Сопротивление двухфазной среды воздействию статических нагрузок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Огороднова, Юлия Валерьевна

• Огороднова, Юлия Валерьевна
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Огороднова, Юлия Валерьевна

Введение

Глава 1. Деформирование двухфазных сред

1.1. Представления о жидкой составляющей двухфазной среды.

1.2. Современные расчетные модели полупространства.

1.3. Основные теории расчета двухфазных систем.

1.4. Экспериментальные исследования влияния поровой воды на работу двухфазного полупространства.

Глава 2. Расчет двухфазного полупространства.

2.1. Кинематическая модель двухфазной деформируемой 35 системы.

2.2. Метод В.З. Власова для расчета конструкций на упругом основании.

2.3. Работа внешних сил в двухфазном теле.

2.4. Вариационный метод расчета однослойного двухфазного основания.

2.5. Назначение функции поперечного распределения перемещений частиц двухфазной среды.

2.6. Рабочие формулы, связанные с функцией поперечного распределения перемещений частиц двухфазной среды.

2.7. Параметры кинематической модели применительно к расчету двухфазной деформируемой системы.

Глава 3. Расчет несущей способности свайного основания с учетом остаточного порового давления.

3.1. Исходные положения при решении задачи.

3.2. Расчет двухфазного свайного основания при расположении свай в один ряд.

3.3. Алгоритм определения осадки однорядного ленточного свайного фундамента.

3.4. Расчет двухфазной системы с многорядным фундаментом.

3.5. Определение осадки двухрядного ленточного свайного фундамента.

3.6. Учет взаимовлияния соседних фундаментов.

3.7. Примеры расчетов свайных оснований с учетом остаточного порового давления. Основные результаты и выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сопротивление двухфазной среды воздействию статических нагрузок»

В условиях освоения нефтегазового комплекса Западной Сибири, строительство все чаще ведется на территориях со сложными инженерно-геологическими условиями и на сегодняшний день освоено не более 50 % таких территорий. С ростом старых и возведением новых городов одной из главных задач является разработка принципов надежного и экономичного строительства с учетом полного использования прочностных и деформационных свойств слабых деформируемых сред, которые достигают 65 % всей территории региона.

В условиях водонасыщенных систем обычно применяют свайные фундаменты, позволяющие уменьшить объем трудоемких земляных работ, расход материалов и значительно сократить сроки строительства. Расчет и проектирование зданий и сооружений с использованием таких систем -ответственная проблема строительства.

В настоящее время для многих разновидностей материалов экспериментально установлена сложная и часто неоднозначная связь между напряжениями и деформациями. Это, тем не менее, не гарантирует совпадение реальных и расчетных значений, что объясняется неучетом особенностей их деформационных свойств.

Основной задачей при расчете сооружений является оценка ожидаемых деформаций и сравнение их с допускаемыми величинами. Строительные нормы рекомендуют рассчитывать осадки свайных фундаментов как условных фундаментов на естественном основании. Однако расчет по данной методике (СНиП) приводит к получению завышенных теоретических значений осадок. Кроме того, у большинства зданий и сооружений, построенных на свайных фундаментах, величина осадок в несколько раз меньше предельно допустимых величин. Любая несущая система, тем более в виде водонасыщенного основания, является сложной средой, которая, как минимум, является двухфазной (скелет основания и поровая вода).

Поэтому, учет в расчетах фактора сопротивления норовой воды необходим и может обеспечить более достоверные результаты по осадкам рассчитываемых систем.

Следовательно, проведенные в данной работе исследования по разработке методики определения напряженно-деформированного состояния двухфазной среды с учетом остаточного порового давления воды являются актуальными и имеющими теоретическое и прикладное значение, например, при расчете свайных фундаментов.

Целью настоящей работы является исследование напряженно-деформированного состояния водопасы щепной среды и аналитическое описание вклада норовой воды в её работу.

