Операторы канонического порядка и сплайны по многочленам Бернштейна тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Меньшикова, Юлия Станиславовна

• Меньшикова, Юлия Станиславовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Меньшикова, Юлия Станиславовна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Обобщенные операторы канонического порядка

1.1. Предварительные сведения

1.2. Доказательство одной теоремы в общем виде

1.3. Обобщение операторов канонического порядка

1.4. Обобщение дробно-рациональных операторов

1.5. Обобщение многочленов Бернштейна

1.6. Бернштейновские модификации для операторов Un

1.7. Модификации Кирова для операторов Un

1.8. Итерация операторов Un

Глава 2. Приближение непрерывных функций сплайнами

по многочленам Бернштейна

2.1. Основные понятия. Свойства центральных моментов

2.2. Основные аппроксимационные теоремы для оператора Bns

2.3. Одновременное приближение функции и ее производных оператором Bns

2.4. Бернштейновские модификации и модификации Кирова

для оператора Bns

2.5. Итерация сплайнов Bns

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторы канонического порядка и сплайны по многочленам Бернштейна»

ВВЕДЕНИЕ

Одним из важных направлений теории аппроксимации функций являются линейные методы приближения. Стремление использовать для приближения функций именно линейные операторы объясняется важностью многих из них в математическом анализе, а также возможностью построения в этом случае законченной и ясной теории. В 50-е г.г. П.П.Коровкин ввел понятие линейных положительных операторов (л.п.о.), показав, что приближающие свойства операторов во многом зависят от их положительности.

Ведущим частным случаем л.п.о. являются многочлены Берн-штейна для / £ С[0; 1]

Эта конструкция была предложена С.Н.Бернштейном [3] для доказательства теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывных функций многочленами, исходя из методов теории вероятностей. В дальнейшем аппроксимационные свойства операторов Вп были исследованы как самим С.Н.Бернштейном, так и многими другими математиками. Многочлены Бернштейна являются удобным инструментом приближения. Они сохраняют такие свойства приближаемых функций, как положительность, монотонность, выпуклость (см. В.В.Жук [22]). В случае гладкой функции операторы Вп осуществляют одновременное приближение этой функции и ее производных. Соответствующая теорема установлена И.Н.Хлодовским (см. В.С.Виденский [8], В.Л.Гончаров [16]). Е.В.Вороновская [13] в 1932 году доказала, что если функция / имеет производные порядка выше, чем второй, то это не улучшает скорость

(0.1)

рпк(х) = Скпх\ 1 - х)"-1.

ее приближения многочленами Бернштейна. Порядок приближения будет 0(п-1). Затем С.Н.Бернштейн [2] обобщил этот результат и доказал асимптотическую теорему для Вп. В работах [4], [5], [6] он исследовал вопрос о сходимости Вп для аналитических функций в комплексной области.

В дальнейшем многие математики изучали различные операторы типа многочленов Бернштейна. В частности, Л.В.Канторович [24], [25] исследовал приближение измеримых функций при помощи операторов, получаемых из (0.1) путем замены f(k/n) на положительные функционалы, являющиеся средним значением функции / на (к/(п + + 1 )/(n + 1)). А.О.Гельфонд [14], [15] построил полиномы типа (0.1) по системе функций 1 ,{xklnmx},k > 0,т > 0, и перенес на этот случай некоторые теоремы о сходимости многочленов Вп и об оценках скорости сходимости. Позже Ю.И.Волков [12] и М.Е.Н.Ismail, C.P.May [44] независимо друг от друга исследовали операторы экспоненциального типа. Такими операторами называются л.п.о. {Fn}, удовлетворяющие условиям

X) = Fn(f(t)(t -х)-,х),пе N, Fn(l;x) = 1,Уж £ [0; 1], где (р(х) 6 С°°[а;Ь],<р(х) > 0 для х Е (а;Ь).

К ним относятся многочлены Бернштейна (0.1), операторы Баскакова, операторы Миракьяна-Саса и другие классические операторы. В.С.Виденский [7] построил дробно-рациональные операторы Qn, частным случаем которых опять же являются многочлены (0.1) Вп.

п

Qn(f; = Е f(Тпк)япк(х) (0.2)

к=0

Основные результаты для Qn изложены в работах В.С.Виденского [7] и А.Э.Менчера[28], а также в их совместной статье [9].

В работе З.Ь.Биггтеуег[42] по бернштейновскому базису были введены операторы

п

Мп(/;х) = X] апк{1)Рпк(х),

к=О

где

1

а»*(/) = (п + 1) / /(*)Р„*(*)<Й.

В дальнейшем эти многочлены исследовала М.М.Бетепшс [43]. В результате, для операторов Мп получены теорема о приближении непрерывных функций, теорема типа Вороновской, а также результат для одновременного приближения функции и ее производных.

В 1962 году В.Г.Амелькович [1] рассмотрела последовательность

л.п.о.

