Оценки приближения функции посредством модулей непрерывности различных порядков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Бабушкин Максим Владимирович

• Бабушкин Максим Владимирович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Бабушкин Максим Владимирович

§1.3. Асимптотика оценки

§1.4. Сопоставление оценок

Глава 2. Оценка усиленной формы остаточного члена в асимптотических формулах типа Вороновской—Бернштейна

§2.1. Вспомогательные утверждения

§2.2. Теоремы общего характера

§2.3. Примеры приложений к конкретным методам приближения

Глава 3. Приближение чётных функций с неотрицательными

коэффициентами Фурье суммами Рисса дробного порядка

§3.1. Вспомогательные утверждения

§3.2. Основная теорема

§3.3. Оценки, содержащие одно слагаемое

§3.4. Оценки, содержащие два слагаемых

Заключение

Список публикаций автора по теме диссертации

Список литературы

Обозначения

Следующие обозначения являются общими для всех глав диссертации и используются без дополнительных пояснений. Каждая глава также содержит собственный список обозначений.

• C, R, R+, Z, Z+, N — соответственно множества комплексных, вещественных, неотрицательных вещественных, целых, неотрицательных целых, натуральных чисел;

• [а : b] = [а, Ь] П Z;

• \х\ — наибольшее целое число, не превосходящее х £ R;

• {х} = х — [х\ — дробная часть числа х £ R;

• Л — класс полунорм Р: С ^ R+, обладающих свойствами:

— существует такое М £ R+, что для любой f £ С будет Р(f) ^ М \\f ||;

- для любых f £ С и h £ R верно Р(f (• + h)) = Р(f);

• ак ( f), bk ( f), ck ( f) — коэффициенты Фурье функции f:

я я

ак(f) = 1 J f (t) cos kt dt, bk(f) = 1 J f (t) sin kt dt,

—я —я

■k

ck (f ) = 2¿J f (*)е—гЫ dt;

—я

• С — пространство непрерывных 2^-периодических функций f с нормой

\\/\\ = max |/WI;

• Сг — пространство г раз непрерывно дифференцируемых 2п-периодических функций;

• С(X) (С[а,Ь] = С([а,Ь])) — пространство непрерывных функций, заданных на множестве X;

• En(f )р — наилучшее приближение функции f относительно полунормы Р тригонометрическими полиномами порядка меньше п:

En(f)р = ы р(í — т);

1 £Нп-1

3

• %п — пространство тригонометрических полиномов порядка не выше п;

• Lp(X) (где 1 ^ р < œ, Lp[a, b} = Lp([a, b})) — пространство измеримых функций f, суммируемых ср-ой степенью наХ и нормой \\f\\p = (fX | f(x)\vdx)l/p;

• Lp (где 1 ^ p < œ) — пространство измеримых 2-^-периодических функций f, суммируемых ср-ой степенью на периоде и нормой \\f\\p = \ f(x)\vdx)l/p;

• Lœ(X) (Lœ[a, b] = Lœ([a, b})) — пространство измеримых существенно ограниченных на множестве X функций f с нормой ||/\\œ = vraisup | f(x)\;

xeX

• Lœ — пространство измеримых 2-^-периодических существенно ограниченных функций f с нормой \\/\\œ = vraisup | f(x)\;

хеш

• Snf — сумма Фурье функции f:

Snf (X) = -+ ^ (ak (f ) cos кх + bk (f ) sin kx) ;

k=i

• Srhf — функция Стеклова r-го порядка функции f:

h/2

Shf(х) = 1 J f(x + t)dt,

-h/2

Shf(x) = ShSh-1 f(x) при r - 1 е N;

• f — центральная разность r-го порядка функции f с шагом t:

Sí f (x) = ¿(-1)4V (x + f ~kt );

k=o ^ '

n

• &nf = n+î ZI Skf — сумма Фейера функции f ;

k=o

• ur (f,h)p = sup P (ó[f) — модуль непрерывности порядка г функции f с шагом h относительно полунормы P.

Если не оговорено противное, пространства функций могут быть как вещественными, так и комплексными. Функции доопределяются в точке устранимого разрыва по непрерывности; в других случаях символы O и œ • 0 понимаются

как 0. Сумма ^ при b < a считается равной нулю. Там, где это не приводит к

а

неясности, вместо +œ пишется просто œ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оценки приближения функции посредством модулей непрерывности различных порядков»

Введение

Диссертация посвящена уточнению и обобщению известных ранее оценок отклонений некоторых методов приближения.

Диссертация состоит из трёх глав, разделённых на параграфы. Номер каждого утверждения или формулы состоит из двух чисел: номера главы и номера утверждения или формулы в данной главе. Во введении первое число в номерах формул равно нулю. Нумерация утверждений отдельная для каждого типа утверждений. Цитируемые результаты имеют буквенную нумерацию.

Первая глава посвящена улучшению оценок постоянной в неравенстве типа Джексона для периодических функций. Результаты этой главы частично опубликованы в [2].

Неравенством типа Джексона в теории аппроксимации принято называть неравенство, в котором наилучшее приближение функции оценивается посредством модуля непрерывности этой функции или её производных. Для пространства непрерывных 2^-периодических функций оно имеет вид

K(f) < ^^Wm(f(г\т/п),

где Еп — наилучшее приближение тригонометрическими полиномами порядка меньше п, шт — модуль непрерывности порядка т функции f.

Имеется не так много случаев, когда найдена точная постоянная в этом неравенстве

Т( ) rirEn(f)

J (m,r, т) = sup sup —-—г-,—-—.

neN fUm(j (r>,T/n)

Первый результат, связанный с нахождением точной постоянной, был получен Н. П. Корнейчуком в [22]. Им было установлено, что J(1,0,ж) = 1. Отметим ещё результат В. В. Жука (при г = 1, [15]) и А. А. Лигуна (при нечётном г, [23]): J(1,г,ж) = 1СГ/2, где 1СГ — константа Фавара.

Большое количество исследований посвящено вопросу получения хороших оценок для J. При этом каждое такое исследование улучшает оценки лишь в определённом диапазоне значений т,гиг. Например, в случае m ^ 2, г ^ ж, т ^ ж лучшей оказывается оценка, найденная в [16, гл. 3, §5, теорема 2]; при m ^ ж, г Е N, т < ж — в [16, гл. 7, §1, теорема 4] (где она выражена через

нормы сумм Рисса, оцененные в [20]); при т € М, г = 0, г ^ то — в [17, гл. 2, §3, теорема 3]; при т € М, г = 0, г ^ +0 — в [18]; при т ^ 10, г = 0 и некоторой окрестности точки т = ж — в [11]. Работы, содержащие рекордные оценки при малых значениях т, г и некоторых т: при г = 0, т = 2 — [8]; г = 0, т = 4, 6,8 — [9]; при малых г € N — [21] (эта статья обобщает [47]).

