Арифметические свойства рядов некоторых классов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Крупицын Евгений Станиславович

• Крупицын Евгений Станиславович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Крупицын Евгений Станиславович

ВВЕДЕНИЕ

§1. Актуальность темы и степень её разработанности

§2. Общая характеристика работы

§3. Основные результаты диссертации

ГЛАВА 1 Лиувиллевы р-адические числа

§1. р-адические числа

§2. Оценки многочленов от некоторых р-адических чисел

ГЛАВА 2 Лиувиллевы д-адические числа

§1. д-адические числа

§2. Алгебраические и трансцендентные числа в прямых произведениях полей

§3. Оценки многочленов от некоторых д-адических чисел

ГЛАВА 3 Лиувиллевы полиадические числа

§1. Полиадичесике числа

§2. Арифметические свойства некоторых полиадических рядов

§3. Оценки многочленов от некоторых полиадических чисел

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

§1. Актуальность темы и степень её разработанности

В диссертации рассматриваются задачи теории трансцендентных чисел в неархимедовски нормированных областях. Начнём с краткого изложения основ теории трансцендентных чисел в комплексной области.

Определение. Комплексное число а называется алгебраическим, если существует многочлен Р(х) ^ 0 с рациональными коэффициентами, такой что Р(а) =

Степенью алгебраического числа а называется степень неприводимого многочлена с рациональными коэффициентами, имеющего а своим корнем.

Определение. Комплексное число (, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.

Определение. Комплексные числа (\.....(п называются алгебраически независимыми, если для любого многочлена, отличного от тождественного нуля, Р(х\.... ,хп) от п переменных с рациональными коэффициентами выполнено неравенство Р((\.... .(п) = 0. В противном случае эти числа называются алгебраически зависимыми.

Теорема (Лиувилля). Если а — алгебраическое число, степени п ^ 2, то существует такая постоянная с = с(а), что для любых целых рациональных р и д, д > 0, справедливо неравенство

с(а)

Р

а--

Я

дп

Следствие (Достаточное условие трансцендентности). Пусть а — иррациональное число. Если для любой константы с > 0 и любого натураль-

Р

ного числа п существует рациональное число -, такое что

Я

Р

а--

Я

то а — трансцендентное число.

с

< —.

При помощи этого признака были построены первые примеры трансцендентных чисел.

В более общем случае подход Лиувилля позволяет конструировать ал-гебрачески независимые числа.

Лиувиллевы числа являются и-числами по классификации Малера [1].

Лиувиллевым числам посвящены многие работы. Упомянем, Э. Малле [2-12], К. Малера [13], Кабаннэ [14], П. Эрдёша [15], В.Г. Чирского [16-29]. В работах Дж. фон Неймана [30], X. Кнезера [31], Ф. Куйпера и Я. Попкена [32], В. Шмидта [33, 34] и А. Френкеля [35, 36] строятся примеры множеств алгебраически независимых чисел Лиувилля.

Лиувиллевы числа до сих пор представляют собой объект исследований многих математиков.

Вопросам алгебраической независимости лиувиллевых чисел посвящена работа В. Адамса [37]. Основными результатами работы Адамса являются доказательство следующих теорем.

то то то

Теорема. Пусть а1 = ^ р- у ,а2 = ^ Р2 ^ и = ^ Рз ^ лиувиллевы

^=1 ^=1 ^=1 числа, р1 = р2, Р > 2 — простое число такое что

Р | Рз, Р \ Р1, и Р - 1 | К

для любого достаточно большого числа V.

Пусть также последовательность натуральных чисел строго возрастает и последовательность имеет конечное число предельных точек в р-адических целых числах ^р и такая что

о^р км. < о^р кю для всех V > N1

3 -'

км,-1

\ №|/Л иС-иА V ^ 1 У1

и

^ то ^ то). отйр kмj

Тогда числа а1,а2,аз алгебраически независимы.

то

.-к

Теорема. Пусть а{ = р- — лиувиллево число (1 ^ г ^ п), где

=1

,р2,... ,рп мультипликативно независимые целые числа большие 1. Тогда а1,... ,ап алгебраически независимы.

В 1935 году К. Малер [38] опубликовал первую работу про р-адические трансцендентные числа, в которой был доказан р-адический аналог теоремы Гельфонда-Шнайдера.

Теорема. Пусть а и [5 р-адические целые алгебраические числа, удовлетворяющие неравенствам

0 < |а - 1|р ^ -, 0 < - 1|р ^

р р

Тогда 1 р либо рациональное, либо трансцендентное р-адическое число. 1пр р

(Под 1п(1 + ^) здесь понимается стандартное Тейлоровское разложение этой функции. При подстановке сюда вместо ^ числа а — 1 и ¡3 — 1 получаем сходящиеся в р-адической области ряды, которые и обозначаются 1пр а

В работе К. Малера [39] описаны свойства р-адических чисел и рассматриваемых в диссертации д-адических чисел. Полиадические числа, также рассматриваемые в диссертации, описаны в книге А.Г. Постникова [40].

Поле р-адических чисел будем обозначать 0_р, кольцо целых р-адических чисел Ър, кольцо целых д-адических чисел 0_д. Свойства этих объектов описаны в главах 1 и 2, соответственно.

Элементы кольца целых полиадических (глава 3) чисел имеют каноническое представление в виде

то

а = ^^ атт\, ат Е N 0 ^ ат ^ т. (1)

т=1

Степень, в которой простое число р входит в разложение числа п\ на

простые мнодители равна--, где Зп обозначает сумму цифр в р-ичном

р —

разложении числа п. Следовательно, для любого р при п ^ то выполняется соотношение |апп! 1Р ^ 0, достаточное для того, чтобы ряд (1) сходился в поле Сумму рядя (1) в поле обозначим а(р">. Само полиадическое число а можно рассматривать, как бесконечный вектор с координатами а(Рп\ где рп — простое число с номером п.

Для вопросов, рассматриваемых в диссертационной работе, важно, что кольцо целых полиадических чисел представляет собой прямое произведение по всем простым числам р колец целых р-адических чисел Ър.

Введем дополнительное определение. Предположим, что а Е Z и что

то

ряд £ сп • п\ сходится в кольце Ър для всех простых чисел р. Как отмече-

п=0

но выше, это позволяет рассматривать этот ряд, как элемент бесконечного прямого произведения этих колец. Это прямое произведение имеет естес-ственную структуру кольца, операциям в котором соответствуют операции

по каждой координате. Для элемента а этого прямого произведения обозначим а(р) его координату в кольце Z.

Если существует Р(х) — многочлен с рациональными коэффициентами, отличный от тождественного нуля такой, что Р(а) = 0 (иными словами, Р (а(р)) = 0 в каждом кольце этого прямого произведения), то будем говорить, что а — алгебраический элемент. Если элемент а не является алгебраическим, то его называют трансцендентным. Трансцендентность элемента означает, что для любого многочлена Р(х) — многочлена с рациональными коэффициентами, отличного от тождественного нуля, существует простое число р, такое что Р (а(р)) =0 в кольце Ър. Назовем элемент а бесконечно трансцендентным, если для любого Р(х) — многочлена с рациональными коэффициентами, отличного от тождественного нуля, существует бесконечное множество простых чисел р, такое что Р (а(р)) = 0 в кольце Ър. Элемент а называется глобально трансцендентным, есля для любого Р(х) — многочлена с рациональными коэффициентами, отличного от тождественного нуля, неравенство Р (а(р)) = 0 выполняется во всех кольцах Ър рассматриваемого прямого произведения.

