Итеративный метод синтеза адаптивных наблюдателей для нелинейных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Синетова Мадина Мансуровна

• Синетова Мадина Мансуровна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Синетова Мадина Мансуровна

Реферат

Synopsis

Глава 1 Обзор существующих решений и обобщенная постановка

задачи

1.1 Обзор методов оценивания переменных состояния и параметров

для широкого класса нелинейных систем

1.2 Обзор методов оценивания переменных состояния и параметров

для нелинейных моделей электромеханических систем

1.2.1 Наблюдатели для асинхронных двигателей

1.2.2 Наблюдатели для синхронных двигателей

1.3 Обобщенная постановка задачи

Глава 2 Итеративная процедура параметризации

2.1 Итеративная процедура получения регрессионных моделей

2.1.1 Базовый алгоритм

2.1.2 Уточнение класса нелинейных уравнений связи

2.2 Примеры параметризации математических моделей физических систем

2.2.1 Явнополюсный синхронный двигатель с постоянными магнитами

2.2.2 Неявнополюсный синхронный двигатель с постоянными магнитами

2.2.3 Асинхронный двигатель

2.3 Выводы по Главе

Глава 3 Синтез адаптивного наблюдателя переменных состояния

для нелинейных систем

3.1 Синтез адаптивного наблюдателя на базе итеративной процедуры параметризации

3.2 Синтез адаптивного наблюдателя переменных состояния явнопо-люсного синхронного двигателя с постоянными магнитами

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Синтез наблюдателя

3.2.3 Численный пример

3.3 Выводы по Главе

Глава 4 Синтез адаптивного наблюдателя

4.1 Синтез адаптивного наблюдателя на основе ЭИЕМ

4.2 Адаптивный наблюдатель полного состояния для неявнополюсно-го синхронного двигателя с постоянными магнитами при наличии смещения в измеряемых сигналах

4.3 Моделирование

4.4 Адаптивный наблюдатель на основе ЭИЕМ для асинхронных двигателей

4.4.1 Постановка задачи

4.4.2 Наблюдатель магнитного потока

4.4.3 Оценка сопротивления ротора

4.4.4 Наблюдатель скорости ротора и оценка момента нагрузки

4.4.5 Моделирование

4.4.6 Заключение

4.5 Экспериментальное исследование

4.5.1 Постановка задачи

4.5.2 Наблюдатель на конечном интервале времени

4.5.3 Наблюдатель потока при неизвестном сопротивлении

4.5.4 Результаты экспериментального исследования

4.6 Выводы по Главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ (NOTATIONS)

Приложение А: Публикации по теме диссертации

Реферат

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Итеративный метод синтеза адаптивных наблюдателей для нелинейных систем»

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Высокоэффективные алгоритмы оценивания и управления получили широкое применение в индустриальных системах, в бытовых приборах, в качестве двигателей для надводных судов, гибридных электромобилей и в других электромеханических системах благодаря развитию микропроцессорной техники. Особенно актуальна разработка бессенсорного (бездатчикового) управления двигателями переменного тока. В ряде случаев установка датчиков скорости и положения существенно повышает стоимость электропривода. Установка датчиков может быть затруднительна или невозможна в связи с конструктивными особенностями. При экстремальных условиях эксплуатации датчики могут выходить из строя, например, в вакуумных насосах, лифтах, кранах. Также при синтезе управления возникает задача идентификации некоторых параметров электромеханических систем, которые часто оказываются неизвестными.

Применение алгоритмов оценивания переменных состояния и методов без-датчикового управления электроприводом позволяет снизить затраты на измерительные устройства, что характерно для массовой продукции (вентиляторы, кондиционеры, стиральные машины). Применение таких методов в дорогостоящих устройствах, например, промышленных манипуляторах, ветряных генераторах, робототехнических и транспортных системах в качестве дублирующих (резервных) систем позволяет повысить их надежность и отказоустойчивость при эксплуатации.

При ограниченном количестве измерительных устройств в электромеханических системах возникает необходимость в построении наблюдателей переменных состояния, т.е. оценить угловое положение и частоту вращения ротора,

магнитные потоки и т.д. Фактические значения параметров таких систем могут значительно отличаться от номинальных значений, указанных в паспорте устройства, в справочной и технической документации. Указанные значения параметров могут изменяться в процессе эксплуатации в результате механического износа, нагрева, воздействий окружающей среды. Неточное определение значений параметров может негативно влиять на качество функционирования и производительность технического устройства не только при применении классических алгоритмов управления, но и при бездатчиковом подходе. Такими неизвестными параметрами могут быть момент инерции, сопротивление и индуктивность обмоток статора электропривода, магнитный поток, генерируемый постоянными магнитами, коэффициент вязкого трения и т.д.

Задаче синтеза наблюдателей переменных состояния уделено большое внимание многих ученых (Р. Марино, Р. Ортега, Л. Прали, Р. Лоренц, Ф. Рахман, Ш. Моримото, С. Болоньяни, А.С. Глазырин, С.В. Ланграф, И.Г. Гуляев, Д.А. Даденков, А.Б. Виноградов, С. В. Арановский, Д. Соколов, Е. И. Веремей, Т. Паризини и др.). Существующие методы, чаще всего, основаны на введении тестовых сигналов тока. Это может приводить к пульсациям крутящего момента и требует специальных режимов двигателя. Известны подходы, которые обеспечивают корректное оценивание на средних и высоких частотах вращения, но при низких угловых скоростях они не эффективны. Большинство методов не учитывает параметрическую неопределенность нелинейной модели электромеханической системы, с другой стороны может быть затруднительной их реализация на практике, т.к. они обладают довольно сложной структурой. Множество методов оценивания переменных состояния для широкого класса нелинейных систем (А. Астолфи, Г. Безансон, М. Бодсон, А. Кренер, С. Састри) имеет ряд недостатков, которые затрудняют их применение для электромеханических систем. Например, не учитывается наличие параметрической неопределенности, требуются координатное преобразование полного вектора состояний, значительные ограничения для системы.

В диссертационной работе рассматривается применение метода синтеза адаптивных наблюдателей, основанных на идентификационных подходах (Р. Ортега, А. Бобцов, А. Пыркин, С. Арановский) и их модификаций для оценивания переменных состояния и параметров для широкого класса нелинейных моделей электромеханических систем. Представленные в работе алгоритмы оценивания также применимы для более сложных робототехнических и транспортных систем.

Степень разработанности темы исследования. В работе Р. Ортеги, А. Бобцова, А. Пыркина, С. Арановского1 был предложен метод синтеза адаптивных наблюдателей с оценкой параметров (АНОП) для широкого класса нелинейных систем. Данный подход, в отличие от традиционных методов, основанных на линеаризации исходной математической модели системы, накладывает менее строгие ограничения. Также по сравнению с наблюдателями Казантзиса-Кравариса-Люэнбергера, АНОП требует замены координат только для части вектора состояний. Однако метод синтеза АНОП только допускает существование необходимых функций преобразования и не рассматривает более сложную постановку задачи с неизвестными параметрами системы, полностью неизмеримом выходе и наличии внешнего возмущающего воздействия.

Как правило, существующие методы синтеза наблюдателей переменных состояний и выходных переменных таких электромеханических систем, как двигатели переменного тока можно разделить на два типа:

- алгоритмы, основанные на введении тестовых сигналов тока;

- алгоритмы, основанные на оценке противо-ЭДС.

В диссертационной работе рассматривается возможность применения модифицированного метода АНОП для синтеза (неинвазивных) алгоритмов оценивания для нелинейных моделей электромеханических систем. В развитие ме-

1A Parameter Estimation Approach to State Observation of Nonlinear Systems [Text] / Romeo Ortega, Alexey A. Bobtsov, Anton A. Pyrkin, Stanislav Aranovskiy // CoRR.—2015.—Vol. abs/1508.03959.--1508.03959.

тода АНОП рассмотрены новые постановки задачи, учитывающие параметрическую неопределенность и полную неизмеримость регулируемых переменных, устранена проблема интегрирования разомкнутого контура. Также, применительно к электроприводам переменного тока, рассмотрена задача бессенсорного управления.

Цель диссертационной работы заключается в разработке итеративного метода синтеза адаптивных наблюдателей переменных состояния определенного класса нелинейных систем в условиях параметрической неопределенности.

Научная новизна. В диссертации предложена конструктивная процедура параметризации нелинейных систем, которая предполагает итеративное использование Леммы о перестановке (Swapping Lemma). Впервые был получен способ вывода линейных регрессионных уравнений относительно нестационарных параметров, а также, как следствие, относительно искомых переменных нелинейных систем определенного класса. Данная процедура позволяет получать оценки неизвестных параметров и переменных состояния с регулировкой быстродействия, минимизации колебательности вплоть до монотонных процессов, где ошибка оценивания переменных состояния сходится к нулю асимптотически или экспоненциально. Этот новый подход открывает широкий спектр возможностей в задачах синтеза наблюдателей и регуляторов для нелинейных систем за счет декомпозиции многомерных нелинейных уравнений на скалярные линейные регрессионные уравнения.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая ценность разработанных методов синтеза адаптивных наблюдателей заключается в их простоте с точки зрения как методики изложения, так и методики настройки. В руках пользователя впервые появляются средства регулирования качеством оценивания нестационарных параметров и переменных состояний нелинейных систем. В задаче идентификации параметров векторных линейных регрессионных уравнений со стационарными параметрами ранее был разработан метод Динамического расширения и смешивания регрессора2(ЭКЕМ — dynamic

regressor extension and mixing, основанный на декомпозиции векторных регрессий на скалярные. В этой работе получено обобщение метода динамического расширения и смешивания регрессора на случай нестационарных параметров, и, как закономерное следствие, на задачу синтеза наблюдателей переменных состояния нелинейных систем.

