Методы кусочно-полиномиальной аппроксимации в теории пространств Никольского-Бесова тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Иродова, Ирина Павловна

• Иродова, Ирина Павловна
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Иродова, Ирина Павловна

Введение

1 Основные свойства кусочно-полиномиальных приближений

1.1 Почти диадические разбиения и почти диадическое дерево

1.2 Специальные диадические разбиения

1.3 Локальные полиномиальные приближения и их свойства

1.4 Сравнение локальных приближений в разных нормах.

1.5 Сравнение кусочно-полиномиальных приближений с разными степенями.

1.6 Сравнение кусочно-полиномиальных приближений, подчиненных разным специальным диадическим разбиениям.

1.7 Связь между кусочно-полиномиальными приближениями

2 Диадические пространства Никольского-Бесова и их свойства

2.1 Определение диадических пространств

2.2 Описание функций из В™{Р).

2.3 Диадические производные.

2.4 Эквивалентные квазинормы.

2.5 Теоремы вложения.

2.6 К - функционалы и интерполяция диадических пространств

2.7 Интерполяция пространств Вр°(Г) и

2.8 Связь диадических пространств, построенных по разным разбиениям

3 Аппроксимационные характеристики диадических пространств

3.1 Приближение кусочно-полиномиальными функциями с нефиксированными узлами ^случай Л > d ^ — ^^.

3.2 Приближение кусочно-полиномиальными функциями с нефиксированными узлами ^случай А = ^ (р — f)).^^

3.3 Приближение в почти диадическом пространстве BMO(F)

3.4 Неравенство типа неравенства Бернштейна.

3.5 Описание пространств в терминах приближения в Lq или BMO(F).

3.6 Диадические пространства Лизоркина-Трибсля

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы кусочно-полиномиальной аппроксимации в теории пространств Никольского-Бесова»

Актуальность темы. Теория пространств функций обобщенной гла,д;Е^0сти является интенсивно развивающейся областью исследований, активно взаимодействующей со многими разделами современного анализа (теория <ф>унк ций многих вещественных переменных, теория дифференциальных Ура,Вне ний в частных производных, теория приближения, гармонический а,на^Из и др.) При этом изучение каждого из классов пространств, являющихся ос новными объектами теории, основывается на использовании базовых мето дов современного анализа. В частности, в теории пространств Никольского Бесова основными средствами исследований являются приближение Целыми функциями экспоненциального типа, интегральные представления, сингу лярные интегралы, локальные приближения многочленами, гармонический анализ, теория нелинейного потенциала и др. По этому поводу см., в Частности, монографии С. М. Никольского [1], О. В. Бесова, В. П. Ильина, Q м Никольского [2], И. М. Стейна [3], X. Трибеля [4], D. Adams, L. Hedberg [5] а также статью Ю. А. Брудного [6].

В свою очередь решение актуальных проблем теории стимулирует появление новых концепций, методов и результатов, имеющих общематематическое значение.

Цель работы. В настоящей работе предложен новый подход к изучению пространств Никольского-Бесова, который состоит из двух этапов На первом этапе мы вводим и детально изучаем свойства диадических аналогов пространств Никольского - Бесова, которые определяются с помощью кусочно-полиномиальной аппроксимации на подмножестве почти диадических кубов. Благодаря более простой структуре при изучении этих пространств наряду с классическими методами мы применяем разработанные автором комбинаторные алгоритмы. Эти алгоритмы могут быть использованы в прикладных задачах (распознавание образов, сжатие информации)

На втором этапе мы изучаем связь между диадическими и классическими пространствами Никольского - Бесова и на этой основе доказываем ряд известных и новых результатов для классических пространств.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Для их изложения нам потребуются некоторые определения. Одним из центральных понятий работы является диадическое пространство Никольского-Бесова, с определения которого мы и начнем.

Обозначим через Пп семейство замкнутых диадических кубов из = [0,1]^ с длиной ребра 2~п. Определим наилучшее приближение функции / € Ьр((5о)> 0 < р < оо с помощью кусочно-полиномиальных функций вида <7дХ<2) гДе 9я является полиномом степени не более к — 1 по каждой из (1 переменных, а х<з обозначает характеристическую функцию куба СОбозначим эту величину через Оп)р. Таким образом, где нижняя грань взята по всем наборам полиномов дд. Здесь и всюду ниже

Тогда диадическое пространство Никольского - Бесова, построенное по семейству I), определяется с помощью нормы (квазинормы при 0 < р < 1) здесь И = {Вп,п = 0,1,.} - семейство диадических кубов.

Чтобы мотивировать это определение, напомним результат Ю. А. Бруд-ного [7], который показал, что если в этой формуле Ип заменить на произвольное семейство замкнутых попарно непересекающихся кубов с длиной ребра 2~п и взять верхнюю грань по всем таким семействам, то получится величина эквивалентная (квази)норме классического пространства Вр9, определяемого с помощью /с-модуля непрерывности.

По ряду причин нам удобно расширить эту шкалу, заменяя семейство {Аг, п = 0,1,.} на семейство {.Рп, п = 0,1,.} почти диадических квазикубов. Для их определения будем пользоваться особыми разбиениями куба дед Ьр((3 о).

1)

Эо

В этой работе для краткости будем называть разбиением куба Qq множество замкнутых параллелепипедов, внутренности которых попарно пе пересекаются, а объединение дает Qq.

Положим Fq = {Qo}'> разбиения Fn,n > 1, состоят из замкнутых параллелепипедов, получающихся при делении Qq гиперплоскостями, параллельными координатным гиперплоскостям и удовлетворяющих условиям:

1) длины ребер параллелепипедов из Fn эквивалентны 2~п с фиксированными константами эквивалентности, не зависящими от п. В дальнейшем такие параллелепипеды будем называть квазикубами;

2) для любого квазикуба Q G Fn+1 существует единственный квазикуб Q' G Fn такой, что Q С Q'.

Разбиение Fn будем называть почти диадичееким разбиением порядка п. Семейство F = {Fn,n = 0,1,.} будем называть почти диадичееким семейством. Отметим, что диадическое семейство является частным случаем этого понятия.

Заменяя в (1) Dn на Fn, мы получим определение диадического пространства Никольского-Бесова Bp°(F), построенного по семейству F. Далее диагональное пространство B^P(F) будем обозначать B^{F).

Еще одним объектом, изучаемым в диссертации, является пространство функций с ограниченной средней осцилляцией, построенных по семейству F. В дальнейшем это пространство будем обозначать BMO(F). Отметим, что когда F совпадает с семейством диадических кубов D, это пространство впервые было введено в работе Дж. Гарнета [8] и изучено многими авторами. Укажем в частности, что один из наиболее глубоких результатов в этой области получен в статье J.Garnet, P.Jones [9].

Далее изложим новые результаты, которые получены в работе. Прежде всего отметим серию результатов, в которых изучаются основные свойства кусочно-полиномиальных приближений, построенных по почти диадичееким разбиениям. Доказаны теоремы, в которых сравнивается скорость приближения кусочно-полиномиальными функциями в разных нормах, построенными по разным разбиениям, с разными степенями многочленов, составляющих кусочно-полиномиальные функции.

Основываясь на этих результатах и развитой при их доказательстве технике, мы подробно изучаем свойства диадических пространств Никольского-Бесова (теоремы вложения, интерполяционные теоремы, порядок диадической гладкости).

Существенную роль при доказательстве играют комбинаторно-геометрические свойства дерева, порожденного почти диадическими разбиениями. Основная теорема, использующая эти свойства, дает разбиение дерева с конечным множеством выделенных п вершин в виде объединения 0(п) попарно непересекающихся путей.

С помощью этой теоремы, мы конструируем алгоритмы, которые дают два центральных результата работы: теорему о нелинейной аппроксимации и неравенство типа неравенства Бернштейна.

Первый из этих результатов оценивает скорость приближения функции из Вр(Р) в метрике пространства Ья, 0 < р < д < сю или 0 < р < 1, п д = оо с помощью кусочно-полиномиальных функций вида гДе г=1 рд. - полиномы, а (3; - квазикубы из .Р. Здесь и всюду ниже Л - это предельный показатель, который определяется равенством Л = ¿¿(^ — В случае, когда р > 1, д = оо аналогичный результат верен в метрике пространства ВМО^).

