Распределение дробных частей значений линейного многочлена, аргумент которого принимает простые числа из коротких интервалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Исматов, Сайфулло Неъматович

• Исматов, Сайфулло Неъматович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Исматов, Сайфулло Неъматович

Оглавление

Обозначения

Введение

1 Суммы коротких тригонометрических сумм с простыми числами

1.1. Вспомогательные леммы

1.2. Оценка сумм коротких двойных тригонометрических сумм

1.3. Оценка сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами

2 Распределение дробных частей значений линейного многочлена, аргумент которого принимает значения простых чисел из коротких интервалов

2.1. Вспомогательные леммы

2.2. Сведения распределения дробных частей {ар}, аргумент кото-

рого пробегает простые числа из короткого интервала к оценке сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами

2.3. Распределение дробных частей {ар}, аргумент которого пробе-

гает простые числа из короткого интервала

Литература

Обозначения

е(а) = е2кга = cos 27га; + г sin 27га.

При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются тремя индексами: номер главы, номер параграфа, номер утверждения, с, Ci, С2, ■ • • ,-положительные постоянные, не всегда одни и те же. £-положительные сколь угодно малые постоянные. ip{q) - функция Эйлера. /i(n) - функция Мёбиуса. Л(п) - функция Мангольдта. т(п) - число делителей числа п.

тг{п) - число решений уравнения Х\Х2---ХГ = п в натуральных числах

■2-1) • ■ • 1 %г ■

Запись Axß означает, что с\А < В < с^А.

При положительном А запись В = О (А) или В -С А означает, что существует с > 0 такое, что \В\ < сА. (а, Ь) - наибольший общий делитель чисел а и Ь. [х] - целая часть числа х. {ж} - дробная часть числа х.

||ж|| = min ^{ж}, 1 — {ж}^ - расстояние до ближайшего целого числа. Jz? = 1пж q.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распределение дробных частей значений линейного многочлена, аргумент которого принимает простые числа из коротких интервалов»

Введение

Основным предметом исследований, составляющих содержание диссертации, является оценка сумм коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами и вывод закона распределения дробных частей значений линейного многочлена, аргумент которого принимает простые числа из коротких интервалов.

Тригонометрические суммы впервые появились у Гаусса при доказательстве закона взаимности квадратичных вычетов. Он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя "суммы Гаусса". Тригонометрические суммы в дальнейшем стали мощным средством решения ряда важных проблем теории чисел. При этом, основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.

Далее были исследованы полные рациональные тригонометрические суммы вида

где /(х) = апхп+... + а\х, п > 1, (ап,..., а\, д) = 1. В случае простого д = р

(1)

наилучшая неулучшаемая оценка принадлежит А. Вейлю [1]. Он доказал, что

|5| < Пу/р.

Первые оценки суммы (1) в случае составного q были даны Хуа [2, 3, 4, 5]. Он установил неравенство вида

\S\ < c{n)ql~».

Это неравенство замечательно тем, что при постоянном п в смысле порядка роста правой части с возрастанием q оно, вообще говоря, уже не может быть заменено существенно лучшим. В.Н. Чубариков [6] получил оценки модуля кратной рациональной тригонометрической суммы.

Рациональная тригонометрическая сумма, как частный случай, входит в еще более общий класс сумм вида

т<Р

где f(x) = аптп + ... + а\т и ап,..., а\ - любые вещественные числа.

Первый общий метод нахождения нетривиальных оценок сумм (2) дал Г. Вейль [7], задолго до упомянутого результата Хуа. Поэтому этим суммам присвоено название суммы Г. Вейля. Метод Г. Вейля. сыграл заметную роль в развитии теории чисел: он позволил дать первые решения ряда важных проблем, в частности, найти закон распределения дробных частей многочлена f(t), следствием которого является их равномерное распределение по модулю 1.

В 1934 г. И.М. Виноградов [8, 9, 10] нашел новый метод в аналитической теории чисел. Этот метод не только позволил коренным образом усовершенствовать решения проблем, уже рассматривавшихся ранее с помощью других методов, но и открыл широкий путь к решению новых.

Первым результатом, полученным новым методом (1934 г.), явилась принципиально новая верхняя граница для функции С(п) Харди и Литтлвуда (см. [10, 11]):

в{п) < п(61пп+ 10).

Эта граница растет с возрастанием п как величина порядка п1пп и, ввиду известного неравенства £(п) > п, уже не может быть заменена границей существенно более низкого порядка.

Следующим результатом, полученным новым методом, явились принципиально новые оценки сумм Г. Вейля [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19] . Основу этих оценок составила «теорема о среднем И.М. Виноградова». Новые оценки сумм Г. Вейля (1935 г.) были получены на основе теоремы И.М. Виноградова "о среднем значении тригонометрической суммы Г. Вейля", то есть суммы вида

р

5 = 5(а„,..., <*1) = е(/(ж)), /(ж) = апхп + ... + а\х.

х=\

Теорема о среднем — это теорема об оценке сверху величины 3, т.е. интеграла 3 вида

1 1

3 = Зъ = 3Ь{Р) = I...I |5К,..., а1)\2Ьй(ап, ...,сц), о о

который представляет собой среднее значение модуля суммы Б в степени 2Ь.

В 1942 году Ю.В. Линником [20] было найдено новое доказательство теоремы о среднем значении, использующее свойства сравнений по модулю степеней простого числа р. Другое р - адическое доказательство, то есть использующее свойства сравнений по модулю простого числа р, теоремы о среднем значении было получено A.A. Карацубой [21], на основе разработанного им в шестидесятых годах двадцатого века р-адического метода в данной проблематике. В дальнейшем его метод, помимо других приложений, позволил не только значительно прояснить и упростить доказательство теоремы о среднем значении, но и получить новые существенные результаты, в частности, вывести нетривиальные оценки величины J(iV; п, к) при малых значениях к (см. работы [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29]).