Практическая значимость заключается в простоте синтеза и настройки в конкретных приложениях. Так, разработанная методика делает крайне эффективными методы бессенсорного или бездатчикового управления электромеханическими системами (отсутствует прямое измерение регулируемой переменной). При наличии измерений только электрических сигналов (сила тока, напряжение в электрических контурах) удается восстанавливать мгновенные значения механических переменных состояния, которые, как правило, являются регулируемыми переменными. Так на основе оценок, полученных с помощью синтезированных наблюдателей, можно имитировать реальные датчики регулируемых переменных, и на основе оценок строить системы управления. Более того, получена успешная серия экспериментов по использованию такого подхода на реальном оборудовании.

Методы исследования. При получении основных теоретических результатов в диссертационной работе использовались аналитические методы современной теории управления: аппарат функций Ляпунова, методы анализа устойчивости непрерывных систем, методы идентификации систем на основе процедуры динамического расширения и смешивания регрессора и алгоритмов синтеза наблюдателей типа Люэнбергера. Для исследования эффективности полученных теоретических результатов использовалось компьютерное моделирование в программной среде Matlab/Simulink.

2 Performance Enhancement of Parameter Estimators via Dynamic Regressor Extension and Mixing [Text] / S. Aranovskiy, A. Bobtsov, R. Ortega, A. Pyrkin // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2017. — Vol. 62, no. 7.—P. 3546-3550.

Положения, выносимые на защиту:

1. Итеративная процедура параметризации математических моделей нелинейных систем для получения линейных регрессионных уравнений относительно неизвестных параметров и переменных состояния.

2. Синтез адаптинвых наблюдателей типа Люэнбергера на базе итеративной процедуры получения линейных регрессионных уравнений связи, используемых при формировании корректирующего члена.

3. Синтез адаптивных наблюдателей переменных состояния параметрически неопределенных нелинейных систем на базе метода динамического расширения и смешивания регрессора.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

1. XXI конференция молодых ученых «Навигация и управление движением», СПб., 19-22 марта 2019 г.

2. 13th IFAC Workshop on Adaptive and Learning Control Systems (ALCOS 2019), Winchester, UK, 04-06 December 2019.

3. XXII конференция молодых ученых «Навигация и управление движением», СПб., 17-20 марта 2020 г.

4. VIII Конгресс молодых ученых, СПб., 15 — 19 апреля 2019 г.

5. XIII Всероссийское совещание по проблемам управления, Москва, 17 -- 20 июня 2019 г.

6. IX Конгресс молодых ученых, СПб., 15 — 18 апреля 2020.

7. XLVIII Научная и учебно-методическая конференция университета ИТМО, СПб., 29.01.2019 - 01.02.2019.

8. XLIX научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО 2020, СПб., 29.01.2020 - 01.02.2020.

Результаты работы использовались при выполнении следующих НИОКР:

1. Грант в рамках выполнения программы повышения конкурентоспособности Университета ИТМО среди ведущих мировых научно-образовательных центров (Проект 5-100).

2. ПНИЭР "Адаптивное бессенсорное управление синхронным электроприводом для интеллектуальных робототехнических и транспортных систем" (RFMEFI57818X0271), Федеральная Целевая Программа "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2014-2020 годы" .

3. Методы адаптивного управления нелинейными системами с запаздыванием и неопределенностями, Инициативные научные проекты в рамках базовой части Государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации.

4. НИОКР для подготовки магистрантов и аспирантов "Разработка методов создания и внедрения киберфизических систем" , "Разработка методов интеллектуального управления киберфизическими системами с использованием квантовых технологий" , фонд учебной нагрузки Университета ИТМО.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 3 статьи в реферируемых изданиях трудов международных конференций [1-3], индексируемых Scopus и Web of Science, 1 статья в рецензируемом журнале [4], входящем в перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 199 страниц, включая 16 рисунков. Библиография включает 121 наименование.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, аргументируется научная новизна проводимых исследований, приводится теоретическая и практическая значимость результатов работы, представляются положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлен аналитический обзор информационных источников в области методов синтеза наблюдателей переменных состояния для широкого класса нелинейных систем. Выполнен сравнительный анализ существующих наблюдателей переменных состояния и алгоритмов идентификации параметров, в рамках которого выделены достоинства и недостатки известных решений. Также, в главе показана актуальность исследований в данной области и необходимость усовершенствования известных методов оценивания параметров. Сформулирована обобщенная постановка задачи, решению которой посвящены следующие главы диссертации.

Рассматривается задача синтеза адаптивных наблюдателей переменных состояния и параметров для нелинейных систем управления, динамика которых описывается в следующем виде:

х = / (х,и,9р),

У = (1)

где х € — вектор состояния системы, и € — управляющий сигнал, у € — измеряемые выходные сигналы, вр € — постоянный вектор параметров, которые могут быть априорно неизвестны.

Сформулируем следующие допущения, позволяющие выделить класс нелинейных систем, рассматриваемых в диссертационной работе.

Допущение 1. Существует замена координат х = Ф(%), где ф : ^ К9, позволяющая преобразовать модель системы к каскадному виду с явной

линейной зависимостью по вектору параметров 9р:

УфТ(х)/(х,и,вр) = Н (Н(х),и)вр + и](к(х),и), (2)

что может быть также представлено в более простом виде:

Х = Н (у1и)вр + п){у1и)1 (3)

где п) : К5 х ^ К«, Н : К5 х ^ К^.

Допущение 2. Существует обратное преобразование по отношению

к функции ф(х), где фь : W х W ^ Rn:

фь(ф(х), h(x)) = х. (4)

Допущение 3. Существует аналитическое преобразование, связывающее переменные состояния системы и входные сигналы:

Т(ф(х), h(x), и, вр) = const. (5)

Допущение 4. Сигнал u(t) такой, что все траектории состояний (1) ограничены.

Далее сформулируем две задачи.

Задача 1. В случае, если вектор параметров 9р является полностью известным, необходимо синтезировать наблюдатель вида

{ = Rc ({,у,и,вр), % = G{(,y,u,Op),

где ( Е Rnc, такой что

lim lx(t) - x(t)| =0. (6)

t—>oo

Задача 2. В случае, если вектор параметров вр является априорно неизвестным, необходимо синтезировать адаптивный наблюдатель вида

{ = Rc (у,С,и,вр), 6р = Fe {у,С,и,вр),

где ( Е Rnc и Qp Е W, такой что

lim lx(t) - x(t)l = 0, lim |§Jt) - 6U = 0. (7)

t^TO t^TO

Во второй главе представлен ключевой результат диссертационной работы: как от общего неявно заданного соотношения, связывающего сигналы нелинейной системы (см. Допущение 3), перейти к более удобной форме, пригодной к использованию при синтезе наблюдателей. При синтезе устройства оценивания вспомогательной переменной % наиболее предпочтительнее было бы иметь простейшую связь

%(t) = XT(t) wit), (8)

с измеряемыми (вычисляемыми) сигналами z Е R и w Е R, или даже

У (t) = xit)A(t),

где известны значения У Е R и А Е R.

Однако в условиях задачи такого допущения нет, а есть лишь неявно заданное соотношение Т(х,у,и,Ор) = const.

Далее будет предложена итеративная процедура параметризации имеющегося соотношения, позволяющая получать линейные регрессионные уравнения вида (8) или, если не удается отделить измеряемые функции времени от искомых переменных и параметров в форме линейной регрессии, то в виде

%it) = XTit) n(t)+ d(x,t), (9)

где (1(х) представляет собой непараметризированный остаток, который может интерпретироваться как возмущение.

Обратим внимание на три факта, которые имеют значение для итеративной процедуры параметризации.

Факт 1. При использовании линейного фильтра , где а — параметр настройки, произведения двух сигналов х и у, происходит выход сигнала х из под действия оператора:

а , . а 1

-(ху) = х—— у -

а

х~— У

р + а

, „ , „ „ (10) р + а р + а р + а

Факт 2. Если сигнал у является измеримым, или является производной изме-

О.

ряемого сигнала, то значение выражения у может считаться известным.

Факт 3. Под действием оператора в правой части выражения (10) остается производная от сигнала х. Если представить, что переменная х представляет собой искомый вектор переменных то в силу Допущения 3 эта производная может быть декомпозирована на неизвестные постоянные параметры и измеряемые сигналы.

а , . а 1

-(ху) = х—— у -

а

х-у

р + а" " ' р + а р + а р + а После того, как будет подставлено значение х, может оказаться, что под действием этого оператора остаются произведения измеряемых сигналов на неизмеряемые сигналы. В этом случае следует применить Лемму о перестановке повторно для выражения

1

р + а

а

—у

р + а

вынося за пределы действия оператора неизмеряемые сигналы, и оставляя в пределах действия оператора известные (вычислимые или измеряемые) функции времени.

