Асимптотическая формула в проблеме Эстермана четвёртой степени с почти равными слагаемыми тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Рахимов Алишер Орзухуджаевич

• Рахимов Алишер Орзухуджаевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Рахимов Алишер Орзухуджаевич

Обозначения

Введение

Общая характеристика работы

Краткое содержание диссертации

1 Короткие тригонометрические суммы Г. Вейля

1.1 Вспомогательные леммы

1.2 Поведение коротких тригонометрических сумм Г. Вейля в больших дугах

1.3 Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвёртого порядка в малых дугах

2 Асимтотическая формула в проблеме Эстермана четвёртой степени с почти равными слагаемыми

2.1 Формулировка результатов

2.2 Вспомогательные утверждения

2.3 Доказательство теоремы

Заключение

Литература

Обозначения

e(a) = e2nia = cos 2na + i sin 2na.

При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются тремя индексами: номер главы, номер параграфа, номер утверждения. c, ci, c2, • • • ,-положительные постоянные, не всегда одни и те же. £ -положительные сколь угодно малые постоянные. if(q) - функция Эйлера. ß(n) - функция Мёбиуса. Л(п) - функция Мангольдта. т(n) - число делителей числа n.

тг (n) - число решений уравнения x1x2 ...xr = n в натуральных числах

X1, X 2, . . . , X r

Запись A x B означает, что c1A < B < c2A.

При положительном A запись B = O (A) или B ^ A означает, что существует c > 0 такое, что |B| < cA. (a, b) - наибольший общий делитель чисел а и b. [x] - целая часть числа x. {x} - дробная часть числа x.

||x|| = min ({x}, 1 — {x}) - расстояние до ближайшего целого числа. L = ln xq.

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическая формула в проблеме Эстермана четвёртой степени с почти равными слагаемыми»

Общая характеристика работы Актуальность темы

Настоящая диссертация является исследованием в аналитической теории чисел, относящимся к области теории коротких тригонометрических сумм, и её приложениям к классическим аддитивным задачам с более жёсткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны. Исторически первыми примерами изучения подобных задач стали следующие исследования:

• Короткие тригонометрические суммы, которые возникают при решении аддитивных задач с почти равными слагаемыми, первым начал изучать И. М. Виноградов [1]. Он впервые для короткой линейной тригонометрической суммы с простыми числами, то есть для сумм вида:

_ а 1

Sk(а; х,у) = Л(п)е(апк), а = - + Л, |Л| <—, 1 < q < т,

х—у<п<х q q

при к = 1, используя свой метод оценок сумм с простыми числами, доказал нетривиальную оценку при

ехр(с(1п1пх)2) < q < х1/3, у > х2/3+е.

Затем С. Б. Хаселгров [2] получил нетривиальную оценку суммы 51 (а; х,у), у > х°, q - произвольное, и доказал асимптотическую формулу для тернарной проблемы Гольдбаха с почти равными слагаемыми, то есть для числа решений диофантова уравнения

N = Р1 + Р2 + Рз,

(1)

с условиями

Рг

N

з"

< Н, Н = N

в+е

п 63 ^ =64+ *

(2)

Это стало первой решённой аддитивной задачей с почти равными слагаемыми. Затем В. Статулявычус [3], Ж. Чаохуа [4, 5, 6, 7], Пан Чен-дон и Пан Чен-бьяо [8], Т. Жан [9] заменили показатель в соответственно на

279 91 13 2 5

308 +^ 96+^ 17 +^ 3+^ 8+

Наилучший результат в этой задаче принадлежит Ж. Чаохуа [10]. Он доказал, что диофантово уравнение (1) с условиями (2) разрешимо с

показателем

в = й+-

• Т. Жан и Дж. Лю [11, 12, 13, 14], получив нетривиальную оценку суммы Б2(а,х,у), доказали теорему Хуа Ло Гена о представимости достаточно большого натурального числа N, N = 5(шо^24) в виде суммы пяти квадратов простых чисел в случае, когда эти слагаемые почти равны. Они показали, что достаточно большое натуральное число N,

N = 5(шо^24), можно представить в виде

N = + ... + р2,

Рз

,11

< Н, Н > N 23 -

Т. Жан и Дж. Лю [13], воспользовавшись полученной оценкой суммы ), также показали, что достаточно большое натуральное число N можно представить в виде N = р1 + р2 + р3 с условиями

Рг

N

з"

< Н, г = 1, 2,

2

рЗ

N

з"

11

< Н, Н > N 23-

В 1938 г. Хуа [15], рассматривая проблему Варинга - Гольдбаха для кубов, доказал, что все достаточно большие нечётные натуральные числа являются суммой девяти кубов простых чисел. А. В. Кумчев [16] получил нетривиальную оценку суммы Sk(а; х,у) в малых дугах т(Р) при

> хе+£, в = 1 -

У ^ х

2к+3

и

Т = х1+2вР-1. Я Яо. [17],

воспользовавшись

оценкой Кумчева, доказал, что всякое достаточно большое нечётное натуральное число N можно представить в виде

р1 + р3 +... + р9 = N

Рг

< N 3 - 5Т +е.

1

• Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля вида

Т (а,х,у) = ^^ е(атп),

х-у<т<х

при п = 2, 3,4 в длинных дугах, были исследованы в работах [18, 19, 20, 21, 22]. Эти результаты были приложены при выводе асимптотических формул в следующих аддитивных задачах с почти равными слагаемыми:

в проблеме Эстермана [18, 23] о представлении натурального числа N > N0 в виде р1 + р2 + т2 = N, р1 и р2 - простые числа, т > 0 -

целое число, с условиями

Рг

N

з"

Н;

г = 1, 2,

2 N

т - "з

Н,

Н > N 4 1п2 N;

в кубической проблеме Эстермана [20, 24] о представлении натурального числа N > N в виде р1 + р2 + т3 = N, р1 и р2 - простые числа, т > 0 - целое число, с условиями

Рг

N

з"

Н;

г = 1, 2,

3 N т3 - 3

Н,

Н > N 6 1п3 N;

— в проблеме Варинга для кубов [25] о представлении натурального чис-

ла N > N в виде девяти кубов натуральных чисел хг, г = 1,9 с

условиями

Хг Л 9".

