Построение оптимальных траекторий управляемых процессов в экономических задачах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Моисеев, Александр Николаевич

• Моисеев, Александр Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моисеев, Александр Николаевич

Введение

Глава 1. Методы хеджирования опционов американского типа

1.1 Хеджирование опционов американского типа на неполных рынках

1.2 Минимизация риска неисполнения обязательств по опционам

1.3 Использование авторегрессионно-факторной динамики доходности при зд выборе инвестиционного портфеля

Глава 2. Траектории экономического роста в многосекторных производственных моделях с мультипликативно-степенными функциями

2.1 Задачи оптимального управления макроэкономическим развитием

2.2 Система дифференциальных уравнений модели экономического роста с производственным, научно-исследовательским и образовательным секто- 49 рами

2.3 Условия существования стационарных траекторий сбалансированного 55 эндогенного роста в системе уравнений трехсекторной модели

2.4 Алгоритм вычисления и свойства траектории сбалансированного роста в ^ трехсекторной модели

Глава 3. Вычисление траектории сбалансированного роста для экономики США

3.1 Оценка параметров трехсекторной модели экономического роста

3.2 Реальные значения экзогенных и определяемых в рамках трехсекторной д^ модели величин для экономики США за 1980-1997 гг.

3.3 Траектория сбалансированного роста экономики США

Глава 4. Оптимальное инвестирование в инновации

4.1 Прямые инвестиции в НИОКР

4.2 Оптимизация экономического роста с учетом возможности прямых инвестиций в технологии и экспорта технологических разработок

4.3 Влияние убывающего или отрицательного темпа прироста трудового ресурса на устойчивость траекторий экономического развития

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Построение оптимальных траекторий управляемых процессов в экономических задачах»

Инвестиции традиционно считаются движущей силой большинства экономических процессов. Обычно проводится различие между реальными инвестициями и финансовыми. Реальные инвестиции представляют собой вложение капитала в какой-либо тип материально осязаемых активов, таких, как земля, оборудование, заводы, технологии и инновации. Финансовые инвестиции связаны с покупкой ценных бумаг таких, например, как акции, облигации, фьючерсы, опционы. В современной экономике большая часть инвестиций представлена финансовыми инвестициями.

Наибольшую сложность при математических расчетах на фондовых (финансовых) рынках имеют опционы или сделки с чертами опционов (опционы, по определению, представляют собой контракты или ценные бумаги, дающие возможность одной из сторон отказаться от покупки/продажи какого либо актива при изменении цены на этот актив в неблагоприятную сторону без каких-либо дополнительных платежей). Так как опционы позволяют страховать финансовые риски, то существует большая потребность в точном математическом моделировании поведения инвестора в различного рода опционных кон- 1 трактах, и разработке методов и. алгоритмов вычисления необходимых для оперирования на рынке величин и стратегий (таких как стоимость ценных бумаг, величин рисков, доходности, инвестиционных стратегий и т.д.).

В связи с. этим, в современной экономико-математической литературе широкое распространение получила теория хеджирования (страхования риска) опционов, ключевыми моделями которой являются модель Блэка-Шоулса и модель Кокса-Росса-Рубинштейна, а также теория Марковитца выбора инвестиционного портфеля и его алгоритм квадратичного динамического программирования построения эффективного множества. Теория хеджирования опционов представляет собой специальную адаптацию к экономическим потребностям теории стохастических дифференциальных уравнений и теории вероятностей. В настоящей диссертации рассматривается несколько отличный от стандартного подход к хеджированию опционов, основанный на минимизации среднеквадратичного функционала (меры риска) и построении соответствующего расчетного (хеджирующего) алгоритма, обосновываются преимущества данного метода по сравнению со стандартными методами хеджирования с вероятностью единица. В работе построен и запрограммирован пошаговый динамический алгоритм минимизации рисков по опционам американского (дающего возможность исполнить контракт в любой момент времени в течение срока действия опциона) типа, что позволяет инвестору быстро определить, на сколько переоценены или недооценены те или иные опционы, а участникам договора с чертами опциона (т.е. такого, в котором, например, оговорены отложенные на некоторое время инвестиции) определить точную величину возмещения одной из сторон за принятие дополнительного риска.

