Идентификация линейно изменяющихся во времени параметров нестационарных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Ле Ван Туан

• Ле Ван Туан
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Ле Ван Туан

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 Постановка задачи идентификации линейно изменяющихся во времени параметров нестационарных систем

1.1 Проблема управления по выходу линейными нестационарными системами

с неизвестными параметрами

1.2 Математическая постановка задачи

1.3 Выводы по главе

Глава 2 Модифицированный метод динамического расширения регрессора и смешивания для идентификации нестационарных параметров линейных регрессионных моделей

2.1 Постановка задачи идентификации нестационарных параметров линейных

регрессионных моделей. Мотивационные примеры

2.2 Метод динамического расширения регрессора и смешивания

2.3 Идентификация двух нестационарных параметров

2.4 Обобщение на случай «-мерного вектора неизвестных параметров

2.5 Результаты моделирования

2.6 Выводы по главе

Глава 3 Идентификация линейно изменяющихся во времени параметров нестационарных систем

3.1 Параметризация объекта управления

3.2 Идентификация параметров

3.3 Результаты компьютерного моделирования

3.4 Выводы по главе

Глава 4 Идентификация параметров синхронного двигателя с постоянными магнитами

4.1 Постановка задачи

4.2 Параметризация модели синхронного двигателя

4.3 Результаты моделирования

4.4 Выводы по главе

Глава 5 Идентификация параметров синусоидального сигнала с неизвестными нестационарными амплитудой и частотой

5.1 Идентификация параметров синусоидального сигнала с неизвестной нестационарной амплитудой

5.1.1 Постановка задачи

5.1.2 Основной результат

5.1.3 Результаты моделирования

5.2 Идентификация линейно меняющейся частоты синусоидального сигнала

5.2.1 Математическая постановка задачи. Мотивация исследований

5.2.2 Алгоритм идентификации линейно меняющейся частоты синусоидального сигнала

5.2.3 Пример

5.3 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

107

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

t время

Р оператор дифференцирования, p = d

dt

I единичная матрица

К множество действительных чисел

х вектор переменных состояния

u управляющие входы

У выходные регулируемые переменные

в вектор неизвестных параметров

в оценка вектора неизвестных параметров в

в ошибка оценивания параметров в

о угловая скорость

Л магнитный поток

ть момент нагрузки электромеханической системы

PE условие неисчезающего возбуждения

DREM метод динамического расширения регрессора и смешивания

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Идентификация линейно изменяющихся во времени параметров нестационарных систем»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Современное развитие математической теории управления и прогресс в вычислительной технике, ставят все большие и большие требования перед разработчиками систем автоматического регулирования. Эти требования прежде всего сфокусированы на высоком качестве работы системы в условиях неопределенности. Традиционно для решения задач синтеза систем автоматического регулирования, функционирующих в условиях неопределенности, применялись методы адаптивного и робастного управления. В отсутствии мощных вычислительных платформ, в области разработки методов адаптивного управления приоритет отдавался, так называемым, методам прямого адаптивного управления, которые не предполагали первичной идентификации неизвестных параметров объекта или среды его функционирования. Однако, как правило, методы прямого адаптивного управления были сфокусированы на канонических математических моделях и допускали, что параметры объекта или среды функционирования являются постоянными или изменяются крайне медленно. В целом для ряда технических систем и технологического оборудования допущение о стационарности или медленном изменении параметров является разумным. Например, для случая, когда переходные процессы протекают значительно быстрее, чем изменяются параметры объекта или среды его функционирования подобное допущение является оправданным. Однако современные технологии, как и фундаментальные методы теории автоматического управления активно развиваются и перед разработчиками систем возникают новые задачи, в том числе связанные с необходимостью принимать в рассмотрение существенную нестационарность параметров. С развитием новых методов идентификации параметров и существенным улучшением быстродействия современных вычислительных систем, возрождается

использование непрямых методов адаптивного управления, то есть подходов, предусматривающих первичную идентификацию параметров и дальнейший синтез регуляторов на базе их оценок.

В данном диссертационном исследовании рассматривается задача идентификации неизмеряемых и неизвестных параметров линейных нестационарных систем. Решение данной задачи представляет, с одной стороны, самостоятельный интерес, но в тоже время является важной для развития методов непрямого адаптивного управления. Таким образом, проблематика, поднимаемая в рамках данного диссертационного исследования, является крайне актуальной.

В диссертации будут рассматриваться одноканальные линейные нестационарные системы относительно, которых предполагается, что измерению доступны только выходная переменная и сигнал управления, но не их производные. Такая постановка задачи соответствует современному развитию теорию адаптивного управления по выходу и предусматривают минимизацию датчиков, которые, в свою очередь могут вызывать нежелательные эффекты, связанные с дополнительной динамикой процессов и шумами измерений. Относительно нестационарных параметров будет допускаться, что их производные являются неизвестными постоянными числами на некотором интервале времени, величина, которого, в свою очередь, также не определена. Таким образом, поставленная в рамках данной диссертационной работы задача идентификации кусочно-линейных параметров нестационарных систем, представляет собой актуальную теоретическую и прикладную проблему.