п

Лг(/;ао = Е апк(1)Рпк(х),

к=О

где апк($) - произвольные линейные положительные функционалы. К таким л.п.о. относятся многочлены Бернштейна, Канторовича и Дур-рмейер. В.Г.Амелькович доказала, что если

Нт||Ап(1;х)-1|| = 0,

то

_7А||Л„Ц1 - Х^2

п—>оо

\\шп\\Ап{{1 - хУ)\\ >0.

1—>оо

Затем В.С.Виденский [8] уточнил этот результат, используя для этого другую идею, и доказал, что

Ит 4п||Ап((* -ж)2)|| > 1,

п^оо

причем равенство имеет место для Вп.

При изучении свойств операторов типа (0.1) большую роль играют функции являющиеся значениями этих операторов для ^ —

V = 0,1, 2,... при фиксированном х. Будем называть Бпи центральными моментами этих операторов. В случае многочленов Бернштейна имеем

8„(Вп\х) = Вп((г - х ^ х), V = 0,1, 2,...

Для многочленов (0.1) Вп на эти функции обратил внимание С.Н. Берн-штейн [2], указав для них рекуррентную формулу и оценку. Учитывая влияние свойств 5пг, на поведение л.п.о., В.С.Виденский и Т.П.Пендина [8], [35], [36] ввели понятие л.п.о. канонического порядка, центральные моменты которых характеризуются некоторой правильной скоростью убывания. К таким операторам относятся, в частности, многочлены Бернштейна и Дуррмейер, интерполяционные ломаные, дробно- рациональные операторы, операторы экспоненциального типа И.Ю.Волкова.

Однако, еще П.П.Коровкин [26] доказал, что порядок приближения полиномиальными л.п.о. в пространстве С [а; Ъ] не превышает п~2. В дальнейшем В.С.Виденский [7] распространил этот результат на все л.п.о. ранга п.

Предпринимался ряд попыток построить операторы, которые улучшали бы качество приближения гладких функций. В частности, к этому приводит отказ от положительности линейных операторов. ~Р.2..Ви1ъет [40] рассмотрел линейные комбинации специального вида многочленов (0.1) Вп, которые приближают / £ 0; 1] со скоростью п~к. Используя другой метод, В.В.Тихомиров [37], [38] рассмотрел комбинации многочленов (0.1) с коэффициентами, зависящими от степеней операторов. Порядок приближения для / Е 0; 1] равен п~(к+2\

В тоже время, еще в 1932 году С.Н.Бернштейн [2] построил новую последовательность операторов Рп вида

В результате, в оценке скорости их сходимости стала играть роль Но эта идея получила развитие лишь недавно в работе Д.А.Найко [32] и независимо от него в работах В.С.Виденского [8] и Т.П.Пендиной [35], [36]. Введенные ими операторы для / £ 1] определяются рекур-

рентными формулами.

Дй(/; х) = Bn{f-x),Bn2(f; х) = Бп(/; ж),

Bnv{f; ж) = В„(/; ж) - Е1 х\ v > 3. (0.3)

к=2

Эти формулы являются развитием формулы С.Н.Бернштейна для Рп. Затем В.С.Виденский и Т.П.Пендина [10], [11] применили эти модификации, названные ими бернштейновскими, к различным л.п.о. канонического порядка. Т.В.Ершова [18], [19], [20] показала, что такие последовательности можно применить к линейным операторам Ln. подчиненным условию Ln(l\x) = 1.

Другой способ изменения многочленов Бернштейна (0.1) указал Г.Х.Киров (G.H.Kirov) [45]. Рассматриваемые им операторы задаются не рекуррентным соотношением, а формулой. Однако, порядок приближения дифференцируемых функций такой же, как и у бернштей-новских модификаций.

В 1996 году Campiti М., Metafune G. [41] построили на основе полиномов (0.1) Вп операторы, в общем случае уже не являющиеся положительными. Для них авторы доказали теоремы типа Поповичиу и Вороновской, а также получили результат для одновременного приближения функции и ее производных. Подробнее об этом будет сказано в §2 первой главы.

Иной подход к проблеме ускорения сходимости л.п.о. дает итерация. И.Ю.Харрик [39] и И.П.Натансон [34] рассмотрели итерацию для операторов, коммутирующих с оператором дифференцирования. В.И.Малоземов [27] применил итерацию в периодическом случае. М.Ш.

Джамалов [17] использовал этот прием для многочленов Бернштейна.

В книге В.С.Виденского [8] приведено новое доказательство теоремы Джамалова, не использующее специальных и сложных тождеств, которые были первоначально применены автором. При этом рассматривался оператор

В-пт — I Вп) ,

где I - тождественный оператор.

Порядок приближения с его помощью равен п~т. Т.П.Пендина [35] исследовала итерацию л.п.о. экспоненциального типа. Г.И.Натансон [33] развил идею видоизмененной итерации многочленов Бернштейна, построив оператор вида

<Э»г/=(/- П (1-<*пкВп))Ъ

к=1

где апк = (п- к) — , г Е N.

п\

Им получен результат об одновременном приближении функции и ее производных с порядком п~г.

Некоторые из описанных здесь методов используются в диссертации для построения и исследования новых операторов.