то

Примерами глобально трансцендентных чисел служат ряды ^ щ!, где

к=0

{пк} — достаточно быстро растущая последовательность натуральных чи-

к пк! и

сел. Более того, ряды > ——, в которых рк — простое число с номером к,

к=0 Ркк

а {пк} и {тк} — достаточно быстро растущие последовательности натуральных чисел, дают примеры чисел лиувиллевых, следовательно, трансцендентных как в поле М, так и в любом поле (р. Действительно, быстрый рост последовательности {пк} обеспечивает трансцендентность суммы этого ряда в любом поле Qp, а быстрый рост последовательности {тк} — трансцендентность суммы этого ряда в поле М.

Отметим, что из бесконечной трансцендентности элемента не следует

трансцендентность а(р"> хотя бы для одного простого числа р и кольца Z,

Например, элемент (1, 2,... ,п,...) прямого произведения полей (р (координата которого равна п в поле (Рп соответствующем п-му простому числу рп) бесконечно трансцендентен. Действительно, любой Р(х) — многочлен с рациональными коэффициентами, отличный от тождественного нуля, может обратиться в ноль лишь на конечном множестве натуральных чисел.

Для совокупности элементов а1,..., ак аналогичным образом определяются понятия их алгебраической зависимости, алгебраической независимости, бесконечной алгебраической независимости и глобальной алгебра-

ической независимости. Достаточно вместо многочлена Р(х) рассмотреть Р(х1,... ,хт) — многочлен с рациональными коэффициентами, отличный от тождественного нуля.

Из доказанных в главе 3 диссертации теорем следует, в частности, глобальная алгебраическая независимость рассматриваемых в этих теоремах чисел.

Кроме теорем об трансцендентности и алгебраической независимости чисел, носящих качественнй характер, важную роль в теории трансцендентных чисел играет, так называемый, количественный результат. К ним относятся оценки линейных форм и многочленов от совокупностей чисел, оценки мер иррациональностей, линейной независимости, мер трансцендентности и мер алгебраической независимости совокупностей чисел. Эти величины определяются следующим образом.

Пусть а1,..., ат — действительные или комплексные числа.

Определение. Мерой линейной независимости чисел а1,... ,ат, т ^ 2 называется функция

Ь = Ь(а1,..., ат; Н) = шт |а1 а1,..., ата^,

где Н — натуральное число, — целые числа, удовлетворяющие неравенствам | ^ Н, к = 1,... ,т |а1| + ... + |ато| > 0 и минимум берется по всем числам удовлетворяющим указанным неравенствам.

Определение. Мерой алгебраической независимости чисел а11... ,ат, т ^ 1 называется функция от .в и Н:

Ф = Ф(аь ...,ато, в; Н) = шт |(Р («1,.. .,ато)1

где з и Н — натуральные числа, отличный от тождественного нуля многочлен Р = Р(х1,..., хто) степени з по совокупности переменных имеет целые коэффициенты, абсолютные величины которых не превосходят числа Н и минимум берется по всем многочленам Р, удовлетворяющим указанным условиям.

В работе Цайсова [41] доказана теорема

Теорема. Существует абсолютная постоянная ¿0 такая, что неравенство

то

тМ , АТО{

" Й2—")

> ехр {—10 + ^(^ 5)2)}

выполняется для всех неприводимых многочленов Q € Ъ\х] степени N ^ 1 и высоты Б > Б0.

Основная трудность в доказательстве этой теоремы состояла в доказательстве отличия от нуля этого многочлена в приближающей точке.

В диссертационной работе при рассмотрении р-адических, д-адических и полиадических лиувиллевых чисел эту трудность удается обойти, используя известную в алгебре лемму о границе положительных корней многочлена.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Арифметические свойства рядов некоторых классов»

§2. Общая характеристика работы

Цели и задачи работы. Главными целями диссертации являются:

1. Получение оценок снизу для многочленов от некоторых р-адических чисел.

2. Получение оценок снизу для многочленов от некоторых д-адических чисел.

3. Получение оценок снизу для многочленов от некоторых полиадических чисел.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории алгебраических чисел, методы общей алгебры, методы классического математического и неархимедова анализа.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования служат лиувиллевы р-адические, лиувиллевы д-адические и лиувиллевы полиадические числа.

Предмет исследования — оценки снизу многочленов от лиувиллевых р-адических, лиувиллевых д-адических и лиувиллевых полиадических чисел.

Научная новизна. Все основыне результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Их описание приведено в §3 Введения.

Положения, выносимые на защиту.

1. способы доказательства отличия от нуля рассматриваемого многочлена в точках, приближающих исследуемые совокупности лиувиллевых чисел;

2. оценки многочлена от одного р-адического лиувиллева числа и совокупности р-адических лиувиллевых чисел;

3. оценки многочлена от одного д-адического лиувиллева числа и совокупности д-адических лиувиллевых чисел;

4. оценки многочлена от одного полиадического лиувиллева числа и совокупности полиадических лиувиллевых чисел.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты являются новыми и дополняют известные факты о лиувиллевых числах в областях с неархимедовыми нормированиями. Они будут использованы при подготовке специальных курсов для студентов и магистрантов.

Степень достоверности и апробации результатов. Результаты диссертации докладывались на:

1. XVII международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященная столетию со дня рождения профессора Н.И. Фельдмана и девяностолетию со дня рождения профессоров А.И. Виноградова, А.В. Малышева и Б.Ф. Скубенко, Тула, 23-28 сентября 2019.

2. XV Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвященная столетию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова Коробова Николая Михайловича. Тула, 28 - 31 мая 2018.

3. IV Международная научная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики». Кабардино-Балкария, 22 - 26 мая 2018.

4. Международная конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и физики». Нальчик-Терскол, 17 - 21 мая 2017.

5. Международная конференция «Математика и Информатика». Москва, 14 - 16 марта 2016.

6. XIII Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения». Тула, 25 - 30 мая 2015.

7. Международная конференция «Алгебра и приложения», посвященная 100 - летию со дня рождения Л.А. Калужнина. Нальчик, 6-11 сентября 2014.

8. Московский семинар по теории чисел. Москва, 07.02.2014

9. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2013». Москва, 2013.

10. IX Международная научная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвящённая 80-летию со дня рождения профессора Мартина Давидовича Гриндлингера. Тула, 2012.

11. Всероссийская конференция, посвящённая 110-летию Математического факультета МПГУ. Москва, 2011.

12. VII Международная научная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвящённая памяти профес-

сора Анатолия Алексеевича Карацубы. Тула, 2010.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, которые индексируются в международной базе Scopus или входят в список рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности. Список работ приведен в конце автореферата. В работе, написанной совместно с В.Г. Чирским, соавтору принадлежит постановка задачи и выбор метода доказательства результатов. Список работ приведён в конце диссертации на стр. 72.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, библиографического списка. Общий объем — 72 станицы. Библиографический список содержит 48 наименований.