Особенностью этой теоремы является тот факт, что скорость приближения остается такой же, как если бы мы приближали эту функцию в более слабой Ьр - метрике (эффект нелинейной аппроксимации).

Вторая теорема, неравенство типа неравенства Бернштейна, дает оценку Вр(Г) - (квази)нормы, вообще говоря, разрывной кусочно -полиномиальной функции эп = ^РЯгХЯп Яг ^ Р через ее (квази)норму в пространстве Ь(1. г=1

Этот результат основан на алгоритме в каком-то смысле обратном к ап-проксимационному алгоритму предыдущей теоремы. Отметим, что его можно рассматривать, как обращение теоремы вложения в Ьд.

Используя эти результаты, мы получаем описание диагонального пространства в терминах нелинейного приближения кусочно-полиномиальными функциями.

Диадические ^-пространства тесно связаны с классическими В-пространствами. Как доказано в диссертации, каждое диадическое пространство содержит соответствующее классическое, а для малых гладкостей эти пространства совпадают. Для остальных гладкостей В*0 является пересечением конечного числа диадических ^-пространств с подходящим образом подобранными семействами разбиений Р. Благодаря этому многие трудные результаты для классических пространств удалось получить из аналогичных существенно более просто доказываемых результатов для диадических пространств либо с помощью алгоритмов, развитых в теории диадичеекпх пространств.

Отметим некоторые из основных результатов, установленных подобным образом.

1) Теорема о нелинейной аппроксимации сплайнами функцнй из пространства в метрике пространства Ья, где Л = й- ^ — ^, 0 < р < д < оо или 0 < р < 1. <? = оо. А

Отметим, что вопрос о приближении функций из пространства В£, р > 1 остается открытым.

Трудность доказательства этой теоремы классическими методами состоит в том, что граф пересечений носителей 5-сплайнов, которые участвуют в разложении функции / £ Вр, носит сложный характер. Поэтому предварительно представляем этот граф в виде объединения попарно непересекающихся с{(1) деревьев, порожденных почти диадическими семействами. Это позволяет разбить / на сумму с(с£) функций, а затем к каждой из этих функций применить слегка модифицированный алгоритм, разработанный для диадических пространств.

2) Неравенство типа неравенства Бернштейна для функций которые являются линейными комбинациями п гладких Л-сплайнов.

Для доказательства этого неравенства используется аналогичное неравенство для диадических пространств и интерполяционная техника.

3) Конструктивная характеристика пространства Вр в терминах нелинейной аппроксимации сплайнами в метрике пространства Ьч или ВМО.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседании следующих научных семинаров:

- Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, семинар под руководством профессора В. М. Тихомирова (сентябрь 2008);

- математического института им. В.А. Стеклова, семинар под руководством академика С.М. Никольского (октябрь 1998, ноябрь 2008).

- Российского университета дружбы народов, факультет физико-математических и естественных наук, семинар под руководством чл.-корр.

РАН В.Д. Степанова и профессора A.JL Скубачевского.

По 1материалам диссертации были сделаны доклады на следующих конференциях:

- международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 75-летию члена корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва, март 1998;

- международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ", Тула, май 1998;

- international conference "Optimization of fmite element approximation, splines and wavelets", St.Petersburg, June 2001;

- international conference "Wavelets and splines", St.Petersburg, July 2003;

- международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию С.М. Никольского, Москва, май 2005;

- международной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики ", посвященной 85-летию профессора С.Б. Стечкина, Тула, ноябрь 2005;

- международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 85-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева, Москва, март 2008;

-international conference "Wavelets and splines", St.Petersburg, June 2009.

- международной конференции "Теория приближений", Санкт-Петербург, май 2010.

Основные публикации по теме диссертации

1. Иродова И. П. О свойствах шкалы пространств В*е при 0 < р < 1// Докл. АН СССР. 1980. т. 250. № 2. с. 273-275.

2.Иродова И.П. Свойства функций, заданных скоростью убывания кусочно-полиномиальной аппроксимации// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1980. с. 92-117.

3. Иродова И.П. О свойствах шкалы пространств В^в при 0 < р < 1// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1982. с. 57-79.

4. Иродова И.П. Совместное приближение функции и ее производных в

Ьр([0,1]п) с помощью нелинейных сплайнов// Ярославль. 1982. с. 23. Рукопись представлена Яросл. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 15 марта 1982, № 1135-82.

5. Иродова И.П. Обобщение неравенства Маршо// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1984. с. 64-70.

6. Брудный Ю.А., Иродова И.П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и В-пространства// Тр. Междунар. конф. по теории приближений. Киев. 1983. М: Наука. 1987. с. 71-75.

7. Брудный Ю.А., Иродова И.П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и ^-пространства// Алгебра и анализ. 1992. т. 6. с. 45-79.

8. Иродова И. П. О неравенствах Джексона и Бернштейна для диадиче-ских пространств Бесова// Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула. 1998. т. 4. вып. 1. с. 83-86.

9. Иродова И. П. Некоторые свойства диадических пространств Бесова// Функц. пр-ва. Дифф. операторы. Проблемы мат. образования. Труды меж-дун. конф. Унив. дружбы народов, т. 1. Москва. 1998. с. 78-81.

10. Иродова И.П. Диадические пространства Бесова// Алгебра и анализ. 2000. т. 12. вып. 3. с. 40-80.

11. Иродова И. П. Об описании модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальной аппроксимации// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2005. т. 11. вып. 1. с. 148-155.

12. Иродова И. П. О вычислении /^-функционала пары Л-пространств// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2006. т. 12. вып. 1. с. 109-123.

13. Иродова И.П. О диадических пространствах Никольского-Бесова и их связи с классическими пространствами// Мат. заметки, т. 83. вып. 5. 2008. с. 683-696.

14. Иродова И. П. О неравенстве типа неравенства Бернштейна// Моделирование и анализ информационных систем. 2008. т. 15. № 4. с. 31-41.

15. Иродова И.П. Диадические производные и их свойства// Известия Тульского Государственного университета. Серия естественных наук. Тула.

2008. вып. 1. с. 29-36.

16. Иродова И.П. О вычислении К-функционалов// Алгебра и анализ.

2009. т. 21. № 4. с. 95-125.

17. Иродова И. П. О неравенстве типа неравенства Джексона в диадическом пространстве ВМО//Моделирование и анализ информационных систем. 2009. т. 16. № 3. с. 29-46.

Основное содержание работы.

Перейдем к более подробному изложению результатов. Напомним, что локальное приближение многочленами функции / £ Lp, 0 < р < оо является функцией множества Y t—> Ek(f,Y)p, Y С Q0 определяемой формулой

Ek(f,Y)p := míj\f ~ g\\Lp{yy

Здесь Рк - пространство полиномов степени не более к — 1 по каждой из d переменных.

Начнем с результата, где оценивается локальное приближение полиномами в одной норме через локальные приближения в другой норме. Очевидно, если 0 < р < q < оо, то это легко сделать, используя неравенство Гельдера:

Ek(f,Y)p < \Y\i-t . Ek(f,Y)q, здесь Y е F.

Однако оценить Ek(f, Y)q через локальные приближения в Lp значительно сложнее. Для этого потребуется использовать все квазикубы Q из F, вложенные в Y. Чтобы сформулировать соответствующий результат, для произвольного квазикуба Y из почти диадического семейства F символом Fn(Y) обозначим разбиение Y на квазикубы Q Е F, длина ребра которых « 2~~n\Y\^. В частности, Fn(Q0) = Fn. Далее обозначим через Р&(П) пространство кусочно-полиномиальных функций, подчиненных разбиению П, то есть функций вида ]Г) gQXQ, где gQ Е Рк. Наконец, символом П)р

Qeп обозначим наилучшее приближение / функциями из множества Р/г(П) в пространстве Lp.

Теорема 1. Пусть f € Lq(Y), А = — 0 < р < q < оо. Тогда Ek{f,Y)q < с -2n)Xek{f,Fn{Y)\ n=0 ^

В доказательстве теоремы 1 используем подход, предложенный

Ю. А. Брудным в [10]. Он заключается в замене функции / ее перестановкой /*.

