Синтез адаптивного управления линейными системами по выходной переменной на базе алгоритмов адаптации с улучшенной сходимостью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Беляев Михаил Евгеньевич

• Беляев Михаил Евгеньевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Беляев Михаил Евгеньевич

Реферат

Synopsis

Введение

1. Аналитический обзор и постановка задачи

1.1 Обзор существующих решений

1.1.1 Схемы с расширением регрессии

1.1.2 Комбинированное адаптивное управление

1.1.3 Конкурентное адаптивное управление

1.1.4 Анализ решений

1.2 Постановка задачи

1.2.1 Задача управления непрерывным объектом

1.2.2 Задача управления дискретным объектом

2. Адаптивное управление непрерывными линейными объектами по выходу. Теоретические исследования

2.1 Параметризация модели ошибки

2.2 Градиентный алгоритм адаптации

2.3 Алгоритм адаптации с памятью регрессора

2.4 Схема с алгоритмом адаптации высокого порядка

2.5 Моделирование

2.6 Алгоритм адаптации с динамическим расширением регрессора

2.7 Выводы

3. Адаптивное управление стационарными линейными объектами по выходу. Теоретические исследования

3.1 Управление дискретным стационарным объектом

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Параметризация ошибки управления

3.1.3 Решение задачи

3.1.4 Моделирование

3.1.5 Выводы

3.2 Управление дискретным нестационарным объектом

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Решение задачи

3.2.3 Моделирование

3.2.4 Выводы

4. Применение алгоритмов с расширением регрессора в

управлении ДВС. Экспериментальные результаты

4.1 Двигатель внутреннего сгорания как объект управления

4.2 Синтез адаптивной системы управления соотношением воздух-топливо в инжекторных ДВС

4.2.1 Постановка задачи

4.2.2 Разработка модели объекта управления

4.2.3 Синтез управления

4.2.4 Моделирование и анализ полученных результатов

4.3 Синтез адаптивной системы управления скоростью в дизельном ДВС

4.3.1 Разработка модели объекта управления

4.3.2 Постановка задачи

4.3.3 Синтез управления

4.3.4 Моделирование и анализ полученных результатов

Заключение

Список литературы

Приложение А. Публикации по теме диссертации

Реферат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Синтез адаптивного управления линейными системами по выходной переменной на базе алгоритмов адаптации с улучшенной сходимостью»

Актуальность темы

В классических методах теории автоматического управления предполагается, что параметры объекта постоянны и известны, а переменные либо измеряются точно, либо восстанавливаются с абсолютной точностью. К современным системам, в теории и на практике, предъявляются более жесткие требования. Подразумевается, что параметры объекта могут быть неизвестны или не точно известны, а переменные либо недоступны измерениям, либо измеряются с амплитудными и фазовыми искажениями. В этих условиях классические подходы имеют существенные ограничения и могут привести к потере качества функционирования систем управления, а в некоторых случаях — к потере устойчивости. Как следствие, возникает необходимость в применении методов адаптивного управления, позволяющих парировать проблемы неопределенности.

Изначально, более 60-и лет назад в целях управления параметрически неопределенными объектами был разработан идентификационный подход, предполагавший синтез независимого блока идентификации параметров объекта и подстановку оценок этих параметров в регулятор. В основе идентификации лежал градиентный алгоритм адаптации [49-51]

в котором 6 — оценка вектора неизвестных параметров, у — коэффициент адаптации, ш — регрессор, £ — ошибка идентификации или управления.

Необходимым и достаточным условием экспоненциальной сходимости алгоритма является условие неисчезающего возбуждения (НВ)

где а.рЕ, Тре — некоторые положительные константы.

Главным недостатком (1) является существенная зависимость от степени возбуждения <Хре и коэффициента адаптации у. Действительно, как показано в [47; 101], если регрессор удовлетворяет (2), то существует оптимальная величина у, прикоторой скорость сходимости макисмаль-на. В то же время, с точки зрения практической реализации даже при

6 = уШ£,

(1)

(2)

оптимальных у скорость оценки параметров регулятора может быть недостаточной и неадекватной заявленным требованиям к системе управления.

Для разрешения проблемы ограничения на скорость сходимости были разработаны алгоритмы адаптации с улучшенной сходимостью:

— алгоритм с динамическим расширением регрессора [59];

— алгоритм Крейссельмейера [61];

— метод наименьших квадратов [113].

Представленные алгоритмы позволили решить проблему ограниченной скорости параметрической сходимости и, как следствие, ускорить настройку регулятора. Однако, зависимость функционирования регулятора от условия НВ (2)(а в конечном счете от качества работы идентификатора) ограничивала применимость идентификационного подхода, особенно в задачах стабилизации, где условие (2) труднодостижимо.

