. С. Об условиях обратимости разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // Известия РАН. Серия математическая. — 2009. — Т. 75. - № 4. -С. 3-20.

[17] Брук В.М. Об обобщенных резольвентах линейных отношений, порожденных неотрицательной операторной функцией и дифференциальным выражением эллиптического типа / В. М. Брук // Изв. вузов. Матем. - 2013. - № И. - С. 12-26.

[18] Брук В.М. Об обратимых линейных отношениях, порожденных интегральным уравнением с неванлинновской мерой /В.М. Брук // Изв. вузов. Матем. - 2013. - № 2. - С. 16-19.

[19] Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров. — М.: Наука, 1981. — 512 с.

[20] Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры / С.К. Годунов. — М.: Научная книга, 1997. - 407 с.

[21] Гомилко А. М. Об условиях на производящий оператор равномерно ограниченной Со-полугруппы операторов / А.М. Гомилко // Функ-

циональный анализ и его приложения. — 1999. — Т. 33. - № 4. -С. 66-69.

[22] Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. — М.: Физматгиз, 1963. — 1100 с.

[23] Далецкий Ю. JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. — М.: Наука, 1970. - 535 с.

[24] Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория: Пер. с англ. / Н. Данфорд, Дж. Шварц. - М.: ИЛ, 1962. - 895 с.

[25] Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральные операторы: Пер. с англ. / Н. Данфорд, Дж. Шварц. — М.: Мир, 1974. — 657 с.

[26] Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. - М.: Наука, 1967. - 472 с.

[27] Диденко В. Б. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, определяемых линейным отношением / В. Б. Диденко // Матем. замет- « ки. - 2011. - Т. 89. - № 2. - С. 226-240.

[28] Жиков В. В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1976. - Т. 40. - № 6. - С. 1380-1408.

[29] Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967. — 624 с.

[30] Калужина Н.С. Теорема Берлинга для непрерывных ограниченных функций и функций Степанова / Н.С. Калужина, C.B. Марюшенков

// Вестник ВГУ, серия: Физика, Математика. - 2008. -''№ 2. - С. 115— 121.

[31] Като Т. Теория возмущенных линейных операторов / Т. Като. — М.: Мир, 1972. - 739 с.

[32] Колмогоров А.Н. Элементы теории функции и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 543 с.

[33] Крейн М.Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости / М.Г. Крейн. // Успехи мат. наук. — 1948. - Т. 3. - № 3. - С. 166-169.

[34] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. — М: Мир, 1967. — 464 с.

[35] Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения / В.Г. Курбатов. - Воронеж: ВГУ, 1990. - 168 с.

[36] Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа / С.С. Кута-теладзе. — Изд-во Ин-та матем. Новосибирск, 2000. — 349 с.

[37] Левин А. Ю. Теорема Харитонова для слабо нестационарных систем / А. Ю. Левин // Успехи математических наук. — 1995. — Т. 50 — m 306. - С. 189-190.

[38] Левитан Б. М. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения / Б.М. Левитан, В.В. Жиков. — М.: Издательство МГУ, 1978. - 206 с.

[39] Марюшенков C.B. Круговая дихотомия спектра несамосопряженного оператора, являющегося разностью антисимметричного и

нормального, и приложение к дифференциальным операторам / C.B. Марюшенков // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2012». - М.: МАКС Пресс - 2012.

[40] Марюшенков C.B. Некоторые оценки норм обратных к дифференциальным операторов, действующих на полуоси / C.B. Марюшенков // Международный научный журнал Спектральный и эволюционные задачи: Труды двадцадь второй крымской осенней математической школы-симпозиума. - 2012. - Т. 22. - С. 140-142.

[41] Марюшенков C.B. Некоторые условия обратимости дифференциального оператора / C.B. Марюшенков // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2012. Материалы международной конференции. - Воронеж: ВГУ. - 2012. - С. 150-151.

[42] Марюшенков C.B. Об обратимости одного класса несамосопряженных операторов /C.B. Марюшенков // Двадцать Третья Крымская Осенняя Математическая Школа. Сборник тезисов. — 2012. — С. 42.

[43] Марюшенков C.B. Об оценке нормы оператора обратного к дифференциальному / C.B. Марюшенков // Современные методы краевых задач: материалы весенней математической школы «Понтрягинские чтения XXI». - 2010. - Воронеж: ВГУ - С. 206.

[44] Марюшенков C.B. Оценка нормы обратного к дифферециальному оператору / C.B. Марюшенков // Дифференциальные уравнения. — 2013. - Т. 49. - № 3. - С. 402-404.

[45] Марюшенков C.B. Оценка нормы оператора, обратного к дифференциальному / C.B. Марюшенков // Изв. вузов. Матем. — 2012. — № 1. -С. 49-53.

[46] Марюшенков C.B. Оценка нормы оператора, обратного к дифференциальному / C.B. Марюшенков // Двадцать Вторая Крымская Осенняя Математическая Школа. Сборник тезисов. — 2011. — С. 34.

[47] Марюшенков C.B. О разрешимости разностных уравнений с медленно меняющимся коэффициентами / C.B. Марюшенков // Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна. Тезисы докладов. - Воронеж: ВГУ. - 2010. - С. 100-101.

[48] Марюшенков C.B. Условия обратимости одного класса несамосопряженных операторов / C.B. Марюшенков // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. — 2012. — Т. 12. -m 4. - С 14-19.

[49] Массера X. JI. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер. — М.: Мир, 1970. - 456 с.

