Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Рахмонов, Парвиз Заруллоевич

• Рахмонов, Парвиз Заруллоевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Рахмонов, Парвиз Заруллоевич

Обозначения.

Введение

1 Оценка коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа

1.1 Известные леммы.

1.2 Оригинальные леммы.

1.3 Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа.

1.4 Поведении короткой тригонометрической суммы с нецелой степенью натурального числа в окрестности нуля.

2 Обобщенная тернарная проблема Эстермана для почти равных слагаемых

2.1 Вспомогательные утверждения.

2.2 Поведении короткой линейной тригонометрической суммы с простыми числами в окрестности нуля.

2.3 Обобщенная тернарная проблема Эстермана для почти равных слагаемых

2.3.1 Доказательство теоремы 2.2. Разбиение интеграла

2.3.2 Оценка интеграла /(ш+)

2.3.3 Оценка интеграла /(тп)

2.3.4 Вычисление интеграла 1{Ш\).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа»

Основным предметом исследований, составляющих содержание диссертации, является изучение поведения коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа и вывод асимптотической формулы в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального числа. Тригонометрические суммы впервые появились у Гаусса при доказательстве закона взаимности квадратичных вычетов. Он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя " суммы Гаусса". Тригонометрические суммы в дальнейшем стали мощным средством решения ряда важных проблем теории чисел. При этом, основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

Далее были исследованы полные рациональные тригонометрические суммы вида где /(ж) = апхп + . . + а\Х, п > 1, (ап,. ,а\,д) = 1. В случае простого q = р наилучшая неулучшаемая оценка принадлежит А. Вейлю [1]. Он доказал, что

Первые оценки суммы (1) в случае составного q были даны Хуа [2, 3, 4, 5]. Он установил неравенство вида

1) пу/р.

5| < с{п)д1-п.

Оно замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием q оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. В.Н. Чубариков [6] получил оценки модуля кратной рациональной тригонометрической суммы.

Рациональная тригонометрическая сумма, как частный случай, входит в еще более общий класс сумм вида

S=S(an,.1al) = J2e(f(m)), (2) т<Р где f{x) = аптп + . + а^т и а;п,., ari - любые вещественные числа. Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2) создал Г. Вейль [7], поэтому этим суммам дали название суммы Г. Вейля. Этот метод оценок сыграл заметную роль в развитии теории чисел: он позволил дать первые решения ряда важных проблем, в частности, найти закон распределения дробных частей многочлена f(t), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

Оценки Г. Вейля, позволили дать другое решение "проблемы Барита", т.е. утверждения, что для каждого целого п > 1 существует г = г(п) такое, что всякое натуральное число N может быть представлено в виде

N = хпг + хп2 + . + хпг (3) с целыми неотрицательными . ,хг. Впервые это утверждение было доказано Гильбертом в 1909 г.

Харди и Литтлвуд [8] в 1919 г. разработали новый метод решения проблемы Варинга. Разработанный ими метод позволил рассматривать проблему Ва-ринга в гораздо более полной постановке. Они рассмотрели функцию G{n), представляющую собою наименьшее значение г, при котором все целые N, начиная с некоторого Nq, представляются в виде (3). Для этой функции они вывели неравенства п < G(n) < п2п-1/г, lim h = 1.

Харди и Литтлвуд при г > (п — 2)2п"1 + 5 для числа I(N) представлений числа N в виде (3) нашли асимптотическую формулу.

В 1924 г. И.М.Виноградов [9] представил число I(N) в виде : 1 р

I(N) = j Sr{a)e(-aN)da, S{a) = ^ e{axn), P — N* о

Из этого представления для I(N), используя новые оценки сумм Г. Вейля, в дальнейшем И.М. Виноградов [10] доказал, что асимптотическая формула Харди и Литтлвуда имеет место при г > 2[n2(21nn + lnlnn + 3)]. (4)

В 1934 г. И. М. Виноградов [11] - [19] нашел принципиально новую верхнюю границу для функции G(n):

G{n) < n(61nn+ 10).

