Значения арифметических функций в коротких интервалах и случайные мультипликативные функции тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Калмынин Александр Борисович

• Калмынин Александр Борисович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Калмынин Александр Борисович

2.3 Оценки для более длинных сумм

3 Квадратичные характеры с положительными частичными суммами

3.1 Многочлены Фекете, гипотеза Эрдёша о расходимости

3.2 Случайные мультипликативные функции

3.3 Случайные ряды Дирихле

4 Заключение 51 Заключение 51 Список литературы

Введение

Множество S натуральных чисел, представимых в виде суммы двух квадратов целых чисел, много изучалось как классиками математики, так и современными авторами. Хорошо известно, что натуральное число n с разложением на простые n = 'p^1 • • -Pfcfc лежит в S тогда и только тогда, когда для всех i с условием pi = 3 (mod 4) показатель ai является чётным. Частный случай этого утверждения для простых n называется рождественской теоремой Ферма или теоремой Жирара. Первое доказательство данного результата, принадлежащее Л. Эйлеру, опиралось на метод бесконечного спуска. Известны многие другие доказательства рождественской теоремы Ферма, использующие самые разные математические методы. Например, доказательство Лагранжа при помощи теории квадратичных форм (см. упрощенное изложение Гаусса [12, art 182, p.147-149]), доказательства Дедекинда, использующие арифметику кольца Z[i] гауссовых чисел, а также так называемое «однострочное» доказательство Цагира [37]. Можно также использовать формулу тройного произведения Якоби для того, чтобы вывести явную формулу

r2 (n) = 4 Y^ Х4 (n) ,

d\n

где r2(n) есть число решений уравнения а2 + b2 = n в целых числах, а х4 — квадратичный характер Дирихле по модулю 4, что устанавливает связь множества S с теорией модулярных форм, см. [18].

Один из первых статистических вопросов о S восходит, по всей видимости, к Л. Эйлеру [22]. А именно, Эйлер интересовался распределением промежутков между элементами S, то есть значениями величины

R(N) = min IN — x2 — y21.

Элементарные рассуждения показывают, что R(N) = O(N1/4). В самом деле, если q(x) = x — [Vx]2, то q(x) ^ \fx и x — q(x) — квадрат целого числа, так что

x — (x — q(x) + q(x) — q(q(x))) = q(q(x)) ^ x1/4,

причем x — q(x) и q(x) — q(q(x)) — квадраты целых чисел (см. также [1]). На данный момент неизвестно, можно ли улучшить данную оценку, то есть верно ли, что R(N) = o(N1/4) при N ^ С другой стороны, предполагается, что справедливо гораздо более сильное соотношение

Гипотеза 1. Для всякого £ > 0 выполнена оценка

R(N) = O(Ne).

Определение R(N) можно переформулировать в терминах последовательности sn всех сумм двух квадратов. А именно, пусть s1 < s2 < s3 < ... — последовательность

всех натуральных чисел, представимых в виде суммы двух квадратов целых чисел, упорядоченная по возрастанию. Пусть также во = 0. Легко видеть, что тогда

R(N) = min |N - sn|.

n

Ясно, что для каждого N найдется единственное n такое, что sn < N < sn+1, так что

max R(N) ^ max(sn+1 — sn).

N <x sn<x

Таким образом, если мы хотим ослабить нашу задачу, то естественно рассматривать величину

'У ] (sn+1 — sn)Y

Sn + 1<x

для некоторого 7 > 0. При помощи неравенства Гёльдера легко получить соотношение

J] (sn+1 — sn)Y >> X(ln X)(Y-1)/2.

n

Sn+1 < X

В работах К. Хооли [19] и В. Плаксина [28] обратная оценка

^ (sn+1 — sn)Y « X(ln x)(Y-1)/2

Sn+1< X

получена для 7 < | и 7 < 2 соответственно (в работе [28] уже после публикации был обнаружен пробел, который был исправлен, см. [29]). Доказательства Хооли и Плаксина опирались на асимптотические формулы для сумм вида

^f2(n)f2(n + k),

n< x

равномерные по k. В данной диссертации мы представим другой подход к получению оценок для моментов величины sn+1 — sn. Мы строим функцию двух переменных S (N, M), которая позволяет выявлять большие промежутки между суммами двух квадратов следующим образом: если величина R(N) велика, то для правильно выбранных M значение функции S(N, M) оказывается близко к нулю. В то же время, такое поведение является аномальным для данной функции, поскольку в среднем она близка к единице. Данное рассуждение позволяет получить оценку, аналогичную результату В. Плаксина, но с менее точным показателем степени логарифма — 2(7 — 1) вместо 2(7 — 1). Формула для преобразования S(N, M) (Теорема 1) также оказывается связана с модулярными рядами Кузнецова-Коэна. Кроме того, найдена свзяь между оценками для R(N) и распределением «малых» квадратичных вычетов по mod q, то есть квадратичных вычетов вида r2 mod q, где r < R = qc для некоторого 2 < c < 1 (Теорема 3). Естественно ожидать, что данное множество будет распределено случайным образом; из такого предположения при помощи Теоремы 3 удается вывести оценку R(x) ^ x1/5+o(1).

Прежде чем изучать возможную случайность распределения «малых» квадратичных вычетов, следует, конечно, понять, обладают ли сходными свойствами множества всех квадратичных вычетов по заданному простому модулю p. Здесь мы переходим от произвольного натурального модуля к простому, поскольку множество квадратичных вычетов по модулю p совпадает со множеством всех таких n mod p, что = -1, где — символ Лежандра по модулю p, то есть задается значениями одного квадратичного характера. Для произвольных модулей это, вообще говоря, неверно. Многие вопросы о распределении квадратичных вычетов mod p сводятся, таким образом, к задачам о суммах характеров mod p, то есть о суммах вида

WxtgW),

neA

где A С Fp, x — характер Fp (можно также рассматривать продолжение х до характера Дирихле на Z или характеры Дирихле по составным модулям) и f : Fp ^ C, g : Fp ^ Fp — некоторые функции. Суммы характеров являются одним из магистральных направлений в теории чисел (см. [20, Chapter 12]), которое имеет связи со многими другими разделами теории чисел и математики вообще, например, с распределением простых чисел в арифметических прогрессиях через свойства L-функций характеров Дирихле, а с алгебраической геометрией через подсчет точек на кривых и других многообразиях над конечными полями.

Даже оценки сумм характеров для относительно простых множеств требуют больших усилий. В частности, результаты о суммах по коротким интервалам

Y1 х(п)

M<n<N+M

где х — характер Дирихле по простому модулю p и длина N растет степенным образом с ростом p, на данный момент нетривиальны только при N > p1/4+o(1). При этом оценка Бёрджесса [5] опирается на аналог гипотезы Римана для суперэллиптических кривых над Fp, то есть для кривых вида

ym = f (x), f G Fp[x], m > 2 — целое число.

