Методы оценивания параметров гармонических сигналов в режиме реального времени с введением запаздывания тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Ведякова Анастасия Олеговна

• Ведякова Анастасия Олеговна
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Ведякова Анастасия Олеговна

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность и обзор публикаций по теме работы

Цель и основные результаты исследований

Глава 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ

СИГНАЛОВ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ С ВВЕДЕНИЕМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

1.1 Обобщенная постановка задачи

1.2 Несмещенный синусоидальный сигнал с постоянными параметрами

1.2.1 Оценивание параметра регрессионной модели

1.2.2 Оценивание частоты

1.2.3 Сходимость ошибки оценивания частоты

1.2.4 Численное моделирование алгоритма оценивания частоты

1.3 Построение линейной регрессионной модели для сигнала, состоящего из двух гармоник с постоянными параметрами

1.4 Параметризация для общего случая сигнала с постоянными коэффициентами, включающего п гармоник

1.5 Метод динамического расширения и смешивания

регрессора (ДРСР)

1.6 Построение оценок частот

1.7 Построение оценок для амплитуд и фаз

1.8 Численное моделирование алгоритма оценивания параметров полигармонического сигнала

1.8.1 Результаты моделирования алгоритма оценивания параметров полигармонического сигнала

1.8.2 Сравнительный анализ алгоритмов оценивания частот полигармонического сигнала на основе численного моделирования

1.9 Выводы по главе

Стр.

Глава 2. ОЦЕНИВАНИЕ ЧАСТОТЫ СИНУСОИДАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ С ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ ВО ВРЕМЕНИ ПАРАМЕТРАМИ С ВВЕДЕНИЕМ

ЗАПАЗДЫВАНИЯ

2.1 Обобщенная постановка задачи

2.2 Гармонический сигнал с изменяющейся амплитудой

2.2.1 Построение линейной регрессионной модели

2.2.2 Оценивание параметра регрессионной модели

2.2.3 Оценивание частоты

2.2.4 Сходимость ошибки оценивания

2.2.5 Численный эксперимент

2.3 Смещенный синусоидальный сигнал с изменяющейся амплитудой

2.3.1 Построение линейной регрессионной модели

2.3.2 Оценивание параметров регрессионной модели

2.3.3 Оценивание частоты

2.3.4 Численный эксперимент

2.4 Гармонический сигнал с переменными амплитудой и фазой

2.4.1 Построение линейной регрессионной модели

2.4.2 Оценивание параметров регрессионной модели

2.4.3 Оценивание частоты и сходимость ошибки оценивания

2.4.4 Численный эксперимент

2.5 Смещенный гармонический сигнал с экспоненциально затухающей амплитудой

2.5.1 Построение регрессионной модели, зависящей от частоты

и коэффициента затухания

2.5.2 ДРСР и релаксационные методы

2.5.3 Оценивание частоты и коэффициента затухания

2.5.4 Численное моделирование

2.6 Выводы по главе

Глава 3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ

ПАРАМЕТРОВ ГАРМОНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ В ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ

Стр.

3.1 Оценивание угловой скорости вращения ротора синхронного двигателя с постоянными магнитами

3.1.1 Постановка задачи

3.1.2 Основной результат

3.1.3 Упрощенная схема оценивания частоты

3.1.4 Результаты численного моделирования

3.1.5 Выводы по разделу

3.2 Оценивание основной частоты морского волнения для многоцелевого управления в системах динамического позиционирования

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Структура динамического регулятора

3.2.3 Оценивание частот гармонического возмущающего воздействия

3.2.4 Численное моделирование

3.2.5 Выводы по разделу

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы оценивания параметров гармонических сигналов в режиме реального времени с введением запаздывания»

Актуальность и обзор публикаций по теме работы

Задача оценивания параметров полигармонического сигнала в режиме реального времени является важной и актуальной проблемой в теории автоматического управления. Ее решение применимо при обработке сигналов, разработке систем управления, в биоинженерии, навигации, приборостроении, измерении сигналов, а также в энергетике [1]. Как правило, многие электрические, механические и акустические сигналы могут быть представлены как сумма синусоид и шума. Однако, во многих практических задачах, например, активной компенсации внешних возмущающих воздействий, амплитуды, фазы и частоты гармоник заранее неизвестны и должны быть оценены в ходе работы. Следует отметить, что задача идентификации параметров гармонического сигнала является важной теоретической задачей из-за нелинейной зависимости сигнала от неизвестной частоты, препятствующей применению стандартных техник [2].

Наиболее часто используемым методом обработки сигналов с постоянными параметрами является быстрое преобразование Фурье (БПФ). В частности, подходы базирующиеся на БПФ получили применение при распознавании эмоций человека на основе сигнала с электроэнцифалографа [3], при анализе сейсмической активности [4] и пр. Однако, как известно, точность БПФ значительно ухудшается, если частоты сигналов меняются во времени [5]. Более того, БПФ работает с наборами измерений входного сигнала и требует достаточно больших ресурсов памяти, особенно когда требуется высокая точность получаемых оценок. Несмотря на простоту и эффективность метода для сигналов с постоянными параметрами, БПФ редко применяется в практических задачах, требующих построение оценок параметров входного сигнала в режиме реального времени.

Альтернативными подходы для оценивания параметров полигармонических сигналов основаны на

— фильтрах Калмана и расширенных фильтрах Калмана [5; 6];

— адаптивных режекторных фильтрах (Adaptive Notch Filter или ANF) [2;

7] и их модификациях [8; 9];

— фазовой автоподстройке частоты (Phase-Locked-Loop или PLL) [10-12].

Упомянутые подходы нашли применение в промышленности и энергетических системах [13; 14], при решении задач мониторинга и оценки качества электроэнергии. Основным недостатком этих подходов является локальная сходимость ошибки оценивания параметров к нулю, что сказывается на качестве управления при применении оценок в контуре обратной связи. Получаемые оценки перестают сходиться к реальным значениям, например, при резком изменении значения частоты или в случае полигармонического сигнала с узким частотным разделением [5; 15].

Качественно иной подход к оцениванию параметров полигармонического сигнала, основанный на адаптивном наблюдателе, представлен в работах [1623]. Основным достоинством этого идентификационного подхода является глобальная сходимость ошибок оценивания параметров к нулю. Первый алгоритм этого класса для синусоидального сигнала без смещения, предложенный в [24], был основан на адаптивном режекторном фильтре, а синтезируемый наблюдатель имел размерность равную 3. Другой алгоритм [22] описывает адаптивный наблюдатель порядка 5n для оценивания n частот и неизвестного смещения. В публикациях [16-18] предлагается схема оценивания размерности 3n + 1 для построения оценок всех 3n + 1 параметров, включающих частоты, амплитуды, фазы n гармоник, входящих в сигнал, и постоянное смещение. В более поздних работах [21; 23] получен алгоритм идентификации минимальной динамической размерности 3n для смещенного полигармонического сигнала. Заметим, что размерность динамического наблюдателя напрямую влияет на сложность реализации и быстродействие алгоритма идентификации. Дальнейшее развитие данного подхода нацелено на улучшение качества получаемых оценок при наличии шума в измерениях [25; 26].

Общий недостаток упомянутых подходов к оцениванию параметров полигармонического сигнала заключается в том, что частоты гармоник не оцениваются напрямую. Как правило, сначала оцениваются коэффициенты полинома, корни которого связаны с частотами исходного сигнала. Таким образом, для построения оценок частот, необходимо отыскать корни полинома с динамически изменяющимися коэффициентами, что существенно увеличивает вычислительную сложность алгоритма при наличии большого количества

гармоник в измеряемом сигнале. В работах [27], [28], [29] предложены новые адаптивные наблюдатели, позволяющие устранить упомянутый недостаток и получить оценку частоты напрямую без необходимости дальнейшей обработки.

Несмотря на большое количество работ, посвященных задаче оценивания параметров полигармонического сигнала в режиме реального времени, при реализации их на практике исследователи сталкиваются с большим количеством трудностей. В частности, настройка параметров алгоритма с обеспечением заданных показателей качества, например, быстродействия. Решению указанной задачи посвящена первая глава данной работы.

Описанные выше идентификационные алгоритмы разработаны для полигармонических сигналов с постоянными параметрами. Однако, с практической точки зрения, оценка параметров в режиме реального времени особенно важна для сигналов с переменными параметрами, например, для обнаружения неисправностей в электроэнергетических системах [30]. Для сигналов с медленно меняющимися значениями параметров или с кусочно-постоянными параметрами, могут быть применены упомянутые подходы [18; 23; 25; 29; 31]. В других случаях необходимо явно учитывать изменения параметров сигнала во времени. Например, подход к построению оценки частоты синусоидального сигнала с изменяющейся во времени амплитудой G(t) = + G\t предложен в [32].

Построения оценок частот является важным начальным этапом для анализа гармонических сигналов с изменяющимися параметрами в различных областях науки и техники: для гидролокаторов, радаров, в биомедицине, телекоммуникациях, для обнаружении неисправностей [33-36], в маятниковых системах [37]. Эта же проблема актуальна и при решении задач, связанных с навигационными приложениями, в том числе при определении параметров гравитационного поля от движущихся объектов [38].

При синтезе законов управления с обратной связью, для объектов управления, находящихся под действием синусоидального внешнего возмущения, частота является основным параметром, который должен оцениваться в режиме реального времени. Согласно [39], компенсирующее управление с обратной связью должно содержать синусоидальный сигнал той же частоты, что и возмущающий сигнал.