Изложим основное содержание диссертации. Она состоит из введения и двух глав. Первая глава посвящена исследованию операторов, являющихся обобщением л.п.о. канонического порядка. Пусть задан л.п.о.

п

Лг(/; я) = £ /(£п/ьК*(я), (0-4)

к=0

где апк(х) - положительные функции,А„(1; х) = 1, (£пк)1=о " матрица узлов на отрезке [0; 1]. При этом центральные моменты

£>1/(Ап] = — х) ; ж)

характеризуются некоторой определенной скоростью убывания. В рассмотрение вводится оператор

п

х) = X) ипк/(£пк)апк(х), (0.5)

к=О

где {ипк)^=о, п £ N1 - ограниченная последовательность действительных чисел. Оператор Кп, вообще говоря, не является положительным, что отличает его от операторов, обычно применяемых в теории приближения функций. Однако, мы покажем, что для Кп в общем виде можно доказать ряд основных аппроксимационных теорем, используя при этом методы теории л.п.о. Кроме этого, для частных видов л.п.о. канонического порядка, а именно, для дробно-рациональных операторов (0.2) (5п и многочленов Бернштейна (0.1) Вп, более углубленно изучаются свойства соответствующих им обобщенных операторов вида (0.5). Для них при условии предъявления дополнительных требований к матрице действительных коэффициентов п 6 ТУ, получены

теоремы о совместном приближении функции и ее первой производной. В случае обобщенных многочленов Бернштейна также исследуются их модификации, основанные на идеях построения бернштейновских модификаций (0.3), последовательностей Г.Х.Кирова и итерационных операторов для Вп. Доказывается, что все исследуемые конструкции улучшают качество приближения гладких функций по сравнению с исходным оператором.

Первая глава начинается с описания последовательностей л.п.о., для которых в дальнейшем строится ряд обобщений. Мы приводим также для каждого вида л.п.о. те результаты С.Н.Бернштейна, Е.В. Во-роновской, В.С.Виденского, Т.П.Пендиной, Г.Х.Кирова и Т.В.Ершовой, которые затем будут использованы в работе.

В §2 более подробно излагается содержание недавно вышедшей статьи СатрШ М., Metafune С. [41], под влиянием которой возни-

кла идея построения рассматриваемых нами новых операторов. Для / G С[0; 1] авторы исследовали многочлены вида

Fn(f;x) = ±ßnkxk(l-x)n~kf (-),

к=о w

причем коэффициенты (ßnk)k:=Q, n £ iV, задаются при помощи процедуры, обобщающей треугольник Паскаля. Для в статье получены теоремы типа Поповичиу и Вороновской, для доказательства которых использованы специальные вспомогательные операторы. Кроме того, сформулирована теорема об одновременном приближении функции / G 0; 1] и ее производных любого порядка к — 0,р. Однако, эта теорема и предшествующая ей лемма доказаны авторами только для случая р = 1. Поэтому мы приводим доказательство этих утверждений для любого р £ N, при этом обобщая и несколько упрощая метод, предложенный Campiti М., Metafune G.

В §3 рассматривается л.п.о. (0.4) Ап и соответствующий ему неположительный оператор (0.5) Кп. Для возможности использования Кп в целях приближения функций, необходимо, чтобы коэффициенты ипк удовлетворяли условию

(3L > 0)(Vn G N)(\/k = Ö~n) \unk\ < L (0.6)

В теореме 1.3.1 показано, что в случае, когда последовательность л.п.о. {.Ап} является аппроксимирующей, для {Кп} верно соотношение

Пт |Kn(f; х) - f(x)Kn(e0; а?)| = 0 равномерно на [0;1],

где во = ео(t) = 1 на [0;1].

Далее делается допущение, что {Ап} являются л.п.о. канонического порядка, то есть их центральные моменты удовлетворяют следующим условиям. Пусть Мк - константы, зависящие только от к, д(х) - непре-

рывная на [0;1] функция, {7п} - монотонно убывающая к нулю последовательность положительных чисел, таких, что

ШЛ.)||<7г (0.7)

Тогда для центральных моментов операторов Ап выполняется неравенство

-МА»;®) <Мк-д(х)у2пк. (0.8)

Показано, что для модулей центральных моментов х) выполня-

ются неравенства, аналогичные (0.7) и (0.8). Поэтому для Кп представляется возможным доказать теоремы типа Вороновской-Бернштейна. Теорема 1.3.2. Если / £ 1]; то

\Кп(^х)-1(х)Кп(е0;х)-£ <

к=1 К- Р-

В частности, при р = 2 имеем теорему.

Теорема 1.3.3. Для / £ 1] справедливо неравенство

|*„(/;*) - }(х)Кп(е0;х) - - <

< ЬМ2д(хМГ; 7„)7*.

Доказательство проводится по принципиальной схеме , указанной С.Н. Бернштейном [2]. Считая, что / Е С^[0; 1], т.х - фиксированная из [0;1], запишем разложение функции по формуле Тейлора.

