Точные постоянные в неравенствах типа Джексона и Бернштейна тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Виноградов, Олег Леонидович

• Виноградов, Олег Леонидович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Виноградов, Олег Леонидович

Обозначения

Введение

Глава 1. Точные неравенства типа Джексона для приближений классов сверток целыми функциями конечной степени

§ 1. Введение.

§ 2. Вспомогательные результаты

§3. Ядра Крейна

§ 4. Вполне монотонные функции и преобразования

Фурье

§ 5. Разложение ядер и построение приближающих операторов

§ 6. Неравенства типа Джексона.

§ 7. Применение общих теорем к конкретным ядрам

Глава 2. Аналог сумм Ахиезера—Крейна—Фавара для периодических сплайнов минимального дефекта

§ 1. Введение

§ 2. Построение и свойства ядра оператора

§ 3. Теоремы типа Ахиезера—Крейна—Фавара

§ 4. Предельное поведение операторов.

Глава 3. Общая схема доказательства неравенств типа Джексона для производных и ее применение к приближению сплайнами

§ 1. Введение.

§2. Формула Эйлера—Маклорена и ее неполные итерации

§ 3. Общая схема построения линейных операторов на основе итераций формулы Эйлера—Маклорена.

§ 4. Оценки для сплайновых аналогов операторов Ахиезера—Крейна—Фавара

Глава 4. Точное неравенство типа Джексона для сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности

§1. Введение.

§ 2. Точная оценка для приближения суммами Рогозинского первого порядка

§ 3. Вспомогательные результаты

§ 4. Интегральное представление отклонений сумм Рогозинского

§ 5. Основные теоремы

Глава 5. Точное неравенство типа Джексона для приближения линейными положительными операторами

§ 1. Введение.

§ 2. Свойства элементов и собственных векторов матриц

§ 3. Сведение задачи к задаче минимизации квадратичного функционала

§ 4. Исследование квадратичного функционала.

Глава 6. Точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования на классах целых функций конечной степени

§ 1. Введение

§ 2. Абсолютно монотонные функции

§ 3. Точные неравенства общего вида для целых функций конечной степени.

§ 4. Построение формул типа численного дифференцирования и оценки их погрешностей.

§ 5. Оценки для отклонений функций Стеклова

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Точные постоянные в неравенствах типа Джексона и Бернштейна»

Диссертация посвящена установлению ряда классических неравенств теории приближений с точными постоянными. Исследуются неравенства типа Джексона, Ахиезера—Крейна—Фавара, Берн-штейна и приближение тригонометрическими многочленами, целыми функциями конечной степени и сплайнами.

Диссертация состоит из шести глав, разделенных на параграфы. Нумерация утверждений отдельная для каждого типа утверждений в каждой главе. При ссылках внутри главы указывается только номер соответствующего утверждения. При ссылках на утверждение другой главы первым указывается номер главы, например: следствие 3.10. Нумерация формул двойная и указывает номер главы и номер формулы в главе, например: формула (1.22).

1. Первая глава посвящена точным неравенствам типа Джексона для приближений классов сверток целыми функциями конечной степени.

Неравенствами типа Джексона в теории приближений принято называть неравенства, в которых приближение функции оценивается посредством модуля непрерывности (самой функции, ее производной и т.п.) Первым такое неравенство C(7)wi (fA) для приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами и модуля непрерывности первого порядка получил Д. Джексон в 1911 году.

Первое точное неравенство типа Джексона установил Н. П. Корнейчук [57], который доказал, что для любых вещественнозначных функций / из С и п £ N

Яп(/К l-u,i (/, , причем константа 1 точная при всех п в совокупности, т.е.

ЕпЦ) л sup sup ——— = 1. nGN fee ШД/, -)

H. И. Черных [96, 97] доказал неравенство типа Джексона в пространстве L/2: точное при каждом фиксированном п.

В 1937 году Ж. Фавар [101] и Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн [4] построили линейный метод приближения Хп,г со значениями в пространстве тригонометрических многочленов порядка не выше п — 1, такой, что для любой / £

-хпд/)|К§||/М||, (1) Ь причем константу Кг на классе С^ уменьшить нельзя, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение. Кроме того, в [4] были построены линейные операторы Хп,г, реализующие аналогичное точное неравенство для класса

Неравенства, в которых приближение функции оценивается через норму (полунорму) производной, производной сопряженной функции и т.п. будем называть неравенствами типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Впоследствии аналоги неравенства (1) были установлены для многих классов сверток периодических и непериодических функций. Из большого числа работ на эту тему укажем на статьи [1, 2, 62, 63, 102, 103, 75, 87, 37, 73, 74]. Многие результаты вошли в монографии [3] и [104].

История вопросов и некоторые известные результаты, касающиеся исследования верхних граней приближений (как наилучших, так и приближений линейными методами) на различных классах функций, отражены в обзорных статьях [77, 88, 89] и монографиях [90, 83, 60].

Соотношение (1) для нечетных г было усилено В. В. Жуком [40] (г = 1) и А. А. Лигуном [67] (г > 1), которые установили неравенство типа Джексона с точной константой: г)

7Г П

2) для любой / £ СМ А.Ю.Громов [34] доказал точное неравенство

С,

2сг' г) I о

3) г нечетно, / Е Ci?(r)(R)) для приближений целыми функциями конечной степени и его аналог в интегральной метрике (Хст?г — линейный оператор). В. В. Жук [43] установил следующее усиление неравенств (1) и (2):

-Хп>г(/)|| < (^)r{Ar,o||/W|| + 7Vn,r,w(/W)} (4) при всех г Е N, а если, кроме того, г нечетно, то f-xnAf)\\ < (/w,9 + JV-"""(/W'}' (5> а также аналогичные неравенства для ряда полунорм. В этих неравенствах n, т Е N, т — 1

Nn,r,m(f{r)) = J2Ar,» ЯЦ/(Г)) м^ П

JT m1 \ и=0 ' a — некоторые явно построенные константы. Н. И. Мерлина [71, 72] получила аналогичные (4) и (5) неравенства для приближения целыми функциями конечной степени.

