Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат физико-математических наук Панов, Евгений Валерьевич

• Панов, Евгений Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Панов, Евгений Валерьевич

Введение.

Глава 1. Теоретические результаты.

1.1. Асимптотическая ковариационная матрица и некоторые её оценки.

1.2. Конструкция и свойства оценки асимптотической ковариационной матрицы в общем случае.

1.3. Оценки для конкретных примеров временных рядов.

1.4. Спектральное окно.

1.5. Уменьшение числа слагаемых для оценки с QS весами.

Глава 2. Численное сравнение оценок.

2.1. Параметрическая оценка £var

2.2. Коэффициенты регрессии для 1(1) временных рядов.

2.3. Оценки коинтеграционного вектора.

2.4. Семейства случайных процессов для численного сравнения.

2.5. Меры точности, используемые для численного сравнения.

2.6. Результаты сравнения различных оценок.

2.7. Выбор параметра т, определяющего ширину полосы в оценке.

Глава 3. Прикладные результаты.

3.1. Задача о составлении портфеля акций, данные о цене одной из которых доступны нерегулярно.

3.2. Оценивание коэффициента «бета» для акций «второго эшелона» РТС.

3.3. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценка ковариационной матрицы для случая временных рядов различной частотности и приложения для моделей финансовых рынков»

Исследователи часто встречаются с необходимостью работать с временными рядами различной частотности. К примеру, с макроэкономическими данными и данными с финансовых рынков. Одним из возможных подходов при построении оконометрических моделей в этом случае является прореживание более частых временных рядов. Но это приводит к потере значительной части информации, поскольку остающиеся после прореживания наблюдения в некотором смысле не будут передавать тип поведения наблюдаемых величин. Поэтому при работе с данными различно» частотности актуальным является вопрос, нельзя ли построить оценки параметров эконометрических моделей таким образом, чтобы не терять информацию, т.е. каким-нибудь образом обойтись без прореживания. В последнее десятилетие опубликован ряд работ, обобщающих известные статистические оценки для данных различной частотности. Например, для случая линейной регрессии такие обобщения описаны в [Ghysels, Santa-Clara, Valkanov, 2002] и [Ghysels, Sinko, Valkanov, 2007]. Для оценки параметров GARCH-процесса с некоторым изменением спецификации такая задача рассматривается в [Ghysels, Jasiak, 1997].

В данной работе подобное обобщение сделано для случая оценивания ковариационной матрицы. Такое обобщение находит применение при оценивании меры т.н. систематического риска для портфелей акций, цены которых доступны нерегулярно. Последнее приложение особенно актуально в периоды мировых кризисов ликвидности, таких как кризисы, имевшие место в 1998 и 2008 годах. Оценивание ковариационных матриц занимает одно из центральных мест при построение математических моделей финансовых рынков. Для случая, когда ряды имеют одинаковую частотность, различные оценки ковариационных матриц изучаются во многих работах (см., например, [Newey, West, 1987], [Andrews, 1991], [Litterman, Winkelmann, 1998], [Den Haan, Levin, 2001], [Ledoit, Wolf, 2003], [Basak, Jagannathan, Ma, 2004])! ■ -

В данной работе показано, что возможно обобщить несколько оценок ковариационной матрицы на случай временных рядов различных частотностей. Такое обобщение имеет большое прикладное значение, поскольку на основе оценок ковариационной матрицы часто вычисляются многие другие оценки. К примеру, мы получили оценку для коэффициентов коинтеграционного вектора и оценку для коэффициентов линейной регрессии, обобщённой на случай временных рядов различной частотности. Возможно таким же образом сделать обобщения и других известных оценок на случай временных рядов различной частотности. К примеру, так же можно обобщить метод главных компонент. Многие оценки из области многофакторного статистического анализа тоже основаны на оценках ковариационной матрицы (см. обзор в [Айвазян, Мхитарян, 1998; стр. 546-564]), а значит можно обобщить и какие-то из них.