Важным классом гармонических сигналов с изменяющимися во времени параметрами являются экспоненциально затухающие сигналы, которые широко представлены среди природных и технических колебательных процессов, на-

пример, распространение акустических волн или взаимодействие компонентов энергосистем [40]. В энергосистемах параметрическая оценка таких сигналов может быть использована в отказоустойчивом управлении для обнаружения и ослабления дестабилизирующих колебаний. Для экспоненциально затухающих сигналов не выполняется условие незатухающего возбуждения, что затрудняет применение стандартных методов идентификации [41].

В работе [42] представлен адаптивный алгоритм оценивания параметров сигнала, состоящего из суммы экспоненциально затухающих гармоник, основанный на принципе внутренней модели. Однако, для упомянутого алгоритма модель ошибки является лишь локально экспоненциально устойчивой, в результате чего ошибка оценивания зависит от выбора параметров алгоритма и начальных условий.

Другой алгоритм оценивания параметров экспоненциально убывающего гармонического сигнала предложен работе [43] и основан на применении интегрального оператора Вольтерра. Описанный алгоритм обеспечивает сходимость ошибок оценивания параметров к нулю за конечное время. Однако в [44] было показано, что получаемые оценки могут дрейфовать при наличии шума в измерениях при приближении экспоненциально затухающей амплитуды к нулю.

Одной из актуальных областей применения предложенных в работе алгоритмов является бездатчиковое управление, которое широко применяется в электромеханических системах. В таких технических объектах, зачастую, доступно измерение электрических сигналов, а датчики для измерения механических величин (положения и скорости) отсутствуют. Бездатчиковое управление востребовано при конструктивных ограничениях, а так же по экономическим соображениям. Кроме того, полученные оценки могут использоваться для повышения отказоустойчивости системы в качестве средства резервирования.

Одним из примеров электромеханической системы, для которой актуально бездатчиковое управление, является синхронный двигатель с постоянными магнитами (СДПМ) или вентильный двигатель [45-47]. Для синтеза закона управления с обратной связью требуется измерение угловой скорости вращения ротора. При использовании векторного управления необходима информация о положение ротора. Следовательно, возникает необходимость размещения датчиков положения и скорости, либо построение наблюдателей.

В литературе описаны наблюдатели положения ротора, например [48; 49], которые обеспечивают удовлетворительную оценку на средних и высоких

скоростях. Подходы, использующие основные частотные составляющие напряжений и токов статора [50-52], чувствительны к смещению и неопределенности параметров, что может приводить к ошибкам. Отдельно стоит упомянуть методы [53; 54], использующие введение дополнительного тестового сигнала, имеющие хорошие точностные и динамические характеристики. Однако, введение тестовых сигналов приводит к увеличению потерь и связано с рядом сложностей при практической реализации.

Другой важной областью применения описанных в работе идентификационных методов является синтез законов управления для объектов, находящихся под влиянием внешних возмущений. Отдельно стоит отметить разработку систем динамического позиционирования (ДП), которые широко используются в различных областях, таких как гидрография, морское строительство, исследование затонувших судов, прокладка подводных кабелей и т. д. [55-58].

На сегодняшний день существует широкий спектр публикаций, связанных с различными вопросами проектирования систем ДП [55-57; 59]. В работах [55;57; 59] предлагается структура закона управления ДП с использованием нелинейных асимптотических наблюдателей, обеспечивающая глобальную асимптотическую устойчивость, и обосновывается возможность независимой настройки компонент регулятора. В работе [55] этот подход модифицирован с использованием теории многоцелевого управления [60; 61] с целью получения экономичного режима управления судном.

Раздел 3.2 данной работы посвящен проектированию закона управления, решающего задачу ДП с учетом влияния внешних возмущений гармонического характера. Одной из основных задач синтезируемого динамического регулятора является подавление высокочастотных составляющих во входных сигналах исполнительных механизмов, обеспечивающее экономичный режим управления. В отличие от [55], где предполагается, что значение основной частоты внешнего возмущения известно, в данной работе оно оценивается в режиме реального времени с применением разработанных алгоритмов идентификации.

Цель и основные результаты исследований

Таким образом, данное диссертационное исследование посвящено актуальной проблеме теории управления.

Целью данной работы является разработка методов оценивания параметров гармонических сигналов в режиме реального времени, обеспечивающих глобальную сходимость ошибки оценивания к нулю.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие задачи:

1. Синтезировать адаптивный алгоритм оценивания частот несмещенного полигармонического сигнала с постоянными параметрами на основе параметризации запаздыванием. Доказать экспоненциальную сходимость ошибки оценивания частоты к нулю.

2. Разработать алгоритм оценивания частот полигармонического сигнала, гарантирующего сходимость оценок параметров к истинным значениям за конечное время.

3. На основе полученных оценок частот разработать алгоритм идентификации амплитуд и фаз всех гармоник измеряемого сигнала.

4. Синтезировать адаптивный алгоритм идентификации частоты несмещенного гармонического сигнала с изменяющейся во времени амплитудой. Доказать экспоненциальную сходимость ошибки оценивания частоты к нулю.

5. Разработать упрощенный алгоритм идентификации частоты смещенного гармонического сигнала с изменяющейся во времени амплитудой.

6. Разработать метод построения оценки частоты гармонического сигнала с изменяющимися во времени амплитудой и фазой без использования обратных тригонометрических функций. Доказать экспоненциальную сходимость ошибки оценивания к нулю.

7. Разработать методы релаксации, обеспечивающие сходимость ошибки оценивания параметров к нулю при невыполнении условия незатухающего возбуждения.

8. Синтезировать наблюдатель постоянной угловой скорости вращения ротора синхронного двигателя с постоянными магнитами при наличии постоянной нагрузки.

9. Синтезировать многоцелевой закон управления морскими системами динамического позиционирования при наличии полигармонических внешних возмущений.

10. Провести компьютерное моделирование разработанных алгоритмов и сравнить полученные результаты с существующими алгоритмами оценивания.

Научная новизна:

1. Разработан новый алгоритм идентификации параметров несмещенного полигармонического сигнала за конечное время.

2. Разработаны новые алгоритмы оценивания частот гармонических сигналов с изменяющимися параметрами.

3. Впервые предложены два метода релаксации, применимые к регрессионным моделям, регрессор которых не удовлетворяет условию незатухающего возбуждения. Алгоритмы идентификации параметров линейной регрессии, основанные на предложенных методах, обеспечивают экспоненциальную сходимость к нулю ошибок оценивания.

4. Предложен новый алгоритм оценивания угловой скорости вращения ротора синхронного двигателя.

5. Впервые рассмотрен вопрос применимости разработанного подхода в задачах многоцелевого управления морскими судами, находящихся под влиянием полигармонических внешних возмущений.

Теоретическая значимость полученных результатов заключается в развитии теории оценивания параметров полигармонических сигналов. Практическая значимость обуславливается тем, что разработанные методы могут быть эффективно применены для широкого класса прикладных задач. В частности, для технических объектов, находящихся под воздействием внешней среды, которая может быть математически описано как полигармонический сигнал или гармонический сигнал с изменяющимися параметрами: морские волны, течение, ветер, вибрации.

Другим применением предложенного подхода является бездатчиковое управление, обеспечивающее оценку компонент вектора состояния: частота вращения ротора синхронного двигателя, угловое положение и другие.

Методы исследования. При получении теоретических результатов использовались общие методы алгебры многочленов, теории матриц. Для доказательства устойчивости применялся метод функций Ляпунова. Апробация

полученных алгоритмов проводилась численным моделированием в программной среде MATLAB Simulink.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новый метод оценивания постоянных параметров полигармонического сигнала за конечное время.

2. Новые методы оценивания частоты гармонических сигналов с изменяющимися во времени параметрами, основанные на построении линейной регрессионной модели и расчете оценок с применением градиентного метода совместно с ДРСР, обеспечивающие экспоненциальную сходимость ошибки оценивания к нулю.

3. Два метода релаксации, позволяющие получать оценки неизвестных параметров регрессионной модели, при невыполнении условия незатухающего возбуждения.

Достоверность полученных результатов, представленных в диссертационной работе, подтверждается:

— аналитическими доказательствами применимости предложенных алгоритмов к оцениванию параметров гармонических сигналов и экспоненциальной сходимости полученных оценок;

— представленными в диссертации результатами численного моделирования предложенных алгоритмов;

— печатными работами, а также докладами на международных конференциях.

Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и конгрессах:

— Международный конгресс «Современные проблемы компьютерных и информационных наук», Москва, Россия, 2020 [62];

— Всемирный конгресс международной федерации автоматического управления 2020 (IFAC 2020 World Congress), Берлин, Германия, 2020;

— Европейская конференция по управлению (European Control Conference), Санкт-Петербург, Россия, 2020 [63];

— IV Международная научная конференция «Конвергентные когнитивно-информационные технологии», Москва, Россия, 2019 [67];

— 17-й семинар по применению оптимизации в управления международной федерации автоматического управления, Екатеринбург, Россия, 2018 [68];

— 25-я Средиземноморская конференция по управлению и автоматизации (25th Mediterranean Conference on Control and Automation), Валлетта, Мальта, 2017 [64];

— Всемирный конгресс международной федерации автоматического управления 2017 (IFAC 2017 World Congress), Тулуза, Франция, 2017 [65].

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 научных работах [44; 62-70], в том числе в изданиях, индексируемых в наукометрических базах данных Web of Science и Scopus — 9 публикаций [44; 63-70].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 140 страниц, включая 57 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 85 наименований.

