Дробные В-производные Вейля j-бесселевых разложений и неравенство Берштейна для В-производных от четных j-многочленов Шлемильха тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Санина, Елизавета Львовна

• Санина, Елизавета Львовна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Санина, Елизавета Львовна

Введение

1 Ряды по четным-нечетным j функциям Бесселя

1.1 Ортогональность системы четных-нечетных j-функций Бесселя.

1.2 Ряды Фурье-Бесселя и Дини.

1.3 Гладкость, В-гладкость функции и порядок убывания коэффициентов.

1.4 Ряды Шлемильха по j-функциям Бесселя.

2 Дробные В-производные Маршо-Вейля j-бесселевых разложений

2.1 Основные свойства обобщенного сдвига в классе четных локально интегрируемых с весом функций.

2.2 Дробные В-производные Римана-Лиувилля и Маршо.

2.3 Преобразование Ганкеля дробной В-производной Маршо.

2.4 Дробные В-производные Вейля.

2.5 В-интегрирование дробного порядка.

2.6 В-интегрирование Вейля дробного порядка.

2.7 В-ядро Дирихле.

2.8 О равномерной сходимости ряда Фурье-Бесселя по j-функциям Бесселя.

2.9 Функциональные классы Липшица, порожденные обобщенным сдвигом.

2.10 Теорема о совпадении В-производных Маршо и

Вейля на функциях из Hb.

3 Неравенство Бернштейна для В-производных четных j-многочленов Шлемильха

3.1 Интерполяционная формула для В-производной четного j-многочлена Шлемильха.

3.2 Неравенство Бернштейна для В-производной j-многочлена Шлемильха.

3.3 Неравенство Бернштейна-Зигмунда в классе

ФУНКЦИЙ ( —7Г, 7г).

3.4 Неравенство Бернштейна для дробных В-производных j-бесселевых многочленов в пространстве четных непрерывных функций.

3.5 Неравенство Бернштейна для дробных В-производных Вейля-Маршо j-бесселевых многочленов Шлемильха в пространстве Щ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дробные В-производные Вейля j-бесселевых разложений и неравенство Берштейна для В-производных от четных j-многочленов Шлемильха»

Производные и интегралы дробного порядка вводились и изучались многими известными и выдающимися математиками. К ним относятся и творцы дифференциального и интегрального исчислений Лейбниц и Эйлер. В настоящее время дробное интегродифференци-рование является отдельным разделом математического анализа, становление которого обязано многим математикам позапрошлого, прошлого и настоящего веков, среди которых Лиувилль, Риман, Рисс, Грюнвальд, Летников, И.А. Киприянов, П.И. Лизоркин, С.Г. Самко, А.А. Килбас и многие другие. Хорошо известно и прикладное значение производных дробного порядка в различных задачах математики, физики, биологии, механики и техники. Дробная производная Вейля выделяется тем, что она приспособлена для работы с тригонометрическими многочленами, рядами и с периодическими функциями. Возникает вопрос о конструировании дробных производных, приспособленного для работы с рядами Фурье по различным собственным функциям дифференциальных операторов. Особый интерес при этом вызывают сингулярные дифференциальные операторы.

В этой диссертации исследуются дробные степени сингулярного дифференциального оператора Бесселя + р>—1/2. Применяются обычные схемы, по которым построены классические дробные производные Лиувилля, Маршо, Вейля. При этом роль преобразования Фурье выполняет преобразование Ганкеля, конечные разности заменены разностями, порожденными обобщенным сдвигом, а тригонометрические ряды — рядами по j-функциям Бесселя. Дробные степени оператора Бесселя соответственно называются дробными В-производными Лиувилля, Вейля, Маршо. Получен результат о совпадении этого вида дробных В-производных в классе гладких четных интегрируемых функций, на функциях из пространства Соболева

Киприянова и в функциональных классах Липшица, порожденных обобщенным сдвигом. Исследования этих задач во многом опираются на работы Б.М. Левитана 40-х — 50-х годов прошлого века, посвященных изучению обобщенных сдвигов и j-функций Бесселя.