В [52] было установлено, что для достижения цели управления параметрически неопределенным объектом нет необходимости в идентификации параметров объекта. Вместо этого досточно обеспечить аисмптотическое стремление параметров регулятора к множеству постоянных величин, которому соответсвует нулевая установившаяся ошибка управления. Таким образом, был установлен прямой подход к задаче адаптивного управления

Дальнейшим шагом развития методов адаптивного управления стало применение алгоритмов адаптации с ускоренной сходимостью к решениям задач прямого адаптивного управления, что увеличило перспективы решения множества практических задач.

Следующим шагом в развитии задач адаптивного управления является разработка алгоритмов управления для классов нестационарных линейных систем, в которых наличие нестационарности — есть результат уточнения математических моделей нелинейных объектов и/или объектов с быстроменяющимися переменными параметрами. В связи с этим, практическая реализация алгоритмов управления расширенным классом объектов имеет большие перспективы с точки зрения качественного функционирования систем.

В ряде случаев, на этапе практической реализации, возникает необходимость в дискретном представлении алгоритмов управления. В связи с чем, актуальным становится анализ и синтез алгоритмов адаптивного управления не только в непрерывной, но и в дискретной форме.

Таким образом, актуальность работы заключается в следующем:

1. разрабатываются новые схемы адаптивного управления с улучшенной сходимостью, обеспечивающие асимптотическую сходимость параметрических ошибок при условии более мягком, чем условие НВ (2);

2. результаты работы представляются в дискретной форме, что упрощает практическую реализацию алгоритмов управления;

3. расширяется класс рассматриваемых объектов управления до класса линейных нестационарных систем, что позволяет использовать уточненные математические модели.

Степень разработанности темы исследования

В теории адаптивного управления существует множество исследований, посвященных задаче адаптивного управления с эталонной моделью. В англоязычной литературе данная задача известна как "Model Reference Adaptive Control"(MRAC). Первые решения появились в 50-60-е годы в рамках самонастраивающихся авиационных управляющих систем [49-51]. В течение последних десятилетий разрабатывались новые схемы построения адаптивных систем в различных областях техники [114-117]. Несмотря на это вопросы, связанные с улучшением качества настройки регуляторов, остаются открытыми.

Первые системы адаптивного управления были построены на основе непрямого подхода, в котором оценки неизвестных параметров объекта формируются алгоритмом идентификации [48; 52] и используются в регуляторе. Качество управления улучшалось алгоритмами с улучшенной сходимостью. В качестве примеров можно привести рекурсивный метод наименьших квадратов [53; 57; 58], метод множественных моделей [59; 60] и алгоритмы с интегральной весовой функцией [47], алгоритмы с динамическим расширением модели ошибки [59] или динамическим расширением вектора регрессии [63-66].

Шагом вперед стало прямое адаптивное управление, при котором благодаря параметризации объекта формируются оценки параметров регулятора. Данная идея реализована в методе расширенной ошибки [47; 67; 68], алгоритмах адаптации высокого порядка [70; 71; 89] и адаптивном обходе интегратора (бэкстеппинг) [72; 73]. Большинство из этих решений используют градиентный алгоритм адаптации [45; 47; 48], гарантирующий сходимость ошибки управления асимптотически к нулю, но имеющий ограниченую скорость сходимости.

Ряд работ напрвлен на преодоление этого ограничения. В работах [7477] посвященных комбинированному адаптивному управлению предлагаются решения совмещающие прямой и непрямой подходы в градиентном алгоритме адаптации. Преимущества данных схем не доказаны в общем случае, и их эффективность подтверждается только результатами мо-

делирования. В решениях [78-80], основанных на идее конкурентного адаптивного управления1 для идентификации используются наилучшие данные, которые выбираются в соответствии с заданным критерием. Как и рекурсивеый МНК, алгоритмы конкурентного адаптивного управления обладают нечувствительностью к изменениям параметров. Если возможно обеспечение выполнения условия НВ на некотором известном интервале времени, то применение решения, представленного в [109], гарантирует сходимость оценок за конечное время.

Цели и задачи

Целью диссертационной работы является развитие методов прямого адаптивного управления по выходной переменной на базе алгоритмов адаптации с улучшенной сходимостью.

Решение следующих задач позволило достигнуть поставленную цель:

1. Синтезирована система адаптивногоуправления линейными непрерывными и дискретными объектами по выходной переменной на базе метода расширенной ошибки и алгоритм адаптации с ускоренной параметрической сходимостью.

