Средние Рисса арифметических функций, распространенных на значения тернарной кубической формы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Камарадинова Заррина Нусратуллоевна

• Камарадинова Заррина Нусратуллоевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Камарадинова Заррина Нусратуллоевна

Оглавление

Обозначения

Введение

1 Производящая функция

1.1.Вспомогательные утверждения

1.2.Теорема о представление производящего ряда

2 Аналог формулы Перрона для средних Рисса порядка а

2.1 Вспомогательные утверждения

2.2 Аналог формулы Перрона для средних Рисса порядка а

3 Среднее Рисса арифметических функций, распространенных на значения тернарной кубической формы

3.1 Вспомогательные утверждения

3.2 Среднее Рисса функции делителей, распространенной на значения тернарной кубической формы

3.3 Среднее Рисса функции суммы квадратов, распространенной на значения тернарной

кубической формы

Литература

Обозначения

При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются двумя индексами: номер главы, номер утверждения;

е(а) = е2та = со8 27га + г8т27га;

Хз> Х4> Х12 — соответственно неглавные характеры по модулям 3, 4 и 12, причём Х12 = ХзХ4;

е - произвольное положительное сколь угодно малое число;

т(п) - функция число делителей числа п;

С(я) - дзета функция Римана, в = а + И;

Ь(б, х) ~ функция Дирихле по характеру х;

с, С\,С2,- —положительные постоянные;

£-положительная сколь угодно малая постоянная;

х > 1 - положительное вещественное число;

= 1п х натуральный логарифм от числа х.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Средние Рисса арифметических функций, распространенных на значения тернарной кубической формы»

Введение

Настоящая диссертация посвящена задачам аналитической теории чисел и её основным предметом исследования является вывод асимптотических формул для сумм

то есть для "средних Рисса" веса а > 0 многомерной функции делителей, и функции суммы квадратов, распространенных на значения тернарной кубической формы

Поясним, что функцией делителей Тк{п) называется количество представлений натурального п в виде п = х\... Хк, где х\,... ,Хк — натуральные числа. Функцией суммы квадратов г(п) называется число решений уравнения х\ + х\ = п в целых числах а?! и х<1.

Под средней Рисса порядка а, значений функции /(;?), распространённой на некоторое конечное множество точек х £ М в количестве N элементов, здесь понимается величина V, равная сумме

<р = (р(г 1, ¿2, = + + З^^з, ¿1, ¿2, е г.

гем

Значение Уа при а = 0 связано со средним арифметическим А от функции /(г) по множеству М простым равенством

IV'

Из определения Та^(х) следует, что величина равна количеству ре-

шений диофантова уравнения вида

£1 . . . Хк - ^х — — 2® + З^^З = О,

причем переменные Х1,...,Хк принимают натуральные, а г\, г2, 23 - целые значения и выполнено неравенство х\... Хк < х.

А из определения За(х) следует, что величина 5о(ж) выражает собой количество решений диофантова уравнения вида

Х1 + х\ — г1 + + г1 ~ Зг^г^з

относительно целых неизвестных х\,х2 и , , ^з при условии х\ + х\ < N.

В кандидатской диссертации Х.Т. Нгуена [1, 2, 3], защищенной на механико-математическом факультете МГУ имени В.М. Ломоносова в 1990 году, найдена асимптотическая формула для То}к(х) в случае к = 1 и к = 2.

Возвращаясь к случаю, изучаемому в данной диссертации, то есть к асимптотике среднего значения функции

Гк(ср(ги ад (1---- I ,

важно учесть, что форма третьей степени 1,22,23) является разложимой. Точнее, она разлагается на линейные множители в алгебраическом расширении ф(\/3) _ поля рациональных чисел ф. Это свойство создает предпосылки использования в данной задаче техники производящих рядов Дирихле. Действительно, в упомянутой выше работе [1] при к = 1 и к = 2 был явно выписан искомый производящий ряд

п=1 П

причём существенным элементом рассуждений послужило доказательство мультипликативности арифметической функции

*<») = ^ (1)

где ¿о(п) при каждом натуральном п определяется как количество решений диофантова уравнения вида

п = г\л-г 2 + -г| — З^-г^з-

Заметим, что наличие множителя 1/3 в равенстве (1) говорит о том, что возможность использования мультипликативных свойств коэффициентов искомого производящего ряда Дирихле /к(з) заранее не очевидна.

Баядилов Е.Е. [4, 5, 6] представил производящий ряд /¿(я) в виде

Л(8) = Са(®)ь^хЫв). (2)

Здесь к — любое натуральное число, большее двух, £(><>) — дзета-функция Римана, Ь(з,х) — Ь-ряд Дирихле, \ ~~ неглавный характер Дирихле но модулю 3, дк(з) — некоторый ряд Дирихле, сходящийся абсолютно в области йв > 1/2.

При к = 1, 2 это утверждение было доказано в [1], причём в этом случае <7&(з) представляет собой конечный ряд Дирихле.

Представление (2) для ряда /¿(я) даёт возможность применить метод контурного интегрирования для нахождения сумматорной функции коэффициентов ряда, а также выразить главный член и остаток искомой асимптотической формулы через вычет функции ^(в) в точке в = 1 и некоторый контурный интеграл соответственно. Но, так как модуль характера х равен трём, то исследование остатка искомой асимптотики в нашем случае в идейном смысле не сильно отличается от случая производящего ряда С/Да) = (2к{з), но требует несколько более громоздких выкладок, связанных, в частности, с использованием функционального уравнения для Ь(в,х)> а также разбиением ряда Дирихле, определяющего функцию х), на две прогрессии по модулю 3.

Другими словами, можно считать, что исследование остаточного члена в нашем случае фактически сводится к случаю производящего ряда ^-(в) = (2к($), то есть к классической многомерной проблеме делителей Дирихле, отвечающей размерности т = 2к.

Проблемой делителей Дирихле называют задачу об исследовании асимптотического поведения среднего значения функции делителей, распространенных на множестве натуральных чисел, имеющих различную природу. Следует сказать, что данная задача допускает многочисленные арифметические и геометрические интерпретации. В частности, полученная самим Дирихле асимптотика для среднего значения числа делителей натурального аргумента одновременно является и асимптотикой для количества целых точек иод гиперболой. Начиная с вышеупомянутой классической работы Л. Дирихле 1849 года [7], проблема делителей Дирихле остаётся одной из центральных задач аналитической теории чисел.

