Тригонометрические суммы Г. Вейля над кольцом целых алгебраических чисел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Кокорев, Антон Владимирович

• Кокорев, Антон Владимирович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Кокорев, Антон Владимирович

Оглавление

Обозначения

Введение

Глава 1. Интеграл Виноградова над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел

1.1 Свойства среднего значения кратной тригонометрической суммы

1.2 Лемма Линника над квадратичным полем

1.3 Основное рекуррентное неравенство

1.4 Доказательство теоремы о среднем значении тригонометрической суммы над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел

Глава 2. Суммы Г.Вейля на основном множестве

2.1 Теорема о кратности пересечения областей

2.2 Равномерная оценка тригонометрической суммы

Глава 3. Общая оценка сумм Г.Вейля над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел

3.1 Вспомогательные утверждения

3.2 Оценка суммы Г.Вейля на I классе

3.3 Оценка суммы Г.Вейля на II классе

Глава 4. Асимптотическая формула для аналога интеграла И.М.Виноградова в квадратичном поле

4.1 Вывод асимптотической формулы

4.2 Сходисть особого ряда и особого интеграла

Список литературы

Обозначение

в8—число, модуль которого не превосходит единицы, Р - целое число, превосходящее единицу,

Выражение А В показывает, что, при В > О, |А| ^ сВ, обозначение А = в В имеет тот же смысл,

число сочетаний из т по к,

(р) "Символ Лежандра,

т(п) —число делителей числа п,

^(п)— число различных простых делителей числа п, Зр(7)— след числа 7,

11е(А)— обозначет удвоенную «рациональную» часть числа А = а + \/2Ъ из квадратичного поля, т.е. 11е(А) = 2а,

П }{хг)~произведение по всем аргументам из данного множества,

Z[y/2\ — кольцо целых алгебраических чисел вида а + у/2Ъ, полученное присоединением у/2 к кольцу целых чисел,

Атр— норма числа р,

^ — означает суммирование по указанным значением а,

а

А - сопряженное к А.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Тригонометрические суммы Г. Вейля над кольцом целых алгебраических чисел»

Введение

Область исследования диссертации относится к аналитической теории чисел. В ней рассматриваются вопросы, связанные с тригонометрическими суммами над полем вещественных алгебраических чисел.

Основной целью работы являются оценки модуля тригонометрической суммы

В работе рассматриваются тригонометрические суммы над целыми алгебраическими числами, являющиеся обобщением классических тригонометрических сумм вида

х=1

где /(х) = супхп + ... + а\Х, и сеп,.... а\ - любые вещественные числа.

Академик Иван Матвеевич Виноградов дал им название сумм Г.Вейля, которое стало общепринятым. Упомянутые в диссертации суммы по аналогии

где

а1,р1,... ,ап,рп еШ, Эр (7) = 7 + 7> ^ = {а + Ьу/2\ а,Ъ е [1; Р] а, Ъ е м} ,

7 — сопряженное к7.

р

будем называть суммами Г.Вейля. И.М.Виноградов разработал теорию тригонометрических сумм Г.Вейля [8]. Центральную роль в ней играет теорема о среднем значении таких сумм, т.е. об оценке величины

I 1

цр,п,к) = у...у

^ е2тгг(/(ж))

х=1

2 к

(1а.1 ... с1ап.

о о

Интеграл 1(Р,п, к) получил название интеграла И.М.Виноградова [4]. По аналогии будем использовать это понятие и в случае наших сумм. Оказывается, что среднее значение сумм в точности равно числу решений в натуральных числах системы уравнений.

XI + ... + хк = уг + • • • + Ук,

х21 + • • • + 4 = У1 + • ■ • + УЬ

X

где 1 ^ х3 < Р, 1 ^ у3 ^ Р, й = 1,..., к.

В рамках теории тригонометрических сумм Г.Вейля важно получение возможно более точной оценки 7(Р, п, к) для числа слагаемых к порядка п2 и более.

И.М.Виноградов получил удобную для применения «упрощенную оценку» величины /(Р, п, к) вида [9]

с ограничением вида к = [п2(21пп + 1п(1пп) + 4)].

Академик Ю.В.Линник [18] предложил вариант доказательства теоремы о среднем значении, использовавший свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. А.А.Карацуба и др. усовершенствовали этот метод [4], получивший название р-адического.

И.М.Виноградов поставил проблему оценки кратных тригонометрических сумм. В начале 70-х годов прошлого века [1] Г.И.Архипов получил первые оценки двукратных сумм Г. Вей ля для многочленов общего вида. Позже Г.И.Архипов и В.Н.Чубариков дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай [2].

Результаты исследований по кратным тригонометрическим суммам Г.Вейля составили содержание монографии «Теория кратных тригонометрических сумм» [4]. С.Б.Стечкиным [20], В.З.Соколинским [19], О.В.Тыриной [22] и др. было продолжено развитие метода тригонометрических сумм в поле рациональных чисел. Результаты теории кратных тригонометрических сумм используются в данной работе.

Естественным развитием метода тригонометрических сумм является его обобщение в поля алгебраических чисел.

Первые исследования в этом направлении провел К.Л.Зигель [26]. Он применил метод тригонометрических сумм для решения задач варинговского типа в кольце целых алгебраических чисел. Эти исследования были продолжены Т.Татудзавой [25] и О.Кернером [24]. Ими была доказала теорема о среднем для сумм Г.Вейля в полях алгебраических чисел. В дальнейшем И.Еда доказал теорему о среднем р - адическим методом [23].

