Управление портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат экономических наук Абрамов, Анатолий Маркович

• Абрамов, Анатолий Маркович
• кандидат экономических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат экономических наук Абрамов, Анатолий Маркович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОПЦИОННЫЕ КОНТРАКТЫ. РЫНОК ОПЦИОНОВ.

1.1. Спецификация и ценообразование опционов.

1.2. Древовидные модели ценообразования опционов.

1.3. Модель рынка опционов.

ГЛАВА 2. МНОГОЭТАПНОЕ СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ

ПОРТФЕЛЕМ ОПЦИОНОВ.

2.1. Модели многоэтапного стохастического программирования

2.2. Модель управления портфелем опционов.

2.3. Дерево сценариев в модели управления портфелем опционов

ГЛАВА 3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ОПЦИОНОВ.

3.1. Динамическое управление портфелем опционов.

3.2. Статическое управление портфелем опционов.

3.3. Динамическое хеджирование базового актива опционами.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Управление портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования»

Актуальность темы исследования. Рынок производных финансовых инструментов, в том числе опционов, является важной частью рынка ценных бумаг. Первоначально предложенные с целью хеджирования, сегодня опционы также активно используются для спекуляций. Опционы позволяют использовать эффект финансового рычага, выстраивать гибкие торговые стратегии, соответствующие ожидаемой динамике цены и волатильности базового актива.

Теория ценообразования опционов хорошо известна благодаря формулам Блэка-Шоулса и их различным модификациям. Однако, существует относительно небольшое количество исследований, посвященных оптимальному управлению портфелем, содержащим опционные контракты. Задача хеджирования базового актива портфелем опционов является частной задачей управления портфелем опционов.

Модель управления портфелем опционов должна удовлетворять следующим общим требованиям:

- возможность выбора уровней риска и доходности инвестиций;

- учет возможности будущей перестройки портфеля;

- учет транзакционных издержек;

- учет наличия требования гарантийного обеспечения.

Классическая постановка задачи оптимизации портфеля в форме задачи

Марковича нецелесообразна в виду нелинейной зависимости стоимости портфеля опционов от факторов, определяющих его цену, таких как цена и волатильность базового актива, безрисковая ставка процента, время до экспирации. Модель управления портфелем опционов в форме задачи многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями, разработке которой посвящена диссертация, позволяет удовлетворить указанным требованиям.

Степень изученности темы исследования. Небольшое число работ посвящено проблеме оптимального управления портфелем производных финансовых инструментов, в частности портфелем опционов. Среди исследователей данного направления можно выделить следующих зарубежных и отечественных специалистов: Merton R.C., Korn R., Korn E., Trautmann S., Carino D.R., Turner A.L., Голембиовский Д.Ю., Долматов A.C., Самоявчева M.B., Пузановский A.A. Однако в работах данных авторов не рассматривалась модель динамического управления портфелем опционов, учитывающая особенности реального биржевого рынка производных финансовых инструментов.

Целью исследования является разработка модели оптимального управления портфелем опционов, учитывающей особенности реального биржевого рынка. Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать модель биржевого рынка опционов, учитывающую его наиболее существенные особенности.

2. Построить динамическую модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования.

3. Создать дискретную модель изменения цены базового актива опционов.

4. Модифицировать разработанную модель управления портфелем опционов с целью обеспечения возможности динамического хеджирования базового актива портфелем опционов.

5. Провести имитационное моделирование процесса управления портфелем опционов на основе разработанной динамической модели с целью анализа ее эффективности.

Область исследования. Исследование проведено в соответствии с п. 1.6. Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов Паспорта специальности 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является рынок опционов. Предметом исследования является процесс управления портфелем опционов с использованием математического аппарата многоэтапного стохастического программирования.

Методологическая основа исследования. Решение поставленных для достижения цели исследования задач потребовало использования специальных методов научного познания, таких как методы математического анализа, теории вероятностей, математической статистики, многоэтапного стохастического программирования, оптимизации, имитационного моделирования.

Научная новизна исследования. Разработана динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями.

