Адаптивное оценивание нестационарных параметров с использованием метода внутренней модели тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Нгуен Хак Тунг

• Нгуен Хак Тунг
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Нгуен Хак Тунг

Реферат

Synopsis

Введение

Глава 1. Обзор существующих методов

1.1 Обзор методов оценивания параметров нестационарных систем

1.2 Обзор методов синтеза адаптивных наблюдателей нестационарных систем

1.3 Обзор методов управления нестационарными системами

1.4 Обобщенная постановка задачи

Глава 2. Алгоритм адаптивного оценивания параметров стационарных генераторов за конечное время

2.1 Постановка задачи

2.2 Метод параметризации модели линейного генератора

2.3 Метод динамического расширения и смешивания регрессора со сходимостью за конечное время

2.4 Оценивание параметров вектора начальных условий генератора

2.5 Численное моделирование

2.6 Выводы по главе

Глава 3. Алгоритм адаптивного оценивания параметров для нестационарных нелинейных систем

3.1 Постановка задачи

3.2 Метод параметризации модели объекта управления

3.3 Синтез наблюдателей нестационарных параметров

3.4 Численное моделирование

3.5 Выводы по главе

Глава 4. Синтез адаптивного наблюдателя для нелинейных нестационарных систем

4.1 Постановка задачи

4.2 Синтез адаптивного наблюдателя с известными параметрами

113

4.3 Метод параметризации нестационарной системы

4.4 Синтез адаптивного наблюдателя с неизвестными параметрами

4.5 Численное моделирование

4.6 Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Публикации по теме диссертации

7

Реферат

Общая характеристика диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Адаптивное оценивание нестационарных параметров с использованием метода внутренней модели»

Актуальность темы.

В современной теории управления интерес представляют задачи, в которых параметры объектов управления меняются с течением времени. Во многих технических системах переходные процессы происходят гораздо быстрее, чем изменения параметров самой системы. Поэтому допущение о параметрической квазистационарности объектов в таких системах является достаточно обоснованным. Однако в современной теории автоматического управления данное допущение уступает место системам с параметрами, изменяющимися быстро.

В настоящее время существуют эффективные методы синтеза наблюдателей для объектов управления, описываемых математическими моделями с постоянными параметрами. Однако следует отметить, что не всегда возможно описать поведение объекта с помощью моделей, у которых параметры являются постоянными. Параметры могут изменяться со временем под воздействием различных внутренних и внешних факторов.

Проблема оценки изменяющихся параметров и вектора состояния нестационарных систем является актуальной при синтезе управления. При использовании информации, полученной с помощью наблюдателя, можно создать устройства для контроля технического состояния системы. Способ решения данной проблемы является важным для развития методов непрямого адаптивного управления.

В научной литературе существует большое разнообразие подходов для оценивания параметров и синтеза наблюдателей нестационарных систем. Благодаря с развитием новых и современных методов идентификации параметров, возрождается использование непрямых (идентификационных) методов адаптивного управления. Эти методы включают в себя начальную идентификацию параметров и последующий синтез регуляторов на основе полученных оценок.

В настоящей диссертации представлены новые алгоритмы адаптивной оценки нестационарных параметров нелинейных систем для некоторого класса.

Для решения данной задачи делается ряд практических допущений, предполагающих, что нестационарные параметры системы являются выходами линейных генераторов с неизвестными матрицами состояния и векторами начальных условий. Задача синтеза алгоритмов идентификации параметров нестационарных систем решается путем преобразования математической модели объекта управления к виду линейного регрессионного уравнения. В процессе поиска неизвестных параметров применяется метод динамического расширения и смешения регрессоров (DREM).

Степень разработанности темы исследования.

В данной диссертации была рассмотрена задача оценивания нестационарных параметров и переменных состояния нелинейных нестационарных систем для некоторого класса. Данная задача представлена в диссертации не является новой, однако она продолжает привлекать внимание исследователей. Для оценки параметров нестационарных систем существует широкий спектр различных подходов (Бобцов А.А., Пыркин А.А., Никифоров В.О., Герасимов Д.Н., Исидори А., Ортега Р., Марино Р., Томей П. и многие другие), один из таких подходов заключается в преобразовании исходной динамической системы к линейной регрессионной модели, за которой следует определение ее параметров.

Изучение такой задачи представляет интерес с точки зрения развития теории идентификации и методов адаптивного управления. Данная проблема актуальна во многих практических приложений, связанных с управлением судами, роботами, непрямым адаптивным управлением и т. д.

Допуская, что переменные параметры системы могут быть представлены в виде линейных генераторов с неизвестными матрицами состояния и векторами начальных условий. Предполагается, что неизвестные параметры системы могут иметь форму полинома, синусоиды, экспонента, а также произведения синусоид и экспонентов.

Целью диссертационной работы является разработка нового метода адаптивного оценивания параметров и переменных состояния для класса нелинейных нестационарных систем.

Для достижения данной цели в рамках диссертации были поставлены и решены следующие задачи:

Задача 1. Разработка алгоритма адаптивного оценивания параметров стационарных генераторов за конечное время.

Задача 2. Разработка алгоритма адаптивного оценивания переменных параметров для нелинейных нестационарных систем с измеряемым вектором состояния.

Задача 3. Разработка алгоритма адаптивного оценивания параметров и переменных состояния для нелинейных нестационарных систем.

Методы исследования. Для получения теоретических результатов были применены современные методы параметрической идентификации, метод внутренней модели, а также метод адаптивного управления. Для оценивания неизвестных параметров был использован метод динамического расширения и смешивания регрессора. Компьютерное моделирование выполняется в среде Matlab/Simulink для проверки эффективности разработанных алгоритмов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Алгоритм адаптивного оценивания параметров стационарных генераторов за конечное время.

2. Алгоритм адаптивного оценивания переменных параметров для нелинейных нестационарных систем с измеряемым вектором состояния.

3. Алгоритм адаптивного оценивания параметров и переменных состояния для нелинейных нестационарных систем.

Научная новизна. В диссертационной работе разработан новый алгоритм адаптивного оценивания параметров стационарных генераторов за конечное время, гарантирующего сходимость оценок параметров сигналов к истинным значениям. Задача идентификации решается путём преобразования модели линейного генератора в форму линейного регрессионного выражения. Предложен новый алгоритм оценивания переменных параметров для класса нестационарных нелинейных систем с измеряемым вектором состояния. Основным подходом к решению задачи является параметризация математической модели системы к

форме линейного регрессионного выражения, в котором вектор неизвестных параметров зависит от неизвестных коэффициентов системы. Представлен новый алгоритм адаптивного оценивания параметров и переменных состояния для нелинейных нестационарных систем. Решение поставленной задачи основано на методе GPEBO (обобщенный наблюдатель, основанный на оценке параметров). В настоящей работе рассмотрены более сложные допущения по неизвестным нестационарным параметрам, что нестационарные параметры системы могут быть представлены в виде линейных генераторов с неизвестными матрицами состояния и векторами начальных условий.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость диссертации заключается в разработке новых алгоритмов адаптивного оценивания параметров и переменных состояния нелинейных нестационарных систем для некоторого класса, нестационарные параметры которых являются выходами линейных автономных генераторов с неизвестными матрицами состояния и векторами начальных условий. Рассматриваемая система может быть содержано возмущение.

Разработанные алгоритмы имеют возможности для применения в прикладных задачах на реальных объектах. Математическая модель таких объектов является нелинейной системой уравнений с переменными параметрами. В частности, при управлении электромеханическими системами, в мехатронике и робототехнике, в корабельных системах и т. д.

Степень достоверности полученных результатов, представленных в данной диссертационной работе, подтверждается следующими факторами:

- математические доказательства алгоритмов, изложенных в данной диссертационной работе, отличаются высокой строгостью и подтверждают достоверность полученных результатов;

- представлены иллюстративные примеры численного моделирования с использованием среды Matlab (Simulink);

- результаты исследования опубликованы в научных статьях и представлены на международных конференциях.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- European control conference 2022, ECC 2022;

- 14th IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control and Signal Processing, ALCOS 2022;

- 8th international conference on control, decision and information technologies 2022, CODIT 2022;

- 29th Mediterranean Conference on Control and Automation, MED 2021;

- The XIII Majorov International Conference on Software Engineering and Computer Systems, MICSEC 2021;

- Конференции "Научная и учебно-методическая конференция университета ИТМО" (Санкт-Петербург 2021, 2022, 2023);

- Всероссийской конференции "Конгресс молодых ученых" (Санкт-Петербург, 2020, 2021, 2022);

Результаты работы использовались при выполнении следующих НИР для подготовки магистрантов и аспирантов фонда учебной нагрузки Университета ИТМО: Методы искусственного интеллекта для киберфизических систем.

Личный вклад. Личный вклад соискателя заключается в выборе темы, методов и методик выполненного исследования. Подготовка к публикации полученных результатов осуществлялась совместно с соавторами. Соискатель разработал новый алгоритм оценивания параметров стационарных генераторов за конечное время, новый алгоритм адаптивного оценивания переменных параметров нелинейных нестационарных систем с измеряемым вектором состояния, новый алгоритм адаптивного оценивания параметров и переменных состояния для класса нелинейных нестационарных систем.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 14 публикациях. Из них 2 изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 11 опубликованы в изданиях, индексируемых в базе цитирования Scopus и 1 работа опубликована в материалах конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из реферата, synopsis, введения, 4 глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 246 страниц, включая 72 рисунка. Список литературы содержит 86 наименований.