Тригонометрические суммы, рассматриваемые в данной диссертации, существенно отличаются областями изменения переменных от тригонометрических сумм, которые изучались в приведенных выше работах [26], [25], [24]. Суммами подобными нашим в последнее время занимались И.М.Козлов [15] и П.Н.Сорокин [21].

С формальной точки зрения тригонометрическую сумму в квадратичном поле можно рассматривать, как частный случай двойных тригонометрических сумм, которые оценивались в [4], но в нашем частном случае получены более сильные оценки индивидуальных сумм и их средного значения, которые

являются близкими к окончательным по главному параметру.

Заметим, что если теорему о среднем, аналогичной нашей, выводить из общей теоремы о среднем для двухкратной суммы Г. Вей ля, то степень осреднения будет иметь порядок n3logn. В то время как в нашем случае порядок п2 log п, при этом выполняется неравенство

Q су

п log п > п log п.

В этом состоит принципиальное отличие нашего результата от общей теоремы. Это обстоятельство связано с тем, что в нашем случае осреднение тригонометрической суммы ведется по 2п коэффициентов многочлена в её экспоненте, а в общем случае количество таких коэффициентов равно п2.

Другим основным результатом диссертации является оценка тригонометрических сумм над квадратичным полем на I и II классах. Заметим, что для II класса получены равномерные оценки имеющие вид: О (Р2-р), где р ~ n2\ogn, в то время как для двойных сумм общего вида в настоящее время известна равномерная оценка только порядка Р2~р\ где р\ ~ n3^gn [4].

Путем применения полученных выше результатов, в диссертации находится асимптотическая формула для количества решений системы уравнений, при к > п2 log п

Ai + • • • + Хк = Mi + • • • + Цк + 01, Л? + ... + А| = /*? + ... ++ <г2>

А? + ... + Хпк = + • • • + 14 + <7„,

V

где неизвестные Асг^- £ г/, г = l,k,j = 1, n, v область, состоящая из целых алгебраических чисел поля К - алгебраических чисел 2 степени, полученного как расширение поля рациональных чисел присоединением у/2, вида а + 6л/2, где а, 6 G [1; Р] G N, Р G N.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

Первая глава «Интеграл Виноградова над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел» состоит из четырех параграфов. В первом параграфе приводится формулировка основной теоремы о среднем значении.

Теорема. Пусть п,к,т е N. Тогда, при к ^ пт, Р ^ 1 для числа / решений системы имеет место оценка

1 = 1{Р; П, к) ^ п^5{т)2Ыт)к±птрАк-25{т)^

где 5(т) = _ £ (! _ 1у 5 х(т) = 4п2т + пт2

Далее проводится доказательство вспомогательных лемм.

Во втором параграфе проведено авторское доказательство теоремы о попадании к простых целых алгебраических чисел в промежуток (ж;2ж], при х, превосходящем некоторую величину, а также аналог леммы Линника о количестве решений некоторой системы сравнений.

Третий параграф посвящен основному рекуррентному неравенству в случае поля вещественных алгебраических чисел.

Четвертый параграф содержит доказательство основной теоремы о среднем методом математической индукции при помощи рекуррентного неравенства, полученного в третьем параграфе.

Так как исследуемую тригонометрическую сумму можно рассматривать как частный случай двукратной тригонометрической суммы общего вида, то сравнение полученной оценки показывает, что в рассматриваемой области она сильнее оценки среднего значения модуля двукратной тригонометрической суммы общего вида в поле рациональных чисел [4].

Во второй главе «Суммы Г.Вейля на основном множестве» содержится теорема об оценке тригонометрической суммы, наименьшее общее кратное знаменателей которых превышает некоторую степень интервала суммирования. В этой оценке используется результат теоремы о среднем предыдущего параграфа, а также оценки кратности пересечения областей особого вида.

Итак, в первом параграфе рассматривается тригонометрическая сумма S(a1,p1,... ,ат(Зп) = ^e-^SpCAMSpif A)+...+anSp(AWnSp(f л«)))

Хеи

где ах,..., /Зп G К, Sp (7) = 7 + 7 = 2Re (7), 7- сопряженное к 7,

I/ = {а + Ьу/2; а, 6 G [1; Р] а, 6 G n} . Каждое , Д, можно представить в виде

ds ,

cs , в3

ft = -7 + -^7."- = - +

^ Qsrs Qs qsrs

где cs,ds, g Z,HOK(cs,gs) = 1,H0K(4,^) = 1, 1 < qs ^ rs, 1 < ^ ^

Ts> 5 = 1, П.

Пусть Qo = (<?2> 92; •••> Qn-, q'n) > -P5- Определим для с, <i область а;(с; d) 6l следующим образом:

to =

i7(ti; h) e (0; 1) : Ir/(ii; t2) - r(ii;ta) (c; d) | <

г = ii + ¿2) i = I, n, 0 ^ ¿i, £2 ^ n.

где Lfc = P , i = ¿1 + ¿2) & = 1) я-, rii;i2 коэффициенты разложения разности

P+c P+d с d

EE-EE-

2=1 y=l a;=l y=l Во втором параграфе получен основной результат второй главы

Теорема. Пусть п ^ 3. Для s = 1, п положим rs = Ps

р=-к = 24n2 In (Зп2) . к

Тогда

Е

Лег/

MfW)

Заметим, что исследуемую тригонометрическую сумму можно рассматривать, как частный случай двукратной тригонометрической суммы общего

вида. Тогда сравнение полученной оценки на выбранном множестве показывает, что она сильнее оценки модуля двукратной тригонометрической суммы общего вида в поле рациональных чисел [4].

Третья глава «Общая оценка сумм Г.Вейля над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел» состоит из трех параграфов.