В первой главе разрабатывается метод получения точных в равномерной и интегральной метриках неравенств типа Джексона для приближения целыми функциями конечной степени классов сверток функций, как периодических, так и непериодических, заданных на всей оси. Метод применим к широкому классу сверток, в том числе, к сверткам с "классическими ядрами": Пуассона, теплопроводности, ядрами некоторых дифференциальных операторов, а также ядрами, сопряженными к перечисленным ядрам. Оценки достигаются с помощью линейных методов приближения, остаются точными, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение, и усиливают классические неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Устанавливаются точные неравенства, в которых правая часть представляет собой линейную комбинацию модулей непрерывности возрастающих порядков. Частными случаями установленных неравенств являются неравенства для приближений периодических функций тригонометрическими многочленами и почти-периодических функций обобщенными тригонометрическими многочленами. Оценки справедливы для широкого класса пространств с полунормой, инвариантной относительно сдвига.

Пусть Ш — замкнутое подпространство пространства ЬР(Ш) (1 ^ р < оо) или пространства UCB(M) (р = оо), Р — полунорма, заданная на Ш1. Если выполняются условия:

1) пространство инвариантно относительно сдвига, т.е. для любых / G ЯЛ и h е R будет /(• + h) G Ш и Р(/(- + К)) = P(f),

2) существует такая постоянная В, что P(f) ^ i?||/||p для всех fern, то будем говорить, что пространство (Ш, Р) принадлежит классу В. Примерами пространств класса Б являются: (UCB(К.), || • ||оо)? (Lp(M),|| • ||р) (1 ^ р < оо), пространства периодических функций (С, || • ||р) (1 ^ р ^ оо), а также более общие пространства равномерно непрерывных почти-периодических функций [66], показатели которых принадлежат фиксированному множеству, с различными нормами (равномерной, Степанова, Вейля, Безиковича).

В § 2 устанавливается несколько лемм, необходимых для дальнейшего. В § 3 описывается построение операторов, реализующих точные константы в неравенствах типа Ахиезера—Крейна—Фавара для приближений классов сверток. В § 4 вводится класс ядер, свертки с которыми изучаются дальше, и доказываются некоторые свойства ядер этого класса. 2 .— 2

Обозначим через СМс(уо) и CMs(yo) (Уо > 0) множества соответственно четных и нечетных функций G из L(IR), преобразование Фурье которых при у ^ уо представляется в виде л+оо /»+оо a(G,y)= e~y2ud${u) или b(G,y) = e~y2ud^(u), J о Jo где Ф и Ф — возрастающие на (0,+оо) функции, такие что интегралы конечны. Положим еще

---2 --- 2 —— 2

СМ (уо) = СМс(у0) U СМ8(уо). Многие классические ядра (Пуассона, теплопроводности, ядра дифференциальных операторов) при— 2 надлежат классам СМ (г/о)

Пусть а > 0. Рассматривается приближение функциями из Ест (Есто) классов сверток с ядром G из СМ (г/о): f = Т + ср * G. (6)

Функция (р принадлежит некоторому пространству, aTGE^ (Е^-о); на функцию ср могут также накладываться условия ортогональности пространству ECTl (cri ^ а или <7\ < а).

Пусть к = 0, если G четно, к — 1, если G нечетно;

• / ^ G((2k+i-*)*\ L,(Giz) = S1" ~ J Е v . , , 7Г к=-оо 2 2еГ

3, с. 199-203] — четная или нечетная функция из П L(Е), интерполирующая функцию G в точках ^ (к G Z);

7) К r,G

2EM^±iM G нечетно, и-О 00 l' i\!/ i E G четно.

Тогда G Ее-. В некоторых случаях можно представить

XCT)G в виде оператора свертки и распространить на более широкие классы функций /, чем задает формула (7). Если Т — постоянная, а ср имеет период 27т, то XCTjg(/) — тригонометрический многочлен степени меньшей, чем а.

Доказываются неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара

---- 2 для сверток с ядрами классов СМ (уо)- Следующее утверждение содержится в работе в расширенном виде в леммах 1.5 и 1.6.

Лемма 1.5-6. Пусть (Ш1, Р) G В, <р G ЯЛ, Уо > 0, G G См\у0), c(G) G С(2)(М); функции f и (р связаны равенством (6), сг ^ у0. Тогда

P(f-X^G{f))^JCatGP(ip). (8)

В пространствах (СВ(Ж), || • Цоо) и (L(К.), || • J|i) константу Ka,G 6 неравенстве (8) нельзя заменить меньшей, даже если заменить левую часть на Aa(f) р, а в пространствах ^--периодических функций с равномерной и интегральной нормой — даже если заменить левую часть на Аст0(/)р.

Выполнение неравенств леммы основано на том, что для функ

-----2 ций G из СМ (уо) разность G — La(G) меняет знак в точках интерполяции, и только в них. Б.Надь [103; см. 3, п.88] доказал, что для выполнения неравенства типа (8) в случае четной функции G достаточно трехкратной монотонности a(G) (т.е. чтобы a(G) £ и (—1 (G, у) ^ 0 при 0^г^3ит/>сг),ав случае нечетной функции G — двукратной монотонности b(G). Но лемма 1.5-6 не следует из теоремы Надя, так как преобразования Фурье функций из классов

--- 2

СМ (уо) могут не удовлетворять условиям кратной монотонности.