Основное содержание работы

Во введении настоящей диссертационной работы были сформулированы цель, задачи, научная новизна и практическая значимость и актуальности исследований.

В первой главе представлены обзоры методов оценивания параметров и переменных состояния для нестационарных систем. Приведен обзор методов управления с нестационарными системами. Сформируются математические постановки задачи, решение которой будет получено пошагово от более простого случая в Главе 2 до наиболее обобщенного в Главе 4.

Рассматривается объект управления на рисунке 1

rs,Zs( 0) =?

y(t) —►

5 = hits,

ч^« = №

u(t)

qx(t) = A0x(t) + B(p(t))u(t) + G(t)f(x(t)) + S(t),

y(t) = CTx(t)

Рисунок 1 - Структурная схема системы управления

где х Е Кп - неизмеряемый вектор состояния, ц - некоторый динамический оператор, и - сигнал управления, у - является доступной для измерения

регулируемой переменной, 8 - неизмеряемое возмущение, в,р - неизвестные нестационарные параметры, А0 Е Жпхп, В Е Жп, С Е Жп - матрица и векторы соответствующих размерностей:

Лп =

0 I 00

,С =

пхп

1 0

0 ,В(1) = 0

0 т.

Оператор я рассматривается в следующих видах:

I) Ц = р = — - дифференциальный оператор.

II) я = 2 : к ^ к + 1 - дискретный оператор сдвига.

Допустим, что нестационарные параметры в (€),$(€) и сигнал возмущения 8(€) могут быть представлены в виде линейных генераторов

0(1) = ктв^в(1),^^в(1) = Гв^в(1)

№ = ьЦ^Ю^м = г&ю

8(1)= кТ8^),^8(1) = Г8!;8(1)> Гв = Гов + Увкв, Гов =

Гр = Гор + Уркр, Гор =

Гз = Го8 + , Го8 =

0 V 00

0 !р 00

0 18 00

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

(6)

где (д Е Жт,(р Е Жг, Е1Г - векторы состояния генераторов с неизвестным начальным значением %в(0), (р(0),^(0), ГвЕЖтхт, ГрЕЖш, Г8ЕЖгхг -матрицы неизвестных постоянных коэффициентов, Е Жт, кр Е Жг, ЕЖГ -векторы соответствующей размерности, ув Е Жт,ур Е Жг, у3 Е Жг - векторы неизвестных постоянных параметров.

Требуется синтезировать алгоритм оценивания параметров в(€), 8(£), и переменных состояния обеспечивающего выполнение условий:

1 \ш(№-Ш) = 0, (7)

1\ш(в(г) - вф) = 0,

Нш(5(0 - ¿Ю) = 0,

1\ш(х(£) - х(£)) = 0.

(8) (9) (10)

Во второй главе дается решение задачи 1, а именно разработка алгоритма адаптивного оценивания параметров линейных генераторов.

Решение задачи оценивания параметров линейных генераторов основано на преобразовании модели генератора к виду линейного регрессионного выражения, в котором вектор неизвестных параметров является неизвестными параметрами генератора.

Рассматривается линейный генератор вида

8 = НТ%, ^ = Ц.

(11) (12)

Г =

0 10 0 0 0 10

0000

■Уг У 2 Уз У4

Нт = [1 0 0 0

0 0

1

Уп]

(13)

0].

где 6 - измеряемый сигнал, % Е Мп - вектор состояния генератора с неизвестным

начальным значением ^(0), Г Е Ж

пхп

матрица постоянных неизвестных

параметров, Н ЕЖп - постоянный вектор соответствующей размерности, у 1,1 =

1,п - неизвестные постоянные параметры.

Оператор я модели (12) рассматривается в следующих видах:

I) Ц = р = - дифференциальный оператор.

II) ц = г : к ^ к + 1 - дискретный оператор сдвига.

Требуется синтезировать алгоритм оценивания параметров у^ЮЛ обеспечивающего выполнение условия:

= 1,п,

Кш(у1-у()) = 0,

(14)

где - текущие оценки коэффициентов У1,1 = 1, п.

Утверждение 1. Для линейного генератора (11) - (12) существует представление в виде линейного регрессионного выражения:

5 = г]Т0(уд, (15)

где Б - вычислимая функция,

^ - регрессор, 0(У1) - вектор неизвестных параметров, зависящий от неизвестных

параметров У1, I = 1, п матрицы Г генератора.

Запишем модель генератора (11) - (12) в виде

=

= (2,

Ч^п = У1^1+У2^2 + - + Уп^

(16)

Представим выражение (16) в матричной форме:

ц28

(17)

Преобразовав уравнение (17) в следующем виде:

с28

% = Г-1

(18)

Умножая уравнение (18) на Нт получим

det(r)S = HTadj(r)

qS

q2S

qnS.

Если q рассматривается в виде дифференциального оператора q

1

Р df

применим к выражению (19) линейный фильтр

(р+1)п р

det(rp)

S(t) = HTadj(rp)

(p+iy

(v+i)n p2

и получим

s(ty

(p+i)1

p1

S(t)

(p+1)1

S(t)

(20)

Из выражения (20) получаем линейную регрессионную модель вида (15) относительно неизвестных постоянных параметров yip матрицы Гр генератора вида:

Z(p,t) = 1^т(р^)0(у1).

(21)

Если q рассматривается в виде дискретного оператора q = г, тогда из выражения (19) получаем линейную регрессионную модель вида (15) следующего вида:

det(rz) S( к) = HTadj(rz)

zS( к) z2S(k)

znS(k)

(22)

Для составления реализуемого уравнения регрессора сделаем сдвиг по времени в (22) на п шага назад и тогда перепишем систему (22) в виде:

det(rz)z-nS(k) = HTadj(rz)

1-п

S(k) z2-nS(k)

S(k)

(23)

1

С учетом выражения (23) получаем линейную регрессионную модель вида (15) относительно неизвестных постоянных параметров матрицы Г2 генератора вида:

Б(г,к)=-пт(г,к)в(у12). (24)

Утверждение 2. Рассматривается сигнал вида (11) - (13) и линейное регрессионное выражение (15). Алгоритм оценивания неизвестных параметров следующего вида:

ё1(г) = щЛ(г)(д1(г)-Л(гЩ, (25)

обеспечивает оценивание за конечное время:

= - Е№Ш), (26)

где

р с г,л г,л _ если ^ ХьЬ Е (0,1) П1Л

Е (Г)(Г) = 1Е&), если Е() < Ь. ( )

Е(г) = -К1Л2^)Е^),Е(0) = 1. (28)

функции Л(0 = det(Уе (г)) Е Ж1; тд(г) = adj(Уе)де(г) Е Жп,

де = Е(г -V1) ... Е(г -уп-1)]т,

Уе = [У]Т(О ЛТ(£ — V!) ... ^1T(t-Vn-l)l

параметр щ > 0 - любое положительное число.

Для иллюстрации работоспособности разработанного алгоритма и решения Задачи 1 проведено численное моделирование.

При ц = р рассмотрим пример 1:

Моделирование проводилось при следующих параметрах системы

Н =

Гр =

01 -9 0

На Рисунках 2-3 приведены результаты моделирования алгоритма оценивания параметров линейных генераторов в случае непрерывного времени.

-Ю

Рисунок 2 - График оценки параметров Уф(0.

-ю

£

о

-2

-4

О

4 6

8

10

Рисунок 3 - График ошибки оценивания параметров /¿р .

При ц = г рассмотрим пример 2:

Моделирование проводилось при следующих параметрах системы

0 1 0 1

Г2 = 0 0 1 ,н = 0

.1 -1.5 1.5 0

На Рисунках 4-5 приведены результаты моделирования алгоритма оценивания параметров линейных генераторов в случае дискретного времени.

^ О

-2

■71* ■71*(*0 72* ■72г(*0 7з* 7з*(&)

О

4 6

8

10

Рисунок 4 - График оценки параметров у^(к).

кг

О

-1

-2

О

4 6

71*(*0

[

—

8

10

Рисунок 5 - График ошибки оценивания параметров /¿2(&).

В третьей главе дается решение Задачи 2, а именно синтез алгоритма адаптивного оценивания параметров для нелинейных нестационарных систем с измеряемым вектором состояния.

Рассматривается нелинейная нестационарная система вида

Ъ = + х1+1,

: (29)

Хп = 0п/п(Хп) +

У = Х1, (30)

где XI Е Ж1 - измеряемое состояние, в^ ЕЖ1 - неизвестный нестационарный параметр, р ЕЖ1 - неизвестный постоянный параметр и и Е Ж1 - известный входной сигнал, у Е Ж1 - измеряемая выходная переменная, ^(х{) - известная

нелинейная функция, I = 1, п — 1.

Требуется синтезировать алгоритм оценивания неизвестных параметров §1(£),13(£), обеспечивающего для системы (29) - (30) достижение следующих условий:

Нш( вг( ¿)-§&)) = 0, (31)

РЮ) = 0. (32)

с учетом следующих допущений:

Допущение 1. Нестационарные параметры в^ могут быть представлены в виде линейных генераторов

01 = Яь, (33)

6 = %, (34)

0 Ь

Г1 = Г01+у[к1, Го1 = '¿\,к! = [1 0 ... 0].