Модели экономического роста (агрегированные модели производства) также играют важную роль в экономических исследованиях, в частности при решении задач о выборе направления и пропорций реальных инвестиций. Эти модели могут быть использованы как для описания всей экономики в целом, так и отдельного крупного промышленного предприятия, включая крупные производства, банки, страховые компании, научно-исследовательские центры и т. д., т.к. в них рассматриваются во взаимодействии наиболее важные экономические процессы: производства, инвестирования и потребления.

Основой успешных инвестиций является не только правильное размещение ресурсов среди имеющихся возможностей, но и определение, и расширение числа доступных возможностей. Расширением таких возможностей являются различные схемы учета НТП (научно-технического прогресса) в моделях экономического роста, которые позволяют находить дополнительные ниши для инвестиций. Задачи, связанные с выбором целей для инвестиций и оптимального в определенном смысле распределения средств среди доступных инвестиционных возможностей, в целом одинаковы как для одного субъекта народнохозяйственной деятельности (домохозяйства), так и для экономики крупного общественного образования (государства, крупной фирмы) в целом.

Существует два основных подхода к моделированию производственно-экономических систем - с помощью производственных функций и дифференциальных уравнений (как правило, это непрерывные по времени модели), и с помощью матричных уравнений, с использованием теории неотрицательных матриц. Первый подход развивался от широко известной модели Солоу экономического роста, наиболее распространен в современной западной литературе и развивает методы математической теории оптимального управления в приложении к экономической теории. Второй подход обязан своим происхождением модели межотраслевого баланса Леонтьева и динамической модели Неймана.

В настоящей диссертации рассматриваются проблемы оптимального и сбалансированного экономического роста при наличии инвестиций не только в физический капитал, но и в ряд таких производственных ресурсов как человеческий капитал, сектор НИОКР (научные исследования и опытно-конструкторские разработки), покупка технологий на мировом рынке, в рамках первого подхода. Как показала мировая практика, объем вложений в основные фонды (станки, здания и т.д.) является не единственным определяющим фактором экономического роста. Для развития экономики не менее важны вложения в новые технологии (инновации), а также в образование (в человеческий капитал).

Таким образом, и задача инвестирования в агрегированных производственных моделях и задача выбора инвестиционного портфеля агентом на финансовом рынке связаны с выбором целей для инвестиций и оптимального в том или ином смысле распределения имеющихся финансовых или материальных средств среди доступных активов. Разработанные в настоящей работе математические методы и алгоритмы оптимизации управляемых инвестиционных процессов, произведенные качественные исследования оптимальных траекторий, а также реализация всех расчетов в виде программных комплексов, дают субъекту экономической деятельности необходимые инструменты анализа эффективности функционирования экономических систем и точные рекомендации при принятии решений в каждый период времени.

Целью настоящей диссертации является разработка математических методов и алгоритмов управления инвестициями, в моделях, учитывающих реально существующие инвестиционные возможности на финансовых рынках (при хеджировании опционов американского типа и выборе портфеля ценных бумаг) и в экономике в целом (при определении сбалансированного или оптимального экономического роста в моделях с эндогенной формой НТП).

Исходя из этой цели, в работе поставлены следующие задачи:

- Определения рациональной цены, оптимальной инвестиционной стратегии продавца опциона американского типа при среднеквадратичном критерии хеджирования и вычислительной сложности используемых расчетных схем хеджирования опционов при различных критериях исполнения опциона, разработки метода снижения риска неисполнения опциона, основанного на формировании портфеля опционов

- Модификации факторной модели определения доходности акции путем включения в нее элементов авторегрессии с последующей разработкой алгоритма вычисления ковариационной матрицы доходностей ценных бумаг в рамках новой модели

- Построения наиболее общей трехсекторной модели экономического роста с эндогенной формой НТП, в которой производство человеческого капитала и технологических разработок выделено в два независимых сектора, описываемых системой дифференциальных уравнений специального вида, и качественного исследования экономически содержательных решений этой системы

- Определения условий существования и разработки метода вычисления стационарных траекторий специального вида (режима сбалансированного эндогенного роста) в широком классе динамических моделей экономического роста с мультипликативно-степенными производственными функциями