Как следствие из теоремы 1 можно получить более слабый результат, который, однако, нагляднее демонстрирует связь локальных приближеиий в разных нормах.

Следствие 1. Пусть / € ЬЧ{У), У £Г,0<р<д<оо. Тогда

Отметим, что теорема 1 неверна при д = оо. Однако можно получить такой результат.

Здесь 0 < р < оо

Результат, приведенный в следующей теореме, можно рассматривать как диадический аналог неравенства типа неравенства Маршо. Он дает возможность сравнить скорости приближения кусочно-полиномиальными функциями с разными степенями. Пусть здесь и всюду ниже р* = гшп(1,р).

Теорема 3. Для к < т имеет место неравенство

Здесь -Рф>(/) - многочлен наилучшего приближения функции / на кубе <2о из пространства Рт.

Чтобы сформулировать очередной результат, нужно ввести понятие специальных диадических разбиений.

Пусть х - вершина куба От перейдем к кубу который получается гомотетией (5о относительно вершины х с коэффициентом 3. Куб фх разделим на 2пй равных кубов, а затем возьмем пересечение этих кубов с кубом <3о- Получившееся разбиение (Зо на параллелепипеды обозначим

Теорема 2. Пусть / 6 Ь^У), У е Р. Тогда

Рп(х) . В дальнейшем разбиения Еп(х) будем называть специальными диа-дическими разбиениями, а Е(х) будем называть специальным диадическим семейством.

Специальные диадические разбиения в некотором смысле универсальны. С их помощью, например, можно описать к-й модуль непрерывности и, как следствие, сравнить диадические и классические пространства. Поэтому важно изучить, как связаны скорости приближений кусочно-полиномиальными функциями, подчиненными разным специальным диадическим разбиениям.

Теорема 4. Пусть / е Ьр, 0<р<ооих,у - вершины куба тогда п Л 1 /Р" г=0

Покажем теперь, как можно оценить скорость приближения кусочно-полиномиальными функциями, подчиненными специальным диадическим разбиениям через равномерные кусочно-полиномиальные приближения ип. Хотя по постановке задача похожа на предыдущую (переход от одного разбиения к семейству разбиений другого рода), способы доказательства этих результатов совершенно различны. Это объясняется тем, что равномерные разбиения 11п (в отличие от Вп = [/2») не являются диадическими, что значительно усложняет доказательство. Теорема, которая сформулирована ниже, позволяет получить новое интересное свойство модуля непрерывности (см. теорему 21, свойство 3).

Теорема 5. Пусть Рп(х) специальное диадическое разбиение. Тогда / 2П+1 4 е*(/,ВД)р < с

7- 2" + 1 V здесь 0 < р < со, а через 11г обозначено разбиение куба (¿о, состоящее из равных кубов с длиной ребра

Вторая глава начинается с определения диадического пространства

Определение 1. Диадическим пространством Никольского-Бесова Врв(Р), построенным по почти диадическому семейству Р, называется множество функций из Ьр, для которых конечна величина здесь /;>А>0и0<р,^<оо. Квазинорма в Врв(Р) определяется равенством женный при р > 1 О. В. Бесовым (см., например, [11]). Отличие состоит в том, что в [11] свойства функций описываются в терминах приближений целыми функциями экспоненциального типа, а сейчас приближать будем кусочно-полиномиальными функциями.

Отметим, что в силу теоремы 3 квазинормы в Врв{Р) при различных к > А эквивалентны. Этим объясняется отсутствие параметра к в определении пространства.

Дадим описание функций из Вр°(Р). Перед тем, как сформулировать результат, обозначим через О,' единственный квазикуб из Рп-\, который содержит или совпадает с <5 6 Рп. Пусть С~)'0 будет пустым множеством. Кроме того, через обозначим многочлен наилучшего приближения функции из пространства Р% в норме пространства ЬР{С}).

Теорема 6. Функция / из Ьр принадлежит пространству Вр°{Р), к > А > О, О < р,9 < оо тогда и только тогда, когда а) сходимость в Ьр)\

Я&Р

Ь) конечна величина оо /

КЫг{!: := ||Рд(/) - Р^)|| п=1 \QeFn р

ЫЯ) в 11/1ир.

Кроме того,

КN1 (/, Р) « Швуру

Далее приводятся еще две эквивалентные перенормировки В-пространств, которые полезны в приложении.

Теорема 7. Пусть к > А > 0, 0 < 9,р < оо. Тогда следующие квазинормы эквивалентны квазинорме Р) := сю

1) ЮУ2(/, Р) := Е - «/п-^Г , п=0 / где дп = $«(/) - кусочно-полиномиальная функция из пространства Рк{Рп), которая является наилучшим приближением / в пространстве Ьр; = 0; оо д\ в

2) кмз(/, Р) := М (2пЛ||^ - Ч>п-Льр)) , здесь нижняя грань взята по всем представлениям / в виде ряда оо = ~ Уп-1), г=0 где у>„ € Р^п), (р-1 = 0.

Все приведенные выше квазинормы были описаны в терминах приближения в пространстве Ьр. Оказывается, можно написать эквивалентную квазинорму, в которой функции будут приближаться в более широком пространстве Ьг, 0 < г < р < оо.

Теорема 8. Функция / из Ьр принадлежит тогда и только тогда, когда конечна величина ад, р) со

1/Л

0 V причем КР) эквивалентна квазинорме КЛГ(/, .Р). Здесь к > А > 0; 0< г < р < оо, 0 < 0 < со.

Впервые аналогичный результат для классического пространства Бесова в случае р > 1 другим методом получен Ю. А. Брудным в [6].

Позднее (теорема 18) будет приведена еще одна эквивалентная квазинорма, где приближение будет осуществляться в более узком пространстве Ьг

Перейдем теперь к формулировке теорем вложения разных метрик.

Сформулируем наиболее сложно доказываемую теорему вложения на "предельном" показателе Л = — Остальные теоремы вложения получаются аналогично тому, как это сделано, например, в монографии С. М. Никольского [1]. Обозначим через Ьд/Рк фактор-пространство Ь(] по Рк. Квазинорму в Ьа/Рк зададим формулой

ILJPk ■= Qo)q

Также можно ввести фактор-пространство BX0(F)/Pk с квазинормой ll/lb^(F)/Pfc := If\B™(F)-Теорема 9. Если А = d Qj — ^j, 0 < р < q < оо, к > X, то

Bxp\F)!Pk с Lq/Pk. Для случая А = q = оо можно получить следующий результат. Теорема 10. Если А = к > А, то

Bx/(F)/Pk С Loo/Pfc. Из теоремы 10 следует, что если р < 1, то

BX(F)/Pk с ¿«./Д.

Однако этот результат неверен для р > 1. В этом случае Z/qq/P^ нужно заменить на более широкое почти диадическое пространство BMOg(F).

По аналогии с тем, как это было сделано в монографии J.Garnet [8], определим почти диадическое пространство BMO^(F), построенное по семейству F, как множество функций / из Ls, для которых величина

If\BMOks{F) '= SUp x"^ 1

QQQQ,Q€F \Q\-. конечна.

Теорема 11. Если 0 < p < s < оо, к > mo

Bl{F)/Pk с BMOks{F).

Следующий раздел работы связан с /^-функционалами и интерполяционными теоремами. Приведем здесь результат, относящийся к случаю различных показателей интегрируемости.

Теорема 12. При интерполяции ееи^ественным методом имеет место изоморфизм здесь Хо = (1 - в)Х0 + вХъ ± = ^ + 0 < 9 < 1, > О, о < Ра,Р\ < оо.

Для формулировки очередного результата введем понятие диадической производной. Пусть / 6 Ьр, 0 < р < оо. Через (рп обозначим кусочно-полиномиальную функцию из Тогда

Будем считать, что

Пусть / £ 0 < р < оо. Через дп = дп(1) обозначим кусочно-полиномиальную функцию из Рк{Рп) такую, что

-9п\\ьр = М8ЬЬри,Ъ(Рп)).

Отметим, что дп может быть не единственной функцией при 0 < р < 1.