В первой главе диссертации устанавливаются оценки для постоянной J, которые улучшают известные в случае т ^ то, г € М, т ^ ж. Вычисления показывают, что они оказываются наименьшими из известных и для некоторых малых значений т, г и т. Наилучшие в указанном случае оценки до настоящего момента содержались в [11], где также имеется подробное сопоставление различных результатов.

Техника получения оценок в целом аналогична таковой из работы [11]. При этом так же ключевую роль играют модификации функций Стеклова Бп,2,т/. Приведём их определение. Пусть функция / задана на К и суммируема на любом конечном промежутке. При Н > 0 полагаем

т К

= с_ ¿(-1Г-1ст->з%/=/+[ от/ •

с2т а-Л с2т Л Н

з- 1 0

где — функция Стеклова второго порядка.

Неравенство Джексона выводится из соотношений

Еп(Л < Епи - Б1К2,тЛ + Еп(в1НХтЛ -

к-0

Каждое слагаемое мажорируется модулем непрерывности производной функции /. Улучшение возникающей при этом постоянной достигается за счёт несколько иного, чем в [11], способа оценивания величины Еп(3%2 т(/ — Бк,2,т Л).

В полученной оценке участвует норма оператора Б,дт. Она была вычислена в [2], и соответствующие выкладки приводятся в первой главе. Попутно отметим, что в той же работе вычислены нормы оператора Бп,1,т, построенного аналогично на основе функций Стеклова первого порядка.

Вывод о том, что найденная оценка лучше известных в указанном случае, делается на основе её асимптотического поведения. В завершение первой главы для малых значений т и г в случаях т = ж и т = 2-к приводятся вычисленные приближённо оценки для 3(т, г, г), наилучшие среди работ, упомянутых выше.

Вторая глава посвящена оценкам остаточного члена в асимптотических формулах типа Вороновской-Бернштейна для широкого круга методов приближения. Результаты этой главы опубликованы в [3].

Хорошо известна следующая теорема, которая устанавливает порядок приближения функций, имеющих вторую производную, многочленами Бернштейна

[к \

вп!(х) = 2^1 (-) рЩк (х), к=0

где

рщк (х) = Скпхк (1 -х)п-к.

Теорема A (Е. В. Вороновская, см., например, [25, гл. X, §2]; [35, §10.3]). Пусть f ограничена на [0,1} и имеет вторую производную в точке х Е [0,1]. Тогда

lim п (Bnf (х) - f(x)) = f'(x).

2

Если f Е С2[0,1], то сходимость равномерная.

Этот результат был обобщён С. Н. Бернштейном (см. [6, п. 57]) следующим образом. Положим

$г,п(х) = ^ ГП - X) Рп,к (х). п

к=0

Если функция f ограничена и имеет производную чётного порядка 2i в точке х, то справедливо равенство

lim п (b,J(х) - g Зкп(х]{W(x)) = « (ХО-Х.X .

V к=о к! ) \ 2 J

Другими словами, справедлива асимптотическая формула

впт=g зыхтх!+(х^X+ь(х), (o.i) к=0 ' ' ^ '

7

а для остаточного члена —х(х) верно соотношение

Яъ (х) = о ( — ) при п ^ то. \пг)

С. А. Теляковский в [28] распространил этот результат на функции, имеющие производную нечётного порядка 2г + 1 в точке х. Формула (0.1) при этом не меняется, а для остаточного члена верно

Я2г+1(х)=0 ^+172) •

В упомянутых до сих пор результатах не указывается, каким образом свойства функции влияют на скорость стремления к нулю остаточного члена.

Для случая % = 0, / € С[0,1] известна оценка Поповичиу (см., например, [41, Т. 1.6.1])

IДх) -Вп/(х)| ^ 4^(7,

4

а для / € С:[0,1] (Фрейд, см., например, [35, §10.3, Т. 3.2], [7]):

I Лх) - Вп/(х)| < 2^ х(1п-х) V ( Г . (0.2)

Приведём оценки, когда / € С2[0,1]. Теорема В ([31]). Пусть / € С2[0,1], п € N. Тогда

п (Вп/(х) - Дх)) - х(1—^/''(х)

2

^ х(1 - х)и ' "" '

( )

Не так давно это неравенство было несколько улучшено.

Теорема С ([38], см. также [39, Т. 4.3]). Пусть / € С2[0,1], п € М, и * выпуклый модуль непрерывности функции. Тогда

п (Вп/(х) - Дх)) - ^/''(х)

В работе [29] даётся более тонкая оценка для отклонений полиномов Берн-штейна. В ней обычный модуль непрерывности, рассматриваемый на всём отрезке, заменяется на модуль непрерывности, связанный с конкретной точкой, в которой исследуется точность приближения.

Теорема В ([29]). Пусть функция / ограничена на [0,1], хо € [0,1] и при всех Ь, таких что точки х0 + Ь принадлежат [0,1], имеет место оценка

|¡(хо + *) - Дхо)| <ы(№,

где и — некоторый модуль непрерывности. Тогда для приближения функции / в точке х0 многочленами Бернштейна справедливо неравенство

I Пх о) -Вп/(хо)| < 2и' •'хо(1 - хо)

(^Р1) -

Теорема Е ([29]). Пусть функция / ограничена на [0,1], имеет в точке хо € [0,1] производную первого порядка и при всех Ь, таких что точки хо + Ь принадлежат [0,1], справедливо представление

¡(хо + г) = /(хо) + ¡'(хо)г + у(г у,

для функции г>(£) в котором выполняется оценка ^(£)| < и(Щ), где и — некоторый модуль непрерывности. Тогда для приближения / в точке хо многочленами Бернштейна имеет место неравенство

I лхо) - В,,/(хо)| < ^ -

Отметим ещё одну общую теорему.

Теорема Е ([37]). Пусть г € / € Сг [0,1], Ь: С[0,1] ^ С[0,1] — линейный положительный оператор. Тогда

ы(х) - Е ^¡ТЬ((- х)*)(х)

к=о '

< Ь (Iв1 -х|П(х) ( &) Ь(|в1 -х|-+1 )(х) \

< г! V , (г + 1)Ь(е1 — х|г)(х))

где е1(х) = х, и* — выпуклый модуль непрерывности.

Во второй главе оценки так же, как в теоремах Б и Е, ведутся при помощи модуля непрерывности, связанного с точкой. Но при этом оценки даются для несколько большей величины, имеющей отношение к «сильной аппроксимации». Поясним это понятие подробнее.