Степень разработанности темы исследования. Относительно недавно в статье [1] был опубликован результат, позволяющий для линейной регрессионной модели в случае ряда стандартных допущений получать существенное улучшение качества процессов настройки неизвестных параметров, включающих монотонность и быстродействие. В англоязычной литературе это результат получил название DREM, что в переводе на русский язык означает «динамического расширения регрессора и смешивания». Однако данный метод

рассчитан на линейные регрессионные модели, в которых все неизвестные параметры являются постоянными числами. Как указывалось ранее, такая постановка задачи имеет право на существование. Однако для развития современных фундаментальных методов управления и обработки сигналов требуется существенное расширение ограничений на динамику изменения параметров. Сформулированное в диссертационной работе допущение относительно кусочно-линейного изменения неизвестных параметров не является математической абстракцией, в частности, параметры большинства электромеханических систем в процессе работы линейно изменяются относительно известных номинальных значений. Линейному изменению подвержено сопротивление ротора, которое может быть связано с температурными изменениями в электрическом двигателе, возникающем в процессе его функционирования. Подобное допущение на динамику изменения параметров можно встретить, при управлении фотоэлектрическими элементами [7], электромеханическими объектами [8] и телескопами [5], а также при компенсации вертикальных инерционных ускорений при оценивании аномалий силы тяжести на подвижном объекте [4]. Необходимо отметить, что все обозначенные прикладные задачи имеют общую математическую модельную базу, то есть протекающие в них процессы могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями с переменными параметрами относительно, которых делается реалистичное допущение об их кусочно-линейном изменении.

Цель диссертационной работы: разработка новых методов идентификации неизмеряемых и неизвестных параметров для линейных нестационарных систем с последующим их распространением на задачи оценивания параметров электромеханических систем и обработки сигналов.

Для достижения поставленной цели при допущении, что параметры представляют собой неизвестные кусочно-линейные функции времени, были решены следующие задачи:

1. Предполагая, что для объекта доступными для измерения являются лишь его выход и сигнала управления (но не их производным), предложена процедура параметризации, приводящая исходную динамическую нестационарную систему к линейной регрессионной модели, содержащей нестационарные параметры.

2. Для линейной регрессионной модели с нестационарными параметрами получена модификация метода динамического расширения регрессора и смешивания (DREM см. [1]).

3. На основе предложенного метода идентификации построены адаптивные наблюдатели для оценивания электромеханичеких параметров синхронного двигателя с постоянными магнитами.

4. Получены алгоритмы идентификации параметров синусоидального сигнала с неизвестными нестационарными амплитудой и частотой.

Научная новизна работы. В данной диссертационной работе предложена новая итеративная процедура (метод) для решения задачи идентификации неизвестных параметров линейных нестационарных систем при допущении, что параметры представляют собой неизвестные кусочно-линейные функции времени. На базе предложенной процедуры/метода получены два новых подхода к синтезу алгоритмов идентификации электромеханических параметров синхронных двигателей с постоянными магнитами, а также для идентификации частоты синусоидальных сигналов в случае ее линейного изменения и нестационарности амплитуды.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретической значимостью данной диссертационной работы является новый метод идентификации линейно изменяющих во времени параметров нестационарных систем. Предложенный в данной работе метод можно масштабировать на другие задачи, возникающие в области адаптивного управления и обработки сигналов, для которых актуально допущение о кусочно-линейно изменяющихся параметрах.

Практическая значимость заключается в том, что представленный метод идентификации параметров может быть применен в реальных технических системах, для которых свойственно кусочно-линейное изменение параметров объекта. В частности, подобные задачи возникают при управлении электромеханическими системами, и фотоэлектронными элементами, в мехатронике и робототехнике, включая биомехатронные системы и коллаборативные роботы, а также задачах компенсации вертикальных инерционных ускорений при оценивании аномалий силы тяжести на подвижном объекте.

Методы исследования. В диссертации используются базовые методы адаптивного управления, аппарат методов математической теории устойчивости, а также современные методы идентификации, включая метод динамического расширения регрессора и смешивания (DREM). Для апробации разработанных алгоритмов и методов было проведено компьютерное моделирование, реализованное в среде Matlab/Simulink.

Положения, выносимые на защиту:

1. Итеративная процедура идентификации линейно изменяющихся параметров нестационарных систем при допущении, что параметры представляют собой неизвестные кусочно-линейные функции времени.

2. Модификация метода динамического расширения регрессора и смешивания для идентификации нестационарных параметров линейных регрессионных моделей.

Степень достоверности полученных результатов, представленных в диссертационной работе, подтверждается:

- строгостью математических доказательств предложенных в диссертации методов идентификации.

- представленными в диссертационной работе результатами численного моделирования в среде Matlab/Simulink.

- опубликованными работами в рецензируемых журналах, а также представленными на научных конференциях докладами.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- V Всероссийский конгресс молодых ученых, г. Санкт-Петербург, Россия, 2016;

- VI Всероссийский конгресс молодых ученых, г. Санкт-Петербург, Россия, 2017;

- VII Всероссийский конгресс молодых ученых, г. Санкт-Петербург, Россия, 2018;

- XLVIII Ежегодная научная и учебно-методическая конференция Университета ИТМО, г. Санкт-Петербург, Россия, 2019;

- XXI Конференция молодых ученых «Навигация и управление движением» (с международным участием), г. Санкт-Петербург, Россия, 2019.