2. Синтезирована система адаптивногоуправления линейными непрерывными и дискретными объектами по выходной переменной на базе алгоритмов адаптации высокого порядка и алгоритм адаптации с ускоренной параметрической сходимостью.

3. Разработаны алгоритмы адаптивной стабилизации соотношения воздух-топливо в инжекторных двигателях.

4. Разработан алгоритм адаптивного управления скоростью в дизельных двигателях.

Методы исследования

Поставленные задачи решены на основе метода функций Ляпунова, алгоритма адаптации с расширенной ошибкой, алгоритма адаптации высокого порядка, принципа непосредственной компенсации и метода полиномиальной аппроксимации.

англоязычной литературе [78-80] принят термин "concurrent adaptive control"

Научная новизна

1. В работе предлагаются модификации решения задачи прямого адаптивного управления с эталонной моделью линейными стационарными объектами, в которых сходимость оценок параметров регулятора к истинным значениям этих параметров обеспечивается при более слабом условии, чем условие неисчезающего возбуждения.

2. Скорость настройки параметров регулятора при использовании модифициованных решений может быть обеспечена произвольно высокой при выполнении условия неисчезающего возбуждения.

3. Представленные модификации распространены на класс задач управления нестационарными объектами, приводимыми к линейной регрессионной модели с неизвестными параметрами.

4. Представленные решения задач адаптивного управления применены для задач управления соотношением воздух-топливо в инжекторных ДВС и управления скоростью вращения дизельного ДВС.

Научные положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритмы адаптивного управления по выходу линейным стационарным объектом, обладающие ускоренной параметрической сходимостью и синтезированные с использованием метода расширенной ошибки.

2. Алгоритмы адаптивного управления по выходу линейным стационарным объектом, обладающие ускоренной параметрической сходимостью и синтезированные на базе модифицированного алгоритма адаптации выского порядка.

3. Алгоритм адаптивного управления по выходу классом линейных нестационарных объектов с запаздыванием по входу, обладающий ускоренной параметрической сходимостью и синтезированный с использованием метода расширенной ошибки.

4. Математические модели инжекторных двигателей внутреннего сгорания (ДВС) с постоянными и переменными фазами газораспределения, ориентированные на синтез управления соотношением воздух-топливо в цилиндрах. Алгоритмы адаптивного управления соотношением воздух-топливо в инжекторных ДВС с постоянными

и переменными фазами газораспределения, синтезированные на основе Положения 1.

5. Математическая модель дизельного ДВС (ДДВС), ориентированная на синтез управления скоростю вращения. Алгоритм адаптивного управления скоростью вращения ДДВС, синтезированный на основе Положения 1.

Теоретическая и практическая значимость работы

В диссертационной работе предлагаются модификации методов адаптивного управления по выходу линейными дискретными и непрерывными объектами. Полученные результаты значимы как в области теории адаптивного управления, так и в различных практических задачах управления быстродействующими системами, например, силовыми установками транспортных средств, манипуляторами промышленных роботов, в авиационных и радиолокационных системах.

Дискретное представление разработанных алгоритмов управления упрощает практическую реализацию на цифровых устройствах.

Решение задачи адаптивного управления для класса нестационарных объектов позволяет расширить применимость предлагаемого подхода.

Достоверность и аппробация результатов

Результаты диссертационной работы были представлены на следующих конференциях в виде докладов:

1. European Control Conference 2019 (ECC 2019) , г. Неаполь, Италия, 25.06.2019-28.06.2019

2. IEEE 57th Annual Conference on Decision and Control (CDC 2018), г. Майами, США, 07.12.2018-19.12.2018

3. VII Всероссийский конгресс молодых ученых, г. Санкт-Петербург, Россия, 17.04.2018-20.04.2018

4. XLVII Научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО, г. Санкт-Петербург, Россия, 30.01.2018-02.02.2018

5. International Workshop Navigation and Motion Control(NMC 2017), п. Черемухино, Россия, 02.10.2017-06.10.2017

6. XLVI Научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО, г. Санкт-Петербург, Россия, 31.01.2017-03.02.2017

7. European Control Conference (ECC 2016), г. Ольборг, Дания, 29.06.2016 01.07.2016

Публикации

Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных работах, из них 4 статей в реферируемых изданиях трудов международных конференций, индексируемых Scopus и Web of Science, 1 статья в рецензируемых журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 199 страниц, включая 28 рисунков. Библиография включает 118 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертационной работы рассматриваются задачи адаптивного управления по выходу линейными параметрически неопределенными объектами. Обосновывается актуальность и значимость представленных задач, проводится обзор методов ускорения параметрической сходимости.В результате обзора выявляются достоинства и недостатки существующих решений.

В первой главе формулируется постановка задачи адаптивного управления с эталонной моделью.