Повторять эту процедуру необходимо итеративно до тех пор, пока все выражение не станет представлять собой регрессионное уравнение относительно искомого вектора переменных % и параметров вида 11:

с {у, и) = ^Т(у,и)

X

о*

Р{Х,ер)

(11)

где с : К5 х ^ К, у = со1 уе, рр) : К5 х ^ , ^ = ^^ е вектор постоянных параметров, р(\, 9р) Е — вектор переменных, зависящих от искомых переменных х(к) и параметров исходной модели вр.

В главе представлены примеры формирования таких линейных регрессионных уравнений для широкого класса электромеханических систем, где измерению доступны только электрические сигналы.

Пример 1. Явнополюсный СДПМ. Рассмотрим классическую двухфазную а/З-модель явнополюсного СДПМ

А = V — Ш,

-1

г = ( Ь812 + ^£(20)) [А - ХтС(0)],

2

(12)

где 12 — единичная матрица, — усредненная индуктивность, Ь0 — разность индуктивностей, которые определяются индуктивностью Ь^ и Ьд по осям ё, и д

:= 2 + ) , Ь0 := (Ь, — Ьд ),

Я(2в) = I ( Р ) ( Р ) ) , С (в) := I ( Р )

\$,т(2пр0) — со$,(2пр0) I \$,т(пр0)

Лемма 1. Электрическая динамика явнополюсного СДПМ удовлетворяет следующему (возмущенному) уравнению линейной регрессии

у = фтх + А + а

(13)

где % — активный магнитный поток, неизвестный возмущающий сигнал вида

* := ~^ХТС(в), (14)

р + а

где измеренные сигналы у и Ф определяются выражениями

у : = (2Я- аЬо)фз - 2фА + 2Ьдф3 - Ьд(Ьд + Ьо)ф5

- {фТ^ - ¿Ть + уФТФ1) + ФТФ1,

Ф : = аЬ0г + (2 Я - аЬ0)ф1 - 2ф2 + 2Ьдф1, (15)

где функции

Ф1 Ф2 фз := - Ш)Тф 1] ,

р + а р + а р + а 1 -1

ф4 :=[(^ - Ш)Тф2] , 05 Шф1! , (16)

р + а -1 р + а I J

а функции ф^, 2 = 1, 5 — также доступны для измерения. □

Пример 2. Неявнополюсный СДПМ.Рассмотрим динамическую модель неявнополюсного СДПМ будет иметь вид

А = V - Ш, А = Ы + ХтС (в) ¿и = -Вш + те - ть, 0 = и. (17)

Предположим, что измерению доступны только искаженные сигналы силы тока г и напряжения V, постоянные неизвестные смещения ^ Е К2 и Е К2 соответственно, то есть где ошибка измерения представляет собой

гт = г + 6г, ут = V + 6У, (18)

где гт и ут фактически измеренные сигналы.

Лемма 2. Рассмотрим модель СДПМ (17) с измеряемыми сигналами (18), искаженными неопределенными смещениями. Тогда справедлива линейная регрессионная модель вида

У = ФТ (а + 2т) + + еи (19)

где известные функции у, Ф, Ф могут быть вычислены из доступных сигналов и неизвестных постоянных векторов

•r]m := Röi - öv, f] :=

V ml 4m2 \J] m V m J

Пример 3. Асинхронный двигатель. Рассмотрим электрическую динамику модели асинхронного двигателя

А =

L-s0^ =

- (RR~^ - I А + Rrßi,

(

Rr

-(Rs + Rrß2)i + ß ( -у-h - npJu ) А + v,

)

(20) (21)

где Яг, Ьг, ,пр,а — положительные постоянные, представляющие индуктивность статора, сопротивление ротора, индуктивность ротора, сопротивление статора, количество пар полюсов и параметр рассеивания, соответственно. Для простоты обозначения, мы определили ¡3 := ^, где М взаимная индуктивность

и J :=

0 -1 1 0

Магнитный поток и производные сил тока связаны выражением

п\ ъ ■ г di

ßA = -Rsi + v - oLs—.

dt

Рассмотрим следующую частичную замену координат

(22)

И = |А|2 (23)

и рассмотрим ее производную, используя (20)-(21) и равенство AmJA = 0

Rr

£ = + 2RrßAmi.

(24)

Лемма 3. Модель асинхронного двигателя может быть представлена как

г (у) = Am^aa(y) + RrAm tf(y)

rn

+ RrVac (у) - ~T|A|2 + e(t),

(25)

где фа(у), ), ^ь(у), ^с (у) — доступные (вычисляемые) функции, е(Ь) — экспоненциально убывающий член.

Третья глава посвящена итеративному методу синтеза адаптивного наблюдателя для нелинейных систем определенного класса, когда существует некоторое преобразование координат, производная по времени которого доступна для измерения, а также существует неявное аналитическое уравнение связи между этими координатами и известными функциями времени.

Наблюдатель синтезирован в форме наблюдателя Люэнбергера. Для этого формируется корректирующий член, чтобы исключить проблему интегрирования в разомкнутом контуре (прямое интегрирование измеряемых сигналов). За счет корректирующего члена достигается асимптотическая устойчивость модели невязки, а также минимизируется влияние шумов и ошибок измерения ввиду асимптотической (экспоненциальной) устойчивости наблюдателя.

Утверждение 1. Рассмотрим нелинейную систему, параметризованную к виду

обеспечивает ограниченность всех траекторий, а также экспоненциальную сходимость к нулю ошибок оценивания

X = н (У,и)вр + 1ш(у,и), с(у, и) = и) + О,

(26)

(27)

(28)

Наблюдатель вида

X =Н(у, и)0р+'ш(у,и)

+уш(у, и) I с(у, и) - и) - (хТд(х)н (29)

V I ^ у

МО - т\ < МО) - *(0)| ,

для некоторых положительных констант т0 и р0.

В качестве примера решена задача синтеза адаптивного наблюдателя магнитного потока и угла поворота ротора явнополюсного синхронного двигателя с постоянными магнитами при измерении только силы тока и напряжений в обмотках статора, что сформулировано в следующем утверждении.

Утверждение 2. Рассмотрим электрическую динамику явнополюсного СДПМ с сигналом Ф, определенным в (15). Наблюдатель активного потока и положения имеет вид

Х Т - л -Т/

(у - Фтх - Хт~^хТС(в)) V р + a J

\ = v - Ri + 7ф у - Ф1х - X... , ,

р + а

Х = X - Lqi,

О = — arctan ( ^X2 J , (31)

nP \XiJ

с у и Ф, определенными в (15), j > 0 и а — параметры настройки.

Существуют атах > 0 и 7тах > 0, такие что для всех а < am&x и 7 < 7max, выполняется неравенство

l~X(t)l < me~ptIX(0)l yt > 0, для некоторых m > 0, р > 0. Кроме того выполняется условие

lim

t—>со

m

= 0.

Методом численного моделирования проведено сравнение работы с ближайшим аналогом и показано, что предложенный метод отличается большим быстродействием.

В четвертой главе выполнен синтез наблюдателя, названного ЭКЕМБЛО — адаптивный наблюдатель на основе метода динамического расширения и смешивания регрессора. Наблюдатель синтезируется согласно алгоритму:

1. На основе (3) строится линейная регрессионная модель порядка N, где неизвестные параметры объекта управления вр и оцененная координата \ входят линейно.

2. Согласно процедуре ЭИЕМ, применяются линейные устойчивые операторы для формирования матрицы регрессора размерности N х N, и затем выполняется "смешивание" последнего для получения N -скалярных регрессионных уравнений.

3. Выделяются скалярные регрессоры, соответствующие неизвестным параметрам, применяется алгоритм оценивания на основе градиентного спуска.

4. Используя скалярные регрессоры, связанные с х, строится наблюдатель и используется Допущение 2 для оценивания вектора состояния х.

Утверждение 3. Рассмотрим оценку параметра с помощью метода градиентного спуска:

ёр(г) = ъ А(г) [ад — А(г)ер(г)\. (32)

Оценка за конечное время может быть получена в виде:

^ ) := ~^ Р»(<) — ^' (33)

где и)^) определяется с помощью функции переключения

I V, если и(г) > р

ис(г) = < (34)

I и(Ь), если и(Ь) <

с функцией и^Ъ), определяемой выражением

й(г) = —^рА2(г)и(г), и(0) = 1. (35)

Утверждение 4. Рассмотрим систему (1), удовлетворяющую Допущениям 1—4 и оценку состояния

к(1) = Нр(1)^(1)—Щ(1)§?с(1)+'шр(1)

+ ъ А(г) {гх(г) — [к(г) + и^) + н^)ё;тс(г)т)\,

1 } (36)

х(1) = я(1)+иа(1)+На (Щтс (I)

х = ФЬ(Х, У)1

где 61^TC(t) определена в Допущении 3 и ее производная вычисляется как

IW - ш- Ы (37)

с сигналами 0р(t) и wc(t) определенными в (32) и (34)—(35), соответственно.

Если A(t) £ C'i то, для любых начальных условий х(0) £ Rn, к(0) £ R и 9Р(0) £ Шр справедливо

lim lx(t) - x(t)I =0. (38)

В главе приведен синтез алгоритма адаптивной оценки магнитного потока для неявнополюсного СДПМ для случая, когда электрические сигналы, доступные для измерения, искажены постоянным смещением. Доказано, что предложенный наблюдатель потока обеспечивает глобальную экспоненциальную сходимость ошибок оценки к нулю, если соответствующая функция регрессии удовлетворяет условию постоянного возбуждения. Наблюдатель обеспечивает глобальную асимптотическую сходимость, если функция регрессии является квадратично интегрируемой.