Новые оценки сумм Г. Вейля (1935 г.) были получены на основе теоремы И.М. Виноградова "о среднем значении тригонометрической суммы Г. Вейля", т.е. суммы вида р

S = S(an, .,ai) = J2 e27rif{x\ f(x) = anxn + . + вд

Х=1

Теорема о среднем — это теорема об оценке сверху величины J, т.е. интеграла J вида

1 1

J=Jb=Jb(P) = j . j\S(an,.yai)\2bd(an, .,^0, о о который представляет собой среднее значение модуля суммы S в степени 2Ь.

В 1942 году Ю.В.Линником [20] было найдено новое доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р - адическое доказательство, то есть использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено А.А.Карацубой [21], на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века р-адического метода в данной проблематике. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(N; п, к) при малых значениях к (см. работы [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29]).

И.М.Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм. Данная задача была решена Г.И.Архиповым [30] в начале 70-х годов прошлого века. Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков [31], [32] дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976г. В.Н.Чубариков [33, 34, 35] получил оценки кратных тригонометрических интегралов. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И.Архипов, А.А.Карацуба и В.Н.Чубариков [36, 37] продолжили исследования и иолучи-ли первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригонометрическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" [38]. В середине 80-х годов прошлого века В.Н.Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте [39, 40, 41, 42].

Тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа вида

Sc(a,x) = У%(а[гес]) п<х впервые рассматривал французский математик Jean-Marc Deshouillers [43, 44] и при с > 12 получил оценку

Sc(a,x)<«Л р~1 = 6с2 (lu с + 14). (5)

Одним из обобщений проблемы Варинга является следующая задача: вместо классического уравнения Варинга (3) рассматривается уравнение n = 4С] + 4С] + • • • + 4С] (6) где Х\, а?2,. хг - натуральные числа, а с- нецелое число, и изучаются вопросы, связанные с его разрешимостью. Пусть G(c) есть наименьшее значение

А;, при котором все натуральные N, начиная с некоторого, представляются в виде (6). Функция Сг (с) аналогична функции С(п) в проблеме Варинга. БевЬоиШегв [43, 44] воспользовавшись своей оценкой (5), доказал, что с) < 4с ^Ь с + ^ 1п 1п + 0 , что по порядку совпадает с оценкой функции С(п), данной И.М.Виноградовым [45]. Ранее в работе [46] для С(с) была получена оценка сверху величиной порядка с2 2е. Дезуйе также получил асимптотическую формулу для количества решений уравнения (6) при числе слагаемых порядка с31п с.

Г.И. Архипов и его ученик А.Н. Житков [47] для среднего значения суммы Яс(а, Р), т.е. для интеграла 1

1(Р) = I \Зс(а,Р)\2кс1а о получили равномерную оценку сверху при с > 2, и, используя эту оценку, доказали асимптотическую формулу для количества решений уравнения (6), где с > 12, при числе слагаемых к > 22с2(1пс+4), что в точности по порядку повторяет оценку (4), принадлежащую И.М.Виноградову.

Оценка (5) была существенно уточнена другим учеником Г.И. Архипова, К. Нуриевым [48, 49]. Он получил оценку х1~р, р~х = р = | 2[с+2]' при с <100;

2 • 103с2, при с > 100, которая является аналогом теоремы И.М.Виноградова [45] об оценке суммы Г.Вейля в множестве точек второго класса

Тк(а,х) = ^2е{апк) < х1~р, /Г1 = 8к2(\пк + 1,Ък + 4,2). п<х

Основным аппаратом при решении аддитивных задач с почти равными слагаемыми являются тригонометрические суммы, переменные суммирования которых принимают значение из коротких интервалов. И.М. Виноградов первым начал изучать подобные тригонометрические суммы. Он

17, 18, 50, 51] нашел оценки для линейной тригонометрической суммы с простыми числами, переменная суммирования которой принимает значение из короткого интервала. Пусть

3(а;х,у) = Л(п)е(ст), а = - 4- Л, |А| < —, 1 < д < т. х—у<п<х ^ ^

Тогда, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, он доказал, что при ехр(с(1п1п.'г)2) <С <7 < ж1/3, у > х2/3+£. имеет место нетривиальная оценка такой суммы.