И.М. Виноградов поставил проблему оценки сверху кратных тригонометрических сумм. Данная задача была решена Г.И. Архиповым [30] в начале 70-х годов прошлого века. Г.И. Архипов получил первые оценки двукратных сумм Вейля для многочленов общего вида. В 1975г. Г.И. Архипов и В.Н. Чубариков [31], [32] дали обобщение результатов Г.И.Архипова на кратный случай. В 1976 г. В.Н. Чубариков [6, 33, 34] получил оценки кратных тригонометрических интегралов. В течение 80-х годов прошлого столетия Г.И. Архипов, A.A. Карацуба и В.Н. Чубариков [35, 36] продолжили исследования и получили первые оценки кратных тригонометрических сумм Вейля, равномерные по всем параметрам (по длинам интервалов изменения переменных суммирования, по степени осреднения и по степени многочлена). В 1987 г. результаты всех исследований по кратным тригономет-

рическим суммам Вейля составили содержание монографии "Теория кратных тригонометрических сумм" [37]. В середине 80-х годов прошлого века В.Н. Чубариков получил первые оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами с многочленом общего вида в экспоненте [38, 39, 40, 41].

В 1937 г. И.М. Виноградов обнаружил, что многие суммы по простым числам могут быть составлены путем только сложений и вычитаний из сравнительно небольшого числа других сумм, хорошие оценки которых могут быть получены с помощью соображений метода оценок двойных сумм УУ и средств, не имеющих какого-либо отношения к теории функции (или Ь - рядов). В частности, такой суммой оказалась сумма

^ = X) е№))' /(*) = а"хП + «п-!^1 + ... + ах,

р<р

аналогичная сумме 5, но с суммированием, распространенным лишь на простые числа, не превосходящие Р. Первой была найдена оценка суммы

^е(ар), р<р

являющейся простейшим (при п = 1 и /(х) = ах) видом суммы 5', которая в соединении с теоремами, касающимися распределения простых чисел в арифметических прогрессиях, имеющих разность, не превосходящую некоторой медленно растущей с возрастанием Р, позволила впервые строго вывести асимптотическую формулу для числа /(-/V) представлений нечетного числа N в виде

N = Р1 + Р2 + рз-8

Из этой формулы как частное следствие было выведено существование представлений для всех достаточно больших N (тернарная проблема Гольдбаха).

Далее, в том же 1937 г. с помощью указанного соображения, существенно используя метод Г. Вейля, И.М. Виноградов получил и оценку суммы 5" (для п > 1), сходную с оценкой суммы 5 по методу Г. Вейля (несколько менее точную). А в 1948—1956 гг. с помощью тех же соображений, но используя вместо метода Г. Вейля средства своего метода, И.М. Виноградов получил и общую теорему об оценке суммы 5', принципиально близкую к общей теореме И.М. Виноградова об оценке суммы Б.

Основу метода И.М. Виноградова оценок сумм с простыми числами, наряду с уже упомянутым выше методом сглаживания двойных сумм и теоремой о среднем, составляет решето Виноградова.

Следствием оценки суммы 5" по простым числам явилась теорема о распределении дробных частей значений многочлена /(р) при условии, что р принимает значения последовательных простых чисел, не превосходящих Р.

В проблеме распределения дробных частей {ар} И.М. Виноградов получил намного более точную оценку тригонометрической суммы, чем в общем случае распределения дробных частей {апрп + .. , + а\р). Он доказал [17, 19]): пусть К — целое, К < N, а — вещественное,

а = - + -, {а,д) = 1, 1 < д < А^,

а в

д д*

тогда, будем иметь

к=1

к

-0,2

Отсюда следует утверждение: при любом а с условием 0 < а < 1 число сг) значений {ар}, р < N, подчиненных условию {ар} < а, выразится формулой

Fa(N, а) = an(N) + Ra(N), Ra(N) « N1+£ + ± + N~0'2) .

В частности, если a - иррациональное число с ограниченными неполными частными, то можно выбрать q таким, чтобы оно было порядка л/N. В этом случае в проблеме распределения дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из интервала малой длины, то есть для Fa(N, H, а) - количества членов последовательности {ар} таких, что N — H < р < N и {ар} < а, имея в виду, что Fa(x, г/, а) = Fa(x, a)—Fa(x—y, а), справедлива асимптотическая формула

Fa{N, Я, а) = а(тт(А0 - 7t(N - H)) + О (TV4/5+£) , являющаяся нетривиальной при

ê+e

Н > №

4 ,

Для величин Н, порядок которых меньше порядка и произвольных

а вопрос распределения дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из короткого интервала (ТУ — Н, ТУ], оставался открытым.

Вместе с «решетом Виноградова» основу оценки (3) также составляют нетривиальные оценки тригонометрических сумм вида

W(x) =

k<K

^^ а(т) ^^ b(n)e(akmn)

Fi<m<F2 Gl<n<G2

mn< i

a в . .

а = - + —, {a,g) = 1, q q2

где а(т) и Ь(п) - произвольные комплекснозначные функции, К, F, С -натуральные, F<F1<F2<2F, С < Сх < С2 < 2С.

И.М. Виноградов при сведении задачи о распределении дробных частей {ар} к оценке тригонометрических сумм Ук{-/V)» как в других подобных задачах, воспользовался своим методом, основой которого является лемма «о стаканчиках» ([17], стр. 18 - 20).

Диссертация состоит из двух глав.

