Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Куртова, Лилиана Николаевна

• Куртова, Лилиана Николаевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Куртова, Лилиана Николаевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Обозначения

Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения

§1. Вспомогательные.леммы

§2. Основные леммы

Глава 2. Доказательство теоремы 1

Глава 3. Доказательство теоремы 2

Глава 4. Доказательство теорем 3 и 4

Глава 5. Доказательство теоремы 5

Список литературы

Обозначения

с — положительная постоянная, в различных формулах, вообще говоря, различная;

е, в — произвольно малые положительные постоянные числа, £ < 1, в < 1;

Р,Ро,Р1,Р2 ~ простые числа;

ехра; - ех\

Ina; = loga; — натуральный логарифм а;;

т(п) — число натуральных делителей п;

ß{n) — функция Мебиуса:

(-1)г, если п = Р1Р2

С(s) — дзета-функция Римана;

T(s) — гамма-функция;

запись d | п означает, что п кратно d\

запись ра || п означает, что а — наивысшая степень р, которая делит п;

запись а = b (mod т) означает, что т \ (а — 6);

1, если а = b (mod m),

X(a; m,b)= {

О, в противном случае; (a, b) — наибольший общий делитель чисел а и 6;

записи А = О (В) и В означают, что \А\ < сВ\

= £ e2m(ul4vl)/q _ сумма Гаусса;

1=1

q

K(q, и, v) = J2 e2™(ui+vi*)/q _ сумма Клоостермана, 11* = 1 (mod q).

i=i (i,q)=i

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами»

Введение

Актуальность темы

В теории чисел важное место занимают аддитивные задачи. В 1740 году Ж.А. Лагранж доказал, что каждое натуральное число представимо суммой не более четырех квадратов натуральных чисел (доказательство можно найти, например, в [1]). Эта задача известна в математической литературе как задача Лагранжа.

В 1926 году Х.Д. Клоостерман [2] круговым методом получил асимптотическую формулу для числа г(п) представлений положительного целого п в виде ax2 + by2 + cz2 + dt2. Он показал, что для любого положительного е

r(n) = ^Ls(n) + 0(n"'ls+'), V abed

где

+00 q

S(n) = (Г4 Y1 e~2ninl/qS(q, al, О)S(q, bl, O)S(q, el, O)S(q, di, 0),

9=1 1=1 (i,q)=i

S(n) > > 0. lnlnn

В 1927 году A.E. Ингам [3] поставил и решил элементарными методами задачи получения асимптотических формул для числа решений уравнений:

Х\Х2 + £3X4 = п; (1)

Х\Х2 — Х3Х4 = 1, Х\Х2 ^ Щ (2)

где xi, х2, хз, Х4 £ N.

Эти задачи получили название бинарных аддитивных проблем делителей. Задача (1) является задачей определенного типа, (2) — неопределенного.

Пусть т(х) — число натуральных делителей х; Ji(n) и J2(n) — число решений уравнений (1) и (2) соответственно. Тогда

JÁn) = т{х)т{п - х), J2(n) = ^ т(х)т(х + 1).

X <П ХК:П

А.Е. Ингам доказал, что

«Л (га) = —^сг(п) 1п2п 4- 0(п1пп),

7Г

./2 (га) = -^п1п2п + 0(п1пп),

7Г

где сг(га) — сумма делителей числа п.

В 1931 году Т. Эстерман [4], применив к задаче Ингама круговой метод, вывел для Л (га) и (га) асимптотические формулы, остаточный член которых имеет степенное понижение по сравнению с главным. Им получен следующий результат:

2 2

Л (га) = п1п*71^^(2) а^(га) + д^п), (3)

г=0 ¿=0

72(п) = пР2(1пп) + Д2(п),

где а_Дга) = £ <Г* log»' d (j = 0 ... 2),

^^ Vs л /г и yj — v ...

" л j! 2-, л m! 9|

J l+m+q=2-i~3

7o — постоянная Эйлера, ~ многочлен 2-ой степени, а

-Ri (га)

= 0(n7/8 In23/4 n <7-3/4(n)),

Д2(п) = 0(Пп/121П17/3П).

Кроме того, он установил взаимосвязь между Л (га) и J2(ra) и суммой Клоостермана:

K{q,u,v) = ^ exp(2?rz^ + ^ ), г=1 9

где /Г = 1 (mod q).

Наилучшей для отдельного q оценкой суммы Клоостермана является оценка А. Вейля [5], [6]:

K{q, и, и) r(q)q1^2(u, v, q)1^2. (4)

6

Так в 1979 году Д.И. Исмоилов [7], дополнив элементарный метод Т. Эс-термана оценками А. Вейля, получил следующие оценки остатков:

Ri{n) <п3/41п6гаа£1/2(п),

R2(n) < n5/6+£,

где сг_1/2(n) = dr1!2, e > 0 — сколь угодно малая постоянная.

d\n

В 1979 году другим методом ту же оценку для R2(n) получил Д.Р. Хиз-Браун [8].

В 2006 году С.А. Захаров [9], используя круговой метод в форме С.М. Воронина, получил относительно простые явные выражения для остаточных членов в асимптотической формуле (3) для Ji(n). При этом главный член в формуле (3) записан в новой форме.

В 2006 году Г.И. Архипов и В.Н. Чубариков [10] вывели новую оценку остатка R2(n)\

R2{n) <Cn3/4ln4n.

В 1980 году Н.В. Кузнецов [11] представил сумму сумм Клоостерма-на через билинейные формы коэффициентов Фурье собственных функций оператора Лапласа и показал, что между суммами Клоостермана существует интерференция.

В 1982 году Ж.-М. Дезуйе и X. Иванец [12], используя формулу Н.В. Кузнецова, доказали, что

R2{n) « п2/3+е.

Другое направление исследований, касающееся данной тематики, связано с рассмотрением различных аналогов проблемы делителей Ингама.

В 1957 году С. Хооли [13] получил асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Х\Х2ХЪ + ху = п,

где xi, х2, х3, х, у в N.

Используя дисперсионный метод, Ю.В. Линник [14] нашел полное решение неопределенной аддитивной проблемы делителей:

ху — Х\Х2 • ■ ■ Xk = 1, ху < п,

где xi, х2, ... , хк, х, у е N.