В §5 для функций класса СМ (уо) при любом т £ N получено разложение т — 1

G = Z 5h(Khv) + W(Ghm) + Mhm, v=0 где Mhm £ EУо П L(\R), а функции Khv и Ghm удовлетворяют специальным условиям, обеспечивающим точность последующих оценок. При а ^ уо положим

Uahm(f) = Uahm,g{f) = Т + <р * Mhm + 5% {(р) * La(Ghm),

Ahv = Akv^a и -Bcr/im = Bahm,G — некоторые явно построенные константы (А/^, вообще говоря, не совпадают с Аг,и из формул (4) и (5)). Ясно, что UahrrijG(f) £

В § 6 получены основные результаты главы — неравенства типа Джексона.

Теорема 1.1. Пусть (Ш,Р) £ В, р £ Ш, у0 > 0, G £ СМ2(у0), c(G) £ C(2)(IR)? функции f и <р свлзаны равенством (6); га £ N, 0 < h < а > Уо. Тогда т — 1

P(f ~ uahm(f)) < £ AhvP{8vh{<p)) + BahrnP{5^^)), v=0 m—1 p(f - uahm(f)) и u=Q

Если, сверх того, ядро G нечетно, то т — 1 £ AhvP(6vh(<p)) +BahmP(5Z(v)), и=1

P(f-U„hm(J))<Ahl>^^- + т— 1 52 h)p + Bahmujm((p, h)p.

V=1

При m = 1 из теоремы 1.1 следует неравенство типа Джексона для первого модуля непрерывности.

Следствие 1.3. Пусть (ШТ,Р) G В, <р G Ш, у0 > 0; G G бм1(у0), c(G) £ C(2)(R); функции f и ср связаны равенством (6), 0 < h < а ^ уо. Тогда

P(f - Uahl(f)) < + fUi) «л

В случае равномерной нормы и шага h = а — нечетное натуральное число, неравенство следствия 1.3 точно. Более того,

Ч1Ш Лг-оШоо ll/-^.l(/)l|oo ^.о sup —--——= sup ---—-= —---1-iJo-.-s-.iр£СВ{Щ ^{ip,—) oo ^GCB(M) ^H^^j

Верхние грани не изменятся, если брать их по множеству L00(K.), а также если ограничиться ^-периодическими функциями с нулевым средним (теорема 1.2).

При шаге модуля непрерывности, равном построенные операторы не зависят от га:

Ucr,*,m,G = X<T,G лемма 1.13). Кроме того, для нечетного ядра G замечание 1.12).

Следствие 1.4. Пусть (0Л,Р) Е В, ip Е Ш, у0 > 0; G Е См1(у0), c(G) Е функции f и ip свлзаны равенством (6), а ^ у0.

Тогда р, а/р

При h = ^ правая часть неравенств теоремы 1.1 убывает по га, а левая не зависит от т. Поэтому наилучшая оценка получается в пределе при m —> оо (следствие 1.6).

В §7 общие теоремы предыдущего параграфа применяются к конкретным операторам. Частными случаями следствия 1.4 являются неравенства типа Джексона для производной (2) и (3), неравенства для производной сопряженной функции: г четно, Ха^г — линейный оператор, реализующий точную постоянную в неравенстве типа Ахиезера—Крейна—Фавара для производной сопряженной функции), а также более общие неравенства для дифференциальных операторов, примененных к самой функции или ее сопряженной. Для периодических функций неравенство (9) принимает вид

Результаты главы 1 опубликованы в работах [23, 24].

2. Во второй главе строятся аналоги сумм Ахиезера—Крейна Фавара для периодических сплайнов. К К

Для приближения сплайнами минимального дефекта известны, в частности, следующие точные соотношения типа Ахиезера— Крейна—Фавара. Пусть г 6 N, m 6 m > г - 1, р = 1, оо. Тогда

En rn{f)p /Сг /-| г\\

SUP и/мм = тт- V10)

Обозначим через <7n,m(/) сплайн из <S2n,m, интерполирующий функцию / в точках 2кж+£т (k е Z), где

О, га нечетно, 7Г, га четно.

При га = г — 1 константа в (10) реализуется линейным проектором, а именно, с помощью интерполяционного сплайна:

Соотношения (10) при т = г — 1, р = оо и (11) при р = оо установил В.М.Тихомиров [91]; соотношения (10) в остальных случаях — А. А. Лигун [68]; соотношение (11) при р = 1 — Н. П. Корнейчук [58]. Интерполирование не является единственным линейным методом, реализующим константу при р = оо: известно, что [60, с.221; 59, с.213] ll/-C0(/)-^,r(Jl(/-C0(/)))||oo Кг

Л И/""

Также справедливо равенство -^n,l(/)||oo 7Г sup few, i) ll/'lloo 2n

Перечисленные результаты можно найти в монографиях [59] и [60]; см. также [39, глава 11]. А. А. Лигун [68] доказал существование линейного оператора из С в t>2n,m, реализующего константу в соотношении (10) при т ^ г, р — оо (явный вид этого оператора в [68] отсутствует).

Во второй главе при т ^ г строятся линейные операторы Хп,г,т L —»- <5>2п,т (аналоги сумм Ахиезера—Крейна—Фавара), реализующие константу в соотношении (10).