Первая глава состоит из трёх параграфов и посвящена нетривиальной оценке сумм модулей коротких двойных тригонометрических сумм и оценке сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами.

Первый параграф носит вспомогательный характер, где приведены известные леммы, которые используются в последующих параграфов этой главы. В этом параграфе также с помощью известной теоремы о попадании простых чисел в интервале малой длины, принадлежащей Р. Бакеру и Г. Харману [42], доказана:

ЛЕММА 1.6 При у > Ж0-534 справедливо соотношение

Второй параграф посвящён оценкам сумм модулей коротких двойных тригонометрических сумм вида

х—

С!<п<С2 х—у<тп<х

получающиеся из \¥(х) заменой условия тп < х на условие х — у < тп < х, где л/х < у < хЛ?~1, ££ — \пхд, а именно оценкам сумм \¥(х, у), в которых имеется «длинная» сплошная сумма (теорема 1.1) и суммы, составляющие двойную сумму, «близкие» по порядку (теорема 1.2). Сформулируем результаты первого параграфа.

ТЕОРЕМА 1.1 Пусть в сумме ]¥(х,у) выполняются условия: Р < у, К <у, 1 <д<Ку,

(

Ь<2 КГ

\

Е Е к™)1

V

г=тк, 1<к<К Р<т<

/

са - абсолютная постоянная. Тогда при Ь(п) = 1 справедлива оценка

Ку (- +-) ^^, если д< АКР; \Ч У)

У/(х\у) <С <

если д > АКР.

следствие 1.1.1. Пусть А - абсолютная постоянная, тогда, при Л^>2А+са+1 < д < КуЛ?~2А~Са~1 и у > Р££'2А+С°+1; справедлива оценка

к<К

а{т) ^^ е(актп)

С1<п<С2 х—у<тп<х

<

теорема 1.2 Пусть в сумме \¥(х,у) выполняются условия: Р < у, К<у, 1< д<Ку2х~\

С1<п<С2

са и сь - абсолютные постоянные, т\ — 0 или Р < т\ < 2Р. Тогда справедлива оценка

/1 Р х2Р~2^У

Ку[- + - + -2-

\9 У У )

2 , если д <

И'(х,у) < <

( дх х2Р~2^У кУ\ТГ-* +-5--* > еслид>

К у2

У

2Ку С '

2 Ку в '

СЛЕДСТВИЕ 1.2.1 Пусть А - абсолютная постоянная, тогда при выполнении одного из следующих условий:

С£>2А+Са+Сь \ ОКи

^4Л+2са+2сь+4) - \ и £>2са+2сь+4А+4 < д < .

х£>2 А+са+сь 2 Ку Ку2

гг. у >--- и -д- <д<

следует оценка

х^>2са+2сь+4А+А '

к<К

У^ а(ш) ^^ е(актп)

в1<п<в2 х—у<тп<х

<

Ку

Третий параграф является приложением второго параграфа и посвящён выводу нетривиальных оценок сумм модулей коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами.

ТЕОРЕМА 1.4 Пусть К, Н, N и д - натуральные числа, К < Н, А - абсолютная постоянная, ££ = \riNg, а - вещественное и

а = - + -2, (а, «) = 1, д д2

N

Тогда, при Н » ДГз^4А+16 справедлива оценка

к

к= 1

^^ А(п)е(акп)

ЛГ-Я<п<Л^

<

кя

Доказательство теоремы 1.4 проводится методом оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М. Виноградова в сочетании с методами работ [43, 44, 45] и его основными моментами являются:

• замена короткой тригонометрической суммы с простыми числами на короткие кратные тригонометрические суммы, то есть применение леммы 1.2 и представление Зк{№,Н) в виде;

к

ЗДАГ, Я) = Е|-2&(А0 + 52(А:)|,

к=1

т<у/М М-Н<тп<М

£>2(к) = Е Мш1) Е Е е(а/ст177г2П1П2).

т,1<л/Ш т2<\/ЛГ П1 М-Н<т1т2п1п2<М

• Представление Я) | в виде суммы коротких кратных тригонометрических сумм вида

к к

\БК(М, Я)| « Е \Siik, М, ЛГ)| + Е М, АГ)|,

/с=1 к=1

3\(к, М, = ^Г^ 1пп е(актп),

М1<тп<2М1 м1<п< 2лгх

N-H<mn<N

52(А;,М,ЛГ) = Е М77^) Е Е Е ^(аЛт^пхПг),

М1<т1<2М1 М2<т2<2М2 [Лстн^Л^ и2<п2<2М2

ТУ — Н<т.1 тп2П\ n2<N

где Мх > М2, > ТУ2;

Рассмотрим следующие возможные значения параметра Л^: Л^ > ; ЛГзЛГ-1 < < ТУз ; Л^ < .

• В случае ТУх > ТУз в сумме М, ТУ) сплошное суммирование по щ является длинным и представляя ¿2(к, М, ТУ) как сумму не более трёх

сумм вида

52(/г, М, ТУ, F) = ^ а(т) ^ е{актп)

— ЛГ-Н<тп<.ЛА

С/1<п<2Л?1 М-Н<тп<Ы

и применим следствие 1.1.1 теоремы 1.1 к сумме

к

• В случаях ТУ1ТУ2-1 < ТУх < ТУз; ТУ1 < ТУзТУз"1 сумму 520,М,ТУ) представим в виде суммы не более четырёх двойных сумм, составляющие суммы которых «близки» по порядку. Суммируя эти двойные суммы по всем к, 1 < к < К, оценим воспользовавшись следствием 1.2.1 теоремы

Следствием теоремы 1.4 и леммы 1.6 является теорема 1.5, которая во второй главе прилагается при выводе асимптотической формулы в проблеме распределения дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из интервала малой длины.