В первой главе работы рассмотрен класс оценок асимптотической ковариационной матрицы многомерного случайного процесса с дискретным временем, при построении которых используется идея, заключающаяся в том, что эту матрицу в некотором частном случае можно выразить через ковариационную функцию случайного процесса. Представлены два различных теоретических результата. Сначала в разделах 1.1-1.3 предлагается обобщение такого класса оценок на случай временных рядов различной частотности (мы используем термин «обобщение», поскольку речь идёт о расширении существующего класса оценок). После этого в разделах 1.4-1.5 предлагается новая оценка ковариационной матрицы, в некотором смысле улучшающая одну из наиболее точных из описанных в литературе оценок из этого же класса.

Вопрос о выборе наилучшей оценки из данного класса (как и об определении наилучшего класса оценок) далёк от своего окончательного решения. Но во многих случаях при использовании оценок из рассматриваемого в данной работе класса преимущество- отдается оценке с весами, соответствующими квадратическому спектральному окну, которая иногда более коротко называется оценкой с QS (quadratic spectral) весами. Данная оценка строится как приближенно удовлетворяющая некоторому условию оптимальности и во многих практических ситуациях обладает хорошей точностью.

Оценка асимптотической ковариационной матрицы, предлагаемая в разделах 1.1-1.3, определена для временных рядов различной частотности, однако в случае данных одинаковой частотности она вырождается в хорошо известную оценку Ньюи и Веста. Предлагаемая оценка обладает, как и оценка Ньюи и Веста, положительной полуопределённостью и состоятельностью. Поэтому мы будем называть эту оценку обобщением оценки Ньюи и Веста. В рамках диссертации состоятельность рассматриваемого обобщения оценки Ньюи и Веста подтверждается не только теоретически, но также численным исследованием и эффективностью практического применения.

Оценка, предлагаемая в разделах 1.4-1.5, во-первых, асимптотически приближается к оценке с QS весами при росте размера выборки, во-вторых, включает в себя значительно меньше слагаемых, чем оценка с QS весами и, в-третьих, как и оценка с QS весами, является положительно полуопределённой для любого набора наблюдений (даже для очень коротких временных рядов). В случае коротких временных рядов в численном исследовании (см. главу 2) такая оценка оказалась эффективнее1, чем оценка с QS весами.

Рассмотрим последовательность случайных векторов Х^,Х2,—,ХТ,.

Для неё определим ковариационные матрицы Clt = E^Xt — EXt\Xt — EXt) j. В общем случае эти матрицы могут быть различными для различных моментов времени, поэтому во многих прикладных задачах оказывается более интересна оценка некоторого среднего значения этих матриц. Асимптотическая ковариационная матрица, о которой пойдёт речь в данной работе, в некотором смысле является таким средним значением . А именно, для если для частичных Т сумм последовательности Xt: Zj = ^Xt, Т = 1,2. определить матрицу 1 = ^lim - EZT \ZT - EZT )' если указанный предел существует), то она и будет одним из определений асимптотической ковариационной матрицы для последовательности Xt. С альтернативными и более общими определениями можно ознакомиться в первой главе диссертационной работы.

Продолжая ряд исследований, Ньюи и Вест [Newey, West, 1987] строят оценку матрицы Е для рядов одинаковой частотности следующим образом:

ST=Q0 + fJwhn{gk+Q'k),TwQk=±- Х'к.

Аг=1 1 t=k+1

1 В случае же длинных временных рядов обе оценки дают схожие результаты, т.к. различия весов этих оценок в некотором смысле сходятся нулю при росте размера выборки.

2 в некотором смысле «поправленным» на значения ковариаций между случайными векторами Xt при различных t

В первой главе даётся более общая формулировка, такая, что в выборочных актоковариациях присутствуют не элементы выборки \xt |/=0, а некоторые функции их и некоторого случайного параметра.

При некоторых условиях, в частности, на веса 'Wkm, матрица ST принимает только положительно полуопределённые значения и, как показано в работе [Newey, West, 1987], Р

Sf — Sf->0 при Г-Ж).

В частности, требуется выполнение следующих двух условий.

1. веса Wy для любых т <Е N, к = \.т удовлетворяют ограничению jvc^ | ^ С для некоторого конечного С, а также \/к: Иш wкт — 1, т—>оо

2. т = т(Т) такова, что lim m(T) = +оо и lim m(JT)T~^IA = 0.