Основные задачи исследования: разработать методику подсчета перемещений деформируемых сред с учетом остаточного норового давления воды; определить несущую способность норовой воды с помощью новой функции поперечного распределения перемещений части, деформируемой среды;

Научная новизна работы: на основе введения новой функции поперечною распределения перемещений частиц деформируемой среды выведены формулы расчета перемещений двухфазного полупространства с учеюм остаточного порового давления; полученные формулы применены для расчета осадок однорядных и миогорядпых ленточных свайных фундаментов;

Практическое значение работы: полученные результаты более точно оценивают осадку оснований; предлагаемые формулы позволяют производить расчет ленточных свайных фундаментов как на персональном компьютере, так и «вручную».

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Аналитическое решение задачи для двухфазного полупространства, загруженного статической нагрузкой, с учетом остаточного порового давления воды.

2. Новая функция поперечного распределения перемещений, учитывающая двухфазность рассматриваемой среды;

3. Метод расчета осадок ленточных свайных фундаментов с учетом остаточных напряжений в поровой воде двухфазного основания

Достоверность защищаемых результатов обеспечивается использованием классических уравнений прикладной механики деформируемого твердого тела и теоретических совпадений с ранее известными решениями.

Апробация работы. Основные положения диссертации доложены на: научных семинарах межкафедральной экспериментальной и научной лаборатории Тюменской государственной архитектурно-строительной академии (ТюмГАСА, 1999-2002 гг.); на научно-практических конференциях молодых ученых и аспирантов ТюмГАСА (Тюмень, 2001-2002 гг.); на научном семинаре профессора, д.т.н. Ю.Е. Якубовского, ТюмГНГУ (Тюмень, 2001 г.); на объединенном научном семинаре кафедр: «Механика грунтов, основания и фундаменты», «Строительная механика», «Строительные конструкции», ТюмГАСА (Тюмень, 2002 г.); на научном семинаре в НИИОСП им. Н.М. Герсеванова «Научные основы фундаментостроения» (Москва, 2002 г.); на научном семинаре кафедры «Прочность материалов и конструкций» Петербургского государственного университета путей сообщения (декабрь, 2003).

По результатам выполненных исследований опубликовано 5 работ.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Огороднова, Юлия Валерьевна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Получено новое аналитическое решение задачи для двухфазного полупространства, загруженного статическими силами с учеюм остаточного порового давления.

2. Исследована новая функция поперечного распределения перемещений частиц деформируемой среды для определения деформаций двухфазной системы с учетом остаточного давления в норовой воде.

3. Разработана методика подсчета осадок однорядных и многорядных ленточных свайных фундаментов, расположенных в водонасыщенном основании.

4. Учет фактора сопротивления норовой воды в работе двухфазной системы позволил получить более близкие к существующим расчетные значения осадок фундаментов.

5. Анализ численных решений показал, что доля остаточного порового давления в несущей способности двухфазного основания составляет от 30 до 40 %.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Огороднова, Юлия Валерьевна, 2004 год

1. АбелевМ.Ю. Строительство промышленных и гражданских сооружений на слабых водонасыщенных грунтах. — М.: Стройиздат, 1983 -248 с.

2. Агуф Е.И. Осесимметричная контактная задача для полупространства со сдвинутым упругим полубесконечным включением. //ЛИСИ. Вопросы механики строительных конструкций материалов. Межвузовский сборник трудов. Л.: 1987. - С. 50-55.

3. Алейников С.М. Пространственная контактная задача для жесткого фундамента на упругом неоднородном основании. //Известия вузов. Строительство. № 4. Новосибирск, 1997. - С. 52-59.

4. Александров А.В. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. - 399 с.

5. Алиев М.М. Основные уравнения плоской деформации идеально пластической анизотропной неоднородной среды. /Сборник трудов по механике АзИСУ. Вып. 3. - Баку: 1993. - С. 61-64.

6. Алиев М.М., Гениве Г.А., Миннахлитов Р.Г. Несущая способность анизотропных оснований сооружений. //Научные исследования и подготовка специалистов в вузе. /Труды АлНИ. Вып. 2, 1999. - С. 155-159.