лк к\ ~

т = /М + Е + Ы/; ж), (0.9)

•у

где гр(/; х) = - ~~ ХУ ~ остаточный член,

лежит между I ж х. Применим к обеим частям (0.9) оператор Кп и получим

Кп(Кх) = ¡(х)Кп(е0;х) + £ + ДР(КП; ж),

к=1 К-

Sk(Kn, x) = Kn((t - x)k; x), Rp(Kn; x) = Kn(rp; ж).

Таким образом, задача сводится к оценке центральных моментов оператора Sfc(K„; ж) и остаточного члена Rp(Kn; ж). В случае л.п.о. это делается с помощью неравенства Коши- Буняковского и свойств модуля непрерывности функции. Но так как оператор Кп неположителен и для него неравенство Коши-Буняковского неверно, то на определенном этапе надо осуществить переход от Кп к л.п.о. Ап. Порядок приближения непрерывно дифференцируемых функций посредством л.п.о. Ап и оператора Кп одинаков.

Следующий §4 посвящен исследованию свойств оператора Z)n, построенного на основе введенного В.С.Виденским [7] дробно - рационального оператора (0.2) Qn.

п

Dn(f;x) = Ys unk f (тпк)Япк(х), k=0

(unk)k=о? п £ N^ - удовлетворяют (0.6). В работах В.С.Виденского и Т.П.Пендиной показано, что Qn является л.п.о. канонического порядка, поэтому для Dn формулируются теоремы 1.4.1 и 1.4.2 как частные случаи теорем 1.3.2 и 1.3.3 соответственно. Затем требуем, чтобы коэффициенты ипк удовлетворяли следующим дополнительным условиям.

(Зф Е CW[0; 1]) Hm Dn(e0;x) - ф(х)и

Hm D'^-x) = ф'(х) на [0;1] (0.10)

(ЗМ > 0)(Vn £ N)(4x £ С[0; 1]) К(е0; х)\<М.

Доказывается, что в этом случае для / £ C^jO; 1] на всем отрезке [0;1] справедливо утверждение типа Хлодовского (теорема 1.4.3). А именно,

D'nif'i х) = (КхЩх))' равномерно на [0;1].

В ходе доказательства частично используется метод, указанный в [7], при этом выводятся предельные соотношения для обобщенных центральных моментов первого и второго порядка.

В §§5-8 изучаются обобщенные многочлены Бернштейна и их модификации. Пусть многочлены Вп определяются равенством (0.1). Они также являются л.п.о. канонического порядка при 7„ = 1/(2у/п). В §5 задается оператор вида

где коэффициенты ипк определяются условием ограниченности (0.6). С учетом теорем Поповичиу и Вороновской-Бернштейна, известных для Вп [2], [8], [46], формулируются частные случаи теорем 1.3.1 и 1.3.2 для Un с точными константами. Теорема 1.5.1. Если / 6 С[0; то

Предполагая, что для матрицы чисел ипк выполняются дополнительные условия, аналогичные (0.10), если заменить Dn на Un, вычисляем такие пределы.

lim nSi(Un;x)= lim nUn{(t-х);х) = x(l -х)ф'(х),

(0.11)

Теорема 1.5.2. Для / £ 0; 1] справедливо неравенство

\UJJ; х) - Я*Ше0; х) - £ <

к=1

lim nS2(Un;x) = hm^nUn((t - х)2;х) = х(1 - х)ф(х).

На основе этих равенств доказывается теорема типа Вороновской. Теорема 1.5.3. Если / Е 0; 1], и оператор Un(f;x) определяется из (0.11), а коэффициенты unk - из (0.6), (0.10), то

Jim n{Un(f] х) - f(x)Un(e0; х)} = х{1 - х)ф'(x)f'(ж)+ 1

+-х(1 — х)ф(х) f" (х) равномерно на [0;1].

То есть операторы Un для функций, имеющих производные порядка, выше второго, не дают лучшего приближения, чем на классе дважды дифференцируемых функций. Наконец, используя теорему Лагранжа о конечных приращениях и предельное соотношение для S2(Un;x), получаем следующее утверждение.

Теорема 1.5.4. Если / Е и оператор Un(f\x) определяется

из (0.11), а коэффициенты ипк - из (0.6), (0.10), то последовательность {U'nf} равномерно сходится к (/(х)ф(х))1 на всем отрезке [0;1].

Заметим, что операторы Un обобщают многочлены Fn, введенные в [41] и описанные в §2. Можно привести целый класс операторов, которые с одной стороны удовлетворяют (0.11), а с другой, достаточно далеки по конструкции от Fn. Для этого достаточно зафиксировать непрерывную на[0;1] функцию ф и положить ипк = ф{к/п). Кроме того, предложенные нами доказательства утверждений существенно отличаются от тех, что приведены в [41] для соответствующих теорем. А именно, мы применяли методы, характерные для положительных операторов^ не использовали специальных конструкций операторов из [41].