Построение дробных степеней оператора Бесселя, по типу производных Вейля, использует разложении функций по j-функциям Бесселя. Особенность последних заключается в том, что они четные. Для разложения произвольных функций в работе применяются функции Бесселя следующего вида AeV)P(x)=jp(x); Aod>p = 2(p+i) 1(®)> ранее введенные И.А. Куприяновым и В.В. Катраховым при построении алгебры сингулярных псевдодифференциальных операторов в качестве ядра соответствующего преобразования Фурье-Бесселя. Для разложений Фурье-Бесселя и Дини по этим функциям получены аналог теоремы Б.М. Левитана о равномерной сходимости и теоремы о зависимости убывания коэффициентов Фурье от гладкости функций. Введены три типа В-ядер Дирихле, и оказалось, что многочлены по четным j-функциям Бесселя представляются в виде оператора обобщенной свертки (свертки, порожденной обобщенным сдвигом) с этими ядрами, при этом были установлены новые свойства обобщенного сдвига в пространстве четных локально интегрируемых функций, в частности свойство ограниченности обобщенного сдвига, как оператора из пространства Степанова, порожденного обобщенным сдвигом, в соответствующий весовой класс Лебега. Использование В-ядер Дирихле позволило доказать теорему о совпадении В-производных Маршо и Вейля в пространстве Липшица, порожденного обобщенным сдвигом.

В диссертации введены новые ряды типа обобщенных рядов Шлемильха, в которых функции Струве заменены нечетными j-функциями Бесселя 2(р+1) i(x)- Известно, что среди рядов по функциям Бесселя (Неймана, Каптейна, Фурье-Бесселя, Дини) ряды Шлемильха наиболее напоминают тригонометрические ряды Фурье, поскольку ряды Шлемильха порождены тригонометрическими рядами применением интегралов Шлемильха или Сонина. Для многочлена Шлемильха по четным j-функциям Бесселя получена интерполяционная формула для дифференцирования, осуществляемого сингулярным дифференциальным оператором Бесселя типа интерполяционной формулы Рисса, хорошо известной в теории тригонометрических многочленов, причем полученная формула оказалась следствием формулы Рисса для тригонометрических многочленов и не может получиться подобным образом для других многочленов, составленных из функций Бесселя. Как следствие этой формулы получены неравенства Бернштейна для В-производной и для В-производной дробного порядка. Последние построены по типу дробных производных Маршо и Вейля. При этом использовались схемы доказательств этого неравенства для дробных производных, развитые в работах P. Civin, W. Sewe и П.И. Лизоркина. Определены коэффициенты, с которыми эти неравенства оказываются точными в том смысле, что существуют функции, на которых достигаются равенства.

Рассмотренные в диссертации вопросы актуальны в современном научном знании, поскольку дают новые подходы к некоторым аспектам теории функций Бесселя, к теории рядов Фурье-Бесселя, Ди-ни, Шлемильха и это позволит найти новые приложения в сингулярных задачах дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных. Введенные В-производные дробного порядка могут быть использованы при исследовании сингулярных граничных задач и во многих проблемах естествознания, где присутствует центральная или осевая симметрии.

Целью работы является построение разложений произвольной функции по j-функциям Бесселя, доказательство теорем об абсолютной и равномерной сходимости и о зависимости убывания коэффициентов Фурье по системе (в соответствующем смысле ортогональных) j-функций Бесселя от гладкости раскладываемой функции. На основе разложений по j-функциям Бесселя ввести дробные В-производные

Вейля и исследовать связь этой производной с В-производными Марию и Лиувилля. Ввести ряды Шлемильха по нечетным j-функциям Бесселя. Для четной составляющей рядов Шлемильха получить интерполяционную формулу, выражающую действие сингулярного оператора Бесселя на четный j-многочлен Шлемильха, и на основе этой формулы получить неравенства Бернштейна для В-производных и для дробных В-производных Вейля-Маршо.