Основным аспектом проблемы делителей Дирихле, в том числе многомерной проблемы Дирихле, является задача уточнения оценки остаточного члена Ак(х) в асимптотической формуле для сумматорной функции делителей вида

п<х

Здесь предполагается, что х —> оо, и функция Рк~\{у) представляет собой некоторый многочлен с вещественными коэффициентами степени к — 1 от аргумента у = 1пх.

В исследованиях по верхним оценкам остатка Д^гг) используется стандартное обозначение показателя , понимаемое как наименьшее вещественное число, обладающее свойством, что при х —> оо справедлива оценка вида

Ак{х) хак+£.

Верхней оценкой остатка при различных значениях величины к

посвящены очень много работ. Кроме упомянутой выше работы Л. Дирихле

1849 года, в которой получена оценка вида

«2 < i

можно указать на работы Г. Вороного [8], Е. Ландау [9], Харди и Литтлвуда [10, 11], ван дер Корпута [12], Тонга [13], Вальфиша [14], Аткинсона [15], Т. Чи [16], Х.Е. Рихерта [17, 18], Чен Джин Рана [19], A.A. Карацубы [20, 21], Г.А. Колесника [22], Иванец и Мозоччи [23], А. Ивич [24], А. Ивича и М. Квелета [25] и другие. В монографии А. Ивича [26] изложены последние результаты по проблеме делителей Дирихле. Отдельно отметим результаты, полученные Г.И. Архиповым, Е.Е. Баядиловым, В.Н. Чубариковым в работах [27, 28], Е.Е. Баядиловым в работах [4, 5, 6, 29, 30] и результаты полученные О.В. Колпаковой [31, 32, 33].

Однако, следует подчеркнуть, что интенсивные исследования, проводимые на протяжении многих лет и отраженные в указанных выше работах, в настоящий момент ещё далеки от окончательного решения проблемы, которая предполагает полученные оценки типа

1 1

ак~2~2к

соответствующей О - теореме Г. Харди [11] для величины ак, утверждающей, что для любого е > 0 верхняя оценка типа

1 1

аь <----е

к ~ 2 2 к

уже не имеет место.

Современные оценки величины а^, приведенные в работе [24], имеют следующий вид:

ЗА;-4 , , 35 41 7

ак-~1Г аи-10'

к — 2 к — 1 ак < 1-г при 12 < к < 25, ак < -t-г при 26 < к < 50,

Ш - 98 7к - 34

<*k < —^т— при 51 < к < 57, ак < ——— при к > 58.

оЛК (К

О.В. Колпакова [31, 32, 33], в предположении справедливости оценки

С(а + И) С^-^ЫЬ

доказала, что

а* < 1 - | 2*(аЛ)-§. (3)

Здесь а > 0 - некоторая постоянная, значение которой, последовательно улучшается. История оценок значения параметра а начинается с работы Рихерта [17, 18], где было указано значение а = 100. В дальнейшем были получены следующие результаты: а = 39 (Туран, 1971), а = 86 (Рибен-бойм, 1986), а = 26 и а = 21 (Пантелеева, 1987, 1988), а = 17 (Хис-Браун, 1990), а = 18,4974 (Кулас, 1999 [34]). Е.Е. Баядилов [6, 30] доказал, что а = 15,21. Следует сказать, что вывод этой оценки существенно опирается на результаты О.В. Тыриной [35, 36], касающиеся теоремы И.М. Виноградова о среднем значении тригонометрических сумм Г. Вейля, а также на известный многомерный аналог теоремы И.М. Виноградова о сглаживании двойных тригонометрических сумм, доказанный Э. Бомбьери и Г. Иванцом в [37, 38]. Последняя оценка для параметра а даёт значение а = 4.45, полученное К. Фордом [39].

Что же касается числа к, которое характеризует размерность функции делителей ^(п), то хотя формально можно считать, что к принимает все натуральные значения, но фактически применение этой оценки целесообразно только при достаточно больших значениях к, например к > 50, ввиду того, что существующие оценки параметра а ещё не достаточно хороши.

Остановимся на истории получения последней оценки (3) для с^. Ясно, что при растущих к она принципиально точнее, чем оценка типа

. - с0

ак Р

где со - любая фиксированная постоянная.

В 1960 году Х.Е. Рихерт [17, 18] доказал, что имеет место оценка вида

&к< 1 - ск~%, 9

Заметим также, что к проблеме делителей относится ещё целый класс задач, состоящих в нахождении асимптотических формул с оценкой остатка для среднего значения функции т^(гг), когда п пробегает некоторое подмножество множества натуральных чисел, не совпадающее с натуральным рядом. Количество таких задач очень велико, как и число работ, им посвященных. Можно указать, например, на проблему нахождения асимптотики для среднего значения функции т^([пс]), рассмотренную Закзаком [42], Солибой [43], Г.И. Архиповым и В.Н. Чубариковым [44, 45, 46].

Важным направлением в круге указанных проблем является нахождение асимптотик функции ^(/(г)), где /(г) — целозначный многочлен от нескольких переменных г = (¿1,..., гт). Сюда могут быть отнесены, как основная задача, рассматриваемая в диссертации, так и нахождение асимптотик для сумм вида

где к, I > 2. Исследованию к = 2, I >2 посвящены фундаментальные работы Эстермана, Титчмарша, Хооли, Линника, Бредихина, Мотохаши, Тимофеева, А.И. Виноградова и других математиков. Следует сказать, что случай к = 1 = 3 до сих пор представляет собой актуальную проблему, не решённую до сих пор.

Заметим ещё, что многими авторами наряду с асимптотикой для среднего значения многомерной функции делителей г^(п) рассматривается "среднее Рисса" веса а, а > 0 этой функции, то есть асимптотика для сумм вида

В частности, асимптотическая формула для установлена в рабо-

те А.А. Карацубы [47] и монографии [48], где она затем с помощью метода асимптотического дифференцирования используется для нахождения асимптотики среднего значения функции тк(п), то есть для "средних Рисса" веса

п<х

причём числовое значение константы с не было указано.

В 1971 году A.A. Карацуба [21] установил справедливость этой оценки при

Oik < 1 - c0a~h-%, со = 2-1^ 0.31498.

