Разработка методов исследования и оптимизация стратегии развития экономической системы региона тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, доктор физико-математических наук Кетова, Каролина Вячеславовна

• Кетова, Каролина Вячеславовна
• доктор физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кетова, Каролина Вячеславовна

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ИНДЕКСЫ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. СТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ:

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И РЕШЕНИЯ.

1.1. Инструменты анализа экономического роста.

1.1.1. Производственные функции.

1.1.2. Динамические модели.

1.1.3. Теория оптимального управления.

1.2. Модели экономической динамики в непрерывном времени.

1.2.1. Общая постановка задачи.

1.2.2. Гомогенная модель.

1.2.3. Стационарная модель.

1.2.4. Уравнение для неподвижной точки оптимальной стратегии (Теорема 1).

1.3. Стационарная многофакторная модель экономической динамики.

1.3.1. Формулировка модели.

1.3.2. Применение Теоремы 1: финальная формула для неподвижной точки.

1.3.3. Примеры с производственными функциями различного вида.

1.4. Модель Рамсея-Касса-Купманса.

1.4.1. Содержательная постановка и редукция к одномерной модели.

1.4.2. Теорема о структуре решения (Теорема 2).

1.5. Модели с линейно-однородной производственной функцией.

1.5.1. Двумерная модель с управляемой долей потребления.

1.5.2. Двумерная модель с фиксированной долей потребления.

1.5.3. Формула луча сбалансированного роста в многомерной модели (Теорема 3).

Глава 2. НЕГОМОГЕННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ:

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА И РЕШЕНИЯ.

2.1. Двухэтапный подход к анализу и решению негомогенной модели.

2.2. Негомогенная версия РКК-модели.

2.2.1. Модель с конечным горизонтом (Теорема 4).

2.2.2. Переход к бесконечному горизонту (Теорема 5).

2.3. Оптимальное управление для многофакторной модели.

2.3.1. Формулировка модели.

2.3.2. Квазистационарная траектория.

2.3.3. Построение оптимального управления в переходном периоде. Индексный метод распределения инвестиций.

2.3.4. Апробация индексного метода.

2.4. Оптимальное управление в модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления.

Глава 3. АНАЛИЗ И ПРОГНОЗ ДЕМОГРАФИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК.

ПОТЕНЦИАЛ ТРУДОВЫХ РЕСУРСОВ.

3.1. Математическая модель анализа и прогноза демографических характеристик.1133.1.1. Подходы и методы исследования в демографии.

3.1.2. Постановка задачи на основе уравнения динамики возрастного состава.

3.1.3. Определение функций силы смертности и плотности распределения рождений на основе статистических данных.

3.1.4. Аналитическое решение задачи.

3.1.5. Численное решение задачи.

3.1.6. Анализ погрешностей.

3.1.7. Анализ и прогноз демографических показателей.

3.1.7.1. Ретроспективный анализ демографических показателей.

3.1.7.2. Прогнозирование демографических показателей.

3.2. Экономико-математическая модель потенциала трудовых ресурсов и стоимостных характеристик демографических потерь.

3.2.1. Состояние проблемы. Терминология и допущения.

3.2.2. Экономико-математическая модель.

3.2.2.1. Моделирование характеристик состояния экономической системы.

3.2.2.2. Моделирование стоимостных характеристик демографических потерь.

3.2.3. Результаты расчетов.

3.2.3.1. Расчет демографических характеристик.

3.2.3.2. Расчет характеристик состояния экономической системы.

3.2.3.3. Расчет стоимостных характеристик демографических потерь.

Глава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ОСНОВНЫХ ФАКТОРОВ

ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ РЕГИОНА.

4.1. Математическая модель динамики производственных фондов.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Определение функции выбытия производственных фондов на основе статистических данных.

4.2. Экономико-математическая модель динамики человеческого капитала.

4.2.1. Понятие "человеческий капитал" и методы его измерения.

4.2.2. Моделирование динамики человеческого капитала на основе уравнения переноса.

4.2.3. Моделирование динамики человеческого капитала на основе кинетического уравнения.

4.3. Построение производственной функции экономической системы региона с учетом фактора человеческого капитала.

4.4. Разработка имитационных моделей динамики различных факторов экономики.

4.4.1. Содержательная постановка задачи моделирования различных сценариев развития экономики.

4.4.2. Описание динамики производственных фондов различного типа.

4.4.3. Описание динамики трудовых ресурсов и человеческого капитала различного типа.

4.4.4. Моделирование взаимосвязи демографических и макроэкономических процессов.

4.4.5. Моделирование динамики внешних инвестиций.

Глава 5. ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

ОБОБЩАЮЩИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ РАЗВИТИЯ

РЕГИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

5.1. Математическая модель экономической системы региона.

5.2. Алгоритм идентификации модели.

5.3. Результаты программной реализации модели.

Глава 6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ДИНАМИКОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ РЕГИОНА.

6.1. Оптимальное управление динамикой замкнутой экономической системы.

6.2. Оптимальное управление в условиях научно-технического и социально-образовательного прогресса.

6.3. Оптимальное управление с учетом внешних инвестиций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов исследования и оптимизация стратегии развития экономической системы региона»

Актуальность темы исследования. Целью стратегии развития экономической системы является повышение благосостояния населения, достигаемое в результате устойчивого экономического роста. Формирование такой стратегии — управленческая задача, заключающаяся в определении оптимальных объемов финансирования социальной и производственной сфер.

Подобные управленческие задачи решаются с использованием динамических экономико-математических моделей, отражающих механизмы функционирования экономических систем на макроуровне.

Макроэкономическая математическая модель региональной экономики представляет собой описание таких взаимоопределяющих процессов, как: производственный процесс региона и процесс воспроизводства основного регионального капитала; демографический процесс в регионе и процесс воспроизводства человеческого капитала; социально-экономические механизмы воздействия на производственный процесс региона, т.е. механизмы управления.

Существует широкий спектр оптимизационных моделей. В то же время, следует отметить, что во многих исследованиях используются одномерные макромодели экономической динамики (ЭД). Сложность реальных экономических систем приводит к необходимости учета многих факторов, существенно влияющих на функционирование экономики. В связи с этим актуальна задача построения конечномерных макромоделей экономической динамики, позволяющих учитывать произвольное количество факторов производства.

В Послании Президента Федеральному собранию Российской Федерации 2006 года [1] сформулированы приоритетные направления экономического развития, где основным фундаментом экономического роста является фактор человеческого капитала.

Фактор человеческого капитала имеет многоаспектный характер. Среди этих аспектов важную роль играет демографическая составляющая, определяющая устойчивость развития человеческого фактора [2,3]. Одним из элементов демографической составляющей является численное воспроизводство населения. Высокий уровень смертности и низкий уровень рождаемости сформировали в России демографический кризис [4]. Изменение демографических отношений неизбежно влечет изменение и в экономических отношениях, поскольку спад рождаемости приводит к нарушению существующих пропорций между производящей и потребляющей группами населения. В этой связи экономику страны могут ожидать сложности, связанные с вхождением в трудоспособный возраст малочисленного поколения, родившегося после 1990 года.

Степень серьезности изменений в пропорциях производящей и потребляющей групп, а также их влияние на макроэкономические показатели в силу ряда причин недостаточно изучены [5]. Актуальность исследований в этой области определяется необходимостью выявления тенденций сложившейся неблагоприятной демографической ситуации с целью устранения либо сглаживания негативных последствий для развития экономики.