В данной диссертации мы обсуждаем распределение квадратичных вычетов mod p в очень коротких интервалах, а именно суммы характеров

n

I

n< N

A

S (p,N ) = E, 4p

где N = (1пр) , А — произвольное положительное вещественное число. Мы строим некоторый естественный вес тр на простых числах, который позволяет доказать существование бесконечного множества таких р, что Б(р, N) N. Для таких простых

чисел p сумма S(p, N) не испытывает нетривиальных сокращений. В то же время, работа [23] показывает, что случайные подмножества в Z/pZ в некотором смысле неско-реллированы с множествами вида A + B, где A, B С Z/pZ и |A|, |B| > (ln N)1+o(1). Тем самым, мы показываем существование таких p, для которых множество квадратичных вычетов по модулю p проявляет свойства, ощутимо отличающиеся от свойств чисто случайного множества.

Продолжая тему неслучайных множеств квадратичных вычетов, в данной диссертации мы также получаем верхние оценки для относительной плотности некоторого специального множества простых чисел L+. Простое число p лежит в L+, если все частичные суммы символа Лежандра по модулю p неотрицательны, то есть

i ) (2 ) ( n ) „

- + - + ... + — > 0 для всех натуральных N. p p p

Данное множество изучалось, например, в работах [2] и [4], из последней статьи мы заимствуем обозначение L+. Если бы значения символов Лежандра mod p были сходны с шагами случайного блуждания, то вероятность неотрицательности всех частичных сумм была бы равна нулю. Таким образом, естественно ожидать, что относительная плотность L+ также равна 0. Этот факт был доказан в качестве простого следствия из более общего результата в работе Бейкера и Монтгомери [2], однако авторы не дают явной оценки на скорость убывания данной относительной плотности. Множество L+ оказывается тесно связано со свойствами многочлена Фекете

ш = g(П)г

поскольку для всех p Е L+ данный многочлен оказывается положительным на интервале (0,1). Мы сводим вопрос оценки плотности L+ к мультипликативному варианту асимптотической формулы для количества префиксов Дика заданной длины. А именно, последовательность векторов (1,£n)n<N, где £n = ±1 для всех n < N называется префиксом Дика длины N, если для всех m < N выполнено неравенство

£1 + £2 + ... + £m >

Несложно показать, что доля префиксов Дика длины N среди всех 2N возможных путей длины N убывает при N -с как cN-1/2. Также ясно, что для всякого p Е L+ последовательность ( 1, ( n ) ) является префиксом Дика для всех N < p.

V \p ) ) n<N

Однако, данная последовательность обладает еще одним весьма специальным свойством: поскольку = {j^ (pj, шаги нашего пути обладают свойством мультипликативности. При помощи известных результатов о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях мы сводим изучение относительной плотности L+ к вопросу о поведении величины m(x) — доли префиксов Дика среди всех мультипликативных путей длины [x] (Теорема 5).

Поскольку в определении функции т(х) речь идет о долях, она допускает естественную интерпретацию в виде вероятности того, что

f (п) > 0 при всех N < х,

п<М

где f (п) — случайная мультипликативная функция. Случайные мультипликативные функции часто появляются естественным образом как модель для детерминированных мультипликативных функций, таких как символ Лежандра ^^ или функция Лиувилля А(п). С другой стороны, случайные мультипликативные функции представляют и самостоятельный интерес как объект изучения, поскольку они обладают массой примечательных свойств (см., например, [16], [36]).

Нам удалось показать, что реализации случайной мультипликативной функции, первые N частичных сумм которой неотрицательны, обладают некоторым исключительным свойством. А именно, значения случайной дзета-функции

/ (•) = £ ^

п=1

оказываются аномально малы в некоторых точках вблизи критической прямой И,е в = 2. Доказательство аномальности использует как достаточно элементарные соображения, так и современный результат А. Харпера [15] о больших значениях случайной дзета-функции.

Основные результаты диссертации

1. Поведение ряда Кузнецова-Коэна для квадрата тета-функции связано с распределением сумм двух квадратов в коротких интервалах. Представлено несколько доказательств формулы модулярного преобразования данного ряда.

2. Оценка для моментов промежутков между суммами двух квадратов получена для всех 7 < 2 без использования асимптотических формул в бинарной аддитивной задаче с суммами двух квадратов.

3. Найдена оценка для расстояний между суммами двух квадратов, зависящая от распределения «малых» квадратичных вычетов.

4. Доказано существование бесконечного множества простых чисел р, для которых суммы символов Лежандра по интервалам длины (1п р)А не испытывают нетривиальных сокращений.

5. Получена логарифмическая оценка для доли префиксов Дика среди мультипликативных путей заданной длины. Как следствие получена явная оценка для относительной плотности множества

Основные методы исследования В диссертации используются методы аналитической теории чисел, анализа Фурье и теории вероятностей.

Теоретическая и практическая ценность Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут представлять интерес для специалистов в области теории чисел, модулярных форм и теории вероятностей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Значения арифметических функций в коротких интервалах и случайные мультипликативные функции»

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. Доклад «Положительность сумм характеров и случайные мультипликативные функции», Мемориальная конференция по аналитической теории чисел и приложениям, посвященная 130-летию со дня рождения И. М. Виноградова (Москва, Россия), сентябрь 2021

2. Доклад «Положительность сумм характеров и случайные мультипликативные функции», Конференция Международных Математических Центров Мирового Уровня, (Сириус, Россия), август 2021

3. Доклад «Случайные мультипликативные функции и нули L-функций Дирихле», семинар «Геометрические структуры на многообразиях», (Москва, Россия), май 2021

4. Доклад «Квадратичные характеры с неотрицательными частичными суммами», XIX Международная конференция «Алгебра, теория чисел, дискретная геометрия и многомасштабное моделирование: современные проблемы, приложения и проблемы истории», посвященная двухсотлетию со дня рождения академика П. Л. Чебышева (Тула, Россия), май 2021

5. Доклад «Квадратичные характеры с положительными частичными суммами», семинар «Современные проблемы теории чисел», (Москва, Россия), апрель 2021

6. «Конструкция Коэна-Кузнецова и арифметические функции в коротких интервалах», Семинар «Автоморфные формы и их приложения», (Москва, Россия), март 2019

7. Доклад «On the distribution of gaps between consecutive sums of two squares» («О распределении промежутков между соседними суммами двух квадратов»), Number Theory Seminar, TU Graz (Семинар по теории чисел, Грацкий технический университет) (Грац, Австрия), март 2019