ТЕОРЕМА 1.5 Пусть К, Н, ТУ и ц - натуральные числа, К < Н, А - абсолютная постоянная, <5? = \riNq, а - вещественное и

1.2.

а = - + 4 М = 1,

а =

-4Л-20

Тогда при Н ТУз^4Л+16 справедлива оценка

к=1 Ы-Н<р<М

Вторая глава состоит из трёх параграфов и посвящена изучению распределения дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из интервала малой длины. Первый параграф носит вспомогательный характер, где приведены известные леммы, которые используются в последующих параграфах.

Пусть а - вещественное число, х > xq > 1, у > ж0 534, 0 < а < 1. Вводим следующие обозначения и понятия:

• Fa(x,y,a) - обозначает количество членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х и {ар} < а ;

• Fa(x, у, fi, и) - обозначает количество членов последовательности {ар} таких, что х — у<р<х и ц < {ар} < v, причём 0 < /л < v < 1, то есть

называется отклонением членов последовательности {ар} при х — у < р < х, если р принимает значения из интервала малой длины (х - у, х];

• последовательность {ар} таких, что х — у < р < х и {ар} < а называется равномерно распределенной по модулю единица, если при у —> оо выполняется соотношение

Fa{x, У, M, v) = Fa(x, у, и) - Fa(x, у, /л);

• величина

D (х, у) = sup 0<ii<i/<l

F(x,y,fj.,v) У

D(x,y) = o( 1).

Основным результатом второго параграфа второй главы является теорема 2.1 о сведении задачи о распределении дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из интервала малой длины (х — у, х] к оценке сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами Ук{х,у).

ТЕОРЕМА 2.1 Пусть у > ж0-534, ^ — \пх, А > 1 - абсолютная посто-я/и/ная/, М > и М\ = М тогда для Ра(х,у,ст) - количество

членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х и {ар} < о, справедлива следующая асимптотическая формула

Ра(х,у,а)-а(тг(х) - тг(ж - у)) < ^^ + тах (У^Ас^ 5

где 7г(х) - количество простых чисел, не превосходящих числа х.

Из теоремы 2.1 для Ра(х, у, ц, и) - количество членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х и /и < {ар} < и, причём 0 < ¡л < и < 1, получим:

СЛЕДСТВИЕ 2.1.1 При выполнении условий теоремы 2.1 справедлива следующая асимптотическая формула

Ра(х,У, /X, и)-(и - ц){ф) - тг(х - у)) < ^^ + ШвХ •

Из следствия 2.1.1 для отклонения

Иа(х, у) = эир

0</х<1/<1

Р{х V)

7г(х — у)- ■к(х)

членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х, находим:

Следствие 2.1.2 При выполнении условий теоремы 2.1 справедлива дующая оценка

и*{х,у) « + тах ) ■

еле-

Понятие равномерного распределения значений числовых последовательностей на отрезке ввёл в математику Г. Вейль [7]. Он заложил основы теории равномерного распределения, которая получила дальнейшее развитие в теории чисел, в теории функций, классической механике. В [46, 47] было введено понятие равномерной распределенности для дробных частей {атп}, при условии, что х — у<т<хи доказано, что если а — иррациональное число, тогда последовательность {ат2}, х — у < т, < х при у > 1п3ж, у —> оо является равномерно распределённой по модулю единица.

Мы вводим критерии Г. Вейля о равномерном распределении дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из интервала малой длины.

Из следствия 2.1.2 получаем следующий критерий равномерной распределённое™ по модулю единица для последовательности {ар} при условии, что аргумент р принимает значения из интервала малой длины (х — у, х].

Следствие 2.1.3 Последовательность {ар} таких, что х — у < р < х, является равномерно распределённой по модулю единица, при у —У оо справедлива оценка

Как мы уже отмечали, если а - иррациональное число с ограниченными неполными частными, то из теоремы 1.3 И.М. Виноградова следует асимптотическая формула ( следствие 1.3.2 ) в законе распределения дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из интервала малой длины

(ж — у, х], являющиеся нетривиальной при

i+r

у »

а для величин у, порядок которых меньше порядка х^ и произвольных а, вопрос распределения дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из короткого интервала (х — у, х] оставался открытым.

Теорема 1.5 о нетривиальной оценке сумм коротких линейных тригонометрических сумм с простыми числами Vk(N, H) при H ДГз Jzf4j4+16 в сочетании теоремы 2.1 о сведении задачи о распределении дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из интервала малой длины (х — у, х] к оценке Ук(х,у) позволила доказать теорему 2.2 о законе распределения дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из короткого интервала (х — у, х] для более коротких интервалов и для всех иррациональных а и рациональных а с большими знаменателями.

теорема 2.2 Пусть х, у и q - натуральные числа, А > 3 - абсолютная постоянная, — \nxq, а - вещественное и

+ (a,q) = 1, J^+20 < g < ^-4Л-20 q q х

Тогда для Fa(x, у, а) - количество членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х и {ар} < а, при у x%Ji?4A+16 справедлива следующая асимптотическая формула

Fa(x, у, а) = а(тг(х) - тг(х - у)) + О {j^j) ■

Из доказанной теоремы 2.2 для Fa(x, у, /х, и) - количество членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х и < {ар} < и, причём

0<м<^<1, воспользовавшись соотношением

Fa(x, у, ц, и) = Fa(x, у, и) - Fa(x, у, //),

получим следующее утверждение:

СЛЕДСТВИЕ 2.2.1 Пусть х, у и q - натуральные числа, А > 3 - абсолютная постоянная, jSf = ln xq, а - вещественное и

