Об аддитивных свойствах арифметических функций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Горяшин, Дмитрий Викторович

• Горяшин, Дмитрий Викторович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Горяшин, Дмитрий Викторович

Содержание

Обозначения

Введение

1 Точные квадраты вида [ап]

1.1 Вспомогательные леммы

1.2 Сведение к оценке тригонометрических сумм

1.3 Лемма об оценке тригонометрической суммы

1.4 Завершение доказательства теоремы

2 Бесквадратные числа вида [ап]

2.1 Сведение задачи к оценке тригонометрических сумм

2.2 Оценки тригонометрических сумм с бесквадратными числами

2.3 Следствие о бесквадратных числах вида [ап] с чётным и нечётным числом простых делителей

3 Аддитивные задачи с бесквадратными числами

3.1 Тернарная задача

3.1.1 Применение кругового метода

3.1.2 Интеграл Д: выделение главного члена

3.1.3 Оценка интеграла Д

3.1.4 Окончание доказательства теоремы

3.2 Бинарная задача

3.2.1 Выделение главного члена

3.2.2 Оценки тригонометрических сумм

4 Бесквадратные числа вида р — 1

4.1 Асимптотика количества бесквадратных чисел вида р — 1

4.2 Бесквадратные числа вида р— 1 для простых чисел р, принадлежащих арифметической прогрессии

Литература

Используемые обозначения

Буквами a,b,d,k,Lm, п, г, s,

Кроме того, в диссертации используются следующие стандартные обозначения:

[ж] — целая часть вещественного числа х; {.ж} = х — [.т] — дробная часть числа х/.

||а'|| = тт({ж}. 1 —{ж}) = min \х—п\ — расстояние от числа х до ближайшего

»GZ

целого числа;

т(п) = ^ 1 — функция делителей (количество делителей числа п);

характеристическая функция множества точных квадратов:

/

1, если п = 1;

/¿(п) = (—I)7, если п = р\р2 ■. .рг, Р\ — простые числа;

О, если р2 | п для некоторого простого числа р функция Мёбиуса;

(в частности.

0 II, если п бесквадратное:

\f.l{n)\ = /Г(п) = <

I 0, в противном случае

— характеристическая функция множества бссквадратных чисел, т. е. чисел, не делящихся на квадрат простого числа);

7t(N) = 1 — количество простых чисел, не превосходящих N:

p^N

ir(N: /с, I) = Y1 1 — количество простых чисел, не превосходящих N,

p=l (mod к)

в арифметической прогрессии kn + L п = 0,1. 2,...:

ос

С(6') — т^ ~ дзета-функция Римана.

Записи f(x) = 0(д(х)) (символ Э. Ландау) и f(x) <С д(х) (символ И. М. Виноградова) при х оо означают, что существуют положительные числа С и такие, что \f(x)\ ^ Сд(х) при х ^ xq.

Остальные обозначения вводятся непосредственно в тексте диссертации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об аддитивных свойствах арифметических функций»

Введение

Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Одним из её объектов исследования является асимптотическое поведение арифметических (теоретико-числовых) функций, т. е. функций натурального аргумента. В первую очередь изучаются характеристические функции множеств натуральных чисел, обладающих специальными аддитивными или мультипликативными свойствами: например, простых чисел, чисел, представимых в виде суммы двух квадратов и т. п. Задачи об асимптотическом поведении средних значений этих функций сводятся к распределению соответствующих множеств чисел в натуральном ряду. Большой интерес представляют также вопросы о поведении арифметических функций и распределении последовательностей в заданных подмножествах множества натуральных чисел, таких как арифметические прогрессии, «сдвинутые» простые числа и т. п.

Наряду с обычными арифметическими прогрессиями в последнее время активно изучаются свойства обобщенных арифметических прогрессий — антье-носледовательностей вида [cm] и. более общо, [an + ß], где а — некоторое иррациональное число (аналог разности прогрессии), ß — некоторое вещественное число («первый член прогрессии»)1.

В 1975 г. Д. Лейтман и Д. Вольке [31] рассмотрели задачу о распределении

'В англоязычной литературе последовательность чисел такого вида называют «Beatty sequence» по имени американского математика Самюэла Битти (Samuel Beatty). предложившего в 1926 г. в журнале American Mathematical Monthly |7] (см. также [57. гл. II. вопрос 3|) задачу о следующем свойстве таких последовательностей: если о. 3 > 1 — иррациональные числа и £ + ^ = 1. то каждое натуральное число принадлежит ровно одной из последовательностей [сш] и [ßn\. т. е. N = |J [on] U (J [Ял].

простых чисел в такой последовательности. Они установили, что если тг(М) -количество всех простых чисел, не превосходящих N. а 7г(ЛГ, а) — количество тех из них. которые принадлежат последовательности [ст], то для почти всех значений а > 0 при N —> оо справедлива асимптотическая формула

7г(ЛГ,а) = £ 1 = ^ + 0(2У7/8П

где г > 0 произвольно. Таким образом, среди чисел вида [ст]. п Е М, содержится «правильная» доля всех простых чисел.

Отметим также, что для случая иррациональных алгебраических значений а Д. Лейтман и Д. Вольке получили асимптотическую формулу

тг(^,а) = ^^ + 0{ МГ*^),

где с = с(а) > 0 — некоторая постоянная.