Построение операторов ХП)Г)ГП основано на той же идее, что и в полиномиальном случае — интерполировании ядра Бернулли. Как известно, метод Ахиезера—Крейна—Фавара ХП)Г на функциях из г)

W{ определяется равенством

Xn,r(f,t) = co(f) + - Г /(r)(w)Cn,r(^ - и) du,

К J-7Г где £П)Г — тригонометрический многочлен из 72п-ъ интерполирующий ядро dr в точках 2kl^£r (к G Z). г)

На функциях из W14 оператор задается формулой

1 />7Г

Xn,r,m(f,t) = Со(/) + - /

J-тг где при каждом U функция £п,г,т(-,Ч) является сплайном ИЗ c>2n,m И удовлетворяет интерполяционным условиям + —, ^J = dr J, kez.

Интегрированием по частям оператор ХП;Г)ГП, как и ХП)Г, распространяется на все пространство L.

В § 2 исследуется разрешимость интерполяционной задачи, находится явный вид функции £nfr,m (в терминах коэффициентов разложения по функциям Бернулли и коэффициентов Фурье) и устанавливаются некоторые ее свойства. Важнейшим из них является то, что разность £,n,r,m(ti и) —dr(t — и) меняет знак в точках интерполяции, и только в них (с небольшими оговорками о возможности тождественного обращения в нуль на некоторых промежутках).

Кроме того, оказывается, что значения построенных операторов принадлежит (2п — 1)-мерному подпространству S*n т пространства <$2п,т- Это замечание позволяет при приближении функций классов Wp^ сплайнами ограничиться пространствами сплайнов размерности на единицу меньше, чем было привычно, и показывает, что с точки зрения размерности приближающего пространства пространства сплайнов ничуть не хуже пространства полиномов.

В § 3 устанавливаются неравенства типа Ахиезера—Крейна—

Фавара для отклонений операторов ХПуГ)ГП. г)

Теорема 2.1. Пусть n,r, m £ т ^ г, 1 ^ р ^ оо, / £ Wp . Тогда f-Xn,r,m(f)\\p<^\\fV\\p. (12) Ь

При р — 1,оо неравенство точное, т.е. ~ Xn^m(f)\\op ||/ - Xn^m(f) ||i Kr ll/МЦоо |l/Wl|l

Далее с помощью операторов Хп?Г;Гтг устанавливаются результаты для наилучших приближений (следствие 2.3):

К,

En,m{f)p ^ "-E'n,?™—г(/ )р, (1^)

ТЬ

ЕХ (Г\ ,f(r)\ n,m w / Р ^ f ti^ttt—r V jpi I ь точные при р — 1,оо — наилучшее приближение пространством S}nrn).

Соотношения (13) при р = 1,оо вместе с утверждением об их точности ранее были получены Н. П. Корнейчуком (см. [60, с.246; 59, с. 144]) с помощью теорем двойственности.

В § 4 исследуется поведение операторов ХП)Г)ГП при т —> оо (теорема 2.2). Доказывается, что lim -X"n,r,ra — Xn,r, т—¥оо например, по норме операторов из L в С и, следовательно, равномерно lim Xnr7n(f)=Xnr(f), оо так что, например, равенство (1) может быть получено из (12) предельным переходом. Родственные результаты, связывающие приближение сплайнами растущего порядка и тригонометрическими полиномами, содержатся в работе B.JI. Великина [14].

Результаты главы 2 содержатся в статье [22].

3. В главе 3 разрабатывается общая схема построения линейных методов приближения периодических функций, допускающих оценки через линейные комбинации модулей непрерывности производных, и эта схема применяется к приближению сплайнами.

При доказательстве неравенства (2) использовались неравенства (1) и формула Эйлера—Маклорена; при доказательстве неравенств (4) и (5) формула Эйлера—Маклорена итерировалась. С помощью этой конструкции В. В. Жук [42, 44, 45] оценивал не только отклонение линейных методов приближения, но и функционалы общего вида, для которых справедливы неравенства типа (1). Известные ранее результаты типа (4) и (5) нашли отражение в книге [46, главы 4 и 8] и статьях [42-45].

В § 2 описываются применявшиеся ранее В. В. Жуком итерации формулы Эйлера—Маклорена, в § 3 на их основе строятся линейные операторы общего вида, отклонение которых допускает оценки типа (4) и (5). В §4 общая схема применяется к сплайновым операторам ХП?Г)А<, построенным в главе 2. На этом пути получаются неравенства типа Джексона для приближений сплайнами. Положим h)p = 2-1<Ш||р, С(<Р, h)P = h)v

Следствие 3.12. Пусть n, г, /л G N, /i > r + 1, 1 < p < oo, / e . Тогда ц — r—l f - Xn,„M)h < НУ E +

4 г/=0

Если, кроме того, г нечетно, то

II/ - <

Следствие 3.10. Пусть п,г,/л £ N, г нечетно, // ^ г + 1, причем при р = 1, оо константа не может быть заменена меньшей, даже если заменить левую часть на En^(f)p.

При р = оо неравенство содержится в [60, с.280], где доказано другим способом. В этом случае, однако, оно верно при всех г £ Z+ вне зависимости от четности.

Следствие 3.10 усиливает неравенства (12), аналогично полиномиальному случаю.

В случае равномерной нормы устанавливаются также точные неравенства для шага модуля непрерывности, равного а — нечетное натуральное число (следствие 3.13). Точные неравенства, аналогичные следствиям 3.12 и 3.10, доказываются и для /г = г, но с другими операторами вместо ХП)Г)/х, действующими в Sm.r (а не ).