§3. Основные результаты диссертации

В первой главе доказаны следующие теоремы:

Пусть 7(х) - возрастающая функция такая, что lim ^( + ) = ж и

х^ж 7 (х)

7(п) е N при п е N.

Пусть р - фиксированное простое число, а(п) - натуральнозначная

ж

функция такая, что 1 ^ а(п) < р. Обозначим а = a(n)pl(n\

п=0

Теорема 1.1. Для любого натурального числа d найдется постоянная H0(d) такая, что для каждого многочлена Р(х) е Z[x] степени d и высоты Н ^ H0(d) выполняется неравенство

d N -1

|Р(а)1Р > (н • (d + 1) • (

Теорема 1.2. Пусть

ж

Е

а =

п=1

Тогда для любого натурального числа d и любого е > 0 существует постоянная Н0 = Н0(е,д) такая, что для любого многочлена Р(х) € Ъ[х] степени d и высоты Н ^ Н0 выполняется неравенство

\Р(а)\р > (н(Л + 1) (^Н-«ы^я)1«.

ТО

Пусть аг = а'п,'1 ръ<кП\г = 1,...,т, где ащг € N и 1 ^ ащг < р. Пусть

п=0

функции ^(х) возрастающие, такие что

1 • 1г+1(П) .

lim --- = ж, г = 1,... ,т — 1

п ^ж ^fi(n)

и

у Ъ(п +1) lim -—— = ж.

1т (П)

п^ж 1т

Теорема 1.3. Для любого многочлена Р(х1}..., хт) € Ъ[х\,... , хт], отличного от тождественного нуля, высоты Н и степени d по совокупности переменных х1,... ,хт, при условии Н ^ Н0выполнено неравенство

\Р («и...,от,)\Р >Н-1 ()-1 • -1(я ^У",

где где т !(х) — обратная функция к функции т(х) = 71(х + 1) — d(/ym(x) +

1).

Теорема 1.4. Любое целое р-адическое число представимо суммой двух Лиувиллевых чисел.

Во второй главе доказаны теоремы:

Пусть g = р\' Р22 •... • р^, a(n),"f(п) - натуральнозначные функции та-

7 (п + 1)

кие, что 1 ^ а(п) < g, 7(п) возрастающая и lim -—— = то. Обозначим

п^то 7 (п)

то

а = £ а(п)д1 (п).

п=0

Теорема 2.5. Для любого натурального числа d найдется постоянная H0(d) такая, что для каждого многочлена Р(х) Е Z[x] степени d и высоты Н ^ H0(d) выполняется неравенство

\р («ж > U • (d + 1) • (J-^ у ^мо-'о^н!^

j — 1

Теорема 2.6. Пусть £ > 0

« = Е зп ■

п=1

Существует эффективная постоянная Н0 = Н0(е^) такая, что для любого отличного от нуля многочлена Р(х) Е Ъ[х] степени d и высоты Н ^ Н0 выполнена оценка

\Р(а)\я > (н(<1 + 1) (J—^y'j Н-»1+*.

то

Пусть аг = Е ап,гдli(n\i = 1,... ,т, где an,, Е N и 1 ^ o^i < д. Пусть

п=0

функции ji(x) возрастающие, такие что

1 • 7i+i(n) . , ,

lim —-— = то, г = 1,... ,т — 1 п ^то ^fi(n)

и

у h(n + 1)

lim -—— = то

п^то 1т(п)

Теорема 2.7. Для любого многочлена Р(х1,..., хт) Е Z[x1,... , хт], отличного от тождественного нуля, высоты Н и степени d по совокупности переменных х1,... ,хт, при условии Н ^ H0(d) выполнено неравенство

\Р («L-^^H—1 ()—1 • »+1)-' ,

где т—1(х) — обратная функция к функции т(х) = ^1(х + 1) — d(^m(x) + 1). Теорема 2.8. Любое целое g-адическое число представимо суммой двух Лиувиллевых чисел.

В третьей главе доказаны теоремы: Теорема 3.4. Пусть

^2aknk!, ak Е Z, 0 ^ ak ^ пк, пк Е N,

^ 0 при к ^ +то.

а = k=1

(пк + 1) ln(nk + 1)

пк + 1

Пусть е(Н) ^ 0 при Н ^ Пусть р Е N. Тогда существует Н0 = Н0(р) такая, что для любого простого числа р ^ р и любого многочлена Р(х) с целыми коэффициентами, не превосходящими по абсолютной величине числа Н, Н ^ Н0, имеющего степень т, удовлетворяющую неравенству

(и\ 1п Р те(Н) <

2(р — 1) выполнено неравенство

\р(а)\р ^ Н—1—е-1(Я)(1п1пЯ+1пе-1(Н)У

^^ | 1

т

Теорема 3.5. Пусть

ТО

аг = ^ащг (рг(п))!, г = 1,...,т,

п=0

где

ап,г € N 1 ^а,п,г ^Рг(п), 1=1,...,Ш,

а функции <рг(п) принимают натуральные значения и удовлетворяют условиям

фг+1(п)

ipi(n) ln^i(n)

ipi(n + 1)

^ п ^ г = 1,...,т — 1

срт(т)\шрт(п)

ф1 (п) \п<£\(п) (ln Ст(п))

Ст(п)

3

2т

т ( п)) 2

—> П —У + 00.

Пусть р0 G N,£ > = 1--з—-. Тогда существует число Н0 =

(1+е)

2т+2

Н0(р0,£) такое, что для любого отличного от нулевого многочлена Р (х1,... ,хт) G Z[x1,... ,хт] высоты Н и степени d по совокупности переменных х1,... ,хт при условиях Н ^ Н0,

. (d + т)! . ТТ

ln„ ,7 ^ (1 + 5)\пН dim!

для любого простого числа р ^ р0 выполнено неравенство

\Р(а1,...,ат)1 > Н—)2*

2 т+1

Теорема 3.6. Любое целое полиадическое число а допускает представление в виде

а = Ь1 + Ь2, где Ь1,Ь2 — полиадические лиувиллевы числа.

ГЛАВА 1 Лиувиллевы р-адические числа §1. р-адические числа

Определение 1.1. Пусть К = (К, + , •, 0,1) поле, Р = (Р, 0, ©,9,е) линейно строго упорядоченное поле. Отображение V : К ^ Р называется нормой, если выполнены следующие условия:

а) V а Е К, V(а) ^ 9 и V(а) = 9 ^ а = 0;

б) Va, Ь Е К, V (а • Ь) = и (а) © и (Ь);

в) Va, Ь Е К, V (а + Ь) ^ и (а) 0 и (Ь).

Абсолютная величина | | является основным примером нормы на поле рациональных чисел Q. Индуцированная ею метрика (1(х,у) = |ж — у1 — это евклидово расстояние на числовой прямой, и результатом пополнения по этой норме является поле действительных чисел.