8. Доклад «Large values of short character sums» («Большие значения коротких сумм характров»), Конференция Uniform Distribution Theory-2018 (Теория Равномерного Распределения-2018), (Люмини, Марсель, Франция), ноябрь 2018

9. Доклад «Большие значения коротких сумм характеров», Вторая мемориальная миниконференция памяти Алексея Зыкина, (Москва, Россия), июнь 2018

10. Доклад «Large values of short character sums» («Большие значения коротких сумм характеров»), Международная конференция «Алгебра, алгебраическая геометрия и теория чисел» памяти академика Игоря Ростиславовича Шафаре-вича, (Москва, Россия), июнь 2018

11. «Интервалы между числами, представимыми в виде суммы двух квадратов», XV Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения», посвященная столетию со дня рождения профессора Николая Михайловича Коробова, (Тула, Россия), мая 2018

12. Доклад «Cohen-Kuznetsov series and intervals between numbers that are sums of two squares» («Ряды Коэна-Кузнецова и интервалы между числами, предста-вимыми в виде суммы двух квадратов», School and research conference «Modular forms and beyond» (Школа и конференция «Модулярные формы и не только»), (Санкт-Петербург, Россия), май 2018

13. Доклад «Большие значения сумм характеров», семинар «Современные проблемы теории чисел», (Москва, Россия), декабрь 2017

14. Доклад «Intervals between numbers that are sums of two squares and Jacobi-type forms» («Интервалы между числами, представимыми суммой двух квадратов, и формы типа Якоби»), «Workshop:Motives, Periods and L-functions» («Семинар: Мотивы, Периоды и L-функции»), (Москва, Россия), апрель 2017

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях:

1. A. Kalmynin, «Intervals between consecutive numbers which are sums of two squares», Mathematika, 65(4), 1018-1032, 2019

2. A.B. Kalmynin, «Large values of short character sums», Journal of Number Theory, Volume 198, 200-210, 2019

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на разделы. Полный объем диссертации 54 страницы, библиография состоит из 37 наименований.

Краткое содержание работы Содержание главы 1

В первой части данной главы мы строим функцию S (N, M), которая позволяет выявлять большие промежутки между суммами двух квадратов. Более конкретно, мы показываем, что функция

S(N, M) = ^ r2(n)Jo(2nVNn)e-WM

n>0

аномально близка к нулю в таких точках N, для которых функция R(N) принимает большие значения. Здесь r2(n) есть число представлений n в виде суммы двух квадратов целых чисел, а J0 — функция Бесселя первого рода и порядка 0. Близость S(N, M) к нулю в точках, отдаленных от множества S, является следствием формулы преобразования для S(N, M):

Теорема 1. Для всех N, M > 0 выполнено равенство

S(N, M) = Me-nNM ^ r2(n)Io(2nMVNn)e-nnM,

n>0

где I0 — модифицированная функция Бесселя первого рода порядка 0.

Излагаются несколько различных доказательств данной формулы. Затем некоторые из методов доказательства применяются для получения оценок квадратичного отклонения функции S(N, M) от 1 по N. Данные оценки позволяют доказать следующую оценку для моментов промежутков между суммами двух квадратов

Теорема 2. Для всякого 1 < y < 2 выполнено соотношение

^ (Sn+1 - Sn)Y << x(ln x)3 (Y-1)£(x, y ),

s„+i<x

где

) = | 1 для Y < 2 [ln x для y =2.

Кроме того, в главе 1 представлен элементарный подход к решению задачи об оценке sn+1 — sn, основанный на таком наблюдении:

Теорема 3. Пусть N и R — натуральные числа. Обозначим через g(N, R) максимальное расстояние между остатками вида r2 mod N, r < R, то есть

g(N, R) = max min N

0<x<R y<R

у2фх2 mod N

y2 — x2

N

Тогда для любого R выполнено соотношение

R(x) < g(2[Vx],R) + R4x-1.

В частности, мы показываем, что при выполнении некоторой естественной гипотезы о поведении Я) выполнена оценка Я(х) ^ х1/5+о(1).

Содержание главы 2

Глава 2 посвящена изучению свойств множества квадратичных вычетов по простому модулю р в очень коротком начальном отрезке положительных чисел. А именно, мы изучаем свойства суммы

где — символ Лежандра и А > 0 — константа. Результаты С.В. Конягина и И.Д. Шкредова [23] показывают, что если бы множество квадратичных вычетов по модулю р было в некотором смысле распределено случайно, то сумма выше всегда была бы равна о((1пр)А). Мы же доказываем такой результат

Теорема 4. Пусть А > 0 — произвольное вещественное число, х > х0(А). Тогда существует по крайней мере одно простое число х < р < 2х такое, что

Доказательство Теоремы 4 опирается на усреднение по простым числам со специальным весом шр. Тем самым, мы показываем, что множество квадратичных вычетов по простому модулю часто проявляет свойства неслучайного множества, а символ Лежандра для таких простых, соотвественно, существенно смещен в сторону положительности частичных сумм. Получающиеся формулы существенно зависят от существования исключительных нулей ¿-функций квадратичных характеров, что приводит к тесной связи данной части работы с известными свойствами нулей Зиге-ля.

Содержание главы 3

В последней главе диссертации мы изучаем крайний случай вышеупомянутого положительного смещения. А именно, мы задаемся вопросом об относительной плотности множества всех таких простых чисел р, что для всякого натурального N выполнено неравенство

Множество также оказывается естественным образом связано с некоторыми вопросами о нулях Зигеля. Задача оценки относительной плотности сначала сводится к мультипликативному аналогу чисто комбинаторного вопроса о количестве

префиксов Дика среди всех путей заданной длины. Более точно, префиксом Дика мы будем называть конечный путь на плоскости, начинающийся в точке (0,0), никогда не опускающийся ниже прямой у = 0, все шаги в котором — векторы вида (1, ±1). Известно, что доля префиксов Дика среди всех путей длины N с такими шагами убывает с ростом N как с для некоторого с > 0. Будем называть путь мультипликативным, если для всех а и Ь таких, что аЬ не превосходит длины пути, поточечное произведение шагов с номерами а и Ь равно шагу с номером аЬ. Тогда при помощи неравенства Бруна-Титчмарша можно получить следующую оценку

Теорема 5. Пусть т^) есть доля префиксов Дика среди всех мультипликативных путей длины [Ж]. Тогда при х > 8 справедливо неравенство

|£+ П [1,х]| < п(х)т(0.51пх).

Оставшаяся часть главы 3 посвящена получению оценок для т(Ж) при помощи свойств случайных мультипликативных функций. Величина т(Ж) может быть проинтерпретирована следующим образом: пусть Х2,Х3,Х5,... — независимые случайные величины, имеющие распределение Радемахера и занумерованные простыми числами, то есть

Р(Хр = +1) = Р(Хр = -1) = 1, определим случайную вполне мультипликативную функцию f (п) формулой

f (п) = П XV.