В первом параграфе проведено разбиение коэффициентов многочлена на 2 класса следующим образом: точка (ах, /Зх,..., ап, (Зп) принадлежит если выполняются данные условия

Все остальные точки отнесём ко второму классу Ог-

Далее показано, что область первого класса Г^х состоит из непересекающихся окрестностей рациональных чисел. Такое же представление множества первого класса используется в четвертой главе при получении асимптотической формулы среднего значения тригонометрической суммы над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел.

Второй параграф посвящен оценке суммы Г.Вейля на первом классе, а именно верна оценка

где т((5)- количество различных делителей ^(ф)-количество различных простых делителей (а1; А, •••) Рп)~ точка первого класса Учитем, что

1) = нок(91,<й,...,й

• 1 Ч.п/1

2) С < < = 1,71.

п

7(*15*2) = ¿2), 7= тах

тогда, при 7 > 1 справедлива оценка

|5(аь¡Зи...,ап,рп)\ < 212(5п2")2^г(д)Р2(7д)^1п(7 + 2).

В третьем параграфе найдены оценки для оставшихся точек.

Пусть (с*!,/?!,..., ап1/3п)- точка второго класса Для 5 = 1,п положим т3 = Р3-^ д = НОК(<71, ..., а д0 = НОК(д2, ч'2 ■ ■ ■ ч'п)- Обозначим через число различных простых делителей д, т(д)-число различных делителей д, тогда

1) если < Р0,1,53 = Ря£3 ^ Р0'1, т.е. С, ^ Р~8+а>\ при четном г2} 6'8 = Р%'3 ^ Род, С ^ Р-^0'1, при нечетном ¿2, 1 ^ * ^ п, то

0^)1 < 86п3(5П2")2^Р2-^.

2) если д > Р°'\д0 ^ р^, то

^(«ьА,...,^,^)! ^'Р2"', где р = (24п2 1п(3п2))-1.

3) если д > р0'1, д0 < р§, (д ^ до; д > д0), то

4) если д > Р0'1,д0 < Ре, (д = д0), то

Последняя глава «Асимптотическая формула для аналога интеграла И.М.Виноградова в квадратичном поле» посвящена выводу асимптотической формулы при к ^ 24п2 1п(3п2), Р —>• оо, где Р - произвольное целое (натуральное) число, для интеграла

1 1

п,к) = J ... J 2к.

О о

В первом параграфе доказана асимптотическая формула

/ (Р, П, /С) - а0р4А;-гг(п+1) + ^ }

где к, п е М, V = {а + 6\/2| а, Ь Е [1; Р] а, Ъ £ М} , Л = а + 6\/2, с^-, Д-3. р = I, к = 24п21п(3п2), А: ^ пт и Р +оо, р\ = пр =

24п1п(3п2)

" + 00 />+00

г/ \i2fc

и

-ОО ^ —00

1 1

в= I ... I \У(61,6'1,...,6п,6'п)\2^6^6[..^5^6'п,

У(51,6[,.. .,6п,6'п) =

О о

Е Е I и(сЛя)\2к,

...,<7^1 о<с1^<г1,...,о<(гп<9п

НОД(с1;д1) = 1,...,НОД(£1„;9{1) = г

и(с, 2, Я) = ^ У .

О —у

'?1,2 = 1>Л=Ч+5Р

Во втором параграфе показано, что особый интеграл в сходится при к > п2, а особый ряд а сходится при 2к > п2.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Объем диссертации 90 страниц. Список литературы включает 31 наименование.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [27], [28], [29], [30], [31].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Авдееву Ивану Федоровичу, а также доктору физико-математических наук, профессору Архипову Геннадию Ивановичу за постоянное внимание к работе.

Глава 1

Интеграл Виноградова над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел

Данная глава посвящена доказательству теоремы о среднем значении модуля тригонометрической суммы над квадратичным полем вещественных алгебраических чисел.

1.1 Свойства среднего значения кратной тригонометрической суммы

Пусть К поле алгебраических чисел 2 степени, полученное как расширение поля рациональных чисел присоединением л/2- Обозначим через и область, состоящую из целых алгебраических чисел поля К вида а + Ьу/2, где а,Ъе [1; Р] eN:PeN.

Пусть п - натуральное число. Рассмотрим следующую систему

Ах + ... + Хк = + • • • + Ик + сп, \\ + ... + \\ = £ + + + а2,

А™ + ... + А£ = + ... + //£ + <7„,

где Аг, Цг, а^ £ V, г = 1, /с, у — 1, п.

Обозначим через /(Р, п, к, а), а = (cri, ...,сгп) число целых решений этой системы уравнений. Основным результатом главы 1 является следующая теорема 1.1.

Теорема 1.1. Пусть п,к,т g N. Тогда, при к ^ пт, Р ^ 1 для числа I решений системы уравнений (1.1) имеет место оценка

где 6(т)

_ п(п+1)

/ = / (Р; п, к) < n^S(r)2Mr)k^nrp4k-26(T)_

-f (1-^)Т,хМ = 4п2т + пт2.

(1.2)

Для доказательства основной теоремы 1.1 потребуется несколько вспомогательных теорем.

Теорема 1.2. Пусть а, (3 g m, Л g v. Тогда

i i

j Jem(aSP(A)^Sp(fA))dad/3 =

0 0

где Sp(A) = A + Â.