Пусть р Е N - произвольное простое число. Определим отображение | 1Р на Q следующим образом:

-Д—, если х = 0,

1х1Р =< р от^х (1.1)

где

ОГ<1„ X =

0, если х = 0,

{наибольшая степень числа р, которая делит х, если х Е Z,

й

ог<, а — ог<, Ь, если х = -, а,Ь Е Ъ,Ь = 0.

Предложение. Отображение | 1Р является неархимедовой нормой на 0.

Зафиксируем простое число р. Определим 0р, как пополнение поля Q по р - адической норме | 1Р, определённой соотношением (1.1).

Известная теорема Островского гласит:

Теорема ([42], стр. 12). Каждая нетривиальная норма У У на поле 0 эквивалентна | 1Р для некоторого простого числа р, или обычной абсолютной величине | |.

Элементами поля 0р являются классы эквивалентных последовательностей Коши рациональных чисел относительно р-адической нормы.

В каждом классе эквивалентных последовательностей Коши, определяющем некоторый элемент поля 0р, содержится единственный канонический представитель (определение дано ниже на странице 17). Для его описания потребуется следующая лемма.

Лемма (Доказательство приведено в [43]). Если х Е Q и \х\р ^ 1, то для лююого i существует такое число а Е Z, что \а — х\р ^ р—г. Число а можно выбрать принадлежащим множеству {0,1, 2,...,рг — 1}, причём из этого множества оно выбирается единственным образом.

Теорема (Доказательство проводится в [43]). Каждый класс эквивалентности а Е Qp, удовлетворяющий неравенству \а\р ^ 1, содержит ровно одну такую последовательность Коши {a<i}, что

а) (ц Е Z, 0 ^ а,, < рг для i = 1, 2,...

б) ац = a+i (mod рг) для i = 1, 2,...

Если а Е Qp и \а\р ^ 1, то члены ai последовательности из предыдущей теоремы удобно записывать следующим образом:

аг = do + dip + ... + di—ipl—i,

где все di являются целыми числами из множества {0,1,...,р— 1}. Условие б) теоремы означает, что

аг+1 = do + dip + ... + dl—i рг—1 + dip1,

причём «р-адические цифры» от d0 до di—i являются теми же самыми, что и для аi. Таким образом, а представляется сходящимся (по р-адической номе) рядом

то

а = Y,dnPn, (1.2)

п=0

который можно рассматривать как число, записанное по основанию и бесконечно продолжающееся влево, или содержащее бесконечно много -адических цифр. Запись (1.2) называется каноническим р-адическим разложением или канонической формой числа а.

Если \а\р > 1, то можно домножить а на некоторую степень числа р (на рт = \а\р) и получить р-адическое число а' = арт, которое уже удовлетворяет неравенству \а'\р ^ 1. Тогда можно записать

а =

то

п

£ dnPn, (1.3)

причём d-m = 0 и bi Е {0,1, 2,... ,р — 1}. Таким образом, мы представили данное р-адическое число а в виде дроби по основанию р, содержащей бесконечно много р-адических цифр перед запятой, и конечное число цифр после неё. Представление (1.3) называется каноническим р - адическим разложением числа а.

n= т

Определение 1.2. Целым р-адическим числом, называется такое число а Е 0Р, что его каноническое разложение содержит только неотрицательные степени числа р. Множество целых р-адических чисел обозначается:

ш ч

^р = \ агР

[ г=0

Из определения р-адической нормы (1.1) сразу вытекает формула (на-зваемая формулой произведения): если х Е 0,х = 0, то

N П Мр = 1, (1.4)

где произведение в левой части взято по всем р-адическим нормированиям поля 0.

Определение 1.3. Элемент а Е 0Р называется алгебраическим, если существует отличный от тождественного нуля многочлен Р(х) Е 0[ж], такой что Р(а) = 0. В противном случае, элемент а Е 0Р называется трансцендентным.

Определение 1.4. Элементы а\,... ,ап Е 0Р называются алгебраически зависимыми над полем 0, если существует отличный от тождественного нуля многочлен Р (х1,... , хп) Е ... ,хп], такой что Р (а1,..., ап) = 0. В противном случае, элементы а1,... ,ап Е 0Р называются алгебраически независимыми над полем 0.

§2. Оценки многочленов от некоторых р-адических чисел

Лемма 1.1 (доказательство см. в [44]). Для многочлена f (х) с любыми

А

числовыми коэффициентами число 1 +--(где а0 — старший коэффи-

ао

циент, а А — максимум модулей остальных коэффициентов) служит верхней границей для модулей всех его корней, действительных или комплексных.

Пусть 7(х) - возрастающая функция такая, что lim ^( + ) = ж и

х^ж 7 (х)

7(п) Е N при п Е N.

Пусть р - фиксированное простое число, а(п) - натуральнозначная

ж

функция такая, что 1 ^ а(п) < р. Обозначим а = а(п)р1(п\

п=0

Теорема 1.1. Для любого натурального числа d найдется постоянная H0(d) такая, что для каждого многочлена Р(х) Е Z[x] степени d и высоты Н ^ H0(d) выполняется неравенство

d N -1

|Р(а)1Р > (н • (d + 1) • (

к

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ак = ^ а(п)р1(п\ Нетруд-

п=0

но видеть, что

ак = р1(к) (а(0)р1(0)—1(к) + a(1)pl(1)—1(к) + ... + а(к)) ^

^ Р1(к) • р • (1 + - + 1 + ..) = ( • Р1 (к). (1.5)

V р р2 ) \р — 1J

2 \ d Г 4

J) — 1

( р2 x

Возьмем Н1 = H1(d) = (d + 1) I - ) . Для всякого Н ^ Н1 выберем

\Р — 1/

К = к(Н) такое что

р1(1С+1) >Н ^ р1(1С). (1.6)

Поскольку lim ^( + ) = ж, то существует к0 = k0(d) такое, что для п ^ж 7 (п)

любого к ^ к0

7(к + 1) > (d +2Yf(к). (1.7)

Так как lim к(Н) = ж, то можно выбрать Н0 = H0(d) ^ Н1 так, н ^ж

чтобы для всех Н ^ Н0 выполнялось неравенство ^ = к(Н) ^ к0.

Пусть для 1С = к(Н) выполняется (1.6). Тогда из ру(К-+х > Н по лемме 1.1 следует, что

р ы+1) = 0.

Представим Р(а) по формуле Тейлора: Р(а) = Р(а^+х) + Р'(а^+х)(а — а^+х) + Р (°^+х)(а — а^+х)2 + ... +

+--dd-(а — а^+х) .

Используя свойство р-адической нормы, что 1а + Цр ^ шах(|а|р; Щр), получим

Р'(а]с+1)(а — а^+х) + Р (а^+х\а — а^+х)2 + ... +

Я.