р" ||га

В таких определениях число т(Ж) равно вероятности выполнения неравенств f (1) + ... + f (т) > 0 для всех т < N. Пользуясь таким определением и некоторыми свойствами случайной дзета-функции (з), мы получаем оценку для т(Ж)

Теорема 6. Для с = 2 + л/2 — л/2^16^2 ~ 0.0368 выполнена верхняя оценка

т(Ж) < *—ттг

^ ' (1п N )с-о(1)

и, следовательно, оценка

^ п(х)

|£+ П [1, х] | <

(1п1п х)с—о(1)

Основываясь на некоторых численных экспериментах, как детерминированных, так и вероятностных, мы предполагаем, что Теорема 6 близка к оптимальной.

1 Суммы двух квадратов в коротких интервалах

В данной главе мы строим функцию, позволяющую выявлять большие промежутки между числами, представимыми в виде суммы двух квадратов. Также обсуждаются различные доказательства основной формулы преобразования данной функции и её обобщение на случай произвольной модулярной формы. Кроме того, представлен элементарный подход к вопросу об оценке sn+1 — sn.

1.1 Функция S(N, M) и её модулярное преобразование

Пусть N и M — вещественные числа, N, M > О. Зададим функцию S(N, M) формулой

S (N, M ) = ^ Г2 (n) Jo (2п VnN )е-п""/м,

n>0

где r2 (n) есть число решений уравнения а2 + b2 = n в целых числах, а J0(x) — нулевая функция Бесселя первого рода. Пусть R(N) — расстояние от N до ближайшей суммы двух квадратов, то есть

R(N) = min |N — а2 — b2|.

(a,b)e z2

Далее мы покажем, что если значение R(N ) велико, то величина S (N, M ) близка к нулю. Для этого нам потребуется другое представление для S (N, M ). Введем некоторые обозначения. Для всякого вещественного x зададим функцию (x) формулой

-пм (x+n)2

e nez

Определим также величину I(N, M) как среднее значение произведения (y)

по окружности радиуса л/Ñ, то есть

1 I'п

I(N, M) = — (VNcos ф)^м(л/Ñsin

2п J-п

В первую очередь, найдем разложение Фурье : Лемма l.l. Для всех вещественных x выполнено равенство

„о _ 1 \ Л 2пгтх-пт2/м

*м (x) = vm £e ■

Доказательство. Данное равенство легко получается из формулы суммирования Пуассона для функции g(y) = е-пму2, поскольку

(x) = e

(x) = g(x + n)

nez

и

?(£) = е-п?2/м. л/M

□

Соотношение Леммы 1.1 также эквивалентно формуле преобразования для тета-функции Якоби, см. [35, раздел 21.51], поскольку в наших обозначениях

дм(x) = e-nMx2$з(пгМж | iM).

Лемма 1.1 позволяет установить соотношение между S(N, M) и I(N, M), а также дает первый способ доказательства Теоремы 1.

Лемма 1.2. Для всех N, M > 0 имеет место равенство

S(N, M) = MI(N, M) = Me-nNM ^ r2(n)Io(2nMVNn)e-nraM.

n>0

Доказательство. По определению функции дм (x) имеем

MI(N, M) = M ^ Г e-nM«VÑsin cos ф+Ь)2

Для всех a и b справедливо равенство

(>/Ñ sin ф + a)2 + (VNcos ф + b)2 = N + a2 + b2 + ^v^a sin ф + 2^Ь cos ф = = N + a2 + b2 + 2^N(a2 + b2) cos(ф - ^ь),

где

a = л/a2 + b2 sin 0аЬ, b = л/a2 + b2 cos 0аЬ. Таким образом, выполнено равенство

MI(N,M) = Me-nNM ^ e-nM(а2+ь2^ Г e-2nM(a2+b2)cos(^-^, откуда, пользуясь периодичностью косинуса, получаем при помощи замены

ф = ф1 + ваЬ

формулу

MI(N,M) = Me-nNM ^ Io(2nM^N(a2 + b2))e-nM(аЧь2) =

а,ье Z

Me-nNM ^ r2(n)Io(2nMVNn)e-nMn

n>0

Теперь докажем при помощи леммы 1.1, что MI(N, M) = S(N, M). В самом деле,

имеем

MI(N, M) = — í ( ^ e2ninVÑcos Фе-пп2/м j I ^ e2nimVÑsin ^g-nm2/M j 2п ^-п \n€Z ) Wz /

Раскрывая скобки, получаем

1

MI(N, M) = ^^ e-n(n2+m2)/M_ e2WW(ncos ф+msin

Рассуждая как в предыдущем вычислении, выводим равенство MI(N, M)= ^ e-n(n2+m2)/MJc(2n^N(n2 + m2)) = ^ r2(n)e-nn/M Jo(2nVN^),

n,m€Z n>0

То есть MI(N, M) = S(N, M), что и требовалось доказать. □

Здесь мы воспользовались интегральными формулами для функций Бесселя, а именно

1 Г 1 Г ■

Io(x) = — e-x cos и Jo (x) = — eix cos

2п J-п 2п ./-п

Доказательства данных соотношений можно найти, например, в книге [34, раздел 2.2].

Представим еще два способа установить справедливость Теоремы 1, использующие соображения, существенно отличающиеся от представленных выше.

Оказывается, Теорему 1 можно переформулировать в терминах ряда Кузнецова-Коэна для модулярной формы 02, что указывает на модулярную природу функции S(N, M). Пусть Л, k и w — вещественные числа, причем Л, k > 0 и w2 = 1. Голоморфная функция f на верхней полуплоскости H = {т Е C : Im т > 0} называется модулярной формой типа (Л, k, w), если для всех т Е H

f(т + Л) = f (т),f (-= w(-iT)kf(т)

и разложение f (т) в ряд Фурье (то есть по степеням e2nir/A) не содержит отрицательных показателей степени. В работе [24] установлен следующий результат

Теорема 1.1. Пусть f (т) — модулярная форма типа ^,k,w) и a(n) — её коэффициенты Фурье:

2ninT/Л

f (т ) = £ a(n)

а(п)е

п=0

причем для некоторой положительной константы В/ выполнена оценка

а(п) = ).

Тогда функция д/ : Н х С ^ С, определяемая рядом

0/(т^ = Т(кГа(0) + §а(п)е / ,

удовлетворяет соотношениям

0/(т + ^ = 0/(т,,) и 0/ 1 , ^ = (—г,)к™ехР ^^ ^ 0/(т,,).