Основные научные результаты исследования. При решении поставленных задач получены следующие новые научные результаты:

1. Разработана модель безарбитражного биржевого рынка опционов, отражающая его наиболее существенные особенности: одновременное обращение опционов с различными сроками и ценами исполнения, наличие требования гарантийного обеспечения, необходимость несения комиссионных расходов.

2. Построена динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. Модель учитывает наличие транзакционных издержек и требование гарантийного обеспечения. Управление портфелем опционов сведено к решению задачи целочисленного линейного программирования. Модель позволяет формировать портфель опционов, обеспечивающий получение заданной доходности с максимально возможной вероятностью.

3. Создана дискретная модель изменения цены базового актива опционов - дерево сценариев. Модель используется для постановки и решения задачи оптимального управления портфелем опционов. Дерево сценариев основано на аппроксимации непрерывного распределения вероятностей изменения цены базового актива. Модель учитывает нелинейную зависимость стоимости портфеля опционов от цены базового актива и исключает возможность совершения арбитража.

4. Модифицирована разработанная динамическая модель управления портфелем опционов на. основе многоэтапного стохастического программирования с целью обеспечения возможности хеджирования базового актива портфелем опционов. Для обеспечения указанной возможности в модель управления портфелем опционов введена стоимость позиции по базовому активу.

5. Результатами проведенного имитационного моделирования подтверждено преимущество разработанной модели динамического управления портфелем опционов над статической моделью. Динамическая модель обеспечивает получение требуемой доходности с более высокой вероятностью. Для динамической модели отклонение фактической частоты получения требуемой доходности от ожидаемой меньше по сравнению со статической моделью.

Обоснованность результатов исследования, выносимых на защиту, подтверждается применением известных теорий и методов, верификацией разработанных моделей средствами имитационного моделирования. Достоверность результатов проведенных экспериментов обеспечена применением известных алгоритмов генерации случайных процессов.

Теоретическая значимость исследования. Разработанная модель управления портфелем опционов является развитием теории оптимального управления портфелем ценных бумаг и создает основу для разработки теории управления портфелем опционов в условиях реального биржевого рынка.

Практическая значимость исследования. Модель управления портфелем опционов позволяет инвесторам решать задачу хеджирования базового актива в условиях наличия транзакционных издержек и требования гарантийного обеспечения.

Апробация результатов исследования. Основные результаты исследования прошли апробацию в научном сообществе в рамках Международных научных конгрессов «Роль бизнеса в трансформации российского общества» (МФПА, 2009, 2011, 2012), XII International Conference on Stochastic Programming (Halifax, Nova Scotia, Canada, 2010).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ общим объемом 4,75 п.л. (авторский объем 4,13 п.л.). В том числе 3 работы общим объемом 3,63 п.л. (авторский объем 3,01 п.л.) опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка из 107 источников информации. Объем диссертации составляет 108 страниц. Диссертация содержит 21 рисунок и 11 таблиц. Структура диссертации обусловлена целью, задачами и логикой исследования.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Абрамов, Анатолий Маркович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью проведенного исследования являлась разработка модели оптимального управления портфелем опционов, учитывающей особенности реального биржевого рынка. Для достижения указанной цели был поставлен и решен ряд задач.

Разработана модель биржевого рынка опционов, отражающая его наиболее существенные особенности. На рынке обращаются европейские опционы разных сроков экспирации и разных страйков на один вид базового актива. Возможность торговли базовым активом отсутствует. Процесс изменения цены базового актива следует геометрическому броуновскому движению и, как следствие, изменение логарифма цены базового актива подчиняется нормальному распределению вероятностей. Рыночные цены опционов на предложенном рынке определяются по формулам Блэка-Шоулса для бездивидендных акций. При покупке или продаже опциона уплачивается комиссия. Важной частью модели биржевого рынка опционов является наличие требования гарантийного обеспечения портфеля опционов. Величина гарантийного обеспечения определяется в соответствие с первым шагом методики SPAN.

Построена динамическая модель оптимального управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования с вероятностными ограничениями. Время в модели - величина дискретная. Модель включает возможность выбора уровней риска и доходности. Учитывает возможность будущей перестройки портфеля, транзакционные издержки и требование гарантийного обеспечения, определяемого в соответствие с методикой SPAN. Задача управления портфелем опционов на основе многоэтапного стохастического программирования сведена к задаче целочисленного линейного программирования.