Им получена асимптотическая формула:

т{х)тк{х + 1) - nPfc(lnn) + О (n(lnn)a°),

х<п

где Tk{x) — число представлений х в виде произведения к делителей, Pk(\nn) — многочлен А;-ой степени от Ina;, ао — константа.

В 1965 году ученик Ю.В. Линника Б.М. Бредихин [15] применил дисперсионный метод к определенной аддитивной проблеме делителей:

xix2 .. .Хк + ху = п

и получил следующий результат:

J2n{x)r(n -х) = Ак(п)п{\пп)к + О (n(lnn)fc-1(lnlnn)7'2fc) ,

х<п

где Ак{п) — некоторая функция, зависящая от п. В частности, если к = 2, то А2{п) = ¿<7_i(n).

В настоящей работе рассматриваются бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами, которые обобщают классическую теорему Лагран-жа и проблему делителей Ингама.

Объектом исследования являются бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами.

Предметом исследования являются уравнения, содержащие квадратичные формы.

В тексте диссертации введены обозначения: d — отрицательное бесквадратное число, F = Q(yfd) — мнимое квадратичное поле, 5р — дискриминант поля F; Qi(ra), Q2(k) — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с матрицами А\, А2; det Ai = det = —öp, £ > 0 — произвольно малое число.

<31(т)+02()с)

е

Цель работы состоит в получении асимптотических формул для числа решений уравнений с квадратичными формами, остаточные члены которых имеют оценки, соответствующие современных оценкам остаточных членов в асимптотических формулах для классических аддитивных задач.

Задачи работы. В соответствии с целью выделим следующие задачи:

1. Получить асимптотическую формулу с остаточным членом порядка п3/4+е для числа решений уравнения

Я\{т) + = п,

где п € N.

2. Получить асимптотическую формулу с остаточным членом порядка п3/4+£ для суммы

£

где пбМ, к ^ п£.

3. С использованием оценок для суммы сумм Клоостермана получить асимптотическую формулу с остаточным членом порядка п2/3+е для суммы из второй задачи в случае, когда дискриминант поля — нечетное число, и для суммы

£

т\ +т\ -к1~к\=}г

где пбК, /г < п£.

4. Уточнить в частном случае остаток в асимптотической формуле второй задачи.

Актуальность диссертационной работы следует из того, что решение выше перечисленных задач с квадратичным формами является обобщением имеющихся классических аддитивных задач.

Методы исследования

В работе применяются методы элементарной и аналитической теории чисел (в частности, круговой метод), методы математического анализа.

Научная новизна

В диссертации представлены доказательства асимптотических формул для числа решений уравнений с квадратичными формами, для остаточных членов которых даны современные оценки. Результаты, изложенные в диссертации, являются новыми.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка п3/4+£ для числа решений уравнения (^(т) + <22(&) = п, где п 6 N.

2. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка п3/4+е для числа решений уравнения (^(га) — ф2(А;) — К с "весами" ехр(-(<Э1(т) + д2®)/п), где п € N. к е N. И ^ п£.

3. Доказательство оценки 0(п2/3+е) остаточного члена в асимптотической формуле для числа решений уравнения С}\{гп) — Сд2{к) = Не "весами" ехр(—(га) + (¿2(к))/п) при условии, что дискриминант поля 6р — нечетное число.

4. Доказательство асимптотической формулы с остаточным членом порядка п2/3+е для числа решений уравнения т2+т2 — к\ — к\ = Не "весами" ехр(-(га? + га2 4- к\ + &2)/п), где пЕМ, ЛеМ, И ^ п£.

5. Уточнение остатка в асимптотической формуле для числа решений уравнения (¿1 (га) — ф2(/с) = Ь, с "весами" ехр(—((^1 (га) + <52(/с))/п) в случае, когда дискриминант поля = — Ро, где р0 — простое число, ро —> сю с ростом основного параметра п, а параметр И удовлетворяет условиям: Ь. = роЫ, {Ьъро) = 1,

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам, а также при разработке специальных курсов по теории чисел.

Достоверность результатов

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, опре-

деляется обоснованными теоретическими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на методы элементарной и аналитической теории чисел.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и международных конференциях:

— Семинар «Аналитическая теория чисел и приложения» под руководством профессора В.Н. Чубарикова и С.А. Гриценко, Механико-математический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова (2013-2014 гг.)

— Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е. Воскресенского, Самара, 21-25 мая 2007 г.

— Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов — 2008», Москва, 8-11 апреля 2008 г.

— Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов — 2011», Москва, 11-15 апреля 2011 г.

— Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел», Белгород, 17-21 октября 2011 г.

— Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», Белгород, 26-31 мая 2013 г.

— XI Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Саратов, 9-14 сентября 2013 г.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах автора, в том числе 4 статьи в журналах из списка ВАК РФ. Список статей приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Список литературы содержит 28 наименований.

Общий объем диссертации — 110 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 2 таблицы.

Краткое содержание работы

Первая глава диссертации содержит леммы, необходимые для доказательства утверждений диссертации. Основными результатами являются теоремы 1 — 5, которые доказываются во 2 — 5 главах.

Во второй главе решается аддитивная задача о представлении натурального числа суммой двух квадратичных форм. Круговым методом с использованием оценки А. Вейля для суммы Клоостермана доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1. Пусть е > 0 — произвольно малое число, др — дискриминант поля F, п € N. Пусть 1(п) — число решений уравнения

Qi(m) + Q2(k) = п.

Справедлива асимптотическая формула . 2 +00 0

i^i U ti (*,<?)=1

Gi(q,l, 0) = ехр(27гilQi(m)/q) — двойные суммы Гаусса (г = 1,2).

т, (mod q)

Сумма особого ряда асимптотической формулы положительна.

В третьей главе рассматривается задача получения асимптотической формулы для суммы

/(n, h) = e "

Qi(m)-Q2(k)=h

Доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2. Пусть е > 0 — произвольно малое число, 6р — дискриминант поля F, п G N, h G N; h ^ п£.

Справедлива асимптотическая формула 9 2 _+0° 9

ti

(«,9)=1

Gi(q,l, 0) = exp{2irilQi(rn)/q) — двойные суммы Гаусса (i = 1,2).

m (mod q)

Сумма особого ряда асимптотической формулы положительна.