Отечественные исследования по этой тематике инициировали профессора Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков, поставившие своим ученикам ряд задач, связанных с изучением различных свойств антье-последовательностей. В 2004 г. А. В. Бегунц [53] получил новую оценку остаточного члена в этих асимптотических формулах. Его результат формулируется следующим образом. Пусть а > 0 — иррациональное число, V ^ 2, и пусть неравенство

1 а а <7

имеет место для любых достаточно больших значений д и всех чисел а. взаимно простых с q. Тогда справедлива асимптотическая формула

1

> —

(¡у

где ж = max(l — 0,8), a £ > 0 произвольно. В частности, оценка остаточного члена в этой формуле вида 0(N{ls+£) верна в двух следующих случаях: а) если иррациональное число а имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим: б) для почти всех вещественных значений а > 0.

В этих же двух случаях многими авторамп изучалось распределение значений других арифметических функций на числах вида [an]: функции делителей т(п) (А. Г. Аберкромби |1], А. В. Бегунц (54]. Ж. С. Лю и В. Г. Жай [32]) и многомерной функции делителей 7*(п) (В. Г. Жай (47]). функции суммы делителей а(п) и функции Эйлера (р(п) (А. В. Бегунц [55]). характеров Дирихле (В. Д. Бэнкс и И. Е. Шпарлинский [4. 5]), различных мультипликативных функций (А. М. Гулоглу и К. В. Неванс [24]). в частности, характеристических функций чисел, представимых в виде суммы двух квадратов, бесквадратных чисел и чисел, свободных от к-х степеней, г4(11) — количества, представлений в виде суммы четырех квадратов и т. д. Для всех перечисленных арифметических функций доказываются результаты вида

£ям) = ^ Е îm + R(N), (1)

rn^N m^aN

где R(N) — остаточный член. Оценка величины R(N), как правило, сводится к оценке тригонометрических сумм вида

(2)

п^К

Е

in<M

(3)

Лтатп

/

В 2009 г. А. Г. Аберкромби, В. Д. Бэнкс и И. Е. Шпарлинский [2], применяя несколько другой подход, доказали асимптотическую формулу вида (1) для произвольной арифметической функции /(п) и для почти всех значений

а > 1 со следующей оценкой остаточного члена:

R{N) <С N*+£M(f,N).

где M(f,N) = 1 + max{|/(n)|,n ^ N}. Отметим, что методы этой работы неприменимы для случая каких-либо конкретных иррациональных значений а (например, алгебраических).

Первые две главы настоящей диссертации посвящены продолжению исследований распределения арифметических функций в последовательности вида [еж]. В первой главе решается задача о распределении точных квадратов в этой последовательности, т. е. о нахождении асимптотической формулы для величины S(N. а') — количества точных квадратов среди чисел вида [ст], п ^ N. Более точно, доказывается следующая теорема.

Теорема 1.1. Пусть иррациональное число а > 1 имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим. Тогда для любого е > О при N —У оо справедлива асимптотическая, формула

Эта формула верна также для, почти всех вещественных значений а > 1.

Ключевым моментом доказательства этой теоремы является лемма об оценке двойной тригонометрической суммы вида (3) с функцией /(гг.) = 5(п). Метод оценки таких сумм был разработан Г. Вейлсм |46) (его именем названы однократные суммы с многочленом в показателе экспоненты). Применяя метод Г. Вейля, мы сводим оценку рассматриваемой суммы к оценкам линейных тригонометрических сумм и получаем требуемый результат.

В некотором смысле противоположными по мультипликативным свойствам к точным квадратам являются бесквадратные числа — натураль-

п^К

ные числа, не делящиеся на квадраты простых чисел. Они имеют вид п = PiP2---Ps- т- с. каждое простое число входим в каноническое разложение п не более чем в первой степени. Таким образом, функция ß2{n), где ß(n) — функция Мёбиуса, является характеристической функцией множества бесквадратных чисел. Известно (см.. например, |26. теорема 334]). что для количества бесквадратных чисел, не превосходящих N. имеет место асимптотическая формула

д(Л0 = Х>2Н = ^ N + O{VN).

т. е. в отличие от точных квадратов или простых чисел множество бесквадратных чисел имеет положительную плотность ( lim Щр- = Si > 0) в нату-

Лг->эс "

ральном ряду.

Вопрос о распределении бесквадратных чисел в арифметической прогрессии рассматривал в 1958 г. К. Прахар [39] в связи с задачей о наименьшем бесквадратном числе в арифметической прогрессии. Он доказал, что

Q(N;k,l)= £ А \0(/N),

»¿¿А' ' р\к V 1 J

n=i (mod A.)

где постоянная в знаке О не зависит от к и I. Более того, он показал, что в случае растущего к остаточный член в этой формуле есть 0(N^k~^+£ + к^+е). В дальнейшем ряд авторов занимались оценкой остаточного члена в этой формуле в среднем п среднеквадратичном (см. [17. 45, 36]).

В 2008 г. А. М. Гулоглу и К. В. Неванс [24], опираясь на оценку тригонометрической суммы вида (2) с мультипликативными коэффициентами /(п). полученную X. Монтгомери и Р. Боном [33], доказали следующую теорему:

если а > 1 — иррациональное число конечного типа2. ¡3 — вещественное число и /(??,) — такая мультипликативная функция3, что \/(р)\ ^ А для всех простых чисел р и ^ \1{п)\2 ^ А27У для всех натуральных тУ, где А ^ 1 — некоторая постоянная, то

Лг 1п 1п ЛГ

лг . 1п ЛГ

В частности, для случая мультипликативной функции /(??,) = //2(п) в качестве следствия получается следующая асимптотическая формула для количества бесквадратных чисел вида [ст], 1 ^ п ^ ./V:

При этом для почти всех о > 1 упомянутая выше теорема из работы [2] дает более точную оценку остаточного члена: 0(однако не позволяет указать какие-либо конкретные значения а. для которых верна такая формула.