Создана дискретная модель изменения цены базового актива опционов, лежащая в основе модели управления портфелем опционов - дерево сценариев. Дерево сценариев является аппроксимацией непрерывной модели изменения цены базового актива. С целью учета нелинейной зависимости стоимости портфеля опционов от цены базового актива шаг сетки дерева сценариев должен быть достаточно малым. Значения цены базового актива, соответствующие страйкам обращающихся опционов, должны быть представлены на дереве. Этапы дерева сценариев должны соответствовать дням, когда планируется перестраивать портфель. Предложено трехэтапное дерево сценариев, на основе которого формулируется задача оптимизации портфеля опционов приемлемой для практического применения размерности.

Ожидаемая доходность любого портфеля опционов на риск-нейтральном рынке соответствует безрисковой ставке процента. Поэтому систематическое получение прибыли от инвестиций в опционы выше этого уровня в длительной перспективе невозможно. Хеджирование осуществляется не систематически, а лишь в периоды предшествующие кризису или в периоды кризиса, когда возможность закрыть позицию по базовому активу отсутствует. В этом случае высока вероятность получения доходности выше безрисковой ставки процента, что отвечает интересам многих инвесторов. Разработанная модификация модели управления портфелем опционов обеспечивает возможность динамического хеджирования базового актива портфелем опционов и получения в период кризиса доходности выше безрисковой с высокой вероятностью.

Проведено имитационное моделирование управления портфелем опционов на основе динамической модели. Средняя стоимость портфеля в терминальный момент времени близка к начальной стоимости и несколько ниже ее вследствие наличия комиссии, уплачиваемой при совершении каждой сделки. Данный результат подтверждает, что ожидаемая доходность любого портфеля опционов на риск-нейтральном рынке соответствует безрисковой процентной ставке. Число экспериментов, в которых стоимость портфеля в терминальный момент времени была меньше требуемой минимальной стоимости, характеризующее наблюдаемый риск портфеля, несколько превысило их ожидаемое число. Причиной превышения являются возникшие при моделировании ситуации маржин-колл в дни, которые не были представлены на дереве сценариев, а также ограниченная точность аппроксимации непрерывного распределения вероятностей изменения цены базового актива деревом сценариев.

Для сравнения проведено имитационное моделирование управления портфелем опционов на основе статической модели. Сопоставление результатов показало преимущество динамической модели с точки зрения ожидаемого риска портфеля. Вследствие меньшего количества возникших ситуаций маржин-колл отклонение наблюдаемого риска от ожидаемого для динамической модели заметно ниже аналогичного показателя для статической модели. Таким образом, управление портфелем опционов на основе разработанной в диссертации динамической модели имеет преимущество над статическим управлением портфелем. Данное преимущество особенно значимо в условиях наличия на рынке требования гарантийного обеспечения. Также было проведено имитационное моделирование динамического хеджирования базового актива портфелем опционов, подтвердившее целесообразность использования предложенной модели.

Таким образом, достигнута цель исследования - разработана динамическая модель управления портфелем опционов. Доказано ее преимущество над статическим подходом к управлению портфелем опционов. К дальнейшим перспективным направлениям исследования задачи управления портфелем опционов относятся:

- с целью учета изменчивости безрисковой процентной ставки и волатильности, наблюдаемой на реальных рынках, разработка дискретной модели совместного поведения трех случайных факторов стоимости портфеля опционов: цены базового актива, безрисковой процентной ставки и волатильности;

- учет в модели оптимизации портфеля опционов ненулевых спрэдов между котировками покупки и продажи опционов, возрастающих с ростом отклонения страйка опциона от текущей цены базового актива;

- разработка более эффективного алгоритма решения задачи оптимизации портфеля опционов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат экономических наук Абрамов, Анатолий Маркович, 2012 год

1. Абрамов A.M. Биномиальные рекомбинирующие деревья с переменным шагом для расчета опционов // Управление в кредитной организации. Вып. 53. - 2010. - № 1. - С. 56-66.

2. Абрамов A.M. Динамическая оптимизация портфеля опционов на основе полиномиального дерева сценариев // Проблемы анализа риска. -2012.-Т. 9. № 1. - С. 8-23.

3. Абрамов A.M. Динамическое хеджирование базового актива портфелем опционов // Управление риском. 2012. - № 2. - С. 45-51.

4. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Теория вероятностей и прикладная статистика. 2-е изд. - М.: Юнити-Дана, 2001. - 656с.

5. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. М.: НТО им. Вавилова, 2011. - 394с.

6. Голембиовский Д.Ю. Модели, стратегии и системы управления портфелем производных финансовых инструментов: дис. . док. техн. наук. -М.: МГУ, 2006.-363с.

7. Голембиовский Д.Ю. Расчет залога по портфелю производных инструментов // Управление риском. 2005. -№ 1. - С. 27-48.

8. Голембиовский Д.Ю. Система управления биржевым залогом SPAN // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2000. - Т. 7. ~ Вып. 1. -С. 181-183.

9. Голембиовский Д.Ю., Абрамов A.M. Модель управления портфелем опционов // Управление риском. 2011. - № 4. - С. 43-56.

10. Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С. Модель оптимизации портфеля производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений // Теория и системы управления. 2001. - № 3. - С. 75-85.

11. Голембиовский Д.Ю., Долматов А.С. Решение задачи оптимизации портфеля производных финансовых инструментов с учетом залоговых ограничений // Теория и системы управления. 2001. - № 4. - С. 69-77.

12. Долматов А.С. Математические методы риск-менеджмента. М.: Экзамен, 2007. - 320с.

13. Пузановский А.А. Оптимизация портфеля финансовых опционов: автореф. дис. канд. экон. наук. М.: ЦЭМИ РАН, 2009. - 25с.

14. Рогов М.А. Риск-менеджмент. М.: Финансы и статистика, 2001. -120с.

15. Самоявчева М.В. Исследование влияния отношения инвестора к риску на оптимальные стратегии опционного хеджирования: автореф. дис. . канд. экон. наук. М.: ГУУ, 2007. - 17с.

16. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998. - 512с.

17. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2. Теория. -М.: ФАЗИС, 1998. 544с.

18. Beale E.M.L. On minimizing a convex function subject to linear inequalities // Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 1955. - Vol. 17. - P. 173184.

19. Benders J.F. Partitioning procedures for solving mixed-variables programming problems // Numerische Mathematik. 1962. - No. 4. - P. 238-252.

20. Birge J.R., Louveaux F.V. Introduction to stochastic programming. -Springer-Verlag, New York. 1997.

21. Black F. Fact and fantasy in the use of options // Financial Analysts Journal.- 1975. Vol. 31. -No. 4. - P. 36-41, 61-72.

22. Black F. The pricing of commodity contracts // Journal of Financial Economics. 1976.-No 3.-P. 167-179.

23. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // The Journal of Political Economy. 1973. - Vol. 81. - No. 3. - P. 637-654.

24. Boyle P. Option valuation using a three-jump process // International Options Journal. 1986. - No. 3. - P. 7-12.

25. Carino D.R., Turner A.L. Multiperiod asset allocation with derivative assets.- in: Ziemba W.T., Mulvey J.M., (Ed.). Worldwide Asset and Liability Modeling.- Cambridge University Press. 1998. pp. 182-204.

26. Charnes A., Cooper W.W. Chance constraints and normal deviates // Journal of the American Statistical Association. 1962. - Vol. 57. - Iss. 297. - P. 134148.

27. Charnes A., Cooper W.W. Chance-constrained programming. Management Science. 1959. - Vol. 6. - No. 1. - P. 73-79.

28. Charnes, A., Cooper W.W., Symonds G.H. Cost horizons and certainty equivalents: an approach to stochastic programming of heating oil // Management Science. 1958. - Vol. 4. - P. 235-263.

29. Consigli G., Dempster M.A.H. Dynamic stochastic programming for asset-liability management // Annals of Operations Research. 1998. - Vol. 81. - P. 131-162.

30. Cootner P.H, (Ed.). The random character of stock market prices. MIT Press, Cambridge, MA. - 1964.

31. Cox J.C., Ross R.A., Rubinstein M. Option pricing: a simplified aproach // Journal of Financial Economics. 1979. - Vol. 7. - No. 3. - P. 229-263.

32. Curran R. Willow Power: Optimizing derivative pricing trees // Algo Research Quarterly. 2001. - Vol. 4. - No. 4. - P. 15-24

33. Dantzig G.B. Linear programming under uncertainty // Management Science.-1955.-No. l.-P. 197-206.

34. Dert C.L. Asset liability management for pension funds: a multistage chance constrained programming approach, Ph.D. Thesis. Erasmus University Rotterdam. -1995.

35. Drijver S.J. Asset liability management for pension funds using multistage mixed-integer stochastic programming: Ph.D. thesis. University of Groningen. -2005.

36. Dupacova J. Applications of stochastic programming under incomplete information // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1994. - Vol. 56.-P. 113-125.

37. Dupacova J. Applications of stochastic programming: achievements and questions // European Journal of Operational Research. 2002. - Vol. 140. - P. 281-290.

38. Dupacova J. Multistage stochastic programs: The state-of-the-art and selected bibliography // Kybernetika. 1995. - Vol. 31. - No. 2. - P. 151-174.

39. Dupacova J. On minimax solutions of stochastic linear programming problems // Casopis pro pestování matematiky. 1966. - Vol. 91. - Iss. 4. - P. 423-430.

40. Dupacova J. Stochastic programming: minimax approach // Floudas C. A., Pardalos P. M., (Ed.). Encyclopedia of Optimization. Kluwer - 2001. - Part. V. -P. 327-330.

41. Dupacova J. The minimax approach to stochastic programming and an illustrative application // Stochastics. 1987. - Vol. 20. - Iss. 1. - P. 73-88.

42. Dupacova J. Uncertainties in minimax stochastic programs // Stochastic Programming E-Print Series (SPEPS). URL: www.speps.org.-2009.-No. 9.

43. Dupacova J., Hurt J., Stepan J. Applied optimization: stochastic modeling in economic and finance. Kluwer Academic Publishers. - 2002. - Vol. 75.

44. Dupacova J., Polivka J. Asset-liability management for Czech pension funds using stochastic programming // Stochastic Programming E-Print Series (SPEPS). URL: www.speps.org. - 2004. - No. 1.

45. Faias Jose, Pedro Santa-Clara. Optimal option portfolio strategies // AFA 2011 Denver Meetings Paper. 2011.

46. Haugland D., Wallace S.W. Solving many linear programs that differ only in the righthand side // European Journal of Operational Research. 1988. - Vol. 37. -Iss. 3.-P. 318-324.

47. Hoyland K., Kaut M., Wallace S.W. A heuristic for moment-matching scenario generation // Computational Optimization and Applications. 2003. -Vol. 24.-No. 2-3.-P. 169-185.

48. Hoyland K.,Wallace S.W. Generating scenario trees for multistage decision problems. Management Science. 2001. - Vol. 47. - No. 2. - P. 295-307.

49. Hull J.C. Options, futures and other derivatives. 8 edn. - Prentice Hall. -2009.

50. Ito K. On stochastic differential equations // Memoirs of the American Mathematical Society. 1951. - No. 4. - P. 1-51.

51. Jorion P. Value at risk: the new benchmark for managing financial risk. 3 edn. - McGraw-Hill. - 2006.

52. Kali P., Wallace S.W. Stochastic programming. Wiley. - 1994.

53. Kataoka S. A stochastic programming model // Econometrica. 1963. - Vol. 31.-No.L-P. 181-196.

54. Keefer D.L. Certainty equivalents for three-point discrete-distribution approximations // Management Science. 1994. - Vol. 40. - No. 6. - P. 760-773.

55. Klein Haneveld W.K., M.H. van der Vlerk. Stochastic integer programming: general models and algorithms // Annals of Operations Research. 1999. - Vol. 85.-P. 39-57.

56. Klein Haneveld W.K., Streutker M.H., M.H. van der Vlerk. An ALM model for pension funds using integrated chance constraints // Annals of Operations Research.-2010.-Vol. 177.-No. 1.-P. 47-62.

57. Korn R., Korn E. Option pricing and portfolio optimization: modern methods of financial mathematics. American Mathematical Society. - 2001.

58. Korn R., Trautmann S. 1999. Optimal control of option portfolios and applications // OR Spektrum: Quantitative Approaches in Management. 1999. -Vol. 21.-No. 1-2.-P. 123-146.

59. Laurent A. A scenario generation algorithm for multistage stochastic programming: application for asset allocation models with derivatives. Ph.D. Thesis in Economics. - University of Lugano. - Lugano, Switzerland. - 2006.

60. Louveaux F.V., Schultz R. Stochastic integer programming // Ruszczynski A., Shapiro A., (Ed.). Stochastic Programming // Handbooks in Operations Research and Management Science. Elsevier Science, Amsterdam. - 2003. -Vol. 10.-P. 213-266.

61. Louveaux F.V., Schultz R. Stochastic Integer Programming. Ch. 4 in: Ruszczynski A., Shapiro A., (Ed.). Handbooks in operations research and management science: stochastic programming. - Elsevier Science, Amsterdam. -2003.-Vol. 10.

62. Markowitz H.M. Portfolio selection // The Journal of Finance. 1952. -Vol. 7.-No. l.-P. 77-91.

63. Markowitz H.M. Portfolio selection: efficient diversification of investments. Wiley. - New York. - 1959.

64. Merton R.C. Continuous-time finance. Wiley-Blackwell. - 1992.

65. Merton R.C. Theory of rational option pricing // The Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. - Vol. 4. - P. 141-183.

66. Miller A.C, Rice T.R. Discrete approximations of probability distributions // Management Science. 1983. - Vol. 29. - No. 3. - P. 352-362.

67. Pflug G.Ch. Scenario tree generation for multiperiod financial optimization by optimal discretization // Mathematical Programming, Series B. 2001. - Vol. 89.-P. 251-271.

68. Pflug G.Ch. Stochastic Optimization and Statistical Inference Ch. 7 in: Ruszczynski A., Shapiro A., (Ed.). Handbooks in operations research and management science: stochastic programming. - Elsevier Science, Amsterdam. -2003.-Vol. 10.

69. Prekopa A. Probabilistic Programming. Ch. 5 in: Ruszczynski A., Shapiro A., (Ed.). Handbooks in operations research and management science: stochastic programming. - Elsevier Science, Amsterdam. - 2003. - Vol. 10.

70. Prekopa, A. Stochastic programming. Kluwer Academic Publishers. -1995.

71. Rachev S.T., Romisch W. Quantitative stability in stochastic programming: the method of probability metrics // Mathematics of Operations Research. 2002. -27.-792-818.

72. Rockafellar R.T., Wets RJ.-B. Nonanticipativity and LI-martingales in stochastic optimization problems // Mathematical Programming Studies. 1976. -Vol. 6.-P. 170-187.

73. Rockafellar R.T., Wets R.J.-B. Scenarios and policy aggregation in optimization under uncertainty // Mathematics of Operations Research. 1991. -Vol. 16.-No. 1.-P. 119-147.

74. Romisch W. Stability of Stochastic Programming Problems. Ch. 8 in: Ruszczynski A., Shapiro A., (Ed.). Handbooks in operations research and management science: stochastic programming. - Elsevier Science, Amsterdam. -2003.-Vol. 10.

75. Rubinstein M. Implied binomial trees // The Journal of Finance. 1994. -Vol. 49.-Iss. 3.-P. 771-818.

76. Ruszczynski A. A regularized decomposition method for minimizing a sum of polyhedral functions // Mathematical Programming. 1986. - Vol. 35. - Iss. 3. -P. 309-333.

77. Ruszczynski A. Decomposition Methods. Ch. 3 in: Ruszczynski A., Shapiro A., (Ed.). Handbooks in operations research and management science: stochastic programming. - Elsevier Science, Amsterdam. - 2003. - Vol. 10.

78. Ruszczynski A., Shapiro A., (Ed.). Handbooks in operations research and management science: stochastic programming. Elsevier Science, Amsterdam. -2003.-Vol. 10.

79. Schultz R. Some aspects of stability in stochastic programming // Annals of Operations Research. 2000. - Vol. 100. - P. 55-84.

80. Schultz R., Stougie L., M.H. van der Vlerk. Two-stage stochastic integer programming: A survey // Statistica Neerlandica. 1996. - Vol. 50. - Iss. 3. - P. 404-416.

81. Shapiro A. Quantitative stability in stochastic programming // Mathematical Programming, Series B. 1994. - Vol. 67. - P. 99-108.

82. Shapiro A. Worst-case distribution analysis of stochastic programs // Mathematical Programming, Series B. 2006. - Vol. 107. - P. 91-96.

83. Shapiro A., Ahmed S. On a class of minimax stochastic programs // SIAM Journal on Optimization. 2004. - Vol. 14. - Iss. 4. - P. 1237-1249.

84. Shapiro A., Dentcheva D., Ruszcynski A. Lectures on stochastic programming modeling and theory. MPS-SIAM Series on Optimization. - 2009. - Vol. 9.

85. Shapiro A., Kleywegt A. Minimax analysis of stochastic programs // Optimization Methods and Software. 2002. - Vol. 17. - Iss. 3. - P. 523-542.

86. Smith J.E. Moment methods for decision analysis // Management Science. -1993. Vol. 39. - No. 3. - P. 340-358.

87. Stougie L., M.H. van der Vlerk. Stochastic integer programming // M. Dell'Amico, F. Maffloli, and S. Martello, (Ed.). Annotated Bibliographies in Combinatorial Optimization. Wiley. - 1997. - P. 127-141.

88. Tintner G. Stochastic linear programming with applications to agricultural economics // Proceedings of the 2nd Symposium in Linear Programming, Washington. 1955. - P. 197-207.

89. Wallace S.W. Decomposing the requirement space of the transportation problem into polyhedral cones // Mathematical Programming Studies. 1986. -Vol. 28.-P. 29-47.

90. Wallace S.W. Solving stochastic programs with network recourse // Networks 1986. - Vol. 16. - Iss. 3. - P. 295-317.

91. Wallace S.W., Ziemba W.T., (Ed.). Applications of stochastic programming. MPS-SIAM Series on Optimization. - 2005. - Vol. 5.

92. Watson J.P., Wets R.J.-B., Woodruff D.L. Scalable heuristics for a class of chance-constrained stochastic programs // INFORMS Journal on Computing. -2010. Vol. 22. - No. 4. - P. 543-554.

93. Wets R.J.-B. Large scale linear programming techniques in stochastic programming. in: Ermoliev Yu.M., Wets R.J.-B., (Ed.). Numerical Techniques for Stochastic Optimization. - Springer-Verlag. - 1988. - P. 65-93.

94. Wiener N. Differential space // Journal of Mathematical Physics. 1923. -Vol. 2.-P. 131-174.

95. Zenios S.A., Holmer M.R., McKendall R., Vassiadou-Zeniou C. Dynamic models for fixed-income portfolio management under uncertainty // Journal of Economic Dynamics and Control. 1998. - Vol. 22. - Iss. 10. - P. 1517-1541.

96. Ziemba W.T., Mulvey J.M., (Ed.). Worldwide asset and liability modeling. -Cambridge University Press. 1998.

97. Интернет сайт биржи «CME-Group». URL: www.cmegroup.com (дата обращения: 01.06.2012).

98. Интернет сайт биржи «NYSE Euronext». URL: www.nyx.com (дата обращения: 01.06.2012).

99. Интернет сайт биржи ОАО «ММВБ-РТС». URL: www.rts-micex.ru (дата обращения: 01.06.2012).

100. Интернет сайт разработчика «Matlab», компании «MathWorks». URL: www.matlab.com (дата обращения: 01.06.2012).

101. Интернет сайт Сообщества Стохастического Программирования. -URL: www.stoprog.org (дата обращения: 01.06.2012).

102. Информация о Нобелевской Премии по Экономике 1997 г. электронный ресурс. / Интернет сайт Нобелевского комитета. URL: www.n0belprize.0rg/n0belprizes/ec0n0mics/laureates/l 997 (дата обращения: 01.06.2012).

103. Описание программы «IBM ILOG CPLEX Optimization Studio» электронный ресурс. / Интернет сайт компании «IBM». URL: http://www-01 .ibm.com/software/integration/optimization/cplex-optimization-studio (дата обращения: 01.06.2012).