Простые числа в специальных последовательностях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат наук Шубин Андрей Витальевич

• Шубин Андрей Витальевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Шубин Андрей Витальевич

4.2 Оценка суммы первого типа

4.3 Оценка суммы второго типа

5 Аналог теоремы Бомбьери^Виноградова для малых а с уровнем распределения 2/5 — (3/5)а

5.1 Вспомогательные леммы

5.2 Разбиение исходной суммы с помощью тождества Хиз-Брауна , , , ,

5.3 Оценка сумм первого тина

5.4 Оценка сумм второго тина

5.5 Оценка сумм третьего тина

5.6 Финальная оценка

6 Ограниченные промежутки между соседними простыми из множества Е

6.1 Вывод Теоремы 1,5

6.2 Частные случаи

Литература

ГлсШэ,

Введение

Актуальность темы исследования

Задачи, связанные с распределением простых чисел в натуральном ряду, являются одним из главных направлений исследований в аналитической теории чисел. Следующие вопросы являются классическими:

• как ведет себя с ростом X величина n(X), равная количеству простых чисел p, p ^ X?

• как ведет себя с ростом X величина п(Х; q,a), равная количеству простых чисел p, p ^ X, принадлежащих арифметической прогрессии p = a (mod q), где (q, a) = 1?

• как распределены разности pn+\ — pn между соседними простыми числами?

Ответ па первый вопрос дает асимптотический закон распределения простых чисел:

n(X):= £ 1= Г ^ + R(X), (1.1)

J 2 log u

где остаточный член R(X) при X ^ по порядку не превосходит величины Xe-cVlogX с некоторой фиксированной константой c > 0. Это закон был независимо установлен Ж. Адамаром и Ш. Ж. Валле-Пуеееном в 1896 году. Более точная оценка остаточного члена вида

R(X) < Xe-c(iogx)3/5(ioglogx)-1/5

была получена И. М. Виноградовым |50| и Н.М.Коробовым |51| в 1958 году. Этот результат но существу не улучшен и па сегодняшний день. Из гипотезы Римапа следует, что

" R(X) < VX(log X).

Здесь и далее запись A ^ B означает A = O(B).

Более сложными являются задачи, связанные с поведением функции n(X; q,a).

qa

(a,q) = 1 совпадает при заданном q с <^(q), то естественно ожидать, что

n(X; q,a) - ^ (1.2)

Ш)

или, что то же, что разность

R(X; q, а) = n(X; q, а) - ^^

мала но сравнению с правой частью (1.2), Последнее утверждение имеет место при фиксированном (не зависящем от X) значении q и даже при q, растущем вместе с X, н0 не быстрее произвольной фиксированной степени log X, Соответствующее утверждение называется теоремой Зигеля-Вальфиша, Она утверждает, что дня .ню-бой постоянной A > 0 найдется постоянная c0 = c0(A) > 0 такая, что при X ^ и 1 — q — (log X)A справедливо соотношение:

R(X; q, а) < Xe-Co(A)^I°gX.

Отметим, что из расширенной гипотезы Римана при любых q и а следует оценка

R(X; q, а) < ^Xlog X. (1.3)

Несложно видеть, что она приводит к содержательной формуле для n(X; q, а) уже при всех q го промежутка 1 — q ^ \JX(log X)-2, Расширенная гипотеза Римана в настоящее время не доказана. Однако известно, что оценка, близкая но точности к (1.3), верна для «почти всех» q с условием q — X1/2-£, Эта теорема, называемая теоремой Э, Бомбьери-А, И. Виноградова (|16, 17|), утверждает следующее: каковы бы ни были постоянные A и е, A > 0 0 < е < 1/2, существует постоянная c1 = c1(A; е) такая, что при всех достаточно больших X и Q = Xв-£, 0 = 1/2, имеет место неравенство:

У max |R(X; q, а) I = > max

Z~Q (a,?) = l' 1 ¿Q (a,q)=1

q—Q q—Q

^ 1 w(q) ^

p—X p—X

p=a (mod q)

— pt^ - d.4)

В ряде случаев (например, при решении проблемы делителей Титчмарша) оценка (1.4) позволяет получать безусловные результаты, сопоставимые по точности со следствиями из расширенной гипотезы Римана.

Гораздо более трудными являются задачи, связанные с распределением расстояний pn+1 — pn между соседними простыми числами или, более общо, с поведением разностей pn+m — pn, оде m ^ 1 — фиксированное целое число. Отметим, что к этому кругу задач относится гипотеза «простых близнецов», до настоящего времени не доказанная. Она утверждает, что множество нар соседних простых, удовлетворяющих условию pn+1 — pn = 2, бесконечно.

Из асимптотического закона ( ) следует, что разность pn+1 — pn «в среднем»

log pn

в существовании пар pn,pn+1; для которых эта разность будет существенно меньше

log pn

установил существование постоянной с, 0 < c < 1, такой, что неравенству

pn+1 — pn — c log pn (1.5)

удовлетворяет бесконечное множество номеров n, В течение нескольких последую-

c

ведено в 1988 году Г. Майером до c = 0.2484... [31] (подробное изложение истории вопроса см. в статье |33|),

В 2005 году в этой области был совершен значительный прорыв. Трое авторов — Д. Гольдстоп. Я, Пиптни К.-Й. Йилдирим |33| доказали, что неравенство (1.5) имеет бесконечно много решений в соседних простых числах pn, Pn+1 даже при любом сколь угодно малом положительном с, Иными словами, справедливо равенство

lim inf Pn+1 - Pn =0.

log Pn

Впоследствии те же авторы установили и гораздо более сильный результат |34|:

у • t pn+i — Pn

lim inf л-n—--гх <

у/ log Pn (log log Pn)2

Наконец, в 2011 году на конференции Jonrnees Arithmétiques - 27 (г, Вильнюс) Я, Пинтц |37| анонсирован оценку

т. .о pn+i — Pn

lim inf —-. „<

n^+œ (logPn)3/'+£

Второй прорыв в исследованиях малых расстояний между соседними простыми числами был совершен в 2013 году И, Жангом |38|, Он доказан существование бесконечного множества пар простых, удовлетворяющих неравенству

Pn+i - Pn ^ C,

где C — абсолютная постоянная. Из теоремы Жанга, в частности, следовало существование целого числа k 1 ^ k ^ C/2, такого, что разность Pn+1 — Pn бесконечно много раз принимает значение 2k:

Рп+1 - Рп = 2к.

Как уже отмечалось выше, проблема простых близнецов состоит в доказательстве этого факта для к = 1. Первоначально для постоянной С было получено значение 7 ■

Дальнейший прогресс в этой области был достигнут в работах Дж, Майпарда и Т, Тао (|39, 40|), Они разработали новый метод исследования простых чисел в коротких промежутках, существенно видоизменив метод решета А. Сельберга, Этот метод позволил в итоге снизить значение С до С = 246 и, более того, позволил для любого фиксированного т ^ 1 установить бесконечность множества простых чисел

Рп

Рп+т - Рп ^ Сот3е4т,

где С0 — некоторая абсолютная постоянная, В ходе упомянутых выше исследований была обнаружена тесная связь оценок тина (1.4) с задачей о малых расстояниях между соседними простыми числами. Как оказалось, особую роль здесь играет величина # из определения Q = Xв-е, которая называется «уровнем распределения» (последовательности простых чисел но арифметическим прогрессиям). Так, еще Д. Гольдстопом, Я. Пиптцом и К.-Й. Йилдиримом в |33| было установлено, что так называемая гипотеза Эллиота-Халберстама, согласно которой неравенство (1.4)

а , о I 1 — 2а, если 0 < а ^ 3;

/4 + а 2 \ I 15 ' 5'

остается справедливым для всех 0 ^ 1, влечет существование бесконечного множества простых рп с условвием

Рп+1 - Рп ^

В свете сказанного естественным образом возникает вопрос о существовании малых расстояний между соседними простыми числами, принадлежащими некоторому подмножеству Е натурального ряда, В настоящей работе мы даем ответ на этот вопрос для случая, когда Е представляет собой множество всех натуральных чисел п, подчиненных условию {па} < ст. Здесь а > 0 — произвольное фиксированное нецелое число, ст — произвольная постоянная с условием 0 < ст <

Е

вию 0 < а < 1, был впервые установлен И, М. Виноградовым [ ] в 1940 году, С помощью разработанного им метода оценок тригонометрических сумм он доказан асимптотическую формулу вида

пе(Х ):= ^ 1 = стп (X) + 0(Х^)+£), (1.6)

Р^х,ре Е

где е > 0 — сколь угодно малая постоянная, а

= тахГ^+т—,1 - «I = ч 4 + а з

х 5 15 7 1 -, если 3 < а <

5 '

Ему же принадлежит аналогичная асимптотическая формула для случая произвольного фиксированного а > 6 с условием ||а|| ^ 3-а, При этом показатель в оценке остаточного члена Я(Х) имеет вид

0(а) = 1 - (34 ■ 106а2)-1

(см. 181). Это утверждение было впоследствии усилено Р. Бейкером и Г. Колесником [ ], которые установили соответствующую асимптотику для всех нецелых а >

()

#(а) = 1 - (15 ■ 103а2)-1.