- Практического применения построенной трехсекторной модели и разработанных для нее методов для реальной экономики какой-либо страны, с целью выявления возможности более эффективного экономического развития и определения количественных рекомендаций по его достижению

- Моделирования экспорта технологических разработок и прямых инвестиций в НИОКР, с последующим решением задачи оптимального управления и исследованием этого решения на устойчивость, в зависимости от вида входящих в исходную систему функций, соотношений между объемами инвестиций в физический капитал, инвестиций в сектор НИОКР и потреблением, а также оценки возможных преимуществ от продажи технологий.

Научную новизну составляют следующие результаты работы:

1. На основе построенного алгоритма минимизации интегрального среднеквадратичного функционала с дискретным временем и усреднением по вероятности, измеряющего риск по опциону, разработан новый метод определения рациональной стоимости и оптимальной инвестиционной стратегии продавца опциона американского (т.е. с возможностью его предъявления к исполнению в любой момент времени до указанной даты) типа. Проанализирована вычислительная сложность алгоритма, определено преобразование, позволяющее использовать методы оптимизации инвестиционного портфеля ценных бумаг для составления портфеля опционов.

2. Предложен новый метод расчета ковариационной матрицы случайных величин до-ходностей ценных бумаг, базирующийся на авторегрессионно-факторной стохастической модели описания изменчивости доходностей во времени. Метод позволяет существенно снизить сложность вычисления коэффициентов корреляции доходностей в случае большого числа рассматриваемых ценных бумаг при составлении инвестиционного портфеля.

3. Рассмотрена система нелинейных дифференциальных уравнений нового вида, структура которой обусловлена экономическим содержанием, для качественного исследования решений которой применяется новый математический аппарат сведения исходной системы к матричному уравнению. Найдены условия существования и единственности стационарного решения специального вида в этой системе без прямого ее решения.

4. Разработан общий метод определения стационарных сбалансированных и эндогенных (с темпом прироста фазовых величин, зависящих от параметров самой модели, но не ограниченных экзогенно заданными величинами, таких как темп прироста трудового ресурса) траекторий роста и соответствующих управлений в многосекторных производственных моделях с мультипликативно-степенными функциями. В частности, построен алгоритм вычисления стационарной сбалансированной траектории в системе дифференциальных уравнений трехсекторной модели экономического роста, при заданных эмпирических оценках параметров системы.

5. Методами математической статистики произведена оценка параметров трехсек-торной модели на основе данных для США за 1980-1997 гг. и, таким образом, построена конечная модель, описывающая реальную экономику США. Количественно найдена одна из возможных траекторий сбалансированного роста и значения постоянных управлений на этой траектории. Сконструирован ряд экономических индексов, таких как индекс человеческого капитала, индекс запаса используемых знаний, объем загруженного в НИОКР капитала и получены их эмпирические оценки.

6. Найдены оптимальные значения управлений и траектория развития экономики, описываемой предложенной в диссертации модификацией модели Рамсея, учитывающей продажу технологии технологий и прямые инвестиции в НИОКР. Произведен вариационный анализ решения и исследование устойчивости решения в зависимости от начальных значений, динамики трудового ресурса и политики экспорта технологий.

Диссертация имеет как теоретическое так и практическое значение. Разработанные в диссертации математические методы^ алгоритмы и подходы расширяют сферу применения математических теорий, которые исторически имели объектом своего приложения в основном физические задачи и задачи управления техникой, в экономическую область.

Результаты, полученные при качественном анализе построенных в работе трехсек-торной модели экономического роста, которая обобщает все наиболее популярные в современной экономико-математической литературе многосекторные модели, учитывающие научно-технический прогресс, и моделей, учитывающих прямые инвестиции в инновации, могут быть полезны для более полного понимания структуры экономических систем, эффективности их функционирования и степени влияния различных факторов на уровень развития экономики.

Несомненное практическое значение имеют предложенный в диссертации метод хеджирования опционов американского типа, позволяющий использовать для расчетов произвольные стохастические модели динамики котировок акций, а также полная эмпирическая апробация трехсекторной модели экономического роста на реальных данных, что для моделей такого класса было сделано впервые.

Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе для преподавания математических методов в экономике, операторами фондовых рынков для снижения инвестиционных рисков, научными организациями и органами государственного управления для анализа и прогнозирования основных тенденций экономического развития, а также руководителями предприятий для управления инвестиционными потоками с целью повышения эффективности функционирования производства.

Поставленная цель определила следующую логику и структуру работы. В первой главе проводится анализ и сравнение методов расчета опционов и на основе среднеквадратичного критерия строится метод хеджирования опциона американского типа. Под хеджированием понимается одна из технологий снижения риска, связанная с динамической инвестиционной стратегией. Определяются рациональная цена опциона, инвестиционная стратегия эмитента, методы снижения риска в опционных сделках. Так как одним из методов снижения риска является диверсификация, то далее представлена модификация факторной модели оценки доходностей ценных бумаг при выборе инвестиционного, портфеля методом Марковича. В главе выведены расчетные формулы для ожидаемых доходностей и ковариаций между доходностями различных ценных бумаг, необходимых для определения оптимального инвестиционного портфеля инвестора.

Во второй главе рассматриваются основные методы учета научно-технического прогресса в агрегированных народнохозяйственных моделях, исследуются схемы влияния инновационной деятельности на экономический рост. Построена новая агрегированная модель экономического роста с производственным, образовательным и НИОКР секторами, найдены условия существования траекторий сбалансированного роста в этой модели, исследованы свойства этих траекторий и определен алгоритм их практического расчета.

Третья глава представляет собой практическое применение построенной в предыдущей главе трехсекторной модели для анализа экономики США. Эмпирически оценивается множество параметров модели на основе реальных экономических показателей, численные значения которых взяты из различных баз данных США. Благодаря теоретическим результатам предыдущей главы, найдена траектория сбалансированного роста экономики и необходимые для поддержания такого роста значения управлений.

В четвертой главе произведен анализ возможностей государственного регулирования экономики путем прямого инвестирования в различные секторы. Построена модификация двухсекторной модели экономического роста, с НТП в эндогенной форме, учитывающая возможность покупки технологий на мировом рынке. Исследованы свойства этой модели относительно существования режима сбалансированного и эндогенного роста. Модифицирована модель Рамсея путем учета возможности продажи технологий на мировом рынке, найдены оптимальные объемы инвестиций в сектор НИОКР и физический капитал, проведено качественное исследование оптимальной траектории развития экономики в зависимости от различных условий.

В заключении даны основные выводы и результаты, полученные в диссертации. Работа объемом 139 страниц состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и библиографии. Список литературы содержит 74 наименования.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Моисеев, Александр Николаевич

Заключение

Разработанные в работе алгоритмы и методы решения экстремальных задач, постановка которых определена экономическим содержанием, качественное и количественное исследование этих решений позволяют находить оптимальные или рациональные в том или ином смысле динамические стратегии инвестиций или распределения материальных ресурсов на фондовом рынке и в экономике в целом. В качестве основных выводов работы можно отметить следующие:

1. Компьютерная реализация предложенного метода расчета инвестиционной стратегии эмитента опциона американского типа, показала большую эффективность данного метода в сравнении с другими методами хеджирования опционов, как с точки зрения вычислительной сложности используемого алгоритма, так и с точки зрения области применения.

2. Новый метод расчета ковариационной матрицы доходностей ценных бумаг на основе авторегрессионно-факторной модели динамики стоимостей акций существенно снижает объем вычислений при оценке значений ковариаций, сохраняя при этом значительную статистическую близость модельных значений доходности реальным данным.

3. Установлены соотношения между параметрами, при которых предложенная в работе трехсекторная модель может находиться в режиме сбалансированного роста, т.е. система дифференциальных уравнений допускает квазистационарную траекторию специального вида. Так как многие известные в литературе модели являются частным случаем построенной в настоящей работе, то проверка существования в них траекторий сбалансированного эндогенного роста (TCP) сводится к проверке того, чтобы параметры в них удовлетворяли условиям доказанных в настоящей работе теорем.