Нетрудно видеть, что из (1.5) следует неравенство

^ 1а — а^+х1Р = р—у(1С+2). (1.8)

1Р(ак+х)1 <Н • (й + 1) • (р'у(]С+х). (1.9)

Так как Р(а^+х) = 0, то по формуле произведения (1.4) имеем

1Р(ак+х)1 • 1Р(а^+х)1Р • П 1Р(ак+х)и = 1, (1.10)

где произведение в левой части (1.10) взято по всем простым д = р. Поскольку 1Р(а^+х)1ч ^ 1 в силу Р(а^+х) Е N то из (1.10) и (1.9) следует, что

,2 \ ' ^ —х

1РЫ> >{Н •+ 1] ■{-¿—г)''1'"™') (111)

Так как 1С + 2 > 1С ^ к0, то по (1.7)

Р—у(К+2) < 1р—('+2)1{К+х) = р—'у(К+х) —21(К+х) < р—'^К+х) ^ Н—2.

Учитывая, что

Н >Но >Нх = (й + 1)(^^

имеем

р—уу(1С+2) < р—'у(1С+х) • Н—х • (й + 1)—х • (

Принимая во внимание (1.11) окончательно получаем

1Р(ах+х)1Р > Р—у(1С+2). (1.12)

Таким образом, из (1.8), (1.12), и (1.11)

1Р(а)\р = 1Р(а^+х)1Р > (и • (й+1) • (^. (1.13) Из неравенств (1.6) получим

^ Ъ&Н

или

-1

К ^ Гх(1ОЕрН). (1.14)

Поэтому из (1.13) и (1.14) получаем

\Р(а)\р • (й + 1) • р'ЬЬ-1(^Рн)+х))^ .

□

то

а = У , рп!.

Теорема 1.2. Пусть

Е:

п=х

Тогда для любого натурального числа й и любого е > 0 существует постоянная Н0 = Н0(етакая, что для любого многочлена Р(х) Е Ъ[х] степени й и высоты Н ^ Н0 выполняется неравенство

\Р(а)\р >(н(й + 1) Н—.

Доказательство. Поступая аналогично теореме 1.1, получим, что суще-

( Р

ствует число Н\ = Н\ (й) ^ (й + 1) ( -- 1 такое что для любого Н ^ Н\

существует число 1С = 1С(Н) такое, что

р(к+х)! > Н > рю- (1.15)

и для любого к ^ К

(к + 1)! > (й + 2)к\

Нетрудно видеть, что поскольку а(п) = 1, то в аналоге неравенства (1.9) будем иметь

1Р(ак+1)1 < Н • (й +1) • (р^.

Поэтому аналог неравенства (1.13) будет иметь вид

№)|„ > +1) (р-^)''р4{К+1>') . (1.16)

В общем случае, чтобы избавиться от «технического параметра» ^ мы воспользовались обратной функцией 7—1(п). В данном случае 7(п) = п\, поэтому можно оценить (1С + 1)!, учитывая неравенства (1.15). Из неравенства (1.15) следует, что

(К + 1)!

(К + 1)! > 1о&, Н > Ю.=

+1

или

1п(1С + 1)! > \nlogp Н ^ 1п(£ + 1)! — 1п(£ + 1) =

— + 1)! (1 — ёЩ-) . (117)

Из известной оценки факториала

ппе пл/2кп <п! < ппл/2кпе п+12»

следует, что

п 1п п — п +11п(2пп) < 1п п! < п 1п п — п + -1—+ 11п(2пп). 2 12(1, 2

Откуда получаем, что существует к1, такое что для любого к ^ ^

к 1п к — к< 1п к! <к 1п к. (1.18)

Поэтому для Н ^ Н2, поскольку ^ = К,(Н) ^ то при Н ^ то, то су-ществет Н2 такое, что для любого Н ^ Н2 К,(Н) > к1, следовательно неравенство (1.17) можно переписать в виде

1п(£ + 1)! > 1п Н ^

> ^ + 1)! (1 — (К + 1)^++1)1)— (Г + 1)) • (-9)

Из правой части (1.19) получим

\п(1С + 1)! ^ \п\о%рН • 1 —

О

\п(1С + 1)

(1С + 1)\п(К, + 1) — (1С + 1)

)

-1

Поскольку

(1—

\п(1С + 1)

(1С + 1)\п(К + 1) — (1С + 1)

)

-1

=1

\п(1С + 1)

а Нш

1С—>оо

\п(1С + 1)

\п(1С + 1) — 1 —

К. + 1

= 1 , то для любого > 0 существует

к2(е), такое что для любого 1С ^ к2 выполняется неравенство

\п(1С + 1)! ^ \п\о%рН ^1 + .

(1.20)

Снова ссылаясь на то, что 1С = 1С(Н) ^ то при Н ^ то получим, что существует Н3, такое что для любого Н ^ Н3 и К(Н) > к2, следовательно ещё раз применим (1.18) к (1.19).

(1С + 1)\п(К + 1) > \п^рН ^

^ ((1С + 1)\п(К + 1) — (1С + 1)) 1 —

\п(1С + 1)

(1С + 1)\п(К, + 1) — (1С + 1)

)

(1.21)

(

= (1С + 1)\п

+1

1+

1

\п

+1

1

)

+1

Обозначая гх =

\п

V )

]С + \ и логарифмируя (1.21) будем иметь

1

\п(1С + 1) ^

1 + > -п^.Н >

( , К + 1

> \п(К. + 1)

\п \п

1+ е

\п 1 -

\п(1С + 1)

+

К + 1

\п(1С + 1)

(1.22)

Из (1.21) и (1.22) получим

1п 1п + 1 ^ е

1п 1

+

1+61 /С + 1

)

<

К, + 1 К, + 1

Подставляя (1.23) в (1.20) получаем

1п(£ + 1) 1п(£ + 1) ^ 1п1п^р Н

1п Н

<

(1.23)

1п(£ + 1)! ^ 1п^рН 1 +

1

(1+ £)1п1п^„ Н

1п Н

) •

откуда

или

или

(1+е)1п1п \ogpH 1пк^р Н

(1С + 1)! ^ Н) (£ + 1)! ^ ¿хЛо&РН +(1+£)1п1п1оёР Н

)

(£ + 1)! ^ еЧ1о£рН<ЫоерН)1+е) (К + 1)! ^ ^ Н • (1п^ Н)

1+е

или

р(Ш)\ ^ Н0Ш<щрН)

1+е

(1.24)

Выбирая окончательно Н0 = Н0((1,£) = тах{Н1,Н2,Н3} и подставляя (1.24) в (1.16) получаем утверждение теоремы. □

Лемма 1.2.

дР

У^ (®1,..., ат)(аг, N — аг) + Я(а1, м — а,1,..., ат, м — ам)

=1

^ р—и(м+1).

Доказательство. Все слагаемые Я(а1,м — а1,..., ат, м — ам) имеют норму не выше, чем р—271 +1), а все слагаемые

дР дхг

(а1,... ,ат)(аг, м — аг)

имеют нормы не выше, чем р 71(м+1\ Среди этих чисел р 71(м+1 — наибольшее. □

р

00

Пусть аг = ащгръ(п,г = 1,...,т, где а^ Е N и 1 ^ а^ < р. Пусть

п=0

функции х) возрастающие, такие что

li+х(n)

Нш '.У = то, г = 1,...,т — 1 (1.25)

- Ъ(п)

п

и

Нш ^^ = то (1.26)

" 1т (П)

п^то т

Теорема 1.3. Для любого многочлена Р(хх,..., хт) Е Z[хх,... , хт], отличного от тождественного нуля, высоты Н и степени й по совокупности переменных хх,... ,хт, при условии Н ^ Н0(й) выполнено неравенство

\Р (аи...,ат,)\р >Н— ((d±тт-^• У+х)—",

где где т—х(х) — обратная функция к функции т(х) = 1х(х + 1) —й{1т(х) + 1).