В дальнейшем для небольших а были найдены и более точные оценки остаточного члена (см., например, [14]). Оценка Я(Х), равномерная по параметру а > 1, была найдена в 2003 году М. Е. Чангой |15|.

РЕ

тацию: это будут простые числа, содержащиеся в объединении промежутков вида [к1/а; (к + ст)1/а), к = 1, 2, 3,.... Так, в случае а = ст = 1/2 это будут промежутки вида [к2; (к + 1/2)2). Если 0 < а < 1, то длина такого промежутка растет с ростом к. Особенностью, отвечающей случаю а > 1, является то, что длина промежутка стре-

к

могут и вовсе не содержать целых чисел.

Альтернативный подход к решению подобной задачи, основанный па явной формуле дня функции Чебышева и н.нотпостпых теоремах дня пуней дзета-функции Римана, в 1945 году предложил Ю.В.Линник |2|, Используя этот подход, в 1979 году Р. М. Кауфман доказана бесконечность множества простых чисел, подчиненных

условию {^/p} < p c+£ для любого

л/Т5

c <--—=

2(8 + >/Í5)

и сколь угодно малого фиксированного е > 0 (что усилило полученный ранее Виноградовым [ ] аналогичный результат для всех c ^ 1/10), и показала, что можно брать c ^ 1/4 если справедлива гипотеза Рим ала. Впоследствии А. Балог [4] и Г, Харман [ ] независимо доказали бесконечность множества {p : {^p} < p-c+£} для всех c ^ 1/4 безусловно, В 1986 году С,А,Гриценко [ ] с помощью метода Линника уточнил остаточный член в формуле ( ) для 1/2 ^ а < 1:

1 - а + ^v/3a - 1)2; если 2 ^ а < 3; 1 + а 3 ^

если 3 < а <

0(а)

2

4

Им также было показано, что в случае а = 1/2 показатель степени $(а) может быть снижен до 4/5. В случае 0 < а < 1/2 наилучший результат, насколько известно, принадлежит К, Реи |7|:

а

•0 , \ | 1--, еслн 0 < а < 2;

2 + а а \ I

^(а) = ,1 - f) = | 2—2

3

если 2 ^ а <

В задаче о малых расстояниях между соседними простыми числами из определенного выше множества Е ключевую роль играет аналог теоремы Бомбьери-Виноградова (1.4) вида

V max V 1--— У^

Z—Un q) = l ' т(п)

max ^п (n-q)-1

p=n (mod q)

<A £ (iogX)A• <L7)

Как и выше, здесь А — сколь угодно большое фиксированное число, Q = Хв-£. В отличие от случая Е = N все известные неравенства вида (1.7) установлены для уровня распределения в, строго меньшего 1/2,

Так, первый результат такого рода, отвечающий случаю а = 1/2, был получен Д. И, Толевым [18] для в = 1/4, Позже С, А. Гриценко и Н, А. Зинченко [19] доказали (1.7) для произвольного а с условием 1/2 ^ а < 1 при в = 1/3. В каждой из этих работ авторы рассматривали лишь случай а = 1/2, что объяснялось исключительно соображениями удобства изложения и не является принципиальным ограничением. Развитая Дж. Майпардом техника позволяет, имея неравенство (1.7) для произвольного в, 0 < в < 1, выводить верхние оценки вида

Ишш£(рга+т - рп) ^ с(т; в; а) (1.8)

для произвольного фиксированного т ^ 1 (см., например, работы [ , , ]), Здесь р1,р2,... ,рп,... — последовательно занумерованные простые числа из множества Е,

При этом постоянная в правой части неравенства (1.8) существенным образом зависит от уровня распределения в: чем больше в, тем меньше значение с и тем точнее получается оценка, В связи с этим особую актуальность приобретают доказательство аналога теоремы Бомбьери-Випоградова (1.4) дня возможно большого уровня

вс раметров: т, в и а (для простоты изложения мы ограничиваемся случаем а = 1/2), Решению этих задач и посвящена настоящая диссертационная работа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Простые числа в специальных последовательностях»

Цель работы

• Доказать ан^тог теоремы Бомбьери-Виноградова для простых чисел из множества E = jn Е N : {па} < 1/2} при любом нецелом а > 0 и возможно более точной оценкой уровня распределения Q.

lim inf (pn+1 - Pn) и lim inf (pn+m - pn) для последовательных простых рьр2,р3,... го множества E.

Дадим краткий обзор содержания диссертации но главам и приведем формулировки основных результатов.

Во второй главе работы приводится список условных обозначений и формулируются основные вспомогательные утверждения,

В третьей главе содержится вывод аналога теоремы Бомбьери-Випоградова из верхней оценки дня тригонометрической суммы вида

£ e(hpa), (1.9)

X^p<2X p=a (mod q)

где e(x) := e2mx. Для удобства изложения мы сформулируем полученные результаты в виде двух отдельных теорем:

Теорема 1.1. Пусть а > 0 — фиксированное нецелое и пусть E — множество натуральных, удовлетворяющее ограничению {па} < 1/2 Далее, пусть и A

— некоторые фиксированные числа такие, что 0 <е<0 ^ 1/3 £ < а/20 A > 0. Тогда неравенство

у max

tQ (ад)=1

^ 1 w(q) ^ 1

X*p<2X X*p<2X

p=a(mod q) p€E p€E

cX

справедливо для любых X ^ Хо(а,в,е,А^ 2 < ^ ^ Xе £ с постоянной с > 0, зависящей от а,в,е и А.

а

Теорема 1.2. Пусть 0 < а < 1/9 0 < в ^ 2/5 — (3/5)а, множество Е и числа е, ф, А удовлетворяют тем же ограничениям,, что и в . Тогда неравен-

ство

Е,

max _ (о,«) = 1

q^Q

^ 1 w(q) ^ 1

p=a(mod q) p€E

p€E

cX

* (lOgX)A ("Ч

справедливо для, любого X ^ X0(a, в, е, A) с постоянной c > 0, зависящей от а,в,е и A

Замечание 1.1. Аналогичные утверждения справедливы и для чисел п с условием {па} < а при люб ом 0 < а ^ 1, но, как и в работах других авторов, мы ограничимся лишь случаем а = 1/2.

Теоремы 1.1 и 1.2 выводятся из верхних оценок соответствующих сумм вида (1.9) по единой схеме. Это делается с помощью сглаживания характеристической функции интервала [0;1/2) «стаканчиками» Виноградова.

Четвертая и пятая главы посвящены выводу необходимых оцепкок дня суммы (1.9). В случае Теоремы 1.1 такую оценку дает

Теорема 1.3. Пусть а > 0 — фиксированное нецелое число, в,е,С — фиксированные константы, удовлетворяющие неравенствам 0 < е < в ^ 1/3, е < а/100, C > 1, и пусть 1 ^ h ^ (logX)с, 2 < Q ^ Xв-£. Тогда, для, суммы

T = у max

TQ (a>q)=i

e(hpc

X^p<2X p=a(mod q)

справедливо ? юрава юте о

Т < X 1-£3/(3«2), где постоянная, в знаке ^ зависит от а, в, е и С.

Замечание 1.2. В ходе доказательства будет установлено более точное неравенство, именно, для каждого фиксированного q ^ ф

х 1—¿—£3/(3а2)

тах > ^-

(а,я) = 1

X^p<2X ^

p=a (mod q)

при любом 0 <5 ^ е3/(50а2).