Здесь — обыкновенная функция Бесселя первого рода порядка к — 1. Следует также заметить, что

Ит 4_1(4п,гух) = (2п)к-1 х-0 Г(к) .

Такие ряды изучались также в работе [6]. Теорема 1 является частным случаем Теоремы 1.1.

Доказат,ельст,во Теоремы 1, версия 2. В качестве функции f нужно взять

f (т) = £ Г2(п)в—.

п>0

Легко видеть, что f (т) = "$_г/т(0)2. Соотношение f (т + 2) = f (т) следует из написанного выше разложения Фурье, а равенство

f (—1) = —^(т)

получается из Леммы 1.1, поскольку (0) = ^М ^1/м(0). Это означает, что f является модулярной формой типа (2,1,1). В частности,

0/ 1 =—ех^4пг^) 0/ (т,,).

Заметим теперь, что

5(N, М) = £ r2(n)Jo(2пVNn)e_пra/M = 0/(г/М, ^N/2).

п>0

Полагая в равенстве выше т = гМ,, =

¿Мл/^/2, получаем

5(^ М) = —гтехр г4^") 0/(т,,) = Ме_пММ £ Г2(п)/о(2пМ, V Т / и>0

поскольку 00 (гх) = /0(х). Таким образом, Теорема 1 является следствием гораздо более общего результата Н.В. Кузнецова. □

Третий способ доказательства использует преобразование Меллина и формулу преобразования Куммера для вырожденных гипергеометрических функций. Вырожденная гипергеометрическая функция ^^а,^; г) определяется формулой

1 ^(а,6; г) = ^

Ь(п)п!'

п=0

где ж(п) = ж(ж + 1)... (ж + п — 1) = Г(ж + п)Г(ж)-1 — возрастающий факториал. Воспользуемся тем, что функция 1М1 появляется как множитель в преобразовании Меллина от произведения функции Бесселя и экспоненты

Лемма 1.3. Если а, в — вещественные числа, в > 0, то для любого комплексного в с Яе в > 0 выполнено равенство

(2л = в— Г(в), М (в. 1; -

в,

Л^^аф-^-1^ = в- Г(в)1М^ в, 1; — ^

Доказательство. Получается заменой переменных из формулы (3) [34, 13.3, стр. 394]. □

Кроме того, для 1М1 справедлива формула преобразования Куммера

Лемма 1.4. Для всех комплексных а, Ь и г выполнено равенство

1М1(а, Ь; г) = 1М1(Ь — а, Ь; —г).

Доказательство. См. [34, 4.42, стр. 102-103] □

Далее, пусть ф(в) — производящий ряд Дирихле арифметической функции г2(п), то есть

п( ) = г2(п) у 1

в ) п (а2 + Ь2)^.

п=1 (а,6)ей2\(0,0) ^ '

Хорошо известно, что в ) удовлетворяет следующему функциональному уравнению Лемма 1.5. Справедливо равенство мероморфных функций

п-т( в м в ) = п1-т(1 — в )д(1 — в ). Доказательство. См., например, [27, р. 342-343, Ех. 25-26] □

Доказательство Теоремы 1, версия 3. Введем обозначение е(Ж, М) = Ме-пММ ^ Г2(п)/0(2пМ

,-пгаМ

п>0

Рассмотрим преобразования Меллина

/( в ) = ^+ ^ ^ж, М) — ^ и д( в ) = ^+ М/ж) —

17

Предположим сначала, что И,е в > 1. Несложно увидеть, что тогда интеграл, задающий f (в), сходится. Более того, перестановка суммы и интеграла даёт

г+ж

f (в) = £ Г2(п) / 0о(2^л/Хпж)в-пгах/м

и> 1

Согласно Лемме 1.3, внутренние интегралы равны

п-Т(в)1 Л (в, 1; -пМХ).

Просуммировав по п, получаем равенство

f (в) = М*п-^(в)1Л(в,1; -пМЯ),

откуда видно также, что f (в) продолжается мероморфно во всю комплексную плоскость и имеет два простых полюса в точках в = 0 и в = 1. Если же И,е в < 0, то проделаем сходную операцию с формулой для $(в):

Г+

\ ^ / ч /

п> 1 ^

я(в) = Мв-пм^ Г2(п) ^/о ( I е-ППМ/Х

Сделаем замену переменной х = 1/у и заметим, что /0(^л/г) = </0(2^/-г) (выбор ветви ^/г здесь не играет роли, поскольку 0о(х) — чётная функция). Получающиеся интегралы принимают вид

Г

о

Согласно Лемме 1.3, такие интегралы равны

пв-1гсв-1М*-11^1(1 - в, 1; пМХ).

Суммируя по п, выводим

0(в) = Мв-пммп*-1д(1 - в)Г(1 - в)М*-11 Л(1 - в, 1; пМХ).

Заметим теперь, что М • М*-1 = М*, из Леммы 1.4 следует, что е-пММ 1^1(1 -в, 1; пМХ) = 1^1 (в, 1; -пМ№), а Лемма 1.5 гласит, что пв-1ф(1 - в)Г(1 - в) = п-*^(в)Г(в). Следовательно, д(в) также имеет мероморфное продолжение во всю комплексную плоскость и это продолжение совпадает с продолжением f (в), то есть f (в) = $(в). Далее, формула обращения Меллина для 5(X, М) - 1 дает

1 л3/2+гж

5(Х,М) - 1 = — f (в^в.

2пг J3/2-гж

Сдвигая контур на прямую И,е в = 1/2 и учитывая полюс в в = 1, получаем 5(X, М) - 1 = 7—/ f (в)йв + Ие8в=^ (в).

2пг J 1/2-гж

Согласно нашей формуле для /(в),

Кев^/(в) = Мп-11^1(1,1; ^.^(в) = Ме—.

Последнее соотношение следует из того, что вычет ^(в) в в = 1 равен п, а также из соотношения 1^1(1,1; —г) = е—^, которое является простейшим частным случаем Леммы 1.4. Окончательно для Б (Ж, М) получаем формулу

Б (Ж, М) = — / (в)^в + 1 + Ме-пММ.

2пг ./ 1/2-гго

Для & (Ж, М) формула обращения Меллина имеет вид

1 г- — 1/2+гго

&(Ж, М) — Ме—= — /(в)^в.

2пг У—1/2—

Также сдвигая контур на прямую Ке в = 1/2 и учитывая полюс в в = 0, приходим к равенству

&(Ж, М) — Ме—= — /(в)йв — Ке85=с/(в).