Опишем схему доказательства теоремы 2. Представим /(п, К) в виде интеграла

1{п, К) = J S1(a)S2{a)e~27Tiahda,

о

где

Si (а) = е(-1/п+2тгга)д1(ТЯ)^ = ^ e(-l/n-27Tta)Q2(fc)_

mez2 kez2

Проведем разбиение отрезка интегрирования числами ряда Фарея, отвечающими параметру N — [у/п\. Пусть ^ < ^ < ~ — соседние дроби Фарея, l<l,q<N,q'<N, q" < N. Тогда

q Ыя+о1)}-1

1{п, h) = J2 è e~2lxihllq J S\{l/q + x)S2{l/q + x)e~2irihxdx. q-N(Üh -Ыя+я"))-1

После преобразований сумм S\(l/q-\-x) и S2{l/q+x) воспользуемся функциональным уравнением для тета-ряда, затем выделим нулевые слагаемые, которые в дальнейшем дадут нам главный член асимптотической формулы для I(n, h). Имеем

2тг

2тг ^

ф1 = о /п/ 1-^•"'-^Giiï.U),

q2VD{n-1 - 2тх)

тфО

где 1,Ш) — двойная сумма Гаусса, отвечающая квадратичной форме <31, (га) — квадратичная форма с матрицей БА^1. Аналогично получаем равенство для 32(1/д + х):

2тг _

+ ^ = 2 Гг\( + Ф2'

^у и{п~1 + 27ггж)

где

27Г 2*2д'?(к) _

ф2 = 2 /т 1 , о • Л £ 6 *)'

^Дп"1 + 2тггх)

А/0

Подставляем эти равенства в /(п, /г) и вычисляем асимптотически интеграл

Ыя-ЫТ1

в- г П

/■ е~гтпх<1х п ЛГЧ

-кОг+д")]-1 п'

В итоге будем иметь главный член асимптотической формулы нашей задачи:

9 2 +00 ^

и и (*,«)=!

Следует отметить, что на данном этапе важность представляет оценка суммы

где д = (71<72) (<?1, 92) = 1) (<7ь -О) = 1"> <72 — либо 1, либо натуральное число, все простые делители которого делят И, которая следует из:

1) вполне мультипликативности функции У(д, /г, 0,0);

2) равенств и неравенств для произведений двумерных сумм Гаусса:

<^1(^1, 0)С2(дгь о) = д2,

С1{д2,12Я21,'0)С2{д2,-12д21,0) ^ с^2,

где I = l\q2 4- l2q\, c ~ постоянная;

3) оценки суммы Рамануждана ^ е 2тЫ/ч\^

1=1 Ш=1

В остаток входят 3 интеграла. Рассмотрим самый общий случай. Пусть

[9(9+9')]

и = 53 Y1 e-2*ihl/q J ФгФ2е-'гтпЧх.

^-imhl/q I лч лч „-2nihx, -[9(9+9")]-1

Вместо Фх, Ф2 подставим их значения и перейдем к неравенствам:

q<N 1=1

[9(9+9')]

Л1-1

dx

74 «Е ^"4 / П-2 + 4А2

-[9(9+9//)]-1

Е

mez2

то^О

ехр

2тг2д/1(ш) \ q2D(n~1 - 2тх))

х

X

£

fcez_2

ехр

2-к Q'2(k)

q2D(n~1 + 2irix) _

\V(q, h,m,k)\

Оценка суммы

V(q, h, га, k) = J] e~2nihl/9Gi(q, l,m)G2(q, -i, Л) « <?i)1/24

/=1 (i,9)=l

где q = q\q2, (<71, = (<7ь = 1; — либо 1, либо натуральное число, все простые делители которого делят D следует из:

1) вполне мультипликативности функции V(q, h,m, к);

2) равенств и неравенств для произведений двумерных сумм Гаусса:

Gi{qi,hqlm)G2{qi, -h&k) = g2exр (~2тг i^1^* Шт) - Q'2(k))J ,

Gi(q2,l2ql0)G2(q2,-l2q2,0) ^ cDq2,

где I = liq2 4- l2q\, (...)(.. .)* = 1( mod gi), с - постоянная;

3) оценки А. Вейля (4) для суммы Клоостермана K(qi,—h,—v), где v = {hqlDYiQ'^m) - Q'2(k)).

Отметим, что при условиях д < п1!2~в и |ж| < [дп1/2-1"0]-1, где в — сколь угодно малое положительное число, суммы по га и к оцениваются как О (ехр(—сп2в)). Тогда из неравенства ехр(—сп2в)пА «С п3/4+е, справедливого для любого А > 0, следует требуемая оценка.

При других ограничениях на переменные ра; суммы по га и к оцениваются как 0(1). В этих случаях требуемая оценка следует из тривиальной оценки интегралов:

[ _—_<п [ _—_<ап1'2+в

О [дп1/2+0]-1

и условия Н ^ п£.

Остаток в асимптотической формуле для суммы 1(п, К) можно уточнить, используя оценку для суммы сумм Клоостермана.

В 2009 году П. Сарнак и Дж. Цимерман [16], применив модулярную технику, получили следующий результат:

Y, К ±v) « (Thvf (Т1/6 + (hv)1/6 + {h1'8 + v1/8)(hv)7/128^ .

q<T ^

В 2012 году С. Гангули и Дж. Сенгупта [17] доказали оценку для суммы сумм Клоостермана, когда суммирование идет по прогрессии с модулем s.

При условии (hv, s) — 1 справедлива оценка

V- 1 t ^ ч (И1/3 (hv)1/6

£ h' « (ТНузУ (^173 + -¿ГРГ + ^r+

q=0 (mod s)

+ (M^ + (^8 + ^8)(M7/128 + (bp/"8 + {hv)7M)

S S ^ S^"^

В четвертой главе с использованием данных оценок улучшен остаток в асимптотической формуле для суммы I(n, h) при условии, что 5р — нечетное число.