Вывод Теоремы 1.3 содержится в четвертой главе. Он состоит в сведении исходной суммы по простым к сумме по последовательным целым числам промежутка [X ;2X):

^ Л(п)е^па), (1.12)

X<n<2X n=a (mod q)

где Л(п) — функция Мангольдта, равная logp при n = pk, и нулю в противном случае. Она разбивается далее па подсуммы вида

W = ^ am ^ ene(h(mn)a), (1.13)

M^m<2M N^n<2N

mn=a(mod q)

где ММ & X, ат,вп — некоторые вещественные коэффициенты (вообще говоря, негладкие). Суммы (1.13) оцениваются сверху одним из двух способов в зависимости от величины М и N. В обоих случаях необходимые верхние оценки получаются применением теоремы вап дер Корпута об оценке тригонометрической суммы по к-й производной функции в экспоненте (см. [ , Гл. 1, Теорема 5] или [ , Гл. 2, Теорема 9|), либо её усиленным аналогом |25|,

Дня доказательства Теоремы 1.2 необходимую оценку дает

Теорема 1.4. При а, в, е, А, удовлетворяющим ограничениям , Н и С,

удовлетворяющим ограничениям Теоремы 1.3, для, X > Х0(а,в,е, А), 2 < ^ < Хе-£ и суммы

T = у max

TQ (a,q)=1

X^p<2X p=a(mod q)

справедлива оценка

T < X(logX)-A,

где постоянная, в знаке ^ зависит от а, в, е, A и C.

Доказательство этой теоремы содержится в пятой главе. Оно основано па разбиении исходной суммы по простым па подсуммы уже трех типов: первые два подобны (1.13), тогда как сумма третьего тина имеет вид

Wm = £ fi(m) £ f2(n) £ /a(fc)e(h(mnfc)a),

M^m<2M N^n<2N K<k<2K

mnk=a (mod q)

где MNK « X, /1, /2, /з — гладкие вещественные функции. Такое разбиение позволяет выиграть в допустимом размере разности прогрессии q за счет большей свободы в выборе параметров. Оценки получаются также методом вап дер Корпута (для сумм первого и второго типов), либо с помощью формулы суммирования Пуассона и оценок сумм Клоостермана,

Наконец, шестая глава посвящена выводу оценки вида (1.8) для малых нроме-

E

является

Теорема 1.5. Пусть Е — множество из ,0 < а < 1, ЯьЯ2,... , Яп,

все простые из Е, занумерованные в возрастающем порядке. Тогда справедливы неравенства

Ишт£(зп+1 — дп) ^ 2 176 652,

п^+те

Итт£(зп+2 — Яп) < 3 130 607 572,

п^+те

Итт^п+т — Яп) ^ 9 700т3е6т

п^+те

при любом, т ^ 3.

Замечание 1.3. Все три оценки можно уточнить при а < 1/9 используя

вместо Теоремы 1.1 в соответствующем месте доказательства, по дня единообразия

мы ограничимся лишь применением более слабого результата.

и

Замечание 1.4. Аналогичный результат может быть получен и в сну чае нецелого а > 1, Однако получение необходимых для этого асимптотических формул осложняется малой длиной промежутков из множества E, поэтому в данной работе мы ограничимся лишь случаем 0 < а < 1,

Доказательство этой теоремы основано па методе решета Сельберга-Майпарда-Тао |39|.

Научная новизна и практическая значимость работы

Все результаты, полученные в работе, являются новыми. Они могут применяться в задачах, связанных с распределением простых чисел из подмножеств, подобных тем, что рассматриваются в работе, а также при оценивании различных тригонометрических сумм но простым числам.

Степень достоверности и апробация результатов

Все результаты работы строго доказаны. Они докладывались и обсуждались па

• специализированном семинаре по аналитической теории чисел, Монреаль (Канада), 2017;

2019;

Апджелес (США), 2020;

Благодарности.

Хочу выразить глубокую благодарность своему научному руководителю профессору М. А. Королеву за всестороннюю поддержку, множество полезных советов, помощь в подготовке работы и терпение. Также хочу поблагодарить профессора М. Радзивилла за плодотворные обсуждения и советы. Кроме того, автор признателен директору Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ профессору А. М. Райгородскому за поддержку и внимание.

ГлВВ8) 2

Обозначения и вспомогательные утверждения

В работе используются следующие обозначения:

p — простые числа; p1 < p2 < ... < pn < ... простые числа, занумерованные в порядке возрастания;

п(х) — количество простых, не превосходящих x; {x} = x — |_xj — дробная доля числа x; ||ж|| — расстояние до ближайшего целого; e(x) = e2mx-,

Л(п) — функция Мангольдта, равная logp при n = pk и нулю в противном случае; ^(n) — функция Мебиуса, равная ед инице при n = 1, нулю, ее ли п делится па квадрат простого числа, и (—1)k, если n — произведение k различных простых чисел; т(n) — число делителей n;

rk (n) — число решений решений у равнения x1... xk = n в целых положительных ж1, . . . , xk,

<^(n) — функция Эйлера, количество взаимно простых с n чисел, не превоеходя-( n)

(П) = k!(n— k)! _ биномиальный коэффициент; ( n ) = —¡n!—f — полиномиальный коэффициент;

(a)k = Пk=1(a — i + 1) _ символ Похгаммера; (n1,..., nk) — наибольший общий делитель; Z^o _ целые неотрицательные числа;

C— класс функций, имеющих на вещественной оси производные всех порядков,

A ^ B — символ Виноградова, при B > 0 означает A = O(B) или что существует постоянная c > 0 такая, что |A| ^ cB;

A х B — символ Харди, озтачает, что неравенства A ^ B и B ^ A выполнены одновременно;

т(х; n) — сумма Гаусса,

т (х;n) = £ x(l)^ln);

1=1 V q /

Sq(n,m) — полная сумма Клоостермана,

'ш/ + n/*

Sq(n,m) = X]

e

1=1

(i,q)=i

где //* = 1 (mod q);

E — подмножество натуральных чисел, удовлетворяющих условию {na} < 1/2,

Далее приводятся основные вспомогательные утверждения, необходимые дня доказательства теорем 1,1 - 1,5,

Лемма 2.1 (формула суммирования Абеля). Пусть cn Е Си, C (x) = J2a<n<x cn-Пусть f (x) — комплекснозначная непрерывно дифференцируемая, на отрезке [a, b] функция. Тогда

^ Cnf (n) = C(b)f(b) — / C(x)f'(x)dX.

a<n<b

Доказательство см., например, в |52, Гл. 1|.

Лемма 2.2 («стаканчики» Виноградова). Пусть г ^ 1 — целое, 0 < А < 1/4 а в — вещественные числа, причем, 0 ^ а < в < 1 А ^ в—а ^ 1 —А. Тогда, существует периодическая с периодом, 1 функция ^(х), удовлетворяющая условиям

• -0(х) = 1 в промежутке а + у ^ х ^ в — у/

• 0 < -0(х) < 1 в промежут ках а — у <х<а + у и в — у < х < в + у;

• -0(х) = 0 в промежутке в + у ^ х ^ 1 + а —

• ^(х) разлагается, в ряд Фурье вида,

(х) _ О I \ л „2ттх

-0(x) = в — а + ^^ g(m)e2

m=-xi m=0

где

1 1 / r

|g(m)| < mini в — а

\ n|m| n|m| \n|m|A

r

Доказательство см. в |47, Гл. 1|.

Лемма 2.3 (ван дер Корпут). Пусть к ^ 2, К = 2к-1, Ь — а ^ 1, f (х) — вещественная функция, удовлетворяющая на отрезке [а, Ь] неравенствам,

0 < А*. ^ f(х) ^ НАк.

Тогда, справедлива оценка

£ e(/(n)) « h2/K(b — а)Л1/(2К-2) + (b — a)1-2/KЛ-1/(2К-2),

причем постоянная в знаке « — абсолютная.

Доказательство см. в |17. Гл. 1|.

Лемма 2.4 (Хиз-Браун). В условиях при k ^ 3 и, любом, сколь угодно

е > 0

£ e(/(n)) «hA£ (b—a)1+e(Лk/(k(k-1)) + (b—a)-1/(k(k-1)) + (b—a)-2/(k(k-1))Л-2/(k2(k-1))).

a<x^b

Для доказательства см. |25|. Лемма 2.5 (Марджанишвили,). Для, величин

N

Tf = £ Tk (m)

m=1

при любых k, l ^ 1 справедливо неравенство

Tk° < AM N (log N + k1 — 1)k'-1,

где

Ak,i = k1 (k!)-(k1-1)/(k-1).