В работе используются методы теории функций, функционального анализа, гармонического анализа, а также методы, развитые в работах И.А. Киприянова и его научной школой при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.

Следующие результаты, полученные в работе являются новыми.

1. Для рядов по четным и нечетным j-функциям Бесселя получены теорема о равномерной сходимости (типа теоремы Б.М. Левитана), теоремы о порядке убывания коэффициентов рядов Фурье-Бесселя и Дини в зависимости от гладкости функции. Введены обобщенные ряды Шлемильха по нечетным j-функциям Бесселя.

2. Введены дробные В-интегралы и В-производные Маршо и Вейля порядка а € (0,2), причем порядку а — 1 дробной В-производной отвечает оператор у—В, исследована связь В-производных Маршо с В-производными Лиувилля (последние известны и ранее, исследовались в работах И.А. Киприянова, В.В Катрахова, М.И. Ключанцева, Л.Н. Ляхова, С.С. Платонова). Получена теорема о совпадении этого вида дробных производных на j-бесселевых многочленах.

3. Введены пространства Липшица и Степанова, порожденные обобщенным сдвигом, получена теорема об ограниченности обобщенного сдвига, как оператора из пространства Степанова в пространство LJ(0,1). Для функций, представленных многочленами и рядами по четным j-функциям Бесселя введены В-производные Вейля, доказана теорема о совпадении действия В-производных Вейля и Впроизводных Маршо в классе функций Липшица, порожденного обобщенным сдвигом.

4. Получены представления В-ядер Дирихле для рядов Фурье-Бесселя и Дини по j-функциям Бесселя. Получена теорема о равномерной сходимости ряда Фурье-Бесселя по j-функциям Бесселя.

5. Для многочленов по четным j-функциям Бесселя получен аналог интерполяционной формулы Рисса для В-производной целого порядка.

6. Для многочленов по четным j-функциям Бесселя получен аналог неравенства Бернштейна для В-производных целого порядка и В-производных Вейля-Маршо произвольного порядка а > 0 и обобщения этого неравенства в весовых функциональных классах Лебега и Степанова.

Работа носит теоретический характер и дает конструктивные решения содержательной математической задачи. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений с частными производными и математическом анализе.

Основные результаты докладывались и обсуждались на семинарах профессора Репникова В.Д., в Воронежской зимней математической школе, Воронежской весенней математической школе „Современные методы в теории краевых задач", Воронеж,2005; на международной научной конференции по топологическим и вариационным методам нелинейного анализа и их приложениям, Воронеж 2005; на международной конференции „Дифференциальные уравнения и динамические системы", Суздаль, 2006; на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы посвященной памяти Г.И. Петровского, Москва, 2007; на международной конференции "Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования "Москва, 2007; на герценовских чтениях „Некоторые актуальные проблемы математики и математического образования", Санкт-Петербург, 2008.

Основные результаты опубликованы в работах автора [32]-[46]. В работах [42], [44], [46] постановка задачи принадлежит В.Д. Репнико-ву, а доказательства основных результатов-диссертанту. В работе [40] JI.H. Ляхову принадлежит идея применения оператора Пуассона в роли оператора преобразования, все же результаты, включая формулу Рисса для четного многочлена Шлемильха, принадлежат автору. Из совместных работ [32], [45] в диссертацию вошли только результаты полученные автором лично.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, объединяющих в общей сложности 19 пунктов, и цитируемой литературы из 59 наименований. Общий объем диссертации - 118 стр.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Санина, Елизавета Львовна, 2008 год

1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции / В.Я. Арсении - М.: Наука, 1974. - 432 с.

2. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейн М.: Наука, 1974. - Т. 2 - 295 с.

3. Ватсон Г.Н.Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон Часть первая. - М.: ИЛ, 1947. - 780 с.

4. Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / И.С. Грандштейн, И.М. Рыжик М: ГИФМЛ. 1965.- 1100 с.