В 1904 г. Фейер показал, что арифметические средние отклонений непрерывной функции от её сумм Фурье сходятся к нулю, то есть

1 п

(х) - Цх) = (х) -

п — 1 к=0

1 п

= ——х^^к!(х) - !(х)) ^ 0 пРи — ^ ж

— I 1

к=0

В 1913 г. Харди и Литтлвуд поставили вопрос: верно ли это утверждение для средних степенных отклонений

/ -л п \1/р

Нп(р ,/,х):=1 ——у £ Ш (х) - /(х)1П ? (0.3)

Для / Е Ьд, д > 1, р > 0 они установили, что Нп(р, /,х) ^ 0 при п ^ ж почти всюду. В дальнейшем Марцинкевич показал, что это верно для / Е Ь\ при р = 2, а Зигмунд распространил этот результат на любые значения р > 0 (см., например, [5, гл. VII]). Вопросы, связанные с изучением величин типа (0.3), относят к так называемой «сильной аппроксимации».

В. В. Жук рассматривал величины, аналогичные (0.3), построенные на основе положительных операторов вида

(х) = I ¡(х + 1/а)К(I) (И.

м

В работе [19] им были получены в терминах выпуклого модуля непрерывности функции / с аргументом, зависящим от ы, оценки величины

1/р

ф(у) = и I¡ш) - ¡(ы(у + г/а))1рк(г)а) , (0.4)

м

которая не меньше отклонения

I/Ыу)) -За и о^т =

(/ыу)) - ¡ыу — г/а)))к(г) а

Во второй главе устанавливаются оценки величин типа (0.4), мажорирующих остаточные члены в асимптотических формулах Вороновской-Бернштейна

для широкого круга методов приближения. Оценки ведутся при помощи выпуклого модуля непрерывности, связанного с индивидуальной точкой.

Приведём пример получаемых результатов применительно к многочленам Бернштейна.

Теорема. Пусть г £ Z+, п £ N, р ^ 1, ограниченная функция f: [0,1] ^ C имеет в точке х £ [0,1] производную r-го порядка; при всех t, таких что х + t £ [0,1], справедливо представление

ях+о = ± ' + -,

1=0 ' '

где |e(t)\ < ш(|£|), ш — выпуклый модуль непрерывности. Положим

к=0

к

--х

п

Рп,к (х).

Тогда, если 0 < Зргп(х) < М, то

Bnf (х) - ^

/(0(х)

=0

И

Я1,п(х)

< -j-ш

!

((

Sp (г+1),п(х)

Sp г,п(х)

,к=0

1/р

f(k) - Г ,

J \п) ^ I. \п

=0

Л1)(х) (к

kip \1/р

j Рп,к(х) I

^ М1/р ( ( Sp(r+l)n(х)

< -;—Ш

1/р'

!

М

Если функция / £ Сг[0,1], то участвующий в теореме модуль непрерывности ш (£) мажорируется выпуклым модулем непрерывности ш*(/(г\ ), который, в свою очередь, не превосходит 2ш\(/(г\ ^).

Во второй главе устанавливаются аналогичные общие теоремы, применимые к положительным операторам вида

Lf(х) = ^2/(хк Ьк(х),

k£Q

Uf (х) v Кх)

£( /

/(¿)<к(t)dt )рк(х)

kGQ ч Е

/(х + t)^(t)dt.

)

Е

а

Также приводятся примеры приложений результатов к конкретным методам приближения.

Из результатов второй главы следуют теоремы С (см. пример 2.4), Э, Е, Р, а в неравенстве (0.2) удаётся добавить множитель 1/2 перед шагом модуля непрерывности. Аналогичные результаты (также вытекающие из результатов второй главы диссертации), содержащие равномерный (а не локальный) модуль непрерывности функции, содержатся в [4].

Третья глава посвящена установлению двусторонних оценок отклонений сумм Рисса дробного порядка от чётных функций с неотрицательными коэффициентами Фурье. Результаты этой главы опубликованы в [1].

С. Н. Бернштейн установил (см., например, [25, гл. V, §3, гл. VIII, §2]), что отклонение сумм Фейера ап/ характеризует класс Липшица с показателем а при 0 < а < 1, а именно

При а = 1 это утверждение уже неверно. Справедливо неулучшаемое по порядку соотношение (см., например, [25, гл. VIII, §2, теоремы 2, 3])

Но такая же оценка справедлива и для функций из класса Зигмунда, являющегося более широким, чем класс Ыр1.

Тем не менее, как показал Алексич (см. [32]), суммы Фейера можно использовать для характеризации класса Ыр1, если перейти к тригонометрически сопряжённой функции:

С. Б. Стечкин (см. [27]) для случая, когда / Е С и / Е С, установил неравенство

^^ / Е Ыр1.

(здесь и далее Ск — постоянные, зависящие только от выписанных аргументов). В частности, отсюда следует

II / - II ^ С2 (^ + I, П) ) .

Двустороннюю оценку такого типа получил В. В. Жук [14]:

Сз(ш2 (^ и-ап/1 + ПШ2^,П)) ,

где Р — первообразная для функции / — Со(/).

Полученное неравенство было обобщено В. В. Жуком (см. [13], [16, гл. VII, §1, теоремы 1, 2 и 8]) для сумм Рисса

¡(х) = ^ + ^ — (П+г) ) (ак(?) С0Б кх + Ьк(?) ^ кх) ,

совпадающих с суммами Фейера при г = 1. Именно, при / Е С, п Е М, г/2 Е N С5(Г)Шг (П) ^ и — Кг я ^ С6(Г)Шг (П) . (0.5)

Если же (г + 1)/2 Е М, то

к\ к4

С7(г) (шг+1 (¡, П) +пшг+1 (V, П)) < III' — Кг¡'II

^ С8(г) (шг+1 (П) + пшг+1 (р П)) . (0.6)

Отметим, что независимо от В. В. Жука случай чётного значения г рассматривал также Р. М. Тригуб (см. [30, §3, п. 1]).

Возникает вопрос, нельзя ли неравенства (0.5) и (0.6) распространить на случай, когда г принимает любое положительное, а не только целое значение? На данный момент удаётся ответить на него лишь частично. В третьей главе указанные двусторонние оценки обобщаются на случай дробного модуля непрерывности, но не для всего пространства С, а для его подкласса: для чётных функций с неотрицательными коэффициентами Фурье.

Полученные результаты частично соприкасаются с работами С. Ю. Тихонова (см. [44; 45]). В частности, в [45] в качестве леммы без указания конкретных постоянных приводится неравенство (0.5), когда / — чётная функция с неотрицательными коэффициентами Фурье, а — любое положительное не

нечётное число. Однако, вместо отклонения сумм Рисса нечётного порядка в той же работе изучается другая величина. О связи с результатами С. Ю. Тихонова см. также замечание 3.5.

Приведём один из основных результатов третьей главы.