Определение 2. Будем говорить, что / обладает Р-диадической производной порядка ¡3, если существует такое к > \(3\, что последовательность сходится относительно нормы пространства Ьр и этот предел не зависит от выбора дп{/). Предел последовательности обозначим

Заметим, что Р-диадическая производная функции / из Врв(Р) не зависит от к, если к > X.

Теорема 13. Если / € Врв(Р), то для любого к > X существуют Р-диадические производные Орк/ порядка ¡3, \(3\ < X и

В последнем результате главы 2 устанавливается связь между диадиче-скими пространствами, построенными по разным специальным диадическим семействам.

Теорема 14. Если 0 < Л < то для любых специальных диадических семейств Р{х) и Р{у) Вхр°(Р(у)).

Третья глава посвящена изучению аппроксимациопных свойств диадических ^-пространств. Для формулировки первого результата главы дадим определение класса приближающих функций.

Определение 3. Будем говорить, что Ф € РР£(Р), если существует разбиение П7г куба состоящее из не более п квазикубов из Р, такое, что Ф на каждом из Пп является многочленом из

Таким образом, кусочно-полиномиальная функция Ф из РР^(Р) имеет вид т

Ф = ^РЯгХЯг, 1 т где квазикубы (¿г £ Р, П Qj = 0, (г ф и и — <Зо, т < п. г=1

Теорема 15. Пусть / € В™(Р), А = ¿2 - + г, г > 0 и

О < р < < со. Тогда для любого натурального п существует кусочно-полиномиальная функция фп = фп(1) из РР£(Р), к > А такая, что здесь |7| < г и к > А.

Впервые результат о нелинейной аппроксимации был получен в ставшей уже классической статье М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка [12]. В ней функции из пространства Соболева-Слободецкого \¥р (С^о), р > 1 приближались функциями из множества РР^{1У). Теорема 15 является аналогом результата М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка. Отметим, в отличие от результата статьи [12] сейчас одновременно можно приближать функцию и ее производные.

Для построения функции фп используем адаптивный алгоритм приближения, который называют "жадным" алгоритмом. Для этого с каждым квазикубом Q из F связываем некоторое число ¡iq. Затем выбираем « п квазикубов, которым соответствуют самые большие коэффициенты ¡iq. Однако выбранные квазикубы не всегда образуют разбиение Q0. Требуется дополнительная реконструкция, с помощью которой удается построить нужное разбиение .

Отметим, что "жадный" алгоритм не работает на "предельном" показателе. Существуют примеры показывающие, что построенные выше функции фп(/) не сходятся к / при Л = d ^ — ^. Чтобы получить аппроксима-ционную теорему на "предельном" показателе, нужно расширить аппарат приближения.

Определение 4. Будем говорить, что функция s принадлежит PJ}(F), если существует такой набор квазикубов {Qi,., Qm} из F, т < п, что т s = PQiXQi; i—1 здесь pQi £ Pk.

В отличие от множества PP™(F) на расположение квазикубов {QiT--,Qn} нет ограничений. Например, они могут быть вложены друг в друга. Очевидно, что PP£(F) С Pg(F).

Теорема 16. Если f £ Bp(F), тогда существует кусочно-полиномиальная функция sn £ P£(F), k > А такая, что

II/ - sn\\Lq <c-n^\j\Bx{F)] здесь X = d^ — ^j,0<p<q<oou0<p< 1, если q = оо. Если otee q — оо и р > 1, то пространство Lq слева нужно заменить на BMO\{F).

Отметим, что доказательство теоремы 16 носит конструктивный характер. На первом этапе, используя информацию о функции /, находим 0{п) особых квазикубов из разбиения F. Затем с их помощью разбиваем дерево, порожденное семейством F, на попарно непересекающиеся пути. Каждый путь определяет некоторый многочлен. Искомая функция строится из таких многочленов.

Сформулируем теперь результат в некотором смысле обратный результату теоремы 16. Речь идет о неравенстве типа неравенства Бернштейна.

Теорема 17. Пусть А = (I ^ — ^ . Если вп е Рк{Е), то здесь 0 < р < < оо; к > А.

В случае А = д = оо теорему 17 можно усилить, заменив .£/оо(<Зо) на более широкое пространство ВМОр(Р).

Объединяя предыдущие результаты, можно представить Вр(Р) как ап-проксимационное пространство, используя нелинейное приближение в Ья или ВМО(Р).

Напомним, (см., например, РеЬтее, Ярагг [13]) что аппроксимационпое пространство Ь9), А = {Ап С Ья,п = 1,2,.} определяется как множество функций / € Ьд, для которых конечна величина оо д \ д (Е (^с/%) - ) + \\/\\ья, где е„(/)д = гШдД/, Ап).

Теорема 18. Пусть Л = с? ^ — 0 < р < д < оо, 0 < р < 1, если д — оо. Тогда Е\р{А{Р)) Ьч).

Если 0 < р < оо, д = оо; то ЕХр(А(Е), ВМО\(Р)У, здесь А(Е) = {Р£(Р),п = 1,2.}.

Такое описание играет существенную роль при доказательстве теорем вещественной интерполяции. Приведем результат, где интерполируются пространства с различными показателями интегрируемости.

Теорема 19. Пусть А = ^ ^ — 0, 0 < р < д < оо. Тогда

Если О < р < оо, д — оо, то здесь ве (0,1), » = = 1 + Если 0 < р < 1, д = оо, то здесь 0 е (р, 1), [I = Л0, ± =

Отметим, что подобная теорема есть и в классическом анализе. Например, в статье Л. РееЬ-е, Е. ЗуешБоп [14] решен вопрос об интерполяции пространства В МО и пространства Никольского-Бесова В* при р > 1. Кроме того, из результатов статьи Ю. В. Нетрусова [15] как следствие получается теорема об интерполяции пространства непрерывных функций и В^ при О < р < 1. Способ доказательства соответствующей интерполяционной теоремы очень сложный.

В финальной части третьей главы отмечается, что можно ввести диади-ческие пространства и других гладких функций. В качестве примера приводятся диадические пространства Лизоркина-Трибеля Ь^°(Е).

Перейдем к результатам главы 4, где показано, как техника кусочно-полиномиальных приближений работает в классическом анализе.

Начнем со свойств модуля непрерывности. Напомним, что модуль непрерывности /с-ого порядка функции / в пространстве Ьр определяется формулой вир ||Д£/||£

Щ<Ь где Яки — {я € Яо ■ х + зИ е ЯоЛ = 1,., к}.

Если здесь верхнюю грань брать лишь по векторам коллинеарным оси Овг, то получим определение частного модуля непрерывности Ь)р. Обозначим а

ЪкиЛр^^кШЪ- (2) • 1

Следующая теорема дает описание модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальных приближений, построенных по специальным диа-дическим разбиениям.

Теорема 20. Пусть f £ Lp, 0 < р < оо, тогда wk(f, 2~n)p^J2eb (f>F*(*))P; х здесь суммирование идет по всем вершинам х куба Qq.

Для доказательства этого результата используется теорема об "атомном" разложении модуля непрерывности, доказанная Ю. А. Брудным в [7].

Применяя теорему 20, можно перенести свойства кусочно-полиномиальных приближений, доказанные в первой главе, на свойства модуля непрерывности.

Теорема 21. Пусть / G Lp, тогда

1) 57fc(/, 2"*% < с • (ф (^(¿-'bfctA 2"%)*) \ здесь 0 < р < q < оо;

2) üjk(f ~ Pq0U), 2< с • 2-** ■ (24;m(f, 2, здесь k < т, р* = min(l,p) и р > 0; 2n+1 \ р

3)üjk(f,2-n)p^ek(f,U2n)p+[2-n- £ ek(f,UrY ,

У r=2n+l у здесь, как и выше, Ur - равномерное разбиение Qo на кубы с длиной ребра равной г-1 и 0 < р < оо.

Теорема о соотношении модуля непрерывности в различных метриках доказана, например, в статьях П.Л. Ульянова [16], J. Peetre [17], К. К. Головкина [18] и С. Herz [19]. Второй пункт теоремы 21 является обобщением одномерного неравенства Маргао (см. А.Ф. Тиман [20]).

Следующий результат интересен тем, что он позволяет перейти от приближения кусочно-полиномиальными функциями к приближению сплайнами.