Непрерывные системы

Рассмотрим объекта управления(ОУ)

bmsm + bm-!Sm-1 + • • • + bo r , _

у = -^г^-^^-,—M (3)

sn + an-\sn 1 + an-2Sn 2 +-----+ ao

где у G R — регулируемая переменная, и G R — переменная управления, а передаточная функция объекта задается полиномами a(s) и b(s) с постоянными неизвестными коэффициентами. Принимаются следующие допущения [44; 45; 47] Допущение 1н. Полином b(s) гурвицев. Допущение 2н. Значения п и т известны.

Допущение 3н. Старший коэффициент Ьт не известен, и существует известная величина Ьт, такая что bm ^ Ьт > 0. Цель управления заключается в:

1. синтезе управляющего воздействия, которое обеспечит ограниченность всех сигналов и выполнение целевого равенства

lim e(t) = lim (ym(t) — y(t)) = 0 (4)

t^TO t^TO

где ym G R — выход эталонной модели.

2. обеспечить возможность ускорения переходных процессов в замкнутой системе путем увеличения скорости настройки регулятора.

Дискретные системы

Рассмотрим класс линейных дискретных нестационарных объектов в следующей форме:

у (к + п) + ап-1(к)у(к + п — 1) +-----Ь а^у (к) =

= Ьт(к)и(к + т — т) + Ьт-\(к)и(к + т — 1 — т) + ••• + Ь0(к)и(к — т),

(5)

где у С R — регулируемая переменная, и С R — управляющее воздействие, т— постоянная известная величина запаздывания, нестационарные параметры (ц(к);1 = 0,п — 1,Ь^(к),] = 0,т неизвестны [86]

Принимаются допущения [44; 45; 47] Допущение 1д. Автономная нестационарная система

Ът(кЩк + т) + Ът—\(к)ё>(к + т — 1) +-----Ь Ь0(к)(!(к) = 0

является асимптотически устоичивои. Допущение 2д. Значения п и т известны.

Допущение 3д. Коэффициенты полиномов представимы в виде линейных регрессии

a,i(k) = öf ф(к), i = 0,п — 1,

b, (к) = äj ф(к),3 =Wi,

в которых ф G R — вектор известных ограниченных функции, £

G Rc — векторы неизвестных постоянных параметров. Допущение 4д. Функция Ьт(к) не известна, но отделена от нуля известной константоИ bm, Ът(к) ^ Ът > 0,Ук.

Допущение 3д позволяет расширить класс моделей объектов, в уравнениях которых содержатся ограниченные неизвестные нелинейности, представимые с помощью рядов Тейлора в виде линейных регрессий. Цель управления заключается в решении двух задач:

1. синтезировать такое управляющее воздействие, которое обеспечит ограниченность всех сигналов и выполнение целевого равенства

lim е(к) = lim (ут(к) — у (к)) = 0 (6)

к^ж к^ж

где ут G R — выход эталонной модели.

2. обеспечить возможность ускорения переходных процессов в замкнутой системе путем увеличения скорости настройки регулятора.

Во второй главе рассматривается решение задачи адаптивного управления по выходу линейными непрерывными объектами со стационарными параметрами. Предлагаются модификации схем с расширенной ошибкой и алгоритмом высокого порядка с ускорением параметрической сходимости.

Модель ошибки параметризована с помощью линейных фильтров [68]:

v i = Avi + еп—\и v 2 = Av2 + en—iy, Модель ошибки можно представить в следующем виде:

£ = -1-) [6Tш — bmи] + а, (8)

где 6 — вектор неизвестных параметров, ш = col(y1, v2,y,g) G R2n — вектор регрессии, а — экспоненциально затухающая составляющая, которой в дальнейшем пренебрегаем.

Из параметризованной модели ошибки (8) можно синтезировать два вида адаптивных регуляторов

иа = i ет ш, (9)

m

uh = am (s)

1 ЛТ

г qT Ш/

(10)

1 -[ш] — фильтрованный регрессор ш.

где шf ат(з)

Подстановка адаптивного закона управления (9) в (8) позволяет преобразовать модель ошибки к форме

1

£ =

QTш- L

1

Фт Ф

(11)

где 6 = 6 — 6,Ьт = Ьт — Ьт — параметрические ошибки, ф = со1(6,Ьт)

— агрегированный вектор параметрических ошибок, ф = со1(ш, — иа)

— агрегированный регрессор.

В соответствии с методом расширенной ошибки введем сигнал расширения [68]

£ = £ +

1

— ф] — —

Т;

(12)

где £а = а [ф].При подстановке (11) в (12) получим статическую модель ошибки

£ = ФТ X

(13)

При подстановке регулятора (10) в (8) динамическая модель ошибки преобразуется к статической модели

£ = ФТ Xh, (14)

где Xh = col ^ш/, — ~ [Uh]) — агрегированный регрессор.