Доказательство см. в |26|,

Глава 3

Вывод аналогов теоремы Бомбьерн-Внноградова из оценки тригонометрической суммы

В этой главе содержится вывод теорем 1.1 и 1.2 из теорем 1.3 и 1.4 соответственно. В ходе доказательства нам потребуется следующее вспомогательное утверждение:

Лемма 3.1. Пусть а > 0 а </ N — фиксированное число, 0 < Л < шт(Ха/3,Х10 7). Тогда для суммы

Б (X )= £ е(Лра)

Х^р<2Х

справедливы ? ьерава 1,ства

• (Виноградов) при 0 < а < 1

X1-а/2

S(X) «а min^X, VhXа/2 +

Vh

• (Чанга) при а > 1,

S(X) «а X1-Y/a2(logX)2,

где y = 6 ■ 10-11.

Доказательство первой оценки содержится в |1|, Дня доказательства второй оценки см. [ ],

Обозначим через х(ж) характеристическую функцию интервала [0;1/2). Тогда исходная задача сводится к оценке величины

£ ж £ х({Ра}) — -(-г £ х({Ра})

max

(a,q) = 1

XKp<2X -(q) XKp<2X

p=a (mod q)

Далее, с помощью заменим характеристическую функцию х({ра})

сглаженным аналогом — «стаканчиком» Виноградова ^(ра): зафиксируем B > 0, положим А = (log X)-Б, r = [HAj и H = A-1|~log2 X]. Пусть ^(ж) — функция

г, А, а = А/2, в = 1/2 — А/2

разглается в ряд Фурье вида

1

^(х) = 2 — А+ X] д(^)е(^х)'

где

Н=0

|д(^)| ^ шт(--А,

2 'п|й|' п|й| V п|й|А

Таким образом, определяя подмножество

Ед = {п е N : {па} е (0; А) и (2 — А; 2)

и применяя неравенство треугольника, получим:

1

> шах

Е *({ра})

X ^р<2Х р=а (шоё д)

Е *({ра})

Х^р<2Х

<

Цшах ( Е

д^Я 4 х<р<2х

р=а (шоё д)

Е ^(рап+

Х^р<2Х

Е х({ра}) — Е +

Х^р<2Х р=а (шоё д)

Х <,р<2Х р=а (шоё д)

Е

Х <,р<2Х

Е х({ра})

Х^р<2Х

(3.1)

(3.2)

(3.3)

^ 5(1) + 5(2) + 5(3),

где

5(1) = Е

шах

(а,д) = 1

Е — ж

Е

р=а (шоё д)

5(2) = Ушах V 1, 5(3) = У

' (а,д) = 1 ' '

д<Д Х^р<2Х

р=а (шоё д) р€ЕД

1

Е 1

д<.Я ХКрр<2Х

реЖд

(3.4)

Подставляя в выражение дня 5(1) разложение (3.1) и вновь применяя неравенство треугольника, найдем

5(1) « 2 — А £

шах

(а,д) = 1

Е

1

1

Х <,р<2Х р=а (шоё д)

Е1

Х^р<2Х

+

Е +Е )|д<л)|Е (шшах1

Е е(крс

Х4р<2Х р=а (шоё д)

Е е(Ьрс

Х4р<2Х

(3.5)

г

г

1

1

1

1

По теореме Бомбьери-Випоградова (1.4), первое слагаемое в правой части (3.5) пе превосходит величины X(logX)-C для любого фиксированного C > 0. Теперь оценим второе слагаемое. Тривиальная оценка внутренней суммы по p для |h| > H вместе с (3.2) дает:

ig(h)i- e(hpc

g^Q \h\>H X^p<2X

p=a (mod g)

1

£ e(hpc

2X £ £

1

(-

n|h| V nA|h|

<

X£

X 4p<2X

1 ( r

r \ п AH

g^Q \h\>H g^Q

Далее, вклад в S(i) от 0 < |h| ^ H не превосходит

1

+

« X( £ 1 « Q. (3-6)

g^Q

S !g(h)|( y^ e(hp'

max

(a,g) = _ g^Q 0<\h\^H

X4p<2X p=a (mod g)

X^p<2X

: S(4) + S(5).

Применяя Лемму 3.1 и неравенство (3.2), найдем 11

^(q) ^^ n|h|

' o<\h\^H 1 1

£ e(hpc

X<p<2X

<е1 Xi-u(a)+£1 (log Q)(log H) < X!-u(a)+2£i

для произвольно малого e! > 0 и

u(a)

. , a 1 - a x mi^,- , если 0 < a < 1;

6 • 10-!!

a

2

если a > 1, a N.

Аналогично, из теорем 1.3 и 1.4 следует неравенство

1

S(4) ^ V -Vmax o<N,H (a,g)=!

e(hpc

X^p<2X p=a (mod g)

< X (log X)

—D

для произвольного D > 0. Таким образом,

S(!) < X(logX)-C + Q + X!-u(a)+2£1 + X(logX)-D. S(2)

S(3) . Пусть ^(x) и ^2(x) — «стаканчики» Виноградова, соответствующие в параметрам (a!, в, A!, r!, H) и (a2, в2, A2, r2, H2), где Ai = A2 = A/10 Hi = H2 = A-![log2 X], ri = r2 = LH1A1J, ai = -Ai/2, в! = A +A!/2 a2 = 1/2 - A - A!/2 в2 = 1/2 + A!/2, Обозначим через ^(h) и g2(h)

их коэффициенты Фурье. Тогда

s(2) ^ £ max £ (^i(pa)+^2(pa)) ^ 2(a+Ai) £ max £ 1+

g4Q X4p<2X g^Q (a'g) X4p<2X

p=a (mod g) p=a (mod g)

£(|gi(h)| + |^2(h)|^ max £ e(hpc

h=0 g^Q X 4p<2X

p=a (mod g)

(3.7)

r

r

и. аналогично.

S(3) < 2(A + Ai) X

"ГТ ? 1+ q<Q x<p<2x

XMh)i + g(h)i)X¿r X e(hP

h=0 q<Q X<p<2X

(3.8)

Первые слагаемые в правых частях (3.7) и (3.8) тривиально не превосходят величины 2AX log X, а вторые слагаемые оцениваются аналогично суммам S(4), S(5) и сумме в левой части ( ), Доказательство завершается выбором C = D = A, B = A + 1.

Аналог теоремы

Бомбьери-Виноградова для нецелых а с уровнем распределения 1/3

В этой главе приводится доказательство Теоремы 1,3, Как уже было отмочено в Главе 1, оно заключается в сведении исходной суммы

X

X<p<2X p=a (mod q)

по простым числам к сумме но целым числам вида

X A(n)e(hna),

X <n<Y n=a (mod q)

где X < Y < 2X. Данная сумма разбивается на несколько двойных сумм с помощью стандартного приема, известного как тождество Випоградова-Вопа, Двойные суммы имеют вид

= X am X f (n)e(h(mn)a), (4.1)

M <m<2M N <n<2N

mnEa^d q)

Wn = X am X Mh(mn)a). (4.2)

M <m<2M N <n<2N

mnEa(rnod q)

Здесь MN « X, am, — некоторые вещественные коэффициенты, f (x) — гладкая вещественная функция. Оценить сверху величину |Wj | проще, чем |W//1: в первом случае внутренняя сумма длины ^ N ^ X2/3, а от гладкого коэффициента f (n) можно избавиться с помощью формулы суммирования Абеля. В случае суммы Wjj коэффициенты am и @n могут вообще говоря не быть гладкими, соответственно, снятие одного из них осуществляется с помощью неравенства Коши, по оценка суммы дополнительно осложняется тем фактом, что длина как внутренней, так и внешней сумм, имеет длину ^ X2/3, В обоих случаях ограничение mn = a (mod q) снимается с помощью замены n = qr + l (либо m = qr + l), Полученные «гладкие» суммы

длины N/q (либо M/q) оцениваются с помощью теоремы ван дер Корпута с k-й производной, где величина k зависит от величины а, В случае суммы второго типа (а также первого при а > 1) классических оценок Корпута уже недостаточно. Чтобы добиться понижения степени в итоговой оценке, используется Лемма 2,4,

Нам понадобится следующее утверждение

Лемма 4.1 (тождество Виноградова-Бона). Пусть 1 ^ V ^ X. Тогда для любой комплекснозначной функции f (x) справедливо тождество

£ Л(п^(n) = £ ^(d) £ (log/)f (Id) - £ Md £ Л(п) £ f (ndr)

V<n^X d^V l^Xd-1 d^V n4V r^X(dn)-1

E ( E £ Л(п)/(nm).