Далее, Хазелгров [52] получил нетривиальную оценку суммы Я(а, ж, у), у > хе, 9 = Ц, д — произвольное, и доказал тернарную проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми, то есть показал разрешимость диофантова уравнения

N = рг +р2 +Рз, N

Pi-J

N\ i = 1,2,3.

7)

Затем в работах [53, 54, 55, 56, 57, 58, 59] эта задача была решена соответственно при л 279 2 5 в =--у е. - + е,

308 ' 3 ' 8

С.Ю.Фаткина [60] доказала асимптотическую формулу для числа решений диофантова уравнения

N = р1+р2 + [^2р3}, (8) с условиями N

Pi

1,2,

V2p3] N Я, Н>№ 1пс N.

Jianya Liu и Tao Zhan [61, 62, 63, 64] доказали теорему Хуа JIo-гена об представимости достаточно большого натурального числа N, N = 5 (mod 24) в виде суммы пяти квадратов простых чисел в случае, когда эти слагаемые почти равны. Они показали, что достаточно большое натуральное число N, N = 5 (mod 24) можно представить в виде

N = PI + . + PI

Pi Я, Я > N™+£

Jianya Liu и Tao Zhan [61, 62, 63, 64] также доказали теорему, что достаточно большое натуральное число N можно представить в виде

ДГ = р1+р2 р1

Рз

N ~3~ А N У Я, Я > Nv е

Диссертация состоит из двух глав и списка литературы. Первая глава диссертации состоит из четырех параграфов и посвящена исследованию поведения коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа вида ж, у) = е(а[пс}). х—у<п<х

Первый параграф носит вспомогательный характер, в нем приведены известные результаты, которые используются в последующих параграфах. Леммы 1.1 и 1.2 содержат в себе новый метод снятия знака целой части в показателе тригонометрической суммы и формулу ее остаточного члена, которые изложены в учебнике Архипова Г.И., Садовничиго В.А., Чубарикова В.Н. "Лекции по математическому анализу" [65].

Во втором параграфе доказываются оригинальные леммы 1.6, 1.7 и 1.8, которые затем используются при доказательстве теорем 1.1 и 1.2 .

Лемма 1.6. Для величины с\ с(с — 1). (с — А; + 1) \к) ~ к\ при нецелом с > 1 и натуральном к справедливы оценки V

1 <1

М к i Л к. 2е < 1 при при к < с, к=[с] + 1.

При доказательстве этой леммы используется метод, с помощью которого доказывается лемма 2 в [49] (см. стр. 35.)

Лемма 1.7. Пусть х > х0 > 0, 10 < у < 1СГ9ж; М > 2 ~ натуральное число, а - вещественное число с условием 0 < \а\ < 0,5, с > 1 - нецелое число, к = [с] + 1 х—у<п<х

32 = к\

Тогда справедлива оценка а + к

1<Н<м

Лемма 1.7 доказывается методом Ван - дер - Корпута. Лемма 1.8. Пусть х > х$ > О, 10 < у < 10~9ж, А - фиксированное положительное число больше единицы, М > 2 - натуральное число, Мо = 7Г(М + 0,5), Мх = М0 1п М), с > 1 - нецелое число, к = [с] + 1,

Доказательство леммы 1.8 проводится на базе формулы остаточного члена нового метода снятия знака целой части в экспоненте тригонометрической суммы (лемма 1.2), с последующим применением метода Ван - дер - Корпута.

Арифметическая особенность последовательности [пс] состоит, с одной стороны, в более сложном ее поведении, чем, допустим, последовательности пк, где к - натуральное, а с другой стороны, ее значения равномерно распределены в любой арифметической прогрессии.

В третьем параграфе первой главы, воспользовавшись, в частности, этой особенностью для суммы Бс{а\ ж, у), во всех точках а Е [—0, 5, 0,5], включая окрестности точек с малыми знаменателями, за исключением только малой окрестности нуля, получена равномерная оценка по параметру с, удовлетворяющий условиям (9), если только у - длина суммы является величиной больше чем квадратного корня от х.