Другим аспектом проблемы является качество человеческого капитала. Расходы на здравоохранение, образование, науку и культуру становятся ключевой составляющей в проблеме воспроизводства и повышения качества человеческого капитала [6]. В развитых стран их доля в совокупных инвестициях составляет более 50% и намного превышает инвестиции в материально-техническую составляющую производственного потенциала.

Таким образом, в сложившейся ситуации человеческий капитал, включая численность, особенности структуры и качество жизни, является основным фактором экономического развития. Из этого следует, что приоритетными вопросами развития экономической системы становятся инвестиции в человека в условиях социально-образовательного прогресса (СОП). В этой связи очевидна актуальность изучения фактора человеческого капитала, его моделирования и учета в задачах экономической динамики.

В Послании Президента Федеральному собранию Российской Федерации 2003 года [7] была сформулирована задача удвоения валового внутреннего продукта (ВВП) за десять лет. Задача увеличения ВВП успешно реализуется при условии эффективно работающих производств, имеющих отдачу, превышающую расходы на их обслуживание. В этом случае увеличение ВВП приводит к росту уровня жизни населения. Поэтому необходимо наращивать научно-технический уровень производственного потенциала и его экономическую эффективность. В связи с этим актуальна задача моделирования научно-технического прогресса (НТП) как одного из факторов экономического роста.

Анализ динамических моделей экономики, как правило, включает определенную последовательность этапов, среди которых существенную роль играет нахождение и исследование стационарного состояния сбалансированного роста, и нахождение необходимых (или необходимых и достаточных) условий существования оптимальности траекторий, сходящихся к найденному стационарному состоянию. Эти две задачи в совокупности решают проблему построения оптимальной стратегии управления экономической системой. Данные рассуждения касаются теоретических исследований.

В прикладных моделях, ориентированных на применение в практике реального планирования, стационарного состояния, как правило, не существует; t оптимальные траектории сбалансированного роста носят квазистационарный характер (это связано с явной зависимостью от времени многих факторов, входящих в модель), что создает ряд дополнительных трудностей в исследовании и построении синтеза оптимального управления в таких моделях. Поэтому возникает необходимость построения новых и расширения возможностей применения существующих аналитических методов и подходов к исследованию оптимизационных моделей экономической динамики.

Отметим, что детальные экономико-математические модели, записанные в частных производных, позволяют учитывать не только величины производственных факторов, но и их качественную структуру. Подобные модели, как правило, многомерны и обладают свойством негомогенности. Для анализа моделей такого типа необходимо исследовать как возможности применения аналитических методов, так и современных численных методов оптимизации в тех случаях, когда аналитическое решение задачи либо не существует, либо требует трудоемких вычислительных затрат.

В диссертации рассматривается также ряд других мало исследованных ранее вопросов, относящихся к построению и структуре оптимальных траекторий. Среди них связь различных способов двойственной характеризации траекторий (принцип оптимальности Беллмана, принцип максимума Понтрягина); принцип максимума для определения неподвижной точки, построение синтеза управления для многофакторной многомерной модели.

Объектом исследования в настоящей диссертационной работе являются динамические управляемые экономические системы, характеризуемые большим количеством внутренних взаимосвязанных процессов.

Предметом исследования являются аналитические методы анализа и решения задач оптимального управления; постановка и решение задач оптимального распределения капиталовложений для различных моделей макроэкономической динамики.

Целью диссертационной работы является разработка математического и инструментального аппарата для решения многопараметрических задач оптимального управления экономической динамикой в многомерном фазовом пространстве, а также модельного инструментария для прогнозирования обобщающих показателей развития региональной экономической системы. Задачи исследования:

1. Математический анализ и исследование структуры оптимального управления в многофакторных стационарных и негомогенных (с экзогенно задаваемой прогнозной временной информацией) моделях ЭД.

2. Построение алгоритмов решения задач оптимального управления для указанного класса моделей.

3. Разработка параметрических моделей динамики различных факторов экономики.

4. Построение макромодели экономической системы региона УР, идентификация ее параметров и прогнозирование обобщающих показателей развития региональной экономической системы.

5. Разработка макроэкономической модели оптимального управления распределением капиталовложений для экономики УР с учетом таких факторов, как: демографический прогноз и фактор человеческого капитала; использование внешних инвестиций; научно-технический и социально-образовательный прогресс.

6. Проведение научно-аналитических расчетов для различных версий модели развития экономической системы региона (перечисленных в п. 5).

7. Проектирование и реализация проблемно-ориентированного программного обеспечения "Информационно-аналитическая система социально-экономического анализа" (ИАССЭА) УР.

Методы исследования. В работе использованы методы математического анализа и теории оптимального управления (принцип оптимальности Беллмана, принцип максимума Понтрягина), методы оптимизации, методы статистической обработки данных, численные и аналитические методы решения дифференциальных уравнений, методы математического прогнозирования, регрессионного анализа; использован аппарат математического компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных результатов. Методы, применяемые в диссертационном исследовании, обуславливают необходимый уровень его достоверности. В качестве основных факторов достоверности работы можно перечислить использование теории оптимального управления, квалифицированное владение инструментарием математического моделирования социально-экономических объектов и процессов.

При использовании численных методов достоверность обеспечена проведенными исследованиями их сходимости.

Достоверность результатов прогнозирования макроэкономических характеристик обеспечена сравнением результатов расчетов с экспериментальными (статистическими) данными на участке ретропрогноза.

Полученные выводы и рекомендации по повышению эффективности управления региональной экономикой подтверждаются содержательным анализом специфики исследуемых процессов и качественными особенностями функционирования региональной экономики. На защиту выносятся:

1. Результаты теоретических исследований стационарных моделей экономической динамики в непрерывном времени с использованием принципа оптимальности Беллмана и принципа максимума Понтрягина.

1.1. В общей модели экономической динамики с ограниченными траекториями (ОТ-модель) сформулирован принцип максимума для* неподвижной точки оптимальной стратегии и на его основе получено уравнение для ее нахождения (Теорема 1).

1.2. Для монопродуктовой многофакторной ОТ-модели уравнение для неподвижной точки доведено до конечной формы, определяющей эту точI ку через исходные параметры модели.

1.3. Дано полное описание оптимального решения для классической модели Рамсея-Касса-Купманса (Теорема 2).

1.4. Описана структура оптимального управления в двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией в двух постановках: с управляемой и фиксированной долями потребления.

1.5. Получена конечная формула для луча сбалансированного роста для многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления (Теорема 3).

2. Результаты теоретических исследований негомогенных моделей экономической динамики в непрерывном времени с использованием принципа максимума Понтрягина.

2.1. Предложен двухэтапный подход к анализу негомогенных моделей и построению в таких моделях оптимального управления: на первом этапе анализируется стационарное приближение, на втором этапе оно обобщается на негомогенный случай. В этих рамках получено распространение Теоремы 2 на негомогенную модель (Теоремы 4, 5).

2.2. В многофакторной ОТ-модели описана структура оптимального управления, центральным звеном которой является квазистационарная кривая. Предложен алгоритм построения оптимального управления в переходном периоде, основанный на идее выравнивания уровней значимости факторов (индексный метод).

2.3. В многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией (в которой оптимальные траектории растут неограниченно) получены уравнения для определения направления максимального сбалансированного роста (квазистационарная кривая) (Теорема 6), являющегося аналогом луча сбалансированного роста в стационарной модели (Теорема 3).