В целях дальнейшего синтеза алгоритмов адаптации представим статические модели (13) и (14) с одинаковой структурой в унифицированной форме

£, = ФТ , (15)

где £д — обощенная ошибка, — обобщенный регрессор. Для регулятора (9) принимаются обозначения £д = £,Xg = Xa, для регулятора (10)

— £д = ££д = Xh.

Градиентный алгоритм

Классическое решение использует градиентный алгоритм [47; 55]:

Ф = yProjí ^ Ug — ФТ Ü ] , (16)

U I Pn v 7 J

где у > 0 — коэффициент адаптации, Proj {•} — оператор проекции,

и

определяемый как

Рго]{X} = { Х, если ьт > Ьт, Ьт < 0 и I МХ, в остальных случаях,

где и — множество параметров Ьт, рп = 1 + ||2 — нормирующий множитель.

Утверждение 1. Регулятор (9) и алгоритм адаптации (16) обеспечивают в замкнутой системе следующие свойства [67; 68]:

— ограниченность всех сигналов в системе;

— асимптотическое стремление ошибки управления £ к нулю;

— экспоненциальная сходимость нормы вектора параметрических ошибок ф к нулю, если регрессор Ед удовлетворяет условию НВ (2);

— существует оптимальное значения коэффициента у, при котором скорость сходимости максимальна, даже если регрессор Ед удовлетворяет условию НВ (2).

Алгоритм с памятью регрессора

Получим линейное регрессионное уравнение, умножив модель (12) на вектор регрессии Е слева и применив устойчивый и минимально фазовый линейный оператор Н(в) [61; 62],

Е = Пф, (17)

где

Е = Н [Ед £д ], П = Н [Ед Ед ]•

Для формирования оценок неизвестных параметров модели (17) применяется алгоритм адаптации

ф = —у(1 + уП)-1 Рго] {Пф — Е} (18)

Алгоритм (18) преобразует модель ошибок к следующему виду

ф = —уПф. (19)

Для формирования необходимых для регулятора (10) сигналов применим алгоритм адаптации высокого порядка с линейным оператором

Н (.з)= 1

Ф)'

Полином ¿(в) должен быть гурвицев и иметь порядок р. Применяя к алгоритму (18) получим:

d(s) ф + у(1 + yQ)—1 Proj{Q"} = у(1 + yQ)—1 Proj{Eg£д}. (20)

Утверждение 2. Регулятор (9) совместно с алгоритмом адаптации (18) (регулятор (10) совместно с алгоритмом адаптации (20)) и фильтры состояния (7) примененные к объекту управления (3) обеспечивают в замкнутой системе следующие свойства:

— Все сигналы в системе ограничены

— Сигнал ошибки £ сходится к нулю асимптотически £ ^ 0 : t ^ то

— Норма вектора параметрических ошибок ||"ф|| сходится к нулю экспоненциально и скорость сходимости к нулю может быть увеличена путем увеличения у,если регрессор Eg удовлетворяет условию НВ (2)

— Если выполняется условие Q ^ рп1 У 0,рп </ С1, то обеспечивается асимптотическая сходимость ||"ф||.

Величину рп можно интерпретировать как минимальное собственное число матрицы Q.

Замечание 1. Свойства замкнутой системы с регулятором (9) и алгоритмом адаптации (18) являются результатом, представленным в [62].

Пример 1. Свойства представленных решений продемострируем с помощью математического моделирования на примере линейного объекта второго порядка

3s + 4

У = -^-7 М

У s + 2s + 1 L J

с неизвестными параметрами.

Задающее воздействие определяется сигналом

r(t) = sin t + 2 cos 4t + sin 3t,

а эталонная модель имеет следующий вид:

3 м

У,п = j+з и.

Агрегированный вектор оценок ф = col формируется одним

из следующих алгоритмов адаптации:

— градиентный алгоритм (16);

— алгоритм с памятью регрессора (18).

-7=0.3 --7=30 7=3000

-

21

20

19

18

17

Ю 1,с 15

20

25

16

7=0.3 7=30 7=3000

о

20

40 и 60

80

100

Рисунок 1 — Переходные процессы в системе с градиентным

алгоритмом

На рисунке 1 представлены графики изменения ошибки управления и нормы вектора параметрических ошибок в системе с градиентным алгоритмом (16). Из полученного результата видно, что скорость сходимости ограничена некоторым значением коэффициента адаптации. При значении у = 30 наблюдается наибольшая скорость сходимости, и при увеличении этого значения скорость уменьшается. Идентификации параметров не происходит.