Теорема. Пусть [5 > а ^ 0, число [5 представимо в виде [5 = 2т + а, где т £ Z, а £ (-1,1];/ £ С — чётная функция с неотрицательными коэффициентами Фурье, п £ N. Тогда

¿J (паШ, (н-а!(-а),1) + ^ ^ П)) < ILf - Rn-1'fi-J 11 < ^ ((Я_а/-П) + )) .

Здесь Н^ — преобразование Гильберта дробного порядка (см. формулу (3.2)), /(-а) — первообразная в смысле Вейля; постоянная С(5,а) определяется равенством

тт/2

С([,а) = J cos? t • cos atdt. 0

Данное утверждение обобщает неравенства (0.5) и (0.6) для чётных непрерывных функций с неотрицательными коэффициентами Фурье. Неравенство (0.5) получается из данного следствия при а = 0 и [ = г, а неравенство (0.6) — при а =1 и [ = г + 1.

Глава 1

Оценки постоянной в неравенстве типа Джексона для периодических функций

В этой главе устанавливаются оценки постоянной 3(т, г, т) в неравенстве типа Джексона

ЕЛ) < шт(,((г),т/п),

пп

которые улучшают известные при т ^ <Х), г Е М, т ^ ж.

Далее вводятся необходимые обозначения, после чего формулируется основной результат (теорема 1.1), доказательство которого содержится в § 1.2. Перед этим в § 1.1 вычисляются нормы оператора В § 1.3 даётся описа-

ние асимптотического поведения найденной оценки для 3(т, г, г), на основании которого в § 1.4 она сравнивается с оценкой из [11]. В завершение для малых значений т и г в случаях т = ж иг = 2ж приводятся вычисленные приближённо наилучшие оценки для 3(т,г, т) среди работ, упомянутых во введении.

В этой главе обозначаем через Дгак (Дак = Д1ак) разность порядка г последовательности {ак}:

Д°ак = ак,

Дгак = А-1 а.к+1 - А-1ак, гЕ N.

Полагаем

внАш/ = 72Шг £(-1)= / + [ ■ А;

0

гуЩ / у у / 2ш ^ 1т ъ^ 1

¿=1 °2ш ' п

&2,т — || || С^-С ;

= 8ПР Р(Г1 (Б1^)(г1));

4 ~ (-1) к(г+1)

/Сг = — —:-—— (константы Фавара);

г (2к + 1)Г+1 v 7 к—0

г) т гчт+к

вт = — У С2т

ш ш

Пт / у к2 '

к—1 к к нечёт.

g(r, г) = <

/ 4rK}Jr 4rfc2/r \ _

1 — 7-+ 7-^ если r G N, t > 2K}'r,

I (r + 1)r (r + 2) г2/

2rr

в остальных случаях;

v(r + 1)(r + 2)'

/ x ,_

4k K2kDkm

-tzt^, если к G N, t > ——-

2k

г](т,к, t) = < T2h (1.1)

h

ahm, в остальных случаях;

2^2m+ 1 .. 2^2m+ 1

-, если г нечетно, г > ——-,

р(т,Г, т) = ^ Г ^2m

^2m, в остальных случаях;

J{m,r, Tfr = sup sup—-——-, (1.2)

nGN fecr Wm(/(r>,T/n)E(.)p

[m/2]—1 - i m+r \Dm/2~\

') = ^ £ " Р^'к- + 2 ^ /2 ^

^m+r k=0 ^ '

Вместо символов En(f)P, wTO(f,h)En(.)p, J(rn,r, r)P и Wi,2,m(f,h)En^.)p, как правило, будем использовать сокращения En(f), шт( f,h), J (т,г, т) и Wi,2,m( f, h) соответственно.

Теорема 1.1. Пусть т, г, m+L G N, г > 0, Р G Л. Тог^а при т < 2

J(т,г, г) ^ А(т,г, г),

а в случае т > 2

J(т, г, г) ^ min А (т, г, t).

tG[2,r ]

Замечание 1.1. Поскольку

Шт( h)E„(-} р < Шт( Л h)P,

то, заменяя Р на норму в пространстве С, из теоремы 1.1 получаем те же оценки для точной постоянной в обобщённом неравенстве Джексона в пространстве С. Стандартным образом (см. [16, гл. III, §2]) оценки переносятся и на пространства Lp (1 ^ р ^ то).

Приведём некоторые известные утверждения, которые потребуются в дальнейшем.

Лемма 1.А ([16, гл. 2, §3]). Пусть / Е С, Р Е Л, функция К непрерывна на множестве К х [ а, Ь], где —ж < а <Ь < ж. Тогда К(■, ^ (И Е С и

р пк(■, г) а i ^р(к(■,

Теорема 1.А (см., например, [16, гл. 3, §1, следствие 2]). Пусть п Е М, г Е / ЕСГ, Р Е Л. Тогда

Еп(/)р < К^Еп(/(г))р. (1.4)

п

Лемма 1.В ([36]). Пусть т Е N. Тогда

ж2 у/ж(т +1/2) ж2 л/жт

4 т 4 т + 1/2

,т

1.1. Норма оператора 8ь,2,

Здесь и далее считаем, что СЩ = 0, если к > т. Лемма 1.1. Пусть т Е М, к Е N. Положим ак = С'ШШ+к/к. Тогда

Дак ^ 0, Д2ак ^ 0, Д3ак ^ 0. Доказательство. Установим, что

/^ш+к+3 г1т^-к+2 г1т^-к+1 г~1т+к

Д3ак = —2т--3С2ш-+ 3С2ш--^^ ^ 0.

к к + 3 к + 2 к + 1 к

При к > т неравенство тривиально. Если к = т, то оно равносильно неравенству — Щ ^ 0, если к = т — 1 — неравенству

—2т2 + 3т — 3 т( т - 1)

При к = т — 2 требуется доказать, что

3 6т т(2т — 1)

--+-—-^ 0.

т т — 1 т — 2

Последнее неравенство, очевидно, верно, когда т = 3. Если же т > 3, то 3 + 6т т(2т — ^ 3 + 6т т(2т — 1)

т т — 1 т — 2 т т — 2 т — 2

17

3 т(2т — 7) ^ 0

т т — 2 Теперь рассмотрим случай к ^ т — 3. Имеем

(2т)! ( 1

Д3ак =

Л

(т + к)!(т — к — 3)! \(к + 3)(т + к + 3)(т + к + 2)(т + к + 1)

3

(к + 2)(т + к + 2)(т + к + 1)(т — к — 2)

3

+ (к + 1)(т + к + 1)(т — к — 1)(т — к — 2)

1 \

к(т — к)(т — к — 1)(т — к — 2))

Вычисления показывают, что после приведения к общему знаменателю числитель выражения в скобках примет вид

— 8 к6 — 72 к5 — 6т2к2 — 248к4 — 6т3 — 18т2к — 18тк2

— 408к3 — 36т2 — 54тк — 332к2 — 66т — 132к — 36,

а значит, Д3ак ^ 0.