Теорема 3. Пусть е > 0 — произвольно малое число, 5р — дискриминант поля F, 5р — нечетное число; п Е h Е N, h < п£. Справедлива асимптотическая формула о_2„ +00 ч

/(та) = ^£<Г4 £ e~2nihl/qGi(q,l,0)G2(q, —1,0) + 0(п2//3+е),

' 9=1 1=1 (l,q)=1

Gi(q,l, 0) = ехр(27гilQi(m)/q) — двойные суммы Гаусса (г = l,2j.

Ш (mod q)

Данная теорема справедлива и для случая, когда ёр — —4<5, (5,2) = 1, а формы Qi(m) и Q2(k) принадлежат одному и тому же классу эквивалентности.

В частности, в этой главе рассматривается задача получения асимптотической формулы для суммы

^ +fc?+fcj|

h{n,h)= е

В данном случае дискриминант поля др = —4, и все квадратичные формы эквивалентны форме Q(jn) = т\ + т2.

С использованием точных формул для одномерных сумм Гаусса и оценок для суммы сумм Клоостермана доказывается следующий результат.

теорема 4. Пусть г > 0 — произвольно малое число, п € N, h € N;

h < 71е.

Справедлива асимптотическая формула

2 +оо 9

= ^ £ <Г4 £ 0)S2(<Z, -/, 0) + 0(n2/3+£),

g=l ¿=1 (i,9)=l

q

где S(q, 1,0) = ^ exp(27rils2/q) — сумма Гаусса. Сумма особого ряда асимп-3=1

тотической формулы положительна.

При доказательстве изложенных выше теорем предполагаем, что дискриминант поля 6р — фиксированное число.

В пятой главе рассматривается один частный случай, когда параметр 5р — —ро, где ро — простое число, растет с ростом основного параметра п. За счет этого условия и специальных ограничений на h удается уточнить остаток в асимптотической формуле для 1{п, К).

Теорема 5. Пусть е > 0 — произвольно малое число, ро — простое число, 5р = — Ро- Пусть п = \pq£], h = pohi, hi E N, (/ii,po) = 1/ h ^ p^.

Тогда при ро —> oo справедлива асимптотическая формула

О 2 g

w U ti

(l,q)=1

Gi(q,l, 0) = exp(27rilQi(rn)/q) — двойные суммы Гаусса (i = 1,2).

то (mod q)

При доказательстве данной теоремы в отличие от теоремы 3, где произведение hv параметров h и г>, входящих в сумму Клоостермана K(q, h, ±г>), принимает значение порядка п1/,2+£, удается за счет особых условий на h и специального выбора растущим с основным параметром дискриминанта поля F рассматривать только те суммы Клоостермана K(q,h,±v), в которых произведение hv имеет порядка п£.

Глава 1

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Здесь формулируются основные и вспомогательные леммы, которые используются для доказательства утверждений диссертации. Основные леммы доказываются.

§1. Вспомогательные леммы.

ЛЕММА 1. (Функциональное уравнение для одномерного тета-ряда)

+00

Пусть Яет >0, а е С, в(т, а) = ехр (-7гт(п + а)2). Тогда

п= — 00 1 7Г

в(т, а) — 53 ехР + 2тпа^.

* п=—оо

Доказательство см., например, в [18, с. 14].

ЛЕММА 2. (Функциональное уравнение для двумерного тета-ряда) Пусть 1тт > 0; х € М2, 9(т,х) — ехр (2тт(д(п+ х)), где п) =

П622

^п*Ап. Тогда

в{т,х) - —53 ехР ( гп + 2тп*х

т

пеж? 4

Доказательство см. в [19, глава VI].

ЛЕММА 3. Справедливы следующие равенства:

+00 +00 г е гх , Г _ = ,

У (1-2тху Х • } х* + а? а6 '

—ОО —ОО

Доказательство см. в [20, глава V].

Лемма 4. (формула частного суммирования — преобразование Абеля) Пусть f(x) — непрерывно дифференцируема на отрезке [а, 6], сп — произвольные комплексные числа,

С(ж) = Е Сп-

а<п^х

Тогда

ь

cnf(n) = - J C(x)f(x)dx + C(b)f(b).

a<n^b a

Доказательство см., например, в [21, с. 29].

ЛЕММА 5. (Оценка суммы Клоостермана) Пусть K(q,u,v) — сумма Клоостермана. Справедлива оценка

K{q^v)<^T{q)qll2(u,v,q)1'2.

Доказательство см., например, в [5], [6].

ЛЕММА 6. (Оценка суммы сумм Клоостермана) Пусть K(q,u,v) — сумма Клоостермана. 1.

J2 ~K(q, и, ±v) < (Tuv)£ (Т1/6 + М1/6 + (ul/8 + v1/8)M7/128) •

q<T У

2. При условии (uv, s) = 1 справедлива оценка

1 г^ ^ М1/3 М1/6

q<T 4 g=0 (mod s)

(uvУ" (и1/8 + v1/8){uv)7/128 (uv)23/128 7/64

+ s + Sl/4 + sl/2 + ^ J-

Доказательство см. в [16], [17].

ЛЕММА 7. (Производная от интеграла) Пусть функция f(x,y), определенная в прямоугольнике [а, Ь, с, d], будет непрерывна по х в [а, Ь] при

любом постоянном у в [с,сЕ\. Предположим, что во всей области существует частная производная ¡'У(х,у), непрерывная как функция двух переменных; функции Х\(у) и Х2{у), принадлежащие промежутку (а, Ъ), будут непрерывны по у в [с, и имеют непрерывные производные по у. Тогда при любом у из [с, d] имеет место формула:

( Х2{у)

(1

dy

J f(x, y)dx | =

\fi(2/)

хг (у)

xi (у)

Доказательство см., например, в [22, с. 254], [23, с. 98].

ЛЕММА 8. (Равенства для одномерной суммы Гаусса) Справедливы следующие утверждения:

1. Если (qi, q2) = 1, то

S{qiq2,1, га) = S(q1, lq2, m)S(q2, lqu га).

2. Если (q, 21) — 1, то

S(q, I, га) = exp (-2тгг(4/)*т2/з) (^j S(q, 1,0),

где 4/(4/)* = 1 (mod q), ^^ — символ Якоби.

3. Если (q, 2) = 1, то

л/g, если <7=1 (mod 4), 5(9,1,0)= К h

I iy/q, если q = 3 (mod 4).