где ^ Е Шт - вектор состояния генератора с неизвестным начальным значением (¿(0), Е Штхт - матрица неизвестных постоянных коэффициентов, ^ Е Шт -вектор соответствующей размерности, у^ Е Шт - вектор неизвестных параметров.

Допущение 2. Функции х{) не равны нулю.

Лемма 1. Для генератора (33)-(34) и линейного фильтра где р = дифференциальный оператор и параметр Л > 0 справедливо соотношение

1

(il — ail(i1 + ai2%i2 + + aim%im, (35)

р+Х

Параметры удовлетворяют следующей системе

Ъ — tu, fil — f¿2,

^im — Yil^il + Yi2^i2 + + Yim^im.

(36)

где а¿Р Е Ш, I = 1, п, V = 1, т - постоянные параметры.

Далее, разделив две части модели (29) на /¿(х¿), 1 = 1, п, получим

61 = Г&1) - Мхд - & /п(хп). (37)

1

Лемма 2. Применим линейный фильтр (р+х)т к (37) и получим регрессионную уравнению вида

Е1(1)=х1(1)в1, (38)

где - вычислимая функция,

Х1 = [ШЦ ... Ш1т Ш1(т+1) Шцт+2) ■■■ ЪЦ2т+1)] Е Ш(2т+1)хп -

регрессор, еъ = —^ - , Шт = - ,

_ 1 1 v _ 1 1 v _ рт-1 1 v ™i(m + l) — {р+Х)Шр+Х^3' mi(m + 2) — (р+Х)т-1 р+Х^3' mi(2m + 1) — (р+х)ш-1р+хАз

- элементы регрессора, 0i —

хп

[ап ... аш Р ран ... Ра1т\т ЕЖ(2т+1^ параметров, г,1 = ¡0—, = —,2ъ=—,1 = Хп

вектор неизвестных

На основе оценки неизвестных параметров матрицы Г^ и параметра ¡3, можем получить оценку вектора начальных условий £¿(0) в следующем виде

Р+Л

(39)

Л1т] Е

где 4>1 = ЦФ1 - фундаментальные матрицы, Ф^(0) = 1тхт,гЦ = [Ли Жтхп, I = 1,п - вектор неизвестных параметров зависит от вектора начальных условий (¿(0), который необходимо найти.

Из уравнения (39) получаем стандартное регрессионное уравнение

^¿(0 = ,

(40)

где = -¡—-2^--- Р~:23 Е Ж1хп - измеряемая функция, М? =

р+Л

р+Л

р+Х

р+Л

Ф

¿11

р+ Л

Ф

1 т

ЕЖтхп - регрессор, лИ = №¿1 - ^¿т]ЕЖтхпЛ =

1,п - вектор неизвестных параметров.

Для иллюстрации работоспособности разработанного алгоритма и решения Задачи 2 проведено численное моделирование.

Моделирование проводилось при следующих параметрах системы

Х1 = 0^1(Х1)+Х2, Х2 = ^(Х^) + Ри,

где

1 =

01 -1 0

Г7 =

31

,(т.(0)= 2 ,f1(x1) = 2 + sm(x1),и = —(3 + sm(t))x2.

01 -4 0

2

,(2(0) = 2\,Р = 2^2(Х2) = 3 + sin(x2).

Результаты моделирования показываются на Рисунках 6-10.

1

1

Рисунок 6 - График оценки параметров (3( ¿).

О 10 20 30 40

Рисунок 8 - График ошибки в1 (^ - в1 (^

<м

О

-5

О 10 20 30 40

Рисунок 10 - График ошибки в2( ^ — в2(1) В четвертой главе дается решение Задачи 3, а именно разработка алгоритма адаптивного оценивания параметров и переменных состояния для нестационарных нелинейных систем.

Рассматривается нелинейная нестационарная дискретная система вида х(к + 1)= Ах(к) + В(Р(к))и(к) + в(к)/(х(к)) + 8(к),

у(к) = Стх(к),

(41)

(42)

1 0

А = [0 1п-1] \-0 0 ,С = 0 ,в(г) = 0

0 т.

где х(к) Е Шп - неизмеряемый вектор переменных состояния, у (к) Е Ш1 -измеряемая выходная переменная, и(к) - сигнал управления, f(х(к)) - известная нелинейная функция, В((3(к)),6(к) - векторы неизвестных нестационарных параметров, 8(к) - неизмеряемый сигнал возмущения, А, С - известные матрица и вектор.

Требуется синтезировать алгоритм оценивания параметров (1(к),0(к),8(к), и переменных состояния Х(к), обеспечивающего выполнение условий:

\т(№-Ш) = 0, (43)

Иш( в( к)-в(к)) = 0, (44)

Нш( 8( к)-8(к)) = 0, (45)

Нш(х( к)-Х(к)) = 0. (46)

с учетом следующего допущения:

Допущение 3. Векторы нестационарных параметров В((3 (к)), в (к) и сигнал возмущения 8(к) являются выходами линейных генераторов

Р(к) = кр^р(к), ?р(к + 1) = Гр^р(к), (47)

О (к) = кв^в(к),^(к + 1)= ГвЬ(к), (48)

8(к) = к&(к), &(к + 1) = Г&(к), (49)

где Е Ж в Е Жт,<^ Е Жг - векторы состояния генераторов с неизвестными начальными значениями %р( ^) , Гр Е Жгх, Гв Е Жтхт, Г6 Е Жгхг -

матрицы неизвестных постоянных коэффициентов, кр, к в, к 3 - векторы соответствующей размерности, ур Е Ж1,ув Е Жт,у8 Е Жг - векторы неизвестных параметров.

Рассмотрим следующие фильтры:

Фр(к + 1) = ГрФр(к),Фр(10) = Ь, (50)

Фв(к + 1) = ГвФв(к),Фв(Ъ) = 1т, (51)

Ф6(к + 1) = Г6Ф6(к), Ф&0) = 1Г, (52)

где Фр Е Жгх, Фв Е Жтхт, Ф8 Е Жгхг.

и

д(к + 1)= Ад (к) + ^Фр(к)и(к), (53)

Г (к + 1)= АУ(к) + hвФв(к)f(х(к)), (54)

у^(к + 1) = А\^(к) + к8Ф8(к), (55)

где д Е Шпхг, У Е Шпхт , w Е Шпхг.

Утверждения 3. Существуют измеримые сигналы д Е Шпхг, У Е Шпхт, w Е Шпхг и вектор постоянных параметров ц Е Ш1+т+г такие, что состояние и выходной системы (41) - (42) могут быть записаны в виде

х(к) = лТух(к) + е(к), (56)

у(к) = Лтфу(к) + £(к), (57)

где

(дт(к)\ (дт(к)С\

<Рх(к) = ( Ут(к) ),уу(к) = ( Ут(к)С ), (58)

т(к)) \wт(к)С)

Рассмотрим систему (41) - (42) в виде

хь(к + 1) = х+1(к) + в^кШх^к)) + 61(к),

хп(к + 1) = вп(кШх1(к)) + (З(к)и(к) + 8п(к),

у (к) = х1(к). (59)

где I = 1,п — 1.

Перепишем систему (59) в виде вход - выход

у(к + п) = р(к)и(к) + +(вп(к) .к(х1(к)) + в1(к + п 0П(х1(к + п 0)) + (60)

28 п-1

+ (8п(к) + ^81(к + п-1)

1=1

Запишем уравнение (60) с использованием дискретного оператора г, получим

гпу(к) = [кри(к)]%р(к) + + [(11квГп(*1(к)) + Ш111квГвп-^п-Г1(х1(к)))]%в(к) + (61)

[(1\к8 + ШШ+гк еГГ1*п-1)Ык),

у (к) = х1(к). (62)

где I = 1,п — 1,1 ? Е Жп обозначает ц - вектор п - мерного Евклидова. С учетом уравнения (62), рассмотрим систему

' гп+к1у(к) = [кргк1и(к)]^р(к) + [хкв1]^в(к) + [х^Ык), 2п+кну(к) = [кр2к^и(к)]^р(к) + +[хкк]^в(к) + [хк'Шк),

(63)

где к Е Ш,] = 1, к, к = I + т + г.

( п-1

к1 хв =

11квГвк1гк1Гп(х1(к)) + £ 1^+1квГпв 1+к12п-+к1П(х1(к))

\

хк» = (1Т1квГвк^к^/п(х1(к)) + Еп=111^+1квГп +^п-+кА(х1(к)))

/ п-1

хк1 = ЫкаГ^ + £ ^Ъ^ГГ^-^

/ п-1

хк» = КВД^ + £ 1Ъ1к8ГТ1+ккгп-+к

Представим систему (63) в матричной форме

У(г,к) = П(г,к)%(к). (64)

Для составления реализуемого уравнения регрессора сделаем сдвиг по времени в (64) на кп + п шага назад и тогда перепишем систему (64) в виде:

У (г, к) = П(г, к)%(к — кн — 2). (65)

а также сдвиг по времени назад кп + п шага в выражении (61) получим г-к*у(к) = (г-к*-п[^и(к)] г-къ-пШ)ак — кн — п), (66)

где:

(п-1

1ТМп(х1(к)) + ^ *1+^ГГ12П-%х1(к))

=1

=1

С учетом выражений (65) и (66), найдем

(г-к»-п[^и(к)] г-к»-пШ г-кь-пШ)ааКП(г,к))¥(г,к) =

г-к>*у(к) йег(П(г, к)). (67)

На основе уравнения (67) построим регрессионную модель

к) = р(к)а(гр,Ге,Г8), (68)

где (( к) = ((г, к) - измеряемая функция, р(к) = р(г, к) - регрессор, о(ур, Ув, Уз) - вектор неизвестных параметров.