В главе также приводятся результаты экспериментального исследования, которое было выполнено на установке, изображенной на рисунке 1 и состоящей из двигателя ESTUN EMG-10ASA22 с четырьмя парами полюсов, магнитного порошкового тормоза, оптического датчика, абсолютного оптического датчика, датчик крутящего момента, который основан на тензодатчике.

Пусть модель СДПМ описана (17), выполняется Допущение 4 об ограниченности, сопротивление R является неизвестным.

Рис. 1 - Фотография экспериментальной установки: 1 — СДПМ, 2 — магнитный порошковый тормоз, 3 — оптический датчик, 4 — абсолютный оптический датчик, 5 — датчик крутящего момента

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Синетова Мадина Мансуровна, 2020 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Методы адаптивного и робастного управления нелинейными объектами в приборостроении: учебное пособие для высших учебных заведений. [Текст] / Бобцов А.А., Никифоров В.О., Пыркин А.А. [и др.]. —[Б. м.] : СПб: НИУ ИТМО, 2013.

2. G., Besançon. Nonlinear observers and applications. [Text] / Besançon G. — [S. l.] : Berlin: Springer. Lecture Notes in Control and Information Sciences., 2007. —Vol. 363. —P. 224.

3. Astolfi, A. Nonlinear and Adaptive Control with Applications [Text] / A. Astolfi, D. Karagiannis, R. Ortega. — [S. l.] : Springer, 2008.

4. A Parameter Estimation Approach to State Observation of Nonlinear Systems [Text] / Romeo Ortega, Alexey A. Bobtsov, Anton A. Pyrkin, Stanislav Aranovskiy // CoRR.— 2015.— Vol. abs/1508.03959. — 1508.03959.

5. Андриевский Б.Р. Бобцов А.А., Фрадков А.Л. Методы анализа и синтеза нелинейных систем управления [Текст] / Фрадков А.Л. Андриевский Б.Р., Бобцов А.А. — М.-Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2018. — С. 336.

6. Метод идентификации сопротивлений статора и ротора асинхронного двигателя [Текст] / Д.Н. Базылев, А.А. Бобцов, А.А. Пыркин, Р. Ортега // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. — 2017. — Т. 60, № 9. —С. 807-811.

7. Алгоритмы идентификации параметров синхронного двигателя с постоянными магнитами [Текст] / Д.Н. Базылев, А.А. Бобцов, А.А. Пыркин, М.С. Чежин // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2016. — Т. 17, № 3. —С. 193-198.

8. Bazylev, D. Position and speed observer for PMSM with unknown stator resistance [Text] / D. Bazylev, A. Pyrkin, A. Bobtsov // European Control Conference, ECC. — 2018. — P. 1613-1618.

9. Nonlinear Observers and Applications (Lecture Notes in Control and Information Sciences) [Text] / Ed. by Gildas Besancon. — [S. l.] : Springer, 2007. —ISBN: 354073502X.

10. Sastry, S. Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness [Text] / S. Sastry, M. Bodson. —[S. l.] : Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1989.

11. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. [Текст] / Л. Льюнг. —[Б. м.] : М.: Наука, 1991. —С. 432.

12. Neural network control system for two-mass elastic electromechanical system [Text] / K. V. Ignatiev, M. M. Kopichev, A. V. Putov, V. V. Putov // 2015 XVIII International Conference on Soft Computing and Measurements (SCM). — [S. l. : s. n.], 2015. —P. 141-143.

13. Нейросетевой регулятор для двухмассового упругого электромеханического объекта [Text] / В.В. Путов, А.В. Путов, М.М. Копычев, К.В. Игнатьев // Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям. — [S. l. : s. n.], 2015. —P. 344-347.

14. Аналитический и интеллектуальный подходы в построении адаптивных систем управления нелинейными электромеханическими объектами с упругими деформациями [Текст] / В.В. Путов, В.Н. Шелудько, А.В. Путов, [и др.] // Известия СПБГЭТУ ЛЭТИ. — 2014. — № 8. —С. 43-51.

15. Управление нелинейными системами на основе гибридных моделей с адаптацией [Текст] / С.А. Колюбин, Д.В. Ефимов, В.О. Никифоров, Боб-цов А.А // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2012. — Т. 3 (79). —С. 64-67.

16. Krener, Arthur J. Nonlinear observers with linearizable error dynamics [Text] / Arthur J. Krener, Witold Respondek // SIAM Journal on Control and Optimization.— 1985.— Vol. 23.— P. 197-216.

17. Базылев, Д.Н. Адаптивные алгоритмы оценивания переменных состояния электромеханических систем [Текст]. — диссертация ... кандидата технических наук : 05.13.01. [Место защиты: Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики]. - Санкт-Петербург. — 2018.

18. Motion Planning and Control for Humanoid Robot Standing on Rotating Surface [Text] / D. Bazylev, D. Ibraev, F. Popchenko, A. Margun // Proceedings of 25th Mediterranean Conference on Control and Automation. — 2017. —P. 328-333.

19. Базылев, Д.Н. Программа оценки углового положения гуманоидного робота и расчета координат центров масс его звеньев [Текст]. — Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. № 2017618116. — 2017. —24.07.2017.

20. Sensorless Control of PM Synchronous Motors with a Robust Nonlinear Observer [Text] / D. Bazylev, S. Vukosavic, A. Bobtsov [et al.] // Proceedings of IEEE Conf. on Industrial Cyber-Physical Systems (ICPS). — 2018. — P. 304309.

21. Henwood, N. A robust nonlinear Luenberger observer for the sensorless control of SM-PMSM: Rotor position and magnets flux estimation [Text] / N. Henwood, J. Malaize, L. Praly // IECON 2012 - 38th Annual Conference on IEEE Industrial Electronics Society. —[S. l. : s. n.], 2012. —P. 1625-1630.

22. Marino, R. Exponentially convergent rotor resistance estimation for induction motors [Text] / R. Marino, S. Peresada, P. Tomei // EEE Trans. Industrial Electronics.— 1995.— Vol. 42, no. 5.— P. 508-515.

23. Pavlov, A.V. Real-time rotor and stator resistances estimation of an induction motor [Text] / A.V. Pavlov, A.T. Zaremba //In Proc. IFAC Symp. Nonlinear Control Systems, St. Petersburg, Russia. — 2001. — P. 1252-1257.

24. A new adaptive approach for on-line parameter and state estimation of induction motors [Text] / P. Castaldi, W. Geri, M. Montanari, A. Tilli // Control Eng. Pract. —2005. —Vol. 13, no. 1. —P. 81-94.

25. Sensorless Control of the Levitated Ball [Text] / Madina Sinetova, Alexey Bobtsov, Anton Pyrkin [et al.] // IFAC-PapersOnLine. — 2019. — Vol. 52, no. 29. —P. 274 - 279.

26. Ranjbar, Amir. Estimation of airgap length in magnetically levitated systems [Text] / Amir Ranjbar, Ricardo Noboa, Babak Fahimi // IEEE Transactions on Industry Applications. —2012. —Vol. 48, no. 6. —P. 2173-2181.

27. Magnetic bearings: theory, design, and application to rotating machinery [Text] / Ed. by Gerhard Schweitzer, Eric Maslen. — [S. l.] : Springer Science & Business Media, 2009.

28. A novel robust position estimator for self-sensing magnetic levitation systems based on least squares identification [Text] / T Glück, W Kemmetmüller, C Tump, A Kugi // Control Engineering Practice. — 2011.— Vol. 19, no. 2.— P. 146-157.

29. Maslen, Eric. Toward a unified approach to control of magnetic actuators [Text] / Eric Maslen, David Meeker, Carl Knospe // IFAC Proceedings Volumes. —2000. —Vol. 33, no. 26. —P. 455-461.

30. Mizuno, Takeshi. Stability analysis of self-sensing magnetic bearing controllers [Text] / Takeshi Mizuno, Kenji Araki, Hannes Bleuler // IEEE transactions on control systems technology. — 1996. — Vol. 4, no. 5. — P. 572-579.

31. Maslen, Eric. Robustness limitations in self-sensing magnetic bearings [Text] / Eric Maslen, Dominick Montie, Tetsuya Iwasaki // Journal of dynamic systems, measurement, and control. — 2006.—Vol. 128, no. 2.— P. 197-203.

32. Montie, Dominick. Performance limitations and self-sensing magnetic bearings [Text] : Ph.D. thesis / Dominick Montie ; University of Virginia, USA. — [S. l. : s. n.], 2003.

33. Blaschke, F. The principle of field orientation as applied to the new transvector closed-loop control system for rotating-filed machines [Text] / F. Blaschke // Siemens review. — 1972.—Vol. 34. —P. 217-220.

34. Hasse, K. Drehzahlregelverfahren fur schnelle Umkehrantriebe mit stromrichtergespeisten Asynchron-Kurzschlusslaufer motoren [Text] / K. Hasse // Regelungstechnik. — 1972.—Vol. 20. —P. 60-66.

35. de Wit, P. Indirect field-oriented control of induction motors is robustly globally stable [Text] / P. de Wit, R. Ortega, I. Mareels // Automatica. — 1996. — Vol. 30, no. 10. —P. 1393-1402.

36. Marino, R. On-Line Stator and Rotor Resistance Estimation for Induction Motors [Text] / R. Marino, S. Peresada, P. Tomei // IEEE Trans. on Control Systems Technology. — 2000.— Vol. 8, no. 3. —P. 570-579.