4■ Если (I, 2) - 1, то

i0, если a — 1,

(2)°>/2(1 + Д если a > 1.

5. Пусть А, В - целые числа, (А, 2) = 1. Тогда

5(2,Л,£) = 2х(Я;2,1);

/ 2тг? В2\ S(2«, А, В) = Х(В-, 2,0) exp {-—A*—} S{ 2», Л, 0),

где а > 2, АА* = 1 (mod 2а). Если (q, I) - п, то

S(q, 1,т) = пх{т\п, 0)S(q/n, 1/п,т/п).

Доказательство см., например, в [24], [25].

В следующих леммах содержаться равенства для двойных сумм Гаусса. Пусть F — Q(y/d) — мнимое квадратичное поле, 5р — дискриминант поля F, D = — 5р. Требуется вычислить сумму

G(q, 1,Ш) = ехР {2-Ki{lQ(k) + тЩ/q) ,

k mod q

где Q{k) — бинарная положительно определенная примитивная квадра-

2 a b\ b 2с )'

тичная форма, Q(k) = \1ъАк, А =

_ (mi

detА = 4ас — б2 = I), т=[ \ (/,?) = 1.

\т2)

Пусть q = р^р^2 ■ ■ ■ ■ - Рз3, Рз — простые числа, г,- = ц/р"3 {] = 1 • • • б). Тогда справедливо равенство

в

С^, I, га) = га).

3=1

Теперь достаточно вычислить суммы С{р"3,1г^,т) при всех ^ = 1... й. Равенства для этих сумм представлены в леммах 9 — 13. Определим квадратичную форму С^'(к)\

= \кгВА~1к = ск\ - Ькхк2 + ак\.

JlEMMA 9. Пусть pj \ q, Pj \ D, 11* = 1 (mod q), rjVj = 1 (mod p*3), DD) = 1 (mod p«>).

Тогда справедливо равенство

С(р°\1г1,М) = exp (-2тГгЩ<У(т)/р?)0(р°>,1ъ,Щ,

где

если Pj = 2)

С(Р?,1Г1,0)=\ / ч

I Pj ( ф ) , euiupj> 2,

где (Ц ) — символ Якоби от числа 5р по модулю р-3.

Pj

ЛЕММА 10. Пусть Pj \ q, Pj > 2, Pj I D, Pj \ a, 11* = 1 (mod q), Tjr* = 1 (mod p^), (D/Pj)(D/Pj)* = 1 (mod#)-Тогда справедливо равенство

G(p°',lrhm) = e(pj)p'*'Jpjx(Q'(rny,Pi,0) [Ш) x

x exp (-24l'r

\ Pj Pj

где

I 1, если pj = 1( mod 4), £{Pj) = < ,

I г, если pj = 3( mod 4).

Лемма 11. Пусть 2 I D, {B, 2) = 1. Тогда

G(2,£,0) = 0, G(2,B,m) = G{ 2,1 ,m).

Лемма 12. Пусть 2a || q, a >2, 2 | D, 2\ D/4, r2 = q/2a, 2 \ a, 11* = 1 (mod q), r2r*2 = 1 (mod 2a), (D/4)(D/4)* = 1 (mod 2a). Тогда справедливо равенство

G(2a, lr2, m) = xiQ'im); 4,0)5(2°, alr2,0)5(2°, alr2D/4,0) x

( 27гг;+ tf ,A\*Q'(m)\

x exP (~^ )■

JlEMMA 13. Пусть 2а || q, а > 2, 2 | D/4, r2 = q/2a, 2 \ а, аа* = 1 (mod 2а), И* = 1 (mod 2а), г2г*2 = 1 (mod 2а), {D/8)(D/S)* = 1 (mod 2а). Тогда, если а = 2, то

G(4, lr2,m) = 8x(mi;2,0)x(2am2 - 6mi;8,4)(l + га/Г2)х

х ехр (-2та*Гг1т1/16).

Если а > 3; то

G(2a, lr2,rn) = 2X{Q'{m)-8,0)S{2a,alr2,0)S{2a-\alr2D/8,0)x Доказательство лемм 9 — 13 см. в [26].

ЛЕММА 14. (Свойства суммы Клоостермана) Пусть K(q,u,v) — сумма Клоостермана. Справедлива следующие утверждения:

1. K(q, -и,-v) = K(q, и, v).

2. Если (w, q) = 1, то K(q, uw, v) — K(q, u, vw).

3. При (q\,q2) = 1 имеет место равенство

K(qiq2, и, v) = K(qi,u, щ)K(q2, и, v2),

где vi и v2 определены соответственно по модулям q\ и q2 сравнением v\q2 + v2q\ = v (mod qiq2).

4. Пусть a > 1. Если u = v = 0 (mod p), mo

K(pa,U)v)=pK(pa-\-,-).

P P

Если и v = 0 (mod p) или если и = v, (mod p), mo

K{pa,u,v) = 0.

5. Пусть (u,p) = 1, a > 1. Тогда

K(p, u, 0) = -1, K{pa, u, 0) = 0.

6. Пусть и = ращ, {щ,р) — 1, а > 1, s > 1. Тогда

К(ра, и, 0) = ра-\р - 1), К(ра+\ и, 0) = -ра, K(pa+S, и, 0) = 0. Доказательство см., например, в [27, с. 38-43].

§2. Основные леммы.

ЛЕММА 15. Пусть К ^ п£; (/, </, д" < N. Тогда справедливы равенства: Ыя+я1)}-1

/£—2тпх

-Ыя+я"))-1 Ыя+я')}-1

/р—2тИх

Доказательство. Разобьем интеграл / на сумму интегралов

-Ыя+я")}'1

Ш+4)]-1 +00 М^ОГ1 +00

-ЫЯ+Я")]-1 -оо ЫЯ+Я')}'1

Первый интеграл вычислим, используя равенства из леммы 3. Получа-

ем, что

„ . +00 „ .

/£—2тпх г

(п^-Ью?** = " / (1 - 2*«)'* = Пе_1'

— 00 —оо

Аналогично имеем

+оо +00

е~2ткх^х Н [ ^ п

л 6 •

] п~2 + 4тг2х2 ~ 2тг ]

п~2 + 4тт2х2 2тг ] ¡12/п2 + ¿2 2

—оо —оо

Так как Н ^ пе, то е~н,п = 1 + 0(к/п).