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования представлены в 7-х научных публикациях, из них 4 статьи в изданиях из перечня ВАК [2-5], в том числе 1 статья в издании, включенном в международные базы научного цитирования Scopus и Web of Science [3], и 3 работы опубликовано в материалах конференций [6-8].

Личный вклад. Личным вкладом соискателя является непосредственное участие во всех этапах работы, а именно в выборе темы исследования, в разработке новых методов идентификации нестационарных параметров, а также проведении компьютерного моделирования.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из списка основных обозначений, введения, пяти глав и заключения. Объем диссертационной работы составляет 117 страниц, содержащих 57 рисунков и 1 таблицу. Список литературы включает 91 библиографических наименований.

Глава 1 Постановка задачи идентификации линейно изменяющихся во

времени параметров нестационарных систем

В главе обсуждается проблематика управления линейными нестационарными системами с неизвестными параметрами. Предполагая, что измеряются только выходная переменная объекта и сигнал управления (но не их производные или переменные состояния), а неизвестные параметры являются линейными функциями времени или их производные представляют собой кусочно-постоянные сигналы, ставится задача синтеза методов идентификации, обеспечивающих сходимость оценок настраиваемых параметров к их истинным значениям.

1.1 Проблема управления по выходу линейными нестационарными системами с неизвестными параметрами

Проблема синтеза закона управления для линейных нестационарных систем с неизвестными параметрами до сих пор является нетривиальной задачей. По мнению автора данного диссертационного исследования, единых методов управления линейными системами с неизвестными переменными параметрами не существует и каждый из подходов сфокусирован на решении частной задачи при некоторых допущениях на объект (см., например, [9-20]). Уже несколько десятилетий у специалистов в области адаптивного управления основная проблематика синтеза регуляторов связана, с так называемыми, методами адаптивного управления по выходу, то есть при условии, что измеряется только выходная переменная объекта, но не ее производные. В этом направлении широкое распространение получили методы управления нестационарными

системами с сильной обратной связью (см., например, [9, 10]), которые допускают, что линейная стационарная система представлена в некоторой канонической форме вида

х = Ах + Ьи + в^)у,

т

У = с х,

где е - не измеряемый вектор переменных состояния модели; А, Ъ и с -неизвестные постоянные матрицы соответственно п х п, п х 1 и п х 1 размерности; О(7)е!" - вектор неизвестных переменных параметров; у(?)еК - выходная переменная системы. Предполагая, что передаточная функция Н(р) = ст(р1 - Л)-1 Ь = Ь(р)/ а(р) минимально-фазовая (т.е. полином Ь(р) гурвицев), в [9, 10] синтезируется специальное динамическое звено размерности р-1 (где р - относительная степень Н(р) = Ь(р) / а(р)) с помощью которого при достаточно больших коэффициентах обратной связи обеспечивается стабилизация нестационарного объекта.

Легко видеть, что рассматриваемый класс нестационарных объектов [9, 10] имеет как минимум два ограничения:

- во-первых, полином Ь( р) гурвицев;

- во-вторых, вектор неизвестных параметров 0(1) умножается на измеряемую выходную переменную у (?), но не на измеряемый вектор переменных состояния

х^).

Рассмотренные подходы управления по выходу нестационарными системами [9, 10] относятся к категории прямых методов адаптации, то есть не предусматривают первичную идентификацию параметров объекта и, как следствие, использования информации о них в регуляторе. Однако современные вычислительные мощности и развитие методов параметрической идентификации позволяет для большого класса задач использовать именно непрямые или идентификационные методы адаптивного управления. Таким образом становится актуальной задача первичной идентификации параметров нестационарных систем

и далее синтеза законов управления. Именно проблеме идентификации параметров нестационарных систем посвящено данное диссертационное исследование.

В работе буду рассматриваться нестационарные системы следующего вида

x(t) = A(t)x(t) + b(t)u(t), y(t) = cT (t)x(t),

где параметры матриц A(t ), b(t ) и c (t ) линейно изменяются во времени.

Замечание 1.1. Следует отметить, что системы данного вида, в отличие от [9-20] не имеют ограничений по модели, но имеют более жесткие допущения относительно неизвестных параметров, а именно, на протяжении всей диссертационной работы будем придерживаться допущения, то они (параметры) являются кусочно-линейными функциями времени. Подобное допущение о кусочно-линейном изменении параметров, например, было рассмотрено в работе [21]. В [21] для канонической модели ошибок был предложен алгоритм адаптации с астатизмом второго порядка, обеспечивающий парирование возмущения, представленного в виде произведения известного вектора-строки на вектор неизвестных линейно изменяющихся параметров. Также необходимо отметить, что линейное изменение параметров во времени, строго говоря, не является математической абстракцией. Например, параметры большинства электромеханических систем в процессе работы претерпевают изменения относительно номинальных значений. В частности, линейному изменению подвержено сопротивление ротора, которое вызвано нагревом электрического двигателя в процессе его функционирования.