4. Для случаев, удовлетворяющих условиям теорем, в работе исследованы вопросы единственности TCP, определены множества допустимых управлений и количественные связи между начальными значениями, темпами прироста фазовых переменных и управлениями, с целью применения разработанного метода определения TCP к реальной экономической системе.

5. Осуществленное в работе эмпирическое приложение представленной трехсектор-ной модели к реальной экономике США доказывает возможность практического применения таких моделей для управления распределением имеющихся ресурсов в промышленный, образовательный и НИОКР сектора с целью повышения эффективности производства в целом и выявило потенциальную возможность увеличения темпа прироста основных макроэкономических показателей в среднем в 1,5-5 раз на TCP при определенном изменении значений переменных управления.

6. Исследовано влияние прямых инвестиций в НИОКР и отдачи от экспорта технологий на темпы экономического роста, путем описания экономики системой дифференциальных уравнений и анализа решений соответствующей задачи оптимального управления при различных экономически содержательных вариациях входящих в систему функций. Установлена устойчивость найденной оптимальной траектории сбалансированного роста, что дает возможность количественно оценить степень влияния на темп экономического роста уровня развития рынка технологий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моисеев, Александр Николаевич, 2004 год

1. Arnold L.G. (1998) "Growth, Welfare, and Trade in an 1.tegrated Model of Human Capital Accumulation and R&D", Journal of Macroeconomics, vol. 20, no. 1, pp. 81-105.

2. Barro R.J., Sala-i-Martin X. (1995). Economic Growth. McGraw-Hill, Inc.

3. Benjamin King F. (1966). "Market and Industry Factors in Stock Price Behavior", Journal of Business, vol. 39, no. 1 (January), pp. 139-170.

4. Black F., Scholes M. (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", Journal of Political Economy, vol. 81, no. 3, pp. 637-657.

5. Blackburn K., Hung Y.T.Y. and Pozzolo A.F. (2000) "Research, Development and Human Capital Accumulation", Journal of Macroeconomics, vol. 22, no. 2, pp. 189-206.

6. Bucci A. (2001) "On Scale Effects, Market Power and Growth when Human and Technological Capital are Complements ", International Review of Economics and Business, vol. 48, no. 1, pp. 21-47.

7. Cox J. C., Ross R. A., Rubinstein M. (1979). "Option pricing: a simplified approach", Journal of Financial Economics, vol. 7, no. 3, pp. 229-263.

8. Eicher T.S. (1996) "Interaction between Endogenous Human Capital and Technological Change", Review of Economic Studies, vol. 63, no. 1, pp. 127-44.

9. Follmer H., Schweizer M. (1991). "Hedging of contingent claims under incomplete information", Applied Stochastic Analysis (Stochastic Monographs, v.5) / Ed.' M.H.A. Davis and R.J. Elliott, London: Gordon and Breach, pp. 389-414.

10. Grossman, G.M. and Helpman E. (1991). "Innovation and growth in the global economy", Cambridge, MA, MIT Press.

11. Harrod R.F. (1956). Towards a Dynamic Economics", London: Macmillan.

12. Howitt, Peter (1999). "Steady Endogenous Growth with Population and R&D Inputs Growing", vol. 107, no. 4.

13. Jones, C.I and J.C. Williams (2000) "Too Much of a Good Thing? The Economics of Investment in R&D", Journal of Economic Growth, 5(1), pp. 65-85.

14. Lucas Robert. E. (1988) "On the Mechanics of Economis Development", Journal of Monetary Economics, vol. 22, no. 1 (Jully), pp. 3-42.

15. Malthus T. (1986). An Essay on The Principle of Population. London. W. Pickering.

16. Markowitz Harry M. (1952). "Portfolio Selection", Journal of Finance, vol. 7, no. 1 (March), pp. 77-91.

17. Markowitz Harry M. (1956). "The Optimization of the Quadratic Function Subject to Linear Constraints", Naval Research Logistic Quarterly, vol 3 (March-June), nos. 1-2, pp. 111-133.

18. Merton R.C. (1990). "Theory of Rational Option Pricing", Continuous-Time Finance, Cambridge, pp. 255-308.

19. Moiseev A.N. (2004). Steady Endogenous Growth With Human Capital and R&D inputs. VI International Congress on Mathematical Modeling. Book of Abstracts University of Niz-hny Novgorod, p. 425.