Для идентификации вектора <?(ур,ув,у8) регрессионной модели (68) используется метод ЭКЕМ. На основе оценки параметров векторов Ур,Ув,Уз и уравнения (68) можем найти оценку для параметров вектора ц.

Для иллюстрации работоспособности предлагаемого метода рассмотрим систему:

х1(к + 1) — х2(к) + 01(к)Г1(х1(к)) + бМ, х2(к + 1) = (З(к)и(к) + 02(к)Г2(х1(к)) + б2(к),

У(к) — х1(к).

Допуская, что б(к) — 0, в(к),Р(к) примут следующие параметры

Г? = {° 1)'Гв< ^У^ЬУв*0 кр = [1 0],кв = к1 = 1,к2 = 2,к3 — 3,к4 — 4,/1(х1(к)) — sin(х1(к)).

10 00

Переменные параметры в(к),Р(к) примут следующие параметры

Г

МЛ ^-=(0 !)■

На Рисунок 11-14 приведены результаты моделирования при и — sin(t) + sin(2t).

-

0

-1

о

70 Ык) 7/3 Ык)

1

4 6 8

10

Рисунок 11 - График оценки параметров У^.

о

■1

1 1 1 1е (к) -'Уя(к)

1Р У /

О 2 4 6 8 10

Рисунок 12 - График ошибки оценивания параметров у^.

10 5 0 -5 ■10

■XI (к)

■х2(к)

О

и

4 6

8 10

Рисунок 13 - График оценки переменных состояния х.

25013

10 5

S 0

-5 -10

0 2 4 6 8 10

t, с

Рисунок 14 - График ошибки оценивания переменных состояния х.

В заключении изложены итоги диссертационного исследования, перспективы дальнейшей разработки тематики. В диссертационной работе описан процесс разработки алгоритма оценивания параметров стационарных генераторов за конечное время. Разработаны алгоритмы адаптивного оценивания параметров и переменных состояния нестационарных нелинейных систем для некоторого класса. Проведено математическое моделирование, иллюстрирующее эффективность предложенных алгоритмов.

Публикации по теме работы

В международных изданиях, индексируемых в базе данных Scopus:

1. Tung N.K., Yachmenkov M.M., Vlasov S.M., Pyrkin A.A., Adaptive parameter estimation of linear time invariant generators in finite time with relaxed excitation conditions // IFAC-PapersOnLine. - 2022. - Vol. 55. - №. 12. - С. 97-102.

2. Khac T., Vlasov S.M., Pyrkin A.A., Parameters estimation of multi-sinusoidal signal in finite-time // Cybernetics and physics. - 2022. - Vol. 11. - №. 2. - С. 74-81.

1 1

J 1J

11 In

1 xi (k) x2(k)

3. Nguen K., Vlasov S.M., Skobeleva A.V., Pyrkin A.A., Adaptive Parameter Estimation of Deterministic Signals // 8th International Conference on Control, Decision and Information Technologies. - 2022. - С. 1285-1290.

4. Tung N.K., Vlasov S.M., Pyrkin A.A., Kirsanova A.S., Korotina M.M., Estimation of the Parameters of Exponentially Damped Sinusoidal Signals // European Control Conference. - 2022. - С. 309-304.

5. Khac T., Vlasov S.M., Pyrkin A.A. Adaptive Tracking of Multisinusoidal Signal for Linear System with Input Delay and External Disturbances//Cybernetics and physics. - 2022. - Vol. 11. - No. 4. - pp. 198203.

6. Nguen K.T, Vlasov S.M., Skobeleva A.V., Pyrkin A.A., Compensation Multiharmonic Disturbance for linear System with Input Delay//8th International Conference on Control, Decision and Information Technologies.

- 2022. - С. 1291-1296.

7. Khac T., Vlasov S.M., Iureva R.A. Estimating the Frequency of the Sinusoidal Signal using the Parameterization based on the Delay Operators // ICINCO Proceedings of the 18th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. - 2021. - С. 656-660.

8. Nguyen Khac Tung., Vlasov S. M., Pyrkin A. A. Algorithm for Identification of Parameters Sinusoidal Signal with the Exponentially Damping Amplitude, Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, - 2022. - Vol. 23. - №. 3, - Pp. 125-131. (Нгуен Х., Власов С. М., Пыркин А.А., Алгоритм идентификации параметров синусоидального сигнала с экспоненциально затухающей амплитудой // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2022. - Vol. 23.

- №. 3. - С. 125-131.)

9. Nguyen Kh.T., Vlasov S.M., Pyrkin A.A., Popkov I.V. A new algorithm for the identification of sinusoidal signal frequency with constant parameters. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, - 2022. - Vol. 22. - №. 1, Pp. 18-24 (Нгуен Х., Власов С. М., Пыркин А.А., Попков И. В., Новый алгоритм идентификации частоты

синусоидального сигнала с постоянными параметрами // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. -2022. - Vol. 22. - №. 1. - С. 18-24.)

10.Nguyen K.T., Vlasov S.M. Method for identification of sinusoidal signal parameters with variable unknown amplitude. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, - 2023. - Vol. 23. - №. 1. - Pp. 54-61. (Нгуен Х., Власов С. М. Метод идентификации параметров синусоидального сигнала с неизвестной переменной амплитудой // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2023. - Т. 23. - № 1. - С. 54-61.).

11.Nguyen K.T., Vlasov S.M., Pyrkin A.A., Skobeleva A.V. Compensation of external disturbances for MIMO systems with control delay. Scientific and Technical Journal of Information Technologies, Mechanics and Optics, - 2022, - Vol. 22. - №. 4. - pp. 666-673. (Нгуен Х., Власов С. М., Пыркин А.А., Скобелева А. В. Компенсация внешних возмущений для многоканальных систем с запаздыванием в управлении // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. - 2022. - Vol. 22. - №. 4. - С. 666-673.)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нгуен Хак Тунг, 2023 год

Литература

1. Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Efimov D., Zolghadri A. Frequency estimation for periodical signal with noise in finite time // Proc. of the 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference (CDC-ECC). 2011. P. 3646-3651. https://doi.org/10.1109/ CDC.2011.6160655

2. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Improved transients in multiple frequencies estimation via dynamic regressor extension and mixing // IFAC-PapersOnLine. 2016. V. 49. N 13. P. 99-104. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2016.07.934

3. Bobtsov A., Lyamin A., Romasheva D. Algorithm of parameters' identification of polyharmonic function // IFAC Proceedings Volumes. 2002. V. 35. N 1. P. 439-443. https://doi.org/10.3182/20020721-6-ES-1901.01059

4. Marino R., Tomei R. Global estimation of n unknown frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. V. 47. N 8. P. 13241328. https://doi.org/10.1109/TAC.2002.800761

5. Bodson M., Douglas S.C. Adaptive algorithms for the rejection of sinusoidal disturbances with unknown frequency // Automatica. 1997. V. 33. N 12. P. 2213-2221. https://doi.org/10.1016/S0005-1098(97)00149-0

6. Khac T., Vlasov S.M., Iureva R.A. Estimating the Frequency of the Sinusoidal Signal using the Parameterization based on the Delay Operators // Proc. of the 18th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (ICINCO). 2021. P. 656-660. https://doi.org/10.5220/0010536506560660

7. Севастеева Е.С., Чернов В.А., Бобцов А.А. Алгоритм увеличения скорости идентификации частоты синусоидального сигнала // Известия вузов. Приборостроение. 2019. Т. 62. № 9. С. 767-771. https://doi.org/10.17586/0021-3454-2019-62-9-767-771

8. Пыркин А.А., Бобцов А.А., Никифоров В.О., Колюбин С.А., Ведяков А.А., Борисов О.И., Громов В.С. Компенсация полигармонического возмущения, действующего на состояние и выход линейного объекта с запаздыванием в канале управления // Автоматика и телемеханика. 2015. № 12. С. 43-64.

9. Бобцов А.А., Пыркин А.А. Компенсация неизвестного синусоидального возмущения для линейного объекта любой относительной степени // Автоматика и телемеханика. 2009. № 3. С. 114-122.

10. Бобцов А.А., Колюбин С.А., Пыркин А.А. Компенсация неизвестного мультигармонического возмущения для нелинейного объекта с запаздыванием по управлению // Автоматика и телемеханика. 2010. № 11. С. 136-148.