Г-> 00 Г—>оо

К примеру, всем условиям, приведенным выше, одновременно будет удовлетворять набор весов wkm = 1 — —— (в этом случае с 1 для любого m +1 7 j е (0.m) и любого m = 0,1,2.).

Отметим, что если последовательность случайных векторов Xt такова, что ковариационные матрицы Sj векторов 1?т = —~rZT имеют предел Т

S= lim Sj- - некоторую {q х q) действительную матрицу3, то только в этом

Г—>00 случае можно говорить о состоятельности оценки при Т °о в обычном смысле. Если этот предел не существует, то под состоятельностью оценки, следуя,

Л р например, работе [Newey, West, 1987], мы понимаем условие ST—Sj->0 при Т—>00.

Оказывается, можно сконструировать оценку для матрицы S (или матриц Sj в оговоренном выше смысле) на основе временного ряда частичных сумм Т

ZT , даже если некоторые его значения «пропущены» (недоступны). Эта 1 оценка несколько более громоздка и приводится в разделе 1.2.

1 Матрица S является в этом случае симметричной и положительно полуопределенной

Одна из наиболее точных оценок асимптотической ковариационной матрицы это оценка с весами, соответствующими квадратическому к^ спектральному окну w^ = qkm = р для некоторого А > О, где

Р(У) = У siny У cos у

Недостатком этой оценки является необходимость выполнения условия т — Т — \ для положительной полуопределённости. Иными словами в оценку войдёт огромное количество автоковариаций очень высокого порядка. В такую оценку входит столько же слагаемых, сколько имеется наблюдений, что неудобно на длинных выборках и приводит к низкой точности на коротких выборках.

Более того, оказывается, что простое отбрасывание слагаемых высокого порядка приводит к потере положительной полуопределённости, как показывает следующий пример. Рассмотрим выборку со одномерных наблюдений xt=Xt(a>), t = 1.20, где xt = 1 при нечетном t и х, = -1 при четном t.

Возьмем m = 6 и А = —. Веса w^ = р

Ътс и значения выборочных 1

Т—к автоковариаций Q{k) = —^xtxt+k ПРИ к = 1,2,.,6 приведены в следующей

Т 1 таблице. к Ш

0 - 1.00

1 0.914 -0.95

2 0.687 0.90

3 0.398 -0.85

4 0.138 0.80

5 -0.029 -0.75

6 -0.086 0.70

При этих значениях S = Q(o) + ^ wkm + Q'{k$) и-0.12.

Аг=1

Поэтому можно задаться вопросом, нельзя ли построить такие веса w^, которые бы гарантировали положительную полуопределённость оценки, содержали намного меньше ненулевых элементов, чем длина выборки, и сходились к квадратическим спектральным весам при росте выборки.

Окй5й6ается, такое возможно. В диссертации показано, что такие веса wkm = vkm можно построить по формуле vkm = т

Ytjtj-k yj=k

V ^ т

U=o к = 1 .т, где чисЛвг Е, : определены как А л-Г Ф

7 и т + \

В(т)( тЛ m + l{J 2)

В(т) это какая-нибудь функция, монотонно возрастающая и принимающая положительные значения, такая что 2 lim В(т) = оо, lim В (т)=0, т—>а> m—t оо т а ср(х) определяется через функцию Бесселя первого порядка как

Доказаны теоремы о том, что такие веса с одной стороны гарантируют положительную полуопределённость оценки, а с другой стороны сходятся к квадратическим спектральным, описанным выше. Чтобы оценить качество аппроксимации см. Рис. 1.

Как оказалось при численном исследовании, такой укороченый набор весов приводит к более высокой точности оценок в случае коротких выборок, а в случае же длинных выборок оценки окзываеются насколько же точны, как и непосредственно с использванием квадратическго спектрального ядра.

Во второй главе работы проведено численное исследование точности предлагаемых оценок и оценок, известных в литературе. Рассмотрены как случай одинаковой частотности, так и случай различной частотности.