Напомним определение множества сплайнов степени не выше к — 1 по каждой переменной, дефекта 1, подчиненных разбиению П куба Q0. Обозначим его Sfc(n), тогда й(П) := Pk(U)nCk-2(Q0)здесь Ck~2(Qo) - пространство функций, имеющих на Qo производные до порядка к — 2 включительно по каждой переменной.

Теорема 22. Для функции / из Ьр, 0 < р < оо и любого п найдется сплайн из пространства ¿^(L^fc-i)); к >2 такой, что

II/ - sn\\p <c-J2 eÁf, Fn(x))p; X здесь суммирование идет по всем вершинам х куба (последствие 2. Для функции / из Ьр, р > 0 и любого п найдется сплайн из пространства ¿^(L^fc-i)); к >2 такой, что f-sn\\p<c-ük(f, 2 ~п)р.

Этот результат впервые в одномерном случае получен Ю. А. Брудным в [21] и обобщен автором на многомерную ситуацию в [22] (см. также [23]). Нужно еще отметить результат R. Devore , V. Popov [24], где на другом пути получен аналогичный результат.

Перейдем теперь к определению пространства Никольского-Бесова В^9,

0 < р < оо. Пространства Никольского-Бесова Bp9{Rd), р > 1, 0 < Л < оо,

1 < в < оо были введены и изучены О. В. Бесовым (см., например, [11], [25], [26]) как обобщение пространств Никольского Нр, р > 1 {Нр = Вр°°). Пространства Bp9(Rd) оказались очень полезными в приложениях. Основной областью их применения являются теория линейных и нелинейных уравнений в частных производных. Кроме того, пространства Никольского-Бесова играют важную роль в теории функциональных пространств. Так, например, О. В. Бесов в [25] дал полное решение задачи о точном описании пространства следов функций из пространства Соболева в терминах пространств Bp.

Классическое пространство Bp9, р > 1 определяется с помощью производных и разделенных разностей или, что равносильно, с помощью модуля непрерывности. Так как мы работаем с пространством Никольского-Бесова не только при р > 1, но и при 0 < р < 1, то есть две возможности определения этих пространств, которые при р > 1 совпадают.

Первое определение, как и классическое, использует понятие модуля непрерывности. Второе определение, введенное J. Peetre в [27], основано на преобразовании Фурье обобщенных функций. Первое пространство обозначим Bp9, второе - Bp9. Пространство Вр°. О < р < 1 состоит только из интегрируемых функции, что позволяет использовать методы, основанные на интегральных представлениях. В случае шкалы пространств Вр° это уже невозможно, по крайней мере при Л < d ^ — 1J, так как Врв может содержать и неинтегрируемые функции. Как доказано J. Peetre, В™ вложено в Вр°, а если Л > d — 1V то пространства совпадают.

В работе автора [28] (см. также [29] и монографию Х.Трибеля [30]) изучены свойства шкалы пространств Вре при 0 < р < 1. Оказалось, что можно обобщить результаты О. В. Бесова об описании функций из р > 1с помощью целых функций и на случай 0 < р < 1. В дальнейшем мы будем использовать определение пространства Вр&, 0 < р < оо, основанное на понятии модуля непрерывности.

Определение 5. Функция / из Ьр, 0 < р < оо принадлежит, пространству Вр9 = Bpe(Qo), если конечна величина оо \ i/* здесь 0<А<&, О<0< оо.

Квазипорму, как обычно, определим формулой

U/Ib- = I Пву + Ыьр.

В определении квазинормы сумму частных модулей непрерывности wk(f,t)p можно заменить на модуль непрерывности t)p. При р > 1 это доказано, например, в книге С. М. Никольского [1], а при 0 < р < 1 - в статье автора [31].

Приведем два результата о связи классических и диадических В-пространств.

Теорема 23. Пусть А > 0, 0 < р, 0 < оо. Тогда

BXp0 = f]BXpe(F(x)); X где х пробегает мнооюеетво всех вершин куба Qq. Теорема 24. Если 0 < А < то

В™ = Bp9(F)] здесь F - это или специальное диадическое семейство F(x) или F — D.

Теорема 24 показывает, что функцию из пространства В™ при 0 < А < ^ можно описать в терминах приближения кусочно-полиномиальными функциями, причем это описание не зависит от выбора почти диадического семейства. Это же свойство верно и для пространств В^9, А > только приближать нужно будет не кусочно-полиномиальными функциями, а сплайнами.

Чтобы сформулировать соответствующий результат, обозначим для функции / через sn = sn(f) сплайн наилучшего приближения из пространства Sk(Fn), то есть f-sn\\Lp = distLp(f}Sk(Fn)).

Теорема 25. Функция f из Ьр принадлежит В^9, А > 0, k > А + 2, О <р: 0 < оо, тогда и только тогда, когда а) оо f — — sni) (сходимость в Lp)\

71=0 здесь si = 0. б) Величина

1 оо \ в (2"Л||/- ,„|Uje < оо.

71=0 /

Кроме того, оо \ в

I/Iba.« Е(2ПА|1/-в«НО J • п=0 /

Отметим, что похожая характеристика в одномерном случае при р > 1 впервые была дана Z. Ciesielski в [32].

Теорема 25 в случае Fn = [/2n(/c-i) доказана автором в [22]. Независимо, но существенно позже, это утверждение для Fn = Dn было получено в статье R. Devore, V. Popov [24].

Важным следствием теоремы 25 является "атомное" разложение функций из Вр°. Чтобы сформулировать соответствующий результат, выберем базис пространства Sk(Fn), состоящий из ^-сплайнов.

Для этого продолжим разбиение Fn с куба Qq на Rd. По получившемуся разбиению Fn(Rd) построим последовательность ^-сплайнов, (см., например, книгу К. de Boor [33]). С каждым квазикубом Q из FTl(Rd) можно связать -В-сплайн, который будем обозначать 6д. Известно, что носитель 6д состоит из 0(кс1) квазикубов разбиения /^(Я^). Выберем только те 6д, носители которых пересекают Таким образом,

К = {Я£ Щя?) ■ зирр ъя п д0 ф 0} •

Тогда {Ьо}д£Р, является базисом пространства

Теорема 26. Функция / £ -В^61, 0 < р, 0 < оо, тогда и только тогда, когда существует такой набор чисел {¿/д : С} £ Р'п,п — 0,1.}, что а) оо = ^^ ^^ (сходимость в Ьр); (3)

71=0 де^

Величина

PN(f) := > I > IQI^M < оо.

При этом

1/Ьл.« inf PiV(/), где нижняя грань берется по всем представлениям (3).

Теорема 26 была доказана автором в [34] в случае В^00 и F = D. Для пространства jE?^0 и F = D результат был получен в статье R. Devore, V. Popov [24].

Теорема об "атомном" разложении функций играет ключевую роль для доказательства теорем нелинейной аппроксимации с помощью сплайнов. Также, как в диадических пространствах, рассмотрим два варианта аппрок-симационных теорем: а) функции из Врв приближаются в пространстве Lq, где

Л= г,г>0; б) функции из Врв приближаются в пространстве Lg, где А = d — ^. Из вложения пространства в Bp°(F) следует, что при 7 = 0 результат теоремы 15 верен и для функций из B^f. Однако, несколько изменив доказательство, можно получить более сильный результат, в котором приближение будет осуществляться нелинейными сплайнами из множества

Теорема 27. Пусть / € В™, А = с2^-0+г;г>О«О<р<д<оо. Тогда для любого п существует сплайн фп из 5'5|? такой, что здесь |-у| < г и к > А + 2.

Отметим, что теорема 27 не является следствием соответствующей теоремы для диадического пространства Никольского-Бесова, однако доказательства этих теорем идут по одной схеме.