Другая модификация общей схемы позволяет построить операторы Vn,h,ii со значениями в S2n,/u (<$2п,/и ПРИ ^ 2) и получить для их отклонений неравенства типа Джексона со вторым модулем непрерывности.

Следствие 3.20. Пусть n, \± £ N; 1 ^ р ^ оо; / £ Lp. Тогда

1 < р < оо, / £ W^П. Тогда г)

Это следствие обобщает оценки отклонений полиномиальных методов приближения через второй модуль непрерывности, рассматривающиеся в следующей главе. В свою очередь, эти оценки для полиномиальных методов (в метриках Lp) могут быть получены из следствия 3.20 предельным переходом.

Результаты главы 3 получены автором совместно с В. В. Жуком и опубликованы в статьях [29-31].

4. В четвертой главе доказывается точное неравенство типа Джексона для сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности.

Пусть — замкнутое подпространство пространства С, Р — полунорма, заданная на Ш. Если выполняются условия:

1) пространство инвариантно относительно сдвига, т.е. для любых / G Ш и h е R будет /(• + К) <Е Ш и Р(/(- + h)) = Р(/),

2) существует такая постоянная В, что P(f) ^ Для всех fern, то будем говорить, что пространство (9Jt, Р) принадлежит классу А. Величину пт м PU-UU))

D{U,h)P = sup 4 , fem j,ri)p где U : 9Л —> Ш1, h > 0, принято называть точной постоянной в неравенстве

P(f-U(f))^Muj2(f,h)P.

Если Un: Ш —» 72n-i П 9Л, 7 > 0, то может ставиться вопрос о нахождении в неравенстве

P{f-Un(f))^Mu2([f,1—) J~L / константы, точной для всех п в совокупности, т.е. величины sup D {jJn^ р- Ранее автором [15, 16] были получены константы nGN

D(Un, К) для некоторых положительных операторов Un (как обычно, отсутствие индекса Р означает равномерную норму). Что касается нахождения констант, точных для всех п в совокупности, то известен лишь единственный такой результат. В 1974 году В. В. Жук [41] получил неравенство

II/<*(/.£) (14)

Кг — некоторый линейный оператор из С в T^n-i)- Позже В. В. Шалаев [98] обнаружил, что константа 1 является точной для всех п в совокупности не только в неравенстве (14), но и в неравенстве а именно:

EnU) II/"Кг (ЛИ , sup sup —- = sup sup- ^ = 1. n6N пеп fee

Таким образом, точная константа 1 в неравенстве (15) реализуется последовательностью линейных операторов {Кг}

В той же работе [41] В. В. Жук получил неравенство для отклонений сумм Рогозинского и/-я»(/)и<! <■*(/.£) (is) и впоследствии перенес оценки на случай произвольного пространства (ЯЯ, Р). (Упомянутые результаты содержатся также в монографии [46].) Положим

Dn = D тгп, - = sup--.

V nJ f€c (/,-)

Очевидно, что D\ = 1/2. В главе 4 показано, что константа 5/8 не является точной в неравенстве (16). В §2 найдено значение D2.

Теорема 4.1. Пусть (Ш,Р) е A, f С2 = | ~ i ~ •

Тогда

P(f-Mf))^C2u2 (/, В пространстве С неравенство точное, т.е. D2 — С2.

В §§ 3-5 доказывается основной результат — теорема 4.3. Теорема 4.3. Пусть (Ж, Р) G Л, / G Ш, п G N, тл 3 1 о- о-зл 1 1 r/2 f1

Тогда справедливы соотношения:

P(f-Kn(f))<Du2(f,^)p, (17) sup£>n = lim Dn - £>. nGN n-foo

Таким образом, константа D является точной для всех п в совокупности в неравенстве (17) для равномерной нормы. Отметим, что = 0.б25, £>2 = 0,559., £> = 0,581. 8

Для доказательства точных неравенств этой главы использовались специально найденные представления отклонения сумм Рогозин-ского в виде линейной комбинации интегралов, содержащих вторые разности функции с шагом, не превосходящим шага модуля непрерывности.

Результаты главы 4 содержатся в работах [17, 18].

5. В пятой главе доказывается точное неравенство типа Джексона для первого модуля непрерывности и приближения линейными положительными операторами.

Пусть С+ — множество линейных положительных операторов U : С —У 72п-1 (т-е- таких, что U(f) ^ 0 для всех / ^ 0), (<р,ф) = Jq1 (pij) — скалярное произведение функций из вещественного пространства I/2[0,1], § = 6 -^[0,1] : fj (р2 = 1 j- — единичная сфера пространства £^[0,1].

При h > 0, U : С —У С полагаем fee u>i (/,Л)

Величины А(£/, /г) называют точными постоянными в неравенствах

Известно, что (см., например, [106]) если оператор U имеет вид

U{f,x) = - Г f(x + t)K(t)dt, (18)

К J-7T где ядро К > 0, четно, \ f* К = 1, то

K{t) dt.

Если п G N, Un : С —>• l^n-i, 7 > 0, то представляет интерес изучение величин

Лп(7) = inf Л(С/П, —), Л(7) = sup Лте(7) ипес+ v п J пем и методов приближения, реализующих инфимум. Исследованием точных постоянных в неравенствах типа Джексона для приближения различными положительными операторами занимались многие математики. Так, в [106] найдено, что sup Л (Un, = |, где Un — операторы Джексона. В [35] вычислено, что sup Л (Un, -) ^ 1, 3424 для операторов Коровкина, а в [49] — для операторов Бомана—Коровкина.