а = - + (a, q) = 1, ^4Л+20 < q < q q x

Тогда для Fa(x,y, ¡л, и) npw у справедлива следующая асимп-

тотическая формула

Fa(x, у, д, и) = (и- ц){-п{х) - ж(х — у)) + О (jgz) ■

Из следствия 2.2.1 для отклонения

Fa{x,y,fi,i/)

Da(x,y)= sup 0<р<1/<1

(у-v)

7г(ж — у) — 7г(ж)

членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х, получаем следующее утверждение:

следствие 2.2.2 Пусть X, у и q - натуральные числа, А > 3 - абсолютная постоянная, ££ = 1п xq, а - вещественное и

а = - + 4, (а,д) = 1, ^4Л+20 < д < q q¿ х

Тогда для Оа(х,у) при у справедлива следующая оценка

Da{x,y) <С

7г(х) — 7г(х — у)

Из следствия 2.2.2 и теоремы Р. Вакера и Г. Хармана о правильном порядке число простых чисел в интервале малой длины (х — у, х], у > ж0-534 (лемма 1.5 ) получаем следующий критерий равномерной распределённости по модулю единица для последовательности {ар} при условии, что аргумент р принимает значения из интервала малой длины (х — у,х].

СЛЕДСТВИЕ 2.2.3 Пусть х, у и д - натуральные числа, А > 3 - абсолютная постоянная, ££ — Ъ\хд, а - вещественное и

а = - + (а, д) — 1, ^4Л+20 < д < д д1 х

Тогда последовательность {ар} таких, что х — у < р < х при у » х%Л?4А+16, у —> оо является равномерно распределённой по модулю единица.

СЛЕДСТВИЕ 2.2.4 Пусть х, у и д - натуральные числа, А > 3 - абсолютная постоянная, ££ — \пхд, а - вещественное и

а = - + (а, д) = 1, < д < .

д дг х

Тогда для Ра(х,у, а) - количество членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х и {ар} < а, при у справедлива следующая

асимптотическая формула

Из доказанного следствия 2.2.4 для Ра(х,у,ц, и) - количество членов последовательности {ар} таких, что х — у < р < х и ¡1 < {ар} < и, причём О < [1 < и < 1, получим:

Следствие 2.2.5 При выполнении условий теоремы 2.2 справедлива следующая асимптотическая формула

Еа(х, у, ц, и) = к £ + О ^ .

Глава 1

Суммы коротких тригонометрических сумм с простыми числами

1.1. Вспомогательные леммы

ЛЕММА 1.1. Пусть H и у произвольные целые числа, H > 1. Тогда справедливо соотношение

у+н / 1 \

Е е(ах) < min 2ÏHîJ ' "а" = min 1 ~ ^^ '

Доказательство см. [17].

Лемма 1.2. Пусть f(n) — произвольная комплекснозначная функция, и < х, г >1,

d\n, d<u

Тогда имеет место тождество:

2>(п)/(п) =

п<х

г

а;=1 т1<и т,к<и ть\ пк

ГП1---ГПкП1---Пк<Х

+ (-1)г Е л(п1) • • • Е л(Пг) ЕЛН/(П1' • •ПгГП)•

П1>М пг>и тп

Ш1---ТПкТ11---Пк<Х

Доказательство см. [44]. лемма 1.3. . При х >2 имеем

^^(п) «^(Ь^-1, А = 1,2.

п<х

Доказательство см. [48].

ЛЕММА 1.4. При вещественном а, подчинённом условиям

а =- + 4, (а,Я) = 1, 1<д<АГ, |0| < 1, 9 Г

а) для суммы

9+я' , 1 ч

имеем неравенство

У9 < ?7 + д1пд,

а для суммы имеем неравенство

Доказательство см. [17], стр. 61.

Лемма 1.5. Пусть у > ж0-534, тогда справедлива оценка

У <С 7т(х) - 7г(х - у) <С У

1п х 1п х

Доказательство см. [42].

ЛЕММА 1.6. При у > ж0-534 справедливо соотношение

У2

Ее(акр) — —Мп)е(акп) С — „ . ^ у 1п х ^ 4 у х 1п х

х—у<р<х х—у<п<х

доказательство. Воспользовавшись условием х — у < р < ж, получим

+ = 1 + * > Ых) = —Ц-

тж тж у 1пж

При |и| <0,5, пользуясь соотношением

1п(1 +гх) <С

найдем

г.

. . 1п(1 + ^) ж -р у 1п ж ж 1п ж ж 1п ж

Воспользовавшись этой формулой, найдём

Е е(акр) = Е -гр(п)) е(акр) =

х-у<р<х х—у<р<х ^ '

= Е Нп)е{акп) - к{х,у),

х—у<п<х

= |— е(акрг) + ^^ гр(п) е(акр)

х-у<рг<х Х—у<Р<Х

г>2

« Е 1 + -г- Е к<

^—' ж 1п ж ■'

х-у<рг<х Х—у<Р<Х

г> 2

^ у^ у^ г | 0(ж) - -

г ^ { ^ Ж Ж

2<г<Ьа; {/х=у<р<1/х

Пользуясь неравенством

У У

< -ч «

ж1-? V®

и при г/ > х0-534 леммой 1.5, получим

г>/ ^ ^ У2 /?(ж, у) <С —н--—я— <С

л/ж ж 1п ж ж 1п ж Лемма доказана.