Коротко обсудим некоторые предшествующие теореме 27 результаты. Как отмечалось ранее, основополагающей здесь явилась работа М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка [12]. В ней предложен нелинейный алгоритм, сопоставляющий каждой функции из пространства Соболева-Слободецкого "диадическую" кусочно-полиномиальную функцию (рп € РР^(О), такую, что здесь А > ё, V > 1

Получение аналогичных результатов для случая нелинейной сплайн-аппроксимации потребовало нового подхода. Такой подход был развит в частных случаях в работе В. Е. Майорова [35] (приближение ломаными в С[0,1] функций из 1], ^ < А < 1) и затем в работе К. И. Осколкова

36] (приближение непрерывными полигональными функциями в С([0,1]2), | < А < 2). В полной общности этот подход развит в работе автора [34], где получена теорема 27. Отметим еще работу П. Освальда [37], где функции из Вр9 приближаются в пространстве А = (I ^ — ^ + г, 0 < А' < г,

О < в' < со. Метод, примененный при доказательстве теоремы 27, позволяет получить и результат П.Освальда.

Ситуация еще более усложняется в случае А = д, ^ — ^. Если бы теорема 27 была верна на "предельном" показателе, то, как отмечается в работе М. Ш. Бирмана и М. 3. Соломяка [12], отсюда следовало бы, что есть компактное вложение В* С Ья. Известно, однако, что это вложение не является компактным. Смена аппарата приближения и совершенно иной подход позволили получить результат в данной ситуации.

Для формулировки следующей теоремы по аналогии с множеством кусочно-полиномиальных функций Pg(F) введем множество сплайнов со свободными узлами S%(F):

- Теорема 28. Пусть X = d(^-^j,0<p<6<q<oou0<p<e<l, при q — оо. Если f 6 Вхв, тогда для любого п е N существует функция sn £ Sk(D) такая, что f-sn\\Lq < с-та-И|/|вл*; здесь А; > Л + 2, k-нечетное число.

Сделаем несколько замечаний по поводу доказательства теоремы 28. Если доказательства прямых теорем при X > d — 0 в диадическом и классическом случае почти не различались, то перенести доказательство теоремы 16 на классический случай сложнее. Это объясняется тем, что носители 5-сплайнов (см. теорему 26) не образуют почти диадического семейства. Поэтому сначала исходную функцию нужно представить в виде суммы kd функций fi так, что в определении участвуют только Р-сплайны, носители которых образуют почти диадическое семейство. Это можно сделать, если к - нечетное число. Затем к каждой функции fi применить несколько видоизмененный алгоритм из теоремы 16.

Отметим результаты о приближении функции из диагонального пространства Bp. Впервые теорема 28 о приближении сплайнами со свободными узлами на "предельном" показателе в одномерном случае была получена Ю. А. Брудным в [38]. Позднее аналогичный результат доказан P. Petruschev в статье [39]. Многомерный случай анонсирован в работе Ю. А. Брудного, И. П. Иродовой [40] (более подробное доказательство см. в [23]). Независимо этот же результат в случае приближения линейными комбинациями характеристических функций был получен R. Devore, V. Popov в статье [41], вейвлет-аппроксимация при 0 < р < q < оо рассмотрена в статье R. Devore, В. Jawerth, V. Popov [42], при q = оо - в статье R. Devore, Р. Petruschev, Х.М. Yu [43].

Заметим, что теорема 28 доказана и для недиагонального случая, который не был рассмотрен в указанных выше работах.

Теперь приведем неравенство типа неравенства Бернштейна для сплайнов со свободными узлами в многомерном случае. Впервые такое неравенство в одномерной ситуации доказано Ю.А. Брудным в [40] (см. также [7]).

Теорема 29. Пусть А = й ^ - с/ > 1. Если £ к > А + 2, то здесь 1 < р < q < со.

Если q = оо, р > 1, то результат молено усилить, заменив Lq на более широкое пространство В МО. Напомним, что В МО отличается от BMO\{F) тем, что верхняя грань берется по всем кубам Q из Qo (а не по Q б F).

Для доказательства теоремы 29 используется неравенство типа неравенства Бернштейна для диадических пространств (теорема 17), свойство функций из Bp и интерполяционная техника.

Если sn - линейная комбинация характеристических функций и 0 < А < то теорема 29 доказана R. Devore, V. Popov в статье [41]. В статьях R. Devore, В. Jawerth, V. Popov [42], Rong-Qing Jia [44] и R. Devore, P. Petruschev, X.M. Yu [43] приведено доказательство аналогичного неравенства, но для другого аппарата приближения, когда sn является линейной комбинацией п вейвлет с компактными носителями.

Объединение прямых и обратных теорем (теоремы 28, 29) с применением интерполяционной техники позволяет получить описание Bp в терминах приближения сплайнами со свободными узлами в пространстве Lq.

Теорема 30. Пусть X = d(j) — ^,d> 1. Тогда существует такое k > А + 2, что вХ = \EXp(A,Lq), 1 < р < q < оо; Р [ЕХр(А,ВМО), р> 1, q = оо; здесь Л = {££(£>), neN}.

Впервые теорема 30 в одномерном случае была получена Ю. А. Брудным в [40] (см. также [7]). Многомерный случай приближения характеристическими функциями рассмотрен R. Devore, V. Popov в [41]. В статьях R. Devore, В. Jawerth, V. Popov [42] и R. Devore, P. Petruschev, X.M. Yu [43] дано аналогичное описание пространства Вр в терминах приближений в Ь<} с помощью вейвлет.

Другими возможными приложениями теории диадических пространств могут служить теоремы вложения разных метрик и теоремы о К-функционалах.

Прежде всего отметим, что если выполняется теорема вложения для диадических пространств, то соответствующая теорема верна и для классических пространств. Это объясняется тем, что классическое пространство является пересечением 2й диадических пространств. Таким образом, результаты теорем 9-11 переносятся и на случай классических пространств, давая тем самым другой способ доказательства теорем вложения.

Приведем теперь результат о связи между /^-функционалами, построенными по парам диадических и классических пространств.

Теорема 31. Равномерно по / имеет место эквивалентность

Во, Вг) » #(/, г, В0(х)1 В^х))-, X здесь суммирование идет, по всем вершинам х куба о, и В^ = Вр3^, В^х)= В$>9'{Р{х)),з = 0,1.

Вычисление ^-функционала пары (Во(х): Вх(х)) не является сложной задачей. Сохраняя обозначения теоремы 31, получим

Следствие 3. Пусть Ах > Ао > 0, тогда 2-n<Al"4 Я<ь Si) « + р I ) здесь coi LOk(f, , к > Ах + 2.

В случае Aq = 0 пространство Bq нужно заменить на Lp и исключить первое слагаемое.

Ранее для вычисления iv-функционала пары В-пространств использовалась теорема реитерации (см., например, Ю.А. Брудный [7] и Й.Берг, Й.Лефстрем [45]).

Продолжим вычисление Х-функционалов. Сейчас мы рассмотрим пару (Ьр,\¥р). Дадим определение пространства Й^. Пусть р* = тт(1,р) и А = А (к,р) = к- 1 + ф.

Определение 6. Пространство \¥р состоит аз тех / £ Ьр,

О < р < оо, для которых величина р 71 конечна.

При 1 < р < оо это пространство совпадает с однородным пространством Соболева.

Теорема 32. Пусть 0 < р < оо; тогда

ДХД2-¿\Ьр,1уЬ)ъйок(/,2-з)р.

Точный порядок /^-функционала пары (Ьр, У/р) при р > 1 получен Л. Рее^е в [46]. В случае 0 < р < 1 предложенный им метод не пригоден, так как функции из Ьр при 0 < р < 1 не интегрируемы. Случай 0 < р < 1 рассмотрен автором в [22]. При доказательстве теоремы 32 для оценки К-функционала предложен новый подход, использующий технику диадических пространств.

В заключение дадим еще одно описание пространства Вв терминах локальных приближений, полученное с помощью перехода к диадическим ^-пространствам. Однако, в отличие от предыдущих описаний, кубы, с помощью которых строится приближение, группируются не по размерам, а по наличию общего центра. Такое описание позволяет сравнить пространства Никольского-Бесова и пространства Лизоркина-Трибеля.

Для формулировки соответствующего результата обозначим через куб с центром в точке х, размер ребра которого равен t, а через (¿х1 - его пересечение с о

Теорема 33. Пусть А > 0; к > X, 0 < г < р < оо. Тогда / € Ьр принадлежит В£ тогда и только тогда, когда функция принадлежит Ьр. Кроме того, и\в>;~\Шир + Ек(/,(30)г.

Эта теорема при 1 < г < р < оо другим методом была доказана Ю.А.Брудным в [6].