1) A = 0,

Доказательство. Пусть A = a + b\/2. a, 6 g Z и a ^ 0, 6 ф 0, тогда

il il

J j e.i(aSP(X)+PM^X))dad(3 = j emaSp(X)da j ^{Щ ^ =

0 0 1 1 / „2maa

0

da J e2*ipbd(3 = J e2lTiaada J (cos 2n/3b + i sin d/3

о

i

0

2тг b

sin(27r/36)

2?r6

cos(2tr/3b)

i

0

¿(sm(2yrb) - 0) - ^(cos(2TT&) - 1)

= 0,

так как Sp (^a) , Sp (A) g Z.

Если Л = О + О л/2, тогда

11 11

I уеЦа8р(А)+«^А))^ = у У 1 = 1.

0 0 0 0

Теорема 1.1.1. Пусть п,к е N. Д € (0; 1) £ Ж. Тогда

1 1 2 к 1(Р, п,к) = J ... J е7Г?:(а18р(А)+А8р(^А)'"+а'18р(л'1)+^8р(^лп)) о о

где положено 8р(Л) = А + А. Доказательство.

Для доказательства необходимо преобразовать функцию, стоящую под

знаком интеграла, при помощи соотношений \г\ = гг, = е_7Г<?!" и воспользоваться равенством, полученным в предыдущей теореме 1.2

1 1 г

Г Г е-(^р(А)+^8р(А))^ = ] 0> Л ф 0.

И Н'^0-

Имеем

1 1

П)к) = J ... J е^(а18р(1+У2)+/318р(4(1+ч/2))+...+/?п8р(^(1+^Г)) + _

о о

+ е-

1 1

етгг(а18р(1+^2)+-+/3118р(^(1+У2)п)) +

О О

. . . + е"

. е«(а18р(а1)+А8р(^«х1)+---+а1п8рК)+А,8р(^ап))(га1^1 _ _ _

Далее, с помощью несложных преобразований получаем требуемый результат.

Теорема 1.1.2. Для любого а £ уп

I (Р, п, к, а) ^ /(Р,п,/с,( 0...0)) = / (Р, п, к). Доказательство.

Доказательство следует из предыдущего пункта, если оценить сверху модуль интеграла интегралом от модуля и учесть, что

1.

Теорема 1.1.3. При Р ^ 1 выполняется равенство

(7

Доказательство.

При доказательстве следует учесть, что ^ I (Р, п, к} а) есть число всевоз-

(7

можных наборов А,Д £ ип . Существует Р2к всевозможных Х{ и Р2к всевозможных Следовательно, всевозможных наборов будет Р4к.

Теорема 1.1.4. Верна следующая оценка снизу

I = /(Р,П,/С) ^ (2к)-2п3-п(п+1)р4к-п(п-1)_

Доказательство. Пусть / = 1,..., п. Имеем

(р + Рл/2)' = Р1 + л/^У ■

Откуда, с учетом того, что (1 + \/2)1 = а + Ь\/2, а также принимая во внимание, что

С)1' ИЧО1'"1 И-Ч - О1'41"11 и"1+ф10 и' <

^ 1\ (^)к 2111+\

получаем оценку 1 ^ а; Ъ ^ 2Ч1+1 ^ (21)1+1. Следовательно, для сг/ = а/ + а/л/2, / = 1, п имеем оценку

2

Учитывая, что стг принимает

(2/с(2/)т РЧ значении, находим оценку Р4к = ^1(Р;п,к,а)^

а

< / (Р; п, Л, б) 1 < / (Р; п, /с, 0) (2А;)2+-+2(2п)2(1+2+ -+п)+2г1Р2(1+2+-+п) ^

а

^ (2к)2п(2п)п(-п+3)Рп^1 (Р-,п,к,Щ . Отсюда и получается необходимая оценка

1{Р-,п,к, 0) ^ (2к)~2п(2п)~п(п+3)р4/с-п(п+1) ^

Т.е. порядок оценки I (Р; п, к) снизу является оптимальным и равен рАк— п(п+1)

Теорема 1.1.5. Если А,Д е г/1 решения системы, то для любого а £ ип решениями будут так же векторы \ + а,~Ц + а.

Доказательство.

Это свойство получаем последовательной подстановкой координат векторов Л + а, /7 + а в уравнение , начиная с первого. Уравнение

(Ах + а) + (Л2 + а) + ... + (Хк + а) = + а) + (ц2 + а) + ... + (цк + а) + аг

эквивалетно уравнению

Ах + А2 + ... + А^ = ¡11 + ¡12 + • • • + Цк-

Используя предыдущие рассуждения, получаем, что

(Ах + а)2+(А2 + а)2+.. .+(Ак + а)2 = (//х + а)2+(^2 + а)2+.. + а)2+а2,

т.к.

(Ах + 2аАх + а)2 + (А2 + 2аА2 + а)2 + ... + (А* + 2аХк + а)2 =

= (А? + А^ + ... + Х2к) + 2а (Ах + А2 + ... + А*) + а2 + ... + а2,

2 2 2 (дх + 2а/11 + а) + (¡22 + 2а^2 + а) + ... + (цк + 2а^к + а) + а2 =

= + 1л22 + ... + /4) + 2а (/¿х + 1^2 + • • • + + а2 + ... + а2, Аналогично, уравнение

(Ах + а)п+{Х2 + а)п+.. .+(Хк + а)п = (/хх + а)п+((12 + а)п+. • ■+(№ + а)п+ап эквавилентно уравнению

Для доказательства следующей теоремы найдем целые простые числа квадратичного поля К: которые являются одновременно целыми рациональными. Итак, в квадратичном поле каждое простое рациональное числор £ Ъ

является главным дивизором, который раскладывается в произведение простых дивизоров. Возможны три типа разложения [6]:

V = рр\ ^ = IV = р, р' ф р\

Р = Р,^р = р2; V = р2,Ыр = р.