Рисунок 2 демонстрирует, что скорость сходимости у алгоритма с памятью выше, и она увеличивается с увеличением коэффициента.

0 5 10 1,с 15 20 25 0 20 40 ^с 60 80 100

Рисунок 2 — Переходные процессы в системе, замкнутой алгоритмом с

памятью

На рисунке 3 представлены результаты для алгоритма (20). Выводы аналогичны предыдущим.

В третьей главе представлены решения задачи адаптивного управления для дискретных стационарных и нестационарных объектов.

У(к) = &(*)] =

^ \ £ )

Ьтгт + Ьт—1Хт—1 + ■ ■ ■ + Ьо хп + ап- 1Хп—1 + ап-2гп—2 + ■ ■ ■ + ао

[и(к)], (21)

Рисунок 3 — Переходные процессы в системе, замкнутой алгоритмом адаптации высокого порядка с памятью регрессора

где у,и € К — соответственно регулируемая и управляющая переменные, а(х) и Ь(г) — взаимно-простые полиномы с неизвестными постоянными коэффициентами а,,г = 0,п — 1 и bj,] = 0,т. Допущения относительно объекта управления аналогичны случаю для непрерывного объекта. Модель ошибки представим виде [53; 68]

1

е(к) = —— [9Тф(к) — Ьти(к)] + и(к),

(22)

в котором ш(к) = со1(у1(к), у2(к),у(к),г(к)) € К2п — регрессор, и(к) — экспоненциально затухающая величина. Линейные фильтры с гурвице-вой матрицей Л формируют компоненты регрессора У1(к), У2(к) € Кп—1

У\(к + 1) = Лу1(к) + еп—1и(к), У2(к + 1) = Лу2(к) + еп—1У(к)

Из модели ошибки (22) можно получить два вида регуляторов в соответствии с принципом непосредственной компенсации:

(23)

1

иа(к) = — 01 ш, Ьт.

ин(к) = ат(х)

1

Г 0Т ш/

(24)

(25)

где ш; = —Ц-[ш] — фильтрованный регрессор ш.

Оценки параметров регулятора (24) формируются в соответсвии с методом расширенной ошибки. В регуляторе (25) используются прогнозируемые оценки 0(к + р) на р шагов вперед, которые формируются алгоритмами высокого порядка.

При подстановке регулятора (24) в выражение (22) получается следующая модель ошибки:

е(к) =

1

0Г (к)ш(к) — Ьт(к)и„(к)

(26)

где 6(к) = 6 — в (к) — вектор параметрических ошибок, а Ьт(к) = Ьт — Ьт(к) параметрическая ошибка, соответствующая коэффициенту Ьт.

Вводится дополнительный сигнал согласно принципу расширенной ошибки [67; 68]

е(к) = е(к) — 6Т (к)ш1(к) + Ьт(к) —[иа(к)], (27)

который представим в форме линейной регрессии

е(к) = е(к) — шТа (кЩк) = шта(к)Щ(к), (28)

где Щ(к) = Щ — Щ(к) — вектор параметрических ошибок, Щ = со1(6,Ьт) — обощенный вектор неизвестных параметров, Щ(к) = со1(6(к),Ьт(к)) — вектор настраиваемых параметров,

ша(к) = соП ш/(к),--[иа(к)}]

\ 0"т) /

1

0<т )

обобщенный регрессор.

Подстановка регулятора (25) в выражение (22) позволяетсразу получить статическую модель ошибки

е(к) = ш1 (к)Щ(к) (29)

с обощенным регрессором

шн(к) = соП ш/(к),--[ин(к)П .

\ ) /

Оба регулятора позволяют привести модель ошибки к виду

ед = ЩТ шд (30)

Для регулятора первого типа принимаются обозначения (к) = 1(к) и Шд (к) = ша(к). Соответственно, регулятор второго типа вводит обозначения (к) = е(к) и Шд (к) = шь(к).

Градиентный алгоритм

Градиентный алгоритм адаптации для дискретных систем представляется выражением:

Щ(к + 1) = Щ(к) + уРгоЛШд(к)ед(Л)! , (31)

и 1Рп(л) J

где у > 0 — коэффициент адаптации, рп(к) = 1 + У^Т(к)шд(к) — нормирующий член. Оператор проецирования Рго]{•} для дискретных систем

и

определяется следующим образом:

\Х, если Ьт(к) >Ьт,Ьт(к + 1) ^Ьт(к) Рго.] {Х} = I и \МХ, в остальных случаях.