2.4. Построено оптимальное управление в двухфакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной^ долей потребления.

3. Математическая модель демографической динамики и потенциала трудовых ресурсов, а также результаты анализа демографической ситуации в УР и прогнозирование демографических характеристик.

4. Экономико-математическая модель динамики человеческого капитала; численный прогноз для УР.

5. Математическая модель экономической системы региона как инструмента прогнозно-аналитических расчетов. Результаты идентификации параметров модели и прогнозирования обобщающих показателей региональной экономической системы.

6. Алгоритмы и результаты решения задач оптимального управления региональной экономической системой для различных вариантов ее развития.

Научная новизна работы.

С точки зрения научной новизны результаты, выносимые на защиту (перечисленные выше), можно охарактеризовать следующим образом.

1. Теоретические результаты п.п. 1.1, 1.2, 1.4, 1.5, а также все результаты п. 2 являются новыми. Результат п. 1.3 дополняет известный результат Куп-манса и дает полную характеристику решения РКК-модели.

2. Подход к разработке модели прогноза демографических характеристик (п. 3) на основе уравнения (сохранения) переноса (известного в механике гетерогенных сред) является теоретически новым.

3. Формулировка экономико-математической модели п. 4. является теоретически новой. Предложена методика построения функции распределения человеческого капитала региона по времени.

4. Разработки п.п. 5 и 6 основаны на новых теоретических результатах и имеют научную и практическую значимость. Построены алгоритмы оптимального управления для различных вариантов развития ЭД.

Научная и практическая значимость.

Полученные новые теоретические результаты относятся к области фундаментальных исследований и являются вкладом в инструментарий научно-методологического анализа моделей экономической динамики. Приемы и методы исследований, развитые в работе, могут быть непосредственно использованы в теоретических исследованиях при построении и анализе экономических моделей.

Полученные результаты расширяют понимание закономерностей и механизма распределения инвестиционных потоков между производственной и социальной сферами. Сформулированные математические модели и алгоритмы их реализации могут быть применены для прогнозирования факторов экономического развития. Развиваемое направление исследований дает более полное представление о вкладе различных факторов при формировании стратегии развития региона.

Содержащаяся в работе информация и выводы могут быть использованы для выработки научно обоснованной региональной программы развития УР. ИАССЭА может быть адресована Министерству экономики УР и Государственному комитету по труду УР.

Материалы диссертационной работы используются при обучении студентов факультета прикладной математики ИжГТУ по специальности 061800 — Математические методы в экономике, а также при проведении ими исследований на стадии написания дипломных работ и кандидатских диссертаций.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях: Научно-практической конференции ИжГТУ (Ижевск, 15-16 июля 2002 года); IV Научной конференция молодых ученых и аспирантов с международным участием "Управление экономикой в условиях интеграции хозяйственных систем" (Ижевск, 19 февраля 2003 года); VII Научной конференции молодых ученых и специалистов на секции "Информационные технологии и их применение" (Дубна, 3-8 февраля 2003 года); IV Международной научно-технической конференции "Информационные технологии в инновационных проектах" (Ижевск, 29-30 мая 2003 года); отдельные результаты работы докладывалась на семинаре профессора С.А. Айвазяна "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" в ЦЭМИ РАН (Москва, 2 июня 2004 года); V Международной научно-практической конференции "Государственное регулирование экономики. Региональный аспект" на секции "Математическое моделирование экономических систем" (Нижний Новгород, 20 -22 апреля 2005 года); Межрегиональной научно-практической конференции "Стратегия устойчивого развития города Ижевска" (Ижевск, 28 сентября 2005 года); Юбилейной конференции с международным участием "Современные проблемы науки и образования" (Москва, 5-6 декабря 2005г.); Международной научно-практической конференции "Научные школы и результаты в Российской статистике" (Санкт-Петербург, 29 января - 1 февраля 2006 года); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVH", (Воронеж, 3 — 9 мая 2006 года); Всероссийской научно-практической конференции "Инновационная экономика и региональное инновационно-устойчивое развитие" (Чебоксары, 3 октября 2006 года); 14-ой международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 22 - 27 января 2007 года); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы", (Воронеж, 27 января - 2 февраля 2007 года); IV конференции "Российская экономика 2007: реальность и перспективы", (Пула, Хорватия, 7-14 июля 2007 года); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XVIII", (Воронеж, 3-9 мая, 2007 года); 3-ей Международной научно-практической конференции "Достижения ученых XXI века", (Тамбов, 30-31 июля 2007 года); Всероссийской научно-практической internet-конференции "Проблемы функционирования и развития территориальных социально-экономических систем", раздел "Математические и инструментальные методы управления социально-экономическими системами" (Институт социально-экономических исследований УНЦ РАН, 15 октября - 15 ноября 2007 года); Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIX", (Воронеж, 3-9 мая, 2008 года).

По теме диссертации опубликованы 44 печатные работы [8 - 51], в том числе 14 статей в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторских диссертаций.

Личный вклад диссертанта заключается в непосредственном участии на . всех этапах исследования, включающих разработку теоретических подходов и методов к исследуемой проблеме, моделирование изучаемых процессов, математическое описание, разработку методов решения и анализ результатов.

Автор выражает благодарность научным консультантам: заведующему лабораторией "Динамические модели экономики" ЦЭМИ РАН (Москва), докт. физ.-матем. наук, профессору В.З. Беленькому за ценные консультации по теории и методам оптимального управления в моделях экономической динамики и декану факультета "Прикладная математика" ИжГТУ, члену-корреспонденту РАРАН, докт. техн. наук, профессору И.Г. Русяку за консультации по теории математического моделирования, всестороннюю помощь и поддержку при подготовке данной работы.

Структура и объем работы. Задачи и характер исследования определили объем, структуру и логику изложения материала (см. рис.1). Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы, включающего 267 наименований. Общий объем диссертации составляет 285 страниц текста, она содержит 21 таблицу и 89 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Кетова, Каролина Вячеславовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем основные результаты и выводы по работе

1. В общей стационарной модели экономической динамики с ограниченными траекториями (ОТ-модель) сформулирован принцип максимума для неподвижной точки оптимальной стратегии и на его основе получено уравнение для ее нахождения (Теорема 1).

2. Для стационарной монопродуктовой многофакторной ОТ-модели уравнение для неподвижной точки доведено до конечной формы, выражающей эту точку через исходные параметры модели.

3. Дано полное описание оптимального решения для классической модели Рамсея-Касса-Купманса (Теорема 2).

4. Описана структура оптимального управления в стационарной двухфактор-ной модели с линейно-однородной производственной функцией в двух постановках: с управляемой и фиксированной долями потребления. Показано, что в обоих случаях оптимальное управление выводит систему не в неподвижную точку фазового пространства, а на луч сбалансированного роста. При этом в модели с фиксированной долей устраняется недостаток, выявленный в модели с управляемой долей потребления, состоящий в том, что на луче сбалансированного роста экономика стагнирует (в душевом измерении).

5. Получена конечная формула (Теорема 3) для луча сбалансированного роста в многофакторной модели с линейно-однородной производственной функцией и фиксированной долей потребления.

6. Предложен двухэтапный подход к анализу негомогенных моделей и построению в таких моделях оптимального управления. В отличие от стационарной модели, где неподвижная точка оптимальной стратегии является стационарным состоянием, в негомогенном случае ей отвечает квазистационарная траектория - квазимагистраль, на которую выходят оптимальные траектории системы. На первом этапе анализируется стационарное приближение, на втором этапе оно обобщается на негомогенный случай. В этих рамках получено распространение Теоремы 2 на негомогенную модель (Теоремы 4, 5).