Н,

Н > N1 -30+е;

в проблеме Варинга для четвёртых степеней [26] о представлении натурального числа N > N в виде суммы семнадцати четвёртых сте-

пеней натуральных чисел хг, г = 1,17 с условиями

хг

Ж

17

Н,

Н > N1 -158+е;

в проблеме Варинга для пятых степеней [27] о представлении натурального числа N > N в виде суммы 33 пятых степеней натураль-

ных чисел хг, г = 1, 33 с условиями

хг

'К

33

Н,

Н > N5 - зао -

3

4

С.Ю.Фаткина [28] доказала асимптотическую формулу для числа решений диофантова уравнения N = р1 + р2 + [л/2р3] в простых числах р1,

Р2 , Р3 , с условиями

Рг

N

з"

< Н,

г = 1, 2,

[^2р3]

N

з"

<Н, ^>N5 1пс N.

П.З. Рахмонов [29, 30] при у ^ л/х получил равномерную оценку по параметру с для коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа вида

5с(а; х,у)= £ еН^

х- у<п< х

и доказал асимптотическую формулу в обобщении тернарной проблемы Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального числа в виде р1 +р2+[пс] = N в простых числах р1, р2 и натурального п, с условиями при

Рг

N

з"

<Н, г = 1, 2,

Г С! N

[п] -N

<Н, H>N1-1п2 N.

Актуальность и целесообразность диссертационной работы определяются тем, что в ней

• изучено поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида

Т (а,х,у)= £ е(атп),

х-у<т<х

в больших дугах;

• полученные результаты позволили найти асимптотическую формулу для количества представлений достаточно большого натурального числа в виде суммы трёх почти равных слагаемых, два из которых — простые числа, а третье является четвёртой степенью натурального числа. Следует отметить, что рассматриваемая последовательность является более редкой по сравнению с упомянутыми выше.

Цель работы.

Целью работы является изучение поведения коротких тригонометрических сумм Вейля в больших дугах, оценка таких сумм четвёртого порядка в малых дугах и их приложения к выводу асимптотической формулы в проблеме Эстермана четвёртой степени с почти равными слагаемым.

Методы исследования

Степень обоснованности полученных в диссертации научных результатов подтверждается строгими математическими доказательствами, полученными в результате применения современных методов аналитической теории чисел, а именно:

• метод оценки специальных тригонометрических сумм и интегралов Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона, оценки тригонометрических интегралов по величине модуля производных, оценки полных рациональных сумм Хуа Ло - кена;

• метод оценок тригонометрических сумм Г.Вейля;

• круговой метод Харди, Литлвуда и Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М. Виноградова.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми, они обоснованы подробными доказательствами и заключаются в следующем:

• изучено поведение коротких тригонометрических сумм Г. Вейля в больших дугах;

• найдена нетривиальная оценка коротких тригонометрических сумм Вей-ля четвёртого порядка в малых дугах;

• доказана асимптотическая формула для количества представлений достаточно большого натурального числа в виде суммы трёх почти равных слагаемых, два из которых — простые числа, а третье является четвёртой степенью натурального числа.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Её результаты и методика их получения могут быть использованы специалистами в области аналитической теории чисел.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации докладывались:

• XIV Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвящённая 70 летию со дня рождения С.М. Воронина и Г.И. Архипова, Саратов, 12 - 14 сентября 2016 года;

• XIII Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвящённая восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рыш-кова, Тула, 25 - 30 мая 2015 года;

• на семинаре отдела алгебры, теории чисел и топологии (2013 - 2016 гг.) и на общеинститутском семинаре (2014 - 2016 гг.) в Институте математики им. А. Джураева АН Республики Таджикистан;

• на семинаре кафедры алгебры и теории чисел Таджикского национального университета

• на международной конференции «Современные проблемы математического анализа, алгебры и теории чисел», посвященной 85-летию со дня рождения профессора Г.Б.Бабаева, Душанбе, 25 - 26 октября 2013 г.;

• на международной научной конференции «Современные проблемы теории функций и дифференциальных уравнений», посвященной 85-летию академика Л.Г. Михайлова, Душанбе, 17 июня 2013 г.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в восьми научных работах, список которых приведен в конце диссертации. В работах, написанных совместно с З.Х. Рахмоновым, соавтору принадлежат постановка задач и выбор метода доказательств результатов.

Структура и объём работы Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы. Общий объём работы 65 страниц. Список цитированной литературы включает 52 наименования.

Краткое содержание диссертации

Диссертационная работа состоит из введения и двух глав.

Во введении диссертации содержатся обзор результатов, относящихся к теме диссертации, а также формулируются основные полученные в ней результаты.

Первый параграф первой главы носит вспомогательный характер, где приведены известные леммы, которые применяются в последующих параграфах. Р. Вон [31], изучая суммы Г. Вейля вида

_^ — 1

Т(а, х) = ^^ е (атп), а = - + Л, д < т, (а, д) = 1, |Л| < —,

т<х д д

в больших дугах методом Ван дер Корпута доказал:

х

S (-, д)

Т(а,х) = I е (ЛГ) (И + О (д2+£ (1 + хп|Л|)2)

о

При условии, что а очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем д, то есть при выполнении условия

|Л| < 1 ., 1 1 " 2пдхп-1

он также доказал:

1

Т(а, х) = (-,д) / е (ЛГ) ^ + О (д2. д

о

При выводе асимптотических формул в аддитивных задачах с почти равными слагаемыми, к которым относится проблема Варинга, проблема Эс-термана, основным моментом наряду с круговым методом Харди-Литлвуда в варианте тригонометрических сумм И. М. Виноградова, является также поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида

__a 1

T(а; x,y) = ^^ e(amn), а = —Ь Л, (a,q) = 1, q < т, |А| <—,

x-y<m<x q q

в больших дугах и их оценка в малых дугах.

Поведение T(а; x, y) в больших дугах изучено в втором параграфе первой

главы и основным результатом является теорема 1.1, в которой упрощается

доказательство и уточняется основная теорема работ [32, 33]. ТЕОРЕМА 1.1. Пусть т > 2n(n — 1)xn—2y и А > 0, тогда при , имеет место формула

T(а, x, y) = ^^T(А; x,y)+ O(q1+£), q

а при {nAxn—1} > имеет место оценка

■ ^^ , 1_1 , __1 _1 1_n _1 ,

|T^,x,y)|^ q n lnq + min (yq n,A kx kq n).

2< k <n

СЛЕДСТВИЕ 1.1.1. Пусть т > 2n(n — 1)xn—2y, |А| < 2nqXn-1, тогда имеет место соотношение

T(а, x, y) = ^S(a, q)7(A; x, y) + O(q2+£). q

СЛЕДСТВИЕ 1.1.2. Пусть т > 2n(n — 1)xn—2y, 2nqXn-1 < |А| < qT, тогда имеет место оценка

т/ \ 1—/ -1 1—1 1-1\

T^,x,y) ^ q n lnq + min (yq n,x kqk n) .