Неравенство Д3ак ^ 0 доказано для любых т,к Е N. Поскольку ак = 0

ж ж

при к > т, то Д2ак = — ^ Д3aj ^ 0, Дак = — ^ Д2^ ^ 0. □

—к —к

Лемма 1.2. Пусть ],т Е N. Положим

/^чт+к

(—1Г'

к—

т Ст+к

14 = 11/,т = £ (-1(к - !)■

— +1

Тогда

(а) \3 ^ 0, ДХ3 < 0, Д% ^ 0;

(б) щп^ = (—1У+1 при 0 ^ ] ^ т — 1;

(в) | ^ 0;

т—1 т т+к

(г) £ \т \ = Е(-1)м%- I¥ 1-

¿—0 к—1

Доказательство. (а) Поскольку 0™+ = 0 при к > т, то, попарно группируя слагаемые, имеем

то —т+к то от+3+21

\ Л\к-з°2т д —2т

А = ~ = - §

где разность берётся по Отсюда, во-первых, следует, что А^ ^ 0. Во-вторых, получаем

то о'т+1+21

д2л = °2т

Д А = д 77+2)2•

В силу леммы 1.1 для любого к £ N

Д3 —2^— = ( Д3 —2^— ) 1 + 3 ( Д2 -) д1

к2 \ к ) к V к + 1 ) к

(г1т+к+2 \ -| г!т+к+3 -|

Д—2т-) Д21 + —2т-Д31 ^ 0.

к+2 У к к+3 к

то

Значит, Д%- ^ 0, ДА3 = - Ц Д2А3 < 0.

к=з

(б) Заметим, что

т —т+к т —т+к

Д№= £(-1)к(к-0' +1))- £ (-1)к-^г(к-з)

к=з+2 к=+1

—т+к —т+з+1 т —т+к _ : —2т _ (_1) _ (_1).7 + 1 —2т _ _ \ Л (_

т

= £ ■ (-1) - +1 = - £ (-!)*= (-^+1.

к= +2 к ( + 1) к= +1

то то

Поэтому ^ = - ^ Ддк = - (-1)кАк+1. Полученная сумма состоит из чере-

к= =

дующих знаки и убывающих по модулю слагаемых (пункт (а)), следовательно,

^П Из = (-1У+1.

(в) Группируя слагаемые попарно, имеем

то

(-1) Ак+1

к=

то

^2ДА3 +2 /+1; =о

1 =

где разность берётся по . Отсюда, принимая во внимание пункт (а),

то

Д 1м I = - Е Д2а.+2/+1 ^ 0.

Д2

=о 19

(г) В силу утверждения пункта (б)

т—1 т—1 т—1 т ^т+к

£ \1Ч\ = = Е(-1)+1 £ (к -1)

—0 —0 —0 к— +1

т к—1 С т+к т С т+к к—1

= ¿+ШСкг(к - 0 = Скг В-Мк - I)

к—1 —0 к к—1 к —0

т т+к 'y^(_1)к+1—2т

2 к—1

к + 1

2

что и требовалось. □

Теорема 1.2. Пусть Р Е Л, / Е С, к> 0, т Е N. Тогда

Р (вК2,ш/) ^а2,тР(Л, (1.5)

где

т 2 2

но II 2 ^ *}—! + ^ 2т п

а%ш = ^„п^с ——шШt ¿¿—Х— ^ т+1, (1.6)

а числа Х^ и определены так же, как и в лемме 1.2:

т+к

(-1Г"

к—

Х = Чт. = Т.^1')"-'ПШ ■

т С т+к N = Нт = £ (-1)кС^-(к - ]).

к— +1

Доказательство. Положим

¡1 -Щ, если Ь Е [-1,1], Ф2Щ = <

0, в остальных случаях.

Используя интегральное представление функции Стеклова второго порядка, имеем

2 ш С

вк2,т/(х) = (-1)к-1СШШ+к I ¡(х + М.

2т к—1

Заменяя £ на £ /к в каждом из интегралов и меняя порядок суммирования и интегрирования, находим

Зн,2,т! (х) =

2

т

—2т

/(х + Ш)

т к=1

т+к

(-1)к-1 -f-ф2( к

( к ))

(П.

Применяя лемму 1.А, получаем

Р№,2,т/) ^

2

т

—2т

/р(л-+»)(е

к=1

— т+к

(к)

= р (л

т

—2т

т т+к

Е(-1)к-1( к

к=1

к

(к)

(И.

Принимая во внимание чётность функции имеем

Р(^,2,т/) ^ Р(Л

4

т

—2т

т т+к

в-1»"-1 ^ ( к)

к=1

(И

= Р (Л

4

Е

т

—2т =1

=1 -1

т т+к

^(-1)к-1 —2т (1 - *

к=

(- - к)

си.

Положим

«2,т =

4

Е

т

—2т =1

-1

(-1)

к=

т+к -1 —2т

^Г^1 -к)

т т+к

т = Е(-1)к-1 9 = ^ (-1)

к=1 ^ ' 1<к^т

(И,

т+к

—

к-1 —2т

- к).

Очевидно, что функция д линейна на каждом из промежутков [] - 1,]], где ] £ N51 ^ ] ^ т, непрерывна на [0,т], д(£) = 0 при £ ^ т. По лемме 1.2 (пункт (б)) при 1 ^ j ^ т - 1

в^й = ) = (-1)^ •

Значит, график функции |д| на отрезке [] - 1,]] такой, как показано на рисунке 1.1.

На промежутке [] - 1, j)

т т+к

дЦ) = £(-1)к"'^ (1 - к)

к= к

т т+к т т+

\к-1 —2т + ^ у^(-1)к—2т

к= к=

Е(-1)

2

2

т С т+к к—

то есть угловой коэффициент прямых, из которых составлен график, по модулю равен Х^. Тогда площадь под графиком равна площади двух треугольников

2

| -1\ , ь.. |\*\ = *з-1 +*

2 1

2

9 = ^ .-1^ Ч * ^ " 1 ' °

Х,

2

Х,

2^

Эта формула остаётся верной и при ] = т. Таким образом,

4

=

т

С2— —

т

Е / \

4

—1

V 9- = — V

т т

С2— — С2— ¿—1

2 х—> .2—1 +

—1 "Х

Теперь получим оценку сверху для а2—. По лемме 1.2 (пункт (в)) последовательность \д(])\ = \ убывает, поэтому

9 = 2\Н-1 \(хз - (3 - 1)) + 2\(Э - хз)

< 1.-1\(х, - (3 - 1)+3-х3) = ^.