Вторая глава настоящей диссертации посвящена улучшению оценки оста.-точного члена в формуле (4) для случая имеющих ограниченные неполные частные и алгебраических а. Основной результат формулируется следующим образом.

Теорема 2.1. Пусть иррациональное число а > 1 имеет ограниченные неполные частные или является алгебраическим,. Тогда при ТУ —» оо справедлива асимптотическая формула

<3(N, а) = ]Г м2(М) = —ТУ + О (а.1У* 1п5 Ту) ,

п<СЛ< 7Г

где А = Ж ТУ) = тах т(т).

2Числа.ми конечного типа являются почти все вещественные числа, а также все алгебраические числа.

:'т. е. Д?гш) = /(т)/(71). если (т, п) = 1.

Заметим, что в силу известной оценки тах т(т) <С АГ£ (для сколь угодно малых £ > 0) остаточный член в этой формуле есть 0(Мь+е). Как и в теореме 1.1. доказательство основано на получении новой оценки тригонометрической суммы с бесквадратными числами, т. е. суммы вида (3) с функцией /(п) = /12(п).

Из теоремы 2.1 и оценки тригонометрической суммы с функцией Мебиуса, принадлежащей Д. Хаджеле и Б. Смиту [25], мы выводим также следующее утверждение.

Следствие 2.3. Пусть <5о(Аг, а) и а) ~ количества бесквадратных чисел вида [ст]. 1 ^ п ^ N, 1 имеющих четное и нечетное число простых делителей соответственно, а иррациональное число а > 1 имеет ограниченные неполные частные ил,и явля,ется алгебраическим,. Тогда справедливы асимптотические формулы

а) = + О , Я^Ы, а) = + О ,

и, таким образом.

~ едл^а) - -^ЛГ, .V оо.

7Г"

Более того, в предположении справедливости гипотезы Римана о пулях дзета-функции остаточный член в этих асимптотических формулах для <ЗоЯх(М^а) моо/сно заменить па О 1п5 . где А = А{Ы) =

тах т(га).

Это следствие показывает, что бесквадратныс числа с чётным и нечётным числом простых делителей распределены в последовательности [ст] асимптотически поровну.

Следует отметить также результаты, связанные с распределением бесквад-

ратных чисел в другой антье-последовательности, а именно последовательности чисел вида [пс], где с > 1 — нецелое4. В 1998 г. X. Као и В. Жай [14] доказали, что

2:—/ 7Г-

н^ЛГ

при некотором е>0и1<с<||.В 2008 г. теми же авторами верхняя граница для с была увеличена до Щ- в статье [15], содержащей лишь набросок доказательства. Подробное доказательство опубликовали в 2013 г. Р. Бсйкер и др. [3] в числе других результатов, связанных с распределением арифметических функций в последовательностях вида [пс].

Методы аналитической теории чисел находят также широкое применение при решении аддитивных задач. Одна из наиболее известных среди них — знаменитая тернарная проблема Гольдбаха о представлении нечетных чисел в виде суммы трех простых чисел, решенная в 1937 г. И. М. Виноградовым [59] (доказательство изложено также в его книге [58|). Для решения этой проблемы И. М. Виноградов применил свой, усовершенствованный вариант кругового метода, разработанного в начале XX в. Г. Г. Харди, Дж. Литтлву-дом и С. Рамануджаном (см., например, |60]), который с успехом применялся к решению проблемы Варинга (о представлении натуральных чисел суммой к-х степеней) и других задач. Более того, И. М. Виноградов не только доказал представимость каждого достаточно большого нечетного числа N суммой трех простых чисел, но и вывел асимптотическую формулу для количества таких представлений:

ту2 / м'2 \

/(АО =-о—6(ТУ) + О ,, _ ,

^ ; 21п Аг v ; \Ь3' АУ

4Последовательность чисел такого вида называю! также последовательностью Пятецкого-Шаииро по имени И. И. Пятецкого-Шапиро. впервые рассмотревшего задачу о распределении простых чисел в этой последовательности (67]. Он доказал асимптотический закон распределения таких простых чисел при

1 < с < В дальнейшем верхняя граница для числа с неоднократно уточнялась.

где

е^П^^П^-^ггЬ-)

— особый ряд (©(А/") > 1). Доказательство этой формулы стало возможным благодаря оценке тригонометрической суммы с простыми числами.

До сих пор нерешенной остается бинарная проблема Гольдбаха о представлении четных чисел суммой двух простых чисел. В отличие от тернарной проблемы круговой метод в этой задаче не позволяет получить асимптотическую формулу, однако оценки И. М. Виноградова тригонометрических сумм с простыми числами дали возможность доказать, что «почти все» четные числа представимы: множество четных чисел, не превосходящих N и не представимых суммой двух простых чисел (так называемое особое, или исключительное, множество), имеет мощность |£'(Л/')| = О (¡^г^ Для любого фиксированного А > 0 (этот результат доказан в 1937-1938 гг. независимо пятью авторами: Ван дер Корпут. Н. Г. Чудаков, Т. Эстерман, Г. Хейльбронн, Хуа Ло-ген). Современная оценка мощности особого множества имеет вид |£'(Л/')| = 0(М1~д), для некоторой постоянной 6 > О (X. Л. Монтгомери и Р. К. Вон (35|, Чен Джин Ран и Лю Ян Мин (6 = 0,05) [16|).