Постоянную со в этой оценке будем называть константой Карацубы. А. Фуд-жи в работе [40] анонсировал оценку того же типа со значением

с0 = (л/8 - l) 3 ~ 0.57826,

но полного доказательства в этой работе приведено не было. Упомянутый выше результат А. Ивича и М. Квелета [25] соответствует значению

со = I 25 « 0.52913.

О

В работе Е.И. Пантелеевой [41] приводится значение

В = 2_2/3 = 0,6299.... В 2001 году Е.Е. Баядилов в работе [30] получил оценку вида

^х-Л^А1^ 1 V1

ßa(k — 2ко) J \ ал/к - 2А:0,

где

к0 = 44 -

которая означает, что

22

а

при любом 3 > 0 для всех к > где /г(5) > 0 - некоторая функция,

зависящая от 5.

О.В. Колпакова [31, 32] доказала теорему, в которой получена оценка

Из этой теоремы следует справедливость соотношения

со = 3 « 0.763143. 10

нуль. Оценка остатка Д^сс) в этих работах имела вид

ДмМ «, 1) = 1 - (¿)3 •

В работах [4, 5, 6] Е.Е. Баядилова этот результат улучшается. При к > 140 и а > 3 доказана следующая оценка

/ 5 \2/3 ш(М) < 1 - ущ^^щ) . ко = 4А —

О.В. Колпакова [31, 32, 33] для средних Рисса от многомерной функции делителей Тк(п) при к > 186 с произвольным значением веса а > 0 доказала асимптотическую формулу с остаточным членом вида

/ 2 4- Я<т \ 2/3

^^-{ЩГГЩ) • fc' = 79-95'

Далее, остановимся на кратком изложении основных моментов диссертации, состоящих из введения, трёх глав, разделенных на параграфы и списка литературы.

Первая глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе приведены определения выше упомянутой мультипликативной функции

= -у-,

где to(n) при каждом натуральном п определяется как количество решений диофантова уравнения вида п = z\ + 2$+ 2$ — З212223 и функции г(п) - число решений уравнения ж2 + х\ = п в целых числах х\ x<i. Известно следующая формула ([51], с. 17)

г(гг) = 4 р{п), р(п) = ]Г X*(d), *4(d) = sin у,

d\n

Xi{d)~неглавный характер по модулю 4 и арифметическая функция р(п) -мультипликативная функция. Следовательно, мультипликативной является их произведение функции s(n) = p(n)í(n).

Г 22

а

V p2s p3s /

psl (mod 12) v ^ ' p=5 (mod 12) 4 y

Во втором параграфе первой главы для функции s(n) доказана теорема 1.1 о явном виде её производящего ряда.

теорема 1.1 Для производящего ряда Дирихле

п— 1

функции s(n) справедливо равенство

f{S) = C2(s)L{s,Xs)L2(s,X4)L(s,X12)^(s), где Xq — неглавный характер по модулю q, а также равенство

4 J р=1 (mod 12) 4 И / р=Ъ (mod

- п п (i-Й-

p=7(modl2) 4 ^ 7 р=11 (mod 12) х 7

причём бесконечное произведение £§(s) сходится абсолютно при всех s с условием > 0,5.

Эта теорема и соотношения Sa{x) = 12§а(ж), где

п<х

позволяет методом контурного интегрирования найти асимптотическую формулу для суммы

то есть для «среднего Рисса», веса а; функции суммы квадратов, распространенных на значения тернарной кубической формы <p{z\, Z2, Z3).

Вторая глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе приведены вспомогательные утверждения.

Второй параграф посвящён среднему Риссу веса а коэффициентов ряда Дирихле, другими словами аналогу формулы Перрона для средних Рисса

порядка а, то есть:

V—^ / 7l\ а

п<х

где а-положительное вещественное число. Сформулируем этот результат.

теорема 2.1. Пусть функция h{s) комплексного переменного s = cr + it представляется рядом Дирихле вида

оо п=1

который сходится абсолютно при Re(s) = а > 1. Далее, пусть А(п)~ монотонно возрастающая функция от п и |ап| < А(п) при всех п. Пусть, также, (3 > 0, 8 > 0 и при а —> 1 + 0 выполняется асимптотическая оценка

оо

]Г \ап\п~а « (а - 1)-?.

п=1

Тогда при всех b > 1 + 5, любом х вида х = N + где N - натуральное число, и Т >2 справедливо равенство

b+iT

Ф(х,а) ап (1 - -) = / h(s)xsB(s,a + l)ds+ \ х/ 2жг J

п<х b_iT

( xb \ {хА(2х) 1пж\

+ \T*+\b-iy)+ V Ta+1 )'

Следует заметить, что аналогичный результат доказала О.В. Колпакова [49, 50].

Третья глава состоит из трёх параграфов и посвящена выводу асимптотических формул для "средних Рисса" веса а > 0 арифметических функций, на примере многомерной функции делителей и функции суммы квадратов, распространенных на значения тернарной кубической формы

¥> = ¥>(2l» Z2, = z\ + z\ + zl - 3Z!Z2Z3, z1} z2, z3 e Z. В первом параграфе приведены вспомогательные утверждения.

Во втором параграфе третьей главы доказывается теорема 3.1 об асимптотической формуле для суммы

ад«)- £ .м«,^!-^)"

то есть для "среднего Рисса" веса а > 0 многомерной функции делителей, распространенной на значения тернарной кубической формы (р(г 1,г2,23).

теорема 3.1. Пусть а > 0 - произвольное вещественное число, тогда при к > ЗА:х(1 4- а), к\ = 79,95 справедлива следующая асимптотическая формула

Та,к(х) = х(Э2к-10п.х) + Яа,к{аО, где Ячк-Лу) ~~ многочлен степени 2к — 1, определяемый равенством

хЯ2к-1{\ъх) = КыС2к(з)1к(з,хЫ*)х*В(з,а + 1),

5=1

кроме того, для остаточного члена Яа^{х) справедлива оценка вида где а < 4,45.

Эта теорема является обобщением для "среднего Рисса" веса а > 0, теоремы Е.Е. Баядилова [4, 5, 6] об асимптотической формуле для среднего значения

многомерной функции делителей Тк(п) при условии, что п пробегает значения, которые принимает тернарная кубическая формы </2(2:1,22, 23).