+ 1) = (I — уРто3{-1-шд(к)штд (к)}) Мк) (32) \ и Рп(к) )

Матрица М определяется как и в случае непрерывных систем.

Параметрическая ошибка при использовании алгоритма принимает вид

1

и Рп(к)

Утверждение 3. Регулятор (24) совместно с алгоритмом адаптации (31) и фильтры состояния (23) примененные к объекту управления (21) обеспечивают в замкнутой системе следующие свойства [53]:

— Все сигналы в системе ограничены

— Сигнал ошибки £ сходится к нулю асимптотически ¿(к) ^ 0 : к ^ то

— Норма вектора параметрических ошибок ||гр|| сходится к нулю экс-поненциально,если регрессор шд удовлетворяет условию НВ (2)

— Существует оптимальное значения коэффициента у, при котором скорость сходимости максимальна даже при НВ (2).

Алгоритм с памятью регрессора

Введем оператор

я о = , (33)

где (1(х), произвольный гурвицев полином с постоянными коэффициентами порядка р — 1.

При применении оператора (33) к модели параметрической ошибки (32)получаем выражение

— Л—1(к)уРгоу {Ж (к)})

т\>(к + 1) = I — К—1(к)уРго] {Ж (к)} гКк), (34)

где № (к) = Н (г) [шд (к)ш~д (к)] — матричный регрессор, Яп(к) = I +

уРго]{Ж(к)} — матричный нормирующий множитель. и

Получаем два алгоритма адаптации на из модели ошибки (34):

Щ(к + 1) = Щ(к) + К—'уРго] {Н (г Ж (к)£д (к) +

и

Шд (к)штд (к)Щ(к)] — Ж (к)Щ(к)} алгоритм для схемы с прогнозируемыми оценками

(1(х)[Щ(к + 1) — Щ(к)] = й(г Ж 1уРго3 {Н (г )[шд (к)ед (к)+

и

Шд (к)Ш^ (к)Щ(к)] — Ж (к)Щ(к)}]

(36)

Утверждение 4. Регулятор (24) совместно с алгоритмом адаптации (35) (регулятор (25) совместно с алгоритмом адаптации (36)) и фильтры состояния (23) примененные к объекту управления (21) обеспечивают в замкнутой системе следующие свойства:

— Все сигналы в системе ограничены

— £ сходится к нулю асимптотически е(к) ^ 0 : к ^ ж

— ||Щ || сходится к нулю экспоненциально, и параметрическая сходимость ускоряется при увеличении коэффициента адаптации у, если регрессор Шд удовлетворяет условию НВ (2)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Беляев Михаил Евгеньевич, 2020 год

Литература

1. Astrom K., Wittenmark B. On self-tuning regulators // Automatica. 1973. V. 9. N 2. P. 185-199. doi: 10.1016/0005-1098(73)90073-3

2. Ioannou P.A., Sun J. Robust Adaptive Control. NJ, Prentice-Hall, 1996.

3. Narendra K., Annaswamy A. Stable Adaptive Systems. New Jersey: Prentice Hall, 1989.

4. Sastry S., Bodson M. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness. New Jersey: Prentice-Hall, 1989. 377 p. (in Russian)

5. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. 432 с.

6. Lion P.M. Rapid identification of linear and nonlinear systems // AIAA Journal. 1967. V. 5. N 10. P. 1835-1842. doi: 10.2514/3.4313

7. Kreisselmeier G. Adaptive observers with exponential rate of convergence // IEEE Transactions on Automatic Control. 1977. V. 22. N 1. P. 2-8. doi: 10.1109/tac.1977.1101401

8. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Performance enhancement of parameter estimators via dynamic regressor extension and mixing // IEEE Transactions on Automatic Control. 2017. V. 62. N 7. P. 3546-3550. doi: 10.1109/tac.2016.2614889

9. Feuer A., Morse A.S. Adaptive control of single-input, single output linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1978. V. 23. N 4. P. 557-569. doi: 10.1109/tac. 1978.1101822

10. Monopoli R.V. Model reference adaptive control with an augmented error // IEEE Transactions on Automatic Control. 1974. V. 19. N 5. P. 474-484. doi: 10.1109/tac.1974.1100670

11. Morse A.S. High-order parameter tuners for the adaptive control of linear and nonlinear systems / In Systems, Models and Feedback: Theory and Applications. Eds. A. Isidori, T.J. Tarneds. Basel: BirkhaKuser, 1992. P. 339-364. doi: 10.1007/978-1-4757-2204-8_23

12. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией внешних возмущений. СПб.: Наука, 2003. 282 с.