1.2. Оценка сумм коротких двойных тригонометрических сумм

Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М. Виноградова позволил ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одной из проблем является распределение дробных частей {ар}, в которой он [17, 19] получил намного более точную оценку тригонометрической суммы, чем в общем случае распределения дробных частей {апрп + ... + а\р}

и ее основу составляют нетривиальные оценки тригонометрических сумм вида

W{x) = £

к<К

а(т) ^^ Ъ(п)е{актп)

Fi<m<F2 G!<n<G 2

mn<x

где а (га) и 6(п) - произвольные комплекснозначные функции, х - вещественное число, x>xo>0, К, F, G - натуральные,

F <F1<F2<2F, G < Gi < G2 < 2G,

а - действительное число,

а 0 /41

а = - + -о> = 0 < q <

q qz

х.

Этот параграф посвящен изучению коротких тригонометрических сумм

вида

W{x,y) = Y]

k<K

а(т) ^^ b(n)e(akmn)

Fi<m<F2 G!<n<G2

х — у<тп<х

которые из Ж (ж) получаются заменой условия тп < гс на условие х — у < тп < х, где у/х < у < , = 1пжд.

Более конкретно в этом параграфе получены оценки сумм ]№(х,у), в которых имеется

• «длинная» сплошная сумма (теорема 1.1);

• суммы, составляющие двойную сумму «близкие» по порядку (теорема 1.2).

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть в сумме W(x, у) выполняются условия: F < у, К <у, 1 <q<Ky,

/ V

t<2KF

Е Е к™)1

v

fc=mfc, l<fc<K" F<m<2F

< KFJfCa,

(1.2.1)

/

ca - абсолютная постоянная. Тогда, при b(n) = 1; справедлива оценка

W{x,y) <

+ eaiuq<4KF;

\Я У)

у У Ку

если q > AK F.

Доказательство. При /^Сп > х или ^2(?2 < х - у сумма УУ(х,у) пустая, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что ^Сх < х и > х — У, также не ограничивая общности, будем также считать у < хЛ?~1. Имеем

№{х,у) = Е >

к<к

№{к) = ^^ а(т) ^^ е(актп) = ^^ а(т) ^^ е(актп),

С<п<С

F1<m<F2 Gi<n<G2

х—у<тп<х

где

G' = тах ГGi, ^ , G" = min (G2, . \ т J \ т/

Переходя к оценкам, и применяя к внутренней сумме лемму 1.1 об оценке линейной тригонометрической суммы, найдём

<

тк)\< е Km)i

F1<m<F2

е(актп)

<n<G"

< Е WmJImin^-G',^).

F<m<2F 4 Ii II/

Суммируя обе части последнего неравенства по к, 1 < к < К, воспользовавшись неравенством

п" г» ■ (п х\ (п х~у\ / х Х~У У ^ у

С — С — тт ( С!2; — — тах С\, - 1 <---= — < —,

\ т/ \ т ) т т т г

имеем где

Ф) = Е 1аМ1-

{=тк, 1 <к<К F<m<2F

Возводя обе части последнего неравенство в квадрат, применяя неравенство Коши, затем соотношение (1.2.1), последовательно найдём

\¥2(х,у)<( ]Г тт(!

2

У 1

2|М|.

<

Ь<2КР

У 1

^ тт

«ИР - 2М/

Рассмотрим отдельно случаи 2КР > 0, и 2КР < 0,

При 2КР > 0.5д, разбивая интервал изменения £ на не более

2КР л 2 КР л КР 6КР КР -+ 1 <-+ 4--=-<-

9 9 9 9 9

интервалов вида д < £ < д + д', я' < я, применяя утверждение а) леммы 1.4, найдём

ту тр 9+Я' /

Кг •( У 1

к^у Г/>С ЯЛ . (у 1 \

« ^ (| + « XV (^ + ^

д \Р ) \д у)

Следовательно при 2КР > О.Ъд, имеем

1 „са+1

1У(х,у)<Ку - + - &*.

У)

При 2КР < 0.5д, воспользовавшись утверждением б) леммы 1.4, получим \¥2(х, у) <С ^ -рр-З—- < • ^ = Куд^Са+1.

Следовательно, при 2КР < 0.5д, имеем

Теорема доказана.

СЛЕДСТВИЕ 1.1.1. Пусть А - абсолютная постоянная, тогда, при £>2А+са+1 < д < КуЛ*-2А-са-1 и у > р<£>2А+са+1 ^ справедлива оценка

к<К

^Г^ а(т) ^^ е(актп)

х—у<тп<х

Ку —-

Доказательство. При ^2л+со+1 ^ д < и у > вос_

пользовавшись первым утверждением теоремы 1.1, получим

/1 са + 1

]¥{х,у)<^Ку - + -

У)

« КУ ^2Л+Сд+1 + ^2Л+са+1) & 2 «

А при д > АКР, воспользовавшись вторым утверждением теоремы 1.1, найдём

"<»■ й ««у Л*4"«*' ^¡^Ж^

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть в сумме ]¥(х,у) выполняются условия: Р < у, С < у, К <у, 1< д<Ку2х~1,

£ |а(ш + т*)|2<^Са, Е (1.2.2)

са и сь - абсолютные постоянные, гп\ — 0 или Р < т| < 2Р. Тогда справедлива оценка

№{х,у) < <

г /1 ^ х2Р~2^V ^с,+еь 2^-у

- + - +-2- ^ * +\ еслид<—^-;

\Я У У )

КУ[ку2+—-) ^ 2 +1. еслид>—.

Доказательство. При ^Сх > х или Р2С2 < х - у сумма \У(х,у) пустая, поэтому не ограничивая общности, будем считать, что Р\С\ < х и > х — у. Отсюда и из условий Р < у, (7 < у следует, что х — у <

4< Ау2, то есть у у/х. Не ограничивая общности, будем также считать

у < х££ 1. Возводя \¥(х, у) в квадрат, и пользуясь неравенством Коши, найдём

(1.2.3)

\к<К

к<К

где

\Щк)?