Теорема 3.1 также является обобщением вышеупомянутой теоремы О.В. Кол-паковой [31, 32] о средних Рисса многомерной функции делителей с произвольным значением веса а>0в случае когда множество натуральных чисел не превосходящих х заменяется на множество значений тернарной кубической формы <р(г1, 22, гз) не превосходящих х, г2, £3 6 X, причем переменные х2, ¿з принимают целые значения.

В третьем параграфе третьей главы доказывается теорема 3.2 об асимптотической формуле для суммы

£ r(y(zb z2,3,)) Л-^'^^у,

то есть для "среднего Рисса" веса о: > 0 функции суммы квадратов, распространенной на значения тернарной кубической формы ip(zi, 23).

теорема 3.2 Пусть а > 0 - произвольное вещественное число, тогда справедлива асимптотическая формула

Sa{x) = 12a;Qa(lna:) + О (z^ ,

где Qa(y) — линейный многочлен, определяемый равенством

xQa(Inх) = Res (?{s)L(s, )L2{s, Xa)L(s, Xi2)@{s)xsB{s, а + 1).

Как мы уже отметили, величина Sq(x) выражает собой количество решений диофантова уравнения вида

х\ + х\ = zf + z\ + — 32i222:3

относительно целых неизвестных х\, х^ и 21,22,23 при условии х\ + х\ < N.

В заключение автор выражает благодарность З.Х. Рахмонову за научное руководство, постоянное внимание и помощь в работе.

Глава 1

Производящая функция

1.1.Вспомогательные утверждения

Обозначим через ¿о(^) количество представлений натурального п в виде

Такое определение приводится в [1], также в [2, 3], и показано, что имеет место следующее утверждение:

лемма 1.1. Функция натурального аргумента ¿(п) является мультипликативной и при этом для всякого простого числа р и всякого натурального числа А имеют место равенства

п

= ¿2,2з) = 4 + г\ + г\ - 32^223,

где г1, 22, 23 — некоторые целые числа. Положим также

/

2(А — 1), если р = 3, А > 1;

¿И =

(А + 1)(А + 2) 2

если р = 1 (тос! 3);

если р = 2 (тос! 3).

Доказательство см. в [1].

В лемме 1.1 переходя от сравнения по модулю 3 к сравнению по модулю 12 напишем её в следующем удобном нам виде:

Лемма 1.2. Для всякого простого числа р и всякого натурального числа а имеют место равенства

2(а — 1), если р — 3 и а > 1/

t(pa) =

а L2

+ 1, если р = 2 или p = j (mod 12), j = 5, 11;

(a + l)(a + 2) . , „ . „ „ ---, если p = j (mod 12), j — 1, 7.

Для функции r(n) - число решений уравнения xj + x% = п в целых числах х\ и Х2, известно следующая формула ([51], с. 17)

г (га) = 4р(га), р(п) = %4(d) = sin (1.1)

d\n

Xi(d)-неглавный характер по модулю 4 и арифметическая функция р(п) -мультипликативная функция.

лемма 1.3. Для всякого простого числа р и всякого натурального числа а имеют место равенства

Í1, если р = 2;

. v , если р = 3, р = j (mod 12), j = 7,11; .

а+1, если р = j (mod 12), j = 1,5.

Доказательство. Пользуясь формулой (1.1) вычислим точное значение функции р(ра) для каждого р = 2,р = 3яр = j( mod 12), j = 1,5,7,11. Имеем

р(2a) = ]Psin^ = sin ^ + sin 7Г + sin 2ir H-----hsin^-1 = 1;

d\2<*

p(3*) = EslnT = E^-T = =-2-•

d\3a m=0 m=0

Если p = j (mod 12), j = 1,5, то pa = 1 (mod 4), поэтому

j'=0 j=0

Если же p = j (mod 12), j = 7,11, то pa = l(mod 4), если a - чётное и pQ = 3 (mod 4), если a - нечётное. Поэтому

j= 0 m=0

JlEMMA 1.4. Пусть х — неизвестная. Тогда при всех целых г > 0 имеет место следующее формальное равенство

Здесь, как обычно, полагаем (") = 0 при п < г. Кроме того, справедливы соотношения

f„ Г™+') - Ks (" ' ') +5 (" О ■

1/1 1 Л

+

2 \(1 — ж)г+1 (1 + яг)г+1У '

2\(1-а;)'-+1 {1 + ХУ+1;'

Док АЗАТЕЛЬСТВО. В /(г) сделав в сумме по п замену переменной суммирования, положив га = п — г и имея ввиду, что /п\ /га + г\

11 = 1 I = О, при 0<п<г—1 или — г < п < — 1

найдём

п=0 ^ ' т=—г ^ '

т=—г ^ 7 тп=0 4 7 т=О 4 7

Формулу (1.2) докажем методом математической индукции по г. Имеем

ОО у \ ОО

т=0 4 7 т=0

ли = £; = ¿>+1),- = = =

т=0 ^ ' т=0 т=О т=0

- А. ( х \ ~ 1

~ дх \1 -ж) ~ (:1-х)2' Принимая за предположение индукции соотношение

имеем

ОО / . -i \ оо

/H4 = E(mr++7V=S

\ 1 / ™=П

(ш + г + 1)!

JÜ -

^ ш!(г + 1)!

т=0 4 7 то=О

= Е (т г+ г) • ^ттг1«" = £ (т г+ г) ■ (тгг+0

т=0 ^ ' т=0 4 ' 4 7

оо / , \ оо , ,

т \хт =

1 00 / I \ 00

т~0 4 у т=О

ж /т + r\ dxm 1

r + lEl г J dx '(1- ж)г+1

ш=0 N ' 4

X d -s—^ ím + r\ m 1

г Г

X d ( 1 \ 1

+

+

r + 1 dx\(l-x)r+1J (1 - x)r+l x (r+1)(1 -x)r 1

r+1 (l-x)2r+2 (1-ж)г+1 X 1 1

+

(l-X)r+2 (l_x)r+l (l-X)r+2-

1.2 .Теорема о представление производящего ряда

В предыдущем параграфе мы рассматривали арифметические функции tin) и р(п), которые являются мультипликативными. Следовательно, мультипликативной является их произведение функции s(n) = p(n)t(n).