[50] Перов А.И. Ограниченные решения нелинейных векторно-матричных дифференциальных уравнений n-го порядка / А.И. Перов, И.Д. Коструб. — Воронеж: Издательско-полиграфический центр «Научная книга», 2013. — 227 с.

[51] Перов А.И. Частотные методы в теории ограниченных решений нелинейных дифференциальных уравнений n-го порядка (существование, почти периодичность, устойчивость) / А.И. Перов // Дифференциальные уравнения. — 2012. — Т. 48. — № 5. — С. 663-673.

[52] Перов А. И. Частотные признаки существования ограниченных решений / А.И. Перов // Дифференциальные уравнения. — 2007. — Т. 43. - № 7. - С. 896-904.

[53] Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. — М.: Мир, 1975. — 449 с.

[54] Синтяев Ю. Н. Об условиях обратимости возмущенного дифференциального оператора с неограниченными операторными коэффициентами / Ю.Н. Синтяев // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2008. - № 2. - С. 83-85.

[55] Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / СЛ. Соболев. — М.: Наука, 1988. — 336 с.

[56] Тюрин В. М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Сиб. мат. журн. - 1991. - Т. 32. - № 3. - С. 160-165.

[57] Тюрин В. М. Об обратимости оператора — в некоторых

С1Т>

функциональных пространствах /В.М. Тюрин // Мат. заметки. — 1979. - Т. 25. - № 4. - С. 585-590.

[58] Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. — М.: Мир, 1985. - 376 с.

[59] Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс. - М.: ИЛ, 1962. - 830 с.

[60] Чернышов М. К. Об условиях обратимости некоторых классов линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами: дис. канд. ф.-м.наук / М.К. Чернышов — Воронеж: ВГУ, 1998. - 89 с.

[61] Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде. - М.: Мир, 1969. - 1070 с.

[62] Baskakov A. Spectral analysis of operators with two-point Bohr spectrum / A. Baskakov, I. Krishtal //J. Math. Anal. Appl. — 2005. — V.38 - P. 420-439.

[63] Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc. — 1999. — 361 p.

[64] Engel K.-J. A Short Course on Operator Semigroups / K.-J. Engel, R. Nagel. - Springer, 2006. - 248 p.

[65] Engel K.-J. One - Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.-J. Engel, R. Nagel. — Gradute Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1999. - 589 p.

[66] Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc. - 1978. - V. 236. -P. 385-394.

[67] Gohberg I. Classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek // Birkhaser Vol. I, Oper. Theory Adv. Appl., 49, Basel, Boston, Berlin, 1990.

[68] Gohberg I. Finite Section Method for Difference Equation / I. Gohberg, M.A. Kaashoek, F. van Schagen // Operator Theory: Advances and Applications. - 2001. - V. 130 - P. 1997-2007.

[69] Goldberg S. Unbounded linear operators. Theory and applications / ' S. Goldberg - McGraw-Hill, New York-Toronto-London, 1966.

[70] Howland J.S. Stationary scattering theory for time-dependent

Hamiltonians / J. S. Howland // Mathematische Annalen. — 1974. — V. 207. - N. 4 - P. 315-335.

[71] Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A.Yagi — Marcel Dekker. New York, 1999. - 336 p.

[72] Khatskevich V. Generalized fractional linear transformations: convexity and compactness of the image and the pre-image; applications / V. Khatskevich // Studia Mathematica. - 1999. - V. 137. - N. 2. -P. 169-175.

[73] Latushkin Yu. Dichotomy and Fredholm properties of evolution equqtions / Yu. Latushkin, A. Pogan, R. Schnaubelt //J. Operator Theory. - 2007. - V. 58. - N. 2. - P. 387-414.

[74] Latushkin Yu. Exponential dichotomy and mild solutions of nonautonomous equations in Banach spaces / Yu. Latushkin, T. Randolph, R. Schnaubelt // Math. Surveys Monogr. - 1998. - V. 10. -N. 3. - P. 489-510.

[75] Latushkin Yu. Fredholm properties of evolution semigroups / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // Illinois J. Math. - 2004. - V. 48. -N. 3. - P. 999-1020.

[76] Lunardi A. Analytic Semigroups and Optimal Regularity in Parabolic Problems / A. Lunardi. — Birkhauser, 1995. — 424 p.

[77] Nagel R. Semigroups methods for nonautonomous Cauchy problems / R. Nagel // Lecture Notes in Pure and Appl. Math. Dekker, New York. - 1995. - V.168. - P. 301-316.

[78] Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen / O. Peron // Math. Z. - 1930. - V. 32. - N. 3. - P. 465-473.

[79] Pruss J. On the spectrum of Co-semigroups / J. Pruss // Trans. Amer. Math. Soc. - 1984. - V. 284. - P. 847-857.

[80] Schnaubelt R. Asymptotic behaviour of parabolic nonautonomous evolution equations / R. Schnaubelt // Functional Analytic Methods for Evolution Equations. - 2004. - V. 1885. - P. 401-472.

[81] Di Giorgio D. Optimal regularity and Fredholm properties of abstract operators in LP spaces on the real line / D. Di Giorgio, A. Lunardi, R. Schnaubelt // Proc. London Math. Soc. - 2005. - V. 91. - N. 3. -P. 703-737.

[82] Schnaubelt R. Sufficient conditions for exponential stability and dichotomy of evolution equations / R. Schnaubelt // Forum Math. -1999. - V. 91. - N. 5 - P. 543-566.

[83] Rabiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Rabiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum. - 1996. - V. 52. - N 2. - P. 225-239.

[84] Taylor A. E. Introduction to functional analysis / A.E. Taylor - John Wiley and Sons. New York, 1958. - 423 p.