В 1997 г. Г. И. Архипов. К. Бурцев и В. Н. Чубарнков [48] рассмотрели особое множество в другой бинарной проблеме гольдбахова типа, — о представлении натурального числа N в виде р\ + [а?р2]> где Р\,Р2 — простые числа. Для его мощности они получили следующую оценку: если л — алгебраическое число, то а)| <С В 2000 г. Й. Брюдерн [10] показал, что из работы [9| вытекает оценка \Е{М, су)[ -С и рассмотрел более общую задачу о представлении N в виде [Aj.pi] + [Л2Р2] где Р] ,Р2 — простые числа. Для особого множества в этой задаче он получил оценку \Е(М, А1, Ло)|

если Аьф- — алгебраические числа, причем 1,А1,—^ линейно независимы ' Л2 А2

над полем (ф. В 2002 х. Г. И. Архипов и В. Н. Чубариков [50] при одном лишь

условии, что — — иррациональное алгеораическое число, получили более Л2

сильную оценку: \Е{Аг, Аь Л2) | -С Существенную роль в ее доказатель-

стве играет лемма о мере множества «больших дуг» в разбненхш Фарея (ее полное доказательство оххубликовано в статье Г. И. Архипова и В. Н. Чуба-рикова [51]: см. также [9, лемма 4]).

В 1999 г. С. Ю. Фаткина [70] рассмотрела видоизмененную тернарную иро-блему Гольдбаха и, пользуясь методами работ Г. И. Архипова, К. Буриева и В. Н. Чубарикова, доказала асимптотическую формулу для числа представлений натурального числа N в виде N — р-\ +Р2 + [л/^Рз] (Ръ Р2-, Рз ~ простые

N

чх1сла) с ххочти равными слагаемыми, т. е. с условиями--С/ < р\ <--\- II,

N N N ^ N

— -и <Р2 < — + и,— -и < [уДрз] < — + и. При и = N11х1( N (с -3 3 3 3

некоторая константа) она доказала следующую асимптотическую формулу для количества таких представлений:

х ; 2 1п3АГ \1п4М;

В. Д. Бэнкс, А. М. Гулох\лу и К. В. Неванс [6] рассматривали также задачу о представлении достаточно больших натуральных чисел в виде N = р\ + Р2 + .. щерьрг, • ■ • >£>// ~ простые числа из последовательности [ст+/?], и ^ 3, т — иррациональное число, 1 < а < и. А. Кумчев 130] обобщил их результаты на случай, когда каждое из простых чисел р1 принадлежит своей последовательности вида [агп + Д], х'де хотя бы одно из отношений al/aJ иррационально, 1 ^ г. ) ^ V.

Наряду с задачами с простыми числами мнохтши авторами рассматривались также аддитивные задачи с бесквадратными числами. В 1929-1933 гг. К. Эвелин и Е. Линфут в серии работ [22] получили следующие асимггготи-

ческие формулы для коли честна г1/{М) представлений числа в виде суммы V бесквадратных чисел (и ^ 2):

1 /б4'

r„(N) = —^ (^J ev{N)Nv~' +

где 9(2) = 9(3) = 9(ь>) = 5 — ^7 нри v ^ 4. е > 0 произвольно и

Оценки остаточного члена в этих формулах для случаев различных v в дальнейшем неоднократно уточнялись (Л. Мирский [34]. Д. Р. Хпз-Браун [28], Й. Брюдерн и А. Перелли [12]. Д. И. Толев |42| и др.). Последний результат в этой задаче при v ^ 3 принадлежит Й. Брюдерну и А. Перелли [12], которые в 1999 г. круговым методом доказали оценку остаточного члена с 9(и) - | при v ^ 3. В случае v = 2 более простое доказательство оценки остаточного члена с 9(2) = ^ предложил в 1931 г. Т. Эстерман [19].

В третьей главе настоящей диссертации рассматриваются две следующие аддитивные задачи. Пусть а > I — фиксированное иррациональное число и пусть Г2(N,a) и гз(N, а) равны соответственно количествам разбнений натурального числа Ат на одно и два бесквадратных слагаемых и слагаемое вида [ад], где q также бесквадратное, т. е. числу представлений числа N в виде

<?i + [ago] = N,

и в виде

qi+q2 + [a%] = N,

соответственно, где qi, 6/2, <?з — бесквадратиые числа. Тогда имеют место следующие утверждения.

Теорема 3.1. Пусть а > 1 — иррациональное алгебраическое число. Тогда при любом £ > 0 для количества гз(ЛГ, т) решений уравнения q-í-srq2 + [o'q^} = N в бесквадратных числах д\. с^, д.] справедлива асимптотическая формула

Теорема 3.2. Пусть а > 1 — иррациональное алгебраическое число. Тогда при любом £ > 0 для величины ^(ЛГ, а) справедлива асимптотическая формула

Доказательства этих теорем существенно различаются. В случае Г{\(М,а) асимптотическая формула выводится с помощью кругового метода Ха,рди-Литтлвуда-Рамануджапа в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова (параграф 3.1). При этом, как и в работе [50], существенную роль в доказательстве играет аналог леммы Г. И. Архипова и В. Н. Чубарпкова о мере множества «больших дуг» в разбиении Фарея (лемма 3.3). Применяя круговой метод, мы также опираемся на теорему об оценке тригонометрической суммы с бесквадратными числами по «малым дугам» [11, 42, 40] (лемма 3.1). В случае ^(N,0) мы применяем аналог элементарного подхода Т. Эс-термана (параграф 3.2).