к

Доказательство. Обозначим а^1кк = ^ а^Ф1^. Тогда по формуле Тейло-

п=0

ра

т дР

Р (ах,м,..., ат,м) = Р (ах,..., ат) + £ дх-(ах,ат)(аьм — а,{)+

=х

+ В-(ах^ — ах,..., ат,ы — ам),

где Щхх,... ,хт) — многочлен с коэффициентами из 'р степени не ниже второй по совокупности переменных. Из формулы произведения, получаем

\Р(ах, м,... ,атм)\Р ^

\Р(ах, N,.. .,ат,ы)\'

Нужно доказать, что Р(ах,м,..., ат,м) = 0. Представим многочлен Р(хх,..., хт) в виде

Р(хх , . . . , хт) / Ркт (хх , . . . , хт—х)х кт=0

где, в свою очередь,

Ркт (%1, • • • ,Хт—1) = ^^ Рк„икт-1 (%1, • • • ,Хт—2)Хгт—1

кт-1=0

к2

Ркт,кт-1,...,к2 (х1) ^У ^ Ркт,кт-1,...,к2,к1 • х\ •

к1=0

Все числа 1Ркт,.„м | ^ Н. Если , м > Н + 1, то Ркт,..,к2 (а1 N) = 0. С другой стороны

Ркт,...М(^N) ^ Н(с1 +1)(а1 N)' ^ Н(с1 + 1) (р71^1)' . Аналогично, если

>Н(й +1) (р71(м)+1)' + 1,

то Ркт,...м ) = 0 и

(агм) <Я^ •

Продолжая аналогичные рассуждения, получаем что, если

'

'21 1 • I п7т-1(М )+1 }

сИ(т — 1) то Р(а1,м, • • .,ат,м) = 0 и

|Р(а^, • • •,ат,м)| < Н () (р»"т+1)'• (1.28)

Если

Р72(Ю > н(4 + 1) (р-п^^у , (1.29)

то

а2,м >Н((1+1)(р71(м)+1)* Перепишем неравенство (1.29)

^) > 1ogp(H(й + 1)) + (!(Ъ(Ы) + 1). (1.30)

Из условия (1.25) вытекает, что условие (1.30) справедливо для N ^ Ы1(Н, ё).

^ >*{• >+1)' ^ (127)

Аналогично, неравенство (1.27) следует из неравенства

Ъп(N) > log„ (я+ d(7m.—i(N) + 1),

которое выполняется при N ^ Nm^,d). Обозначим N = maxNi^,d). Из неравенства (1.28) следует, что

1

\Р(ai,N,.. .,am,N)\

r_i f (d + m — 1)!\ —1 i^m(N)+i\—d

\Р(ai,N,..., am,N)\p ^ 7757-77 ^

^ я -

[y • (p^(N)+i)—d. (1.31)

! т!

Для наличия противоречия с предположением, что Р(ах,... ,ат) = 0 достаточно, чтобы

р—11(м+х) < Н—х (^ ~В'Vх. ^ту"

ъ(N + 1) > log, я ((d + ™m] + d^m(N) + 1), (1.32)

или

(d + m — 1)!

эр " 1 п i I + u{'/m(

что верно при N ^ N0 ^ N, при этом Р(ах,..., ат) = 0 и

1

\р а,... , а т ) \ = \Р(а, N, . . . , am,N)\Р ^

lml \р \± V\v ^ \ ni \ I *

\р (а, N ,...,am,N )\

Обозначим т(N) = 71(N + 1) — d(ym(N) + 1), тогда из неравнества (1.32) получим

N) > log;, я . (1.33)

(й + т — 1)! й! т!

Из условия (1.26) следует, что функция т(Ы) является возрастающей функцией, то из неравенства (1.33) следует, что

Ы> т—х(Н), (1.34)

здесь подразумевается обратная функция к возрастающей функции ( х). Из неравенств (1.31) и (1.34), получаем окончательную оценку

\Р(а,м,...,ат,М)\р > у^Т--1---^ ^

\Р(аN,..., ат,м)\

^ н 1 (у-^ л" >

—if (d + m — щ 1 ( {Т-Чн ))+л —

> я

d!m!

• (р7ш(т-1(н ))+iJ

Теорема 1.4. Любое целое р-адическое число представимо суммой двух Лиувиллевых чисел.

Доказательство. Рассмотрим каноническое представление целого р-адиче-ского числа:

ж

а = J2anPn, an Е {0,1,...,р — 1}.

п=0

Рассмотрим последовательность чисел щ Е N U {0}, такую что:

п0 = 0, lim Пк+1 = ж. (1.35)

к^ж Пк

Определим функции ^(п) и 12(п) следующим образом:

h(n) = 1,12(п) = 0, если пк ^п < пк+1, к = 0, 2,4,6,... h(n) = 0,12(п) = 1, если пк ^п < пк+1, к = 1,3, 5, 7,...

Положим

жж

L>1 = h(n)(inPn, L2 = ^ k(n)anPn.

n=0 n=0

Очевидно, что l1(n) + 12(n) = 1, поэтому L1 + L2 = a. Докажем, что L1 — лиувиллево число. Пусть

nk

Ак = ^ h(n) anPn. (1.36)

n=0

Из (1.36) следует неравенство

Ак < pnk+1,

при этом

< n (™fc+i ^ "fc+i

|а — Ак |р ^ p—nk+1 = p—(nk ^ <Ак Пк+1. (1.37)

Из неравенств (1.37) и (1.35) следует, что L1 является лиувиллевым числом.

Аналогично доказывается, что число L2 так же является лиувиллевым.

□

ГЛАВА 2 Лиувиллевы д-адические числа §1. д-адические числа

Пусть д ^ 2 целое число, тогда любое положительное действительное число а может быть записано в виде

а = Е ак9-к, (2.1)

к=/

где / некоторое целое число, зависящее только от а, коэффициенты ак принимают значения из множества {0,1, 2,..., д — 1}. Элементы этого множества называются цифрами основания или просто цифрами.

Заметим, что показатель —к степени числа д в формуле (2.1) уменьшается и стремится к —то.

Разложения целых положительных чисел имеет вид

п

а = ^акдк, к=0

где п — некоторое неотрицательное целое число и ак — цифры. Число

п

а = ак9к, к=—/

где положительное целое число, представляет собой рациональное число со знаменателем д^.

Определение 2.1. Пусть г,з ид — целые числа, такие что

г = 0, 1, НОД (г, в) = 1, д^ 2. и а = -, при а = 0, мы положим

\а\д = 9^ |0|, = 0.

Так определённая функция \х\д называется д-адической псевдо-нормой х. Неравенство

г

^ 1

выполняется при условии

НОД (д, 8) = 1.