В следующем §6 исследуются бернштейновские модификации оператора Uni улучшающие качество приближения гладких функций. Воспользоваться для их построения непосредственно формулами (0.3) не представляется возможным, так как при исследовании аппроксима-

ционных свойств последовательностей (0.3) в [8], [11], [35] использовался тот факт, что значение исходного оператора для функции ео(^) есть тождественная единица. А для 11п в общем случае это неверно. Рассматриваются такие конструкции для / £ С^_1^[0;1], определяемые рекуррентными формулами.

ипг(/;х) = ип(ео;х){ип(/;х) +/(ж)(1 - 1/п(е0; х))},

?/„„(/;*) = ип!(/;ж) - "¿Ш^ипг-М^х), р>2. (0.12)

к—1

Вводятся функции апи(х), аналогичные тем, что были предложены в [8], [10] для Вп.

к= 1

В лемме 1.6.1 выводится формула, позволяющая выразить оператор

иП}]/+1 через предыдущий.

Лемма 1.6.1. Справедлива формула

Следствие. Справедлива формула

ищ1У+1/ = ип1/ - £ апкип1^к\ и>1.

к=1

Основные результаты этого параграфа состоят в следующем. Теорема 1.6.1. Если / £ 0; 1],р>2 то при Ь > 1

Рп^х) - тип(е0;х)| < (/М; ~

Теорема 1.6.2. Если / £ С^+1)[0; 1], р Е N, то при Ь > 1

|С/П)Р+1(/; х) - /(х)ип(е0; ж) - (х)?7„(е0; ж)| <

1

р+1 П 2

\ ' Ф1»

При доказательстве обеих теорем к исходному оператору Un применяется общая схема С.Н.Бернштейна. Подставив полученные выражения в (0.12) и сделав некоторые преобразования, вновь сводим задачу к оценке центральных моментов и остаточного члена для Un.

В §7 исследуются свойства модификаций Г.Х.Кирова для Un, задаваемых формулой

тг , Л ^ f{l\k/n) ( ку Hnpif;= L Lunk-—r.— [x — Pnk(x), (0.13)

k=0i=0 1• \ n}

(unk)k=Qi n E N, - действительные числа, удовлетворяющие неравенству (0.6). Для Hnpf выводятся такие теоремы. Теорема 1.7.1. Если / <Е 1], р > 2, то

\Hnp(f-x) - f(x)Un(e0;х)\ < (V^) •

Теорема 1.7.2. Для любой функции f Е 1] верно неравенство

|Hnp(f;x) - f(x)Un(e0-x)\ < LK(p)^~^{\f^+l\x)\+

П 2

где lim Jnp(x) — 0 равномерно на всем [0;1],

Обе теоремы вновь доказываются по общей схеме, применяемой в диссертации. В то время как сам Г.Х.Киров в [45] при выводе теорем для модификаций классических многочленов Бернштейна (0.1) использовал другую схему.

В последнем параграфе первой главы изучается итерационный процесс по оператору Un. В этом случае приближающий оператор записывается в виде

Unm = IUne0 - (IUne0 - Un)m, (0.14)

где I - тождественный оператор на С[0; 1]. Вводится дифференциальный оператор вида

Причем, если учесть предельные соотношения для 51(?7П; х) и ^(С/«; х), выведенные в §5, то ясно, что в действительности множитель гг, стоящий в определении оператора О, сокращается. Верна теорема, обобщающая результат М.Ш.Джамалова [17].

Результаты, полученные в §§6-8 показывают, что построенные по операторам 11п последовательности (0.12)-(0.14) реагируют на повышение гладкости приближаемой функции, тем самым улучшая качество приближения. При этом порядок приближения во всех трех случаях одинаков.

Вторая глава посвящена исследованию некоторых сплайнов по многочленам Бернштейна, которые значительно улучшают приближение непрерывных функций в сравнении с исходными операторами (0.1) Вп. При этом вновь используется схема рассуждений, применяемая в теории положительных операторов.

Систематическое исследование сплайнов начал I.Д.ЗЬоепЬе^ в 40-х годах. Сейчас они широко применяются для решения как теоретических, так и практических задач. Поэтому в теории сплайн-функций разработаны специфические методы, с помощью которых получено много разнообразных результатов. В частности, для сплайнов достаточно высокой степени В.А.Желудевым [21] установлена теорема Вороновской- Бернштейна, I.ТЗЬоепЬе^ [48] доказал для них теорему

Теорема 1.8.1. Если / е 0; 1 ], т Е И, то

Вороновской. В.С.Виденский и Т.П.Пендина [10], [35] изучили свойства интерполяционных ломаных,являющихся линейными сплайнами, и их бернштейновских модификаций. Используя только методы теории л.п.о., авторы доказали для них теорему Вороновской-Вернштейна. Вопросы, рассматриваемые во второй главе диссертации, являются логическим продолжением и обобщением этих результатов.