Рассмотрим «среднего Рисса веса а», а > 0 функции s(n) = p{n)t{n), то есть функцию

8ЛЛГ) = 5>(п)

n<N

В частности величина So{N) = 12So(^V") выражает собой количество решений указанного выше диофантова уравнения вида

Х1 + х2 = zl + z2 + z3 ~ 3-21-^2^3 относительно целых неизвестных х\, х2 и z\, z2, z3 при условии xj+xj < N.

ТЕОРЕМА 1.1. Для производящего ряда Дирихле

00 / \ s{n)

, пь

п=1

т = £

?

функции s(n) справедливо равенство

f(s) = <:\s)L(3,X3)L2(3,X4)L<is,xi2W(s), где Xq ~~ неглавный характер по модулю q, а также равенство

^ = + П (i-i + Ji) П (i + Jj-Jj

4 5 6 р=1 (mod 12) Р Р J р^5 (mod 12) 4 Р Р 7

х п (i+Й п (i-й.

р=7 (mod 12) 4 ^ 7 р=11 (mod 12) 4 ^ 7

причём бесконечное произведение &(s) сходится абсолютно при всех s с условием > 0,5.

Доказательство. В леммах 1.2 и 1.3 арифметические функции t(n) и р(п), которые являются мультипликативными, заданы для степеней простых чисел. Следовательно, мультипликативной является их произведение функции s(n) = p(n)t(n), значения которого для степеней простых чисел определяется формулой:

[§] + 1, если р = 2;

(а - 1)(1 + (~1)а), если р = 3 и а > 1;

(a+DVba) если р = 1 (mod 12);

S(pa) = J 2 УК >■> /J gN

([f] + 1) {а + 1), если р = 5 (mod 12); V '

(a+i)(ttf2j(i+(-i)»)> если р = 7 (mod 12);

•li-J—2-, если р = 11 (mod 12).

Согласно определению, s(n) = где г/>(п) равно числу решений систе-

мы диофантовых уравнений вида

х2 + х\ — п,

х3 + у3 + z3 - 3xyz = п. 22

х

Для ряда Дирихле функции з(п) ввиду мультипликативности 5(п), имеет место следующее тождество

00 s(n) nv" s(pa)

/м = Е^ = П£

па *—' pas

n=1 р а=0

где произведение берется по всем простым числам. Разбивая это произведение по всем простым числам вида р = j (mod 12), j = 1,2,3,5,7,11 и воспользовавшись формулой (1.3), имеем

(1-4)

где величины srfj определяются следующим образом

Q=0

00

^з = M(3-s) = 1 + 2

00 2a-2

las

a=2 ° a=20

p=l (mod 12) Q=0 P

v

p=5 (mod 12) Q=0 ^

п -л.-).

p=7 (mod 12) a=О P

p=ll (mod 12) a=0 P

В этих формулах при всех простых числах р обозначим через х величину х = р~я и вычислим суммы рядов з = 1,2,3,5,7,11, воспользовавшись

леммой 1.4. Имеем

оо оо оо

*(*) = £ (] + 0= £<а+^+£(<*+1)*2о+1 =

<*=0 с*=0 а=0

1 / оо 00 оо \

= 5 Е(2а+ч®*+£*2"+Х>а+я***" =

\<*=0 а=0 а= 0 /

\а=0 4 ' а=0 х 7 /

1/1/1 1 \ 1 1/1 + 7т—-о + т;

(1 + я)2У 1-я2 2 \(1 — ж)2 (1 + ж)

2

1/1 1 А 1

+

2\Д1-ж)2 1-ж2; (1-ж)2(1 + ж)'

оо оо

Щх) = 1 + - 2)ж2а = 3 + 2 ]Г(2с* - 1)ж2а =

а=1 а=0

00 00

= 3 + 2 + 1)ж2а - 4 х2а =

а=0 а=0

оо

3(1 - ж2)2 + (1 + ж)2 + (1 - ж)2 - 4(1 - ж2) 1 - 2ж2 + Зж4

(1-ж)2(1 + ж)2 (1-ж)2(1 + ж)2

а=0 оо

= ^ /> + 1)(а + 2)(а + 3) _ Зх£к __ (а+1)(а + 2) _ ^

2-3

а + ЗЛ „ „ (а + 2^

а=0

-»¿СТ?--^ 2

»=0 4 7 а=0 4

__3___2__ 1 + 2ж _ 1 - Зж2 + 2ж3

" (1 - хУ (1 - ж)3 "" (1 - ж)4 "" (1 - ж)6 '

Ха =

оо а=0

00 оо

= + i)!2» + 1)х2а + 2 + + 2)х2а+1 =

а=0 а=0

00 /п i -i N /г% , г>\ оо

= £ (2a + l)(2a + 2)^2a + ^ (2а + 2) (2а + 3 — 1)^2а+1 =

2 1' 2

а=0 а=0

=t (2а2+ 2) ^+£ (2а +2) - ^ ê (2а Т

а=0 ^ ' а=0 V z / z а=0 V 1 /

х2а+1

1/1 1 \ 1 / 1 1

+ 77—^ +

2\(1-ж)3 {1+х)У 2 \(1 — х)3 (1 + xf)

-If_î___=

4 V(1 -x)2 (1 + х)2,/

1 X 1 + ж + 2х2 1+х2 -2х3

(1-х)3 (1-ж)2(1 + ж)2 (1-ж)3(1 + ж)2 (1-ж)4(1+ж)2'

= 2 (2а+1)2(2а+2)^ = Е (2а+2) ** =

а=0 а=0 V 2 /

1/1 1 \ 1 + За:2

+

2\(1-^)3 (l + :c)V (1-ж)3(1+ж)3"

оо / оо оо

MiW = +^ = I Х>а+^+

а=0 \а=0 а=0

-jgC

= 2 (2 ((1-rr)2 + (1 + ж)2) + Г^2) =

if 1 -f- x2 1 а

2 \(1 — ж)2(1 + х)2 1-хV 1 f 1 + х2 1-х\ _

2(1-я)2 V(l + x)2+T+^J ~

1 1+х2+ 1-X2 1

2(1 — ж)2 (1 + ж)2 (1 — сс)2(1 + ж)2'

По модулю 3 существует единственный неглавный характер Дирихле хз (п), причем

Г 1, если n = 1 (mod 3);

Хз(п) = 1 1 *> г л >х\

^ —1, если п = 2 (mod 3).