37. Passivity-based Control of Euler-Lagrange Systems [Text] / R. Ortega, A. Loria, P.J. Nicklasson, H. Sira-Ramirez. — [S. l.] : Springer-Verlag, London, 1998.

38. Peresada, S. Theoretical and Experimental Comparison of Indirect Field-Oriented Controllers for Induction Motors [Text] / S. Peresada, A. Tilli, A. Tonielli // IEEE Transactions on Power Electronics. — 2003. — Vol. 18, no. 1. —P. 151-163.

39. On the efficiency of adaptive control systems of nonlinear control object with the uncertainties and incomplete measuring [Text] / V.V. Putov, A.V. Putov, A.D. Stotckaia [et al.] // Proc. of the IEEE NW Russia Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering Conference (EIConRusNW). — 2015. — P. 266-269.

40. Matsuo, T. A rotor parameter identification scheme for vector-controlled induction motor drives [Text] / T. Matsuo, T. A. Lipo // IEEE Trans. on Industry Applications. —1985. —Vol. 21, no. 4. —P. 624-632.

41. Wade, S. A New Method of Rotor Resistance Estimation for Vector-Controlled Induction Machines [Text] / S. Wade, M.W. Dunnigan, B.W. Williams // IEEE Trans. on Industrial Electronics. — 1997.— Vol. 44, no. 2. —P. 247-257.

42. Laroche, E. Methodological Insights for Online Estimation of Induction Motor Parameters [Text] / E. Laroche, E. Sedda, C. Durieu // IEEE Trans. on Control Systems Technology. — 2008.— Vol. 16, no. 5. —P. 1021-1028.

43. Speed Sensorless Identification of the Rotor Time Constant in Induction Machines [Text] / M. Li-Campbell, J. Chiasson, M. Bodson, L.M. Tolbert // IEEE Trans. on Automatic Control. — 2007.— Vol. 52, no. 4. —P. 758-763.

44. An Online Rotor Time Constant Estimator for the Induction Machine [Text] / K. Wang, J. Chiasson, M. Bodson, L.M. Tolbert // IEEE Trans. on Control Systems Technology. — 2007.— Vol. 15, no. 2. —P. 339-348.

45. Roncero-Sanchez, P. Rotor-resistance estimation for induction machines with indirect-field orientation [Text] / P. Roncero-Sanchez, A. Garcia-Cerrada,

V. Feliu-Batlle // Control Engineering Practice. — 2007. — Vol. 15, no. 9.— P. 1119-1133.

46. Proca, A.B. Sliding-mode flux observer with online rotor parameter estimation for induction motors [Text] / A.B. Proca, A. Keyhani // IEEE Transactions on Industrial Electronics. — 2007.— Vol. 54, no. 2. —P. 716-723.

47. An online simplified rotor resistance estimator for induction motors [Text] / G. Kenne, R.S. Simo, F. Lamnabhi-Lagarrigue [et al.] // IEEE Trans. on Control Systems Technology. — 2010.— Vol. 18, no. 5. —P. 1188-1194.

48. Salmasi, F.R. An Adaptive Observer With Online Rotor and Stator Resistance Estimation for Induction Motors With One Phase Current Sensor [Text] / F.R. Salmasi, T.A. Najafabadi // IEEE Trans. on Energy Conversion.— 2011. —Vol. 26, no. 3. —P. 959-966.

49. On-Line Identification of Winding Resistances and Load Torque in Induction Machines [Text] / C.M. Verrelli, A. Savoia, M. Mengoni [et al.] // IEEE Trans. on Control Systems Technology. — 2014.— Vol. 22, no. 4. —P. 1629-1637.

50. Ефанов, Д.В. Повышение надежности датчиков контроля положения железнодорожных стрелок [Текст] / Д.В. Ефанов, А.А. Блюдов // Известия петербургского университета путей сообщения. — 2014. — Т. 3, № 40. — С. 69-77.

51. Ефанов, Д.В. Оптимизация алгоритмов диагностирования железнодорожных стрелочных электроприводов с учетом статистических данных об отказах [Текст] / Д.В. Ефанов, В. В. Хорошев // Транспорт урала. — 2018. — Т. 1, № 56. —С. 19-25.

52. Ефанов, Д.В. Становление и перспективы развития систем функционального контроля и мониторинга устройств железнодорожной автоматики

и телемеханики [Текст] / Д.В. Ефанов // Автоматика на транспорте. — 2016.— Т. 2, № 1. —С. 124-148.

53. Ефанов, Д.В. Метод автоматизации проверки логики функционирования объектов диагностирования в системах удаленного контроля и мониторинга [Текст] / Д.В. Ефанов // Транспорт Урала. — 2014. — Т. 3, № 42. — С. 5862.

54. Ефанов, Д.В. Техническое диагностирование и мониторинг устройств автоматики в метрополитенах [Текст] / Д.В. Ефанов // Автоматизация в промышленности. — 2014. — Т. 3. — С. 4-8.

55. Улучшение качественных характеристик робастных дискретных систем управления технологическими процессами [Текст] / Р.В. Зайцев, О.Ю. Камкин, О.А. Ремизова [и др.] // Известия санкт-петербургского государственного технологического института (технического университета). — 2013. — Т. 20, № 46. —С. 095-100.

56. Диагностика потенциально-опасных состояний при управлении технологическими процессами [Текст] / О.А. Ремизова, А.В. Рудакова, В.В. Сыро-квашин, А.Л. Фокин // Известия санкт-петербургского государственного технологического института (технического университета). — 2014. — Т. 25, № 51. —С. 88-94.

57. Диагностика потенциально-опасных процессов [Текст] / О.А. Ремизова, А.В. Рудакова, В.В. Сыроквашин, А.Л. Фокин // Известия высших учебных завеений. Приборостроение. — 2016. — Т. 59, № 2.— С. 113-119.

58. Start-up strategy for sensorless direct drive PM generator for wind turbines [Text] / S. Bolognani, M. Tomasini, L. Tubiana, M. Zigliotto //in Proc. of IEEE Int. Symp. Ind. Electron. — 2005.— Vol. 4. —P. 1801-1806.

59. Acarnley, P.P. Review of position sensorless operation of brushless permanentmagnet machines [Text] / P.P. Acarnley, J. F. Watson // IEEE Transactions on Industrial Electronics. — 2006. — Vol. 53. — P. 352 - 362.

60. Foo, G. Sensorless vector control of interior permanent magnet synchronous motor drives at very low speed without signal injection [Text] / G. Foo, M.F. Rahman // IET Elect. Power Appl. — 2010. — Vol. 4, no. 3. — P. 131139.

61. Nam, K. AC motor control and electric vehicle applications [Text] / K. Nam. — [S. l.] : CRC Press, 2010. —P. 435.

62. Xiao, D. Sensorless direct torque control and flux controlled IPM synchronous machine fed by matrix converter over a wide speed range [Text] / D. Xiao, M. Rahman // IEEE Trans. on Ind. Informat.. — 2013. — Vol. 9, no. 4.— P. 1855-1867.

63. Lu, K. Artificial inductance concept to compensate nonlinear inductance effects in the back EMF-based sensorless control method for PMSM [Text] / K. Lu, X. Lei, F. Blaabjerg // IEEE Trans. Energy. Conv.. — 2013.— Vol. 28, no. 3. — P. 593-600.

64. Paulus, D. Sensorless Control of Synchronous Machines based on Direct Speed and Position Estimation in Polar Stator-Current Coordinates [Text] / D. Paulus, J.F. Stumper, R. Kennel // IEEE Trans. Power Electron.. — 2013. — Vol. 28, no. 5. —P. 2503-2513.

65. A combined position and stator-resistance observer for salient PMSM drives: design and stability analysis [Text] / M. Hinkkanen, T. Tuovinen, L. Harnefors, J. Luomi // IEEE Trans. Power Electron.. — 2011.— Vol. 27, no. 2. —P. 601609.

66. Back EMF sensorless-control algorithm for high-dynamic performance PMSM [Text] / F. Genduso, R. Miceli, C. Rando, G.R. Galluzzo // IEEE Trans. Ind. Electron.. —2010. —Vol. 57, no. 6. —P. 2092-2100.

67. Kim, H. A high-speed sliding-mode observer for the sensorless speed control of a PMSM [Text] / H. Kim, J. Son, J. Lee // IEEE Trans. Ind. Electron..— 2011. —Vol. 58, no. 9. —P. 4069-4077.

68. Kommuri, S.K. Robust observer with higher-order sliding mode for sensorless speed estimation of a PMSM [Text] / S.K. Kommuri, K.C. Veluvolu, M. Defoort //in Proc. of Europ. Contr. Conf. — 2013. — P. 4598-4603.

69. Online identification of permanent magnet flux based on extended kalman filter for IPMSM drive with position sensorless control [Text] / Y. Shi, K. Sun, L. Huang, Y. Li // IEEE Trans. Ind. Electron.. — 2012. — Vol. 59, no. 11.— P. 4169-4178.

70. Bolognani, S. Extended Kalman filter tuning in sensorless PMSM drives [Text] / S. Bolognani, L. Tubiana, M. Zigliotto // IEEE Trans. Ind. Appl.. — 2003. — Vol. 39, no. 6. —P. 1741-1747.