Глава 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ С ВВЕДЕНИЕМ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

В главе представлены методы оценивания амплитуд, фаз и частот несмещенных полигармонических сигналов с постоянными параметрами, предложенные в работах [64;66]. Основной идеей является применение запаздывания и получения регрессионной модели, регрессор и зависимая переменная которой выражаются через известные функции, в то время как постоянный вектор зависит от неизвестных параметров сигнала. Для идентификации модели линейной регрессии используется градиентный метод совместно с методом Динамического Расширения и Смешивания Регрессора [71] (ДРСР). Сформулированы условия, при выполнении которых обеспечивается экспоненциальная сходимость к нулю ошибок оценивания. Предлагается идентификационный алгоритм, позволяющий построить оценки параметров полигармонического сигнала за конечное время.

1.1 Обобщенная постановка задачи

Рассматривается измеряемый полигармонический сигнал

n

y (t) = X Ai sin (üí + 6i), (1.1)

i=i

где !i 2 R+ — частоты сигнала, Ai 2 R — постоянные амплитуды, 6i 2 R — фазы, i = 1,n, n — число гармоник сигнала y(t). Параметры !i, Ai и 6i считаются неизвестными.

Вводится следующее допущение.

Допущение 1. Для частот !i сигнала (1.1) известны нижняя ш и верхняя ш границы, причем 0 < ш 6 ! 6 ! при i = l,n.

Допущение 1 не накладывает жестких ограничений и может быть обеспечено в каждой практической задаче. Требуется, чтобы значения частот

отличались от нуля и были конечными. Тем не менее, в каждом конкретном случае, границы могут быть выбраны таким образом, чтобы содержать все требуемые значения.

Требуется построить оценки частот cu¿(t) и Cuft(t), амплитуд Á¿(t) и Áft(t), фаз S¿(t) и Sft(t), i = 1,n так, чтобы

1. Оценки cu¿(t), áá¿ (t) и S¿ (t) обеспечивали экспоненциальную сходимость ошибок оценивания с!¿(t) := c¿-си¿(t), Á4.i(t) := Á¿ — Á¿(t) и S¿(t) := S¿ — S¿(t) к нулю, то есть должны найтись положительные коэффициенты ccí, caí, csí, aci, aA¿, as¿, to 2 R+, такие что

| шi(t)| 6 Ccie-*, (1.2)

|Á¿(t)| 6 CA¿e—aAít, 8t > to, i = Щ, (1.3)

|Si(t)| 6 Cs¿e—a6it. (1.4)

2. Оценки cuft(t), Áft(t) и Sft(t) обеспечивали сходимость ошибок оценивания Cf (t) := a¿¿ — ccf (t), Áf (t) := A¿ — Áf (t) и Sf (t) := S¿ — Sf (t) к нулю за конечное предопределенное время tf > 0, то есть справедливы следующие соотношения

|Cf(t)| =0, |Á¿(t)| =0, |S¿(t)| =0, 8t > tft, i = 1^. (1.5)

Поставленная задача решается для различных вариантов сигнала (1.1): содержащих одну, две и n гармоник. Применяется каскадный подход для построения оценок неизвестных параметров (1.1). На первом этапе рассматривается вопрос оценивания частот c¿ измеряемого сигнала y(t) и экспоненциальная сходимость к нулю ошибок оценивания cc¿(t). На втором этапе, основываясь на полученных оценках cu¿(t), i = 1,n, оцениваются амплитуды Á¿ и фазы S¿. На каждом из двух этапов строятся линейные регрессионные модели, описывающие взаимосвязь измеряемых сигналов и постоянного неизвестного вектора, зависящего от параметров исходного гармонического сигнала. Для регрессионных моделей порядка выше первого, т. е. n > 1, применяется метод ДРСР [71], позволяющий перейти от линейной регрессии n-го порядка к n независимым линейным регрессионным моделям первого порядка. Далее, используя метод стандартного градиентного спуска, строятся оценки для неизвестных параметров полученных регрессионных моделей первого порядка. На последнем шаге восстанавливаются значения Cu¿(t) частот, Á¿(t) амплитуд и S¿ (t) фаз, используя

найденные оценки параметров регрессионных моделей, и доказывается экспоненциальная сходимость ошибок оценивания к нулю.

Отдельно в разделе 1.2 рассмотрена задача оценивания частоты для случая сигнала с одной гармоникой, описанная в работе [64]. Полученная на первом этапе регрессионная модель имеет первый порядок, поэтому нет необходимости использовать метод ДРСР. В подразделе 1.2.1 применяется метод градиентного спуска для построения оценки параметра регрессионной модели и доказывается экспоненциальная сходимость к нулю невязки найденного значения параметра от его истинного значения. Далее в подразделах 1.2.2 и 1.2.3 описывается восстановление частоты исходного сигнала и доказывается экспоненциальная сходимость ошибки оценивания к нулю. На втором этапе для оценки амплитуды и фазы сигнала с одной гармоникой строится регрессионная модель второго порядка, что подходит под общий случай и рассматривается в разделе 1.7. В подразделе 1.2.4 представлены результаты численного моделирования, иллюстрирующие эффективность предложенного алгоритма оценивания частоты для сигнала, содержащего одну гармонику.

Раздел 1.3 посвящен задаче построения линейной регрессионной модели для нахождения частот сигнала, состоящего из двух гармоник. Полученная регрессионная модель подтверждает правильность результатов для общего случая из п гармоник.

Задачей раздела 1.4 является построение линейной регрессионной модели для сигнала, состоящего из п гармоник, содержащей измеряемые сигналы и постоянный вектор, зависящий от неизвестных частот ш^, г = 1,п [66].

В разделе 1.5 описывается метод ДРСР [71], который позволяет перейти от регрессионной модели п-го порядка к п независимым регрессионным моделям первого порядка.

Для полученных регрессионных моделей первого порядка в разделе 1.6 применяется модифицированный градиентный метод [72], позволяющий получать оценки неизвестных параметров 6^, г = 1,п за конечное время.

В разделе 1.7 на основе оценок частот, по аналогии с разделом 1.4, строится линейная регрессионная модель порядка 2п, вектор неизвестных параметров которой зависит от амплитуд А и фаз 6^, г = 1,п сигнала (1.1). Применяется метод ДРСР для сведения задачи к случаю 2п независимых регрессионных моделей первого порядка. Используется модифицированный метод градиентного

спуска для построения оценок скалярных параметров за конечное время. На их основе восстанавливаются значения амплитуд и фаз исходного сигнала.

В разделе 1.8 представлены результаты численного моделирования, иллюстрирующие эффективность предложенного алгоритма оценивания параметров полигармонического сигнала.

1.2 Несмещенный синусоидальный сигнал с постоянными

параметрами

Рассмотрим несмещенный синусоидальный сигнал с постоянными параметрами вида

у (*) = А вт(шг + 6), (1.6)

где в соответствии с (1.1) сигнал содержит одну гармонику п = 1, и введены обозначения для сокращения записи ш := ш1 — частота, А := А1 — постоянная амплитуда, 6 := 61 — фаза. Параметры А, ш и 6 считаются неизвестными.

Построим линейную регрессионную модель, зависящую от неизвестной частоты ш синусоидального сигнала (1.6).

Наряду с измеряемым сигналом у(£) рассмотрим запаздывающие сигналы:

У1(()= |У(г - Т1), если * > ТЬ (1.7)

I 0, если * < т1,

У2(*)= |у(г - т^ если * > Т2, (18)

I 0, если * < т2,

где Т1, Т2 2 — постоянные величины запаздывания и т1 < Т2.

Для запаздывающих сигналов у1(*) и у2(*) распишем синус разности аргументов и перейдем к соотношениям

у1(*) = Ас1 8т(ш£ + 6) - Ай1 еоз(ш£ + 6), (1.9)

у2(*) = Ас2 + 6) - Ай2 ео8(ш* + 6), (1.10)

где t > т2 и введены обозначения:

ci = cos !Ti, si = sin !Ti, (1.11)

c2 = cos !T2, s2 = sin !T2. (1.12)

Замечание 1. Введем ограничения на выбираемую величину запаздывания т1 из (1.7):

я

Ti < =. (1.13)

!

Утверждение 1. Измеряемые сигналы (1.6), (1.9) и (1.10), при выполнении условия из замечания 1, связаны тождеством:

^(t) = '(t)ci, (1.14)

где ^(t) 2 R, '(t) 2 R, ci 2 R — параметр из соотношения (1.11).

Доказательство. Приведем доказательство данного утверждения.

Умножим сигнал (1.6) на ci и вычтем из него (1.9), тогда получим

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ведякова Анастасия Олеговна, 2021 год

Список литературы

1. Bodson Marc, Fedele Giuseppe. Editorial for the special issue on recent advances in adaptive methods for frequency estimation with applications // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. — 2016. — Vol. 30, no. 11.

— Pp. 1547-1549.

2. Hsu Liu, Ortega Romeo, Damm Gilney. A globally convergent frequency estimator // IEEE Transactions on Automatic Control. — 1999. — Vol. 44, no. 4.

— Pp. 698-713.

3. Murugappan M, Murugappan Subbulakshmi. Human emotion recognition through short time Electroencephalogram (EEG) signals using Fast Fourier Transform (FFT) // 2013 IEEE 9th International Colloquium on Signal Processing and its Applications / IEEE. — 2013. — Pp. 289-294.

4. Spyers-Ashby JM, Bain PG, Roberts SJ. A comparison of fast Fourier transform (FFT) and autoregressive (AR) spectral estimation techniques for the analysis of tremor data // Journal of neuroscience methods. — 1998. — Vol. 83, no. 1.

— Pp. 35-43.

5. Bittanti Sergio, Savaresi Sergio M. On the parametrization and design of an extended Kalman filter frequency tracker // IEEE transactions on automatic control. — 2000. — Vol. 45, no. 9. — Pp. 1718-1724.

6. La Scala Barbara F, Bitmead Robert R. Design of an extended Kalman filter frequency tracker // IEEE Transactions on Signal Processing. — 1996. — Vol. 44, no. 3. — Pp. 739-742.