По модулю 4 также существует единственный неглавный характер Дирихле

Ха(п), причем

Г 1, если п = 1 (mod 4);

Х4\П) = <

[ —1, если п = 3 (mod 4). По модулю 12 также существует единственный примитивный характер Дирихле xi2(п) = хз(п)х4(п), причем

Г 1, если n = j (mod 12), j = 1,11; Xi2 in) = <

^ —1, если n = j (mod 12), j = 5,7.

Воспользовавшись полученной формулой для ряда и имея ввиду, что

Хз(2) = -1, Х4(2) = Х12(2) = О,

найдем

Воспользовавшись полученной формулой для ряда ^з(ж) и имея ввиду, что

Хз(3) = Xi2(3) = О, Х4(3) = -1,

найдем

^ = жцз-) = (l -1)'2 (l +1)"2 (i _ A + i_) =

Воспользовавшись полученной формулой для ряда и имея ввиду, что

при р = 1 (mod 12) имеет место соотношение

Хз{р) = Х4 (р) = Хи{р) = 1,

найдем

-6

м= п м<р-) = П =

р=1 (mod 12) р=1 (mod 12) 4 г 7 4 ^ ^ 7

р=1 (mod 12) г / \ f / \

= П (i-i+Jj)-

р=1 (mod 12) 4 У у J

Воспользовавшись полученной формулой для ряда J^s(x) и имея ввиду, что при р = 5 (mod 12) имеет место соотношение

Хз(р) = Х12 (р) = -1, Х4(р) = 1,

найдем

-4 / -,\-2

р=5 (mod 12) р=5 (mod 12) 4 У 7 4 ^ 7 4 ^ ' 7

*»« = П „

р=5 (mod 12) 4 ^ F

Воспользовавшись полученной формулой для ряда и имея ввиду, что

при р = 7 (mod 12) имеет место соотношение

Хз{р) = 1, Х4(р) = Xi2(p) = -1, 27

найдем

—3 / т \ -з

п П (i-р)" =

р=7 (mod 12) р=7 (mod 12) 4 ^ 7 4 ^ 7 4 ^ 7

^w- П (i+i)-

р=7 (mod 12) 4 7

Воспользовавшись полученной формулой для ряда (ж) и имея ввиду, что при р = 11 (mod 12) имеет место соотношение

Хз (р) = Х4(р) = -1, хЫр) = 1,

найдем

-1.= п *(р-> = П (1-Й"3(1+Й"3(1"й =

psll (mod 12) р=11 (mod 12) 4 F 7 4 F 7 4 F 7

П (i-i)-

p=ll (mod 12) 4 F 7

Подставляя найденные значения величин «g^-, j = 1,2,3,5,7,11 в формулу (1.4) и имея ввиду, что

= Ç2(s)L(s,X3)L2(s,X4)L(s,xi2) найдем

/(s) = C2(s)L(S,X3)b2(S,X4)L(s,Xi2) •

где

Щз) =0êz{8)@i{s)@b(s)@i{s)&n(s) =

П

V1 32s + 34s) П i1 p2s + „3e) П

4 7 р= l(mod 12) 4 У И 7 ps5(mod 12)

1 +

р

as

JT

p3s

П

р=7 (mod 12)

i+^l п

1 -

V

р=11 (mod 12)

Р

,2s

Ъ{рк)

Вводя функцию Ъ(рк), которая для целых степеней простых чисел определяется соотношением

О, если к = 1, к > 4 или р = j (mod 12) и к = 3, j = 7, 11; —3, если р = 1 (mod 12) и А; = 2;

2, если р = 1 (mod 12) и к — 3;

3, если р = j (mod 12) и к = 2, j = 5, 7; —2, если р = 5 (mod 12) и к = 3.

представим бесконечное произведение ^,(s)^3"1(.s) в виде

Щз) _

^з0§) рП v р

Отсюда для ненулевых Ь{ра), 2 < а: < 3 вытекает оценка

\Ь{ра)\ <3<а + 1 = т(ра).

Выполняя перемножение сумм, стоящих под знаком бесконечного произведе ния, получим

\ ! Кр2) ] Ь(р3)

п,2 s

o3s

(1.5)

Щз)

со

/5(ш)

*зМ _ ■ гп'

Здесь ¡3(т) представляет собой некоторую функцию натурального аргумента т, которая задаётся по каноническому разложению

m = Pi1

■Pr

на простые сомножители. При этом

¡3(т) = О,

если выполняется одно из следующих условий

• min (ai,..., ar) = 1;

• max (ai,..., ar) > 4;

• min (ai,..., ar) > 2, max (ai,..., ar) = ai = 3, pi = 12) и j = T, 11,

а при выполнении условий

min (ai,..., ar) > 2, max (щ,..., ar) = ctj — 3, Pi ф j (mod 12), j = 7,11, имеет место равенство

Отсюда следует, что если /3(т) ^ 0, то степень простых чисел входящих в каноническое разложение числа т равна 2 и 3, поэтому число т можно представить в виде

Следовательно, для ненулевых ß(m) воспользовавшись соотношением (1.5), найдем

Отсюда вытекает следующая оценка (справедливая в случае абсолютной сходимости) всех участвующих в ней бесконечных рядов

ß{m) = b(p?)...b(p?)

и ß{m) ф 0.

т = х2у3, (х,у) = 1,

\0(т)\ = |6(р?)|... \Ь(р"/)\ < т(р?)... т{р?) = r(m). Следовательно, в силу оценки

т(т) <Се т£,

где е > 0 — произвольно малое число, имеем

\ß(m)\ = \ß{x2y3)\ < r{x2y3) < т(х2)т(у3) <£ .

Ряды в правой части последнего неравенства составлены из положительных слагаемых и они сходятся при всех а с условием

1 + 6

2сг — е > 1, т.е. при а > —-—. А так как е > 0 можно считать сколь угодно малым, то произведение, где

Щэ) _ уг Л _ _3_ _2\ тт Л _3___

* п п (1-Й

р=7 (тос! 12) 4 1 у р=11 (тос1 12) 4 ^ 7

абсолютно сходится и ограничено в любой области, определяемой условием > 0,5.

Функция будет представлять собой конечный ряд Дирихле, и поэто-

му она является ограниченной функцией во всякой полуплоскости комплексной плоскости, определяемой условием а > а0 > 0, где а о — произвольное вещественное число.

Тем самым теорема полностью доказана.