7. Бадалов Ф.Б., Хашимов Ж. Решение неоднородных и нелинейных краевых задач теории пластин и оболочек методом сведения к задачам Коши. Ташкент: Изд. "Фан" Узбекской ССР, 1998.- 123 с.

8. Ю.Бай В.Ф. Взаимодействие лопастных свай в составе кустов с окружающим грунтом. /Автореферат диссертация на соискание степени кандидата технических наук. Пермь, 1993. - 30 с.

9. Бай В.Ф. Экспериментальная установка для проведения испытания образца обводненного грунта. //Известия вузов. Нефть и газ. № 3. Тюмень: 2001.-С. 58-62.

10. Бай В.Ф., Мальцева Т.В., Набоков А.В. Механические характеристики двухфазного образца. //Известия вузов. Нефть и газ. № 1 — Тюмень: 2002. С. 98-106.

11. Бай В.Ф., Мальцева Т.В., Набоков А.В. Экспериментальное определение параметра в упругом варианте кинематической модели грунта. //Известия вузов. Нефть и газ. № 5. Тюмень: 2001,. С. 81-87.

12. Бай В.Ф., Огороднова Ю.В. Обобщение метода послойного суммирования на учет двух фаз при определении осадки фундаментов. //Труды международного форума по проблемам науки, техники и образования. Т. 1. М.: 2001. С. 87-88.

13. Бай В.Ф., Огороднова Ю.В. Расчет свайного ленточного фундамента с учетом поровой воды. //Сборник материалов научно-практической конференции преподавателей, молодых учены, аспирантов ТюмГАСА — М.: 2002. С. 12-18.

14. Баранов Д.С., Сидорчук В.Ф., Карамзин В.Е. Измерительные приборы, методика и некоторые результаты исследования распределения давлений в массивном грунте. //Научное сообщение. Вып. 7. М.: 1959. - С. 145-148.

15. Бартоломей А.А., Богомолов А.Н. Определение напряженного состояния однородного основания заглубленного фундамента. //Основания и фундаменты в геологических условиях Урала. Пермь: Пермский гос. университет, 1997. - С. 25-30.

16. Бартоломей А.А., Омельчак И.М., Юшков Б.С. Прогноз осадок свайных фундаментов. М.: Стройиздат, 1994. - 384 с.

17. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.

18. Био М. Теория деформаций пористого вязкоупругого анизотропного твердого тела. //Сб. Механика. Изд. Иностранной литературы. № 1. М.: 1956. - С. 95-111.

19. Большаков Н.М. Исследование процесса упрочнения глинистого грунта вокруг сваи. /Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва, 1973. - 28 с.

20. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. -М.: Изд. "Мир", 1985. 542 с.

21. Васильев В.З. Осесимметричная деформация элементов строительных конструкций. Д.: Стройиздат, 1988. - 87 с.

22. Васильков Б.С., Ивлев А.А., Гордеева О.В., Залесская М.В. Алгоритм расчета фундамента совместно с грунтовым основанием. М.: Московский институт коммунального хоз-ва и стр-ва, 1998. - 7 с.

23. Васильков Г.В., Рапопорт Г.А., Шпитюк Е.Н. Расчет фундаментных плит, взаимодействующих с деформируемым основанием. //Известия вузов. Строительство. № 6. Новосибирск, 1999. - С. 21-25.

24. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты, оболочки на упругом основании. М.: Госиздат физико-математической литературы, 1960. - 492 с.

25. Гениев Г. А. Плоская деформация анизотропной идеально пластической среды. //Строительная механика и расчет сооружений. № 3, 1982.-С. 14-18.

26. Герсеванов Н.М. и Мачерет Я.А. К вопросу о бесконечно длинной балке на упругой почве, нагруженной силой. //Гидротехническое строительство. № 10. М.: 1935. С. 15-23.

27. Горбунов-Посадов М.И. Расчет конструкций на упругом основании. — М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1953. 148 с.

28. ГОСТ 25100-82. Грунты. Классификация. М.: Изд. стандартов, 1982.-9 с.

29. Гришин В.А. Упругопластическая задача расчета массива от действия штампов. //Известия вузов. Строительство. № 5, 6. Новосибирск, 1992.-С. 38-40.