2п^ 1/2—гго

В силу нашей формулы для д(в) = /(в), вычисляем

Кев^о/(в) = М0е—1^1(1,1; пМЖ)Ке85=оп1—^(1 — в) = —1,

откуда

&(Ж, М) = — / (в)йв + 1 + Ме—= Б (Ж, М),

2пг ./1/2—гго

что и завершает доказательство. □

Можно обратить внимание на то, что первые два изложенных доказательства явно опирались на модулярность тета-функции, в то время как третье доказательство использовало модулярность неявно в виде функционального уравнения для ряда Дирихле ^(в). Помимо этого, в третьем доказательстве возник новый ингредиент: преобразование Куммера для вырожденной гипергеометрической функции. Еще одно из проявлений данного тождества — второй экспоненциальный интеграл Вебера, играющий важную роль в последующих вычислениях. Сформулируем нужный нам частный случай

Лемма 1.6. Для любых вещественных а и в справедливо равенство

/о(2^аж) /о(2л/вж)е—;= е—а—в /о(2л/ав).

о

Доказательство. См. [34, 13.31, стр. 395]. □

Выше мы называем это соотношение проявлением тождества Куммера, поскольку Лемма 1.6 легко получается из Леммы 1.3 преобразованием Меллина по параметру в.

1.2 Моменты промежутков между суммами двух квадратов

В данном разделе мы используем Теорему 1 для того, чтобы установить, что для значений N, далеких от сумм двух квадратов, величина S(N, M) близка к нулю. Затем при помощи Леммы 1.6 мы вычислим квадратичное отклонение S (N, M) от единицы. В таком контексте второй экспоненциальный интеграл Вебера выступает в роли соотношения «почти ортогональности» для функций Бесселя.

На протяжении всего раздела нам будет нужна асимптотическая формула для модифицированных функций Бесселя.

Лемма 1.7. Для всех вещественных x > 0 выполнена оценка

I»(x) = 0 (S).

Кроме того, для всех вещественных x справедливо неравенство

0 < I0(x) < e|x|.

Доказательство. Первое соотношение доказано в [34, 7.23, стр 203]. Второе неравенство легко следует из формулы

1 Г

lo(x) = — ex cos 2п J-n

и неравенства | cos ф| < 1. □

Пользуясь Леммой 1.7 покажем, что функция S(N, M) может быть использована для выявления промежутков между суммами квадратов длины хотя бы Vln N.

Лемма 1.8. Пусть N > 2 и R(N) > H > VlnN. Положим M = NH^. Тогда

S(N,M) « Nexp (-nMRN2

Доказательство. Заметим, что в наших предположениях M < N. Согласно Теореме 1,

S(N, M) = Me-nNM J] f2(n)/o(2nM>/Nra)e-nraM.

n>0

Если n > 1, то из Леммы 1.7 получаем

(„2пМ ^Nra

TSW

Пусть |n - N| < N1/3. Тогда

A/MenM -n)

Me-nNMlo(2nM v/Nn)e-nnM = O —-=-

V yfN

и если п = N + Л, то

— N — п = — (^ — ^П)2 = —Ж — ^ 1 + -Л

=—Ж (—4+о (| ))2=— £+о (£).

Поскольку Л < Ж1/3, умножая на пМ получаем

пМ — Ж — п) = — + 0(1),

так что

^—I

Просуммируем эту оценку по |Л| < Ж1/3 и учтём, что для слагаемых с г2(п) = 0 выполнено |Л| > ), получим

Ме—£ Г2(п)/о(2пМ^)е—ппМ ех^ — И Е г2(п) <

|п—N |<М1/3 ^ ' |п—N |<М1/3

[и ( пМЯ(Ж)2) ^ . . АГ ( пМЯ(Ж)2

< V ^ еХП--Е Г2(п) < Ж еХР

Ж 4Ж 2 4Ж

у 7 ra<2N у

Оставшиеся п, для которых |Л| > Ж1/3, разобьем на два множества: п > 2Ж и п < 2Ж. Для п < Ж, |Л| > Ж1/3 выполнено

^/з ( ^ 1/3)3 )

^v/Nn — Ж — п < —— + О ( А70 ) = —0.25Ж—1/3 + 0(Ж—1),

4Ж Ж2

так что из неравенства 0 < /о(ж) < ех получаем

Ме—Е /о(2пМппМ < «<N,1«—N |>N1/3

<< МЖехр(—пМ/4Ж1/3) << ехр ^—ПМ^)2 Используем ту же оценку для /о, при п > 2Ж получаем

(^ — ^п)2 > п(1 — 1/^2)2 > 0.08п,

так что

Е Ме—1о(2пМ< М Е е—о.о8п < Ме—0.16N,

ra>2N ra>2N

что пренебрежимо мало по сравнению с интересующей нас оценкой. □

Замечание 1.1. Легко видеть, что множитель N в оценке выше неоптимален: оценка r2(n) ^ n£ для всех е > 0 позволяет заменить N на N£. Более того, неравенство П. Шиу [32, Theorem 1] для f (n) = r2(n) позволяет показать, что для любого е > 0 существует константа с(е) > 0 такая, что при M < N1-£ выполнено неравенство S(N, M) < с(е).

Лемма 1.8 показывает, что при M > имеет место оценка

S (N, M) < N1-п/2 < 1/ /N.

Далее мы покажем, что такое поведение является аномальным для функции S(N, M). Для этого нам потребуется следующая классическая оценка для среднего значения Г2 (n)2

Лемма 1.9. Для всякого x > 2 справедлива оценка

(n)2 = O(x rn x)

^\2(n)2 = O(x In x).

га<ж

Доказательство. См., например, [3, Theorem 1] □

Хорошо известно (см. [34, Chapter VII]), что функция Jo(x) при x ^ является осциллирующей и имеет среднее, стремящееся к 0. Поэтому естественно ожидать, что линейная комбинация функций J0 от различных аргументов испытывает нетривиальные сокращения. Например, естественное «оптимистическое» предположение о поведении S (N, M) имело бы вид

S(N, M)2 « 1 + ^ r2(n)2Jo(2n //Nn)2e-2nn/M.

Конечно, несложно показать, что такая приближенная формула выполнена не всегда. Однако мы покажем, что это приближенное равенство выполнено в квадратичном среднем.

Лемма 1.10. Пусть N > 2, /N > H > 2(ln N)3/2 и M = ^N^. Тогда

г N

J(N, M) = (S(x, M) - 1)2dx < VMNln N. o

Доказательство. Заменим сначала наше квадратичное отклонение J(N, M) его сглаженной версией. А именно, положим

г

J*(N, M) = / (S(x, M) - 1)2e-nx/Ndx. o

Тогда, очевидно, J(N, M) < en J*(N, M), поэтому достаточно доказать требуемую оценку для J*(N, M). Раскрыв скобки в определении J*(N, M), получим

Jo (2п /nx) Jo (2п /mx)e-nx/N dx

Получающиеся интегралы приводятся к виду интегралов из Леммы 1.6 при помощи замены у = пж/Ж, получаем

Г+го Ж Г+го

3о(2п/пж)3о(2п/тж)е—'^ ^ж = — / 3о(2^ ппЖу)3о(2^ пшЖу)е—у Зу = ./о п Уо

= ^ (п+т)/о(2пЖ /пШ).