2<k<n V /

Следствия 1.1.1 и 1.1.2 являются обобщением вышеуказанных результатов Р. Вона для коротких тригонометрических сумм Г. Вейля Т(а, х, у).

Доказательство теоремы 1.1 проводится методом оценки специальных тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона [34], оценки тригонометрических интегралов по величине модуля производных [35] и оценки полных рациональных сумм принадлежащей Хуа Ло-кену [36].

В третьем параграфе первой главы в малых дугах найдена нетривиальная оценка коротких тригонометрических сумм Вейля Т(а; х,у) четвёртой степени.

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть х > х0 > 0, у0 < у < 0,01х, а - вещественное число,

'7

-

а--

д

1

< -2, (-,д) = 1. д2

Тогда справедлива оценка

|Т(а; х, у) | < у (д-116 + у-16 1п116 д + у-1 д1161п11 д^ (1п у)

Доказательства теоремы 1.2 опирается на следующую лемму, доказательство которой в свою очередь проводится методом Г. Вейля.

ЛЕММА 1.9. Пусть х и у - вещественные числа, 1 < у < х,

Т(а; х,у)= е(ат4).

х-у<т<х

Тогда имеет место соотношение

|Т(а;х,у)|8 < 211у4 £ £ £

0<к<у0<т<у-к0<Ь<у-к-т

У^ е(24акг^т)

х-у<т<х-к—т—1

11„.7

+ 211у

Эстерман [37] доказал асимптотическую формулу для числа решений уравнения

Р1 + Р2 + т2 = N (3)

где р1, р2 — простые числа, т — натуральное число. Как мы уже ранее отмечали в работах [18, 23] эта задача исследована с более жёсткими условиями, а именно, когда слагаемые почти равны, и выведена асимптотическая формула для числа решений (2.1.1) с условиями

< Н; Н > N3 1п3 N.

Далее в работах [20, 24] асимптотическая формула выведена для более редкой последовательности с почти равными слагаемыми, то есть, когда в уравнении (2.1.1) квадрат натурального т заменяется на его куб при Н > N5^10. В второй главе, прилагая результаты предыдущих глав, а именно:

• теорему 1.1 о поведении коротких тригонометрических сумм Г. Вейля Т(а; х, у) в больших дугах;

• теорему 1.2 о нетривиальной оценке коротких тригонометрических сумм Г. Вейля Т(а; х,у) четвёртой степени в малых дугах,

доказываем теорему 2.1 об асимптотической формуле для ещё более редкой

последовательности с почти равными слагаемыми, то есть, когда в уравнении

(2.1.1) квадрат натурального т заменяется на четвёртую степень.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть N — достаточно большое натуральное число, I(^ Н) — число представлений N суммою двух простых чисел р1, р2 и

Рг

N

з"

< Н; г = 1, 2,

2 N

т

четвертой степенью натурального m с условиями

Рг

N

з"

< H, i = 1, 2,

4 N

m - У

< H,

-11 ^40

p(N,p) — число решений сравнения x4 = N (mod p). Тогда при H > N12 L40 справедлива асимптотическая формула:

I(N, H) =

л/3 S(N) H H2 ^

4-^L2

+ , S = П О

+

p(N,p)

(Р - 1)2

СЛЕДСТВИЕ 2.1.1. Существует такое N, что каждое натуральное число N > N представимо в виде суммы двух простых чисел р, р2 и четвёртой степени натурального т с условиями

N

Рг

11 40

< N12L^, i = 1,2,

4N

m - а/ -3-

3N1L40 27N12 L80 189L40 < 4\/3 32д/3 128л/3

+ 0, 9.

Доказательство теоремы 2.1 проводится круговым методом Харди, Литт-лвуда, Рамануджана в форме тригонометрических сумм И.М. Виноградова. Его основу, как уже отмечалось, составляют следствия 1.1.1, 1.1.2 теоремы 1.1 и теорема 1.2.

Автор выражает благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук, члену-корреспонденту Академии наук Республики Таджикистан, профессору З.Х. Рахмонову за постановку задач и внимание к работе.

Глава 1

Короткие тригонометрические суммы Г. Вейля

1.1 Вспомогательные леммы

Лемма 1.1. Пусть Н и у произвольные целые числа, Н > 1. Тогда справедливо соотношение

у+н , 1 .

У^ е(ах) < шт ( Н, ——гт ) , ||а|| = шт{а, 1 — а}.

х=у+1 ^ " " '

Доказательство см. [38].

Лемма 1.2. Пусть

а ^ , , . _.

а = - + ^, (а,д) = 1, Я > 1, |0| < 1. д я2

Тогда при в, и > 0, Р > 1 иммеем

5 ш1п(и 6(р + !)(с/+я 1п Я )-

17

Доказательство см. [38]. Лемма 1.3. При х > 2 имеем

£тг2(п) « х(1пх)г2-1

п<х

Доказательство см. [39]

Лемма 1.4. Пусть /(и) - действительная функция, /''(и) > 0 в интервале [а,Ь], а, в, £ произвольные числа с условиями а < /'(а) < /'(Ь) < в и 0 < £ < 1. Тогда

ь

£ е(/(п)) = £ J е(/(и) - + О(£-1 + 1п(в - а + 2)),

а<п<Ь а—е<Н<в+е а

где постоянная в знаке О является абсолютной. Доказательство см. [34].

Лемма 1.5. Пусть (а,д) = 1, д - натуральное число, Ь - произвольное целое число. Тогда имеем

■ЯМ) = £ е^^) « д1/2+£(Ь, д).

Доказательство см. [36].

Лемма 1.6. Пусть действительная функция /(и) и монотонная функция д(и) удовлетворяют условиям: /'(и) — монотонна, |/'(и)| > т > 0 и

|д(и)| < М. Тогда справедлива оценка:

ь

г м

д(и)е(/(и))^и « —.

а

Доказательство см. [1].

Лемма 1.7. Пусть при а < и < Ь вещественная функция /(и) имеет производную п - го порядка (п > 1), причём при некотором А > 0 выполняется неравенство А < |/(п)(и)|. Тогда справедлива оценка

е(/(и))^и < шт(Ь — а, 6пА п)

Доказательство см. [35].

Лемма 1.8. Пусть п > 3 - целое число и /(£) = ап£п+ап—1^п—1 + .. .+а1^ -многочлен с целыми коэффициентами, (ап,... ,а1,д) = 1, д - натуральное число. Тогда имеем

где

(д,/ («))| =

Е

к=1

< с(п)д

1—П

п

с(п) =

ехр(4п),

при п > 10;

ехр(п(А(п)), при 3 < п < 9.