Тогда справедлива оценка С

2 К -2

Теорема 1.1. Пусть х > xq > О, А - фиксированное положительное число больше единицы, с - нецелое число с условиями

1 <c<log2^f-log2ln^f6A,

9)

1М| > - l) (А 4- 1) ^f"1 ln-áf.

Тогда при у и х1 су 1J¿fA < |ct!¡ <0,5 справедлива оценка

Sc(a;x,y) < где в = 0 при с > 1,1 и в = 0,5 при с < 1,1.

В четвертом параграфе первой главы для а, принадлежащей малой окрестности нуля доказана асимптотическая формула с остаточным членом, равномерным по параметру с, удовлетворяющий условиям (9), для еще более коротких сумм Sc(a] х,у).

Теорема 1.2. Пусть х > Xq > 0, А - фиксированное положительное число больше единицы, с - нецелое число с условиями (9). Тогда при у > i и ¡a| < xí~cy~l^fA справедлива асимптотическая формула X , \ sin ira Г . . „ ,. , ^ / у \ sin тта\ \ Sc(a;x,y) = -—- J e(a(t — 0, b))dt + О \ — ) ' х-у

Для единообразия с теоремой 1.1 в приложениях, имея в виду, что м < (xjf)' < теорему 1.2 сформулируем в следующей ослабленной форме.

Следствие 1.2.1. Пусть х > xq > 0, А - фиксированное положительное число больше единицы, с - нецелое число с условиями (9). Тогда при у > л/2сх ££А и |cü| < x1~cy~1Jí?A справедлива асимптотическая формула X sin 7та [,. „ Л . , ^ (у\ sin7ra|\ Sc{a-x,y) = ——- J e(a(t — 0,5))dt + O \ ) ' x-y

Доказательство теорем 1.1 и 1.2 проводится методом оценок тригонометрических сумм Ван - дер - Корпута. Одним из факторов, за счет которых удается получить нетривиальную оценку короткой суммы Sc(a; х, у), является новый метод снятия знака целой части в экспоненте тригонометрической суммы и формула ее остаточного члена (леммы 1.1 и 1.2). С помощью этого метода снятия знака целой части в экспоненте тригонометрической суммы в сочетании с методом Ван - дер - Корпута, грубо говоря, оценка суммы Sc(a; х, у) фактически сводится к оценке суммы

Щ0)= ^ е(тгс), х—у<п<х т.е. к оценке суммы где уже отсутствует знак целой части.

Вторая глава диссертации состоит из трех параграфов, первый параграф носит вспомогательный характер, в нем приведены известные результаты, которые используются в последующих параграфах.

Во втором параграфе доказана теорема 2.1, устанавливающая связь плот-ностных теорем для нулей дзета-функции Римана в коротких прямоугольниках критической полосы с поведением линейных тригонометрических сумм с простыми числами, переменная суммирования которых принимает значение из коротких интервалов, то есть с суммами вида:

S{ot\x,y)= Нп)е{ап), х—у<п<х для а, принадлежащей малой окрестности нуля.

Определение. Пусть с > 2 и В > 1 абсолютные постоянные, Т>То>0; H <Т, тогда оценка вида

N{a, Т + Я) - N{a, Т) < Hc{l~a) (1п Т)в (10) называется плотностной теоремой в коротких прямоугольниках критической полосы для нулей дзета - функции Римана.

1 «к

Теорема 2.1 Пусть х > Xq, у > ехр(1пж)0'67 и \а\ < —z. Тогда Г справедливо равенство: гу/ \ siniray ( ( у\\ , 4 ч

Ь(а;х,у) =-е ^r — - JJ + О (j/exp(— ln In ж)) .

В работе [66] доказано, что неравенство (10) справедливо при

Я>Г"+£, с Л, В — 50.

3'

Поэтому из теоремы 2.1 получим следующий безусловный результат: 5

Следствие 2.1.1 Пусть х > х0, у > х» ехр(1пж)0'67 и Ы < —z. Тогда у2 справедливо равенство:

S (а; х, у) = ——————в ~ 2) ) О {у ехР(~ In4 1П •

Доказательство теоремы 2.1 основывается на дальнейшем развитии методов работы Ю.В.Линника [67] и Н.Г.Чудакова [68], в которых, соответственно, исследуются тригонометрические суммы с простыми числами и попадание простых чисел в короткие интервалы.