п

Если п = ш, то оценка Леммы 1.7 для /о дает

Г+го /ж"

J J0(2^v/nж)J0(2^v/ШX)e—Пx/NЗж —.

Для п = ш будем пользоваться тривиальной оценкой 0 < /0(ж) < ех и получим

г+го _____

30(2п/пж)30(2п/тж)е—Зж < Жехр(2пЖ/пШ—п(п+ш)) = Жехр(—пЖ(/п—/т)2).

о

Разбив получившиеся в формуле для 3*(Ж, М) слагаемые на «диагональные» и «вне-диагональные», получим

3*(Ж, М) < Бо + Б1,

где

о

Бо = £ ^ Ып)2е—2пп/М

п>1

и

= Е Жг2(п)г2(ш)ехр(—пЖ (/п —/Ш)2)е—п(п+т)/М

га=т,га,т>1

Оценим сначала Бо. Суммированием по частям из Леммы 1.9 получается соотношение

</у1п у.

п<у *

Разобьем диапазон суммирования в сумме Бо на отрезки (0, М], (М, 2М], (2М, 4М] .... Для любого к > 0 справедливо неравенство

Е У^Г2(п)2е—2пп/М < /^М 1п(2кЖ)е—п2'+1,

2кМ <п<2к+1М

а для начального отрезка в силу вышесказанного получаем

Е \/^Г2(п)2е—2пп/М < /ЖМ 1пЖ.

(п

п

п<М

Суммируя по к > 0, получим

Бо < /NM 1п Ж + Е л/2кЖМ 1п(2кЖ)е—2" < 1п Ж.

к>0

Чтобы оценить $1, заметим, что при п = т выполнено неравенство

(^п -^т)2 > + -

18 \п т

Чтобы доказать это, будем, не ограничивая общности, считать, что п > т. Если п > 4т, то

(/п -/т)2 > п > 1 > ^ п + -1).

4 18 п т

Если же т < п < 4т, то (л/п + л/т-)2 < 9т и 1 + — < —, так что

— ' 'V/ — 1 т т'

1 + т (1 + ^) (^п + л/т)2

1 т _ \1 т/ 4 V V /

_n m_ _ Vn mt_

(л/n — ^/m)2 (n — m)2

< 18,

что и требовалось. Воспользуемся этим неравенством для оценки слагаемого в $1, получим

$1 < N ^ г2(п)г2(т)в-пм(1/1+1/т)/18-п(1+т)/м <

1=т,1,т>1

< N ^Г2(п)в-пм/18п-п1/^

N r2(n)e

n> 1

В силу того, что при a, b > 0 выполнено а + b > 2\fab} выводим

nN 9nn „ /9п2 N 3п / N 3п H п п л7

--1--> 2\--= —W-=----> - ln N.

18n 16M > V 16 18M 2 V 18M 12 /bN > 2

Следовательно, имеем

^ r2 (n)e-nN/18n-nn/M = ^ ^ (n)e-7nn/16Mg-nN/18n-9nn/16M < n> 1 n> 1

< e-7nn2/16Mj e-n/2lnN ^ n 1-n/2.

\nez /

Возвращаясь к оценке для S1 , окончательно выводим

S1 < N(N1-n/2)2 = N3-n = O(1),

что и завершает доказательство леммы. □

Полученных результатов, а именно Лемм 1.8 и 1.10, достаточно для того, чтобы доказать Теорему 2. Итак, зададимся числом 1 < y < 2. Заметим сначала, что величины

(Sn+1 — Sn)Y и R(t)Y-1dt

Sn+1 < x

равны по порядку. Действительно, если < £ < 5т+1, то Я(£) = шт(£ — вт+1 — £), так что

Г Г («т+«га+1)/2 („ _ „ )7

В(£)7-1^ = 2 / (£ — 5т)7-1^ = 2( т+27 т) х (^ — вт)7.

и 8т ^ вт 2 /

Остается только разбить отрезок [0,х] на отрезки такого вида и добавить к ним отрезок вида [зга,ж], имеющий длину 0(х1/4) и потому не дающий существенного вклада. Далее, покроем отрезок интегрирования интервалами вида [X, 2Х] для X < х/2. Отрезок [X, 2Х] разобьем на множества В/ следующего вида:

Во = {X < £ < 2Х : Я(£) < 2(1пX)3/2},Вд = {X < £ < 2Х : 2к(1пX)3/2 < Я(£) < 2к+1(1пX)3/2}.

Здесь к пробегает все натуральные значения, для которых 2к(1пX)3/2 < X1/4, итого 0(1п X) значений. Оценим меру каждого В/. Тривиальным образом, ^(В0) < X. Далее, положим Мк = X21-2к(1пX)-2. Если £ е Вк, то согласно Лемме 1.8 для N = М = Мд, Н = , получаем

пМдВ(£)2 \ ^ ^____( п

2

5(£,Мд) « X ехр (—< X ехр (—П 1пX) = о(1)

при X ^ В частности, (5(£, Мд) — 1)2 > 1 и, следовательно, выполнено неравенство

п 2Х

/ (5(у,Мд) — 1)% >> ^(Вд).

С другой стороны, Лемма 1.10 дает для левой части этого неравенства верхнюю оценку у/XMk 1п X, стало быть

X

МВ/с) « v/XMfc 1п X = ^^^. Таким образом, для интеграла В(£)7-1

по Вд выполнено

I В(£)7-1^ < (2к+1(1пX)3/2)7-1^(Вд) « X(1пX)3(т-1)2к(7-2). ]вк

Суммируя по всем к, получаем

В(£)7-1^ « X(1п X) 2(7-1) £ 2к(7-2).

При 7 < 2 последняя сумма оценивается сходящейся бесконечной геометрической прогрессией, а при 7 = 2 — числом слагаемых. Соответственно, при 7 < 2 получаем

£ (з„+1 — з„)7 «7 X(1пX)3(7-1),

X<«„+1<2Х

а при 7 = 2

т X (1п X)3 (^-1)

л2Х IX

£ (*„+! — в„)7 « X(1п X) 2(7-1) 1п X.

Х<«„+1<2Х

Суммируя по двоичному разбиению отрезка [0,х], получаем требуемое.

1.3 Распределение «малых» квадратичных вычетов.