Многими авторами исследовались также задачи об асимптотическом поведении средних значений арифметических функций в последовательности «сдвинутых» простых чисел, т. е. на множестве вида {р—11 р — простое число} Как правило, порядок роста среднего значения для многих арифметических функций на этом множестве соответствует порядку их роста по всем подряд идущим натуральным числам. Одной из наиболее известных задач такого типа является проблема делителей Титчмарша, об асимптотическом поведении

з

суммы

T(iV) = - 1)

К А'

при А/ -» оо, где т(г?) — функция делителей. Для суммы Т(АГ) Е. Тптнмарш |41j в 1930 г в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана получил асимптотическую формулу

T(N) = £т(р-1)= c()iV + О , N-+ оо, (5)

v \ 11 * /

ОС

где со = ^jej3^ = 312э^ • ({s) = — дзета-функция Римана. Позднее

Ю. В. Линник [64] с помощью разработанного им (весьма сложною) дисперсионного метода опубликовал безусловное доказательство этого результата. В конце 60-х годов прошлого века был разработан метод большого решета, на основе которого была доказана теорема о распределении простых чисел в среднем по арифметическим прогрессиям (теорема Э. Бомбьери — А И. Виноградова). позволившая значительно упросить доказательство. В 1986 г. Э Бомбьери, Ж. Фридландер и Г Иванец [13] доказали, что оценку остаточного члена в формуле (5) можно заменить на О (^fr^j Для чюбого фиксированного А > 0.

Рядом авторов рассматривались суммы вида (5) с другими арифметическими функциями (см. К Хооли [29]. Ж Портер |38], Р. Вон [44], А. Фуджп [23]. С Ппллай [37]. П Эллиотт и X. Халбсрсгам [18] М. Б. Барбан [52], Т. М. Федулова [69|, Е. П. Давлетярова [61] и др.). Отметим, что задача о точных квадратах вида р — 1 является одной из труднейших нерешенных задач теории простых чисе.л Доказать бесконечность точных квадратов в этой последовательности, или. другими словами, бесконечность простых чисел вида п2 + 1, — одна из знаменитых четырёх проблем, сформулированных

Э. Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе в Кембридже (Великобритания) в 1912 г., ни одна из которых не решена до сих пор.

Четвёртая глава диссертации посвящена исследованию распределения бесквадратных чисел на множестве «сдвинутых» простых чисел, т. е. задаче о нахождении асимптотического поведения суммы вида (5) с арифметической функцией /¿2(n). G помощью теоремы Э. Бомбьери — А. И. Виноградова мы получаем асимптотические формулы для сумм

]Гд2(р-1), £ 1).

p^N p^N

р=а (mod к)

Приведем формулировки соответствующих теорем.

Теорема 4.1. При N оо для любого А > 0 справедлива асимптотическая, формула,

p^N

где ci = £ 7^77) = П i1 ~ ~ постоянная, Li(iV) = - инте-

v,= 1 Р 2

гральный логарифм,.

Теорема 4.2. Пусть 1 ^ а < к. (а, к) = 1. При N —> оо для любого А > О справедлива, асимптотическая, формула

]Г д2(р - 1) = Cl(a, k) U(N) + О >

р=а (mod к)

где постоянная в символе О зависит только от параметров а, к, и

Е Ёж

/|(*,„-1) П=1 ! )

(п~.к)=1

Отметим следующее следствие теоремы 4.2, показывающее, что бес-

квадратные числа распределены по множествам «сдвинутых» простых чисел, принадлежащим различным прогрессиям по модулю к, Р{а, к) = {p—l\p — простое, р = a (mod к)}, где 1 ^ а < к, (а, к) = 1, асимптотически неравномерно.

Следствие 4.1. Пусть 1 ^ а < к, (а, к) = (а — 1,к) = 1. Тогда при N —У оо для любого А > 0 справедлива асимптотическая, формула

5

р=а (mod к)

где C\ = ( 1 — , Ф(к) = ^П ( ^ ~~ J, ~ рп 11 постоянная, в символе О

Р р]к

зависит, только от па,рам,строе а, к

Таким образом, для каждого из ip(k) значений а в множества Р(а, к) попадают асимптотически неравные количества бссквадратных чисел: при условии (а — 1,к) = 1 их «аномально много», порядка ~ ^j-yLi(iV) > -^^Li(N).

так как ф(к) = & П ( ^ — ~ —?) < ф{к) = ^ П (1 ~~ ~) ■ Отсюда видно, что

Р\к v р р J р\к v PJ

в отличие от исследованного во второй главе распределения значений ß2(n) на множестве чисел вида [an] по множествам Р(а. к) значения этой функции распределены асимптотически неравномерно.

Основные результаты, полученные в настоящей диссертации, опубликованы в работах автора [73. 74, 75. 76. 77].

В заключение авгор выражает благодарность научному руководителю профессору В. Н. Чубарикову за постановку задач и внимание к работе, а также сотрудникам кафедры математического анализа за доброжелательное отношение и поддержку.

Глава 1

Точные квадраты вида [ап

Пусть а > 1 — иррациональное число. В дайной главе рассматривается задача о нахождении асимптотической формулы для количества 5 точных квадратов в последовательности [ст]. п ^ N при Лг —> ос. Обозначим

(характеристическая функция множества точных квадратов). Тогда 5 равно значению суммы

Сформулируем основной результат настоящей главы.

Теорема 1.1. Пусть иррациональное число а > 1 имеет огра,пиленные неполные частные или является алгебраическим. Тогда для любого е > О при N—>00 справедлива асимптотическая формула

Эта формула верна также для, почти, всех вещественных значений а > 1.

1. если п — к2 для некоторого к £ М; О, в противном случае

3 = = ^<5([ап])

1.1. Вспомогательные леммы

Для доказательства основной теоремы этой главы нам потребуется ряд вспомогательных утверждений, которые мы будем использовать также и в других главах диссертации.

Одним из основных инструментов «снятия знака целой части» является следующая лемма о приближении функции р(х) = ~ — {х} частичной суммой ее ряда Фурье (см. [49. стр. 440; 601. 607]). (Здесь и далее мы переопределяем функцию р(х) в целых точках регулярным образом, т. е. р(п) = 0, п £ Z.)