20. Mulligan Casey B., Xavier Sala-i-Martin (1995). Measuring Aggregate Human Capital. NBER Working Paper No. W5016.

21. Mulligan Casey B., Xavier Sala-i-Martin (1997). "A Labor-Income-Based Measure of the Value of Human Capital: An Application to the States of the United States". Japan and the World Economy, vol 9, no. 2 (May), pp. 159-191.

22. Mulligan Casey B., Xavier Sala-i-Martin (1993). "Transitional Dinamics in Two-Sector Models of Endogenous Growth," Quarterly Journal of Economics, vol. 108, no. 3 (August), pp. 737-773.

23. Nadiri M. Ishaq, Prucha R. Ingmar (1993). Estimation of the depreciation rate of physical and R&D capital in the U.S. total manufacturing sector, NBER working paper #4591.

24. Ramsey F. P. (1928). "A mathematical theory of saving", Economic Journal, vol. 38, pp. 543-559.

25. Rebelo, Sergio (1991). "Long-Run Policy Analysis and Long-Run Growth," Journal of Political Economy, 99, 3 (June), 500-521.

26. Redding S. (1996) "The Low-Skill, Low-Quality Trap: Strategic Complementarities between Human Capital and R&D", The Economic Journal, 106, pp. 458-470.

27. Romer Paul. M. (1986). "Increasing returns and long-run grouth," Journal of Political Economy, vol. 94, no. 5.

28. Romer Paul. M. (1990). "Endogenous technical change," Journal of Political Economy, vol. 98, no. 5, pp. S71-S102.

29. Romer, David (1996). Advanced Macroeconomics. University of California, Berkeley, The McGraw-Hill Companies, Inc.

30. Rubinstein M. (1985). "Alternative Paths to Portfolio Insurance", Financial Analysts Journal, vol. .41 (July/August), pp. 42-52.

31. Schweizer M. (1995). "Variance-optimal hedging in discrete time", Mathematics of Operation Research, vol. 20, no. 1, pp. 1-32.

32. Sharp William F. (1984). "Factor Models, CAPMs, and the ABT sic.", Journal of Portfolio Management, vol. 11, no. 1, pp. 21-25.

33. Solow R.M. (1957). "Technical change and the aggregate production function", Revue of

34. Economics and Statistics, vol. 39, pp. 312-320.

35. Solow R.M. (1962). "Technical Progress, Capital Formation and Economic Growth", Amer. Econ. Rev. Proc. vol. 52 (May).

36. Spence, Michael (1976). "Product Selection, Fixed Costs, and Monopolistic Competition," Review of Economic Studies, vol. 43, no. 2 (June), pp. 217-235.

37. Stokey Nancy. (1988), "Learning by Doing and the Introduction of New Goods", Journal of Political Economy, 96(4), pp.701-17.

38. Swan T. W. (1956). "Economic growth and capital accumulation", Economic Record, vol. 32, pp. 336-361.

39. Taylor S. (1986). Modelling Financial Time Series, New York, Willey & Sons.

40. Uzawa, Hirofumi (1965). "Optimal Technical Change in an Aggregative Model of Economic Growth," International Economic Review, vol. 6 (January), pp. 18-31.

41. Uzawa, Hirofumi (1968), "Time Preference, the Consumption Function, and Optimum Asset Holdings," in J.N. Wolfe, ed., Value, Capital, and Growth, Chicago, Aldine.

42. Young, A. (1993). "Invention and Bounded Learning by Doing," Journal of Political Economy, 101(3), pp. 443-72.

43. Алексеев B.M., Тихомиров B.M., Фомин C.B. (1979). Оптимальное управление. М.: Наука.

44. Афанасьев Г.А. (1997). "Сравнение стохастических моделей динамики стоимостей акций на примере расчета опционов", Обозрение прикладной и промышленной математики, том 4, вып.4.

45. Боровков А. А. (1984). Математическая статистика: Оценка параметров. Проверка гипотез. М.: Наука.

46. Васильев Ф.П. (1988). Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука.