7. Regalia Phillip A. A complex adaptive notch filter // IEEE Signal Processing Letters. — 2010. — Vol. 17, no. 11. — Pp. 937-940.

8. Addressing DC component in PLL and notch filter algorithms / Masoud Karim-i-Ghartemani, S Ali Khajehoddin, Praveen K Jain et al. // IEEE Transactions on Power Electronics. — 2011. — Vol. 27, no. 1. — Pp. 78-86.

9. Fedele Giuseppe, Ferrise Andrea. Non adaptive second-order generalized integrator for identification of a biased sinusoidal signal // IEEE transactions on automatic control. — 2011. - Vol. 57, no. 7. - Pp. 1838-1842.

10. Karimi-Ghartemani Masoud, Ziarani Alireza K. A nonlinear time-frequency analysis method // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2004. — Vol. 52, no. 6. — Pp. 1585-1595.

11. Wu Biqing, Bodson Marc. A magnitude/phase-locked loop approach to parameter estimation of periodic signals // IEEE Transactions on Automatic Control.

— 2003. — Vol. 48, no. 4. — Pp. 612-618.

12. Fedele Giuseppe, Ferrise Andrea. A frequency-locked-loop filter for biased multi-sinusoidal estimation // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2014. — Vol. 62, no. 5. — Pp. 1125-1134.

13. Running DFT-based PLL algorithm for frequency, phase, and amplitude tracking in aircraft electrical systems / Francesco Cupertino, Elisabetta Lavopa, Pericle Zanchetta et al. // IEEE Transactions on industrial Electronics. — 2010.

— Vol. 58, no. 3. — Pp. 1027-1035.

14. Multiresonant frequency-locked loop for grid synchronization of power converters under distorted grid conditions / Pedro Rodriguez, Alvaro Luna, Ignacio Candela et al. // IEEE Transactions on Industrial Electronics. — 2010.

— Vol. 58, no. 1. — Pp. 127-138.

15. Pin Gilberto, Chen Boli, Parisini Thomas. Robust finite-time estimation of biased sinusoidal signals: A volterra operators approach // Automatica. — 2017.

— Vol. 77. — Pp. 120-132.

16. Obregon-Pulido Guillermo, Castillo-Toledo Bernardino, Loukianov A. A globally convergent estimator for n-frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2002. — Vol. 47, no. 5. — Pp. 857-863.

17. Xia X. Global frequency estimation using adaptive identifiers // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2002. — Vol. 47, no. 7. — Pp. 1188-1193.

18. Hou Ming. Estimation of sinusoidal frequencies and amplitudes using adaptive identifier and observer // IEEE transactions on automatic control. — 2007. — Vol. 52, no. 3. — Pp. 493-499.

19. Hou Ming. Parameter identification of sinusoids // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2011. - Vol. 57, no. 2. - Pp. 467-472.

20. Sharma Bharat Bhushan, Kar Indra Narayan. Design of asymptotically convergent frequency estimator using contraction theory // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2008. - Vol. 53, no. 8. - Pp. 1932-1937.

21. Carnevale Daniele, Astolfi Alessandro. A hybrid observer for frequency estimation of saturated multi-frequency signals // 2011 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference / IEEE. - 2011. -Pp. 2577-2582.

22. Marino Riccardo, Tomei Patrizio. Global estimation of n unknown frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. - 2002. - Vol. 47, no. 8. -Pp. 1324-1328.

23. Estimation of polyharmonic signal parameters / A. A. Pyrkin, A. A. Bobtsov, A. A. Vedyakov, S. A. Kolyubin // Autom. Remote Control. - 2015. - aug. -Vol. 76, no. 8. - Pp. 1400-1416.

24. Liu Hsu, Ortega R., Damm G. A globally convergent frequency estimator // 1st International Conference, Control of Oscillations and Chaos Proceedings (Cat. No.97TH8329). - Vol. 2. - IEEE, 1997. - Pp. 252-257. - URL: http://ieeexplore.ieee.org/document/631337/.

25. Parameters estimation via dynamic regressor extension and mixing / Stanislav Aranovskiy, Alexey Bobtsov, Romeo Ortega, Anton Pyrkin // 2016 American Control Conference (ACC) / IEEE. - 2016. - Pp. 6971-6976.

26. A method for increasing the rate of parametric convergence in the problem of identification of the sinusoidal signal parameters / Jian Wang, Polina A Grit-senko, Stanislav V Aranovskiy et al. // Automation and remote control. - 2017.

- Vol. 78, no. 3. - Pp. 389-396.

27. Chen Boli, Pin Gilberto, Parisini Thomas. An adaptive observer-based estimator for multi-sinusoidal signals // 2014 American Control Conference / IEEE.

- 2014. - Pp. 3450-3455.

28. Semi-global direct estimation of multiple frequencies with an adaptive observer having minimal parameterization / Gilberto Pin, Yang Wang, Boli Chen, Thomas Parisini // 2015 54th IEEE Conference on Decision and Control (CDC) / IEEE. - 2015. - Pp. 3693-3698.

29. Identification of multi-sinusoidal signals with direct frequency estimation: An adaptive observer approach / Gilberto Pin, Yang Wang, Boli Chen, Thomas Parisini // Automation - 2019. - Vol. 99. - Pp. 338-345.

30. Manglik Aashi, Li Wei, Ahmad Sabbir U. Fault detection in power system using the Hilbert-Huang Transform // 2016 IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering (CCECE) / IEEE. - 2016. - Pp. 1-4.

31. Trapero Juan Ramon, Sira-Ramirez Hebertt, Feliu Batlle V. On the algebraic identification of the frequencies, amplitudes and phases of two sinusoidal signals from their noisy sum // International Journal of Control. - 2008. - Vol. 81, no. 3. - Pp. 507-518.

32. Liu Da-Yan, Gibaru Olivier, Perruquetti Wilfrid. Parameters estimation of a noisy sinusoidal signal with time-varying amplitude // 2011 19th Mediterranean Conference on Control & Automation (MED) / IEEE. - 2011. - Pp. 570-575.

33. Boashash Boualem, Azemi Ghasem, O'Toole John M. Time-frequency processing of nonstationary signals: Advanced TFD design to aid diagnosis with highlights from medical applications // IEEE signal processing magazine. -2013. - Vol. 30, no. 6. - Pp. 108-119.

34. Automated detection of perinatal hypoxia using time-frequency-based heart rate variability features / Shiying Dong, Boualem Boashash, Ghasem Azemi et al. // Medical & biological engineering & computing. - 2014. - Vol. 52, no. 2. - Pp. 183-191.

35. Multiwindow S-method for instantaneous frequency estimation and its application in radar signal analysis / I Orovic, S Stankovic, Thayananthan Thayaparan, LJ Stankovic // IET Signal Processing. - 2010. - Vol. 4, no. 4. - Pp. 363-370.

36. Yang Shuonan, Zhao Qing. Real-time frequency estimation for sinusoidal signals with application to robust fault detection // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. - 2013. - Vol. 27, no. 5. - Pp. 386-399.

37. Bobtsov Alexey A, Pyrkin Anton A. Cancelation of unknown multiharmon-ic disturbance for nonlinear plant with input delay // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. — 2012. — Vol. 26, no. 4. — Pp. 302-315.

38. Koshaev DA, Motorin AV, Stepanov OA. Efficiency of using Satellite Measurements for Marine Gravimetry // 2019 26th Saint Petersburg International Conference on Integrated Navigation Systems (ICINS) / IEEE. — 2019. — Pp. 1-5.

39. Francis Bruce A, Wonham Walter Murray. The internal model principle of control theory // Automatica. — 1976. — Vol. 12, no. 5. — Pp. 457-465.

40. Stoica Petre, Li Hongbin, Li Jian. Amplitude estimation of sinusoidal signals: survey, new results, and an application // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2000. — Vol. 48, no. 2. — Pp. 338-352.

41. Ioannou P. A., Sun J. Robust adaptive control. — California: PTR Prentice-Hall, 1996.

42. Lu Jin, Brown Lyndon J. Identification of exponentially damped sinusoidal signals // IFAC Proceedings Volumes. — 2008. — Vol. 41, no. 2. — Pp. 5089-5094.

43. Kernel-based deadbeat parametric estimation of bias-affected damped sinusoidal signals / Peng Li, Giuseppe Fedele, Gilberto Pin, Thomas Parisini // 2016 European Control Conference (ECC) / IEEE. — 2016. — Pp. 519-524.

44. Relaxation for online frequency estimator of bias-affected damped sinusoidal signals based on Dynamic Regressor Extension and Mixing / Alexey A Vedyakov, Anastasiia O Vediakova, Alexey A Bobtsov, Anton A Pyrkin // International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. — 2019. — Vol. 33, no. 12. — Pp. 1857-1867.

45. Foo Gilbert, Rahman MF. Sensorless vector control of interior permanent magnet synchronous motor drives at very low speed without signal injection // IET Electric Power Applications. — 2010. — Vol. 4, no. 3. — Pp. 131-139.

46. Acarnley Paul P, Watson John F. Review of position-sensorless operation of brushless permanent-magnet machines // IEEE Transactions on Industrial Electronics. — 2006. — Vol. 53, no. 2. — Pp. 352-362.

47. Nam Kwang Hee. AC motor control and electrical vehicle applications. — CRC press, 2018.

48. Kim Hongryel, Son Jubum, Lee Jangmyung. A high-speed sliding-mode observer for the sensorless speed control of a PMSM // IEEE Transactions on Industrial Electronics. — 2010. — Vol. 58, no. 9. — Pp. 4069-4077.