Сравнение точности оценок ковариационной матрицы проводится по двум критериям, описание которых дается в разделах 2.4 и 2.5. Одним из этих критериев является точность оценок коинтеграционного вектора (критерий взят из работы [Phillips, Ouliaris, 1988] и обобщён на случай временных рядов различной частотности). Другим критерием является точность оценок коэффициентов регрессии для 1(1) временных рядов (критерий взят из работы [Phillips, Moon, 1999]). Были выбраны именно эти критерии, поскольку во многих прикладных задачах главную роль играет точность этих векторов, а не элементов самой оценки матрицы. Под словом «точность» в численном исследовании мы понимаем выборочное среднеквадратичное отклонение оценки от значения оцениваемой величины, что очень похоже на критерий эффективности оценки, определённый в [АйвазяЩ 'Мхитарян, 1998; стр. 239].

Предложена процедура выбора параметра ширины диапазона т на основе данных различной частотности. В литературе такие процедуры носят название "automatic bandwidth selection" или "automatic lag selection", (см., например,

Newey, West, 1994] или [Christou, Pittis, 2002]). Новизна этой процедуры заключается в том, что предложенная процедура рассчитана на данные различной частотности. Однако приведённое доказательство свойств этой процедуры не является математически строгим, поэтому вряд ли можно такую процедуру назвать теоретическим результатом.

Для сравнения точности в случае временных рядов одинаковой частотности было проведено сравнение точности с оценкой ковариационной матрицы из другого класса - упрощённой версией т.н. оценки VARHAC, подробно исследованной в [Den Haan, Levin, 2000]. Она основана на многомерном расширении рекурсии Левинсона-Дурбина, при помощи которого по ковариационной функции Q{k), к = 0.т строятся коэффициенты VAR(m) процесса («х п)-матрицы П(&), к — \.т и ковариационная матрица инноваций Q этого VAR(m) процесса, такие, что ковариационная функция этого процесса совпадает с R(k) для всех к = 0.т. Обозначим за flm(k), к — \.т и С1т такие («х и) -матрицы, которые получены этим способом из выборочных оценок ковариационной функции R(k), к = 0.т. Упрощённая оценка VARHAC имеет вид:

2«г= /-Е ПЛ*)

V к=\

Л"1 (( т V1'

Пт

I-YAmk)

Л ^ У

В слз^ае временных рядов одинаковой частотности произведено сравнение точности этой оценки с тремя другими: к = \ к=1 к=\ где веса w^ это так называемые «треугольные» веса, а веса q^ это укороченное приближение квадратических спектральных весов, описанное в главе 1.

Численное сравнение оценок было проведено на симулированных реализациях шести семейств последовательностей векторных случайных величин, предложенных в [Andrews, 1991]. Первые три семейства представляли собой процессы векторной авторегрессии с условно гомоскедастичными инновациями и двумя видами условно гетеороскедастичных инноваций. Последние три из этих шести семейств были процессами векторного скользящего среднего с тамими же тремя разновидностями инноваций.

Оказалось, что и для коротких, и для длинных выборок оценка с модифицированными квадратическими спекральными весами и упрощённая оценка VARHAC лидируют по точности. Причём, чем более отрицательными были автокорреляции или чем больше было различие в частотнотях между компонетами временного ряда, тем больше оценка с модифицированными квадратичными весами превосходила по точности упрощённую оценку VARHAC.

Также во второй главе производится численное сравнение различных процедур автоматического выбора параметра ширины диапазона. Мы пришли к заключению о том, что процедура из [Newey, West, 1994], обобщённая на случай различных частотностей, оказывается наилучшей в рассматриваемом классе.

В третьей главе рассматривается приложение асимптотической ковариационной матрицы, относящееся к оценке систематических рисков в портфельном анализе. При составлении портфелей ценных бумаг необходимо учитывать их ожидаемые доходности и риски. Одним из способов уменьшения рисков портфеля ценных бумаг является диверсификация — создание портфеля из большого количества различных ценных бумаг так, чтобы каждая составляла малую долю стоимости. Считается, что в этом случае неопределённость будущей стоимости портфеля снижается ввиду некоторого рода усреднения.