Лемма 1.1. При всех Р ^ 2 для функции р(х) = ^ — {ж} имеет место разложение

1ФКР

где

г[х) = . = > ' ске^ + ск «

, 1 , = £ + с,«

VI+ Р2

Р

Пусть функция <Р[„,ь){х) " характеристическая функция интервала (а, 6) С (0; 1], регулярная в точках разрыва:

<Р(а.&)(ж) = <

1, если а < х < Ь:

если х = а или х = 6; 0, в противном случае;

и продолженная периодически на всю числовую ось. Лемма 1.2. Справедливо равенство

<Р(а.ь){х) = {Ь-а) + р{х -а) - р{х - 6).

Доказательство см. в [49, стр. 445].

Приведем две известные теоремы о приближении иррациональных чисел рациональными.

Лемма 1.3 (теорема. Дирихле). Пусть А — вещественное число и т ^ 2. Тогда существуют та,кие числа а € Ъ, д € N. что 1 ^ д ^ т. (а,д) = 1 и

А - -

д

1

< —•

дт

Лемма 1.4 (теорема Рота). Пусть А — иррациональное алгебраическое число. Тогда для любого е > 0 существует л,ишь конечное количество пар (а, д) целых чисел, таких, что д ^ 1, (а.д) — 1 и

А — -

<2

<

1

у2+£-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО лемм 1.3 и 1.4 см. например, в [63, гл. I, гл. VI]. Сформулируем в качестве отдельной леммы следствие теорем Дирихле и Рота для иррациональных алгебраических чисел.

Лемма 1.5. Пусть А — иррациональное алгебраическое число. Тогда для любых чисел т ^ 2 и е > 0 существует такая пара целых чисел (а, д). что д ^ 1. (а, д) = 1 и

_ а в' _ а в д дт д д2'

где |0| ^ 1, \в'\ ^ 1 ■(/, т1~£ < д ^ т (постоянная в знахе <С; вообще говоря, зависит от г).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, по теореме Рота неравенство

А - 2

<

9

2+5

выполняется для конечного числа несократимых дробей поэтому для неко-

торого с = с(е) > 0 неравенство

а-2

Я

я

2+е

выполнено для всех пар целых чисел (а,д) таких, что д ^ 1. {а,д) = 1. С другой стороны, по лемме Дирихле для некоторой такой пары имеет место неравенство

Я

<

1

Яг'

Поэтому для числа д в этой паре (т. е. для знаменателя соответствующей подходящей дроби к числу А) имеем оценку

д2+г qT

откуда д так как ^ > 1 — е при е > 0. Лемма 1.5 доказана.

Для случая чисел А с ограниченными неполными частными мы будем использовать следующую лемму.

Лемма 1.6. Пусть А — 'иррациональное число с ограниченными неполными частными. Тогда: 1) существует С = С{А) > 0 такое, что для всех пар целых чисел (а,д) с условиями д^ 1, (а,д) = 1 выполнено неравенство

1

^ —.

г » д1+£,

А - -

С

>7:

2) для любого т ^ 2 существует такая ггара целых чисел (а,д). д ^ 1. (а, д) — 1. что

Л а 9' а в А = - + — = - + — д яг я г

где |0| ^ 1. \9'\ ^ 1 игСд^т (постоянная в знаке зависит, т,ол,ько от,

С).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Первое утверждение леммы следует из [71, теорема

23]. Второе утверждение доказывается так же. как и в лемме 1.5.

Наконец, для случая почти всех Л нам потребуется следующее следствие из основной теоремы метрической теории цепных дробей [71, теорема 32].

Лемма 1.7. При любом, е > 0 для почти всех вещественных чисел А (в смысле меры Лебега): 1) неравенство

А - -

£

721п1+6

имеет лишь конечное число решений в целых числах (а, д) с условиями д ^ 1, (а, д) = 1;

2) для любых чисел т ^ 2 и £ > 0 существует такая па,ра целых чисел (а, д), что д ^ 1, (а, д) = 1 и

ч а в1 а О А = - + — = - + -, q цт д д2

где |#| ^ 1, ^ 1 и т1~£ <С д ^ т (постоянная, в знаке вообще говоря, зависит от, е).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассуждения здесь аналогичны случаю леммы 1.5, поскольку т <С д21п1+£ д <С д1+5.

Следующие две классические леммы И. М. Виноградова приведем в форме, использованной Р. Боном в статье [43|.

Лемма 1.8. При У ^ 1

£ е2*^

С тт У.

'2||А||

где

расстояние от числа А до ближайшего целого числа.

Лемма 1.9. Пусть А = а + (а, (?) = 1, <? > 1, |0| ^ 1. Тогда при Х,У ^ 1

(1 \ .ЛГУ ТГГГй ) ^ ~Г" + (х + <1)1п 23>

II Ai II.

Е

xsCA'

ХУ 1

mm

х 'М,

<с

ч

ХУ

Q

+ X + q) In2XYq.

1.2. Сведение к оценке тригонометрических сумм

Приступим к доказательству теоремы 1.1. Заметим, что равенство т = [ап] равносильно тому, что ап — 1 < т < ст. ^ < п < ^ + т.е.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Горяшин, Дмитрий Викторович, 2013 год

Список литературы

[1] Abercrombie A. G. Beattv sequences and multiplicative number theory // Acta Arith. 70. 1995. 195-207.