7. В многофакторной негомогенной модели с ограниченными траекториями описана структура оптимального управления, центральным звеном которой является квазистационарная кривая . Предложен алгоритм построения оптимального управления в переходном периоде, основанный на идее выравнивания уровней (весов) значимости факторов (индексный метод). Этот подход позволяет построить оптимальную траекторию на основе принципа максимума, не решая полную систему сопряженных уравнений, точнее, без привлечения двойственных переменных, что является существенным упрощением, так как для интегрирования двойственных переменных краевые условия отсутствуют.

8. В многофакторной негомогенной модели с линейно-однородной производственной функцией (в которой оптимальные траектории растут неограниченно) получены уравнения для определения направления максимального сбалансированного роста (квазистационарная кривая) (Теорема 6), являющегося аналогом луча сбалансированного роста в стационарной модели (Теорема 3).

9. Сформулирована краевая задача демографической динамики на основе подхода к выводу уравнений сохранения, развитого в механике гетерогенных сред. Выведены соотношения для расчета основных демографических характеристик. Замыкание уравнений осуществлено с помощью статистических моделей функций распределения рождений и силы смертности. Представлено аналитическое и численное решение задачи. Исследована сходимость численного решения. Проведен анализ вычислительной погрешности, погрешности аппроксимации, а также статистических погрешностей граничных условий и функций распределения рождений и силы смертности на погрешность прогнозирования локальных и интегральных демографических характеристик. Показано, что разработанная математическая модель с погрешностью не более 3% может быть использована при прогнозировании демографических характеристик на период до 20 лет.

10. Впервые сформулирована экономико-математическая модель потенциала трудовых ресурсов и стоимостных характеристик демографических потерь. Подробно рассмотрены два аспекта проблемы, обусловленной преждевременной потерей демографического элемента: упущенная выгода для экономической системы региона в целом, и потерянная ценность для отдельной семьи в частности. Исследования, проведенные в работе на примере УР, показали: полный экономический потенциал среднестатистического демографического элемента почти на 40% превышает расходы на его собственное содержание. при выбытии демографических элементов в возрасте т < 40 лет упущенная выгода для экономики в 2-3 раза выше потерянной ценности для отдельной семьи, однако, с увеличением возраста демографического элемента уже при т > 50 лет потерянная ценность становится выше упущенной выгоды. суммарная упущенная выгода от преждевременных демографических потерь в УР составляют 4 4- 6 % ее ВРП.

11. Впервые сформулирована экономико-математическая модель динамики человеческого капитала. Решена задача его определения как функции времени. Построена производственная функция экономической системы региона с учетом фактора человеческого капитала. Отношение коэффициентов эластичности фактора производственных фондов и фактора человеческого капитала для УР составляет 0,22, а предельная норма замещения второго фактора первым в 2006 году была равна 23. Таким образом, рассматриваемая экономическая система в настоящее время работает в условиях дефицита второго ресурса.

12. На основе построенных моделей факторов производства предложена математическая модель региональной экономической системы. Решена задача идентификации неизвестных параметров модели и прогнозирования обобщающих экономических показателей. Для решения задачи идентификации использован гибридный алгоритм, включающий генетический алгоритм с вещественным кодированием и метод Хука-Дживса. Установлено, что доля общественного потребления для УР составляет около 70 % от ВРП, а доли инвестирования в производственный и человеческий капитал составляют 21 % и 9 % соответственно.

13. На основе математической модели региональной экономической системы сформулирована и решена задача оптимального управления распределением капиталовложений с учетом демографического прогноза для различных сценариев развития. Построены алгоритмы оптимального управления в условиях научно-технического и социально-образовательного прогресса; а также с учетом процесса внешнего инвестирования.

14. Разработана информационно-аналитическая система, позволяющая проводить совместный анализ всего комплекса локальных и интегральных демографических характеристик и макроэкономических параметров региона, а также проводить параметрические и имитационные исследования различных вариантов развития экономию!.

15. Установлено, что ведущим фактором развития экономики УР является человеческий капитал. Если прогнозировать развитие экономики УР на основе существующих пропорций норм потребления и инвестирования в факторы производства, то ее темп развития составит 1-2% в год. Определено оптимальное значение нормы потребления s0, при котором экономика развивается наиболее быстрыми темпами. При плановом периоде Г* =10 лет это значение равно 0,36. Решение задачи управления при 50=0,36 приводит к увеличению суммарного дисконтированного удельного потребления на 70 % по сравнению с прогнозным значением. При этом в конце планового периода более чем в 5 раз в сопоставимых ценах увеличивается удельное потребление и почти в 10 раз - производительность труда.

Проведенные численные исследования показали, что рассматриваемая экономическая система имеет достаточные резервы увеличения темпов развития. При этом оптимальное управление, устраняя дисбаланс между факторами производства (к и h ), приводит к существенному повышению ее эффективности.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кетова, Каролина Вячеславовна, 2008 год

1. Послание Федеральному Собранию Российской Федерации, 10 мая 2006 года // Официальный сайт Президента России htpp://www.kremlin.ru/text/appears/2006/05/l 05546. shtml.

2. Иванов В.И. Трудовые ресурсы и рост благосостояния народа — Минск: Наука, 1987.-117 с.

3. Иванов В.И. Население и глобализация — М.: Наука, 2002 — 87 с.

4. Максимович С. Русские вымирают быстрее других национальностей // Аргументы и факты — 2001.- № 1. С. 6.

5. Вишневский А.Г. Демографическая модернизация России и ее противоречия // Мир России. Социология. Этнология 1999.- Т. VIII - № 4 - С. 5-21.

6. Стенограмма выступления Первого заместителя Председателя Правительства РФ Дмитрия Медведева на заседании Общественной палаты, 9 февраля 2007 года, Москва //http://www.rost.ru/official/2007/02/0900007893.shtml

7. Послание Федеральному Собранию Российской Федерации, 10 мая 2003 года // Официальный сайт Президента России htpp://www.kremlin.ru/text/appears/2006/05/l 05546. shtml

8. Русяк И.Г., Кетова К.В. Математическое моделирование демографических показателей // Сб. статей "Интеллектуальные системы в производстве" — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2002. № 2. - С. 163 - 169.

9. Русяк ИГ., Кетова КВ. Постановка задачи управления демографоэконо-мическим состоянием региона // Материалы IV Междунар. науч.-техн. конф. "Информационные технологии в инновационных проектах".— Ч. 2. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. С. 62 - 64.

10. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ решения задачи управления демографо-экономическим состоянием региона // Интеллектуальные системы в производстве. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. - № 2. - С. 151 - 160.

11. Русяк И.Г., Кетова КВ. К вопросу о выводе уравнения динамики возрастного состава // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ": Изд-во ИжГТУ. Ижевск, 2004. - № 2. - С. 49 - 52.

12. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ погрешностей прогнозирования демографических показателей // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ": Изд-во ИжГТУ. Ижевск, 2004. - № 3 - С. 44 - 46.

13. Кетова К.В. Применение принципа оптимальности Беллмана к решению задачи оптимального экономического роста в стационарной постановке // Интеллектуальные системы в производстве Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. -№ 1.-С. 145- 155.