В доказательстве аналога леммы Линника (теорема 1.2.2), необходимо, чтобы главный дивизор р — р не раскладывалось в произведение дивизоров, а был в точности равен простому дивизору. Поэтому выбираем второй случай, а именно, когда р = р, Nр = р2. Для того, чтобы найти вид таких чисел р £ применим теорему [6, стр. 264], т.е. должно выполняться условие = — 1, где Б- дискриминант нашего поля. Известно, что = где (1 = 2. (т.к. рассматриваются числа вида а + Ьу/с1 = а 4- Ьу/2)

Преобразуем наше условие (£') = — 1, используя свойство [11]

где (2)- символ Лежандра. Тогда

(-!)(*> = -1,

р2 - 1 = 16/с + 8, р2 = 16к + 9.

Т.е. р2 = 9(тос116). В итоге получаем, что р = 3(тос116) или р = 13(тос1 16). Выберем в качестве р = р = 13(тос116). Используем следующую теорему

Теорема 1.1.6. Для любого натурального г и х ^ (4г)2 на промежутке (х\ 2х] лежит, по крайней мере, г различных простых натуральных чисел вида р — 13(тос116).

Доказательство, см. [15, стр. 15]

Пусть х = Рп} г = 4п. Тогда, при наших условия, теорема 1.1.6 принимает вид

Теорема 1.1.7. Если Р ^ (16п)2п; то существует, по крайней мере, п различных простых рх, ...,рп е Ъ[у/2] таких, что Р« < р^ ^ 2Р» и р^ = 13(тос116); г = 1,.., п.

Доказательство. Пусть р^ = l(mod4). Если Р ^ (16п)2гг, то по теореме

1.1.6 на (Рп;2Р'

лежит, по крайней мере, 4п различных простых целых рациональных Рг = l(mod4). Значит на этом промежутке найдется п различных простых рациональных чисел видарг = 13(тос116).

Теорема 1.1.8. Для любого ре Ъ количество элементов вида а + Ъу/2 в п. с. в. по модулю р равно = р2, причем можно считать, что 1 ^ а ^ р, 1 ^ Ь < р.

Доказательство. Пусть Л = </? + £р, где Л £ V, (р = а + Ьу/2, £ = с + ¿у/2, где а, Ь, с, (I е Н; и = {а + Ь^Д, где а, Ъ е [1; Р] £ М, Р б М}

Тогда Л = (а + Ьу/2) + (с + с1у/2)р — (а + ср) + (6 + ф)\/2. Следовательно а, 6 пробегают п.с.в. по модулю р. Отсюда следует, что а + Ьу/2 принимает р2 значений, а также оценка 1 ^ а ^ р, 1 ^ 6 ^ р.

Теорема 1.1.9. Для любого простого р 6 Ъ, р = 13(тос116) числа вида Ао + А1Р+ . .. + Лп_1рп_1 пробегают полную систему вычетов по модулю рп, если Хг = а + Ьу/2 (а. 6 € Z) пробегают п.с. в. по модулю р.

Доказательство. Так как А^ пробегает полную систему вычетов по модулю р, то согласно теореме 1.1.8, числа А; = а + Ъу/2 принимают р2 значений.

21

Значит всего имеется (р2)п = р2п различных чисел вида Ао + Х\р + ... + An_iт.е. столько же сколько, согласно теореме 1.1.8, должно быть чисел в п.с.в. по модулю рп. Осталось доказать, что эти числа попарно несравнимы по модулю рп. Действительно, предположим, что

А« = А^ + А?>р + ... + AiV-1 = = А<2> = а[,2) + А{2)р + ... + Ai221pn-1(modpn).

Тогда А^ = mod р), а так как А^ < р, г = 1, 2, то Aq1^ = А^. Подставляя

\(1) \ (2) х(1)

это равенство в наше сравнение, аналогично получаем Х\ = А]_ , Aij = • • • > A^li = A^flj, то есть окончательно А^1) = \(2\ Значит, если числа сранимы между собой, то они совпадают.

1.2 Лемма Линника над квадратичным полем

Теорема 1.2.1. Пусть А= а,- + Ьуу/2; bj £ М; а^, Ьз Е [1; Р], тогда система сравнений

Ах + ... + А„ = ^(тоёр),

(1.3)

А? + ... + А™ = ¡/„(тог1р),

имеет не более п\ решений, если р-простое, неразложимое в квадратичном поле и р = 13(пн^16),р > п.

Доказательство. Пусть а^- элементарные симметрические функции.

<7i = Ai + ... + Ап,

<72 = А1А2 + ... + An_iAn,

сгп = \\... Ап,

и <

— Ai + ... + An, cj2 = A2 + ... + A2,

un = A? + ... + \nn.

Имеем известные [16, стр. 331] соотношения между <7/ и wi (1 ^ I ^ п):

Ш1 - WZ_i<7i + CJZ_2CT2 + . . . + UiGl-1 + (-1)^СГ/ = 0.

22

Кольцо классов вычетов по модулю простого р (выбрано такое р, которое в точности равно простому дивизору, т.е. неразложимо в квадратичном поле), является полем. И в этом поле вычетов по модулю р можно выразить &1,... ,сгп через сиг,..., шп. Имеем

(71 = (¿1,

2(72 = С02 - (¿101,

(-1)ппап = шп- ип-1(71 + шп—20'2 + . . ■ + ш\ап-1, откуда получаем

ох = Ш1, а2 = 2 ~ ^1(71)(тос1р),

ап = ап{шп - шп-\а\ + ып_2о-2 + ... 4- ^^-^(тос!р),

где

2а2 = 1(тос1р),

(-1 )ппап = 1(тос1 р).