1.2 Математическая постановка задачи

Рассмотрим линейную нестационарную систему вида

+ On+m(t)y(n~l) +... + Om+1{t)y + em+l{t)y =

= еп (о и{т)+... + вх (ой+в0 (Ом, (1.1)

где у = у^) и и = и(1) - известные и измеряемые функции времени; числа т и п предполагаются известными, причем п > т; производные сигналов у = у^) и и = и (?) не измеряются; 0 (*) - неизвестные линейно изменяющиеся во времени функции, I = 0,...,п + т.

Относительно 0 (*) будем допускать, что они изменяются по следующему закону

1 при 0 < t < ti2,

Д.2 ти^^к',^

о, = Д

(1.2)

ПРи^д < t < ti,q+1,

где Д. . и - неизвестные числа, у = 1,...,q, причем ti^у определяет моменты времени, когда в у -ый раз меняется скорость вариации параметра 0 ^). Графическая интерпретация данного допущения представлена на рисунке 1.1, где в качестве наглядного примера была выбрана следующая динамика изменения

0 ^)

3=Д =

0,01 при 0 < t < 20, 0 при 20 < г < 40, -0,01 при 40<? <50, 0 при 50 < t < 100.

9,1 9,05 9

8,95

8,9

8,85

/ \ \

/ / / \ \ \

/ / / . \

/ / / ч/

20

40

60

80

t, c

Рисунок 1.1 - График изменения неизвестного параметра 6 (t) во времени

Ставится задача синтеза алгоритма идентификации

6(t) = f(y, u), (1.3)

обеспечивающего на интервале времени At = t;. .+1 - tt .:

1. асимптотическую сходимость функции 6(t) к вектору неизвестных параметров d(t) = col{6n+m,вп+т-1 ,...,0m, 6m-1,..., 60 }, то есть при At ^ да выполнение условия

lim 0(Át) = 0, (1.4)

А/-»оо

2. сходимость в некоторую область

^ и- , (1-5)

где 0(t) = é(t) - 6(t), ДО = ¡3(t) - p(t), 6(t) и ¡3(t) - соответственно оценки 6(t) и P(t), a, b и c - некоторые положительные константы, зависящие от параметров алгоритма идентификации.

Замечание 1.2. Следует отметить, что условие (1.4) выполняется только при стремлении интервала времени Аг = .+1 - ^ . к бесконечности. Таким образом

обеспечить получение нулевых ошибок оценивания на любом конечном интервале (без привлечения методов с асимптотически стремящимся к

0

бесконечности коэффициентом усиления или разрывностью в производных) невозможно. С учетом этого замечания, цель (1.4) предполагает, что по мере увеличения длительности интервала между переключениями до бесконечности, ошибки оценивания будет асимптотически стремиться к нулю.

1.3 Выводы по главе

В данной главе актуальность развития методов идентификации неизвестных параметров линейных нестационарных систем была рассмотрена. Был определен класс линейных нестационарных систем (1.1), (1.2), для которого цель идентификации параметров вида (1.3) - (1.5) была сформулирована.

Глава 2 Модифицированный метод динамического расширения регрессора и смешивания для идентификации нестационарных параметров линейных регрессионных моделей

В главе рассматривается проблема идентификации неизвестных нестационарных параметров для линейной регрессионной модели. Предлагается новый метод, позволяющий, в случае выполнения свойств предельной интегральной невырожденности элементов регрессора, обеспечивать оценку неизвестных нестационарных линейно изменяющихся параметров. Подробно анализируется случай с двумя неизвестными параметрами, который позволяет понять основную идею предлагаемого подхода. Рассматривается обобщение на случай любого количества параметров. Приводятся результаты компьютерного моделирования, иллюстрирующие работоспособность предлагаемого метода.

2.1 Постановка задачи идентификации нестационарных параметров линейных регрессионных моделей. Мотивационные примеры

Рассмотрим линейную регрессионную модель вида

y(t ) = m\t )0(t ), (2.1)

где y(t) et1 и m(l ) el" - известные скалярная и векторная функции, 0(1) еМ" -вектор неизвестных параметров.

Хорошо известно (см., например, [24, 26, 56-58]), что в случае постоянных параметров, необходимым условием экспоненциальной параметрической сходимости (и достаточным условием асимптотической сходимости) является условие незатухающего возбуждения, накладываемое на регрессор гп(1)<еШп. Однако условия незатухающего возбуждения не позволяют что-либо утверждать в

случае переменных параметров. В данной главе при условии, что вектор-функция т(1) еМ" удовлетворяет условиям незатухающего возбуждения (см., например, [57]), ставится задача синтеза алгоритмов параметрической идентификации, т.е. нахождение параметров 6(1).

Данная задача будет решаться в предположении, что для каждого из неизвестных параметров 6 (^) выполняется

4=д

Дп при 0 < t < 112, Д. 2 приtU2 < t < ti,3,

(2.2)

Д ,, ПРи^ < t <

где Д . и ^ . - неизвестные числа, у = 1,..,q, причем ^ . определяет моменты времени, когда в у -й раз меняется скорость вариации параметра 6\ (7).