14. Беленький В.З., Кетова К.В. Принцип оптимальности Беллмана и стационарные модели экономической динамики // Сб. статей "Интеллектуальные системы в производстве". Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. — № 2. — С. 59 -75.

15. Тененев В.А., Kemoea КВ., Дмитриев С.В. Математическое моделирование экономической системы с учетом инвестиционных процессов // Сб. статей "Интеллектуальные системы в производстве". — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2005.-№2.-С. 81-87.

16. Беленький В.З., Kemoea КВ. Полное аналитическое решение макромодели развития региона при экзогенном демографическом прогнозе // Периодический научно-теоретический журнал "Экономика и математические методы" М.: Наука, Том 42, Вып. 4, 2006 - С. 85 - 95.

17. Русяк И.Г., Kemoea КВ. Математическое моделирование открытой региональной экономической системы // Периодический научно-теоретический журнал "Фундаментальные исследования".- М.: Изд-во Академия Естествознания, 2005. —№ 10, С. 73 - 74.

18. Кетова КВ., Дмитриев С.В. Об одной задаче моделирования инновационного развития макроэкономической системы // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ".- Ижевск: Изд-во ИжГТУ. — № 3, 2006.- С. 68 70.

19. Кетова КВ., Сабирова О.Р. Макромодель развития региона с учетом повышения качества трудовых ресурсов (на примере Удмуртской Республики) // Анализ и моделирование экономических процессов / Сборник статей. Вып. 3. М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 2006. - С. 83 - 98.

20. Русяк И.Г., Кетова КВ., Сабирова О.Р. Квазистационарная кривая развития экономики региона в двухфакторной динамической макромодели // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ". — Ижевск: Изд-во ИжГТУ.-№ 1 (33), 2007.-С. 111-116.

21. Кетова КВ., Сабирова О.Р. Постановка задачи оптимального управления в случае многомерной модели макроэкономической динамики и разработка алгоритма ее решения // Научный журнал "Вестник ТОГУ". Хабаровск: Изд-во ТОГУ, 2007. № 4 (7) - С. 89 - 100.

22. Кетова КВ. Экономико-математическая модель потенциала трудовых ре-1 сурсов и стоимостных характеристик демографических потерь // Научно-практический журнал "Прикладная эконометрика". — М.: Изд-во Маркет ДС. № 3 (7), 2007. - С. 80 - 94.

23. Кетова КВ. К вопросу о расчете потерянной ценности при выбытии демографической единицы // Периодический научно-образовательный журнал "Научное обозрение ". М.: Наука. - № 4, 2007. - С. 20 - 26. {<

24. Кетова КВ. Об одной задаче макроэкономической динамики региона с учетом факторов экономического развития // Периодический научно-теоретический журнал "Вестник ИжГТУ". Ижевск: Изд-во ИжГТУ. - № 3(35), 2007.-С. 33-40.

25. Русяк И.Г., Кетова КВ. Построение производственной функции экономи—1ческой системы региона с учетом человеческого капитала // Вестник МГУ" серия "Экономика". М.: Изд-во МГУ. - № 3, 2008.

26. Русяк И.Г., Кетова К.В. Анализ экономических характеристик демографи----ческих потерь // Научный журнал "Вестник ТГУ".- Томск: Изд-во ТГУ. —310, 2008. -С. 153- 159.

27. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. — М.: Экономика, 1988.-486 с.

28. Аишанов С.А. Введение в математическую экономику.- М.: Наука, 1984 — 293 с.

29. Макконнел К.Р., Брю C.JI. Экономикс: принципы, проблемы и политика: Пер. с англ. М.: ИНФРА-М, 1999. - 974 с.

30. Смит А. Исследование о природе и причинах богатства народов. В книге "Антология экономической классики". Т.1. М.: Эконов, 1993.

31. Замков О. О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические мето-,' ды в экономике. — М.: Дело и сервис, 2001. — 365 с.

32. Маршалл А. Принципы экономической науки: в 2 т./ пер. с англ. — М.: Прогресс, 1993.-т. 1.

33. Багриновский К.А., Матюшок В.М. Экономико-математические методы и модели. М.: Изд-во РУДН, 1999. - 182 с.

34. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика. — М.: Экономика, 1997. 182 с.

35. Канторович JJ.B. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. — М.: Гостехиздат, 1939.

36. Анчишкин А.И. Прогнозирование роста социалистической экономики. — М.: Экономика, 1973. 294 с.

37. Багриновский К.А., Рубцов В.Н. Модели и методы прогнозирования и долгосрочного планирования народного хозяйства. -М.: Изд-во РУДН, 1992.

38. Багриновский К.А., Сумин Г.А. Математические методы в экономике и планировании народного хозяйства. — М.: Изд-во РУДН, 1993.

39. Гражданников Е.Д. Прогностические модели социально-демографических процессов. Новосибирск: Наука, сиб. отд-ние, 1974. - 112 с.

40. Имитационное моделирование экономических систем: Сб. ст. под ред. К.А. Багриновского. — М.: Наука, 1978. 221 с.

41. Соколовский JI.E. Модели оптимального функционирования предприятия. -М.: Наука, 1980.-172 с.

42. Информационное моделирование экономической системы / Под ред. Е.Г. Ясина. М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1979.

43. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства // учебное пособие для студентов ВУЗов, обучающихся по специальности "Экономическая кибернетика". М.: Экономика, 1985. - 240 с.

44. Полтерович В.М. Экономическое равновесие и хозяйственный механизм. — М.: Наука, 1990.

45. Полтерович В.М. Равновесные траектории экономического роста.//Методы функционального анализа в математической экономике. — М.: Наука, 1978.s

46. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического ^моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.

47. Петров А.А., Шананин А.А. Экономические механизмы и задача агрегирования модели межотраслевого баланса. //Математическое моделирование. 1993, т.5, № 9.

48. Петров А.А., Поспелов И.Г. Системный анализ развивающейся экономики: к теории производственных функций // Изв. АН СССР, Техн. кибернетика, №2, 1979.-С. 28-38.

49. Поспелов И.Г. Моделирование экономических структур. М.: ФАЗИС, 2003.

50. Петров А.А. Об экономике языком математики. — М.: ФАЗИС, 2003.

51. Solow R. A contribution to the theory of economic growth // Quarterly Journal of Economics, v. 70, 1956. Pp. 65 - 94.

52. Solow R. Growth theory: An exposition. 1988 edition. Oxford, Oxford Univ. Press, 1970.

53. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.

54. Гейл Д. Замкнутая линейная модель производства // Линейные неравенства и смежные вопросы. — М., 1959.

55. Gale D. Pure Exchange Equilibrium of Dynamic Economic Models // Journal of Economic Theory, v. 6, 1973. — Pp. 12-36.

56. Макаров B.JI., Рубинов A.M, Левин М.И. Математические модели экономического взаимодействия. — М.: Наука-Физматлит, 1993.

57. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

58. Макаров В.Л. Состояние равновесия сбалансированного роста в модели Неймана с функцией полезности // Оптимальное планирование. — Вып. 8. — Новосибирск: Наука, сиб. отд-ние, 1967. С. 168 - 169.

59. Рубинов A.M. Магистрали в моделях Неймана-Гейла // ДАН СССР, 242, 2, 1978.

60. Беленький В.З. Стационарные динамические модели управления экономическими системами / Дис. д-ра физ.-мат. наук. М.: ЦЭМИ РАН, 1992.

61. Беленький В.З. Стационарные модели экономической динамики. М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 1981.