Основная часть перечисленных результатов содержится в работах автора [47]-[61].

Несколько слов об организации материала диссертации. Она состоит из введения и четырех глав, разбитых на разделы. Нумерация формул, теорем, следствий - двойная. Первое число указывает на номер главы, а второе -порядковый номер внутри главы. В конце диссертации приведены списки цитируемой литературы и основных обозначений.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Иродова, Ирина Павловна, 2011 год

1. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения// М.: Наука. 1977.

2. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения// М.: Наука. 1975.

3. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций// М.: Мир. 1972.

4. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы//М.: Мир. 1980.

5. Adams D., Hedberg L. Function Spaces and Potential Theory//Springer-Verlag.Berlin.1996.

6. Брудный Ю. А. Пространства, определяемые с помощью локальных приближений// Тр. ММО. 1971. № 24. с. 69-132.

7. Брудный Ю. А. Адаптивная аппроксимация функций с особенностями// Тр. ММО 1994. № 55. с. 123-185.

8. Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции// М.: Мир. 1980.

9. Garnett J. В., Jones P. W. BMO from dyadic BMO// Pacific J. Math. 1982. t. 99. № 2. p. 351-371.

10. Брудный Ю. А. О перестановке гладкой функции// Успехи мат. наук. 27. вып. 2. 1972. с. 165-166.

11. Бесов О. В. Исследования одного семейства функциональных пространств в связи с теоремами вложения и продолжения// Труды МИ АН СССР. 1961. т. 60. с. 42-81.

12. Бирман М. Ш.; Соломяк М. 3. Кусочно-полиномиальные приближения функций классов W* / / Мат. сборник. 1967. т. 73. № 3. с. 331-355.

13. Peetre J., Sparr G.// Interpolation of normed Abelian groups// Ann. Mat. Рига Appl. 1972. 92. № 4. p. 217-262.

14. Peetre J., Svensson E. On the Generalized Hardy's inequality of Mcgehee, Pigno and Smith and the problem of interpolation between BMO and Besov Space// Math. Scand. 54. 1984. p. 221-241.

15. Нетрусов Ю. В. Нелинейная аппроксимация функций из пространства Бесова-Лоренца в равномерной метрике// Записки науч. семинара ЛОМИ. 1993. т.204. с. 61-81.

16. Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках// Мат.сборник.1970.т.81, М.с.104-131 .

17. Peetre J. Espaces d'interpolation et theoreme de Soboleff// Ann. Inst. Fourier, 1966, vol. 16, p. 279-317.

18. Головкин К. К. Об одном обобщении интерполяционной теоремы Мар-цинкевича// Тр. МИАН СССР, 1967, т. 102, с. 5-28.

19. Herz С. S. Lipschitz spaces and Bernstein theorem of absolutely convergent Fourier transforms// J. Math, and Mech., 1968, vol. 18, N 4, p. 283-323.

20. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного// М. Физматгиз. 1960.

21. Брудный Ю. А. Кусочно-полиномиальная аппроксимация и локальные приближения// Докл. АН СССР. т. 201. 1971. № 1. с. 16-18.

22. Иродова И. П. Свойства функций, заданных скоростью убывания кусочно-полиномиальной аппроксимации// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1980. с. 92-117.

23. Брудный 'Ю. А., Иродова И. П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и ^-пространства// Алгебра и анализ. 1992. т. 4. № 6. с. 45-79.

24. Devore R. A., Popov V. A. Interpolation of Besov Spaces// Trans. Amer. Math. Soc. 1988. v. 305. p. 397-414.

25. Бесов О. В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения// ДАН СССР. 1959. т. 126. с. 1163-1165.

26. Весов О. В. О некоторых условиях принадлежности к Lp производных периодических функций// Научные докл. высш. шк. 1959. № 1. с. 12-17.

27. Peetre J. Remarques sur les espaces de Besov. Le cas 0 < p < 1//C.R. Acad. Sei. Paris. 1973. 277. p. 947-949.

28. Иродова И. 77. О свойствах шкалы пространств В^ при 0 < р < 1// Докл. АН СССР. 1980. т. 250. № 2. с. 273-275.

29. Иродова И. П. О свойствах шкалы пространств Вр° при 0 < р < 1// Исследования но теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1982. с. 57-79.

30. Трибель X. Теория функциональных пространств// М. Мир. 1986.

31. Иродова И. 77. Обобщение неравенства Марию// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1984. с. 64-70.

32. Ciesielski Z. Constructive function theory and spline systems// Studia Math. 52. 1973. p. 277-302.

33. K. de Boor Practical Cuide to Splines//Springer Verlag. New York. 1978.

34. Иродова И. 77. Совместное приближение функции и ее производных в Lp (0,1]п) с помощью нелинейных сплайнов// Ярославль. 1982. с. 23. Рукопись представлена Яросл. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 15 марта 1982, № 1135-82.

35. Майоров В.Е. О наилучшем приближении классов W(IS) в пространстве ЬооЦ3)// Мат. заметки. 1976. т. 19, № 5, с. 699-706.

36. Осколков К. И. Полигональная аппроксимация функций двух переменных// Мат. сборник. 1978. т. 107, № 4, с. 73-86.

37. Oswald P. On the degree for nonlinear spline approximation un Besov-Sobolev spaces// J. Approxim. Theory. 1990. 61. p. 131-157.

38. Брудный Ю. А. Рациональная аппроксимация и теорема вложе-ния//ДАН СССР. 1979. № 247. вып. 2. с. 269-272.

39. Petruschev P. P. Direct and converse theorems for spline and rational approximation and Besov spaces// Function Spaces and Applications Lund. 1986. Lecture Notes in Math. vol. 1302. Springer Verlag. Berlin. 1988. p. 363-377.

40. Брудный Ю. А., Иродова И. П. Нелинейная сплайн-аппроксимация и ^-пространства// Тр. Междунар. конф. по теории приближений. Киев. 1983. М: Наука. 1987. с. 71-75.

41. Devore R. A., Popov V. A. Free multivariate splines// Constr. Approx. v. 3. 1987. p. 239-248.

42. Devore R. A., Jawerth В., Popov V. A. Compression of wavelet decompositions// Amer. J. Math. 1992. v. 114. p. 737-785.

43. Devore R. A., Petruschev P. P., YuX.M. Nonlinear wavelet approximation in the space C(Rd)// Progress in Approximation Theory (Tampa, FL. 1990), Springer Ser. Comput. Math. vol. 19. Springer. New York. 1992. p. 261-283.

44. Rong-Qing Jia A Bernstein-Type Inequality Associated with Wavelet Decomposition// Constr. Approx. 1993. v. 9. p. 299-318.

45. Берг Й., Лёфстрем Й. Интерполяционные пространства// М. Мир. 1980.

46. Peetre J. Thoughts on Besov spaces// Lecture notes. Lund. 1966.

47. Иродова И. П. Некоторые свойства диадических пространств Бесова// Функц. пр-ва. Дифф. операторы. Проблемы мат. образования. Труды междун. конф. Унив. дружбы народов, т. 1. Москва. 1998. с. 78-81.

48. Иродова И.П. О неравенствах Джексона и Бернштейна для диадических пространств Бесова// Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Тула: 1998. т. 4. вып. 1. с. 83-86.

49. Иродова И. П. Диадические пространства Бесова// Алгебра и анализ. 2000. т. 12. вып. 3. с. 40-80.

50. Иродова И. П. Неравенство Джексона для диадических недиагональных пространств Бесова// Optimzation of finite element approximation and splines and wavelets. International, conf. C)FEA52001 . St.-Petersburg. 2001. c. 138-139.

51. Иродова И. П., Невский М. В. Диадические пространства Бесова и другие вопросы теории приближения// Математика в Ярославском университете. Сб. обзорных статей. Ярославль. 2001. с. 115-131.

52. Иродова И. П. Алгоритм построения гладкого сплайна// Математика в современном мире. Материалы 2-й Российской научно-практической конференции. Калуга. 2004. с. 100-105.

53. Иродова И. П. Об описании модуля непрерывности в терминах кусочно-полиномиальной аппроксимации// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2005. т. 11, вып. 1. с. 148-155.