11. Vlasov S., Margun A., Kirsanova A., Vakhvianova P. Adaptive controller for uncertain multi-agent system under disturbances // Proc. of the 16th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (ICINCO). 2019. V. 2. P. 198-205. https:// doi.org/10.5220/0007827701980205

12. Власов С.М., Борисов О.И., Громов В.С., Пыркин А.А., Бобцов А.А. Алгоритмы адаптивного и робастного управления

References

1. Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Efimov D., Zolghadri A. Frequency estimation for periodical signal with noise in finite time. Proc. of the 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference (CDC-ECC), 2011, pp. 3646-3651. https://doi. org/10.1109/CDC.2011.6160655

2. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Improved transients in multiple frequencies estimation via dynamic regressor extension and mixing. IFAC-PapersOnLine, 2016, vol. 49, no. 13, pp. 99-104. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2016.07.934

3. Bobtsov A., Lyamin A., Romasheva D. Algorithm of parameters' identification of polyharmonic function. IFAC Proceedings Volumes, 2002, vol. 35, no. 1, pp. 439-443. https://doi.org/10.3182/20020721-6-ES-1901.01059

4. Marino R., Tomei R. Global estimation of n unknown frequencies. IEEE Transactions on Automatic Control, 2002, vol. 47, no. 8, pp. 1324-1328. https://doi.org/10.1109/TAC.2002.800761

5. Bodson M., Douglas S.C. Adaptive algorithms for the rejection of sinusoidal disturbances with unknown frequency. Automatica, 1997, vol. 33, no. 12, pp. 2213-2221. https://doi.org/10.1016/S0005-1098(97)00149-0

6. Khac T., Vlasov S.M., Iureva R.A. Estimating the Frequency of the Sinusoidal Signal using the Parameterization based on the Delay Operators. Proc. of the 18th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (ICINCO), 2021, pp. 656-660. https://doi.org/10.5220/0010536506560660

7. Sevasteeva E.S., Chernov V.A., Bobtsov A.A. Algorithm for increasing the speed of sinusoidal signal frequency identification. Journal of Instrument Engineering, 2019, vol. 62, no. 9, pp. 767-771. (in Russian). https://doi.org/10.17586/0021-3454-2019-62-9-767-771

8. Pyrkin A.A., Bobtsov A.A., Nikiforov V.O., Kolyubin S.A., Vedyakov A.A., Borisov O.I., Gromov V.S. Compensation of polyharmonic disturbance of state and output of a linear plant with delay in the control channel. Automation and Remote Control, 2015, vol. 76, no. 12, pp. 2124-2142. https://doi.org/10.1134/ S0005117915120036

9. Bobtsov A.A., Pyrkin A.A. Compensation of unknown sinusoidal disturbances in linear plants of arbitrary relative degree. Automation and Remote Control, 2009, vol. 70, no. 3, pp. 449-456. https://doi. org/10.1134/S0005117909030102

10. Bobtsov A.A., Kolyubin S.A., Pyrkin A.A. Compensation of unknown multi-harmonic disturbances in nonlinear plants with delayed control. Automation and Remote Control, 2010, vol. 71, no. 11, pp. 23832394. https://doi.org/10.1134/S000511791011010X

11. Vlasov S., Margun A., Kirsanova A., Vakhvianova P. Adaptive controller for uncertain multi-agent system under disturbances. Proc. of the 16th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics (ICINCO), 2019, vol. 2, pp. 198-205. https://doi.org/10.5220/0007827701980205

по выходу роботизированным макетом надводного судна // Мехатроника, автоматизация, управление. 2016. Т. 17. № 1. С. 1825. https://doi.org/10.17587/mau.17.18-25

13. Власов С.М., Борисов О.И., Громов В.С., Пыркин А.А., Бобцов А.А. Робастная система динамического позиционирования для роботизированного макета надводного судна // Известия вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58. № 9. С. 713-719. https://doi. org/10.17586/0021-3454-2015-58-9-713-719

14. Hsu L., Ortega R., Damm G. A globally convergent frequency estimator // IEEE Transactions on Automatic Control. 1999. V. 44. N 4. P. 698-713. https://doi.org/10.1109/9.754808

15. Hou M. Amplitude and frequency estimator of a sinusoid // IEEE Transactions on Automatic Control. 2005. V. 50. N 6. P. 855-858. https://doi.org/10.1109/TAC.2005.849244

16. Lee S.W., Lim J.S., Baek S., Sung K.M. Time-varying signal frequency estimation by VFF Kalman filtering // Signal Processing. 1999. V. 77. N 3. P. 343-347. https://doi.org/10.1016/S0165-1684(99)00085-7

17. Karimi-Ghartemani M., Ziarani A.K. A nonlinear time-frequency analysis method // IEEE Transactions on Signal Processing. 2004. V. 52. N 6. P. 1585-1595. https://doi.org/10.1109/TSP.2004.827155

18. Fedele G., Ferrise A. A frequency-locked-loop filter for biased multi-sinusoidal estimation // IEEE Transactions on Signal Processing. 2014. V. 62. N 5. P. 1125-1134. https://doi.org/10.1109/ TSP.2014.2300057

19. Hall S., Wereley N. Performance of higher harmonic control algorithms for helicopter vibration reduction // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1993. V. 16. N 4. P. 793-797. https://doi. org/10.2514/3.21085

20. Nikiforov V.O. Adaptive servomechanism controller with an implicit reference model // International Journal of Control. 1997. V. 68. N 2. P. 277-286. https://doi.org/10.1080/002071797223604

21. Umari A.M.J., Gorelick S.M. Evaluation of the matrix exponential for use in ground-water-flow and solute-transport simulations: theoretical framework: Water-Resources Investigations Report 864096. U.S. Geological Survey, 1986. P. 12. https://doi.org/10.3133/ wri864096

22. Ljung L. System Identification: Theory for the User. NJ: Prentice-Hall, 1987.

12. Vlasov S.M., Borisov O.I., Gromov V.S., Pyrkin A.A., Bobtsov A.A. Algorithms of adaptive and robust output control for a robotic prototype of a surface vessel. Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2016, vol. 17, no. 1, pp. 18-25. (in Russian). https://doi. org/10.17587/mau.17.18-25

13. Vlasov S.M., Borisov O.I., Gromov VS., Pyrkin A.A., Bobtsov A.A. Robust system of dynamic positioning for robotized model of surface craft. Journal of Instrument Engineering, 2015, vol. 58, no. 9, pp. 713-719. (in Russian). https://doi.org/10.17586/0021-3454-2015-58-9-713-719

14. Hsu L., Ortega R., Damm G. A globally convergent frequency estimator. IEEE Transactions on Automatic Control, 1999, vol. 44, no. 4, pp. 698-713. https://doi.org/10.1109Z9.754808

15. Hou M. Amplitude and frequency estimator of a sinusoid. IEEE Transactions on Automatic Control, 2005, vol. 50, no. 6, pp. 855-858. https://doi.org/10.1109/TAC.2005.849244

16. Lee S.W., Lim J.S., Baek S., Sung K.M. Time-varying signal frequency estimation by VFF Kalman filtering. Signal Processing, 1999, vol. 77, no. 3, pp. 343-347. https://doi.org/10.1016/S0165-1684(99)00085-7

17. Karimi-Ghartemani M., Ziarani A.K. A nonlinear time-frequency analysis method. IEEE Transactions on Signal Processing, 2004, vol. 52, no. 6, pp. 1585-1595. https://doi.org/10.1109/ TSP.2004.827155

18. Fedele G., Ferrise A. A frequency-locked-loop filter for biased multi-sinusoidal estimation. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, vol. 62, no. 5, pp. 1125-1134. https://doi.org/10.1109/ TSP.2014.2300057

19. Hall S., Wereley N. Performance of higher harmonic control algorithms for helicopter vibration reduction. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1993, vol. 16, no. 4, pp. 793-797. https://doi. org/10.2514/3.21085

20. Nikiforov V.O. Adaptive servomechanism controller with an implicit reference model. International Journal of Control, 1997, vol. 68, no. 2, pp. 277-286. https://doi.org/10.1080/002071797223604

21. Umari A.M.J., Gorelick S.M. Evaluation of the matrix exponential for use in ground-water-flow and solute-transport simulations: theoretical framework. Water-Resources Investigations Report 864096. U.S. Geological Survey, 1986, pp. 12. https://doi.org/10.3133/ wri864096

22. Ljung L. System Identification: Theory for the User. NJ, Prentice-Hall, 1987.

Авторы

Нгуен Хак Тунг — аспирант, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, https://orcid.org/0000-0001-6430-1927, [e-mail]

Власов Сергей Михайлович — кандидат технических наук, доцент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, ЕЭ 55355689600, https://orcid.org/0000-0002-8345-7553, [e-mail]

Пыркин Антон Александрович — доктор технических наук, профессор, профессор, декан факультета, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, 26656070700, https:// orcid.org/0000-0001-8806-4057, [e-mail] Попков Иван Владимирович — студент, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 197101, Российская Федерация, https://orcid. org/0000-0003-4565-5652, [e-mail]

Authors

Khac Tung Nguyen — PhD Student, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, https://orcid.org/0000-0001-6430-1927, [e-mail]

Sergey M. Vlasov — PhD, Associate Professor, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, sc 55355689600, https://orcid. org/0000-0002-8345-7553, [e-mail]

Anton A. Pyrkin — D.Sc., Full Professor, Dean, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, ^ 26656070700, https://orcid. org/0000-0001-8806-4057, [e-mail]