Обычно диверсификация уменьшает такую неопределённость лишь частично. Как показывает практика мировых кризисов ликвидности 1998 и 2008 года, многие активы, часто считающиеся несвязанными и пригодными для диверсификации, могут в такие периоды одновременно сильно падать в цене или, наоборот, одновременно существенно расти (см [Lowerstein, 2001]). Такие движения принято относить к т.н. систематическим рискам (см. [Peterson, 2008]). Хорошей практикой для управляющих портфелями ценных бумаг считается поддерживать нейтральность портфеля к таким систематическим рискам (см. [Bender, 2007]). Действительно, по мнению MSCI Barra Research, в период кризиса ликвидности с августа по октябрь 2008 года такой подход к управлению рисками оказался очень успешным для рынка ликвидных акций, торгуемых в США4.

Мерой систематического риска для акций принято считать т.н. коэффициент «бета». В очень огрублённых терминах, если какая-нибудь акция падает в цене в среднем на 1.3% в то время, когда рыночный индекс падает на 1.0%, то говорят, что её коэффициент «бета» по отношению к этому индексу равен 1.3. Этот коэффициент был впервые введён в модели оценки капитальных активов (см., например, [Fama, French, 1992, 1993]). В современном портфельном анализе один из подходов к измерению рисков состоит в использовании ковариационных матриц, на основе которых и оцениваются такие коэффициенты «бета».

В главе 3 рассмотрены портфели ценных бумаг, включающие так называемые акции «второго эшелона» РТС5. Оказывается, что если для измерения возможностей диверсификации использовать подход Марковича (основанный на использовании ковариационных матриц), очень большую роль играет то, каким образом такие матрицы будут оценены для этих акций. Причина в том, что сделки по акциям «второго эшелона» РТС производятся не каждый день, и поэтому оценки, разработанные для временных рядов дневной частотности, могут давать очень малоправдоподобные результаты.

Далее показано, что если для таких данных использовать оценку, применимую для данных одинаковой частотности (в данном случае - дневной частотности), это приведёт к нежелательным результатам: завышенным представлениям о возможностях диверсификации и даже неверным портфельным решениям. С другой стороны, мы показываем, что при использовании оценки, предназначенной для нерегулярных временных рядов и временных рядов различной частотности, результаты будут более приемлемыми. В работе показано, что такие оценки создают более реалистичное представление о возможностях для диверсификации.

Рассматривается упрощённый вариант задачи о включении новой акции в портфель паевого фонда. Обозначим через Pt стоимость портфеля в момент

4 См. Fear Factor Redux // MSCI Baira Research Bulletin, October 2008

5 согласно документации PTC (http://www.rts:ru/s384), к акциям «второго эшелона» принято относить широкий спектр ценных бумаг, торгуемых на площадке РТС, «эмитенты которых не входят в число компаний первой величины на фондовом рынке» времени t, а через St — цену «включаемой» акции в момент времени t.

Считается известным срок г владения до следующего пересмотра. Введём р i обозначения для доходностей текущего портфеля rt+T - Pt+T / Pt -1 и включаемой акции rtS+T =St+T/St —1, тогда соответственно е{г[+т] и £(гДг) -ожидания доходностей, и ковариационная матрица доходностей:

CP'S = cov Р \ ( ( Р Р \ /9 Р \\ соVt\rt+T,rt+T) covt\rt+T,rt+Tn vcovr Ь+Г >П+т) cov, (гДr,гДг rt+T

Vrt+T J

Система поддержки принятия решений будет рекомендовать управляющему паевым*-ф©ндом вложить такую долю средств W (0 < w < 1) во включаемые акции, чтобы получить эффективный портфель с минимальной дисперсией доходности, поскольку, согласно уставам большинства паевых фондов, их целью является минимизация риска при различных ограничениях (например, репликации индекса или следовании определённой стратегии). Иными словами, рекомендация будет сделана па основе максимизации следующей целевой функции для некоторого положительного параметра Я (см., например, [Шведов, 1999; стр. 41, 105]):

L{w) = Л\\- М)-Е{Г,Р+т)+ W ■ 4ДЛ

1-нЛ в случае паевого фонда можно считать Л = 0, по причине, оговоренной выше).