0,1 0,05 0

-0,05 -0,1 -0,15

0

20

40 60 (а)

Д (0

80 г, с

5 4 3 2 1 0

0

20

вг (г)

40

60

(б)

80 г, с

Рисунок 2.1 - Пример изменения параметров: (а) - график функции ¡3{ (г);

(б) - график функции в (г)

Таким образом, в силу указанного предположения для любого г е

требуется обеспечить следующий характер сходимости оценок (см., также рис. 2.2)

<9(7) = 0(7) - 0(0,

г

Д(0 = Д(^)ехр(-Гг |А2(^),

до = до-до,

где в(г) и /?(г) - соответственно оценки в(г) и Р(г), а, Ь и с - положительные константы, зависящие от параметров алгоритма идентификации, число / > 0 и функция А будут определены далее.

Рисунок 2.2 - Иллюстрация достижения цели идентификации (/) и Д ^)

Следует отметить, что подобные задачи идентификации нестационарных параметров не являются самостоятельной и обособленной проблемой, а возникают в широком спектре приложений современной теории управления и обработки сигналов. Например, в задачах мехатроники и робототехники часть параметров, входящих в динамические модели роботов, могут быть заранее не определены, а для некоторых известны только их номинальные значения, которые могут существенно отличаться от истинных величин. При поиске оптимальных по времени или энергетическим затратам движений, при решении задач траекторного управления или управления по силе использование неточных оценок может привести к существенному снижению качества регулирования и даже вызвать нежелательное поведение системы. При этом наряду с предварительной динамической калибровкой крайне актуальными являются алгоритмы оценивания параметров в процессе работы [45]. Особенно это касается случаев, когда параметры системы являются нестационарными. В частности, в биомехатронных системах, таких как хирургические, носимые и коллаборативные роботы, крайне важно обеспечить желаемые силы взаимодействия с человеком и

внешней средой. В то же время датчики сил и моментов являются дорогостоящим оборудованием и далеко не всегда могут быть установлены из-за ограничений конструкции. В этом контексте привлекательным является развитие алгоритмов для реализации виртуальных датчиков сил/моментов и бессенсорного управления по силе [46-49].

Исходное уравнение движения робототехнической системы может быть получено, например, на основе метода Эйлера-Лагранжа и записано в общем виде как

ф(ОЖО) + g{q(t)) + тfl(t) = тг(0 , (2.3)

/„^(0 + ^(0 + ^(0 = ^(0, (2-4)

где q, с/, с] - это «-мерные векторы обобщенных координат, скоростей и

ускорений звеньев робота соответственно, Я = diag{r1, г2,..., г} - матрица

передаточных чисел редукторов, г - передаточное число в / -м сочленении,

с{с1-,ц), ё{ч) ~ матрица инерции и векторы сил кориолис/центробежных и

гравитационных соответственно, /т - матрица моментов инерции двигателей, т и

тт - управляющие моменты на звеньях и приводах, а т^ и т^т - моменты сил

трения в звеньях и приводах соответственно.

Замечание 2.1. Следует отметить, что для вывода уравнений движений робота с учетом динамики приводов можно ввести дополнительно вектор

координат, характеризующих положение валов приводов, дтеШ". Однако,

деформацией сочленений робота можно пренебречь, т.е. рассматривать случай

Ят = Я.

Известно, что уравнения движения (2.3)-(2.4) могут быть приведены к форме инверсной динамической модели [45] для случая нестационарных параметров в виде

т = а*яЦШШ)№), (2-5)

где г(0 = [г/т,г^]т - вектор обобщенных моментов, - матричный

регрессор, являющийся функцией измеряемых переменных, а %(г) - вектор неизвестных нестационарных (комбинированных) параметров.

Причин нестационарности параметров может быть несколько. Например, для манипуляторов последовательной кинематики переменная масса нагрузки влияет почти на все динамические параметры, составляющие вектор %(г) [45]. С другой

стороны, ключевым фактором для организации бессенсорного управления по силе является точное оценивание параметров трения [47-49]. Даже если учитывать только сухое и вязкое трение, то в общем случае для I -го сочленения можно записать

ыг(0 = + К1МУ1М), (2.6)

=к^т^шт)+Кш^УгШ, (2.7)

где ^) и ^) - коэффициенты кулоновского трения в г -м сочленении и

приводе системы соответственно, а .(г) и кут ^) - коэффициенты вязкого

трения в г -м сочленении и приводе. В частности, коэффициент сухого трения зависит от скорости в кинематической паре [50-51], а коэффициент вязкого трения может меняться в связи с изменением температуры в редукторах, а значит, и свойств смазки в процессе работы системы [52].

Следует отметить, что для этих параметров характерна медленная вариация, т.е. кусочно-линейная аппроксимация в этом случае обеспечивает достаточно высокую точность. В то же время существует ряд публикаций, в которых чтобы преодолеть недостатки известных моделей, большинство из которых включает негладкую функцию знака [53], силы трения описываются линейными моделями с нестационарными коэффициентами, что используется как для повышения точности позиционирования [54], так и для предиктивного выявления неисправностей в приводах [55].