Ivan V. Popkov — Student, ITMO University, Saint Petersburg, 197101, Russian Federation, https://orcid.org/0000-0003-4565-5652, vanta. [e-mail]

Статья поступила в редакцию 15.10.2021 Одобрена после рецензирования 12.12.2021 Принята к печати 20.01.2022

Received 15.10.2021

Approved after reviewing 12.12.2021

Accepted 20.01.2022

Р бот доступн по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial»

УДК 681.51 Б01: 10.17587/таи.23.125-131

Нгуен Хак Тунг, аспирант, [e-mail], С. М. Власов, канд. техн. наук, доц., [e-mail], А. А. Пыркин, д-р тех. наук, проф., [e-mail],

Университет ИТМО, г. Санкт-Петербург

Алгоритм идентификации параметров синусоидального сигнала с экспоненциально затухающей амплитудой

Предлагается новый метод оценки параметров несмещенного синусоидального сигнала с экспоненциально затухающей амплитудой. Сигналы данного типа могут наблюдаться в широком диапазоне природных явлений, таких как распространение акустических волн, а также могут характеризовать сложное взаимодействие между компонентами энергосистем. Поэтому, на взгляд авторов, задача оценивания параметров синусоидальных сигналов с экспоненциально затухающей амплитудой является актуальной в настоящее время. Предполагается, что фаза, частота, коэффициент затухания амплитуды сигнала являются неизвестными функциями времени. Предлагается новый метод для параметризации синусоидального сигнала с экспоненциально затухающей амплитудой. На первом этапе сигнал представлен как выход линейного генератора, параметры затухающего синусоидального сигнала (амплитуда, фаза, коэффициент затухания и частота) неизвестны. Далее применяется жорданова форма матрицы и запаздывания для преобразования измеряемого сигнала, затем выводится линейная регрессионная модель, которая зависит от частоты и коэффициента затухания. На последнем этапе неизвестные параметры (частота, коэффициент затухания) рассчитываются из полученных моделей линейной регрессии. Численное моделирование демонстрирует эффективность предложенного алгоритма.

Ключевые слова: синусоидальные сигналы, идентификация, жорданова форма матрицы, частота, коэффициент затухания, линейная регрессионная модель

Введение

Задача идентификации параметров синусоидальных сигналов для случая стационарных амплитуд хорошо изучена, например в работах [1—10]. В статьях [3, 4] представлены методы идентификации частот сигнала, содержащего известное число гармоник. Эти методы обеспечивают глобальную асимптотическую сходимость настраиваемых параметров к истинным значениям.

В данной работе представлен метод идентификации параметров синусоидального сигнала с экспоненциально затухающей амплитудой. Такой сигнал может наблюдаться в широком диапазоне природных явлений, таких как распространение акустических волн, но может также характеризовать поведение искусственных систем, возникающее, например, как следствие сложного взаимодействия между компонентами энергосистем. Оценивание параметров экспоненциально затухающего синусоидального сигнала является актуальной задачей в настоящее время, поскольку синусоидальные параметры описывают качественное поведение связанной системы. Например, колебания с изменяющейся во времени амплитудой в энергосистемах могут быть предвестником нестабильности из-за неисправностей оборудования или других неисправностей. В этом контексте точная и быстрая

идентификация этих колебаний требует значительных исследований.

Классические методы оценивания частот затухающих синусоидальных сигналов предложены в работах [10—12]. В работе [13] представлен адаптивный алгоритм, основанный на принципе внутренней модели с дискретным временем, для идентификации экспоненциально затухающих синусоидальных сигналов. В работе [14] предложен метод оценки параметров затухающего синусоидального сигнала: частоты, коэффициента затухания, смещения, амплитуды и фазы. Схема состоит из двух частей. На первом этапе оцениваются частота, коэффициент затухания и смещение. На втором этапе проводят оценки амплитуды и фазы: для параметризации сигнала применяют блоки запаздывания и используют метод динамического расширения и смешения регрессоров для оценивания неизвестных параметров регрессионной модели. Алгоритм оценивания частоты на основе скользящего режима был предложен в работе [15] для экспоненциально затухающего синусоидального сигнала без смещения.

В настоящей работе предложен новый алгоритм идентификации частоты и коэффициента затухания синусоидального сигнала с экспоненциально затухающей амплитудой. В предположении, что частота, амплитуда и фаза синусоидального сигнала являются по-

стоянными и неизвестными параметрами, синтезируется алгоритм идентификации, который обеспечивает сходимость настроенной оценки частоты к истинному значению.

Постановка задачи

Рассмотрим измеряемый сигнал

уЦ) = Ае8т(юt + ф), (1)

где А е М — амплитуда; ю е М — частота; Ф е М — фаза; у — коэффициент затухания; А, ю, ф, у —неизвестные постоянные параметры.

Требуется синтезировать алгоритм оценивания частоты ю (0, у (t), обеспечивающий выполнение условия

lim(ю(t) - Ю(t)) = 0, Иш(у^) - ^)) = 0. (2)

t^^ t^^

Введем следующее

Допущение 1: известны минимальная частота ю и максимальная частота ю, причем 0 < ю М ю М ю.

Параметризация затухающего синусоидального сигнала

Рассмотрим задачу построения модели линейной регрессии с измеряемыми переменными и вектором постоянных параметров, зависящих от неизвестной частоты ю и коэффициента затухания у.

Сигнал у(^ может быть представлен как выходы линейных генераторов [16]:

у (t) = Hт X(t);

4 (t) = г X(t),

(3)

(4)

где X е М9 — вектор состояния генератора с начальным значением Х(0); Г е М9щ — матрица постоянных коэффициентов; H е М9 — вектор соответствующей размерности.

Построение генератора сигнала у(г)

Выберем в качестве первой координаты вектора состояния генератора сам сигнал ^ = у. Дифференцируя получим

41 = Аеsin(юt + ф);

41 = У() = -уАе"yt sin(юt + ф) + + Аеcos(юt + ф)ю = -у41 + 41 + у41 = 41.

Выберем в качестве первой координаты вектора состояния генератора производную синусоидального сигнала 42 = У Дифференцируя 42, получим

42 = У^) = У2Аеsin(юt + ф) -- уАе"yt cos(юt + ф)ю - уАе"yt cos(юt + ф) -

- Аеsin(юt + ф)ю2; (5)

4 2 =у 241 - 2у(41 +У4х) -ю241 =

= -2У41 - У241 -ю241. Для векторно-матричной формы (3)—(4) имеем

X =

V 4 2.

" 0 1 ■ 1"

; Г = ; h =

-ю2 -у2 -2у 0

(6)

Преобразовав уравнение (4), получим

X(t) = rX(t) ^ X(t) = еrtX(0). (7)

Подставляя соотношение (7) в уравнение (3), получим

у (t) = H те rt X(0). (8)

Рассмотрим запаздывающий сигнал

у(t - d) = Hтеr(t-d)X(0) = Hтеrte~rd$(0). (9)

Замечание 1. Введем ограничения на выбранную величину запаздывания из соотношения (9):

i п

d < —. ю

На основе уравнения (7) и (9) получим

у(t - d) = Hте"rdX(t). (10)

Утверждение 1. Для сигнала y(t — d) справедливо соотношение

у(t - d) = H т е ydx

cos ю d + ую-1 sin ю d -ю-1 sin ю d

(ю2 +y2)ю-1 sin юd cos юd - ую-1 sin юd

4(t).

Доказательство утверждения 1: Применим жорданову форму для преобразователя е~ТЛ.

Вычислим собственные значения матрицы Г:

det(r -А, I) =

0-А 1

-ю2 - у2 -2у - А ^ А2 + 2Ау + ю2 +у2 = 0 ^ ^ А,1 = -у + iю, А 2 = -у - iю.

= 0, ^

Для каждого из собственных значений найдем собственные векторы. Для числа Я,1 = —у + /ю получим

у -1 ю

1

2 2 -ю - у -у -1ю

X1 Л.

= о,

Г (у - / Ю)Х1 + = 0;

^ 1 2 2 ^ Г(-ю2 -у2)Х1 + (—у — /ю)У1 = 0

^ У1 =(/ю —у)*1. Полагая х1 = 1, находим собственный вектор V = (Х1, У1)т:

" 1 " —у + / ю_

Аналогично находим собственный вектор V2 = (х2, у2)т, ассоциированный с собственным значением А = —у

1

X! = 1, ^ y2 = -y + /ю, ^ vt =

¡ю:

Y + ¡ ю

2 2 -ю - y -Y + ¡ ю

X

y 2.

= о,

Г(у + / ю)х 2 + у 2 = 0;

2 л ^ У2 =—(у + / ю)х2.

[—ю2х 2 +1 юу 2 = 0

Полагая х2 = 1, находим собственный вектор V2 = (х 2, у 2)т:

х 2 = 1, ^ У 2 = —У — / ю, ^ V2 = 1 .