5. Житомерский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных пргоизводных с дифференциальным операторами типа Бесселя // Математический сборник, 1955. Т. 36, N2. - С. 299310.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд Т. 1. - М.: Мир. 1965.- 615 с.

7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд Т. 2. М.: Мир. 1965.- 538 с.

8. Киприянов И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения весовых классов функций / И.А. Киприянов // Тр. МИАН. 1967. Т. 8,9.- С.130-213.

9. Киприянов И. А. Сингулярные краевые эллиптические задачи / И.А. Киприянов М.: Наука,1997. -199 с.

10. Киприянов И.А. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов / И.А. Киприянов, В.В. Катра-хов // Мат. сборник, 1977. Т. 104, № 1. - С.49-68.

11. Киприянов И.А. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига. II / И.А. Киприянов, М.И. Ключанцев // СМЖ. 1970. Т. 11, № 5. - С.1060-1083.

12. Киприянов И.А. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных / И.А. Киприянов, В.И. Кононенко // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. V, № 8.- С.1470-1483.

13. Киприянов И.А. Фундаментальные решения В-эллиптических уравнений / И.А. Кипрянов, В.И. Кононенко / / Дифференц.уравнения.— 1967.— Т.З, N1 — С.114-129.

14. Киприянов И.А. Об одном классе псевдодифференциаль ных операторов / И.А. Киприянов, JI.H. Ляхов // ДАН. 1974. Т.218, № 2. - С. 278-280.

15. Киприянова Н.И. Интерполяционная формула Р. Сайвина, связанная с обобщенным сдвигом / Н.И. Киприянова // Воронежская весенняя математическая школа "Понтрягинские чтения — VI " , тезисы докладов. Воронеж, 1995. - С.42.

16. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций / Б.Г. Коренев М.: Наука, 1971. - 287 с.

17. Кошляков Н.С. Уравнения в частных производных математической физики /Н.С. Кошляков, Э.В. Глинер, М.М. Смирнов М.: Высшая школа, 1976. - 712 с.

18. Курант Р. Методы матиматической физики / Р. Курант, Д. Гильберт М.- Л.: ГИТТЛ, 1951. - Т.1. - 475 с.

19. Лебедев М.Н. Специальные функции и их приложения / М.Н. Лебедев М.- Л.: ГИФМЛ. 1963. - 359 с.

20. Левитан Б.М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя / Б.М. Левитан // УМН, 1951, Т. 6, №2.- С. 102-143.

21. Левитан Б.М. Введение в спектральную теорию /Б.М. Левитан, И.С. Саргсян М.: Наука. 1970. - 671 с.

22. Лизоркин П.И. Оценка тригонометрических интегралов и неравенство Берштейна для дробных производных / П.И. Лизоркин // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1965. Т. 296, № 1. - С. 109-126.

23. Ляхов Л.Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов / Л.Н. Ляхов // ДАН,1990. Т. 315, №2. - С. 291-296.

24. Математическая энциклопедия. Т. 3 М.: Советская энциклопедия, 1982. - С.1183.

25. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон М.: Наука, 1974. - 480 с.

26. Никольский С.М. Курс математического анализа. T.l / CiM. Никольский М.: Наука, 1973. - 431 с.

27. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С.М. Никольский М.: Наука, 1977 - 436 с.

28. Платонов С.С. Аналоги неравенств Берштейна и Никольского для одного класса целых функций экспоненциального типа / С.С. Платонов // ДАН, 2004. Т.398, № 2. - С. 168-171.

29. Розет Т.А. Элементы теории цилиндрических функций с приложениями к радиотехнике / Т.А. Розет М. Советское радио. -1956. - 164 с.

30. Репников В.Д. Некоторые уточнения теоремы о стабилизации решений уравнений теплопроводности / В.Д. Репников // Дифферент уравнения, 1998 Т.34, № 6 - С.812-815.

31. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, И.О. Маричев- Минск, Наука и техника, 1987. 688 с.