49. Kommuri Suneel K, Veluvolu Kalyana C, Defoort Michael. Robust observer with higher-order sliding mode for sensorless speed estimation of a PMSM // 2013 European Control Conference (ECC) / IEEE. — 2013. — Pp. 4598-4603.

50. Lu Kaiyuan, Lei Xiao, Blaabjerg Frede. Artificial inductance concept to compensate nonlinear inductance effects in the back EMF-based sensorless control method for PMSM // IEEE Transactions on Energy Conversion. — 2013. — Vol. 28, no. 3. — Pp. 593-600.

51. A combined position and stator-resistance observer for salient PMSM drives: design and stability analysis / Marko Hinkkanen, Toni Tuovinen, Lennart Harne-fors, Jorma Luomi // IEEE Transactions on Power Electronics. — 2011. — Vol. 27, no. 2. — Pp. 601-609.

52. Paulus Dirk, Stumper Jean-François, Kennel Ralph. Sensorless control of synchronous machines based on direct speed and position estimation in polar stator-current coordinates // IEEE Transactions on Power Electronics. — 2012.

— Vol. 28, no. 5. — Pp. 2503-2513.

53. Carrier-signal selection for sensorless control of PM synchronous machines at zero and very low speeds / Dejan Raca, Pablo Garcia, David Diaz Reigosa et al. // IEEE Transactions on Industry Applications. — 2009. — Vol. 46, no. 1.

— Pp. 167-178.

54. Wallmark Oskar, Harnefors Lennart. Sensorless control of salient PMSM drives in the transition region // IEEE transactions on industrial electronics. — 2006.

— Vol. 53, no. 4. — Pp. 1179-1187.

55. Veremey Evgeny I. Separate filtering correction of observer-based marine positioning control laws // International journal of control. — 2017. — Vol. 90, no. 8. — Pp. 1561-1575.

56. S0rensen Asgeir J. Marine control systems propulsion and motion control of ships and ocean structures lecture notes. — Citeseer, 2012.

57. Fossen Thor I, Strand Jann Peter. Passive nonlinear observer design for ships using Lyapunov methods: full-scale experiments with a supply vessel // Automatica. — 1999. — Vol. 35, no. 1. — Pp. 3-16.

58. Dynamic positioning with active roll reduction using voith schneider propeller / Philipp Koschorrek, Charlotte Siebert, Adel Haghani, Torsten Jeinsch // IFAC-PapersOnLine. — 2015. — Vol. 48, no. 16. — Pp. 178-183.

59. Loria Antonio, Fossen Thor I, Panteley Elena. A separation principle for dynamic positioning of ships: Theoretical and experimental results // IEEE Transactions on Control Systems Technology. — 2000. — Vol. 8, no. 2. — Pp. 332-343.

60. Veremey Evgeny I. Optimization of filtering correctors for autopilot control laws with special structures // Optimal Control Applications and Methods. — 2016.

— Vol. 37, no. 2. — Pp. 323-339.

61. Veremey Evgeny I. Special spectral approach to solutions of SISO LTI H-opti-mization problems // International Journal of Automation and Computing. — 2019. — Vol. 16, no. 1. — Pp. 112-128.

62. Vedyakova Anastasiia Olegovna. Multi-purpose Control Law for Marine Dynamic Positioning System under the Influence of a Sea Waves // Международный научный журнал «Современные информационные технологии и ИТ-образование». — 2020. — Vol. 16, no. 1. — Pp. 72-80.

63. DREM-based Parametric Estimation of Bias-affected Damped Sinusoidal Signals / Anastasiia Vediakova, Alexey Vedyakov, Alexey Bobtsov, Anton Pyrkin // 2020 European Control Conference (ECC) / IEEE. — 2020.

— Pp. 214-219.

64. First-order frequency estimator for a pure sinusoidal signal / Vladislav S Gro-mov, Alexey A Vedyakov, Anastasiia O Vediakova et al. // 2017 25th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED) / IEEE. — 2017.

— Pp. 7-11.

65. Frequency estimation of a sinusoidal signal with time-varying amplitude / Alexey A Vedyakov, Anastasiia O Vediakova, Alexey A Bobtsov et al. // IFAC-PapersOnLine. — 2017. — Vol. 50, no. 1. — Pp. 12880-12885.

66. Finite Time Frequency Estimation for Multi-Sinusoidal Signals / Anastasiia O Vediakova, Alexey A Vedyakov, Anton A Pyrkin et al. // European Journal of Control. — 2021. — Vol. 59. — Pp. 38-46.

67. Vediakova Anastasiia O, Vedyakov Alexey A. Simplified Rotor Angular Velocity Estimation for a Permanent Magnets Synchronous Motor by Current and Voltage Measurements // International Conference on Convergent Cognitive Information Technologies / Springer. — 2018. — Pp. 251-260.

68. Frequency estimation of a sinusoidal signal with time-varying amplitude and phase / Alexey A Vedyakov, Anastasiia O Vediakova, Alexey A Bobtsov et al. // IFAC-PapersOnLine. — 2018. — Vol. 51, no. 32. — Pp. 663-668.

69. A globally convergent frequency estimator of a sinusoidal signal with a time-varying amplitude / Alexey A Vedyakov, Anastasiia O Vediakova, Alexey A Bobtsov et al. // European Journal of Control. — 2017. — Vol. 38. — Pp. 32-38.

70. Output adaptive controller for a class of mimo systems with input delay and multisinusoidal disturbance / Jian Wang, Alexey A Vedyakov, Anastasiia O Vediakova et al. // IFA C-PapersOnLine. — 2015. — Vol. 48, no. 11. — Pp. 892-899.

71. Performance enhancement of parameter estimators via dynamic regressor extension and mixing / Stanislav Aranovskiy, Alexey Bobtsov, Romeo Ortega, Anton Pyrkin // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2016. — Vol. 62, no. 7. — Pp. 3546-3550.

72. Ortega Romeo, Aranovskiy Stanislav, Pyrkin Anton A. et al. New Results on Parameter Estimation via Dynamic Regressor Extension and Mixing: Continuous and Discrete-time Cases. — 2019.

73. Chan Y, Lavoie J, Plant J. A parameter estimation approach to estimation of frequencies of sinusoids // IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. — 1981. — Vol. 29, no. 2. — Pp. 214-219.

74. Gerasimov D., Ortega R., Nikiforov V. Adaptive Control of Multivariable Systems with Reduced Knowledge of High Frequency Gain: Application of Dynamic Regressor Extension and Mixing Estimators // IFAC-PapersOnLine. — 2018.

— Vol. 51, no. 15. — Pp. 886-890. — 18th IFAC Symposium on System Identification SYSID 2018. URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S2405896318317695.

75. Wang Wen-Qin. Carrier Frequency Synchronization in Distributed Wireless Sensor Networks // IEEE Systems Journal. — 2015. — sep. — Vol. 9, no. 3. — Pp. 703-713. — URL: http://ieeexplore.ieee.org/lpdocs/epic03/wrapper.htm? arnumber=6851115.

76. Precise frequency estimator for noised periodical signals / Anton A Pyrkin, Alexey A Bobtsov, Sergey A Kolyubin, Alexey A Vedyakov // 2012 IEEE International Conference on Control Applications / IEEE. — 2012. — Pp. 92-97.

77. Improved Transients in Multiple Frequencies Estimation via Dynamic Regressor Extension and Mixing / Stanislav Aranovskiy, Alexey Bobtsov, Romeo Ortega, Anton Pyrkin // IFAC-PapersOnLine. — 2016. — Vol. 49, no. 13. — Pp. 99 -104.

78. Khalil H.K. Nonlinear Systems. Pearson Education. — Prentice Hall, 2002.

79. Krause Paul C. Analysis of Electric Machinery. 1986 // McGraw-Hill, New York.

80. Nam Kwang Hee. AC motor control and electrical vehicle applications. — CRC press, 2010.

81. Middletone RH, Goodwin GC. Adaptive computed torque control for rigid link manipulators // Decision and Control, 1986 25th IEEE Conference on / IEEE.

— Vol. 25. — 1986. — Pp. 68-73.

82. Identification of Frequency of Biased Harmonic Signal / Stanislav Aranovskiy, Alexey Bobtsov, Artem Kremlev et al. // European Journal of Control. — 2010.

— Vol. 16, no. 2. — Pp. 129-139.

83. Ioannou Petros A, Sun Jing. Robust adaptive control. — Courier Corporation, 2012.

84. Sastry Shankar, Bodson Marc. Adaptive control: stability, convergence and robustness. - Courier Corporation, 2011.

85. Multiple model adaptive dynamic positioning / Vahid Hassani, As-geir J S0rensen, Antonio M Pascoal, Nguyen Trong Dong // IFAC Proceedings Volumes. - 2012. - Vol. 45, no. 27. - Pp. 55-60.

SAINT PETERSBURG STATE UNIVERSITY

As a manuscript

Vediakova Anastasiia Olegovna

REAL-TIME ESTIMATION METHODS OF PARAMETERS FOR HARMONIC SIGNALS WITH

DELAY INTRODUCTION

Scientific specialty 05.13.01 — System analysis, control and information processing (physical and mathematical sciences)

The thesis submitted in conformity with the requirements for the degree of candidate in physical and mathematical sciences

Translation from Russian

Academic Supervisor: doctor of physical and mathematical sciences, professor Evgeny Igorevich Veremey

Saint Petersburg 2021

Contents

Pp.