Коварационную матрицу доходностей существующего портфеля и «включаемой» акции можно оценивать двумя способами: способом, предложенным в главе 1 для случая данных различной частотности, или же по стандартной формуле из [Anderson, 1958; стр. 44-51], часто используемой на практике (пропуски заполняются линейной интерполяцией). Для примера был проведён анализ возможности включения акций ОАО Аптечная Сеть 36,6 в портфель, состоящий из компонент индекса РТС по состоянию на апрель 2007 года. Оказывается, что при оценке ковариаций первым способом рекомендуемая доля составляет w = 17%, а во втором w = 51 %. Конечно же, в контексте диверсификации первый результат выглядит намного реалистичее, чем второй. Оказывается, дело в том, что оценка, не основанная на временных рядах различной частотности, в данном случае недооценивает волатильность «включаемых» акций (нижний правый элемент матрицы). Также оказывается, что она недооценивает меру их систематического риска — коэффициент «бета» (отношение верхнего правого к верхнему левому элементу матрицы). Это приводит к ложным представлениям о возможностях диверсификации портфеля и, как следствие, приводит к рекомендации вложить w = 51% средств во «включаемые» акции.

Конечно же, следовало бы убедиться в том, что такое отличие имело место не только для акций данной компании в данный промежуток времени. Чтобы удостовериться в систематическом характере этого отличия для акций «второго эшелона РТС», мы вычислили рассматриваемые оценки для всех таких акций в различные промежутки периода 2003-2007 гг. Как можно видеть из таблиц 12-14, действительно речь идёт о систематическом отличии.

Причиной этому является недооценка индивидуальной волатильности «включаемой» акции и недооценка коэффциента «бета» (меры систематического риска). Обе ошибки связаны с тем, что выборочная ковариационная матрица не предназначена для временных рядов различной частотности. Можно ли утверждать, что такое систематическое различие связано с различной частотностью данных? Оказывается, можно утверждать и это. Мы провели аналогичные расчёты для двух самых ликвидных акций «первого эшелона» РТС (данные о торгах по ним были доступны каждый день). Для таких акций обе оценки дают очень схожие результаты.

Итак, в третьей главе работы показано, что выборочная оценка ковариационной матрицы доходностей создаёт ложные представления о возможностях диверсификации для акций, цены которых доступны не каждый день. Показано, что более реалистичные представления о диверсификации и мере систематического риска «бета» можно получить при помощи оценивания асимптотической ковариационной матрицы доходностей.

В заключении диссертационной работы сформулированы основные выводы, а также представлены теоретические и практические результаты проведенного исследования.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Панов, Евгений Валерьевич

3.3. Выводы

Разобранные примеры показывают, что для применения подхода Марковича для составления портфелей из акций «второго эшелона» РТС выбор оценки ковариационной матрицы может иметь очень большое значение. В частности, использование выборочной ковариационной матрицы (предназначенной для временных рядов одинаковой частотности) приводит к завышенным представлениям о возможностях для диверсификации.

С другой стороны, оценка ковариационной матрицы, предложенная в разделе 1.2, приводит к более реалистичным портфельным решениям, а также и к более правдоподобным представлениям о возможностях для диверсификации. Главной причиной последнего является то, что эта оценка разработана для временных рядов различной частотности, а именно о таких данных идёт речь в случае акций «второго эшелона» РТС. Действительно, данные о доходностях таких акций были доступны не каждый день за последние несколько лет, поскольку не каждый день происходили сделки по покупке или продаже таких акций.

Используемые на практике системы измерения рисков и поддержки принятия решений в паевых фондах и инвестиционных банках могут быть более сложными (например, они могут учитывать транзакционные издержки), но, как правило, тем или иным образом, они основаны на минимизации риска при различных ограничениях. При этом риск часто понимается как дисперсия доходности портфеля, выраженная через ковариационную матрицу доходностей его компонент. Поэтому использование оценок ковариационной матрицы, разработанных для временных рядов различной частотности, может оказаться весьма полезным для многих из таких предприятий.