32. Санина Е.Л. Неравенство Берштейна для В-производных jp-бесселевых многочленов / Е.Л. Санина // Функциональные пространства, теория приближенийж, нелинейный анализ. Международная конференция Москва, 2005. - С. 198.

33. Санина Е.Л. Неравенство Берштейна для В-произвождных jp-бесселевых многочленов Шлемельха / Е.Л. Санина // Вестник Липецкого государственного пед. ун-та. Т. 1. - Вып. 1. - Липецк, 2006. - С. 50-54.

34. Санина Е.Л. О рядах Шлемельха по нечетным функциям Бесселя / Е.Л. Санина // Вестник физ.-мат. фак-та Елецкого гос. ун-та им. И.А.Бунина.- Вып. 1.- Елец, 2006 -С. 63-69.

35. Санина Е.Л. Теоремы сложения, обобщенный сдвиг и представление Пуассона для четных-нечетных j-функций Бесселя / Е.Л. Санина // Черноземный альманах научных исследований. Серия: "Фундаментальная математика". - № 1 (5). - Воронеж, 2007.- С. 140-148.

36. Санина E.JI. О некоторых свойствах обобщенного сдвига в классе четных периодических / E.JI. Санина // Семинар по глобальному и стохастическому анализу. Вып. 2. - Воронеж, 2007. - С. 88-92.

37. Санина E.JI. О рядах Шлемельха по нечетным j-функциям Бесселя / E.JT. Санина // Математические модели и операторные уравнения. Т. 4. - Воронеж, 2007. - С. 116-124.

38. Санина E.JI. Многочлены Шлемильха. Интерполяционная формула Рисса для В-производной и неравенство Берштейна для дробных В-производных Вейля-Маршо / JI.H. Ляхов, Е.Л. Санина // ДАН, 2007. Т. 417. - №5. - С. 592-596.

39. Санина Е.Л. Интерполяционная формула и неравенство Берштейна для В-производной многочлена Шлемильха / Е.Л. Санина //Черноземный альманах научных исследований. Серия: "Прикладная математика и информатика". - Воронеж, 2007. - № 2 (6). - С. 124-134.

40. Толстов Г.П. Ряды Фурье / Г.П. Толстов М.: Наука. 1980. - 381 с.

41. Трибель X. Теория интерполяции. Фкнкциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель М.: Мир, 1980. - 664 с.

42. Янке Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш М.: Наука 1968. - 344 с.

43. Civin P. Inequalities for trigonometric integrals / P. Civin // Duke Math. J. 1941. - Vol. 8, № 4 - P. 656-665.

44. Civin P. Inequalities for trigonometric integrals. Preliminara report. / P. Civin // Bull. Amer. Math. Soc. 1940. - P. 410.

45. Delzarte Par J. Sur une extention de la formule de Teylor. / Dezarte // Journ.de Math. 1938. - Т. XVII. - P. 213-231.

46. Fourier J. La Theorie Analytique de la Chaleury: Chez firmin didot pere et fils / J. Fourier Paris, 1822. - 466 p.

47. Hankel H. Die Fourier'schen Reihen und Integrale fur Cylinderfunktionen / H. Hankel // Math. Ann., VIII 1875. -P. 471-494.

48. Zygmund A. A remark on conjugate series / A. Zygmund // PLMS, 34 1932. - P. 392-400.

49. Sevell W.E. Generalized derivatives and approximationby polinomias / W.E. Sevell // Trans. Amer. Soc. 1937. - Vol. 14, № 1 - P.84-123.

50. Schlafli, Ibid., X (1876). P. 137-142.

51. Weyl H. Btmtrkungen zum begriff des Differential quotienten gebrochener Ordnung / H. Weyl / / Vierteljahrcsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zurich 1917 - Bd 62, № 1-2.- P.296-302.

52. Young W.H. On series of Bessel functions / W.H. Young // Proc. London Math. Soc. (2), XVIII. 1920. - P. 163-200.