30. Далматов Б.И., Лапшин Ф.К., Рассихин Ю.В. Проектирование свайных фундаментов в условиях слабых грунтов. Л.: Стройиздат, 1975. -240 с.

31. Дворников В.А. Об одном вариационном методе решения задач теории упругости. /Исследования по строительным конструкциям и строительной механике. Сборник научных трудов Томского университета. -Томск: 1976.-С. 16-19.

32. Дружинин А.Г. Напряженно-деформированное состояние упругого полупространства от действия линейной равномерно распределенной нагрузки. //Известия вузов. Строительство. № 6. Новосибирск, 1998. -С. 36-40.

33. Дубровский МП., Хонелия Н.Н. Определение силы бокового давления связного грунта на подпорные стенки при смешанном напряженномсостоянии. //Известия вузов. Строительство. № 3. Новосибирск, 1997. -С. 27-31.

34. Зиновьев Б.М. К построению численного решения I основной задачи теории упругости в окрестности выходящей угловой точки в прямом методе граничных элементов. //Известия вузов. Строительство. № 11. -Новосибирск, 1992. С. 31-34.

35. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников A.M. Численные методы решения задач строительной механики. Минск: Высшая школа, 1990. -349 с.

36. Илькевич Л.Я. Методика выбора и эффективность применения свайных фундаментов жилых зданий на водонасыщенных глинистых грунтах. /Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Москва: 1977. - 213 с.

37. Казарновский В.Д., Склядев А.И., Штырхун Е.Ю. Учет остаточного порового давления при прогнозе конечной осадки насыпей на слабыхгрунтах. //Вопросы проектирования и строительства автомобильных дорог. -М., 1993.-С. 133-136.

38. Кандауров И.И. Механика зернистых сред и ее применение в строительстве. JL, М.: Стройиздат, 1966. 320 с.

39. Кин Б.А. Физические свойства почвы. М.: ГТТИ, 1933. - 122 с.

40. Киселев В.А. Плоская задача теории упругости. М.: Высшая школа, 1976.- 152 с.

41. Кислов В.М. Обратный метод конечных элементов плоской задачи теории упругости. //Известия вузов. Строительство. № 2. Новосибирск, 1995.-С. 47-50.

42. Коновалов П. А., Зехниев Ф.Ф. Ускорение консолидации водонасыщенного слабого грунта с помощью плоских песчаных дрен. //Сб. научных трудов в 2 т. под общей редакцией Ильичева В.А. М.: Стройиздат, 1987.-т. 1.-С. 274-276.

43. Коновалов П.А., Кушнир С.Я. Намывные грунты как основания сооружений. М.: Недра, 1991. - 256 с.

44. Коробова О. А. Напряженно-деформированное состояние анизотропных слоев различной мощности под жесткими штампами и фундаментами и его особенности. //Известия вузов. Строительство. № 5, 6. — Новосибирск, 1995. С. 35-40.

45. Косицын Б.А. Об оценке напряженного состояния несущих конструкций здания по измеренным осадкам их фундаментов. /ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. Сборник научных трудов. Исследования по строительной механике.-М.: 1985.-С. 182-190.

46. Куриленко Н.И. Стержневая модель распределительной способности одно- и двухфазных грунтов. /Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. -Тюмень: 1992. 32 с.

47. Лобанов И.З. Собственные напряжения в грунтовых массивах (аналитическое решение), //Известия вузов. Строительство. № 2. -Новосибирск, 1996. С. 44-48.

48. Малышкин А.П. Взаимодействие лопастных свай с окружающим грунтом. /Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Пермь, 1993. - 24 с.

49. Мальцев JI.E. Модель механики грунтов с кинематическим описанием взаимодействия фаз. //Сб. «Итоги исследований» ТИММС СО РАН № 5. Тюмень, 1994. С.33-40.

50. Мальцев Л.Е., Бай В.Ф., Мальцева Т.В. Кинематическая модель грунта и биоматериалов. СПб.: Стройиздат, 2002. - 320 с.