Числа, для которых выполняется данное свойство, называются целыми рациональными д-адическими.

Свойства g-адической псевдо-нормы

Опишем подробнее некоторые свойства псевдо-нормы.

Предложение. а) \а\д = 1 & а = -, где g \ г, НОД (g, s) = 1.

б) \а\д = gf & \gfa\g = 1.

в) Для каждого целого ф \д^а\д = д-(^\а\д.

г) \а ± Ъ\д ^ тах(\а\д, \Ь\д) (неравенство треугольника).

Предложение. \аЬ\д ^ M^fr^.

Отметим, что если д = р — простое число, тогда \аЬ\р = Н^б^.

Кольцо Qg для целых д, являющихся произведением простых

чисел

Обозначим рi,р2,... ,Рк — различные простые числа. Положим

ГЛ Гк / А Гк

9 = Р\ • ... • Рк и 9 = Рi1 • ... • Ркк Г\, . . . , гк и г[, . . . , г'к различные натуральные числа. Утверждается, что

Qg = Qg'.

Это утверждение несложно доказать. Нужно найти две положительные константы с\ и с2 такие что

а\а\д ^ \а\д, ^ С2 \а\д .

Рассмотрим случай, когда к = 1. Последовательность {ап}, ап Е Q ограниченная, фундаментальная или нулевая последовательность относительно \ а\ ' тогда и только тогда, когда она является такой же относительно \ \ . (Отсюда следует единственность)

Каждое g-адическое число можно представить как (/-адическое и наоборот. Идентичность Qg и Qg, показывает, что достаточно рассматривать одно g-адическое кольцо с

д = р i • ... • рк,

Pi Е P, все простые различны.

Кольцо g-адических чисел, как прямая сумма рк-адических

полей

Для полноты изложения приведем доказательство следующей теоремы.

Теорема 2.1 ([39]). Пусть Ак, к = 1,к некоторое рк-адическое число. Тогда существует единственное д-адическое число А, такое что

А = (Аи...,Ак).

Доказательство. Для каждого номера к = 1, к определим {ап'} — рК-адическую фундаментальную последовательность рациональных чисел, так что

а

Рк , s

АК = lim а{пк).

п—у со

Нет оснований, почему для Л = к последовательность {аП^} так же имеет рд-адический предел, и может не быть ограниченной относительно |а|Рх. По этой причине примем за факт, что последовательность {еП^} имеет рк-адический предел равный 1 и для Л = к рд-адический предел равный 0. Следовательно, бесконечная последовательность {е может быть выбра-

на так, что

ЛР* (к) (к) I Ак, если к = X, lim а[Уе 1К) = (

0, если к = X.

п г„ п

Далее

lim а(пк)е1к) = (0,...,АК,..., 0)

п—УОО "

с компонентой Ак на к-ом месте, а остальные 0. Наконец, определим последовательность рациональных чисел {ап}

к

ап = ^а{п]ern, п G N.

К=1

Как сумма к g-адических фундаментальных последовательностей, она сама является фундаментальной последовательностью, и, очевидно, имеет предел

к

lim ап = > (0,...,АК,..., 0) = (А1, А2,..., Ак) = А.

п

К=1

Если второе д-адическое число А имеет те же компоненты, что и А тогда все компоненты А — А' = 0 и А — А' — предел д-адической нулевой последовательности. Это и требовалось доказать.

На языке алгебры 0_д является прямой суммой (для конечного числа полей тоже самое, что и прямое произведение) полей <р 1,... , <рк:

Од = <0,1 Ф 0р2 Ф ... Ф 0рк.

□

§2. Алгебраические и трансцендентные числа в прямых

произведениях полей

Рассмотрим некоторые арифметические свойства элементов кольца Qд. Любое д-адическое число определяется своими компонентами. Пусть а -некоторое д-адическое число, имеющее компоненты {а\, а2,..., ат). Тогда имеют место следующие утверждения:

Теорема 2.2. д-адическое число а будет алгебраическим тогда и только тогда, когда его компоненты — алгебраические числа, т.е. а1,а2,... ,ат — алгебраические числа из Qр 1,..., QРт, соответственно.

Доказательство. Рассмотрим произвольный многочлен Р(х) с коэффициентами из поля Q. Тогда, так как сумме чисел соответствует сумма их компонент, а произведению — произведение их компонент, то Р(а) = (Р(а1),..., Р(ат)). Если а — алгебраическое число из Qд, то существует многочлен Р(х) ^ 0, такой что Р(а) = 0. При этом все аг алгебраические рг-адические.

Обратно, если существуют Рг(х) не равные тождественно нулю, такие

т

что Рг(аг) = 0, то рассмотрев многочлен Р(х) = П Рг(х) получим что

г=1

т т т

Р (а) = (П Рг(а\), П Рг(а2),..., П Рг (ат)), откуда следует, что Р (а) = =1 =1 =1 (0,0,..., 0), следовательно а - алгебраическое число из Qд. □

Рассмотрим д-адические числа В и С и положим

А = В •С

и пусть

А = (А1,А2,...,Ат), В = (В1 ,В2,...,Вт), С = (С1, С2, ... , Ст) их представления р^ - адическими компонентами. Тогда

А1 = В1 • С1, А2 = В2 • С2, . . . Ат = Вт • Ст,

где все компоненты лежат в соответствующих полях. Имеет место следующее утверждение.

Предложение 2.1. Равенство В • С = 0 выполняется тогда и только тогда, когда для каждой пары компонент

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Крупицын Евгений Станиславович, 2020 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Mahler K. Zur approximation der exponentialfunktion und des logarithmus //J. Reine ang. Math. — 1932. — no. 166. —P. 118-136.

2. Maillet E. Sur la classification des irrationnelles // Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris). —1906. —Vol. 143. —P. 26-28.

3. Maillet E. Sur certains nombers transcendants // Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris). —1906. —Vol. 143. —P. 873-874.

4. Maillet E. Sur les nombres dont le developpement en fraction continue est quasi-periodique, et sur les nombres de liouville // Bull. Soc. Math. France. —1906. —Vol. 34. —P. 213-227.

5. Maillet E. Sur les fractions continues arithmetiques et les nombres transcendants // Journ. Math. Pures Appl. — 1907.— Vol. 6.— P. 299-336.

6. Maillet E. Sur diverses proprietes des nombres transcendants de liouville // Bull. Soc. Math. France. —1907. —Vol. 35. —P. 27-47.

7. Maillet E. Sur les equations indeterminee en nombres transcendants de liouville // Mem. Acad. Sci. Toulouse. — 1907.— Vol. 10(7). —P. 1-3.

8. Maillet E. Sur les nombres de liouville et les fractions continues quasi-periodiques // Ass. Franc. Congress de Lyon 1906. — 1907. — Vol. 35.— P. 52-53.

9. Maillet E. Sur les fractions continues arithmetiques et les nombres transcendants // Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris). — 1907. — Vol. 144.— P. 1020-1022.

10. Maillet E. Sur quelques proprietes des nombres transcendants // Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris). — 1920.—Vol. 170. —P. 983-986.