62. Беленький В.З. Экономическая динамика: обобщающая "бюджетная" факторизация гейловской технологии // Экономика и математические методы. -1990.-Вып. 1.-С. 165-177.

63. Беленький В.З. Объективные функционалы в стационарных моделях экономической динамики // Математический аппарат экономического моделирования. М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 1983. - С.216-222.

64. Беленький В.З. Оптимальное управление: принцип максимума и динамическое программирование: Учеб. пособие. -М.: Изд-во РЭШ, 2001. 114 с.

65. Матееенко В.Д. Структура оптимальных траекторий в моделях экономической динамики: Дис. д-ра физ.-мат. наук. — С-Пб, 2004.

66. Матееенко В.Д. Эффективный функционал и магистраль в моделях экономической динамики. // Математические модели экономической динамики. Вильнюс: ИЭ АН ЛитССР, 1988.

67. Клейнер Г.Б. Производственные функции: Теория, методы, применение. — М.: Финансы и статистика, 1986. — 239 с.

68. Клейнер Г.Б. Факторы производства и производственные функции: моделирование в условиях качественных измерений. // Производственные функции: Теория, методы, применение. — М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 1997.

69. Терехов JT.JI. Производственные функции. М.: Статистика, 1974. - 128 с.

70. Терехов Л.Л., Куценко В.А., Сиднее С.П. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении. — Киев: Выща шк., 1984 — 231с.

71. Баркалов Н.Б. Производственные функции в моделях экономического роста. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 126 с.

72. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. — М.: Наука, 1979.-303 с.

73. Бессонов В.А. Проблемы построения производственных функций в российской переходной экономике. М.: Институт экономики переходного периода, 2002. - 23 с.

74. Лукашин Ю., Рахлина Л. Производственные функции в анализе мировой экономики // Мировая экономика и международные отношения, 2004. №1 -С. 17-27.

75. Бурое А.В., Минъков С.Л., Ушаков В.М. Моделирование экономических процессов и систем. Томск: Изд-во ТГПУ, 4.1, 2001 - 158 е.; ч.2, 2003— 167 с.

76. Ramsey F.P. A mathematical theory of saving // Econ. Journ. December 1928. -Pp. 543-559.

77. Столерю Л. Равновесие и экономический рост. — М.: Статистика, 1974 — 472 с.10в. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. — М.: Прогресс, 1975. 605 с.

78. Алексеев В.М. и др. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. — 429 с.

79. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1969.-408 с.

80. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. — М.: Наука, 1973.-446 с.

81. Лагоша Б.А. Оптимальное управление в экономике. М.: Финансы и статистика, 2003. - 191 с.

82. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. -М.: Наука, 1977.-216 с.

83. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. - 495 с.

84. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский и др. М.: Наука, 1983. - 392 с.

85. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. М.: Высш. шк., 1990.-429 с.

86. Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. - М.: Наука, 1998.

87. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1961.

88. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: Наука, 1989.-61 с.

89. Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: Иностранная литература, 1960.

90. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — М.: Наука, 1978.-352 с.

91. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений —М.: Логос, 2000 293с.

92. Беленький В.З. Вековое уравнение для неподвижных точек оптимальной стратегии стационарного уравнения Беллмана. //Экономика и математические методы. М.: Наука, 1991. - № 5.

93. Кетова КВ. Оптимальное распределение капиталовложений с учетом демографического прогноза / Дис. кандидата физ.-мат. наук. — Ижевск: ИжГТУ, 2004.

94. Н.Б. Мельников Существование и единственность функции цены в многомерной модели Рамсея // Вестник МГУ, серия 15, Вычислительная математика и кибернетика. М.: Изд-во МГУ, 2205. - № 3.

95. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

96. Беленький В.З. Операция ratio-сопряжения и ее применение в линейно-однородных моделях экономики. //Экономика и математические методы. — М.: Наука.-№2, 2006.

97. Беленький В.З. Количественный анализ в моделях экономики (лекции для студентов) / Экономический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова. М.: Изд-во ТЕИС, 2002. - 112 с.

98. Яковенко С.Ю. О моделях Неймана-Гейла, функционирующих в непрерывном времени. // ДАН СССР, т. 291, № 4, 1986.

99. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

100. Капица С.П. Математическая модель роста населения мира // Математическое моделирование. 1992. - Т. 4. - № 6.

101. Боярский А.Я. Курс демографии. -М.: Статистика, 1985. 652 с.

102. Боярский А.Я., Валентей Д.И., Кваила А.Я. Основы демографии: Учебное пособие для экономических специальностей вузов. М.: Статистика, 1980. - 295 с.

103. Боярский А.Я. Модели демографических связей. -М.: Статистика, 1972.

104. Венецкий И.Г. Статистические методы в демографии. — М.: Статистика, 1977.-208 с.

105. Венецкий И.Г. Математические методы в демографии. — М.: Статистика, 1971.-296 с.

106. Вишневский А.Г. Методы количественного анализа рождаемости. — М.: Мысль, 1986.

107. Борисов В.А. Демография: Учебник для вузов. — М.: NOTA BENE, 1999. — 272 с.

108. Стешенко B.C. Изучение воспроизводства народонаселения. Киев: Наук, думка, 1981.-326 с.

109. Вишневский А.Г. Мировой демографический взрыв. -М.: Знание, 1978.

110. Валентей Д.И., Зверева Н.В. Изучение народонаселения: вопросы методологии. М.: Изд-во МГУ, 1987. - 154 с.

111. Демографические модели: Сб. статей под ред. Е.М. Андреева, А.Г. Волкова. М.: Статистика, 1977. - 182 с.

112. Валентей Д.И., Кваша А.Я. Основы демографии: Учебник для экон. спец. вузов. -М.: Мысль, 1989.-284 с.

113. А2.Валентей Д.И., Алексеев А.И., Андреев Е.Н. и др. Демография: современное состояние и перспективы развития. М.: Высш. шк., 1997.

114. Боярский А.Я. Население и методы его изучения // Сб. научных трудов. -М.: Статистика, 1975. 264 с.

115. Раяцкас P.JI. Система моделей планирования и прогнозирования. М.: Статистика, 1973. -268 с.

116. Раков А.А. Система моделей планирования и прогнозирования. М.: Статистика, 1976.

117. Басалаева Д.И. Моделирование демографических процессов и трудовых ресурсов. -М.: Наука, 1978. 88 с.

118. Белова В.А., Дарский JI.E. Статистическое мнение об изучении рождаемости. -М.: Статистика, 1972. 144 с.

119. Дарский JI.E. Формирование семьи. -М.: Статистика, 1972. -208 с.

120. Общая теория статистики / Под ред. О.Э Башиной, А.А. Спирина. М.: Финансы и статистика, 2000. — 439 с.

121. Урланис Б.Ц. Проблемы демографического прогнозирования. М.: Наука, 1971.

122. Бахметова Г.Ш. Методы демографического прогнозирования. — М.: Финансы и статистика, 1982. 159 с.

123. Венецкий И.Г. Вероятностные методы в демографии. — М.: Финансы и статистика, 1981.

124. Демографические прогнозы: Сб. ст. под ред А.Г. Волкова. М.: Статистика, 1973.- 167 с.

125. Имитационные модели в демографии: Сб. статей под ред. А.Г. Волкова. — М.: Статистика, 1980. 207 с.

126. Боярский А.Я. К проблеме демографического оптимума. — М.: Наука,1968.-36 с.