В §1 излагается способ построения нового оператора. Идея заключается в следующем. Исходный отрезок [а;Ь] точками а = хо < х\ < < ... < хп = Ъ делится на п равных частей 1т. На каждом отрезке \хт-1\ хт], т = 1, п, строится многочлен Бернштейна Bs(f; х; 1т) степени 5. Тогда приближающий л.п.о. на всем отрезке [а;Ь] будет равец сумме многочленов Б5(/;ж;7то) на каждом из промежутков 1т. Новый оператор запишется в виде

п

£»«(/; х) = £ £«(/; я; ^)х(^), (0.15)

т— 1

где Х(1т) ~ характеристическая функция, то есть

х{1 ) = I хе1т

[ 0, ж ^ /то,

11 = [х0;х1], 1т = (жт_1; жт], т = 2~п & - .

гае

Так как для всех т = 1,п Впз(/;хт) = /(жто), то оператор (0.15) В по структуре является интерполяционным сплайном. Для дальнейшей работы вводятся его центральные моменты по правилу

п

Б^Впа] х) = вп8((г - х)"\ ж) = £ 5„(7го)х(/т), ^ = 0,1, 2, . . .

771=1

= — хУ;х;1т) - центральные моменты многочленов Бернштейна на 1т. Так как на [а;Ь] верно неравенство

¡Б^Вп^х)| < тах|5г,(1то)| по всем т = 1,п,

то достаточно оценить 8и(1т). Каждый из многочленов Д,(/; х]1т) на 1т может быть получен из оператора Бернштейна вида (0.1) В8(/;?/), заданного на [0;1] путем линейной замены у = (х — хт-\)/(хт — х). Поэтому, используя известные неравенства [2], [8], [45] для классических многочленов Бернштейна, получим оценки.

_д_

Ку - зависит только от V. Аналогично, для функций

\8„(Впз]х)\<-Ш-, и >2.

31/(ВП8] х) — Вп8(— х\ 5 ж),

доказано, что

< ^ V > 2.

Имеют место соотношения

п V „ , , / п ^

В следующем §2 исследуются аппроксимационные свойства оператора Вп8. Для него доказываются теоремы типа Поповичиу, Воро-новской - Бернштейна. Теорема 2.2.1. Если f Е С [а- Ъ], то

Теорема 2.2.2. Если / Е С(1)[а;Ь]7 то Теорема 2.2.3. Пусть f £ Ъ],р> 2. Тогда

К(р) - зависит только от р. Следствие. Для f Е С^[а;Ь] верно, что

Их доказательство основано на том, что

(Vx Е [a;b])\Bns{f-,x) - f{x)| < max |Bs(f; x;Im)x(Im) ~ f(x)x(Im)\-

m=l,n

Поэтому достаточно провести рассуждения на [жт_г, хт] для Bs(f] х\ J, придерживаясь при этом той же общей схемы, которая использовалась в первой главе. Отметим, что в данном случае применение линейной замены к неравенствам, известным для многочленов Бернштейна на [0;1], не дает желаемого результата. Из доказанных в этом параграфе теорем следует, что если для функции / положить s достаточно большим, то есть s > §о(/) и тъ —у оо, то порядок приближения непрерывной функции / посредством Bns значительно лучше, чем в случае классических многочленов Бернштейна (0.1), хотя он также не улучшается с повышением гладкости функции.

В §3 исследовано поведение производных сплайна Bns. Заметим, что при s = 1 Bni(f;x) = Лп(/;ж), где А„(/;ж) - интерполяционные ломаные. На их примере ясно, что операторы (0.15) Bns являются сплайнами максимального дефекта, то есть все их производные тер-

пят разрыв в узлах хт, т = 1, гылежащих внутри (а; Ь). В тоже время, благодаря теореме Хлодовского для многочленов Бернштейна В8, при любом у Е А^ и х Е (а; Ь), считая 5 достаточно большим, то есть для функции / 5 > 5о(/), будем иметь, что

п1кпБН(/;ж + 0) = /М(ж + 0).

В результате, хотя Bns в т.хт, т = 1, 7г-1,имеет только односторонние производные, при таком выборе индексов s и п получим, что эти производные стремятся к значениям соответствующих односторонних производных функции / в этих точках.Это отличает оператор Bns от обычно рассматриваемых интерполяционных сплайнов, для которых наличие всех производных, до к-той включительно, предполагается по определению, а на поведение (к + 1)-ой производной никаких условий не накладывается. Как результат этих рассуждений доказаны теоремы об одновременном приближении функции и ее производных. Теорема 2.3.1. Если / Е Ъ], us > so(/) ? то для любого х Е (а; Ь)

справедливы соотношения

Vv = Ö^ Hm х-0) = - 0), Hm £&)(/; х + 0) = + 0).

Причем, если т.х не попадает в узлы равномерной сетки на [а;Ь] хт, т = 1,п — 1, то в т.х существует общая производная B^J(f;x), значение которой при выборе индекса s достаточно большим s > so(f) и п —> оо стремятся к значению производной f^\x) в этой точке. Теорема 2.3.2. Если / Е С^[а;Ъ], то на каждом интервале

xm_i] хт), т = 1,п, верно неравенство

П^/Я \ Пу/в) I п-в

В §4 на основе оператора Вп8 рассматриваются бернштейновские модификации {В^8} и последовательность операторов Кирова задаваемые соответственно формулами

BUf; х) = Bns(f; *), B2ns(f; х) = Bns(f; х),

ВМ = Bns(f; х) - "е Mfelß^^/W; X), р > 3. (0.16)

п

и GUf: х) = Е G?(/; ж; Гт)х(1га), (0.17)

то= 1

где £?(/; ж; /то) = £ £ - /т),

&—0 i—о

í1" i ^ тп X тп_1 L

— Xfn— X i g

Для них доказаны теоремы.