[2] Abercrombie A. G.. Banks W. B., Shparhnski I. E. Arithmetic functions on Beatty sequences /'/ Acta Arith. 136. 2009. №. 1. 81-89.

|3] Ba,ker R., Banks W., Brüdern JShparhnski /., Weingartner A. Piatctski-Shapiro sequences /,/ Acta Arith. 157. № 1. 2013. 37—68.

[4] Banks W.. Shparhnski I. E. Non-residues and primitive roots in Beatty sequences // Bull. Austral. Math. Soc. 73. 2006. 433-443.

[5] Banks W.. Shparhnski I. E. Short character sums with Beatty sequences // Math. Res. Lett. 13. 2006. 539-547.

[6] Banks IV., Güloglu A. M., Nevans C. W. Representations of integers as sums of primes from a Beatty sequence ,// Acta Arith. 130. 2007. 255—275.

[7] Beatty S. Problem 3173 // American Mathematical Monthly. 33 (3). 1926. 159.

[8] Bombieri E. On the large sieve // Mathematika. 12. 1965. 201—225.

[9] Brüdern J., Cook R.J., Perelli A. The Values of Binary Linear Forms at Prime Arguments // Sieve Methods. Exponential Sums and Their

Applications in Number Theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1997. 87-100.

[10] Brüdern J. Some additive problems of Goldbach's type // Funct. et Approx. Comment. Math. 28. 2000. 45-73.

[11] Brüdern J., Granville A., Perelh A., Vaughan R. C., Wooley T. D. On the exponential sum over k-free numbers // Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A. 356. 1998. 739-761.

[12] Brüdern J., Perelli A. Exponential Sums and Additive Problems Involving Square-free Numbers. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sei. (4) Vol. XXVIII. 1999. 591-613.

[13] Bornlneri, E., Fnedhmder J. B., Iwaniec H. Primes in arithmetic progressions to large moduli //' Acta Math. 156. 1986. 203-251.

[14] Cao X. D.. Zhai W. G. The distribution of square-free numbers of the form [nc] j/ J. Theor. Nombres Bordeaux. 10. No 2. 1998. 287-299.

[15] Cao X. D.. Zhai W. G. The distribution of square-free numbers of the form [nc], II ¡j Acta Math. Sinica (Chin. Ser.) 51. 2008. 1187-1194.

[16] Chen .Jing-run, Liu Jian Mm. The exceptional set of Goldbach-numbers (III) j j Chinese Quart. J. Math. 4 (1). 1989. 1-15.

[17] Croft M. J. Square-free numbers in arithmetic progressions j j Proc. London Math. Soc. 30 (2). 1975. 143-159.

[18] Elliott P. D. T. A.. Halberstam H. Some applications of Bombieri's theorem // Mathematika. 13. 1966. 196-203.

[19] Estermxmn T. On the representations of a number as the sum of two numbers not, divisible by k-th powers // J. London Math. Soc. 6. 1931. 37—40.

[20] Estermann T. On the representations of a number as the sum of a prime and a quadratfrei number // J. Lond. Math. Soc. 6. No 3. 1931. 219-221.

[21] Estermann T. Uber die Darstellung einer Zahl als Differenz von zwei Producten // J. Reine Angcw. Math. 164. 1931. 173-182.

[22] Evelyn C. J. A., Linfoot E. H. On a problem in the additive theory of numbers. I: Math. Z. 30 (1929), 433-448; II: J. Reine Angew. Math. 164 (1931). 131-140: III: Math. Z., 34 (1932), 637-644: IV: Ann. of Math. 32 (131), 261-270; V: Quart. J. Math. 3 (1932). 152-160: VI: Quart. J. Math. 4 (1933), 309-314.

[23] Fujii Akio. On some analogues of Titchmarsh divisor problem /7 Nagoya Math. J. 64. 1976. 149-158.

[24] Giiloglu A. M.. Nevans C. W. Sums of multiplicative functions over a Beatty sequence // Bull. Austral. Math. Soc. 78. 2008. 327-334.

[25] Hajela D.. Smith, B. On the maximum of an exponential sum of the M obi us function // Lecture Notes in Mathematics (Springer, Berlin, 1987). 145—164.

[26] Ha,rely G. H.; Wright E. M. An Introduction to the Theory of Numbers. — Oxford University Press. — 1975. — 421 p.

[27] Heath-Brown D. R. The fourth power moment of the Riemann zeta function // Proc. London Math. Soc. 38. No 3. 1979. 385-422.

I !

[28] Heath-Brown D. R. The square sieve and consecutive square-free numbers // Math. Ann. 226. 1984. 251-259.

[29] Hooley C. On the representation of a number as a sum of two squares and a prime // Acta Math. 97. 1957. 189-210.

[30] Kumchev A. V. On sums of primes from Beatty sequences /,/ Integers. 8. 2008. 1-12.

[31] Leitman D.. Wolke D. Primzahlen der Gestalt [f(n)} //' Math. Z. 45. 1975. 81-92.

[32] Li'¿i G, S.. Zhai W. G. The divisor problem for the Beatty sequences // Acta Math. Sinica. 47. 2004. 1213-1216.

[33] Montgomery H. L., Vaughan R. C. Exponential sums with multiplicative coefficients // Invent. Math. 43 (1). 1977. 69-82.

[34] Mirsky L. On a theorem in the additive theory of numbers due to Evelyn and Linfoot /,/ Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 44. 1948. 305-312.

[35] Montgomery H. L., Vaughan R. C. The exceptional set in Goldbach's problem // Acta Arith. 27. 1975. 353-370.

[36] Orr R. C. Remainder estimates for squarefree integers in arithmetic progression // J. Number Theory. 3. 1971. 474—497.

[37] Pillai S. S. On the sum function connected with primitive roots // Proc. Indian Acad. Sei. Sect. A. 13. 1941. 526-529.