В [70] построена последовательность положительных операторов Un, для которой sup Л (Un, ^ 1,33701.

Из точных неравенств, касающихся приближения линейными операторами, не являющимися положительными, отметим результаты С.Б.Стечкина [86] для отклонения метода Ахиезера—Крейна— Фавара и В. Т. Гаврилюк [32, 33] для отклонения метода Рогозинско-го.

Доказывается, что при нахождении величин Ап(7) инфимум можно брать по множеству Л^ операторов Un вида (18) с ядром

71 — 1

Kn(t) = рк cos kt ^ 0, ро — 1. к= 0 лемма 5.1).

Используя теорему Фейера—Ф.Рисса (см., например, [79, с.92]) об общем виде неотрицательного тригонометрического многочлена,

А. Н. Давидчик [36] установил, что inf равен минимуму un€a+ квадратичной формы

А^х,х) = -1 (1 +

J о nt

7Г

71 — 1 к=О хке ikt dt на единичной сфере Sn 1 пространства Мп. В свою очередь, этот минимум равен наименьшему собственному числу матрицы и достигается на соответствующем собственном векторе. Затем, подсчитав Л„(1) при п ^ 50, А. И. Давидчик получил оценку А(1) ^ 1, 30.

Аналогичная теорема (вместе с очевидным доказательством) справедлива и для произвольного у > 0.

Теорема 5.1. Пусть п Е N, 7 > 0. Тогда величина Хп(у) равна минимуму квадратичной формы 2 nt

77Г n-1 к= О dt ua§n1, т.е. наименьшему собственному числу матрицы A^. Оператор JJn, реализующий инфимум, задается формулой 2

UM,r) = ±[j(T + t) n-1 Е к=О n) ikt хк е dt, где х^ — = (x^)1=q — единичный собственный вектор матрицы отвечающий собственному числу

Основным результатом главы является то, что при 7 Е (0,1] величина Л(7) равна инфимуму на § квадратичного функционала

Ву<р,<р) = -[ (1 +

7Г t '

77Г ) ip(x)eltx dx dt конечного, правда, не на всем ^[0,1]). Положим

Ку) = inf {В^ч>).

Теорема 5.2. При всех 7 > 0 будет Л(7) ^ ц{у)> а пРи У ^ (0) 1] справедливо равенство Л(7) = //(7).

Похожий результат верен и для приближений целыми функциями конечной степени (теорема 5.3).

В § 3 исследуется функционал (Ву<р, р) и, конкретно, спектральные свойства оператора В7. Похожие задачи минимизации квадратичного функционала возникали при исследовании приближения положительными операторами функций классов Зигмунда [7, 8, 6]; собственно задачи минимизации решал X. М. Коган [53-56].

В качестве области определения оператора Ву удобно выбрать плотное в L2[0,1] множество L^ (у/х(1 — х); 0,1) абсолютно непрерывных на [0,1] функций ср, таких что р(0) = (р{ 1) = 0 и [ у/х{1 - x)ip'2(x) dx < 00.

Jo

Теорема 5.4. Спектр оператора Ву дискретный. Оператор В7 имеет единственную положительную на (0,1) собственную функцию (р-у 6 L^ — х); 0, l) П причем сру( 1 — ж) = ^(х).

Соответствующее ей собственное число — положительное, простое и наименьшее. При этом

Л(7) = о min (Ву(р,<р) = (B-fipy,^).

4>£L (л/£с(1-ж);0,1)п§

Величины Л(7) могут быть подсчитаны с любой степенью точности каким-либо из стандартных методов вычисления собственных чисел интегральных операторов. Метод Ритца дает для Л(7) оценку сверху; для оценки снизу можно использовать значения \n{l)- Подсчет показывает, что А(1) = 1,312.

Результаты главы 5 содержатся в работах [19, 20].

6. В последней, шестой, главе устанавливаются точные неравенства для производных и разностей целых функций конечной степени.

Классические неравенства для целых функций конечной степени (см., например, [90, с.222-223, 228-232, 266; 3, с.182-193, 332-334; 46, с.114-115; 61, глава 3]): ll/WN "1/11, (19) г)|К (dbfIK(/)l1, 0<h<2i' (20)

0<u<h<2JL (21) sinr ^ ^ sin' f' а ' (ZL> и, в частности, для тригонометрических многочленов играют важную роль в теории аппроксимации. Здесь г £ N, сг>0,/еВ(Т. Неравенство типа (19) впервые было установлено С. Н. Бернштейном сначала для тригонометрических многочленов (см. [10, с.25-26 и примечание на с.527]), затем — для целых функций конечной степени см. [11, с.269-270 и примечание на с.539]), типа (20) (для тригонометрических многочленов) — М. Риссом [105, с.365], типа (21) — Р. Боасом [99]. В связи с неравенствами типа (20) укажем также на важные работы [13, 76, 85].

Неравенство (20) было усилено в работе В.Г.Доронина [38], где при h G (0, установлено, что г ( (nh/2 У -1 \

11/(г)11р< (у (ш/)11р+ 4st2 ^ (22> для / G 72n-i в пространстве Lp (1 ^ р < оо), и отмечено, что в пространстве С аналогичный результат был ранее получен В. Ф. Ба-бенко и А. А. Лигуном. При 0 < h < ^ неравенство (22) усиливает неравенство (20).