127. Вишневский А.Г. Воспроизводство населения и общество. — М.: Финансы и статистика, 1982. -287с.

128. Вишневский А.Г. Демографический потенциал России // Вопросы экономики. 1998. -№ 5. с. 103-122.

129. Уилъямсон М. Анализ биологических популяций. М.: Мир, 1975. - 271 с.

130. Глобальная энергетическая проблема / Под ред. Н.Д. Иванова. М.: Мысль, 1985.-240 с.

131. Агзамходжаев И.Х. Модели перспективной оценки движения населения и трудовых ресурсов: Дис. канд. техн. наук. Ташкент, 1992.

132. Папенов К.В. Модель размещения населения и трудовых ресурсов с учетом естественного и механического движения: Дис. канд. техн. наук. — М.,1969.

133. Форрестер Дж. Мировая динамика. -М.: Наука, 1978. 167 с.

134. Гинзбург JI.P. О динамике и управлении возрастной структурой популяции // Проблемы кибернетики. 1970. - Вып. 23.

135. Горбунов В.К. Системный анализ экономического и демографического рос-та//Техническая кибернетика-М.: Изд-во АН СССР.- №1, 1981- С. 32-38.

136. Староверов О.В. Модели движения населения. М.: Наука, 1979. — 342 с.

137. Староверов О.В. Общие марковские модели движения населения и его потенциал // Экономика и математические методы. — Т. 27. 1991. — Вып. 4.

138. Староверов О.В. Оценка притяжения групп по межгрупповым потокам // Экономика и математические методы. Т. 31. - 1995 - Вып. 2.

139. Староверов О.В. Один подход к оценке насыщенности рынка труда // Тез. докл. V науч. конф. "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценка". М.: Изд-во ЦЭМИ РАН, 1993.

140. Раков А.А. Демографические основы народно-хозяйственного планирования. Минск: Навука и техника, 1990. — 268 с.

141. Динамическая теория биологических популяций / Под ред. Р.А. Полуэкто-ва. М.: Наука, 1974. - 455 с.17Х.Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П. Математическое описание элементов экономики. М.: Физматлит, 1994. - 414 с.

142. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. -336 с.

143. Русяк И.Г., Ушаков В.М. Внутрикамерные гетерогенные процессы в ствольных системах. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2001. - 269 с.

144. Численность населения по полу и возрасту в Удмуртской Республике: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1996, ., 2007.

145. Естественное движение населения в Удмуртской Республике: Стат. бюл. Госкомстата УР. — Ижевск, 1996, ., 2007.

146. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972. - 400 с.1.l .Lax P. Weak solution of nonlinear hyperbolic equation and their numerical computation // Comm. on purl and aple math. 1954. — V. 7. - № 1.

147. S. Айвазян С.А. Прикладная статистика. Основы эконометрики. Т. 2. - М.: Юнити-Дана, 2001. - 976 с.

148. Удмуртия в цифрах: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1980-2001, 2006.

149. Численность и естественное движение населения в Удмуртской Республике: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1996, ., 2007.

150. Численность работников и движение рабочей силы: Стат. бюл. Госкомстата УР.-Ижевск, 1996, .,2007.

151. Социально-экономическое положение городов и районов Удмуртской Республики: Стат. сб. Госкомстата УР. Ижевск, 1996,., 2006.

152. Динамические ряды итогов переписей населения 1959, 1970, 1979, 1989 гг. по Удмуртской Республике (не опубл.).

153. Динамические ряды по естественному движению населения Удмуртской Республики (не опубл.).

154. Сводные статистические таблицы об итогах естественного движения населения УР за 1990-1998 гг. Опись 7 (не опубл.).18в.Россет Э. Процесс старения населения: Демографическое исследование. -М.: Статистика, 1968. 509 с.

155. Россет Э. Продолжительность человеческой жизни. М.: Прогресс, 1981. -383 с.

156. Прохоров Б.Б., Шмаков Д.И. Оценка стоимости статистической жизни и экономического ущерба от потерь здоровья // Проблемы прогнозирования, 2002, №3,-С. 125-135.

157. Трунов И.Л., Трунова Л.К., Востросаблин А.А. Экономический эквивалент человеческой жизни // Вестник РАЕН, 2004, № 4.

158. Трунов ИЛ., Айвар Л.К., Харисов Г.Х. Эквивалент стоимости человеческой жизни / htpp//www.trunov.com/content.php?act=showcont&id=1858.

159. Саградов А.А. Экономическая демография // Учебное пособие. М.: Ин-фра-М, 2005. - 253 с.

160. Урланис Б.Ц. Проблемы экономической демографии // В сб. Проблемы демографии. Вопросы теории и практики / Под редакцией Д.Л. Бронера и И.Г. Венецкого. М.: Статистика, 1971. - С. 93 - 110.

161. Отчетность об исполнении консолидированного бюджета РФ, Министерство Финансов Российской Федерации, Федеральное казначейство (Казначейство России) http://www.roskazna.ru/reports/cb.html.

162. Саградов А. А. К разработке модели пожизненных доходов // Экономический альманах: статистика, анализ, прогноз. Вып.1, 2001. — С. 46 — 49.

163. Саградов А.А. Теория и методы изучения качества населения. — М.: Гуманитарный фонд, 1995.

164. Закон о бюджете Удмуртской Республики на 1999,., 2006 г.г.

165. Бюджет УР на 2005, 2006 г.г. Основные параметры (информационная записка). Управление аналитического обеспечения и информационных ресурсов при аппарате Государственного Совета УР. — Ижевск, 2006.

166. Основные фонды Удмуртской Республики: Стат. сб. Госкомстата YJE*.1. Ижевск, 1998-2005.

167. Российский статистический ежегодник: Стат. сб. Госкомстата России. — JVI.: Финансы и статистика, 2004. 621 с.

168. Информационный сайт Госкомстата России http: //www.info.gks.ru.

169. Дятлов С.А. Инвестиции в человеческий капитал: критерий эффективности // Известия СПбУЭФ, № 4, 1996. 298с.

170. Айвазян С.А. Анализ синтетических категорий качества жизни населения субъектов РФ: их измерение, динамика, основные тенденции // Уровень жизни населения регионов России, №11, 2002.

171. Ильинский КВ. Инвестиции в будущее: образование в инвестиционном воспроизводстве. СПб.: Изд-во СПбУЭФ, 1996. - 250 с.

172. Агабеков С.И. Инновационный человеческий капитал и эволюция социсальIно инновационной структуры России. - М.: Наука, 2003.205 .Добрынин А. И., Дятлов С.А. Человеческий капитал в транзитивной экономике. СПб.: Наука, 1999.-309 с.

173. Юб.Галаева Е.В. Исследование человеческого капитала в зарубежной литературе. //Общество и экономика, № 7 8, 1997. - С. 244 - 255.

174. Макконелл К.Р. Брю C.JI. Экономикс: принципы, проблемы и политика. Т. 2.-М.: Республика, 1992.

175. Эренберг Р. Современная экономика труда. Теория и государственная политика. М.: Изд-во МГУ, 1996. - 198 с.

176. Корицкий А.В. Введение в теорию человеческого капитала. — Новосибирск: Изд-во СибУПК, 2000. 112 с.

177. Schultz Th.W. Investing in People. The Economics of Population Quality. — Berkeley: University of California Press, 1981.

178. Schultz T.P. Economics of Population. Reading (Massachusetts): Addison-Wesley Publishing Company, 1981.

179. Борисов Г.В. Инвестирование в человеческий капитал в условиях трансформирующейся экономики России. СПб., 1998. - 320 с.