Estermann [69] доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Pi+P2 + n2 = N, (11) где pi, р2 ~ простые числа, п — натуральное число.

В.Н.Чубариков поставил задачу: в уравнении (11) слагаемое п2, заменить на [пс], где с - нецелое фиксированное число и исследовать ее с более жесткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны. Эту задачу мы назовем обобщенной тернарной проблемой Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми.

Во третьем параграфе второй главы, прилагая теоремы 1.1 и 1.2 и следствие 2.1.1 теоремы 2.1, доказана теорема 2.2 об асимптотической формуле в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми.

Теорема 2.2 Пусть N — достаточно большое натуральное число, с нецелое фиксированное число с условиями с> - + О Зс (2[с1+1

Тогда при Н > для /(ЛГ,Я) числа решении уравнения

Р1 + Р2+ [пс] = ЛГ,

АГ

Р» Я, = 1,2,

Г С1 ^ п-

1 ] 3 Я

12) в простых числах р\, Р2 и натуральных п, справедлива асимптотическая формула:

Т/Л7- т 18 Я2 ( Я2 \

7(ЛГ, Н) = -Г- + О

Доказательство теоремы 2.2 проводится круговым методом Харди, Литт-лвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М.Виноградова и его основу составляют

• теорема 1.1 об оценке коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа Зс(а;х,у) для всех точек а € [—0,5, 0,5], включая окрестности точек с малыми знаменателями, за исключением только малой окрестности нуля;

• теорема 1.2 об асимптотической формуле с остаточным членом суммы Зс(а;х,у) для а, принадлежащей малой окрестности нуля;

• следствие 2.1.1 теоремы 2.1 о поведении коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами 8{а\х,у) для а, принадлежащей малой окрестности нуля.

Следствие 2.2.1. Существует такое N0, что каждое натуральное число N > N0 представимо в виде суммы двух простых чисел р\, Р2 и целой части степени с натурального числа п с условиями N з"

АГ1-^2, г =1,2, -^А^2 9(С1~1)^4 + 1 Зг с 3^ 2с2 где с - нецелое фиксированное число с условиями с> - +

3с

В заключение автор приносит глубокую благодарность научному руководителю В.Н.Чубарикову за постановку задач, постоянное внимание и помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Рахмонов, Парвиз Заруллоевич, 2012 год

1. WEYL A. Foundations of algebraic geometry, Amer.Math.Soc.Colloquim Pub., 29 (1947).

2. Ни a L. K. Abschddotatzungen von Exponentialssumen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie, Enzuyklopadie der mathemathischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bahd I, Teil 2, Heft 13, Teil 2, Teudner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1959.

3. ХУА JIo-ГЕН Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел. М.: Мир, 1964, -190с.

4. НиА L.K. On exponential sums. Sei.Res., 1-4. 4]. L.K. Hua, On exponential sums, J. Chinese Math. Soc. 20 (1940), 301-312.

5. ХУА JIo-ГЕН. Аддитивная теория простых чисел // Труды МИАН СССР, 1947, т.22, с.1-179.

6. ЧУБАРИКОВ В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат.заметки, 1976, т.20, №1, с.61-68.

7. WEYL Н. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann, 1916, 77, s.313-352.8. hardy g.h. Litilewood J.E. The trigonometrical series associated with the elliptic 9 function, Acta.math, 37 (1914), 193-239.

8. Виноградов И.М. Об одной общей теореме Варинга // Матем.сб., 1924, т.31, №3-4, с.490-507.

9. Виноградов И.М. О теореме Варинга // Изв. АН СССР, ОМЕН, 1928, с.393-400.

10. Виноградов И.М. Новое решение проблемы Варинга // ДАН СССР, 1934, №2, с.337-341.

11. ВИНОГРАДОВ И.М. О верхней границе G(k) в проблеме Варинга // Известия АН СССР, ОФМН, 1934, с.1455-1469.

12. ВИНОГРАДОВ И.М. Новый вариант вывода теоремы Варинга // Труды Физико-математического института АН СССР, 1935, №9, с.5-16.

13. ВИНОГРАДОВ И.М. Новый метод в аналитической теории чисел //Труды МИАН, 1937, т.10, с.5-122.

14. ВИНОГРАДОВ И.М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1959, т.23, №5, с.637-642.

15. И.М. ВИНОГРАДОВ Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы // Изв. АН СССР, Сер. мат., 1951, Т.15, №2, с.109-130.

16. Виноградов И.М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

17. Виноградов И.М. Особые варианты методов тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1976.

18. Виноградов И.М. Основы теории чисел М.:Наука, 1981г., 176с.

19. Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // ДАН СССР, 1942, т.34, №7, с. 201-203.

20. Коробов Н.М.О тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1979, т. 245, №1, с. 14-17.

21. АРХИПОВ Г.И.Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды МИАН им. В.А. Стеклова АН СССР, 1976, т. 142, с. 46-66.31. архипов Г. И., Чубариков В.Н. О кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1975, т.222, №5, с.1017-1019.

22. Архипов Г. И., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1976, т.40, с.209-220.

23. Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах // ДАН СССР, 1980, т.252, №6, с. 1289-1291.

24. Архипов Г. И.,Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1980, т.44, с.723-781.

25. Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. -М.: Наука, 1987, -368с.

26. СЕГАЛ Б.И. Теорема Варинга для степеней с дробными и иррациональными показателями // Тр. физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1933, т. 5, с. 73-86.

27. ВИНОГРАДОВ И.М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел. Докл. АН СССР, 1937, т. 15, с. 291-294.

28. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. -М.: Наука, 1980, -144с.

29. Jia снао hua, Three primes theorem in a short interval (II) // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991, 103-115.

30. JlA CHAO HUA, Three primes theorem in a short interval (V) // Acta Math. Sin., New Series, 2(1991), 135-170.

31. РАХМОНОВ 3-Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми // Мат.заметки, 2003, Т.74, Вып. 4, с.564-572.

32. С.Ю.ФАТКИНА Об одном обобщении тернарной проблемы Гольдбаха для почти равных слагаемых // Вестн. Моск. Ун-та. сер.1, математика, механика. 2001. №2, с. 22-28.

33. J.Y.LIU, T.Zhan. On sums of five almost equal prime squares. Acta Arith, 1996, 77: 369-383

34. J.Y.LlU, T.zhan. On sums of five almost equal prime squares (II). Sci China, 1998, 41: 710-722

35. J.Y.Liu, T.ZHAN. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I. Mh Math, 1999, 127: 27-41

36. J.Y.LlU, T ZHAN. Hua's Theorem on Prime Squares in Short Intervals. Acta Mathematica Sinica, English Series Oct., 2000, Vol.16, No.4, pp. 669-690.

37. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков B.H. Лекции по математическому анализу. М.:, Дрофа, 2003.

38. РАХМОНОВ З.Х. Оценка плотности нулей дзета-функции Римана // УМН, 1994, Т.49, Вып. 1, с.161-162.

39. ЛИННИК Ю.В. Новое доказательство теоремы Гольдбаха-Виноградова // Математический сборник, 1946, т. 19, вып.1, с. 3-8.

40. CHUDAKOV N.G. On the difference between two neighboring prime numbers // Mat. Sb., 1, 1936, 799 814.69. estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square // Proc. London math.Soc., 11(1937), pp. 501-516.

41. ПОПОВ О.В. Арифметические приложения оценок сумм Г.Вейля от многочленов растущей степени: Канд. дис. М. 1995.71. карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд, М.:, Наука, 1983.

42. С.М.Воронин,А.А.Карацуба Дзета-функция Римана -М.: Физмат-лит, 1994.-376C.-ISBN 5-02-014120-8.

43. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.н. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа. Изд. 2-е. Перев. с англ.-М.: Физматгиз, 1963.342 с.