Ь(п) ^^ а(гп)е(актп)

х—у<тп<х

<

< Е 1Кп)|» Е

С1<п<С2 С?1<гг<С2

а(т)е(актп)

1<т<Р2 -у<тп<х

Воспользовавшись условием (1.2.2), находим

а{т)е{актп)

С1<п<С2

Р1<т<Г2 х —у<тп<х

= ^ ^ а(т1) ^ а(т2)е(ак(т1 - т2)п).

х—у<т±п<х х—¡/<т2п<х

Разбивая сумму по Ш2 на три части, для которых соответственно выполняются условия 7712 < ГП1 , ГП1 = 777-2 и ГП2 > 7721 , ИМввМ

|И/(/с)|2 < + ИОД + ИЭД),

(1.2.4)

где

= ]Е а(ш1) ^^ а(ш2)е(о!А;(7П1 — 777,2)77.),

С1<П<С2 ^1<т1<Р2 Р1<т2<т1

х—у<т1П<х х—у<7тг2га<х

= Е Е 1а(т1)12'

х —У<ТП| П<1

ИЭД = ^^ Е ^(7774) Е а(^2)е(о;А;(7П1 — т2)п).

х—у<т^п<х

т 1 < т2 < х—у<гп2П<х

Воспользовавшись условием (1.2.2), оценим сумму W2(k):

г, / 11 \

<

w2(k)= е K^oi2 Е ^ Е iaM2(m+1)

Fi<mi<F2 G!<n<G2 Fi<mi<F2 ^ 1 '

x—y<min<x

^ (j +E ifl(mi)i2«(| +«y^Ca- (L2-5)

F1<mi<F2

Суммы и И-з(/с) оцениваются одинаково. Сделав в W%{k) суммирова-

ние по п внутренним, имеем

W3(k) — Е a(mi) Е а(ш2) ^^ е(а;А;(т1 — т2)п) =

Fi<mi<F2 rrii<m2<F2 Gj<n<G2

х — у<т^п^тп2п<х

= Е »(mi) Е a(ra2) Е e(a/c(mi - m2)n).

Fi<mi<F2 0<m2—mi<F2—mi G1<n<G2

x—y<m^n,m2n<x

В сумме по 777,2, полагая 777,2 — wii + , сделаем замену переменных и при этом, имея в виду, что

т2п — min х — (х - у) у у

777 = 7772 — 777,1 = - < - = - < —,

77 77 77 G

найдём

. Ws(k) = ^^ <2(7771) ^^ a(mi + 777) ^^ е(-актп),

Fi<mi<F2 0<m<min(F2—mi,2/G_1) G'<n<G"

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Исматов, Сайфулло Неъматович, 2015 год

Литература

[1] WEYL A. Foundations of algebraic geometry, Amer. Math. Soc. Colloquim Pub. 29 (1947).

[2] HUA L. K. Abschddotatzungen von Exponentialssumen und ihre Anwendung in der Zahlentheorie, Enzuyklopadie der mathemathischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bahd I. Teil 2. Heft 13. Teil 2. Teudner Verlagsgesellschaft, Leipzig. 1959.

[3] ХУА JIO-ГЕН Метод тригонометрических сумм и его применения в теории в теории чисел — М.: Мир. 1964. 190 с.

[4] HUA L.K. On exponential sums. Sei. Res. 1-4. [4]. L.K. Hua, On exponential sums, J. Chinese Math. Soc. 20 (1940), pp. 301 - 312.

[5] ХУА Ло-ГЕН. Аддитивная теория простых чисел // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1947. Т. 22. С. 1 - 179.

[6] ЧУБАРИКОВ В.Н. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Математические заметки. 1976. Т. 20. Вып. 1. С. 61 - 68.

[7] WEYL Н. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann. 1916. 77. s. 313 - 352.

[8] ВИНОГРАДОВ И.М. Об одной общей теореме Варинга // Математический сборник. 1924. Т. 31. №3-4. С. 490 - 507.

[9] ВИНОГРАДОВ И.М. О теореме Варинга // Известия Академии наук СССР, VII серия. Отделение физико-математических наук. 1928. Вып. 4. С. 393 - 400.

[10] ВИНОГРАДОВ И.М. Новое решение проблемы Варинга // Доклады Академии наук СССР. 1934. № 2. С. 337 - 341.

[11] ВИНОГРАДОВ И.М. О верхней границе С(п) в проблеме Варинга // Известия Академии наук СССР. Отделение физико-математических наук. 1934. № 10. С. 1455 - 1469.

[12] ВИНОГРАДОВ И.М. Новый вариант вывода теоремы Варинга // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1935. № 9. С. 5 - 16.

[13] ВИНОГРАДОВ И.М. Новый метод в аналитической теории чисел // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1937. Т. 10. С. 5 - 122.

[14] ВИНОГРАДОВ И.М. К вопросу о верхней границе для С?(п) // Известия Академии наук СССР. Серия маттематическая. 1959. Т. 23. № 5. С. 637 -642.

[15] ВИНОГРАДОВ И.М. Общие теоремы о верхней границе модуля тригонометрической суммы // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1951. Т. 15. № 2. С. 109 - 130.

[16] Виноградов И.М. Избранные труды — М.: Издательство АН СССР. 1952.

[17] ВИНОГРАДОВ И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм - М.: Наука. 1976.

[18] ВИНОГРАДОВ И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел — М.: Наука. 1980.

[19] Виноградов И.М., Карацуба A.A. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1984. Т. 168. С. 4 - 30.