Кроме того, результаты данной главы могут найти применение в задачах идентификации некоторых параметров математических моделей системы зарядки

аккумулятора солнечной панели с повышающим преобразователем [39, 40]. В настоящее время фотоэлектрическая технология развивается по двум направлениям: разработка фотоэлектрических материалов и управление мощностью (с использованием DC/DC и/или DC/AC преобразователей) для увеличения эффективности конверсии [27]. Несмотря на то, что технологии изготовления фотоэлектрических материалов развиваются большими темпами, фотоэлектрические системы остаются дорогостоящими решениями с относительно низкой эффективность конверсии энергии. Следовательно, развитие систем управления мощностью играет важную роль в увеличении эффективности конверсии энергии и уменьшении стоимости. Возможность точной идентификации параметров солнечной батареи дает повышение эффективности работы системы управления.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ле Ван Туан, 2019 год

- - - д -

5 н_________ 1, 1 г 1 п__________ П

Г р \ * и-1 г

} \ 1

т

60

А

80 Г, с

Дз

Рисунок 2.13 - Графики переходных процессов ошибок оценивания параметров

д

0

20 15 10 5 0 -5

0

у

/ / / ........

....... / ............. N \

20 40

60

в

80 в

и с

Рисунок 2.14 - Графики переходных процессов при оценивании переменных 0

0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8

1

* ¡1 * л

К, ч ^ Г ■

\у V- л * 1 ■ г * 1 1

и

1

|

0

20

40

01

60

в

80

7, С

Рисунок 2.15 - Графики переходных процессов ошибок оценивания параметров вi

2.6 Выводы по главе

В главе представлен новый алгоритм идентификации неизвестных нестационарных параметров для регрессионной модели (2.1). Допускалось, что динамика изменения неизвестных параметров может быть представлена в виде модели (2.2), а вектор известных функций /??(/) е К" удовлетворяет условиям незатухающего возбуждения. С использованием преобразований (2.23)-(2.25) была получена регрессионная модель (2.27), состоящая из неизвестных, но постоянных на некотором интервале параметров. Для идентификации неизвестных параметров модели (2.27) был использован метод динамического расширения регрессора и смешивания, позволяющий получить высокое быстродействие сходимости оценок (2.29) неизвестных параметров к их истинным значениям. Для идентификации параметров модели (2.1) был использован алгоритм (2.30), обеспечивающий оценку неизвестных переменных параметров.

Глава 3 Идентификация линейно изменяющихся во времени параметров

нестационарных систем

В данной главе для линейной нестационарной системы (1.1) при допущениях на изменение параметров (1.2) решается задача синтеза алгоритма идентификации (1.3), обеспечивающего выполнение условий (1.4), (1.5). Поскольку описание решения задачи синтеза алгоритма идентификации для системы общего вида (1.1) представляет собой сложную итеративную процедуру, то для облегчения понимания предлагаемого ниже подхода будет рассмотрен более простой случай объекта управления третьего порядка

у + 04(Оу + 6ъЦ)у + в2{1)у = вх{1)й + <90 {1)и. (3.1)

Для объекта управления (3.1) будет представлена итеративная процедура идентификации неизвестных параметров, содержащая:

- параметризацию исходной математической модели нестационарной линейной системы, то есть преобразование ее к виду (2.1);

- идентификацию параметров модели (2.1) с использованием инструментария, описанного в главе 2.

Следует отметить, что анализ модели третьего порядка не сужает области применения предлагаемого в диссертации метода, но лишь показывает суть итеративной процедуры синтеза алгоритма идентификации. Более того, в данной главе подробно будут представлены примеры идентификации параметров для объектов первого и второго порядков (соответственно, с двумя и тремя неизвестными нестационарными параметрами), а также приведены результаты компьютерного моделирования, иллюстрирующие применение рассматриваемой процедуры синтеза.

3.1 Параметризация объекта управления

Как указывалось ранее, первым шагом необходимым для идентификации нестационарных параметров является приведение уравнений вида (1.1) (или упрощенного варианта (3.1)) к линейной регрессионной модели (2.1). Для этого применим к (3.1) оператор 1 / (р +1)3, тогда получаем

1 ... 1 д .. 1 д . 1 а

-^ + 7-+ 7-7<звз у + т-^зв2у =

(р +1)" (р +1)

(Р + У

(Р + У

1 +

,3 "О'

(3.2)

(Р +1)3 1 (Р + \у

Рассмотрим отдельно каждое из шести слагаемых уравнения (3.2) на интервале времени ^ ]

1

Р~

-?у =-%у ■>

(р+I)3-" (р+1Г

1

(р+1)2

(р+1) с

вл

1 а- 1

—елУ = —

1

1

(р +1) 0> + 1) с

-у

1

{р + \у {р + \)\\р + \)

вл

04у = 1

л л

-У

(Р +1)2

р

\ 1 V у у 2 Л

р

(Р +1)"

(Р +1)

1

(Р +1)

ел

р

(Р+1) I 4(р+1)

у

у

2 Л

Лт-^

(р + У

у

р

1

(р+1)2 у- (р+1)

- А

р

(р+1)

■у

(3.3)

ел

р

-у

1

(р+1Г (р+1)

ел

р

(р+1):

-у

■Аг^гу - А-^хУ

(р+1)4

(р+1)4

г

1

2 2

= 04 * - 3А 7^74 У = 01 - М2,

(Р + 1) (Р + 1)

(3.4)

(Р +1)

(Р + 1)

в

Р

Р

(Р +1)

Р

У

-Дз—У =

(Р + 1)

03 У - 3Рз Т-^4 У = -взФз - РзФА , (Р+1)