51. Мальцев Л.Е., Карпенко Ю.И. Теория вязкоупругости для инженеров-строителей. Тюмень: Изд. Вектор Бук, 1999. - 240 с.

52. Мальцева Т.В. Действие сосредоточенной силы на двухфазное упругое полупространство. //Изв. Вузов. Нефть и газ. № 1. Тюмень: 2001. -С. 18-24.

53. Маслов Н.Н. Механика грунтов в практике строительства (оползни и борьба с ними). М.: Стройиздат, 1977. - 320 с.

54. Миндлин Р., Чень О. Сосредоточенная сила в упругом пространстве. /Сб. сокращенных переводов иностранной периодической литературы. Вып. 4/14.-М.: 1952, с. 118-133.

55. Миренков В.Е., Шутов В.А. Деформирование массива пород, ослабленного взаимовлияющими выработками. //Известия вузов. Строительство. № 2. Новосибирск, 1996. - С. 32-36.

56. Миренков В.Е., Шутов В.А. Напряженное состояние полуплоскости, ослабленной круговым отверстием. //Известия вузов. Строительство. № 12. -Новосибирск, 2000. С. 12-17.

57. Набоков А.В. Исследование напряженно-деформированного состояния основания из водонасыщенной глины. /Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Тюмень: 2003. -28 с.

58. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984, 232 с.

59. Новожилов Г.Ф. Исследование увеличения несущей способности свай во времени в слабых грунтах г. Ленинграда. //Строительство на слабых грунтах. Рига: 1970. - С. 24-33.

60. Оробей В.Ф., Варивода В.А. Об одномерных моделях расчета упругих стержневых систем на упругом основании. //Известия вузов. Строительство. № 11-12. Новосибирск, 1998. - С. 8-14.

61. Пантелеев Н.Н. Применение вариационного метода В.З. Власова к расчету составных фундаментов с гибкими плитами и жесткимиподколонниками. /Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Новосибирск: 1972. - 24 с.

62. Папкович П.Ф. Теория упругости Л.: Госиздат оборонной промышленности, 1939. - 640 с.

63. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М-Л.: Госиздат литературы по строительству и архитектуре, 1954. 260 с.

64. Покровский Г.И. Исследования по физике грунтов. Элементы физики дисперсных систем применительно к грунтам и почвам. М-Л.: Гл. редакция строительной литературы, 1937. - 134 с.

65. Пру саков А.П. Об одной неклассической теории изгиба балок. //Известия вузов. Строительство. № 4. Новосибирск, 1996. - С. 10-16.

66. Рапопорт Г.А., Шпитюк Е.Н., Буйко З.В. Назначение функций распределения вертикальных перемещений при решении задач об упругом слое. Ростов на Дону: Ростовский гос. строит, университет, 2001. - 13 с.

67. Раппопорт P.M. Задача Буссинеска для слоистого упругого полупространства. /Труды Ленинградского политехнического института. № 5.-Л., 1948. С. 3-18.

68. Розин Л.А., Рукавишников В.А. Разработка комбинированного метода расчета сооружений и их оснований бесконечной протяженности. //Известия вузов. Строительство. № 11.- Новосибирск, 1995. С. 37-42.

69. Сердюкова О.А. Решение плоской задачи в напряжениях для моделей жесткоупругопластической среды. /ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко. Сборник научных трудов. Исследования по строительной механике. М.: 1985.-С. 43-51.

70. Скибин Г.М. Исследование взаимодействия грунтового основания и ленточных фундаментов и оптимизация проектных решений. /Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. — Новочеркасск: 1998.-31 с.

71. СНиП 2.02.01-83*. Основания зданий и сооружений./Госстрой России М.: ГУП ЦПП, 2002. - 50 с.

72. СНиП 2.02.03-85. Свайные фундаменты./Госстрой России М.: ГУП ЦПП, 2002. - 45 с.

73. Соловьев Ю.И., Караулов A.M. Новые решения статики грунтов. //Вестник сибирского гос. университета путей сообщения, № 1, 1999. -С. 131-139.