^ — I ю_

Составим матрицу V из найденных собственных векторов V и V2:

V

1 1

(iю - y) -(y + ¡ю)

Запишем жорданову форму /Г для заданной матрицы Г, используя форму

J Г = V -1rv =

2 2 -ю - Y

1

-2y

-2i ю

2 2 •

Y + ю y - ¡ ю

2 2

-Y - ю -y - ¡ ю

1 |"-(y + ¡ ю) -1" -2iю -(iю - y) 1 1 1 (iю - y) -(y + ¡ю)

1 1

iю - y -Y - ¡ю

/ ю — Y 0 0 — /ю — Y_ Составим матрицу е1 ^ в следующей виде [17]:

е Jrd = e -id

J юd

0

--i юd

Вычислим матричную экспоненту е:

е- = V е Jrd V

„iюd о

= е

х

е

е

0

-id

--i юd

-2i ю

1 1

iю - y -i ю - y

1 -iю - y -1 -2/ю _ i ю - y 1

e¿ ю d e-iюd

(i ю-1У^ (-iffl-Y)e -¡w -iю - y -1

-i ю + y 1

x

erd = e"idx

-+Y<»

„rnd „-rnd

-1 e -e

i¡

ю

^.iffld „-rnd

-1 e -e ""2i

Аюй -1юй Аюй , -1юй Аюй -1юй

/22 —1 е —е е +е — ге —е

—(ю +Y )ю -^- -~--Yю -^-

2/ 2 2/

Экспоненциальные функции е1юЛ, е~1юЛ разложим по формуле Эйлера:

^шй + -md

eiюd - e-iюd

2i

= cos ю d,

= sin юd.

Получаем erd в виде

erd = e"idx cos юd + Yю-1sin юd ю-1sin юd -(ю2 +y2)ю-1 sin юd cos юd -ую-1 sin юd

e "rd = e Ydx cos юd - !ю"Чт юd -ю"Чт юd (ю2 +y 2)ю-1 sin юd cos юd + 1ю-1 sin юd

; (11)

.(12)

Из уравнения (8) и уравнения (12) получим соотношение вида

y(t - d) = HTe Ydx cos юd-Yю"1sin юd -ю-1 sin юd (ю2 + y2)<B_1sin юd cos юd + !ю"Чт юd

x(t), (13)

что и требовалось доказать.

Аналогично для запаздывающего сигнала 2d имеем:

У(* — 2d) =

= e2dY[cos2юd + Yю—1 sin2юd —ю—1 sin2юd]X(0• (14)

Из уравнений (13) и (14) построим следующую матрицу:

2

х

х

X

" у(t - d)"

_ у(t - -2d)

(cos юd -ую 1 sin юd)eYd (-ю 1 sin юd)eYd (cos 2юd - ую-1 sin 2юd)eY2d (-ю-1 sin 2юd)eY2d

4(t). (15)

Алгоритм оценивания параметров 0 модели (25)

где Y =

Ф =

Рассмотрим следующую систему:

Y = FX, (16)

" у(t - d) 1 _ у(t - 2d)J;

(cos юd - ую-1 sin юd)eYd (-ю-1 sin юd)eYd (cos2юd - ую-1 sin2<»d)eY2d (-ю-1sin2юd)eY2d Из выражения (16) имеем:

Ф-1Y = X ^ adj(F)Y = det(F)X. (17)

Умножая уравнение (17) на Нт, получим

H тadj(Ф)Y = det(F^ (t), (18)

(26)

adjF =

(-ю-1sin2юd )eY2d (ю-1 sin юd )eYd

(cos 2юd - Yю-1 sin 2юd)ey2d (cos юd - Yю-1 sin юd)eyd

Заметим, что модель регрессора (25) не удовлетворяет условию незатухающего возбуждения. Для решения этой проблемы используется метод, описанный в работе [18].

Следуя процедуре БЯЕМ [19], применим оператор запаздывания т к (25) и получим

" х^) 1Г ) ф2(t) "1Ге1(/)"

х^ -т)] [ф1(/ -т) ф2^ - т)][е2(t)_ Умножая уравнение (26) на вектор [ф-т) -ф)], получаем регрессионную модель, включающую е^), в следующем виде:

^1(0 = >е1(!'), (27)

Фl(t) = ф2(t - т)ф!(Г) - ф >фх(^ - т); ^) = ф2(t -т)х^) -ф2(t)х(t -т).

Для оценивания параметра е^) используется уравнение

где

det Ф = - 13 cos юdsin2юd + 1e3Yd cos2юdsin юd = - -^e3 sin юd. ю ю ю

Из выражений (18)—(20) получим

(-ю-1 sin 2od )eY 2d (ю-1 sin юd )eYd

(cos 2od - Yю-1 sin 2od)eY2d (cos юd - Yю-1 sin юd)eyd

у(t - d) 1 = -ю-163Yd sin^d)y(t).

(19)

(20)

[1 0]

у(t - 2d)

Отсюда получаем

(21)

-ю-1е2sin(юd)cos(юd)у(t - й) +

+ ю-1еYd sin(юd)у(t - 2d) = (22)

= -ю-1е3Yd sin(юй)у^).

Разделив обе части уравнения (22) на -ю-1еYd sin(юd), имеем

2еYd )y(t - d) - у^ - 2d) = е); (23)

у^ - 2d) = 2еYd cos(юd)у^ - d) - е2^у(t). (24)

Построим регрессионную модель из уравнения (24) в виде

где

x(t) = F(t )0,

x(t) = у(t - 2d), F(t) = [2 у^ - d) - у (t)] = ) ф 2(t)],

0

(25)

"eYd cos(юd) "01"

_ e 2Yd _ .02 _

е ^) = к lФl(t ) --Фl(t )е ^)), (28)

где К1 > 0 — любое положительное число.

Умножая уравнение (26) на вектор [ф^ -т) -ф1(t)], получаем регрессионную модель, включающую е2(0,

в следующем виде:

Y 2(t) = Ф 2(t )0 2(t),

где

(29)

Ф 2(t) = ф^ - т)ф 2(t) - фхС/)ф 2(t - т); ¥ ^) = -т)х^))х(t -т). Для оценивания параметра е2(t) используется уравнение

е2(0 = к2Ф 2(t )(¥ 2(t) -Ф 2(t )ё2</)), (30)

где к2 > 0 любое положительное число.

Оценивание частоты и коэффициента затухания

Запишем оценки частоты ю и коэффициента затухания у гармонического сигнала (1) на основе е1,2 из (28) и (30):

Y = , 0 2 < 0;

Y = ^lnVU, 02 L 0,

d

где и > 0 некоторая малая величина;

(31)

©(t) = ^arccos d

f ~ Л 01(t)

(32)

„702(0,

Согласно допущению 1 значение функции 01 должно удовлетворять неравенству

K(t) cos юd М 01(t) M K(t) cos ©d,

(33)

где

К (t) =

[V-02(t), 01(t) < 0;

(34)

[и, 0^) > 0, где и > 0 — некоторая малая величина.

Математическое моделирование

В данном разделе представлены результаты численного моделирования, иллюстрирующие эффективность предложенного алгоритма оценивания частоты несмещенного гармонического сигнала с экспоненциально затухающей амплитудой. Моделирование выполнено с использованием программной среды MATLAB Simulink.

В качестве примера рассмотрим сигнал вида

y(t) = e"0'3t sin(5t - 1).

(35)

Приведем значения параметров для предложенного метода: d = 0,1; К1 = 100; К2 = 100; т = 0,1.

На рис. 1, 2 показаны переходные процессы для оценки частоты и коэффициента затухания сигнала (35).

Рассмотрим сигнал

y(t) = 3e"3t sin I 4t - 4

(36)

Значения параметров предложенного метода: d = 0,05; К = 1000; К2 = 1000; т = 0,2.

На рис. 3, 4 показаны переходные процессы для оценки частоты и коэффициент затухания сигнала (36).

Рис. 1. График оценки частоты W (t), ю = 5 Fig. 1. Graph frequency estimation W (t), ю = 5

7(0

0,3 0.2 0,1 0 -0-1 -02

-0.4 -05 ----7

0_г 0.3 OA 0.5

t,c

Рис. 2. График оценки коэффициента затухания у (t), у = 0,3 Fig. 2. Graph damping factor estimate у (t), у = 0,3

Рис. 3. График оценки частоты ю (t), ю = 4 Fig. 3. Graph frequency estimation W (t), ю = 4

Щ

_

- --■7

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.Г O.fl U.9 1

Рис.4. График оценки коэффициента затухания у (t), у = 3 Fig.4. Graph damping factor estimate у (t), у = 3

Как видно из графиков, предложенный алгоритм оценивания обеспечивает экспоненциальную сходимость к истинными значениями оценивания параметров сигнала y(t).

Заключение

В работе предложен алгоритм идентификации параметров синусоидального сигнала с экспоненциально затухающей амплитудой. Предложен новый подход для параметризации затухающего синусоидального сигнала. Результаты моделирования подтверждают сходимость ошибок оценивания частоты и коэффициента затухания к истинным значениям. Для регрес-соров, не удовлетворяющих условию незатухающего возбуждения, был предложен метод, который позволяет построить новые модели линейной регрессии и обеспечить для них выполнение необходимых условий экспоненциальной сходимости. В дальнейшем планируется расширить область применения алгоритма на случай мультисинусоидальных сигналов с экспоненциально затухающими амплитудами.