Оценка второго и третьего интеграла проводятся одинаково. Рассмотрим третий интеграл. С учетом условия (( ^ N получаем, что

+оо +оо +00

г ^—2тпх

Р йх Г (1х

■Лх<< У п-> + 4А?« У

} (п~1 — 2тх)2

ЫЯ+Я')}'1 к^]-1 [дМ}~ 1

Данная оценка верна и для интеграла

+о /

+00

е-2ттШх^х

п 2 + 47г2а;2 Доказательство леммы завершено.

ЛЕММА 16. (Равенства для произведений одномерных сумм Гаусса) Пусть (/,5) = 1. Справедливы следующие утверждения: 1.

52(д,0)52(д, -1,0) =

где

1, если (д, 2) - 1, О, если 2 | д и 4 { д, 14, если 4 | д.

2.

СМ =

ад = 4

5(9,1,7711)5(9, /, 77^2)5(9, -/, /11)5(9, -/, /с2) = С2(9)^2 ехр(-2тиГС3(д)/д), где

1, если (9, 2) - 1,

4х(ть 2,1)Х(т2; 2,1)х(/с1; 2, 1)Х(А*; 2,1) х х ехр(7гг(т2 Л-т^ — к2 — А$)/4), если 2 | 9 и 419,

4х(ти 2,0)Х(т2; 2,0)х(*!; 2,0)Х(к2] 2,0), если 4 | 9;

х

] 4*(т? + т^ - к\ - Щ), если (9, 2) = 1, Сз(д) = <

(т\ + т\- к2 - к%)/4, если (9, 2) = 2.

Доказательство.

1. Пусть (9,2) = 1. Учитывая условие (/,9) = 1, а также равенство для суммы Гаусса из леммы 8 (утверждение 2), имеем

5(д,/,0) = (Т) 5(9,1,0).

Тогда

S2(q,l,0)S2(q,-l,0) = S\q,l,0), и требуемое тождество следует из утверждения 3 леммы 8.

Пусть q = 2аг2, (2а,Г2) = 1. Воспользуемся мультипликативностью суммы Гаусса (см. утверждение 1 леммы 8). Имеем

S(g>l,0) = S(2a,lr2,0)S(r2,l2a,0).

Формула для суммы S(r2,12а, 0) была получена выше.

Вычислим суммы Гаусса от степеней двойки. Для этого используем равенства из утверждения 4 леммы 8. Если а — 1, то

S2(q,l,0)S2(q,-l,0) = 0. Если а > 1, то в исследуемом произведении возникнет множитель

(£ГШ2°(1+г'гг)2(1+г'Г2)2-

который равен 4, так как числа ilr2 и i~lr2 — самосопряженные. Тогда

S2(q,l,0)S2(q,-l,0) = 4q2.

2. Пусть (д, 2) = 1. Учитывая условие (l,q) = 1, а также равенство для суммы Гаусса из леммы 8 (утверждение 2). Имеем

S{q, mi) = ехр (-2тгг(4/)*т2/д) (^j S{q, 1,0),

где 4/(4/)* = 1 (mod q). Тогда получаем выражение

S(q, I, mi)S(q, I, m2)S(q, -I, ki)S(q, -I, k2) =

= q2 ехр {-2m{Aiy{m\ + m\-k\- kl)/q) ,

которое следует из формулы для S{q, 1,0) (см. утверждение 3 леммы 8) и условия (—!)(—!)* = 1 (mod q).

Пусть q = 2аг2, (2а, г2) = 1, тогда в силу мультипликативности суммы Гаусса получаем

5(?, I, тщ) = 5(2°, 1г2, т!)5(г2> /2а, тщ).

Если а = 1, то

S(2,Zr2,mi) = 2x(mi;2,l),

(см. утверждение 5 леммы 8). Используя равенство для произведений сумм Гаусса, не содержащих степеней двойки, будем иметь

S(q, I, mi)S(q, I, m2)S(q, -1, -/, fo) = 4*(mi; 2, l)x(m2; 2,1) x

x x(ki) 2,1 )X{kt\2, l)^2 exp (-2тгг4*(2/)*(m2 + m2 - A;2 - k22)/r2) .

Из условий сравнения каждого из mi, m2, /ci и /с2 с 1 по модулю 2, можем утверждать, что 4 | (mf 4- m2 — к\ — к2). Кроме этого в показателе экспоненты вычтем и прибавим выражение

где lr2(lr2)* = 1 (mod 2), (lr2)* = 1 (mod 2). Осталось доказать, что

2(2)* + r2(r2)* = 1 (modg).

Действительно, сравнение эквивалентно системе сравнений

2(2)* + г2{г2у = 2(2)* = 1 (mod 2), ^ 2(2)* + г2(г2)* = г2(г2У = 1 (mod г2).

Тогда

5(qr, mi)5(g, /, m2)S'(g, -/, fei)5(g, -I, k2) =

= 4%(mi; 2,1 )X{m2-2, 2,1 )x{k2; 2, l)?2x

x exp (7Гi{m\ + m\-k\- k\)/4) exp (mf + m2 - k\ - k%)/4j .

Если a > 2, то

5(2*, lr2, mi) = x(mi; 2, 0) exp ^-2тгг^т2/4^ 5(2«, /г2, 0).

В силу приведенных выше рассуждений можем утверждать, что

S2(2a, lr2,0)S2(2a, ~lr2,0) = 4 • 22a.

Тогда

S(q, I, mi)S(q, I, m2)S(q, -I, ki)S(q, -I, k2) =

= Ытъ 2,0)x(m2; 2,0)x(fci; 2,0)X{k2,2, 0)g2x

x exp (-Ш^^Щгп} + mi - Ц - k2),4) .

Осталось доказать, что 2Q(2a)* + r2(r2)* = 1 (mod q).

JlEMMA 17. (Равенства для произведений двумерных сумм Гаусса) Пусть d — отрицательное бесквадратное число, F = Q(Vd) — мнимое квадратичное поле, 6f — дискриминант поля F, D = —5р- Пусть Qi(rn), Q2(k) — бинарные положительно определенные примитивные квадратичные формы с первыми коэффициентами а\ и а2 соответственно; (/, q) = 1.