Следовательно, принимая во внимание пункт (г) леммы 1.2,

т 1

4 т 4 т

а2— = С— Е 9 ^ С— Е С2— — С2— —

\.з-1\

2

т

С2ш —

т,. \

т т+к 2 ^2( — 1)к+1С 2—

т С2—

к—1

к2

к + 1

(1.7)

Если к чётное, то

2

к + 1 2

(к + 1)2 = к (к + 1)2 ■ 2 = (к + 1)2 у ] =2 к2 к + 2 = к(к + 2)

> 1,

2

1

если же к нечётное, то

1

к2

к + 1 2

(к + 1)2 _ к + 1 (к + 1)2 ■ 2 _ (к + 1)2 . _ ~2к2 к + 1 _ к2 > '

2

Значит, сумма в правой части выражения (1.7) состоит из убывающих по модулю слагаемых. Таким образом,

°2т ^ ст1 _ т+т ■ а

1.2. Доказательство основной теоремы

Доказательству теоремы предпошлём несколько вспомогательных лемм. Лемма 1.3. Пусть I £ Ъ+, т £ N к > 0, / еС, Р £ Л. Тогда

Ж1Ат(/,к)Р (/,к)Р■ (1.8)

Доказательство. В работе [10, формулы (4.2) и (4.5)] установлено, что

Р((^,2,т/)(2)) ^ ВтР(&)■

Поэтому

^,2,т(М)р _ 8Пр РЙДт/)(2°)

^ ^т «ИР Р(^/) _ ^(/, к)р■ □

Лемма 1.4. Пусть п,т £ М, г £ [0 : 2т], г > 0, / £ С, Р £ Л. Тогда

Еп(1 - 3Т/п,2,тЛ < )^2т-г (/Ч -) ■

Доказательство. Полагая к _ т/п и пользуясь леммой 1.А, имеем

1

Еп(1 - /) ^ (¿Г [ Еп()(1 - 0 ^

С т

0

1

[ ^2т(/,^к)(1 - г) ЛЬ.

т С2т

При любом > 0

1 1

Iш2—(/,ш)(1 - г) а (гЬ)гш2—-г(/г),Щ(1 - г) а

00

1

/иг

^(1 - г) а = Ш2—-Г(I(г), и).

(г + 1)(г + 2)

0

При г Е [1 : 2т] иг > 2К,1/г для оценки модуля непрерывности под интегралом воспользуемся неравенствами

2К 1/г

м2—(г) < гги2—-г(/(г\г), если г < г

п

Л/г

KL 2rKL 2KL 1'г

U2m(f, t) f^, t) < -~T^2m-r (fW, t) , еСЛИ t > --

Пг Пг П

Положим b := 2K^r/r¡т. Тогда 1 ь r

JШ2ш(f,th)(1 - t)dt = f + f

0 0 b

Ь 1

^f (th)rU2m-r (f{r),th)(l - t) dt + J ^fu2m-r (f{r),th)(l - t)dt. 0

Последнее выражение в силу возрастания модуля непрерывности не превосходит

ь 1

hrU2m-r (f {r),bh)J tr (1 - t)dt + ^fu2m-r (f {r),h)J(l - t)dt

0 b ( br+1 br+2 br(1 - b)2\Tr / (r) T\

\r + 1 г + 2 2 J nr \ nJ

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, приходим к доказываемому неравенству. □

Лемма 1.5. Пусть п,т е N, I е Z+, г е [0 : 2т], г > 0, f е Cr, Р е Л. Тогда En(f-SlT/n^mf) < ^Л г)) 9СЩ±гШ2т-г (f(r)J-) ■

\k=0 ) C2mn 4 П/

24

Доказательство. Положим h = т/п. Воспользуемся разложением

1-1

f — Sh,2,mf = Е Sh,2,m(f — Sh,2,m/)• (1.9)

По теореме 1.2

En{Sh

Л < «2 En(f),

поэтому при k G [0 : I — 1]

E'n(Sfo,2,m f) ^ «2,mE'n(fS) • (1.10)

Применяя неравенства (1.4) и (1.8), находим

En(Sh,2,mf) ^ ~2kE'n{(Sh,2,mf ^^ = ^^^k^ni^ (Sh,2,m Л^)

< ^Wi.a.mCM) < ^J,W»(f,h) < 22kEn(f).

Сопоставляя полученное неравенство и (1.10), заключаем

«2,m, Д "') En(f) = rj(m, k, т) En(f) ,

где функция ту определена формулой (1.1). Возвращаясь к (1.9),

/—1

"^.,2,mЛ ^ У^ En(Sfe,2, =0

1

En(/ — Sh,2,mЛ ^ Е En(Sh,2,m(f — Sh,2,mf))

< Е 1l(m,k, r)En{f — Sh,2,mЛ•

к=0

Доказательство завершается применением леммы 1.4. □

Лемма 1.6. Пусть п,т £ М, г £ [0 : 2т], г > 0, / £ Сг, Р £ А. Положим I _ рт - г/2]. Тогда

Е л < г)^т^ / г(г)

Еп (^т/п,2,т1) < Т2т-гпг Ш2т- ^/ , ^ ■

Доказательство. Имеем при К = т/п

Еп(91,2,—Л = ~11Еп(К21вь>2>—?' * Ь?1^,2—(^ 21),К)-

По лемме 1.3

Еп(ви—/) * -фш а (-2),ь). (1.11)

Пусть Е [2т : 2 + ]. Используя свойства модуля непрерывности, а также принимая во внимание неравенство (1.4), находим

^21 и(-2),Ь) * 0+г—шр-г(/(г* ^(/(Г),Н)

* ь2+г2р-2—^2—-Г а (г),ь).

Тогда из (1.11) следует

(V- 2Р-2—\

шт — — | Ш2—-г(/(г),Ь). (1.12)

ре[2—-.2 ¿+г] тр )

Если г чётно, то 21 + г = 2\т — г/2\ + г = 2т, поэтому

Г2Р-2— ^р2 '^2—

Ш1П

ре[2—:2 ¿+г] ТР Т2— '

Если г нечётно, то 21 + г = 2т + 1, следовательно,

Кр2Р-2— . Г К<2— 2^2—+1

Ш1П —-- = Ш1П < ——, —-——

ре[2—2+г] ТР { т2— т2—+1

1 • Г ^ 2^2—+1 1

Ш1П< 1С2—,

}

2—

Таким образом, из (1.12) получаем

^ Кг

Еп (Б^—!) * р(т,г, т)ш2—-г (/(Г\Ь), что и требовалось. □

Лемма 1.7. Пусть п,т Е N,r Е [0 : 2т], г > 0, / Е Сг, Р Е А, I = \т - г/2]. Тогда

Е-") * ('-С— Ьтк * + ) ^ ('Ч) ■

26

Доказательство. Пусть Ь £ (0,г]. Имеем

Еп(Л < Еп(/ - Я1/п,2,т/) + Еп($1/п,2,т/)■

Применяя для оценки первого слагаемого лемму 1.5, а для второго — лемму 1.6, получаем

Еп(/) < (|Ч(т,к,о) (Ц^ (/«П) + ('и п)

< (^ g ^ t) + 1 ^ (/С), I) .