INTRODUCTION..............................................................5

Relevance and literature review on thesis topic........................5

The purpose of the research and key results............................9

Chapter 1. POLYHARMONIC SIGNALS IDENTIFICATION WITH CONSTANT PARAMETERS

WITH THE DELAY INTRODUCTION....................12

1.1 Generalised problem formulation........................................12

1.2 Unbiased sinusoidal signal with constant parameters..................14

1.2.1 The regression model parameter estimation....................16

1.2.2 Frequency estimation............................................18

1.2.3 Estimation error convergence....................................19

1.2.4 Frequency estimation simulation ................................19

1.3 The linear regression model structure for the sinusoidal signal with

two components ..........................................................22

1.4 The linear regression model structure for the sinusoidal signal with

n components............................................................27

1.5 Dynamic regressor extension and mixing method (DREM)............33

1.6 Finite time frequencies estimation ......................................34

1.7 Finite time amplitudes and phases estimation ..........................37

1.8 Numerical simulation of the estimation algorithm for the polyharmonic signal parameters ........................................39

1.8.1 Parameters estimation simulation results

of the three sinusoidal signal ....................................39

1.8.2 Numerical simulation comparison of polyharmonic signal for frequency estimation algorithms ................................41

1.9 Chapter conclusions......................................................47

Pp.

Chapter 2. SINUSOIDAL SIGNALS FREQUENCY ESTIMATION

WITH TIME-VARYING PARAMETERS

WITH THE DELAY INTRODUCTION....................49

2.1 Problem formulation ....................................................49

2.2 Harmonic signal with the varying amplitude............................50

2.2.1 Linear regression model construction ..........................51

2.2.2 The regression model parameter estimation....................58

2.2.3 Frequency estimation............................................59

2.2.4 Estimation frequency error convergence........................61

2.2.5 Frequency estimation simulation................................62

2.3 Harmonic signal with the varying amplitude and the bias ............65

2.3.1 Linear regression model construction ..........................66

2.3.2 The regression model parameter estimation....................68

2.3.3 Frequency estimation............................................72

2.3.4 Frequency estimation simulation................................72

2.4 Harmonic signal with the varying amplitude and phase................75

2.4.1 Linear regression model construction ..........................76

2.4.2 The regression model parameter estimation....................79

2.4.3 Frequency estimation and estimation error convergence ... 80

2.4.4 Frequency estimation simulation................................83

2.5 Biased harmonic signal with exponentially damped amplitude .... 85

2.5.1 Construction of a regression model depending on frequency

and damping factor ..............................................86

2.5.2 DREM and relaxation methods ................................88

2.5.3 Frequency and damping factor estimations....................92

2.5.4 Numerical simulation............................................93

2.6 Chapter conclusions ......................................................95

Chapter 3. APPLICATION OF PARAMETER ESTIMATION METHODS FOR HARMONIC SIGNALS IN

PRACTICAL TASKS..........................................96

3.1 The rotor angular speed estimation of the permanent magnet

synchronous motor ......................................................96

Pp.

3.1.1 Problem formulation...................... 96

3.1.2 Main result........................... 98

3.1.3 Simplified frequency estimation ................ 99

3.1.4 Numerical simulation results..................103

3.1.5 Section conclusions.......................105

3.2 Estimation of the basic sea wave frequency for multipurpose control

in dynamic positioning systems.....................106

3.2.1 Problem formulation......................107

3.2.2 Structure of the dynamic controller..............108

3.2.3 Estimation of harmonic disturbance frequencies........111

3.2.4 Numerical simulation results..................114

3.2.5 Section conclusions ....................... 119

CONCLUSION.................................121

References....................................123

INTRODUCTION The rationale of the research topic and literature review

Parameter estimation of polyharmonic signals in real-time is an important and relevant problem in automatic control theory. The solution is applicable in signal processing, control systems design, bioengineering, navigation, instrumentation, signal measurement, and power engineering [1]. Many electrical, mechanical, and acoustic signals can be represented as a sum of sinusoids and noise. However, in many applications, for example, active compensation of external disturbances, amplitudes, phases, and frequencies of harmonics are unknown in advance and must be estimated during operation mode. It should be noted that the harmonic signal parameter estimation is a fundamental theoretical problem due to the nonlinear dependence of the signal on the unknown frequency, which prevents the application of standard techniques [2].

The Fast Fourier Transform (FFT) is the most commonly used method for processing signals with constant parameters. In particular, FFT-based approaches have been applied to human emotion recognition based on electroencephalograph signals [3], seismic activity analysis [4], and others. However, it is known that the FFT accuracy degrades considerably if the signal frequencies vary over time [5]. Moreover, the FFT works with batches of input signal measurements and requires significant memory resources, especially when high accuracy estimates are required. Despite the simplicity and efficiency of the method for signals with constant parameters, the FFT is rarely used in practical applications that require real-time input signal parameter estimation.

Alternative parameter estimation approaches for polyharmonic signals are based on

- Kalman filters and extended Kalman filters [5; 6];

- Adaptive Notch Filter (ANF) [2; 7] and their modifications [8; 9];

- Phase-Locked-Loop (PLL) [10-12].

The approaches mentioned above are applied in industry and power systems [13; 14] to solve power quality monitoring and evaluation problems. The main drawback of these approaches is the local convergence of the parameter estimation

error to zero, which affects the quality of control when the estimates are used in the feedback loop. Estimates obtained by these algorithms do not converge to actual values, e.g., when there is an abrupt change in the frequency value or polyharmonic signal has nearby frequencies [5; 15].

A qualitatively different approach to polyharmonic signal parameter estimation, based on an adaptive observer, is used in [16-23]. The main advantage of this identification approach is the global convergence of parameter estimation errors to zero. The first algorithm of this class for an unbiased sinusoidal signal proposed in [24]. It is based on an adaptive notch filter and has an order of 3. Another algorithm [22] describes an adaptive observer of 5n order to estimate n frequencies and an unknown bias. In [16-18], a 3n + 1 order estimation scheme is proposed to construct estimates of all 3n + 1 parameters including frequencies, amplitudes, phases of n harmonics included in the signal, and a constant bias. In later works [21; 23], an identification algorithm of the minimum 3n order for the biased polyharmonic signal is obtained. Note that a dynamic observer order directly affects the implementation complexity and speed of the identification algorithm. In the succeeding works, the quality of the resulting estimates in the presence of noise in the measurements are improved [25; 26].

The common disadvantage of the mentioned approaches of parameters estimation for polyharmonic signals is that the frequencies are not estimated directly. Typically, the polynomial coefficients, whose roots are related to the frequencies of the original signal, are estimated at first. Thus, calculation of the frequency estimates requires finding the roots of the polynomial with dynamically varying coefficients that significantly increase the computational complexity of the algorithm in the presence of a large number of harmonics in the measured signal. In [27], [28], [29] new adaptive observers are proposed that allow to eliminate the above drawback and obtain a frequency estimate directly without additional processing.

Despite a large number of works about the real-time estimation of polyhar-monic signal parameters, researchers face many difficulties when implementing them in practice. In particular, the algorithm parameters tuning for the specified requirements, for example, performance. The first chapter of this work is devoted to solving this problem.

The identification algorithms described above are constructed for polyharmonic signals with constant parameters. However, from a practical point of view, real-time parameter estimation is especially important for signals with time-vary-

ing parameters, e.g., for fault detection in power systems [30]. For signals with slowly varying parameter values or with piecewise constant parameters, the mentioned approaches can be applied [18; 23; 25;29;31]. In other cases, changes in signal parameters overtime must be explicitly taken into account. For example, the approach to construct a frequency estimation of a sinusoidal signal with time-varying amplitude G(t) = Go + G\t is proposed in [32].

The construction of frequency estimates is an essential initial step of analysing harmonic signals with varying parameters in various fields of science and technology: for sonar, radar, biomedicine, telecommunications, fault detection [33-36], in pendulum systems [37]. The same is also relevant to problems related to navigation applications, including the determination of gravitational field parameters from moving objects [38].

In the feedback control law design for plants under a sinusoidal external disturbance, the frequency is the main parameter to be evaluated in real-time. According to [39], a compensating feedback control signal should contain the sinusoidal signal of the same frequency as the disturbance signal.

An essential class of harmonic signals with time-varying parameters is exponentially damped signals, which are widely presented among natural and technical oscillation processes such as acoustic wave propagation or interaction of power system components [40]. In power systems, parametric estimation of such signals can be used in fault-tolerant control to detect and attenuate destabilizing oscillations. For exponentially damped signals, the persistent excitation condition is not satisfied, which makes it difficult to apply standard identification methods [41].

An adaptive algorithm for parameter estimation of a signal consisting of a sum of exponentially damped harmonics is presented in [42] and based on the internal model principle. However, for the mentioned algorithm, the error model is only locally exponentially stable, and the estimation error depends on the choice of algorithm parameters and initial conditions.

Another algorithm for parameter estimation of an exponentially damped harmonic signal is proposed in [43] and is based on the Volterra integral operator. The described algorithm ensures that parameter estimation error converges to zero in a finite time. However, it is shown in [44] that if there is noise in measurements, the obtained estimates may drift when the exponentially decaying amplitude converges to zero.

One of the modern application areas of the algorithms proposed in this paper is a sensorless control, widely used in electromechanical systems. In such technical objects, the measurement of electrical signals is often available, while sensors for measuring mechanical quantities (position and speed) are not placed. Sensorless control is in demand due to design constraints as well as economic considerations. In addition, the resulting estimates can be used to improve system fault tolerance as means of redundancy.

One example of an electromechanical system with widely used sensorless control is a permanent magnet synchronous motor (PMSM) or a brushless DC electric motor (BLDC) [45-47]. The feedback control law design requires a measurement of the rotor angular velocity. When vector control is used, rotor position information is required. Consequently, there is a need to place position and speed sensors or construct observers.