Справедливы следующие утверждения:

1. Пусть (q,D) = D1 > 1, 11* = 1 (mod q), {D/Di)(D/Dx)* = 1 (mod q). Тогда

Gi(q, I, m)G2(q, ±1, k) = C,(q, D)q2x

x exp i^C5(q, D){Q[{m) ± Q2(k)^j .

Если D\ = 1, mo C4(g, D) = 1, C5(q, D) = D*. Если > 1, 2 \ Di, mo

CA{q, D) = £\{Di)Di хШ™)\ Du 0)X(«ffl; Du 0),

|C4(g,jD)| < D, C5(q,D) = (D/DiY/Dl

2. При любых q и D справедливо неравенство:

\G\(q,l,rn)G2{q,±.l,~k)\ < cDq2,

где с — постоянная.

Доказательство.

1.1. Пусть (q, D) = 1. Введем обозначения: q = р^1 •... •рrj = q/p°[3, //* = 1 (mod g), rj-rJ = 1 (mod^), DD* = 1 (modp"J) (j = 1 ...s), Ш)* = 1 (mod g). Тогда

s

Gi(q,l,m) = Yl Gi {p"3, lrh m). 3=1

Вычислим Gi(p^3,lrj,fri), используя равенство из леммы 9. Получаем

G^Jr^m) = ехр {-2тггГг*D*Q[(m)/р^3)G^pf ,lrj,0).

Если 2 | q, то полагаем p\ — 2. Заметим, что в этом случае 2 \ D, следовательно, 6р = 1 (mod 4). Если 2 | D, то щ = 0. Подставляя значения для G\(p^3 Jrj, 0), получаем

Gxfo i,m) = ехр ^^^(тХпгДО + ... + г^Я;)) х

Докажем, что

Г1 r\D{ + ... + rsr*sD*s = D* (mod q). Так как (q,D) = 1 и DDJ = 1 (mod (j = 1... s), DD* = 1 (mod q),

TO

D (nrlDl + ... + rsr*D*s) = DD* = 1 (mod q),

и достаточно доказать сравнение rir* + ... + rsr* = 1 (mod g), которое эквивалентно системе сравнений

r\r\ + ... + rsr* = r\r{ = 1 (mod р"1), r\r\ + ... + rsr* = rsr* = 1 (mod

Тогда

G^qXm) = ехр (-l)^"^/4

Аналогичное равенство справедливо для (^(д, к). Запишем произведение сумм Гаусса:

Gi(q,l,m)G2(q,±l,k) =

= exp (—2niD*(l*Q[(rn) + (±lYQf2(k))/q)(-lf-s^2q2.

Так как или SF = 1 (mod 4), или оц = 0, то (-l^-^W2 = 1. Кроме того, справедливо сравнение (—/)* = — Г (mod q). Следовательно,

Gl{q,l,m)G2{q, ±l,k) = exp (-^^(^(m) ± Q'2{k))^jq2.

1.2. Пусть (g, L>) = Di = pi • ... • pt > 1. Введем обозначения: q = p"1 • ... • = = 1 (mod g), r,-r* = 1 (mod p^),

DD) = 1 (mod pf) (j = (t+1)... s); rfr* =s 1 (mod p?')> (D/pi){D/Pi)\ = 1 (mod p"*) (i = l...t).

Так как 2 \ Di, то не одно из чисел pi,... ,pt не равно 2. В дальнейшем, будем считать, что pt+i = 2, at+1 > 0.

Вычислим G\(p"3,lrj,rn). Используя равенство из леммы 9 для j = (t 4-1)... s, получаем

Gi(p?,lrjtm) = exp (-2тгг/VJDtQj(m)/pf)G1 , /г,, 0).

Для случая, когда г — 1... t, используем лемму 10:

G1(p?Jri,m) = e(pi)p°'^iX(Q'l(my,pi,0) (^ х

х ехр (-•

Прежде чем записать равенство для G\(q, I, т), преобразуем выражение, стоящее в показателе экспоненты. Вынесем за скобки множитель (га)/D\. Кроме этого, положим {D/D\){D/D\)* = 1 (mod q). Имеем

_:2m4{D/Dly9mx

q Di

xinrHD/p^iD/D^ • ... -pt + ... + rtrUD/ptXiD/Dfa • ... ■ pt-1+

31

+гтг*+1А*+1(£>/Л1)1)1 + ... + г.г^Я/ЛОА) =

х(г1г1*(^/р1)(1)/р1)1* + ... + тГЛВ/рь){В/р^+

Полученное в скобках выражение сравнимо с 1 по модулю д. Это следует из системы сравнений:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Куртова, Лилиана Николаевна, 2014 год

Список литературы

[1] Айерлэнд, К. Классическое введение в современную теорию чисел / К. Айерлэнд, М. Роузен. — М.: Мир, 1987. — 416 с.

[2] Kloosterman, H.D. On the representation of number in the form ax2-\-by2+ cz2 + dt2 / H.D. Kloosterman // Acta mathematica. — 1926. — V. 49. — P. 407-484.

[3] Ingham, A.E. Some asymptotic formulae in the theory of numbers / A. Ingham // J. London Math. Soc. - 1927. - V. 2(7). - P. 202-208.

[4] Estermann, T. Uber die Darstellung einer Zahl als Differenz von zwei Produkten / T. Estermann //J. Reine Angew. Math. — 1931. — V. 164. — P. 173-182.

[5] Weil, A. On some exponential sums / A. Weil // Proc. Nat. Acad, of Sci. - 1948. - 34. - P. 204-207.

[6] Estermann, T. On Klostermann's sum / T. Estermann // Mathematika. — 1961. - 8. - P. 83-86.

[7] Исмоилов, Д.И. Об асимптотике представления чисел как разности двух произведений / Д.И. Исмоилов // Докл. АН Тадж. ССР. — 1979. - Т. 22, №2. - С. 75-79.

[8] Heath-Brown, D.R. The fourths power moment of the Riemann zeta-function / D.R. Heath-Brown // Proc. London Math. Soc. — 1979. — V. 38. - №3. - P. 385-422.