Доказательство см, в 154, Гл. 131

4.1 Разбиение исходной суммы с помощью тождества Вона

Положим 1 ^ а < q ^ ф, (а, = 1, и рассмотрим сумму

W = Ж (У )= £ Л(п)е(Ьпа).

x ^п<У п=а (шоё д)

Применяя Лемму 4,1 с V = X1/3, получим:

Ж = -Жо + - + Жз.

Здесь

Жо = £ ат 4тп)1, ат = £ ^(м)Л(^),

т^У2 Х/т4п<У/т и'о=т

mn=a (mod q)

Wi = £ Л(п)е(Ьпа

n4V n=a (mod q)

W2 = £ bm £ Л(п)е(Ь(тп)а), bm = £ M«)

V<m^YV-1 X/m^n<Y/m, n>V u\m

mn=a (mod q) u^V

W3 =£ Mm) £ (log n)^h(mn)"

m<V X/m^n<Y/m

mn=a (mod q)

Для коэффициентов am, bm и суммы W1 используем тривиальные оценки: Ы ^ £ Л(г>) = logm, |bm| ^ т(m), |Wi| ^ £ Л(п) < V.

v|m n^V

Далее, имеем

Wo = X ат X e(h(mn)a) + X ат X e(h(mn)a) =: W4 + W5.

m<V X/m^n<Y/m V<m^V2 X/m^n<Y/m

mn=a (mod q) mn=a (mod q)

Так возникают суммы первого (W3, W4) и второго (W2, W5) типов. Суммы первого

()

X Ym X ^n^h(mn)^,

m<V X/m^n<Y/m mn=a (mod q)

где Ym = ^(m), en = log n для W3 и Ym = am, en = 1 для W4; суммы второго типа могут быть записаны в виде

X Ym X ene(h(mn)a),

V<m^U Z/m^n<Y/m mn=a (mod q)

где Ym = bm, en = Л(п), U = YV-1, Z = max(Vm,X) дая W2 и Ym = am, fin = 1, U = V2, Z = X дая W5.

4.2 Оценка суммы первого типа

Разобъем сумму по 1 ^ m ^ V на суммы то интервалам вида M < m ^ M1; M1 = min(2M, V), Будем обозначать знаком Y1 сумму по всем таким значениям M, Получим ^ log X сумм вида

W (M )= X Ym X ene(h(mn)a).

M<m^Ml X/m<n<Y/m mn=a (mod q)

Далее, имеем

|W(M)| ^

~ X

M<m^M1

У ^ne(h(mn)

X/m-in<Y/m

mn=a (mod q)

где = тахт^2Х 1Тт|- Применяя формулу суммирования Абеля и неравенство

треугольника получим:

а

|w(M)|^ ||y|UieIU X X e(h(mn)a)

M<m^Ml

X/m^n<Y/m mn=a (mod q)

+

~ X

M<m<M1

Y/m

X/m 4 X/m^n<v

mn=a (mod q)

X e(h(mn)a) dv

dv

где ||в||те = maxn^2X |^m|. Используя оценку

de (v) 1

—M < -,

dv v

найдем

W(M)| ^ 2||y iup 11« x x <h(mn)a)

M<m^Mi

X/m^n<Yi /m

(4.3)

(m,q) = 1 mn=a (mod q)

где Y1 G (X; Y]. Дмее, зафиксируем m G (M; M^, взаимно простое с q, и определим l го условий l = am* (mod q), 1 ^ l ^ q — 1. Полагая n = qr + l, получим

X ^ ,, Y1 ^ l

— ^ r+e<—, e = -.

mq mq q

n

X e(h(mq)a (r + £)a),

где R1 = X/mq, R2 = Y1/mq ^

Дня оценки этой суммы воспользуемся Леммой 2.4. Дня этого рассмотрим функцию / (x) = h(mq)a(x + £ )а. Тогда для R1 — £ ^ x < R2 — £ будем иметь:

fjk)(x) = (a)fch(mq)a(x + £)a-k x ,

где (a)k = Пk=1(a — i + 1), Полагая в Лемме 2.4 Ak = h(mk)k/Xk-a, полу

чим

—k,5 -

mq

/X\ 1+5 r/h(mq)^ 1/(k(k-1)) + /mqV

^k x 1/(k(k-1)) 1/(k(k-1))

E e(/i(r))

Xk-a ) \X )

/mq\ 2/(k(k-1)) / Xk-а \ 2/(k2(k-1)h / X\ 5

(x) (] -"1/(k(k-1))© +T2+тз),

X 1-(k-a)/(k(k-1)) / x \ 1-1/(k(k-1)) X1-2a/(k2(k-1))

T1 = /...M_I , T2 = —- , Тз"

(mq)1-1/(k-1) 2 mq 3 mq Из неравенства ||y||«||в||« ^ log2X заключаем

^(M) - h1/(k(k-1))(logX)(X) X m-5(T1 + T2 + T3)

q

q

^ 7 M<m4Mi

Оценим вклады от T1, T2, T3 в исходную сумму. Вклад от T1 не превосходит

/ X \5 X 1-(k-a)/(k(k-1)) .

h-/(k(k-))(logX)(X) X „ X' X m-I+'/(k-') -

^ 4 ' 4 M<V M<m^Mi

/X\25 X 1-(k-a)/(k(k-1))

(f) X ,1-1/(k-D ^ <")

Вклад от T2 оценивается сверху величиной

/X4 1-1/(fc(fc-1))+5

h1/k(k-1)(log X)( X) £ ' £ m-1+1/(k(k-1)) «

V q / M<V M<m<M-,

q

Наконец, вклад от T3 ограничен сверху величиной

m

M<V M<m^M1

1-1/(fc(fc-1))+2<5

V1/(k(k-1)). (45)

q q m

4 7 ^ M<V M<m^M1

X\ 25 X 1-2«/(fc2(fc-1))

— log V. (4.6)

qq

4.3 Оценка суммы второго типа

По определению величины U, имеют место неравенства V2 ^ U ^ YV-1 ^ 2XV-1 ^ 2V2, Разобъем W2, W5 на « logX сумм вида W(M), Применяя неравенство Коши,

получим

W(M)|2 Е Ы2)( Е Е ene(h(mn)

,e|hlmn a

Z/m^n<Y/m mn=a (mod q)

Далее, в силу неравенства Марджанишвили (Лемма 2,5), будем иметь: |W(M)|2 « M(logX)2+K( Е Е ene(h(mn)a)

yM<m^M1

Z/m^n<Y/m mn=a (mod q)

(4.7)

где к = 1 да я W2 и к = 0 да я W5. Перепишем сумму по m в виде

£ £ enien2e(hm>? - <))

M<m^Mi Z/mKn1,n2<Y/m

mni=a (mod q),i=1,2

Е Е en + Же (S (M))

M<m^Mi Z/m^n<Y/m mn=a (mod q)

где

S(M)= £ £ enien2e(hma« - <)).

M<m^Mi Z/m^n1<n2<Y/m mni=a (mod q),i=1,2

Диагональный член не превосходит

Е Е en « Е (log XИ^Т + l) « (log XН- + m\ (4.8)

M<m^Mi Z/m^n<Y/m M<m^Ml \mq / \ q /

2

Полагая т = дг + /, для заданного /, (/, д) = 1, получим:

М М1 / --П < г ^--п, П = _.

д д ?

Следовательно,

5 (м )= XX X в* вп2 в(м< - па)да(г+п)а),

(5=1 ТМ-п -Лг<^<т<

П1,П2=е (шоё д)

где е = а/* (mod д). Далее, заменим порядки еуммирования. Если Z = X, то

X У

^ п2 < п1 <

дг + / дг + /

поэтому Х/М1 ^ п2 < п1 < У/М и для фиксированных п1; п2 получим

X У

--П ^ г <--П.

дп дп

По определению, Z = тах(Ут,Х) = та^(V(дг + /),Х). Следовательно,

X \ У

^ п2 < п1 <

тах( V,-- )

V дг + / у

дг + /

Так как

{X , XV—1

-г, если ^ —--п;

дг + /, ^ д 1 /;

XV —1

V, если г > —--п,

то 5(М) оценивается следующим образом:

5(м НЕ Е + Е Е

М-п<г<М-1 -п ^П2<П1<Мг-п<г<М -п V^2<Щ < r^XV—1 /д-п П1,П2=е (шоё д) r>XV— 1/д-п п1,п2=е (шоё д)

X X + X X

Х/Ы1^П2<П1<У/Ы я(1)-п<г^Е(2)-п V^П2<П1<У/Ы д(з)_п<г^Я(4)-п

П1,П2=е (шоё д) щ,П2=е (шоё д)

где

Я(.) =та^М,^У Я(2) ^(М^,*^)

V 5 дп д У *■) =тах( М,*^ \, Л(4) = тт( М \.