71. Akrad, A. Design of a fault-tolerant controller based on observers for a PMSM drive [Text] / A. Akrad, M. Hilairet, D. Diallo // IEEE Trans. Ind. Electron.. — 2011. —Vol. 58, no. 4. —P. 1416-1427.

72. Quiao, Z. et al. New sliding-mode observer for position sensorless control of permanent-magnet synchronous motor [Text] / Z. et al Quiao // IEEE Trans. Ind. Electron.. —2013. —Vol. 60, no. 2. —P. 710-719.

73. Kim, T. H. An error analys of the sensorless position estimation for BLDC motors [Text] / T. H. Kim, M. Ehasani //in Conf. Rec. of 38th IAS Annual Meeting. —Oct. 2003. —P. 611-617.

74. Zhou, G. Unattenuated BEMF detection for sensorless brushless DC (BLDC) motor drives [Text] / G. Zhou, Z. Wu, J. Ying //in Proc. of Power Electron. and Motion Control Conf. — 2004.— Vol. 3. —P. 1292-1297.

75. Foo, G. Sensorless direct torque and flux-controlled IPM synchronous motor drive at very low speed without signal injection [Text] / G. Foo, M. F. Rahman // IEEE Trans. Ind. Electron.. — Jan. 2010. —Vol. 57, no. 1.— P. 395-403.

76. Carrier-signal selection for sensorless control of PM synchronous machines at zero and very low speeds [Text] / D. Raca, P. Garcia, D.D. Reigosa [et al.] // IEEE Trans. Ind. Appl.. — 2010. — P. 167-178.

77. Wallmark, O. Sensorless control of salient PMSM drives in the transition region [Text] / O. Wallmark, L. Harnefors // IEEE Trans. Ind. Electron.. — 2006. — Vol. 53, no. 4. —P. 1179-1187.

78. Krause, Paul C. Analysis of Electric Machinery [Text] / Paul C Krause // McGraw-Hill, New York. — 1986.

79. Chiasson, J. Modeling and High Performance Control of AC Drives. [Text] / J. Chiasson. —[S. l.] : Wiley, 2005.

80. Corley, M.J. Rotor position and velocity estimation for a salient-pole permanent magnet synchronous machine at standstill and high speeds [Text] / M.J. Corley, R.D. Lorenz // IEEE Trans. on Industry Applications. — 1998. — Vol. 34, no. 4. —P. 784-789.

81. Sensorless control strategy for salient-pole PMSM based on extended EMF in rotating reference frame [Text] / S. Morimoto, K. Kawamoto, M. Sanada, Y. Takeda // IEEE Trans. on Industry Applications. — 2002. — Vol. 38, no. 4. — P. 1054-1061.

82. Boussak, M. Implementation and experimental investigation of sensorless speed control with initial rotor position estimation for interior permanent magnet synchronous motor drive [Text] / M. Boussak // IEEE Trans. on Power Electronics. —2005. —Vol. 20, no. 6. —P. 1413-1422.

83. Kim, S.-Y. A new observer design method for HF signal injection sensorless control of IPMSMs [Text] / S.-Y. Kim, I.-J. Ha // IEEE Trans. on Industrial Electronics. —2008. —Vol. 55, no. 6. —P. 2525-2529.

84. Piippo, A. Analysis of an adaptive observer for sensorless control of interior permanent magnet synchronous motors [Text] / A. Piippo, M. Hinkkanen, J. Luomi // IEEE Trans. on Industrial Electronics. — 2008.— Vol. 55, no. 2.— P. 570-576.

85. Wang, Z. A simple startup strategy based on current regulation for back-EMF-based sensorless control of PMSM [Text] / Z. Wang, K. Lu, F. Blaabjerg // IEEE Trans. on Power Electronics. — 2012.— Vol. 27, no. 2. —P. 3817-3825.

86. De Belie, F.M.L. A sensorless drive by applying test pulses without affecting the average-current samples [Text] / F.M.L. De Belie, P. Sergeant, J.A. Melkebeek // IEEE Trans. on Power Electronics. — 2010. — Vol. 25, no. 4. —P. 875-888.

87. Preindl, M. Sensorless model predictive direct current control using novel second-order PLL observer for PMSM drive systems [Text] / M. Preindl, E. Schaltz // IEEE Trans. on Industrial Electronics. — 2011.— Vol. 58, no. 9.— P. 4087-4095.

88. Sastry, S. Adaptive control: stability, convergence and robustness [Text] / S. Sastry, M. Bodson. —[S. l.] : Courier Corporation, 2011.

89. Performance Enhancement of Parameter Estimators via Dynamic Regressor Extension and Mixing [Text] / S. Aranovskiy, A. Bobtsov, R. Ortega,

A. Pyrkin // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2017. — Vol. 62, no. 7. —P. 3546-3550.

90. Sensorless Control of IPMSM Based on Regression Model [Text] / J. Choi, K. Nam, A. A. Bobtsov, R. Ortega // IEEE Transactions on Power Electronics. —2018. —P. 1-1.

91. A globally exponentially stable position observer for interior permanent magnet synchronous motors [Text] / R. Ortega, B. Yi, K. Nam, J. Choi // CoRR. — 2019. — Vol. abs/1905.00833. — 1905.00833.

92. A robust globally convergent position observer for the permanent magnet synchronous motor [Text] / A. Bobtsov, A. Pyrkin, R. Ortega [et al.] // Automatica. — Nov. 2015. —Vol. 61. —P. 47-54.

93. Бобцов А.А. Пыркин А.А., Ортега Р. Адаптивный наблюдатель магнитного потока для синхронного двигателя с постоянными магнитами [Текст] / Ортега Р. Бобцов А.А., Пыркин А.А. // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. — 2015. — № 1. —С. 40-45.

94. A robust adaptive flux observer for a class of electromechanical systems [Text] / Anton A Pyrkin, Alexey A Vedyakov, Romeo Ortega, Alexey A Bobtsov // International Journal of Control. — 2018. — P. 1-11.

95. Bernard, Pauline. Robustness of rotor position observer for permanent magnet synchronous motors with unknown magnet flux [Text] / Pauline Bernard, Laurent Praly // IFAC-PapersOnLine. — 2017. — Vol. 50, no. 1. —P. 1540315408.

96. Adaptive Flux Observer for Nonsalient PMSM with Noised Measurements of the Current and Voltage [Адаптивный наблюдатель магнитного потока для неявнополюсного синхронного двигателя с постоянными магнитами в условиях шумов в измерениях силы тока и напряжения] [Text] / M.M. Sinetova,

A.A. Pyrkin, A.A. Bobtsov [et al.] // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2019.—Vol. 20, no. 4. —P. 215-218.

97. Marino, R. Induction Motor Control Design [Text] / R. Marino, P. Tomei, C. Verrelli. — [S. l.] : Springer-Verlag, 2010.

98. DREM-based Adaptive Observer for Induction Motors [Text] / Madina Sinetova, Anton Pyrkin, Alexey Bobtsov [et al.] // Conference on Control and Decision. — 2019. — 12. — P. 648-653.

99. Мирошник, И.В. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами [Текст] / И.В. Мирошник, В.О. Никифоров, Фрад-ков А.Л. —[Б. м.] : СПб.: Наука, 2000.

100. Stability of adaptive systems: Passivity and averaging analysis [Text] / Brian Anderson, Robert R Bitmead, C Richard Johnson Jr [et al.]. —[S. l.] : MIT press, 1986.

101. Khalil, H.K. Nonlinear Systems [Text] / H.K. Khalil // Prentice Hall. —2002.

102. Paden, B. A calculus for computing Filippov's differential inclusion with application to the variable structure control of robot manipulators [Text] /

B. Paden, S. Sastry // IEEE Trans. Circuits and Systems. — 1987. — Vol. 34. — P. 73-82.

103. Estimation of rotor position and speed of permanent magnet synchronous motors with guaranteed stability [Text] / R. Ortega, L. Praly, A. Astolfi [et al.] // IEEE Trans. on Control Syst. Techn. — 2011. — Vol. 19, no. 3. — P. 601-614.

104. Poulain, F. An observer for permanent magnet synchronous motors with currents and voltages as only measurements [Text] / F. Poulain, L. Praly,

R. Ortega // Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control. — 2009. —P. 5390 - 5395.

105. Sensorless Control of Surface-Mount Permanent-Magnet Synchronous Motors Based on a Nonlinear Observer [Text] / J. Lee, J. Hong, K. Nam [et al.] // Power Electronics, IEEE Transactions on. — 2010.— Vol. 25. —P. 290 - 297.

106. Malaize, J. Globally convergent nonlinear observer for the sensorless control of surface-mount Permanent Magnet Synchronous machines [Text] / J. Malaize, L. Praly, N. Henwood // Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control. —2012. —P. 5900-5905.

107. An Adaptive Flux and Position Observer for Interior Permanent Magnet Synchronous Motors [Text] / Madina Sinetova, Anton Pyrkin, Alexey Bobtsov [et al.] // IFAC-PapersOnLine. — 2019. — Vol. 52, no. 29. — P. 43 - 48.— 13th IFAC Workshop on Adaptive and Learning Control Systems ALCOS 2019. Access mode: http://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/S2405896319325613.

108. Lancaster, P. The Theory of Matrices [Text] / P. Lancaster, M. Tismenetsky. — [S. l.] : Academic Press, NY, 1985.

109. D.N. Gerasimov, R. Ortega. Relaxing the high-frequency gain sign assumption in direct model reference adaptive control [Text] / R. Ortega D.N. Gerasimov, V.O. Nikiforov // European Journal of Control, Vol. 43. —2018. —P. 12-19.