[9] Захаров, С.А. Метод C.M. Воронина в задаче о числе решений дио-фантова уравнения х\х2 + х$х± = N / С.А. Захаров // Чебышевский сборник. - 2006. - Т. 7. - Вып. 4. - С. 35-91.

[10] Архипов, РИ. Об аддитивной проблеме делителей Ингама / Г.И. Архипов, В.Н. Чубариков // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика. Механика. — 2006. — №5. — С. 32-35.

[11] Кузнецов, Н. В. Гипотеза Петерсона для параболических форм веса нуль и гипотеза Линника. Суммы сумм Клоостермана / Н. В. Кузнецов // Матем. сб. - 1980. - Т. 111(153). - №3. - С. 334-383.

[12] Deshouillers, J.-M. An additive divisor problem / J.-M. Deshouillers, H. Iwaniec //J. London Math. Soc. - 1982. - V. 26(2). - P. 1-14.

[13] Hooly, C. An asymptotic formulae in the theory of numbers / C. Hooly // Proc. London Math. Soc. - 1957. - 7. - P. 396-413.

[14] Линник, Ю.В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах / Ю.В. Линник. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1961. - 208 с.

[15] Бредихин, Б.М. Дисперсионный метод и бинарные аддитивные проблемы определенного типа / Б.М. Бредихин // Успехи математических наук. - 1965. - Т. 20. - Вып. 2(122). - С. 89-130.

[16] Sarnak, P. On Linnik and Selberg's conjectures about sums of Kloosterman sums. / P. Sarnak, J. Tsimerman // Progress in Math. — 2009. — V. 270. — P. 619-635.

[17] Ganguly, S. Sums of Kloosterman Sums Over Arithmetic Progressions / S. Ganguly, J. Sengupta // Int. Math. Res. Notices. — 2012. — no. 1. — P. 137-165.

[18] Воронин, C.M. Дзета-функция Римана / C.M. Воронин, А.А. Карацу-ба. —М.: Физматлит, 1994. — 376 с.

[19] Ogg, А.Р. Modular Forms and Dirichlet Series. / A.P. Ogg. — N.-Y.: W.A. Benjamin Inc., 1969. - 211 p.

[20] Лаврентьев, M.A. Методы теории функций комплексного переменного: Учебное пособие для студентов механических специальностей механико-математических факультетов государственных университетов / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. — М.: Физматлит, 1958. — 678 с.

[21] Карацуба, А.А. Основы аналитической теории чисел / А.А. Карацуба. - М. : Наука, 1983. - 240 с.

[22] Смирнов, В.И. Курс высшей математики. В 5 т. Т. 2 / В.И. Смирнов. - М.: Наука, 1974. - 656 с.

[23] Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа. В 2 ч. Ч. 1. Основы операции анализа / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. —М.: Физматлит, 1963. — 343 с.

[24] Hua, L. К. Introduction to number theory / L. К. Hua. — Springer, 1982. — 572 p.

[25] Estermann, T. A new application of Hardy-Littlewood-Kloosterman method / T. Estermann // Proc. London Math. Soc. — 1962. — 12. — P. 425-444.

[26] Гриценко, С.А. О функциональном уравнении одного арифметического ряда Дирихле / С.А. Гриценко // Чебышевский сборник. — 2003. — Т. 4. - Вып. 2. - С. 53-67.

[27] Малышев, A.B. О представлении целых чисел положительными квадратичными формами / A.B. Малышев // Тр. МИАН СССР. — 1962. — Т. 65. - С. 3-212.

[28] Виноградов, И.М. Основы теории чисел / И.М. Виноградов. — СПб-М: Лань, 2004. — 167 с.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Куртова, JI.H. Об одном аналоге аддитивной проблемы делителей / С.А. Гриценко, J1.H. Куртова // Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е. Воскресенского, Самара, Россия, 21-25 мая, 2007: Тезисы докладов. — Самара: Изд-во "Универс групп" , 2007. - С. 14-15.

2. Куртова, JI.H. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами / JI.H. Куртова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия Физико-математические науки. — 2007. — №6 (37). - Вып. 13. - С. 44-55.

3. Куртова, JI.H. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами / JI.H. Куртова // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. Математика. — 2007. — №7 (57). - С. 107-121.

4. Куртова, JI.H. Об одной бинарной аддитивной задаче с квадратичными формами / JI.H. Куртова // Материалы докладов XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" / Отв. ред. H.A. Алешковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев. — М.: Издательство МГУ, 2008. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

5. Куртова, JI.H. О числе решений одного уравнения с квадратами / Л.Н. Куртова // Материалы докладов XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"/ Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. — М.: МАКС Пресс, 2011. — 1 электрон, опт. диск (CD-ROM).

6. Куртова, JI.H. О числе решений одного уравнения с квадратами / Л.Н. Куртова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика Физика: Научный рецензируемый журнал. - Белгород: Изд-во НИУ "БелГУ". - 2011. - №5 (100). - Вып. 22. - С. 54-69.

7. Куртова, JI.H. О числе решений одного уравнения с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Комплексный анализ и его приложения в

дифференциальных уравнениях и теории чисел: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 17-21 окт. 2011 г.). — Белгород: ИПК НИУ "БелГУ 2011. - С. 69-70.

8. Куртова, Л.Н. О числе решений одного уравнения с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика Физика: Научный рецензируемый журнал. - Белгород: Изд-во НИУ "БелГУ". - 2012. - №17 (136). -Вып. 28. - С. 51-55.

9. Куртова, Л.Н. Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Дифференциальные уравнения и их приложения: сб. материалов Международной конференции (Белгород, 26-31 мая 2013 г.). - Белгород: ИПК НИУ "БелГУ 2013. - С. 110-111.

10. Куртова, Л.Н. Бинарные аддитивные задачи с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Алгебра и теория чисел: современные проблемы м приложения: тез. докл. XI Междунар. конф. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013. - С. 50-51.

11. Куртова, Л.Н. О числе решений одного определенного уравнения с квадратичными формами / Л.Н. Куртова // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика Физика: Научный рецензируемый журнал. — Белгород: Изд-во "БелГУ". — 2013. — №19 (162). - Вып. 32. - С. 67-77.