11. Maillet E. Sur quelques proprietes des nombres transcendants de liouville // Bull. Soc. Math. France. —1922. —Vol. 50. —P. 74-99.

12. Maillet E. Nombres transcendants de liouville (question 5119) // L'Intermediare Math. — 1922.— Vol. 2 (1). —P. 136-137.

13. Mahler K. On the theorem of liouville in fields of positive characteristik // Canad. Journ. Math. — 1949.— Vol. 1. —P. 397-400.

14. Cabannes H. Applications des fractions continues a la formation de nombres transcendants // Revue Sci. — 1944.— Vol. 82. —P. 365-367.

15. Erdos P. Representation of real numbers as sums and product of liouville numbers // Bull. Amer. Math. Soc. — 1962.— Vol. 68, no. 5. —P. 475-478.

16. Чирский В. Г. Арифметические свойства рядов в полях с неархимедовыми нормированиями. — М. : Изд-во МГУ им. М.В. Ломоносова, 2000.

17. Чирский В. Г. О глобальных соотношениях // Математические заметки. — 1990. — Т. 48, № 2. — С. 123-127.

18. Chirskii V. G. Arithmetic properties of generalized hypergeometric f-series // Doklady Mathematics. — 2018.— Vol. 98, no. 3. —P. 589-591.

19. Chirskii V. G., Krupitsyn E. S. On liouville decomposition of polyadic integers // Global Journal of Science Frontier Research (GJSFR): F Mathematics & Decision Sciences. — 2018.—Vol. 18, no. 1. —P. 33-36.

20. Chirskii V. G., Nesterenko A. Y. An approach to the transformation of periodic sequences // Discrete Mathematics and Applications. — 2017. — Vol. 3, no. 1. —P. 1-6.

21. Chirskii V. G. Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients // Izvestiya. Mathematic. — 2017. — Vol. 81, no. 2. — P. 444461.

22. Chirskii V. G. Representation of positive integers by summands of a certain form // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. — 2017. — Vol. 298, no. 1. —P. 70-73.

23. Chirskii V. G. Arithmetic properties of euler series // Moscow University Mathematics Bulletin. — 2015.— Vol. 70, no. 1. —P. 41-43.

24. Chirskii V. G., Bundschuh P. Estimating polynomials jxer Zp at points from Cp // Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. — 2015. — Vol. 5, no. 1-2. —P. 14-20.

25. Чирский В. Г. Арифметические свойствацелых полиадических чисел // Чебышевский сборник. — 2015. — Т. 16, № 1. —С. 254-264.

26. Чирский В. Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика. — 2015. — № 1. —С. 59-61.

27. Chirskii V. G. Arithmetic properties of polyadic series with periodic coefficients // Doklady Mathematics. — 2014. — Vol. 90, no. 3. — P. 766768.

28. Chirskii V. G. On the arithmetic properties of generalized hypergeometric series with irrational parameters // Izvestiya. Mathematics. — 2014. — Vol. 78, no. 6. —P. 1244-1260.

29. Чирский В. Г. Арифметические свойства полиадических рядов с периодическими коэффициентами // Доклады Академии наук. — 2014. — Т.

459, № 6. —С. 677-679.

30. J. von N. Ein system algebraisch unabhängiger zahlen // Math. Ann. — 1928. —Vol. 99. —P. 134-141.

31. Kneser H. Eine kontinuumsmachtige, algebraisch unabhangige menge reeller zahlen // Bull. Soc. Math. Belg. — 1960. — no. 12. —P. 23-27.

32. Kuiper F., Popken J. On the so-colled von neumann numbers // Proc. Akad. Wet. Amst. — 1962. — no. A 65. — P. 385-390.

33. Schmidt W. Simultaneous approximation and algebraic independence of numbers // Bull. Amer. Math. Soc. — 1962.— Vol. 68, no. 5. —P. 465-478.

34. Schmidt W. Remark on my paper «simultaneous approximation and algebraic independence of numbers» // Bull. Amer. Math. Soc.— 1963. — Vol. 69, no. 2. — P. 465-478.

35. Fraenkel A. Transcendental numbers and a conjecture of erdos and mahler // Journ. Lond. Math. Soc. — 1964.— Vol. 39. —P. 405-416.

36. Fraenkel A. Distance to nearest integer and algebraic independence of certain real numbers // Proc. Amer. Math. Soc. — 1965. — Vol. 16, no. 1. — P. 154-160.

37. Adams W. On the algebraic independence of certain liouville numbers // Journal of Pure and Applied Algebra. — 1978. — Vol. 13. — P. 41-47.

38. Mahler K. Über transzendente p-adische zahlen // Compos. Math.— 1935. —Vol. 2. —P. 259-275.

39. Mahler K. Introduction to p-adic numbers and their functions. — London : Cambridge University Press, 1981.

40. Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. — М. : Наука,

1971.

41. Cijsouw P. L. Transcendence measures.— Amsterdam : Acad. Proefschrift,

1972.

42. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. — М. : Мир, 1982.

43. Каток С. Б. р-адический анализ в сравнении с вещественным. — М. : МЦНМО, 2004.

44. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М. : Наука, 1968.

45. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — М. : Наука, 1984.

46. Лефшец С. Алгебраическая топология. — М. : ИЛ, 1949.

47. Новосёлов Е. В. Топологическая теория делимости целых чисел // Учён. зап. Елабуж. гос. пед. ин-та. — 1960. — № 3. — С. 3-23.

48. Новосёлов Е. В. Введение в полиадический анализ. — Петрозаводск, 1982.

Статьи в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных для защиты в диссертационном совете

МГУ по специальности

1. Крупицын Е. С. Арифметические свойства рядов некоторых классов // Чебышевский сборник. — 2019. — Т. 20, № 2. — С. 374-383. Журнал индексируется в Scopus, РИНЦ

Импакт-фактор 0,324 (за 2018 год)

2. Крупицын Е. С. Оценка многочлена от глобально трансцендентного числа // Чебышевский сборник. — 2017. — Т. 18, № 4. — С. 245-254. Журнал индексируется в Scopus, РИНЦ

Импакт-фактор 0,324 (за 2018 год)

3. Krupitsyn E.S. Estimates of polynomials of some p-adic numbers, Moscow University Mathematics Bulletin, 2015, 70(4), pp. 187-190.

Журнал индексируется в Scopus, РИНЦ Импакт-фактор 0,348 (за 2018 год)

4. Chirskii, V.G., Krupitsyn, E.S. Estimates of polynomials of some g-adic numbers, Moscow University Mathematics Bulletin, 2012, 67(2), pp. 89. (автору принадлежат доказательства результатов)

Журнал индексируется в Scopus, РИНЦ Импакт-фактор 0,348 (за 2018 год)

Публикации автора по теме диссертации, примыкающие к

основным

5. Chirskii V. G., Krupitsyn E. S. On liouville decomposition of polyadic integers // Global Journal of Science Frontier Research (GJSFR): F Mathematics & Decision Sciences. — 2018. — Vol. 18, no. 1. — P. 33-36.

6. Крупицын Е. С. Арифметические свойства рядов некоторых классов // Чебышевский сборник. — 2010. — Т. 11, № 1. — С. 184-188.