Глава 2

Аналог формулы Перрона для средних Рисса порядка а

2.1 Вспомогательные утверждения

определение 1. Гамма-Функция Эйлера г[э) задается равенством

где 7 — постоянная Эйлера.

Из определения следует, что Г-1 (в) - целая функция порядка не выше первого и аналитическая во всей 5 - плоскости, за исключением точек в = О, —1, —2,..., где она имеет простые полюсы.

ЛЕММА 2.1. (Формула Эйлера.) Имеет место равенство

(1)

Доказательство см. [52]. Следствие 2.1.1.

1 -2---(п- 1)вп

п-кх> 5(5 + 1) • • ■ (з + п — 1) '

Следствие 2.1.2.

Г(1) = Г(2) = 1.

лемма 2.2. Имеет место равенство

T{s + l) = sT{s).

Доказательство см. [52].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Камарадинова Заррина Нусратуллоевна, 2015 год

Литература

[1] НГУЕН Хак Тхань О кубической форме х3 + у3 + z3 - 3xyz // Вестник Московского Университета. Серия 1, математика, механика, 1990. №3, с. 7-10.

[2] нгуен хак Тхань Асимптотическая формула одной арифметической суммы // Вестник Московского Университета. Серия 1, математика, механика, 1989. №1, с. 10 - 14.

[3] нгуен ХАК Тхань Диофантовы уравнения с малым числом переменных // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, Московский Государственный Университет им.М.В. Ломоносова, 1990.

[4] Баядилов Е.Е. О проблеме делителей для значений тернарной кубической формы // Вестник Московского Университета. Серия 1, математика, механика, 2001. №5, с. 29 - 32.

[5] Баядилов Е.Е. О среднем значении функции делителей Дирихле на значениях тернарной кубической формы // Тезисы докладов IV Международной конференции «Современные проблемы теории чисел и её приложения», Тула, 2(2001), с. 20.

[6] баядилов е.е. о среднем значении функции делителей от тернарной кубической формы // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Душанбе, Институт математики Академии наук Республики Таджикистан, 2009.

[7] dlrlchlet L. Über die Bestimmung der mitteleren Werte in der Zahlentheorie, Abh. Akad. Berlin (Werke, 2, 49-66). (1849), 69-83.

8] ВОРОНОЙ Г.Ф. Sur un Probleme du calcul des fonctions asymptotiques. Fur die reine und angewandte math., (126)1903, 241 - 282.

9] Landau E. Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen. Göttingen Nachrichten, (1912), 687 - 771.

10] hardy G.H., Littlewood J.E. The approximate functional equation in the theory of the zeta-function, with applications to the divisor problems of Dirichlet and Piltz. Proc. London Math. Soc. (2),(1922), 39 - 74.

11] HARDY G.H. On Dirichlet's divisor problem. Proc. Lond. Math. Soc. (2), 15, (1915), 1-25.

12] corput J.G. van der Verschärfung der Abschatzubgen beim Teilerproblem. Math. Ann. 87(1922), 39 - 65.

13] TONG K.C. On divisor problems. Acta Math. Sinica 2(1952), 258 - 266.

14] WALFISZ A. Uber zwei Gitterpunktprobleme, math, annalen, 95(1926), 69 -83.

15] Atkinson F. A divisor problem. Quarterly Joun. Math. (Oxford), 12(1941), 193 - 200.

16] CHIH D.T. The Dirichlet divisor problems. Science report of Tsing Hua Uni, (1950), 402 - 427.

17] RICHERT H.E. Vershärfung der Abschärzung beim Dirichletschen Teilerproblem. Math. Z. 58(1953), 204 - 218.

18] Richert H.E. Einfuhrung in die Theorie der starken Rieszchen Summierbarkeit von Dirichletreihen. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen (Math. Physik), (1960), 17- 75.

19] chen jing-run On the divisor problem for d3(n) // Sei. Sinica, 1965, №14, pp. 19 - 29.

20] Карацуба A.A. Оценки тригонометрических сумм методом И.М. Виноградова и их применения // Труды МИАН СССР, 112(1971), 241 - 255.

[21] KA ра цу б а A.A. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Известия АН СССР, Серия математическая, 1972, т. 36, №3, с. 475 - 483.

[22] колесник Г. А. Улучшение остаточного члена в проблеме делителей // Математические заметки 2(1969), 117 - 128.

[23] IWANIEC Н., MOZZOCHI C.J. On the Divisor of Circle Problems. Number Theory 29(1988), 60 - 93.

[24] Ivic A. Some recent results on the Riemann zeta - function. // Proc. of the Intern. Number Theory Conf. (1989).

[25] IviC A., QUELLET M. Some new estimates in the Dirichlet divisor problem. // Acta Math. Arithmetica, 52(1989), 241 - 253.

[26] IVIÖ A. Riemann Zeta-function, M, Wiley,New-York, 1985.

[27] Архипов Г.И., Баядилов И.Е., Чубариков В.Н. Об абсциссе Карлсона в проблеме моментов дзета-функции Римана // Доклады Российской Академии наук. 2003. Т. 392. №1. С. 10 - 11.

[28] Архипов Г.И., Баядилов И.Е., Чубариков В.Н. Об абсциссе и экспоненте Карлсона в проблеме моментов дзета-функции // Вестник Московского Университета. Серия 1, математика, механика, 2004. №1, 42-45.

[29] баядилов е.е. Об оценках дзета-функции Римана на критической прямой // Тезисы Международной конференции «Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы «Казахстан в третьем тысячелетии» (Алматы, 26-28 октября, 2000)», 2000 с. 30.

[30] баядилов е.е. Об оценках дзета-функции Римана в окрестности прямой 3is = 1 // Интегральные преобразования и специальные функции. Информ. бюллетень 2(2000), 42-49.

[31] КОЛПАКОВА О.В. О средних значениях арифметических функций. Кандидатская диссертация, М., МГУ, 2006.

[32] колпакова О.В. О новых оценках остаточного члена асимптотической формулы в многомерной проблеме делителей Дирихле // Математические заметки. 2011. Том 89, выпуск 4. С. 530 - 546.

[33] колпакова о.в. о средних Рисса для обобщения функции делителей // Тезисы докладов VI Международной конференции «Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения», Саратов, 13-17 сентября, 2004г. с. 72.

[34] kulas М. Refinement of an estimate for the Hurwitz zeta-function a neighbourhood of the line a = 1, Acta Arithmetics. 1999. V. 89, №4, 301 - 309.