Последние сравнения имеют единственное решение. Далее, пусть (Ах,..., Ап] и (¿¿1,.. ., /1п) два различных решения нашей системы (1.3). Тогда ..., шп, а, следовательно, и набор 01,...,сгп принимают единственное значение на этих наборах. Следовательно, оба набора (Лх,.... Ап) и (¿¿1;..., /¿п) являются решением в поле вычетов по модулю р некоторого многочлена [16, стр. 331]

/(г) = (г - Х1)(г - х2)... {г - хп) = гп - а^'1 + ... + (-1 )пап

степени п < р, где

= Ах + ... + Лп, о"2 = Л1Л2 + ... + АП_1АП,

^п — М ... Хп.

Значит, эти два набора отличаются только порядком своих элементов. Таким образом, решений (Лх,..., Лп) системы (1.3) не может быть больше, чем перестановок одного единственного решения многочлена, т.е. п!

Теорема 1.2.2. (о числе решений системы сравнений) Для числа решений системы сравнений

/

Л1 + ... + Лп = !^(тоф),

(1-4)

А? + ... + \пп = 1/„(тос1р"),

V.

где п < р,\з = а3 + Ь3л/2\ Ъ3 £ М; а3) Ь3 £ [1; Р], а3) Ь3 ^ рп,р = 13(тос116),а^ ф ai(modp),bj ф ^(пк^р) при г ф (р-неразложимо в квадратичном поле) выполняется неравенство

Т ^ п!рп(п-1).

Доказательство.

Согласно теореме 1.1.9, представим bj £ М, где Xj = а3 + Ь3у/2 в следующем виде

а3 = а3:0 + азЛр + ... + а3гП-1рп~1,

ъз = ьз,о + Ь^р + ... +

где 1 < ^ рл = 1 ,...,п,г = 0,...,п- 1,а*)0 ф а^0(то(1р), ¿>¿,0 Ф

6^0(тоар),г ф 3.

Подставим наше представление Xj = а^ + Ь^у/2 в рассматриваемую систему (1.4), учитывая, что = а^к + Ъ^у/2,] = 1,..., п, к = 0,..., п-1. Тогда для Лх о, • • •, АП;о получим систему

(1.5)

Ахд) + ... + АП;0 = г/х(тос!р),

^ Ко + ■ • • + К,о = 1/п(тос1р),

где А-^о = а^ + Ъ^у/2, ] = 1,..., п.

Число решений Т\ системы (1.5), согласно теореме 1.2.1, не превосходит п\. Теперь, считая известными {А^о} л — 1,..., п, переходим к определению А^д. Имеем,

уч = А2 + ... + Х2п = (Ах)0 + А1Др)2 + ... + (АП)0 + АпДр)2 =

= А20 + ... + А2, + 2р(Л1)0Л1Д + ... + А^оА^д)2 + р2(А2д + ... + А2Д)2 = = л?,о + • • • + Х2п0 + 2р(Ах1оА1д + • • • + АП)0Аггд)(шо(1р2),

где

Ах,оАхд + • • • + АП1оАП)1 = г/2д(то(1 р). Таким образом, действуя аналогично, получаем для А^д, г = 1,..., п систему

Ах,оАхд + ... + АП)оАпд = ^2д(то(1р),

Л1,оЛ1Д + • • • + ^0Апд = 1/2,2(то ар),

(1.6)

^ А^0Ахд + ... + А^0АпД = 1/2,„(то(1р).

По условию леммы А; ф А7(тос1р) (А принадлежит первому классу, т.е. существует п попарно несравнимых А; между собой). Значит существует п различных вычетов Ах,о, • • •, АП)о по модулю р и, по крайней мере, п — 1 из них отличны от нуля. Будем считать, что Ах,о, • • •, Ап_х о отличны от нуля. Тогда

определитель Вандермонда

Л1

,о

Ап—1,0

71— 1

Л1,0

л:

71— 1 П —1,0

— Ах о • • • Ап_1

\п—2 Л1,0

\п-2 п—1,0

= А^о ... Ап_1)0 Д (Аг,о - А^0) Ф 0(тос1р),

—1

¡■Фз

т.к. р является неразложимым в квадратичном поле, значит кольцо вычетов не содержит делителей нуля, каждый элемент обратим и, следовательно, кольцо является полем. Поэтому произведение ненулевых элементов поля

несравнимо с нулем по модулю р.

А1,о • • • Ап-1^

Следовательно, матрица

\

\71 — 1 \п~ 1

\Л1,0 • • • п—1,0 /

коэффициентов системы ли-

нейных сравнений (1.6), в силу попарной несравнимости элементов по модулю р, имеет максимальный ранг.

Поэтому, при любом фиксированном Ап1 числа Ахд,..., Ап_хд определяются однозначно. Так как Апд принимает р2 значений, значит, число Т2 решений системы (1.6) будет равно Т2 = р2.

Аналогично, для определения значений Лх^—х,..., Хп,1-1 по известным А^-, • • ■, К,з,3 = 1,... Л - 2, получаем

Щ = К + л2 + • • • + А£(то щ ее (А^о + А1др + ... + А^г-!^"1)^ • • • + (АП1о + АпДр + ... + Хщ^р1"1)3(тоб.рЗ), / ^ з ^ п.