(Р+1)

1 /э 1

— 02 У =-

(Р+1)2

(Р+1)4

в

(3.5)

(Р+1)

У

1

-Р2 7-У =

(Р+1)

(Р+1)

= в2Т-73 У - Р-74 У = -в2ф5 -Лф6 ,

(Р + 1) (Р + 1)

1 р р

—3 01й = 017-Т7з м - 3А 7-774м = 01ф7 + Лф8

1

(Р + У 1

"300и = в0--^и -3Ро

(Р +1)4 1

-и = воф9 + Дсф10

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(Р + 1)3 0 0 (Р +1)3 "0(Р +1)4

где в уравнениях (3.4) - (3.8) было использовано соотношение вида (см например, [22])

а а

' %1%2 = %1 Ж2

1

С

\

а

Х\ Жг V Р + а

Р+а Р+а Р+а

Таким образом, подставляя в (3.2) уравнения (3.3) - (3.8), получаем линейную регрессионную модель вида

г = вАф + Рф + въфз + Р3Ф4 + вф + ргфб + вфф + Рф + вф + Рф. (3.9) Из представленной процедуры параметризации модели (3.2) можно видеть, что с использованием оператора 1/(р + 1)п уравнение (1.1) можно привести к виду аналогичному (2.1) или (2.9)

г = вт с + Рт3, (3.10)

где в = Со1{вп+твт ,ви_1,...,во} и Р = Са1{Рп+т ,...рт ,Рт-!,...,Ро} - соответственно векторы неизвестных переменных и постоянных (на интервале ^ .) параметров, а

с и 3 - известные векторы.

Замечание 3.1. Следует отметить, что процедура параметризации (3.3) - (3.8) может показаться крайне громоздкой, но, возможно, с методической точки зрения более прозрачной. Тем не менее, процедура (3.3) - (3.8) может быть заменен на более емкую и общую. Для этого рассмотрим фильтр вида (см., например, [22])

w (р) = ¿т( р1 - ^ )-1 о+а.

Тогда для функций с, в, где в дифференцируема, выполняется

1¥{р)\втсо\=¿?тжо)[ш] - жс{р)[Шр)^т,

где Wc (р) = ЬТ (р/ - ^ )-1 и ^ (р) = (р/ - ^ )-1 О.

Для иллюстрации применения данного обобщения, рассмотрим слагаемое

1 а3

-тв2 у. Выбирая W (р) =-т для скалярных функций времени у ив,

(Р +1) (Р + а)

имеем

з з

—[ву] = [у] - А Wc(РЖЬ[у]]

(р + а) (р + а)

3а3

где в = р = сош и Жс(р)[Жь[у]] = ---¡[у].

(р + а)

Откуда получаем,

3 3 о 3

а а 3а

а -у[ву] = [у]-А-От[у]

(р + а) (р + а) (р + а)

и для случая а = 1 имеем уравнение аналогичное (3.6).

3.2 Идентификация параметров

Для идентификации параметров в = со1{вп+твт ,вт-1,...,в0} и А = со1{ Ап+т,..., /?т , /?т- ,..., /?0 } воспользуемся методом динамического расширения регрессора и смешивания для идентификации нестационарных параметров линейных регрессионных моделей, изложенным в главе 2. Тогда,

применительно к регрессионной модели (3.10) рассмотрим п + т +1 фильтров

виДа нк(Р) =

Р + х к

Хк г = -^втю + -^- 0т& =

вт Хк

Р + х к Р + х к 1

Р + х к

ю

Р + Хк Р + Хк

вт К

р+К

со

+0

т Хк &

Р+х к

Р + х к

(Р+X к)2

Р+хк

где Xк > 0 . Введем обозначения

2 к =

Ф =

Р + Х к

ю.

Р + х к

4

Хк -ю + ^^Я

(Р + хк) Р + х

к

Сформируем матрицы 2 =

' 21 ' 22 , Ф = " Ф1Т ' ф1 _ £

_ п +т +1 _ _фп+т +1 _ £Т _Ь п +т +1 _

регрессионную модель в матричном виде

г Г т! ю в+

=

г Ф м

0

и запишем

(3.11)

Сформируем матрицу Т = [юёе11(Ф) -юютасУ(Ф)] и умножим слева уравнение (3.11) на матрицу Т:

Т

г

г

= [юют ёе^Ф) - юют аС|(Ф)Ф]в + Т

&т

0

Поскольку adj(0)0 = det(O)I, то

T

r

= T

Z м

P.

Обозначим Q = T

r

T и N = T

Z м

. Тогда

Q = N p.

(3.12)

В силу структуры матрицы T (rank (T) < 1) получаем, что rank (N) < 1. Тогда из (3.12) имеем

q(t) = rn\t )P,

где деМ'игте _Измеряемые сигналы.

" q(t) " _ ^'(t)

q(t-Tx) II mTit-Tx)

_Ф~Тгг+т)_ _rnT(tt -тп+m)

Теперь введем п + т блоков запаздывания со значениями т , /л = 1, п + т, и получим матричное уравнение вида

К = АР (3.13)

где Y =

Умножая (3.13) на adj{ Ае} (т.е. союзную матрицу для Ае), получаем

У (г) = 8{г )Р, (3.14)

где 5 = с1е1(Ае) е!1- определитель матрицы Ае, У = асу {Ае}Уе, У 1 = 8 Д.