Теорема 2.4.1. Если / £ С(р)[а; Ь],р> 2 то

I

Теорема 2.4.2. / 6 С(р+1)[а; 6], р € N, то

№'/- /- ап,р+1^\\ < (/«->; п^

Теорема 2.4.4. Для любой f £ Ь] верно неравенство

&PsP/2 n^/s

К(р) - зависит только от р, péñl. Теорема 2.4.5. Если / £ Ь], то

IIGU - /|| < ¿4r{ll/(P+1)|l + All/^ll + Il7rzsp||)}5

где lim jnsp(x) = 0 равномерно на всем [а;Ь]Р

причем индекс звыбран достаточно большим, то есть s > 5ц(/), К(р) - зависит только от р, ^

Мы видим, что обе последовательности дают одинаковый порядок приближения гладких функций, при этом улучшая его по сравнению с исходным оператором Bns. Более того, при выборе индексов s > so(f) и п —> оо, скорость сходимости бернштейновских модификаций сплайнов Bns значительно выше, чем у аналогичных модификаций классических многочленов Бернштейна (0.3). Такое же замечание

справедливо и для Gpns. Кроме того, в этом параграфе для центральных моментов сплайнов Bns получено следующее утверждение. Теорема 2.4.3. На отрезке [а;Ь] верно равенство

Bpns{{t-xY-,x) = 0, где р > 2, 1 < и < р - 1.

В §5 изучается итерация по сплайну Bns. если I - тождественный оператор на С [а; Ъ], то приближающий оператор имеет вид

BZ = i-(i-Bns)m.

Для него получена следующая теорема. Теорема 2.5.1. Если / £ С^т\а] Ь], т £ N, то

Таким образом, m-кратная итерация позволяет улучшить качество приближения непрерывно дифференцируемых функций. При этом, как и в случае последовательностей (0.16), (0.17), порядок приближения для / £ С^2т\а]Ъ] равен n~2ms~m, что существенно лучше, чем для подобного итерационного оператора, построенного по классическим многочленам Бернштейна.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Меньшикова, Юлия Станиславовна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Амелькович В.Г. Об одном семействе положительных полиномиальных операторов// Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. Баку. 1965. С.98-104.

2. Бернштейн С.Н. Добавление к статье Е.В.Вороновской "Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С.Н. Бернштейна"// Соч. - М., 1954, т.2, с.155-158.

3. Бернштейн С.Н. Доказательство теоремы Вейерштрасса, основанное на теории вероятностей// Соч. - М., 1952, т.1, с.105-106.

4. Бернштейн С.Н. Об области сходимости многочленов Bn(f; х) = Еш=о / (?) стхт(1 - х)т~п1/ Соч. - М., 1954, т.2, с.184-186.

5. Бернштейн С.Н. О сходимости многочленов Bn(f; х) = £о / (?)

(1 — х)т~п в комплексной плоскости// Соч. - М., 1954, т.2, с.310-348.

6. Бернштейн С.Н. О сходимости некоторых последовательностей многочленов // Соч. - М., 1954, т.2, с. 187-197.

7. Виденский B.C. Линейные положительные операторы конечного ранга. Л.: ЛГПИ, 1985.

8. Виденский B.C. Многочлены Бернштейна. Л.: ЛГПИ, 1990.

9. Виденский B.C., Менчер А.Э. Oil a certain sequence of positive linear operators and two optimization inequalities// Optimization. 1994. V.30. P.345-357.

10.Виденский B.C., Пендина Т.П. О бернштейновской модификации линейных интерполяционных сплайнов// Приближение функций специальными классами операторов. Вологда: Вологодск. гос. пед. ин-т. 1987. С.17-25.

11.Виденский B.C., Пендина Т.П. О приближении гладких функций модификацией многочленов Дуррмейер// В сб.: Конструктивная теория функций. Тезисы докладов конференции, посвященной 70-летию проф.

B.C.Виденского. С.-Петербург. 1992. С. 13-14.

12.Волков Ю.И. О некоторых линейных положительных операторах// Мат.заметки. 1978. Т.23. №5. С.659-669.

13.Вороновская Е.В. Определение асимптотического вида приближения функций многочленами С.Н.Вернштейна// ДАН СССР(А). 1932.

C.79-85.

14.Гельфонд O.A. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. -376 стр.

15.Гельфонд O.A. Об обобщенных полиномах С.Н.Вернштейна// Изв. АН СССР. Сер. мат.. 1950. Т.14. С.413-420.

16.Гончаров B.JI. Теория интерполирования и приближения функций. М.: ГТТИ, 1954. - 327 с.