Сформулируем теперь некоторую гипотезу о распределении квадратичных вычетов специального вида в кольцах остатков и выведем из неё более сильную оценку для Я(х).

Пусть N — большое натуральное число, у/Ы < Я < N Зададим величину д^, Я) формулой

некоторый параметр.

g(N, R) = max min N

x2 — y2

N

Иными словами, g(N, R) — это наибольший интервал между остатками по модулю N вида r2 mod N, где r < R.

зЗамечание 1.2. Ограничение R > л/N добавлено для того, чтобы наши вычеты покрывали всё Z/NZ. Например, при R < (1 — c уже получится g(N, R) N.

Легко видеть, что для любого вещественного z найдётся целое 0 < r < R такое,

что

z — r

N

<

g(N,R) 2N '

:i.i)

Далее, естественно предположить, что наибольший промежуток не очень сильно отличается от среднего. Так как средняя длина промежутка между соседними

N

элементами равна ^, то естественно высказать следующую гипотезу: Гипотеза 2. Для всякого £ > 0 и всех у/Й < Я < N выполнено неравенство

g(N,R) <<

N1+£ R

Замечание 1.3. Если N — простое число вида 4к + 3, то при Я = N из гипотезы 2 следует гипотеза Виноградова о наименьшем квадратичном невычете.

Докажем теперь Теорему 3.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Калмынин Александр Борисович, 2022 год

Список литературы

[1] R.P. Bambah, S. Chowla, On numbers which can be expressed as a sum of two squares, Proc. Nat. Acad. Sci. India, 13, 101-103, 1947

[2] R.C. Baker, H.L. Montgomery, Oscillations of Quadratic L-Functions, Analytic Number Theory. Progress in Mathematics (ed. B.C. Berndt et al.), vol 85. Birkhauser Boston, 23-40, 1990.

[3] V. Blomer and A. Granville, Estimates for representation numbers of quadratic forms, Duke Math. J. 135(2), 261-302, 2006.

[4] P. Borwein, S. Choi, M. Coons, Completely Multiplicative Functions Taking Values in {-1, 1}, Trans. Amer. Math. Soc., 362, 6279-6291, 2010

[5] D.A. Burgess, On character sums and primitive roots, Proc. London Math. Soc. (3), 12, 179-192, 1962

[6] H. Cohen, Sums involving the values at negative integers of L-functions of quadratic characters, Math. Ann. 217, 271-285, 1975

[7] J. B. Conrey, A. Ghosh, Remarks on the generalized Lindelof hypothesis, Funct. Approx. Comment. Math. 36, 71-78, 2006

[8] B. Conrey, A. Granville, B. Poonen, K. Soundararajan, Zeros of Fekete polynomials, Annales de l'institut Fourier 50.3, 865-889, 2000

[9] H. Cramer, On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers, Acta Arith., 2: 23-46, 1936.

[10] H. Cramer, Prime numbers and probability, Skand. Math. Kongr. 8, 107-115, 1935.

[11] M. Fekete, G. Polya, Uber ein Problem von Laguerre, Rend. Circ. Mat. Palermo 34, 89-120, 1912

[12] C.F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Springer, 1986

[13] A. Granville, K. Soundararajan, Large Character Sums, J. Amer. Math. Soc 14, 365-397, 2001

[14] G. Halasz, On random multiplicative functions, In: Hubert Delange Colloquium (Orsay, 1982). Publications Mathematiques d'Orsay 83 74-96. Univ. Paris XI, Orsay, 1983

[15] A.J. Harper, Bounds on the suprema of Gaussian processes, and omega results for the sum of a random multiplicative function, Ann. Appl. Probab. 23 (2) 584 -616, 2013.

[16] A.J. Harper, Moments of random multiplicative functions, I: Low moments, better than squareroot cancellation, and critical multiplicative chaos, Forum of Mathematics, Pi.;8:e1, 2020

[17] A. Hildebrand, G. Tenenbaum, Integers without large prime factors, J. Theor. Nr. Bordx. 5 (2), 411-484, 1993

[18] M.D. Hirschhorn, A simple proof of Jacobi's two-square theorem, Amer. Math. Monthly, 92, 579-580, 1985

[19] C. Hooley, On the intervals between numbers that are sums of two squares I, Acta Math., 127, 279-297, 1971

[20] H. Iwaniec, E. Kowalski, Analytic Number Theory, American Mathematical Society, Colloquium Publications, vol. 53, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.

[21] А.А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, 2-е изд., М.:Наука, 1983

[22] А.А. Карацуба, Эйлер и теория чисел, Совр. пробл. матем., 11, МИАН, М., 19-37, 2008

[23] S.V. Konyagin, I.D. Shkredov, On subgraphs of random Cayley sum graphs, Eur. J. Comb. 70, 61-74, 2017.

[24] Н.В. Кузнецов, Новый класс тождеств для коэффициентов Фурье модулярных форм, Acta Arith. 27, 1975, 505-519

[25] M. Lothaire, Applied Combinatorics on Words (Encyclopedia of Mathematics and its Applications), Cambridge: Cambridge University Press, 2005

[26] H. Maier, Primes in short intervals, Mich. Math. J., 32 (2), 221-225, 1985

[27] H.L. Montgomery, R.C. Vaughan Multiplicative Number Theory. I. Classical Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 97. Cambridge Univ, 2007 Press, Cambridge.

[28] В. А. Плаксин, Распределение чисел, представимых суммой двух квадратов, Изв. АН СССР. Сер. матем., 51:4, 1987

[29] В. А. Плаксин, Письмо в редакцию. Исправление к статье "Распределение чисел, представимых суммою двух квадратов", Изв. РАН. Сер. матем., 56:4, 1992

[30] A. Schinzel, J. Urbanowicz, P. Van Wamelen, Class Numbers and Short Sums of Kronecker Symbols, J. Number Theory, 78, 62-84, 1999.

[31] А. Н. Ширяев, Вероятность, 3-е изд., перераб. и доп., М.: МЦНМО, 2004

[32] P. Shiu, A Brun-Titschmarsh theorem for multiplicative functions, J. Reine Angew. Math. 313, 161-170, 1980

[33] T. Tao, The Erdos discrepancy problem, Discrete Anal.: 1-29, 2016

[34] G.N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions (2nd.ed.), Cambridge University Press, 1944

[35] E.T. Whittaker, G.N. Watson, A Course in Modern Analysis (4th ed.). Cambridge: Cambridge University Press, 1927

[36] A. Wintner, Random factorizations and Riemann's hypothesis, Duke Math. J. 11, 267-275, 1944

[37] D. Zagier, A one-sentence proof that every prime p = 1 mod 4 is a sum of two squares. Amer. Math. Monthly 97, no. 2, 144, 1990