110. Kreisselmeier, G. Richness and excitation on an interval—with application to continuous-time adaptive control [Text] / G. Kreisselmeier, G. Rietze-Augst // IEEE Trans. Automatic Control, Vol. 35, No. 2. — 1990. —P. 165-171.

111. Bernard, P. Convergence of gradient observer for rotor position and magnet flux estimation of permanent magnet synchronous motors [Text] / P. Bernard, L. Praly // Automatica, Vol. 94. —2018. —P. 88-93.

112. A state observer for sensorless control of magnetic levitation systems [Text] / A.A. Bobtsov, A.A. Pyrkin, R.S. Ortega, A.A. Vedyakov // Automatica. — 2018. —Vol. 97. —P. 263-270.

113. Маргун, А.А. Алгоритм управления линейными объектами с измеряемым квантованным выходом [Текст] / А.А. Маргун, А.А. Бобцов, И.Б. Фур-тат // Автоматика и телемеханика. — 2017. — № 5. — С. 71-82.

114. Parameters estimation via dynamic regressor extension and mixing [Text] / S. Aranovskiy, A. Bobtsov, R. Ortega, A. Pyrkin // Proceedings of the American Control Conference. — 2016.—Vol. 2016-July. — P. 6971-6976.

115. Синетова М.М. Ведяков А.А., Пыркин А.А. Синтез наблюдателей для нелинейных систем на основе динамического расширения модели [Text] / Пыркин А.А. Синетова М.М., Ведяков А.А. // Навигация и управление движением: материалы XXI конференции молодых ученых с международным участием (Санкт-Петербург, 19-22марта 2019г.). — 2019. — P. 280-283.

116. Flux and Position Observer of Permanent Magnet Synchronous Motors with Relaxed Persistency of Excitation Conditions [Text] / Stanislav Aranovskiy, Alexey Bobtsov, Anton Pyrkin [et al.] // IFAC-PapersOnLine. — 2015. — Vol. 48, no. 11. —P. 301 - 306.

117. A robust nonlinear position observer for synchronous motors with relaxed excitation conditions [Text] / A. Bobtsov, D. Bazylev, A. Pyrkin [et al.] // International Journal of Control. — 2017.— Vol. 90, no. 4. —P. 813-824.

118. Leonhard, Werner. Control of electrical drives [Text] / Werner Leonhard. — [S. l.] : Springer Science & Business Media, 2001.

119. A New Approach for Flux and Rotor Resistance Estimation of Induction Motors [Text] / D.N. Bazylev, A. Doria-Cerezo, A.A. Pyrkin [et al.] // IFAC

Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline). — 2017.— Vol. 50, no. 1. —P. 18851890.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ (NOTATIONS)

г Е R2 сила тока (current)

р := — оператор дифференцирования

(the differentiation operator) t Е R+ время (time)

v Е R2 напряжение (voltage)

и Е Rm управляющие входы (control inputs)

х Е Rn переменные состояния (state variables)

у Е Rs выходные регулируемые переменные

(output control variables) L Е R индуктивность (inductance)

R Е R сопротивление (resistance)

j Е R момент инерции (rotor inertia)

Xm Е R магнитный поток от постоянных магнитов

(magnetic flux from permanent magnets) В Е R коэффициент вязкого трения (viscous friction coefficient)

пр Е N число пар полюсов (pole pairs number)

5 Е R2 возмущающее воздействие (disturbance)

9р Е Rp постоянные параметры (constant parameters)

в Е S := [0, 2п] угловое положение (angular position) и Е R угловая скорость вращения (angular velocity of rotation)

Л Е R2 магнитный поток (magnet flux)

tl Е R момент нагрузки на валу двигателя

(load moment on the motor shaft) те Е R крутящий электромагнитный момент

(electromagnetic torque)

АНОП PEBO ДРСР

DREM DREMBAO

СДПМ PMSM FLC PE

адаптивный наблюдатель с оценкой параметров parameter estimation based observer (метод) динамического расширения и смешивания регрессора

dynamic regressor extension and mixing (ДРСР) адаптивный наблюдатель на основе DREM (DREM based adaptive observer) синхронный двигатель с постоянными магнитами permanent magnet synchronous motors field logic controller

условие неисчезающего возбуждения (persistently excitetion)

Приложение А: Публикации по теме диссертации

2019 IEEE 58th Conference on Decision and Control (CDC) Palais des Congrès et des Expositions Nice Acropolis Nice, France, December 11-13, 2019

DREM-based Adaptive Observer for Induction Motors*

Anton Pyrkin1'2, Alexey Bobtsov1'2, Alexey Vedyakov1, Romeo Ortega3, Anastasiia Vediakova4, Madina Sinetova1

Abstract— In this paper we address the problems of observer design for induction motors (IM). The rotor resistance and load torque are supposed to be unknown. The only measured signals are stator current and control voltage. The approach is based on a new way of applying Dynamic Regressor Extension and Mixing method (DREM) to regression models with non-stationary parameters. Firstly, using partial changes of coordinates and filtering technique, IM model is represented in regression-like form. Applying DREM yields relations, which are used to construct flux observer and rotor resistance estimator. On the next step proposed method is applied again to obtain speed and load torque estimates. The proposed speed observer design can be also applied to the permanent magnet synchronous motors.

I. INTRODUCTION

The induction motors (IM) have relatively low cost and are using wide range of servo applications. The industry standard regulation approach is the so-called indirect field-oriented control (IFOC) [1]—[4]. However, it requires accurate knowledge of the rotor resistance, which may vary significantly during operation time.

The approaches which do not require knowledge of the rotor resistance are usually much more complicated [5], see [6], [4] for some theoretical and experimental evidence, or require additional measurements. In [7] a globally convergent adaptive IFOC requires measurement of the motor torque, in [8] controller requires rotor speed measurement, which is also required for resistance estimator proposed in [9].

Sensorless version for the direct field-oriented control is also extensively studied. A comparative study of Luenberger observer, sliding mode observer and extended Kalman filter is presented in [10]. However, these classical approaches require knowledge of all system parameters.

In this paper, a cascade scheme for induction motor observer design is described. The proposed parametrization

*The work was written as the part of the project for the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation, application unique identifier 2019-05-576-0001-8170 "Adaptive Force-Torque Control for Automatic Electric Welding Devices Working with Industrial Robotics Manipulators".

1 Anton Pyrkin, Alexey Bobtsov, Alexey Vedyakov and Madina Sinetova are with Faculty of Control Systems and Robotics, ITMO University, Kronverksky av., 49, 197101, Saint Petersburg, Russia, [e-mail]

2 Anton Pyrkin, Alexey Bobtsov are with Center for Technologies in Robotics and Mechatronics Components, Innopolis University, Innopolis, Russia

3 Romeo Ortega is with Laboratoire des Signaux et Systemes, CNRS-SUPELEC, Plateau du Moulon, 91192, Gif-sur-Yvette, France

4 Anastasiia Vediakova is with Department of Computer Applications and Systems, St.Petersburg State University, 7/9 Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russia

of the dynamic model allows to construct flux observer and resistance estimator. These estimates are using to apply the proposed method again to the induction motor model and estimate external load torque. On the last step, speed observer is constructed.

The remaining of the paper is organized as follows. In Section II we present the model of the IM and the problem formulation. The novel parametrization of the IM model is described in Section III. Sections IV-VI, contain the main results. In Section IV we present the new flux observer. The rotor resistance estimator is described in Section VI. Using flux and rotor resistance estimates in Section VI we propose the new speed observer and load torque estimator. In Section VII we present simulation results of an adaptive sensorless observer, which demonstrate the effectiveness of the proposed approach. Our work is wrapped-up with some conclusions in Section VIII.

II. PROBLEM FORMULATION

Consider the electrical dynamics of the fixed-frame model of the voltage-fed induction motor [3]

A = — I —r /2 - nvJu ) Л + Rr fîi,

L

di

L„a— = —(Rs + Rr e2)i

dt

+ в ( Rr /2 — npJu) Л + v

Lr

(1)

(2)

where A,i,v e R2 are the rotor flux, the stator current and the control voltage, respectively, w e R is the rotor speed, Ls, Rr, Lr, Rs, np,a are positive constants representing the stator inductance, rotor resistance, rotor inductance, stator resistance, number of pole pairs and leakage parameter, respectively. To simplify the notation, we defined 3 := M,

where M is the mutual inductance, and J :=

0 -1 1 0 .

The mechanical dynamics, on the other hand, is described

by

J(jj = —ПрвЛ Ji — Tl,

(3)

where J is the rotor inertia and TL is the load torque, which is assumed constant.

The goal is to design an observer for the rotor flux A and the speed w, assuming that the electrical parameters Ls, Rs and a are known, the current i, and the voltage v are measured, that is y = col(i, v), but Rr and TL are unknown. The importance of this problem can hardly be overestimated. Indeed, as is widely known [3], [11], the rotor resistance is

978-1-7281-1398-2/19/$31.00 ©2019 IEEE

648

r

highly uncertain and change with the motor temperature. On the other hand, the load toque is intrinsically uncertain and also (slowly) time-varying.