Rotor position observers are described in the literature, for example [48; 49], and provide a satisfactory estimate at medium to high speeds. The approaches using basic frequency components of stator voltages and currents [50-52] are sensitive to parameter bias and uncertainty, which can lead to errors. Separately, methods [53; 54], which inject an additional probing signal, are worth mentioning and have good accuracy and dynamic characteristics. However, the probing signal injection leads to increased losses and is associated with some practical implementation difficulties.

Another important application of the identification methods described in the work is the control law design for plants under external disturbances. Special mention should be made of dynamic positioning (DP) systems developing, which is widely used in various fields such as hydrography, marine engineering, shipwreck research, underwater cable laying, and others [55-58].

There is a wide range of publications related to various design issues of DP systems [55-57; 59]. Papers [55; 57; 59] propose the structure of DP control law with nonlinear asymptotic observers, which provides sufficient global asymptotic stability conditions, and the possibility of independent adjustment of the controller components is justified. In work [55], this approach is modified with multi-purpose control theory [60; 61] to obtain an economical ship control mode.

Section 3.2 of this work is devoted to the design of a control law that solves the DP problem considering the effect of external harmonic perturbations. One of the main tasks of the constructed dynamic controller is to suppress high-frequency components in the actuator input signals, providing an economical control mode.

In contrast to [55], where the main frequency value of the external disturbance is assumed to be known, in this work, it is estimated in real-time using the developed identification algorithms.

The purpose of the research and key results

Thus, this dissertation research is devoted to a topical problem of control theory.

The purpose The purpose of this research is to develop methods for real-time parameter estimation of harmonic signals that ensure global convergence of the estimation error to zero.

In order to achieve the mentioned purpose, the thesis addresses the following objectives:

1. Design an adaptive algorithm for frequency estimation of unbiased poly-harmonic signal with constant parameters based on delay parametrisation. Prove exponential convergence of frequency estimation error to zero.

2. Develop an algorithm for frequency estimation of polyharmonic signal, which guarantees convergence of parameter estimates to actual values in the finite time.

3. Develop an identification algorithm for amplitudes and phases of all harmonics in the measured signal, using the obtained frequency estimates.

4. Design adaptive frequency identification algorithm for an unbiased harmonic signal with time-varying amplitude. Prove exponential convergence of frequency estimation error to zero.

5. Develop a simplified frequency identification algorithm for the biased harmonic signal with time-varying amplitude.

6. Develop a method for frequency estimation of harmonic signal with time-varying amplitude and phase without inverse trigonometric functions. Prove exponential convergence of the estimation error to zero.

7. Develop relaxation methods to provide parameters estimation error convergence to zero when persistency of excitation condition is not satisfied.

8. Design an observer of constant angular speed for permanent magnet synchronous motor under constant load.

9. Design multi-purpose control law of marine dynamic positioning systems in the presence of polyharmonic external disturbances.

10. Conduct computer simulation of the developed algorithms and compare the results with existing estimation algorithms.

Novelty of the research:

1. A new parameter identification algorithm for an unbiased polyharmonic signal with finite-time convergence is developed.

2. New algorithms for frequency estimation of harmonic signals with time-varying parameters are developed.

3. Two relaxation methods for regression models with regressor, which does not satisfy the persistent excitation condition, are proposed. The parameter identification algorithm for a linear regression model based on the proposed methods provides exponential convergence of the estimation error to zero.

4. A new angular speed estimation algorithm for synchronous motors is proposed.

5. The applicability of the developed approach to multi-purpose control problems of marine vessels under the influence of polyharmonic external perturbations is considered for the first time.

Theoretical significance of the obtained results lies in developing the theory of polyharmonic signal parameter estimation.

Practical significance is caused by the fact that the developed methods can be effectively applied to a broad class of applied problems. In particular, for technical objects under the influence of an external environment, which can be mathematically described as a polyharmonic signal or harmonic signal with changing parameters: sea waves, current, wind, vibrations.

Another application of the proposed approach is sensorless control, providing estimates of state vector components: rotor speed of the synchronous motor, angular position and others.

Methods of the research. Methods of polynomial algebra and matrix theory were used to obtain theoretical results. The method of Lyapunov Functions was used to prove stability. The algorithms were tested by numerical simulation in MATLAB Simulink.

The key results to be defended:

1. A new estimation method for constant parameters of a polyharmonic signal with finite-time convergence;

2. New methods for frequency estimation of harmonic signals with time-varying parameters, based on linear regression model construction and using gradient method and DREM to calculate estimates, which provide exponential convergence of estimation error to zero;

3. Two relaxation methods to obtain estimates of the regression model parameters when the persistent excitation condition is not fulfilled.

Trustworthiness of the results presented in this dissertation work is confirmed by:

— analytical proof of the applicability of the proposed algorithms for the parameters estimation of harmonic signals and exponential convergence of the obtained estimates;

— the results of numerical simulation for the proposed algorithms presented in the thesis;

— published papers and presentations at international conferences. The results are consistent with those obtained by other authors.

Approbation of the obtained results. The main results of the research were presented at:

— International congress Modern problems of computer and information sciences, Moscow, Russia, 2020, [62];

— IFAC 2020 World Congress, Berlin, Germany, 2020;

— European Control Conference, Saint-Petersburg, Russia, 2020, [63];

— IV International Scientific Conference "Convergent Cognitive Information Technologies", Moscow, Russia, 2019 [67];

— 17th IFAC Workshop on Control Applications of Optimization, Yekaterinburg, Russia, 2018 [68];

— 25th Mediterranean Conference on Control and Automation, Valletta, Malta, 2017 [64];

— IFAC 2017 World Congress, Toulouse, France, 2017, [65].

Publications. The main results of the research study are described in 10

scientific publications [44; 62-70], including 9 publications in Web of Science and Scopus [44; 63-70].

The structure of the research. The thesis consists of introduction, three chapters, conclusion and references.

The thesis includes 132 pages, 57 figures u 2 tables. References includes 85

items.

Chapter 1. POLYHARMONIC SIGNALS IDENTIFICATION WITH CONSTANT PARAMETERS WITH THE DELAY INTRODUCTION

This chapter introduces amplitudes, frequencies and phases estimating methods of unbiased polyharmonic signals with constant parameters, q. v. [64; 66]. The basic idea is to apply a delay and construct a regression model, where a regressor and a dependent variable are expressed through known functions. Whereas, a constant vector depends on unknown signal parameters. The gradient method with the Dynamic Regressor Extension and Mixing method [71] are used to identify the linear regression model. This chapter formulates the conditions of estimation error exponential convergence to zero. An identification algorithm is proposed, which allows to estimate the polyharmonic signal parameters at the finite time.

This section considers a measurable polyharmonic signal at the following form:

where !i 2 R+ are frequencies, Ai 2 R are amplitudes, hi 2 R are phases, i = l,n, n is the number of harmonics in the signal y(t). The parameters !i, Ai and hi are constant and unknown.

The following assumption is introduced.

Assumption 1. The lower ! and upper ! frequency boundaries for the signal (1.1) are known, where 0 < ! 6 ! 6 i = 1,n.

The assumption 1 does not apply any strict constraints and can be provided in every practical task. It is required that the frequency values differ from zero and are finite. However, in each particular case, the limits can be selected to contain all the required values.

The goal is to construct estimates !i(t) and !ft(t) of the frequencies !i, Ai (t) and Aft(t) of the amplitudes, hi(t) and hft(t) of the phases for i = 1,n, such that

1.1 Generalised problem formulation

n

(1.1)

i=1

1. The estimates cu»(t), A»(t) and S^ (t) provide exponential convergence of estimation errors cu¿(t) := c — cu»(t), ^[¿(t) := A» — A»(t) and 6i(t) := 5» — 5»(t) to zero. In other words, there are the positive coefficients CCi, C^, C^, a^, a^, «5», to 2 R+, satisfying

|cCi(t)| 6 Ccie-t, (1.2)

| Ali(t) | 6 CA»e—aAit, 8t > to, i = 1n, (1.3)

|5i(t)| 6 C5»e—(1.4)

2. The estimates cuft(t), A/^t) and 5/t(t) provide the estimation errors convergence Cf (t) := cu» — cuf (t), Af(t) := A» — Af(t) and 5f(t) := 5» — 5ft(t)

to zero at the predefined finite time t/t > 0, for which the following inequalities are satisfied:

|cf(t)| =0, |Ai(t)| =0, |5i(t)| =0, 8t > t/t, i = 1^. (1.5)

This task for different signal (1.1) variants are solved: containing one, two and n harmonics. The cascade approach is used to build estimates of unknown parameters (1.1). The first step, the frequency estimations of the measured signal y(t) and the estimation errors C»(t) exponential convergence to zero are considered. In the second stage, the amplitudes A» and the phases 5» are reconstructed using the obtained estimates cu»(t), i = 1,n. At each of the two stages, linear regression models describing the connection between the measured signals and a constant unknown vector depending on the initial harmonic signal parameters are built. The Dynamic Expansion and Mixing Regressor (DREM) [71] method for regression models with order n > 1 is applied, which allows to replace from n-th order linear regression to independent first order linear regression models. Unknown parameters estimates of the obtained first-order regression models using the standard gradient descent method is built. In the last stage, applying the found parameters estimations, we restore the values of cu»(t) frequencies, A»(t) amplitudes, and S»(t) phases. The exponential convergence of estimation errors to zero is proved.

Section 1.2 discusses the case of a single harmonics signal y(t) = Ai sin(cit + 5i). In the first stage, the regression model with the frequency-dependent unknown parameter is obtained, q. v. [64]. It is the first-order regression, therefore there is no need to use the DREM method. Subsection 1.2.1 describes the gradient descent estimator and the proof of the exponential estimation error convergence to zero. In

Subsections 1.2.2 and 1.2.3 the initial signal frequency is restored and the exponential convergence of the frequency estimation error to zero is proved. In the second stage, we construct the second-order regression model to estimate the amplitude Ai and phase h1, which corresponds to the general case n > 1 and is discussed in Subsection 1.7. Subsection 1.2.4 presents the numerical simulation results to illustrate the proposed frequency estimation efficiency for one harmonic signal.