Отсюда

1-2

"1 = + 1) Е^ад^-^^Л

к=1

(1.7)

где многочлен от ЛР)9,— 2с целыми рациональными коэффициентами. В частности До = А] 0-К. . + А^0 = (где и^о = с+

Подставим последнее выражение в сравнение (1.7) и сократим

на I/,-

1-2

п

щ = ^ + №о X /^р9 + ( 2 ) XI ЛМЛМ-1Рг ЧтоФ^

9=1 ^ ' к=1

1-2

ЕЬУ + (1) Е= о(тоаРг).

71

д=1 4 ' к=1

4-1

Поделив это сравнение нар и умножив его на число, обратное п), получим

Л1,о1л1,г-1 + • • • + Лп,оЛгг,г-1 = ^Дтоар), Л1,оЛ1,г-1 + • • • + = ^,г+1(тоар),

(1.8)

лГ,о1л1,г-1 + • • ■ + А^А^х = ^,„(то ар),

для некоторых чисел = с + с, с1 £ Ъ. Аналогично предыдущему случаю, т.к. Хг ф А^(тос1р), существует п различных вычетов А^о, • • •, Ап0 по модулю р и, по крайней мере, п— 1 из них отличны от нуля. Будем считать, что Л10, • • •, Хп-1$ отличны от нуля. Если теперь фиксировать I — 1 неизвестных к = 1,. .. , п, то получим систему из п — (I — 1) уравнений относительно такого же числа неизвестных. Ранг матрицы коэффициентов системы (1.8)

/ \/-1 л/-1 4

л1,0 • • • Лп-(1-1),0

^1,0 ■ • ■

будет максимальным, так как определитель матрицы

не сравним с нулем:

\ п—1 \Л1,0

А

п-1

1-(1-1),0/

Л1,0 ^1,0

л'-1

га—(¿—1),0

А'

А"

п-1

о

п-(1-1),0

л п—1 га—(/—1),0

\1~1 Л1,0

гг—(/—1),0

1

^1,0

\п~1 У

1,0 • ■ • А

\1

' ' п—(/—1),0

п—1

п-{1-1),0

- 1,0 • • • Лп-

71 —(¿ — 1),О

П (Аг,о - А^о) ф о (то<1 р).

1)

гфз

Учитывая, чтор неразложимо в квадратичном поле, аналогично предыдущему случаю, произведение ненулевых элементов поля несравнимо с нулем по модулю р.

Поэтому при фиксированных АП_^_1)Д,..., А п,1 числа А]1,..., Ап_11 определяются однозначно. Так как каждое А^д,] = п —(1 — 1),... ,п принимаетр2 значений, значит, число 2] решений системы (1.8) удовлетворяет неравенству

35 «; (р2)'"1 ■

Итак, мы оценили в представлении

Xj = а3 + 6?\/2, аз = Чо + азЛР + • • • + Нп-гР71"1, Ьз = Ьз, о + ьзХР + • • • +

количество возможных значений А^о = %,о + ^',о\/2, • • •, А^п_1 = а7]Тг_1-|-6^п_1 при условии, что Xj удовлетворяет системе сравнений (1.4). Окончательно получаем, что число Т решений системы (1.4) не превосходит

Т,Т2 ...ТП^П\ (р2)1+2+-+(п-1) ^ п,рп(п-1)_

1.3 Основное рекуррентное неравенство

Теорема 1.3.1. Пусть п ^ 3; к ^ пт, Р ^ 1, тогда существует такое простое р, принадлежащее отрезку (Р™; 2Р«]; что выполняется следующее

неравенство:

I (Р; п, к) < 4кпрп^-1)+Ак-АпР2п1 (Рь п,к-п) + (4п)кпР2к,

1 р

Доказательство. Пусть — 2п-мерный единичный куб следующего вида:

сх\ ап, ,..., (Зп,

где А <Е [0; 1).

В конце главы доказано, что без органичения общности можно считать, что Р ^ (16п)2п. Возьмём, согласно теореме 1.1.7, п простых чисел Рх,Р2, • ■ • ,Рп таких, что Р" < р ^ 2Р«. Имеем

2к

1{Р;п,к) = I

п

ЕВ(ЯЛ»

(1С1 =

= / (Р; п, А;) = I

п

£ ¿^/(Ах))... £

Где Р(/(А)) = е^(а18р(А)+А8р(^Л)+-+а„8р(Л")+(0п8р(^Л"))_

Множество всех наборов { Ах... А^| А^ = а + &л/2; а, 6 £ [1; Р], Р е М} разобьем на 2 класса: А и В.

Набор А = (Ах... Хк) отнесем к классу А, если существует такое р/, 1 ^ I ^ п, что среди чисел Ах... Л^ найдется, по крайней мере, п несравнимых по модулю р1 чисел. Скажем, что такой набор отвечает простому р/. Все остальные наборы отнесём к классу В. Имеем

2

I =

п

2 2

Е+Е сЮ ^ 2 [ Е +2/ Е

Дел л ев о п ХеА и п ЛеВ

21 \ + 212.

Оценим интеграл 1\. Под Д понимает число решений системы (1.1) при условии, что А Е А,~р, (Е А. Разобьем А на п непересекающихся подклассов

Ах,..., Ап, отнеся набор Л к А^, если он отвечает в определенном выше смысле простому р{. Если Л относится к нескольким р^, то отнесем этот набор к наименьшему Рг. Используя неравенство Гельдера [4, стр. 363],

к-1

Е

ииУи

1

1=1

получаем

1л =

о

< п

Е

ХеА

с1П =

/

п

ЕЕ

1=1 а еА1

(1П <

п г !=! П

Е

АеЛг

п

Оценим 1х,1- Величине соответствуют такие наборы Ах... Л^, что среди них хотя бы п попарно несравнимых по модулю р1 чисел. Снова разобьем А1 на подклассы: в один подкласс Ащ, (г) = (¿1,..., гп)(1 ^ %х ^ • • • ^ гп ^ к) войдут все наборы Хх ... такие, что А^ ... А;п несравнимы по модулю р\. Легко убедиться, сделав перенумерацию неизвестных, что

2 2

Поэтому без ограничения общности можно выбрать класс в ко-

тором (г*) = (?!,...,гп). Следовательно, применив неравенство Коши-Буняковского, получим

Ь,I ^

'к"

.п.