54. Иродова И. П. Кусочно-полиномиальныс приближения и модуль непрерывности/ / Математика в Ярославском университете. Сб. обзорных статей к 30-летию мат. фак. Ярославль. 2006. с. 227-244.

55. Иродова И. П. О диадических пространствах Никольского-Бесова// Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ. Тезисы докладов международной конференции, посвященной 100-летию академика С.М.Никольского. Москва. 2005. с. 115.

56. Иродова И. П. О вычислении i^-функционала пары ^-пространств// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. 2006. т. 12. вып. 1. с. 109-123.

57. Иродова И. 77. Диадические производные и их свойства// Известия Тульского Государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. Тула. вып. 1. 2008. с. 29-36.

58. Иродова И. П. О диадических пространствах Никольского-Бесова и их связи с классическими пространствами// Мат. заметки, т 83. вып. 5.2008. с. 683-696.

59. Иродова И. П. О неравенстве типа неравенства Бернштей-на//Моделирование и анализ информационных систем. 2008. т. 15. № 4. с. 31-41.

60. Иродова И. П. О вычислении K-функционалов// Алгебра и анализ.2009. т. 21. № 4. с. 95-125.

61. Иродова И. П. О неравенстве типа неравенства Джексона в диадическом пространстве ВМО//Моделирование и анализ информационных систем. 2009. т. 16. № 3. с. 29-46.

62. Врудный Ю. А., Ганзбург М. И. Об одной экстремальной задаче для многочленов п переменных// Изв. АН СССР. Сер. мат. 37. выи. 2. 1973. с. 344-355.

63. Butler G.J., Richards F.B. An LP saturation theorem for splines// Can.-J. Math. 1972. XXIV. JV» 5. p. 957-966.

64. Schipp F. On equivalence of rearrangement of the Haar system in dyadic Hardy and BMO spaces// Anal. Math. 1990. t. 16. № 16. p. 135-141.

65. Popa N. Isomorphism theorems for dyadic Hardy spases generated by a rearrangement invariant space X on unit interval// Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1990. t. 35 № 3. p. 261-281.

66. Daly J. E.; Fridli S. Walsh multipliers for dyadic Hardy spaces// Appl. Anal. 2003. t. 82 № 7. p. 689-700.

67. Blasco O., Pott S. Dyadic BMO on the bidisk// Rev. Math. Iberoamericana. 2005. t. 21. № 2. p. 483-510.

68. S.Geiss, MüllerR., Pillwein V. A remark on extrapolation of rearrangemrnt operators on dyadic Щ, 0 < 5 < 1// Studia Math. 2005. t. 171 № 2. p. 197205.

69. Голубое Б. И. О модифицированном сильном двоичном интеграле и производной // Матем. сб. 2002. т. 193. № 4. с. 37-60

70. Голубое Б. И. Элементы двоичного анализа// М.: МГУП.

71. С. de Boor and Fix G. J. Spline approximation by quasiinterpolants// J. Approx. Theory. 8. 1973. № 1. p. 19-45.

72. Cohen A., DeVore R. A., Petrushev P. P., Xu H. Nonlinear Approximation and the Space BV (R2)// American Journal of Mathematics. 121. 1999. p. 587-628.

73. Кругляк H. ЯНевский Д. M. Почти оптимальность алгоритмов диади-ческой аппроксимации 1^(0,1]п) и вещественная интерполяция// Алгебра и анализ. 14. 2002. № 4. с. 63-90.

74. Бычкова Т. Г. Оптимальное разложение по атомам в диадических пространствах Харди Нр и интерполяция пространств Нр// Материалы Всероссийской научной конференции. Ярославль. 2003. с. 50-69.

75. Брудный Ю. А. Аппроксимационные пространства// Геометрия линейных пространств и теория операторов. Ярославль. 1977. с. 3-30.

76. Брудный Ю. А., Кругляк Н. Я. Об одном семействе аппроксимационных пространств// Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль. 1978. с. 15-43.

77. Peetre J. New thoughts on Besov spaces// Duke Univ. Math. Ser. I. Durham. N.C. 1976.

78. Sagher Y., Shvartsman P.On the John-Str6mberg-Torehinsky Characterization of BMO// Fourier Analysis and Applications. 1998. v. 4. Issues 4 and 5. p. 521-548.

79. Кудрявцев Л. Д., Никольский С. М. Пространства дифференцируемых функций многих переменных и теоремы вложения// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ. 1988. т. 26. с. 5-157.

80. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полипомами// М. Наука. 1977.

81. Стороженко Э. А., Освальд П. Теоремы Джексона в пространствах Lp, 0 < р < 1// Сиб. мат. журн. 1978. т. 19. вып. 4. с. 630-639.

82. Невский М. В. О скорости кусочно-полиномиальной аппроксимации в классах Орлича// Ярославский ун-т. Ярославль. 1986. Деп. в ВИНИТИ 05.05.86, № 3225-В 86.

83. Пелешенко Б. И. Структурные теоремы для одного класса функциональных пространств// Исследования по линейным операторам и теории функций. Заметки научных семинаров ЛОМИ. Л. Наука. 1974. т. 39. с. 191.

84. Marchoud A. Sur les derivees et sur les differences des fonctions devariables reebles// J. Math'em. pures at appl. 1927. № 6. p. 337-425.

85. Брудный Ю. A. Нелинейная сплайн-аппроксимация и функции ограниченной вариации// Докл. АН СССР. 1974. т. 215. № 3. с. 511-513.

86. Брудный Ю. А., Гопенгауз И. Е. Приближение кусочно-полиномиальными функциями// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1963. т. 27. № 4. с. 723-743.

87. Субботин 10. Н., Черных Н. И. Порядок наилучших сплайн-приближений некоторых классов функций// Мат. зам. 1970. т. 7. № 1. с. 31-42.

88. Субботин Ю. II. Приближение сплайнами и гладкие базисы в £(0, 2тг)// Мат. зам. 1972. т. 12. № 1. с. 43-52.

89. Черных Н. И. Приближение сплайнами с заданной плотностью распределения узлов// Тр. метам, ин-та АН СССР. 1975. т. 138. с. 174-197.

90. Popov V.A., Freud G. Jower error bounds in the theory of spline functions// Studia Sei Math. Hungar. 1971. 6. p. 387-391.

91. Popov V. A. On the connection between rational and spline approximation// Compt. Rendus. Acad. Bulgar. Sei. 1974. № 27. p. 623-626.

92. Devore R. A., Richards F. B. Saturation and inverse theorems for spline approximation// In Meir and Sharma. 1973. p. 73-82.

93. Yager D. Saturation bei spline// Approximation and Quadratur. Numer. Math. 1970. 16. p. 129-140.

94. Buchard H. G. Splinea (with optimal knot) are better// J. Applicable Analisis. 1974. № 3. p. 309-319.

95. Me? Tao BMO is the intersection of two translates of dyadic BMO// C.R. Math. Acad. Sci. Paris. 2003. t. 336. № 12. p. 1003-1006.

96. Pirher J., Ward L. BMO from dyadic BMO on the bidisk// J. Lond. Math. Soc.(2). 2008. t. 77. № 2. p. 524.-544.

97. C. de Boor The quasi-interpolant as a tool in elementary polynomial spline theory//Appoxim.theory. Academic Press. 1973. p. 266-276.

98. Curry H. B., Schoenberg I. J. On spline distributions and their limits the Polya distribution functions// Bull. Amer. Math. Soc. 53. 1947. № 11. p. 1114.

99. Scherer K. Characterization of generalized Sipschits classes by best approximation with splines// SIAM. 1974. v. 11. № 2. p. 283-304.

100. Devore R. A., Scherer K. A constuctive theory for approximation by splines with an arbitrary sequence of knot sets// In Schaback and Scherer. 1976. p. 167-183.

101. John F., Nurenberg L. In functions of bounded mean oscillation// Comm. Pure Appl. Math. 14. 1961. p. 415-426.

102. Stein E. M. The characterization of functions arising as potentiries// Bull. Amer. Math. Soc. 1961. v. 67. № 1. p. 102-104.

103. Strichartz R. S. Multipliers on fractional Sobolev spaces// J. Math. Mech. 16. 1967. p. 1031-1042.