74. Тер-Мартиросян З.Г. Реологические параметры грунтов и расчеты оснований сооружений. М.: Стройиздат, 1990. - 200 с.

75. Травуш В.И., Александровский М.В. Изгиб неизолированных прямоугольных плит, лежащих на двухпараметрическом основании. //Известия вузов. Строительство. № 10. Новосибирск, 1998. - С. 24-29.

76. Уманский А.А. О расчете балок на упругом основании. М.: Стройиздат, 1933. 166 с.

77. Фиамский О.Б. Исследование осадок основания неравномерно пригруженных фундаментов. /Прочность и деформация оснований. ЛИИЖТ. Сборник трудов, Вып. 319. Л.: 1970. С. 29-48.

78. Филоненко-Бородич М.М. Некоторые приближенные теории упругого основания. //Ученые записки МГУ, вып. 46. М.: 1940.

79. Флорин В.А. Основы механики грунтов. Том 1. М.: Госиздат по строительству и архитектуре, 1959. - 357 с.

80. Флорин В.А. Основы механики грунтов. Том 2. М.: Госиздат по строительству и архитектуре, 1959. - 542 с.

81. Хан X. Теория упругости. Основы линейной теории и ее применение. М.: Изд. "Мир", 1988. - 343 с.

82. Цветков В.К. Определение напряжений в однородной полуплоскости при действии внутренней вертикальной равномерно распределенной нагрузки. //Известия вузов. Строительство. № 4. -Новосибирск, 1996. С. 22-25.

83. Цветков В.К. Решение задачи теории упругости для однородной полуплоскости с криволинейной границей, подверженной воздействию внутренних сосредоточенных нагрузок. //Известия вузов. Строительство. № 2. Новосибирск, 1996. - С. 27-32.

84. Цытович Н.А. Вопросы теории и практики строительства на слабых глинистых грунтах. Слабые глинистые грунты. Таллин: 1985. - С. 5-17.

85. Цытович Н.А. Механика грунтов. М.: Высшая школа, 1983.288 с.

86. Цытович Н.А., Тер-Мартиросян З.Г. Основы прикладной геомеханики в строительстве. —М.: Высшая школа, 1981. 317 с.

87. Чикишев В.М., Малышкин А.П. Взаимодействие пяты лопастной сваи с грунтом основания. //Проблемы свайного фундаментостроения. Труды III Международной конференции в Минске. Часть I. Пермь: Пермский политехнический институт, 1992. С. 77-79.

88. Шапиро Д.М., Зоценко H.JL, Беда С.В. Упругопластический расчет несущей способности свай. //Известия вузов. Строительство. № 6. -Новосибирск, 1996. С. 34-39.

89. Biot М.А. Theory of deformation of a porous viscoelastis anisotropy sold. Journal of Applied Physics, № 5, 1956. C. 459-467.

90. Burland J.B. Ground-structure interaction: does the answer lie in the soil? //Struct. Eng. № 23-24, 2000. C. 42-49.

91. Chen Q., Nur A. Pore pressure effects in anisotropic porous rocks //Int. Conf. Earthquake Predict.: State-of-the-Art, Strasbourg, 15-18 Oct., 1991. -C. 184-192.

92. Houlsby G.T., Puzrin A.M. The bearing capacity of a strip footing on clay under combined loading. //Proc. Roy. Soc. London, № 1983, 1999. C. 893916.

93. Kriegel H., Wiesner H. Problems of stress-strain condition in subsoil. //Proceedings of the eight international conference on soil mechanics and foundation engineering. V 2, Moscow, 1973.

94. Plantema G. Soil Pressure measurements during loading tests on a runway. //Proceedings of the third international conference on soil mechanics and foundation engineering. V 1, Switzerland, 1953.

95. Schultze E. Field methods to determine soil deferability under static boarding. //Proceedings of the sixth international conference on soil mechanics and foundation engineering. V 2, England, 1965.

96. Vigdergauz Shmuel. Complete elasticity solution to the stress problem in a planer grained structure. //Math, and Mech. Solids. 4, № 4, 1999. - C. 407439.