Оценивать, соответственно, векторы Р и в будем следующим образом

(3.15)

в = р-к(0(0Тв + к(0{г-3Т Д), (3.16)

/V /V

где у1 и к - любые положительные числа, Д ив) - соответственно, оценки параметров pi и в.

Утверждение 3.1. Пусть вектор о удовлетворяет условию незатухающего возбуждения (см., например, [23, 24, 57]) и для функции £(7) выполнено

,]+1

lim f S2(s)ds = ю. (3.17)

АТ^ю J

j

Тогда алгоритм (3.15), (3.16) обеспечивает на интервале времени А = t;. .+1 - tt .:

/V /V

1. асимптотическую сходимость ß и в к ß ив, то есть при АТ ^ ю выполнение условий

lim ß( A) = 0,

А/->оо

lim в(А) = 0.

А/->оо

2. сходимость в некоторую область

e{t)<a~ß{t1J)+bd{t11)

где а, Ь и с - некоторые положительные константы, которые могут быть уменьшены за счет увеличения у и к, входящих в (3.15), (3.16).

Доказательство. Сначала покажем, что алгоритм (3.15) обеспечивает асимптотическую сходимость оценок Д к Д на интервале времени Аг = ^ .+1 - ^ . при А7 ^ да. Для этого рассмотрим ошибку оценивания

Д=Д"Д- (3-18)

Дифференцируя (3.18), с учетом уравнения (3.15), получаем

Д = Д. - Д = - вд = += -Гг<52А + У^Р, =

Интегрируя (3.19) на интервале времени А = г - ^ . имеем

Ti, j+i

ßi(At) = Д(t- )exp(-y J

Откуда следует lim Д (А/1) = 0.

А/->оо

Теперь аналогичным образом докажем выполнения условия lim в(Аt) = 0.

Д/—»со

/V

Дифференцируя 0 = 0-0, имеем

9 = ß - ксоо?9 + ксо{г-Зт ß)-ß = = ß- ксосот0 + ш{сот0 + 3Tß - 3Tß) =

= ß — ксосо'в + ксосо'в — KCo9'ß

= ß- кою в - Kco3Tß. (3.20)

Откуда легко показать (см., например, [25]), что при lim Д.(А/1) = 0 и выполнении

Af—»со

условия незатухающего возбуждения для вектора со следует lim 0(At) = 0.

дг->оо

Далее, следуя разделу 2.3, можно показать, что из (3.19) и (3.20) следует неравенство

e(t)<aß(tlJ)+be(tu)

е~с«-'и)

что и требовалось доказать.

3.3 Результаты компьютерного моделирования

В данном разделе рассмотрим результаты компьютерного моделирования для двух разных случаев описания объекта управления (3.1). Пример 3.1. Рассмотрим объект первого порядка

у + 0^)у = 0о(Ои. (3.21)

Применяя для него оператор 1/( р +1), получаем

1 у + -^—0,у = -^—0ои. (3.22)

р +1 р +1 р +1 Рассмотрим отдельно каждое из слагаемых уравнения (3.22) на интервале времени ^ .

г = -РгУ, (3.23)

р +1

р +1

в у = в,

(р+1)

у-Д

(р+1)2

у = -вф -ДА

р +1

в0и = в0

(р+1)

и-Д0

(р+1)2

и

в0фз + Д0ф4,

(3.24)

(3.25)

где ф = -

1 л 1

"У, ф2 =

-у> фз =

1 л 1

и, ф4 = -

и.

(р + 1)" '2 (р +1)2" (р + 1Г (р +1)2

Подставляя уравнения (3.23) - (3.25) в (3.22), получаем линейную регрессионную модель вида

г = вф + ДФ2 + воФз +Д0Ф4. Пусть нестационарные параметры объекта (3.21) и сигнал управления имеют вид

0 при 0 < t < 20,

0,1 при 20 < t < 40,

0 при 40 < t < 60,

-0,025 при 60 < t < 100,

0 при 80 < t < 120,

4(0 = АС0 =

^(0 = Д(0 =

0 при 0 < г < 20, 0,05 при 20 < г < 40, 0 при 40 < г < 120

и

и(г) = 5в1п(4?).

Применим алгоритм идентификации (3.15) и (3.16). Выберем параметры ^ = 1, Х2 = 2, т = 0,1, у = 100000, к = 100 и проведем компьютерное моделирование.

На рисунках 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 и 3.5 представлены, соответственно, графики оценок параметров Д, Д, в1 и в1. Результаты компьютерного моделирования, представленные на рисунках 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 и 3.5, иллюстрируют достижение цели идентификации, сформулированную в утверждении 3.1.

1

1

1

1

1

1

С.с :.-0.2 о -0.2 -04 С.с

I 1 &«) -Дс ).

---1 к и.

№ г

*

О 20 40 60 60 100 (, с Рисунок 3.1 - Графики переходных процессов при оценивании переменных Д (^)

с.а

0.2 о -0.2 -04 -06 -о.е

---Им)

[ А(0

1 % 1

1 Г гг Г г