17.Джамалов М.Ш. К одной теореме Е.В.Вороновской// В кн.: Операторы и их приложения. JI. 1985. С.22-27.

18.Ершова Т.В. Модификации линейных операторов: уч.пособие. - Челябинск: 1995. - 26 с.

19.Ершова Т.В. О приближении гладких функций модификациями многочленов Бернштейна. Челябинск. 1994. 112 с. (Дис. канд. физ.-мат. наук).

20.Ершова Т.В. О приближении непрерывных функций модификациями линейных положительных операторов// Применение функц. анализа в теории приближений. Тверь. 1997. С.73-79.

21.Желудев В.А. Асимптотические формулы для локальной сплайн -аппроксимации на равномерной сетке// ДАН СССР. 1983. Т.269. №4. С.797-802.

22.Жук В.В. Структурные свойства функции и точность аппроксимации: уч.пособие - Jl.:1984.

23.Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн -функций. М.: Наука, 1980.

24.Канторович Л.В. О некоторых разложениях по полиномам в форме С.Н.Бернштейна// ДАН СССР. 1930. С.563-566, 25.Канторович Л.В. Представление произвольной измеримой функции в виде предела последовательности полиномов// Мат.сборник. 1934. Т.41. №3. С.507-510.

26.Коровкин П.П. Линейные положительные операторы и теория приближений. М.: Физматгиз, 1959.

27.Малоземов В.Н. Совместное приближение периодической функции и всех ее производных, включая дробные, тригонометрическими многочленами// Вестник ЛГУ. 1979. Т.7. вып.2. С.49-54.

28.Менчер А.Э. О точных оценках для дробно-рациональных операторов Виденского// В сб.: Конструктивная теория функций. Тезисы докладов конференции, посвященной 70-летию проф. В.С.Виденского. С.-Петербург. 1992. С.43-44.

29.Меньшикова Ю.С. Модификации обобщенных многочленов Берн-штейна. С.-Петербург. 1998 . 9 с. Деп. в ВИНИТИот^.о^ №№1 ВЗ* .

30.Меньшикова Ю.С. О приближении непрерывных функций некоторыми обобщениями многочленов Бернштейна. С.-Петербург. 1998. 6 с. Деп. в ВИНИТИ«*По?/» ИЧНП 6<*Е .

31.Меньшикова Ю.С. Приближение непрерывных функций сплайнами по многочленам Бернштейна. С.-Петербург. 1998. 12 с.

Деп. в ВИНИТИот К.о?.«

32.Найко Д.А. Прямые и обратные теоремы приближения функций комбинациями операторов класса В. - Препринт АН УССР. Киев. Институт мат-ки. 1987. №19.

33.Натансон Г.И. О применении способа И.П.Натансона и Ю.И.Харрик в алгебраическом случае// Теория операторов и теория функций. 1983. вып. 1. с. 166'110.

34.Натансон И.П. О приближении к многократно дифференцируемым функциям при помощи сингулярных интегралов// ДАН СССР. 1952.

Т.82. №3. С.337-339.

35.Пендина Т.П. О бернштейновской модификации линейных положительных операторов. Д.. 1988. 100 с. (Дис. канд. физ.-мат. наук).

36.Пендина Т.П. О приближении дифференцируемых функций берн-штейновскими модификациями некоторых положительных операторов// В кн.: Применение функц. анализа в теории приближений. Калинин. 1987. С.72-80.

37.Тихомиров В.В. К вопросу полиномиального вида совместного приближения функции и ее производных// В сб.: Точные науки. Матем. Мех. Физ. Казань. 1976.

38.Тихомиров В.В. Об аппроксимации функций с заданной скоростью сходимости// Изв. ВУЗов. Мат-ка. 1976. №10. С.113-115. ЗЭ.Харрик И.Ю. К проблеме аппроксимации функций, связанной с исследованием сходимости вариационных процессов// ДАН СССР. 1951. Т.81. №1. С.157-160.

40.Butzer P.L. Linear combinations of Bernstein polynomials// Can. J. Math. 1953. V.5. №4. P.559-567.

41.Campiti M., Metafune G. Approximation propeties of recursively defined Bernstein-type operators// J. Approx. Theory. (1996) V.87. P.243-289.

42.Derriennic M.M. Sur l'approximation de fonctions integrables sur [0;1] par des polynomes de Bernstein modifies// J. Approx. Theory. 1981. V. 31. №4. P.325-343.

43.Durrmeyer J.L. Une formule d'unversion de la transformee de Laplace. Fac. Sc. Univ. de Paris. 1967.

44.Ismail M.E.H., May S.P. On family of approximation operators// J. of math, analysis and applic. 1978. V.63. P.446-461.

45.Kirov G.H.A generalization of the Bernstein polynomials//Math. Balcanica. New series. 1992. V. 6. №2. P.147-153.

46.Lorentz G.G. Bernstein polynomials. - Toronto. University of Toronto

Press. 1953.

47.Lorentz G.G. de Vore R.A. Constructive approximation. 48.Shoenberg I.J. On spline functions// Inequalities. N.Y.L..Acad. Press. 1967.