Остаётся перейти к инфимуму по £. □

Следствие 1.1. Пусть п,т £ М, г > 0, f £ С, Р £ А. Тогда

Е-(Л < Е"(m,Т) + <*» (/• I) ■

Доказательство. Полагая r = 0 в лемме 1.7, получаем

< ,(¿§ ^t) + ^ (ЛП )■

Инфимум убывающей функции достигается в крайней точке £ _ т. □

Теорема 1.3. Пусть п,т £ М, г £ [1 : 2т - 1], т > 0, / £ Сг, Р £ А. Положим I _ [т - г/2],

В(т,, Г)_ ^ + (1.13)

/2i k=0

f<i / j-iv-i ■"■> ■ j 1 _2m-r

c

Тогда при т ^ 2

En(/) < ^^^r (/«Л,

nr V nJ при т > 2

En(f) < min В (m,r, t) • (/(r\~)

te[2,T ] nr V nJ

Доказательство. Найдём инфимум выражения из леммы 1.7 в случае т * 2.

Принимая во внимание лемму 1.В, находим, что > 2 при т ^ 15. Следовательно, учитывая теорему 1.2, имеем

О— ^ а,2—. (1.14)

Непосредственными вычислениями (1.14) проверяется для т Е [1 : 14].

Учитывая также неравенства 1СГ ^ 1 и 1С2г < 1С2г+1 при любом г Е М, получаем при т * 2

2тг N"1 к , ^2mD

в (m'r> т) = C-F+W++

2,m q-2m—r '

к=0

Исследование при помощи производной полученного выражения показывает, что оно убывает при т Е (0, т0], где

i

Г0 =i(2m — r)1C2mDlmCmm(r + l)(r + 2)\ 2m

0 V 2r T!k=0 alm )

При m > 15 принимая во внимание неравенства lC2m > 1, a2m ^ 2, имеем

> (2m — r)DlmCimm(r + 1)(r + 2) 0 > 2r(2l — 1)

> \(2m — r)(r + 1)(l + -^C2mm(Dm)

Ясно, что

min (2m — r)(r + 1) = 2m.

re[l-.2m—l]

Выше уже отмечалось неравенство Dm > 2 при m > 15. Значит,

1 i

( 22— \ 2т / 1 \ 4т

го ^ (тС2—)^ >[т = =2[ 1 + , ) > 2.

\ уъ(т + 1/2)] \П — + 2—2))

Непосредственным подсчётом убеждаемся, что неравенство о > 2 верно также при т Е [1 : 14].

Следовательно, для случая * 2

т£ В(т, г, ^ = В(т, г, г).

гф, т]

Случай т > 2 тривиальным образом вытекает из леммы 1.7. □

m

Замечание 1.2. В следствии 1.1 утверждается, что для т/2 £ М, т > 0

3(т, 0, г) < А(т, 0, г).

Аналогично можно переформулировать и теорему 1.3. Для этого нужно заменить т на выражение (т + г)/2. Полученное утверждение совпадёт с теоремой 1.1, указанной в начале главы, поскольку

„ (т + г \

—2— ,г,Т ) _ А(т, г, г).

1.3. Асимптотика оценки

Установим некоторые асимптотические соотношения для величины А(т, г, т) в случае чётных т иг.

В дальнейшем запись типа /(х, у) _ 0(д(х, у)) при х ^ х0 означает, что найдётся постоянная С( ), такая что

|/(х, у)1 < С(у)|д(х, у)1 в некоторой окрестности х0. Соотношение

/(х, у) х д(х, у) при х ^ х0

равносильно тому, что

/(х, У) _ 0(9(х, У)) и 9(х, У) _ 0(!(х, У)) пРи х ^ х0-Лемма 1.8. Пусть т/2 £ М, г/2 £ Тогда

Втт+г)/2 х (|) еХР (-(2/ж)3/2\/™) при т ^ ТО.

Доказательство. Из леммы 1.В следует, что

п ___

т.

Ж2 вт\/Ъ

т Л /—

4 л/т

где 6т > 0, 6т _ 1 + 0(т) при т ^ то. Тогда

©"'((■- ^ ^ П

Положим tт Поскольку при всех достаточно больших т (см. [42,

par. 3.6.2])

е т

Л - Л ^ Л -—Л

2 т т

^ е

то

( _ ) p-tmvm 1 1те \

V1 2-т)

^ Ет < —

(?)

—т\рт

Отсюда

(2\ т

т

^т ^ I ) р—тл/т

Имеем

е = exp

^(1 + 0(1/т))-т^ - exp ^-^-т)

Следовательно,

^ - ft) Ч-^

2

т+г

Заменяя в последнем соотношении т на т+, находим

т/2

1

ч(т+г)/2___

(т+г)/2 ^г/2 В(т+г)/2 Х ^^ eXP

(т+г)/2

(2)'

4^2^ + г)

2'

!л/2

)

= (2)т exP {-(2/2)3/2л/т (1 + 0(1/т)))

2) exP (-(V2)3^^) .

Лемма 1.9. Пусть г е (0,2/\/2), т/2 е N, г/2 е Z+. Тог^а

□

А(т,г, т) х ехр (к-(2/ж)3/2^/п^ при т ^ то.

Доказательство. Принимая во внимание неравенство ^ 1 при & £ М, теорему 1.2 и лемму 1.В, получаем

1 _

= — + о(1).

т

Тогда при всех достаточно больших т будет г](т, к, т) = . Следовательно,

ш/2-1 г О—/2

Л( 9(Г,Т) к ^—+г°(—+г)/2

А{Ш,Г, Т'= С{—+г)/2 2_^ а2,(—+т)/2 + -Ш •

С—+т к=0

Покажем, что последнее слагаемое имеет наибольший порядок роста по т. Учитывая теорему 1.2, имеем

д(г, т) —Ш/2-1 , ^ 9(г, г)

st ^ / 9(г, г) /2 _п[УМ\

(12,(m+r)/2 ^ r(m+r)/2 ^ 2 _ 0 I 2^/2 '

1--П ^mXr \ /

m

^ (m+r)/2

^m+r k=0 ^m+r

По лемме 1.8 находим

Dm/+ /2 к m 1 (K~J72

тm ~ fe) exp 2 _ ö^P exp ((2/ж)3/2y/m)'

Так как т < к/л/2, то

г 1 )

lim -----^ _ ж.

m(ехр((2/к)3/2)У

Поэтому

ptm/2 \ yr ptm/2

ехр{-(2ЫУ/2\/т \ . □

,/ \ I D(m+r)/2 I '^m+rD(m+r)/2

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бабушкин Максим Владимирович, 2021 год

Список литературы

5. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. — М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1961.

6. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений, т. II. — М. : Изд-во АН СССР, 1954.

7. Виденский В. С. Многочлены Бернштейна. — Л. : Изд-во «Образование», 1990.

8. Виноградов О. Л. Точное неравенство для отклонения сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности в пространстве непрерывных периодических функций // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 1997. — т. 247. — с. 26—45.

9. Виноградов О. Л. Улучшение неравенств типа Джексона для четвёртого, шестого и восьмого модуля непрерывности // Пробл. мат. анализа. — 2015. — вып. 85. — с. 59—70.

10. Виноградов О. Л., Жук В. В. Оценки функционалов с известной последовательностью моментов через отклонения средних типа Стеклова // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2010. — т. 383. — с. 5—32.

11. Виноградов О. Л., Жук В. В. Оценки функционалов с известным конечным набором моментов через модули непрерывности и поведение констант в неравенствах типа Джексона // Алгебра и анализ. — 2012. — т. 24, № 5. — с. 1—43.

12. Даугавет И. К. Введение в классическую теорию приближения функций. — СПб. : Изд-во СПбГУ, 2011.

13. Жук В. В. О приближении 2^-периодической функции линейным оператором // Исследования по некоторым проблемам конструктивной теории функций. Сборник научных трудов Ленинградского механического института. т. 50 / под ред. Б. А. Рымаренко. — Л. : Ленингр. мех. инст., 1965. — с. 93—115.

14. Жук В. В. О приближении 2^-периодической функции значениями некоторого ограниченного полуаддитивного оператора. II // Вестн. Ленингр. ун-та. — 1967. — т. 13. — с. 41—50.

15. Жук В. В. О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности // ДАН СССР. — 1971. — т. 196, № 4. — с. 748—750.

16. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. — Л. : Изд-во ЛГУ, 1982.

17. Жук В. В. Структурные свойства функций и точность аппроксимации. — Л. : Изд-во ЛГУ, 1984.

18. Жук В. В. Полунормы и модули непрерывности высоких порядков // Труды С.-Петербургского матем. общества. — 1993. — т. 2. — с. 116—177.

19. Жук В. В. О сильном приближении функций посредством положительных операторов // Зап. научн. сем. ПОМИ. — 2015. — т. 440. — с. 68—80.

20. Жук В. В., Пименов С. Ю. О нормах сумм Ахиезера-Крейна-Фавара // Вестник СПбГУ. Сер. 10. — 2006. — вып. 4. — с. 37—47.

21. Жук В. В., Тумка О. А., Козлов Н. А. О константах в неравенствах типа Джексона для наилучших приближений периодических дифференцируемых функций // Вестник СПбГУ. Сер. 10. — 2015. — вып. 1. — с. 33— 41.

22. Корнейчук Н. П. Точная константа в теореме Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // ДАН СССР. — 1962. — т. 145, № 3. — с. 514—515.

23. Лигун А. А. О точных константах приближения дифференцируемых периодических функций // Матем. заметки. — 1973. — т. 13, № 5. — с. 647— 654.

24. Натансон И. П. О приближённом представлении функций, удовлетворяющих условию Липшица, с помощью интеграла Валле-Пуссена // ДАН. — 1946. — т. 54, № 1. — с. 11—14.

25. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. — М.-Л. : Гос. изд-во технико-теоретической лит., 1949.

26. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск : Наука и техника, 1987.

27. Стечкин С. Б. О приближении периодических функций суммами Фейе-ра // Труды МИАН. — 1961. — т. 62. — с. 48—60.

28. Теляковский С. А. О приближении дифференцируемых функций многочленами Бернштейна и многочленами Канторовича // Тр. МИАН. — 2008. — т. 260. — с. 289—296.

29. Теляковский С. А. О скорости приближения функций многочленами Бернштейна // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2008. — т. 14, № 3. — с. 162—169.

30. Тригуб Р. М. Конструктивные характеристики некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. — 1965. — т. 29, № 3. — с. 615—630.

31. Виденский В. С. Линейные положительные операторы конечного ранга. — Л. : ЛГПИ, 1985.

32. Alexits G. Sur l'ordre de grandeur de l'approximation d'une fonction par les moyennes de sa serie de Fourier // Mat. Fiz. Lapok. — 1941. — Vol. 48. — P. 410-422.

33. Bustamante J. Bernstein operators and their properties. — Springer International Publishing, 2017.

34. Butzer P. L., Dyckhoff H., Goerlich E., Stens R. L. Best trigonometric approximation, fractional order derivatives and Lipschitz classes // Can. J. Math. — 1977. — Vol. 29, no. 4. — P. 781-793.

35. DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive approximation. — Berlin : Springer-Verlag, 1993.

36. Foucart S., Kryakin Y., Shadrin A. On the exact constant in Jackson-Stechkin inequality for the uniform metric // Constr. Approx. — 2009. — Vol. 29, no. 2. — P. 157-179.

37. Gonska H. On the degree of approximation in Voronovskaja's theorem // Stud. Univ. Babes-Bolyai Math. — 2007. — Vol. 52. — P. 103-115.

38. Gonska HPitul P., Rasa I. On Peano's form of the Taylor remainder Voronovskaja's theorem and the commutator of positive linear operators // Proceedings of the international conference on numerical analysis and approximation theory NAAT. — Cluj-Napoca, Romania, 2006. — P. 55-80.

39. Gupta V., Tachev G. Approximation with positive linear operators and linear combinations. Vol. 50. — Springer, 2017.

40. Lohmann A. W., Mendlovic D., Zalevsky Z. Fractional Hilbert transform // Optics Letters. — 1996. — Feb. 15. — Vol. 21, no. 4. — P. 281-283.

41. Lorentz G. G. Bernstein polynomials. — 2nd ed. — New York : Chelsea Publishing Company, 1986.

42. Mitrinovic D. S. Analytic inequalities. — Berlin : Springer-Verlag, 1970.

43. Taberski R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders // Commentat. Math. — 1977. — Vol. 19. — P. 389-400.

44. Tikhonov S. Smoothness conditions and Fourier series // Mathematical inequalities and applications. — 2007. — Vol. 10, no. 2. — P. 229-242.

45. Tikhonov S. Trigonometric series of Nikol'skii classes // Acta Math. Hun-gar. — 2007. — Vol. 114, no. 1/2. — P. 61-78.

46. Wendel J. G. Note on the gamma function // Amer. Math. Monthly. — 1948. — Vol. 55, no. 9. — P. 563-564.

47. Zhuk V. V., Bure V. M. On constants in the generalized Jackson theorem // J. Math. Sci. — 2015. — Vol. 205, no. 2. — P. 240-246.