Список литературы

1. Пыркин А. А., Бобцов А. А., Ведяков А. А., Колю-

бин С. А. Оценивание параметров полигармонического сигнала // Автоматика и телемеханика. 2015. № 8. С. 94—114.

2. Aranovskiy S., Bobtsov A., Kremlev A., Nikolaev N., Slita O. Identification of frequency of biased harmonic signal // European Journal of Control. 2010. Vol. 16, N 2. P. 129—139. doi: 10.3166/ejc.16.129-139.

3. Marino R., Tomei P. Frequency estimation of periodic signals // Proc. European Control Conference. Strasbourg, France. 2014. P. 7—12. DOI: 10.1109/ecc.2014.

4. Hou M. Parameter identification of sinusoids // IEEE Transactions on Automatic Control. 2012. Vol. 57, N 2. P. 467—472. DOI: 10.1109/TAC.2011.2164736.

5. Khac T., Vlasov S. M., Iureva R. A. Estimating the Frequency of the Sinusoidal Signal using the Parameterization based on the Delay Operators // ICINCO 2021 — Proceedings of the 18th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. 2021. P. 656—660.

6. Vlasov S. M., Margun A. A., Kirsanova A. S., Vakhvi-anova P. D. Adaptive controller for uncertain multi-agent system under disturbances/ / ICINCO 2019 — 16th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics. 2019. Vol. 2. P. 198—205.

7. Vlasov S. M., Kirsanova A. S., Dobriborsci D., Bor-isov O. I., Gromov V. S., Pyrkin A. A., Maltsev M. V., Se-menev A. N. Output Adaptive Controller Design for Robotic Vessel with Parametric and Functional Uncertainties // 26th Mediterranean Conference on Control and Automation. MED 2018. 2018. P. 547—552.

8. Севастеева Е. С., Чернов В. А., Бобцов А. А. Алгоритм увеличения скорости идентификации частоты синусоидального сигнала // Изв. вузов. Приборостроение. 2019. Т. 62, № 9. С. 767—771.

9. Bobtsov A., Lyamin A., Romasheva D. Algorithm of parameter's identification of polyharmonic function // IFAC Proceedings Volumes. 2002. Vol. 35, N. 1. P. 439—443.

10. Marino R., Tomei R. Global Estimation of Unknown Frequencies // IEEE Transactions on Automatic Control. 2002. Vol. 47. P. 1324—1328.

11. Osborne M., Smyth G. K. A modified Prony algorithm for fitting functions defined by difference equations // SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1991. Vol. 12, N. 2. P. 362—382.

12. Osborne M., Smyth G. K. A modified prony algorithm for exponential function fitting // SIAM Journal on Scientific Computing. 1995. Vol. 16, N. 1. P. 119—138.

13. Jin Lu, Brown Lyndon J. Identification of Exponentially Damped Sinusoidal Signals // IFAC Proceedings Volumes. 2008. Vol. 41, Iss. 2.

14. Vediakova A., Vedyakov A., Bobtsov A., Pyrkin A.

DREM-based Parametric Estimation of Bias-affected Damped Sinusoidal Signals // 2020 European Control Conference (ECC). 2020. P. 214—219. DOI: 10.23919/ECC51009.2020.9143821

15. Wang Y., Chen B., Pin G., Parisini T. Estimation of damped sinusoidal signals: an observer-based approach // IFAC-Papers Online. 2017. Vol. 50, N. 1. P. 3811—3816.

16. Nikiforov V. O. Adaptive servomechanism controller with an implicit reference model // Intern. Journal of Control. 1997. Vol. 68, N. 2. P. 277—286.

17. Umari Amjad M. J., Gorelick Steven M. Evaluation of the matrix exponential for in ground-water-flow and solute-transport simulation: theoretical framework. U. S. Geological Survey, 1986. DOI: 10.3133/wri864096.

18. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Performance Enhancement of Parameter Estimators via Dynamic Regressor Extension and Mixing* // IEEE Transactions on Automatic Control. July 2017. Vol. 62, N. 7. P. 3546—3550. DOI: 10.1109/TAC.2016.2614889.

19. Aranovskiy S., Bobtsov A., Ortega R., Pyrkin A. Parameters estimation via dynamic regressor extension and mixing // 2016 American Control Conference (ACC). 2016. P. 6971-6976. DOI: 10.1109/ACC.2016.7526771.

Algorithm for Identification of Parameters Sinusoidal Signal with the Exponentially Damping Amplitude

Nguyen Khac Tung, [e-mail], S. M. Vlasov, [e-mail], A. A. Pyrkin, [e-mail] ITMO University, Saint Peterburg, 197101, Russian Federation

Corresponding author: Nguyen Khac Tung, Postgraduate Student, ITMO University, St. Petersburg, 197101, Russian Federation, e-mail: [e-mail]

Accepted on December 5, 2021

Abstract

The paper proposes a new method for estimating the parameters of an unbiased sinusoidal signal with the exponentially damping amplitude: frequency, damping coefficient. A sinusoidal signal with exponentially damping amplitude is an important class that can be observed in a wide range of natural phenomena, such as the propagation of acoustic waves, and can also characterize the behavior of artificial systems, arising, for example, as a result of complex interactions between the components ofpower systems, therefore the task of estimating parameters is sinusoidal. signal with exponentially decaying amplitude is relevant at the present time. It is assumed that the phase, frequency, damping factor and amplitude of a sinusoidal signal with exponentially decaying amplitude are unknown functions of time. In the present work, a new method is proposed for parameterizing a sinusoidal signal with exponentially decaying amplitude. First, a sinusoidal signal with exponentially decaying amplitude is presented as the output of a linear generator, the parameters of the decaying sinusoidal signal (amplitude, phase, damping factor and frequency) are unknown. Then the Jordan form of the matrix and the delay are applied to transform the measured signal, then a linear regression model is obtained, which depends on the frequency and the attenuation coefficient. At the last stage, unknown parameters (frequency, attenuation coefficient) are calculated from the obtained linear regression model. Numerical modeling demonstrates the effectiveness of the proposed methodology.

Keywords: sinusoidal signal, identification, Jordan form of the matrix, frequency, damping factor, linear regression model

For citation:

Nguyen Khac Tung, Vlasov S. M., Pyrkin A. A. Algorithm for Identification of Parameters Sinusoidal Signal with the Exponentially Damping Amplitude, Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2022, vol. 23, no. 3, pp. 125—131.

DOI: 10.17587/mau.23.125-131

References

1. Pyrkin A. A., Bobtsov A. A., Vedyakov A. A., Kolyu-

bin S. A. Estimation of parameters of a polyharmonic signal, Automation and Telemechanics, 2015, no. 8, pp. 94—114 (in Russian).

2. Aranovskiy S., Bobtsov A., Kremlev A., Nikolaev N., Slita O. Identification of frequency of biased harmonic signal, European Journal of Control, 2010, vol. 16, no. 2, pp. 129—139, DOI: 10.3166/ejc.16.129-139.

3. Marino R., Tomei P. Frequency estimation of periodic signals, Proc. European Control Conference, Strasbourg, France, 2014, pp. 7—12, DOI: 10.1109/ecc.2014.

4. Hou M. Parameter identification of sinusoids, IEEE Transactions on Automatic Control, 2012, vol. 57, no. 2, pp. 467— 472, DOI: 10.1109/TAC.2011.2164736.

5. Khac T., Vlasov S. M., Iureva R. A. Estimating the Frequency of the Sinusoidal Signal using the Parameterization based on the Delay Operators, ICINCO 2021 — Proceedings of the 18th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics, 2021, pp. 656—660.

6. Vlasov S. M., Margun A. A., Kirsanova A. S., Vakhvi-anova P. D. Adaptive controller for uncertain multi-agent system under disturbances, ICINCO 2019 — 16th International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics, 2019, vol. 2, pp. 198—205.

7. Vlasov S. M., Kirsanova A. S., Dobriborsci D., Borisov O. I., Gromov V. S., Pyrkin A. A., Maltsev M. V., Semenev A. N. Output Adaptive Controller Design for Robotic Vessel with Parametric and Functional Uncertainties, 26th Mediterranean Conference on Control and Automation, MED 2018, 2018, pp. 547—552.

8. Sevasteeva E., Chernov V., Bobtsov A. Algorithm for increasing the speed of identification of the frequency of a sinusoidal signal, Izv. universities. Instrumentation, 2019, vol. 62, no. 9, pp. 767—771 (in Russian).

9. Bobtsov A., Lyamin A., Romasheva D. Algorithm of parameter's identification of polyharmonic function, IFAC Proceedings Volumes, 2002, vol. 35, no. 1, pp. 439—443.

10. Marino R., Tomei R. Global Estimation of Unknown Frequencies, IEEE Transactions on Automatic Control, 2002, vol. 47, pp. 1324—1328.

11. Osborne M., Smyth G. K. A modified Prony algorithm for fitting functions defined by difference equations, SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 1991, vol. 12, no. 2, pp. 362—382.

12. Osborne M., Smyth G. K. A modified prony algorithm for exponential function fitting, SIAM Journal on Scientific Computing, 1995, vol. 16, no. 1, pp. 119—138.

13. Jin Lu, Brown Lyndon J. Identification of Exponentially Damped Sinusoidal Signals, IFAC Proceedings Volumes, 2008, vol. 41, iss. 2.