[20] Линник Ю В. Оценки сумм Вейля // Доклады Академии наук СССР. 1942. Т. 34. № 7. С. 201 - 203.

[21] карацуба A.A. Проблема Варинга для сравнения по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ, 1962, Сер. 1, № 1, С. 28 - 38.

[22] карацуба A.A. Средние значения модуля тригонометрической суммы // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1973. Т. 36. № 6. С. 1203 - 1227.

[23] Архипов Г.И. О среднем значении сумм Г. Вейля // Математические заметки. 1978. Т. 23. № 6. С. 785 - 788.

[24] Архипов Г.И., Карацуба A.A. Новая оценка интеграла И.М.Виноградова // Известия Академии наук СССР, Серия математическая. 1978. Т. 42. № 4. С. 751 - 762.

[25] Стечкин С.Б. О средних значениях модуля тригонометрический суммы // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1975. Т. 134. С. 283 - 309.

[26] коробов Н.м. о тригонометрических суммах // Доклады Академии наук СССР. 1979. Т. 245. № 1. С. 14 - 17.

[27] коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения — М: Наука. 1989. 240 с.

[28] соколинский В.З. О теореме о среднем при малом числе переменных // Известия ВГПИ. 1979. т. 201. с. 45 - 55.

[29] тырина О.В. Новая оценка тригонометрического интеграла И.М.Виноградова // Известия Академии наук СССР. 1987. т. 51. № 2. С. 363 - 378.

[30] архипов Г.И. Оценки двойных тригонометрических сумм // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1976. Т. 142. С. 46 - 66.

[31] АРХИПОВ Г.И., ЧУБАРИКОВ В.Н. О кратных тригонометрических суммах // Доклады Академии наук СССР. 1975. Т. 222. № 5. С. 1017 - 1019.

[32] архипов Г.И., чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1976. Т. 40. С. 209 - 220.

[33] ЧУБАРИКОВ В.Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле // Доклады Академии наук СССР. 1976. Т. 227. С. 1308 - 1310.

[34] ЧУБАРИКОВ В.Н. Асимптотическая формула среднего значения кратной тригонометрической суммы // Математические заметки. 1978. Т. 23. № 6. С. 799 - 816.

[35] архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических суммах // Доклады Академии наук СССР. 1980. Т. 252. № 6. С. 1289 - 1291.

[36] Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1980. Т. 44. С. 723 - 781.

[37] Архипов Г.И., Карацуба A.A., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука. 1987. 368 с.

[38] чубариков в.н. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // Доклады Академии наук СССР. 1984. Т. 278. № 2. С. 302 - 304.

[39] чубариков в.н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1985. Т. 49. № 5. С. 1031 - 1067.

[40] чубариков В.Н. Об одновременном представлении натуральных чисел суммами степеней простых чисел // Доклады Академии наук СССР. 1986. Т. 286. № 4. С. 828 - 831.

[41] чубариков В.Н. Многомерная аддитивная задача с простыми числами // Доклады Академии наук СССР. 1986. Т. 290. № 4. С. 805 - 808.

[42] baker R., Harman G. The difference between consecutive primes // Proc. London Math. 1996. Soc. 72. pp. 261 - 280.

[43] paxmohob 3.x. Средние значения функции Чебышева // Доклады Российской академии наук. 1993. Т. 331. № 3. С. 281 - 282.

[44] РАХМОНОВ 3-Х. Теорема о среднем значении ф(х, х) и ее приложения // Известия Российской академии наук. Серия математическая. 1993. Т. 57. № 4. С. 55 - 71.

[45] рахмонов Ф.З. Оценка квадратичных тригонометрических с простыми числами // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. 2011. № 3. С. 56 - 60.

[46] рахмонов З.Х. Короткие тригонометрические суммы Г. Вейля // Ученые записки Орловского университета, серия естественные, технические и медицинские науки. 2012. № 6. Ч. 2. С. 194 - 203.

[47] рахмонов З.Х., озодбекова Н.Б., шокамолова Дж.А. о равномерном распределении по модулю единица значений квадратичного многочлена, аргумент которого принимает значения из короткого интервала // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2013. Т. 56. № 4. С. 261 - 264.

[48] марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // Доклады Академии наук СССР. 1939. Т. 22. № 7. С. 391 - 393.

[49] Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чувариков В.Н. Лекции по математическому анализу. — М.: Дрофа. 2003.

[50] Huxley M.N. On the differences between consecutive primes // Invent, math. 15. (1972). pp. 164 - 170.

[51] РАХМОНОВ З.Х., РАХМОНОВ Ф.З. Сумма коротких двойных тригонометрических сумм // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2013. Т. 56. № 11. С. 853 - 860.

[52] РАХМОНОВ З.Х., РАХМОНОВ Ф.З., ИСМАТОВ С.Н. Оценка сумм коротких тригонометрических сумм с простыми числами //Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2013. Т. 56. № 12. С. 937 - 945.

[53] ИСМАТОВ С.Н. О распределении дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из короткого интервала // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 1. С. 9-14.

[54] РАХМОНОВ З.Х., ИСМАТОВ С.Н. Распределение дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из короткого интервала // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57. № 5. С. 347 - 350.

[55] ИСМАТОВ С.Н. О распределении дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из короткого интервала // Ученые записки Худжандского государственного университета им. академика Б. Гафурова. серия: естественные и экономические науки. 2014, № 2 (29) Ч. 1. С. 303 - 304.

[56] ИСМАТОВ С.Н. Распределение дробных частей {ар}, аргумент которого пробегает простые числа из короткого интервала. Вестник Таджикского Национального Универститета. 2015. Т. 57. 2. С. 347 - 350.