В контексте российского рынка акций такой подход особенно актуален, поскольку по многим торгуемым на биржах акциям сделки происходят не каждый день, а значит, использование выборочной ковариационной матрицы приведёт к неправильным представлениям о возможностях для диверсификации. С другой стороны, в контексте стандартов финансовой отчётности Basel II, метод

Марковица оказывается напрямую связан с бухгалтерским учётом финансовых предприятий.

В заключение следует заметить, что рассмотренный подход, скорее всего, может быть развит путём параметризации ковариационной матрицы доходностей ценных бумаг32 согласно соответствующим экономическим моделям (таких как модели в [Fama, French, 1992, 1993]). В этом случае можно использовать оценки соответствующих параметров, описанные в [Ledoit, Wolf, 2003] и [Hemmati, Hsieh, Puchkov, Stefek. 2004] (но модифицированные для данных различной частотности).

32 1акой подход на практике известен как факторная модель риска (англ .factor risk model), модель с несколькими индексами (см. [Шведов, 1999; стр. 64]) или многофакторные портфельные стрессы (англ. multifactor stresses, см. [Rubandhas, 2007])

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Панов, Евгений Валерьевич, 2010 год

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C.: Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: Юнити, 1998.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: "Мир", 1976. Булинский А.В., Ширяев А.Н.: Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2003. Грей Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. М.: ИЛ, 1953.

3. Панов, Е.В. Оценка ковариационной матрицы для временных рядов различных частотностей / Е.В. Панов // Вестник Южно-Уральского Государственного Университета. Серия Математика, Физика, Химия. — 2008. Вып. 10. - №7 (107). — с.19-25.

4. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: "Мир", 1974.

5. Шведов А.С. Математические основы и оценка параметров эконометрических моделей состояние-наблюдение. М.: ГУ ВШЭ, 2005.

6. Шведов А.С. Теория эффективных портфелей ценных бумаг. М.: ГУ ВШЭ, 1999. Akaike Н. A New Look at the Statistical Model Identification // IEEE Transactions on Automatic Control. 1974. Vol. 19. P. 716-723.

7. Anderson T.W. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. New York: Wiley, 1958.

8. Andrews D. W. K. Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix Estimation//Econometrica. 1991. Vol. 59. P. 817-58.

9. Bank for International Settlements. International Convergence of Capital Measurement: A Revised Framework Comprehensive Vision (June 2006).

10. Bartlett M.S. Periodogram Analysis and Continuous Spectra // Biometrika. 1950. Vol. 37. P. 1-16.

11. Bartlett M.S. Statistical Estimation of Density Functions // Sankya. Ser. A. 1963. Vol. 25. P. 245-254.

12. Basak G.K., Jagannathan R., Ma T. Assessing Risk in Sample Minimum Risk Portfolios: NBER Working Paper 10447, April 2004.

13. Christou C., Pittis N. Kernel and Bandwidth Selection, Prewhitening, and the Performance of the Fully Modified Least Squares Estimation Method // Econometric Theory. 2002. Vol. 18. P. 948-961.

14. Daniell P.J. Discussion on the symposium on autocorrelation in time series // Journal of

15. Royal Statistical Society (Suppl.). 1946. Vol. 8. P. 88-90.

16. DeGroot, M. H. Optimal Statistical Decisions. NY.: McGraw-Hill, 1970.

17. Den Haan W.J., Levin A. A Practitioner's Guide to Robust Covariance Matrix

18. Estimation // Working Paper TO 197, National Bureau of Economic Research, 1996.

19. Den Haan W.J., Levin A. Robust Covariance Matrix Estimation with Data-Dependent

20. VAR Prewhitening Order // Technical working paper 255, National Bureau of1. Economic Research, 2000.

21. Derman E. Where the betas are zero and the excess returns are all above average // RISK Magazine. March 2004. P. 66.

22. Dijk van D., Franses P.H. Nonlinear Error-Correction Models for Interest rates in the Netherlands // Papers 9704/a (1997), Erasmus University of Rotterdam Econometric Institute.