В данной главе неравенства типа (19)—(22) значительно усиливаются в следующих направлениях. Рассматривается широкий класс разложений, примером которых могут служить формулы численного дифференцирования вида

1 оо и=0

3^ — 1), и даются точные на классах целых функций конечной степени оценки погрешностей этих формул — в данном случае m 1/=0 через первый отброшенный член разложения. В формуле (23) коп(г) эффициенты определяются разложением

1п(г/2 + ^/1 + z*/4) V z/2 )

Примером может служить следующая теорема (сформулированная в частном случае пространства Вст).

Теорема 6.2. Пусть т + 1 G г G N, а > 0; / G Ва; О < /г < —. Тогда ст

-iE^Cwj <

2 sin fr2"+2 ( Л

При таком подходе оказывается, что неравенства (20) и (22) являются начальными случаями этих оценок, соответственно, при тп = —1 и тп = 0 (следствие 6.3). В рассматриваемый класс разложений попадают, в частности, формулы Стирлинга и Бесселя численного дифференцирования (теоремы 6.2 и 6.3), формула Эйлера—Маклорена (теорема 6.6) и разложение разности с меньшим шагом по разностям с большим шагом (теорема 6.4). Начальным случаем оценки погрешности последней формулы является неравенство (21) (следствие 6.7). Все неравенства верны для широкого класса пространств с полунормой; в частности, для пространств (Вст, || • ||), (Во-П.Lp(IR), || • ||р), пространств тригонометрических многочленов. В перечисленных пространствах неравенства точны. В пространстве (Вст, || • ||) они обращаются в равенство на функциях вида /* (х) = а егсгх + Ье~г<тх.

§ 2 содержит несколько вспомогательных утверждений, связанных с абсолютно монотонными функциями. В § 3 излагается общая схема получения точных неравенств для целых функций конечной степени. В §4 получены основные результаты — точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования. В § 5 устанавливаются точные неравенства для отклонений функций Сте-клова. Эти неравенства носят более тонкий характер, так как выполняются не все условия общих теорем.

Основные результаты главы 6 опубликованы в статье [25]; неравенства для тригонометрических многочленов ранее были получены в работе [28] и вошли в учебное пособие [21].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Виноградов, Олег Леонидович, 2007 год

1. Ахиезер Н. И. О наилучшем приближении одного класса непрерывных периодических функций // Доклады АН СССР. 1937. Т.17, № 9. С.451-453.

2. Ахиезер Н. И. О наилучшем приближении аналитических функций // Доклады АН СССР. 1938. Т.18, № 4-5. С.241-244.

3. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М: Наука, 1965.

4. Ахиезер Н. И., КреЙН М. Г. О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций // Доклады АН СССР. 1937. Т.15, № 3. С.107-112.

5. Бабенко В. Ф., Громов А. Ю. Точные оценки приближения целыми функциями классов дифференцируемых функций //В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1977. Вып.8. С.3-6.

6. Баскаков В. А. О порядке приближения дифференцируемых функций некоторыми линейными положительными операторами // Математический сборник. 1968. Т.76 (118), № 3. С.344-361.

7. БАУСОВ Л. И. Порядок приближения функций класса Za линейными положительными полиномиальными операторами // Успехи математических наук. 1962. Т.17, вып.1 (103). С.149-155.

8. БАУСОВ Л. И. О порядке приближения функций класса линейными положительными операторами // Математические заметки. 1968. Т.4, № 2. С.201-210.

9. БеЙТМБН Г., ЭрдеЙИ А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969.

10. БерыштеЙН С. Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени. Собрание сочинений в 4-х т. Т.1. Изд. АН СССР, 1952. С.11-104.

11. БерыштеЙН С. Н. Об одном свойстве целых функций. Собрание сочинений в 4-х т. Т.1. Изд. АН СССР, 1952. С.269-270.12. берыштейн С. Н. Абсолютно монотонные функции. Собрание сочинений в 4-х т. Т.1. Изд. АН СССР, 1952. С.370-425.

12. БЕРЫШТЕЙН С. Н. Распространение неравенства С.Б.Стеч-кина на целые функции конечной степени // Доклады АН СССР. 1948. Т.60, № 9. С.1487-1490.

13. ВЕЛИКИН В. JI. О предельной связи между приближениями периодических функций сплайнами и тригонометрическими полиномами // Доклады АН СССР. 1981. Т.258, № 3. С.525-529.

14. Виноградов О. JI. Некоторые точные неравенства для второго модуля непрерывности периодических функций и функций, продолженных с отрезка // Записки научных семинаров ПОМИ. 1996. Т.232. С.33-49.

15. Виноградов О. JI. Некоторые неравенства с точными постоянными для второго модуля непрерывности // Доклады АН России. 1997. Т.355, № 1. С. 18-20.

16. Виноградов О. JI. Точное неравенство для отклонения сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности в пространстве непрерывных периодических функций // Записки научных семинаров ПОМИ. 1997. Т.247. С.26-45.

17. Виноградов О. JI. Точная оценка отклонения сумм Рогозинского через второй модуль непрерывности в пространстве непрерывных периодических функций // Доклады АН России. 1998. Т.361, № 3. С.300-302.

18. ВИНОГРАДОВ О. JI. Точная постоянная в неравенстве типа Джексона для приближения линейными положительными операторами // Записки научных семинаров ПОМИ. 1998. Т.255. С.36-53.

19. ВИНОГРАДОВ О. JI. О квадратичном функционале из задачи о точной постоянной в неравенстве Джексона для приближения линейными положительными операторами // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер.1. 1998. Вып.З (JY2 15). С.6-11.

20. Виноградов О. JI. Неравенства для производных тригонометрических многочленов. СПб.: Изд. НИИХ СПбГУ, 2002.