180. Клочков В. В. Экономика образования: иллюзии и факты-М.: Мысль, 1985.

181. Ткаченко А.А. Экономические последствия современных демографических процессов в СССР. -М.: Статистика, 1978.

182. Фотеева Е.А. Качественные характеристики населения СССР. — М.: Финансы и статистика, 1984.

183. Фишер С., Дорнбуш Р. Экономика. М.: Дело, 1993.

184. Дятлов С.А. Теория человеческого капитала. // Учебное пособие. СПб.: СПбУЭФ, 1992.

185. Лаптев А.П. Здоровье — фундамент деловых успехов //Управление персоналом, №10, 1997.

186. В.Нестерова Инвестиции в человеческий капитал. М.: Аспект пресс, 2002.-215 с.

187. Farr W. On the Economic Value of the Population // Population and DevelopmentReviev, № 27 (3), 2001 1877. -P.565-571.

188. Rice D., Cooper B. The economic Value of Human Life // American Journal of Public Health № 57 (11), 1967. P. 1954-1966.

189. Mushkin S. Health as Investment // Journal of Political Economy № 70 (5), 1962.-P. 129-157.

190. Solow R. Technical change and the aggregate production function // Review of Economics and Statistics, v. 39, 1957. — Pp. 312 — 330.22в. Глазьев С. Ю. Экономическая теория технического развития. М.: Наука, 1990.-232 с.

191. Lucas R.E. On the mechanics of economic development // Journal of Monetary Economics, v. 22, 1988. Pp. 3 - 42.

192. Lucas R.E. Making a miracle // Econometrica, v. 61, 1993. Pp. 251 - 272.

193. Romer P. Increasing returns and long-run growth // Journal of Political economy, v. 94, 1986. Pp. 1002 - 1037.

194. Закиров P.X. Экономическая эффективность капитальных вложений и производственных фондов. — М.: Прогресс, 1976. —210 с.

195. Твисс Б. Управление научно-техническими нововведениями. Сокр. пер. с англ. М.: Экономика, 1989. -115 с.

196. Бетехтина Е., Пойсик М. Мировая практика формирования научно-технической политики. Кишинев: 1990. -231 с.

197. Чечурина М.Н. Анализ моделей научно-технического прогресса как фактора экономического развития. М.: Вестник МГТУ, 2005. - вып. 8 — № 2 — С. 338-347.

198. Оппенлендер К. Технический прогресс: воздействие, оценки, результаты. — М.: Экономика, 1981. 176 с.

199. Царьков В.А. Экономическая динамика и эффективность капитальных вложений. -М.: Издательство дома «Лексикон», 1997. 278 с.

200. Браун М. Теория и измерение технического прогресса. М.: Статистика, 1971.

201. Валинурова JI.C., Казакова О.Б. Управление инвестиционной деятельностью: учебник. М.: КНОРУС, 2005. - 384 с.

202. Валинурова JI.C. Прогнозирование объема инвестиций в экономическую систему //Закон и право, 2005, № 5, С. 49-61.

203. Валинурова JI.C. Управление инвестиционным процессом в экономических системах. — М.: Палеотип, 2002. 278 с.

204. Петровская Л.А., Шипук П.М. Модели открытой экономики //Международные экономические отношения, 2002, №45. // Web: http://beliournal.bv.ru/l 998/4/P/l 3 .shtml.

205. Крувшиц JI. Финансирование и инвестиции. — СПб.: Питер, 2002.

206. Рождаемость, смертность и естественный прирост населения по регионам РФ в 2002 2006 годах // Стат. сборник Государственного комитета РФ по статистике. - 2006.

207. Доходы, расходы и потребление домашних хозяйств в 2002 2006 годах (по итогам выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств) // Стат. сборник Государственного комитета РФ по статистике. — 2006.

208. Российский статистический ежегодник: Стат. сб. Госкомстата России. М.: Финансы и статистика, 2006.

209. Булгаков В.К, Булгаков О.В. Моделирование динамики обобщающих показателей развития региональных экономических систем России // Экономика и математические методы, т.42, №1, 2006. С. 32 - 49.

210. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ, 1994.-528 с.

211. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. — М.: Наука, 1982. 432 с.

212. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы // Перспективные информационные технологии и интеллектуальные системы, 2000, № 1. С. 18 -22.

213. Курейчик В.М., Зинченко Л.А., Хабарова И.В. Алгоритмы эволюционного моделирования с динамическими параметрами // Информационные технологии, 2001, №6. С. 10 -15.

214. Тененев В.А., Паклин Н.Б. Гибридный генетический алгоритм с дополнительным обучением лидера // Интеллектуальные системы в производстве, 2003, №2.-С. 181 206.

215. Дмитриев С.В. Разработка гибридных генетических алгоритмов для решения задач оптимального управления динамическими системами / Дис. канд. техн. наук. — Ижевск: ИжГТУ, 2007.

216. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. М.: Изд-во МАИ, 1995.-334 с.

217. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. — М.: Горячая линия Телеком, 2004. - 452 с.i

218. Тененев В.А. Применение генетических алгоритмов с вещественным кроссовером для минимизации функций большой размерности // Интеллектуальные системы в производстве, 2006, № 1. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2006.-С. 93-107.

219. Her г era F., Lozano М., Verdegay J.L. Tackling real-coded genetic algorithms: operators and tools for the behavior analysis // Artificial Intelligence Review. -1998.-Vol. 12, No. 4.-Pp. 265 -319.

220. Ballester P.J., Carter J.N. Real-parameter genetic algorithms for finding multiple optimal solutions in multi-modal optimization // Genetic and Evolutionary Computation Conference. Part I. Lecture Notes in Computer Science 2723. -2003.-Pp. 706-717.

221. Deb K., Agrawal S. Simulated binary crossover for continuous search space // Complex Systems. 1995. - Vol. 9, No. 2. - Pp. 115 - 148.

222. Schlierkamp-Voosen D., Muhlenbein H. Strategy Adaptation by Competing Subpopulations // Parallel Problem Solving from Nature III. Lecture Notes in Computer Science 866. — Berlin, Germany: Springer-Verlag, 1994. Pp. 199 — 208.

223. Muhlenbein H., Schlierkamp-Voosen D. Predictive Models for the Breeder Genetic Algorithm: I. Continuous Parameter Optimization // Evolutionary Computation. 1993. - Vol. 1, No. 1. - Pp. 25 - 49.

224. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс / Пер. с англ.; Под ред. В.А. Волынского. — М.: Радио и связь, 1988. — 128 с.

225. Отчетность Федеральной налоговой службы "Отчет о начислении и поступлениям налогов, сборов и иных обязательных платежей в бюджетную систему РФ", по состоянию на 01.01.2007.

226. Геловани В.А., Голубков В.В., Юрченко В.В. и др. Моделирование глобальных процессов. Система интерактивного моделирования: Препринт. — М.: ВНИИСИ, 1985. 56 с.

227. Щербов С.Я., Гречуха В.А. Диалоговая система моделирования многомерных демографических процессов II Глобальное развитие: модели и вычислительные эксперименты. М.: ВНИИСИ, 1986. - С. 23 - 33.

228. Хомоненко А.Д., Цыганков В.М., Мальцев М.Г. Базы данных: Учебник для вузов / Под ред. проф. А.Д. Хомоненко.- СПб.: КОРОНА- принт, 2002.672 с.