23. Fama E.F., French K.R. The Cross-Section of Expected Stock Returns // Journal of Finance. Vol. 47. No. 2 (June 1992). P. 427-465.

24. Fama E.F., French K.R. Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds // Journal of Financial Economics. 1993. Vol. 33. P. 3-56.

25. Ghysels, E., Sinko, A., Valkanov, R. MIDAS Regression: Further Results and New Directions // Econometric Reviews. 2007. Vol. 26 (1.1). P. 53-90.

26. Johansen S., Juselius K. Maximum Likelihood Estimation and Inference on Cointegration With Applications to the Demand of Money // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. 1990. Vol. 52. P. 169-210.

27. Markowitz H.M. Portfolio Selection // Journal of Finance. Vol. 7. 1952. P. 77-91. Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. N.Y.: Wiley, 1959.

28. Madhavan, A. The Trading Revolution: Navigating the Brave New World of Algorithmic Execution // Investment Insights. Barclays Global Investors. Vol. 8. Issue 5. July 2005.

29. McLeish, D.L. A Maximal Inequality and Dependent Strong Laws // The Annals of Probability. 1975. Vol. 3. No. 5. 1975. P. 829-839.

30. McLeod I.A., Jimenez C. Nonnegative Definiteness of the Sample Autocovariance Function//American Statistician. 1984. Vol. 38. P. 297-298.

31. Mina J., Xiao J. Return to RiskMetrics: The Evolution of a Standard // RiskMetrics Group, 2001.

32. Mills T.C. The Econometric Modeling of Financial Time Series. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

33. Newey W.K., West K.D. A Simple, Positive Semi-Definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix // Econometrica. 1987. Vol. 55. No. 3 (May). P. 703-708.

34. Parzen E. On Consistent Estimates of the Spectrum of a Stationary Time Series // Ann. Math. Statist. 1957. Vol. 28. P. 329-348.

35. Penades E., Miller G. Comparing Specific Risk Forecasting Methodologies // The MSCI Barra Newsletter. Summer 2005. P. 20-27.

36. Peterson В., Boudt K. Component VAR for a non-normal world // Risk Magazine. Vol. 22. No. 11. November 2008.

37. Phillips P.C.B. Understanding Spurious Regressions in Econometrics // Journal of Econometrics. 1986. Vol. 33. P. 311-340.

38. Phillips P.C.B, Durlauf S.N. Multiple Time Series Regression with Integrated Processes // Review of Economic Studies. 1986. Vol. 53. P. 473-496.

39. Phillips P.C.B., Moon H.R. Linear Regression Limit Theory for Nonstationary Panel Data // Econometrica. 1999. Vol. 67. P. 1057-1 111.

40. Raynes S.R., Rutledge A.E. The Analysis of Structured Securities. N.Y.: Oxford University Press, 2003.

41. Reinganum M.R. Anomalous Stock Market Behavior of Small Firms in January // Journal of Financial Economics. 1983. Vol. 12. P. 89-104.

42. Rubandhas, S. Stress Testing in a Multi-Factor Framework // The MSCI Barra Newsletter. Q3/Q4 2007. P. 36-42.

43. Schmerken, I. Algorithmic Trading // Wall Street & Technology, February 4, 2005. Sharpe W.F. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk // Journal of Finance, V.19. 1964. P. 425-442.

44. Stock J.H., Watson M.W. Testing for Common Trends // Journal of the American Statistical Association. 1988. Vol. 83. P. 1097-1107.

45. Straumann D., Garidi T. Developing an Equity Factor Model for Risk // RiskMetrics Journal. Winter 2007. P. 89-128.

46. Tandori K. The life and works of Lipot Fejer, Amsterdam-New York : Functions, series, operators // Colloq. Math. Soc. Janos Bolyai. 1983. P. 77-85.

47. Tobin J. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk // Review of Economic Studies. V.25. 1958. P. 65-86.

48. White H. Asymptotic Theory for Econometricians. London: Academic Press, 1984. Whittle P. Prediction and Regulation by Linear Least-Squares Methods. 2nd ed. Minn: Univ. Minnesota Press, 1983.