21. ВИНОГРАДОВ О. JI. Аналог сумм Ахиезера—Крейна—Фавара для периодических сплайнов минимального дефекта // Проблемы математического анализа. 2003. Вып.25. С.29-56.

22. Виноградов О. JI. Точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования на классах целых функций конечной степени // Сибирский математический журнал. 2007. Т.48, № 3. С.538-555.

23. Виноградов О. JL, жук В. В. Точные неравенства, связанные с оценками приближений периодических функций посредством модулей непрерывности их нечетных производных с различным шагом // Проблемы математического анализа. 1999. Вып.19. С.69-88.

24. Виноградов O.JL, Жук В. В. Точные неравенства типа Джексона для сплайновых аналогов операторов Ахиезера— Крейна—Фавара // Доклады АН России. 2003. Т.393, № 2. С.151-154.

25. Давидчик А. Н. Приближение непрерывных функций линейными положительными операторами // В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1975. Вып.6. С.48-51.

26. Давидчик А.Н. Приближение периодических функций линейными положительными операторами //В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1982. С. 187-193.

27. Дзядык В. К. О наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых интегралами от линейной комбинации абсолютно монотонных ядер // Математические заметки. 1974. Т.16, № 5. С.691-701.

28. ДОРОНИН В. Г. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов J J Международная конференция "Теория приближений и гармонический анализ". Тезисы докладов. Тула, 1998. С.96-97.

29. ЖЕНСЫКБАЕВ А. А. Проблемы восстановления операторов. Москва—Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

30. Жук В. В. О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности // Сибирский математический журнал. 1971. Т.12, № 6. С.1283-1297.

31. Жук В. В. О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности // Вестник Ленинградского университета, сер. мат., мех., астр. 1974. № 1. С.21-26.

32. Жук В. В. О некоторых точных неравенствах между функционалами, заданными на множествах периодических функций, и модулями непрерывности ]/ Вестник Ленинградского университета. 1975. Вып.2 (№ 7). С.29-34.

33. Жук В. В. К вопросу о постоянных в прямых теоремах теории аппроксимации для дифференцируемых функций // Вестник Ленинградского университета. 1976. Вып.4 (№ 19). С.51-57.

34. Жук В. В. Некоторые точные неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности высших порядков // Математические заметки. 1977. Т.21, вып.2. С.281-288.

35. Жук В. В. Некоторые точные оценки для полунорм, заданных на пространствах периодических функций // Математические заметки. 1977. Т.21, вып.6. С.789-798.

36. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л.: Изд. Ленинградского университета, 1982.

37. Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование. СПб.: Изд. Санкт-Петербургского университета, 1995.

38. Жук В. В., Натансон Г. И. О приближении дифференцируемых периодических функций линейными методами // Вестник Ленинградского университета. 1977. Вып.4 (№ 19). С.16-21.

39. Жук В. В., Натансон Г. И. К вопросу приближения функций посредством положительных операторов // Ученые записки Тартуского гос. ун-та. Труды по математике и механике. Функциональный анализ и приложения. Тарту, 1977. Т. 19, вып.430. С.58-69.

40. КОГАН X. М. О порядке приближения функций класса Za линейными положительными полиномиальными операторами // В сб.: Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. Баку, 1965. С. 157-162.

41. Коган X. М. Об одном сингулярном интегро-дифференциалъ-ном уравнении // Дифференциальные уравнения. 1967. Т.З, № 2. С.278-293.

42. Коган X. М. Расчет точных двусторонних оценок первого собственного значения сингулярного интегро-дифференциального оператора //В сб.: Вопросы точности и эффективности вычислительных алгоритмов (труды симпозиума). Киев, 1969. Вып.З. С.86-97.

43. Корнейчук Н. П. Точная константа в теореме Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Доклады АН СССР. 1962. Т.145, № 3. С.514-515.

44. KORNEICUK N. P. Exact error bound of approximation by interpolating splines on L -metric on the classes (1 ^ p < со) of periodic functions // Analysis Mathematica. 1977. Vol.3, № 2. P. 109-117.

45. Корнейчук H. П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984.

46. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987.

47. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова думка, 1992.

48. КреЙН М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // Доклады АН СССР. 1938. Т.18, № 4-5. С.245

49. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Физматгиз, 1959.66. левитан Б.М. Почти-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953.

50. СТЕЧКИН С. Б. О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара // Труды математического института АН СССР. 1971. Т. 109. С.26-34.

51. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: Изд. иностранной литературы, 1951.

52. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полна Г. Неравенства. М.: Гос. изд. иностранной литературы, 1948.

53. Харди Г. X., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. М.: Физматгиз, 1962.

54. Xboctehko Е. С. Об одном аналоге теоремы А.А.Маркова для дробно рациональных ядер М. Г. Крейна //В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1976. Вып.7. С.57-63.

55. ClVlN P. Inequalities for trigonometric integrals // Duke Math. Journal. 1941. Vol.8. P.656-665.

56. Favard J. Sur les meilleurs procedes d'approximation de certaines classes des fonctions par des polynomes trigonometriques // Bull, de Sci. Math. 1937. Vol.61. P.209-224, 243-256.

57. Nagy B. IJber gewisse Extremalfragen bei transformierten trigo-nometrischen Entwicklungen. I. Periodischer Fall // Berichte tiber die Verhandlungen der Sachsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. 1938. Bd.90. P. 103-134.

58. Wang Xing-HUA. The exact constant of approximation of continuous functions by the Jackson singular integral // Chinese Math. 1964. Vol.5, № 2. P.254-260.

59. WlDDER D. V. The Laplace transform. Princeton, 1946.