V д д / V д дп1/

Таким образом,

(М)| ^ X X 1вп111вп21 X е(/л(г))

1=1 Х/Ы1^П2<П1<У/И Я1-п<г<,Я2-п

(1,д) = 1 т,П2=е (шоё д)

где (R1,R2) обозначает ту из пар (R(1),R(2)), (R(3),R(4)), которая дает максимум модуля суммы по r, fu(x) = h(< — ua)qa(x + n)a- Пользуясь условием n2 < u1; u1 = u2 = e (mod q) запишем u1 = u2 + qs с s ^ 1, С другой стороны, из условия u1 < Y/M следует, что u2 + qs < Y/M, Следовательно, s < Y/(Mq) = ¿и поэтому

|S(M)|« 5е Е Е ienPn+qs|- Е e(f//(r)).

l=1 1^s<iX/M1<n<Y/M Ri<r<R2

(l,q)=1

Очевидно,

откуда

n=e (mod q)

_ (a)fch(u? - ua)qa /// (x) =

k—a

flk (x)|

(x + n)

hK - uah(ua - u^f ±

R

k-a 1

ka

Данее, но формуле конечных приращений Лаграпжа,

hqa ((u + qs)a - ua) = hqa ■ a(u + qs^')a-1 ■ qs x hsqa+^X)

Iflk (x)|

a- 1

И ^ 1,

(k) hsq2 q

и, следовательно,

X1-a M

Положим 1 - а = v, Применяя Лемму 2,4, получим

Ak

Е e(fii(r)) «k,<

Ri<r^R2

M\

q J

1+5

hsq^ 1/(k(k-1)V q4 1/k /m\-1/(k(k-1))

h^J Ы Hт +

/M

V q

-2/(k(k-1))

hsq

"X^

2 -2/(k2(k-1)) q -2/k2

M

где 6 > 0 — сколь угодно матое фиксированное число. Множитель |вга| ■ |/5n+qs| ограничен сверху величиной (X/q)5. Вклад от суммы но u = e (mod q) доя X/M1 < u ^ Y/M не превосходит X/Mq, Таким образом,

S(M) « ( X q

v 1+7fhq!Y/(k(k-1)Y^1/k v

t! Mquj IVXV vmj ^

2 1/(k(k-1))

1/k

(l,q)=1

( M4 -1/(k(k-1))

V q

s1/(k(k-1))+

hq2 -2/(k2(k-1)) M £1 + ( x) UJ

1^s<t

-2/(k2(k-1))

Е

1^s<t

-2/(k2(k-1))

Неравенства M < X и t ^ 2X/Mq дают:

X\25 X

2 1/(k(k-1))

( q \1/k'( 2X 4 1+1/(k(k-1)) ( M V1/(k'(k-1)) 2X

Ы Ы + '2X

П и

Mq

hq2

-2/(k2(k-1)W ^ -2/(k2(k-1)) ( 1-2/(k2(k-1))

q

Mq

<

X 25 X2

Mq2

(T4 + T5 + T6), (4.9)

a

5

q

где

/ q \ 1/(k-1) / 2hqk Xа \ 1/(k(k-1))

T4 = (2h)1/(k(k-1))X(1-v)/(k(k-1)W M = / 2hq X \ ,

/ q \ 1/(k(k-1))

T5 = f A j , T6 = (2h)-2/(k2(k-1))X(2v-2)/(k2(k-1)) = (2hXa)-2/(k2(k-1)).

2

Таким образом, вклад от правой части (4,9) в (М)| не превосходит

Л X\2+2й {(\1/(к(к-1)) ( д \1/(к(к-1)) ( 1 \2/(к2(к-1))

(1о§ X) V НПМ^] Ч М) + 1,2^

Так из (4,7) и (4,8) следует неравенство

|W(M)| -k (logX)1+3K/^X)^M + (Mq^) 1/2+

X f f hqkXa\ 1/(2k(k-1)) /_q\

+ +

1/(k2(k-1))

д\\ Мк ) \М) \hXc

Суммирование по всем значениям М в промежутке V ^ М < 2 V2 приводит к оценке

'XУ Г „ vVX

W - (log X)1+3к/^ ^ | V2 +

+

X // hqkXа \ 1/(2k(k-1)) / q \ 1/(2k(k-1)) / \ 1/(k2(k-1))

qVV Vk у ПV) ПSX^j )]■ <410'

Из (4,4), (4,5), (4,6) и (4,10) заключаем, что

/ X \ 1+25 Г/ Vq \ 1/(k-1) / Vq \ 1/(k(k-1))

W - (Xj J ( x a/(k(k-1)) + / Yl\ + X-2a/(k2(k-1)) log V+

V2q V^q / hqkXa \1/(2k(k-1)) / q \ 1/(2k(k-1)) / 1 \1/(k2(k-1))

X ' ^ + V vO V^ ' VhX

Оценим сверху величины (X/q)г, Л,1/(2к(к-1)) и все логарифмические множители возникающие после суммирования по д ^ П величин°й XТаким образом,

т « X - {( \1/(к-1) + (£ \1/(к(к-1)) + X+ ^ + ^+

Пк V а \ 1/(2к(к-1)) (п \ 1/(2к(к-1)) ( \ 1/(к2(к-1)К 8

ЗД +(п) +( } «^ XXЛ"

1

где

д < X(3a-2k)/(3k(k-1))Ql/(k-1) ^ X(3а-к-3ек)/(3к(к-1)) / Q \ 1/(k(k 1))

Д2 =/ ^ X-1/(3k(k-1)), д3 = X—2а/(^(^1)),

= ^ ^ X— , Д5 = ^ ^ X—^/2, Д6 ^ (Xа/k—s)1/(2(k—1)) X , 5 ^ , 1 ; ,

Д7 ^ X—/(2^—1)), д8 ^ X—а/(k2(k—1)), шахДг ^ X—2£3/(5а2)

1<г<8

если к = [1.1 ■ а/е] + 1- Доказательство завершается выбором 5 ^ е3/(50а2).

Гляв8) 5

Аналог теоремы

Бомбьери-Виноградова для малых а с уровнем распределения

2/5 - (3/5)а

В этой главе приводится доказательство Теоремы 1,4, Первое отличие от доказательства Теоремы 1,3 состоит в разбиении исходной суммы

Е A(u)e(hua)

X <n<Y n=a (mod q)

па подсуммы уже трех типов: суммы первого и второго типов подобны (4,1) и (4,2) соответственно, незначительные отличия связаны лишь с более удобными размерами границ для M и N (в данном случае они отделены от критических диапазонов M « X1/3, N « X2/3 и наоборот). Также, в силу малости a, Wi и WII могут быть оценены проще, чем в Главе 4, Сумма третьего тина имеет вид

Wiii = Е f1(m) Е f2(u) Е f3(k)e(h(muk)a),

M©-1^m<M© N©-1^n<N © K©-1^k<K ©

mnk=a (mod q)

где f1, f2, f3 — гладкие вещественные функции, 1 < в = 0(X) ^ 2, а размеры величин M, N, K отличаются друг от друга незначительно (M ^ N ^ K X1/3). Вывод необходимой оценки осуществляется в три шага: с помощью повторного применения формулы суммирования Пуассона две из трех сумм по m, u, k заменяются более короткими и могут быть оценены тривиально. Дополнительный выигрыш порядка ^/q получается за счет применения на третьем шаге к полученной внутренней сумме Клоостермана оценки А, Вейля и Т, Эстермана |45|,

5.1 Вспомогательные леммы

Приведем формулировки всех утверждений, которые понадобятся при доказательство Теоремы 1,4:

Лемма 5.1 (тождество Хиз-Брауна). Для любого фиксированного целого к ^ 1, V = X1/к и любой комплекснозначной функции /(х) справедливо следующее тождество:

J] Л(п)/(n) = £(-W%3,

X 4n<Y j=1

где

Sj = X (log . ..^(d2j )/(d1 ...d2j ).

X ^d1...d2j <Y dj+i,...,d2j ^V

Доказательство см. в |27|.

Лемма 5.2 (комбинаторное разбиение). Пусть 1/10 < а < 1/2, и пусть неотрицательные числа t1,..., tn выбраны так, что t1 + ... + tn = 1. Тогда справедливо по крайней мере одно из следующих трех утверждений:

• (Ситуация первого типа:) существует U такое, что ti ^ 1/2 + а.

• (Ситуация второго типа:) существует разбиение {1,...,n} = S U T такое, что

11 2 - а<2^и ti < 2 + а.

íes íeT

• (Ситуация третьего типа:) существуют различные i, j, k такие, что 2а ^ ti ^ tj ^ tk ^ 1/2 — а и

ti + íj, ti + ífc, íj + tk ^ — + а.

Более того, если а > 1/6, то ситуация третьего типа невозможна.

Для доказательства см. 128, Лемма 3.11.

Лемма 5.3. Пусть a, b — вещественные числа, a < b; А = (log X)-Ao при некотором фиксированном, A0 > 0. Тогда существует гладкая, бесконечно дифференцируемая функция Ф(х) : R ^ R с носителем,, ограниченным отрезком, [a — А; b + А], равная 1 на [a, b], удовлетворяющая неравенствам 0 ^ Ф(х) ^ 1 при x G [a — А; a) U (b; b + А] и оценкам на, рост производных

|ФМ(х)| <<m logmA0 X

для, любого фиксированного m ^ 0.

Доказательство см., например, в |30|.

Лемма 5.4. Пусть f (х) — гладкая, бесконечно дифференцируем,ая, функция с конечным носителем. Тогда справедлива формула

г-

Е f(n) = Е / f(u)e(-mu)du.

________ J — OD

m=—oo

Для доказательства см., например, |54, Теорема 4,4|

Лемма 5.5. Пусть У/ ^ 1, а такж е X/, QI ,У/, Я/ > 0 — фиксированные числа, и пусть — гладкая функция с носителем на некотором отрезке 1 С М такая, что

ь)(1)(Ь) < X/ У—11

для, всех j ^ 0. Пусть д(Ь) — гладкая, функция, удовлетворяющая условиям

^ Я/, д(1)(Ь) <1 У/Q-j

для, всех j ^ 2, Ь е 1. Тогда для, интеграла,

/+те

ш(Ь)б(д(Ь)) ^

-те

имеет место оценка:

I <А, Ц^/((Q/Я/)—А + (Я/У/)-А1) (5.1)

для, любого фиксированного А/ > 0.

Лемма 5.6. Пусть 0 < 5/ < 1/10 X/, У/, У/, V/, Q/ > 0, 21 = Q/ + X/ + У/ + V/ + 1

— вещественные числа, У / ^ г/51,

7 ¿I/2

I - / / /

У/ > У/ >

Q/ZдI

У1/2

Пусть также — гладкая, функция с носителем на отрезке 1 длин,ы, У/ и про-изодными, удовлетворяющим,и неравенствам

™(1)(*) <1 X/У—

для, всех j ^ 0 д(Ь) _ гладкая, функция, такая, что уравнение д'(Ь) = 0 имеет на, 1 единственный корень ¿о. Далее, пусть производные этой, функции также удовлетворяют ч неравенствам:

/(*) < 0, |/(*)| » У^—2, д(1)(Ь) <1 У^—1

для, всех j ^ 1, Ь е 1. Тогда для, интеграла,

/+те -те

при любом, фиксированном, А/ > 0 справедливо разложение

I = Е Р"(Ьо) + Оа1А (г—*),

1А1

уп

в котором

' ' '' \ — п

Р (Ь 1 = У^^ (2^)—п Г(2п)(, )

Рп(Ьо)= п с (Ьо)'

С(Ь) = ЦЬ)в(Н(¿)), Н(¿) = д(Ь) - д(Ьо) - 1 /(¿о)(Ь - ¿о)2

Доказательства лемм 5,5 и 5,6 содержатся в |29|,

Лемма 5.7 (Д. Вейль, Т. Эстерман). Для суммы Клоостермана Бд(т,п) справедлива оценка

(т,п)| ^ г(д)^д(т,п,д)1/2.

Для доказательства см, |54, Следствие 11.12|.

Лемма 5.8 (Фаа-ди-Бруно). Пусть ^(ж),/(ж) — г раз дифференцируемые функции на, Ш. Тогда справедлива формула г-й производной сложной функции

& (ж)) ^ г! ,, »А(/0)(*

X т^тл(x)) Й( j1)'

dxr mi! ...mr! V 7!

mi+2m2 +...+rmr=r j=1 4

mi,...,mr

Доказательство см, в |55|,

5.2 Разбиение исходной суммы с помощью тождества Хиз-Брауна

Зафиксируем числа a и q, такие что 1 ^ a < q ^ Q, (a, q) = 1, и рассмотрим сумму

W = W (Y )= ^ A(n)e(hna),

ra=a (mod q,

где X < Y ^ 2X, Введем обозначение y := Y/X > 1, Зафиксируем B0 > 0 и выберем A = (logX)-B°, По Лемме 5,3 существует гладкая функция ^(x), такая что ^(x) = 1 при 1 ^ x ^ у, 0 ^ -0(x) ^ 1 при 1 — A ^ x ^ 1 ил и y ^ x ^ y + Аи ^(x) = 0 иначе, а ее производные удовлетворяют неравенствам

^j (log X)jB° при j ^ 0, Тогда

W

W = X n + о(X (l0gX )-B°+1). (5.2)

n=1 ^ ' V q /

ra=a (mod q,

С помощью формулы суммирования Абеля (Лемма 2,1) заключаем, что дня получения оценки T ^ X (log X )-A достаточно поло жить B0 = A + 1, Задача сводится к получению верхней оценки дня главного члена в (5,2),

Применяя тождество Хиз-Брауна (Лемма 5,1) с параметрами k = 5 V = X1/5, получим

W = X (—1)j-1(5 )wj,

j=1 j

где

Wj = X (log di)Mdj+i)... Md2j e(h(di... d2j )a)

d d„ =1 V /

di,...,d2j = 1 dj+1,...,d,2j ^V

d\...d2j=a (mod q,

Ф (x)

-Ь

-е -1 о 1 е

Рис, 5,1, Сглаженная характеристическая функция интервала [-1; 1],

x

Утверждение теоремы следует из оценок вида Wj ^ X^(к^X)-А-1 для всех 1 ^ ] ^ 5, оде X^ X, Для простоты рассмотрим только сумму W5. Суммы W1,..., W4 оцениваются аналогично.

Далее разбивается на упомянутые выше суммы трех типов. Для оценки суммы третьего типа будем пользоваться формулой суммирования Пуассона, Поэтому чтобы избавиться от «негладких» ограничений вида Yj ^ dj < Zj; удобно предварительно еще раз сгладить исходную сумму уже по всем слагаемым di,..., d10. Для этого разобьем области изменения di,..., dio на интервалы вида Dj© ^ dj ^ Dj© при 1 < © < 2 следуя стратегии, применявшейся в Разделе 3 работы [ ], Зафиксируем A0 > 0 и © = 1 + (log X )-Ao, Пуст ь Ф(ж) — функция из Леммы 5,3 с носителем на [—©; ©], такая что Ф(я) = 1 на [-1; 1] и ^(j)(x)| ^ logjAo x при j ^ 0 (см. Рис, 5,1), Для любого x ^ 1 имеем

1= £ Фд(x), dgg

G = {©г, /е N u{0}} , ФД(x) = ^X) - ф(©г)

Действительно, при x ^ 1

Рис, 5,2, Гладкое разбиение единицы, Ф(х/вт) — Ф(вх) ^ 1 при т ^ для

всех х ^ 1,

Носитель функции Фд лежит на [в iD; OD], Таким образом

5 —

X

X log(di)^(de)

D1,...,DweG di,..,di0 = 1 de ,...,dio<V di...dio=a (mod q)

... Mdio^Di(dl)... Фд10(di0.xdl°) e(fc(di... dio)"). (5.3)

Ненулевой вклад в Ж5 вносят лишь слагаемые, удовлетворяющие условиям (1 - Д)Х ^ <1... о!ю ^ (у + Д)Х, ^ ^ < ^ Ав, для г = 1,...

10.

Отсюда заключаем, что ненулевой вклад соответствует наборам Ю = |Д1,..., Д10|, удовлетворяющим неравенствам

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шубин Андрей Витальевич, 2020 год

Литература

[1] И, М, Виноградов, «Некоторое общее свойство распределения простых чисел», Мат. Сб., 7(49), №2 (1940), 365-372.

[2] Ю. В. Линнпк, «Об одной теореме теории простых чисел», ДАН СССР, 47, №1 (1945), 7-8.

[3] Р. М. Кауфман, «О распределении Мат. Заметки, 26, №4 (1979), 497504.

[4] A. Balog, «On the fractional parts of /», Arch. Math. (Basel), 40, №5 (1983), 434-440.

[5] G. Harman, «On the distribution of ^p modulo one», Mathematika, 30 №1 (1983), 104-116.

[6] С. А. Гриценко, «Об одной задаче И. М, Виноградова», Мат. Заметки, 39, №5 (1986), 625-640.

[7] X. М, Ren, «Vinogradov's exponential sum over primes», Acta Arith., 124, №3 (2006), 269-285.

[8] И, M, Виноградов, «Оценка одной тригонометрической суммы по простым числам», Изв. АН СССР. Сер. матем., 23, №2 (1959), 157-164.

[9] D. Leitmann, «On the uniform distribution of some sequences», J. London Math. Soc. (2), 14, №3 (1976), 430-432.

[10] I. Stux, «On the uniform distribution of prime powers», Communic. Pure and Appl. Math., 27, №6 (1974), 729-740.

[11] D. Wolke, «Zur Gleiehverteilung einiger Zahlenfolgen», Math. Z., 142, №2 (1975), 181-184.

[12] E. П, Голубева, О. M. Фоменко, «О распределении последовательности {bp3/2} по модулю 1», Зап. Научн. Сем. ЛОМИ, 91 (1979), 31-39.

[13] R. Baker, G, Kolesnik, «On the distribution of pa modulo one», J. Reine Angew. Math., 356 (1985), 174-193.

[14] X. Cao, W. Zhai, «On the distribution of pa modulo one», J. Theor. N ombres Bordeaux., 11, №2 (1999), 407-423.

|15| M. Е, Чапга, «Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами», Мат. Заметки, 73 JV23 (2003), 423-436,

|16| Е, Bombieri, «Le grand crible dans la théorie analytique des nombres», Astérisque ЛН8 (1987).

[17] A. И, Виноградов, «О плотностной гипотезе L-рядов Дирихле», Изв. АН СССР. Сер. машем., 29, m (1965), 903-934.

|18| D. I. Tolev «On a theorem of Bombieri-Vinogradov type for prime numbers from a thin set», Acta Anth., 81, m (1997), 57-68.

|19| С. А. Гриценко, H. А. Зинченко, «Об оценке одной тригонометрической суммы по простым числам», Научные ведам,ости Белгородского гос. ун-та. Серия: Математика. Физика., 30, №5(148) (2013), 48-52.

|20| А. В. Шубин, «Ограниченные промежутки между простыми числами специального вида», Докл. Акад. Наук, 492 (2020), 63-66.

|21| А. V. Shnbin, «Fractional parts of non-integer powers of primes», Math. Notes, 108, №3 (2020), 394-408.

|22| А. В. Шубин, «О распределении простых чисел специального вида в арифметических прогрессиях», Труды МФТИ, 12, .Т\"24 (48) (2020), 97-105.

1231 А. V. Shnbin, «Fractional parts of non-integer powers of primes. II», preprint.

|24| H. H. Мотькипа, «О простых числах специального вида на коротких промежутках», Мат. Заметки, 79, .Т\"26 (2006).

|25| D. R. Heath-Brown, «A new kth derivative estimate for exponential sums via Vinogradov's mean vaine», Proc. Steklov Inst. Math., 296 (2017), 88-103; https: //arxiv.org/abs/1601.04493

|26| К. К. Марджанишвили, «Оценка одной арифметической суммы», ДАН СССР, 22 (1939), 393-393.

|27| D. R. Heath-Brown, «Prime numbers in short intervals and a generalized Vanghan identity», Canadian J. Math., 34, №6 (1982), 1365-1377.

|28| D ,H, J. Polymath, «Xew equidistribution estimates of Zhang type», Algebra Number Theory, 8, № (2014), 2067-2199; https://arxiv.org/abs/1402.0811

|29| V. Blomer, R. Khan, M. Young, «Distribution of mass of holomorphic cusp forms», Duke Math. J., 162, ЛН4 (2013), 2609-2644; https://arxiv.org/abs/1203.2573

1301 E. Fourvy, «Autour du theoreme de Bombieri-Vinogradov», Acta Math., 152, JYa3-4 (1984), 219-244.

1311 H. Maier, «Small differences between prime numbers», Michigan Math. J., 35 (1988), 323-344.

1321 D, Goldston, Y, Motohashi, J, Pintz, C, Yildirim, «Small gaps between primes exist», Proc. Japan Acad. Se.r. A Math. Sci., 82, Л"й4 (2006), 61-65; https://arxiv.org/ abs/math/0505300

1331 D. Goldston, J. Pintz, C. Yildirim, «Primes in tuples. I», Ann. Math. (2), 170, Ш

(2009), 819-862; https://arxiv.org/abs/math/0508185

|34| D. Goldston, J. Pintz, C. Yildirim, «Primes in tuples. II», Acta Math,, 204 .Y" 1

(2010), 1-47; https://arxiv.org/abs/0710.2728

[35] D. Goldston, J. Pintz, C. Yildirim, «Primes in tuples. III. On the difference pn+v — pra», Fund. Approx. Comment. Math., 35 (2006), 79-89.

13(31 D. Goldston, J. Pintz, C. Yildirim, «Primes in tuples IV: Density of small gaps between consecutive primes», Acta Arith,, 160, №1 (2013), 37-53; https://arxiv. org/abs/1103.5886

|37| J. Pintz, «А new bound for small gaps between consecutive primes», in 27th Journe.es Arithme.tiques. Programme and Abstract Book. Vilnius University, 2011. p.51.

1381 Y. Zhang, «Bounded gaps between primes», Ann. Math, (2), 179 №3 (2014), 11211174.

1391 J. Maynard, «Small gaps between primes», Ann. Math, (2), 181, №1 (2015), 383413; https://arxiv.org/abs/1311.4600

|40| D. H. J. Polymath, «Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes», Res. Math, Sci., 1 (2014), art. 12, 83 pp.; https://arxiv.org/abs/ 1407.4897

|41| K. Ford, B. Green, S. Konyagin, J. Maynard, T. Tao, «Long gaps between primes», J. Amer. Math, Soc,, 31, № (2018), 65-105.

|42| J. Maynard, «Dense clusters of primes in subsets», Compos. Math,, 152 №7 (2016), 1517-1554; https://arxiv.org/abs/1412.5029

|43| A. Granville, «Primes in intervals of bounded length», Bulletin of the American Mathematical Society, 52 (2015), 171-222; https://arxiv.org/abs/1410.8400

|44| J. Benatar, «The existence of small prime gaps in subsets of the integers», Int. J. Number Theory, 11, №3 (2015), 801-833; https://arxiv.org/abs/1305.0348

|45| T. Estermann, «On Kloosterman's sum», Mathe.matika, 8 (1961), 83-86.

|46| X. Shao, J. Teravainen, «The Bombieri-Vinogradov theorem for nilsequences», preprint at https://arxiv.org/abs/2006.05954.

|47| А. А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, (М,: Наука), 1983.

|48| И. М. Виноградов, «Метод тригонометрических сумм в теории чисел», М., Наука, 1971.

[49] И, М, Виноградов, «Особые варианты метода тригонометрических сумм», Л/.. Наука, 1976,

[50] И, М, Виноградов, «Новая оценка функции Z(1 + it)». Изв. АН СССР. Сер. матем., 22, №2 (1958), 161-164.

[51] Н. М, Коробов, «Оценки сумм Вейля и распределение простых чисел», Докл. АН СССР, 123, №1 (1958), 28-31.

[52] М, Е. Чанга, Методы аналитической теории чисел, М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая, динамика», 2013.

[53] Н. Montgomery, Е. С. Vaughan, «Multiplicative Number Theory I. Classical Theory», Cambridge university press, 97 (2007).

[54] H. Iwaniec, E. Kowalski, «Analytic Number Theory», American Mathematical Soc., 53 (2004).

n

торой функции», Математическое просвещение. —М.-Л.ЮНТИ, 1 (1934), 2427.

n n log n

45, №1 (1939), 21-44.

[57] J. В. Rosser, L. Schoenfeld, «Approximate formulas for some functions of prime numbers», Illinois J. Math, 6, №1 (1962), 64-94.