[35] тырина О.В. Новая оценка интеграла И.М. Виноградова // Известия АН СССР. Серия математическая. 1989. Т. 51, №2, С. 363 - 376.

[36] тырина О.В. Средние значения тригонометрических сумм. // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова, 1989.

[37] bombieri е., Iwaniec Н. On the order of + it). Ann.sur Pisa Norm., 14(4), 1986, 449 - 472.

[38] bombieri e., iwaniec h. Some mean value theorems for exponential sums. Ann.sur Pisa Norm. Sc., 14(4), 1986, 473 - 486.

[39] ford k. Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta-function // Proc. London Math. Soc., (3), 85:3 (2002), 565 - 633.

[40] Fujii A. On the problem of divisors // Acta Arithmetics. 1976. V. 31, №4, 355 - 360.

[41] ПАНТЕЛЕЕВА Е.И. К вопросу о проблеме делителей Дирихле в числовых полях // Математические заметки. 1988. Т. 44, вып. 4. С. 494 - 505.

[42] ЗАКЗАК А. Проблема делителей Дирихле в редких последовательностях // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Москва, Московский Государственный Университет им.М.В.Ломоносова, 1993.

[43] СОЛИБА Х.М. О среднем значении тернарной функции делителей на последовательности нецелых степеней натуральных чисел // Материалы Международной Конференции по аналитической теории чисел. Москва. МГУ. 1997. С. 30.

[44] Архипов Г.И., Чубариков В.И. Три теоремы о тригонометрических суммах из анализа // Доклады Российской Академии наук. 1993. Т. 14. С. 19 - 29.

[45] Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О некоторых формулах суммирования // Вестник Московского Университета. Серия 1, математика, механика, 1987. №5. С. 29 - 32.

[46] Архипов Г.И., Чубариков В.Н. О распределении простых чисел в последовательности вида [пс] // Вестник Московского Университета. Серия 1, математика, механика, 1999. №6, 25 - 35.

[47] Карацуба A.A. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Известия АН СССР. Серия математическая. 1972. Т. 36, №3, С. 475 - 483.

[48] воронин С.М., Карацуба A.A. Дзета-функция Римана // Москва. Наука. 1994. 376 с.

[49] КОЛПАКОВА О.В. Об одном аналоге формулы Перрона // Вестник Московского Университета. Серия 1, математика, механика, 2003. №1. С. 23 -25.

[50] КОЛПАКОВА О.В. Об одном обобщении формулы Перрона // Тезисы докладов IV Международной конференции «Современные проблемы теории чисел и ее приложения», Тула, 10 - 15 сентября, 2001 г. с. 69 - 70.

[51] Н. iwaniec, E.Kowalski Analytic number theory, Providence, Rhode Island American Mathematical Society, 2004.

[52] карацуба А А. Основы аналитической теории чисел. 2-ое изд, М.: Наука, 1983.

[53] уиттекер Е.Т., Ватсон Г.Н. Курс современного анализа. Ч. 2. М.; JL: ГТТИ, 1934.

[54] тичмарш Е.К. Теория функций. М.: Наука, 1980.

[55] Виноградов И.М. Основы теории чисел - М..-Наука, 1981г., 176с.

[56] тичмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953.

[57] КОЛПАКОВА O.B. Об оценках абсциссы Карлсона для нецелых показателей степени осреднения // Вестник Московского Университета. Серия 1, математика, механика, 2006. №6, 45 -48.

[58] КОЛПАКОВА О.В. О теореме Карлсона для нецелых степеней дзета-функции Римана // Тезисы докладов V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения». Тула. 19 - 20 сентября 2003 г. С. 57 - 58.

[59] Graham s.w., kolesnik G. Van der Corput's method of exponential sums Cambridge University Press, 1991.

[60] камарадинова з.н. Средние Рисса функции делителей, распространенной на значения тернарной кубической формы. // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2009. Т. 52, № 5. С. 353 - 357.

[61] РАХМОНОВ З.Х., КАМАРАДИНОВА З.Н. Асимптотическая формула для среднего Рисса функции делителей, распространенной на значения тернарной кубической формы // Известия Академии наук Республики Таджикистан. Отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук. 2013. № 3(152). С. 7 - 18.

[62] камарадинова З.Н. Производящая функция для числа решений представлений тернарной кубической формы в виде суммы двух квадратов // Доклады Академии наук Республики Таджикистан. 2014. Т. 57, № 11 - 12. С. 831 - 834.

[63] камарадинова З.Н. Средние Рисса функции делителей, распространенной на значения тернарной кубической формы // Ученые записки Худжандского государственного университета им. академика Б. Гафу-рова. Серия: естественные и экономические науки. 2014. № 2(29). Ч. 1. С. 312 - 320.

[64] КАМАРАДИНОВА З.Н. О средних Рисса функции делителей, распространенной назначения тернарной кубической формы // // Вестник Таджикского национального университета. 2015. А'2 2. С. 35 - 42.

[65] КАМАРАДИНОВА З.Н. О средних Рисса функции делителей, распространенной на значения тернарной кубической формы. // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математического анализа и их приложений», посвященной 60-летию академика Камолиддина Хамроевича Бойматова. Душанбе, 23-24 июня 2010 г., с.53-

[66] КАМАРАДИНОВА З.Н. О средней Рисса функции делителей, распространенной на значения тернарной кубической формы. // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы теорий дифференциальных уравнений и математического анализа», посвященной 80-летию академика АН Республики Таджикистан Джураева Абдухамида Джураевича, Душанбе, 07-08 декабря 2012 г., с.40-43.

[67] КАМАРАДИНОВА З.Н. Асимптотическая формула для функций делителей, распространенной на значения тернарной кубической формы, с весом Рисса. // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы теорий функций и дифференциальных уравнений», посвященной 85-летию академика АН Республики Таджикистан Михайлова Леонида Григорьевича, Душанбе, 17-18 июня 2013 г., с.72-73.

[68] КАМАРАДИНОВА З.Н. Асимптотическая формула для функций делителей, распространенной на значения тернарной кубической формы. // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математического анализа, алгебры и теории чисел», посвященной 85-летию со дня рождения, профессора Бабаева Гафура Бабаевича, Душанбе, 25-26 октября 2013 г., с.62-72.

54.