13. Nikiforov V.O. Robust high-order tuner of simplified structure // Automatica. 1999. V. 35. N 8. P. 1409-1415. doi: 10.1016/s0005-1098(99)00051-5

14. Krstk M., Kanellakopoulos I., Kokotovk P.V. Nonlinear and Adaptive Control Design. NY: Wiley, 1995.

15. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. СПб.: Питер, 2005. 336 с.

16. Gerasimov D.N., Nikiforov V.O., Belyaev M.E., Koshelev K.P. Performance improvement of MRAC by dynamical regressor extension // CDC2018. Miami, USA, 2018. (in press)

Авторы

Герасимов Дмитрий Николаевич - кандидат технических наук, доцент, доцент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, Scopus ID: 36637147000, ORCID ID: 0000-0001-8306-4138, [e-mail]

Кошелев Константин Павлович - инженер, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, ORCID ID: 0000-0001-6895-0967, [e-mail] Беляев Михаил Евгеньевич - инженер, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, Scopus ID: 57193574852, ORCID ID: 0000-0002-2916-5808, [e-mail]

Никифоров Владимир Олегович - доктор технических наук, профессор, проректор, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, Scopus ID: 7103218872, ORCID ID: 0000-0003-4860-5407, [e-mail]

References

1. Astrom K., Wittenmark B. On self-tuning regulators. Automatica, 1973, vol. 9, no. 2, pp. 185-199. doi: 10.1016/0005-1098(73)90073-3

2. Ioannou P.A., Sun J. Robust Adaptive Control. NJ, Prentice-Hall, 1996.

3. Narendra K., Annaswamy A. Stable Adaptive Systems. New Jersey, Prentice Hall, 1989.

4. Sastry S., Bodson M. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness. New Jersey, Prentice-Hall, 1989, 377 p. (in Russian)

5. Ljung L. System Identification: Theory for the User. 2nd ed. New Jersey, Prentice-Hall, 1999, 409 p.

6. Lion P.M. Rapid identification of linear and nonlinear systems. AIAA Journal, 1967, vol. 5, no. 10, pp. 1835-1842. doi: 10.2514/3.4313

7. Kreisselmeier G. Adaptive observers with exponential rate of convergence. IEEE Transactions on Automatic Control, 1977, vol. 22, no. 1, pp. 2-8. doi: 10.1109/tac.1977.1101401

8. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Performance enhancement of parameter estimators via dynamic regressor extension and mixing. IEEE Transactions on Automatic Control, 2017, vol. 62, no. 7, pp. 3546-3550. doi: 10.1109/tac.2016.2614889

9. Feuer A., Morse A.S. Adaptive control of single-input, single output linear systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 1978, vol. 23, no. 4, pp. 557-569. doi: 10.1109/tac.1978.1101822

10. Monopoli R.V. Model reference adaptive control with an augmented error. IEEE Transactions on Automatic Control, 1974, vol. 19, no. 5, pp. 474-484. doi: 10.1109/tac.1974.1100670

11. Morse A.S. High-order parameter tuners for the adaptive control of linear and nonlinear systems. In Systems, Models and Feedback: Theory and Applications. Eds. A. Isidori, T.J. Tarneds. Basel, BirkhaKuser, 1992, pp. 339-364. doi: 10.1007/978-1-4757-2204-8_23

12. Nikiforov V.O. Adaptive and Robust Control with Perturbations Compensation. St. Petersburg, Nauka Publ., 2003, 282 p. (in Russian)

13. Nikiforov V.O. Robust high-order tuner of simplified structure. Automatica, 1999, vol. 35, no. 8, pp. 1409-1415. doi: 10.1016/s0005-1098(99)00051-5

14. Krstk M., Kanellakopoulos I., Kokotovk P.V. Nonlinear and Adaptive Control Design. NY, Wiley, 1995.

15. Miroshnik I.V. Theory of Automatic Control. Linear Systems. St. Petersburg, Piter Publ., 2005, 336 p. (in Russian)

16. Gerasimov D.N., Nikiforov V.O., Belyaev M.E., Koshelev K.P. Performance improvement of MRAC by dynamical regressor extension. CDC2018. Miami, USA, 2018. (in press)

Authors

Dmitriy N. Gerasimov - PhD, Associate Professor, Associate Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, Scopus ID: 36637147000, ORCID ID: 0000-00018306-4138, [e-mail]

Konstantin P. Koshelev - engineer, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, ORCID ID: 0000-00016895-0967, [e-mail]

Mikhail E. Belyaev - engineer, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, Scopus ID: 57193574852, ORCID ID: 0000-0002-2916-5808, [e-mail]

Vladimir O. Nikiforov - D.Sc, Full Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, Scopus ID: 7103218872, ORCID ID: 0000-0003-4860-5407, [e-mail]