In Section 1.3 we consider the case of two harmonics signal and construct a linear regression model to find the unknown frequencies. The obtained regression model confirms the correctness of the general case results with n harmonics.

Section 1.4 obtains the linear regression model for the n harmonics signal. It contains measured signals and the constant vector, which depends on unknown frequencies !i, i = 1,n, q. v. [66].

Section 1.5 describes the DREM method [71], which changes the n-th order regression model to n the independent first-order regression models.

In Section 1.6 we use the modified gradient method [72] to get the estimates 6ft, i = 1,n at the finite time for the obtained first order regression models with unknown parameters ✓i.

Section 1.7 describes the 2n-th order linear regression model, which contains the frequency estimations, the measured signals, and the unknown parameters vector, which depends on the unknown amplitudes Ai and phases hi, i = 1,n of the signal (1.1). The DREM method allows to get the independent first-order regression models. The modified gradient descent method estimates the scalar parameters at the finite time. On this basis, the amplitudes and phases values of the initial signal are restored.

Section 1.8 presents numerical modeling results, illustrating the efficiency of the proposed algorithm for the polyharmonic signal parameters evaluation.

1.2 Unbiased sinusoidal signal with constant parameters

In this section, we consider the measurable unbiased sinusoidal signal with constant parameters:

y (t) = A sin(!t + h), (1.6)

where the signal contains a single harmonic n = 1 according to the equation (1.1), and the designations ! := !1 for the frequency, A := A1 for the amplitude, 6 := 6i for the phase are introduced. The constant parameters A, ! and 6 are unknown.

In order to get the linear regression model, it is necessary to consider the delayed signals:

yi(t)= - T1)' if 4 > T1' (1.7)

lo, if t< Ti,

*W = f(t - T2)' f 4 > T2' (1.8)

lo, if t< T2,

where t1, t2 G R+ are the constant delay values, t1 < t2. The delayed signals (1.7) and (1.8) can be presented as

y1(t) = Ac1 sin(!t + 6) - As1 cos(!t + 6), (1.9)

y2(t) = Ac2 sin(!t + 6) - As2 cos(!t + 6), (1.10)

where t > t2 and the following notation:

c1 = cos !T1, s1 = sin !T1, (1.11)

c2 = cos !T2, s2 = sin !T2. (1.12)

Remark 1. The delay value T1 from equation (1.7) is to satisfy the following restriction:

u

T1 < =. (1.13)

!

Proposition 1. If the condition (1.13) is satisfied, then the following equality for the measured signals (1.6), (1.9) and (1.10) is mached:

^(t) = '(t)c1, (1.14)

where ^(t) G R, '(t) G R, c1 G R is the constant parameter from equation (1.11).

Proof. To prove this proposition, let us perform a series of algebraic operations. Subtracting the signal (1.9) from the equation (1.6) multiplied by c1, we obtain

c1y(t) - y1(t) = As1 cos(!t + 6). (1.15)

Similarly, subtracting the signal (1.10) from the equation (1.6) multiplied by

c2, we get

C2y (t) — y2(t) = As2 cos(ct + 5). (1.16)

Multiplying the equations (1.15) and (1.16) by the constants s2 and s1 respectively, we obtain

CiS2y(t) — S2yi(t) = SiC2y(t) — Siy2 (t). (1.17)

Accepting t2 = 2t1 and using the trigonometric formulae, we obtain

C2 = 2c2 — 1, S2 = 2cisi. (1.18)

Introducing (1.18) in the equation (1.17), we get

siy (t) + siy2(t) =2cisiyi(t). (1.19)

According to the remark 1, the equation si = 0 is true. Dividing both parts of the equation (1.19) by the parameter si, we obtain

y(t)+ y2(t) =2ciyi(t), (1.20)

where the parameter si is nonzero due to the restriction from Remark 1.

The expression (1.20) can be represented as the linear regression model (1.14):

^(t) = '(t)ci, (1.21)

where ^(t) = y(t) + y2(t) is a dependent variable, '(t) = 2yi(t) is a regressor, ci is an unknown parameter. □

1.2.1 The regression model parameter estimation

In the previous section, the first order linear regression model (1.14) is obtained. Various approaches can be used to construct an estimate of the regression model unknown parameter ci. An algorithm based on the standard gradient descent method [41] is being considered as

¿i(t) = Y'(t)(^(t) — '(t)ci(t)), (1.22)

where ci(t) is a parameter ci estimate, y 2 R+ is a tunable coefficient. Using the expression (1.22), we get the error model:

¿i(t) = -y(t)2(t)ci(t), (1.23)

where c1(t) := c1 — c1(t) is an estimation error.

The differential equation (1.23) has zero equilibrium point. Its exponential stability can be proved in the following way.

Proposition 2. The estimation algorithm (1.22) provides an exponential convergence of the estimation error c1(t) to zero.

Proof. If the function '(t) is bounded and persistently exciting (PE) then algorithm (1.22) provides the exponential convergence of the estimation error to zero q. v. [41].

The bounded condition is being proved. The function '(t) = 2y1(t) from equation (1.11) is the sum of bounded trigonometric functions multiplied by constant coefficients. Therefore the function '(t) is bounded.

PE condition for the regressor '(t) is being represented. It means that there are positive constants T h a, hence the following inequality is true

r t+T

J^ '2(r)dr > a, 8t > 0. (1.24)

The integral from inequality (1.24) is considered:

Z t+T Z t+T

22

(r)dr = 4 / yf(r)dr = Jt Jt

r t+T

= 4A2 / sin2 (!r - !Ti + 6) dr =

Z t+T

= 2A2 y 1 - cos (2!r - 2!T1 + 26) dr =

t

t+T

21 ZtZ

nt+T r 2!(t+T)-2!T!+26

= 2A2 / dr----cos (f ) dr =

Jt ! J2wt-2wTi+26

A 2 a 2

= 2A2T + — sin (2! - 2!T1 + 26)--sin (2w(t + T) - 2!T1 + 26).

! !

Taking T = = and using the restriction ! 6 ! from the assumption 1, results in

ft+T 2, ^ 2^A2

'2(r)dr > > 0, > 0.

It !

The last inequality proves that the regressor p(t) is PE (1.24), where a _ ^^A-,

rn _

Ultimately, the function p(t) is bounded and PE, which proves that the algorithm (1.22) provides exponential convergence of the estimation error ci(t) to zero. This completes the proof of the Proposition 2. □

1.2.2 Frequency estimation

In this subsection we obtain a harmonic signal (1.6) frequency estimate cu based on the function ci(t) from the equation (1.22).

Cosine function is a periodic and we can not clearly express the frequency c of the expressions ci = cos ct1. However, cosine function cos(-) is a bijective on the interval (0, tc). Since the restriction (1.13) is hold, we get frequency estimate cu in the following form

cu(t) = — arccos(ci(t)). (1.25)

Ti

Let us introduce some restriction, then the estimate cu(t) satisfies the inequality c 6 cu(t) 6 c from the assumption 1:

cos ct1 6 ci 6 cos ct1. (1.26)

To provide this property to c1, we can use the gradient algorithm with projection [41]:

f

v(t), if cos ct1 < c1(t) < cos ct1,

else if c1(t) = cos ct1 u v(t) 6 0, else if c1(t) = cos ct1 u v(t) > 0, 0, else,

v(t) = K '(t)(^(t) — ci (t)'(t)), (1.28)

which retains all properties that are established in the absence of projection. (1.22).

An alternative way of constructing an estimate of c1 without using an inverse trigonometric function arccos(-) is discussed in Subsection 2.4.3 within proposition 13.

¿1(t) _

(1.27)

1.2.3 Estimation error convergence

In the proposition 2 the exponential error c1 convergence is proved. The frequency estimation error !(t) = ! - !(t) is expected to converge exponentially to zero.

Proposition 3. If c1(t) converges to c1 exponentially fast, then !(t) converges to zero exponentially and the inequality (1.2) is hold for Vt > t0.

Proof. The function arccos(-) on the interval [cos!t1, cos !T1] is Lipschitz:

|arccos(x1) - arccos(x2)| 6 L |x1 - x2| , (1.29)

where L is a Lipschitz constant:

L =. (1.30)

y sin2 !

Combining the equations (1.25), (1.29) and (1.30), we obtain

|!(t)| 6 - |c1 - C1(t)| 6 C!e-a!t, (1.31)

T1

where C! = ^^, a! = a and the proposition 3 is proved. □

1.2.4 Frequency estimation simulation

This subsection presents the simulation results that illustrate the efficiency of the proposed frequency estimation algorithm. The simulations have been performed in MATLAB Simulink.

The sinusoidal signal is being considered:

y(t) = sin (t + . (1.32)

The default settings for all simulations are the following:

- The lower ! = 0.001 rad/s and upper ! =10 rad/s frequency boundaries;

- The delay value t1 = 2= from equation (1.7) satisfies the restriction from the remark 1;

— The gradient method parameter value (1.22) y = 1 and initial condition ci(0) = 0.1.

We consider the different values effect of the initial position c1(0), the frequency value =, the upper bound value =, the gradient descent method parameter Y, and measurement error on the result of the proposed frequency estimation method.

Fig. 1.1 presents the frequency estimation results under different initial conditions in the algorithm (1.22): c1(0) = 0.1, c1(0) = 0.7, and c1(0) = 0.95.

The estimate graphs for different gradient parameter values are shown in Fig. 1.2.