Е

А

(10, с

'к?

п.

п

2 2к-2п

Е Е

...Ап А

где в £ - суммирование ведется по попарно несравнимым по модулю Р1 = р

А^ ...Ап

Ае^

числам А.

Пусть

А = (р +

ц = ф + Г]Р,

причем пробегает п.с.в. по модулю р. Следовательно, получаем

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кокорев, Антон Владимирович, 2013 год

Литература

[1] Архипов Г. И. Теорема о среднем значении модуля кратной тригонометрической суммы, Мат. заметки, 1975, №1, с. 143-153.

[2] Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Ократных тригонометрических суммах, Док. АН СССР, 1975, т. 222, №5, с. 1017-1019.

[3] Архипов Г.И., Карацуба, A.A., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических сумм, Тр. МИАН.-1981.-Т. 157.-е. 214-232.

[4] Архипов Г.И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм, М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987, 268 с.

[5] Архипов Г.И., Садовничий А. В., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу, Москва, Дрофа, 2004г., с. 442.

[6] Воревич 3. И., Шафаревич И.Р. Алгебраическая теория чисел, М.:Наука Гл. ред. физ.-мат. лит.-1985.-505 е., 3-е изд. доп.

[7] Вухштаб А. А. Теориря чисел, М.:Изд. Просвещение, 1966.

[8] Виноградов И. М. Новые оценки сумм Вейля, Докл. АН СССР, 1935, т.З, №6, с. 195-198.

[9] Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М.: Наука. Главная редакция физико-математическогой литература, 1980, 144 с.

[10] Виноградов И. М. Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы, Известия АН СССР, сер. матем., 1951, т.15, №2, с. 109-130.

[11] Виноградов И.М. Элементарная теория чисел, М.:Наука Гл. ред. физ.-мат. лит.-1985.-180 с.

[12] Галочкин А.И., Шидловский A.B. Введение в теорию чисел, М.: Изд. Моск. унив., 1984.-152 с.

[13] Карацуба А. А. Аналитическая теория чисел, М.:Наука Гл. ред. физ.-мат. лит.-1983.-540 с.

[14] Карацуба A.A. Средние значения модуля тригонометрической суммы, Вестник МГУ, 1962, Сер. 1, № 1, с. 28-38.

[15] Козлов И. М. Аддитивная задача: дис. ... канд. физ.-мат. наук. -Москва, 2002

[16] Курош А. Г. Курс высшей алгебры, М.: Наука. Главная редакция физико-математическогой литература, 1966.

[17] Куликов JI. Я. Алгебра и теория чисел, М.: Высшая школа, 1979.-559 с.

[18] Линник Ю. В. Оценки сумм Вейля, Докл. АН СССР, 1942, т.34, №7, с. 201-203.

[19] Соколинский В. 3. О теореме о среднем при малом числе переменных, Изв. ВГПИ, 1979, т.201, с. 45-55.

[20] Стечкин С. Б. О средних значениях модуля тригонометрической суммы, Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР, 1975, т. 134, с. 283-309.

[21] Сорокин П. Н. Среднее значение тригонометрических сумм в кольце гауссовых чисел: дис. ... канд. физ.-мат. наук - Москва, 2008

[22] Тырина О. В. Новая оценка тригонометрического интеграла И. М. Виноградова, Изв. АН СССР, 51 (1987), 2,-с. 363-378.

[23] Eda Y. On the meanvalue theorem in an algebraic number fields. Jap. J. Math., 36 (1967), pp. 5-21

[24] Korner 0. Uber Mittelwerte trigometrischen Zahlkorpern, Math/ Ann// 147(1962), pp.205-309.

[25] Tatuzava N. On the Waring problem in an algebraic number field, Jour. Math. Soc. Japan, 10 (1958), No. 3, pp. 322-341.

[26] Siegel C. L. Generalization of Warings problem to algebraic number fields Amer. J. Math., 66 (1944), pp. 122-136.

[27] Кокорев А. В. Теорема о среднем значении тригонометрической суммы в поле алгебраических чисел второй степени, Ученые записки Орл. гос. унив., Орел, №3, 2011, с. 42-48.

[28] Кокорев А. В. Теорема о среднем значении тригонометрических сумм в поле алгебраических чисел 2 степени, Ученые записки Орловского гос. унив., Орел, №3, 2012, с. 29-38.

[29] Кокорев А.В. Оценка суммы Г. Вейля по вещественным алгебраическим числам Алгебра и теория чисел: сов. проб, и приложения: тезисы докладов X межд. конф. , Волгоград 10-16 сен. 2012г. - Волгоград: Изд. ВГСПУ Перемена, 2012. с. 32.

[30] Кокорев А. В. Об оценках тригонометрических сумм над квадратичным полем, Ученые записки Орловского гос. унив., Орел, №6 (50) часть I, 2012, с. 39-42.

[31] Кокорев А. В. О суммах Вейля по вещественным алгебраическим числам Ученые записки Орловского гос. унив., Орел, №6 (50) часть II, 2012 с.114-117.