А(3) = 6,1, А(4) = 5,5, А(5) = 5, А(6) = 4,7, А(7) = 4,4, А(8) = 4.2, А(9) = 4,05.

ь

Доказательство см. [35].

1.2 Поведение коротких тригонометрических сумм Г. Вей-ля в больших дугах

Р. Вон [31] изучая суммы Г.Вейля вида

__а 1

Т(а,х) = £ е (атп), а = - + А, д < т, (а,д) = 1, |А| <—,

т<х д д

в больших дугах воспользовавшись оценкой

5Ь(а, д) = £ е (а*-+-Ьк) « д1+*(Ь, д), (1.2.1)

принадлежащей Хуа Ло-кену [36], методом Ван дер Корпута доказал: Б (а, д)

х

Т(а, х) = Б(^,д) е (А£п) ^ + О (д1+е (1 + хп|А|)^ . Б(а,д) = Бо(а,д),

о

При условии, что а очень хорошо приближается рациональным числом со знаменателем д, то есть при выполнении условия

1

|А| <

2пдхп-1

он также доказал:

1

Т(а, х) = ХБ(а,д) / е (А£п) ^ + О (д2+е) . д

о

Этими оценками он воспользовался при выводе асимптотической формулы в проблеме Варинга для восьми кубов [40].

Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля вида

_^ а 1

Т(а; х, у) = ^^ е(атп), а = —Ъ А, д < т, (а, д) = 1, |А| < —,

х—у<т<х д д

(1.2.2)

получающиеся из Т(а, х) заменой условия т < х на условие х—у < т < х, в больших дугах при п = 2, 3,4 были исследованы в работах [18, 19, 21, 20, 22] и приложены при выводе асимптотических формул с почти равными слагаемыми в проблеме Варинга (для кубов и четвёртых степеней ) в [25, 26] и кубической задаче Эстермана в [24, 20]. Затем при произвольном фиксированном п сумма Т(а; х,у) была изучена в работах [32, 33]. Основным результатом этой работы является упрощение доказательства и уточнение основной теоремы работ [32, 33].

Теорема 1.1. Пусть т > 2п(п — 1)хп 2у и Л > 0, тогда при {пЛхп—1} < ^ имеет место формула

Т(а, х, у) = ^^Т(Л; х,у) + 0(д2+), д

а при {пЛхп 1} > имеет место оценка

|Т(а,х,у)|^ д1 п 1пч + шт (уд п,Л кх1 кд п).

2^ к<п

Следствие 1.1.1. Пусть т > 2п(п — 1)хп 2у, |Л| < 2 Хп-1, тогда имеет

место соотношение

у

Т(а, х, у) = ^(а, д)7(Л; х, у) + 0(д1+), д

0,5

у хт

„ 2

0,5

7(Л;х,у)= е(Л(х—2+ )^

Следствие 1.1.2. Пусть т > 2п(п - 1)х»—2у, 2»чХп-1 < |А| < , тогда

имеет место оценка

, л 1 1 / _1 1 1 1_1\

Т(а,х,у) ^ д п 1пд + шт (уд пкдк И .

2^к^» V /

Следствия 1.1.1 и 1.1.2 являются обобщением результатов Р.Вона [31] для коротких тригонометрических сумм Г.Вейля Т(а; х,у) вида (1.2.2).

Доказательство теоремы 1.1 проводится методом оценки специальных тригонометрических сумм Ван дер Корпута с применением формулы суммирования Пуассона [34], оценки тригонометрических интегралов по величине модуля производных [35] и оценки полных рациональных сумм (1.2.1), принадлежащей Хуа Ло-кену [36].

Доказательство теоремы 1.1. Пользуясь ортогональным свойством полной линейной рациональной тригонометрической суммы, находим

Т (а; х,у)= £ + Ат») £ 1

х—у<т<х ^ д ' к=1

k=m(modq)

= £ е (^) £ е(Ат») =

к=1 \ / х-у<т<ж

m=k(modq)

ч

м »ч 1 /Ь(к — т)

!> ^ Е е(Ат») -£ ч , у

к=1 4 7 х—у<т<х 1 6=1 4 7

1 4

Тб(А; ж,у)&(а,д), (1.2.3)

д 6=1

где

Т6(Л; х,у )= ^ е^Лтп — , Т (Л; х,у) = То (Л; х,у),

X —у<Ш<Х ^ Ч /

5ъ(а, д) = ^ + Ьк\ , я (а, д) = ^(а, д).

к=1 ^ д '

Через Я(а; х,у) обозначим часть суммы Т(а; х,у), которая определяется

соотношением (1.2.3), в котором отсутствует слагаемое при Ь = д, то есть

1 9—1

Я(а; х, у) = Ть(Л; х,у)$,(а,д). (1.2.4)

д 6=1

Имея в виду, что пЛхп—1 — {пЛхп—1} - целое число, представим Т6(Л; х,у) в виде

Тб(Л; х,у)= ^ е (/(т,Ь)),

х—у<т<х

/ (и, Ь) = Лип — (пЛхп—1 — {пЛхп—1})и — —.

Ч

Находим производную первого и второго порядка функции /(и, Ь):

Ь

/'(и, Ь) = пЛ(ип—1 — хп—1) + {пЛхп—1} — -,

Ч

/''(и,Ь) = п(п — 1)Лип—2 > 0.

Следовательно функция /'(и,Ь), и Е (х—у,х] является неубывающей, поэтому при всех и Е [х — у, х) и любом Ь, Ь =1, 2,...,д имеет место неравенство

/'(х —у,Ь) </'(и,Ь) < /'(х, Ь). (1.2.5)

Оценивая /'(х,Ь) сверху, имеем:

ЬЬ

/'(х, Ь) = {пЛхп—1} — ь< 1 — ь, (1.2.6)

Для оценки снизу /'(х — у, Ь) воспользуемся представлением

Ь

/'(х — у, Ь) = — пЛ (хп—1 — (х — у)п—^ + {пЛхп—1} — =

п 1 п 1 п 1

} Ч

п 1 Ь \к/^к „„п— 1—к„ к , гл „„п—1Л

= пЛ^ (—1)к Ск- 1хп—1—к ук + {пЛхп—1} — = к=1 д

п 1

= — п(п — 1)Лхп—2 у + пЛ —1)к 1хп—1—к ук + {пЛхп—1} —

к=2 д

Пользуясь монотонностью /'(и, Ь), условием т > 2п(п — 1)хп—2у и неравенством

п1

W = —1)к1хп—1—кук > 0, п > 3, 3х > (п — 3)у,

(_1 \к г^чк „„п—1 — к „.к

к=2

имеем

Ь

/'(и, Ь) </'(х, Ь) = {пЛхп—1} — ь < 1,

д

Ь

/'(и, Ь) >/'(х — у, Ь) = — п(п — 1)Лхп—2у + пЛ Ж + {пЛхп—1} — - >

д

, п 2 Ь п(п — 1)хп—2у Ь „ 1

> — п(п — 1)Лхп—2у — - >------- — - > — 1 + —.

д дт д 2д

Поэтому, применяя к сумме Ть(Л; х,у) формулу суммирования Пуассона, ( лемма 1.4 ) при а = — 1, в = 1, £ = 0, 5, получим

Тб(Л; х, у) = I(—1, Ь) + I(0, Ь) + I(1, Ь) + 0(1), (1.2.7)

X

I(М)=/ е(Л(и,Ь))^и, Д(и,Ь) = /(и, Ь) — йи.

х—у

Функция

Ь

/ (и, Ь) = пЛ(ип—1 — хп—1) + {пЛхп—1}---й

д

на отрезке и Е [х — у, х] является неубывающей функцией, поэтому

/'(х —у,Ь) < /(и, Ь) < /'(х, Ь),

что можно представить в виде

ь ь

{пАх»—1}---Н — п < / (и, Ь) < {пАх»—1}---Н, (1.2.8)

дд

П = п(п — 1)Аж» 2у — пАЖ < п(п — 1)Аж» 2у <

п(п — 1)ж» 2у 1

дт

< —. 2д

Далее, подставляя (1.2.7) в (1.2.3) и (1.2.4), найдём

1

1

ь—1 1 " ' " 1/11

—д

14—1 4 д

1

Т(а; х, у) = Т—1 + То + Т + О ^ £ |&(а, д)^ ,

\д 6=0 / Л ч—1 \

Я(а; ж, у) = Я—1 + Яо + Я + О ( д £ 1^6(«,д)П ,

(1.2.9)

(1.2.10)

Т^ = (Н,Ь)5б(а,д),

д 6=о

ч—1

Я = (Н,Ь)5б(а,д).

д

6=1

Пользуясь оценкой (1.2.1), оценим остаточный член: 1 1 1

д

£|&(а,д)|« д—2(Ь,д) = д—2^ 1 < д2+£т(д).

6=1 6=1 Оценим каждую сумму Т^ и Я отдельно.

Оценка Т и Я1. Полагая Н = 1 в (1.2.8), имеем

Ь

Ь

/1 (и, Ь) < {пАж }---1 < — < 0.

д

д

Оценивая интеграл по величине первой производной (лемма 1.6), имеем

|1 (1,Ь)| =

е(/1(и, Ь))^м

Отсюда и из (1.2.1), имеем

<7—1

х—у

<—1

д

« Ь

Я = ^1 (1,Ь)^6(а,д) «£

д

6=1

6=1

|^6(а,д)| Ь

<—1

(Ь,д)

«д 2+еЕ ^ «д

,2+2е

6=1

х

В случае b = 0, воспользовавшись неравенством

/i(k) (u, q) > n(n - 1)... (n - k + 1)Л(х - y)n - k > Лхп - k, k = 2,3,..., n,

оценивая интеграл I(1, 0) по величине k - ой производной (лемма 1.7), найдём

|1 (1,0)| < min (у,Л-кx1-.

2<k<n \ J

Отсюда и воспользовавшись оценкой |S(a, q)| ^ q1-k (лемма 1.5), с учётом оценки R1 получим

|/(1,0)||S (a,q)|

Ti < |Ri| + |J (1,0)||S(a,q)| << qi+* + min (yq-i, Л-kx1-kq-i)

q 2<k<n V /

Оценка Т—1 и Я—1. Полагая й = —1 в (1.2.8), имеем

/— 1(и, Ь) > {пЛхп—1} + ^ — п > ^.

Интеграл I(—1,Ь) также оценим по величине первой производной (лемма 1.6). Имеем

X

д

|1 (-1,b)| =

e(f-1(u, b))du

<

q - b

х—у

Отсюда, поступая аналогично случаю оценки Я1, получим

= ^ 1 ( — 1,Ь)5'5(а,д) « у1 |Я6(а,Ч)| « д 1 +£ у1 ^^ « д 2 +2£

— д д —Ь Ь

6=1 у 6=1 у 6=1

Т—1 < |Д—1| + 11 ( —1, 0)1|Я (а,д)1 « д 2+2£ + |Яб(а,д)| « д 2+2£.

— — д д

Оценка Я0. Если {пЛхп—1} < ^, то, полагая й = 0 в (1.2.8), имеем /о(и, Ь) < {nЛx"-1} — Ь < ^ < — ^ < 0.

д 2д 2д

Интеграл I(0, Ь), также оценивая по величине первой производной, найдём

|1 (0, Ь)| =

е(/о(п,6))^п

х-у

Я

« ь-

Поступая аналогично случаю оценки Я1, получим

^ = у! ДО^^Зб^ОЯ) ^б^З^ Я1 +е (Ь,Я) „ „2+2е

6=1 у 6=1 6=1

Отсюда, из оценок Л1 и Л_1 с учётом (1.2.10), получим первое утверждение

теоремы.

гя т При >

2-

Оценка Т0. При {пАхп 1} > 2-, определим натуральное число г соотно-

шением

г г + 1

— < {пАхп-1} < , 1 < г < 2я - 1.

2я - 1 J 2Я '

Отсюда, из неравенства (1.2.8) при Н = 0 и условия п < , найдём

ь г _ 2Ь — 1

/о(и, Ь) > {пАхп-1}---п >-2-, (1.2.11)

я 2Я

Ь г _ 2Ь +1

/о(и, Ь) < {пАхп-1} - Я < г " + . (1.2.12)

я 2я

Пусть г = 2г1 - чётное (1 < г1 < я -1). Отрезок суммирования 0 < Ь < я -1 в сумме Т0 разобьём на следующие три множества:

0 < Ь < г1 - 1, Ь = г1, г1 + 1 < Ь < я - 1,

соответственно в первом из которых правая часть неравенства (1.2.11) больше нуля, а в третьем правая часть неравенства (1.2.12) меньше нуля, то есть

т п 2г1 - 2Ь - 1 г1 - Ь Л 7

/0(и, Ь) > 2"^-> 0 < Ь < п - 1,

т п 2"1 - 2Ь + 1 "1 - Ь

/0(и, Ь) < 2_Ц_-< "1 + 1 < ь < я - 1.

Воспользовавшись этими неравенствами, оценивая интеграл 1(0,b) по величине первой производной, найдём

x

I(0,b)=y e(/c(u,b))du , b = Г1.

x У

В случае b = r1, оценивая аналогично оценке интеграла 1(1,0), найдём

|1 (0,r1)| < min (y, Л-kx1-k) .

2<k<n

Воспользовавшись этими оценками и оценкой |S(a,q)| ^ q1-k (лемма 1.5), получим

To = g 1 (0,b)Sb(°,q) « q-i g 9 + min (y, Л-ix1-k)

^ q ^ |r1 - b| 2<k<n V /

\ b==rl /

<

6=0

1_i 1 . / _i Л _i 1_n _i

^ q n In q + min yq n, Л k x k q n

2<к<п

Пусть теперь - = 2г1 + 1 - нечётное (0 < г1 < д — 1). Отрезок суммирования 0 < Ь < д — 1 в сумме Я0 разобьём на следующие три множества:

0 < Ь < г1 — 1, Ь = г1,г1 + 1, г1 + 2 < Ь < д — 1,

соответственно в первом из которых правая часть неравенства (1.2.11) больше нуля, а в третьем — правая часть неравенства (1.2.12) меньше нуля, то есть

2г1 + 1 2Ь 1 г1 Ь

Уо(и,Ь) >-2Ч-= 0 < Ь < Г1 — 1,

2г1 + 1 2Ь + 1 г1 Ь /0(и, Ь) < -1---< Г1 + 2 < Ь < д — 1.

Следовательно,

X

1 (0,Ь)=У е(/0(и,Ь))^и «^—"Ьу, Ь = -1 — 1,-1.

х — у

В случае b = ri — 1,ri, поступая аналогично предыдущей оценке I(0,ri) найдём

|1 (0,b)|^ min (y,A—kx1—M , b = r1, r1 + 1.

2<k<n \ J

Из этих оценок для I(0, b) получим

1 q—1

To < "I] II(0,b)||Sb(o,q)|<

q b=0

< q-

q—1

Ei-— + min (y, A—k x1—M

Г1 — b 2<k<n V /

ь=о, 11 1 /

<

1-l 1 • / _1 Л _1 1_n _l\

^ q1 n In q + min yq n ,A k x1 k q n .

2kn

Подставляя оценки для Х, Т_1 и Т0 в (1.2.9), получим второе утверждение теоремы.

Замечание. Случай А < 0 сводится к случаю А > 0, если формуле

(1.2.3) придадим форму

- <?-1 - <?-1

Т(а; х,у) = Тд-Ь(-А; - а^) = Ть(-А; - а,д).

д 6=0 q ь=о

1.3 Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвёртого порядка в малых дугах

При выводе асимптотических формул в аддитивных задачах с почти равными слагаемыми, к которым относится проблема Варинга, проблема Эстер-мана, основным моментом наряду с круговым методом Харди-Литлвуда в

l

n

варианте тригонометрических сумм И. М. Виноградова является также поведение коротких тригонометрических сумм Г.Вейля вида

__а 1

Т(а; х,у) = е(атп), а = —Ъ А, (а,д) = 1, д < т, |А| <—,

х—у<ш<ж д д

в больших дугах и их оценка в малых дугах. Поведение Т(а; х, у) в больших дугах изучено в предыдущем параграфе. В этом параграфе воспользовавшись методом Г.Вейля, найдём нетривиальную оценку короткой тригонометрической суммы Вейля четвёртого порядка.

Лемма 1.9. Пусть х и у - вещественные числа, 1 < у < х,

Т(а; х,у)= е(ат4).

х—у<т<х

Тогда имеет место соотношение

|Т(а;х,у)|8 < 2"у4^ £ £

0<к<у 0<г<у—к0<Ь<у—к—г

У^ в(24акг^т)

х—у<т<х—к—г—Ь

+ 211у7.

Доказательство. Преобразуем |Т(а; х, у)|2. Имеем |Т(а; х,у)|2 = £ е(а(т4 — п4)) =

х—у<т,п<х

£ е(а(

х—у<т<п<х

44

е(а(т — п

)) + Е е(а(

х—у<п<т<х

4 4

е(а(т — п

))+ Е 1 <

х—у<т<х

2

=2

£ £ е(а(п4 — т4))

х—у<т<х т<п<х

+у=

£ £ е(а((т + к)4 — т4))

х—у<т<х 0<к<х—т

Отсюда, воспользовавшись тождеством

+ у.

(т + к)4 — т4 = к/1(т) + к4, /1 (т) = 4т3 + 6кт2 + 4к2т,

22

найдем

|Х(а;х,у)|2 < 2

Е е(ак4) Е е(ак/1(т))

0<к<у х-у<т<х-к

+ у <

< 2^ Ж(к)| + у, Ж(к)= £ е(аЛ/1 (т)).

0<к<у х-у<т<х-к

Возводя обе части полученного неравенства в четвёртую степень, затем дважды последовательно воспользовавшись соотношением (а + Ь)2 < 2а2 + 2Ь2 и неравенством Коши, найдём

/

\

|Т(а; х,у)|8 < (2 Е (к)| + у I <

0<к<у

23 ( Е (к)| I +2у2

0<к<у

<

/

< (23у £ (к)|2 + 2у2 1 < 27у2 I £ |Ж(к)|2| + 23у4 <

0<к<у / \0<к<у

< 27у3 ^ (к)|4 + 23у4.

0<к<у

(1.3.1)

Преобразуем (к)|2. Имеем

(к)|2 = Е е(ак(/1(п) - /1(т))) <

х-у<т,п<х-к

2

2

=2

Е Е е(ак(/1(п) - Л(т)))

х-у<т<х-к т<п<х-к

+ у =

Е Е е(ак(/1(т +г) - /1(т)))

х—у <т<х—к 0<г<х-к-т

Е Е е(ак(/1(т +г) - /1(т)))

0<г<у-к х-у<т<х-к-г

+ у =

+ у.

2

4

2

2

Здесь воспользовавшись тождеством

/1(т + г) - /1(т) = 4((т + г)3 - т3) + 6к((т + г)2 - т2) + 4к2г =

= 4(3т2г + 3тг2 + г3) + 6к(2тг + г2) + 4к2г = = 12т2г + 12т(кг + г2) + 4к2г + 6кг2 + 4г3 = = 12г/2(т) + 4к2г + 6кг2 + 4г3, /2(т) = т2 + т(к + г),

находим

(к)|2 < 2

Е е(ак(4к2г + 6кг2 + 4г3)) ^ е(12акг/2(т))

0<г<у-к х-у<т<х-к-г

< 2 Е (к,г)| + у,

0<г<у-к

Ж (к, г) = Е е(12акг/2(т)).

х-у<т<х-к-г

+ у <

(1.3.2)

Далее воспользовавшись тождеством

/2(т + ^ - /2(т)

= (т + ¿)2 + (т + £)(к + г) - т2 - т(к + г) = = 2т£ + ¿2 + (к + г )£,

и поступая аналогично как в случае W(к), найдём:

(к,г)|2 < 2

Е Е е(12акг(/2(п) — /2(т)))

х—у<т<х—к—г т<п<х—к—г

=2

=2

=2

Е Е е(12акг(/2(т + *) — /2(т)))

х—у<т<х—к—г 0<Ь<х—к—г—т

Е Е е(12акг(/2(т + *) — /2(т)))

0<Ь<у—к—г х—у<т<х—к—г—Ь

+у=

+у=

+у=

Е е(12акг(^2 + (к + г)£)) Е е(24акг^т)

0<Ь<у—к—г х—у<т<х—к—г—Ь

+у=

2Е

0<Ь<у—к—г

У^ в(24акг^т)

х—у<т<х—к—г—Ь

+ у.

(1.3.3)

Последовательно подставляя в (1.3.1) значения W(к) и W(к, г) соответственно из (1.3.2) и (1.3.3), каждый раз воспользовавшись соотношением

(а + Ь)2 < 2а2 + 2Ь2 и неравенством Коши, найдём

|Х(а; х,у)|8 < 27у3 ^ (к)|4 + 23у4 <

0<к<у

< 27у3 ^ (2 £ (к,г)| + у 1 + 23у4 <

0<к<у \ 0<г<у—к /

< 27у3 Е (23 ( Е (к,г)|| +2у

0<к<у у у0<г<у-к у у

+ 23у4 <

< 210у4 ^ Е |Ж(к,г)|2 + 28у6 + 23у4 <

0<к<у 0<г<у—к

<2"У£ Е (2Е

0<к<у0<г<у-к \ 0<£<у—к—г

У^ в(24акг^т)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Рахимов Алишер Орзухуджаевич, 2017 год

Литература

[1] Виноградов И.М. Избранные труды / И.М. Виноградов //Москва: Издательство АН СССР. 1952.

[2] HASELGROVE C.B. Some theorems in the analitic theory of number /C.B.HASELGROVE // J.London Math.Soc.,26 (1951). - P. 273 - 277.

[3] СТАТУЛЯВИЧУС В.А. О представлении нечетных чисел суммою трех почти равных простых чисел / В.А.СТАТУЛЯВИЧУС // Вильнюс, Ученые труды университета. сер. мат., физ. и хим. н.,3 (1955). - C. 5 - 23.

[4] Jia CHAOHUA Three primes theorem in a short interval (II) / CHAOHUA JlA // International symposium in memory of Hua Loo Keng, Science Press and Springer-Verlag, Berlin, 1991. - P. 103 - 115.

[5] Jia CHAOHUA Three primes theorem in a short interval (V) / CHAOHUA Jia // Acta Math. Sin., New Series, 2(1991). - P. 135 - 170.

[6] Jia CHAOHUA Three primes theorem in a short interval (VII) / CHAOHUA Jia // Acta Math. Sin., New Series, 10(1994). - P. 369 - 387.

[7] Jia CHAOHUA Three primes theorem in a short interval (VII) / CHAOHUA Jia // Acta Math. Sinica 4(1994). - P. 464 - 473, Chinese.

[8] Pan CHENG-DONG On estimations of trigonometric sums over primes in short intervals (III) / Pan Cheng-dong, Pan Cheng-biao // Chinese Ann. of Math., 2(1990). - P. 138 - 147.

[9] Zhan Tao On the Representation of large odd integer as a sum three almost equal primes / T.Zhan // Acta Math Sinica, new ser., 7 (1991), No 3. -P. 135 - 170.

[10] Jia CHAO-HUA Three primes theorem in a short interval (VII) / Jia Chao-HUA // Acta Mathematica Sinica, New Series 1994. V. 10, № 4. - P. 369 - 387.

[11] J Y Liu. On sums of five almost equal prime squares / J Y Liu, T. Zhan // Acta Arithmetica, 1996, 77:. - P. 369 - 383

[12] J Y Liu. On sums of five almost equal prime squares (II) / J Y Liu, T. Zhan // Sci China, 1998, 41:. - P. 710 - 722

[13] J Y Liu. Estimation of exponential sums over primes in short intervals I / J Y Liu, T. Zhan // Mh Math, 1999, 127:. - P. 27 - 41

[14] J Y Liu. Hua's Theorem on Prime Squares in Short Intervals / J Y Liu, T. Zhan // Acta Mathematica Sinica, English Series Oct., 2000, Vol.16, No. 4. -P. 669 - 690.

[15] HuA L.K. Some results in the additive prime number theory / L.K.Hua // Quart J Math (Oxford). 1938. V. 9, No 1 . - P. 68 - 80.

[16] Kumchev A V. On Weyl sums over primes in short intervals / A.V.Kumchev // "Arithmetic in Shangrila"—Proceedings of the 6th China-

Japan Seminar on Number Theory. Series on Number Theory and Its Applications. 2012. V. 9. Singapore: World Scientific.. - P. 116-131.

[17] Yao Y. Sums of nine almost equal prime cubes // Frontiers of Mathematics in China. October 2014. V. 9, Is. 5. - P. 1131 - 1140. D01:10.1007/s11464-014-0384-4.

[18] РАхмонов З.Х. Тернарная задача Эстермана с почти равными слагаемыми / З.Х.Рахмонов // Математические заметки. 2003. - Т. 74. вып. 4. - С. 564 - 572.

[19] РАхмонов З.Х. Короткие квадратичные тригонометрические суммы Вейля / З.Х.РАхмонов , Дж.А.ШокАмоловА // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. 2009. № 2(135). - С. 7 - 18.

[20] РАхмонов З.Х. Кубическая задача Эстермана с почти равными слагаемыми / З.Х.РАхмонов // Мат.заметки. 2014. - Т. 95. вып. 3. - С. 445 -456.

[21] РАхмонов З.Х. Об оценках коротких кубических сумм Г.Вейля / З.Х.РАхмонов, К.И.МирзоАБдугАфуров // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2008. - Т. 51.№ 1. C. 5 - 15.

[22] РАхмонов З.Х. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля четвертой степени / З.Х.РАхмонов, А.З.Азамов, К.И.Мирзоабдугафуров // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2010. - Т. 53. № 10. - С. 737 - 744.

[23] ШОКАМОЛОВА Дж.А. Асимтотическая формула в задаче Эстермана с почти равными слагаемыми/ ДЖ.А.ШОКАМОЛОВА // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2010. - Т. 53, № 5. - С. 325-332.

[24] РАХМОНОВ З.Х. Об одной тернарной задаче с почти равными слагаемыми / З.Х.РАХМОНОВ, Д.М.ФОЗИЛОВА // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2012. - Т. 55. № 6. - С. 433 - 440.

[25] РАХМОНОВ З.Х. Проблема Варинга для кубов с почти равными слагаемыми / З.Х.РАХМОНОВ, К.И.МиРЗОАБДУГАФУРОВ // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2008. - Т. 51. № 2. - С. 83 - 86.

[26] РАХМОНОВ З.Х. Асимптотическая формула в проблеме Варинга для четвертых степеней с почти равными слагаемыми / З.Х.РАХМОНОВ, А.З.АЗАМОВ // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2011. - Т. 54. № 3. - С. 34 - 42.

[27] РАХМОНОВ З.Х. Проблема Варинга для пятых степеней с почти равными слагаемыми / З.Х.РАХМОНОВ, Н.Н.НАЗРУБЛОЕВ // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. - Т. 57. №11 - 12. - С. 823 - 830.

[28] ФАТКИНА С.Ю. Об одном обобщении тернарной проблемы Гольдбаха для почти равных слагаемых / С.Ю.ФАТКИНА // Вестник Московского Университета. серия 1, математика. механика. 2001. №2

[29] РАХМОНОВ П.З. Короткие суммы с нецелой степенью натурального числа / П.З.РАХМОНОВ // Математические заметки. 2014. - Т. 95. № 5. -С. 763 - 774.

[30] РАхмонов П.З. Обобщенная тернарная проблема Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми / П.З.Рахмонов // Математические заметки. 2016. - Т. 100. № 3. - С. 410 - 420.

[31] Vaughan R.C. Some remarks in Weyl sums / R.C.Vaughan // Coll. Math. Soc. Janos. Bolyani, Budapest 1981.

[32] РАхмонов З.Х. Оценка коротких тригонометрических сумм Г.Вейля / З.Х.РАхмонов, Н.Б.Озодбекова // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2011. - Т. 54. № 4. - С. 257 - 264.

[33] РАхмонов З.Х. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля / З.Х. РАхмонов // Ученые записки Орловского университета. Серия естественные, технические и медицинские науки. 2013. № 6. часть 2. - С. 194 -203.

[34] Карацуба А.А. Теорема о замене тригонометрической суммы более короткой / А.А.Карацуба, М.А.Королёв // Известия РАН, серия математическая. - Т. 71. № 2. - С. 123 - 150.

[35] Архипов Г.И. Теория кратных тригонометрических сумм /Г.И.Архипов, А.А.Карацуба, В.Н.Чубариков. — М.: Наука, 1987, 368 с.

[36] Хуа Ло-Ген Метод тригонометрических сумм и её применения в теории чисел / Хуа Ло-Ген // — М.: Мир, 1964, 190 с.

[37] Estermann T. Proof that every large integer is the sum of two primes and square/ T.Estermann // Proc. London math.Soc., 11(1937). - P. 501 - 516.

[38] КАРАЦУБА А.А. Основы аналитической теории чисел./ А.А.Карацуба // 2-ое изд, М.: Наука, 1983.

[39] Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел / И.М.Виноградов // - М.: Наука. 1980. 144 с.

[40] VAUGHAN R.C. On Waring's problem for cubes / R.C.VAUGHAN // J. Reine Angew. Math., 1986, 365, - P. 122 - 170.

[41] Weil A. On some exponential sums / A.Weil // Proc. Nat. Acad. Sci., USA, 1948, 34, №5. -- P. 204 -- 207.

[42] HUXLEY M.N. On the differences between consecutive primes / M.N.Huxley // Invent. math. 15. (1972). - P. 164 - 170.

[43] РАХМонов З.Х. Короткие линейные тригонометрические суммы с простыми числамиn / З.Х.РАХМонов // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2000. - Т. 43. № 3. - С. 27 - 40.

[44] Уиттекер Э.Т. Курс современного анализа, ч. 1. Основные операции анализа / Э.Т.Уиттекер, Дж.Н.Ватсон // Изд. 2-е. Перев. с англ., Физматгиз, М., 1963.

Публикации автора диссертации в журналах, входящих в перечень периодических изданий, рекомендованных ВАК

[45] Рахимов А.О. Асимптотическая формула в проблеме Эстермана четвёртой степени с почти равными слагаемыми / А.О.Рахимов // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2015. - Т. 58. №9. - С. 769 -771.

[46] РАХИМОВ А.О. Оценка коротких тригонометрических сумм Г. Ввейля четвёртого порядка в малых дугах / А.О.РАХИМОВ // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2015. - Т. 58. №8. - С. 674 - 677.

[47] РАХИМОВ А.О. Короткие суммы Г.Вейля и их приложения / А.О.Рахимов, Н.Н.Назрублоев, З.Х.Рахмонов // Чебышевский сборник. 2015. - Т. 16. В. 1(53). - С. 232 - 247.

[48] РАХИМОВ А.О. Короткие тригонометрические суммы Г.Вейля в множестве точек первого класса / А.О.Рахимов, Н.Н.Назрублоев // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. - Т. 57. № 8. -С. 621 - 628.

Публикации автора по теме диссертации, примыкающие к основным

[49] Рахимов А.О. Об одной аддитивной задаче с почти равными слагаемыми / А.О.Рахимов, Ф.З.Рахмонов // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам. ISSN: 1810-4134. 2016. №8. - С. 87 - 89.

[50] Рахимов А.О. Об одной аддитивной задаче с почти равными слагаемыми / А.О.Рахимов, Ф.З.Рахмонов // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики и её приложений", посвящённой 25-летию Государственной независимости Республики Таджикистан. г. Душанбе, 3-4 июня 2016 г. - С. 107 - 109.

[51] РАхимов А.О. Короткие тригонометрические суммы Г. Вейля в множестве точек первого класса / А.О.Рахимов, Н.Н.Назрублоев //В сборнике: Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения. Материалы XIII Международной конференции, посвященной восьмидесятипятилетию со дня рождения профессора Сергея Сергеевича Рышкова. Тульский государственный педагогичекий университет им. Л.Н. Толстого. 2015. - С. 245 - 246.

[52] РАхимов А.О. О коротких тригонометрических суммах Г.Вейля / А.О.РАхимов // Материалы международной научной конференции "Математический анализ, дифференциальные уравнения и теория чисел" посвященной 75-летию профессора Т.С. Сабирова, Душанбе, 29-30 октября 2015. - С. 28 - 29.