We assume that the external signals v and TL are such that the system (1)-(3) is forward complete and all the signals are bounded. Furthermore, we also assume that v and i are absolutely integrable. This assumption is consistent with the motor operation since, in steady-state, these signals are periodic of zero-mean.

III. PARAMETRIZATION

Instrumental for the solution of the problem is the key observation, made in Subsection 1.2 of the comprehensive book [11], that the flux and the current derivatives are related as

di

0A = -Rsi + v - —Ls- (4)

dt

which follows directly from (1)-(2).

Consider the following partial change of coordinates

£ = |A|2 (5)

and consider its derivative using (1)-(2) and equality AT J A = 0

where

£ = 2AtA

2A'

— ( R /2 - nPJw ) A + Rr ßi

Lr

—2 Rr £ + 2Rr ßA'i.

Lr

(6)

(LTI) filter p+a, where p := dt and a > 0, and apply it to

p + a

£ = —2

Rr

Lr p + a

aa £ + 2Rr ß

p + a

-A'

(7)

(8)

The model (7) may be represented as

r(y) = AVa(y) + Rr AVa(y)

- R

+ Rr <^(y) - |A|2 + e(t),

where ^a(y), ^c(y) are available (com-

putable) functions, e(t) is exponentially decaying term. The proof of proposition 1 is presented in the Appendix.

IV. FLUX OBSERVER Based on model (8) the flux observer is designed in 2 steps.

• Step 1 Using six different numbers a* we make the DREM [12] procedure and get six scalar equations (8) with respect to Rr, A, Rr A, and 2Rr | A |2.

• Step 2 Design the flux observer based on (4). Following the concept of dynamic regressor extension we

consider the set of linear filters

P+«i

with different ai > 0,

*(t) = $(t)e(t),

^(t) = col{^ai(t)} e R6,

&(*) = col {^ai(t) ^ai(t) ?f(t) 1},

$(t) = col {¿'(t)} e R6x6,

e(t)= (Rr A Rr A — 2Rr |A|2)

M T e R6

(10) (11) (12)

(13)

Proposition 1: Consider the stable, linear time-invariant _TI) filter the model (6)

Applying the next step of DREM procedure gives the following equations

Zi(t) = A$(t)R, (14)

C23 (t) = A$(t)A, (15)

C45 (t) = A$(t)Rr A, (16) - R

Ca(t) = -A$(t)-Rr | A |2, (17)

Lr

or in the matrix form

Z (t) = A$(t)0(t), (18)

where

Z(t) := {Zi(t)} = 7dadj{7d$(t)}^(t), (19) A$(t) = det{7d$(t)}, (20)

Yd is non-zero constant.

Proposition 2: Consider the model of the IM (1)—(2), equation (15) and define the flux observer

—L,

A = - i + X, (21)

1 R

X = 1 v - Ri + 7AA$(t)(Z23(t) - AA$(t)), (22)

where j\ > 0 is a tuning gain. If A$(t) is PE [13], then

|A - A(t)| < CAe-^,

where CA and pA are positive constants. Proof: Defining the observation error

A(t) = A - A(t),

(23)

(24)

using the system dynamics equation (4), the observer equations (21)-(22), and relation (15) we get the error dynamics

A(t) = A — A(t)

• <rL., di

= A +

X

ß dt

= —7AA$(t)(C2s(t) — AA|(t)) = —7*A|(t)A.

(25)

i = 1,6, filtered signals ^ai(t), <^ai(t), ^(t), <^ai(t) and obtain a matrix equation

(9)

Solving the scalar differential equation (25) we conclude that from persistently exciting property of A$(t) follows

|A - Â(t)| < CAe-^,

which is the desired conclusion. ■

649

a

V. ROTOR RESISTANCE ESTIMATION

The rotor resistance estimate also can be reconstructed from the same model (18).

Proposition 3: Consider the equation (14) and the update law

Èr(t) = YrA*(t) [Ci(t) - RrA$(t)] , (26) where jr > 0. Persistent excitation of A$(t) guarantees that

(27)

(28)

(29)

R

X + X — Rr ßi = npJ Xu, Lr

JU = —npßXT Ji — TL which can be represented in the following form

z(t) = TLq1{t)+ uq2(t),

(30)

(31)

(32)

where

z(t) =

a , s aP w N

ci(t) + —^~ X(t)

p + a 1

+

p + a

p + a

mi(t) PT~ad{t)

/x 11

J p + a

p + a

d(t)

q2(t)= ,

p + a mi(t) = —

d(t),

npßX Ji J '

R

ci (t) = X — Rr ßi,

Lr

d(t) = npJ X,

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

The dimension of the flux and current signal is 2: A e R2, i e R2. It is mean that equation (32) consists of two equations, which can be represent in the matrix form

z(t) = Q(t)

TL

(39)

|Rr(t) - Rr |< CRe-pRt,

where CR and pR are positive constants. Proof: Defining the observation error

and substituting (26) we obtain

R r = —R r = —Yr A^(t)Rr.

Again from persistent excitation of A$ (t) follows

At) — A| < Cxe-p^,

which completes the proof. ■

VI. ROTOR SPEED OBSERVER AND LOAD TORQUE ESTIMATION

In this section we design speed w observer and the load torque TL estimator applying the same method again and substituting Rr, A instead of the unknown resistance and flux.

Consider the equations obtained from IM model (1)-(3):

where Q = [qi q2].

Applying DREM to (39) yields two scalar equations

Zi(t)= Tl\(t), Z2(t) = uAq (t),

(40)

(41)

where

adj{Q(t)}z(t), Aq (t) = det{Q(t)}.

Substituting 'A(t) and Rr to (37)-(38) gives measurable signals ci(t), A(t), mi(t), d(t) and consequently Z\(t), Z2(t), and Aq(t). Then update law

Tl (t) = YlA q (t) [Zi(t) — TlA q (t)] , (42) where yl > 0, and Aq (t) is PE guarantees that

\TL(t) — Tl|< CLe-pLt, (43)

where CL and pL are positive constants.

On the last, step we use all obtained estimates and construct speed observer in the following form

U(t) = K(t),

K(t) = — J TL(t) + m i(t)

+ Yu A q (t) \Z2(t) — K(t)A q (t)

(44)

(45)

where > 0. Similar to the previous cases it can be shown that for persistently exciting Aq (t) this observer guarantees that

|U(t) — u(t)| < Cue-p-t1

(46)

where Cu and pu are positive constants.

Remark 1: Notice that the same steps can be taken to obtain similar speed observer for permanent magnet synchronous motors (PMSM), because equation (31) is the same in the both cases.

VII. SIMULATION RESULTS

The proposed observers and estimators have been tested via numerical simulations. The IM is controlled by the standard field-oriented control [2]

r t

vdq = Kp(ifq — idq) + Ki ^ — idq )dT.

j 0

where (^)dq = e J&^)ab,

a > 0.

S = arctan ( X-

Xa

(47)

(48)

650

u

Rr — R — R

a

and the current references are generated as

= ■>'' + RM

KApeA + Ka^ eAdrj

•ref

K e + K

M'Aab P

with the error signals

eA := 'Aab|ref — 'Aab', e^ = wref — w,

(49)

(50)

(51)

(52)

and the six tuning gains K(.) > 0 to be fixed.

The IM parameters are same as in [9]: Ls = 140 mH, Lr = 140 mH, M = 117 mH, Rs = 1.7fi, Rr = 3.9fi, Jm = 0.00011 kgm2. The amplitude of the rotor flux reference was chosen to be |Aab|re/ = 0.0455 Wb, and the reference speed was slightly drifted signal around 40 rad/s (see Fig. 2b), with the following initial conditions 0(0) = -3 rad, w(0) = 0 rpm, A(0) = (0.02,0) Wb. The controller tuning gains were selected as Kp = 100, K = 100, KAp = 10, KAi = 100, Kwp = 10 and = 10.

The observers parameters: Yd = 1000, a1 = 10, a2 = -0, a3 = 30, a4 = 40, a5 = 50, a6 = 100, ya = 0.001, Yr = 0.0001, = 106, ytl = 106. The observer start working after two seconds, before that the observer input signal is zero instead of measures.

In Figs. 1a demonstrates performance of flux observer. The transitions for rotor resistance is shown in Fig. 1b. In Fig. 2b the real value, estimate and estimation error of rotor speed are depicted. The estimate of external load is depicted in Fig. 2a.

VIII. Conclusion

The paper is devoted to the problem of observer design for induction motors. It is assumed that stator voltages and currents are available for measurement and that all parameters of the IM except rotor resistance are known. Load torque is assumed to be unmeasured and constant (or slowly time-varying). The proposed algorithm proceeds in three steps. First, the IM model is reparameterized and rotor resistance estimator and flux observer are constructed. These estimates are used on the next step and allow to apply the proposed method again to construct external load torque estimate. Finally, rotor speed observer is designed.

The main advantage of the proposed observer that it does not require knowledge of rotor resistance, which varies significantly with temperature, frequency, and current amplitude. Moreover, it provides the estimate for this important parameter, which can be used in the controller, for example, IFOC.

However, due to the cascade structure of the proposed observer, it requires the usual, hardly verifiable persistent excitation (PE) condition.

References

[1] P. C. Krause, Analysis of electric machinery. McGraw Hill, 1986.

New York, USA:

[2] W. Leonhard, Control of electrical drives. Springer Science & Business Media, 2001.

[3] K. H. Nam, AC motor control and electrical vehicle applications. CRC press, 2010.