[38] Porter J. W. The generalized Titchmarsh-Linnik divisor problem // Proc. London. Math. Soc. 24. No 1. 1972. 15-26.

[39] Prachar K. Uber die kleinste quadratfreie Zahl einer arithmetischen Reihe /,/ Monatsh. Math. 62. 1958. 173-176.

[40] Schlage-Puehta J. C. The exponential sum over squarefree integers // Acta Arith. 115. 2004. 265-268.

[41] Titchmarsh E. С. A divisor problem // Rend. Cire. Mat. Palermo. 54. 1930. 414-429.

[42] Tolev D. I. On the exponential sum with square-free numbers // Bull. London Math. Soc. 37. 2005. 827-834.

[43] Vaughan R. C. On the distribution of ap modulo 1 // Mathematika. 24. No 48. 1977. 135-141.

[44] Vaughan R. C. On the number of solutions of the equation p = a, + щ ... гц. with a<p^x Ц J. Lond. Math. Soc., II. Ser. 6. 1972. 43-55.

[45] Warlimont, R. On squarefree numbers in arithmetic progressions // Monatsh. Math. 73. 19G9. 433-448.

[46] Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Mathematische Annalen. 77. 1916. 313-352.

[47] Zhai W. G. A note on a result of Abercrombie // Chinese Sci. Bull. 42. 1997. 1151-1154.

[48] Архипов Г. И.. Буриев К.. Чубариков В. Н. О мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами // Труды МИАН. 218. 1997. 28-57.

[49] Архипов Г. И.. Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу. — М.: Дрофа. — 2003. — 640 с.

[50] Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Об исключительном множестве в бинарной проблеме гольдбахова типа /,/ Докл. АН. 387. 2002. № 3. 295—296.

[51] Архипов Г. PL, Чубар'иков В. Н. О мере «больших дуг» в разбиении Фа-рея //Чебышевский сборник. 12. 2011. Вып. 4. 35—38.

[52] Барбан М. Б. Об аналогах проблемы делителей Титчмарша // Вестник Ленингр. ун-та. №19. 1963. 5-13.

[53] Бегунц А. В. О простых числах в одной антье-последовательности // Вести. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. К2 2. 71—74.

[54] Бегунц А. В. Об одном аналоге проблемы делителей Дирихле // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. № 6. 52—56.

|55] Бегун,и, А. В. О распределении значений сумм мультипликативных функций на обобщенных арифметических прогрессиях // Чебышевский сборник. 6. Вып. 2. 2005. 52-74.

[56] Бегунц А. В. О простых числах в антье-последовательности специального вида // Чебышевский сборник. 7. Вып. 1. 2006. 163—171.

[57] Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука. — 1981. — 176 с.

[58] Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука. - 1976. - 120 с.

[59] Виноградов И. М. Представление нечетного числа суммой трех простых чисел /7 Докл. АН СССР. 15. 1937. 291-294.

[60] Вон Р. Метод Харди—Литтлвуда. — М.: Мир. — 1985. — 184 с.

[61] Давлетярова Е. П. О мультипликативных функциях на множестве {р — 1} // Чебышевский сборник. 1. 2001. 15—24.

[62] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. Изд. 2-е. испр. — М.: Едиториал УРСС. - 2004. - 184 с.

[63] Каеселс Дж. В. С. Введение в теорию диофаптовых приближений. — М.: Изд-во иностр. лит-ры. — 1961. — 213 с. ^

75

[64] Лиииик Ю. В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. — Л.: Изд-во ЛГУ. - 1961. - 207 с.

[65] Попов О. В. Арифметические приложения оценок сумм Г. Вейля от многочленов растущей степени // Ф.унд. и прикл. матем. 4. № 2. 1998. 595— 640.

[66] Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1971. — 416 с.

[67] Пятсцкий-Шапиро И. И. О распределении простых чисел в последовательности вида [/(п)] // Матем. сборник. 33. 1953. 559—566.

[68] Титчмарш Е. К. Теория дзета-фупкции Римана. — М.: Изд-во иностр. лит. - 1953. - 407 с.

[69] Федулова Т. М. Некоторые обобщения проблемы делителей Титчмарша // Волж. мат. сб. № 8. 1971. 206-210.

[70] Фаткииа С. Ю. О представлении натурального числа суммой трех почти равных слагаемых, порожденных простыми числами /,/ УМН. 55. Вып. 1. 2000. 197-198.

[71] Хиичин А. Я. Цепные дроби. Издание 4-е. — М.: Наука. — 1978. 111 с. (Стереотипное издание: М.: УРСС. — 2004. — 111 с.)

[72] Хоол,и К. Применение методов решета в теории чисел. Пер. с англ. В. Н. Чубарпкова. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1987. — 136 с.

Работы автора по теме диссертации:

[73] Горяшип Д. В. Точные квадраты вида [cm] /,/ Чебышевский сборник. 14. № 2. 2013. 68-73.

[74] Гормшии Д. В. Бесквадратные числа в последовательности [ст] // Че-бышевский сборник. 14. № 3. 2013. 00—66.

[75] Горяшии Д. В. Об одной аддитивной задаче с бесквадратными числами // Изв. С арат, ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 13. Вып. 4. 2013. 41-47.

[76] Горяшии Д. В. Бинарная аддитивная задача с бесквадратными числами // Ученые записки Орловского гос. ун-та. — № 6 (56). 2013. С. 38—41.

[77] Горяшии Д. В. Бесквадратные числа вида р — 1 для простых чисел р из заданной арифметической прогрессии // Тезисы докладов XI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения». Саратов. 2013. 21—22.