47. Галеев Э.М. (1996). Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению. М. Издательство механико-математического факультета МГУ.

48. Голиченко О.Г. (1999). Экономическое развитие в условиях несовершенной конкуренции. Подходы к многоуровневому моделированию. М.: Наука.

49. Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П. (1994) Математическое описание элементов экономики. М.: Издательская фирма «Физико-математическая литература» ВО «Наука».

50. Кича И.В., Токарев В.В. (2000). "Переход от среднеотраслевых показателей к макроэкономическим", Экономика и математические методы, том 36, вып. 3.

51. Клейнер Г.Б. (1986). Производственные функции: Тории, методы, применение, М.: Финансы и статистика.

52. Кротов В.Ф., Лагоша Б.А., Лобанов С.М., Данилина Н.И., Сергеев С.И. (1990). Основы теории оптимального управления. М.: Высшая школа.

53. Лотов A.B. (1984). Введение в экономико-математическое моделирование. М.: Наука.

54. Мельников A.B. (2001). "О финансовой и актуарной математике", Обозрение прикладной и промышленной математики, том 8, вып.1.

55. Моисеев А.Н. (1998). Использование авторегрессии в факторных моделях при выборе инвестиционного портфеля. Материалы научной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов-98". -М.: ТЕИС, с.116-123.

56. Моисеев А.Н. (1999а). Математические модели расчета цены опциона американского типа. Интеллектуальные системы, том 4, вып. 1-2, с.153-168.

57. Моисеев А.Н. (19996). Хеджирование опционов американского типа на неполных рынках. Материалы научной конференции студентов и аспирантов "Ломоносов-99", М.: ТЕИС, с.107-115.

58. Моисеев А.Н. (2001). Асимметричность информации и среднеквадратичный критерий хеджирования опционов. Финансовая математика / под ред. Ю.М. Осипова, М.В. Грачевой, P.M. Ниэюегородцева, Е.С. Зотовой. М.: экономический факультет МГУ, ТЕ' ИС, с. 165-173.

59. Моисеев А.Н. (2002). Двухсекторная модель НТП с закупкой технологий. Моделирование экономических процессов: сборник научных работ молодых ученых / под ред. М.В. Грачевой. -М.: экономический факультет МГУ, ТЕИС, стр. 188-200.

60. Молодцов Д.А. (1998). "Стратегический подход к управлению портфелем", Банковские технологии, №7(39).

61. Молодцов Д.А. (1999). "Управление портфелем при манипулировании финансовыми потоками", Аудит и финансовый анализ, №2.

62. Молодцов Д.А. (2000). "Многопортфельное управление", Банковские технологии, №12(63).

63. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A. (1996). Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат.

64. Себер Дж. (1983). Линейный регрессионный анализ. М.

65. Селезнева T.B. Тутубалин В.Н. Угер Е.Г. (1997). "Имитация практического применения некоторых мартингальных стратегий хеджирования и спекуляции", Обозрение прикладной и промышленной математики, том 4, вып. 1.

66. Смирнова А.К. (2001). Анализ агрегированных динамических моделей, М.: Макс Пресс.

67. Токарев В.В. (1999). "Гарантирующее решение конечношаговой задачи управления запасами", Автоматика и телемеханика, №8.

68. Токарев В.В. (2002). "Оптимальные и допустимые программы управления кредитом", Автоматика и телемеханика, №1.

69. Черемных Ю.Н. (1971). Вопросы качественного исследования решений динамических моделей экономики, М.: МГУ.

70. Черемных Ю.Н. (1975). Качественное исследование оптимальных траекторий динамических моделей экономики (Вопросы магистральной теории), М.:МГУ.

71. Черемных Ю.Н. (1982). Анализ поведения траекторий динамики народнохозяйственных моделей. М.: Наука.

72. Шарп У.Ф. Александер Г.Дж. Бэйли Д.В. (1997). Инвестиции. М.: Инфра-М.

73. Шведов A.C. (1998). "Лекции о математических методах, используемых при работе с опционами", Экономический журнал высшей школы экономики, том 2, №3, стр. 385409.

74. Ширяев А.Н. (1998). Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис.